2017-2018学年辽宁省大连市第二十四中学高一下学期期中考试数学试卷扫描版版

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辽宁省大连市第二十四中学2021-2022学年高一下学期期中考试数学试题

辽宁省大连市第二十四中学2021-2022学年高一下学期期中考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．sin 240=A B ．12C ．D ．12-2．已知边长为ABC 的外接圆圆心为O ，则AOC ∠所对的劣弧长为（）A ．πB ．2πC ．3πD ．4π3．已知向量(1,1)a = ， b a 与b 的夹角为5π6，则||a b += （）AB ．2CD ．144．设函数()sin()(,0,0,||)2f x A x x R A πωϕωϕ=+∈>><的部分图象如图所示，若12,63x x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，且()()12f x f x =，则()12f x x +=（）A ．12B ．2C ．2D ．15．已知O 为ABC 的外心，4AB =uuu r ，则AO AB ⋅=（）A ．8B ．10C ．12D ．146．若sin 7a π=，3cos 7b π=，tan 7c π=，则a 、b 、c 之间的大小关系为（）A ．a b c<<B ．b a c<<C ．b<c<a D ．a c b<<7．已知ABC 中，若sin 2cos A A -=tan A =（）A ．3-B ．3C ．3-或13D ．3或13-8．已知函数()()2sin 0f x x ωω=>在区间,43ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数，若函数()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的图像与直线2y =有且仅有一个交点，则ω的最小值为（）A ．43B ．34C ．32D ．1二、多选题9．已知向量()1,sin θ=a ，(cosb θ= ，则下列命题正确的是（）A ．存在θ，使得λa b=B ．当tan 2θ=时，a 与b 垂直C ．对任意θ，都有a b≠r rD ．当a b ⋅a 在b 10．下列论述中正确的是（）A ．已知平面向量a ，b 的夹角为3π，且1a b ==r r ，c a b =- ，则c 与a 的夹角等于3πB ．若a b a c ⋅=⋅ ，且0a ≠，则b c=C ．在四边形ABCD 中，()6,8AB DC == ，且AB AD ACAB AD AC +=，则BD = D ．在ABC 中，若OA OB OA OC OB OC ⋅=⋅=⋅uur uuu r uur uuu r uuu r uuu r，则O 是ABC 外心11．已知函数π()sin()(0,0,||)2f x A x A ωϕωϕ=+>><条对称轴之间的距离为2π，且()f x 的图象关于点(,0)12π-对称，则下列结论正确的是（）A ．函数()f x 的图象关于直线512x π=对称B ．当[,]66x ππ∈-时，函数()f x 的最小值为2-C ．若()65f πα-=，则44sin cos αα-的值为45-D ．要得到函数()f x的图象，只需要将()cos 2g x x 的图象向右平移6π个单位12．在锐角三角形ABC 中，下列命题成立的是（）A ．sin A tan 3B =，则A B <B ．tan tan 1A B ⋅<C ．sin sin cos cos A B A B+>+D ．sin sin 1A B +>三、填空题13．已知α，β为锐角，4sin 5α=，()cos 5αβ+=-，则cos 2β=______.14．已知(),2a λ= ，()3,5b =- ，且a 与b的夹角为锐角，则λ的取值范围是_________________．15．已知函数()22sin cos 24f x x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()f x 的值域为______.四、双空题16．设tan θ＝2，则tan (4πθ+＝________，sin cos sin cos θθθθ-+＝________.五、解答题17．已知2= a ，b = ()()239a b b a +⋅-=(1)求a 与b的夹角θ；(2)在ABC 中，若AB a=，AC b = ，求BC 边的长度.18．已知1sin cos 2αα+=，0απ<<.(1)求sin cos αα的值.(2)求sin cos αα-的值.(3)-的值.19．已知以角B 为钝角的ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，()sin ,2sin m A B =，)sin n A =-，且m n ⊥.(1)求角B 的大小；(2)求cos cos A C +的最大值.20．在①函数()()1sin 0,22f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的图像向右平移12π个单位长度得到()g x 的图像，()g x 图像关于原点对称；②函数()1sin 2sin 2226f x x x ππωω⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++- ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦；③函数()()1cos sin 064f x x x πωωω⎛⎫=+-> ⎪⎝⎭这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.已知______，函数()f x 的图像相邻两对称中心之间的距离为2π.(1)求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间；(2)若06πθ<<，且()310f θ=，求cos 2θ的值.21．已知函数()2cos sin 4f x x a x a =-++-，[]0,x π∈.(1)求()f x 的最小值()g a ；(2)若()f x 在[]0,π上有零点，求a 的取值范围.22．设O 为坐标原点，定义非零向量(),a M b O =的“相伴函数”为()()sin cos f x a x b x x =+∈R ，向量(),a M b O =称为函数()sin cos f x a x b x =+的“相伴向量”.(1)设函数()2sin cos 36h x x x ππ⎛⎫⎛⎫=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求()h x 的“相伴向量”；(2)记()0,2OM =的“相伴函数”为()f x ，若函数()()1g x f x x =+-，[]0,2x π∈与直线y k =有且仅有四个不同的交点，求实数k 的取值范围；(3)已知点(),M a b 满足22340a ab b -+<，向量OM的“相伴函数”()f x 在0x x =处取得最大值.当点M 运动时，求0tan 2x 的取值范围.参考答案：1．C【详解】试题分析：00sin 240sin 60=-=C ．考点：诱导公式2．D【分析】根据等边三角形的性质可得AOC ∠，再根据弧长公式求解即可【详解】因为边长为的等边ABC 的外接圆圆心为O ，则O 为等边ABC 的中心，故23AOC π∠=，且6OA OC ==，故AOC ∠所对的劣弧长为2643ππ⨯=故选：D 3．A【分析】首先计算a r 和a b ⋅，再代入+= a b ，即可求得答案.【详解】 (1,1)a =，a == 又= b a 与b 的夹角为56π∴cos 32θ⎛⎫⋅=⋅=-=- ⎪ ⎪⎝⎭ a b ab +=== a b 故选：A.4．C【分析】根据图像求出()sin(2)3f x x π=+，由12()()f x f x =得到126x x π+=，代入即可求解.【详解】根据函数()sin()(,0,0,||)2f x A x x R A πωϕωϕ=+∈>><的部分图象，可得：A =1;因为236T πππω⎛⎫==-- ⎪⎝⎭，2ω∴=，结合五点法作图可得2(06πϕ-+= ，3πϕ∴=，()sin(2)3f x x π=+．如果12,(,)63x x ππ∈-，且12()()f x f x =，结合2(0,)3x ππ+∈，可得122(23322x x πππ+++=，126x x π∴+=，12()()sin()6332f x x f πππ∴+===5．A【分析】根据平面向量数量积的几何意义，结合外心的性质求解即可【详解】取AB 中点D ，因为O 为ABC 的外心，故OD AB ⊥，故cos 248AO AB AO AB OAB AD AB ⋅=⋅⋅∠=⋅=⨯=uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r故选：A 6．B【分析】根据诱导公式，结合正弦函数的单调性判断,a b ，再根据正弦与正切的关系判断,a c 即可【详解】由题，3cos cos sin sin 7214147b a πππππ⎛⎫==-=<= ⎪⎝⎭，又sin7tan sin 77cos 7c a ππππ==>=，故b a c <<故选：B 7．A【分析】由10sin 2cos 2A A -=，利用同角三角函数间的基本关系求出1tan 3A =或3-，再分类即可求解．【详解】10sin 2cos 2A A -=()22222sin 2cos 5tan 4tan 45sin cos 2tan 12A A A A A A A --+∴=⇒=⇒++1tan 3A =或3-，10sin 2cos 0sin 2cos 2A A A A -=⇒> tan 2(cos 0)A A ⇒>>或tan 0(cos 0)A A <<，tan 3A ∴=-，8．D【分析】结合函数()f x 图像的对称性，及()f x 在区间,43ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调性，可知232T π≤，又()f x 的图像与直线2y =的交点的横坐标为()2Z 2k x k ππωω=+∈，从而得2222ππππωωω≤<+，进而可求出ω的取值范围.【详解】解：因为函数()2sin (0)f x x ωω=>的图像关于原点对称，并且在区间,43ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数，所以24323T T ππ≤⇒≥，又20T πωω⎧=⎪⎨⎪>⎩，得302ω<≤，令()2sin 2f x x ω==，得()2Z 2k x k ππωω=+∈，所以()f x 在()0,∞+上的图像与直线2y =的第一个交点的横坐标为2πω，第二个交点的横坐标为22ππωω+，所以2222ππππωωω≤<+，解得15ω≤<，综上所述，312ω≤≤，故ω的最小值为1故选：D 9．BD【分析】利用向量平行得关系验证可判断A；利用商数关系可得cos θ=θ，在判断0a b ⋅=是否成立，即可判断B ；通过向量的模得求法求解θ即可判断C ；利用向量数量积的坐标表示结合平方关系求得2cos θ，a 在b 方向上的投影向量的模长即为a 在b方向上的投影的绝对值，再根据向量的投影的定义即可判断D.【详解】解：对于A ，若λa b =，则a b ∥，sin cos 0θθ-=，即1sin 22θ=，所以sin θ=又[]sin 21,1θ∈-，所以不存在θ，使得λa b =，故A 错误；对于B，当tan 2θ=-时，则cos θ=θ，则cos 0a b θθ⋅==，所以a 与b 垂直，故B 正确；对于C，若a b ==r r 若a b =r r，则221sin cos 2θθ+=+，则22cos sin 1θθ-=-，即cos 21θ=-，所以22k θππ=+，所以,Z 2k k πθπ=+∈，即存在,Z 2k k πθπ=+∈，使得a b =r r ，故C 错误；对于D，cos in a b θθ⋅==，则223cos 2sin cos θθθθ+=+，即()2222cos 2sin cos cos sin 3θθθθθθ+=++，化简得22sin cos 2cos 0θθθθ-+=，则2tan 20θ-θ+=，解得tan θ=，即22sin 2cos θ=θ，所以21cos 3θ=，a 在b方向上的投影向量的模长为a b b a b bb b⋅⋅⋅==D 正确.故选：BD.10．AC【分析】分别求出,a c c ⋅ ，再根据cos ,a ca c a c⋅=，即可判断A ；根据数量积的定义即可判断B ；易知四边形ABCD 是边长为10的菱形，且120BAD ∠=︒，从而可判断C ；由平面向量的数量积可知OA BC ⊥，,OB AC OC AB ⊥⊥，即可判断D.【详解】解：对于A ，()212a c a ab a a b ⋅=⋅-=-⋅= ，1c a b =-=，则1cos ,2a c a c a c ⋅== ，所以c 与a 的夹角为3π，故A 正确；对于B ，若a b a c ⋅=⋅，则cos ,cos ,a b a b a c a c =r r r r r r r r ，所以cos ,cos ,b a b c a c =，故B 错误；对于C ，因为()6,8AB DC == ，所以四边形ABCD 为平行四边形，且10AB DC ==，又AB AD ACAB AD AC+= ，所以四边形ABCD 为菱形，且120BAD ∠=︒，所以对角线BD =C 正确；对于D ，因为OA OB OA OC ⋅=⋅，所以()0OA OB OC OA CB ⋅-=⋅=uur uuu r uuu r uur uur，所以OA BC ⊥，同理,OB AC OC AB ⊥⊥，所以O 为ABC 的垂心，故D 错误.故选：AC.11．BD【分析】利用最值，半个周期，对称点，以及ϕ取值范围确定())6f x x π+，分别利用正弦函数的对称轴，整体法确定角度范围求最值，诱导公式和平方差公式，利用函数诱导公式变换表达式从而分析图像特点即可求解.【详解】函数π()sin()(0,0,||)2f x A x A ωϕωϕ=+>><，其图象相邻的两条对称轴之间的距离为2π，∴A =1222ππω⋅=，2ω∴=，())f x x ϕ=+.又因为()f x 的图象关于点(,0)12π-对称，所以())0,126f ππϕ-=-+=所以,6k k Z πϕπ-+=∈,所以6,k k Z πϕπ=+∈.因为||2ϕπ<，所以6πϕ=.即())6f x x π=+.对选项5A,()012f ππ==≠A 错误.对选项B ，[,],2[,]66662x x πππππ∈-+∈-，当()2,66x f x ππ+=-时取得最小值B 正确.对选项C,()sin(2)cos 2625f ππααα--=，得到3cos 25α=.因为4422223sin cos (sin cos )(sin cos )cos 25ααααααα-=+-=-=-，故C 错误.对选项D ，把()2g x x =的图象向右平移6π个单位得到2())sin[(2)])63236y x x x x πππππ=-=-=+-+的图象，故D 正确，故选：BD .12．ACD【分析】根据三角恒等变换，逐个选项化简判断即可求解【详解】因为在锐角三角形中，所以，,,A B C 均为锐角对于A ，sin 5A =，得cos A =，tan 2tan A B =<，所以，A B <；所以，A 正确；对于B ，若tan tan 1A B ⋅<，整理得sin sin cos cos 0A B A B -<，化简得cos()0A B +>，所以，cos 0C <，C 为钝角，与题意不符，B 错误；对于C ，若sin sin cos cos A B A B +>+)sin()44A B ππ->-，化简得sin()sin()44A B ππ->-，因为,,A B C 均为锐角，所以，必有44A B ππ->-，得2A B π+>，符合,,A B C 均为锐角，所以，C 正确；对于D ，因为,,A B C 均为锐角，得2A B π+>，所以，2A B π>-，所以，sin sin sin()sin 2A B B B π+>-+cos sin B B >+4B π+≥1>，所以，sin sin 1A B +>成立，D 正确；故选：ACD13．35-##0.6-【分析】根据平方关系求出cos α，()sin αβ+，再根据()sin sin βαβα=+-⎡⎤⎣⎦求出sin β，再根据二倍角得余弦公式即可得解.【详解】解：因为α，β为锐角，则,0,2παβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()0,αβπ+∈，又4sin 5α=，()cos αβ+=-所以3cos 5α=，()sin 5αβ+=，则()()()sin sin sin cos cos sin 5βαβααβααβα=+-=+-+=⎡⎤⎣⎦，所以23cos 212sin 5ββ=-=-.故答案为：35-.14．10635λλ<≠-且【详解】试题分析：因为向量a 与b 的夹角为锐角，所以0a b ⋅<且a 与b 不共线，所以3100λ-+>且56λ≠-，解之得：10635λλ<≠-且考点：向量夹角及坐标运算.15．[]2,3【分析】首先利用三角恒等变换公式将函数()f x 化简，再根据x 的取值范围，求出23x π-的范围，最后根据正弦函数的性质计算可得；【详解】解：函数2()2sin ()24f x x xπ=+-1cos(2)22x xπ=-+-sin 221x x =-+12sin 2212x x ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭2sin 213x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，即()2sin 213f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，又42ππx ≤≤∴22633x πππ≤-≤∴1sin(2),132x π⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，∴[]2sin(2)1,23x π-∈，∴()[]2,3f x ∈；故答案为：[]2,316．－313【分析】由两角和的公式计算出tan(4πθ+，把它展开后切弦互化可得sin cos sin cos θθθθ-+．【详解】解：由tan θ＝2，得tan (4πθ+＝tan tan41tan tan4πθπθ+-＝－3，sin cos sin cos θθθθ-+＝tan 1tan 1θθ-+＝13.故答案为：3-；13．17．(1)56π【分析】（1）先求出a b ⋅，再带入公式计算即可；（2）根据题意得到()22BC b a =- ，展开计算求解即可.（1）因为()()22222335232529a b b a a a b b a b +⋅-=--⋅+=-⨯-⋅+⨯= ，所以3a b ⋅=-，所以cos a b a b θ⋅==- []0,θπ∈，所以56πθ=.（2）因为BC AC AB b a =-=-，所以()2222=213BC b a b a b a =--⋅+= ，所以BC =18．(1)38-(3)43-【分析】（1）将已知平方结合平方关系即可得解；（2）由（1），可得sin 0,cos 0αα><，则sin cos αα-=（3=得符号去掉根号，化简，从而可求出答案.【详解】（1）解：因为1sin cos 2αα+=，所以()2221sin cos sin cos 2sin cos 12sin cos 4αααααααα+=++=+=，所以3sin cos 8αα=-；（2）解：因为0απ<<，3sin cos 8αα=-，所以sin 0,cos 0αα><，所以sin cos 2αα-=；（3）解：由（2）得sin 0,cos 0αα><，1sin 1cos cos sin αααα--=--()()sin 1sin cos 1cos sin cos αααααα-+-=-sin cos 1sin cos αααα+-=-11238-=--43=-.19．(1)23B π=【分析】（1）利用0m n ⋅= ，结合正弦定理，求出sin B =，B 为钝角，所以23B π=.（2）化简cos cos 3A C A π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，由（1）知，0,3A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，2,333A πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，即可确定cos cos A C +的取值范围，(1)解：因为()sin ,2sin m A B =，)sin n A =- ，且m n ⊥.所以0m n ⋅=2sin sin 0A B A -=，因为()0,,sin 0A A π∈≠，所以sin 2B =，因为B 为钝角，所以23B π=.(2)解：因为1cos cos cos cos cos cos sin 3223A C A A A A A A ππ⎛⎫⎛⎫+=+-=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由（1）知，0,3A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，2,333A πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，sin ,132A π⎛⎤⎛⎫+∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦，故cos cos A C +的取值范围是32⎛ ⎝.所以cos cos A C +20．(1)最小正周期T π=，单调递增区间为,,36k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；(2)310【分析】（1）依题意函数的最小正周期T π=，再根据所选条件及三角恒等变换公式化简，即可得到()f x 的解析式，再根据正弦函数的性质计算可得；（2）由（1）可得3sin 265πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，再根据同角三角函数的基本关系求出cos 26πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，最后根据两角差的余弦公式计算可得；(1)解：若选条件①，由题意可知，2T ππω==，2ω∴=，∴1()sin(2)2f x x ϕ=+，将()f x 的图像向右平移12π个单位长度得到1()sin(2)26g x x πϕ=+-，又函数()g x 的图象关于原点对称，∴6k πϕπ=+，Z k ∈， ||2ϕπ<，∴6πϕ=，∴1()sin(226f x x π=+，所以函数的最小正周期T π=，令222,262k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈，解得,36k x k k Z ππππ-+≤≤+∈，所以函数的单调递增区间为,,36k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；若选条件②，()1sin 2sin 2226f x x x ππωω⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦1cos 2sin 2cos cos 2sin 266x x x ππωωω⎛⎫=+- ⎪⎝⎭11cos 22222x x ωω⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭1sin 226x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭又22T ππω==，1ω∴=，∴1()sin(2)26f x x π=+．所以函数的最小正周期T π=，令222,262k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈，解得,36k x k k Z ππππ-+≤≤+∈，所以函数的单调递增区间为,,36k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；若选条件③，11()cos sin()cos (sin cos cos sin 64664f x x x x x x πππωωωωω=+-=+-211cos cos 224x x x ωω=+-12cos 244x x ωω=+1112cos 2)sin(2)2226x x x πωωω=+=+即()1sin(2)26f x x πω=+，又22T ππω==，1ω∴=，∴1()sin(2)26f x x π=+．所以函数的最小正周期T π=，令222,262k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈，解得,36k x k k Z ππππ-+≤≤+∈，所以函数的单调递增区间为,,36k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；(2)解：因为1()sin(2)26f x x π=+且()310f θ=，所以()13sin 22610f πθθ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，所以3sin 265πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，因为06πθ<<，所以2662πππθ<+<，所以4cos 265πθ⎛⎫+== ⎪⎝⎭，所以cos2cos 266θθππ⎡⎤⎛⎫=+-⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦43132cos sin 2sin 666652520cos 1ππππθθ⎛⎫⎛=⎫+++=⨯+⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21．(1)()23,03,20442a a ag a a a a ⎧->⎪⎪⎪=-+--≤≤⎨⎪⎪<-⎪⎩，(2)3a ≥【分析】（1）化简函数()22sin 324a a f x x a ⎛⎫=+-- ⎝⎭，根据[0,]x π∈，所以sin [0,1]x ∈，分类讨论，即可求解函数的最小值；（2）由()0f x =，可得2sin 3(1sin )x x a +=-⋅，当sin 1x ≠，2sin 31sin x a x+=-，令sin [0,1)t x =∈，则231t a t+=-，利用单调性，即可求解.(1)由题意，函数()222sin cos 4sin 324a a f x a x x a x a ⎛⎫=-+-=+-+- ⎪⎝⎭，因为[0,]x π∈，所以sin [0,1]x ∈，当<02a-时，即0a >时，则sin 0x =时，()f x 取得最小值()3g a a =-；当012a ≤-≤时，即20a -≤≤时，则sin 2ax =-时，所以()f x 取得最小值()234a g a a =-+-；当12a->时，即2a <-时，则sin 1x =时，()f x 取得最小值()4g a =．综上可得，()23,03,20442a a ag a a a a ⎧->⎪⎪⎪=-+--≤≤⎨⎪⎪<-⎪⎩，．(2)∵[0,]x π∈，∴sin [0,1]x ∈，由()0f x =，可得2sin 3(1sin )x x a +=-⋅，当sin 1x =时，此等式不成立．故有sin 1x ≠，2sin 31sin x a x+=-，令sin [0,1)t x =∈，则231t a t +=-，令()[)()230,11+=∈-t F t t t，()()()()2311--+'=-t t F t t ，当[)0,1∈t 时，()0F t '>，()F t 单调递增，所以()3≥F t ，故3a ≥．【点睛】本题主要考查了正弦函数的值域，三角函数的基本关系式的应用，以及二次函数的图象与性质的应用，其中解答中利用三角函数的基本关系式，转化为关于sin x 的二次函数，熟练应用二次函数的图象与性质求解是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.22．(1)12OM ⎛=- ⎝⎭(2)[)1,3(3)3,4⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭【分析】（1）依题意，将ππ()2sin()cos()36h x x x =--+可化为()1sin 2h x x x =-+进而根据题意得答案；（2）去绝对值得函数的单调性及最值，利用交点个数求得k 的范围（3）由())f x x ϕ=+可求得02+,Z 2x k k ππϕ=-∈时，f (x )取得最大值，其中0tan ax b=，换元求得a b 的范围，再利用二倍角的正切可求得0tan 2x 的范围．（1）解：111()2sin sin sin 222h x x x x x x x ⎫⎛⎫=---=-⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴()h x 的“相伴向量”为12OM ⎛=- ⎝⎭.（2）解：由题知：()0sin 2cos 2cos f x x x x =⋅+⋅=.4sin 1,06()2cos 14cos 1,23x x g x x x x x πππππ⎧⎛⎫+- ⎪⎪⎪⎝⎭=+-=⎨⎛⎫⎪+-< ⎪⎪⎝⎭⎩可求得()g x 在03π⎛⎫⎪⎝⎭，单调递增，3，ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，53ππ⎛⎫⎪⎝⎭，单调递增，523ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递减且5(0)1,3()33(2,),,133g g g g g ππππ⎛⎫⎛⎫===-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∵()g x 图像与y k =有且仅有四个不同的交点13k ∴≤<所以，实数k 的取值范围为[)1,3（3）解：()sin cos sin()f x a x b x x ϕ=++其中cos sin tan baϕϕϕ===Rx ∈ ∴当2,Z 2x k k πϕπ+=+∈即022x k πϕπ=-+时，()f x 取得最大值.此时022tan tan 2tan(2)tan 21tan x ϕπϕϕϕ=-=-=--令tan b m a ϕ==，则由22430a ab b -+<知：23410m m -+<，解之得113m <<0222tan 211m x m m m=-=--，因为1y m m=-在1(,1)3m ∈上单调递增，所以0222tan 211m x m m m=-=--在1(,1)3m ∈上单调递减，从而03tan 2,4x ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭。

