三角函数的图象和性质·典型例题
三角函数的图象和性质典型例题
三角函数的图象和性质·典型例题于P1，P2两点，过P1，P2分别作P1M1⊥x轴，P2M2⊥x轴，垂足分k∈Z}【说明】学会利用单位圆求解三角函数的一些问题，借助单位圆求解不等式的一般方法是：①用边界值定出角的终边位置；②根据不等式定出角的范围；③在[0，2π]中找出角的代表；④求交集，找单位圆中重叠的部分；⑤写出角的范围的表达式，注意加周期．【例3】求下列函数的定义域：解：(1)为使函数有意义，需满足2sin2x+cosx-1≥0【说明】求函数的定义域通常是解不等式组，利用“数形结合”，借助于数轴画线求交集的方法进行．在求解三角函数，特别是综合性较强的三角函数的定义域，我们同样可以利用“数形结合”，在单位圆中画三角函数线，求表示各三角不等式解集的扇形区域的交集来完成．【说明】求三角函数的定义域要注意三角函数本身的特征和性质，如在转化为不等式或不等式组后要注意三角函数的符号及单调性，在进行三角函数的变形时，要注意三角函数的每一步变形都保持恒等，即不能改变原函数的自变量的取值范围．【例4】求下列函数的值域：∴此函数的值域为{y|0≤y＜1}【说明】求三角函数的值域，除正确运用必要的变换外，还要注意函数的概念的指导作用，注意利用正、余弦函数的有界性．【例5】判断下列函数的奇偶性：【分析】先确定函数的定义域，然后根据奇函数成偶函数的定义判断函数的奇偶性．∵f(1-x)=-sin(-2x)=sin2x=-f(x)【例8】求下列各函数的最大值、最小值，并且求使函数取得最大值、最小值的x的集合．∴使y取得最大值的x的集合为{x|x=(2kπ+1)π，k∈Z}∴使y取得最小值的x的集合为{x|x=2kπ，k∈Z}当cosx=1，即x=2kπ(k∈Z)时，y取得最大值3．【说明】求三角函数的最值的类型与方法：1．形如y=asinx+b或y=acosx+b，可根据sinx，cosx的有界性来求最值；2．形如y=asin2x+bsinx+c或y=acos2x+bcosx+c看成是关于sinx或cosx的二次函数，变为y=a(sinx+m)2+k或y=a(cosx+m)2+k，但要注意它与二次函数求最值的区别，此时|sinx|≤1，|cosx|≤1【例9】求下列函数的单调区间：【分析】复杂三角函数的单调区间是运用基本函数的单调性及单调区间得出的．【说明】象本例这种解析式中含字母系数的函数研究其性质，常常要运用分类讨论的思想，其中为什么要分类，怎么分类和讨论是两个基本问题．【例11】函数f(x)=Asin(ωx+ )的图象如图2-15，试依图指出(1)f(x)的最小正周期；(2)使f(x)=0的x的取值集合；(3)使f(x)＜0的x的取值集合；(4)f(x)的单调递增区间和递减区间；(5)求使f(x)取最小值的x的集合；(6)图象的对称轴方程；(7)图象的对称中心．【分析】这是一道依图象读出相应函数性质的典型例题，本身就是数形结合思想的体现，它根据f(x)=Asin(ωx+ )的图象与函数y=sinx的图象的关系得出．注：得出函数f(x)的最小正周期之后，研究f(x)的其他性质，总是先在包含锐角在内的一个周期中研究，再延伸到整个定义域中．注：实际上f(x)图象的对称轴方程为x=x0，而其中x0使f(x0)=1或f(x0)=-1注：f(x)的图象的对称中心为(x0，0)，其中x0使f(x0)=0【说明】这种依图读性的问题是提高数形结合能力的重要训练题，其中有两点要注意反思：①周期性在研究中的化简作用，②三角函数的“多对一”性．A．sinθ＜cosθ＜ctgθB．cosθ＜sinθ＜ctgθC．sinθ＜ctgθ＜cosθD．cosθ＜ctgθ＜sinθ【说明】 y=Asin(ωx+ϕ)(A＞0，ω＞0)x∈R的图象可由y=sinx的图象经下列各种顺序变换得到的．(1)先平移，后伸缩：①把y=sinx的图象向左(ϕ＞0)或向右(ϕ＜0)沿x轴方向平移|ϕ|个单位；(相位变换)(周期变换)③把所有各点纵坐标伸长(A＞1)或缩短(0＜A＜1)到原来的A倍，横坐标不变(振幅变换)(2)先伸缩，后平移①把y=sinx图象上各点的横坐标缩短(ω＞1)或伸长(0＜ω＜1)到原(相位变换)③把所有各点纵坐标伸长(A＞1)或缩短(0＜A＜1)到原来的A倍横坐标不变(振幅变换)再把横坐标缩小到原来的一半，纵坐标扩大到原来的4倍，则所得的图象的解析式是 [ ]∴选A．【例18】设函数f(x)是定义在R上的周期为3的奇函数，且f(1)=2，则f(5)=____ 解：∵f(x)是奇函数，且f(1)=2，∴f(-1)=-2又∵f(x)是周期为3的函数．∴f(3+x)=f(x)∴f(-1+3)=f(-1)=-2 即f(2)=-2f(2+3)=f(2)=-2 即f(5)=-2。
三角函数的图象和性质练习题及答案
1y三角函数图像与性质练习题(一)一．选择题 〔每题５分，共100分〕1.将函数sin (0)y x ωω=>的图象按向量,06a π⎛⎫=-⎪⎝⎭平移，平移后的图象如下图，那么平移后的图象所对应函数的解析式是( ) A.sin()6y x π=+B.sin()6y x π=-C.sin(2)3y x π=+D.sin(2)3y x π=- 2. 为了得到函数R x x y ∈+=),63sin(2π的图像，只需把函数R x x y ∈=,sin 2的图像上所有的点( )A.向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的31倍〔纵坐标不变〕B.向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的31倍〔纵坐标不变〕C.向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍〔纵坐标不变〕 D.向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍〔纵坐标不变〕3. 函数()2sin (0)f x x ωω=>在区间,34ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值是2-，那么ω的最小值等于( )A.23B.32C.2D.3 4.函数y ＝sin(2x +3π)的图象可由函数y =sin2x 的图象经过平移而得到，这一平移过程可以是( ) A.向左平移6πB.向右平移6πC.向左平移12π D.向右平移12π 5. 要得到函数y =sin (2x -)6π的图像，只需将函数y =cos 2x 的图像( )A.向右平移6π个单位 B.向右平移3π个单位 C. 向左平移6π个单位 D. 向左平移3π个单位 6. 为了得到函数y =sin (2x-4π)+1的图象，只需将函数y =sin 2x 的图象〔〕平移得到A.按向量a=(-8π,1)B. 按向量a=(8π,1)C.按向量a=(-4π,1)D. 按向量a=(4π,1) 7.假设函数()sin ()f x x ωϕ=+的图象如图，那么ωϕ和的取值是( )A.1ω=，3πϕ= B.1ω=，3πϕ=-C.12ω=，6πϕ= D.12ω=，6πϕ=- 8. 函数πsin 23y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭在区间ππ2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，的简图是( )9. 函数sin(2)cos(2)63y x x ππ=+++的最小正周期和最大值分别为( ) A.,1π B.,2π C.2,1π D. 2,2π 10. 函数()sin()(0)3f x x πϖϖ=+>的最小正周期为π，那么该函数的图象( )A.关于点(,0)3π对称 B.关于直线4x π=对称 C.关于点(,0)4π对称 D.关于直线3x π=对称11.函数)20,0,)(sin(πϕωϕω<≤>∈+=R x x y 的局部图象如图，那么( ) A.4,2πϕπω==B.6,3πϕπω==C.4,4πϕπω== D.45,4πϕπω==12. 要得到函数sin y x =的图象，只需将函数cos y x π⎛⎫=-⎪3⎝⎭的图象( ) yx11-2π- 3π- O6ππyx11- 2π- 3π- O 6ππ yx1 1-2π-3πO 6π-πy xπ2π- 6π-1O 1-3π Ａ．Ｂ． Ｃ． Ｄ．A.向右平移π6个单位 B.向右平移π3个单位 C.向左平移π3个单位 D.向左平移π6个单位 13. 设函数()x f ()φω+=x sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛<<>20,0πφω.假设将()x f 的图象沿x 轴向右平移61个单位长度，得到的图象经过坐标原点;假设将()x f 的图象上所有的点的横坐标缩短到原来的21倍〔纵坐标不变〕, 得到的图象经过点⎪⎭⎫⎝⎛1,61. 那么( ) A.6,πφπω== B.3,2πφπω== C.8,43πφπω== D. 适合条件的φω,不存在 14. 设函数)()0(1)6sin()(x f x x f '>-+=的导数ωπω的最大值为3,那么f (x )的图象的一条对称轴的方程是( ) A.9π=x B.6π=x C.3π=x D.2π=x三角函数图像与性质练习题答案三角函数的图象和性质练习题(二)一、选择题1.函数sin(2)(0)y x ϕϕπ=+≤≤是R 上的偶函数，那么ϕ的值是〔 〕A.0B.4πC.2πD.π2. 将函数x y 4sin =的图象向左平移12π个单位，得到)4sin(ϕ+=x y 的图象，那么ϕ等于A ．12π-B ．3π-C ．3πD ．12π 3.假设,24παπ<<那么〔 〕 (45<a<90)A .αααtan cos sin >>B .αααsin tan cos >>C .αααcos tan sin >>D .αααcos sin tan >>1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C C B A B B C A A A 11 12 13 14 CAAA4.函数23cos()56y x π=-的最小正周期是〔 〕A .52πB .25π C .π2 D .π5 5.在函数x y sin =、x y sin =、2sin(2)3y x π=+、2cos(2)3y x π=+中， 最小正周期为π的函数的个数为〔〕. A .1个B .2个 C .3个 D .4个6.x x x f 32cos 32sin)(+=的图象中相邻的两条对称轴间距离为 〔 〕 A ．3π B ．π34 C ．π23 D ．π677. 函数)252sin(π+=x y 的一条对称轴方程〔 〕A ．2π-=xB ．4π-=xC ．8π=xD ．=x π458. 使x y ωsin =〔ω＞0〕在区间[0，1]至少出现2次最大值，那么ω的最小值为〔 〕 A ．π25B ．π45C ．πD ．π23二、填空题1.关于x 的函数()cos()f x x α=+有以下命题： ①对任意α，()f x 都是非奇非偶函数； ②不存在α，使()f x 既是奇函数，又是偶函数；③存在α，使()f x 是偶函数；④对任意α，()f x 都不是奇函数.其中一个假命题的序号是，因为当α=时，该命题的结论不成立.2.函数xxy cos 2cos 2-+=的最大值为________.3.假设函数()2sin(2)3f x kx π=+的最小正周期T 满足12T <<,那么自然数k 的值为______. 4.满足23sin =x 的x 的集合为_________________________________. 5.假设)10(sin 2)(<<=ϖϖx x f 在区间[0,]3π上的最大值是2，那么ϖ=________.三、解答题1.比拟大小〔1〕00150sin ,110sin ；〔2〕00200tan ,220tan 2. (1) 求函数1sin 1log 2-=xy 的定义域. 〔2〕设()sin(cos ),(0)f x x x π=≤≤，求()f x 的最大值与最小值. 3．)33sin(32)(πω+=x x f 〔ω＞0〕〔1〕假设f (x +θ)是周期为2π的偶函数，求ω及θ值; ω= 1/3 ,θ= . 〔2〕f (x )在〔0，3π〕上是增函数，求ω最大值 "三角函数的图象和性质练习题二"参考答案一、选择题 1.C [解析]：当2πϕ=时，sin(2)cos 22y x x π=+=，而cos 2y x =是偶函数2.C [解析]：函数x y 4sin =的图象向左平移12π个单位，得到)12(4sin π+=x y 的图象，故3πϕ=3.D [解析]：tan 1,cos sin 1,ααα><<αααcos sin tan >>4.D [解析]：2525T ππ== 5.C [解析]：由x y sin =的图象知，它是非周期函数6.C [解析]： ∵x x x f 32cos 32sin)(+==)432sin(2π+x∴图象的对称轴为πππk x +=+2432，即)(2383Z k k x ∈+=ππ故相邻的两条对称轴间距离为π237.A [解析]：当2π-=x 时 )252sin(π+=x y 取得最小值－１，应选A8.A [解析]：要使x y ωsin =〔ω＞0〕在区间[0，1]至少出现2次最大值 只需要最小正周期⋅45ωπ2≤1,故πω25≥ 二、填空题1、①0[解析]：此时()cos f x x =为偶函数2、3[解析]：2cos 4cos 2412cos 2cos 2cos x x y x x x++-===----3、2,3或[解析]：,12,,2,32T k k N k kkππππ=<<<<∈⇒=而或4、|2,2,33x x k k k Z ππππ⎧⎫=++∈⎨⎬⎩⎭或 5、34[解析]：[0,],0,0,3333x x x ππωππω∈≤≤≤≤< 三、解答题1.解：〔1〕0sin110sin 70,sin150sin 30,sin 70sin 30,sin110sin150==>∴>而 〔2〕0tan 220tan 40,tan 200tan 20,tan 40tan 20,tan 220tan 200==>∴>而 2.解：〔1〕221111log 10,log 1,2,0sin sin sin sin 2x x x x -≥≥≥<≤ 22,6k x k πππ<≤+或522,6k x k k Z ππππ+≤<+∈5(2,2][2,2),()66k k k k k Z ππππππ++∈为所求.〔2〕0,1cos 1x x π≤≤-≤≤当时，而[11]-，是()sin f t t =的递增区间 当cos 1x =-时，min ()sin(1)sin1f x =-=-； 当cos 1x =时，max ()sin1f x =. 4.解：（1） 因为f (x +θ)=)333sin(32πθω++x又f (x +θ)是周期为2π的偶函数， 故∈+==k k 6,31ππθω Z（2） 因为f (x )在〔0，3π〕上是增函数，故ω最大值为61三角函数的图象专项练习一．选择题1．为了得到函数)62sin(π-=x y 的图象，可以将函数y=cos2x 的图象 ( )A ．向右平移6π个单位长度B. 向右平移3π个单位长度 C. 向左平移6π个单位长度 D. 向左平移3π个单位长度2．以下函数中振幅为2，周期为π，初相为6π的函数为 ()A ．y=2sin(2x+3π) B. y=2sin(2x+6π) C ．y=2sin(21x+3π) D. y=2sin(21x+6π) 3．三角方程2sin(2π-x)=1的解集为 ( ) A ．{x│x=2kπ+3π,k∈Z}B .{x│x=2kπ+35π,k∈Z}.C ．{x│x=2kπ±3π,k∈Z}D .{x│x=kπ+(-1)K ,k∈Z}.4．假设函数f(x)=sin(ωx+ϕ)的图象〔局部〕如下图，那么ω,ϕ的取值是 ( )A ．3,1πϕω==B.3,1πϕω-==C ．6,21πϕω==D.6,21πϕω-==5．函数y=tan(2x+φ)的图象过点(0,12π)，那么φ的值可以是 ( ) A. -6π B. 6π C.12π- D.12π6．设函数y=2sin(2x+Φ)的图象为C ，那么以下判断不正确的选项是〔 〕A ．过点(,2)3π的C 唯一 B.过点(,0)6π-的C 不唯一C ．C 在长度为2π的闭区间上至多有2个最高点D ．C 在长度为π的闭区间上一定有一个最高点，一个最低点 7．方程)4cos(lg π-=x x 的解的个数为〔 〕A ．0B ．无数个C ．不超过3D ．大于38．假设函数y=f(x)的图像上每点的纵坐标保持不变，横坐标伸长到原2倍，然后再将整个图像沿x 轴向左平移2π个单位，沿y 轴向下平移1个单位，得到函数1sin 2y x =的图像，那么y=f(x)是 ( )A ．1sin(2)122y x π=++B.1sin(2)122y x π=-+ C ．1sin(2)124y x π=-+ D.11sin()1224y x π=++9．()sin()2f x x π=+，()cos()2g x x π=-，那么f(x)的图像 ( )A ．与g(x)的图像一样 B.与g(x)的图像关于y 轴对称C ．向左平移2π个单位，得g(x)的图像 D.向右平移2π个单位，得g(x)的图像 10．函数f(x)=sin(2x+2π)图像中一条对称轴方程不可能为( )A.x=4πB. x=2πC. x=πD. x=23π11．函数y=2与y=2sinx ，x ∈3[,]22ππ-所围成的图形的面积为 ( ) A ．πB.2πC.3πD.4π12．设y=f(t)是某港口水的深度y 〔米〕关于时间t 〔时〕的函数，其中240≤≤t .下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t 与水深y 的关系：经长期观察，函数y=f(t)的图象可以近似地看成函数y=k+Asina(ωt+ϕ)的图象.下面的函数中，最能近似表示表中数据间对应关系的函数是( )A.]24,0[,6sin312∈+=t t y πB.]24,0[),6sin(312∈++=t t y ππC.]24,0[,12sin 312∈+=t t y πD.]24,0[),212sin(312t t y ππ++=二．填空题 13．函数y=5sin(3x −2π)的频率是______________。
三角函数图像和性质练习题(附答案)
三角函数的图像与性质【1】一、选择题1.已知函数f(x)=2sin ϖx(ϖ>0)在区间[3π-,4π]上的最小值是－2，则ϖ的最小值等于（ ）A.32 B.23C.2D.3 2.若函数cos()3y x πω=+(0)ω>的图象相邻两条对称轴间距离为2π，则ω等于． A ．12B ．12C ．2D ．43.将函数sin()()6yx x R π=+∈的图象上所有的点向左平行移动4π个单位长度，再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变），则所得到的图象的解析式为A ．5sin(2)()12y x x R π=+∈ B ．5sin()()212x y x R π=+∈ C ．sin()()212x y x R π=-∈ D ．5sin()()224x y x R π=+∈4.函数2)62cos(-+=πx y 的图像F 按向量a 平移到F /，F /的解析式y=f(x),当y=f(x)为奇函数时，向量a 可以等于A.)2,6(-π B.)2,6(π C.)2,6(--π D.)2,6(π-5.将函数sin y x =的图象向左平移(02)ϕϕπ≤≤个单位后，得到函数sin()6yx π=-的图象，则ϕ等于（ ）A .6πB .76πC .116πD .56π6.函数x x y 2cos 32sin -=)66(ππ≤≤-x 的值域为A.[]2,2- B. []0,2- C. []2,0 D. ]0,3[-7.将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），再将所得的图象向左平移个单位，得到的图象对应的解析式是 （ ）A ．B ．C.D.8.函数f(θ ) =sin θ－1cos θ－2的最大值和最小值分别是()(A) 最大值 43 和最小值0(B)最大值不存在和最小值 34(C) 最大值 －43 和最小值0(D) 最大值不存在和最小值－349.ααcos sin +=t且αα33cos sin +＜0，则t 的取值范围是（ ）A. [)0,2-B. []2,2-C. ()(]2,10,1 -D. ()()+∞-,30,310.把函数)(x f y =的图象沿着直线0=+y x 的方向向右下方平移22个单位，得到函数x y 3sin =的图象，则（）A 、2)23sin(--=x yB 、2)63sin(--=x yC 、2)23sin(++=x yD 、2)63sin(++=x y二、填空题11.设函数).0)(3cos()(πϕϕ<<+=x x f 若)()(x f x f '+是奇函数，则ϕ=. 12.方程2cos()14x π-=在区间(0,)π内的解是．13.函数]),0[)(26sin(2ππ∈-=x x y 为增函数的区间14.已知x R ∈，则函数sin cos ()max sin ,cos ,2x x f x x x +⎧⎫=⎨⎬⎩⎭的最大值与最小值的和等于。
三角函数的图象与性质经典例题含答案
1、（1）（2008浙江卷5）在同一平面直角坐标系中，函数 的图象和直线 的交点个数是(D)
（A）0（B）1（C）2（D）4
（2）、函数 单调增区间是（A）
A[2kπ- ,2kπ＋ ］（k∈Z）B．［2kπ＋ ，2kπ＋ ］（k∈Z）
C．［2kπ－π，2kπ］（k∈Z）D．［2kπ，2kπ＋π］（k∈Z）
2.（1）已知f（x）的定义域为［0，1］，则f（cosx）的定义域是[2kπ- ,2kπ＋ ］
（2）函数y=｜sin（2x+ ）｜的最小正周期是
三．典例解析
例1、求函数）y= sin（ － ）的单调递增区间：
例2、（2008北京卷）．已知函数 （ ）的最小正周期为 ．
（Ⅰ）求 的值；（Ⅱ）求函数 在区间 上的取值范围．
8、（2008湖南卷）函数 在区间 上的最大值是(C)
A.1B. C. D.1+
9、函数y＝ 的最大值是（B）
A． －1B． ＋1C．1－ D．－1－
10、（2001上海春）关于x的函数f（x）=sin（x+ ）有以下命题：
①对任意的 ，f（x）都是非奇非偶函数；
②不存在 ，使f（x）既是奇函数，又是偶函数；
①图象 关于直线 对称；②图象 关于点 对称；
③函数 在区间 内是增函数；
④由 的图角向右平移 个单位长度可以得到图象 ．
6．函数 的图象向右平移 （ ）个单位，得到的图象关于直线 对称，则 的最小值全国卷II）函数y＝sin2xcos2x的最小正周期是(D)
（A）2π（B）4π（C）（D）
化简完是
三角函数的图象与性质
一．要点精讲
1．正弦函数、余弦函数、正切函数的图像
三角函数的图像与性质(各地经典题)
三角函数的图像与性质1．【湖南省邵阳市邵东县第一中学2019-2020学年高一期末】函数f （x ）＝x 2﹣2x +1的图象与函数g （x ）＝3cos πx 的图象所有交点的横坐标之和等于（ ） A ．2B ．4C ．6D ．82．【西藏林芝市第二高级中学2019-2020学年高一期末】下列函数中，最小正周期为π的是（ ） A ．sin y x =B ．cos y x =C ．sin cos y x x =+D ．sin cos y x x =⋅3．【陕西省宝鸡市渭滨区2019-2020学年高一期末】已知奇函数()2sin()(0,02)f x x ωϕωϕπ=+><<满足()()44f x f x ππ+=-，则ω的取值可能是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．44．【广西河池市2019-2020学年高一期末】将函数()cos(2)(0)f x x ϕϕ=+>的图象向右平移6π个单位长度后得到函数()g x 的图象，若点,04π⎛⎫- ⎪⎝⎭是函数()y g x =图象的一个对称中心，则ϕ的最小值为（ ） A ．6πB ．4πC ．3π D ．43π 5．【吉林省吉林地区普通高中友好学校联合体第三十届基础年段2019-2020学年高一期末】函数2sin 3cos 3y x x =--+的最小值是（ ）A ．14-B ．0C ．2D ．66．【陕西省咸阳市2019-2020学年高一期末】已知函数()()sin f x x ωϕ=+（0>ω，ϕπ<）的最小正周期为π，且其图象向右平移6π个单位长度得到函数()cos g x x ω=的图象，则()f x 图象的一条对称轴为（ ） A ．56x π=B ．2x π=C ．23x π=D ．x π=7．【上海市静安区2019-2020学年高一期末】对于函数()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭，下列命题：①函数()sin 26f x x π⎛⎫+⎝=⎪⎭对任意x 都有66f x f x ππ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. ②函数()sin 26f x x π⎛⎫+⎝=⎪⎭图像关于点5,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称.③函数()sin 26f x x π⎛⎫+⎝=⎪⎭图像可看作是把sin 2y x =的图像向右平移12π个单位而得到. ④函数()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭图像可看作是把sin 6y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变）而得到.其中正确命题的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．48．【云南省昆明市2019-2020学年高一期末】若函数()sin()0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><<⎪⎝⎭同时满足下列三个条件：①当()()121f x f x ==时，12x x -的最小值为π；②()f x 在0,6π⎛⎫⎪⎝⎭上不是单调函数；③()f x 在70,8π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有且仅有一个零点.则实数ϕ的取值范围为（ ）A ．0,6π⎛⎫⎪⎝⎭B ．,64ππ⎛⎫⎪⎝⎭ C ．,43ππ⎛⎫⎪⎝⎭ D ．,32ππ⎛⎫⎪⎝⎭9．【浙江省杭州市高级中学2019-2020学年高一上学期期末】已知函数()f x 是R 上的增函数，且，其中ω是锐角，并且使得()sin 4g x x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，则ω的取值范围是（ ） A ．5,44π⎛⎤⎥⎝⎦B ．5,42π⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．1,24π⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．15,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦10．【江西省南昌市八一中学、洪都中学等六校2019-2020学年高一上学期期末联考】设函数（），，则方程在区间上的解的个数是 A ．B ．C ．D ．11．【吉林省实验中学2019-2020学年高一上学期期末】已知()sin (0)3f x x πωϕω⎛⎫=++> ⎪⎝⎭同时满足下列三个条件：①T π=；②3y f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭是奇函数；③()06f f π⎛⎫<⎪⎝⎭.若()f x 在[)0,t 上没有最小值，则实数t 的取值范围是（ ） A ．50,12π⎛⎤⎥⎝⎦B ．50,6π⎛⎤⎥⎝⎦C ．511,1212ππ⎛⎤⎥⎝⎦D ．511,612ππ⎛⎤⎥⎝⎦12．【安徽省合肥一中，八中、六中2019-2020 学年高一上学期期末】关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论：①()f x 是偶函数 ②()f x 的最大值为2 ③()f x 在[],ππ-有4个零点 ④()f x 在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 其中所有正确结论的编号是（ ） A ．①②④B ．②③④C ．①③④D ．①②③13．【四川省成都市2019-2020学年高一上学期期末】已知函数()()sin f x x R ωω=∈是7,212ππ⎛⎫⎪⎝⎭上的增函数，且满足3244f f ππ⎛⎫⎛⎫-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则12f π⎛⎫⎪⎝⎭的值组成的集合为（ ）A ．11,2⎧⎫--⎨⎬⎩⎭B ．1,⎧⎪-⎨⎪⎪⎩⎭C ．11,2⎧⎪--⎨⎪⎪⎩⎭D ．11,2⎧⎫⎪⎪-⎨⎬⎪⎪⎩⎭14．【浙江省绍兴市2019-2020学年高一上学期期末】存在函数()f x 满足：对任意的x ∈R 都有（ ） A ．()sin sin 2f x x = B ．()sin 1f x x =+ C ．()2cos cos 1f x x =+D ．()cos 2cos 1f x x =+15．【湖北省武汉市武昌区2019-2020学年高一上学期期末】设函数()sin (0)3f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，已知()f x 在[0,2]π有且仅有5个零点.给出下述三个结论： ①()1y f x =+在(0,2)π有且仅有2个零点； ②()f x 在0,17π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增；③ω的取值范围是717,36⎡⎫⎪⎢⎣⎭其中，所有正确结论的编号是（ ） A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③16．【上海市实验学校2019-2020学年高一期末】已知函数()()[]5sin 2,0,,0,52f x x x πθθπ⎛⎤=-∈∈ ⎥⎝⎦，若函数()()3F x f x =-的所有零点依次记为123,,,,n x x x x 且1231n n x x x x x -<<<<<，*n N ∈，若123212222n n x x x x x --+++++832n x π+=，则θ=__________.17．【浙江省金华市金华十校2019-2020学年高一上学期期末】已知函数()sin cos sin cos f x x x x x =--，,2x πθ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，若()f x 的值域为[]1,1-，则θ的取值范围是__________.18．【重庆市重庆一中2017-2018年度高一上期末】已知函数()3sin2cos2f x x x =+,现有如下几个命题： ①该函数为偶函数； ②,46ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦是该函数的一个单调递增区间； ③该函数的最小正周期为π； ④该函数的图像关于点7,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称； ⑤该函数的值域为[]1,2-. 其中正确命题的编号为 ______ ．19．【黑龙江省大庆市大庆中学2019-2020学年高一上学期期末】下列说法中，所有正确说法的序号是__________．①终边落在y 轴上角的集合是|,2k k Z παα⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭； ②函数2cos 4y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭图象的一个对称中心是3,04π⎛⎫⎪⎝⎭； ③函数tan y x =在第一象限是增函数； ④为了得到函数sin 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象，只需把函数sin 2y x =的图象向右平移6π个单位长度．20．【重庆市北碚区2019-2020学年高一上学期期末】将函数())13f x x π=+-的图象向左平移3π个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数()g x 的图象，则函数()g x 具有性质__________．（填入所有正确性质的序号）3x π=-对称；②图象关于y 轴对称； ③最小正周期为π； ④图象关于点(,0)4π对称；⑤在(0,)3π上单调递减21．【湖北省武汉市（第十五中学、十七中学、常青）2019-2020学年高一上学期期末】已知函数()sin f x x x =+，则下列命题正确的是_____.（填上你认为正确的所有命题序号）①函数()0,2f x x π⎛⎫⎡⎤∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的单调递增区间是06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦； ②函数()f x 的图像关于点,06π⎛⎫-⎪⎝⎭对称； ③函数()f x 的图像向左平移(0)m m >个单位长度后，所得的图像关于y 轴对称，则m 的最小值是6π； ④若实数m 使得方程()f x m =在[0,2]π上恰好有三个实数解123,,x x x ，则12373x x x π++=.22．【安徽省合肥市一六八中学2019-2020学年高一上学期期末】设函数()xf x mπ=，存在0x 使得()0|()|f x f x ≤和()22200x f x m +<⎡⎤⎣⎦成立，则m 的取值范围是________.23．【河北省邢台市2019-2020学年高一上学期期末】已知函数()sin f x a x x =+的图象关于直线76x π=对称,则函数7()()5g x f x =-在7,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的所有零点之和为________. 24．【湖北省武汉市（第一中学、第三中学等六校）2019-2020学年高一上学期期末】若函数()2sin (0)6f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭和()()3cos 2g x x ϕ=+的图像的对称轴完全相同则当[]0,x π∈，关于x的不等式()10f x -≥的解集为________.25．【上海市青浦高级中学2019-2020学年高一期末】若不等式(1)sin 10a x --<对于任意x ∈R 都成立，则实数a 的取值范围是____________．26．【江西省新余市2019-2020学年高一期末】将函数()cos 4f x x =-的图象向右平移4π个单位，再将所得的图象上每一点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍后所得到的图象对应的函数记作()g x . （1）在ABC 中，三个内角,,A B C 且A B C <<，若C 角满足()1g C =-，求cos cos A B +的取值范围；（2）已知常数R λ∈，*n ∈N ，且函数()()sin F x g x x λ=+在()0,n π内恰有2021个零点，求常数λ 与n 的值.27．【广东省云浮市2019-2020学年高一上学期期末】已知函数22()3x xe ef x -+=，其中e 为自然对数的底数.（1）证明：()f x 在(0,)+∞上单调递增.（2）设0a >，函数2()cos2cos 3g x x a x a =+-+，如果总存在1],[x a a ∈-，对任意2x R ∈，()()12f x g x 都成立，求实数a 的取值范围.。
三角函数的图像与性质专项训练(解析版)
三角函数的图像与性质专项训练一、单选题1．（23-24高一上·浙江宁波·期末）为了得到πsin 53y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只要将函数sin 5y x =的图象（）A ．向左平移π15个单位长度B ．向右平移π15个单位长度C ．向右平移π3个单位长度D ．向左平移π3个单位长度2．（23-24高一上·浙江丽水·期末）已知函数()()2sin f x x ωϕ=+的图象向左平移π6个单位长度后得到函数π2sin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，则ϕ的一个可能值是（）A ．0B ．π12C ．π6D ．π33．（23-24高一下·浙江杭州·期末）为了得到函数()sin2f x x =的图象，可以把()cos2g x x =的图象（）A ．向左平移π2个单位长度B ．向右平移π2个单位长度C ．向左平移π4个单位长度D ．向右平移π4个单位长度4．（23-24高一上·浙江宁波·期末）已知函数()()sin 0,π2f x x ϕωϕω⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭.若π8f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭为奇函数，π8f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭为偶函数，且()f x 在π0,6⎛⎫⎪⎝⎭上没有最小值，则ω的最大值是（）A ．2B ．6C ．10D ．145．（23-24高一上·浙江湖州·期末）我们知道，每一个音都是由纯音合成的，纯音的数学模型是sin y A x ω=．已知某音是由3个不同的纯音合成，其函数为()11sin sin 2sin 323f x x x x =++，则（）A ．π3f ⎛⎫=⎪⎝⎭B ．()f x 的最大值为116C ．()f x 的最小正周期为2π3D ．()f x 在π0,6⎛⎫⎪上是增函数6．（23-24高一上·浙江杭州·期末）已知函数()*2sin 6f x x ωω⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭N 有一条对称轴为23x =，当ω取最小值时，关于x 的方程()f x a =在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上恰有两个不相等的实根，则实数a 的取值范围是（）A ．(2,1)--B ．[1,1)-6⎣7．（23-24高一下·浙江丽水·期末）已知函数1()2sin(32f x x x π=ω-ω>∈，R)，若()f x 的图象的任意一条对称轴与x 轴交点的横坐标均不属于区间(3π,4π)，则ω的取值范围是（）A ．1287(,[]2396B ．1171729(,][,]2241824C ．52811[,][,]93912D ．11171723[,][]182418248．（23-24高一下·浙江杭州·期末）已知函数()()sin ,0f x x ωω=>，将()f x 图象上所有点向左平移π6个单位长度得到函数()y g x =的图象，若函数()g x 在区间π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，则ω的取值范围为（）A ．(]0,4B ．(]0,2C ．30,2⎛⎤⎥⎝⎦D ．(]0,1【答案】C【详解】因为函数()()sin ,0f x x ωω=>，二、多选题9．（23-24高一上·浙江台州·期末）已知函数()ππsin cos sin cos 44f x x x x x ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，则（）A ．函数()f x 的最小正周期为2πB ．点π,08⎛⎫- ⎪⎝⎭是函数()f x 图象的一个对称中心C ．函数()f x 在区间π5π,88⎡⎤⎢⎥上单调递减D ．函数()f x 的最大值为110．（23-24高一上·浙江湖州·期末）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用，现有一个筒车按逆时针方向匀速转动．每分钟转动5圈，如图，将该筒车抽象为圆O ，筒车上的盛水桶抽象为圆O 上的点P ，已知圆O 的半径为4m ，圆心O 距离水面2m ，且当圆O 上点P 从水中浮现时（图中点0P ）开始计算时间，点P 的高度()h t 随时间t （单位秒）变化时满足函数模型()()sin h t A t b ωϕ=++，则下列说法正确的是（）A ．函数()h t 的初相为π6B ．1秒时，函数()h t 的相位为0故选：BC ．11．（23-24高一上·浙江丽水·期末）已知函数π()tan(2)6f x x =-，则（）A ．()f x 的最小正周期是π2B ．()f x 的定义域是π{|π,Z}3x x k k ≠+∈C ．()f x 的图象关于点π(,0)12对称D ．()f x 在ππ(,)32上单调递增三、填空题12．（23-24高一上·浙江金华·期末）函数()π2π200cos 30063f n n ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭（{}1,2,3,,12n ∈⋅⋅⋅为月份），近似表示某地每年各个月份从事旅游服务工作的人数，游客流量越大所需服务工作的人数越多，则可以推断，当n =时，游客流量最大．13．（23-24高一上·浙江湖州·期末）已知()3sin 4f x x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，其中0,2ϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且ππ62f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，若函数()f x 在区间2π,3θ⎛⎫⎪上有且只有三个零点，则θ的范围为．14．（23-24高一上·浙江温州·期末）已知函数()π2sin (0)6f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，对x ∀∈R 都有()π3f x f ⎛⎫⎪⎝⎭≤，且在,163⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调，则ω的取值集合为四、解答题15．（23-24高一下·浙江丽水·期末）已知函数22()sin2f x x x x =.(1)求函数()f x 的最小正周期及单调递减区间；(2)将函数()f x 的图象上每个点的纵坐标缩短到原来的12，横坐标也缩短到原来的12，得到函数()g x 的图象，若函数()y g x m =-在区间π0,4⎡⎤⎢⎥内有两个零点，求实数m 的取值范围.16．（23-24高一下·浙江衢州·期末）已知函数()cos2f x x x =+.(1)求函数()f x 的最小正周期和对称中心；(2)求函数()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥上的值域.17．（23-24高一上·浙江杭州·期末）已知函数22()sin 2sin cos 3cos ,R f x x x x x x =++∈．求：(1)函数()f x 的最小值及取得最小值的自变量x 的集合；(2)函数()f x 的单调增区间．18．（23-24高一下·浙江杭州·期末）已知实数0a <，设函数22()cos sin2f x x a x a =+-，且()64f =-．(1)求实数a ，并写出()f x 的单调递减区间；(2)若0x 为函数()f x 的一个零点，求0cos2x ．19．（23-24高一上·浙江嘉兴·期末）已知函数()24cos 2f x x x a x =--．(1)若1a =-，求函数()f x 在[]0,2上的值域；(2)若关于x 的方程()4f x a =-恰有三个不等实根123,,x x x ，且123x x x <<，求()()131278f x f x x --的最大值，并求出此时实数a 的值．，。
