卓越数学试题
河北省石家庄卓越中学2024-2025学年高一上学期第一次月考数学试题
河北省石家庄卓越中学2024-2025学年高一上学期第一次月考数学试题一、单选题1．“1x =”是“21x =”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．命题“x R ∀∈，21x x +≥”的否定是（ ） A ．x R ∀∈，21x x +< B ．x R ∀∈，21x x +≤C ．0x ∃∈R ，2001x x +<D ．0x ∃∈R ，2001x x +≥3．下列命题中正确的（ ）A ．0与{}0表示同一个集合；B ．由1，2，3组成的集合可表示为{}1,2,3或{}3,2,1；C ．方程()()2120x x --=的所有解的集合可表示为{}1,1,2； D ．集合{}45x x <<可以用列举法表示．4．设A 、B 是非空数集，定义：A ⊕B ={a +b |a ∈A ，b ∈B }，若A ={1，2，3}，B ={4，5，6}，则集合A ⊕B 的元素个数为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．75．若关于x 的方程260x px -+=和260x x q +-=的解集分别为M ，N ，且{}2M N =I ，则p q +=（ ）．A ．21B ．8C ．7D ．66．已知集合A ＝{x |ax 2+2x +a ＝0，a ∈R }，若集合A 有且仅有2个子集，则a 的取值是（ ）A ．1B ．﹣1C ．0，1D ．﹣1，0，1 7．设全集U 是实数集R ，M={x|x>2或x<-2}，N={x|x ≥3或x<1}都是U 的子集，则图中阴影部分所表示的集合是（ ）A ．{x|-2≤x<1}B ．{x|-2≤x ≤2}C ．{x|1<x ≤2}D ．{x|x<2}8．命题“[]2,1x ∃∈-，20x x a -->”为假命题的一个充分不必要条件是（ ）A ．14a -≤B ．0a ≤C ．6a ≥D ．8a ≥二、多选题9．下列说法中，正确的是（ ）AB ．自然数集N 中最小的元素是0C ．在数集Z 中，若a ∈Z ，则a -∈ZD ．一个集合中可以有两个相同的元素10．设集合{}23,2,4A x x x =-+-，且5A ∈，则x 的值可以为（ ）A ．3B ．1-C ．5D ．3-11．若2:60p x x +-=是:10q ax +=的必要不充分条件，则实数a 的值可以为（ ）A ．2B ．12-C ．13D ．3三、填空题12．含有三个实数的集合可表示为,,1ba a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，也可以示为{}2,,0a a b +，则20232024a b +的值为. 13．某校有21个学生参加了数学小组，17个学生参加了物理小组，10个学生参加了化学小组，其中同时参加数学、物理小组的有12人，同时参加数学、化学小组的有6人，同时参加物理、化学小组的有5人，同时参加3个小组的有2人，现在这3个小组的学生都要乘车去市里参加数理化竞赛，则需要预购张车票.14．设全集{}22,4,5U m m =+-，集合{2,1}A m =-，若{1}U A =ð，则实数m =．四、解答题15．已知全集U 为R ，集合A={x|0<x ≤2}，B={x|-2<x+1<2}，求：（1）A ∩B ;（2）(∁UA )∩(∁UB )．16．设集合{|(2)()0,R}A x x x a a =--=∈，{|(1)0}B x x x =-=．(1)若1a =，求A B ⋂，A B U ；(2)设C A B =U ，若集合C 有8个子集，求a 的取值集合．17．已知集合{}{}{}2200,36,121,A x x x B x x C x m x m m R =--<=-<<=-≤≤+∈． (1)求集合,A B A B I U ；(2)若()C A B ⊆I ，求实数m 的取值范围．18．已知集合{}24A x x =-<<，{}0B x x m =-<．（1）若3m =，全集U A B =⋃，试求()U A B ∩ð；（2）若A B =∅I ，求实数m 的取值范围；（3）若A B A =I ，求实数m 的取值范围．19．设非空集合A 中的元素都是实数，且满足：若()0,1m A m m ∈≠≠，则11A m∈-． （1）若1A -∈，求出A 中的另外两个元素；（2）给出命题“A 中至少有三个元素”，判断该命题是否正确，并证明你的判断； （3）若A 中的元素个数不超过7个，所有元素之和为7112，所有元素的积恰好等于A 中某个元素的平方，求集合A ．。
2023-2024学年安徽省合肥卓越中学高二(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年安徽省合肥卓越中学高二（上）期中数学试卷一、单选题（本题共计8小题，总分40分）1．经过A(0，√3)，B （3，0）两点的直线的倾斜角为（ ） A ．5π6B ．π6C ．2π3D ．π32．以点A （1，﹣2）为圆心，且与直线x +y ＝0相切的圆的方程为（ ） A ．(x −1)2+(y +2)2=12 B ．(x −1)2+(y +2)2=92 C ．(x +1)2+(y −2)2=12D ．(x +1)2+(y −2)2=923．已知a →=(2x ，1，3)，b →=(1，3，9)，如果a →与b →为共线向量，则x ＝（ ） A ．1B ．12C ．13D ．164．经过两条直线l 1：x +y ＝2，l 2：2x ﹣y ＝1的交点，且直线的一个方向向量v →=（﹣3，2）的直线方程为（ ） A ．2x +3y ﹣5＝0B ．2x +y +2＝0C ．x +2y ﹣2＝0D ．x ﹣y ﹣7＝05．如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为AB ，B 1C 的中点，若AB ＝a ，则MN 的长为（ ）A ．√32a B ．√33a C ．√55a D ．√155a 6．已知（x 1+2）2+y 12=5，x 2+2y 2＝4，（x 1﹣x 2）2+（y 1﹣y 2）2的最小值为（ ）A ．√55B ．15C ．6√55D ．3657．在我国古代的数学名著《九章算术》中，堑堵指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，鳖臑指的是四个面均为直角三角形的三棱锥．如图，在堑堵ABC ﹣A 1B 1C 1中，∠ACB ＝90°，AB ＝2，AA 1＝4，当鳖臑A 1﹣ABC 的体积最大时，直线B 1C 与平面ABB 1A 1所成角的正弦值为（ ）A ．√346B ．3√1010C ．√26D ．√10108．已知椭圆x 29+y 26=1，F 1，F 2为两个焦点，O 为原点，P 为椭圆上一点，cos ∠F 1PF 2=35，则|PO |＝（ ） A ．25B ．√302C ．35D ．√352二、多选题（本题共计4小题，总分20分）9．已知平面α的一个法向量为n →=(1，2，−1)，以下四个命题正确的有（ ） A ．若直线l 的一个方向向量为u →=(−2，−4，2)，则l ∥α B ．若直线l 的一个方向向量为u →=(−2，−4，2)，则l ⊥α C ．若平面β的一个法向量为m →=(1，0，1)，则α∥β D ．若平面β的一个法向量为m →=(1，0，1)，则α⊥β 10．已知方程x 2+y 2﹣4x +8y +2a ＝0，则下列说法正确的是（ ） A ．当a ＝10时，表示圆心为（2，﹣4）的圆 B ．当a ＜10时，表示圆心为（2，﹣4）的圆 C ．当a ＝0时，表示的圆的半径为2√5D ．当a ＝8时，表示的圆与y 轴相切11．已知m →=(1，a +b ，a −b)（a ，b ∈R ）是直线l 的方向向量，n →=(1，2，3)是平面α的法向量，则下列结论正确的是（ ） A ．若l ∥α，则5a ﹣b +1＝0 B ．若l ∥α，则a +b ﹣1＝0C ．若l ⊥α，则a +b ﹣2＝0D ．若l ⊥α，则a ﹣b ﹣3＝012．如图所示，一个底面半径为√2的圆柱被与其底面所成的角为θ＝45°的平面所截，截面是一个椭圆，则（ ）A ．椭圆的长轴长为4B ．椭圆的离心率为√24C ．椭圆的方程可以为x 24+y 22=1D ．椭圆上的点到焦点的距离的最小值为2−√2三、填空题（本题共计4小题，总分20分）13．两直线3x +y ﹣3＝0与6x +my +4＝0平行，则它们之间的距离为 ． 14．圆x 2+y 2＝4与圆x 2+y 2+2y ﹣6＝0的公共弦长为 ．15．如图，平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是边长为1的正方形，且∠A 1AD ＝∠A 1AB ＝60°，AA 1＝2，则线段AC 1的长为 ．16．古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点距离之比为定值λ（λ＞0且λ≠1）的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿氏圆”．在平面直角坐标系xOy 中，点A （0，3），满足|MA |＝2|MO |的动点M 的轨迹为C ，若在直线l ：ax ﹣y +3a ＝0上存在点P ，在C 上存在两点A 、B ，使得P A ⊥PB ，则实数a 的取值范围是 ．四、解答题（本题共计6小题，总分70分）17．（10分）在平行四边形ABCD 中，A （﹣1，2），B （1，3），C （3，﹣1），点E 是线段BC 的中点． （1）求直线CD 的方程；（2）求过点A 且与直线DE 垂直的直线．18．（12分）如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 为DD 1的中点． （1）证明：直线BD 1∥平面ACE ；（2）求异面直线CD 1与AE 所成角的余弦值．19．（12分）已知圆C 的圆心坐标为（1，1），直线l ：x +y ＝1被圆C 截得的弦长为√2．（1）求圆C 的方程；（2）求经过点P （2，3）且与圆C 相切的直线方程．20．