2019北师大版数学选修2-2同步优化指导练习-第2章 3 计算导数活页作业7 Word版含答案解析

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数学北师大版选修2-2同步练习第二章§3计算导数含解

高手支招6体验成功基础巩固1.y=cotx 的导数是（） A.y′=x2sin 1 B.y′=x 2cos 1- C.y′=x 2sin 1- D.y′=x 2cos 1 答案：C思路分析：教材中已经给出了导数公式表，查表易求.2.求下列函数的导数：（1）y=x 5，（2）y=21x. 解：（1）y′=(x 5)′=5x 5-1=5x 4.（2）y′=(21x )′=(x -2)′=-2x -2-1=32x -. 3.求下列函数的导数: (1)y=31x ;(2)y=3x . 解：(1)y′=(31x )′=(x -3)′=-3x -3-1=-3x -4. (2)y′=(3x )′=(x 31)′=31x 131-=31x 32-. 思路分析：按照题目的形式特点利用相应的公式即可.4.质点的运动方程是s=t 3(s:单位m ，t:单位s)，求质点在t=3时的速度. 解：v=s′=(t 3)′=3t 3-1=3t 2，当t=3时，v=3×32=27(m/s)，∴质点在t=3时的速度为27 m/s.综合应用5.求正弦曲线y=sinx 上切线斜率等于21的点. 解：y′=cosx,y′o x x =|=21，设切点为(x 0,y 0)，即cosx 0=21，∴x 0=2kπ±3π(k ∈Z ) ∴y 0=sinx 0=sin(2kπ±3π)=±23. 答:所求的点为(2kπ+3π,23)和(2kπ-3π,23-)(k ∈Z ). 6.设直线l 1与曲线y=x 相切于P ，直线l 2过P 且垂直于l 1，若l 2交x 轴于Q 点，又作PK 垂直于x 轴，垂足为K ，求KQ 的长.解：先确定直线l 2的斜率，再写出l 2的方程.设P(x 0,y 0)，则1l k =0|'x x y ==021x ，由l 2与l 1垂直，故2l k =-20x ，于是l 2:y-y 0=-20x (x-x 0)，令y=0，则-y 0=-20x (x Q -x 0)，即-0x =-20x (x Q -x 0)，解得x Q =21+x 0，易见x K =x 0，于是|KQ|=|x Q -x K |=21.。

2018-2019学年高中数学第2章 3计算导数课时作业北师大版选修2-2

【成才之路】2015-2016学年高中数学第2章 3计算导数课时作业北师大版选修2-2一、选择题1．已知f (x )＝x 2，则f ′(3)等于( )A ．0 B ．2x C ．6 D ．9[答案]　C[解析]　f ′(x )＝2x ⇒f ′(3)＝6.2．(2014·泰安模拟)若曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线方程为3x －y ＋1＝0，则( )A ．f ′(x 0)<0B ．f ′(x 0)>0C ．f ′(x 0)＝0D ．f ′(x 0)不存在[答案]　B[解析]　由导数的几何意义可知曲线在(x 0，f (x 0))处的导数等于曲线在该点处的切线的斜率，所以f ′(x 0)＝3.故选B.3．若曲线y ＝x 4的一条切线l 与直线x ＋4y －8＝0垂直，则切线l 的方程为( )A ．4x －y －3＝0 B ．x ＋4y －5＝0C ．4x －y ＋3＝0 D ．x ＋4y －3＝0[答案]　A[解析]　y ′＝4x 3，直线x ＋4y －8＝0的斜率为－，所以切线l 的斜率为4.所以144x 3＝4，解得x ＝1.所以切点为(1,1)，切线l 的方程为y －1＝4(x －1)，即4x －y －3＝0.4．函数y ＝lg x 在x ＝1处的瞬时变化率为( )A ．0 B ．1 C ．ln10 D ．1ln10[答案]　D[解析]　y ′＝，∴函数在x ＝1处的瞬时变化率为＝.1x ln1011×ln101ln105．(2014·新课标Ⅱ理，8)设曲线y ＝ax －ln(x ＋1)在点(0,0)处的切线方程为y ＝2x ，则a ＝( )A ．0B ．1C ．2D ．3[答案]　D[解析] ∵f (x )＝ax －ln(x ＋1)，∴f ′(x )＝a －.1x ＋1∴f (0)＝0，且f ′(0)＝2.联立解得a ＝3，故选D.二、填空题6．曲线y ＝x n 在x ＝2处的导数为12，则n 等于________．[答案]　3[解析]　y ′＝nx n －1，∴y ′|x ＝2＝n ·2n －1＝12，∴n ＝3.7．曲线y ＝f (x )＝2x 2在点(－1,2)处的切线方程为________．[答案]　4x ＋y ＋2＝0[解析]　∵y ＝f (x )＝2x 2，∴f ′(x )＝4x ，f ′(－1)＝－4.故曲线y ＝2x 2在点(－1,2)处的切线方程为y －2＝－4(x ＋1)，化简得4x ＋y ＋2＝0.8．直线y ＝x ＋b (b 是常数)是曲线y ＝ln x (x >0)的一条切线，则实数b ＝________.12[答案]　ln2－1[解析]　对曲线对应的函数求导得y ′＝，令＝得x ＝2，故切点坐标是(2，ln2)，1x 1x 12代入直线方程，得ln2＝×2＋b ，所以b ＝ln2－1.12三、解答题9．求下列函数的导数(1)y ＝；(2)y ＝；(3)y ＝log 2x .1x 23x [解析]　(1)y ′＝′＝(x －2)′＝－2x －3(1x 2)(2)y ′＝()′＝(x )′＝x －3x 131323(3)y ′＝(log 2x )′＝1x ln210．求曲线f (x )＝x 3在点(3,27)处的切线与坐标轴所围三角形的面积．[解析]　因为f (x )＝x 3，所以f ′(x )＝3x 2，所以f ′(3)＝27，得曲线f (x )＝x 3在点(3,27)处的切线方程为y －27＝27(x －3)，即y ＝27x －54，所以切线与x 轴、y 轴的交点分别为(2,0)、(0，－54)，所以切线与坐标轴所围三角形的面积为S ＝×2×54＝54.12一、选择题1．下列各式正确的是( )A ．(sin a )′＝cos a (a 为常数) B ．(cos x )′＝sin x C ．(sin x )′＝cos x D ．(x －5)′＝－x －615[答案]　C[解析]　由导数的运算法则易得，注意A 选项中的a 为常数，所以(sin a )′＝0.故选C ．2．曲线y ＝x 3＋ax ＋1的一条切线方程为y ＝2x ＋1，则实数a ＝( )A ．1 B ．3 C ．2 D ．4[答案]　C[解析]　设切点为(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝3x ＋a ，20∴3x ＋a ＝2①20又∵切点既在曲线上，又在切线上，∴x ＋ax 0＋1＝2x 0＋1②30由①②得Error!3．过曲线y ＝上一点P 的切线的斜率为－4，则点P 的坐标是( )1x A ． B ．或(12，2)(－12，－2)(12，2)C ．D ．(－12，－2)(12，－2)[答案]　B[解析]　y ′＝′＝－，(1x )1x 2解得－＝－4，解得x ＝±，1x 212所以P 点的坐标为或，故选B.(12，2)(－12，－2)4．已知直线ax －by －2＝0与曲线y ＝x 3在点P (1,1)处的切线互相垂直，则为( )abA ．B ．－ 2323C ．D ．－1313[答案]　D[解析]　由导数的定义可得y ′＝3x 2，∴y ＝x 3在点P (1,1)处的切线斜率k ＝y ′|x ＝1＝3，由条件知，3×＝－1，∴＝－.a b a b 13二、填空题5．下列命题中，正确命题的个数为____________．①若f (x )＝，则f ′(0)＝0；x ②(log a x )′＝x ln a (a ＞0，a ≠1)；③加速度是动点位移s (t )对时间t 的导数；④曲线y ＝x 2在(0,0)处没有切线．[答案]　0[解析]　①因为f (x )＝，当x 趋于0时不存在极限，所以x ＝0处不存在导数，故x 错误；②(log a x )′＝，(a ＞0，a ≠1)，故错误；③瞬时速度是位移s (t )对时间t 的1x ln a 导数，故错误；④曲线y ＝x 2在(0,0)处的切线为直线y ＝0，故错误．6．过原点作曲线y ＝e x 的切线，则切点的坐标为____________，切线的斜率为____________．[答案]　(1，e)　e[解析]　∵(e x )′＝e x ，设切点坐标为(x 0，e x 0)，则过该切点的直线的斜率为e x 0，∴直线方程为y －e x 0＝e x 0(x －x 0)．∴y －e x 0＝e x 0·x －x 0·e x 0.∵直线过原点，∴(0,0)符合上述方程．∴x 0·e x 0＝e x 0.∴x 0＝1.∴切点为(1，e)，斜率为e.三、解答题7．试比较曲线y ＝x 2与y ＝在它们交点处的切线的倾斜角的大小．1x [解析]　解方程组Error!，得Error!，即两条曲线的交点坐标为(1,1)．对于函数y ＝x 2，y ′＝2x ，所以曲线y ＝x 2在交点(1,1)处的切线l 1的斜率k 1＝2；对于函数y ＝，y ′＝－，所以曲线y ＝在交点(1,1)处的切线l 2的斜率k 2＝－1.1x 1x 21x由于k 1>0，k 2<0，所以切线l 1的倾斜角小于切线l 2的倾斜角．8.试求过点A (3,5)且与曲线y ＝f (x )＝x 2相切的直线方程．[分析]　本题的关键在于求切线的斜率，首先判断A 是否在曲线上，若A 在曲线上，则A 可能为切点，否则A 不是切点，则需要设出切点的坐标．[解析]　点A 不在曲线y ＝x 2上，应先求切点．设所求切线的切点为P (x 0，y 0)，因为P 是曲线y ＝x 2上一点，所以y 0＝x .又过点P (x 0，y 0)的切线斜率为f ′(x 0)＝2x 0，而所求20切线过点A (3,5)和P (x 0，y 0)两点，所以其斜率又应为.所以2x 0＝，将它与y 0－5x 0－3y 0－5x 0－3y 0＝x 联立，得Error!所以Error!或Error!即切点为(1,1)或(5,25)．当切点为(1,1)时，切20线斜率k 1＝2，相应切线方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1；当切点为(5,25)时，切线斜率k 2＝10，相应切线方程为y －25＝10(x －5)，即y ＝10x －25.综上，所求切线方程为y ＝2x －1或y ＝10x －25.。