必修4 期末复习 三角函数的图像和性质(题型)
三角函数的图像与性质一、正余弦函数的性质（周期、单调性、奇偶性、对称轴、对称中心、值域）例（大题）已知函数．（1）求函数的最小正周期；（2）求函数的单调递增区间；（3）当时，求函数的值域。
例（选择）同时具有性质“①最小正周期是；②图象关于直线对称；③在上是减函数”的一个函数可以是（）A. B.C. D.二、正余弦函数的图像变换例（大题1）已知函数.(1)用五点法作该函数在长度为一个周期上的简图；(2)说明由正弦曲线经过怎样的变换，可以得到该函数的图象．例（大题2）已知函数．（1）求函数的最小正周期；（2）将函数的图象向下平移个单位，再将图象上各点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），得到函数的图象，求g(x)例、要得到的图象，只需把函数的图象（）A.向左平移个单位B.向左平移个单位C.向右平移个单位D.向右平移个单位例、要得到函数的图像，只需将函数的图像上所有的点的（）A.横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度B.横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向右平行移动个单位长度C.横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度D.横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），再向右平行移动个单位长度三、求解析式例、已知函数（）的一段图象如图所示．（1）求函数的解析式；（2）求函数的单调增区间；（3）若，求函数的值域例、已知函数为常数)的一段图象如图所示．求函数的解析式；例、函数的部分图像如图所示，则的单调递减区间为（）A.B.C.D.例、已知函数的图象的两个相邻最高点之间的距离等于，若将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，试求函数的解析式．例、已知是函数（）图象的一条对称轴．求函数的解析式；例、已知函数图象上一个最高点为，这个最高点到相邻最低点的图象与轴交于点．(1)求的解析式；(2)是否存在正整数，使得将函数的图象向右平移个单位后得到一个偶函数的图象？若存在，求的最小值；若不存在，请说明理由例三、正切函数1、求函数的定义域，并指出它的周期、对称中心和单调性．2、根据正切函数的图像，写出使下列不等式成立的的集合：（1）；（2）4、已知函数的图象的一个对称中心为，若，则的值为__________．5、关于函数，最小正周期是__________，对称中心是__________，单调递增区间是__________.6、满足下列哪些条件__________．①在上单调递增；②奇函数；③以为最小正周期；④定义域为．7、函数的周期是（）A. B. C. D.8、设，则( )A. B. C. D.9、函数是( )A.奇函数B.偶函数C.非奇非偶函数D.既是奇函数又是偶函数。
三角函数的图像和性质知识点讲解+例题讲解(含解析)
三角函数的图像与性质一、知识梳理1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(1)正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1，(π，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，－1，(2π，0).(2)余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，(π，－1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，0，(2π，1).2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k ∈Z )π3.对称与周期(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14个周期. (2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期.(3).对于y ＝tan x 不能认为其在定义域上为增函数，而是在每个区间⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )内为增函数.二、例题精讲 + 随堂练习1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)余弦函数y ＝cos x 的对称轴是y 轴.( ) (2)正切函数y ＝tan x 在定义域内是增函数.( ) (3)已知y ＝k sin x ＋1，x ∈R ，则y 的最大值为k ＋1.( ) (4)y ＝sin|x |是偶函数.( )解析 (1)余弦函数y ＝cos x 的对称轴有无穷多条，y 轴只是其中的一条. (2)正切函数y ＝tan x 在每一个区间⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )上都是增函数，但在定义域内不是单调函数，故不是增函数.(3)当k >0时，y max ＝k ＋1；当k <0时，y max ＝－k ＋1. 答案 (1)× (2)× (3)× (4)√2.若函数y ＝2sin 2x －1的最小正周期为T ，最大值为A ，则( ) A.T ＝π，A ＝1 B.T ＝2π，A ＝1 C.T ＝π，A ＝2D.T ＝2π，A ＝2解析 最小正周期T ＝2π2＝π，最大值A ＝2－1＝1.故选A. 答案 A3.函数y ＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －3π4的单调递减区间为________.解析 由－π2＋k π＜2x －3π4＜π2＋k π(k ∈Z )， 得π8＋k π2＜x ＜5π8＋k π2(k ∈Z )，所以y ＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －3π4的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＋k π2，5π8＋k π2(k ∈Z ). 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＋k π2，5π8＋k π2(k ∈Z )4.(2017·全国Ⅱ卷)函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的最小正周期为( )A.4πB.2πC.πD.π2解析 由题意T ＝2π2＝π. 答案 C5.(2017·全国Ⅲ卷)函数f (x )＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6的最大值为( )A.65B.1C.35D.15解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，则f (x )＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝65sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，函数的最大值为65. 答案 A6.(2018·江苏卷)已知函数y ＝sin(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2<φ<π2 的图象关于直线x ＝π3对称，则φ的值是________.解析 由函数y ＝sin(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2<φ<π2的图象关于直线x ＝π3对称，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＝±1.所以2π3＋φ＝π2＋k π(k ∈Z )，所以φ＝－π6＋k π(k ∈Z )，又－π2<φ<π2，所以φ＝－π6. 答案 －π6考点一 三角函数的定义域【例1】 (1)函数f (x )＝－2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的定义域是( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠π6 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠－π12 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π＋π6（k ∈Z ） D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π2＋π6（k ∈Z ） (2)不等式3＋2cos x ≥0的解集是________.(3)函数f (x )＝64－x 2＋log 2(2sin x －1)的定义域是________. 解析 (1)由2x ＋π6≠k π＋π2(k ∈Z )，得x ≠k π2＋π6(k ∈Z ).(2)由3＋2cos x ≥0，得cos x ≥－32，由余弦函数的图象，得在一个周期[－π，π]上，不等式cos x ≥－32的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－5π6≤x ≤56π，故原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－56π＋2k π≤x ≤56π＋2k π，k ∈Z .(3)由题意，得⎩⎨⎧64－x 2≥0，①2sin x －1>0，②由①得－8≤x ≤8，由②得sin x >12，由正弦曲线得π6＋2k π<x <56 π＋2k π(k ∈Z ).所以不等式组的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－116π，－76π∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，56π∪⎝ ⎛⎦⎥⎤13π6，8. 答案 (1)D (2)⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－56π＋2k π≤x ≤56π＋2k π，k ∈Z (3)⎝ ⎛⎭⎪⎫－116π，－76π∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，56π∪⎝ ⎛⎦⎥⎤13π6，8【训练1】 (1)函数y ＝sin x －cos x 的定义域为________. (2)函数y ＝lg(sin x )＋cos x －12的定义域为______.解析 (1)要使函数有意义，必须使sin x －cos x ≥0.利用图象，在同一坐标系中画出[0，2π]上y ＝sin x 和y ＝cos x 的图象，如图所示.在[0，2π]上，满足sin x ＝cos x 的x 为π4，5π4再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以原函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |π4＋2k π≤x ≤54π＋2k π，k ∈Z .(2)要使函数有意义必须有⎩⎪⎨⎪⎧sin x >0，cos x －12≥0， 即⎩⎪⎨⎪⎧sin x >0，cos x ≥12，解得⎩⎪⎨⎪⎧2k π<x <π＋2k π，－π3＋2k π≤x ≤π3＋2k π(k ∈Z )，所以2k π<x ≤π3＋2k π(k ∈Z )，所以函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π<x ≤π3＋2k π，k ∈Z .答案(1)⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |π4＋2k π≤x ≤54π＋2k π，k ∈Z (2)⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π<x ≤π3＋2k π，k ∈Z考点二 三角函数的值域与最值【例2】 (1)y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的值域是________.(2)(2017·全国Ⅱ卷)函数f (x )＝sin 2x ＋3cos x －34⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的最大值是________. (3)函数y ＝sin x －cos x ＋sin x cos x 的值域为________.解析 (1)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，故3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3，即y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3. (2)由题意可得f (x )＝－cos 2x ＋3cos x ＋14＝－(cos x －32)2＋1.∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴cos x ∈[0，1].∴当cos x ＝32，即x ＝π6时，f (x )max ＝1. (3)设t ＝sin x －cos x ，则t 2＝sin 2x ＋cos 2x －2sin x cos x ，sin x cos x ＝1－t22，且－2≤t ≤2，所以y ＝－t 22＋t ＋12＝－12(t －1)2＋1.当t ＝1时，y max ＝1；当t ＝－2时，y min ＝－12－ 2 .所以函数的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12－2，1. 答案 (1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3 (2)1 (3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12－2，1【训练2】 (1)函数f (x )＝cos 2x ＋6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x 的最大值为( )A.4B.5C.6D.7(2)(2019·临沂模拟)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，其中x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，a ，若f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，则实数a 的取值范围是________. 解析 (1)由f (x )＝cos 2x ＋6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝1－2sin 2x ＋6sin x ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －322＋112，又sin x ∈[－1，1]，所以当sin x ＝1时函数的最大值为5.(2)由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，a ，知x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，a ＋π6.因为x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π2时，f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，所以由函数的图象知π2≤a ＋π6≤7π6，所以π3≤a ≤π. 答案 (1)B(2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π考点三 三角函数的单调性 角度1 求三角函数的单调区间【例3－1】 (1)函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π12－π12，k π2＋5π12(k ∈Z ) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π12－π12，k π2＋5π12(k ∈Z )C.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z )D.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z ) (2)函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＋π3的单调递减区间为________. 解析 (1)由k π－π2<2x －π3<k π＋π2(k ∈Z )，得k π2－π12<x <k π2＋5π12(k ∈Z )，所以函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z ).(2)y ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，它的减区间是y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的增区间.令2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z .故其单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z . 答案 (1)B (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z角度2 利用单调性比较大小【例3－2】 已知函数f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，设a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π7，b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，c ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A.a >b >c B.a >c >b C.c >a >bD.b >a >c解析 令2k π≤x ＋π6≤2k π＋π，k ∈Z ，解得2k π－π6≤x ≤2k π＋5π6，k ∈Z ，∴函数f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6上是减函数，∵－π6<π7<π6<π4<5π6， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π7>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4. 答案 A角度3 利用单调性求参数【例3－3】 (2018·全国Ⅱ卷)若f (x )＝cos x －sin x 在[－a ，a ]是减函数，则a 的最大值是( ) A.π4B.π2C.3π4D.π解析 f (x )＝cos x －sin x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，由题意得a >0，故－a ＋π4<π4，因为f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4在[－a ，a ]是减函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋π4≥0，a ＋π4≤π，a >0，解得0<a ≤π4，所以a 的最大值是π4.答案 A【训练3】 (1)设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π，则以下结论正确的是( )A.函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0上单调递减B.函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递增 C.函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，5π6上单调递减 D.函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，π上单调递增(2)cos 23°，sin 68°，cos 97°的大小关系是________.(3)若函数f (x )＝sin ωx (ω>0)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2上单调递减，则ω＝________.解析 (1)由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0，得2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4π3，－π3，此时函数f (x )先减后增；由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，得2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3，此时函数f (x )先增后减；由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，5π6，得2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，4π3，此时函数f (x )单调递减；由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，π，得2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤4π3，5π3，此时函数f (x )先减后增.(2)sin 68°＝cos 22°，又y ＝cos x 在[0°，180°]上是减函数，∴sin 68°>cos 23°>cos 97°.(3)法一 由于函数f (x )＝sin ωx (ω>0)的图象经过坐标原点，由已知并结合正弦函数的图象可知，π3为函数f (x )的14周期，故2πω＝4π3，解得ω＝32.法二 由题意，得f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝sin π3ω＝1.由已知并结合正弦函数图象可知，π3ω＝π2＋2k π(k ∈Z )，解得ω＝32＋6k (k ∈Z )，所以当k ＝0时，ω＝32.答案 (1)C (2)sin 68°>cos 23°>cos 97° (3)32考点四 三角函数的周期性、奇偶性、对称性 角度1 三角函数奇偶性、周期性【例4－1】 (1)(2018·全国Ⅰ卷)已知函数f (x )＝2cos 2x －sin 2x ＋2，则( ) A.f (x )的最小正周期为π，最大值为3 B.f (x )的最小正周期为π，最大值为4 C.f (x )的最小正周期为2π，最大值为3 D.f (x )的最小正周期为2π，最大值为4(2)(2019·杭州调研)设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ⎝ ⎛⎭⎪⎫|θ|<π2的图象关于y 轴对称，则θ＝( ) A.－π6 B.π6 C.－π3 D.π3解析 (1)易知f (x )＝2cos 2x －sin 2x ＋2＝3cos 2x ＋1＝3cos 2x ＋12＋1＝32cos 2x ＋52，则f (x )的最小正周期为π，当2x ＝2k π，即x ＝k π(k ∈Z )时，f (x )取得最大值，最大值为4.(2)f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ－π3， 由题意可得f (0)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝±2，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝±1，∴θ－π3＝π2＋k π(k ∈Z )，∴θ＝5π6＋k π(k ∈Z ). ∵|θ|<π2，∴k ＝－1时，θ＝－π6. 答案 (1)B (2)A角度2 三角函数图象的对称性【例4－2】 (1)已知函数f (x )＝a sin x ＋cos x (a 为常数，x ∈R )的图象关于直线x ＝π6对称，则函数g (x )＝sin x ＋a cos x 的图象( )A.关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称B.关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，0对称 C.关于直线x ＝π3对称 D.关于直线x ＝π6对称解析 (1)因为函数f (x )＝a sin x ＋cos x (a 为常数，x ∈R )的图象关于直线x ＝π6对称，所以f (0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，所以1＝32a ＋12，a ＝33，所以g (x )＝sin x ＋33cos x ＝233sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，函数g (x )的对称轴方程为x ＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )，即x ＝k π＋π3(k ∈Z )，当k ＝0时，对称轴为直线x ＝π3，所以g (x )＝sin x ＋a cos x 的图象关于直线x ＝π3对称. 规律方法 1.对于可化为f (x )＝A sin(ωx ＋φ)形式的函数，如果求f (x )的对称轴，只需令ωx ＋φ＝π2＋k π(k ∈Z )，求x 即可；如果求f (x )的对称中心的横坐标，只需令ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )，求x 即可.2.对于可化为f (x )＝A cos(ωx ＋φ)形式的函数，如果求f (x )的对称轴，只需令ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )，求x ；如果求f (x )的对称中心的横坐标，只需令ωx ＋φ＝π2＋k π(k ∈Z )，求x 即可.【训练4】 (1)(2018·全国Ⅲ卷)函数f (x )＝tan x1＋tan 2x的最小正周期为( )A.π4B.π2C.πD.2π(2)设函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，则下列结论错误的是( )A.f (x )的一个周期为－2πB.y ＝f (x )的图象关于直线x ＝8π3对称 C.f (x ＋π)的一个零点为x ＝π6 D.f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π单调递减解析 (1)f (x )的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π＋π2，k ∈Z .f (x )＝sin x cos x 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x cos x 2＝sin x ·cos x ＝12sin 2x ，∴f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)A 项，因为f (x )的周期为2k π(k ∈Z 且k ≠0)，所以f (x )的一个周期为－2π，A 项正确.B 项，因为f (x )图象的对称轴为直线x ＝k π－π3(k ∈Z )，当k ＝3时，直线x ＝8π3是其对称轴，B 项正确.C 项，f (x ＋π)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4π3，将x ＝π6代入得到f ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π6＝cos 3π2＝0，所以x ＝π6是f (x＋π)的一个零点，C 项正确.D 项，因为f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π3，2k π＋2π3 (k ∈Z )，递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋2π3，2k π＋5π3 (k ∈Z )，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，2π3是减区间，⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π3，π是增区间，D 项错误.答案 (1)C (2)D三、课后练习1.若对于任意x ∈R 都有f (x )＋2f (－x )＝3cos x －sin x ，则函数f (2x )图象的对称中心为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π4，0(k ∈Z ) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π8，0(k ∈Z ) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π4，0(k ∈Z ) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π8，0(k ∈Z ) 解析 因为f (x )＋2f (－x )＝3cos x －sin x ，所以f (－x )＋2f (x )＝3cos x ＋sin x .解得f (x )＝cos x ＋sin x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，所以f (2x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4. 令2x ＋π4＝k π(k ∈Z )，得x ＝k π2－π8(k ∈Z ).所以f (2x )图象的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π8，0(k ∈Z ). 答案 D2.(2017·天津卷)设函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R ，其中ω>0，|φ|<π.若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π8＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π8＝0，且f (x )的最小正周期大于2π，则( ) A.ω＝23，φ＝π12 B.ω＝23，φ＝－11π12C.ω＝13，φ＝－11π24D.ω＝13，φ＝7π24解析 ∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π8＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π8＝0，且f (x )的最小正周期大于2π， ∴f (x )的最小正周期为4⎝ ⎛⎭⎪⎫11π8－5π8＝3π， ∴ω＝2π3π＝23，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x ＋φ. ∴2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23×5π8＋φ＝2，得φ＝2k π＋π12(k ∈Z )， 又|φ|<π，∴取k ＝0，得φ＝π12.答案 A3.已知x 0＝π3是函数f (x )＝sin(2x ＋φ)的一个极大值点，则f (x )的单调递减区间是________.解析 因为x 0＝π3是函数f (x )＝sin(2x ＋φ)的一个极大值点，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π3＋φ＝1，解得φ＝2k π－π6(k ∈Z ). 不妨取φ＝－π6，此时f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6， 令2k π＋π2≤2x －π6≤2k π＋3π2(k ∈Z )，得f (x )的单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π3，k π＋56π(k ∈Z ). 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π3，k π＋56π(k ∈Z )4.已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x sin x －3cos 2x ＋32. (1)求f (x )的最大值及取得最大值时x 的值；(2)若方程f (x )＝23在(0，π)上的解为x 1，x 2，求cos(x 1－x 2)的值.解 (1)f (x )＝cos x sin x －32(2cos 2x －1) ＝12sin 2x －32cos 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3. 当2x －π3＝π2＋2k π(k ∈Z )，即x ＝512π＋k π(k ∈Z )时，函数f (x )取最大值，且最大值为1.(2)由(1)知，函数f (x )图象的对称轴为x ＝512π＋k π(k ∈Z )，∴当x ∈(0，π)时，对称轴为x ＝512π.又方程f (x )＝23在(0，π)上的解为x 1，x 2.∴x 1＋x 2＝56π，则x 1＝56π－x 2，∴cos(x 1－x 2)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫56π－2x 2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2－π3， 又f (x 2)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2－π3＝23， 故cos(x 1－x 2)＝23.5.已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，若对任意的实数α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π6，－π2，都存在唯一的实数β∈[0，m ]，使f (α)＋f (β)＝0，则实数m 的最小值是________.解析 因为α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π6，－π2，所以α－π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－2π3，则f (α)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，0，因为对任意的实数α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π6，－π2，都存在唯一的实数β∈[0，m ]，使f (α)＋f (β)＝0，所以f (β)在[0，m ]上单调，且f (β)∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32，则β－π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3，所以β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2，即实数m 的最小值是π2. 答案 π26.(2017·山东卷)函数y ＝3sin 2x ＋cos 2x 的最小正周期为( )A.π2B.2π3C.πD.2π解析 ∵y ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin 2x ＋12cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6， ∴T ＝2π2＝π.答案 C7.(2019·石家庄检测)若⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，0是函数f (x )＝sin ωx ＋cos ωx 图象的一个对称中心，则ω的一个取值是( )A.2B.4C.6D.8解析 因为f (x )＝sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4，由题意，知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωπ8＋π4＝0，所以ωπ8＋π4＝k π(k ∈Z )，即ω＝8k －2(k ∈Z )，当k ＝1时，ω＝6.答案 C8.已知函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最小值是－2，则ω的最小值等于( ) A.23 B.32 C.2 D.3解析 ∵ω>0，－π3≤x ≤π4，∴－ωπ3≤ωx ≤ωπ4.由已知条件知－ωπ3≤－π2，∴ω≥32.答案 B9.(2019·湖南十四校联考)已知函数f (x )＝2sin ωx －cos ωx (ω>0)，若f (x )的两个零点x 1，x 2满足|x 1－x 2|min ＝2，则f (1)的值为( ) A.102 B.－102 C.2 D.－2解析 依题意可得函数的最小正周期为2πω＝2|x 1－x 2|min ＝2×2＝4，即ω＝π2，所以f (1)＝2sin π2－cos π2＝2.答案 C10.(2018·北京卷)设函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω>0).若f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为________.解析 由于对任意的实数都有f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4成立，故当x ＝π4时，函数f (x )有最大值，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝1，πω4－π6＝2k π(k ∈Z )，∴ω＝8k ＋23(k ∈Z ).又ω>0，∴ωmin ＝23. 答案 2311.(2019·北京通州区质检)已知函数f (x )＝sin ωx －cos ωx (ω>0)的最小正周期为π.(1)求函数y ＝f (x )图象的对称轴方程；(2)讨论函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的单调性. 解 (1)∵f (x )＝sin ωx －cos ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π4，且T ＝π， ∴ω＝2，于是f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4. 令2x －π4＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k π2＋3π8(k ∈Z ).即函数f (x )图象的对称轴方程为x ＝k π2＋3π8(k ∈Z ).(2)令2k π－π2≤2x －π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，得函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π8，k π＋3π8(k ∈Z ). 注意到x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以令k ＝0，得函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，3π8； 同理，其单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π8，π2.。