（12分）如图，在四棱台ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，底面为矩形，平面AA 1D 1D ⊥平面CC 1D 1D ，且CC 1＝CD ＝DD 1=12C 1D 1=2．（1）证明：AD ⊥平面CC 1D 1D ；（2）若∠A 1CD 1=π3，求平面A 1AC 与平面ABC 夹角的余弦值．21．（12分）如图，相距14km 的两个居民小区M 和N 位于河岸l （直线）的同侧，M 和N 距离河岸分别为10km 和8km ．现要在河的小区一侧选一地点P ，在P 处建一个生活污水处理站，从P 排直线水管PM ，PN 分别到两个小区和垂直于河岸的水管PQ ，使小区污水经处理后排入河道．设PQ 段长为t km （0＜t ＜8）．（1）求污水处理站P 到两小区的水管的总长最小值（用t 表示）；（2）请确定污水处理站P 的位置，使所排三段水管的总长最小，并求出此时污水处理站分别到两小区水管的长度．22．（12分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)的上顶点与左、右焦点连线的斜率之积为−45．（1）求椭圆C 的离心率；（2）已知椭圆C 的左、右顶点分别为A ，B ，且|AB |＝6，点M 是C 上任意一点（与A ，B 不重合），直线MA ，MB 分别与直线l ：x ＝5交于点P ，Q ，O 为坐标原点，求OP →⋅OQ →．2023-2024学年安徽省合肥卓越中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单选题（本题共计8小题，总分40分）1．经过A(0，√3)，B （3，0）两点的直线的倾斜角为（ ） A ．5π6B ．π6C ．2π3D ．π3解：A(0，√3)，B （3，0），则k AB =0−√33−0=−√33，所以直线的倾斜角为5π6．故选：A ．2．以点A （1，﹣2）为圆心，且与直线x +y ＝0相切的圆的方程为（ ） A ．(x −1)2+(y +2)2=12 B ．(x −1)2+(y +2)2=92 C ．(x +1)2+(y −2)2=12D ．(x +1)2+(y −2)2=92解：由直线x +y ＝0为圆的切线，得圆的半径r =|1−2|√1+1=1√2， 所以所求圆的方程为(x −1)2+(y +2)2=12． 故选：A ．3．已知a →=(2x ，1，3)，b →=(1，3，9)，如果a →与b →为共线向量，则x ＝（ ） A ．1B ．12C ．13D ．16解：∵a →与b →为共线向量，∴2x 1=13=39，解得x =16，故选：D ．4．经过两条直线l 1：x +y ＝2，l 2：2x ﹣y ＝1的交点，且直线的一个方向向量v →=（﹣3，2）的直线方程为（ ） A ．2x +3y ﹣5＝0B ．2x +y +2＝0C ．x +2y ﹣2＝0D ．x ﹣y ﹣7＝0解：联立{x +y =22x −y =1，解得x ＝1，y ＝1，即交点为（1，1），因为直线的一个方向向量v →=（﹣3，2），所以直线的斜率k =−23， 所以直线方程为y ﹣1=−23（x ﹣1），即2x +3y ﹣5＝0． 故选：A ．5．如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为AB ，B 1C 的中点，若AB ＝a ，则MN 的长为（ ）A ．√32aB ．√33aC ．√55aD ．√155a解：设AB →=i →，AD →=j →，AA 1→=k →，则{i →，j →，k →}构成空间的一个正交基底．可得MN →=MB →+BC →+CN →=12i →+j →+12(−j →+k →)=12i →+12j →+12k →，故|MN →|2=14a 2+14a 2+14a 2=34a 2，所以MN =√32a ．故选：A ．6．已知（x 1+2）2+y 12=5，x 2+2y 2＝4，（x 1﹣x 2）2+（y 1﹣y 2）2的最小值为（ ）A ．√55B ．15C ．6√55D ．365解：设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则A 为圆（x +2）2+y 2＝5上的点，B 为直线x +2y ＝4上的点，（x 1﹣x 2）2+（y 1﹣y 2）2的几何意义为圆上的点A 与直线上的点B 的距离的平方， 圆心（﹣2，0）到直线x +2y ＝4的距离为d =|−2−4|√5=6√55＞√5， ∴|AB|min =6√55−√5=√55， ∴|AB |2的最小值为15．故选：B ．7．在我国古代的数学名著《九章算术》中，堑堵指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，鳖臑指的是四个面均为直角三角形的三棱锥．如图，在堑堵ABC ﹣A 1B 1C 1中，∠ACB ＝90°，AB ＝2，AA 1＝4，当鳖臑A 1﹣ABC 的体积最大时，直线B 1C 与平面ABB 1A 1所成角的正弦值为（ ）A ．√346B ．3√1010C ．√26D ．√1010解：在堑堵ABC ﹣A 1B 1C 1中，∠ACB ＝90°，AB ＝2，AA 1＝4， 当鳖臑A 1﹣ABC 体积最大时，AC ＝BC =√2，以C 为原点，CA 为x 轴，CB 为y 轴，CC 1为z 轴，建立空间直角坐标系，B 1（0，√2，4），C （0，0，0），A （√2，0，0），B （0，√2，0）， B 1C →=（0，−√2，﹣4），BA →=（√2，−√2，0），BB 1→=（0，0，4）， 设平面ABB 1A 1的法向量n →=（x ，y ，z ），则{n →⋅BA →=0n →⋅BB 1→=0，即{√2x −√2y =04z =0，取x ＝1，得n →=（1，1，0），设直线B 1C 与平面ABB 1A 1所成角为θ，直线B 1C 与平面ABB 1A 1的法向量n →所成的角为α， 则sin θ＝cos α=|B 1C →⋅n →||B 1C →|⋅|n →|=√2√2+16⋅√2=√26，∴直线B 1C 与平面ABB 1A 1所成角的正弦值为√26． 故选：C ． 8．已知椭圆x 29+y 26=1，F 1，F 2为两个焦点，O 为原点，P 为椭圆上一点，cos ∠F 1PF 2=35，则|PO |＝（ ） A ．25B ．√302C ．35D ．√352解：已知椭圆x 29+y 26=1，F 1，F 2为两个焦点，则c =√9−6=√3，又O 为原点，P 为椭圆上一点， 设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ， 不妨m ＞n ，可得m +n ＝6，①结合余弦定理可得：4c 2＝m 2+n 2﹣2mn cos ∠F 1PF 2， 又cos ∠F 1PF 2=35，即12=m 2+n 2−65mn ，② 结合①②可得mn =152，m 2+n 2＝21， 又PO →=12(PF 1→+PF 2→)，可得|PO|2=14(PF 1→2+PF 2→2+2PF 1→⋅PF 2→)=14(m 2+n 2+2mncos∠F 1PF 2)=14(m 2+n 2+65mn)=14(21+65×152)=152． 可得|PO|=√302． 故选：B ．二、多选题（本题共计4小题，总分20分）9．已知平面α的一个法向量为n →=(1，2，−1)，以下四个命题正确的有（ ） A ．若直线l 的一个方向向量为u →=(−2，−4，2)，则l ∥α B ．若直线l 的一个方向向量为u →=(−2，−4，2)，则l ⊥α C ．若平面β的一个法向量为m →=(1，0，1)，则α∥β D ．若平面β的一个法向量为m →=(1，0，1)，则α⊥β 解：对于AB ：平面α的一个法向量为n →=(1，2，−1)， 直线l 的一个方向向量为u →=(−2，−4，2)， 所以n →⋅u →=−2−8−2=−12≠0， 所以n →与u →不垂直， 又u →=−2n →， 所以u →//n →，所以l ⊥α，故A 错误，B 正确；对于CD ：平面α的一个法向量为n →=(1，2，−1)， 平面β的一个法向量为m →=(1，0，1)，，所以n →⋅m →=1+0−1=0， 所以n →⊥m →，所以α⊥β，故C 错误，D 正确； 故选：BD ．10．已知方程x 2+y 2﹣4x +8y +2a ＝0，则下列说法正确的是（ ） A ．当a ＝10时，表示圆心为（2，﹣4）的圆 B ．当a ＜10时，表示圆心为（2，﹣4）的圆 C ．当a ＝0时，表示的圆的半径为2√5D ．当a ＝8时，表示的圆与y 轴相切解：根据题意，方程x 2+y 2﹣4x +8y +2a ＝0，变形可得（x ﹣2）2+（y +4）2＝20﹣2a ， 依次分析选项：对于A ，a ＝10时，方程为（x ﹣2）2+（y +4）2＝0，不能表示圆，A 错误； 对于B ，当a ＜10时，20﹣2a ＞0，方程表示圆心为（2，﹣4）的圆，B 正确，对于C ，当a ＝0时，方程为（x ﹣2）2+（y +4）2＝20，表示圆心为（2，﹣4），半径为2√5的圆，C 正确；对于D ，当a ＝8时，方程为（x ﹣2）2+（y +4）2＝4，表示圆心为（2，﹣4），半径为2的圆，与y 轴相切，D 正确； 故选：BCD ．11．已知m →=(1，a +b ，a −b)（a ，b ∈R ）是直线l 的方向向量，n →=(1，2，3)是平面α的法向量，则下列结论正确的是（ ） A ．若l ∥α，则5a ﹣b +1＝0 B ．若l ∥α，则a +b ﹣1＝0C ．若l ⊥α，则a +b ﹣2＝0D ．若l ⊥α，则a ﹣b ﹣3＝0解：根据题意，m →=(1，a +b ，a −b)（a ，b ∈R ）是直线l 的方向向量，n →=(1，2，3)是平面α的法向量，若l ∥α，则m →⊥n →，则有m →⋅n →=0，即1+2（a +b ）+3（a ﹣b ）＝0，即5a ﹣b +1＝0，A 正确，B 错误； 若l ⊥α，则m →∥n →，则有11=a+b 2=a−b 3，变形可得a +b ﹣2＝0且a ﹣b ﹣3＝0，C 、D 正确． 故选：ACD ．12．如图所示，一个底面半径为√2的圆柱被与其底面所成的角为θ＝45°的平面所截，截面是一个椭圆，则（ ）A ．