数学同步优化指导(北师大版选修2-2)练习：第3章 1 导数与函数的单调性(第二课时) 活页作业11

活页作业(十一) 导数与函数的单调性(第二课时)1．函数f (x )＝2x 3＋ax 2＋1(a 为常数)在区间(－∞，0)和(2，＋∞)内单调递增，且在区间(0,2)内单调递减，则a 值为( )A ．1B ．2C ．－6D ．－12解析：f ′(x )＝6x 2＋2ax ，依题意得f ′(2)＝24＋4a ＝0，∴a ＝－6. 答案：C2．若函数f (x )＝13x 3＋x 2－ax 在区间(1，＋∞)上是增加的，且在区间(1,2)上有零点，则实数a 的取值范围是( )A ．⎝⎛⎭⎫43，3B ． ⎝⎛⎭⎫43，103 C ．⎝⎛⎦⎤43，3D ．(－∞，3]解析：∵函数f (x )＝13x 3＋x 2－ax 在区间(1，＋∞)上是增加的，∴f ′(x )＝x 2＋2x －a ≥0在区间(1，＋∞)上恒成立． ∴a ≤x 2＋2x ，x ∈(1，＋∞)恒成立． ∵当x >1时，x 2＋2x >3， ∴a ≤3.①∵函数f (x )＝13x 3＋x 2－ax 在区间(1，＋∞)上是增加的，且在区间(1,2)上有零点，∴f (1)<0，f (2)>0. ∴43<a <103.② 由①②得，43<a ≤3.答案：C3．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2(x ≥0)，x 3－(a －1)x ＋a 2－3a －4(x <0) 在(－∞，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，1] B ．[－1,1] C ．(－∞，1)D ．[－1,4]解析：若原函数在R 上为增函数，则当x <0时，f ′(x )＝3x 2－(a －1)≥0恒成立．因此有a ≤1.还需注意函数在分段点处函数值的大小，应有a 2－3a －4≤0，解得－1≤a ≤4.综上－1≤a ≤1.答案：B4．已知定义在R 上的偶函数f (x )满足x ∈(－∞，0)时，f (x )＋xf ′(x )<0成立，若a ＝20.2f (20.2)，b ＝ln 2·f (ln 2)，c ＝log 0.50.25·f (log 0.50.25)，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a >b >cB ．c >a >bC ．b >a >cD ．a >c >b解析：构造函数h (x )＝xf (x )，由函数y ＝f (x )是R 上的偶函数，函数y ＝x 是R 上的奇函数，可得h (x )＝xf (x )是R 上的奇函数．又当x ∈(－∞，0)时，h ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )<0. ∴函数h (x )在x ∈(－∞，0)上为单调递减函数． ∴h (x )在x ∈(0，＋∞)上为单调递减函数． ∵2>20.2>1,0<ln 2<1，log 0.50.25＝2， ∴log 0.50.25>20.2>ln 2.∴b >a >c . 答案：C5．设p ：f (x )＝x 3＋2x 2＋mx ＋1在(－∞，＋∞)内单调递增，q ：m ≥43，则p 是q 的________条件．( )A ．充要B ．充分不必要C ．必要不充分D ．既不充分又不必要解析：对于p ，由题意知f ′(x )＝3x 2＋4x ＋m ≥0在R 上恒成立，即Δ≤0. ∴4－3m ≤0.∴m ≥43.又当m ＝43时，f (x )＝x 3＋2x 2＋43x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x ＋233＋1927在R 上单调递增，∴m ≥43.∴p 是q 的充要条件．答案：A6．若函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的递减区间为[－1， 2]，则b ＝________，c ＝________. 解析：由题意知，f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c ≤0在[－1,2]上恒成立，所以－1,2为方程3x 2＋2bx ＋c ＝0的两根，则b ＝－32，c ＝－6.答案：－32－67．若函数f (x )＝ax 3＋x 恰有三个单调区间，则实数a 的取值范围是________．解析：∵f ′(x )＝3ax 2＋1，f (x )有三个单调区间， ∴方程3ax 2＋1＝0有两个不等实根． ∴Δ＝0－4×3a ×1>0.解得a <0.答案：(－∞，0)8．已知函数f (x )＝x 3－ax 在[1，＋∞)上是单调递增函数，则a 的最大值是________．解析：由题意得f ′(x )＝3x 2－a ≥0在[1，＋∞)上恒成立，因此a ≤3.故a 的最大值为3.答案：39．已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝ax (a >0)，设F (x )＝f (x )＋g (x )．(1)求F (x )的单调区间；(2)若以y ＝F (x )(x ∈(0,3])图像上任意一点P (x 0，y 0)为切点的切线的斜率k ≤12恒成立，求实数a 的最小值．解：(1)F (x )＝f (x )＋g (x )＝ln x ＋ax (x >0)，F ′(x )＝1x －a x 2＝x －ax2(x >0)．∵a >0，由F ′(x )>0得x ∈(a ，＋∞)， ∴F (x )在(a ，＋∞)上是增加的．由F ′(x )<0得x ∈(0，a )， ∴F (x )在(0，a )上是减少的．∴F (x )的递减区间为(0，a )，递增区间为(a ，＋∞)． (2)∵F ′(x )＝x －ax2(0<x ≤3)，∴k ＝F ′(x 0)＝x 0－a x 20≤12(0<x 0≤3)恒成立．即a ≥⎝⎛⎭⎫－12x 20＋x 0max . 当x 0＝1时，－12x 20＋x 0取得最大值12， ∴a ≥12.∴a min ＝12.10．设f (x )＝－13x 3＋12x 2＋2ax .若f (x )在⎝⎛⎭⎫23，＋∞上存在单调递增区间，求a 的取值范围．解：f ′(x )＝－x 2＋x ＋2a ＝－⎝⎛⎭⎫x －122＋14＋2a ，当x ∈⎣⎡⎭⎫23，＋∞时，f ′(x )的最大值为f ′⎝⎛⎭⎫23＝29＋2a . 函数有单调递增区间，即在⎝⎛⎭⎫23，＋∞内，导函数大于0有解，令29＋2a >0，得a >－19. 所以当a ∈⎝⎛⎭⎫－19，＋∞时，f (x )在⎝⎛⎭⎫23，＋∞上存在单调递增区间．11．已知函数f (x )(x ∈R )满足f (1)＝1，且f (x )的导函数f ′(x )<12，则f (x )<x 2＋12的解集为( )A ．{x |－1<x <1}B ．{x |x <－1}C ．{x |x <－1或x >1}D ．{x |x >1}解析：设g (x )＝f (x )－x 2－12，则g ′(x )＝f ′(x )－12<0.∴g (x )在R 上是减函数．∵g (1)＝f (1)－12－12＝1－1＝0，∴g (x )＝f (x )－x 2－12<0的解集为{x |x >1}．答案：D12．已知函数f (x )＝2e x －mx (其中e ≈2.718…)在区间[－1,0]上单调递减，则实数m 的取值范围为________．解析：由题意得f ′(x )＝2e x －m ≤0在[－1,0]上恒成立，即m ≥2e x 恒成立，可得m ≥2. 答案：[2，＋∞)13．若函数f (x )＝x 3－3ax 2－bx ，其中a ，b 为实数，f (x )在区间[－1,2]上为减函数，且b ＝9a ，则a 的取值范围是________．解析：由已知得f ′(x )＝3x 2－6ax －b ≤0对∀x ∈[－1，2]恒成立， ∵b ＝9a ，∴x 2－2ax －3a ≤0.∵2x ＋3>0. ∴a ≥x 22x ＋3对x ∈[－1,2]恒成立．解得a ≥1. 答案：[1，＋∞)14．已知函数f (x )＝ax －ln x ，若f (x )>1在区间(1，＋∞)内恒成立，则实数a 的取值范围为_________．解析：由已知a >1＋ln xx 在区间(1，＋∞)内恒成立．设g (x )＝1＋ln xx ，∴g ′(x )＝－ln xx2<0(x >1)．∴g (x )＝1＋ln xx 在区间(1，＋∞)内递减．∴g (x )<g (1)． ∵g (1)＝1，∴1＋ln xx<1在区间(1，＋∞)内恒成立．∴a ≥1. 答案：[1，＋∞)15．已知函数f (x )＝a ln x ＋x 3(a 为常数)．(1)若a ＝－3，判断函数f (x )在(1，＋∞)上的单调性； (2)函数f (x )在[1，e]上单调递减，求实数a 的取值范围；(3)若存在x ∈[1，e]，使得f (x )≥ax ＋x 3－x 2＋2x 成立，求实数a 的取值范围．解：(1)当a ＝－3时f ′(x )＝3x 2－3x ＝3(x 3－1)x. 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0. ∴函数f (x )在(1，＋∞)上是增函数．(2)由已知得f ′(x )＝a x ＋3x 2＝3x 3＋a x .∵f (x )在[1，e]上单调递减，∴f ′(x )≤0在[1，e]上恒成立．即a ≤－3x 3在[1，e]上恒成立． ∵(－3x 3)min ＝－3e 3，∴a ≤－3e 3. (3)不等式f (x )≥ax ＋x 3－x 2＋2x 可化为 a (x －ln x )≤x 2－2x .∵x ∈[1，e]，∴ln x ≤1≤x ，且不能同时取等号． ∴ln x <x ，即x －ln x >0. ∴a ≤x 2－2xx －ln x (x ∈[1，e])．令g (x )＝x 2－2xx －ln x (x ∈[1，e])，则g ′(x )＝(x －1)(x ＋2－2ln x )(x －ln x )2.当x ∈[1，e]时，x －1≥0，ln x ≤1，x ＋2－2ln x >0，从而g ′(x )≥0(仅当x ＝1时取等号)， ∴g (x )在[1，e]上为增函数． ∴g (x )的最小值为g (1)＝－1. ∴实数a 的取值范围是(－∞，－1]． 16．设函数f (x )＝1＋x 1－xe －ax .(1)试写出定义域及f ′(x )的解析式； (2)设a >0，讨论函数y ＝f (x )的单调性．解：(1)f (x )的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，f ′(x )＝ax 2＋2－a (1－x )2e －ax，其中x ≠1.(2)①当0<a ≤2时，f ′(x )≥0且仅在有限个点处取等号，∴f (x )在(－∞，1)，(1，＋∞)上为增函数．②当a >2时，由f ′(x )>0得ax 2＋2－a >0，解得x >a －2a或x <－a －2a；由f ′(x )<0得ax 2＋2－a <0，解得－a －2a<x < a －2a. 综上所述，当0<a ≤2时，函数y ＝f (x )在(－∞，1)，(1，＋∞)上单调递增；当a >2时，函数y ＝f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－a －2a ，⎝ ⎛⎭⎪⎫a －2a ，1，(1，＋∞)上单调递增，在⎝⎛⎭⎪⎫－a －2a ， a －2a 上单调递减．。