专题46 三角函数的图象与性质(多选题)(解析版)
专题46 三角函数的图象与性质（多选题）一、题型选讲题型一 、三角函数的基本概念例1、（2020届山东师范大学附中高三月考）在平面直角坐标系xOy 中，角α顶点在原点O ，以x 正半轴为始边，终边经过点()()1,0P m m <，则下列各式的值恒大于0的是（ ） A ．sin tan ααB ．cos sin αα-C ．sin cos ααD ．sin cos αα+【答案】AB【解析】由题意知sin 0α<，cos 0α>，tan 0α<. 选项Asin 0tan αα>； 选项B ，cos sin 0αα->； 选项C ，sin cos 0αα<； 选项D ，sin cos αα+符号不确定. 故选：AB.变式1、（2020·枣庄市第三中学高三月考）下列函数，最小正周期为的偶函数有（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】BD【解析】对于A 选项，函数为奇函数，不符合题意. 对于B 选项，函数是最小正周期为的偶函数，符合题意. 对于C 选项，函数的最小正周期为，不符合题意. 对于D 选项，函数，是最小正周期为的偶函数，符合题意. 故选：BD变式2、定义：角θ与ϕ都是任意角，若满足+=2πθϕ，则称θ与ϕ“广义互余”.已知1sin(+)=-4πα，下列角β中，可能与角α“广义互余”的是()A. sin βB. 1cos(+)=4πβC. tan βD. tan β 【答案】ACπtan y x =|sin |y x =2cos y x =sin 22y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭tan y x =sin y x =π2cos y x =2ππsin 2cos 22y x x ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭π【解析】：11sin()sin sin 44πααα+=-=-∴=，cos α=，对于A ，sin sin()cos 2πβαα=-=可能成立，角β可能与角α“广义互余”，故A 符合条件;对于B ，假设角β与角α“广义互余”，11cos()cos()sin 244ππβαα+=--=-=-≠，故B 不符合条件;对于C ，tan β=，即sin ββ=，又22sin cos 1ββ+=，故sin β=若广义互余即cos α=，即C 符合条件;对于D ，tan β=即sin ββ=，又22sin cos 1ββ+=，故sin β=，若广义互余即cos α=，故D 不符合条件 故选：.AC题型二、三角函数的性质的简单运用例2、（2020届山东省济宁市高三上期末）将函数()sin 2f x x =的图象向右平移4π个单位后得到函数()g x 的图象,则函数()g x 具有性质( ) A ．在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增,为偶函数 B ．最大值为1,图象关于直线32x π=-对称 C ．在3,88ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增,为奇函数 D ．周期为π,图象关于点3,04π⎛⎫⎪⎝⎭对称 【答案】ABD【解析】()sin 2sin 2cos 242x x x g x ππ⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0,4x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭则20,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()cos2g x x =-单调递增，为偶函数，A 正确C 错误；最大值为1，当32x π=-时23x π=-，为对称轴，B 正确； 22T ππ==，取2,,242k x k x k Z ππππ=+∴=+∈，当1k =时满足，图像关于点3,04π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，D 正确； 故选：ABD变式1、（2020届山东省烟台市高三上期末）已知函数()()sin 322f x x ππϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭的图象关于直线4x π=对称，则（ ）A ．函数12f x π⎛⎫+⎪⎝⎭为奇函数 B ．函数()f x 在,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 C ．若()()122f x f x -=，则12x x -的最小值为3πD ．函数()f x 的图象向右平移4π个单位长度得到函数cos3y x =-的图象 【答案】AC【解析】因为直线4x π=是()()sin 322f x x ππϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭的对称轴,所以()342k k Z ππϕπ⨯+=+∈,则()4k k Z πϕπ=-+∈,当0k =时,4πϕ=-,则()sin 34f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,对于选项A,sin 3sin 312124f x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦,因为()sin 3sin3x x -=-,所以12f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭为奇函数,故A 正确； 对于选项B,()232242k x k k Z πππππ-+<-<+∈,即()21212343k kx k Z ππππ-+<<+∈,当0k =时,()f x 在,124ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦当单调递增,故B 错误；对于选项C,若()()122f x f x -=,则12x x -最小为半个周期,即21323ππ⨯=,故C 正确； 对于选项D,函数()f x 的图象向右平移4π个单位长度,即()sin 3sin 3sin 344x x x πππ⎡⎤⎛⎫--=-=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦,故D错误 故选：AC变式2、（2020·山东日照·高三月考）将函数的图像向左平移个单位，得到函数的图像，sin y x =2π()y f x =则（ ）A ．是偶函数B ．的最小正周期为C ．的图像关于直线对称D ．的图像关于点对称【答案】AD【解析】函数的图象向左平移个单位后， 得到函数的图象， 为偶函数，故A 正确； 的周期为，排除B ；因为，所以的图象不关于直线对称，排除C ；，故D 正确 故选：AD.变式3、（2020届山东省枣庄市高三上学期统考）将函数()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移2π个单位长度得到()g x 图象，则下列判断正确的是（ ） A ．函数()g x 在区间,122ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 B ．函数()g x 图象关于直线712x π=对称 C ．函数()g x 在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减 D ．函数()g x 图象关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称 【答案】ABD()y f x =()y f x =π()y f x =2x π=()y f x =,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭sin y x =2π()sin cos 2f x x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭()cos f x x =()cos f x x =2πcos 022f ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭()f x 2x π=cos 022f ππ⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【解析】函数()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像向右平移2π个单位长度得到()ππsin 223g x x ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦2πsin 23x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.由于7π7π2ππsin sin 112632g ⎛⎫⎛⎫=-==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故7π12x =是()g x 的对称轴，B 选项正确. 由于π2π2πsin sin 00333g ⎛⎫⎛⎫=-==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭是()g x 的对称中心，D 选项正确. 由π2ππ2232x -≤-≤，解得π7π1212x ≤≤，即()g x 在区间π7π,1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递增，故A 选项正确、C 选项错误. 故选：ABD.变式4、（2020届山东省潍坊市高三上期末）已知()()22210f x cosx x ωωω=->的最小正周期为π，则下列说法正确的有（ ）A ．2ω=B ．函数()f x 在[0,]6π上为增函数C ．直线3x π=是函数()y f x =图象的一条对称轴D ．5,012π⎛⎫⎪⎝⎭是函数()y f x =图象的一个对称中心 【答案】BD【解析】()cos 222sin 26f x x x x πωωω⎛⎫=+=+⎪⎝⎭， 22ππω=，1ω∴= ()2sin 26f x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭ ，故A 不正确；当0,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，2,662x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦是函数sin y x =的单调递增区间，故B 正确； 当3x π=时，52366πππ⨯+=，51sin 162π=≠±，所以不是函数的对称轴，故C 不正确；、当512x π=时，52126πππ⨯+=，sin 0π=，所以5,012π⎛⎫⎪⎝⎭是函数()y f x =的一个对称中心，故D 正确. 故选：BD题型三、三角函数图像与性质的综合运用例3、（2020·蒙阴县实验中学高三期末）关于函数()22cos cos(2)12f x x x π=-+-的描述正确的是（ ）A ．其图象可由2y x =的图象向左平移8π个单位得到 B ．()f x 在(0,)2π单调递增C ．()f x 在[]0,π有2个零点D ．()f x 在[,0]2π-的最小值为【答案】ACD【解析】由题：()22cos cos(2)1cos 2sin 2)24f x x x x x x ππ=-+-=+=+，由2y x =的图象向左平移8π个单位，得到)))84y x x ππ=+=+，所以选项A 正确；令222,242k x k k Z πππππ-≤+≤+∈，得其增区间为3[,],88k k k Z ππππ-+∈ ()f x 在(0,)8π单调递增，在(,)82ππ单调递减，所以选项B 不正确；解()0,2,4f x x k k Z ππ=+=∈，得：,28k x k Z ππ=-∈，[0,]x π∈， 所以x 取37,88ππ，所以选项C 正确；3[,0],2[,],sin(2)[24444x x x πππππ∈-+∈-+∈-，()[f x ∈， 所以选项D 正确. 故选：ACD变式1、已知函数())3f x x π=+，则下列结论正确的是（ ）A ．函数()f x 的最小正周期为πB ．函数()f x 在[0,π]上有2个零点C ．当x =56π时，函数()f x 取得最大值 D ．为了得到函数()f x的图象，只要把函数())3g x x π=+图象上所有点的横坐标变为原来的12倍(纵坐标不变) 【答案】ABCD 【详解】22T ππ==，则A 正确； 当x ∈[0，π]时，23x π+∈3,37ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，此时余弦函数cos y x =只有两个零点，则可知B 正确； 因为23x π+∈3,37ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，所以当223x ππ+=时，即x =56π时，函数()f x 取得最大值，则可知C 正确；函数())3g x x π=+图象上所有点的横坐标变为原来的12倍(纵坐标不变)得出23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，则D 正确；.变式2、已知函数()sin()(0)f x x ωϕω=+>满足()()001f x f x =+=且()f x 在()00,1x x +上有最大值，无最小值，则下列结论正确的是（ ） A ．0112f x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭B ．若00x =，则()sin 4f x x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭C ．()f x 的最小正周期为4D ．()f x 在(0,2020)上的零点个数最少为1010个【答案】AC 【详解】对A ，()00,1x x +的区间中点为012x +， 根据正弦曲线的对称性知0112f x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，故A 正确； 对B ，若00x =，则()0sin 211sin 122f f ϕωϕ⎧==⎪⎪⎨⎛⎫⎛⎫⎪=+= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩，()f x 在()00,1x x +上有最大值，无最小值， ∴24k ϕπ=+π，则()42k k z πωπ=+∈， ωπ∴≠，故B 错误；对C ，()()0000211sin 122sin 2x f x f x x ωϕωϕ⎧+⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎪=+=⎪⎩，又()f x 在()00,1x x +上有最大值，无最小值，002122224x k x k πωϕππωϕπ+⎧+=+⎪⎪∴⎨⎪+=+⎪⎩，(其中k z ∈)，解得：2πω=，2242T πππω∴===，故C 正确；对D ，当4T =时，区间(0,2020)的长度恰好为505个周期， 当()00f =时，即k ϕπ=时，()f x 在开区间(0,2020)上零点个数至多为50521010⨯=个零点，故D 错误.变式3、（2020·山东高三开学考试）将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，且，则下列说法正确的是（ ） A ．为奇函数 B ． C ．当时，在上有4个极值点()()πcos 02f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭π2()g x ()01g =-()g x π02g ⎛⎫-= ⎪⎝⎭5ω=()g x ()0,πD ．若在上单调递增，则的最大值为5【答案】BCD 【解析】∵ ∴，且， ∴，即为奇数，∴为偶函数，故A 错. 由上得：为奇数，∴，故B 对. 由上得，当时，，,由图像可知在上有4个极值点,故C 对，∵在上单调，所以,解得：，又∵， ∴的最大值为5，故D 对 故选：BCD.二、达标训练()g x π0,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦ω()()πcos sin 02f x x x ωωω⎛⎫=-=> ⎪⎝⎭()sin ()2g x x πω⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦(0)1g =-()1222k k Z πωπ⎛⎫-=-∈ ⎪⎝⎭14k ω=-()sin ()cos 2g x x x πωω⎡⎤=-=±⎢⎥⎣⎦ω()cos 022g ππω⎛⎫-=±-= ⎪⎝⎭5ω=5()sin(5)cos52g x x x π=-=-25T π=()g x ()0,π()g x π0,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦π052T πω-≤=05ω<≤14k ω=-ω1、已知函数()cos 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则（ ） A ．2π为()f x 的一个周期 B ．()y f x =的图象关于直线43x π=对称 C ．()f x 在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减 D ．()f x π+的一个零点为3π【答案】AD【详解】根据函数()cos 6f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭知最小正周期为2π，A 正确. 当43x π=时，443cos cos 03362f ππππ⎛⎫⎛⎫=+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由余弦函数的对称性知，B 错误； 函数()cos 6f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭在5,26ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在5,6ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，故C 错误；7()cos 6f x x ππ⎛⎫+=+⎪⎝⎭， 73cos cos 03632f πππππ⎛⎫⎛⎫∴+=+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故D 正确.2、已知函数()()πcos 0,02f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭的最小正周期为π，其图象的一条对称轴为5π12x =，则（ ） A ．π3ϕ=B ．函数()f x 的图象可由sin 2y x =的图象向左平移π3个单位长度得到C ．函数()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为1,2⎡-⎢⎣⎦D ．函数()f x 在区间ππ,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减【答案】BC【详解】()()πcos 0,02f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><<⎪⎝⎭的最小正周期为π，22Tπω∴==，又2x π=为()f x 的对称轴，52,0122k ππϕπϕ∴⨯+=<<，=6πϕ∴， ()cos(2)6f x x π∴=+；对于A ，=6πϕ，A 错；对于B ，sin 2y x =的图象向左平移π3个承位长度得到2sin(2)3y x π=+，而2sin(2)sin(2)cos(2)()3266y x x x f x ππππ=+=++=+=，所以，B 对；对于C ，7cos 22666x x ππππ≤⇒≤+≤，1cos(2)62x π∴-≤+≤，则函数()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为1,2⎡-⎢⎣⎦，C 对；对于D ，11522666x x πππππ-≤≤-⇒-≤+≤-，cos x 在11,6ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦单调递减，在5,6ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦单调递增，()f x ∴在ππ,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上不是单调的，D 错；3、已知函数()()sin (0,0,0)f x A x A ωϕωϕπ=+>><<的最小正周期为4，其图象的一个最高点为1,23A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，下列结论正确的是（ ） A ．ωπ= B ．3πϕ=C ．将()f x 图象上各点的横坐标变为原来的12，纵坐标不变，得到()h x 图象；再将()h x 图象向右平移16个单位长度，得到函数2sin 6y x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象 D ．() y f x =的图象关于1x =对称 【答案】BC 【详解】由已知24πω=，2πω=，A 错；2A =，2sin()223πϕ1⨯+=，23k πϕπ=+，k Z ∈，又0ϕπ<<，∴3πϕ=．B 正确；∴()2sin 23f x x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭，将()f x 图象上各点的横坐标变为原来的12，纵坐标不变，得()2sin()3h x x ππ=+，再将()h x 图象向右平移16个单位长度，得图象的解析式为2sin ()2sin()636y x x πππππ⎡⎤=-+=+⎢⎥⎣⎦，C 正确；大()f x 中，令1x =，5,2362x k k Z πππππ+=≠+∈，D 错．4、已知函数()3sin sin3f x x x =+，则（ ） A ．()f x 是奇函数 B ．()f x 是周期函数且最小正周期为2π C ．()f x 的值域是[4,4]- D ．当(0,)x π∈时()0f x >【答案】ABD【详解】A.()3sin()sin(3)3sin sin3()f x x x x x f x -=-+-=--=-，故()f x 是奇函数，故A 正确；B.因为sin y x =的最小正周期是2π，sin3y x =的最小正周期为23π，二者的“最小公倍数”是2π，故2π是()f x 的最小正周期，故B 正确；C.分析()f x 的最大值，因为3sin 3x ≤，sin31x ≤，所以()4f x ≤，等号成立的条件是sin 1x =和sin31x =同时成立，而当sin 1x =即2()2x k k ππ=+∈Z 时，336()2x k k ππ=+∈Z ，sin31x =-故C 错误； D.展开整理可得()2()3sin sin cos2cos sin 2sin 4cos 2f x x x x x x x x =++=+，易知当(0,)x π∈时，()0f x >，故D 正确.5、已知函数()sin() f x x ωϕ=+（其中0,0 ωϕπ><<）图象的两条相邻的对称轴之间的距离为2π，16f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，下列结论正确的是（ ） A ．()sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B ．将函数()y f x =的图象向右平移6π个单位后得到函数sin2y x =的图象 C ．当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()f x 有且只有一个零点D ．()f x 在06π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递增 【答案】ACD【详解】由题意，函数图象的两条相邻的对称轴之间的距离为2π，16f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，可得T π=， 因为0 ω>，则2T w ππ==，解得2w =，即sin(2)16πϕ⨯+=， 解得2,32k k Z ππϕπ+=+∈，因为0ϕπ<<，所以6π=ϕ，即函数()f x 的解析式()sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以A 正确； 对于B 中，函数()f x 的图象向右平移6π个单位，得到()sin[2()]66g x x ππ=-+ πsin(2)6x =-的图象，所以B 不正确；对于C 中，由0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以72(,)666x πππ+∈，当512x π=时，函数5()012f π=， 所以C 正确；对于D 中，当06x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，2[,]662x πππ+∈，根据正弦函数的性质，可得函数()f x 在该区间上单调递增，所以D 正确.6、函数()()sin f x A x =+ωϕ0,0,2A πωϕ⎛⎫>><⎪⎝⎭的部分图像如图所示，下列结论中正确的是（ ）A ．直线23x π=-是函数()f x 图像的一条对称轴B ．函数()f x 的图像关于点,062k ππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭k Z ∈对称 C ．函数()f x 的单调递增区间为5,1212k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦k Z ∈D ．将函数()f x 的图像向右平移12π个单位得到函数()sin(2)4g x x π=+的图像【答案】BC【详解】由图知：()min 1f x =-，所以1A =， 因为741234T πππ=-=，T π=，即2ππω=，2ω=。
三角函数图像性质和例题
55655三角函数
一 图象（y=sin(ωx+φ) .y=cos(ωx+φ)）
1、 利用三角函数图象求解等式或不等式。
2、 图象的平移。
3、 求解析式.
例1、①已知x ∈[0，2π），且A=｛x|sinx ≥21｝, B=｛x|cosx ≤2
3｝.则A ∩B 为？ ②求方程sinx=
10x 根的个数。
例2、①y=sin(3x 6
π-)的图像由y=sin x 经过怎样变化而得。
②把函数y=cos(2x 4π+)的图像向右平移8
π单位，再把各点的横坐标缩短为原来的21 倍，所得到的函数式为？
例3、
求函数解析式。
二、性质
①定义域 ②值域 ③单调性 ④奇偶性 ⑤对称性 ⑥周期性
例1、 求下列函数的定义域
①y=x sin 11+ ②y=x cos ③y=x tan log 21
例2、 判定下列函数的奇偶性
①f(x)=sin(π2
343+x ) ② f(x)=x x x x cos sin 1cos sin 1++-+ 例3、求下列函数的单调区间
①y=3sin(x 24
-π) ② y=lgcos(32π+x ) 例4、①求函数y=sin(6
2π-x )的对称中心和对称轴。
② y=2cot(43π-x )的对称中心 例5、确定函、数f(x)=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-4sin 2log 21πx 的定义域、值域、单调区间、奇偶性、周期性.
例6、f(x)= x x x
22sin cos 1sin 2-+
①求定义域 ②判定函数奇偶性 ③在[]ππ,-上作f(x)图像 ④写出f(x)的最小正周期及单调性。
三角函数的图像和性质练习题(基础)
三角函数的图像和性质练习题(基础) 三角函数的图像和性质练题1.若cosx=0，则角x等于A。
kπ（k∈Z）解析：cosx=0时，x为cos函数的零点，即x=kπ+π/2（k∈Z），所以选项A正确。
2.使cosx=(1-m)/(2+m)，有意义的m的值为C。
-1＜m＜1解析：由于-1≤cosx≤1，所以1-m≤2+m，解得-1＜m＜1，所以选项C正确。
3.函数y=3cos（2πx－5π/6）的最小正周期是B。
5π/2解析：cos函数的最小正周期为2π，但当系数为2π/b时，函数的最小正周期为b。
所以y=3cos（2πx－5π/6）的系数为2π/(5π/2)=4/5，故最小正周期为5π/2，所以选项B正确。
4.函数y=2sinx+2cosx－3的最大值是B。
1/2解析：将y=2sinx+2cosx－3转化为y=2√2(sin(x+π/4)－3/√2)，所以最大值为2√2－3，即1/2，所以选项B正确。
5.下列函数中，同时满足①在（-π/2，π/2）上是增函数，②为奇函数，③以π为最小正周期的函数是C。
y=tan(x/2)解析：y=tan(x/2)在（-π/2，π/2）上是增函数，且为奇函数，而y=cos(x)在（-π/2，π/2）上不是增函数，y=sin(x)不是奇函数，y=tan(x)不是以π为最小正周期的函数，所以选项C 正确。
6.函数y=sin(2x+π/6)的图象可看成是把函数y=sin2x的图象向左平移π/12得到。
解析：y=sin(2x+π/6)的系数为2，所以它的周期为π，而y=sin2x的周期为π/2，所以y=sin(2x+π/6)的图象相当于把y=sin2x的图象向左平移π/12，所以选项B正确。
7.函数y=sin(-2x)的单调增区间是C。
[kπ-。
kπ+]。
(k∈Z)解析：y=sin(-2x)相当于y=-sin(2x)，而y=sin(2x)的单调增区间为[kπ。
(k+1)π]，所以y=sin(-2x)的单调增区间为[kπ-。
三角函数的图象和性质经典例题总结(带答案)
第3章 三角函数、解三角形第1讲 三角函数的图象和性质一、选择题1.［2017•全国Ⅲ，6］设函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，则下列结论错误的是( ) A ．f (x )的一个周期为－2πB ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝8π3对称C ．f (x ＋π)的一个零点为x ＝π6D ．f (x )在⎝⎛⎭⎫π2，π单调递减 答案 D解析 A 项，因为f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的周期为2k π(k ∈Z )，所以f (x )的一个周期为－2π，A 项正确．B 项，因为f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3图象的对称轴为直线x ＝k π－π3(k ∈Z )，所以y ＝f (x )的图象关于直线x ＝8π3对称，B 项正确．C 项，f (x ＋π)＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋4π3.令x ＋4π3＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k π－56π，当k ＝1时，x ＝π6，所以f (x ＋π)的一个零点为x ＝π6，C 项正确．D 项，因为f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的递减区间为2k π－π3，2k π＋2π3(k ∈Z )，递增区间为2k π＋2π3，2k π＋5π3(k ∈Z )，所以⎝⎛⎭⎫π2，2π3是减区间，2π3，π是增区间，D 项错误．故选D. 2.［2017•天津卷，7］设函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R ，其中ω＞0，|φ|＜π.若f ⎝⎛⎭⎫5π8＝2，f ⎝⎛⎭⎫11π8＝0，且f (x )的最小正周期大于2π，则( )A ．ω＝23，φ＝π12B ．ω＝23，φ＝－11π12C ．ω＝13，φ＝－11π24D ．ω＝13，φ＝7π24答案 A解析 ∵f ⎝⎛⎭⎫5π8＝2，f ⎝⎛⎭⎫11π8＝0，且f (x )的最小正周期大于2π， ∴f (x )的最小正周期为4⎝⎛⎭⎫11π8－5π8＝3π， ∴ω＝2π3π＝23，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫23x ＋φ. ∴2sin ⎝⎛⎭⎫23×5π8＋φ＝2，得φ＝2k π＋π12，k ∈Z .又|φ|＜π，∴取k ＝0，得φ＝π12.故选A. 3.［2016•全国Ⅲ，12］已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|≤π2，x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π4为y ＝f (x )图象的对称轴，且f (x )在⎝⎛⎭⎫π18，5π36上单调，则ω的最大值为( ) A ．11 B ．9 C ．7 D ．5 答案 B解析 依题意，有⎩⎨⎧ω·⎝⎛⎭⎫－π4＋φ＝m π，ω·π4＋φ＝n π＋π2，(m ，n ∈Z )，∴⎩⎨⎧ω＝2(n －m )＋1，φ＝2(m ＋n )＋14π.又|φ|≤π2，∴m ＋n ＝0或m ＋n ＝－1.由f (x )在⎝⎛⎭⎫π18，5π36上单调，得πω≥5π36－π18，∴ω≤12. 当m ＋n ＝0时，ω＝4n ＋1，φ＝π4，取n ＝2，得ω＝9，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫9x ＋π4符合题意；当m ＋n ＝－1时，φ＝－π4，ω＝4n ＋3，取n ＝2，得ω＝11，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫11x －π4，此时，当x ∈⎝⎛⎭⎫π18，5π36时，11x －π4∈⎝⎛⎭⎫13π36，23π18，f (x )不单调，不合题意．故选B.4.［2016•全国Ⅲ，7］若将函数y ＝2sin2x 的图象向左平移π12个单位长度，则平移后图象的对称轴为( )A ．x ＝k π2－π6(k ∈Z )B ．x ＝k π2＋π6(k ∈Z )C ．x ＝k π2－π12(k ∈Z )D ．x ＝k π2＋π12(k ∈Z )答案 B解析 将函数y ＝2sin2x 的图象向左平移π12个单位长度得到函数y ＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π12＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象，由2x ＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )，可得x ＝k π2＋π6(k ∈Z )．则平移后图象的对称轴为x ＝k π2＋π6(k ∈Z )，故选B.5.［2016•浙江卷，5]设函数f (x )＝sin 2x ＋b sin x ＋c ，则f (x )的最小正周期( ) A ．与b 有关，且与c 有关 B ．与b 有关，但与c 无关C ．与b 无关，且与c 无关D ．与b 无关，但与c 有关答案 B解析 f (x )＝sin 2x ＋b sin x ＋c ，若b ＝0，则f (x )＝sin 2x ＋c ＝12(1－cos2x )＋c ，此时f (x )的周期为π；若b ≠0，则f (x )的周期为2π，所以选B.6.［2016•四川卷，3]为了得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象，只需把函数y ＝sin2x 的图象上所有的点( )A ．向左平行移动π3个单位长度B ．向右平行移动π3个单位长度C ．向左平行移动π6个单位长度D ．向右平行移动π6个单位长度答案 D解析 将y ＝sin2x 的图象向右平行移动π6个单位长度得到y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π6＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象，故选D.7.［2016•山东卷，7]函数f (x )＝(3sin x ＋cos x )(3cos x －sin x )的最小正周期是( ) A.π2B ．π C.3π2D ．2π答案 B解析 ∵f (x )＝(3sin x ＋cos x )(3cos x －sin x )＝4sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，∴T ＝2π2＝π，故选B. 8.［2015•浙江卷，7]存在函数f (x )满足：对于任意x ∈R 都有( ) A ．f (sin2x )＝sin x B ．f (sin2x )＝x 2＋x C ．f (x 2＋1)＝|x ＋1| D ．f (x 2＋2x )＝|x ＋1| 答案 D解析 通过举反例排除．本题主要考查函数的概念，即对于任一变量x 有唯一的y 与之相对应．对于A ，当x ＝π4或5π4时，sin2x 均为1，而sin x 与x 2＋x 此时均有两个值，故A 、B错误；对于C ，当x ＝1或－1时，x 2＋1＝2，而|x ＋1|有两个值，故C 错误，故选D.9.［2015•陕西卷，3]如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝3sin π6x ＋φ＋k .据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为( )A ．5B ．6C ．8D ．10答案 C解析 由题图可知－3＋k ＝2，k ＝5，y ＝3sin π6x ＋φ＋5，∴y max ＝3＋5＝8.10.［2014•大纲卷，3]设a ＝sin33°，b ＝cos55°，c ＝tan35°，则( )A ．a >b >cB ．b >c >aC ．c >b >aD ．c >a >b答案 C解析 ∵b ＝cos55°＝sin35°>sin33°＝a ，∴b >a . 又∵c ＝tan35°＝sin35°cos35°>sin35°＝cos55°＝b ， ∴c >b .∴c >b >a .故选C.11. ［2013•浙江卷，4] 已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，φ∈R )，则“f (x )是奇函数”是“φ＝π2”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件答案 B解析 f (x )是奇函数时，φ＝π2＋k π(k ∈Z )；φ＝π2时，f (x )＝A cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π2＝－A sin ωx ，为奇函数．