椭圆的长轴长为4B ．椭圆的离心率为√24C ．椭圆的方程可以为x 24+y 22=1D ．椭圆上的点到焦点的距离的最小值为2−√2解：设椭圆长半轴长为a ，短半轴长为b ，半焦距为c ， 由图可得2a cos45°＝2√2，解得a ＝2， 又b =√2，c ²＝a ²﹣b ²＝4﹣2＝2，解得c =√2， 所以椭圆的长轴长为4，故A 正确； 离心率e =ca =√22，故B 错误； 椭圆的方程为x 24+y 22=1，故C 正确；椭圆上的点到焦点的距离的最小值为2−√2，故D 正确； 故选：ACD ．三、填空题（本题共计4小题，总分20分）13．两直线3x +y ﹣3＝0与6x +my +4＝0平行，则它们之间的距离为√102． 解：两直线3x +y ﹣3＝0与6x +my +4＝0平行，则3m ＝6，即m ＝2， 直线6x +my +4＝0化为：3x +y +2＝0，于是√32+12=√102． 所以所求距离为√102． 故答案为：√102． 14．圆x 2+y 2＝4与圆x 2+y 2+2y ﹣6＝0的公共弦长为 2√3 ． 解：由已知圆x 2+y 2＝4的圆心为A （0，0），半径r 1＝2，圆x 2+y 2+2y ﹣6＝0，即x 2+（y +1）2＝7的圆心为B （0，﹣1），半径r 2=√7， 联立{x 2+y 2=4x 2+y 2+2y −6=0，作差可得2y ＝2，即y ＝1，所以公共弦l 所在的直线方程为y ＝1， 所以点A （0，0）到直线l 的距离d ＝1，所以弦长为2√r 12−d 2=2√4−1=2√3． 故答案为：2√3．15．如图，平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是边长为1的正方形，且∠A 1AD ＝∠A 1AB ＝60°，AA 1＝2，则线段AC 1的长为 √10 ．解：AC 1→2=(AB →+BC →+CC 1→)2=(AB →+AD →+AA 1→)2 =AB →2+AD →2+AA 1→2+2AB →⋅AD →+2AB →⋅AA 1→+2AD →⋅AA 1→＝1+1+4+2×1×2×cos60°+2×1×2×cos60°＝10， 所以AC 1=√10． 故选：B ．16．古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点距离之比为定值λ（λ＞0且λ≠1）的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿氏圆”．在平面直角坐标系xOy 中，点A （0，3），满足|MA |＝2|MO |的动点M 的轨迹为C ，若在直线l ：ax ﹣y +3a ＝0上存在点P ，在C 上存在两点A 、B ，使得P A ⊥PB ，则实数a 的取值范围是 [﹣7，1] ．解：设M （x ，y ），因为A （0，3），C （0，0）， 又因为|MA |＝2|MO |，所以x 2+（y ﹣3）2＝4（x 2+y 2），化简整理可得：x 2+（y +1）2＝4，动点M 的轨迹是以C （0，﹣1）为圆心，以2为半径的圆，因为直线l ：ax ﹣y +3a ＝0过定点（﹣3，0），若在直线l ：ax ﹣y +3a ＝0上存在点P ，在C 上存在两点A 、B ，使得P A ⊥PB ， 由数形结合可知：当A 、B 为圆的切点时点P 到圆心的距离达到最大，此时为√2r ， 所以点P 到圆心的距离小于等于√2r ， 也即√1+a 2≤√2×2，解之可得：﹣7≤a ≤1，所以实数a 的取值范围是[﹣7，1]，故答案为：[﹣7，1]．四、解答题（本题共计6小题，总分70分）17．（10分）在平行四边形ABCD 中，A （﹣1，2），B （1，3），C （3，﹣1），点E 是线段BC 的中点． （1）求直线CD 的方程；（2）求过点A 且与直线DE 垂直的直线．解：（1）∵平行四边形ABCD 中，A （﹣1，2），B （1，3），C （3，﹣1）， ∴CD 直线的斜率，即直线AB 的斜率，为3−21+1=12，故直线CD 的方程为y +1=12（x ﹣3），即x ﹣2y ﹣5＝0． （2）∵点E 是线段BC 的中点，∴点E 坐标为（2，1）． 根据直线CD 的方程：x ﹣2y ﹣5＝0，设点D （2m +5，m ）， 则由AD ∥BC ，可得他们的斜率相等，即m−22m+5−(−1)=3+11−3， 求得m ＝﹣2，可得点D （1，﹣2），故直线DE 的斜率为1+22−1=3．故过点A 且与直线DE 垂直的直线的斜率为−13，故过点A 且与直线DE 垂直的直线为y ﹣2=−13（x +1），即x +3y ﹣5＝0． 18．（12分）如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 为DD 1的中点． （1）证明：直线BD 1∥平面ACE ；（2）求异面直线CD 1与AE 所成角的余弦值．解：（1）证明：如图，连接BD 交AC 于点O ，连接EO ， 由于E 为DD 1的中点，O 为AC 的中点，则EO ∥BD 1， 又因为EO ⊂平面ACE ，BD 1⊄平面ACE ，所以BD 1∥平面ACE ．（2）以D 为原点，DA ，DC ，DD 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2a ，则C （0，2a ，0），D 1（0，0，2a ），A （2a ，0，0），E （0，0，a ）， 所以CD 1→=（0，﹣2a ，2a ），AE →=（﹣2a ，0，a ）， 设CD 1与AE 所成角为θ， 则cos θ＝|cos ＜CD 1→，AE →＞|=|CD 1→⋅AE →||CD 1→||AE →|=|2a 2|√8a 2×√5a 2=√1010，所以CD 1与AE 所成角的余弦值为√1010． 19．（12分）已知圆C 的圆心坐标为（1，1），直线l ：x +y ＝1被圆C 截得的弦长为√2． （1）求圆C 的方程；（2）求经过点P （2，3）且与圆C 相切的直线方程．解：（1）设圆C 的标准方程为：（x ﹣1）2+（y ﹣1）2＝r 2（r ＞0）， 圆心C （1，1）到直线x +y ﹣1＝0的距离d =|1+1−1|√2=√22， 则r 2=d 2+(√22)2=12+12=1，所以圆C 的标准方程为（x ﹣1）2+（y ﹣1）2＝1．（2）①当切线斜率不存在时，设切线：x ＝2，此时满足直线与圆相切． ②当切线斜率存在时，设切线：y ﹣3＝k （x ﹣2），即y ＝kx ﹣2k +3， 则圆心C （1，1）到直线y ＝kx ﹣2k +3的距离d =|k−1−2k+3|√k +1=1，整理得4k＝3，解得k=3 4，则切线方程为3x﹣4y+6＝0，综上，切线方程为x＝2和3x﹣4y+6＝0．20．（12分）如图，在四棱台ABCD﹣A1B1C1D1中，底面为矩形，平面AA1D1D⊥平面CC1D1D，且CC1＝CD＝DD1=12C1D1=2．（1）证明：AD⊥平面CC1D1D；（2）若∠A1CD1=π3，求平面A1AC与平面ABC夹角的余弦值．解：（1）证明：如图，在梯形CC1D1D中，因为CC1=CD=DD1=12C1D1=2，作DH⊥D1C1于H，则D1H＝1，所以cos∠DD1H=12，所以∠DD1C1=π3，连结DC1，由余弦定理可求得DC1=2√3，因为DC12+DD12=D1C12，所以DC1⊥DD1，因为平面AA1D1D⊥平面CC1D1D，且交于DD1，DC1⊂平面CC1D1D，所以DC1⊥平面AA1D1D，因为AD⊂平面AA1D1D，所以AD⊥DC1，因为AD⊥DC．DC∩DC1＝D，DC，DC1⊂平面CC1D1D，所以AD⊥平面CC1D1D．（2）连结A1C1，由（1）可知，A1D1⊥平面CC1D1D，所以A1C与平面CC1D1D所成的角为∠A1CD1，即∠A1CD1=π3，在Rt△A1CD1中，因为CD1=2√3，所以A1D1＝6，因为A1C1∥AC，所以平面A1AC与平面A1ACC1是同一个平面．以D1为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，则A 1（6，0，0），C(0，3，√3)，C 1（0，4，0）， 所以A 1C 1→=(−6，4，0)，A 1C →=(−6，3，√3)， 设平面A 1AC 的一个法向量为n →=（a ，b ，c ）， 则有{n →⋅A 1C 1→=0n →⋅A 1C →=0，即{−3a +2b =0−6a +3b +√3c =0，令a ＝2，则b ＝3． c =√3，故n →=（2，3，√3）， 由题意可知m →=（0，0，1）是平面ABC 的一个法向量，所以|cos ＜m →，n →＞|=|m →⋅n →||m →|⋅|n →|=√31×4=√34，故平面A 1AC 与平面ABC 夹角的余弦夹角的值为√34．21．（12分）如图，相距14km 的两个居民小区M 和N 位于河岸l （直线）的同侧，M 和N 距离河岸分别为10km 和8km ．现要在河的小区一侧选一地点P ，在P 处建一个生活污水处理站，从P 排直线水管PM ，PN 分别到两个小区和垂直于河岸的水管PQ ，使小区污水经处理后排入河道．设PQ 段长为t km （0＜t ＜8）．（1）求污水处理站P 到两小区的水管的总长最小值（用t 表示）；（2）请确定污水处理站P 的位置，使所排三段水管的总长最小，并求出此时污水处理站分别到两小区水管的长度．解：（1）如图，以河岸l 所在直线为x 轴，以过M 垂直于l 的直线为y 轴建立坐标系，则可得M （0，10），N （8√3，8），设P （s ，t ），过P 作平行于x 轴的直线m ，作N 关于m 的对称点N ′，则N ′（8√3，2t ﹣8）， ∴PM +PN ＝PM +PN ′≥MN ′＝2√t 2−18t +129（0＜t ＜8）；（2）设三段水管的总长为L ，则由（1）知L ＝PM +PN +PQ ≥t +2√t 2−18t +129（0＜t ＜8）； ∴（L ﹣t ）2＝4（t 2﹣18t +129）在t ∈（0，8）上有解， 即3t 2+（2L ﹣72）t +（516﹣L 2）＝0在t ∈（0，8）上有解， Δ＝（2L ﹣72）2﹣12（516﹣L 2）≥0，即L 2﹣18L ﹣63≥0 ∴L ≥21或L ≤﹣3，∴L 的最小值为21，此时对应的t ＝5∈（0，8）， 故N ′（8√3，2），MN ′的方程为y ＝10−√33x ，令y ＝5得x ＝5√3，即P （5√3，5），∴PM =√(5√3)2+(5−10)2=10，PN =√(5√3−8√3)2+(5−8)2=6，∴满足题意的P 点距河岸5km ，距小区M 到河岸的垂线5√3km ，此时污水处理站到小区M ，N 的水管长度分别为10km 和6km ．