北师版高中同步学考数学选修2-2精品课件第二章 §3 计算导数

π
(4)y=log3x;(5)y=sin 2 + .
解:(1)y'=-5x-5-1=-5x-6.
(2)y'=4xln 4.
(3)∵y= =(x
1
)2
=
3 -1
= 4 4.
1
.
(4)y'=(log3x)'=
ln3
π
(5)∵y=sin + =cos
2
3 3-1
∴y'=4 4
∴y'=-sin x.
5
=
(4)∵y=log2x2-log2x=log2x,
1
∴y'=(log2x)'=x2 .
x
x
(5)∵y=-2sin2 1-2 2 4
x
x
=2sin 2 2 2 4 -1
x
=
x
=2sin 2cos 2=sin x,
∴y'=cos x.
3 -2
5
5
=
.
3
5
5
x2
.
探究学习
探究一
探究二
分析熟练掌握导数的基本公式.运用有关性质或公式将问题转化为
基本初等函数后再求导数.
探究学习
探究一
探究二
解:(1)y'=(x
(2)y'=
(3)y'=(
1
4
5
思想方法
3
3 3-1
x)'=(x 2 )'= 2
2
3
2
.
4
5
'=(x-4)'=-4x-4-1=-4x-5=3
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2019北师大版数学选修2-2同步优化指导练习-阶段质量评估1Word版含答案解析

阶段质量评估(一)推理与证明(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．下列推理正确的是()A．把a(b＋c)与log a(x＋y)类比，则有：log a(x＋y)＝log a x＋log a yB．把a(b＋c)与sin(x＋y)类比，则有：sin(x＋y)＝sin x＋sin yC．把(ab)n与(x＋y)n类比，则有：(x＋y)n＝x n＋y nD．把(a＋b)＋c与(xy)z类比，则有：(xy)z＝x(yz)解析：A，B，C所得结论均为错误结论，只有D所得结论正确．答案：D2．由“正三角形的内切圆切于三边的中点”可类比猜想出正四面体的内切球切于四个侧面三角形()A．内任一点B．某高线上的点C．中心D．外的某点解析：将三角形类比为正四面体，三角形三边的中点可类比为四个侧面三角形的中心．答案：C3．在△ABC中，sin Asin C＞cos Acos C，则△ABC一定是()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定解析：由sin Asin C＞cos Acos C，可得cos(A＋C)＜0，即cos B＞0，所以B为锐角，但并不能判断角A，C，故选D．答案：D4．用反证法证明：“方程ax2＋bx＋c＝0，且a，b，c都是奇数，则方程没有整数根”时，正确的假设是方程存在实数根x0为()A．整数B．奇数或偶数C．正整数或负整数D．自然数或负整数解析：方程没有整数根的否定是方程有整数根，在方程ax2＋bx＋c＝0中，a，b，c都是奇数，故0不是方程的根，因此正确的假设是方程存在实数根x0为正整数或负整数．答案：C5．用数学归纳法证明1＋a＋a2＋…＋a n＋1＝1－a n＋21－a(a≠1，n∈N＋)，在验证n＝1成立时，左边计算所得结果为()A．1 B．1＋a。

2019北师大版数学选修2-2同步优化指导练习-第2章 5 简单复合函数的求导法则活页作业9 Word版含答案解析

活页作业(九) 简单复合函数的求导法则1．y ＝12(e x ＋e －x )的导数y ′等于( )A ．12(e x ＋e －x )B ．12(e x －e －x )C ．e x ＋e －xD ．e x －e －x解析：y ′＝12(e x ＋e －x )′＝12(e x －e －x )．答案：B2．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎫2x ＋π6·cos ⎝⎛⎫2x ＋π6，则f ′(0)等于( ) A ．1 B ．0C ．－1D ．以上都不对解析：f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6·cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＝12sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π3， f ′(x )＝12cos ⎝⎛⎭⎫4x ＋π3·⎝⎛⎭⎫4x ＋π3′＝2cos ⎝⎛⎭⎫4x ＋π3， ∴f ′(0)＝2cos π3＝1.答案：A 3．曲线f (x )＝e 2x－4在x ＝2处的切线方程为( )A ．2x －y －3＝0B ．2x ＋y －3＝0C ．e x －y －2e ＋1＝0D ．e x ＋y ＋2e －1＝0解析：∵f ′(x )＝e 2x －4(2x －4)′＝2e 2x －4，∴f ′(2)＝2. 又切点为(2,1)，∴切线方程为y －1＝2(x －2)，即2x －y －3＝0. 答案：A4．函数y ＝ln(x 2－1)的导数y ′＝( ) A ．2xx 2－1B ．1x 2－1C ．2x －1x 2－1D ．x 2x 2－1解析：y ′＝(x 2－1)′x 2－1＝2xx 2－1.答案：A5．已知直线y ＝x ＋1与曲线y ＝ln(x ＋a )相切，则a 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．－1D ．－2解析：设切点为P (x 0，y 0)，则y 0＝x 0＋1，y 0＝ln(x 0＋a )．∵y ′|x ＝x 0＝1x 0＋a＝1，∴x 0＋a ＝1.∴y 0＝0，x 0＝－1.∴a ＝2. 答案：B6．函数y ＝x －(2x －1)2的导数是________．解析：y ′＝x ′－[(2x －1)2]′ ＝1－2(2x －1)(2x －1)′ ＝1－4(2x －1)＝5－8x . 答案：y ′＝5－8x7．曲线y ＝sin 3x 在点P ⎝⎛⎭⎫π3，0处的切线方程为____________．解析：y ′x ＝cos 3x ·(3x )′＝cos 3x ·3＝3cos 3x ， ∴曲线y ＝sin 3x 在点P ⎝⎛⎭⎫π3，0处的切线斜率为 3cos ⎝⎛⎭⎫3×π3＝－3. ∴切线方程为y ＝－3·⎝⎛⎭⎫x －π3，即3x ＋y －π＝0. 答案：3x ＋y －π＝08．设曲线y ＝e ax 在点(0,1)处的切线与直线x ＋2y ＋1＝0垂直，则a ＝________. 解析：∵直线x ＋2y ＋1＝0的斜率为－12，∴所求切线的斜率k ＝2. 又y ′x ＝e ax ·(ax )′＝a e ax ， ∴当x ＝0时，y ′＝a .∴a ＝2. 答案：29．求下列函数的导数： (1)y ＝⎝⎛⎭⎫3x －1x 5； (2)y ＝11－x 2； (3)y ＝cos x 2.解：(1)设y ＝u 5，u ＝3x －1x ，则y ′＝(u 5)′⎝⎛⎭⎫3x －1x ′ ＝5u 4·⎝⎛⎭⎫3＋1x 2 ＝5⎝⎛⎭⎫3x －1x 4⎝⎛⎭⎫3＋1x 2. (2)设y ＝u －12，u ＝1－x 2，则y ′＝(u －12)′·(1－x 2)′＝⎝⎛⎭⎫－12u －32·(－2x )＝x (1－x 2)－32. (3)设y ＝cos u ，u ＝x 2，则y ′＝(cos u )′·(x 2)′ ＝(－sin u )·2x ＝(－sin x 2)·2x ＝－2x sin x 2.10．已知函数y ＝f (x )＝x ln(2x －1)． (1)求这个函数的导数；(2)求这个函数在x ＝1处的切线方程．解：(1)y ′＝x ′ln(2x －1)＋x [ln(2x －1)]′ ＝ln(2x －1)＋x2x －1·(2x －1)′＝ln(2x －1)＋2x2x －1. (2)由(1)知：切线的斜率k ＝f ′(1)＝ln(2×1－1)＋2×12×1－1＝2.又x ＝1时，f (1)＝0. ∴切点为(1,0)．故切线方程为y ＝2(x －1)，即2x －y －2＝0.11．函数y ＝⎝⎛⎭⎫x ＋1x 5的导数y ′＝( ) A ．5⎝⎛⎭⎫x ＋1x 4 B ．5⎝⎛⎭⎫x ＋1x 4⎝⎛⎭⎫1＋1xC ．5⎝⎛⎭⎫x ＋1x 4(1－x －2) D ．5⎝⎛⎭⎫x ＋1x 4(1＋x －2) 解析：y ′＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x ＋1x 5′＝5⎝⎛⎭⎫x ＋1x 4·⎝⎛⎭⎫x ＋1x ′ ＝5⎝⎛⎭⎫x ＋1x 4(1－x －2)．答案：C12．已知函数f (x )＝(2x ＋a )2，若f (x )在x ＝a 处的导数值为20，则a ＝________. 解析：f ′(x )＝2(2x ＋a )·2， ∵f ′(a )＝20， ∴12a ＝20.∴a ＝53.答案：5313．曲线y ＝ln(2x －1) 上的点到直线2x －y ＋3＝0的最短距离d 为________．解析：当曲线的切线与直线2x －y ＋3＝0平行时，切点到该直线的距离最短．对于y ＝ln(2x －1)，y ′＝22x －1，令y ′＝2，得x ＝1.将x ＝1代入曲线方程y ＝ln(2x －1)得y ＝0， ∴切点(1,0)到直线2x －y ＋3＝0的距离最短，最短距离d ＝|2×1－0＋3|22＋(－1)2＝ 5.答案： 5 14．曲线y ＝e －2x＋1在点(0,2)处的切线与直线y ＝0和y ＝x 围成的三角形的面积为________．解析：y ′＝－2e－2x ，曲线在点(0,2)处的切线的斜率k ＝－2，∴切线方程为y ＝－2x ＋2.该直线与直线y ＝0和y ＝x 围成的三角形如下图所示，其中直线y ＝－2x ＋2与y ＝x 的交点A ⎝⎛⎭⎫23，23，∴三角形的面积S ＝12×1×23＝13.答案：1315．若函数f (x )＝e xx 在x ＝a 处的导数值与函数值互为相反数，求a 的值．解：∵f (x )＝e xx ，∴f (a )＝e aa.又∵f ′(x )＝⎝⎛⎭⎫e x x ′＝e x ·x －e x x 2，∴f ′(a )＝e a ·a －e aa 2.由题意知f (a )＋f ′(a )＝0，∴e a a ＋e a·a －e a a 2＝0. ∴2a －1＝0.∴a ＝12.16．曲线y ＝e 2x cos 3x 在点(0, 1)处的切线与l 的距离为5，求l 的方程．解：由题意知y ′＝(e 2x )′cos 3x ＋e 2x (cos 3x )′＝2e 2x cos 3x ＋(3x )′(－sin 3x )·e 2x ＝2e 2x cos 3x －3e 2x sin 3x ，∴曲线在点(0,1)处的切线的斜率k ＝y ′|x ＝0＝2. ∴该切线的方程为y －1＝2x ，即y ＝2x ＋1.设直线l 的方程为y ＝2x ＋m ，则d ＝|m －1|5＝5，解得m ＝－4或m ＝6.当m ＝－4时，直线l 的方程为y ＝2x －4；当m ＝6时，直线l 的方程为y ＝2x ＋6.综上可知，直线l 的方程为y ＝2x －4或y ＝2x ＋6.。