所以“f (x )是奇函数”是“φ＝π2”的必要不充分条件，选B.12. ［2013•湖北卷，4]将函数y ＝3cos x ＋sin x (x ∈R )的图象向左平移m (m >0)个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是( )A.π12 B. π6 C . π3 D. 5π6答案 B解析 y ＝f (x )＝3cos x ＋sin x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，向左平移m (m >0)个单位长度后得f (x ＋m )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋m ＋π3，图象关于y 轴对称， 令x ＝0，得⎪⎪⎪⎪2sin ⎝⎛⎭⎫m ＋π3＝2， 从而m ＋π3＝2k π±π2，故m ＝2k π＋π6或m ＝2k π－5π6，k ∈Z ，又m >0，所以m min ＝π6.13. ［2013•四川卷，5] 函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，－π2<φ<π2的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是( )A. 2，－π3B. 2，－π6C. 4，－π6D. 4，π3答案 A解析 由题中图象可知34T ＝5π12－⎝⎛⎭⎫－π334T ＝3π4T ＝π，则ω＝2πT ＝2ππ＝2.又图象过点⎝⎛⎭⎫5π12，2， 则f ⎝⎛⎭⎫5π12＝22sin ⎝⎛⎭⎫5π6＋φ＝2sin ⎝⎛⎭⎫5π6＋φ＝1.∵－π2<φ<π2，∴π3<φ＋5π6<4π3， ∴5π6＋φ＝π2， ∴φ＝－π3.故选A.14. ［2013•山东卷，5] 将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图象沿x 轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为( )A.3π4 B. π4C . 0 D. －π4答案 B解析 由题意得g (x )＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π8＋φ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋φ为偶函数，∴π4＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，∴φ＝k π＋π4.令k ＝0，得φ＝π4，故选B.15. ［2013•北京卷，3] “φ＝π”是“曲线y ＝sin(2x ＋φ)过坐标原点”的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件 答案 A解析 当φ＝π时，y ＝sin(2x ＋π)＝－sin2x ，此时曲线过坐标原点；但曲线y ＝sin(2x ＋φ)过坐标原点时，φ＝k π(k ∈Z )，∴“φ＝π”是“曲线y ＝sin(2x ＋φ)过坐标原点”的充分而不必要条件，故选A.16. ［2013•江西卷，10] 如图，半径为1的半圆O 与等边三角形ABC 夹在两平行线l 1，l 2之间，l ∥l 1，l 与半圆相交于F ，G 两点，与三角形ABC 两边相交于E ，D 两点．设弧FG 的长为x (0<x <π)，y ＝EB ＋BC ＋CD ，若l 从l 1平行移动到l 2，则函数y ＝f (x )的图象大致是( )答案 D解析 如图，当FG 长为x 时，GI 长为x2，又半径为1，此时∠GOH ＝x 2，HI ＝1－cos x2，∴CD ＝BE＝HI sin60°＝23·⎝⎛⎭⎫1－cos x 2，又BC ＝23， ∴y ＝EB ＋BC ＋CD ＝43⎝⎛⎭⎫1－cos x 2＋23＝23－433·cos x2. 显然函数图象非直线型，排除A ；又f ′(x )＝233sin x2，当0<x <π时，f ′(x )>0，f (x )在(0，π)上单调递增，排除B ；f ′(0)＝0，排除C.故选D.二、填空题1.［2018•全国Ⅲ，16］已知函数f (x )＝2sin x ＋sin2x ，则f (x )的最小值是________．答案 －332解析 f ′(x )＝2cos x ＋2cos2x ＝4cos 2x ＋2cos x －2＝4(cos x ＋1)⎝⎛⎭⎫cos x －12，所以当cos x <12时函数单调递减，当cos x >12时函数单调递增，从而得到函数的减区间为⎣⎡⎦⎤2k π－5π3，2k π－π3(k ∈Z )，函数的增区间为2k π－π3，2k π＋π3(k ∈Z )，所以当x ＝2k π－π3，k ∈Z 时，函数f (x )取得最小值，此时sin x ＝－32，sin2x ＝－32，所以f (x )min ＝2×⎝⎛⎭⎫－32－32＝－332.2.［2016•全国Ⅲ，14］函数y ＝sin x －3cos x 的图象可由函数y ＝sin x ＋3cos x 的图象至少向右平移________个单位长度得到．答案2π3解析 因为y ＝sin x ＋3cos x ＝2sin x ＋π3，y ＝sin x －3cos x ＝2sin x －π3，所以把y ＝2sin x＋π3的图象至少向右平移2π3个单位长度可得y ＝2sin x －π3的图象． 3.［2015•浙江卷，11]函数f (x )＝sin 2x ＋sin x cos x ＋1的最小正周期是________，单调递减区间是________．答案 π3π8＋k π，7π8＋k π(k ∈Z )解析 由题意知，f (x )＝22sin(2x －π4)＋32，所以最小正周期T ＝π.令π2＋2k π≤2x －π4≤3π2＋2k π(k ∈Z )，得k π＋3π8≤x ≤k π＋7π8(k ∈Z )，故单调递减区间为3π8＋k π，7π8＋k π(k ∈Z )． 4.［2013•江苏卷，1] 函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的最小正周期为________． 答案 π 解析 T ＝2π2＝π.5.［2013•江西卷，11] 函数y ＝sin2x ＋23sin 2x 的最小正周期T 为________． 答案 π解析 ∵y ＝sin2x ＋3(1－cos2x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋3，∴最小正周期T ＝2π2＝π. 三、解答题1.［2017•山东卷，16]设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6＋sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π2，其中0＜ω＜3，已知f ⎝⎛⎭⎫π6＝0.(1)求ω；(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移π4个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )在⎣⎡⎦⎤－π4，3π4上的最小值． 解 (1)因为f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6＋sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π2， 所以f (x )＝32sin ωx －12cos ωx －cos ωx ＝32sin ωx －32cos ωx ＝3⎝⎛⎭⎫12sin ωx －32cos ωx ＝3sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π3. 由题设知f ⎝⎛⎭⎫π6＝0，所以ωπ6－π3＝k π，k ∈Z ， 所以ω＝6k ＋2，k ∈Z . 又0＜ω＜3，所以ω＝2. (2)由(1)得f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3， 所以g (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4－π3＝3sin ⎝⎛⎭⎫x －π12. 因为x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，3π4，所以x －π12∈⎣⎡⎦⎤－π3，2π3. 当x －π12＝－π3，即x ＝－π4时，g (x )取得最小值－32.。
三角函数的图象与性质6大题型(解析版)--2024高考数学常考题型精华版
三角函数的图象与性质6大题型【题型目录】题型一：三角函数的周期性题型二：三角函数对称性题型三：三角函数的奇偶性题型四：三角函数的单调性题型五：三角函数的值域题型六：三角函数的图像【典例例题】题型一：三角函数的周期性【例1】（2022·全国·兴国中学高三阶段练习（文））下列函数中，最小正周期为π的奇函数是（）．A ．tan y x =B ．sin 2y x =C ．sin cos y x x =D ．sin y x=【例2】（2022江西景德镇一中高一期中（文））下列函数中①sin y x =；②sin y x =；③tan y x =；④12cos y x =+，其中是偶函数，且最小正周期为π的函数的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】①的图象如下，根据图象可知，图象关于y 轴对称，sin y x =是偶函数，但不是周期函数，∴排除①；②的图象如下，根据图象可知，图象关于y 轴对称，sin y x =是偶函数，最小正周期是π，∴②正确；③的图象如下，根据图象可知，图象关于y 轴对称，tan y x =是偶函数，最小正周期为π，∴③正确；④的图象如下，根据图象可知，图象关于y 轴对称，12cos y x =+是偶函数，最小正周期为2π，∴排除④.故选：B.【例3】（2022·全国·高三专题练习）函数ππ()sin 2cos 233f x x x ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最小正周期是（）A ．π4B ．π2C ．πD ．2π【例4】设函数()c x b x x f ++=sin 2cos ，则()x f 的最小正周期()A ．与b 有关，且与c 有关B ．与b 有关，但与c 无关C ．与b 无关，且与c 无关D ．与b 无关，但与c 有关【答案】B【解析】因x y 2cos =的最小正周期为ππ==22T ，x y sin =的最小正周期为ππ212==T 所以当0≠b 时，()x f 的最小正周期为π2；当0=b 时，()x f 的最小正周期为π；【例5】（2022·全国·高一课时练习）函数22cos 14y x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的最小正周期为（）A ．4πB ．2πC ．πD ．2π【例6】（2022·广西桂林·模拟预测（文））函数()2sin6cos6f x x x =+的最小正周期是（）A ．2πB ．3πC ．32πD ．6π【例7】（2022·全国·高一专题练习）()|sin ||cos |f x x x =+的最小正周期是（）A ．2πB ．πC ．2πD ．3π【题型专练】1.（2023全国高三题型专练）在函数①cos |2|y x =，②|cos |y x =，③πcos 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，④πtan 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭中，最小正周期为π的所有函数为（）A ．②④B ．①③④C ．①②③D ．②③④【答案】C【解析】∵cos |2|y x ==cos2x ，∴T =22π=π；|cos |y x =图象是将y =cos x 在x 轴下方的图象对称翻折到x 轴上方得到，所以周期为π，由周期公式知，cos(2)6y x π=+为π，tan(2)4y x π=-为2π，故选：C .2.（2022·河北深州市中学高三阶段练习）下列函数中，最小正周期为π的奇函数是（）A ．sin 4y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．()()sin cos y x x ππ=+-C ．22cos cos 2y x x π⎛⎫=-+ ⎪D ．sin 2y x=3.（2022·北京昌平·高一期末）下列函数中，最小正周期为π的奇函数是（）A ．sin 4y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．sin 2y x =C ．sin cos y x x =D ．22cos sin y x x=-4.（2022·陕西渭南·高二期末（理））函数()2sin cos f x x x x =+的最小正周期是________．5．（2022·全国·高一专题练习）已知函数()cos f x x x ωω=-(0)ω>的最小正周期为π，则ω=___．6．（2022·浙江·杭十四中高一期末）函数2cos cos cos 2y x x x π⎛⎫=+- ⎪的最小正周期为__________．题型二：三角函数对称性【例1】（江西省“红色十校”2023届高三上学期第一联考数学（文）试题）已知函数π()sin()0,02f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭的两个相邻的零点为12,33-，则()f x 的一条对称轴是（）A ．16x =-B ．56x =-C ．13x =D ．23x =，【例2】（2022全国高一课时练习）函数cos 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象（）A ．关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称B ．关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称C ．关于直线6x π=对称D ．关于直线3x π=对称【答案】D【解析】由题设，由余弦函数的对称中心为,2)0(k ππ+，令232x k πππ+=+，得212k x ππ=+，k Z ∈，易知A 、B 错误；由余弦函数的对称轴为x k π=，令23x k ππ+=，得26k x ππ=-，k Z ∈，当1k =时，3x π=，易知C 错误，D 正确；故选：D 【例3】（2022·江西省万载中学高一阶段练习）把函数4πsin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像向右平移()0ϕϕ>个单位长度，所得图像关于y 轴对称，则ϕ的最小值是（）A ．5π6B ．2π3C ．5π12D ．π6【例4】（2023福建省福州屏东中学高三开学考试多选题）已知函数()()3sin 222f x x ππϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭的图像关于直线3x π=对称，则（）A ．函数12f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭为奇函数B ．函数()f x 在,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增C ．函数()f x 的图像向右平移()0a a >个单位长度得到的函数图像关于6x π=对称，则a 的最小值是3πD ．若方程()f x a =在2,63ππ⎡⎤⎢⎥上有2个不同实根12,x x ，则12x x -的最大值为2π故结合正弦函数的性质可知，若方程()f x a =在2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有2个不同实根12,x x ，不妨设12x x <，则12x x -取得最大值时满足1266x ππ-=且25266x ππ-=，所以，12x x -的最大值为3π，故错误.故选：AC【例5】(2023江西省高三月考)若函数y cos 6x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(ω∈N +)图象的一个对称中心是,06π⎛⎫⎪⎝⎭，则ω的最小值为()A ．1B ．2C ．4D ．8【答案】B 【解析】当6x π=时，0y =，即cos 066πωπ⎛⎫+=⎪⎝⎭，()662k k Z πωπππ∴+=+∈，解得62k ω=+，N ω*∈ ，故当0k =时，ω取最小值2.【例6】【2016高考新课标2理数】若将函数2sin 2y x =的图像向左平移12π个单位长度，则平移后图象的对称轴为（）（A ）()26k x k Z ππ=-∈（B ）()26k x k Z ππ=+∈（C ）()212k x k Z ππ=-∈（D ）()212k x k Z ππ=+∈【答案】B【解析】由题意，将函数2sin 2y x =的图像向左平移12π个单位得2sin 2()2sin(2)126y x x ππ=+=+，则平移后函数的对称轴为2,62x k k Z πππ+=+∈，即,62k x k Z ππ=+∈，故选B.【题型专练】1.(2020·四川省泸县第四中学高三开学考试)已知函数()sin 22f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则函数()f x 的图象的对称轴方程为()A ．,4x k k Z ππ=-∈B ．+,4x k k Z ππ=∈C ．1,2x k k Z π=∈D ．1+,24x k k Zππ=∈【答案】C【解析】由已知，()cos 2f x x =，令2,π=∈x k k Z ，得1,2x k k Z π=∈.故选：C.2.【2017·天津卷】设函数()2sin()f x x ωϕ=+，x ∈R ，其中0ω>，||ϕ<π．若5(28f π=，(08f 11π=，且()f x 的最小正周期大于2π，则A ．23ω=，12ϕπ=B ．23ω=，12ϕ11π=-C ．13ω=，24ϕ11π=-D ．13ω=，24ϕ7π=【答案】A【解析】由题意得125282118k k ωϕωϕππ⎧+=π+⎪⎪⎨π⎪+=π⎪⎩，其中12,k k ∈Z ，所以2142(2)33k k ω=--，又22T ωπ=>π，所以01ω<<，所以23ω=，11212k ϕ=π+π，由ϕ<π得12ϕπ=，故选A ．3．（2023·全国·高三专题练习）将函数sin 22y x x =的图象沿x 轴向右平移a 个单位（a ＞0）所得图象关于y 轴对称，则a 的最小值是（）A ．712πB ．4πC ．12πD ．6π4.【2018·江苏卷】已知函数()ππsin 2()22y x =+-<<ϕϕ的图象关于直线π3x =对称，则ϕ的值是________．【答案】π6-【解析】由题意可得2sin π13⎛⎫+=± ⎪⎝⎭ϕ，所以2πππππ()326k k k +=+=-+∈Z ，ϕϕ，因为ππ22-<<ϕ，所以π0,.6k ==-ϕ5．（2022·广西南宁·高二开学考试多选题）把函数()sin f x x =的图像向左平移π3个单位长度，再把横坐标变为原来的12倍（纵坐标不变）得到函数()g x 的图像，下列关于函数()g x 的说法正确的是（）A ．最小正周期为πB ．单调递增区间5πππ,π()1212k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z C ．图像的一个对移中心为π,03⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．图像的一条对称轴为直线π12x =题型三：三角函数的奇偶性【例1】（2022·全国·清华附中朝阳学校模拟预测）已知函数()sin 2sin 23f x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭向左平移θ个单位后为偶函数，其中0,2π⎡⎤θ∈⎢⎥⎣⎦.则θ的值为（）A ．2πB ．3πC ．4πD ．6π【例2】（2022·广东·执信中学高一期中）对于四个函数sin y x =，cos y x =，sin y x =，tan y x =，下列说法错误的是（）A ．sin y x =不是奇函数，最小正周期是π，没有对称中心B ．cos y x =是偶函数，最小正周期是π，有无数多条对称轴C ．sin y x =不是奇函数，没有周期，只有一条对称轴D ．tan y x =是偶函数，最小正周期是π，没有对称中心由图可知，函数sin y x =不是奇函数，最小正周期是π，没有对称中心，A 对；对于B 选项，如下图所示：由图可知，cos y x =是偶函数，最小正周期是π，有无数多条对称轴，B 对；对于C 选项，如下图所示：由图可知，sin y x =不是奇函数，没有周期，只有一条对称轴，C 对；对于D 选项，如下图所示：由图可知，函数tan y x =是偶函数，不是周期函数，没有对称中心，D 错.故选：D.【例3】（2022·陕西师大附中高一期中）已知函数2π()sin ()24f x x =++，若(lg5)a f =，1(lg 5b f =，则（）A ．0a b +=B ．0a b -=C ．5a b +=D ．5a b -=【例4】（2022·江西省铜鼓中学高二开学考试）将函数()sin 22f x x x =+的图象向左平移()0ϕϕ>个单位长度得到一个偶函数，则ϕ的最小值为（）A ．12πB ．6πC ．3πD ．56π【例5】（2022·四川成都·模拟预测（理））函数2()ln(2)sin(1)211f x x x x x x -=+--+++在[0,2]上的最大值与最小值的和为（）A ．-2B ．2C ．4D ．6【例6】（2022·贵州贵阳·高三开学考试（理））已知函数()2cos(2)02f x x πϕϕ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭的图象向右平移3π个单位长度后，得到函数()g x 的图象，若()g x 的图象关于原点对称，则ϕ=（）A ．3πB ．4πC ．6πD ．12π【例7】（2022·陕西·定边县第四中学高三阶段练习（理））已知函数()sin cos f x a x b x =-在4x π=处取到最大值，则4f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭（）A ．奇函数B ．偶函数C ．关于点(),0π中心对称D ．关于2x π=轴对称【例8】（2023·全国·高三专题练习）写出一个最小正周期为3的偶函数()f x =___________.【题型专练】1．（2022·全国·高一课时练习）下列函数中，既为偶函数又在,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增的是（）A ．cos y x =B ．cos y x=C ．sin 2y x π⎛⎫=- ⎪D ．tan cos y x x=-2.（2022·陕西·武功县普集高级中学高三阶段练习（文））已知函数()e e sin x xf x x a -=-++，若()1ln 1,ln 3f m f m ⎛⎫== ⎪⎝⎭，则=a （）A ．1B ．2C ．1-D ．2-3.（2022·湖南·周南中学高二期末）函数为()sin 23f x x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭偶函数的一个充分条件是（）A ．6π=ϕB ．3πϕ=C ．2ϕπ=D ．()3k k πϕπ=+∈Z故选：A4．（2022·贵州黔东南·高二期末（理））已知函数()πcos 2(0)3f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的最小正周期为π，将其图象向右平移(0)ϕϕ>个单位长度，得到函数()g x 的图象，若函数()g x 为偶函数，则ϕ的最小值为（）A ．6πB ．π4C ．π3D ．π25.（2023·全国·高三专题练习）已知函数2()(2)sin(1)1f x x x x x =--+-在[1,1)-(1,3]⋃上的最大值为M ，最小值为N ，则M N +=（）A ．1B ．2C ．3D ．4可得()h t 的最大值与最小值之和为0，那么()g t 的最大值与最小值之和为2．故选：B ．6.（2022辽宁丹东·高一期末）写出一个最小正周期为1的偶函数()f x =______．【答案】cos2πx【解析】因为函数cos y x ω=的周期为2π||ω，所以函数cos 2πy x =的周期为1.故答案为：cos2πx .（答案不唯一）7.（2022·全国·高三专题练习）已知()2sin()cos f x x x α=++是奇函数，则sin α的值为______．8．（2022·河南·高二开学考试）将函数()()cos 06f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图像向左平移4π个单位长度后得到偶函数()g x 的图像，则ω的最小值是______．【答案】1039.（2022·全国·高一单元测试）写出一个同时具有性质①()02f =；②()()πf x f x +=的函数()f x =______（注：()f x 不是常数函数）．题型四：三角函数的单调性【例1】（湖南省永州市2023届高三上学期第一次高考适应性考试数学试题）将函数2()cos cos 1f x x x x =+-的图象向右平移6π个单位长度，然后将所得函数图象上所有点的横坐标变为原来的12（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图象，则()g x 的单调递增区间是（）A ．ππππ,(Z)12262k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦B ．ππ5ππ,(Z)242242k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦C ．π2π2π,2π(Z)33k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥D ．π5π2π,2π(Z)66k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥故选：A【例2】（2022·陕西师大附中高一期中）sin1,sin 2,sin 3按从小到大排列的顺序为（）A ．sin3sin2sin1＜＜B ．sin3sin1sin2＜＜C ．sin1sin2sin3＜＜D ．sin2sin1sin3＜＜【例3】（2022·全国·高一单元测试）下列四个函数中，以π为周期且在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增的偶函数有（）A ．cos 2y x =B ．sin 2y x =C ．tan y x =D ．lg sin y x=也是以【例4】（2023·全国·高三专题练习）已知函数()()cos 02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+≤ ⎪⎝⎭＞，，4x π=-为f （x ）的零点，4x π=为y ＝f （x ）图象的对称轴，且f （x ）在186ππ⎛⎫⎪⎝⎭，上单调，则ω的最大值为（）A ．3B ．4C ．5D ．6当ππ,π2u k k ⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈时，函数sin y u =递增．即πππ,π42x k k ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，解得：πππ,π44x k k ⎡⎤∈-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈，所以函数sin()4πy x =+的单调递增区间是πππ,π44x k k ⎡⎤∈-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈.故答案为：πππ,π44x k k ⎡⎤∈-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈.【例6】（2023·全国·高三专题练习）函数πsin(2)3y x =-+的单调递减区间是（）A ．π5π[π,π],Z 1212k k k -+∈B ．π5π[2π,2π],Z 1212k k k -+∈C ．π5π[π,πZ66k k k -+∈D ．π5π[2π,2πZ66k k k -+∈【题型专练】1．（2022·辽宁·新民市第一高级中学高一阶段练习）已知函数2sin()y x ωθ=+为偶函数(0)θπ<<，其图像与直线2y =的两个交点的横坐标分别为12x x 、，若21||x x -的最小值为π，则该函数的一个单调递增区间为（）A ．ππ,24⎛⎫-- ⎪B ．ππ,44⎛⎫- ⎪C ．π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．π3π,44⎛⎫⎪⎝⎭2.（2022·四川省成都市新都一中高二开学考试（理））已知函数()sin(),022f x x ππωϕϕω⎛⎫=+-<<> ⎪⎝⎭，若()00166f x f x ππ⎛⎫⎛⎫==≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，0min6x ππ-=，则函数()f x 的单调递减区间为（）A ．2,()63k k k ππππ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭Z B ．22,2()63Z k k k ππππ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭C ．,()36Z k k k ππππ⎛⎫-++∈ ⎪D ．2,2()36Z k k k ππππ⎛⎫-++∈ ⎪3.（2022六盘山高级中学）函数tan 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的单调增区间为（）A ．5,()212212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦B ．5,()212212k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭C ．5,()1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦D ．5,()1212k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】因为函数tan y x =的单调递增区间为,()22k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭，所以2()223,k k k x Z πππππ-<-<+∈，解得5,()212212k k x k Z ππππ-<<+∈，所以函数tan 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的单调增区间为5,()212212k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭.故选：B 4.（2023·全国·高三专题练习）已知函数()()sin 2f x x ϕ=+，其中()0,2πϕ∈，若()6f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭对于一切R x ∈恒成立，则()f x 的单调递增区间是（）A ．,2k k πππ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦()k ∈Z B ．,36k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k ∈Z C ．2,63k k ππππ⎡⎤++⎢⎥()k ∈Z D ．,2k k πππ⎡⎤-⎢⎥()k ∈Z 5.（2022·全国·高二单元测试）已知函数()cos f x x x =，()()g x f x '=，则（）．A ．()g x 的图像关于点π,06⎛⎫⎪⎝⎭对称B ．()g x 图像的一条对称轴是π6x =C ．()g x 在5π5π,66⎛⎫- ⎪上递减D ．()g x 在ππ,33⎛⎫- ⎪的值域为(0,1)6．(2022天津市静海区大邱庄中学高三月考)设函数()cos 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，给出下列结论：①()f x 的一个周期为π②()y f x =的图象关于直线12x π=对称③()y f x =的图象关于点,06π⎛⎫-⎪⎝⎭对称④()f x 在2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减其中所有正确结论的编号是()A ．①④B ．②③C ．①②③D ．②③④【答案】C【解析】对于①，2T ππω==，故①正确；对于②，12x π=时，(112f π=，函数取得最大值，故②正确；对于③，6x π=-时，()06f π-=，故③正确；对于④，2,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ ，当712x π=时，7112f π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，函数取得最小值，()f x ∴在2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦有增有减，故④不正确.故选：C ．7．（2022·全国·高一课时练习）关于函数1()sin sin f x x x=+，下列说法正确的是（）A ．()f x 的一个周期是πB ．()f x 的最小值为2C ．()f x 在π(0,2上单调递增D ．()f x 的图象关于直线π2x =对称上单调递减，而8．（2022·内蒙古包头·高三开学考试（文））若()sin cos f x x x =+在[]0,a 是增函数，则a 的最大值是（）A ．4πB ．2πC ．34πD ．π9．（2022·全国·高一专题练习）若函数()sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭与()cos 4g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭都在区间()(),0πa b a b <<<上单调递减，则b a -的最大值为（）A ．π3B ．π2C ．6πD ．π10．（2022·全国·高三专题练习）将函数()2sin()(0)3f x x ωω=->的图象向左平移3ωπ个单位得到函数()y g x =的图象，若()y g x =在[,64ππ-上为增函数，则ω最大值为（）A ．32B ．2C ．3D ．11．（2022·全国·高一课时练习多选题）已知直线8x =是函数()sin(2)(0π)f x x ϕϕ=+<<图象的一条对称轴，则（）A ．π8f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭是偶函数B ．3π8x =是()f x 图象的一条对称轴C ．()f x 在ππ,82⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减D ．当π2x =时，函数()f x 取得最小值题型五：三角函数的值域【例1】（2022·陕西·安康市教学研究室高三阶段练习（文））下列函数中，最大值是1的函数是（）A ．|sin ||cos |=+y x xB ．2cos 4sin 4y x x =+-C ．cos tan y x x =⋅D ．y =【例2】（2022·全国·高三专题练习）函数1ππ()sin()cos()363f x x x =++-的最大值是（）A ．43B ．23C ．1D ．13【答案】8【解析】【分析】由题意可得()22sin sin 1f x x x =-++,令[]sin 0,1x t ∈＝,可得[]221,0,1y t t t =-++∈,利用二次函数的性质可求f (x )的最大值．【详解】解:()22cos 2sin 2sin sin 12sin sin 1f x x x x x x x =+=-++=-++,令[]sin 0,1x t ∈＝,可得[]2219212,0,148y t t t t ⎛⎫=-++=--+∈ ⎪⎝⎭,当14t =时,y 取得最大值为98,故答案为:98．【例4】（2022·江西·高三开学考试（文））已知函数()()2πsin sin 022f x x x x ωωωω⎛⎫+--> ⎪⎝⎭的最小正周期为π，则()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为（）A ．11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．22⎡-⎢⎥⎣⎦C ．⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．⎡-⎢⎣⎦【例5】（2022·湖北·襄阳五中模拟预测）已知函数()sin()0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭在区间,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，且对任意实数x 均有4()33f f x f ππ⎛⎫⎛⎫≤≤⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭成立，则ϕ=（）A ．12πB ．6πC ．4πD ．3π【例6】（2023·全国·高三专题练习）已知函数()22sin s ()3in f x x x π+=+，则()f x 的最小值为（）A ．12B ．14C ．D ．2【例7】（2022·全国·高三专题练习）函数2()cos 2f x x x =+-0,2x π⎛⎫⎡⎤∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的最大值是__________．【答案】14-##-0.25【解析】【详解】22()1sin 2sin 1f x x x x x =--=--=21sin24x ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，所以当sin x =时，有最大值14-．故答案为14-.【例8】（2022·全国·高三专题练习）已知函数()sin cos 2sin cos 2f x x x x x =+++，则（）A ．()f x 的最大值为3，最小值为1B ．()f x 的最大值为3，最小值为-1C ．()f x的最大值为3，最小值为34D ．()f x的最大值为33【例9】（2022·全国·高一课时练习）已知关于x 的方程2cos sin 20x x a -+=在02π⎛⎤⎥⎝⎦，内有解，那么实数a 的取值范围（）A ．58a -≤B ．102a -≤≤C ．1122a -＜≤D ．12a -＜≤0【题型专练】1．（2022·江西九江·高一期末）函数()193sin cos 2R 24y x x x =+-∈的最小值是（）A ．14B ．12C ．234-D ．414-2．（2022·河南焦作·高一期末）函数2cos22cos y x x =+的最小值为（）A ．3-B ．2-C ．1-D ．0【答案】C【分析】利用二倍角的降幂公式化简函数解析式，利用余弦型函数的有界性可求得结果.【详解】2cos 22cos cos 2cos 212cos 21y x x x x x =+=++=+ ，min 211y ∴=-+=-.故选：C.3.【2018·北京卷】设函数f （x ）=πcos(0)6x ωω->，若π()()4f x f ≤对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为__________．【答案】23【解析】因为()π4f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭对任意的实数x 都成立，所以π4f ⎛⎫⎪⎝⎭取最大值，所以()()ππ22π 8463k k k k -=∈∴=+∈Z Z ，ωω，因为0>ω，所以当0k =时，ω取最小值为23.4．（2022·广西南宁·高二开学考试）已知函数ππ()sin ,0,36f x x x ⎛⎫⎡⎤=+∈ ⎪⎢，则函数()f x 的最大值为__________．5．（2022·全国·高一课时练习）函数()1sin cos =++f x x x的值域为_____________．6．