22．（12分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的上顶点与左、右焦点连线的斜率之积为−45．（1）求椭圆C 的离心率；（2）已知椭圆C 的左、右顶点分别为A ，B ，且|AB |＝6，点M 是C 上任意一点（与A ，B 不重合），直线MA ，MB 分别与直线l ：x ＝5交于点P ，Q ，O 为坐标原点，求OP →⋅OQ →．解：（1）根据题意可得椭圆C 的上顶点的坐标为（0，b ），左、右焦点的坐标分别为（﹣c ，0），（c ，0）， 由题意可知b c ⋅(−b c )=−45，即b 2=45c 2，又a 2＝b 2+c 2，所以a 2=95c 2，即c 2a 2=59，c a =√53，可得椭圆C 的离心率e =√53．（2）由|AB |＝6，得2a ＝6，即a =3，c =√5，b =2， 所以椭圆C 的方程为x 29+y 24=1．如图所示：设M （x 0，y 0），则x 029+y 024=1，即y 02=36−4x 029，又A （﹣3，0），B （3，0），则直线MA 的方程为y =yx 0+3(x +3)，直线MB 的方程为y =yx 0−3(x −3)；因为直线MA ，MB 分别与直线l ：x ＝5交于点P ，Q ， 可得P(5，8y 0x 0+3)，Q(5，2y 0x 0−3)， 所以OP →⋅OQ →=(5，8y 0x 0+3)⋅(5，2y 0x 0−3)=25+16y 02x 02−9=25+16(36−4x 02)9(x 02−9)=25−649=1619． 即OP →⋅OQ →=1619．。
2022-2023学年交大附中高一下学期数学卓越考试卷及答案
第1页共11页交大附中2022学年第二学期高一年级数学卓越考2023.3一、选择题1．已知,αβ∈R ，则“()sin sin 2αβα+=”是“()2πk k βα=+∈Z ”的（）．A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件2．设α是第三象限角，则下列函数值一定为负数的是（）．A．cos 2αB．tan2αC．sin2αD．cos2α3．对于给定的实数a ，不等式()2110ax a x +--<的解集可能是（）．A．11x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭B．{}1x x ≠-C．{}1x x <-D．R4．若1tan 3α=-，则222ππcos sin 332sin cos cos ααααα⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+的值为（）．A．103B．53C．23D．103-5．在ABC △中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c22cos32BB +=，cos cos sin sin 6sin BC A Bb c C+=，则ABC △的外接圆的面积为（）．A．12πB．16πC．24πD．64π6．阻尼器是一种以提供阻力达到减震效果的专业工程装置．我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器减震装置，被称为“定楼神器”，如图1．由物理学知识可知，某阻尼器的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移()y m 和时间()t s 的函数关系为()()sin 0,πy t ωϕωϕ=+><，如图2，若该阻尼器在摆动过程中连续三次到达同一位置的时间分别为1t ，2t ，()31230t t t t <<<，且122t t +=，235t t +=，则在一个周期内阻尼第2页共11页器离开平衡位置的位移大于0.5m 的总时间为（）．A．13s B．23s C．1sD．43s 7．函数()()ππsin 0,,22f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>-<< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则ω，ϕ的值分别是（）．A．2，π3-B．2，π6-C．4，π6-D．4，π38．己知函数()πsin 3f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，给出下列结论：①π3f x ⎛⎫-⎪⎝⎭为奇函数；②π2f ⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的最大值；③把函数sin y x =的图象上所有点向左平移π3个单位长度，可得到函数()y f x =的图象．其中所有正确结论的序号是（）．A．①B．①③C．②③D．①②③9．已知函数()sin 22sin 1f x x x =+-，则()f x 在[]0,2023πx ∈上的零点个数是（）．A．2023B．2024C．2025D．202610．设函数()ln 21ln 21f x x x =++-，则()f x （）．第3页共11页A．是偶函数,且在1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭单调递增B．是奇函数，且在11,22⎛⎫-⎪⎝⎭单调递减C．是偶函数，且在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭单调递增D．是奇函数，且在1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭单调递增11．已知函数()()π2sin 04f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在区间[]0,2π上存在零点，且函数()f x 在区间[]0,2π上的值域为2M ⎡⎤⊆⎣⎦，则ω的取值范围是（）．A．13,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦B．13,84⎡⎤⎢⎥⎣⎦C．14,83⎡⎤⎢⎥⎣⎦D．1,18⎡⎤⎢⎥⎣⎦12．已知函数()πsin 3f x x ω⎛⎫=+⎪⎝⎭，0ω>对任意3π0,8x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭都有()12f x >，则当ω取到最大值时，()f x 的一个对称中心为（）．A．π,08⎛⎫⎪⎝⎭B．3π,016⎛⎫⎪⎝⎭C．π,02⎛⎫⎪⎝⎭D．3π,04⎛⎫⎪⎝⎭13．定义在R 上的奇函数()f x ，满足102f ⎛⎫=⎪⎝⎭，且在()0,+∞上单调递减，则不等式()()()0f x f x x x --<--的解集为（）．A．102102x x x ⎧⎫<<<⎭<⎨⎩-⎬或B．1122x x x ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或C．10221x x x <⎧⎫<<⎨⎩⎭-⎬或D．12102x x x -<⎧⎫>⎨⎩⎭<⎬或14．“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数和形是函数的神和形两方面、在数学的学习研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征．若下图为()y f x =的大致图第4页共11页象，则函数()y f x =的解析式最可能为（）．A．()ln x f x e x =⋅B．()ln x f x e x =⋅C．()ln xf x e x=⋅D．()ln x f x e x-=⋅15．在ABC △中，“ABC △是锐角三角形”是“tan tan 1A B >”的（）．A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件16．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()12f x f x +=，当(]0,1x ∈时，()1sin π4f x x =-．若对任意(],x m ∈-∞，都有()2f x ≥-，则m 的取值范围是（）．A．9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B．7,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C．5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D．8,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦二、填空题17．己知函数()ln 1f x x x =+-，则不等式()0f x <的解集是______．18．已知1sin cos 5αα+=，()0,πα∈，则()()sin 1cos 1αα-+=______．19．函数()()πsin 03f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则ω=______．20．已知实数x ，y 满足221x y xy ++=，则222x y +的最大值为______．21．已知ABC △的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若222222sin sin sin A C b c a B b c a --=+-，则tan C 的取值范围为______．22．