数学同步优化指导(北师大版选修2-2)练习：第2章 4.1、4.2 导数的四则运算法则活页作业8

活页作业(八) 导数的四则运算法则1．已知f (x )＝sin x －cos x ，则f ′⎝⎛⎭⎫π3等于( ) A ．0 B ．3－12C ．3＋12D ．1解析：f (x )＝sin x －cos x ，则f ′(x )＝cos x ＋sin x ，f ′⎝⎛⎭⎫π3＝cos π3＋sin π3＝12＋32. 答案：C2．曲线y ＝x 3－3x 在某一点处的切线平行于x 轴，则该点的坐标是( ) A ．(－1,2) B ．(1，－2) C ．(1,2)D ．(－1,2)或(1，－2)解析：y ＝x 3－3x ，则y ′＝3x 2－3. 令y ′＝0，则x ＝±1. 故切点为(－1,2)或(1，－2)．答案：D3．点P 在曲线y ＝x 3－x 上移动，设点P 处的切线的倾斜角为α，则α的取值范围是( ) A ．⎣⎡⎭⎫0，π2 B ．⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫34π，π C ．⎣⎡⎭⎫3π4，πD ．⎝⎛⎦⎤π2，3π4 解析：y ＝x 3－x ，则y ′＝3x 2－1≥－1.故在点P 处的切线的倾斜角的取值范围是⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫34π，π.答案：B4．设f (x )＝13ax 3＋bx (a ≠0)，若f (3)＝3f ′(x 0)，则x 0＝( )A ．±1B ．±2C ．±3D ．2解析：由已知得f ′(x )＝ax 2＋b ，∴f ′(x 0)＝ax 20＋b . 又f (3)＝9a ＋3b ，∴由f (3)＝3f ′(x 0)得 3a ＋b ＝ax 20＋b ，解得x 0＝±3. 答案：C5．已知函数f (x )＝1x cos x ，则f (π)＋f ′⎝⎛⎭⎫π2＝( ) A ．－2πB ．3πC ．－1πD ．－3π解析：∵f (x )＝1x cos x ，∴f (π)＝－1π，f ′(x )＝－1x 2cos x －1x sin x .∴f ′⎝⎛⎭⎫π2＝－2π. ∴f (π)＋f ′⎝⎛⎭⎫π2＝－3π. 答案：D6．曲线y ＝x ln x 在点M (e ，e)处的切线在x ，y 轴上的截距分别为a ，b ，则a ＋b ＝( ) A ．－32eB ．－12eC ．12eD ．32e解析：y ′＝(x ln x )′＝x ′ln x ＋x (ln x )′＝ ln x ＋x ·1x ＝ln x ＋1，∴当x ＝e 时，y ′＝ln e ＋1＝2.∴曲线y ＝x ln x 在点M (e ，e)处的切线方程为y －e ＝2(x －e)．令x ＝0，得y ＝－e ；令y ＝0，得x ＝e2.∴a ＝e 2，b ＝－e.∴a ＋b ＝－e 2.答案：B7．曲线y ＝x 3－2ax 2＋2ax 上任意一点处的切线的倾斜角都是锐角，则整数a ＝________. 解析：y ＝x 3－2ax 2＋2ax ，则y ′＝3x 2－4ax ＋2a .若曲线上任意一点处的切线的倾斜角都是锐角，则y ′＞0恒成立，即y ′＝3x 2－4ax ＋2a >0恒成立．则Δ＝(－4a )2－4×3×2a ＝16a 2－24a <0，解得0＜a ＜32，整数a ＝1.答案：18．某物体的运动曲线是s ＝t 2＋3t ，则该物体的初速度是________．解析：s ＝t 2＋3t .故s ′＝2t ＋3.故s ′|t ＝0＝3. 答案：39．求下列函数的导数： (1)y ＝cos 2xsin x ＋cos x ；(2)y ＝x ln x 1＋x ；(3)y ＝sin x 2cos x2.解：(1)y ＝cos 2xsin x ＋cos x ＝cos 2x －sin 2x sin x ＋cos x ＝cos x －sin x ，y ′＝(cos x －sin x )′＝(cos x )′－(sin x )′＝－sin x －cos x . (2)y ′＝⎝⎛⎭⎫x ln x1＋x ′＝(x ln x )′(1＋x )－x ln x (1＋x )′(1＋x )2＝(ln x ＋1)(1＋x )－x ln x (1＋x )2＝ln x ＋x ＋1x 2＋2x ＋1.(3)y ＝sin x 2cos x 2＝12sin x ，y ′＝⎝⎛⎭⎫12sin x ′＝12(sin x )′＝12cos x . 10．已知函数f (x )＝ax 4＋bx 3＋cx 2＋dx ＋e 为偶函数，它的图像过点A (0，－1)且在x ＝1处的切线方程为2x ＋y －2＝0，求函数f (x )的表达式．解：由函数f (x )为偶函数得f (－x )＝f (x )，即ax 4＋bx 3＋cx 2＋dx ＋e ＝ax 4－bx 3＋cx 2－dx ＋e ， ∴b ＝d ＝0. ∴f (x )＝ax 4＋cx 2＋e .又∵函数图像过点A (0，－1)，∴e ＝－1. ∴函数f (x )＝ax 4＋cx 2－1. ∴f ′(x )＝4ax 3＋2cx .∴x ＝1处的切线的斜率k ＝－2＝f ′(1)． ∴4a ＋2c ＝－2.由2x ＋y －2＝0，得x ＝1时，y ＝0， ∴点(1,0)在f (x )的图像上． ∴a ＋c －1＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2c ＝－2，a ＋c －1＝0，求得a ＝－2，c ＝3，故函数f (x )＝－2x 4＋3x 2－1.11．已知f 1(x )＝sin x ＋cos x ，记f 2(x )＝f 1′(x )，f 3(x )＝f 2′(x )，…，f n (x )＝f n －1′(x )(n ∈N＋，n ≥2)，则f 1⎝⎛⎭⎫π2＋f 2⎝⎛⎭⎫π2＋…＋f 2 016⎝⎛⎭⎫π2＝________. 解析：f 1(x )＝sin x ＋cos x ， f 2(x )＝f 1′(x )＝cos x －sin x ，f 3(x )＝(cos x －sin x )′＝－sin x －cos x ， f 4(x )＝－cos x ＋sin x ，f 5(x )＝sin x ＋cos x ，以此类推，可得出f n (x )＝f n ＋4(x )．又f 1(x )＋f 2(x )＋f 3(x )＋f 4(x )＝0，∴f 1⎝⎛⎭⎫π2＋f 2⎝⎛⎭⎫π2＋…＋f 2 016⎝⎛⎭⎫π2＝f 1⎝⎛⎭⎫π2＋f 2⎝⎛⎭⎫π2＋f 3⎝⎛⎭⎫π2＋f 4⎝⎛⎭⎫π2＝0. 答案：012．函数f (x )＝(x －a )(x －b )(x －c )(a ，b ，c 是两两互不相等的常数)，则a f ′(a )＋b f ′(b )＋cf ′(c )＝__________________. 解析：∵f (x )＝x 3－(a ＋b ＋c )x 2＋(ab ＋bc ＋ca )x －abc ， ∴f ′(x )＝3x 2－2(a ＋b ＋c )x ＋ab ＋bc ＋ca .∴f ′(a )＝(a －b )(a －c )．同理f ′(b )＝(b －a )(b －c )，f ′(c )＝(c －a )(c －b )．代入原式，得a f ′(a )＋b f ′(b )＋cf ′(c )＝0.答案：013．已知f (x )＝(x －1)(x －2)…(x －10)，则f ′(10)＝__________________. 解析：∵f (x )＝(x －1)(x －2)…(x －10) ＝[(x －1)(x －2)…(x －9)](x －10)，∴f ′(x )＝[(x －1)(x －2)…(x －9)]′(x －10)＋[(x －1)(x －2)…(x －9)](x －10)′ ＝[(x －1)(x －2)…(x －9)]′(x －10)＋(x －1)(x －2)…(x －9)．故f ′(10)＝9×8×7×…×2×1＝362 880.答案：362 88014．对正整数n ，设曲线y ＝x n (1－x )在x ＝2处的切线与y 轴交点的纵坐标为{a n }，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n ＋1的前n 项和的公式．解：∵y ＝x n (1－x )，∴y ′＝nx n －1(1－x )－x n ＝nx n －1－(n ＋1)x n .∴当x ＝2时，y ′＝n ·2n －1－(n ＋1)2n ＝－(n ＋2)·2n －1.∵f (2)＝－2n ，∴所求的切线方程为y ＋2n ＝－(n ＋2)·2n －1(x －2)．令x ＝0，则y ＝(n ＋1)·2n . ∴a n ＝(n ＋1)·2n ，a n n ＋1＝2n ，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n ＋1的前n 项和为2(1－2n)1－2＝2n ＋1－2.15．已知函数y ＝f (x )＝a ＋b ln xx ＋1在点(1，f (1))处的切线方程为x ＋y ＝2，求a ，b 的值．解：由f (x )＝a ＋b ln xx ＋1⇒f ′(x )＝bx(x ＋1)－(a ＋b ln x )(x ＋1)2；由点(1，f (1))在直线x ＋y ＝2上⇒f (1)＝1；由直线x ＋y ＝2的斜率为－1⇒f ′(1)＝－1.故有⎩⎨⎧a2＝1，2b －a4＝－1⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－1.。