【数学】辽宁省大连市第二十四中学2017-2018学年高二下学期期中考试(文)

参考答案一、选择题1-12、ABDA BACB DBCA二、填空题13.； 14. ③； 15. ①②③； 16. ；三．解答题（每题仅给出一种解法，若有它法可参考等价步骤赋分） 17.证明：要证原式成立，则需要证明2222222ax by a x b y abxy +≥++ 即2222()()2a a x b b y abxy -+-≥ 即22(1)(1)2a a x b b y abxy -+-≥因为1a b +=，所以()*式可变式为222abx aby abxy +≥，即22()2ab x y abxy +≥ 6分因为,a b 均为正数，所以222x y xy +≥显然成立。

所以原不等式得证 12分18.解：由题意可知：则，∴∴ 4分若则，由得，若，则得∴ 或 12分19．解：（1）设丢失的数据为，则得，即丢失的数据是4.4分（2）由数据求得，由公式求得 ∴ 8分所以关于的线性回归方程为（3）当时，同样，当时， ˆ 1.05y=，1.05 1.20.150.3-=< 所以，该地区的煤改电项目已经达到预期. 12分20. 解：（1）设，则所以，，又可得表示点到点的距离，所以最小值为解方程组并结合图形得 6分（2）又，所以为纯虚数12分21.解：（1）21()()1,f x f x x x ==++2221()(())(1)f x f f x x x ==++2(1)1x x ++++2()f x x ∴-=222(1)20,()(1,2)n x x x f x x n ++++>∴>=…………5分（2）假设24(1)c b ≤-,()()0F x f x x =-=的0∆≥，则存在0x 使得0()f x 0x =，20000()(())()f x f f x f x x ===，，201800()f x x = 与(2018)f x >矛盾。

辽宁省大连市第二十四中学2017-2018学年高二下学期期中考试化学试题+Word版含答案

可能用到的相对原子质量H-1 C-12 O-16 Cl-35.5第Ⅰ卷选择题(共50 分)一、选择题(共10小题，每小题2 分,共20 分。

每题只有一个选项符合题意。

)1．下列说法错误的是（）A．ns 电子的能量不一定高于(n-1)p电子的能量B．电子排布式(C) 1s22s22p2x违反了洪特规则C．电子排布式(Sc)1s22s22p63s23p63d3违反了能量最低原理D．电子排布式(Ti)1s22s22p63s23p10违反了泡利原理2．若电子由3d能级跃迁至4p 能级时，通过光谱仪可直接摄取的是（）A．电子的运动轨迹图像 B．原子的吸收光谱 C．电子体积大小的图像 D．原子的发射光谱3．下列各组表述中，两个微粒不属于同种元素原子的是（）A．3p 能级有一个空轨道的基态原子和核外电子排布式为1s22s22p63s23p2的基态原子B．2p 能级无空轨道，且有一个未成对电子的基态原子和最外层电子排布式为2s22p5的基态原子C．M 层全充满而N 层为4s2的基态原子和核外电子排布式为1s22s22p63s23p64s2的基态原子D．最外层电子数是核外电子总数的1/5 的基态原子和最外层电子排布式为4s24p5的基态原子4．硫化羰(OCS)存在于许多种植物中,杀虫效果显著。

它与CO2互为等电子体,已知C=O的键能为745kJ·mo l-1,有关硫化羰的说法正确的是（）A．分子中有2个σ键和1个π键B．可推测C=S 的键能大于745kJ·mo l-1C．OCS 中碳原子是采用sp 杂化方式成键的D．分解温度CO2、OCS、CS2依次由低到高5．下列说法正确的是（）A．根据等电子体原理，推测N2O 的结构式可表示为N=N=OB．根据等电子体原理，推测O3为非极性分子C．分子(HOOC-CHOH-CHCl-COOH) 是一个仅含1个手性碳原子的手性分子D．酸性由强到弱排列：HClO4>H3PO4>HCl>HClO6．下列叙述不正确的是（）A．金刚石、SiC、NaF、NaCl、H2O、H2S晶体的熔点依次降低B．CaO 晶体结构与NaCl晶体结构相似，CaO 晶体中Ca2+的配位数为6,且这些最邻近的O2-围成正八面体C．设NaCl 的摩尔质量为Mg·mo l-1,NaCl的密度为ρg·cm-3,阿伏加德罗常数为N A mol-1,在NaCl 晶体中，两个距离最近的Cl-中心间的距离为cm D．X、Y 可形成立方晶体结构的化合物，其晶胞中X 占据所有棱的中心，Y 位于顶角位置，则该晶体的化学式为XY37．脑白金又名褪黑素，据报道它具有提高免疫力、促进睡眠等功效，其结构简式为：下列关于脑白金说法不正确的是（）A．能发生加成反应 B．能使酸性高锰酸钾溶液褪色 C．分子式为C13H18N2O2 D．属于芳香族化合物8．下列八种物质：①甲烷、②苯、③聚乙烯、④聚1,3-丁二烯、⑤2-丁炔、⑥环己烷、⑥邻二甲苯、⑦环己烯,既能使酸性高锰酸钾溶液褪色，又能使溴水因反应而褪色的是（）A．③④⑤⑧B．④⑤⑦⑧C．④⑤⑧D．③④⑤⑦⑧9．在实验室中，下列除杂的方法正确的是（）A．溴苯中混有溴，加入KI 溶液，振荡，用汽油萃取出溴B．乙烷中混有乙烯，通入H2在一定条件下反应，使乙烯转化为乙烷C．硝基苯中混有浓硫酸和浓硝酸，将其倒入盛有NaOH 溶液的分液漏斗中，充分振荡，静置，分液D．乙烯中混有CO2和SO2,将其通过盛有NaHCO3溶液的洗气瓶10．有4种有机物：①②③④CH3-CH=CH-CN,其中可用于合成结构简式为的材料的正确组合为（）A．①③④B．①②③C．①②④D．②③④二、选择题(本题共10小题，每题3分，共30分。

2017-2018学年辽宁省实验中学高一下学期期中考试数学试题(解析版)