己知π,0,2x y ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且tan tan tan sin sin 1x y x y x +-≤，则()2221x y --的最大值为______．第5页共11页三、解答题23．在ABC △中，内角A ，B ，C ，所对的边分别为a ，b ，c ，且cos cos c a b c B b Cb c a+++=-．（1）求C ；（2若角C 的内角平分线与AB 边交于点D ，且2CD =，求4b a +的最小值．24．若函数()y f x =满足()3π2f x f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭且()ππ44f x f x x ⎛⎫⎛⎫+=-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭R ，则称函数()y f x =为“M 函数”．（1）试判断4sin3y x =是否为“M 函数”，并说明理由；（2）函数()f x 为“M 函数”，且当π,π4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，sin y x =，求()y f x =的解析式，并写出在3π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调增区间；（3）在（2）条件下，当π5π,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，关于x 的方程()f x a =（a 为常数）有解，记该方程所有解的和为S ，求S ．第6页共11页参考答案一、选择题1.B; 2.B; 3.B; 4.A;5.B; 6.D;7.A;8.B;9.B;10.A;11.B;12.C 13.D;14.B;15.C;16.B;15.在ABC △中，“ABC △是锐角三角形”是“tan tan 1A B >”的（）．A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件由tan tan A B >1得tan 0,tan 0A B >>,即,A B 为锐角,()()tan tan tan tan tan 01tan tan A B C A B A B A Bπ+=--=-+=->-又所以C 为锐角,由此可知ABC ∆是锐角三角形,则必要性成立;由ABC ∆是锐角三角形,则C 为锐角,从而tan 0C >,即()tan 0A B -+>,则tan tan 01tan tan A BA B+<-,又,A B 也是锐角,故有1tan tan 0A B -<,即tan tan 1A B >,所以充分性成立，16．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()12f x f x +=，当(]0,1x ∈时，()1sin π4f x x =-．若对任意(],x m ∈-∞，都有()32f x ≥-，则m 的取值范围是（）．A．9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B．7,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C．5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D．8,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦因为当(]0,1x ∈时,()1sin 4f x x π=-,所以()1,04f x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦;第7页共11页当(]1,2x ∈时,(]()()10,1,21x f x f x -∈=-=()11sin 1,022x π⎡⎤⎡⎤--∈-⎣⎦⎢⎥⎣⎦(](]()()()[]2,3,20,1,42sin 21,0;x x f x f x x π⎡⎤∈-∈=-=--∈-⎣⎦当时()()78sin 2;233x x x π⎡⎤--=-==⎣⎦令得或舍若对任意(],x m ∈-∞,意有()2f x ≥-,则m 的取值范围是7,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.二、填空题17.()10，；18.252-；19.23;20.3322+;21.()10，22.2222+-ππ22.己知π,0,2x y ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且tan tan tan sin sin 1x y x y x +-≤，则()2221x y --的最大值为______．2222+-ππ因tan tan tan sin sin 1x y x y x +- ,则1sin 1tan sin cos tan sin tan tan 22x y y x x x x x ππ+⎛⎫⎛⎫+=+=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因函数sin ,tan y x y x ==均在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增,则函数tan sin y x x =+在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增,故有:02x y π<+<,第8页共11页设x y m +=,其中02m π<<,则()()()()()()()222222222212142222121x y m y y y m y m y m m m --=---=-+-+-⎡⎤=---+--⎣⎦ 当且仅当2y m =-时取等号,则此时022m π<-<,得222m ππ-< ,又函数()()221f m m =-在2,12π⎛⎫-⎪⎝⎭时单调递减,在1,2π⎛⎤⎥⎝⎦时单调递增,222f f ππ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则()()22212222f m m fπππ⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭ 此时2,22y x ππ=-=-三、解答题23．在ABC △中，内角A ，B ，C ，所对的边分别为a ，b ，c ，且cos cos c a b c B b Cb c a+++=-．（1）求C ；（2若角C 的内角平分线与AB 边交于点D ，且2CD =，求4b a +的最小值．(1)设ABC ∆外接圆的半径为R ,由正弦定理得:()cos cos 2sin cos 2sin cos 2sin 2sin c B b C R C B R B C R B C R A a +=+=+==则cos cos c a b c B b C b c a +++=-可化为c a b ab c a++=-整理得222a b c ab +-=-,由余弦定理得22212cos ,0,.2223a b c ab C C C ab ab ππ+--===-<<=又所以(2)由BCD ∆和ACD ∆的面积之和等于ABC ∆的面积,得1112sin sin 232323CD a CD b absin πππ⋅+⋅=可得22ab b a =+,即1112a b +=.第9页共11页则()(1144242525218a b b a b a a b b a ⎛⎫⎛⎫+=++=⨯++≥⨯+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当且仅当41112a b b aa b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩,即6,3b a ==时,等号成立.故4b a +的最小值为18.24．若函数()y f x =满足()3π2f x f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭且()ππ44f x f x x ⎛⎫⎛⎫+=-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭R ，则称函数()y f x =为“M 函数”．（1）试判断4sin3y x =是否为“M 函数”，并说明理由；（2）函数()f x 为“M 函数”，且当π,π4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()y f x =的解析式，并写出在3π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调增区间；（3）在（2）条件下，当π5π,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，关于x 的方程()f x a =（a 为常数）有解，记该方程所有解的和为S ，求S．