数学北师大选修22教材基础第二章§3计算导数含答案

§3 计算导数导数定义本身给出了求导数的最基本的方法，但由于导数是用极限来定义的，所以求导数总是归结到求极限，这在运算上很麻烦，有时甚至很困难，为了能够较快地求出某些函数的导数，我们将研究比较简捷的求导数的方法，本节课根据导数定义先来证明几个常见函数的导数公式.高手支招1细品教材一、导函数一般地，如果一个函数f(x)在区间（a ，b ）上的每一点x 处都有导数，导数值记为f′(x):f′(x)=0lim→∆xx f x x f ∆-∆+)()(,则f′(x)是关于x 的函数，称f′(x)为f(x)的导函数，通常也称为导数.二、几种常见函数的导数 1.设y=c(常数)，则y′=0.（1）表述：常数函数的导数为零. （2）证明：∵Δy=f(x+Δx)-f(x)=c-c=0,xy ∆∆=0, ∴y′=c′=0lim→∆xy∆∆=0.∴y′=0. （3）我们可以用几何图形对公式加以说明：因为y=c 的图像是平行于x 轴的直线，其上任一点的切线即为直线本身，所以切线的斜率都是0. 【示例】设y=π2，则y′等于（）A.2πB.πC.0D.以上都不是思路分析：本题是对函数的求导问题，直接利用公式即可.因为π是常数，常数的导数为零，所以选C.答案：C状元笔记函数f(x)=x 、f(x)=x 2、f(x)=x -1是函数f(x)=x n (n ∈R )的特殊情况，它们的导数也是f(x)=x n (n ∈R )导数的特殊情况. 2.(x n )′=nx n-1(n 为实数).表述：正整数指数幂函数的导数等于幂指数n 与自变量的(n-1)次幂的乘积. 【示例】求函数y=321x在点x=8处的导数.解：y=x32-,y′=32-x 35-,y′|x=8=32-·835-=481-.3.(sinx)′=cosx.（1）表述：正弦函数的导数等于余弦函数. （2）证明：y ＝f(x)=sinx ，Δy=sin(x+Δx)－sinx=sinxcosΔx+cosxsinΔx -sinx ，xx x x x x x y ∆-∆+∆=∆∆sin sin cos cos sin ， y′=0lim →∆x =∆∆x y 0lim →∆x xxx x x x ∆-∆+∆sin sin cos cos sin=0lim→∆x xxx x x ∆∆+-∆sin cos )1(cos sin=0lim→∆x +∆∆-xxx )22sin 2(sin 0lim →∆x x x x ∆∆sin cos =0lim →∆x 4)2(22sin )sin 2(2x x x x ∆•∆∆•-+cosx =-2sinx·1·0+cosx=cosx ，∴y′=cosx. 【示例】求曲线y=sinx 在点A(6π,21)处的切线方程. 解：y′=cosx,曲线在点A 处的切线斜率为y′6|x x ==cos 6π=23. 所以，所求切线方程为y 21-=23(x-6π)，即63x-12y-3π+6=0. 状元笔记有些式子不能直接应用导数的公式，可以变形之后再应用导数公式. 4.(cosx)′=－sinx.（1）表述：余弦函数的导数等于正弦函数前面添一个负号. （2）证明：Δy=cos(x+Δx)-cosx=cosxcosΔx -sinxsinΔx -cosx,y′=0lim→∆x =∆∆x y 0lim→∆x x xx x x x ∆-∆-∆cos sin sin cos cos =0lim →∆x xx x x x ∆∆--∆sin sin )1(cos cos =0lim →∆x -∆∆-xxx )2sin 2(cos 20lim →∆x x x x∆∆sin sin =0lim →∆x 1sin 4)2(2sin )cos 2(22•-∆•∆∆-x x x x x =-2cosx·1·0-sinx=-sinx, ∴y′=-sinx【示例】求过曲线y=cosx 上点P(3π,21)且与过这点的切线垂直的直线方程. 思路分析：要求与切线垂直的直线方程，关键是确定切线的斜率，从已知条件分析，求切线的斜率是可行的途径，可先通过求导确定曲线在点P 处切线的斜率，再根据点斜式求出与切线垂直的直线方程. 解：∵y=cosx ， ∴y′=-sinx.曲线在点P(3π,21)处的切线斜率是y′3|π=x =-sin 3π=23-.∴过点P 且与切线垂直的直线的斜率为32，∴所求的直线方程为y 21-=32(x-3π)，即2x-3y-32π+23=0. 高手支招2基础整理本节首先通过几个常用函数的导数的推导过程,进一步理解导数的定义.然后引入了几种常见的基本初等函数的导数公式. 几种常见函数的导数高手支招3综合探究1.通过函数y=f(x)在x 0处的导数的定义，探究x 0∈(a,b)时,y=f(x)在x 0处可导与y=f(x)在(a,b)内处处可导的等价性.自变量x 在x 0处有增量Δx,那么相应地函数y 也有增量Δy=f(x 0+Δx)－f(x 0),若0lim→∆x xy∆∆存在,则这个极限值为y=f(x)在x=x 0处的导数.x 0∈(a,b)时,y=f(x)在x 0处可导,只能说明在(a,b)内某一点x 0可导,而不能说明(a,b)内每点处都有导数,所以不能得到y=f(x)在(a,b)内处处可导;反之，y=f(x)在(a ，b)内处处可导，因为x 0∈(a,b),所以y=f(x)在x 0处可导，所以，y=f(x)在x 0∈(a,b)处可导是y=f(x)在（a,b ）内处处可导的必要而不充分条件. 2.求函数导数的流程图.我们根据导数的概念，可以得到一个求函数导数的流程图.利用该流程图可以推导出常见函数的导数.。

2019-2020学年北师大版数学选修2-2讲义：第2章 §3 计算导数 Word版含答案

姓名，年级：时间：§3计算导数学习目标核心素养1．理解导数的概念．(重点)2．会用导数定义求简单函数的导数．（难点)3。

记住基本初等函数的求导公式，并能用它们求简单函数的导数．（重点）1．通过导数概念的学习，提升学生的数学抽象的核心素养.2．通过求简单函数的导数的学习,培养学生数学运算的核心素养.1．导函数的概念一般地，如果一个函数f(x)在区间(a，b）上的每一点x处都有导数，导数值记为f′（x):f′(x）＝错误!错误!，则f′(x)是关于x的函数，称f′（x)为f(x)的导函数,通常也简称为导数．2．导数公式表函数导函数y＝c（c是常数）y′＝0y＝xα（α是实数)y′＝αxα－1y＝a x(a>0，a≠1)y′＝a x ln_a,特别地(e x)′＝e xy＝log a x(a〉0，a≠1)y′＝错误!，特别地（ln x)′＝错误!y＝sin x y′＝cos_xy＝cos x y′＝－sin_xy＝tan x y′＝错误!y＝cot x y′＝－错误!错误!错误!＝αxα－1"得到，即(x)′＝1，(x2）′＝2x，错误!错误!＝－错误!，（错误!）′＝错误!。

1．给出下列命题:①y＝ln 2，则y′＝错误!；②y＝错误!，则y′＝－错误!；③y＝2x,则y′＝2x ln 2；④y＝log2x，则y′＝错误!.其中正确命题的个数为（)A．1 B．2C．3 D．4C[对于①，y′＝0，故①错误；显然②③④正确，故选C.]2．若函数f(x)＝(x－1）2，那么f′（x）＝________.2x－2 ［∵f（x）＝x2－2x＋1,∴错误!＝错误!＝2x＋Δx－2．故f′(x)＝错误!错误!＝错误!（2x＋Δx－2)＝2x－2．］3．若f(x）＝10x，则f′(1)＝________。

10ln 10 [f′(x）＝10x ln 10,∴f′(1)＝10ln 10。

]利用导数公式求函数的导数（1）y＝x12；(2)y＝错误!；(3)y＝3x；（4)y＝log5x.思路探究：首先观察函数解析式是否符合求导形式，若不符合可先将函数解析式化为基本初等函数的求导形式．［解] (1)y′＝（x12)′＝12x11．（2)y′＝错误!错误!＝（x－4)′＝－4x－5＝－错误!。

高中数学选修2-2 北师大版第2章 §3 计算导数作业(含答案)