2017-2018学年辽宁省实验中学高一下学期期中考试数学试题一、单选题1．设平面向量，，若，则等于（）A．4 B．5 C．D．【答案】D【解析】【分析】利用向量共线定理即可得出y，从而计算出的坐标，利用向量模的计算公式即可得出．【详解】∵∥，∴﹣2×2﹣y=0，解得y=﹣4．∴=2（1，2）﹣（﹣2，﹣4）=（4，8），∴|2﹣|==．故选：D．【点睛】熟练掌握向量共线定理、向量模的计算公式是解题的关键．2．设，，给出到的映射，则点的象的最小正周期为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】由题意得f（x）的解析式：，即可由三角函数的周期公式求值．【详解】由题意可得：，∴由三角函数的周期公式可得：T==π，故选：A．【点睛】本题主要考察了三角函数的周期性及其求法，属于基本知识的考查．3．已知平面向量满足，且，则向量与向量的夹角的余弦值为（）A．1 B．-1 C．D．【答案】C【解析】【分析】利用数量积运算性质即可得出．【详解】∵平面向量满足，且，∴5=﹣=2×22﹣2×3×cos，解得cos=，则向量与向量的夹角余弦值为．故选：C．【点睛】本题考查了向量数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4．函数的图象可由函数的图象（）A．向左平移个单位长度得到B．向右平移个单位长度得到C．向左平移个单位长度得到D．向右平移个单位长度得到【答案】C【解析】试题分析：因为函数，所以将函数的图象向左平移个单位长度，即可得到函数的图像.故应选C.【考点】函数的图像变换.5．若方程在上有两个不等实根，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】把方程2sin（2x+）=m化为sin（2x+）=，画出函数f（x）=sin（2x+）在x∈[0，]上的图象，结合图象求出方程有两个不等实根时m的取值范围．【详解】方程2sin（2x+）=m可化为sin（2x+）=，当x∈[0，]时，2x+∈[，]，画出函数y=f（x）=sin（2x+）在x∈[0，]上的图象如图所示；根据方程2sin （2x +）=m 在[0，]上有两个不等实根，得≤＜1 1≤m ＜2∴m 的取值范围是[1，2）．故选：C ．【点睛】本题主要考查方程根的存在性以及个数判断以及正弦函数的图象应用问题，体现了转化、数形结合的数学思想． 6．已知1sin 33πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 26πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（） A ． 79-B ． 79C ． 79±D ． 29- 【答案】A【解析】由题意可得1cos cos cos 32663ππππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=+=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 27sin 2sin 2cos 2cos22cos 16233669ππππππααααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=+=+=+-=-⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，选A. 7．设是的重心，且，则的大小为（）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】【分析】根据三角形重心对应的条件即，代入式子进行化简，根据向量不共线和正弦定理，判断出三角形的形状进而求出角B的值．【详解】∵G是三角形ABC的重心，∴，则，代入得，（sinB﹣sinA）++（sinC﹣sinA）=，∵，不共线，∴sinB﹣sinA=0，sinC﹣sinA=0，则sinB=sinA=sinC，根据正弦定理知：b=a=c，∴三角形是等边三角形，则角B=60°．故选：B．【点睛】本题考查了三角形重心对应的向量条件的应用，即把几何问题转化为向量问题，根据条件和正弦定理判断出三角形的形状，考查了转化思想．8．有下列说法：①若，，则；②若2=，分别表示的面积，则；③两个非零向量，若||=||+||，则与共线且反向；④若，则存在唯一实数使得，其中正确的说法个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】【分析】由=，，可以不共线，可判断①；运用三角形的重心向量表示和性质，以及三角形的面积的求法，即可判断②；由向量的模的性质，即可判断③；由向量共线定理，即可判断④．【详解】①若，，则不成立，比如=，，可以不共线；②若2=，延长OA到A'，使得OA'=2OA，延长OC到C'，使得OC'=3OC，可得O为三角形BA'C'的重心，可设△AOC、△BOC、△COA的面积分别为x，y，z，则△A'OB的面积为2y，△C'OB的面积为3z，△A'OC'的面积为6x，由三角形的重心的性质可得2y=3z=6x，则S△AOC：S△ABC=x：（x+y+z）=1：6，正确；③两个非零向量，，若||=||+||，则与共线且反向，正确；④若，则存在唯一实数λ使得=，不正确，比如≠，=，不存在实数λ．其中正确的说法个数为2，故选：B．【点睛】本题考查向量共线定理的运用，以及三角形的重心的向量表示和三角形的面积的求法，考查零向量的性质，以及推理能力，属于中档题．9．已知是方程的两根，且，则的值为（）A．B．C．或D．【答案】A【解析】【分析】由已知可得tanα+tanβ=，tanαtanβ=4，展开两角和的正切求tan（α+β），然后结合已知角的范围得答案．【详解】∵tanα，t anβ是方程的两根，∴tanα+tanβ=，tanαtanβ=4，∵，∴α，β∈（），则α+β∈（π，2π），由tan（α+β）==．得α+β=．故选：A．【点睛】本题考查由已知三角函数值求角，考查一元二次方程根与系数的关系，是基础题．10．求值：=（）A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】利用同角基本关系式、两角和与差正余弦公式及二倍角公式转化求解即可．【详解】（2cos20°﹣tan70°）cos10°====．故选：C．【点睛】三角函数式的化简要遵循“三看”原则:一看角，这是重要一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；二看函数名称，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有切化弦；三看结构特征，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如遇到分式要通分等.11．已知函数的部分图象如下图所示，的图象的对称轴方程可以是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】依题意得，.又在处取得最大值，则，故，又，所以，而，即，所以结合图象可知解得，故，令，即，故，故选：B．12．将函数的图象向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的图象，若，且，则的最大值为（）A．B．C．D．【分析】由已知可得g（x）=+1，若g（x1）g（x2）=9，且x1，x2∈[﹣2π，2π]，则g（x1）=g（x2）=3，则，结合x1，x2∈[﹣2π，2π]，可得答案．【详解】函数的图象向左平移个单位，可得y=的图象，再向上平移1个单位，得到g（x）=+1的图象．若g（x1）g（x2）=9，且x1，x2∈[﹣2π，2π]，则g（x1）=g（x2）=3，则，即，由x1，x2∈[﹣2π，2π]，得：x1，x2∈{﹣，﹣，，}，当x1=，x2=﹣时，2x1﹣x2取最大值，故选：D．【点睛】本题考查的知识点是函数的最值及其几何意义，函数图象的变换，三角函数的图象和性质，属于中档题．二、填空题13．已知向量的模为1，且，满足|﹣|=4，|+|=2，则在方向上的投影等于_______.【答案】由已知中向量的模为1，且，满足|﹣|=4，|+|=2，我们易求出•的值，进而根据在方向上的投影等于得到答案．【详解】∵||=1，|﹣|=4，|+|=2，∴|+|2﹣|﹣|2=4•=﹣12∴•=﹣3=||||cosθ∴||cosθ=﹣3故答案为：﹣3【点睛】本题考查的知识点是平面向量数量积的含义与物理意义，其中根据已知条件求出•的值，是解答本题的关键．14．在平面直角坐标系中，点在单位圆上，设，且．若cos（）=﹣，则x0的值为________.【答案】【解析】【分析】利用任意角的三角函数的定义求得cosα=x0，同角三角函数的基本关系求得sin（α+）的值，再利用两角差的余弦公式求得x0=cosα=cos[（α+）﹣]的值．【详解】∵点P（x0，y0）在单位圆O上，且∠xOP=α，∴cosα=x0，sinα=y0，又，且cos（）=﹣，则sin（α+）=，∴x0=cosα=cos[（α+）﹣]=cos（α+）cos+sin（α+）sin=﹣×+×=．故答案为：．【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，两角差的余弦公式，属于基础题．15．已知为锐角的边上一点，,，则的最小值为___________.【答案】【解析】【分析】由已知可得+3=+3（）=4+3，故有（4+3）2=16||2+9||2+24||||cos120°=16||2﹣48||+144，从而求得||=2时，（4+3）2最小为108．即可解得|+3|min=．【详解】+3=+3（）=4+3（4+3）2=16||2+9||2+24||||cos120°=16||2﹣48||+144∴||=2时，（4+3）2最小为108．故|+3|min=．故答案为：．【点睛】本题主要考察了平面向量及应用，二次函数的性质，考察了解三角形的应用，属于中档题．16．的内角的对边分别为，若，，点满足且,则_________.【答案】【解析】【分析】运用余弦定理可得B=60°，再由向量的平方即为模的平方和数量积的定义，解方程可得a=3，由余弦定理可得b，再由正弦定理计算即可得到所求值．【详解】a2+c2﹣b2=ac，即为cosB==，由0°＜B＜180°，可得B=60°，点G满足||=且=（+），可得2=（+）2=（2+2+2•）=（c2+a2+2accosB）=×（4+a2+2a•2•）=，解得a=3（﹣5舍去），由a2+c2﹣b2=ac，可得b===，由正弦定理可得，=，可得sinA===．故答案为：．【点睛】本题考查三角形中的正弦定理和余弦定理的运用，考查向量的数量积的定义及性质，主要是向量的平方即为模的平方，考查运算能力，属于中档题．三、解答题17．已知角的终边过点，且.（1）求的值；（2）求的值.【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）任意角的三角函数的定义求得x的值，可得sinα和tanα的值，再利用同角三角函数的基本关系，求得要求式子的值；（2）利用两角和差的三角公式、二倍角公式，化简所给的式子，可得结果．【详解】由条件知，解得，故.故，（1）原==（2）原式.【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，两角和差的三角公式的应用，属于基础题． 18．已知函数()2sin sin 3sin 233f x x πππ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （Ⅰ）求函数()f x 的单调增区间；（Ⅱ）若锐角ABC ∆的三个角,,A B C 满足12B f ⎛⎫=⎪⎝⎭，求()f A 的取值范围. 【答案】（Ⅰ）5,1212x k k ππππ⎡⎤∈-++⎢⎥⎣⎦， k Z ∈；（Ⅱ）⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭. 【解析】试题分析：（Ⅰ）化简函数得()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，令222232k x k πππππ-+≤+≤+，即可得单调增区间；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知1sin 23B f B π⎛⎫⎛⎫==+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，锐角ABC ∆中： 32B ππ+=，得6B π=，由锐角三角形ABC ∆得32A ππ<<，进而可得()f A 的取值范围..试题解析：（Ⅰ）()12sin sin sin 2cos sin cos 233222f x x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++-=+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭21sin cos sin2cos2sin 22223x x x x x x π⎛⎫=-=+=+ ⎪⎝⎭. 令222232k x k πππππ-+≤+≤+⇒ 51212k x k ππππ-+≤≤+ 所以函数()f x 的单调增区间5,1212x k k ππππ⎡⎤∈-++⎢⎥⎣⎦， k Z ∈（Ⅱ）由（Ⅰ）可知1sin 23B f B π⎛⎫⎛⎫==+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，锐角ABC ∆中： 326B B πππ+=⇒=. 于是：由锐角三角形ABC∆知02{02A C AB πππ<<<=--<423233A A πππππ⇒<<⇒<+<，故sin 203A π⎛⎫<+<⇒ ⎪⎝⎭ ()sin 23f A A π⎛⎫⎛⎫=+∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以()f A 的取值范围是3,0⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭. 19．如图，在四边形中，．（1）若△为等边三角形，且，是的中点，求；（2）若，，，求．【答案】(1)11,(2)【解析】【分析】（1）直接利用向量的线性运算和数量积求出结果．（2）利用向量的线性运算和向量的模求出结果．【详解】（1）因为△ABC 为等边三角形，且AD ∥BC ，所以∠DAB=120°．又AD=2AB ，所以AD=2BC ，因为E 是CD 的中点，所以：=，=．又，所以，=．=，=11．（2）因为AB=AC ，AB=2，所以：AC=2．因为：，所以：．所以：．又=4．所以：．所以：=．故：．【点睛】本题考查的知识要点：向量的线性运算，向量的模的应用，属于基础题.20．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知()cos ,1m c C =v，()2,cos cos n a B b A =+v，且m n ⊥v v .（1）若227,23ABC c b S ∆==,a b 的值；（2）若sin cos sin cos A A A A λ=+，求实数λ的取值范围. 【答案】（1）4,2；（2）)22,⎡+∞⎣.【解析】试题分析：（1）由m n ⊥v v及正弦定理得2sin sin cos sin cos 0C A B B A ++=，故可得2sin cos sin C C C =-，于是1cos 2C =-，故23C π=．然后根据余弦定理及227c b =可得2a b =，再由ABC S ∆=可得8ab =，解得4,2a b ==．（2）由题意得sin cos sin cos A A A A λ+=，设sin cos 4t A A A π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，可得22211t t t tλ==--，求得t 的取值范围后根据函数的单调性可得实数λ的取值范围．试题解析：（1）∵m n ⊥v v，∴2cos cos cos 0m n c C a B b A ⋅=++=v v，由正弦定理得2sin sin cos sin cos 0C A B B A ++=， ∴()2sin cos sin sin C C A B C =-+=-. 又()0,C π∈， sin 0C ≠， ∴1cos 2C =-， ∴23C π=．由余弦定理得2222cos c a b ab C =+-，又227c b =， ∴2260a b ab -+=， ∴2a b =或3a b =-（舍去），又1sin 2ABC S ab C ∆== ∴8ab =， ∴4,2a b ==．（2）由（1）得A 为锐角，故sin cos 0A A ≠．又sin cos sin cos A A A A λ=+， ∴sin cos sin cos A AA Aλ+=，设sin cos 4t A A A π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，∵ 0,3A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， ∴1t <≤∴22211t t t tλ==--在(1,2⎤⎦上单调递减， ∴()222221λ≥=-，∴ 实数λ的取值范围为)22,⎡+∞⎣.21．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2A B =. （1）求证： ()2a b b c =+；（2）若ABC ∆的面积为214a ，求B 的大小. 【答案】(1)证明见解析；(2) 4B π=或8B π=.【解析】试题分析： ()1由正、余弦定理计算得()()220c b a b bc ---=，讨论当b c ≠时，当b c =时得()2a b b c =+ (2)由面积公式得1sin sin sin 2C B A ⋅=，又2A B =，代入化简得2C B π=±，从而算出结果解析：（1）由2A B =，可得sin sin22sin cos A B B B ==，又由正、余弦定理得()()22222202a c b a b c b a b bc ac+-=⋅⇒---=当b c ≠时， 220a b bc --=，即22a b bc =+当b c =时， B C =，又2A B =，∴90,45A B C =︒==︒ ∴2a b =，∴()222220a b bc b b b b --=--⋅=，∴22a b bc =+综上，当2A B =时， 22a b bc =+ （2） ∵211sin 24ABC S ac B a ∆==⇒ 11sin sin sin sin 22c B a C B A ⋅=⇒⋅=，又2A B =，∴sin sin sin cos C B B B ⋅=⋅，因为sin 0B ≠，∴sin cos C B = 又(),0,B C π∈，∴2C B π=±当2B C π+=时， 24A B π==；当2C B π-=时， 8B π=；∴4B π=或8B π=.22．已知向量,若函数的最小正周期为，且在上单调递减.(1)求的解析式；(2)若关于的方程在有实数解，求的取值范围.【答案】(1) (2)【解析】【分析】（1）利用两角和与差的三角函数化简函数的解析式，求出函数的周期，得到ω，然后求解函数的解析式．（2）化简方程为：2a（sin2x+cos2x）2﹣2（sin2x﹣cos2x）﹣3a+3=0，令，原方程化为2a（2﹣t2）﹣2t﹣3a+3=0，整理2at2+2t﹣a﹣3=0，等价于2at2+2t﹣a﹣3=0在[﹣1，1]有解．【详解】(1)=，由当，此时在上单调递增，不符合题意当，，此时在上单调递减，符合题意所以(2)方程即方程，设方程等价于在在有解设当，若不符合题意当时，在有解：方程在有一解，方程在在有二解，综上所述：的范围【点睛】本题考查函数与方程的应用，考查分类讨论思想的应用，转化思想以及计算能力．。

辽宁省大连市第二十四中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷

辽宁省大连市第二十四中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷一、单选题1．若集合{}04M x x =≤<，{}32N x x =≥，则M N ⋂为（）A ．203x x ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭B ．{}04x x ≤<C ．223x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭D ．243x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭2．命题p ：2x ∀>，210x ->，则p ⌝是（）A ．2x ∀≤，210x -<B ．2x ∀>，210x -<C ．2x ∃>，210x -≤D ．2x ∃≤，210x -≤3．已知24a <<，21b -<<-，则a b -的取值范围是（）A ．()3,4B ．()4,5C ．()5,6D ．()3,64．已知函数()y f x =的定义域是[1,1]-，则(21)y f x =-的定义域是（）A ．[3,1]-B ．[1,1]-C ．[1,0]-D ．[0,1]5．设(),P t t 为函数[],1,1y x x =∈-图象上的动点，若此函数图象与x 轴，直线=1x -及x t =围成图形（如图阴影部分）的面积为()f t ，则()y f t =的图象可表示为（）A ．B ．C ．D ．6．已知函数()()2271f x x m x m =+-++为偶函数，则m 的值是（）A ．1B ．2C ．3D ．47．不等式t ≤x ，y 恒成立，则t 的最大值为（）A ．2BC ．2D ．18．设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，例如：[]2.13-=-，[]3.13=．已知函数()22(1)112x f x x +=-+，则函数()y f x ⎡⎤=⎣⎦的值域是（）A ．{}0,1B ．{}0,1,2C ．{}1,0,1-D ．{}1,0,1,2-二、多选题9．已知实数a ，b 满足a b >，则下列说法正确的是（）A ．a b>B ．当0c ≠时，则22ac bc >C ．当0c <时，则ac bc<D ．当0ab >时，则11a b<10．已知正实数a ，b 满足3ab a b =++，则（）A ．a b +的最小值为3B ．a b +的最小值为6C ．ab 的最小值为6D ．ab 的最小值为911．关于x 的方程222110x x k ---+=，以下说法正确的是（）A ．存在实数k ，使得方程恰有3个不同的实根B ．存在实数k ，使得方程恰有5个不同的实根C ．存在实数k ，使得方程恰有6个不同的实根D ．不存在实数k ，使得方程恰有7个不同的实根三、填空题12．函数24y x =-的零点为.13．若方程22320x ax a -+=的一个根小于1，另一个根大于1，则实数a 的取值范围是.14．已知函数()2f x x k =-，若存在实数m ，n ，使得函数()f x 在区间的值域为⎡⎣，则实数k 的取值范围是．四、解答题15．设U =R ，已知集合{}23A x x =≤≤，{}125B x m x m =-≤≤+．(1)当3B ∈时，求实数m 的范围；(2)设p ：x A ∈；q ：x B ∈，若p 是q 的充分条件，求实数m 的范围．16．求下列方程（方程组）的解集：(1)422730x x -+=；(2)2221023x y x y --=⎧⎨+=⎩．17．函数()f x 是定义在R 上的奇函数，已知当0x >时，()223f x x x =--；(1)求函数()f x 的解析式；(2)作出函数()f x 的图象，并写出函数()f x 的单调增区间；(3)若方程()0f x m -=有3个相异的实数根，求实数m 的取值集合．18．定义在R 上的函数()f x 满足：对任意的,x y ∈R ，都有()()()f x y f x f y -=-，且当0x >时，()0f x <．(1)判断()f x 的奇偶性；(2)求证：函数()f x 在R 上是减函数；(3)若112f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，且11,22x ⎡⎤∀∈-⎢⎣⎦，[]1,1a ∀∈-，()269f x t at ≥-+-恒成立，求实数t 的取值范围．19．若函数()f x 与()g x 满足：对任意的1x D ∈，总存在唯一的2x D ∈，使()()12f x f x m =成立，则称()f x 是区间D 上的“m 阶自伴函数”；对任意的1x D ∈，总存在唯一的2x D ∈，使()()12f x g x m =成立，则称()f x 是()g x 在区间D 上的“m 阶伴随函数”．(1)判断()21f x x =+是否为区间[]0,3上的“2阶自伴函数”？并说明理由；(2)若函数()21f x x =-为区间3,4b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的“1阶自伴函数”，求b 的值；(3)若()22f x x =+是()2221g x x ax a =-++在区间0,2上的“2阶伴随函数”，求实数a 的取值范围．。

大连数学高一下期中经典题(提高培优)