（2022·全国·高一专题练习）若奇函数()f x 在其定义域R 上是单调减函数，且对任意的R x ∈，不等式2(cos 3sin )(sin )0f x x f x a -+-≤恒成立，则a 取值范围是_________.【答案】(,2]-∞-【分析】根据给定条件，脱去法则“f ”，再利用含sin x 的二次函数求解作答.【详解】因奇函数()f x 在R 上单调递减，则R x ∀∈，2(cos 3sin )(sin )0f x x f x a -+-≤2(cos 3sin )(sin )f x x f a x ⇔-≤-22cos 3sin sin cos 2sin x x a x a x x ⇔-≥-⇔≤-，令222cos 2sin sin 2sin 1(sin 1)2y x x x x x =-=--+=-++，而1sin 1x -≤≤，因此当sin 1x =时，min 2y =-，即有2a ≤-，所以a 取值范围是(,2]-∞-.故答案为：(,2]-∞-【点睛】思路点睛：涉及求含正(余)的二次式的最值问题，可以换元或整体思想转化为二次函数在区间[-1,1]或其子区间上的最值求解.7.【2018·全国Ⅲ】函数()πcos 36f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在[]0π，的零点个数为________．【答案】3【解析】0πx ≤≤ ，ππ19π3666x ∴≤+≤，由题可知πππ3π336262x x +=+=，或π5π362x +=，解得π4π,99x =，或7π9，故有3个零点.8.（2022·上海市第十中学高一期末）已知函数()2cos 2cos 1f x x x x =+-（R x ∈）.求函数()f x 的最小正周期及在区间0,2π⎡⎤⎢⎥上的最大值和最小值.9．（2022·湖南·雅礼中学高一期末）已知函数()2cos sin 4f x x a x a =-++-，[]0,x π∈．(1)求()f x 的最小值()g a ；(2)若()f x 在[]0,π上有零点，求a 的取值范围，并求所有零点之和．题型六：三角函数的图像【例1】（2022·陕西师大附中高三开学考试（理））函数()sin()(0,0,0)f x A x A ωϕωπϕ=+>>-<<的部分图象如图所示，为了得到()sin g x A x ω=的图象，只需将函数()y f x =的图象（）A ．向左平移6π个单位长度B ．向左平移12π个单位长度C ．向右平移6π个单位长度D ．向右平移12π个单位长度【例2】（2022·陕西·延安市第一中学高一期中）函数()()sin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则()2f π的值为（）A ．B ．C ．D ．1-的部分图象知，【例3】（2022·湖南·宁乡市教育研究中心模拟预测）如图表示电流强度I 与时间t 的关系()()()sin 0,0I A x A ωϕω=+>>在一个周期内的图像，则下列说法正确得是（）A ．50πω=B ．π6ϕ=C ．0=t 时，I =D ．1300100t I ==时，【例4】（2022·江苏·沭阳如东中学高三阶段练习多选题）已知函数()()sin f x A x ωϕ=+（其中0A >，0>ω，2πϕ<）的部分图象如图所示，则（）A ．2ω=B ．()f x 的图象关于直线23x π=对称C ．()2cos 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．()f x 在5[,63ππ--上的值域为[2,1]-【例5】（2022·河北·沧县风化店中学高二开学考试多选题）函数()()cos 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，且满足223f π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，现将()f x 图象沿x 轴向左平移4π个单位，得到函数()y g x =的图象.下列说法正确的是（）A ．()g x 在,126ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数B ．()g x 的图象关于56x π=对称C ．()g x 是奇函数D ．()g x 的最小正周期为23π【例6】（2022·福建·高三阶段练习多选题）函数()sin()(0,0,02π)f x A x A ωϕωϕ=+>><<的部分图像如图所示，则（）A ．3π2ωϕ+=B ．(2)2f -=-C ．()f x 在区间()0,2022上存在506个零点D ．将()f x 的图像向右平移3个单位长度后，得到函数π()cos 4g x x ⎛⎫=- ⎪的图像【例7】（2022·江苏南通·高三开学考试多选题）已知函数()()sin 20,02f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（）A ．()f x 的图象关于点π,03⎛⎫- ⎪⎝⎭对称B ．()f x 的图象向右平移π12个单位后得到sin2y x =的图象C ．()f x 在区间π,2π⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递増D ．π6f x ⎛⎫+ ⎪为偶函数【例8】（2022·全国·高一单元测试多选题）已知函数()()sin f x A x =+ωϕ（0A >，0>ω，2πϕ<）的部分图象如图所示，下列说法错误的是（）A ．()f x 的图象关于直线23x π=-对称B ．()f x 的图象关于点5,012π⎛⎫-⎪⎝⎭对称C ．将函数2sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向左平移2π个单位长度得到函数()f x 的图象D ．若方程()f x m =在,02π⎡⎤-⎢⎥上有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是(2,-【题型专练】1．（2022·广东·仲元中学高三阶段练习多选题）已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示.将函数()f x 的图象向右平移316π个单位长度，再将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图象，则（）A ．()2sin 24x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．()g x 的图象关于直线8x π=-对称C ．()g x 的图象关于点,08π⎛⎫⎪⎝⎭对称D ．函数()()f x g x +的最小值为4-2．（2022·湖北·襄阳市襄州区第一高级中学高二阶段练习多选题）函数()()()2sin 0,f x x ωϕωϕπ=+><的部分图像如图所示，则下列结论正确的是（）A ．()12sin 33f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．若把()f x 图像上的所有点的横坐标变为原来的23倍，纵坐标不变，得到函数()g x 的图像，则函数()g x 在[],ππ-上是增函数C ．若把函数()f x 的图像向左平移2π个单位长度，得到函数()h x 的图像，则函数()h x 是奇函数D ．,33x ππ⎡⎤∀∈-⎢⎥，若()332f x a f π⎛⎫+≥ ⎪恒成立，则a 的取值范围为)2,+∞3．（2022·安徽·高三开学考试）已知函数π()2sin()0,||2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，其中ππ,2,,0123A B ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则下列说法错误的是（）A ．()f x 的最小正周期为πB ．将()f x 的图象向右平移6π个单位长度后关于原点对称C ．()f x 在2ππ,3⎡⎤--⎢⎣⎦上单调递减D ．直线7π12x =为()f x 图象的一条对称轴4．（2022·天津·南开中学高三阶段练习）已知函数π()sin()(R,0,0,)2f x A x x A ωϕωϕ=+∈>><的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（）A ．直线πx =是()f x 图象的一条对称轴B ．()f x 图象的对称中心为π(π,0)12k -+，Z k ∈C ．()f x 在区间ππ,36⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增D ．将()f x 的图象向左平移π12个单位长度后，可得到一个奇函数的图象5．（2022·江苏省如皋中学高三开学考试多选题）函数()()sin 0,0,0πy A x A ωϕωϕ=+>><<在一个周期内的图象如图所示，则（）．A ．该函数的解析式为2π2sin 33y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．该函数图象的对称中心为ππ,03k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，Zk ∈C ．该函数的单调递增区间是5ππ3π,3π44k k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，Zk ∈D ．把函数π2sin 3y x ⎛⎫=+ ⎪的图象上所有点的横坐标伸长为原来的32倍，纵坐标不变，可得到该函数图象6．（2021·福建·福州十八中高三开学考试多选题）已知函数()sin()(010f x x ωϕω=+<<，0π)ϕ<<的部分图象。
高考复习：三角函数的图像与性质(含参考答案与解析方法)
4.3三角函数的图像与性质一 正弦、余弦、正切函数的图像与性质 (下表中k ∈Z ).1．三角函数存在多个单调区间时易错用“∪”联结．2．研究三角函数单调性、对称中心、奇偶性及对称轴时易忽视“k ∈Z ”这一条件． 考点一 三角函数的定义域与值域例1、（1）函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的值域为________．（2）函数y ＝lg(sin x )＋ cos x －12的定义域为________．（3）①函数y ＝2cos 2x ＋5sin x －4的值域为________．②当x ∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6时，函数y ＝3－sin x －2cos 2x 的最小值是________，最大值是________．考点二 三角函数的单调性例2、函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的单调递减区间为 _____________．变式训练1 （1）函数y ＝2⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的单调递减区间为_____________； （2）函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－2x ＋π3的单调递减区间为_______________.考点三 三角函数的对称性与奇偶性例3、(2013·扬州期末)已知函数f (x )＝－2sin 2x ＋23sin x · cos x ＋1.(1)求f (x )的最小正周期及对称中心；(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，π3时，求f (x )的最大值和最小值．例4 （1）若函数y ＝3sin(2x ＋φ)(0<φ<π)的图像关于点⎝⎛⎭⎫π3，0中心对称，则φ＝________.（2） 已知ω>0，函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3的一条对称轴为x ＝π3，一个对称中心为点⎝⎛⎭⎫π12，0，则ω的最小值为______．(3)设偶函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π)的部分图像如图所示，△KLM 为等腰直角三角形，∠KML ＝90°，KL ＝1，则f ⎝⎛⎭⎫16的值为______．冲刺高考：1、已知ω>0，函数f (x )＝sin(ωx ＋π4)在(π2，π)上单调递减，则ω的取值范围是________．2、已知函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)＋b 对任意实数x 有f (x ＋π4)＝f (－x )成立，且f (π8)＝1，则实数b 的值为________．3、(2014·北京)设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A >0，ω>0)．若f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π6，π2上具有单调性，且f ⎝⎛⎭⎫π2＝f ⎝⎛⎭⎫2π3＝－f ⎝⎛⎭⎫π6，则f (x )的最小正周期为________． 课堂练习1、 函数y ＝lg sin 2x ＋9－x 2的定义域为________________．2、 函数y ＝sin x －cos x 的定义域是________．3、 函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4，x ∈[－π，0]的单调增区间为________．4、若函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在⎣⎡⎤－2π3，2π3上单调递增，则ω的最大值为______．5、将函数y ＝3cos x ＋sin x (x ∈R ) 的图象向左平移m (m ＞0)个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是________．4.3三角函数的图像与性质（作业）1、已知函数f (x )＝－2sin(2x ＋φ)(|φ|<π)，若f (π8)＝－2，则f (x )的单调递减区间是________．2、将函数f (x )＝sin ωx (其中ω>0)的图象向右平移π4个单位长度，所得图象经过点⎝⎛⎭⎫3π4，0，则ω的最小值是________．3、给出下列四个命题，其中不正确的命题为______．(填序号) ①若cos α＝cos β，则α－β＝2k π，k ∈Z ；②函数y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象关于x ＝π12中心对称；③函数y ＝cos(sin x )(x ∈R )为偶函数；④若α、β均为第一象限角，且α>β，则sin α>sin β ⑤函数y ＝sin|x |是周期函数，且周期为2π.4、 函数y ＝cos 2x ＋sin 2x ，x ∈R 的值域是________．5、 函数y ＝cos(π4－2x )的单调减区间为________．6、设函数f (x )＝3sin(π2x ＋π4)，若存在这样的实数x 1，x 2，对任意的x ∈R ，都有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)成立，则|x 1－x 2|的最小值为________．7、已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)，y ＝f (x )的部分图象如图，则f (π24)＝________.8、已知a >0，函数f (x )＝－2a sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋2a ＋b ，当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，－5≤f (x )≤1.(1)求常数a ，b 的值；(2)设g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2且lg g (x )>0，求g (x )的单调区间．9、设函数f (x )＝sin(πx 4－π6)－2cos 2πx8＋1.(1)求f (x )的最小正周期．(2)若函数y ＝g (x )与y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称，求当x ∈[0，43]时，y ＝g (x )的最大值．4.3三角函数的图像与性质一 正弦、余弦、正切函数的图像与性质(下表中k ∈Z ).1．三角函数存在多个单调区间时易错用“∪”联结．2．研究三角函数单调性、对称中心、奇偶性及对称轴时易忽视“k ∈Z ”这一条件． 考点一 三角函数的定义域与值域例1 （1）函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的值域为________． 解析：当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，5π6，sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－12，1， 故3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－32，3， 即此时函数f (x )的值域是⎣⎡⎦⎤－32，3. （2） (2014·湛江调研)函数y ＝lg(sin x )＋ cos x －12的定义域为________．解析：要使函数有意义必须有⎩⎪⎨⎪⎧ sin x >0，cos x －12≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧sin x >0，cos x ≥12， 解得⎩⎪⎨⎪⎧2k π<x <π＋2k π，－π3＋2k π≤x ≤π3＋2k π(k ∈Z )， ∴2k π<x ≤π3＋2k π，k ∈Z ，∴函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2k π<x ≤π3＋2k π，k ∈Z .（3）①函数y ＝2cos 2x ＋5sin x －4的值域为________．②当x ∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6时，函数y ＝3－sin x －2cos 2x 的最小值是________，最大值是________． 解析：①y ＝2cos 2x ＋5sin x －4＝2(1－sin 2x )＋5sin x －4＝－2sin 2x ＋5sin x －2 ＝－2(sin x －54)2＋98. 故当sin x ＝1时，y max ＝1，当sin x ＝－1时，y min ＝－9，故y ＝2cos 2x ＋5sin x －4的值域为[－9,1]． ②∵x ∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6，∴sin x ∈⎣⎡⎦⎤－12，1. 又y ＝3－sin x －2cos 2x ＝3－sin x －2(1－sin 2x )＝ 2⎝⎛⎭⎫sin x －142＋78. ∴当sin x ＝14时，y min ＝78， 当sin x ＝－12或sin x ＝1时，y max ＝2.答案：(1)[－9,1] (2)78 2[类题通法]1．三角函数定义域的求法求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图像来求解．2．三角函数值域的不同求法 (1)利用sin x 和cos x 的值域直接求；(2)把所给的三角函数式变换成y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式求值域； (3)把sin x 或cos x 看作一个整体，转换成二次函数求值域； (4)利用sin x ±cos x 和sin x cos x 的关系转换成二次函数求值域． 考点二 三角函数的单调性例2、求函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的单调递减区间 [解] 由2k π＋π2≤x －π4≤2k π＋3π2，k ∈Z ，得2k π＋3π4≤x ≤2k π＋7π4，k ∈Z .故函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的单调减区间为 ⎣⎡⎦⎤2k π＋3π4，2k π＋7π4(k ∈Z )． 变式训练1 （1）求函数y ＝2⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的单调递减区间；（2）求函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－2x ＋π3的单调递减区间 解 （1）画出函数y ＝2⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的图像，易知其单调递减区间为⎣⎡⎦⎤k π＋3π4，k π＋5π4(k ∈Z )． (2) y ＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3， 它的减区间是y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的增区间． 由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z .故所给函数的减区间为⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z ； 例3、求函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π3＋4x ＋cos ⎝⎛⎭⎫4x －π6的周期、单调区间及最大、最小值． 解 ∵⎝⎛⎭⎫π3＋4x ＋⎝⎛⎭⎫π6－4x ＝π2， ∴cos ⎝⎛⎭⎫4x －π6＝cos ⎝⎛⎭⎫π6－4x ＝cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π3＋4x ＝sin ⎝⎛⎭⎫π3＋4x . ∴y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π3，周期T ＝2π4＝π2. 当－π2＋2k π≤4x ＋π3≤π2＋2k π (k ∈Z )时，函数单调递增，∴函数的递增区间为⎣⎡⎤－5π24＋k π2，π24＋k π2 (k ∈Z )． 当π2＋2k π≤4x ＋π3≤3π2＋2k π (k ∈Z )时，函数单调递减， ∴函数的递减区间为⎣⎡⎦⎤π24＋k π2，7π24＋k π2(k ∈Z )．当x ＝π24＋k π2 (k ∈Z )时，y max ＝2； 当x ＝－5π24＋k π2 (k ∈Z )时，y min ＝－2.考点三 三角函数的对称性与奇偶性例4、(2013·扬州期末)已知函数f (x )＝－2sin 2x ＋23sin x · cos x ＋1.(1)求f (x )的最小正周期及对称中心；(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，π3时，求f (x )的最大值和最小值． 解：(1)f (x )＝ 3 sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6， 所以f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π.令 sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＝0，得x ＝k π2－π12(k ∈Z )， 所以f (x )的对称中心为⎝⎛⎭⎫k π2－π12，0(k ∈Z )． (2)因为x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，π3，所以－π6≤2x ＋π6≤5π6， 所以－12≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6≤1，所以－1≤f (x )≤2. 所以当x ＝－π6时，f (x )的最小值为－1；当x ＝π6时，f (x )的最大值为2.例5 （1）若函数y ＝3sin(2x ＋φ)(0<φ<π)的图像关于点⎝⎛⎭⎫π3，0中心对称，则φ＝________.解析：由题意得3sin ⎝⎛⎭⎫23π＋φ＝0，所以23π＋φ＝k π(k ∈Z )．又因为0<φ<π，所以φ＝π3. （2） 已知ω>0，函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3的一条对称轴为x ＝π3，一个对称中心为点⎝⎛⎭⎫π12，0，则ω的最小值为______．解析：由题意知π3－π12≥T 4，T ＝2πω≤π，ω≥2.(3)设偶函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π)的部分图像如图所示，△KLM 为等腰直角三角形，∠KML ＝90°，KL ＝1，则f ⎝⎛⎭⎫16的值为______．解析：由题意知，点M 到x 轴的距离是12，根据题意可设f (x )＝12cos ωx ，又由题图知12·2πω＝1，所以ω＝π，所以f (x )＝12cos πx ，故f ⎝⎛⎭⎫16＝12cos π6＝34. [类题通法]1．若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数，则当x ＝0时，f (x )取得最大或最小值． 若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为奇函数，则当x ＝0时，f (x )＝0.2．对于函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，其对称轴一定经过图像的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断直线x ＝x 0或点(x 0,0)是否是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f (x 0)的值进行判断．三角函数的单调性、对称性、周期性例6、(1)已知ω>0，函数f (x )＝sin(ωx ＋π4)在(π2，π)上单调递减，则ω的取值范围是________．(2)已知函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)＋b 对任意实数x 有f (x ＋π4)＝f (－x )成立，且f (π8)＝1，则实数b的值为________．(3)(2014·北京)设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A >0，ω>0)．若f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π6，π2上具有单调性，且f ⎝⎛⎭⎫π2＝f ⎝⎛⎭⎫2π3＝－f ⎝⎛⎭⎫π6，则f (x )的最小正周期为________． 思维点拨 (1)(π2，π)为函数f (x )某个单调减区间的子集；(2)由f (x ＋π4)＝f (－x )可得函数的对称轴，应用函数在对称轴处的性质求解即可；(3)利用正弦型函数图象的对称性求周期． 解析 (1)由π2<x <π得π2ω＋π4<ωx ＋π4<πω＋π4，由题意知(π2ω＋π4，πω＋π4)⊆[π2，3π2]， ∴⎩⎨⎧π2ω＋π4≥π2，πω＋π4≤3π2，∴12≤ω≤54. (2)由f (x ＋π4)＝f (－x )可知函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)＋b 关于直线x ＝π8对称，又函数f (x )在对称轴处取得最值，故±2＋b ＝1，∴b ＝－1或b ＝3.(3)∵f (x )在⎣⎡⎦⎤π6，π2上具有单调性， ∴T 2≥π2－π6， ∴T ≥2π3. ∵f ⎝⎛⎭⎫π2＝f ⎝⎛⎭⎫2π3， ∴f (x )的一条对称轴为x ＝π2＋2π32＝7π12. 又∵f ⎝⎛⎭⎫π2＝－f ⎝⎛⎭⎫π6， ∴f (x )的一个对称中心的横坐标为π2＋π62＝π3. ∴14T ＝7π12－π3＝π4， ∴T ＝π. 答案 (1)[12，54] (2)－1或3 (3)π温馨提醒 (1)对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数ω的范围的问题：首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集；其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解．(2)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的图象与其对称轴的交点是最值点. 课堂练习1、函数y ＝lg sin 2x ＋9－x 2的定义域为________________．解析 由⎩⎪⎨⎪⎧ sin 2x >0，9－x 2≥0，得⎩⎪⎨⎪⎧2k π<2x <2k π＋π，k ∈Z ，－3≤x ≤3.∴－3≤x <－π2或0<x <π2. ∴函数y ＝lg sin 2x ＋9－x 2的定义域为 {x |－3≤x <－π2或0<x <π2}.2、函数y ＝sin x －cos x 的定义域是________． 解析 要使函数有意义，必须有sin x －cos x ≥0，即sin x ≥cos x ，同一坐标系中作出y ＝sin x ，y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象如图所示．结合图象及正、余弦函数的周期是2π知， 函数的定义域为{x |2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4，k ∈Z }．3、函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4，x ∈[－π，0]的单调增区间为________． 解析：当x －π4∈⎣⎡⎦⎤2k π－π2，2k π＋π2，k ∈Z 时，是f (x )的单调增区间． 又因为x ∈[－π，0]，故取k ＝0得x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，0 4、若函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在⎣⎡⎦⎤－2π3，2π3上单调递增，则ω的最大值为______． 解析：依题意可知12×T ≥2×2π3，即12×2πω≥2×2π3，解得ω≤34，从而ω的最大值为34.5、将函数y ＝3cos x ＋sin x (x ∈R ) 的图象向左平移m (m ＞0)个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是________．解析 y ＝3cos x ＋sin x ＝2sin(x ＋π3)向左平移m 个单位长度后得到y ＝2sin(x ＋π3＋m )，它关于y 轴对称可得 sin(π3＋m )＝±1， ∴π3＋m ＝k π＋π2，k ∈Z ，∴m ＝k π＋π6，k ∈Z ， ∵m >0，∴m 的最小值为π6.4.3三角函数的图像与性质（作业）1、已知函数f (x )＝－2sin(2x ＋φ)(|φ|<π)，若f (π8)＝－2，则f (x )的单调递减区间是________．解析 由f (π8)＝－2得f (π8)＝－2sin(2×π8＋φ)＝－2sin(π4＋φ)＝－2，所以sin(π4＋φ)＝1.因为|φ|<π， 所以φ＝π4. 由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，解得 k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z .所以f (x )的单调递减区间为[k π－3π8，k π＋π8](k ∈Z )．2、将函数f (x )＝sin ωx (其中ω>0)的图象向右平移π4个单位长度，所得图象经过点⎝⎛⎭⎫3π4，0，则ω的最小值是________．解析 根据题意平移后函数的解析式为 y ＝sin ω⎝⎛⎭⎫x －π4， 将⎝⎛⎭⎫3π4，0代入得sin ωπ2＝0，则ω＝2k ，k ∈Z ，且ω>0， 故ω的最小值为2. 3、给出下列四个命题，其中不正确的命题为______．(填序号) ①若cos α＝cos β，则α－β＝2k π，k ∈Z ；②函数y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象关于x ＝π12中心对称； ③函数y ＝cos(sin x )(x ∈R )为偶函数；④若α、β均为第一象限角，且α>β，则sin α>sin β⑤函数y ＝sin|x |是周期函数，且周期为2π. 答案 ①④⑤解析 命题①：若α＝－β，则cos α＝cos β，假命题；命题②：x ＝π12，cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝cos π2＝0，故x ＝π12是y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的对称中心；命题⑤：函数y ＝sin|x |不是周期函数． 4、函数y ＝cos 2x ＋sin 2x ，x ∈R 的值域是________． 解析 y ＝cos 2x ＋sin 2x ＝cos 2x ＋1－cos 2x 2＝1＋cos 2x2.∵cos 2x ∈[－1,1]，∴y ∈[0,1]．5、函数y ＝cos(π4－2x )的单调减区间为________．解析 由y ＝cos(π4－2x )＝cos(2x －π4)得2k π≤2x －π4≤2k π＋π(k ∈Z )，故k π＋π8≤x ≤k π＋5π8(k ∈Z )． 所以函数的单调减区间为[k π＋π8，k π＋5π8](k ∈Z )．6、设函数f (x )＝3sin(π2x ＋π4)，若存在这样的实数x 1，x 2，对任意的x ∈R ，都有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)成立，则|x 1－x 2|的最小值为________． 解析 f (x )＝3sin(π2x ＋π4)的周期T ＝2π×2π＝4，f (x 1)，f (x 2)应分别为函数f (x )的最小值和最大值， 故|x 1－x 2|的最小值为T2＝2.7、已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)，y ＝f (x )的部分图象如图，则f (π24)＝________.解析 由题中图象可知，此正切函数的半周期等于3π8－π8＝π4，即最小正周期为π2， 所以ω＝2.由题意可知，图象过定点(3π8，0)，所以0＝A tan(2×3π8＋φ)， 即3π4＋φ＝k π(k ∈Z )， 所以φ＝k π－3π4(k ∈Z )，又|φ|<π2，所以φ＝π4. 又图象过定点(0,1)，所以A ＝1.综上可知，f (x )＝tan(2x ＋π4)， 故有f (π24)＝tan(2×π24＋π4)＝tan π3＝ 3.8、已知a >0，函数f (x )＝－2a sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋2a ＋b ，当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，－5≤f (x )≤1. (1)求常数a ，b 的值；(2)设g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2且lg g (x )>0，求g (x )的单调区间． 解 (1)∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6. ∴sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－12，1， ∴－2a sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6∈[－2a ，a ]． ∴f (x )∈[b,3a ＋b ]，又∵－5≤f (x )≤1， ∴b ＝－5,3a ＋b ＝1，因此a ＝2，b ＝－5. (2)由(1)得，f (x )＝－4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－1， g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝－4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋7π6－1＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－1， 又由lg g (x )>0，得g (x )>1，∴4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－1>1，∴sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6>12， ∴2k π＋π6<2x ＋π6<2k π＋5π6，k ∈Z ，其中当2k π＋π6<2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z 时，g (x )单调递增，即k π<x ≤k π＋π6，k ∈Z ，∴g (x )的单调增区间为⎝⎛⎦⎤k π，k π＋π6，k ∈Z . 又∵当2k π＋π2<2x ＋π6<2k π＋5π6，k ∈Z 时，g (x )单调递减，即k π＋π6<x <k π＋π3，k ∈Z .9、设函数f (x )＝sin(πx 4－π6)－2cos 2πx8＋1.(1)求f (x )的最小正周期．(2)若函数y ＝g (x )与y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称，求当x ∈[0，43]时，y ＝g (x )的最大值．解 (1)f (x )＝sin πx 4cos π6－cos πx 4sin π6－cos πx 4＝32sin πx 4－32cos πx 4＝3sin(πx 4－π3)， 故f (x )的最小正周期为T ＝2ππ4＝8.(2)方法一 在y ＝g (x )的图象上任取一点(x ，g (x ))， 它关于x ＝1的对称点(2－x ，g (x ))．由题设条件，知点(2－x ，g (x ))在y ＝f (x )的图象上，从而g (x )＝f (2－x )＝3sin[π4(2－x )－π3]＝3sin[π2－πx 4－π3]＝3cos(πx 4＋π3)．当0≤x ≤43时，π3≤πx 4＋π3≤2π3，因此y ＝g (x )在区间[0，43]上的最大值为g (x )max ＝3cos π3＝32.方法二 区间[0，43]关于x ＝1的对称区间为[23，2]，且y ＝g (x )与y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称， 故y ＝g (x )在[0，43]上的最大值为y ＝f (x )在[23，2]上的最大值．由(1)知f (x )＝3sin(πx 4－π3)，当23≤x ≤2时，－π6≤πx 4－π3≤π6. 因此y ＝g (x )在[0，43]上的最大值为g (x )max ＝3sin π6＝32.。
三角函数的图象、性质及应用(试题部分)