第二章 §3一、选择题1．下列结论正确的是( ) A ．若y ＝1x ，则y ′＝1x 2B ．若y ＝x ，则y ′＝12xC ．若y ＝cos x ，则y ′＝sin xD ．若y ＝ln x ，则y ′＝1x解析： ⎝⎛⎭⎫1x ′＝－1x 2，(x )′＝12x ，(cos x )′＝－sin x ，(ln x )′＝1x . 答案： D2．已知f (x )＝x a ，若f ′(－1)＝－4，则a 的值是( ) A ．－4 B ．4 C ．±4D ．不确定解析： f ′(x )＝a ·x a －1，f ′(－1)＝a ·(－1)a －1＝－4， ∴a ＝4. 答案： B3．已知直线y ＝kx 是曲线y ＝ln x 的切线，则k 的值等于( ) A ．e B ．－e C.1eD ．－1e解析： y ′＝(ln x )′＝1x ，设切点为(x 0，y 0)，则切线方程为y －y 0＝1x 0(x －x 0)，即y ＝1x 0x ＋ln x 0－1，由ln x 0－1＝0得x 0＝e.又∵k ＝1x 0，∴k ＝1e .答案： C4．已知直线ax －by ＋2＝0与曲线y ＝x 3在点P (1,1)处的切线互相垂直，则ab 的值为( )A.23 B.13 C ．－23D ．－13解析：曲线y ＝x 3在点P (1,1)处的切线斜率k ＝y ′|x ＝1＝3x 2|x ＝1＝3，直线ax －by ＋2＝0斜率k ′＝a b ，由题意可得3×a b ＝－1，故a b ＝－13.答案： D二、填空题5．若已知f (x )＝cos x ，g (x )＝x ，且f ′(x )＋g ′(x )≤0，则x 的取值为_____________．解析： ∵f (x )＝cos x ，g (x )＝x ，∴f ′(x )＝(cos x )′＝－sin x ．g ′(x )＝x ′＝1. 由f ′(x )＋g ′(x )≤0，得到－sin x ＋1≤0，即sin x ≥1，但sin x ∈[－1,1]， ∴sin x ＝1.∴x ＝2k π＋π2，k ∈Z .答案： 2k π＋π2，k ∈Z6．曲线y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－x 在点A ⎝⎛⎭⎫－π3，12处的切线方程为_________________．解析： ∵sin ⎝⎛⎭⎫π2－x ＝cos x ， ∴y ′＝(cos x )′＝－sin x ， ∴切线的斜率k ＝－sin ⎝⎛⎭⎫－π3＝32， ∴过点⎝⎛⎭⎫－π3，12的切线方程为y －12＝32⎝⎛⎭⎫x ＋π3，即33x －6y ＋3π＋3＝0. 答案： 33x －6y ＋3π＋3＝0 三、解答题7．求下列函数的导数． (1)y ＝2；(2)y ＝4x 3；(3)y ＝10x ； (4)y ＝log 12x ；(5)y ＝2cos 2x2－1.解析： (1)∵y ′＝c ′＝0，∴y ′＝2′＝0. (2)∵y ′＝(x n )′＝n ·x n －1，∴y ′＝(4x 3)′＝(x 34 )′＝34x 34 －1＝34x －14 ＝344x. (3)∵y ′＝(a x )′＝a x ·ln a ， ∴y ′＝(10x )′＝10x ·ln 10. (4)∵y ′＝(log a x )′＝1x ·ln a，。

2019北师大版数学选修2-2同步优化指导练习-阶段质量评估5 Word版含答案解析

阶段质量评估(五) 数系的扩充与复数的引入(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．复数z ＝1＋cos α＋isin α(π<α<2π)的模为( ) A ．2cos α2B ．－2cos α2C ．2sin α2D ．－2sin α2解析：|z |＝(1＋cos α)2＋sin 2α＝2＋2cos α＝4cos 2α2＝2⎪⎪⎪⎪cos α2. ∵π<α<2π，∴π2<α2<π.∴cos α2<0.∴2⎪⎪⎪⎪cos α2＝－2cos α2. 答案：B2．已知M ＝{1,2，m 2－3m －1＋(m 2－5m －6)i}，N ＝{－1,3}，M ∩N ＝{3}，则实数m 的值为( )A ．－1或6B ．－1或4C ．－1D ．4解析：由M ∩N ＝{3}，知m 2－3m －1＋(m 2－5m －6)i ＝3.∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m －1＝3，m 2－5m －6＝0.解得m ＝－1. 答案：C3．若θ∈⎝⎛⎭⎫34π，54π，则复数(cos θ＋sin θ)＋(sin θ－cos θ)i 在复平面内所对应的点在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：cos θ＋sin θ＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4，sin θ－cos θ＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ－π4. ∵θ∈⎝⎛⎭⎫34π，54π，∴θ＋π4∈⎝⎛⎭⎫π，32π，θ－π4∈⎝⎛⎭⎫π2，π. ∴2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4<0，2sin ⎝⎛⎭⎫θ－π4>0. ∴cos θ＋sin θ<0，sin θ－cos θ>0.∴复数在平面内对应的点在第二象限．答案：B4．一元二次方程x 2－(5＋i)x ＋4－i ＝0有一个实根x 0，则( ) A ．x 0＝4 B ．x 0＝1 C ．x 0＝4或x 0＝1D ．x 0不存在解析：由已知可得x 20－(5＋i)x 0＋4－i ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 20－5x 0＋4＝0，－x 0－1＝0.该方程组无解．答案：D5．在复平面内，复数1＋i 与1＋3i 分别对应向量OA →和OB →，其中O 为坐标原点，则|AB →|等于( )A ． 2B ．2C ．10D ．4解析：由题意得AB →＝OB →－OA →，则AB →对应的复数为(1＋3i)－(1＋i)＝2i.故|A B →|＝2. 答案：B 6．已知复数z ＝3＋i (1－3i )2，z －是z 的共轭复数，则z ·z －等于( ) A ．14B ．12C ．1D ．2解析：∵z ＝3＋i (1－3i )2＝3＋i －2－23i＝－3＋i4，∴|z |2＝⎝⎛⎭⎫－342＋⎝⎛⎭⎫142＝14. ∴z ·z －＝|z |2＝14.答案：A7．在复平面内，复数－1＋i,0,3＋2i 所对应的点分别是A ，B ，C ，则平行四边形ABCD 的对角线BD 的长为( )A ．5B ．13C ．15D ．17解析：由已知得BA →对应的复数为－1＋i ，BC →对应的复数为3＋2i.因为BD →＝BA →＋BC →，所以BD →对应的复数为(－1＋i)＋(3＋2i)＝2＋3i.故BD 的长为13.答案：B8．已知复数z 对应的点在第二象限，它的模是3，实部是－5，则z 为( ) A ．－5＋2i B ．－5－2i C ．5＋2iD ．5－2i解析：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则x ＝－ 5. 由|z |＝3，得(－5)2＋y 2＝9，即y 2＝4.∴y ＝±2. ∵复数z 对应的点在第二象限， ∴y ＝2.∴z ＝－5＋2i. 答案：A9．1＋2i ＋3i 2＋…＋2 005i 2 004的值是( ) A ．－1 000－1 000i B ．－1 002－1 002i C ．1 003－1 002iD ．1 005－1 000i 解析：1＋2i ＋3i 2＋4i 3＝1＋2i －3－4i ＝－2－2i,5i 4＋6i 5＋7i 6＋8i 7＝5＋6i －7－8i ＝－2－2i ，故原式＝501×(－2－2i)＋2 005i 2 004＝－1 002－1 002i ＋2 005＝1 003－1 002i.答案：C10．设复数z 满足1－z 1＋z ＝i ，则|1＋z |等于( )A ．0B ．1C ． 2D ．2解析：由1－z 1＋z ＝i ，得z ＝1－i1＋i ＝－i.故|1＋z |＝|1－i|＝ 2. 答案：C11．有下列四个命题： ①0比－i 大；②两个复数互为共轭复数，当且仅当其和为实数； ③x ＋y i ＝1＋i 的充要条件为x ＝y ＝1；④如果让实数a 与a i 对应，那么实数集与纯虚数集一一对应．其中正确命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3 解析：①实数与虚数不能比较大小；②两个复数互为共轭复数时，其和为实数，但是两个复数的和为实数时，这两个复数不一定互为共轭复数；③x ＋y i ＝1＋i 的充要条件为x ＝y ＝1是错误的，因为没有表明x ，y 是否为实数； ④当a ＝0时，没有纯虚数和它对应．答案：A12．若集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫z |z ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 4n ，n ∈N ，则集合M 等于( )A ．∅B ．{0}C ．{0,2}D ．{2}解析：∵⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 4n ＝(－i)4n ＝[(－i)4]n ＝1，∴z ＝0. ∴M ＝{0}．答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．若复数z 1＝4＋29i ，z 2＝6＋9i ，则复数(z 1－z 2)i 的实部为________．解析：(z 1－z 2)i ＝(4＋29i －6－9i)·i ＝(－2＋20i)i ＝－20－2i ，故实部为－20. 答案：－2014．已知(a －i)2＝2i ，其中i 是虚数单位，那么实数a ＝__________________. 解析：∵(a －i)2＝a 2－1－2a i ＝2i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1＝0，－2a ＝2.解得a ＝－1. 答案：－115．使关于x 的方程x 2＋2i x －4tan θ＋4i ＝0有实数根的锐角θ的值是________．解析：设m 是方程的实根，代入方程，整理得(m 2－4tan θ)＋(2m ＋4)i ＝0，由复数相等的条件，得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－4tan θ＝0，2m ＋4＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧tan θ＝1，m ＝－2.由θ为锐角，得θ＝π4.答案：π416．定义复数的一种运算z 1]|z 1|＋|z 2|,2)(等式右边为普通运算)，若复数z ＝a ＋b i ，且实数a ，b 满足a ＋b ＝3，则z *z －的最小值为________．解析：根据题意，得z *z －＝|z |＋|z －|2＝|z |＝a 2＋b 2＝a 2＋(3－a )2＝2a 2－6a ＋9＝2⎝⎛⎭⎫a －322＋92. 因此当a ＝32时，z *z －有最小值，且最小值为322.答案：322三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)已知复数z 的共轭复数是z －，且满足z ·z －＋2i z ＝9＋2i.求z . 解：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z －＝a －b i. ∵z ·z －＋2i z ＝9＋2i ，∴(a ＋b i)(a －b i)＋2i(a ＋b i)＝9＋2i ，即a 2＋b 2－2b ＋2a i ＝9＋2i.∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－2b ＝9， ①2a ＝2. ② 由②得a ＝1.代入①得b 2－2b －8＝0. 解得b ＝－2或b ＝4. ∴z ＝1－2i 或z ＝1＋4i.18．(12分)已知复数z 满足|z |＝2，z 2的虚部是2. (1)求复数z .(2)设z ，z 2，z －z 2在复平面内的对应点分别为A ，B ，C ，求△ABC 的面积．解：(1)设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z 2＝a 2－b 2＋2ab i.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝2，2ab ＝2.解得a ＝b ＝1或a ＝b ＝－1. 故z ＝1＋i 或z ＝－1－i.(2)当z ＝1＋i 时，z 2＝2i ，z －z 2＝1－i. 则A (1,1)，B (0,2)，C (1，－1)．所以S △ABC ＝1.当z ＝－1－i 时，z 2＝2i ，z －z 2＝－1－3i. 则A (－1，－1)，B (0,2)，C (－1，－3)．故S △ABC ＝1.19．(12分)已知复数(x －2)＋y i(x ，y ∈R )的模为3，求yx的最大值．解：由|x －2＋y i|＝3，得(x －2)2＋y 2＝3.故(x ，y )在以C (2,0)为圆心，3为半径的圆上，yx 表示圆上的点(x ，y )与原点连线的斜率．如图所示，由平面几何知识，易知yx的最大值为 3.20．(12分)已知ω＝z ＋i(z ∈C )，z －2z ＋2是纯虚数，且|ω＋1|2＋|ω－1|2＝16，求ω.解：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z －2z ＋2＝(a －2)＋b i (a ＋2)＋b i ＝(a 2＋b 2－4)＋4b i (a ＋2)2＋b 2. ∵z －2z ＋2为纯虚数， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－4＝0，b ≠0. ∴|ω＋1|2＋|ω－1|2＝|(a ＋1)＋(b ＋1)i|2＋|(a －1)＋(b ＋1)i|2＝(a ＋1)2＋(b ＋1)2＋(a －1)2＋(b ＋1)2＝2(a 2＋b 2)＋4b ＋4＝8＋4b ＋4＝12＋4b .∴12＋4b ＝16.∴b ＝1.把b ＝1代入a 2＋b 2＝4，解得a ＝±3. ∴z ＝±3＋i.∴ω＝±3＋2i.21．(12分)已知复数z ＝(1＋i )3(a ＋b i )1－i 且|z |＝4，z 对应的点在第一象限，复数0，z ，z －对应的点是正三角形的三个顶点．求实数a ，b 的值．解：z ＝(1＋i )2(1＋i )1－i (a ＋b i)＝2i·i·(a ＋b i)＝－2a －2b i.∵|z |＝4，∴(－2a )2＋(－2b )2＝4，即a 2＋b 2＝4. ∵复数0，z ，z －对应的点是正三角形的三个顶点， ∴|z |＝|z －z －|.把z ＝－2a －2b i 代入，化简得b ＝±1. 又∵点Z 在第一象限，∴a <0，b <0.∴a＝－3，b＝－1.22．(12分)已知|z＋1－i|＝1，求|z－3＋4i|的最大值和最小值．解法一：设ω＝z－3＋4i，则z＝ω＋3－4i.∴z＋1－i＝ω＋4－5i.又|z＋1－i|＝1，∴|ω＋4－5i|＝1.则ω对应的点的轨迹是以(－4,5)为圆心、1为半径的圆，如图(1)所示．∴|ω|max＝41＋1，|ω|min＝41－1.解法二：由已知条件知复数z对应的点的轨迹是以(－1，1)为圆心、1为半径的圆，|z －3＋4i|＝|z－(3－4i)|表示复数z对应的点到点(3，－4)的距离．在圆上，与(3，－4)距离最大的点为A，距离最小的点为B，如图(2)所示．故|z－3＋4i|max＝41＋1，|z－3＋4i|min＝41－1.。