一、选择题1．(0分)[ID ：12427]已知三棱锥A BCD -中，5AB CD ==，2==AC BD ，3AD BC ==，若该三棱锥的四个顶点在同一个球面上，则此球的体积为（）A ．32π B ．24πC ．6πD ．6π2．(0分)[ID ：12421]设l 为直线，,αβ是两个不同的平面，下列命题中正确的是( ) A ．若//l α，//l β，则//αβ B ．若l α⊥，l β⊥，则//αβ C ．若l α⊥，//l β，则//αβD ．若αβ⊥，//l α，则l β⊥3．(0分)[ID ：12416]水平放置的ABC 的斜二测直观图如图所示，若112A C ＝，111A B C △的面积为22，则AB 的长为（）A ．2B ．217C ．2D ．84．(0分)[ID ：12383]直线(2)4y k x =-+与曲线2320x y y ++-=有两个不同的交点，则实数k 的取值范围是（） A ．53(,]124B ．51(,]122C ．13(,]24D ．1[,)2+∞5．(0分)[ID ：12375]直线20x y ++=截圆222210x y x y a ++-+-=所得弦的长度为4，则实数a 的值是（） A ．－3B ．－4C ．－6D ．36-6．(0分)[ID ：12374]如图是某四面体ABCD 水平放置时的三视图（图中网格纸的小正方形的边长为1，则四面体ABCD 外接球的表面积为A ．20πB ．1256π C ．25π D ．100π7．(0分)[ID ：12355]已知点A （1，2），B （3，1），则线段AB 的垂直平分线的方程是（）A ．4x 2y 5+=B ．4x 2y 5-=C ．x 2y 5+=D ．x 2y 5-=8．(0分)[ID ：12350]四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为正方形，PA ⊥底面ABCD ，2AB =，72PA =，若该四棱锥的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（）A ．812πB ．814πC ．65πD ．652π9．(0分)[ID ：12345]若某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该几何体的体积等于（）A ．310cmB ．320cmC ．330cmD ．340cm10．(0分)[ID ：12389]在长方体1111ABCD A B C D -中，11111,2AA A D a A B a ===，点P 在线段1AD 上运动，当异面直线CP 与1BA 所成的角最大时，则三棱锥11C PA D -的体积为（）A ．34aB ．33aC ．32aD ．3a 3a11．(0分)[ID ：12367]如图所示，在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1DD 的中点，F 是侧面11CDD C 上的动点，且1//B F 面1A BE ，则F 在侧面11CDD C 上的轨迹的长度是( )A ．aB ．2a C 2aD 2a 12．(0分)[ID ：12419]陀螺是汉族民间最早的娱乐工具之一，也称陀罗，北方叫做“打老牛”.陀螺的主体形状一般是由上面部分的圆柱和下面部分的圆锥组成.如图画出的是某陀螺模型的三视图，已知网格纸中小正方形的边长为1，则该陀螺模型的体积为（）A ．1073πB ．32453π+ C ．16323π+ D ．32333π+ 13．(0分)[ID ：12402]如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N 分别是1BC ，1CD 的中点，则下列说法错误．．的是( )A ．MN 与1CC 垂直B ．MN 与AC 垂直 C ．MN 与BD 平行D ．MN 与11A B 平行14．(0分)[ID ：12361]如图，正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为1，线段B 1D 1上有两个动点E 、F ，且EF=12．则下列结论中正确的个数为①AC ⊥BE ； ②EF ∥平面ABCD ；③三棱锥A ﹣BEF 的体积为定值； ④AEF ∆的面积与BEF ∆的面积相等，A ．4B ．3C ．2D ．115．(0分)[ID ：12362]如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中： ①BM 与ED 平行 ②CN 与BE 是异面直线 ③CN 与BM 成60︒角 ④DM 与BN 是异面直线以上四个命题中，正确命题的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题16．(0分)[ID ：12462]若一个圆柱的侧面展开图是边长为2的正方形，则此圆柱的体积为 .17．(0分)[ID ：12458]已知圆22(1)16x y ++=，点(1,0),(1,0)E F -，过(1,0)E -的直线1l 与过(1,0)F 的直线2l 垂直且圆相交于,A C 和,B D ，则四边形ABCD 的面积的取值范围是_________.18．(0分)[ID ：12518]若过点(8,1)P 的直线与双曲线2244x y -=相交于A ，B 两点，且P 是线段AB 的中点，则直线AB 的方程为________．19．(0分)[ID ：12467]已知,m n 为直线，,αβ为空间的两个平面，给出下列命题：①,//m n m n αα⊥⎧⇒⎨⊥⎩；②,////m n m n αβαβ⊂⎧⎪⊂⇒⎨⎪⎩；③,//m m ααββ⊥⎧⇒⎨⊥⎩；④,//m m n n ββ⊥⎧⇒⎨⊥⎩．其中的正确命题为_________________． 20．(0分)[ID ：12440]圆台的两个底面面积之比为4：9，母线与底面的夹角是60°，轴截面的面积为1803_____．21．(0分)[ID ：12499]若圆C ：222430x y x y ++-+=，关于直线260ax by ++=对称，则由点(),a b 向圆所作的切线长的最小值为______．22．(0分)[ID ：12431]已知棱长等于31111ABCD A B C D -，它的外接球的球心为O ﹐点E 是AB 的中点，则过点E 的平面截球O 的截面面积的最小值为________. 23．(0分)[ID ：12453]在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1DD 的中点，则直线BE 和平面11ABB A 所成的角的正弦值为_____________.24．(0分)[ID ：12448]已知直线:0l x my m ++=，且与以A (-1,1)、B (2,2)为端点的线段相交，实数m 的取值范围为___________.25．(0分)[ID ：12435]已知直线1:1l y x =-上有两个点11(,)A x y 和22(,)B x y , 且12,x x 为一元二次方程2610x x -+=的两个根, 则过点,A B 且和直线2:1l x =-相切的圆的方程为______________.三、解答题26．(0分)[ID ：12606]已知过原点的动直线l 与圆1C :22650x y x +-+=相交于不同的两点A ，B ．（1）求圆1C 的圆心坐标；（2）求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；（3）是否存在实数k ，使得直线L:()4y k x =-与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由．27．(0分)[ID ：12559]如图，在直三棱柱111ABCA B C 中，AC BC ⊥，14CC =，M 是棱1CC 上的一点．（1）求证：BC AM ⊥；（2）若N 是AB 的中点，且//CN 平面1AB M ，求CM 的长． 28．(0分)[ID ：12534]如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，且2PA AB BC ===,2 2.AC =（1）证明：三棱锥P ABC -为鳖臑；（2）若D 为棱PB 的中点，求二面角D AC P --的余弦值.注：在《九章算术》中鳖臑是指四面皆为直角三角形的三棱锥.29．(0分)[ID ：12530]在ABC ∆中，已知()1,2A ，()3,4C ，点B 在x 轴上，AB 边上的高线CD 所在直线的方程为220x y --=. （1）求B 点坐标；（2）求ABC ∆面积.30．(0分)[ID ：12609]在平面直角坐标系xOy 中，已知两直线1:330l x y --=和2:10l x y ++=，定点(1,2)A .（1）若1l 与2l 相交于点P ，求直线AP 的方程；（2）若1l 恰好是△ABC 的角平分线BD 所在的直线，2l 是中线CM 所在的直线，求△ABC 的边BC 所在直线的方程.【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷参考答案**科目模拟测试一、选择题 1．C 2．B 3．B 4．B 5．A 6．C 7．B 8．B 9．B 10．B 11．D 12．D13．D14．B15．B二、填空题16．2π【解析】试题分析：设圆柱的底面半径为r高为h底面积为S体积为V则有2πr=2⇒r=1π故底面面积S=πr2=π×(1π)2=1π故圆柱的体积V=Sh=1π×2=2π考点：圆柱的体积17．【解析】【分析】由题可知而过的弦过圆心时最长与垂直时最短据此则可以确定四边形的面积的取值范围【详解】由题知直线过圆心故设圆心到直线的距离为则所以所以四边形的面积;故答案为:【点睛】本题主要考查直线与18．【解析】【分析】设出的坐标代入双曲线方程两式相减根据中点的坐标可知和的值进而求得直线的斜率根据点斜式求得直线的方程【详解】设则直线的方程为即故答案为【点睛】本题主要考查双曲线的方程直线的斜率公式直线19．③④【解析】关于①也会有的结论因此不正确；关于②也会有异面的可能的结论因此不正确；容易验证关于③④都是正确的故应填答案③④20．【解析】【分析】首先通过两个底面面积之比为得到半径比设出上底半径为下底半径为由因为母线与底面的夹角是得到母线长为高为就可以根据轴截面的面积解出代公式求出侧面积即可【详解】圆台的两个底面面积之比为则半21．4【解析】因为圆=关于直线=对称所以圆心在直线=上所以即又圆的半径为当点(ab)与圆心的距离最小时切线长取得最小值又点(ab)与圆心的距离为=所以切线长的最小值为=故答案为4点睛：本题主要考查直线与22．【解析】【分析】当过球内一点的截面与垂直时截面面积最小可求截面半径即可求出过点的平面截球的截面面积的最小值【详解】解：棱长等于的正方体它的外接球的半径为3当过点的平面与垂直时截面面积最小故答案为：【23．【解析】【分析】作出直线和平面所成的角解直角三角形求得线面角的正弦值【详解】设为的中点连接根据正方体的性质可知平面所以是直线和平面所成的角设正方体的边长为在中所以故答案为：【点睛】本小题主要考查线面24．【解析】【分析】由直线系方程求出直线所过定点再由两点求斜率求得定点与线段两端点连线的斜率数形结合求得实数的取值范围【详解】解：由直线可知直线过定点又如图∵∴由图可知直线与线段相交直线的斜率或斜率不存25．或【解析】【分析】由题意可知所以中点坐标为圆心在直线的中垂线上故过圆心满足直线设圆心的坐标为由圆与直线相切故由弦长公式可得圆心到直线的距离为由勾股定理可知解得：当时；当时得解【详解】上有两个点和为一三、解答题 26． 27． 28． 29． 30．2016-2017年度第*次考试试卷参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题 1．C 解析：C 【解析】【分析】作出三棱锥A BCD -的外接长方体AEBF GDHC -，计算出该长方体的体对角线长，即可得出其外接球的半径，然后利用球体体积公式可计算出外接球的体积. 【详解】作出三棱锥A BCD -的外接长方体AEBF GDHC -，如下图所示：设DG x =，DH y =，DE z =，则2223AD x z =+=，2224DB y z =+=，2225DC x y =+=，上述三个等式相加得()222222234512AD BD CD x y z++=++=++=，2226x y z ++=62R =，因此，此球的体积为34663ππ⨯=⎝⎭. 故选：C. 【点睛】本题考查三棱锥外接球体积的计算，将三棱锥补成长方体，利用长方体的体对角线作为外接球的直径是解题的关键，考查空间想象能力与计算能力，属于中等题.2．B解析：B 【解析】A 中，,αβ也可能相交；B 中，垂直与同一条直线的两个平面平行，故正确；C 中，,αβ也可能相交；D 中，l 也可能在平面β内. 【考点定位】点线面的位置关系3．B解析：B 【解析】【分析】依题意由111A B C △的面积为22114B C =，所以8BC =，2AC =，根据勾股定理即可求AB ．【详解】依题意，因为111A B C △的面积为2 所以1111122sin 452AC B C ︒=⨯⋅=111222B C ⨯⨯，解得114B C =，所以8BC =，2AC =，又因为AC BC ⊥，由勾股定理得：22228268217AB AC BC =+=+==．故选B ．【点睛】本题考查直观图还原几何图形，属于简单题. 利用斜二测画法作直观图，主要注意两点：一是与x 轴平行的线段仍然与x '轴平行且相等；二是与y 轴平行的线段仍然与y '轴平行且长度减半.4．B解析：B 【解析】【分析】利用数形结合，作出图象，计算得直线1l 与直线2l 的斜率，即可得到结论. 【详解】曲线可化简为()22(1)40x y x +-=≤，如图所示：直线()1:24l y k x =-+23221k k -=+，解得512k =，直线()2:24l y k x =-+，此直线与曲线有两个交点，此时有12k =. 所以，过点()2,4的直线与该半圆有两个交点，数形结合，解得51122k <≤. 故选：B. 【点睛】本题考查了直线与圆相交的性质，涉及的知识有：恒过定点的直线方程，点到直线的距离公式，以及直线斜率的求法，利用了数形结合的思想，其中抓住两个关键点是解本题的关键．5．A【解析】【分析】求出圆心坐标和半径，根据圆的弦长公式，进行求解即可.【详解】由题意，根据圆的方程222210x y x y a ++-+-=，即22(1)(1)2x y a ++-=-，则圆心坐标为(1,1)-，半径1r a =-，又由圆心到直线的距离为11222d -++==，所以由圆的弦长公式可得222(1)(2)4a --=，解得3a =-，故选A.【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系的因公，以及弦长公式的应用，其中根据圆的方程，求得圆心坐标和半径，合理利用圆的弦长公式列出方程求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.6．C解析：C【解析】【分析】【详解】由三视图可知，这是三棱锥的三视图，如下图所示，三角形BCD 为等腰直角三角形，其外心为BD 中点1O ，设O 为AD 中点，则O 为外接球球心，半径长度为1522AD =，所以表面积为25π. 7．B解析：B【解析】【详解】因为线段AB 的垂直平分线上的点(),x y 到点A ，B 的距离相等，所以22(1)(2)x y -+-22(3)(1)x y =-+-．即：221244x x y y +-++-229612x x y y =+-++-，化简得：425x y -=．故选B ．8．B解析：B【解析】【分析】根据题意可知，该四棱锥的外接球即为其所在长方体的外接球，根据公式即可求得.【详解】根据题意，为方便说明，在长方体中找出该四棱锥如图所示：由图可知在长方体中的四棱锥P ABCD -完全满足题意，故该四棱锥的外接球即是长方体的外接球，故外接球半径222722294R ⎛⎫++ ⎪⎝⎭==，故该球的表面积为28144S R ππ==. 故选：B .【点睛】本题考查四棱锥外接球的问题，关键的步骤是将问题转化为求长方体的外接球. 9．B解析：B【解析】【详解】试题分析：. 由三视图知几何体为三棱柱削去一个三棱锥如图：棱柱的高为5；底面为直角三角形，直角三角形的直角边长分别为3、4，∴几何体的体积V ＝×3×4×5﹣××3×4×5＝20（cm 3）．考点：1.三视图读图的能力；2.几何体的体积公式.10．B解析：B【解析】【分析】当P 与A 重合时，异面直线CP 与BA 1所成的角最大，由此能求出当异面直线CP 与BA 1所成的角最大时，三棱锥C ﹣PA 1D 1的体积．【详解】如图，当P 与A 重合时，异面直线CP 与BA 1所成的角最大，∴当异面直线CP 与BA 1所成的角最大时，三棱锥C ﹣PA 1D 1的体积：11C PA D V -=11C AA D V -=1113AA D S AB ⨯⨯=1111132AA A D AB ⎛⎫⨯⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭=11232a a a ⎛⎫⨯⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭=33a ．故选:B ．【点睛】求锥体的体积要充分利用多面体的截面和旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题求解，注意求体积的一些特殊方法——分割法、补形法、等体积法. ①割补法：求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决．②等积法：等积法包括等面积法和等体积法．等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高时，这一方法回避了通过具体作图得到三角形(或三棱锥)的高，而通过直接计算得到高的数值．11．D解析：D【解析】【分析】设H ，I 分别为1CC 、11C D 边上的中点，由面面平行的性质可得F 落在线段HI 上，再求HI 的长度即可.【详解】解：设G ，H ，I 分别为CD 、1CC 、11C D 边上的中点，则ABEG 四点共面，且平面1//A BGE 平面1B HI ，又1//B F 面1A BE ，F ∴落在线段HI 上，正方体1111ABCD A B C D -中的棱长为a ，11222HI CD a ∴==，即F 在侧面11CDD C 上的轨迹的长度是22a ．故选D ．【点睛】本题考查了面面平行的性质及动点的轨迹问题，属中档题.12．D解析：D【解析】【分析】由三视图可知，该陀螺模型是由一个正四棱锥、一个圆柱、一个圆锥组合而成.根据柱体、锥体的体积计算公式即得该陀螺模型的体积.【详解】由三视图可知，该陀螺模型是由一个正四棱锥、一个圆柱、一个圆锥组合而成. 所以该陀螺模型的体积222113242333233333V πππ=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯=+. 故选：D .【点睛】本题考查三视图，考查学生的空间想象能力，属于基础题. 13．D 解析：D【解析】【分析】先利用三角形中位线定理证明//MN BD ，再利用线面垂直的判定定理定义证明MN 与1CC 垂直，由异面直线所成的角的定义证明MN 与AC 垂直，即可得出结论.【详解】如图：连接1C D ，BD ，在三角形1C DB 中，//MN BD ，故C 正确．1CC ⊥平面ABCD ，1CC BD ∴⊥，MN ∴与1CC 垂直，故A 正确；AC BD ，//MN BD ，MN ∴与AC 垂直，B 正确；∵//MN BD ，MN ∴与11A B 不可能平行，D 错误故选：D ．【点睛】本题主要考查了正方体中的线面关系，线线平行与垂直的证明，异面直线所成的角及其位置关系，熟记正方体的性质是解决本题的关键.14．B解析：B【解析】试题分析：①中AC ⊥BE ，由题意及图形知，AC ⊥面DD1B1B ，故可得出AC ⊥BE ，此命题正确；②EF ∥平面ABCD ，由正方体ABCD-A1B1C1D1的两个底面平行，EF 在其一面上，故EF 与平面ABCD 无公共点，故有EF ∥平面ABCD ，此命题正确；③三棱锥A-BEF 的体积为定值，由几何体的性质及图形知，三角形BEF 的面积是定值，A 点到面DD1B1B 距离是定值，故可得三棱锥A-BEF 的体积为定值，此命题正确；④由图形可以看出，B 到线段EF 的距离与A 到EF 的距离不相等，故△AEF 的面积与△BEF 的面积相等不正确考点：1．正方体的结构特点；2．空间线面垂直平行的判定与性质15．B解析：B【解析】【分析】把平面展开图还原原几何体，再由棱柱的结构特征及异面直线定义、异面直线所成角逐一核对四个命题得答案．【详解】把平面展开图还原原几何体如图：由正方体的性质可知，BM 与ED 异面且垂直，故①错误；CN 与BE 平行，故②错误；连接BE ，则BE CN ，EBM ∠为CN 与BM 所成角，连接EM ，可知BEM ∆为正三角形，则60EBM ∠=︒，故③正确；由异面直线的定义可知，DM 与BN 是异面直线，故④正确．∴正确命题的个数是2个．故选：B ．【点睛】本题考查棱柱的结构特征，考查异面直线定义及异面直线所成角，是中档题．二、填空题16．2π【解析】试题分析：设圆柱的底面半径为r 高为h 底面积为S 体积为V 则有2πr=2⇒r=1π故底面面积S=πr2=π×(1π)2=1π故圆柱的体积V=Sh=1π×2=2π考点：圆柱的体积解析：2π【解析】试题分析：设圆柱的底面半径为r ，高为h ，底面积为S ，体积为V ，则有2πr =2⇒r =1π，故底面面积S =πr 2=π×(1π)2=1π，故圆柱的体积V =Sh =1π×2=2π. 考点：圆柱的体积17．【解析】【分析】由题可知而过的弦过圆心时最长与垂直时最短据此则可以确定四边形的面积的取值范围【详解】由题知直线过圆心故设圆心到直线的距离为则所以所以四边形的面积;故答案为:【点睛】本题主要考查直线与解析：⎡⎤⎣⎦【解析】【分析】由题可知8AC =,而过(1,0)F 的弦BD 过圆心时最长,与EF 垂直时最短,据此则可以确定四边形ABCD 的面积的取值范围.【详解】由题知,直线1l 过圆心(1,0)E -,故8AC =,设圆心(1,0)E -到直线2l 的距离为d ,则02d EF ≤≤=,所以BD ⎡⎤=⎣⎦, 所以四边形ABCD的面积12S AB CD ⎡⎤=⋅⋅∈⎣⎦; 故答案为:⎡⎤⎣⎦.【点睛】本题主要考查直线与圆相交时的弦长､面积问题,解题关键是明确:过圆内一点的作弦,弦过圆心时最长,与最长的弦垂直时弦最短.18．【解析】【分析】设出的坐标代入双曲线方程两式相减根据中点的坐标可知和的值进而求得直线的斜率根据点斜式求得直线的方程【详解】设则直线的方程为即故答案为【点睛】本题主要考查双曲线的方程直线的斜率公式直线解析：2150x y --=【解析】【分析】设出,A B 的坐标，代入双曲线方程，两式相减,根据中点的坐标可知12x x +和12y y +的值,进而求得直线AB 的斜率，根据点斜式求得直线的方程.【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，则1216x x +=，122y y +=，2222112244,44x y x y -=-=，()()()()121212120x x x x y y y y ∴+--+-=()()12121680x x y y ∴---=，12121628y y x x -==- 2AB k ∴=，∴直线的方程为()128y x -=-，即2150x y --=，故答案为2150x y --=.【点睛】本题主要考查双曲线的方程、直线的斜率公式、直线点斜式方程的应用，意在考查灵活运用所学知识解答问题的能力，属于中档题. 涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化.19．③④【解析】关于①也会有的结论因此不正确；关于②也会有异面的可能的结论因此不正确；容易验证关于③④都是正确的故应填答案③④解析：③④【解析】关于①,也会有n ⊂α的结论,因此不正确；关于②,也会有,m n 异面的可能的结论,因此不正确；容易验证关于③④都是正确的,故应填答案③④.20．【解析】【分析】首先通过两个底面面积之比为得到半径比设出上底半径为下底半径为由因为母线与底面的夹角是得到母线长为高为就可以根据轴截面的面积解出代公式求出侧面积即可【详解】圆台的两个底面面积之比为则半解析：360π【解析】【分析】首先通过两个底面面积之比为4:9，得到半径比，设出上底半径为2k ，下底半径为3k ，由因为母线与底面的夹角是60，得到母线长为2k ，高为3k .就可以根据轴截面的面积解出6k =，代公式求出侧面积即可.【详解】圆台的两个底面面积之比为4:9，则半径比为2:3所以设圆台的上底半径为2k ，下底半径为3k ，由于母线与底面的夹角是60，所以母线长为2k 3k . 由于轴截面的面积为1803，所以()46332k k k +=6k =.所以圆台的上底半径为12，下底半径为18.母线长为12.所以圆台的侧面积为()121812360ππ+⨯=.故答案为：360π【点睛】本题主要考查圆台的性质以及圆台的侧面积，同时考查了线面成角问题，属于中档题. 21．4【解析】因为圆=关于直线=对称所以圆心在直线=上所以即又圆的半径为当点(ab)与圆心的距离最小时切线长取得最小值又点(ab)与圆心的距离为=所以切线长的最小值为=故答案为4点睛：本题主要考查直线与解析：4【解析】因为圆22:243C x y x y ++-+=0关于直线26ax by ++=0对称,所以圆心()1,2C -在直线26ax by ++=0上,所以2260a b -++=,即3a b -=,,当点(a,b )与圆心的距离最小时,切线长取得最小值,又点(a,b )与圆心的距离为≥所以切线长的最小值为=4.故答案为4 点睛：本题主要考查直线与圆的位置关系,考查了转化思想.利用勾股关系，切线长取得最小值时即为当点(a,b )与圆心的距离最小时.22．【解析】【分析】当过球内一点的截面与垂直时截面面积最小可求截面半径即可求出过点的平面截球的截面面积的最小值【详解】解：棱长等于的正方体它的外接球的半径为3当过点的平面与垂直时截面面积最小故答案为：【解析：3π.【解析】【分析】当过球内一点E 的截面与OE 垂直时，截面面积最小可求截面半径，即可求出过点E 的平面截球O 的截面面积的最小值．【详解】解：棱长等于1111ABCD A B C D -，它的外接球的半径为3，||OE =当过点E 的平面与OE 垂直时，截面面积最小，r 33S ππ=⨯=，故答案为：3π．【点睛】本题考查过点E 的平面截球O 的截面面积的最小值及接体问题，找准量化关系是关键，属于中档题．23．【解析】【分析】作出直线和平面所成的角解直角三角形求得线面角的正弦值【详解】设为的中点连接根据正方体的性质可知平面所以是直线和平面所成的角设正方体的边长为在中所以故答案为：【点睛】本小题主要考查线面解析：23 【解析】【分析】作出直线BE 和平面11ABB A 所成的角，解直角三角形求得线面角的正弦值.【详解】设F 为1AA 的中点，连接,,EF EB BF ，根据正方体的性质可知EF ⊥平面11ABB A ，所以EBF ∠是直线BE 和平面11ABB A 所成的角.设正方体的边长为2，在Rt EBF ∆中2EF =，2222213BE =++=，所以2sin 3EF EBF BE ∠==. 故答案为：23【点睛】本小题主要考查线面角的求法，考查空间想象能力，属于基础题.24．【解析】【分析】由直线系方程求出直线所过定点再由两点求斜率求得定点与线段两端点连线的斜率数形结合求得实数的取值范围【详解】解：由直线可知直线过定点又如图∵∴由图可知直线与线段相交直线的斜率或斜率不存解析：21,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】由直线系方程求出直线所过定点，再由两点求斜率求得定点与线段两端点连线的斜率，数形结合求得实数m 的取值范围．【详解】解：由直线:0l x my m ++=可知直线过定点()0,1P -，又()1,1A -，()2,2B ，如图∵()11201PA K --==---，123022PB K --==-， ∴由图可知，直线与线段相交，直线l 的斜率(]3,2,2k ⎡⎫∈-∞-+∞⎪⎢⎣⎭，或斜率不存在， ∴(]13,2,2m ⎡⎫-∈-∞-+∞⎪⎢⎣⎭，或0m =，即203m -≤<或102m <≤，或0m =， ∴21,32m ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦ 故答案为：21,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．【点睛】本题主要考查直线系方程的应用，考查了直线的斜率计算公式，考查了数形结合的解题思想方法，属于中档题．25．或【解析】【分析】由题意可知所以中点坐标为圆心在直线的中垂线上故过圆心满足直线设圆心的坐标为由圆与直线相切故由弦长公式可得圆心到直线的距离为由勾股定理可知解得：当时；当时得解【详解】上有两个点和为一解析：223(2)16x y -+-=（）或2211(6)144x y -++=（）【解析】【分析】由题意可知，126x x +=，124y y +=，所以AB 中点坐标为32（，），圆心在直线AB 的中垂线上，故过圆心满足直线5y x =-+，设圆心的坐标为a 5a -（，），由圆与直线2:1l x =-相切故r a 1=+，由弦长公式可得21218AB k x =+-=，圆心到直线AB 262a -222221r (a 1)2(3)162d AB a =+↔+=-+解得：当3a =时，r 4=；当11a =时，r 11=得解。