§5.3三角函数的图象、性质及应用根底篇固本夯基【根底集训】考点一三角函数的图象及其变换1.将函数y=sin(x+π6)图象上所有的点向左平移π4个单位长度,再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变),那么所得图象的解析式为()A.y=sin(2x+5π12) B.y=sin(x2+5π12)C.y=sin(x2-π12) D.y=sin(x2+5π24)答案B2.如图是函数f(x)=Asin(ωx+φ)(ω>0,A>0)在区间[-π6,5π6]上的图象,为了得到这个图象,只需将g(x)=Acos ωx的图象()A.向右平移π6个单位长度 B.向右平移π12个单位长度C.向右平移π8个单位长度 D.向左平移π6个单位长度答案B3.将函数f(x)=2sin(4x-π3)的图象向左平移π6个单位,再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍,得到函数y=g(x)的图象,那么以下关于函数y=g(x)的说法错误的选项是()A.最小正周期为πB.图象关于直线x=π12对称C.图象关于点(π12,0)对称 D.初相为π3答案C4.将函数f(x)=2sin(2x+φ)(φ<0)的图象向左平移π3个单位长度,得到偶函数g(x)的图象,那么φ的最大值是.答案-π6考点二三角函数的性质及其应用5.函数f(x)=(sin x+cos x)sin x,那么以下说法不正确的为()A.函数f(x)的最小正周期为πB.f(x)在[3π8,7π8]上单调递减C.f(x)的图象关于直线x=-π8对称D.将f(x)的图象向右平移π8个单位长度,再向下平移12个单位长度后会得到一个奇函数的图象答案D6.假设f(x)为偶函数,且在(0,π2)上满足:对任意x1<x2,都有f(x1)-f(x2)x1-x2>0,那么f(x)可以为()A. f(x)=cos(x+5π2) B. f(x)=|sin(π+x)| C. f(x)=-tan x D. f(x)=1-2cos22x答案B7.点P(32,-3√32)是函数y=Asin(ωx+φ)(ω>0)图象上的一个最低点,M,N是与点P相邻的两个最高点,假设∠MPN=60°,那么该函数的最小正周期是()A.3B.4C.5D.6答案D8.向量a=(cos x,0),b=(0,√3sin x),记函数f(x)=(a+b)2+√3sin 2x.(1)求函数f(x)的最小值及取得最小值时x的取值集合;(2)求函数f(x)的单调递增区间.解析(1)f(x)=(a+b)2+√3sin 2x=1+2sin2x+√3sin 2x=√3sin 2x-cos 2x+2=2sin(2x-π6)+2.当且仅当2x-π6=-π2+2kπ(k∈Z),即x=-π6+kπ(k∈Z)时, f(x)min=0,此时x的取值集合为{x|x=-π6+kπ,k∈Z}.(2)由-π2+2kπ≤2x-π6≤π2+2kπ(k∈Z),得-π6+kπ≤x≤π3+kπ(k∈Z),所以函数f(x)的单调递增区间为[-π6+kπ,π3+kπ](k∈Z).综合篇知能转换【综合集训】考法一关于三角函数图象的问题1.(2021课标Ⅱ,3,5分)函数y=Asin(ωx+φ)的局部图象如下列图,那么()A.y=2sin(2x-π6) B.y=2sin(2x-π3)C.y=2sin(x+π6) D.y=2sin(x+π3)答案A2.(2021河北衡水中学3月全国大联考,9)将曲线C1:y=2cos(2x-π6)上的点向右平移π6个单位长度,再将各点横坐标缩短为原来的12,纵坐标不变,得到曲线C2,那么C2的方程为()A.y=2sin 4xB.y=2sin(4x-π3)C.y=2sin xD.y=2sin(x-π3)答案A3.(2021届黑龙江哈师大附中9月月考,7)函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)的图象如下列图,为了得到g(x)=sin 3x的图象,只需将f(x)的图象()A.向右平移π4个单位长度 B.向左平移π4个单位长度C.向右平移π12个单位长度 D.向左平移π12个单位长度答案C4.(2021广东肇庆二模,14)函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ是常数,A>0,ω>0)的局部图象如下列图,那么f(-π3)的值是.答案-√62考法二三角函数的单调性问题5.(2021河南郑州一模,8)函数f(x)=sin(ωx+θ)(ω>0,-π2≤θ≤π2)的图象相邻的两个对称中心之间的距离为π2,假设将函数f(x)的图象向左平移π6个单位长度后得到偶函数g(x)的图象,那么函数f(x)的一个单调递减区间为()A.[-π3,π6] B.[π4,7π12]C.[0,π3] D.[π2,5π6]答案B6.(2021广东省际名校联考(二),15)将函数f(x)=1-2√3·cos2x-(sin x-cos x)2的图象向左平移π3个单位,得到函数y=g(x)的图象,假设x∈[-π2,π2],那么函数g(x)的单调递增区间是.答案[-5π12,π12]7.(2021届吉林白城通榆一中第一次月考,20)函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)的图象与直线y=2两相邻交点之间的距离为π,且图象关于直线x=π3对称.(1)求y=f(x)的解析式;(2)先将函数f(x)的图象向左平移π6个单位,再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍,得到函数g(x)的图象.求g(x)的单调递增区间以及g(x)≥√3的x的取值范围.解析(1)由可得T=π,∴2πω=π,∴ω=2,又f(x)的图象关于直线x=π3对称,∴2×π3+φ=kπ+π2,k∈Z,∴φ=kπ-π6,k∈Z,∵|φ|<π2,∴φ=-π6.∴f(x)=2sin(2x-π6).(2)由(1)可得f(x)=2sin(2x-π6),∴g(x)=2sin(x+π6),由2kπ-π2≤x+π6≤2kπ+π2,k∈Z得2kπ-2π3≤x≤2kπ+π3,k∈Z,∴g(x)的单调递增区间为[2kπ-2π3,2kπ+π3],k∈Z.∵2sin(x+π6)≥√3,∴sin(x+π6)≥√32,∴2kπ+π3≤x+π6≤2kπ+2π3,k∈Z,∴2kπ+π6≤x≤2kπ+π2,k∈Z,∴g(x)≥√3的x的取值范围为{x|2kπ+π6≤x≤2kπ+π2,k∈Z}.考法三三角函数的奇偶性、周期性、对称性的有关问题8.(2021届湖南长沙一中第一次月考,9)将函数f(x)=2sin(2x-π6)-1的图象向左平移π6个单位长度得到函数g(x)的图象,那么以下说法正确的选项是()A.函数g(x)的最小正周期是π2B.函数g(x)的图象关于直线x=-π12对称C.函数g(x)在(π6,π2)上单调递减D.函数g(x)在(0,π6)上的最大值是1 答案C9.(2021河南六市第一次联考,5)函数f(x)=2sinωx+π6(ω>0)的图象与函数g(x)=cos(2x+φ)(|φ|<π2)的图象的对称中心完全相同,那么φ为()A.π6B.-π6C.π3D.-π3答案D10.(2021届四川绵阳南山中学9月月考,18)函数f(x)=cos2ωx+√3sin ωxcosωx(ω>0)的最小正周期为π.(1)求f(23π)的值;(2)求函数f(x)的单调区间及其图象的对称轴方程.解析(1)f(x)=cos2ωx+√3sin ωxcosωx=1+cos2ωx2+√32sin 2ωx=12cos 2ωx+√32sin 2ωx+12=sin(2ωx+π6)+12.∵f(x)的最小正周期为π,ω>0,∴2π2ω=π,∴ω=1.∴f(x)=sin(2x+π6)+12.∴f(23π)=sin(4π3+π6)+12=sin 3π2+12=-1+12=-12.(2)因为y=sin x的单调增区间为[-π2+2kπ,π2+2kπ],k∈Z,单调减区间为[π2+2kπ,3π2+2kπ],k∈Z,所以由-π2+2kπ≤2x+π6≤π2+2kπ,k∈Z,得-π3+kπ≤x≤π6+kπ,k∈Z.由π2+2kπ≤2x+π6≤3π2+2kπ,k∈Z,得π6+kπ≤x≤2π3+kπ,k∈Z.∴f(x)的单调增区间为[-π3+kπ,π6+kπ],k∈Z,单调减区间为[π6+kπ,2π3+kπ],k∈Z.∵y=sin x图象的对称轴为x=kπ+π2,k∈Z,∴2x+π6=π2+kπ,k∈Z.∴f(x)图象的对称轴方程为x=π6+kπ2,k∈Z.考法四三角函数的最值11.(2021山西3月质检,7)将函数f(x)=sin x的图象向右平移π4个单位长度后得到函数y=g(x)的图象,那么函数y=f(x)·g(x)的最大值为()A.2+√24B.2-√24C.1D.12答案 A12.(2021湖北武昌调研,8)函数y=cos 2x+2sin x 的最大值为( ) A.34B.1C.32D.2 答案 C【五年高考】考点一 三角函数的图象及其变换1.(2021课标Ⅰ,9,5分)曲线C 1:y=cos x,C 2:y=sin (2x +2π3),那么下面结论正确的选项是( )A.把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移π6个单位长度,得到曲线C 2 B.把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移π12个单位长度,得到曲线C 2 C.把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移π6个单位长度,得到曲线C 2 D.把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移π12个单位长度,得到曲线C 2 答案 D2.(2021天津,6,5分)将函数y=sin (2x +π5)的图象向右平移π10个单位长度,所得图象对应的函数( ) A.在区间[3π4,5π4]上单调递增 B.在区间[3π4,π]上单调递减 C.在区间[5π4,3π2]上单调递增 D.在区间[3π2,2π]上单调递减 答案 A3.(2021北京,7,5分)将函数y=sin (2x -π3)图象上的点P (π4,t)向左平移s(s>0)个单位长度得到点P'.假设P'位于函数y=sin 2x 的图象上,那么( )A.t=12,s 的最小值为π6B.t=√32,s 的最小值为π6C.t=12,s 的最小值为π3D.t=√32,s 的最小值为π3答案 A4.(2021课标Ⅲ,14,5分)函数y=sin x-√3cos x 的图象可由函数y=sin x+√3cos x 的图象至少向右平移 个单位长度得到. 答案23π 5.(2021江苏,9,5分)定义在区间[0,3π]上的函数y=sin 2x 的图象与y=cos x 的图象的交点个数是 . 答案 7考点二 三角函数的性质及其应用6.(2021山东,7,5分)函数f(x)=(√3sin x+cos x)(√3cos x-sin x)的最小正周期是()A.π2B.π C.3π2D.2π答案B7.(2021课标Ⅱ,9,5分)以下函数中,以π2为周期且在区间(π4,π2)单调递增的是()A. f(x)=|cos 2x|B. f(x)=|sin 2x|C. f(x)=cos|x|D. f(x)=sin|x|答案A8.(2021课标Ⅲ,12,5分)设函数f(x)=sin(ωx+π5)(ω>0),f(x)在[0,2π]有且仅有5个零点.下述四个结论:①f(x)在(0,2π)有且仅有3个极大值点②f(x)在(0,2π)有且仅有2个极小值点③f(x)在(0,π10)单调递增④ω的取值范围是[125,29 10)其中所有正确结论的编号是()A.①④B.②③C.①②③D.①③④答案D9.(2021课标Ⅰ,11,5分)关于函数f(x)=sin|x|+|sin x|有下述四个结论:① f(x)是偶函数② f(x)在区间(π2,π)单调递增③ f(x)在[-π,π]有4个零点④ f(x)的最大值为2其中所有正确结论的编号是()A.①②④B.②④C.①④D.①③答案C10.(2021课标Ⅱ,10,5分)假设f(x)=cos x-sin x在[-a,a]是减函数,那么a的最大值是()A.π4B.π2C.3π4D.π答案A11.(2021课标Ⅱ,7,5分)假设将函数y=2sin 2x的图象向左平移π12个单位长度,那么平移后图象的对称轴为()A.x=kπ2-π6(k∈Z) B.x=kπ2+π6(k∈Z)C.x=kπ2-π12(k∈Z) D.x=kπ2+π12(k∈Z)答案B12.(2021课标Ⅰ,8,5分)函数f(x)=cos(ωx+φ)的局部图象如下列图,那么f(x)的单调递减区间为()A.(kπ-14,kπ+34),k ∈ZB.(2π-14,2kπ+34),k ∈Z C.(k -14,k +34),k ∈Z D.(2k -14,2k +34),k ∈Z 答案 D13.(2021课标Ⅰ,12,5分)函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|≤π2),x=-π4为f(x)的零点,x=π4为y=f(x)图象的对称轴,且f(x)在(π18,5π36)单调,那么ω的最大值为( )A.11B.9C.7D.5 答案 B14.(2021天津,7,5分)函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)是奇函数,将y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图象对应的函数为g(x).假设g(x)的最小正周期为2π,且g (π4)=√2,那么f (3π8)=( ) A.-2 B.-√2 C.√2 D.2 答案 C15.(2021上海,15,5分)ω∈R ,函数f(x)=(x-6)2·sin(ωx),存在常数a ∈R ,使得f(x+a)为偶函数,那么ω的值可能为( ) A.π2 B.π3 C.π4 D.π5答案 C16.(2021天津,7,5分)设函数f(x)=2sin(ωx+φ),x∈R ,其中ω>0,|φ|<π.假设f (5π8)=2, f (11π8)=0,且f(x)的最小正周期大于2π,那么( )A.ω=23,φ=π12B.ω=23,φ=-11π12 C.ω=13,φ=-11π24D.ω=13,φ=7π24答案 A17.(2021课标Ⅱ,14,5分)函数f(x)=sin 2x+√3cos x-34(x ∈[0,π2])的最大值是 .答案 118.(2021北京,9,5分)函数f(x)=sin 22x 的最小正周期是 . 答案 π219.(2021北京,11,5分)设函数f(x)=cos (ωx -π6)(ω>0).假设f(x)≤f (π4)对任意的实数x 都成立,那么ω的最小值为 . 答案2320.(2021浙江,18,14分)设函数f(x)=sin x,x ∈R . (1)θ∈[0,2π),函数f(x+θ)是偶函数,求θ的值; (2)求函数y=[f (x +π12)]2+[f (x +π4)]2的值域.解析 此题主要考查三角函数及其恒等变换等根底知识,同时考查运算求解能力.考查的数学素养是逻辑推理及数学运算,考查了化归与转化思想.(1)因为f(x+θ)=sin(x+θ)是偶函数,所以,对任意实数x 都有sin(x+θ)=sin(-x+θ),即sin xcos θ+cos xsin θ=-sin xcos θ+cos xsin θ,故2sin xcos θ=0,所以cos θ=0.又θ∈[0,2π),因此θ=π2或3π2.(2)y=[f(x+π12)]2+[f(x+π4)]2=sin2(x+π12)+sin2(x+π4)=1-cos(2x+π6)2+1-cos(2x+π2)2=1-12(√32cos2x-32sin2x)=1-√32cos(2x+π3).因此,函数的值域是[1-√32,1+√32].思路分析(1)根据偶函数的定义,知f(-x+θ)=f(x+θ)恒成立,利用三角恒等变换,得出cos θ=0,从而求出θ的值.(2)将函数解析式化简为y=Asin(ωx+φ)+B或y=Acos(ωx+φ)+B的形式,利用三角函数的性质求值域.21.(2021浙江,18,14分)函数f(x)=sin2x-cos2x-2√3sin xcos x(x∈R).(1)求f(2π3)的值;(2)求f(x)的最小正周期及单调递增区间.解析此题主要考查三角函数的性质及其变换等根底知识,同时考查运算求解能力.(1)由sin2π3=√32,cos2π3=-12,得f(2π3)=(√32)2-(-12)2-2√3×√32×(-12)=2.(2)由cos 2x=cos2x-sin2x与sin 2x=2sin xcos x得f(x)=-cos 2x-√3sin 2x=-2sin(2x+π6).所以f(x)的最小正周期是π.由正弦函数的性质得π2+2kπ≤2x+π6≤3π2+2kπ,k∈Z,解得π6+kπ≤x≤2π3+kπ,k∈Z.所以f(x)的单调递增区间是[π6+kπ,2π3+kπ](k∈Z).教师专用题组考点一三角函数的图象及其变换1.(2021四川,3,5分)为了得到函数y=sin(2x-π3)的图象,只需把函数y=sin 2x的图象上所有的点()A.向左平行移动π3个单位长度B.向右平行移动π3个单位长度C.向左平行移动π6个单位长度D.向右平行移动π6个单位长度答案D2.(2021湖南,9,5分)将函数f(x)=sin 2x的图象向右平移φ(0<φ<π2)个单位后得到函数g(x)的图象.假设对满足|f(x1)-g(x2)|=2的x1,x2,有|x1-x2|min=π3,那么φ=()A.5π12B.π3C.π4D.π6答案D3.(2021安徽,11,5分)假设将函数f(x)=sin(2x+π4)的图象向右平移φ个单位,所得图象关于y轴对称,那么φ的最小正值是.答案3π8考点二三角函数的性质及其应用4.(2021浙江,5,5分)设函数f(x)=sin2x+bsin x+c,那么f(x)的最小正周期()A.与b有关,且与c有关B.与b有关,但与c无关C.与b无关,且与c无关D.与b无关,但与c有关答案B5.(2021陕西,3,5分)如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sin(π6x+φ)+k,据此函数可知,这段时间水深(单位:m)的最大值为()A.5B.6C.8D.10答案C6.(2021安徽,10,5分)函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ均为正的常数)的最小正周期为π,当x=2π3时,函数f(x)取得最小值,那么以下结论正确的选项是()A. f(2)< f(-2)< f(0)B. f(0)< f(2)< f(-2)C. f(-2)< f(0)< f(2)D. f(2)< f(0)< f(-2)答案A7.(2021浙江,11,6分)函数f(x)=sin2x+sin xcos x+1的最小正周期是,单调递减区间是.答案π;[38π+kπ,78π+kπ](k∈Z)8.(2021江苏,16,14分)向量a=(cos x,sin x),b=(3,-√3),x∈[0,π].(1)假设a∥b,求x的值;(2)记f(x)=a·b,求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值.解析(1)因为a=(cos x,sin x),b=(3,-√3),a∥b,所以-√3cos x=3sin x.假设cos x=0,那么sin x=0,与sin2x+cos2x=1矛盾,故cos x≠0.于是tan x=-√33.又x∈[0,π],所以x=5π6.(2)f(x)=a·b=(cos x,sin x)·(3,-√3)=3cos x-√3sin x=2√3cos(x+π6).因为x ∈[0,π],所以x+π6∈[π6,7π6], 从而-1≤cos (x +π6)≤√32.于是,当x+π6=π6,即x=0时, f(x)取到最大值3; 当x+π6=π,即x=5π6时, f(x)取到最小值-2√3.9.(2021北京,15,13分)函数f(x)=√2sin x 2cos x 2-√2sin 2x2.(1)求f(x)的最小正周期;(2)求f(x)在区间[-π,0]上的最小值. 解析 (1)因为f(x)=√22sin x-√22(1-cos x)=sin (x +π4)-√22,所以f(x)的最小正周期为2π. (2)因为-π≤x ≤0,所以-3π4≤x+π4≤π4. 当x+π4=-π2,即x=-3π4时, f(x)取得最小值. 所以f(x)在区间[-π,0]上的最小值为f (-3π4)=-1-√22. 10.(2021天津,15,13分)函数f(x)=sin 2x-sin 2(x -π6),x ∈R . (1)求f(x)的最小正周期;(2)求f(x)在区间[-π3,π4]上的最大值和最小值. 解析 (1)由,有f(x)=1-cos2x 2-1-cos (2x -π3)2=12(12cos2x+√32sin2x)-12cos 2x=√34sin 2x-14cos 2x=12sin (2x -π6).所以, f(x)的最小正周期T=2π2=π.(2)因为f(x)在区间[-π3,-π6]上是减函数,在区间[-π6,π4]上是增函数, f (-π3)=-14, f (-π6)=-12, f (π4)=√34,所以, f(x)在区间[-π3,π4]上的最大值为√34,最小值为-12.11.(2021山东,16,12分)设f(x)=sin xcos x-cos 2(x +π4).(1)求f(x)的单调区间;(2)在锐角△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c.假设f (A2)=0,a=1,求△ABC 面积的最大值. 解析 (1)由题意知f(x)=sin2x 2-1+cos (2x+π2)2=sin2x 2-1-sin2x 2=sin 2x-12.由-π2+2kπ≤2x ≤π2+2kπ,k∈Z ,可得-π4+kπ≤x ≤π4+kπ,k∈Z ; 由π2+2kπ≤2x ≤3π2+2kπ,k∈Z ,可得π4+kπ≤x ≤3π4+kπ,k∈Z . 所以f(x)的单调递增区间是[-π4+kπ,π4+kπ](k ∈Z ); 单调递减区间是[π4+kπ,3π4+kπ](k ∈Z ). (2)由f (A 2)=sin A-12=0,得sin A=12, 由题意知A 为锐角,所以cos A=√32.由余弦定理a 2=b 2+c 2-2bccos A,可得1+√3bc=b 2+c 2≥2bc,即bc ≤2+√3,且当b=c 时等号成立.因此12bcsin A ≤2+√34. 所以△ABC 面积的最大值为2+√34. 评析 此题考查三角恒等变换,三角函数的图象与性质,以及解三角形等根底知识和根本方法,对运算能力有较高要求.属中等难度题.12.(2021重庆,18,13分)函数f(x)=sin π2-x ·sin x-√3cos 2x.(1)求f(x)的最小正周期和最大值; (2)讨论f(x)在[π6,2π3]上的单调性. 解析 (1)f(x)=sin (π2-x)sin x-√3cos 2x =cos xsin x-√32(1+cos 2x)=12sin 2x-√32cos 2x-√32=sin (2x -π3)-√32,因此f(x)的最小正周期为π,最大值为2-√32. (2)当x ∈[π6,2π3]时,0≤2x-π3≤π,从而当0≤2x-π3≤π2,即π6≤x ≤5π12时, f(x)单调递增,当π2≤2x-π3≤π,即5π12≤x ≤2π3时, f(x)单调递减. 综上可知, f(x)在[π6,5π12]上单调递增,在[5π12,2π3]上单调递减. 【三年模拟】一、单项选择题(每题5分,共45分)1.(2021届四川绵阳南山中学,5)要得到函数y=sin 2x+√3cos 2x(x ∈R )的图象,可将y=2sin 2x 的图象向左平移( ) A.π6个单位 B.π3个单位C.π4个单位 D.π12个单位答案A2.(2021届吉林白城通榆一中第一次月考,8)假设函数f(x)=cos 2ωx(ω>0)在区间[0,π3]上为减函数,在区间[π3,π2]上为增函数,那么ω=()A.3B.2C.32D.23答案C3.(2021届黑龙江大庆一中第一次月考,10)假设函数f(x)=sin(2x+φ)+b对任意实数x,都有f(x+π3)=f(-x), f(2π3)=-1,那么实数b的值为()A.-2或0B.0或1C.±1D.±2答案A4.(2021届黑龙江哈师大附中9月月考,11)函数f(x)=asin x-√3cos x图象的一条对称轴为直线x=5π6,且f(x1)·f(x2)=-4,那么|x1+x2|的最小值为()A.-π3B.0 C.π3D.2π3答案D5.(2021届宁夏银川一中第一次月考,6)函数f(x)=sin(2x+φ)(|φ|<π2)的图象向左平移π6个单位后关于y轴对称,那么函数f(x)在[0,π2]上的最小值为()A.-√32B.-12C.12D.√32答案B6.(2021届广西桂林十八中第一次月考,8)将函数y=sin(2x-π6)的图象向左平移π4个单位,所得函数图象的一条对称轴方程为()A.x=π3B.x=π6C.x=π12D.x=-π12答案C7.(2021届四川邻水实验学校第一次月考,5)函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)的局部图象如下列图,将函数f(x)的图象向左平移π6个单位,得到函数g(x)的图象,那么当x∈[0,π]时,不等式g(x)<1的解集为()A.[0,π4] B.[7π12,π]C.[0,π4)∪(7π12,π] D.(π4,7π12)答案C8.(2021届吉林白城通榆一中第一次月考,5)将函数y=sin (x -π3)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再将所得的图象向左平移π3个单位,得到的图象对应的解析式是( ) A.y=sin 12x B.y=sin (12x -π2) C.y=sin (12x -π6) D.y=sin (2x -π6) 答案 C9.(2021届河南中原名校第二次质量考评)函数f(x)=sin (2x -π3),假设方程f(x)=13在(0,π)的根为x 1,x 2(x 1<x 2),那么sin(x 1-x 2)=( ) A.-2√23B.-√32C.-12D.-13答案 A二、多项选择题(每题5分,共15分)10.(改编题)函数f(x)=12cos x ·sin (x +π3),那么以下结论中错误的选项是( ) A. f(x)既是奇函数又是周期函数 B. f(x)的图象关于直线x=π12对称 C. f(x)的最大值为1D. f(x)在区间[0,π4]上单调递减 答案 ACD11.(改编题)以下选项正确的选项是( ) A.存在实数x,使sin x+cos x=π3B.假设α,β是锐角△ABC 的内角,那么sin α>cos βC.函数y=sin (23x -7π2)是偶函数 D.函数y=sin 2x 的图象向右平移π4个单位,得到y=sin (2x +π4)的图象 答案 ABC12.(改编题)函数f(x)=sin xsin (x +π3)-14的定义域为[m,n](m<n),值域为[-12,14],那么n-m 的值不可能是( ) A.5π12B.7π12C.3π4D.11π12 答案 CD三、填空题(每题5分,共15分)13.(2021届四川绵阳南山中学月考,15)函数y=Msin(ωx+φ)(M>0,ω>0,0<φ<π)的图象关于直线x=13对称.该函数的局部图象如下列图,AC=BC=√22,C=90°,那么f (12)的值为 .答案√3414.(2021届四川邻水实验学校第一次月考,15)将函数f(x)=cos x-√3sin x(x ∈R )的图象向左平移α(α>0)个单位长度后,所得到的图象关于原点对称,那么α的最小值是 . 答案π615.(2021届宁夏银川一中第一次月考,15)假设函数y=cos(x+φ)(-π≤φ≤π)的图象向左平移π3个单位后,与函数y=sin (x +π6)的图象重合,那么φ= . 答案 -2π3四、解答题(共45分)16.(2021届吉林白城通榆一中第一次月考,19)函数f(x)=Asin (ωx +π6)(A>0,ω>0)的局部图象如下列图. (1)求A,ω的值及f(x)的单调增区间; (2)求f(x)在区间[-π6,π4]上的最大值和最小值.解析 (1)由题图可得A=1,最小正周期T=2(2π3-π6)=π,∴ω=2πT=2. ∴f(x)=sin (2x +π6).由-π2+2kπ≤2x+π6≤π2+2kπ,k∈Z , 得-π3+kπ≤x ≤π6+kπ,k∈Z ,∴函数f(x)的单调递增区间为[-π3+kπ,π6+kπ],k ∈Z . (2)∵-π6≤x ≤π4,∴-π6≤2x+π6≤2π3,∴-12≤sin (2x +π6)≤1,∴函数f(x)在区间[-π6,π4]上的最大值为1,最小值为-12.17.(2021届宁夏银川一中第一次月考,17)函数f(x)=sin 2ωx+√3sin ωx·sin (ωx +π2)-1(ω>0)图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2. (1)求ω的值;(2)当x ∈[-π12,π2]时,求函数f(x)的值域.解析 (1)f(x)=1-cos2ωx2+√3sin ωxcos ωx -1 =√32sin 2ωx -12cos 2ωx -12=sin (2ωx -π6)-12.由题意得函数f(x)的最小正周期为π, ∴2π2ω=π,解得ω=1,∴f(x)=sin (2x -π6). (2)∵x∈[-π12,π2],∴2x -π6∈[-π3,5π6],根据正弦函数的图象可得当2x-π6=π2,即x=π3时, f(x)=sin (2x -π6)取最大值1,当2x-π6=-π3,即x=-π12时, f(x)=sin (2x -π6)取最小值-√32,∴-12-√32≤sin (2x -π6)-12≤12,即当x ∈[-π12,π2]时,f(x)的值域为[-1+√32,12].18.(2021届黑龙江哈尔滨六中第一次调研,20)将函数y=sin x 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变),再将所得的图象向左平移π6个单位长度后得到函数f(x)的图象. (1)写出函数f(x)的解析式; (2)假设对任意x ∈[-π6,π12], f 2(x)-mf(x)-1≤0恒成立,求实数m 的取值范围;(3)求实数a 和正整数n,使F(x)=f(x)-a 在[0,nπ]上恰有2 019个零点.解析 (1)把函数y=sin x 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)得y=sin 2x,再将所得的图象向左平移π6个单位得f(x)=sin (2x +π3)的图象, ∴f(x)=sin (2x +π3). (2)∵x∈[-π6,π12],∴2x+π3∈[0,π2]. ∴f(x)∈[0,1].令t=f(x),t ∈[0,1].那么g(t)=t 2-mt-1≤0恒成立,故有g(0)=-1≤0且g(1)=-m ≤0,∴m≥0.(3)∵F(x)=f(x)-a 在[0,nπ]上恰有2 019个零点,故f(x)的图象和直线y=a 在[0,nπ]上恰有2 019个交点. ①当a>1或a<-1时, f(x)的图象与直线y=a 在[0,nπ]上无交点.②当a=1或a=-1时, f(x)的图象与直线y=a 在[0,nπ]上恰有2 019个交点,那么n=2 019. ③当-1<a<√32或√32<a<1时, f(x)的图象和直线y=a 在[0,π]上恰有2个零点.∴f(x)的图象和直线y=a 在[0,nπ]上有偶数个交点,不会有2 019个交点. ④当a=√32时, f(x)的图象与直线y=a 在[0,π]上有3个交点.此时n=1 009才能使f(x)的图象和直线y=a 在[0,nπ]上有2 019个交点. 综上所述,当a=1或a=-1时,n=2 019,当a=√32时,n=1 009,符合题意.。
三角函数的图象与性质 高中数学例题课后习题详解
第五章三角函数5.4三角函数的图象与性质例1画出下列函数的简图：（1）1sin y x =+，[0,2π]x ∈；（2）cos y x =-，[0,2π]x ∈.解：（1）按五个关键点列表：x0π2π3π22πsin x010-101sin x+1211描点并将它们用光滑的曲线连接起来（图5.4-6）：（2）按五个关键点列表：x0π2π3π22πcos x10-101cos x--11-1描点并将它们用光滑的曲线连接起来（图5.4-7）：例2求下列函数的周期：（1）3sin y x =，x ∈R ；（2）cos 2y x =，x ∈R ；（3）1π2sin 26y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，x ∈R .分析：通常可以利用三角函数的周期性，通过代数变形，得出等式()()f x T f x +=而求出相应的周期.对于（2），应从余弦函数的周期性出发，通过代数变形得出cos 2()cos 2x T x +=，x ∈R ；对于（3），应从正弦函数的周期性出发，通过代数变形得出1π1πsin ()sin 2626x T x ⎡⎤⎛⎫+-=- ⎪⎢⎣⎦⎝⎭，x ∈R .解：（1）x ∀∈R ，有3sin(2π)3sin x x +=.由周期函数的定义可知，原函数的周期为2π.（2）令2z x =，由x ∈R 得z ∈R ，且cos y z =的周期为2π，即cos(2π)cos z z +=，于是cos(22π)cos 2x x +=，所以cos 2(π)cos 2x x +=，x ∈R .由周期函数的定义可知，原函数的周期为π.（3）令1π26z x =-，由x ∈R 得z ∈R ，且2sin y z =的周期为2π，即2sin(2π)2sin z z +=，于是1π1π2sin 2π2sin 2626x x ⎛⎫⎛⎫-+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以1π1π2sin (4π)2sin 2626x x ⎡⎤⎛⎫+-=- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭.由周期函数的定义可知，原函数的周期为4π.例3下列函数有最大值､最小值吗？如果有，请写出取最大值､最小值时自变量x 的集合，并求出最大值､最小值.（1）cos 1y x =+，x ∈R ；（2）3sin 2y x =-，x ∈R ；解：容易知道，这两个函数都有最大值､最小值.（1）使函数cos 1y x =+，x ∈R 取得最大值的x 的集合，就是使函数cos y x =，x ∈R 取得最大值的x 的集合{}2|π,x x k k =∈Z ；使函数cos 1y x =+，x ∈R 取得最小值的x 的集合，就是使函数cos y x =，x ∈R 取得最小值的x 的集合(){}1|2π,x x k k =+∈Z .函数cos 1y x =+，x ∈R 的最大值是112+=；最小值是110-+=.（2）令2z x =，使函数3sin y z =-，z ∈R 取得最大值的z 的集合，就是使sin y z =，z ∈R 取得最小值的之的集合π2π,2z z k k ⎧⎫=-+∈⎨⎬⎩⎭Z .由π22π2x z k ==-+，得ππ4x k =-+.所以，使函数3sin 2y x =-，x ∈R 取得最大值的x 的集合是ππ,4x x k k ⎧⎫=-+∈⎨⎬⎩⎭Z .同理，使函数3sin 2y x =-，x ∈R 取得最小值的x 的集合是ππ,4x x k k ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z .函数3sin 2y x =-，x ∈R 的最大值是3，最小值是-3.例4不通过求值，比较下列各组数的大小：（1）πsin 18⎛⎫-⎪⎝⎭与πsin 10⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）23πcos 5⎛⎫-⎪⎝⎭与17πcos 4⎛⎫- ⎪⎝⎭.分析：可利用三角函数的单调性比较两个同名三角函数值的大小.为此，先用诱导公式将已知角化为同一单调区间内的角，然后再比较大小.解：（1）因为πππ021018-<-<-<，正弦函数sin y x =在区间π,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以ππsin sin 1810⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎝⎭⎝⎭.（2）23π23π3πcos cos cos 555⎛⎫-== ⎪⎝⎭，17π17ππcos cos cos 444⎛⎫-== ⎪⎝⎭.因为π3π0π45<<<，且函数cos y x =在区间[0,π]上单调递减，所以π3πcos cos 45>，即17π23πcos cos 45⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.例5求函数1πsin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，[2π,2π]x ∈-的单调递增区间.分析：令1π23z x =+，[2π,2π]x ∈-，当自变量x 的值增大时，z 的值也随之增大，因此若函数sin y z =在某个区间上单调递增，则函数1πsin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在相应的区间上也一定单调递增.解：令1π23z x =+，[2π,2π]x ∈-，则24π,π33z ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦.因为sin y z =，24π,π33z ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦的单调递增区间是ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，且由π1ππ2232x -≤+≤，得5ππ33x -≤≤.所以，函数1πsin 23y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，[2π,2π]x ∈-的单调递增区间是5ππ,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.例6求函数ππtan 23y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的定义域､周期及单调区间.分析：利用正切函数的性质，通过代数变形可以得出相应的结论.解：自变量x 的取值应满足ππππ232x k +≠+，k ∈Z ，即123x k ≠+，k ∈Z .所以，函数的定义域12,3x x k k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭Z .设ππ23z x =+，又tan(π)tan z z +=，所以ππππtan πtan 2323x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫++=+⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，即()ππππtan 2tan 2323x x ⎡⎤⎛⎫++=+ ⎪⎢⎣⎦⎝⎭.因为12,3x x x k k ⎧⎫∀∈≠+∈⎨⎬⎩⎭Z 都有()ππππtan 2tan 2323x x ⎡⎤⎛⎫++=+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，所以，函数的周期为2由ππππππ2232k x k -+<+<+，k ∈Z 解得512233k x k -+<<+，k ∈Z .因此，函数在区间512,233k k ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，k ∈Z 上都单调递增.5.4.1正弦函数､余弦函数的图象练习1.在同一直角坐标系中,画出函数sin y x =,[0,2]x πÎ,cos y x =,3,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦的图象.通过观察两条曲线,说出它们的异同.【答案】见解析【解析】【分析】根据五点作图法画出图像,再直观分析即可.【详解】解:可以用“五点法”作出它们的图象,还可以用图形计算器或计算机直接作出它们的图象,图象如图.两条曲线的形状相同,位置不同.【点睛】本题主要考查了正余弦函数图像之间的关系,属于基础题.2.用五点法分别画下列函数在[,]-ππ上的图象:(1)sin y x =-;(2)2cos y x =-.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】根据五点作图法的方法描点,再用光滑曲线连接起来即可.【详解】解:xπ-2π-02ππsin y x =-010-102cos y x=-32123【点睛】本题主要考查了五点作图法的运用,属于基础题.3.想一想函数|sin |y x =与sin y x =的图象及其关系,并借助信息技术画出函数的图象进行检验.【答案】见解析【解析】【分析】分析可知当sin 0y x =≥时|sin |y x =与sin y x =的图象相同,当sin 0y x =<时,|sin |y x =与sin y x =的图象关于x 轴对称,再分析即可.【详解】解:把sin y x =的图象在轴下方的部分翻折到x 轴上方,连同原来在x 轴上方的部分就是|sin |y x =的图象,如图所示.【点睛】本题主要考查了绝对值图像与原图像之间的关系,属于基础题.4.函数y=1+cos x ，,23x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭的图象与直线y =t （t 为常数）的交点可能有（）A.0个B.1个C.2个D.3个E.4个【答案】ABC 【解析】【分析】画出1cos y x =+在,23x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭的图象，即可根据图象得出.【详解】画出1cos y x =+在,23x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭的图象如下：则可得当0t <或2t ≥时，1cos y x =+与y t =的交点个数为0；当0=t 或322t ≤<时，1cos y x =+与y t =的交点个数为1；当302t <<时，1cos y x =+与y t =的交点个数为2.故选：ABC.5.4.2正弦函数､余弦函数的性质练习5.等式2sin sin 636πππ⎛⎫+= ⎪⎝⎭是否成立?如果这个等式成立,能否说23π是正弦函数sin y x =,x ∈R 的一个周期?为什么?【答案】见解析【解析】【分析】2sin sin 636πππ⎛⎫+= ⎪⎝⎭成立，再利用函数的周期的定义说明不能说23π是正弦函数sin y x =,x ∈R 的一个周期.【详解】等式2sin sin 636πππ⎛⎫+= ⎪⎝⎭成立,但不能说23π是正弦函数sin y x =,x ∈R 的一个周期.