(1)()4sin 3f x x ⎛⎫=⎪⎝⎭不为M 函数,理由如下：()()()424sin sin ,2323344sin ,,sin 323f x x x f x x f x f x f x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫=∴-≠∴= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭不是M的函数(2) 函数()f x 对任意的实数x 满足()32f x f x π⎛⎫=+⎪⎝⎭,∴函数()f x 的周期为32T π=,第10页共11页753,4242x x πππππ≤≤∴≤-≤,()32f x f x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭,()()()()33,,sin ,sin cos ,42275,cos 42x f x x f x f x x x f x f x xππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫∈=∴=-=-= ⎪ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎡⎤∴=⎢⎣⎦时在时的解析式为(3)由(2)知()f x 在75,42ππ⎡⎤⎢⎣⎦时的解析式为()()()cos ,,2442sin cos ,2273,422433cos sin 22f x x x x f x f x x x x x f x f x x x ππππππππππππππ=-≤≤∴≤-≤⎛⎫⎛⎫∴=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≤≤∴-≤-≤⎛⎫⎛⎫∴=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ (),24,47,475,42cosx x sinx x f x sinx x cosx x ππππππππ⎧-≤≤⎪⎪⎪≤≤⎪∴=⎨⎪-≤≤⎪⎪⎪≤≤⎩作出函数()f x 的图象,如图,2O π-∣关于x 的方程()(f x a a =为常数)有解等价于()y f x =与y a =的图象有交点,由图可知当0a =时,方程()(f x a a =为常数)有3个解,其方程所有解的和为5322S ππππ=-++=当22a<<或1a=时,方程()(f x a a=为常数）有4个解,其方程有解的和为:2144,44Sπππ=+=当22a=时,方程()(f x a a=为常数)有6个解，其方程有解的和为:27146, 4444Sπππππ=+++=当212a<<时,方程()(f x a a=为常数)有8个解，其方程有解的和为：2214148,,3,06,.44442 S S a a πππππππ=+++====综上第11页共11页。
卓越县数学试题卷及答案
卓越县数学试题卷及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 若a > 0，b < 0，且|a| > |b|，则a+b的符号为：A. 正B. 负C. 零D. 不确定2. 下列哪个函数是奇函数？A. f(x) = x^2B. f(x) = x^3C. f(x) = x^2 + 1D. f(x) = x^3 + 13. 一个等差数列的首项为3，公差为2，那么它的第5项是：A. 13B. 15C. 17D. 194. 已知圆的方程为(x-2)^2 + (y+1)^2 = 9，圆心坐标为：A. (2, -1)B. (-2, 1)C. (-2, -1)D. (2, 1)5. 若函数f(x) = ax^2 + bx + c在区间[1,2]上单调递增，则a的取值范围是：A. a > 0B. a < 0C. a ≥ 0D. a ≤ 06. 一个直角三角形的两条直角边长分别为3和4，那么斜边的长度为：A. 5B. 6C. 7D. 87. 函数f(x) = sin(x) + cos(x)的值域为：A. [-1, 1]B. [-√2, √2]C. [0, 1]D. [1, √2]8. 已知集合A={1, 2, 3}，B={2, 3, 4}，则A∩B的元素个数为：A. 1B. 2C. 3D. 49. 一个等比数列的首项为2，公比为3，那么它的第4项是：A. 54B. 108C. 216D. 48610. 函数f(x) = ln(x)的定义域为：A. (-∞, 0)B. (0, +∞)C. (-∞, +∞)D. [0, +∞)二、填空题（每题4分，共20分）1. 若a = 2，b = -3，则a^2 - b^2的值为______。
2. 一个圆的半径为5，那么它的面积为______。
3. 函数f(x) = x^2 - 4x + 4的最小值为______。
4. 一个等差数列的首项为1，公差为2，那么它的前5项和为______。
八年级卓越杯数学试卷答案
一、选择题（每题5分，共50分）1. 下列各数中，无理数是（）A. 2.5B. √3C. 3/4D. 1/2答案：B解析：无理数是不能表示为两个整数之比的实数，而√3是一个不能表示为两个整数之比的数，因此是无理数。
2. 下列函数中，一次函数是（）A. y = x^2 - 1B. y = 2x + 3C. y = √xD. y = x^3 + 1答案：B解析：一次函数的图像是一条直线，其一般形式为y = kx + b，其中k和b是常数。
选项B符合一次函数的定义。
3. 在等腰三角形ABC中，AB=AC，若∠B=40°，则∠C的度数是（）A. 40°B. 80°C. 100°D. 120°答案：C解析：在等腰三角形中，底角相等，所以∠C也等于40°。
由于三角形内角和为180°，所以∠A=180°-40°-40°=100°。
4. 下列各组数中，成等差数列的是（）A. 1, 3, 5, 7B. 2, 4, 6, 8C. 3, 6, 9, 12D. 4, 8, 12, 16答案：C解析：等差数列是指一个数列中，从第二项起，每一项与它前一项的差相等。
选项C中，每一项与前一项的差都是3，因此是等差数列。
5. 下列命题中，正确的是（）A. 如果a+b=0，那么a和b互为相反数。
B. 平方根只有一个。
C. 如果a^2=b^2，那么a=b。
D. 如果a≠0，那么a^2>0。
答案：A解析：选项A中的命题是正确的，因为如果a+b=0，那么a=-b，即a和b互为相反数。
其他选项中的命题都是错误的。
二、填空题（每题5分，共50分）6. √25的值是______。
答案：5解析：√25表示25的平方根，即找到一个数x，使得x^2=25。
显然，5^2=25，所以√25=5。
7. 函数y=3x-2的斜率是______。
2024届山东省滨州市卓越中考联考数学试题含解析
2024届山东省滨州市卓越中考联考数学试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．下列计算正确的是( )A．(a－3)2＝a2－6a－9 B．(a＋3)(a－3)＝a2－9C．(a－b)2＝a2－b2D．(a＋b)2＝a2＋a22．在联欢会上，甲、乙、丙3人分别站在不在同一直线上的三点A、B、C上，他们在玩抢凳子的游戏，要在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，凳子应放的最恰当的位置是△ABC的（）A．三条高的交点B．重心C．内心D．外心3．已知x=2是关于x的一元二次方程x2﹣x﹣2a=0的一个解，则a的值为（）A．0 B．﹣1 C．1 D．24．在平面直角坐标系xOy中，对于任意三点A，B，C的“矩面积”，给出如下定义：“水平底”a：任意两点横坐标差的最大值，“铅垂高”h：任意两点纵坐标差的最大值，则“矩面积”S=ah．例如：三点坐标分别为A（1，2），B（﹣3，1），C（2，﹣2），则“水平底”a=5，“铅垂高”h=4，“矩面积”S=ah=1．若D（1，2）、E（﹣2，1）、F（0，t）三点的“矩面积”为18，则t的值为（）A．﹣3或7 B．﹣4或6 C．﹣4或7 D．﹣3或65．如图1，等边△ABC的边长为3，分别以顶点B、A、C为圆心，BA长为半径作弧AC、弧CB、弧BA，我们把这三条弧所组成的图形称作莱洛三角形，显然莱洛三角形仍然是轴对称图形．设点I为对称轴的交点，如图2，将这个图形的顶点A与等边△DEF的顶点D重合，且AB⊥DE，DE=2π，将它沿等边△DEF的边作无滑动的滚动，当它第一次回到起始位置时，这个图形在运动中扫过区域面积是（）A．18πB．27πC．452πD．45π6．下列计算正确的是（）A．﹣5x﹣2x=﹣3x B．（a+3）2=a2+9 C．（﹣a3）2=a5D．a2p÷a﹣p=a3p7．如果关于x的方程x2﹣k x+1=0有实数根，那么k的取值范围是（）A．k＞0 B．k≥0C．k＞4 D．k≥4 8．下列计算正确的是（）A．5﹣2=3B．4=±2C．a6÷a2=a3D．（﹣a2）3=﹣a69．下列二次根式中，最简二次根式的是（）A．15B．0.5C．5D．5010．如图，⊙O的半径为1，△ABC是⊙O的内接三角形，连接OB、OC，若∠BAC与∠BOC互补，则弦BC的长为（）A．3B．23C．33D．1.53二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11．如果反比例函数kyx=的图象经过点A（2，y1）与B（3，y2），那么12yy的值等于_____________.12．在函数y=的表达式中，自变量x的取值范围是．13．如图，已知AB∥CD，α∠=____________14．若关于x的方程111m xx x----=0有增根，则m的值是______．15．已知线段c是线段a和b的比例中项，且a、b的长度分别为2cm和8cm，则c的长度为_____cm．16．将多项式xy2﹣4xy+4y因式分解：_____．三、解答题（共8题，共72分）17．（8分）如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A作BC的平行线交CE的延长线与F，且AF=BD ，连接BF 。
卓越初三数学试卷
1. 已知函数f(x) = 2x - 1，则f(3)的值为（）A. 5B. 6C. 7D. 82. 下列各组数中，不是等差数列的是（）A. 1, 3, 5, 7, 9B. 2, 4, 6, 8, 10C. 1, 4, 7, 10, 13D. 3, 6, 9, 12, 153. 在△ABC中，若∠A=30°，∠B=45°，则∠C的度数为（）A. 75°B. 90°C. 105°D. 120°4. 已知一元二次方程x^2 - 4x + 3 = 0的解为x1、x2，则x1+x2的值为（）A. 4B. 5C. 6D. 75. 若函数y = ax^2 + bx + c的图像开口向上，则a、b、c的符号分别为（）A. a>0，b>0，c>0B. a>0，b<0，c>0C. a>0，b>0，c<0D. a<0，b<0，c<06. 下列函数中，是奇函数的是（）A. y = x^2B. y = |x|C. y = x^3D. y = x^47. 已知平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，若∠A=60°，则∠BOC的度数为（）A. 60°B. 120°C. 180°D. 240°8. 若等比数列{an}的公比为q，首项为a1，第n项为an，则an = （）A. a1 q^(n-1)B. a1 q^nC. a1 q^(n+1)D. a1 q^(n-2)9. 已知一元二次方程ax^2 + bx + c = 0的解为x1、x2，若x1+x2=4，x1x2=12，则a、b、c的值分别为（）A. a=1，b=-4，c=12B. a=1，b=-8，c=12C. a=1，b=-4，c=-12D. a=1，b=-8，c=-1210. 下列不等式中，正确的是（）A. 2x > xB. 2x ≥ xC. 2x < xD. 2x ≤ x二、填空题（每题5分，共50分）1. 若等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则第n项an = _______。