辽宁省大连市第二十四中学2022-2023学年高一下学期期中考试化学试题

辽宁省大连市第二十四中学2022-2023学年高一下学期期中考试化学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题 B(g)3C(g)+11L s --⋅⋅11L s --⋅ NaNO 3溶液反应的实验装置如图所示，下列说法错误的是C．向装置①中注入O2，产生红棕色气体，说明装置①中产生了NOD．装置①可以防止空气进入装置①干扰实验6．下列离子方程式正确的是-+Cl-+2H+A．向NaClO溶液中通入少量SO2：ClO-+SO2+H2O=SO24-+8H++6I-=2NO↑+4H2O+3I2B．向硝酸亚铁溶液中滴加少量氢碘酸：2NO3C．FeO溶于稀HNO3：FeO+2H+=Fe2++H2O-+6H+=2S↓+3H2OD．Na2S与Na2SO3的混合溶液中加入盐酸：S2-+SO237．在一绝热(不与外界发生热交换)的恒容容器中，发生反应：2A(g)+B(s)C(g)+D(g)，下列描述中能表明反应已达到平衡状态的有几个①容器内温度不变①混合气体的密度不变①混合气体的压强不变①混合气体的平均相对分子质量不变①C(g)的物质的量浓度不变①容器内A、C、D三种气体的浓度之比为2：1：1①某时刻v(A)=2v(C)且不等于零①单位时间内生成nmolD，同时生成2nmolAA．4B．5C．6D．88．利用下列图示装置进行实验，能达到相应目的的是A．用甲比较氯、碳、硅的非金属性强弱B．用乙制备BaSO3C．根据丙装置在反应开始后，针筒活塞向右移动确定该反应为放热反应D．用丁研究催化剂对化学反应速率的影响9．由质量均为50g的铁片﹑铜片和足量的CuSO4溶液组成原电池装置，经过一段时间后，两电极的质量差变为24g，则下列说法正确的是A．铁片溶解了24g B．导线中通过了0.4mol电子C ．铜片上析出了12gCuD ．铜片溶解了12.8g 10．向1L 的恒容密闭容器中加入1molX 和2molY ，发生反应：()()()X g 2Y g 2Z g +，X 的转化率α随温度t 的变化如图所示(图中不同温度下的转化率是第5min 数据)。

大连24中高一数学下学期期末考试卷

辽宁省大连24中高一数学下学期期末考试卷1．x x 2sin ,53)4sin(则=-π的值为（）A ．2519B ．2516C ．2514D ．2572．将函数)3,4(sin π-==a x y 按向量平移后的函数解析式为（）A ．3)4sin(+-=πx y B ．3)4sin(--=πx y C ．3)4sin(++=πx y D ．3)4sin(-+=πx y3．函数x x x f 52sin 52cos 3)(+=图像的相邻两条对称轴之间的距离是（）A ．45πB ．π5C ．52πD ．25π4．已知正数x ，y 满足yx y x 11,12+=+则的最小值为（）A ．24B ．221+C ．223+D ．45．要得到)42cos(π-=x y 的图像，只需将x y 2sin =的图像（）A ．向左平移8π单位 B ．向右平移8π单位C ．向左平移4π单位D ．向右平移4π单位6．命题p ：向量b a 与向量的夹角为钝角.命题q ：.0<⋅b a 则p 是q 的（） A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件 D ．既不充分与不必要条件7．已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c.若三边a 、b 、c 成等比数列，则cot B 的取值范围是（）A ．(]3,0 B ．[)+∞,3 C ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛33,0 D ．⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,338．已知x 1，x 2是方程x x 3342-=+的两个实根，且21arctan ,arctan x x ==βα，则βα+= （）A ．32π-B ．344ππ或C ．3πD ．332ππ或-9．在直角△ABC 中，∠C 为直角，斜边为c ，两条直角边分别为a 、b ，则ba c+的取值范围为（）A ．⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡22,21 B ．⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,22 C ．⎥⎦⎤ ⎝⎛22,33 D ．⎥⎦⎤⎝⎛33,42 10．设O 在△ABC 的内部，且OC OB OC OA 22--=+，则△ABC 的面积与△AOC 的面积之比为（） A ．23B ．2C ．3D ．35 11．已知向量2|,|4||,,,),sin ,(cos ),,(λθθθ<⋅=∈==b a b a n m b n m a 则当若其中R 恒成立时实数λ的取值范围是（）A ．22-<>λλ或B ．22-<>λλ或C ．22<<-λD ．22<<-λ12．正实数x 1,x 2及函数)(,1)()(,)(1)(14)(2121x x f x f x f x f x f x f x+=+-+=则且满足的最小值为（） A ．45 B ．54C ．1D ．213．已知角α为第三象限的角，则∈-)2tan(α.14．等腰三角形的腰长为2,底边中点到腰的距离为23,则三角形外接圆的直径为 . 15．已知点||3||,),6,2(),3,2(PB AP AB P B A =-上在直线且点,则点P 的坐标为 . 16．不等式∈-+<--x x x xx则成立,|)12(log |)21(|)12(log )21(|2121 .17．（12分）已知x x x x f ωωωωcos sin 3cos )(,202+=<<设（1）若)(x f 的周期为π2，求)(x f 的单调递增区间；（2）若函数)(x f 图像的一条对称轴为ωπ求,6=x 的值.18．（ 12分）已知△ABC 的面积S 满足.,6,33θ的夹角为与且BC AB BC AB S =⋅≤≤ （1）求θ的取值范围；（2）求函数θθθθθ22cos 3cos sin 2sin )(++=f 的值域. 19．（ 12分）已知向量)2cos ,2(,sin 1,sin 1x b x x a =⎪⎭⎫⎝⎛-= （1）若b a x 与试判断,2,0⎥⎦⎤⎝⎛∈π能否平行？为什么？（2）若b a x f x ⋅=⎥⎦⎤⎝⎛∈)(,3,0求函数π的最小值.20．（ 12分）如图：在一座山上要打一个涵洞，在山周围取四个点A 、B 、C 、D ，使AB ⊥BC ，又测得∠DAB = 120°，DA = 3km ，DC = 7km ， BC = 33km 求：涵洞DB 的长. 21．（本小题满分12分）已知)sin 1(sin 4)(,2022αααπα-=<<f 函数的最大值为m ，设0>a ，解关于x 的不等式m x ax<-1log 222．（ 14分）设b a ,是两个互相垂直的单位向量，已知向量)0(,,>+=+=k b k a n b a k m 且向量)(k f n m 的斜弦值为夹角与θ，（1）求)(k f 的表达式.（文理共做）（2）求)(k f 的值域及夹角k 时的60=θ值.（文理共做）（3）（本小题理科做，文科不做）在（1）的条件下解关于k 的不等式：).(,16)4(3)]([2422R a k k ka ak k f f ∈++++-<[参考答案]一、DCDCA BDABC BB 二、13．),1(+∞ 14．3344或15．)215,4(),421,1( 16．⎥⎦⎤⎝⎛1,21 三、17．解：（1）21)62sin()(++=πωx x f …………3分由21)6sin()(21,2++===πωπx x f T 故得…………5分所以)(x f 的单调递增区间为.],32,322[Z k k k ∈+-ππππ …………7分（2）6π=x 是函数图像的一条对称轴，Z k k k ∈+=+=+⨯∴,132662ωππππω即…………10分又1,0,20==<<ωω时所以当k…………12分18．解：（1）因为6cos ||||=⋅⋅=⋅θBC AB BC AB )sin(||||21θπ-⋅⋅=BC AB S …………3分所以3tan 3333,tan 3≤≤≤≤=θθ得由S S即]4,6[,1tan 33ππθθθ∈≤≤所以的夹角与为又BC AB …………6分（2）θθθθθ22cos 3cos sin 2sin )(++=f )42sin(222cos 2sin 2πθθθ++=++=…………9分由⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∈+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈+426,22)42sin(,43,12742πθπππθ得, …………11分所以函数.253,3)(⎥⎦⎤⎢⎣⎡+的值域为θf …………12分19．解：（1）若02sin 12cos sin 1,=⨯--⨯xx x b a 则有平行与 …………3分1|2cos |22cos ,0sin ,2,0≤-=≠∴⎥⎦⎤⎝⎛∈x x x x 与π 矛盾，所以不平行…………5分（2）xx x x x x x b a x f sin 1sin 2sin sin 21sin 2cos sin 2)(2+=+=-+=⋅=…………8分因为⎥⎦⎤ ⎝⎛∈⎥⎦⎤ ⎝⎛∈23,0sin ,3,0x x 所以π 于是22sin 1sin 22sin 1sin 2=⨯≥+xx x x , …………10分当且仅当422sin sin sin 2π==⇒1=x x x x 即时取等号故函数.22)(的最小值为x f …………12分 20．解：设α=∠=ABD xkm DB ,…………2分由正弦定理得xx 233sin 120sin sin 3=⇒=αα …………5分由余弦定理得x x x x 36223324927sin 2cos 22-=⨯⨯-+==⎪⎭⎫⎝⎛-ααπ…………8分由km x xx x 7,36222332=-=得…………11分21．解：已知)sin 1(sin 4)(,1sin 0,2022ααααπα-=<<<<f 则得αααα2222sin 1sin ,12sin 1sin 4-==⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+≤当且仅当即1,4,21sin2===m 时即παα…………3分10001,210,11log 2><⎪⎩⎪⎨⎧>>-<-<∴<-∴x x a x axx ax x ax 或得由，…………5分由0)1](2)2[(122021<-+-⇒-+-⇒⎪⎩⎪⎨⎧><-x x a x x ax a x ax…………7分讨论：（1）当10,1,2><<=x x x a 或且得时（2）当10,122,2><<<-->x x x a a 或且得时（3）当10,122,20><<-><<x x x ax a 或且或得时…………11分综上所述；当}0|{,2<=x x a 解集为时当}022|{,2<<-->x a x a 解集为时当}022|{,20<-><<x ax x a 或解集为时…………12分22．解：（1）1||||,0===⋅∴⊥b a b a b a ，k b k b a k b a a k b k a b a k n m 2))((222=+⋅+⋅+=++=⋅ 2分（文3分） 222221||1||,1)(||k n k m k b a k m +=+=+=+=同理即…………4分（文6分）)0(,12||||cos )(2>+=⋅⋅==∴k k kn m n m k f θ 6分（文8分）（2）因为1,212=≥+k k k 当且仅当等号成立所以(]⎪⎭⎫⎢⎣⎡∈∈2,0,1,0)(πθ夹角k f…………（文11分）当32,2112cos 602±==+==k k k 解得时θθ…………8分（文14分）（3）由（1）可得Ra k ak a k k a ak k k k a ak k k R a k k k a ak k k k k kk k kk f f ∈><-+⇔<-+⇔++-<+⇔∈++++-<+++=+++⨯=,0,0)4)((4100)34()4(344)(,16)4(31644)12(1122)]([22223242224322分,0,00,40,0><=><<-<>k k a k ak a k a 且解为时当且或解为时当当0,04,0>-<<<<k a k ak a 且或解为时 …………13分综上所述：当}40|{,0ak k a <<>解集为时；当Φ=解集为时,0a ；当}0|{,0a k k a -<<<解集为时…………14分。