因为不满足函数周期的定义,即对定义内任意x ,2sin 3x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭不一定等于sin x ,如2sin sin 333πππ⎛⎫+≠ ⎪⎝⎭,所以23π不是正弦函数sin y x =,x ∈R 的一个周期.【点睛】本题主要考查周期函数的定义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.6.求下列函数的周期,并借助信息技术画出下列函数的图象进行检验:(1)3sin4y x =,x ∈R ;(2)cos 4y x =,x ∈R ;(3)1cos 223y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,x ∈R ;(4)1sin 34y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,x ∈R .【答案】(1)周期为83π.见解析(2)周期为2π.见解析(3)周期为π.见解析(4)周期为6π.见解析【解析】【分析】利用周期函数的定义证明函数的周期，再作出函数的图象得解.【详解】解:(1)因为33388()sin sin 2sin 44433y f x x x x f x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫===+=+=+ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,所以由周期函数的定义可知,原函数的周期为83π.函数的图象如图所示：(2)因为()cos 4cos(42)cos 422y f x x x x f x πππ⎛⎫⎛⎫===+=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以由周期函数的定义可知,原函数的周期为2π.函数的图象如图所示：(3)因为111()cos 222cos 2()()232323y f x x x x f x ππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎡⎤==-=-+=+-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦,所以由周期函数的定义可知,原函数的周期为π.函数的图象如图所示：(4)因为111()sin sin 2sin (6)(6)343434y f x x x x f x ππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎡⎤==+=++=++=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦,所以由周期函数的定义可知,原函数的周期为6π.函数的图象如图所示：【点睛】本题主要考查三角函数的周期的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.7.下列函数中,哪些是奇函数?哪些是偶函数?(1)2sin y x =;(2)1cos y x =-;(3)sin y x x =+;(4)sin cos y x x =-.【答案】(1)(3)(4)是奇函数;(2)是偶函数.【解析】【分析】利用函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性.【详解】(1)()2sin f x x =,函数的定义域为R ，()2sin()2sin ()f x x x f x ∴-=-=-=-，所以函数是奇函数；(2)()1cos f x x =-，函数的定义域为R ，()1cos()1cos ()f x x x f x ∴-=--=-=，所以函数是偶函数；(3)()sin f x x x =+，函数的定义域为R ，()sin (sin )()f x x x x x f x ∴-=--=-+=-，所以函数是奇函数；(4)()sin cos f x x x =-，函数的定义域为R ，()sin()cos()sin cos ()f x x x x x f x ∴-=---==-所以函数是奇函数.【点睛】本题主要考查函数的奇偶性的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.8.设函数()()f x x ∈R 是以2为最小正周期的周期函数,且当[0,2]x ∈时,2()(1)f x x =-.求(3)f ,72f ⎛⎫⎪⎝⎭的值.【答案】(3)0f =,7124f ⎛⎫=⎪⎝⎭【解析】【分析】直接利用函数的周期求解.【详解】解:由题意可知,2(3)(21)(1)(11)0f f f =+==-=;2733312122224f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+==-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.【点睛】本题主要考查函数的周期性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.练习9.观察正弦曲线和余弦曲线,写出满足下列条件的x 所在的区间:(1)sin 0x >;(2)sin 0x <;(3)cos 0x >;(4)cos 0x <.【答案】(1)(2,2)()k k k πππ+∈Z ;(2)(2,2)()k k k πππ-∈Z ;(3)2,2()22k k k ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z ;(4)32,2()22k k k ππππ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭Z 【解析】【分析】观察正弦曲线和余弦曲线得解.【详解】(1)sin 0x >,观察正弦曲线得(2,2)()x k k k πππ∈+∈Z ；(2)sin 0x <，观察正弦曲线得(2,2)()x k k k πππ∈-∈Z ；(3)cos 0x >，观察余弦曲线得2,2()22x k k k ππππ⎛⎫∈-+∈ ⎪⎝⎭Z ；(4)cos 0x <，观察余弦曲线得32,2()22x k k k πππ⎛⎫∈++∈ ⎪⎝⎭Z .【点睛】本题主要考查正弦曲线和余弦曲线的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.10.求使下列函数取得最大值､最小值的自变量的集合,并求出最大值､最小值.(1)2sin y x =,x ∈R ;(2)2cos3xy =-,x ∈R .【答案】(1)当|2,2x x x k k ππ⎧⎫∈=+∈⎨⎬⎩⎭Z 时,函数取得最大值2;当|2,2x x x k k ππ⎧⎫∈=-+∈⎨⎬⎩⎭Z 时,函数取得最小值-2.(2)当{|63,}x x x k k ππ∈=+∈Z 时,函数取得最大值3;当{|6,}x x x k k π∈=∈Z 时,函数取得最小值1.【解析】【分析】（1）利用2sin y x =取得最大值和最小值的集合与正弦函数sin y x =取最大值最小值的集合是一致的求解；（2）利用2cos 3xy =-取得最大值和最小值的集合与余弦函数cos y x =取最小值最大值的集合是一致的求解.【详解】（1）当sin 1x =即|2,2x x x k k ππ⎧⎫∈=+∈⎨⎬⎩⎭Z 时,函数取得最大值2;当sin 1x =-|2,2x x x k k ππ⎧⎫∈=-+∈⎨⎬⎩⎭Z 时,函数取得最小值-2；(2)当cos 13x=-即2+,3x k k Z ππ=∈即{|63,}x x x k k ππ∈=+∈Z 时,函数取得最大值3;当cos13x=即2,3x k k Z π=∈即当{|6,}x x x k k π∈=∈Z 时,函数取得最小值1.【点睛】本题主要考查三角函数的最值的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.11.下列关于函数4sin y x =,[0,2]x πÎ的单调性的叙述,正确的是.A.在[0,]π上单调递增,在[,2]ππ上单调递减B.在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增,在3,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减C.在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦及3,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增,在3,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减D.在3,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增,在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦及3,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减【答案】C 【解析】【分析】利用正弦函数的单调性分析判断得解.【详解】因为4sin y x =,[0,2]x πÎ，所以函数的单调性和正弦函数sin y x =的单调性相同，所以函数在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦及3,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增,在3,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减.故选：C【点睛】本题主要考查三角函数的单调性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.12.不通过求值,比较下列各组中两个三角函数值的大小:(1)2cos 7π与3cos 5π⎛⎫-⎪⎝⎭;(2)sin 250︒与sin 260︒.【答案】(1)23cos cos 75ππ⎛⎫>-⎪⎝⎭(2)sin 250sin 260︒︒>【解析】【分析】（1）利用cos y x =在(0,)π内为减函数判断它们的大小；（2）利用sin y x =在()90,270︒︒内为减函数判断它们的大小.【详解】解:(1)33cos cos 55ππ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,∵23075πππ<<<,且cos y x =在(0,)π内为减函数,∴23cos cos 75ππ>,即23cos cos 75ππ⎛⎫>-⎪⎝⎭.(2)∵90250260270︒︒︒︒<<<,且sin y x =在()90,270︒︒内为减函数,∴sin 250sin 260︒︒>.【点睛】本题主要考查正弦余弦函数的单调性的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.13.求函数3sin(2),[0,2]4y x x ππ=+∈的单调递减区间．【答案】5[,88ππ和913[,]88ππ.【解析】【分析】根据正弦型函数的性质有3222242k x k πππππ+≤+≤+时函数单调递减，即可求出3sin(2)4y x π=+的递减区间，进而讨论k 值确定[0,2]x πÎ上的递减区间即可.【详解】∵3222242k x k πππππ+≤+≤+()k ∈Z 上3sin(2)4y x π=+单调递减，∴588k x k ππππ+≤≤+上3sin(2)4y x π=+单调递减，当0k =：5[,][0,2]88x πππ∈⊂；当1k =：913[,][0,2]88x πππ∈⊂；∴5[,]88ππ、913[,]88ππ为3sin(2),[0,2]4y x x ππ=+∈的单调递减区间.5.4.3正切函数的性质与图象练习14.借助函数tan y x =的图象解不等式tan 1x ≥-，0,22x πππ⎡⎫⎛⎫∈⋃⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭.【答案】30,,24πππ⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭【解析】【分析】画出0,,2tan ,2x x y πππ⎡⎫⎛⎫∈⋃⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭=和1y =-的图象，观察图象即可.【详解】在同一坐标系中画出0,,2tan ,2x x y πππ⎡⎫⎛⎫∈⋃⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭=和1y =-的图象，如下：当tan 1x =-时，34x π=，由图象可知不等式tan 1x ≥-的解集为30,,24πππ⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭.【点睛】本题考查了正切函数不等式，考查了用数形结合法，属于基础题.15.观察正切曲线，写出满足下列条件的x 值的范围：（1）tan 0x >；（2）tan 0x =；（3）tan 0x ≤．【答案】（1）2k x k πππ<<+()k ∈Z ；（2）x k π=()k ∈Z ；（3）2k x k πππ-<≤()k ∈Z ；【解析】【分析】画出tan y x =的函数图象，通过图象判断（1）、（2）、（3）对应自变量的取值范围即可.【详解】（1）tan 0x >：2k x k πππ<<+()k ∈Z ；（2）tan 0x =：x k π=()k ∈Z ；（3）tan 0x ≤：2k x k πππ-<≤()k ∈Z ；16.求函数tan 3y x =的定义域.【答案】,36k x x k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭【解析】【分析】令()32x k k Z ππ≠+∈，解出x 的范围即可求得定义域.【详解】令()32x k k Z ππ≠+∈，得()36k x k Z ππ≠+∈，所以函数tan 3y x =的定义域为,36k x x k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭.【点睛】本题考查正切函数的定义域，属于基础题.17.求下列函数的周期：（1）tan 2y x =，()42k x k ππ≠+∈Z ；（2）5tan 2xy =，(21)()x k k π≠+∈Z .【答案】（1）周期为2π（2）周期为2π【解析】【分析】（1）由诱导公式，得tan 2tan(2)x x π=+，即()2f x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，问题得解；（2）由诱导公式，得2tan tan tan 222x x x ππ+⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，即()(2)f x f x π=+，问题得解；【详解】（1）令()y f x =，因为()tan 2tan(2)tan 222f x x x x f x πππ⎛⎫⎛⎫==+=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以函数tan 2y x =，()42k x k ππ≠+∈Z 的周期为2π.（2）令()y f x =，因为2()5tan5tan 5tan (2)222x x x f x f x πππ+⎛⎫==+==+ ⎪⎝⎭，所以函数5tan2xy =，(21)()x k k π≠+∈Z 的周期为2π.【点睛】本题考查了诱导公式，函数周期性定义，属于中档题.18.不通过求值，比较下列各组中两个正切值的大小：（1）()tan 52-︒与()tan 47-︒；（2）13tan4π与17tan 5π【答案】（1）()()tan 52tan 47-︒<-︒；（2）1317tan tan 45ππ<【解析】【分析】（1）根据tan y x =在()90,0-︒︒的单调性进行比较，得到答案；（2）根据正切函数的周期对所求的值进行化简，再根据tan y x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭的单调性进行比较，得到答案.【详解】解：（1）9052470-︒<-︒<-︒<︒，且tan y x =在,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭内为增函数，()()tan 52tan 47∴-︒<-︒.（2）13tantan 3tan 444ππππ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，1722tantan 3tan 555ππππ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，20452πππ<<< ，且tan y x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭内为增函数，2tantan 45ππ∴<，故1317tan tan 45ππ<.【点睛】本题考查根据正切函数的单调性比较函数值的大小，属于简单题.习题5.4复习巩固19.画出下列函数的简图：（1）1sin ,[0,2]y x x π=-∈；（2）3cos 1,[0,2]y x x π=+∈.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）根据五点作图法作图法作图；（2）根据五点作图法作图法作图.【详解】解：（1）x2ππ32π2π1sin y x=-10121描点连线得如图①，（2）x2ππ32π2π3cos 1y x =+412-14描点连线得如图②.【点睛】本题考查考查五点作图法作图，考查基本分析作图能力，属基础题.20.求下列函数的周期：（1）2sin ,3y x x R =∈；（2）1cos ,2y x x R =Î．【答案】（1）3k π()k ∈Z ；（2）2k π()k ∈Z .【解析】【分析】利用正余弦的性质，结合2||T πω=可求（1）（2）中三角函数的最小正周期，进而可写出函数的周期.【详解】（1）由题设知：23ω=，故最小正周期为2232||3T πππω===，即2sin ,3y x x R =∈的周期为3k π()k ∈Z ；（2）由题设知：1ω=，故最小正周期为222||1T πππω===，即1cos ,2y x x R =Î的周期为2k π()k ∈Z ；21.下列函数中，哪些是奇函数？哪些是偶函数？哪些既不是奇函数，也不是偶函数.（1）|sin |y x =；（2）1cos 2y x =-；（3）3sin 2y x =-；（4）12tan y x =+.【答案】（1）偶函数；（2）偶函数；（3）奇函数；（4）非奇非偶函数.【解析】【分析】（1）根据奇偶性定义进行判断；（2）根据奇偶性定义进行判断；（3）根据奇偶性定义进行判断；（4）根据奇偶性定义进行判断；【详解】（1）|sin |y x =定义域为R,且|sin()||sin |x x -=，所以|sin |y x =是偶函数；（2）1cos 2y x =-定义域为R,且1cos 2()1cos 2x x --=-，所以1cos 2y x =-是偶函数；（3）3sin 2y x =-定义域为R,且3sin 2()3sin 2(3sin 2)x x x --==--，所以3sin 2y x =-是奇函数；（4）12tan y x =+定义域为π{|π,}2x x k k ≠+∈Z ,但12tan()12tan ,12tan()12tan ,x x x x +-≠++-≠--，所以12tan y x =+既不是奇函数，也不是偶函数.【点睛】本题考查函数奇偶性，考查基本分析判断能力，属基础题.22.求使下列函数取得最大值、最小值的自变量x 的集合，并求出最大值、最小值.（1）11cos ,23y x x R π=-∈；（2）3sin 2,4y x x R π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭.（3）31cos ,226y x x R π⎛⎫=--∈ ⎪⎝⎭；（4）11sin ,223y x x R π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭.【答案】（1）使y 取得最大值的x 的集合是max 3{|63,},2x x k k Z y =+∈=；使y 取得最小值的x 的集合是min 1{|6,},2x x k k Z y =∈=.（2）使y 取得最大值的x 的集合是max |,,38x x k k Z y ππ⎧⎫=+∈=⎨⎬⎩⎭；使y 取得最小值的x 的集合是min 3|,,38x x k k Z y ππ⎧⎫=-∈=-⎨⎬⎩⎭.（3）使y 取得最大值的x 的集合是max 73|4,,32x x k k Z y ππ⎧⎫=+∈=⎨⎬⎩⎭；使y 取得最小值的x 的集合是min 3|4,,32x x k k Z y ππ⎧⎫=+∈=-⎨⎬⎩⎭.（4）使y 取得最大值的x 的集合是max 1|4,,32x x k k Z y ππ⎧⎫=+∈=⎨⎬⎩⎭；使y 取得最小值的x 的集合是min 51|4,,32x x k k Z y ππ⎧⎫=-∈=-⎨⎬⎩⎭.【解析】【分析】（1）根据余弦函数性质求最值以及对应自变量范围；（2）根据正弦函数性质求最值以及对应自变量范围；（3）根据余弦函数性质求最值以及对应自变量范围；（4）根据正弦函数性质求最值以及对应自变量范围.【详解】（1）由2,3x k k Z πππ=+∈得使y 取得最大值的x 的集合是max 3{|63,},2x x k k Z y =+∈=；由2,3x k k Z ππ=∈使y 取得最小值的x 的集合是min 1{|6,},2x x k k Z y =∈=.（2）由22,42x k k Z πππ+=+∈得使y 取得最大值的x 的集合是max |,,38x x k k Z y ππ⎧⎫=+∈=⎨⎬⎩⎭；由22,42x k k Z πππ+=-∈得使y 取得最小值的x 的集合是min 3|,,38x x k k Z y ππ⎧⎫=-∈=-⎨⎬⎩⎭.（3）由12,26x k k Z πππ-=+∈得使y 取得最大值的x 的集合是max 73|4,,32x x k k Z y ππ⎧⎫=+∈=⎨⎬⎩⎭；由12,26x k k Z ππ-=∈得使y 取得最小值的x 的集合是min3|4,,32x x k k Z y ππ⎧⎫=+∈=-⎨⎬⎩⎭.（4）由12,232x k k Z πππ+=+∈得使y 取得最大值的x 的集合是max1|4,,32x x k k Z y ππ⎧⎫=+∈=⎨⎬⎩⎭；由12,232x k k Z πππ+=-∈得使y 取得最小值的x 的集合是min 51|4,,32x x k k Z y ππ⎧⎫=-∈=-⎨⎬⎩⎭.【点睛】本题考查正余弦函数最值，考查基本分析求解能力，属基础题.23.利用函数的单调性比较下列各组中两个三角函数值的大小：（1）sin10315︒'与sin16430︒'；（2）3cos 10π⎛⎫- ⎪⎝⎭与4cos 9π⎛⎫- ⎪⎝⎭.（3）sin 508︒与sin144︒；（4）47cos 10π⎛⎫ ⎪⎝⎭与44cos 9π⎛⎫ ⎪⎝⎭.【答案】（1）'sin10315sin16430︒'︒>（2）34cos cos 109ππ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（3）sin 508sin144︒︒<（4）4744cos cos 109ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【解析】【分析】（1）根据正弦函数单调性判断大小；（2）先根据诱导公式化简，再根据余弦函数单调性判断大小；（3）先根据诱导公式化简，再根据正弦函数单调性判断大小；（4）先根据诱导公式化简，再根据余弦函数单调性判断大小.【详解】解：（1）901031516430180︒︒︒︒'︒<<< ，且sin y x =在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭内为减函数，'sin10315sin16430︒'︒∴>.（2）3344cos cos ,cos cos 101099ππππ⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.340109πππ<<< ，且cos y x =在(0,)π内为减函数.34coscos 109ππ∴>，即34cos cos 109ππ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（3）()sin 508sin 360148sin148︒︒︒︒=+=.90144148180︒︒︒︒<<< ，且sin y x =在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭内为减函数，sin144sin148︒︒∴>，即sin 508sin144︒︒<.（4）4777coscos 4cos 101010ππππ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，4488cos cos 4cos 999ππππ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭.782109ππππ<<<，且cos y x =在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭内为减函数，78coscos 109ππ∴>，即4744cos cos 109ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【点睛】本题考查诱导公式以及正余弦函数单调性，考查基本分析判断能力，属基础题.24.求下列函数的单调区间：（1）1sin ,[0,2]y x x π=+∈；（2）cos ,[0,2]y x x π=-∈.【答案】（1）单调递增区间为30,,,222πππ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦；单调递减区间为3,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦.（2）单调递增区间为[0,]π，单调递减区间为[,2]ππ.【解析】【分析】（1）根据正弦函数单调性求单调区间；（2）根据余弦函数单调性求单调区间【详解】（1）当22,()22k x k k Z ππππ-≤≤+∈时；1sin y x =+单调递增；因为[0,2]x πÎ，所以单调递增区间为30,,,222πππ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦；当322,()22k x k k Z ππππ+≤≤+∈时；1sin y x =+单调递减；因为[0,2]x πÎ，所以单调递减区间为3,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（2）当22,()k x k k Z πππ≤≤+∈时；cos y x =-单调递增；因为[0,2]x πÎ，所以单调递增区间为[0,]π；当222,()k x k k Z ππππ+≤≤+∈时；cos y x =-单调递减；因为[0,2]x πÎ，所以单调递减区间为[,2]ππ.【点睛】本题考查正余弦函数单调区间，考查基本分析求解能力，属基础题.25.求函数tan 26y x π⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭的定义域.【答案】|,3x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭【解析】【分析】根据正切函数性质列式求解，即得结果.【详解】解：由()62x k k Z πππ+≠+∈，得()3x k k Z ππ≠+∈，∴原函数的定义域为|,3x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭.【点睛】本题考查正切函数定义域，考查基本分析求解能力，属基础题.26.求函数5tan 2,()3122k y x x k Z πππ⎛⎫=-≠+∈ ⎪⎝⎭的周期.【答案】2π【解析】【分析】根据周期定义或正切函数周期公式求解.【详解】解法一：()tan 2tan 2tan 233232f x x x x f x ππππππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-+=+-=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦ ∴所求函数的周期为2π.解法二：所求函数的周期2ππT ω==.【点睛】本题考查正切函数周期，考查基本分析求解能力，属基础题.27.利用正切函数的单调性比较下列各组中两个函数值的大小：（1）tan 5π⎛⎫- ⎪⎝⎭与3tan 7π⎛⎫-⎪⎝⎭；（2）tan1519︒与tan1493︒；（3）9tan 611π与3tan 511π⎛⎫- ⎪⎝⎭；（4）7tan8π与tan 6π.【答案】（1）3tan tan 57ππ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）tan1519tan1493︒︒>（3）93tan 6tan 51111ππ⎛⎫>- ⎪⎝⎭（4）7tantan 86ππ<【解析】【分析】（1）先根据诱导公式化简，再根据正切函数单调性判断大小；（2）先根据诱导公式化简，再根据正切函数单调性判断大小；（3）先根据诱导公式化简，再根据正切函数单调性判断大小；（4）先根据诱导公式化简，再根据正切函数单调性判断大小【详解】解：（1）33tan tan ,tan tan 5577ππππ⎛⎫⎛⎫-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.30572πππ<<< ，且tan y x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上为增函数，33tantan ,tan tan 5757ππππ⎛⎫⎛⎫∴<∴->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（2）()tan1519tan 436079tan 79︒︒︒︒=⨯+=，()tan1493tan 436053tan 53︒︒︒︒=⨯+=.0537990︒︒︒︒<<< ，且tan y x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上为增函数，tan 53tan 79︒︒∴<，即tan1519tan1493︒︒>.（3）9938tan 6tan ,tan 5tan 11111111ππππ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭.893211112ππππ<<<，且tan y x =在3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭上为增函数，89tantan 1111π∴<，即93tan 6tan 51111ππ⎛⎫>- ⎪⎝⎭.（4）7tantan tan 888ππππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.2862ππππ-<-<< ，且tan y x =在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上为增函数，tan tan 86ππ⎛⎫∴-< ⎪⎝⎭，即7tan tan 86ππ<.【点睛】本题考查周期函数单调性以及诱导公式，考查基本分析求解能力，属基础题.综合运用28.求下列函数的值域：（1）5sin ,,44y x x ππ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦；（2）cos ,0,32y x x ππ⎛⎫⎡⎤=+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.【答案】（1）,12y ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦；（2）1,22y ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦.【解析】【分析】（1）根据正弦函数单调性求值域；（2）根据余弦函数单调性求值域.【详解】（1）当,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时sin y x =单调递增，22y ∈；当5(,24x ππ∈时sin y x =单调递减，2[,1)2y ∈-；因此5sin ,,44y x x ππ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦的值域为,1][,1)[,1]222-=- ；（2）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，5,336x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，cos 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭单调递减，31[,]22y ∈-；因此cos ,0,32y x x ππ⎛⎫⎡⎤=+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的值域为1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；【点睛】本题考查根据正余弦函数单调性求值域，考查基本分析求解能力，属基础题.29.根据正弦函数、余弦函数的图象，写出使下列不等式成立的x 的取值集合.（1）3sin ()2x x R ∈；（22cos 0()x x R +∈ .【答案】（1）2|22,33x k x k k Z ππππ⎧⎫++∈⎨⎬⎩⎭；（2）33|22,44x k x k k Z ππππ⎧⎫-++∈⎨⎬⎩⎭ .【解析】【分析】（1）先作一个周期的图象，再根据图象写结果；（2）先作一个周期的图象，再根据图象写结果.【详解】（1）所以3sin ()2x x R ∈成立的x 的取值集合为2|22,33x k x k k Z ππππ⎧⎫++∈⎨⎬⎩⎭（2）22cos 0cos 2x x ∴-22cos 0()x x R +∈ 成立的x 的取值集合为33|22,44x k x k k Z ππππ⎧⎫-++∈⎨⎬⎩⎭【点睛】本题考查根据正余弦函数图象解简单三角不等式，考查基本分析求解能力，属基础题.30.下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减的是（）A.|sin |y x =B.cos y x= C.tan y x= D.cos2x y =【答案】A 【解析】【分析】先判断各函数最小正周期，再确定各函数在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调性，即可选择判断.【详解】|sin |y x =最小正周期为π，在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上|sin |sin y x x ==单调递减；cos y x =最小正周期为2π，在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减；tan y x =最小正周期为π，在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增；cos 2xy =最小正周期为4π，在区间,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减；故选：A【点睛】本题考查函数周期以及单调性，考查基本分析判断能力，属基础题.31.若x 是斜三角形的一个内角，写出使下列不等式成立的x 的集合：（1）1tan 0x + ；（2）tan 0x .【答案】（1）3|24x x ππ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭；（2）|32x x ππ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭.【解析】【分析】（1）根据正切函数单调性求解三角不等式；（2）根据正切函数单调性求解三角不等式.【详解】（1）1tan 0tan 1,()24x x k x k k Z ππππ+∴-∴-+<≤-+∈ 3(0,)(,)2224x x πππππ∈∴<≤ ，即所求集合为3|24x x ππ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭；（2））tan 0tan ,()32x x k x k k Z ππππ∴≥+≤<+∈ (0,)(,)2232x x πππππ∈∴≤< ，即所求集合为|32x x ππ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭【点睛】本题考查根据正切函数单调性解三角不等式，考查基本分析求解能力，属基础题.32.求函数3tan 24y x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭的单调区间.【答案】单调递减区间为5,,2828k k k Z ππππ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭；无单调递增区间.【解析】【分析】根据正切函数单调性列不等式，解得结果.【详解】当32,()242k x k k Z πππππ-+<-<+∈时，3tan 24y x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭单调递减，即5,,2828k k x k Z ππππ⎛⎫∈++∈ ⎪⎝⎭所以3tan 24y x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭的单调递减区间为5,,2828k k k Z ππππ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭；无单调递增区间.【点睛】本题考查正切函数单调性，考查基本分析求解能力，属基础题.33.已知函数()y f x =是定义在R 上周期为2的奇函数，若(0.5)1f =，求(1),(3.5)f f 的值.【答案】(1)0f =，(3.5)=1f -【解析】【分析】根据函数周期以及奇偶性找自变量之间关系，即可解得结果.【详解】解：由题意可得(1)(12)(1)(1)(1)f f f f f ，=-=-=-，2(1)0,(1)0f f ∴=∴=.(3.5)(40.5)(0.5)(0.5)1f f f f =-=-=-=-.【点睛】本题考查根据函数周期以及奇偶性求函数值，考查基本分析求解能力，属基础题.34.已知函数1()sin 2,23f x x x R π⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭，（1）求()f x 的最小正周期；（2）求()f x 在区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.【答案】（1）T π=（2）最大值为14，最小值为12-【解析】【分析】（1）根据正弦函数周期公式求解；（2）根据正弦函数单调性求最值.【详解】解：（1）最小正周期为22T ππ==.（2）5,244636x x πππππ-∴--≤ ，11111sin 2,sin 2322234x x ππ⎛⎫⎛⎫∴--∴-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ .即()f x 在区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为14，最小值为12-.【点睛】本题考查正弦函数周期以及最值，考查基本分析求解能力，属基础题.拓广探索35.在直角坐标系中，已知O 是以原点O 为圆心，半径长为2的圆，角x （rad ）的终边与O 的交点为B ，求点B 的纵坐标y 关于x 的函数解析式，并画出其图象【答案】2sin y x =，图象见解析【解析】【分析】根据三角函数定义可得点B 的纵坐标y 关于x 的函数解析式，利用五点作图法可画图.【详解】解：三角函数定义可得sin 2sin y r x x ==，x 02ππ32π2π2sin y x =020-20描点连线，再向两边延伸得图象如图所示：【点睛】本题考查三角函数定义以及五点作图法，考查基本分析求解能力，属基础题.36.已知周期函数()y f x =的图象如图所示，（1）求函数的周期；（2）画出函数(1)y f x =+的图象；（3）写出函数()y f x =的解析式.【答案】（1）2T =.（2）见解析（3）|2|,[21,21],y x k x k k k Z=-∈-+∈【解析】【分析】（1）根据周期定义结合图象求得结果；（2）把()y f x =向左平移一个单位得(1)y f x =+的图象；（3）根据一次函数解析式得()y f x =在一个周期上的解析式，再根据周期得结果.【详解】解：（1）1(1)2T =--=.（2）把()y f x =向左平移一个单位得(1)y f x =+的图象，即如图所示（3）,[0,1],[1,1],[1,0)x x y x x x x ∈⎧==∈-⎨-∈-⎩所以|2|,[21,21],y x k x k k k Z =-∈-+∈.【点睛】本题考查函数周期、图象变换以及解析式，考查基本分析求解能力，属基础题.37.容易知道，正弦函数sin y x =是奇函数，正弦曲线关于原点对称，即原点是正弦曲线的对称中心，除原点外，正弦曲线还有其他对称中心吗？如果有，那么对称中心的坐标是什么？另外，正弦曲线是轴对称图形吗？如果是，那么对称轴的方程是什么？你能用已经学过的正弦函数性质解释上述现象吗？对余弦函数和正切函数，讨论上述同样的问题【答案】见解析【解析】【分析】根据正弦函数、余弦函数以及正切函数性质即可得到结果.【详解】解：由正弦函数的周期性可知，除原点外，正弦曲线还有其他对称中心，它们的坐标为(,0)()k k Z π∈，正弦曲线是轴对称图形，对称轴的方程为()2x k k Z ππ=+∈.能.由余弦函数和正切函数的周期性可知，余弦曲线的对称中心坐标为,0()2k k Z ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，对称轴的方程是()x k k Z π=∈，正切曲线的对称中心坐标为,0()2k k Z π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，正切曲线不是轴对称图形.【点睛】本题考查正弦函数、余弦函数以及正切函数性质，考查基本分析求解能力，属基础题.。