上海市交通大学附属中学2023届高三下学期卓越测试数学试题(含答案解析)
上海市交通大学附属中学2023届高三下学期卓越测试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题二、单选题三、解答题17．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，ABC 是等腰直角三角形，12AC BC AA ===，D 为侧棱1AA 的中点.（1）B 、C 两处垃圾的距离是多少？（精确到（2）智能扫地机器人此次清扫行走路线的夹角20．如图，设F 是椭圆23x +两点，与y 轴交于点P .（1）若PA AB =，求k 的值；（2）求证：AFP BFO ∠=∠（3）求面积ABF △的最大值．21．已知数列{}n a 、{}n b 的各项均为正数，且对任意参考答案：所以【点睛】本题主要考查分段函数的应用，即可，属于常考题型．17．（1）证明见解析（2）2arccos3【分析】（1）推导出AC BC ⊥，CC （2）以C 为原点，直线CA ，CB ，能求出二面角11B CD C --的大小．【详解】（1）∵底面ABC 是等腰直角三角形，且∴AC BC ⊥，∵1CC ⊥平面111A B C ，∴1CC BC ⊥，∵1AC CC C = ，∴BC ⊥平面11ACC A ．（2）以C 为原点，直线CA ，CB ，则()0,0,0C ，()2,0,0A ，()0,2,0B ，由（1）得()0,2,0CB =uu r是平面1ACC A【点睛】本题主要考查线面垂直的证明，以及空间向量的方法求二面角即可，属于常考题型．18．（1）单调递增区间是3k π⎡-⎢⎣【分析】（1）利用二倍角公式以及辅助角公式化简，的单调递增区间；（2）根据平移规律得到函数图象与性质即可求出x 的值．【详解】（1）化简可得()2f x =由222()242k x k k πππππ-≤+≤+∈Z ()f x 的单调递增区间是38k ππ⎡-⎢⎣（2）由已知，()2sin 2g x x ⎛=-⎝由()1g x =，得2sin 24x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭28k x ππ∴=+，()k ∈Z ,。
上海高三下学期卓越考(二)数学试题(解析版)
交大附中2022学年第二学期高三年级数学卓越考（二）2023.4一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1. 若，，则是的______条件．():1,2x α∈[]:0,2x β∈αβ【答案】充分非必要 【解析】【分析】判断集合和之间的关系，即可判断出答案. ()1,2[]0,2【详解】由于是的真子集，故是的充分非必要条件， ()1,2[]0,2αβ故答案为：充分非必要2. 若是纯虚数，则的值为__________． 34(sin )(cos 55z i θθ=-+-tan θ【答案】 34-【解析】【详解】分析：由纯虚数的概念得，结合可得解.305405sin cos θθ⎧-=⎪⎪⎨⎪-≠⎪⎩221sin cos θθ+=详解：若是纯虚数， 34sin cos 55z i θθ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则， 305405sin cos θθ⎧-=⎪⎪⎨⎪-≠⎪⎩又由，可得. 221sin cos θθ+=34sin cos 55θθ==-，所以. sin 3tan cos 4θθθ==-故答案为. 34-点睛：本题主要考查了纯虚数的概念及同角三角函数的基本关系，属于基础题. 3. 已知幂函数f （x ）的图象经过点（2，4），则f （x ）为______函数．（填奇偶性） 【答案】偶【解析】【分析】根据幂函数的概念设出的解析式，然后代点求出，再用函数奇偶性定义判断()f x ()f x x α=α奇偶性．【详解】因为函数是幂函数，所以可设，()f x ()f x x α=又f （2）=4，即2a =4，解得a=2，∴，∴，()2f x x =()()22()f x x x f x -=-==∴f（x ）为偶函数． 故答案为偶．【点睛】本题主要考查了幂函数的基本概念，以及利用定义法判定函数的奇偶性，其中解答中熟记幂函数的基本概念，熟练应用函数奇偶性的定义判定是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.4. 若双曲线经过点，且渐近线方程是y ＝±x ，则双曲线的方程是________． 13【答案】2219x y -=【解析】 【分析】利用渐近线方程为，设双曲线的方程是，代入点即可求解13y x =±229x y λ-=【详解】根据渐近线方程为，设双曲线的方程是，因为双曲线过点，所以13y x =±229x y λ-=，所以双曲线的方程为9219λ=-=2219x y -=故答案为：2219x y -=5. 已知命题：“非空集合的元素都是集合的元素”是假命题，给出下列四个命题： M P ①的元素不都是的元素； ②的元素都不是的元素； M P M P ③中有的元素；④ 存在，使得；M P x M ∈x P ∉其中真命题的序号是________（将正确的序号都填上）. 【答案】①④ 【解析】【分析】从命题的否定入手．【详解】命题：“非空集合的元素都是集合的元素”是假命题，则命题：“非空集合的元素不都是M P M 集合的元素”是真命题，说明集合中至少有一个元素不属于集合，或者中就没有集合中的元P M P M P 素，因此②③错误，①④正确．故答案为①④．【点睛】本题考查真假命题的理解，对一个假命题，可从反面入手，即它的否定为真命题入手，理解起来较方便．6. 一个袋中装有5个球，编号为1，2，3，4，5，从中任取3个，用X 表示取出的3个球中最大编号，则______． ()E X =【答案】4.5 【解析】【分析】求出可能取值和概率，再根据公式进行计算即可.X ()E X 【详解】从中任取3个球，共有，，，，，，，()123，，()124，，()125，，()134，，()135，，()145，，()234，，，，10中情况， ()235，，()245，，()345，，所以可能取值为，X 345，，，，， ()1310P X ==()3410==P X ()635105===P X 所以. ()1339345101052E X =⨯+⨯+⨯=故答案为：. 4.57. 函数的部分图象如图所示，则____.tan()42y x ππ=-()OA OB AB +⋅=【答案】6 【解析】【详解】试题分析：由图可知，，∴ .(2,0)A (3,1)B ()(5,1)(1,1)6OA OB AB +⋅=⋅=考点：正切型函数的图象与平面向量的数量积运算.【方法点睛】本题主要考查了正切型函数的图象与平面向量的数量积运算，属于中档题.本题解答的关键观察图象发现分别是函数轴右侧的第一个零点和函数值为的点，即可求得,A B tan(42y x ππ=-y 1的坐标，进而求得向量的坐标，根据平面向量数量积的坐标运算即可求得答案.,A B (),OA OB AB +8. 如果一个球的外切圆锥的高是这个球半径的倍，那么圆锥侧面积和球的表面积的比值为______． 3【答案】 32【解析】【分析】设球的半径为，则圆锥的高为，取圆锥的轴截面，其中为圆锥的顶点，设球心为r 3r ABC A ，作出图形，分析可知为等边三角形，求出，利用圆锥的侧面积公式以及球体的表面积公O ABC AB 式可求得结果.【详解】设球的半径为，则圆锥的高为，取圆锥的轴截面，其中为圆锥的顶点， r 3r ABC A 设球心为，如下图所示：O设圆分别切、于点、，则为的中点，O AB AC E D D BC 由题意可得，，则， OD OE r ==3AD r =322AO AD OD r r r OE =-=-==又因为，所以，，同理可得，所以，，OE AB ⊥π6BAD ∠=π6CAD ∠=π3BAC ∠=又因为，故为等边三角形，故， AB AC =ABCπsin 3AD AB ===所以，圆锥的侧面积为，2ππ6πAB BD r ⨯⨯=⨯=因此，圆锥侧面积和球的表面积的比值为.226π34π2r r =故答案为：. 329. 已知某产品的一类部件由供应商A 和B 提供，占比分别为和，供应商A 提供的该部件的良品率110910为，供应商B 提供的该部件的良品率为．若发现某件部件不是良品，那么这个部件来自供应商B 910710的概率为______（用分数作答）【答案】 2728【解析】【分析】利用全概率公式，条件概率公式求解即可. 【详解】设“某件部件不是良品”为事件， A “这个部件来自供应商B ”为事件，B ， ()11932810101010100P A =⨯+⨯= ， ()93271010100P AB =⨯=. ()()()2728P AB P B A P A ∴==故答案为：272810. 已知，函数，的最小正周期为，将的图()()πsin 04f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭()y f x =x ∈R π()y f x =像向左平移个单位长度，所得图像关于轴对称，则的值是______．