辽宁省大连市第二十四中学2017-2018学年高一下学期期中考试数学试题及答案解析

辽宁省大连市第二十四中学2017-2018学年高一下学期期中考试数学试题【参考答案】一、选择题1-5：BBDAD 6-10：BACDA 11-12：BC二、填空题13.1614.7π415.83-16.5)2- 三、解答题 17.解：（1）由222sin 2cos 5sin cos 1αααα⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，得222(2cos )cos 15αα-+=，整理得2125cos 40cos 210αα--=，∴3cos 5α=或7cos 25α=-， ∵ππ(,)22α∈-，∴cos 0α>，∴3cos 5α=， ∴24sin 2cos 55αα=-=-，4tan 3α=-. （2）πππ341cos()cos cos sin sin ()666552ααα+=-=-⋅=. 18.解：（1sin80cos 40(cos80sin80cos80︒︒+︒=︒︒=2cos40sin140sin80︒︒=︒ 2cos40sin(18040)sin80︒︒-︒=︒ 2cos40sin 40sin801sin80sin80︒︒︒===︒︒. （2）sin 204sin 20cot 704sin 20tan 204sin 20cos20︒︒+︒=︒+︒=︒+︒ 4sin 20cos20sin 20cos20︒︒+︒=︒2sin40sin202sin(6020)sin20cos20cos20︒+︒︒-︒+︒==︒︒ == 19.解：（1）当0a =时，1()sin cos sin 22f x x x x =⋅=，由1()4f x =，得1sin22x =，∴π22π6x k =+或5π22π6x k =+（Z k ∈）， ∴ππ12x k =+或5ππ12x k =+（Z k ∈）. （2）∵2()(sin cos )sin cos f x a a x x x x =+++，令sin cos [t x x =+∈，则212sin cos t x x =+， ∴函数可化为221122y t at a =++-.①当a -≤，即a ≥t =21()2g a a =+；②当a <-<a <时，t a =-时函数取最小值，211()22g a a =-；③当a -a ≤t =时函数取最小值，21()2g a a =+，综上所述，2221 211(), 221 2a a g a a a a a ⎧+≤⎪⎪⎪=-<⎨⎪⎪+≥⎪⎩，，. 20.解：∵π()1cos(2)12f x x x =-++π2sin 22sin(2)23x x x =+=-+，（1）当π2π3x k -=，即ππ62k x =+时， ∴函数()f x 的对称中心为ππ(,2)62k +（Z k ∈）. （2）∵ππ(,)42x ∈，∴ππ2π2(,)363x -∈， ∴π1sin(2)(,1]32x -∈，∴()(3,4]f x ∈，又()3f x m -<等价于3()3f x m -<-<，即3()3m f x m -<<+，若不等式()3f x m -<在区间ππ(,)42上恒成立，得3334m m -≤⎧⎨+>⎩， ∴实数m 的取值范围是16m <≤.21.解：∵0,0,||πA ωϕ>><，∴由图可知，2A =且5π062πωϕωπϕ⎧⋅+=⎪⎨⎪⋅+=⎩，解得5π676ϕω⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴75π()2sin()66f x x =+；（2）∵π5π[,]214x ∈-，∴π75π5π4664x ≤+≤，∴75πsin()166x ≤+≤，∴()f x的值域为[. 22.解：（1）∵2cos AB θ=，2sin AC θ=，π2BAC ∠=， ∴112cos 2sin sin 22S θθθ=⋅⋅=（π(0,)2θ∈），设PQ x =，则tan x BQ θ=，QR x =，tan RC x θ=⋅，∴tan 2tan x x x θθ++⋅=，解得222sin cos 2sin 21sin cos sin cos 1sin 221tan 1tan cos sin x θθθθθθθθθθθθ====++++++， ∴222sin 2()sin 22S θθ=+（π(0,)2θ∈）；（2）22214sin 24sin 244(sin 22)sin 24sin 24sin 2+4sin 2S S θθθθθθθ===++++， ∵π(0,)2θ∈，∴2(0,π)θ∈，∴sin 2(0,1]θ∈， ∵函数4y x x =+在区间(0,1]上单调递减，∴4sin 25sin 2θθ+≥， ∴2144549S S ≤=+（当且仅当sin 21θ=时取等号）， ∴21S S 的最大值为49，此时π4θ=.。

辽宁大连市数学高一下期中经典测试卷(含答案)