高考数学解答题(新高考)三角函数的图象与性质(零点或根的问题)(典型例题+题型归类练)(解析版)
专题03 三角函数的图象与性质（零点或根的问题）(典型例题+题型归类练)一、必备秘籍()()sin f x A x k ωϕ=+=实根问题，换元法令t x ωϕ=+将函数()f x 化简为sin y A t =，在利用正弦函数sin t 的图象来解决交点（根，零点）的问题.二、典型例题例题1．（2022·河南驻马店·高一期中（文））已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭在一个周期内的图像如图所示. (1)求函数()f x 的解析式； (2)设02x π<<，且方程()f x m =有两个不同的实数根，求实数m 的取值范围.第（2）问思路点拨：本小题要求时，方程有两个根，求的取值范围,可采用换元法解答过程：由（1）知，令，由，则，作出函数的图象，根据图象讨论的的个数.图象可知：与的图象在内有两个不同的交点时，，故实数的取值范围为.【答案】(1)()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(2)()1,2(1)显然2A =，又1121212T ππππω⎛⎫=--== ⎪⎝⎭，所以2ω=， 所以()()2sin 2f x x ϕ=+，又函数过点,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以2sin 06πϕ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，所以()Z 6k k πϕπ-+=∈，又2πϕ<，所以6π=ϕ， 所以所求的函数的解析式为()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.(2)02x π<<，且方程()f x m =有两个不同的实数根，即()y f x =与y m =的图像在02x π<<内有两个不同的交点，令26t x π=+，则7,66t ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，作出函数2sin y t =的图像如下：由图像可知：2sin y t =与y m =的图像在7,66t ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内有两个不同的交点时，12m <<，故实数m 的取值范围为()1,2.例题2．（2022·山东德州·高一期中）已知()3sin ,sin cos a x x x ωωω=+，()1cos ,cos sin 2b x x x ωωω⎛⎫=- ⎪⎝⎭()01ω<≤，函数()1f x a b =⋅+，直线6x π=是函数()f x 图像的一条对称轴．(1)求函数()f x 的解析式；(2)当[]0,x π∈时，讨论方程()0f x m -=的根的情况．【答案】(1)()sin 216f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭(2)答案见解析(1)已知()3sin ,sin cos a x x x ωωω=+，()()1cos ,cos sin 012b x x x ωωωω⎛⎫=-<≤ ⎪⎝⎭，第（2）问思路点拨：本小题要求时，讨论方程的根的情况,可采用换元法解答过程：由（1）知，令，由，则，则讨论方程的根的情况，转化为的根的情况.作出的图象.1．当或，即或时，有0个根； 2．当或，即或时，有1个根；3．当或，即或时，有2个根；4．当，即时，有3个根由图象可知则()12cos 21sin 2126f x x x x πωωω⎛⎫++=++ ⎪⎝⎭， 由于直线6x π=是函数()f x 图像的一条对称轴．所以26f π⎛⎫= ⎪⎝⎭或0，所以2662k πππωπ⋅⋅+=+，()k ∈Z ，所以31k ω=+． 由于01ω<≤，所以，当0k =时，1ω=，所以()sin 216f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭(2)由题意得sin 216x m π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，因为[]0,x π∈，所以132,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦， 令26u x π=+，13,66u ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 则sin 1u m =-，如图．1．当11m ->或11m -<-，即0m <或2m >时，()f x 有0个根； 2．当11m -=或11m -=-，即0m =或2m =时，()f x 有1个根； 3．当1112m <-<或1112m -<-<，即322m <<或302m <<时，()f x 有2个根；4．当112m -=，即32m =时，()f x 有3个根 综上，当0m <或2m >时，()f x 有0个根； 当0m =或2m =时，()f x 有1个根； 当322m <<或302m <<时，()f x 有2个根；32m =时，()f x 有3个根．例题3．（2022·山东·日照青山学校高一期中）已知函数()2sin f x x =，将()f x的图象向右平移3π个单位长度，再把所有点的横坐标缩小为原来的12（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图象. (1)求函数()g x 的解析式及单调递增区间； (2)方程()25g x =在17,612ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上的根从小到大依次为123,,x x x ，求1232x x x ++的值.第（2）问思路点拨：方程在上的根从小到大依次为，求的值.可采用换元法解答过程：由（1）知，令，由，则其中，；即，， ，，.根据图象作答转化为：方程在有个解，作出图象和问题转化作图象，找交点【答案】(1)()2sin 23g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，单调递增区间为()5,1212k k k ππππ-++⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦Z (2)123823x x x π++= (1)2sin 33f x x ππ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()2sin 23g x x π⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭；令()222232k x k k πππππ-+≤-≤+∈Z ，解得：()51212k x k k ππππ-+≤≤+∈Z ， ()f x ∴的单调递增区间为()5,1212k k k ππππ-++⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦Z(2)令()22sin 235g x x π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，即1sin 235x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭；17,612x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，520,32x ππ⎡⎤∴-∈⎢⎥⎣⎦，设23x πθ=-，其中50,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，即1sin 5θ=， 结合正弦函数5sin 02y x x π⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭的图象可知：方程1sin 5θ=在50,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦有3个解123,,θθθ，其中12θθπ+=，233θθπ+=； 即122233x x πππ-+-=，2322333x x πππ-+-=，1256x x π∴+=，23116x x π+=，123823x x x π∴++=. 三、题型归类练1．（2022·河南驻马店·高一期中（理））已知点()()11,A x f x ，()()22,B x f x 是函数()()2sin 0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>-<< ⎪⎝⎭图象上的任意两点，且角ϕ的终边经过点(1,P ，()()124f x f x -=时，12x x -的最小值为3π． (1)求函数()f x 的解析式；(2)()y f x m =-在0,3x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内有两个不同的零点，求实数m 的取值范围．【答案】(1)()2sin 33f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭；2m <.(1)角ϕ的终边经过点(1,P ，∴tan ϕ=∵02πϕ-<<，∴3πϕ=-，由()()124f x f x -=时，12x x -的最小值为3π， 得23T π=，即223ππω=，∴3ω=，∴()2sin 33f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭；(2)∵()y f x m =-在0,3x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内有两个不同的零点，即()y f x =与y m =的图象在0,3x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内有两个不同的交点，令33t x π=-，由0,3x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则2,33t ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭， 即2sin y t =与y m =在2,33t ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭上有两个交点，2m <.2．（2022·辽宁·大连市第一中学高一期中）已知函数()4cos cos 1(0)3f x x x πωωω⎛⎫=⋅-- ⎪>⎝⎭的部分图像如图所示，若288AB BC π⋅=-，B ，C 分别为最高点与最低点．(1)求函数()f x 的解析式；(2)若函数()y f x m =-在130,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上有且仅有三个不同的零点1x ，2x ，3x ，（123x x x <<），求实数m 的取值范围，并求出123 cos (2)x x x ++的值．【答案】(1)()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(2)m ⎡∈⎣，12(1)解：)()2cos cos 1f x xx x ωωω=+-，2cos 2cos 1x x x ωωω=⋅+-，2cos 2x x ωω=+，2sin 26x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，设函数()f x 的周期为T ，则,24T AB ⎛⎫= ⎪⎝⎭，,42T BC ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则228888T AB BC π⋅=-=-，所以T π=．故22T ππω==，故1ω=， 所以()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．(2)由题意，函数()y f x m =-在130,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有且仅有三个不同的零点，1x ，2x ，3x ，即曲线()y f x =与y m =在130,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有且仅有三个不同的交点．设26t x π=+，当130,12x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，7,63t ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．则2sin y t =，7,63t ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则m ⎡∈⎣，12t t π+=，233t t π+=，所以12324t t t π++=，即12322224666x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即123523x x x π++=， 所以12351cos(2)cos32π++==x x x ．3．（2022·四川省内江市第六中学高一期中（文））已知函数()()2sin cos 23f x x x x π=+． (1)求函数f (x )的最小正周期T 及()1003f π的值；(2)若关于x 的方程()12f x a π+=在20,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有2个解，求实数a 的取值范围．【答案】(1)最小正周期π，(2)1142a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，.(1)解：()2sin cos 3f x x x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭12sin cos 2x x x x ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭2sin cos x x x x =1sin22x x =1sin22x =T π=，100133sin 233323f f f πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+==⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭(2)解：sin 22126f x a x a ππ⎛⎫⎛⎫+=⇒+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 23023662x x ππππ⎡⎤⎡⎤∈⇒+∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，，，设32,[,]662t x t πππ=+∈，所以sin 2t a =有两个解， 结合图像可知1212a ≤< 故1142a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，．4．（2022·山东潍坊·高一期中）已知函数()33sin 26sin sin 644f x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．(1)求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间；(2)若函数()y f x k =-在区间130,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有且仅有两个零点12,x x ，求k 的取值范围，并求12x x +的值．【答案】(1)最小正周期π，单调递增区间为(),63k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ；(2)k 的范围为()33,0,32⎛⎫--⋃ ⎪⎝⎭，12x x +为53π或23π.(1)因为()33sin 26sin sin 644f x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()3cos 223sin cos sin cos 2x x x x x x =++-()22cos 223sin c 3s 2o x x x x =+-cos 223cos 223x x x =- 63sin 2x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以()f x 的最小正周期22T ππ==， 令222262k x k πππππ-≤-≤+，k ∈Z ，则()63k x k k ππππ-≤≤+∈Z ，所以()f x 的单调递增区间为(),63k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z .(2)由题意，()0f x k -=在130,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有且仅有两个解12,x x ，即()y f x =与y k =在130,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有且仅有两个交点，由130,12x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则2,266x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，设26t x π=-，则3sin ,,26y t t ππ⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦， 3sin ,,26y t t ππ⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦的图象如下，由图知：k 的取值范围为()33,0,32⎛⎫--⋃ ⎪⎝⎭， 设3sin y t =与y k =在,26ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的两个交点的横坐标分别为12,t t ， 当33,2k ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭时12,t t 关于32t π=对称，即12,x x 关于56x π=对称，则1253x x π+=； 当()0,3k ∈时12,t t 关于2t π=对称，即12,x x 关于3x π=对称，则1223x x π+=； 综上，12x x +的值是53π或23π. 5．（2022·辽宁·鞍山一中高一期中）已知函数()()sin 22f x x πϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭的图像向左平移6π个单位，得到函数()g x 的图像，且()g x 为偶函数．(1)求函数()f x 和()g x 的解析式；(2)若对a ∀，[]0,b m ∈．当a b <时，都有()()()()f b f a g a g b ->-成立，求m 的取值范围；(3)若关于x 的方程()()f x g x k +=在130,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有四个不等实根1x ，2x ，3x ，()41234x x x x x <<<，求k 的取值范围和123422x x x x +++的值．【答案】(1)()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭，()cos2g x x =(2)012m π<≤.(3)32<k ，132π (1)由题意()sin 263g x f x x ππϕ⎛⎫⎛⎫=+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 因为()g x 为偶函数，所以()()g x g x -=，即sin 2sin 233x x ππϕϕ⎛⎫⎛⎫-++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以32k ππϕπ+=+，k Z ∈， 而2πϕ<，故0k =，6π=ϕ，()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭，()sin 2cos 22π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭g x x x ． (2)对a ∀，[]0,b m ∈，a b <，都有()()()()f b f a g a g b ->-，()()()()f b g b f a g a +>+，设()()()h x f x g x =+，则()h x 在[]0,m 单调递增．又()()()3sin 2cos 22cos 22623h x f x g x x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=++=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令23u x π=+，则,233u m ππ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦，y u =在,233u m ππ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦递增， 故232m ππ+≤，012m π<≤．(3)()()()23h x f x g x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，令23t x π=+，则14,33t ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 则sint =恰有4个不等实根1t ，2t ，3t ，4t ，则32<k ，不妨设1234t t t t <<<， 函数()sin t t ϕ=，14,33t ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦与函数y =4个交点，如图所示（略），()sin t t ϕ=在,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，35,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，79,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦递增，在3,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，57,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，914,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦递减，1433ππϕϕ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭591222πππϕϕϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，37122ππϕϕ⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 12322t t π+=，23522t t π+=，34722t t π+=，12342215t t t t π+++=， ()1234222215x x x x ππ++++=，123413222x x x x π+++=． 6．（2022·陕西·西安建筑科技大学附属中学高一阶段练习）已知函数()()cos f x A x ωϕ=+（0A >，0>ω，2πϕ≤）的部分图象大致如图．(1)求()f x 的单调递增区间．(2)将函数()f x 的图象向右平移4π个单位长度得到曲线C ，把C 上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍得到函数()g x 的图象．若关于x 的方程()0g x m -=在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不同的实数解，求实数m 的取值范围．【答案】(1)5,1212k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，Z k ∈(2)[)1,2 (1)根据图象，可得1A =，由124312πππω⋅=-，得2ω=． 所以()()cos 2f x x φ=+，由2012πϕ⨯+=，得6πϕ=-， 所以()cos 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭． 令2226k x k ππππ-≤-≤，Z k ∈，得51212k x k ππππ-+≤≤+，Z k ∈， 所以()f x 的单调递增区间为5,1212k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，Z k ∈． (2)将函数()y f x =的图象向右平移4π个单位长度得到曲线C ：cos 2sin 2466y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，再把C 上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍得到()2sin 26g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象． 由()0g x m -=在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不同的实数解，即2sin 26m x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不同的实数解， 因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，设26t x π=-，则5,66t ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则需直线y m =与2sin y t =的图象在5,66t ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦两个不同的公共点．画出2sin y t =在5,66t ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时的简图如下：1,2．所以实数m的取值范围为[)。
数学高考总复习：三角函数的图象与性质经典例题
经典例题精析类型一：周期1. 求下列函数的周期：（1）；（2）思路点拨：先转化为或的形式的三角函数，再求周期.解析：（1），∴周期为；（2）函数的周期，∴周期为.总结升华：①求三角函数式的最小正周期时，要尽可能地化为只含一个三角函数，且三角函数的次数为1的形式：或，否则很容易出现错误。
②二者的共同点是，如：的周期是，的周期是.举一反三：【变式】求函数的最小正周期．（1）；（2）；（3）【答案】（1），∴周期为；（2），∴周期为；（3），∴周期为；类型二：定义域2．求函数的定义域。
思路点拨：找出使函数有意义的不等式组，并解答即可.解析：将上面的每个不等式的范围在数轴上表示出来，然后取公共部分，由于x∈[-5,5]，故下面的不等式的范围只取落入[-5，5]之内的值，即：∴因此函数的定义域为：。
总结升华：①sinx中的自变量x的单位是“弧度”，x∈R，不是角度。
求定义域时，若需先把式子化简，一定要注意变形时x的取值范围不能发生变化。
②求三角函数的定义域，要解三角不等式，常用的方法有二：一是图象，二是三角函数线.举一反三：【变式1】求函数的定义域：（1）；（2）.【答案】（1）要使得函数有意义，需满足，解得或，∴定义域为：.（2）要使得函数有意义，需满足解得∴定义域为：【变式2】已知的定义域为，求的定义域.【答案】∵中，∴中，解得，∴的定义域为：.类型三：三角函数的图象3．已知函数（1）用五点法作出它的图象；（2）指出这个函数的振幅、周期、频率、初相和单调区间；（3）说明该函数的图象可由的图象经过怎样的变换而得到？解析：（1）.列表描点绘图如下:0 2xy 0 2 0 -2 0（2）如图可知，此函数的振幅是2，周期为，频率为，初相为.单调增区间为 k∈Z ，单调减区间为k∈Z.（3）总结升华： ①五点法作(,)的简图时，五点取法是设，由取0、、 、、来求相应的值及对应的值，再描点作图；②由的图象变换出的图象一般先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现，无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少；③此处的难点是函数图象的平移，可以选择画出图象后观察；也可以直接由函数式子利用特殊位置点（如：首点、波峰、波谷等）的坐标判定，但其前提是两个函数的名称以及的系数是相同的.举一反三： 【变式1】由的图象得到的图象需要向__________平移________个单位.【答案】左，；∵， ∴由的图象得到的图象需要向左平移个单位.【变式2】试述如何由的图象得到的图象.【答案】方法一：.方法二：.【变式3】画出函数在区间上的图象.【答案】由知道：x 0y －1 0 1 0故函数在区间上的图象：4. 下图是函数（，）的图象．则、的值是（）A．，B．，C．， D．，解析：由图象可得：∵，由得，由，得∴（）由，得．满足时，或．由此得到，．注意到，即，因此，这样就排除了．∴，总结升华：因为函数是周期函数，所以仅靠图像上的三个点，不能完全确定A、ω、φ的值．本题虽然给出了，的条件，但是仅靠(0，1 )、两点，不能完全确定ω、φ的值．在确定ω的过程中，比较隐蔽的条件（）起了重要作用．举一反三：【变式1】将函数的图象按向量平移，平移后的图象如图所示，则平移后的图象所对应函数的解析式是（）A． B．C．D．【答案】C；把点代入选项即得。
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三角函数的图象和性质·典型例题解：在单位圆中，作出锐角α在正弦线MP，如图2-9所示在△MPO中，MP+OM＞OP=1即MP+OM＞1∴sinα+cosα＞1于P1，P2两点，过P1，P2分别作P1M1⊥x轴，P2M2⊥x轴，垂足分k∈Z}【说明】学会利用单位圆求解三角函数的一些问题，借助单位圆求解不等式的一般方法是：①用边界值定出角的终边位置；②根据不等式定出角的范围；③在[0，2π]中找出角的代表；④求交集，找单位圆中重叠的部分；⑤写出角的范围的表达式，注意加周期．【例3】求下列函数的定义域：解：(1)为使函数有意义，需满足2sin2x+cosx-1≥0由单位圆，如图2-12所示k∈Z}【说明】求函数的定义域通常是解不等式组，利用“数形结合”，借助于数轴画线求交集的方法进行．在求解三角函数，特别是综合性较强的三角函数的定义域，我们同样可以利用“数形结合”，在单位圆中画三角函数线，求表示各三角不等式解集的扇形区域的交集来完成．(4)为使函数有意义，需满足：取k=0和-1时，得交集为-4＜x≤-π或0≤x≤π∴函数的定义域为(-4，-π]∪[0，π]【说明】求三角函数的定义域要注意三角函数本身的特征和性质，如在转化为不等式或不等式组后要注意三角函数的符号及单调性，在进行三角函数的变形时，要注意三角函数的每一步变形都保持恒等，即不能改变原函数的自变量的取值范围．【例4】求下列函数的值域：∴此函数的值域为{y|0≤y＜1}∵1+sinx+cosx≠0 ∴t≠-1【说明】求三角函数的值域，除正确运用必要的变换外，还要注意函数的概念的指导作用，注意利用正、余弦函数的有界性．【例5】判断下列函数的奇偶性：【分析】先确定函数的定义域，然后根据奇函数成偶函数的定义判断函数的奇偶性．∵f(1-x)=-sin(-2x)=sin2x=-f(x)(2)函数的定义域为R，且f(-x)=sin[cos(-x))=sin(cosx)=f(x)∴函数f(x)=sin(cosx)是偶函数．(3)因1+sinx≠0，∴sinx≠-1，函数的定义域为{x|x∈R且x≠2k既不是奇函数，也不是偶函数．【例6】求下列函数的最小正周期：【分析】欲求三角函数的周期，一般是把三角函数f(x)化成易求周期的函数y=Asin(ωx+ϕ)+b或y=Acos(ωx+ϕ)+b的等形式．函数y=Asin(ω“多个化一个，高次化一次”，将所给函数化成单角单函数．(2)y=cos4x+sin4x=(cos2x+sin2x)2-2sin2xcos2x=|cosx|+|sinx|=f(x)正周期．(x+T)|+|cos(x+T)|=|sinx|+|cosx|都成立．特别当x=0时，有|sinT|+|cosT|=sinT【例8】求下列各函数的最大值、最小值，并且求使函数取得最大值、最小值的x的集合．∴使y取得最大值的x的集合为{x|x=(2kπ+1)π，k∈Z}∴使y取得最小值的x的集合为{x|x=2kπ，k∈Z}当cosx=1，即x=2kπ(k∈Z)时，y取得最大值3．【说明】求三角函数的最值的类型与方法：1．形如y=asinx+b或y=acosx+b，可根据sinx，cosx的有界性来求最值；2．形如y=asin2x+bsinx+c或y=acos2x+bcosx+c看成是关于sinx或cosx 的二次函数，变为y=a(sinx+m)2+k或y=a(cosx+m)2+k，但要注意它与二次函数求最值的区别，此时|sinx|≤1，|cosx|≤1【例9】求下列函数的单调区间：【分析】复杂三角函数的单调区间是运用基本函数的单调性及单调区间得出的．(2)函数y=sin2x-2sinx+2，是由y=u2-2u+2及u=sinx及复合而成，∴|u|≤1【例10】当a≥0，求函数f(x)=(sinx+a)(cosx+a)的最大值、最小值，及相应的x的取值．【分析】本题对f(x)解析式的变换关键在于认识解析式中两项间的内在联系，从而断定f(x)解析式中的平方关系，另外本题含字母系数，要分清常数和变量，还要有对字母a作分类讨论的准备．解：f(x)=(sinx+a)(cosx+a)=sinxcosx+a(sinx+cosx)+a2由于a是常数，故这里只要求y=(sinx+cosx+a)2的最大值、最小值．合物线的图象如图2-14所示两种可能．【说明】象本例这种解析式中含字母系数的函数研究其性质，常常要运用分类讨论的思想，其中为什么要分类，怎么分类和讨论是两个基本问题．【例11】函数f(x)=Asin(ωx+ϕ)的图象如图2-15，试依图指出(1)f(x)的最小正周期；(2)使f(x)=0的x的取值集合；(3)使f(x)＜0的x的取值集合；(4)f(x)的单调递增区间和递减区间；(5)求使f(x)取最小值的x的集合；(6)图象的对称轴方程；(7)图象的对称中心．【分析】这是一道依图象读出相应函数性质的典型例题，本身就是数形结合思想的体现，它根据f(x)=Asin(ωx+ϕ)的图象与函数y=sinx的图象的关系得出．注：得出函数f(x)的最小正周期之后，研究f(x)的其他性质，总是先在包含锐角在内的一个周期中研究，再延伸到整个定义域中．注：实际上f(x)图象的对称轴方程为x=x0，而其中x0使f(x0)=1或f(x0)=-1注：f(x)的图象的对称中心为(x0，0)，其中x0使f(x0)=0【说明】这种依图读性的问题是提高数形结合能力的重要训练题，其中有两点要注意反思：①周期性在研究中的化简作用，②三角函数的“多对一”性．【例12】求如图2-16所示的函数解析式．(ω＞0，θ∈[0，2π])【分析】由图象确定函数的解析式，就要观察图象的特性，形状位置和所给的条件．通过判断、分析和计算确定A，ω、θ得到函数的解析式．【例13】设y=Asin(ωx+ϕ)(A＞0，ω＞0，|ϕ|＜π)最高点D的标为(6，0)，(1)求A、ω、ϕ的值；(2)求出该函数的频率，初相和单调区间．y单调递增故递增区间为[16k-6，16k+2]，k∈Zy单调递减故递减区间为[16k+2，16k+10]，k∈ZA．sinθ＜cosθ＜ctgθB．cosθ＜sinθ＜ctgθC．sinθ＜ctgθ＜cosθD．cosθ＜ctgθ＜sinθ解一(直接法)：故选A．解二(图解法)：作出三角函数线，如图2-17MP=sinθ，OM=cosθ，BS=ctgθ通过观察和度量得MP＜OM＜BS 从而有sinθ＜cosθ＜ctgθ∴应选A∴cosθ＞sinθ从而可剔除B、D．再由sinθ＜ctgθ，故可剔除C 故选A解四(特殊值法)：B、C、D，应选A．【说明】此例题用多种方法求解选项，指出3种选择题的技巧．∴应选Dx轴交点中在原点右边最接近原点的交点，而在原点左边与x轴交点中最的图象．∴选D【说明】 y=Asin(ωx+ )(A＞0，ω＞0)x∈R的图象可由y=sinx的图象经下列各种顺序变换得到的．(1)先平移，后伸缩：①把y=sinx的图象向左(ϕ＞0)或向右(ϕ＜0)沿x轴方向平移|ϕ|个单位；(相位变换)(周期变换)③把所有各点纵坐标伸长(A＞1)或缩短(0＜A＜1)到原来的A倍，横坐标不变(振幅变换)(2)先伸缩，后平移①把y=sinx图象上各点的横坐标缩短(ω＞1)或伸长(0＜ω＜1)到原(相位变换)③把所有各点纵坐标伸长(A＞1)或缩短(0＜A＜1)到原来的A倍横坐标不变(振幅变换)再把横坐标缩小到原来的一半，纵坐标扩大到原来的4倍，则所得的图象的解析式是 [ ]∴选A．【例17】方程sin2x=sinx在区间(0，2π)内解的个数是[ ]A．1 B．2 C．3D．4【分析】本题有两类解法(1)求出方程在(0，2π)内的所有解，再数其解的个数．而决定选项，对于选择题，此法一般不用．(2)在同一坐标系中作出函数y=sin2x和y=sinx的图象，如图2-18所示．它们在(0，2π)内交点个数，即为所求方程解的个数，从而应选C．它体现了数、形的结合．【例18】设函数f(x)是定义在R上的周期为3的奇函数，且f(1)=2，则f(5)=____解：∵f(x)是奇函数，且f(1)=2，∴f(-1)=-2又∵f(x)是周期为3的函数．∴f(3+x)=f(x)∴f(-1+3)=f(-1)=-2 即f(2)=-2f(2+3)=f(2)=-2 即f(5)=-2【例19】有一块扇形铁板，半径为R，圆心角为60°，从这个扇形中切割下一个内接矩形，即矩形的各个顶点都在扇形的半径或弧上，求这个内接矩形的最大面积．【分析】本题入手要解决好两个问题．(1)内接矩形的放置有两种情况，如图2-19所示，应该分别予以处理．(2)求最大值问题这里应构造函数，怎么选择便于以此表达矩形面积的自变量．解：如图2-19(1)设∠FOA=θ，则FG＝Rsinθ又设矩形EFGH的面积为S，那么又∵0°＜θ＜60°，故当cos(2θ－60°)＝1，即θ=30′时，如图2-19 (2)，设∠FOA＝θ，则EF＝2Rsin(30°-θ)，在△OFG中，∠OGF＝150°设矩形的面积为S．那么S＝EFFG＝4R2sinθsin(30°-θ)＝2R2［cos(2θ-30°)－cos30°]又∵0＜θ＜30°，故当cos(2θ-30°)＝1。