2018-2019学年北师大版高中数学选修2-2同步配套课件：2.3计算导数2.3

故切线方程为
y-6=
1 12
(��
−
36),
即x-12y+36=0.
当切线斜率不存在时,由题意知,直线 x=0 也是所求的切线.故所
求的切线方程为 x=0 或 x-12y+36=0.
反思本题的两问均是未知切点求切线方程的问题,关键是设出切点,根据导数的几何意义,由条件求出切点坐标,从而求出切线方程.
即t s末的瞬时速度为(2-10t)m/s.
当t=1时,2-10t=-8,
故1 s末的瞬时速度为-8 m/s.
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典例透析
IANLITOUXI
S随堂演练 UITANGYANLIAN
题型一题型二题型三
题型二利用公式求导数
【例 2】求下列函数的导数: (1)y=x4;(2)y=x-2;(3)y=ex;(4)y=log2x; (5)y=2x. 解:(1)y'=(x4)'=4x4-1=4x3. (2)y'=(x-2)'=-2x-2-1=-2x-3=− ��2��3. (3)y'=(ex)'=ex. (4)y'=(log2x)'= ��l1n2. (5)y'=(2x)'=2xln 2.
解析:f'(x)=-sin x,f′
π 6
=
−sin
π 6
=
−
12.
答案:
−
1 2
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2019北师大版数学选修2-2同步优化指导练习-第3章 2.1 实际问题中导数的意义活页作业13 Word版含答案解析

活页作业(十三)实际问题中导数的意义1．质点运动的速度v(单位：m/s)是时间t(单位：s)的函数，且v＝v(t)，则v′(1)表示() A．t＝1 s时的速度B．t＝1 s时的加速度C．t＝1 s时的位移D．t＝1 s时的平均速度解析：v(t)的导数v′(t)表示t时刻的加速度．答案：B2．从时刻t＝0开始的t s内，某导体的电荷量(单位：C)可用公式q＝2t2＋5t表示，则第5 s时，电流强度为()A．45 C/s B．30 C/sC．25 C/s D．20 C/s解析：q′(t)＝4t＋5，q′(5)＝25.答案：C3．下列四个命题：①曲线y＝x3在原点处没有切线；②若函数f(x)＝x，则f′(0)＝0；③加速度是动点位移函数s(t)对时间t的导数；④函数y＝x5的导函数的值恒非负．其中真命题的个数为()A．1B．2C．3D．4解析：①中y′＝3x2，x＝0时，y′＝0，∴y＝x3在原点处的切线为y＝0.②中f(x)在x＝0处导数不存在．③中s(t)对时间t的导数为瞬时速度．④中y′＝5x4≥0.所以命题①②③为假命题，④为真命题．答案：A4．某汽车启动阶段的路程函数s(t)＝2t3－5t2(t为时间)，则t＝1时，汽车的加速度为() A．6 B．4C．2 D．1解析：速度v(t)＝s′(t)＝6t2－10t，∴加速度a(t)＝v′(t)＝12t－10，当t ＝1时，a (1)＝2. 答案：C5．如下图，设有定圆C 和定点O ，当l 从l 0开始在平面上绕O 匀速旋转(旋转角度不超过90°)时，它扫过的圆内阴影部分的面积S 是时间t 的函数，它的图像大致是( )A ．B ．C ．D ．解析：由于是匀速旋转，所以阴影部分的面积在开始和最后时段缓慢增加，而中间时段相对增速较快．选项A 表示面积的增速是常数，与实际不符；选项B 表示最后时段面积的增速较快也与实际不符；选项C 表示开始时段和最后时段面积的增速比中间时段快，与实际不符；选项D 表示开始和最后时段面积的增速缓慢，中间时段增速较快．符合实际．答案：D6．一质点沿直线运动，若由始点起经过t s 后的位移为s ＝3t 2＋t ，则速度v ＝10时的时刻t ＝________.解析：s ＝3t 2＋t ，s ′＝6t ＋1. 令s ′＝10，得6t ＋1＝10， ∴t ＝32.答案：327．假设某国家在20年间的平均通货膨胀率为5%，物价p (单位：元)与时间t (单位：年)有如下函数关系：p (t )＝p 0(1＋5%)t ，其中p 0为t ＝0时的物价，假定某种商品的p 0＝1，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是________元/年(精确到0. 01)．解析：∵p 0＝1，∴p (t )＝(1＋5%)t ＝1.05t .在第10个年头，这种商品价格上涨的速度，即为函数的导函数在t ＝10时的函数值． ∵p ′(t )＝(1.05t )′＝1.05t ·ln 1.05， ∴p ′(10)＝1.0510×ln 1.05≈0.08(元/年)．∴在第10个年头，这种商品的价格约以0.08元/年的速度上涨．答案：0.088．一列在直线轨道上运行的火车，从刹车到停车的这段时间内，测得刹车后t s 内火车前进的距离s ＝27t －0.45t 2(单位：m)，则这列火车在刹车后停下来消耗的时间为________s.解析：由题意可知，火车停止时速度为0，令v ＝s ′＝27－0.9t ＝0，解得t ＝30. 答案：309．一杯80 ℃的热红茶于20 ℃的房间里，它的温度会逐渐下降．温度T (单位：℃)与时间t (单位：min)间的关系，由函数T ＝f (t )给出，请问：(1)f ′(t )的符号是什么？为什么？ (2)f ′(3)＝－4的实际意义是什么？解：(1)f ′(t )是负数．因为f ′(t )表示温度随时间的变化率，而温度是逐渐下降的，所以f ′(t )为负数．(2)f ′(3)＝－4表明在3 min 附近时，红茶温度约以4 ℃/min 的速度下降．10．某机械厂生产某种机器配件的最大生产能力为每日100件，假设日产品的总成本C (元)与日产量x (件)的函数关系式为C (x )＝14x 2＋60x ＋2 050.求：(1)日产量75件时的总成本和平均成本；(2)当日产量由75件提高到90件，总成本的平均改变量； (3)当日产量为75件时的边际成本．解：(1)当x ＝75时，C (75)＝14×752＋60×75＋2 050＝7 956.25(元)，∴C (75)75≈106.08(元)．故日产量75件时的总成本和平均成本分别为7 956.25元，106.08元．(2)当日产量由75件提高到90件时，总成本的平均改变量ΔC Δx ＝C (90)－C (75)90－75＝101.25(元/件)．(3)∵C ′(x )＝12x ＋60，∴C ′(75)＝97.5(元)．11．已知成本C 与产品x 之间的函数关系式为C (x )＝0.001x 3＋5x ，那么，当x ＝1 000时，边际成本为( )A ．2 000B ．2 005C ．3 005D ．4 000解析：C ′(x )＝0.003x 2＋5，C ′(1 000)＝0.003×1 0002＋5＝3 005. 答案：C12．正方形的周长y 关于边长x 的函数是y ＝4x ，则y ′＝________，其实际意义是____________.答案：4 边长每增加1个单位长度，周长增加4个单位长度13．某汽车的路程函数是s ＝2t 3－12gt 2(g ＝10 m/s 2)，则当t ＝2 s 时，汽车的加速度是________m/s 2.解析：v (t )＝s ′(t )＝6t 2－gt ，a (t )＝v ′(t )＝12t －g ， ∴a (2)＝12×2－10＝14 (m/s 2)．答案：1414．圆的面积S 关于半径r 的函数是S ＝πr 2，那么在r ＝3时面积的变化率是________．解析：∵S ′＝2πr ，∴S ′(3)＝2π×3＝6π. 答案：6π15．现有一批货物由海上从A 地运往B 地，已知轮船的最大航行速度为35 n mile/h ，A 地至B 地之间的航行距离约为500 n mile ，每小时的运输成本由燃料费用和其余费用组成，轮船每小时的燃料费用与轮船速度的平方成正比(比例系数为0.6)，其余费用为每小时960元．(1)把全程运输成本y (元)表示为速度x (n mile/h)的函数：y ＝f (x )； (2)求x 从10变到20的平均运输成本； (3)求f ′(10)并解释它的实际意义．解：(1)依题意得y ＝500x (960＋0.6x 2)＝480 000x ＋300x ，函数的定义域为0<x ≤35，∴y ＝480 000x＋300x (0<x ≤35)．(2)Δy ＝f (20)－f (10)＝480 00020＋300×20－⎝⎛⎭⎫480 00010＋300×10＝－21 000， ∴Δy Δx ＝－21 00020－10＝－2 100. ∴x 从10变到20的平均运输成本为－2 100元，即每小时减少2 100元． (3)f ′(x )＝－480 000x 2＋300，∴f ′(10)＝－480 000102＋300＝－4 500.f ′(10)表示当速度x ＝10 n mile/h 时，速度每增加1 n mile/h ，每小时的运输成本就要减少4 500元．16．东方机械厂生产一种木材旋切机械，已知生产总利润c 元与生产量x 台之间的关系式为c (x )＝－2x 2＋7 000x ＋600.(1)求产量为1 000台的总利润与平均利润；(2)求产量由1 000台提高到1 500台时，总利润的平均改变量； (3)求c ′(1 000)与c ′(1 500)，并说明它们的实际意义．解：(1)产量为1 000台时的总利润为c (1 000)＝－2×1 0002＋7 000×1 000＋600＝5 000 600(元)， ∴平均利润为c (1 000)1 000＝5 000.6(元/台)．(2)当产量由1 000台提高到1 500台时，总利润的平均改变量为 c (1 500)－c (1 000)1 500－1 000＝6 000 600－5 000 600500＝2 000(元/台)．(3)∵c ′(x )＝(－2x 2＋7 000x ＋600)′＝－4x ＋7 000， ∴c ′(1 000)＝－4×1 000＋7 000＝3 000(元)． c ′(1 500)＝－4×1 500＋7 000＝1 000(元)．c ′(1 000)＝3 000表示当产量为1 000台时，每多生产一台机械可多获利3 000元． c ′(1 500)＝1 000表示当产量为1 500台时，每多生产一台机械可多获利1 000元．。