一、选择题1．(0分)[ID ：12425]设曲线31x y x +=-在点25（，）处的切线与直线10ax y +-=平行，则a=（）A ．-4B ．14-C ．14D ．42．(0分)[ID ：12420]若四棱锥的三视图如图，则此四棱锥的四个侧面的面积中最大值为（）A ．3B ．13C ．32D ．333．(0分)[ID ：12413]已知,,,A B C D 是同一球面上的四个点，其中ABC ∆是正三角形，AD ⊥平面ABC ，26AD AB ==，则该球的体积为（）A ．48πB ．24πC ．16πD ．323π4．(0分)[ID ：12408]已知两点()A 3,4-，()B 3,2，过点()P 1,0的直线l 与线段AB 有公共点，则直线l 的斜率k 的取值范围是( )A ．()1,1-B ．()(),11,∞∞--⋃+C ．[]1,1-D ．][(),11,∞∞--⋃+ 5．(0分)[ID ：12401]已知(2,0)A -，(0,2)B ，实数k 是常数，M ，N 是圆220x y kx ++=上两个不同点，P 是圆220x y kx ++=上的动点，如果M ，N 关于直线10x y --=对称，则PAB ∆面积的最大值是（）A ．32-B ．4C ．6D ．32+6．(0分)[ID ：12381]对于平面、β、γ和直线a 、b 、m 、n ,下列命题中真命题是( ) A ．若,,,,a m a n m n αα⊥⊥⊂⊂,则a α⊥B ．若//,a b b α⊂,则//a αC ．若//,,,a b αβαγβγ==则//a bD ．若,,//,//a b a b ββαα⊂⊂,则//βα 7．(0分)[ID ：12375]直线20x y ++=截圆222210x y x y a ++-+-=所得弦的长度为4，则实数a 的值是（）A ．－3B ．－4C ．－6D ．36- 8．(0分)[ID ：12358]如图，已知正方体1111ABCD A B C D -中，异面直线1AD 与1A C 所成的角的大小是( )A ．30B ．60C ．90D ．1209．(0分)[ID ：12348]已知圆O ：2224110x y x y ++--=，过点()1,0M 作两条相互垂直的弦AC 和BD ，那么四边形ABCD 的面积最大值为（）A ．42B ．24C ．212D ．610．(0分)[ID ：12395]正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是AD ，DD 1的中点，AB ＝4，则过B ，E ，F 的平面截该正方体所得的截面周长为（）A ．62+45B ．62+25C ．32+45D ．32+25 11．(0分)[ID ：12387]α，β为两个不同的平面，m ，n 为两条不同的直线，下列命题中正确的是（）①若α//β，m ⊂α，则m//β； ②若m//α，n ⊂α，则m//n ；③若α⊥β，α∩β=n ，m ⊥n ，则m ⊥β ④若n ⊥α，n ⊥β，m ⊥α，则m ⊥β. A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④ 12．(0分)[ID ：12369]某锥体的三视图如图所示（单位：cm ），则该锥体的体积（单位：cm 3）是（）A ．13 B ．12 C ．16 D ．113．(0分)[ID ：12339]某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为4的正方形，两条虚线互相垂直且相等，则该几何体的体积是（）A ．1763B ．1603C ．1283D ．3214．(0分)[ID ：12363]若圆锥的高等于底面直径，则它的底面积与侧面积之比为 A ．1∶2B ．1∶3C ．1∶5D ．3∶2 15．(0分)[ID ：12360]如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实（虚）线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为（）A ．64B ．643C ．16D ．163二、填空题16．(0分)[ID ：12487]在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点，()5,0B ，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若0AB CD ⋅=，则点A 的横坐标为________．17．(0分)[ID ：12478]在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，BD AC O ⋂=,M 是线段1D O 上的动点，过M 做平面1ACD 的垂线交平面1111D C B A 于点N ，则点N 到点A 的距离最小值是___________．18．(0分)[ID ：12477]已知棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，M 分别是线段AB 、AD 、AA 1的中点，又P 、Q 分别在线段A 1B 1、A 1D 1上，且A 1P ＝A 1Q ＝x (0<x <1).设平面MEF ∩平面MPQ＝l ，现有下列结论：①l ∥平面ABCD ；②l ⊥AC ；③直线l 与平面BCC 1B 1不垂直；④当x 变化时，l 不是定直线.其中不成立的结论是________.(写出所有不成立结论的序号)19．(0分)[ID ：12528]《九章算术》中，将底面为长方形且由一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥P ABC -为鳖臑，PA ⊥平面ABC ，2,4PA AB AC ===，三棱锥P ABC -的四个顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为__________.20．(0分)[ID ：12512]一个直三棱柱的每条棱长都是3，且每个顶点都在球O 的表面上，则球O 的表面积为________21．(0分)[ID ：12507]在平面直角坐标系内，到点A （1，2），B （1，5），C （3，6），D （7，﹣1）的距离之和最小的点的坐标是．22．(0分)[ID ：12500]如图，AB 是底面圆O 的直径,点C 是圆O 上异于A 、B 的点，PO 垂直于圆O 所在的平面，且1,2PO OB BC ===，点E 在线段PB 上，则CE OE +的最小值为________.23．(0分)[ID ：12497]直线10x y --=与直线20x ay --=互相垂直，则a =__________．24．(0分)[ID ：12436]如图，已知圆锥的高是底面半径的2倍，侧面积为π，若正方形ABCD 内接于底面圆O ，则四棱锥P ABCD -侧面积为__________．25．(0分)[ID ：12482]已知圆225x y +=和点()1,2A ，则过点A 的圆的切线方程为______三、解答题26．(0分)[ID ：12575]如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D ，E 分别为BC ，AC 的中点，AB =BC ．求证：（1）A 1B 1∥平面DEC 1；（2）BE ⊥C 1E ．27．(0分)[ID ：12571]如图所示，四棱锥B AEDC -中，平面AEDC ⊥平面ABC ，F 为BC 的中点，P 为BD 的中点，且AE ∥DC ，90ACD BAC ∠=∠=︒，2DC AC AB AE ===．（Ⅰ）证明：平面BDE ⊥平面BCD ；（Ⅱ）若2DC =，求三棱锥E BDF -的体积．28．(0分)[ID ：12534]如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，且2PA AB BC ===,2 2.AC =（1）证明：三棱锥P ABC -为鳖臑；（2）若D 为棱PB 的中点，求二面角D AC P --的余弦值.注：在《九章算术》中鳖臑是指四面皆为直角三角形的三棱锥.29．(0分)[ID ：12609]在平面直角坐标系xOy 中，已知两直线1:330l x y --=和2:10l x y ++=，定点(1,2)A .（1）若1l 与2l 相交于点P ，求直线AP 的方程；（2）若1l 恰好是△ABC 的角平分线BD 所在的直线，2l 是中线CM 所在的直线，求△ABC 的边BC 所在直线的方程.30．(0分)[ID ：12538]求满足下列条件的直线方程：（1）经过两条直线23100x y -+=和3420x y +-=的交点，且平行于直线10x y -+=；（2）经过两条直线280x y +-=和210x y -+=的交点，且垂直于直线320x y --=.【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷参考答案**科目模拟测试一、选择题1．D2．C3．D4．D5．D6．C7．A8．C9．B10．A11．B12．A13．B14．C15．D二、填空题16．3【解析】分析：先根据条件确定圆方程再利用方程组解出交点坐标最后根据平面向量的数量积求结果详解：设则由圆心为中点得易得与联立解得点的横坐标所以所以由得或因为所以点睛：以向量为载体求相关变量的取值或范17．【解析】连结易知面面而即在面内且点的轨迹是线段连结易知是等边三角形则当为中点时距离最小易知最小值为18．④【解析】【详解】连接BDB1D1∵A1P＝A1Q＝x∴PQ∥B1D1∥BD∥EF则PQ∥平面ME F又平面MEF∩平面MPQ＝l∴PQ∥ll∥EF∴l∥平面ABCD故①成立；又EF⊥AC∴l⊥AC故19．【解析】【分析】由题意得该四面体的四个面都为直角三角形且平面可得因为为直角三角形可得所以因此结合几何关系可求得外接球的半径代入公式即可求球的表面积【详解】本题主要考查空间几何体由题意得该四面体的四个20．【解析】【分析】设此直三棱柱两底面的中心分别为则球心为线段的中点利用勾股定理求出球的半径由此能求出球的表面积【详解】∵一个直三棱柱的每条棱长都是且每个顶点都在球的球面上∴设此直三棱柱两底面的中心分别21．（24）【解析】【分析】【详解】取四边形ABCD对角线的交点这个交点到四点的距离之和就是最小值可证明如下：假设在四边形ABCD中任取一点P在△APC中有AP＋PC＞AC在△BPD中有PB＋PD＞BD22．【解析】【分析】首先求出即有将三棱锥展开当三点共线时值最小可证为中点从而可求从而得解【详解】在中所以同理所以在三棱锥中将侧面绕旋转至平面使之与平面共面如图所示当共线时取得最小值又因为所以垂直平分即为23．【解析】【分析】根据直线垂直的条件计算即可【详解】因为直线与直线互相垂直所以解得故填【点睛】本题主要考查了两条直线垂直的条件属于中档题24．【解析】分析：设圆锥底面半径为则高为母线长为由圆锥侧面积为可得结合利用三角形面积公式可得结果详解：设圆锥底面半径为则高为母线长为因为圆锥侧面积为设正方形边长为则正四棱锥的斜高为正四棱锥的侧面积为故答25．【解析】【分析】先由题得到点A在圆上再设出切线方程为利用直线和圆相切得到k的值即得过点A的圆的切线方程【详解】因为所以点在圆上设切线方程为即kx-y-k+2=0因为直线和圆相切所以所以切线方程为所以三、解答题26．27．28．29．30．2016-2017年度第*次考试试卷参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题1．D解析：D【解析】【分析】x 时的导数，再由两直线平行与斜率的关系求得a 求出原函数的导函数，得到函数在2【详解】解：由31x y x +=-，得()()2213411x x y x x ---=---'=， ∴2'|4x y ==-，又曲线31x y x +=-在点25（，）处的切线与直线10ax y +-=平行， ∴4a -=-，即4a =．故选D ．【点睛】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查两直线平行与斜率的关系，是中档题．2．C解析：C【解析】【分析】由四棱锥的三视图，还原几何体如图，可证得,CD PD ⊥CB PB ⊥，分别计算四个侧面三角形的面积，比较即得解.【详解】由四棱锥的三视图，还原几何体如图，其中底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD由于,,CD AD CD PA ADPA A CD ⊥⊥=∴⊥平面PAD ，CD PD ∴⊥同理可证：CB PB ⊥ 1111222,2332222PAB PAD S PA AB S PA AD ∆∆∴=⨯=⨯⨯==⨯=⨯⨯= 111122332,213132222PBC PCD S PB BC S CD PD ∆∆=⨯=⨯==⨯=⨯= 故四棱锥的四个侧面的面积中最大值为32故选：C【点睛】本题考查了利用三视图还原几何体，侧面三角形面积的计算，考查了学生空间想象，逻辑推理，数学运算的能力，属于中档题.解析：D【解析】【分析】根据球的性质可知球心O 与ABC ∆外接圆圆心O '连线垂直于平面ABC ；在Rt POE ∆和Rt OO A ∆'中利用勾股定理构造出关于半径R 和OO '的方程组，解方程组求得R ，代入球的体积公式可得结果.【详解】设O '为ABC ∆的外心，如下图所示：由球的性质可知，球心O 与O '连线垂直于平面ABC ，作OE AD ⊥于E设球的半径为R ，OO x '=ABC ∆为等边三角形，且3AB = 3AO '∴=OO '⊥平面ABC ，AD ⊥平面ABC ，OE AD ⊥OO AE x '∴==，3OE AO '==在Rt POE ∆和Rt OO A ∆'中，由勾股定理得：22222OE PE O O O A R ''+=+=，即()222363x x R +-=+= 解得：3x =，3R =∴球的体积为：343233V R ππ== 本题正确选项：D【点睛】本题考查棱锥外接球的体积求解问题，关键是能够确定棱锥外接球球心的位置，从而在直角三角形中利用勾股定理构造方程求得半径.4．D解析：D【解析】分析：根据两点间的斜率公式，利用数形结合即可求出直线斜率的取值范围．详解：∵点A （﹣3，4），B （3，2），过点P （1，0）的直线L 与线段AB 有公共点， ∴直线l 的斜率k≥k PB 或k≤k PA ，∵PA 的斜率为4031--- =﹣1，PB 的斜率为2031--=1， ∴直线l 的斜率k≥1或k≤﹣1，故选：D ．点睛：本题主要考查直线的斜率的求法，利用数形结合是解决本题的关键，比较基础．直线的倾斜角和斜率的变化是紧密相联的，tana=k,一般在分析角的变化引起斜率变化的过程时，是要画出正切的函数图像，再分析.5．D解析：D【解析】【分析】根据圆上两点,M N 关于直线10x y --=对称，可知圆心在该直线上，从而求出圆心坐标与半径，要使得PAB ∆面积最大，则要使得圆上点P 到直线AB 的距离最大，所以高最大为3212+，PAB S ∆最大值为32 【详解】由题意，圆x 2+y 2+kx=0的圆心（-2k ，0）在直线x-y-1=0上， ∴-2k -1=0，∴k=-2,∴圆x 2+y 2+kx=0的圆心坐标为（1，0），半径为1 ∵A （-2，0），B （0，2）， ∴直线AB 的方程为2x -+2y =1，即x-y+2=0 ∴圆心到直线AB 的距离为322. ∴△PAB 面积的最大值是1321322||(1)222222AB +=⨯=2【点睛】主要考查了与圆有关的最值问题，属于中档题.该题涉及到圆上动点到定直线（圆与直线相离）的最大距离.而圆上动点到定直线的最小距离为圆心到直线距离减去半径，最大距离为圆心到直线距离加上半径.6．C解析：C【解析】【分析】【详解】若由线面垂直的判定定理知,只有当和为相交线时,才有错误；若此时由线面平行的判定定理可知,只有当在平面外时,才有错误；由面面平行的性质定理:若两平面平行,第三个平面与他们都相交,则交线平行,可判断,若//αβ，a αγ⋂=，b βγ=，则//a b 为真命题, 正确；若此时由面面平行的判定定理可知,只有当、为相交线时,才有//,D βα错误.故选C.考点：考查直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系. 7．A解析：A【解析】【分析】求出圆心坐标和半径，根据圆的弦长公式，进行求解即可.【详解】由题意，根据圆的方程222210x y x y a ++-+-=，即22(1)(1)2x y a ++-=-，则圆心坐标为(1,1)-，半径1r a =- 又由圆心到直线的距离为11222d -++== 所以由圆的弦长公式可得222(1)(2)4a --=，解得3a =-，故选A.【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系的因公，以及弦长公式的应用，其中根据圆的方程，求得圆心坐标和半径，合理利用圆的弦长公式列出方程求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.8．C【解析】【分析】在正方体1111ABCD A B C D -中，利用线面垂直的判定定理，证得1AD ⊥平面1A DC ，由此能求出结果．【详解】如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，连结1A D ，则1AD DC ⊥，11A D AD ⊥，由线面垂直的判定定理得1AD ⊥平面1A DC ，所以11AD AC ⊥, 所以异面直线1AD 与1A C 所成的角的大小是90．故选C ．【点睛】本题主要考查了直线与平面垂直的判定与证明，以及异面直线所成角的求解，其中解答中牢记异面直线所成的求解方法和转化思想的应用是解答的关键，平时注意空间思维能力的培养，着重考查了推理与论证能力，属于基础题．9．B解析：B【解析】【分析】设圆心到AC ，BD 的距离为1d ，2d ，则222128d d MO +==，22121216162S AC BD d d =⋅=--，利用均值不等式得到最值. 【详解】 2224110x y x y ++--=，即()()221216x y ++-=，圆心为()1,2O -，半径4r =. ()1,0M 在圆内，设圆心到AC ，BD 的距离为1d ，2d ，则222128d d MO +==. 222222121211222161622S AC BD r d r d d d =⋅=⨯--=--2212161624d d ≤-+-=，当22121616d d -=-，即122d d ==时等号成立.故选：B .【点睛】本题考查了圆内四边形面积的最值，意在考查学生的计算计算能力和转化能力.10．A解析：A【解析】利用线面平行的判定与性质证明直线1BC 为过直线EF 且过点B 的平面与平面11BCC B 的交线,从而证得1,,,B E F C 四点共面,然后在正方体中求等腰梯形1BEFC 的周长即可.【详解】作图如下:因为,E F 是棱1,AD DD 的中点,所以11////EF AD BC ,因为EF ⊄平面11BCC B ,1BC ⊂平面11BCC B ,所以//EF 平面11BCC B ，由线面平行的性质定理知,过直线EF 且过点B 的平面与平面11BCC B 的交线l 平行于直线EF ,结合图形知,l 即为直线1BC ,过B ，E ，F 的平面截该正方体所得的截面即为等腰梯形1BEFC ,因为正方体的棱长AB ＝4, 所以1122,25,42EF BE C F BC ====所以所求截面的周长为2+5故选:A【点睛】本题主要考查多面体的截面问题和线面平行的判定定理和性质定理；重点考查学生的空间想象能力;属于中档题.11．B解析：B【解析】【分析】在①中，由面面平行的性质定理得m ∥β；在②中，m 与n 平行或异面；在③中，m 与β相交、平行或m ⊂β；在④中，由n ⊥α，m ⊥α，得m ∥n ，由n ⊥β，得m ⊥β．【详解】由α，β为两个不同的平面，m ，n 为两条不同的直线，知：在①中，若α∥β，m ⊂α，则由面面平行的性质定理得m ∥β，故①正确；在②中，若m ∥α，n ⊂α，则m 与n 平行或异面，故②错误；在③中，若α⊥β，α∩β＝n ，m ⊥n ，则m 与β相交、平行或m ⊂β，故③错误；在④中，若n ⊥α，m ⊥α，则m ∥n ，由n ⊥β，得m ⊥β，故④正确．故选：B ．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力，考查化归与转化思想，是中档题．12．A解析：A【解析】【分析】根据三视图知该几何体对应的三棱锥，结合图中数据求得三棱锥的体积．【详解】由题意可知三棱锥的直观图如图：三棱锥的体积为：111211323⨯⨯⨯⨯=．故选：A ．【点睛】本题考查了利用三视图求几何体体积的应用问题，考查了空间想象能力，是基础题．13．B解析：B【解析】该几何体为一个正方体去掉一个倒四棱锥，其中正方体棱长为4，倒四棱锥顶点为正方体中心，底面为正方体上底面，因此体积是32116042433-⨯⨯=，选B. 点睛： 1.解答此类题目的关键是由多面体的三视图想象出空间几何体的形状并画出其直观图．2．三视图中“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽”，因此，可以根据三视图的形状及相关数据推断出原几何图形中的点、线、面之间的位置关系及相关数据．14．C解析：C【解析】【分析】由已知，求出圆锥的母线长，进而求出圆锥的底面面积和侧面积，可得答案【详解】设圆锥底面半径为r ，则高h ＝2r ，∴其母线长l ＝r ．∴S 侧＝πrl ＝πr 2，S 底＝πr 故选C ．【点睛】本题考查的知识点是旋转体，圆锥的表面积公式，属于基础题．15．D解析：D【解析】根据三视图知几何体是：三棱锥D ABC -为棱长为4的正方体一部分，直观图如图所示：B 是棱的中点，由正方体的性质得，CD ⊥平面,ABC ABC ∆的面积12442S =⨯⨯=，所以该多面体的体积1164433V =⨯⨯=，故选D.二、填空题16．3【解析】分析：先根据条件确定圆方程再利用方程组解出交点坐标最后根据平面向量的数量积求结果详解：设则由圆心为中点得易得与联立解得点的横坐标所以所以由得或因为所以点睛：以向量为载体求相关变量的取值或范解析：3【解析】分析：先根据条件确定圆方程，再利用方程组解出交点坐标，最后根据平面向量的数量积求结果.详解：设(),2(0)A a a a >，则由圆心C 为AB 中点得5,,2a C a +⎛⎫ ⎪⎝⎭易得()()():520C x x a y y a --+-=，与2y x =联立解得点D 的横坐标1,D x =所以()1,2D .所以()55,2,1,22a AB a a CD a +⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭，由0AB CD ⋅=得()()()2551220,230,32a a a a a a a +⎛⎫--+--=--== ⎪⎝⎭或1a =-，因为0a >，所以 3.a =点睛：以向量为载体求相关变量的取值或范围，是向量与函数、不等式、三角函数、曲线方程等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解方程或解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法.17．【解析】连结易知面面而即在面内且点的轨迹是线段连结易知是等边三角形则当为中点时距离最小易知最小值为解析：62 【解析】连结11B D ，易知面1ACD ⊥面11BDD B ，而1MN ACD ⊥，即1NM D O ⊥，NM 在面11BDD B 内，且点N 的轨迹是线段11B D ，连结1AB ，易知11AB D 是等边三角形，则当N 为11B D 中点时，NA 距离最小，易知最小值为6218．④【解析】【详解】连接BDB1D1∵A1P＝A1Q ＝x∴PQ∥B1D1∥BD∥EF 则PQ∥平面MEF 又平面MEF∩平面MPQ ＝l∴PQ∥ll∥EF∴l∥平面ABCD 故①成立；又EF⊥AC∴l⊥AC 故解析：④【解析】【详解】连接BD ，B 1D 1，∵A 1P ＝A 1Q ＝x ，∴PQ ∥B 1D 1∥BD ∥EF ，则PQ ∥平面MEF ，又平面MEF ∩平面MPQ ＝l ，∴PQ ∥l ，l ∥EF ，∴l ∥平面ABCD ，故①成立；又EF ⊥AC ，∴l ⊥AC ，故②成立；∵l ∥EF ∥BD ，故直线l 与平面BCC 1B 1不垂直，故③成立；当x 变化时，l 是过点M 且与直线EF 平行的定直线，故④不成立．即不成立的结论是④.19．【解析】【分析】由题意得该四面体的四个面都为直角三角形且平面可得因为为直角三角形可得所以因此结合几何关系可求得外接球的半径代入公式即可求球的表面积【详解】本题主要考查空间几何体由题意得该四面体的四个解析：20π【解析】【分析】由题意得该四面体的四个面都为直角三角形，且PA ⊥平面ABC ，可得PC =PB =PBC 为直角三角形，可得BC =PB BC ⊥，因此AB BC ⊥，结合几何关系，可求得外接球O 的半径R ===O 的表面积．【详解】本题主要考查空间几何体．由题意得该四面体的四个面都为直角三角形，且PA ⊥平面ABC ，2PA AB ==，4AC =，PC =PB =因为PBC 为直角三角形，因此BC =BC =（舍）．所以只可能是BC =此时PB BC ⊥，因此AB BC ⊥，所以平面ABC 所在小圆的半径即为22AC r ==，又因为2PA =，所以外接球O 的半径R === 所以球O 的表面积为24π20πS R ==．【点睛】本题考查三棱锥的外接球问题，难点在于确定BC 的长，即得到AB BC ⊥，再结合几何性质即可求解，考查学生空间想象能力，逻辑推理能力，计算能力，属中档题． 20．【解析】【分析】设此直三棱柱两底面的中心分别为则球心为线段的中点利用勾股定理求出球的半径由此能求出球的表面积【详解】∵一个直三棱柱的每条棱长都是且每个顶点都在球的球面上∴设此直三棱柱两底面的中心分别解析：21π【解析】【分析】设此直三棱柱两底面的中心分别为12,O O ，则球心O 为线段12O O 的中点，利用勾股定理求出球O 的半径2R ，由此能求出球O 的表面积．【详解】∵一个直三棱柱的每条棱长都是3，且每个顶点都在球O 的球面上，∴设此直三棱柱两底面的中心分别为12,O O ，则球心O 为线段12O O 的中点，设球O 的半径为R ，则2223232132324R ⎛⎫⎛⎫=+⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴球O 的表面积2S 4R 21ππ== .故答案为：21π．【点睛】本题考查球的表面积的求法，空间思维能力，考查转化化归思想、数形结合思想、属于中档题．21．（24）【解析】【分析】【详解】取四边形ABCD 对角线的交点这个交点到四点的距离之和就是最小值可证明如下：假设在四边形ABCD 中任取一点P 在△APC 中有AP ＋PC ＞AC 在△BPD 中有PB ＋PD ＞BD解析：（2，4）【解析】【分析】【详解】取四边形ABCD 对角线的交点，这个交点到四点的距离之和就是最小值．可证明如下：假设在四边形ABCD 中任取一点P ，在△APC 中，有AP ＋PC ＞AC ，在△BPD 中，有PB ＋PD ＞BD ，而如果P 在线段AC 上，那么AP ＋PC ＝AC ；同理，如果P 在线段BD 上，那么BP ＋PD ＝BD.如果同时取等号，那么意味着距离之和最小，此时P 就只能是AC 与BD 的交点．易求得P(2,4)．22．【解析】【分析】首先求出即有将三棱锥展开当三点共线时值最小可证为中点从而可求从而得解【详解】在中所以同理所以在三棱锥中将侧面绕旋转至平面使之与平面共面如图所示当共线时取得最小值又因为所以垂直平分即为解析：262+ 【解析】【分析】首先求出2PB PC ==，即有PB PC BC ==，将三棱锥展开，当三点共线时，值最小，可证E 为PB 中点，从而可求OC OE EC ''=+，从而得解．【详解】在POB 中，1PO OB ==，90POB ∠=︒，所以22112PB =+=，同理2PC =，所以PB PC BC ==，在三棱锥P ABC -中，将侧面BCP 绕PB 旋转至平面BC P '，使之与平面ABP 共面，如图所示，当O ，E ，C '共线时，CE OE +取得最小值，又因为OP OB =，C P C B '='，所以OC '垂直平分PB ，即E 为PB 中点，从而2626OC OE EC +''=+== 亦即CE OE +26+ 故答案为262. 【点睛】本题主要考查了空间中线段和最小值问题，考查了空间想象能力、推理论证能力，考查了数形结合思想、化归与转化思想，属于中档题．23．【解析】【分析】根据直线垂直的条件计算即可【详解】因为直线与直线互相垂直所以解得故填【点睛】本题主要考查了两条直线垂直的条件属于中档题解析：1-【解析】【分析】根据直线垂直的条件计算即可.【详解】因为直线10x y --=与直线20x ay --=互相垂直，所以110a ⨯+=解得1a =-.故填1-.【点睛】本题主要考查了两条直线垂直的条件，属于中档题.24．【解析】分析：设圆锥底面半径为则高为母线长为由圆锥侧面积为可得结合利用三角形面积公式可得结果详解：设圆锥底面半径为则高为母线长为因为圆锥侧面积为设正方形边长为则正四棱锥的斜高为正四棱锥的侧面积为故答. 【解析】分析：设圆锥底面半径为r ，则高为2r ，由圆锥侧面积为π，可得2r =a =，利用三角形面积公式可得结果.详解：设圆锥底面半径为r ，则高为2h r =，因为圆锥侧面积为π，r ππ∴⨯=，2r =设正方形边长为a ，则2224,a r a ==，=，∴正四棱锥的侧面积为21462a r ⨯⨯==，. 点睛：本题主要考查圆锥的性质、正四棱锥的性质，以及圆锥的侧面积、正四棱锥的侧面积，属于中档题，解答本题的关键是求得正四棱锥底面棱长与圆锥底面半径之间的关系.25．【解析】【分析】先由题得到点A 在圆上再设出切线方程为利用直线和圆相切得到k 的值即得过点A 的圆的切线方程【详解】因为所以点在圆上设切线方程为即kx-y-k+2=0因为直线和圆相切所以所以切线方程为所以解析：25x y +=【解析】【分析】先由题得到点A 在圆上，再设出切线方程为2(1),y k x -=-利用直线和圆相切得到k 的值，即得过点A 的圆的切线方程.【详解】因为22125+=，所以点()1,2A 在圆上，设切线方程为2(1),y k x -=-即kx-y-k+2=0, 因为直线和圆相切，所以22215,2(1)k k k -+=∴=-+-，所以切线方程为112022x y --++=，所以切线方程为25x y +=，故答案为：25x y +=【点睛】（1）本题主要考查圆的切线方程的求法，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 点00(,)P x y 到直线:0l Ax By C ++=的距离0022Ax By C d A B ++=+.三、解答题26．（1）见解析；（2）见解析.【解析】【分析】(1)由题意结合几何体的空间结构特征和线面平行的判定定理即可证得题中的结论；(2)由题意首先证得线面垂直，然后结合线面垂直证明线线垂直即可.【详解】（1）因为D ，E 分别为BC ，AC 的中点，所以ED ∥AB .在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AB ∥A 1B 1，所以A 1B 1∥ED .又因为ED ⊂平面DEC 1，A 1B 1⊄平面DEC 1，所以A 1B 1∥平面DEC 1.（2）因为AB =BC ，E 为AC 的中点，所以BE ⊥AC .因为三棱柱ABC-A 1B 1C 1是直棱柱，所以CC 1⊥平面ABC .又因为BE ⊂平面ABC ，所以CC 1⊥BE .因为C 1C ⊂平面A 1ACC 1，AC ⊂平面A 1ACC 1，C 1C ∩AC =C ，所以BE ⊥平面A 1ACC 1.因为C 1E ⊂平面A 1ACC 1，所以BE ⊥C 1E .【点睛】本题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力.27．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）23. 【解析】【分析】（Ⅰ）连接PF ，由题意可得//PE AF ，由面面垂直的性质和等腰三角形的性质可得DC ⊥平面ABC ，AF BC ⊥，进而可得AF ⊥平面BCD 即PE ⊥平面BCD ，由面面垂直的判定即可得证；（Ⅱ）由（1）知PE ⊥平面BDF ，计算出2PE BF ==，进而可得2BDF S =，由三棱锥体积公式即可得解.【详解】（Ⅰ）证明：连接PF ，F 为BC 的中点，P 为BD 的中点，∴//PF CD 且12PF CD =，//AE CD 且2DC AE =，∴//PF AE 且PF AE =，∴四边形AEPF 为平行四边形，∴//PE AF ，平面AEDC ⊥平面ABC ，平面AEDC 平面ABC AC =，90ACD ∠=︒， ∴DC ⊥平面ABC ，∴DC AF ⊥，又AC AB =，∴AF BC ⊥，BC DC C =，∴AF ⊥平面BCD ，∴PE ⊥平面BCD ，又PE ⊂平面BDE ，∴平面BDE ⊥平面BCD .（Ⅱ）由（Ⅰ）得PE ⊥平面BCD 即PE ⊥平面BDF ，22DC AC AB AE ====，90ACD BAC ∠=∠=︒∴12PE AF BF BC =====∴12BDF S BF DC =⋅=，∴113323BDF E BDF S PE V -⋅===. 【点睛】本题考查了面面垂直的判定和三棱锥体积的求解，考查了空间思维能力，属于中档题. 28．（1）见解析；（2 【解析】【分析】（1）由条件已经知道ABC PAB ∆∆、，PAC ∆均为直角三角形，只需证PBC ∆为直角三角形即可得证.（2）利用空间向量求得两个面的法向量，求得cos ,m n 即可.【详解】（1）∵2AB BC ==，AC =222AB BC AC +=，∴AB BC ⊥，ABC ∆为直角三角形.∵PA ⊥平面ABC ，∴PA BC ⊥，PA AB ⊥，PAB ∆，PAC ∆均为直角三角形. ∵AB PA A ⋂=，∴BC ⊥平面PAB .又PB ⊂平面PAB ，∴BC PB ⊥，PBC ∆为直角三角形.故三棱锥P ABC -为鳖臑.（2）解：以B 为坐标原点，建立空间直角坐标系B xyz -，如图所示，则()2,0,0A ，()0,2,0C ，()1,0,1D ，则()1,0,1AD =-，()2,2,0AC =-.设平面ACD 的法向量为(),,n x y z =，则0,220,n AD x z n AC x y ⎧⋅=-+=⎨⋅=-+=⎩ 令1x =，则()1,1,1n =.易知平面PAC 的一个法向量为()1,1,0m =，则2cos ,3m n ==⨯由图可知二面角D AC P --为锐角，则二面角D AC P --的余弦值为3.【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查四面体是否为鳖臑的判断与求法，考查二面角的求法，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查空间向量的应用，是中档题． 29．（1）:31AP y x =-；（2）7170x y ++=.【解析】【分析】（1）根据题意，联立两直线得其交点坐标，进而写出直线AP 的方程；（2）根据题意，设()33,B t t +，则342,22t t M ++⎛⎫ ⎪⎝⎭，利用点M 在直线2l 上，得2t =-，()3,2B --，再利用到角公式得17BC k =-，即可得到BC 的直线方程. 【详解】（1）由题意，联立33010x y x y --=⎧⎨++=⎩，解得01x y =⎧⎨=-⎩，即两直线的交点()0,1P -，所以，直线AP 的斜率21310k +==-，故直线AP 的方程为：31y x =-. （2）设点B 的坐标为()33,t t +，则点342,22t t M ++⎛⎫ ⎪⎝⎭，又点M 在直线2l 上，即3421022t t ++++=，解得2t =-，故()3,2B --，所以22131AB k --==--，直线1l 的斜率113k =，由到角公式得，111111BC AB BC AB k k k k k k k k --=++，即11133111133BC BC k k --=++，解得17BC k =-，所以BC 所在直线方程为12(3)7y x +=-+，化简得7170x y ++=. 【点睛】本题考查直线方程，两直线的位置关系，到角公式，属于基础题.。

辽宁省大连市第二十四中学2018-2019学年高一数学上学期期中试题(含解析)

12018-2019学年辽宁省大连市第二十四中学高一上学期期中考试数学试题注意事项:1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答:用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.一、单选题1．已知全集为,集合，，则A ．B ．C ．D ．2．设,则它们的大小关系是A ．B ．C ．D ．3．若方程的解为，且，则整数n 的值为A ．3B ．4C ．5D ．64．设函数，A ．3B ．6C ．9D ．12 5．已知偶函数的定义域为R ，且在上是增函数,设，，则m 与n 的关系是A ．B ．C ．D ．装订不密封准考证号考场号座位号6．函数，则的图象大致是A ．B ．C ．D ．7．函数的值域为A ．B ．C ．D ．8．设函数的图象与的图象关于直线对称,且，则A ．B ． C．1 D．29．已知函数定义域是,则的定义域是A ．B ．C ．D ．10．已知x ,，且，则A ．B ．C ．D ．11．如果函数对任意的实数x，都有，且当时,，那么函数在的最大值为A．1 B．2 C．3 D．412．已知函数，则关于x 的不等式的解集为A ．B ．C ．D ．二、填空题2313．已知，若，则______． 14．已知函数,则函数的单调增区间是______．15．函数()log 232a y x =-+的图象恒过定点P , P 在幂函数()f x x α=的图象上，则()9f = 。

16．设函数，若用表示不超过实数的最大整数，则函数的值域为_____________.17．已知，，且求的值．三、解答题 18．设且,，．Ⅰ求集合P ； Ⅱ若，求实数a 的取值范围．19．已知为二次函数,且，（1)求的表达式；（2）设，其中,为常数且，求函数的最小值. 20．定义在上的奇函数，已知当时，．求实数a 的值；求在上的解析式；若存在时，使不等式成立,求实数m 的取值范围．21．已知函数．用定义证明：函数在上单调递增；设关于x 的方程的两根为、，试问是否存在实数t ，使得不等式对任意的及任意的恒成立？若存在,求出t的取值范围；若不存在说明理由．22．已知集合M 是满足下列性质的函数的全体：在定义域D 内存在，使得成立．函数是否属于集合M？说明理由；若函数属于集合M，试求实数k和b满足的约束条件；设函数属于集合M，求实数a的取值范围．42018-2019学年辽宁省大连市第二十四中学高一上学期期中考试数学试题数学答案参考答案1．A【解析】试题分析：，所以,选A．考点：集合运算【易错点睛】（1)认清元素的属性,解决集合问题时，认清集合中元素的属性（是点集、数集或其他情形）和化简集合是正确求解的两个先决条件．（2）注意元素的互异性．在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性,否则很可能会因为不满足“互异性"而导致解题错误．（3）防范空集．在解决有关A∩B＝∅，A⊆B等集合问题时，往往忽略空集的情况，一定先考虑∅是否成立，以防漏解．2．C【解析】【分析】根据指数函数和对数函数的单调性可得出的取值范围，从而可得结果。

辽宁省实验中学、大连八中、大连二十四中、鞍山一中、东北育才学校2017_2018学年高一数学下学期期末考试试

学年度下学期期末考试高一年级数学科试卷第Ⅰ卷（共分）一、选择题：本大题共个小题,每小题分,共分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.. 执行如图所示的程序框图，若输入，则输出的（）. . . .【答案】【解析】【分析】执行程序框图，可得程序框图的功能是计算并输出分段函数的值，从而计算得解. 【详解】执行程序框图，可得程序框图的功能是计算并输出分段函数的值，由于，可得，则输出的等于，故选.【点睛】该题考查的是有关程序框图的问题，涉及到的知识点有读取程序框图的输出的结果，在解题的过程中，需要明确框图的功能，从而求得结果.. 已知角的终边经过点，则（）. . . .【答案】【解析】【分析】由题意可得，，求出的值，逐项分析，求得结果.【详解】由题意可得，所以，，，综上所述，答案选.【点睛】该题考查的是有关任意角的三角函数的定义，在解题的过程中，需要利用定义将角的三角函数值求出，逐项对照求得结果.. （）. . . .【答案】【解析】【分析】原式中的角度变形后，利用诱导公式化简计算即可得到结果.【详解】，故选.【点睛】该题考查的是有关运用诱导公式化简求值的问题，在解题的过程中，正确运用公式是解题的关键.. 在瓶牛奶中，有瓶已经过了保质期，从中任取一瓶，取到已经过保质期的牛奶的概率是（）. . . .【答案】【解析】【分析】在瓶牛奶中任取瓶有种不同的取法，而满足条件的取到已过保质期的牛奶有种不同的取法，根据古典概型公式，代入数据，求出结果.【详解】由题意知，该题是一个古典概型，因为在瓶牛奶中任取瓶有种不同的取法，取到已过保质期的牛奶有种不同的取法，根据古典概型公式求得，故选.【点睛】该题考查的是有关古典概型的问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有古典概型的概率公式，解题的关键是找出基本事件数以及满足条件的基本事件数.. 已知，若，则（）. . . .【答案】【解析】【分析】利用题中所给的条件，求得然后利用，根据向量数量积公式求得所满足的等量关系式，求得结果.【详解】因为，所以，因为，所以，即，解得，故选.【点睛】该题考查的是有关向量垂直的条件，涉及到的知识点有向量的加法运算法则，向量垂直的条件，向量数量积的坐标公式，正确使用公式是解题的关键.. 已知平面向量，且，则的值是（）. . . .【答案】【解析】【分析】首先应用向量的模的平方和向量的平方是相等的，得到其满足的式子，之后应用相关公式求得结果.【详解】因为平面向量满足，且，则有，故选.【点睛】该题考查的是有关向量的模的求解的问题，涉及到的知识点有向量的模的平方和向量的平方是相等的，利用相关公式求得结果.. （）. . . .【答案】【解析】【分析】直接根据两角和正切公式的变形形式，整理即可得到答案. 【详解】，所以，所以原式，故选.【点睛】该题考查的是有关两角和的正切公式的逆用问题，在解题的过程中，需要分析式子的特征，可得与角的关系，从而借着特殊角的正切值得到结果.. 将函数的图像向左平移个周期（即最小正周期）后，所得图像对应的函数为（）. .. .【答案】【解析】【分析】首先根据题中所给的函数解析式，求得其周期，从而确定个周期为，再根据三角函数图像平移的规律，得到相应的函数解析式，化简求得结果.【详解】根据题意，可知函数的周期为，所以个周期为，所以平移后所得的图像对应的函数解析式为，故选.【点睛】该题考查的是有关平移后的三角函数解析式的求解问题，涉及到的知识点有左右平移变换，函数的周期的求法，需要注意平移的量是自变量本身的变化量.. 函数的部分图像如图所示，点是该图像的一个最高点，点是该图像与轴交点，则（）. .. .【答案】【解析】【分析】首先根据两点的横坐标的差，确定出函数的最小正周期，从而求得，再根据最高点的坐标，结合，求得，从而确定出函数解析式.【详解】根据题中所给的条件，以及所给的部分图像，可以求得，所以，从而得到，求得，因为是最高点，所以有，解得，又因为，所以，所以，故选.【点睛】该题考查的是根据函数的图像确定函数解析式的问题，注意振幅由最值来确定，周期由来确定，初相由特殊点来确定，结合题中所给的图像，求得结果.. 已知函数满足，且，当时，则（）. . . .【答案】【解析】【分析】首先根据题中所给的条件，可以确定函数的一条对称轴和一个对称中心，从而确定出函数的最小正周期，结合时，求得结果.【详解】根据题意，由可得函数图像关于直线对称，由可得函数图像关于点对称，从而可知函数是以为最小正周期的周期函数，结合当时，可知，故选.【点睛】该题考查的是有关函数的周期性的应用，从题的条件中判断得出函数图像的对称轴和对称中心，利用对阵中心到对称轴的距离，得到函数的周期，从而结合题中所给的相应区间上的解析式求得结果.. 已知，不共线，，，其中.设点是直线，的交点，则（）. .. .【答案】【解析】【分析】首先根据从同一个起点出发的三个向量，当三个终点共线时，其中一个用另两个来表示，系数和等于，设出两种关系，之后转化，利用一个向量在同一组基底下分解出的坐标是相等的，得到方程组，求解代入得结果.【详解】根据题中所给的条件，可知,，根据一个向量在同一组基底下分解出的坐标是相等的，得到，解得，代入可得，故选.【点睛】该题考查的是有关平面向量基本定理的问题，在解题的过程中，利用平面向量在同一组基底下分解出的坐标是相等的，得到方程组，求得结果.. 下列四个函数中，图象可能是如图的是（）. .. .【答案】【解析】【分析】分别画出各个选项对应的函数图像，逐个与题中所给的图像对照，得出结果.【详解】函数的图形为：，函数的图像为：，函数的图像为：，函数的图像为：，将选项与题中所给的图像逐个对照，得出项满足条件，故选.【点睛】该题考查的是有关函数图像的选择和判断问题，在解题的过程中，可以应用几何画板将函数图像一一作出，与所给的图像对照得出结果，但是在考场上是不可能应用几何画板的，所以可以借助于同一个周期上零点的个数来得到.第Ⅱ卷（共分）二、填空题：本大题共小题，每小题分。