数学同步优化指导(北师大版选修2-2)练习：第2章 3 计算导数活页作业7

活页作业(七) 计算导数1．下列各式中正确的个数是( ) ①(x 7)′＝7x 6；②(x －1)′＝x －2；③⎝⎛⎭⎫1x ′＝－12x －32；④(5x 2)′＝25x －35；⑤(cos x )′＝－sin x ；⑥(cos 2)′＝－sin 2. A ．3 B ．4 C ．5D ．6解析：②(x －1)′＝－x －2.⑥(cos 2)′＝0. 答案：B2．已知过曲线y ＝1x 上一点P 的切线的斜率为－4，则点P 的坐标为( )A ．⎝⎛⎭⎫12，2B ．⎝⎛⎭⎫12，2或⎝⎛⎭⎫－12，－2 C ．⎝⎛⎭⎫－12，－2 D ．⎝⎛⎭⎫12，－2 解析：设切点P 的坐标为(x 0，y 0)． ∵y ＝1x ，∴y ′＝－1x 2.解k ＝－1x 20＝－4，得x 0＝±12.当x 0＝12时，y 0＝2；当x 0＝－12时，y 0＝－2.答案：B3．已知f (x )＝x a ，若f ′(－1)＝－4，则a 的值等于( ) A ．4 B ．－4 C ．5D ．－5解析：f (x )＝x a ，f ′(x )＝ax a －1，f ′(－1)＝a (－1)a －1＝－4，∴a ＝4. 答案：A4．已知曲线y ＝f (x )＝x 3在点(2,8)处的切线方程为y ＝kx ＋b ，则k －b 等于( )A ．4B ．－4C ．28D ．－28解析：∵点(2,8)在切线上，∴2k ＋b ＝8.① 又f ′(2)＝3×22＝12＝k ，②由①②可得：k ＝12，b ＝－16，∴k －b ＝28. 答案：C5．若曲线y ＝f (x )＝x 4的一条切线l 与直线x ＋4y －8＝0垂直，则l 的方程为( ) A ．4x －y －3＝0 B ．x ＋4y －5＝0 C ．4x －y ＋3＝0D ．x ＋4y ＋3＝0解析：设切点为(x 0，y 0)，l 的斜率k ＝f ′(x 0)＝4x 30＝4，x 0＝1， ∴切点为(1,1)．∴l 的方程为y －1＝4(x －1)，即4x －y －3＝0. 答案：A6．已知f (x )＝1x ，g (x )＝mx ，且g ′(2)＝1f ′(2)，则m ＝__________.解析：f ′(x )＝－1x 2，g ′(x )＝m .∵g ′(2)＝1f ′(2)，∴m ＝－4.答案：－47．设坐标平面上的抛物线E ：y ＝x 2，过第一象限的点(a ，a 2)作曲线E 的切线l ，则l 与y 轴的交点Q 的坐标为________．解析：∵y ′＝2x ， ∴l ：y －a 2＝2a (x －a )．令x ＝0，得y ＝－a 2.∴l 与y 轴的交点坐标为(0，－a 2)．答案：(0，－a 2)8．曲线y ＝x 3＋3x 2＋6x －10的切线中，斜率最小的切线的方程为________．解析：∵y ′＝3x 2＋6x ＋6＝3(x 2＋2x ＋2)＝ 3(x ＋1)2＋3≥3，∴当x ＝－1时，斜率最小，切点为(－1，－14)． ∴切线方程为y ＋14＝3(x ＋1)，即3x －y －11＝0.答案：3x －y －11＝0 9．求下列函数的导数： (1)y ＝x 16； (2)y ＝1x 8；(3)y ＝5x 3.解：(1)y ′＝(x 16)′＝16x 15；(2)y ′＝⎝⎛⎭⎫1x 8′＝ (x －8)′＝－8x －9＝－8x 9； (3)y ′＝(5x 3)′＝(x 35)′＝35x －25＝355x 2.10．求曲线y ＝cos x 在点P ⎝⎛⎭⎫π3，12处的切线方程．解：∵y ′＝(cos x )′＝－sin x ， ∴曲线过点P ⎝⎛⎭⎫π3，12的切线的斜率为－sin π3＝－32.∴所求切线方程为y －12＝－32⎝⎛⎭⎫x －π3，即3x ＋2y －1－33π＝0.11．已知直线y ＝kx 是曲线y ＝e x 的切线，则实数k 的值为________．解析：y ′＝e x ，设切点为(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝kx 0，①y 0＝e x 0，②k ＝e x 0，③∴e x 0＝e x 0·x 0.∴x 0＝1.∴k ＝e. 答案：e12．若曲线y ＝x －12在点 (a ，a －12)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a ＝__________________.解析：∵y ＝x －12，∴y ′＝－12x －32.∴曲线在点(a ，a －12)处的切线斜率k ＝－12a －32.∴切线方程为y －a －12＝－12a －32(x －a )．令x ＝0得y ＝32a －12；令y ＝0得x ＝3a .∵该切线与两坐标轴围成的三角形的面积为 S ＝12·3a ·32a －12＝94a 12＝18，∴a ＝64. 答案：6413．已知A ，B ，C 三点在曲线y ＝x 上，其横坐标依次为1，m,4(1＜m ＜4)，当△ABC 的面积最大时，m 的值等于________．解析：如右图，在△ABC 中，边AC 是确定的，要使△ABC 的面积最大．则点B 到直线AC 的距离应最大．可以将直线AC 作平行移动，显然当直线与曲线相切时，距离达到最大，即当过B 点的切线平行于直线AC 时，△ABC 的面积最大．f ′(m )＝12m ，A 点的坐标为(1,1)，C 点的坐标为(4,2)，∴k AC ＝2－14－1＝13.∴12m ＝13.∴m ＝94.答案：9414．设f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f 0′(x )，f 2(x )＝f 1′(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N ，试求f 2 015(x )．解：f 1(x )＝(sin x )′＝cos x ， f 2(x )＝(cos x )′＝－sin x ， f 3(x )＝(－sin x )′＝－cos x ， f 4(x )＝(－cos x )′＝sin x ， f 5(x )＝(sin x )′＝f 1(x )， f 6(x )＝f 2(x )，…， f n ＋4(x )＝f n (x )，可知周期为4，∴f 2 015(x )＝f 3(x )＝－cos x .15．设直线l 1与曲线y ＝x 相切于P 点，直线l 2过P 点且垂直于l 1，若l 2交x 轴于Q 点，作PK 垂直x 轴于K ，求KQ 的长．解：设切点P 的坐标为(x 0，y 0)，则kl 1＝y ′|x ＝x 0＝12x 0.又l 1与l 2垂直，故kl 2＝－2x 0 .于是l2：y－y0＝－2x0(x－x0)．令y＝0，则－y0＝－2x0(x Q－x0)．即－x0＝－2x0(x Q－x0)，解得x Q＝12＋x0.又由已知可得x K＝x P＝x0，∴KQ＝|x Q－x0|＝1 2.。

2019北师大版数学选修2-2同步优化指导练习-第2章 3 计算导数 活页作业7 Word版含答案解析

数学北师大版选修2-2同步练习 第二章§3计算导数 含解

2018-2019学年高中数学 第2章 3计算导数课时作业 北师大版选修2-2

数学同步优化指导(北师大版选修2-2)练习：第3章 1 导数与函数的单调性(第二课时) 活页作业11

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