π02ϕϕ⎛⎫<< ⎪⎝⎭y ϕ【答案】## π81π8【解析】【分析】由周期求出，即可求出的解析式，再根据三角函数的变换规则得到平移后的解析式，最ω()f x 后根据对称性得到的值. ϕ【详解】，函数的最小正周期为，， ()()πsin 04f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭()y f x =2ππT ω==2ω∴=．π()sin 24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭将的图像向左平移个单位长度，可得的图像，()y f x =ϕπsin 224y x ϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭根据所得图像关于轴对称，可得，，解得，， y ππ2π42k ϕ+=+Z k ∈ππ28k ϕ=+Z k ∈又，则令，可得的值为． π02ϕ<<0k =ϕπ8故答案为：． π811. 如图，椭圆的中心在原点，长轴在x 轴上．以、为焦点的双曲线交椭圆于C 、D 、、1AA A 1A 1D 1C四点，且．椭圆的一条弦AC 交双曲线于E ，设，当时，双曲线的离心112CD AA=AE EC λ=2334λ≤≤率的取值范围为______．e ≤≤【解析】【分析】由题意设，则可设，根据向量的共线求得点坐标，代()()1,0,,0A c A c -,,,22c c D h C h ⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭E 入双曲线的方程，结合离心率化简可得，求出的表达式，结合条件可列22221x y a b-=2221e e λλ+=-λ不等式，即可求得答案.【详解】设，则设，(其中为双曲线的半焦距，为C .到轴()()1,0,,0A c A c -,,,22c c D h C h ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭c h D x 的距离)，，则，即， AE EC λ=AE EC λ∴= (,)()2,E E E E x c y h x cy λ--+=， ()()˙22,1211E E c c c y h x λλλλλλ-+-∴===+++即点坐标为，E ()()2,211c h λλλλ⎛⎫- ⎪ ⎪++⎝⎭设双曲线的方程为，将代入方程，得①，22221x y a b -=c a e =222221e x y c b-=将，E 代入①式，整理得， (,)2c C h ()()2,211c h λλλλ⎛⎫- ⎪ ⎪++⎝⎭2˙2222222)(121,(1441e h e h b b λλλλ--=-+=+消去，得，所以， 22h b 2221e e λλ+=-22213122e e e λ-==-++由于.所以，故 2334λ≤≤22331324e ≤-≤+2710,e e ≤≤≤≤e ≤≤12. 将关于x 的方程（t 为实常数，）在区间上的解从小到大依次记为()2sin 2π1x t +=01t <<[)0,∞+，设数列的前n 项和为，若，则t 的取值范围是______．12,,,,n x x x {}n x n T 20100πT ≤【答案】1150,,626⎛⎤⎡⎤⋃ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦【解析】【分析】先根据三角函数的周期性得出满足的关系，然后再根据的对称性可得结果. 12,x x 12,x x 【详解】由得，则方程的解即为函数()2sin 2π1x t +=()1sin 2π2x t +=()2sin 2π1x t +=图象与直线交点的横坐标， ()sin 2πy x t =+12y =因为函数的周期为，()sin 2πy x t =+πT =所以是以x 1为首项，为公差的等差数列，135,,x x x π是以x 2为首项，为公差的等差数列，246,,,x x x π所以，所以， 201234201210()90π100πT x x x x x x x =+++++=++≤ 12πx x +≤令得， π2π=π()2x t k k ++∈Z πππ=242k t x +-因为，所以，[)0,x ∈+∞[)2ππ,x t t +∈+∞由函数图象的对称性知，x 1与对应的点关于函数图象的某条对称轴()sin 2πy x t =+2x ()sin 2πy x t =+对称， 因为， 01t <<所以当，即时，可知x 1与对应的点关于直线对称，此时满足π0π6t <≤106t <≤2x ππ=42t x -成立；12πx x +≤当，即时，可知x 1与对应的点关于直线对称，此时由π5ππ66t <≤1566t <≤2x 3ππ=42t x -得， 123πππ2x x t +=-≤12t ≥所以； 1526t ≤≤当，即时，可知x 1与对应的点关于直线对称，此时不满足5πππ6t <<516t <<2x 5ππ=42t x -；12πx x +≤综上，或. 106t <≤1526t ≤≤故答案为：.1150,,626⎛⎤⎡⎤⋃ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦【点睛】思路点睛：涉及同一函数的不同自变量值对应函数值相等问题，可以转化为直线与函数图象交点横坐标问题，结合函数图象性质求解.二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13，14题每题4分，第15，16题每题5分）13. 设a R ，则“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行”的 ∈A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【详解】试题分析：运用两直线平行的充要条件得出l 1与l 2平行时a 的值，而后运用充分必要条件的知识来解决即可．解：∵当a=1时，直线l 1：x+2y ﹣1=0与直线l 2：x+2y+4=0， 两条直线的斜率都是﹣，截距不相等，得到两条直线平行， 故前者是后者的充分条件， ∵当两条直线平行时，得到，解得a=﹣2，a=1， ∴后者不能推出前者，∴前者是后者的充分不必要条件． 故选A ．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；直线的一般式方程与直线的平行关系．14. 已知平面，，直线，若，，则αβl αβl αβ⋂=A. 垂直于平面的平面一定平行于平面 βαB. 垂直于直线的直线一定垂直于平面l αC. 垂直于平面的平面一定平行于直线 βlD. 垂直于直线的平面一定与平面,都垂直 l αβ【答案】D 【解析】【详解】选D.由α⊥β，α∩β＝l ，知：垂直于平面β的平面与平面α平行或相交，故A 不正确；垂直于直线l 的直线若在平面β内，则一定垂直于平面α，否则不一定，故B 不正确；垂直于平面β的平面与l 的关系有l ⊂β，l ∥β，l 与β相交，故C 不正确；由平面垂直的判定定理知：垂直于直线l 的平面一定与平面α，β都垂直，故D 正确．15. 已知抛物线上一点到其焦点的距离为5，双曲线的左顶()220y px p =>()()1,0M m m >2221xy a-=点为A ，若双曲线的一条渐近线与直线AM 平行，则实数a 的值为（ ） A.B.C.D.13141912【答案】A 【解析】 【分析】由得抛物线方程，在抛物线上求得坐标，再根据双曲线一条渐近线与直线152p+=M M AM 平行可得答案.【详解】根据题意，抛物线上一点到其焦点的距离为5，22(0)y px p =>(1,)(0)M m m >则点到抛物线的准线的距离也为5，即，解得， M 2px =-152p +=8p =所以抛物线的方程为，则，所以，即M 的坐标为， 216y x =216m =4m =14（，）又双曲线的左顶点，一条渐近线为，2221x y a-=(),0A a -1y x a =而，由双曲线的一条渐近线与直线平行，则有，解得. 41AM k a =+AM 411a a =+13a =故选：A16. 已知函数是定义域在R 上的奇函数，且当时，，则关()y f x =0x >()()()230.02f x x x =--+于在R 上零点的说法正确的是（ ） ()y f x =A. 有4个零点，其中只有一个零点在内()3,2--B. 有4个零点，其中只有一个零点在内，两个在内 ()3,2--()2,3C. 有5个零点，都不在内()0,2D. 有5个零点，其中只有一个零点在内，一个在 ()0,2()3,+∞【答案】C 【解析】【分析】解法一：先研究时，零点的情况，根据零点的情况，以及函数图象的平0x >()()23y x x =--移，即可得出时零点的个数.然后根据奇函数的对称性以及特性，即可得出答案；解法二：求解方程0x >，也可以得出时零点的个数. 然后根据奇函数的对称性以及特性，即可得出答案.()0f x =0x >【详解】解法一：根据对称性可以分三种情况研究(1)的情况，是把抛物线与轴交点为向上平移了0.02，则与0x >()f x ()()23y x x =--x ()()2,0,3,0x 轴交点变至之间了，所以在之间有两个零点；()2,3()2,3(2)当时，，根据对称性之间也有两个零点 0x <()()()230.02f x x x =-++-()3,2--(3)是定义在R 上的奇函数，故， ()f x ()00f =所以有五个零点. 解法二：(1)直接解方程的两根 ()()230.020x x --+=也可以得两根为，都在之间； x =()2,3(2)当时，，根据对称性之间也有两个零点 0x <()()()230.02f x x x =-++-()3,2--(3)是定义在R 上的奇函数，故， ()f x ()00f =所以有五个零点. 故选：C .【点睛】方法点睛：先求出时，零点的情况.然后根据奇函数的性质，即可得出答案.0x >三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤17. 2020年全面建成小康社会取得伟大历史成就，决战脱贫攻坚取得决定性胜利．某市积极探索区域特色经济，引导商家利用多媒体的优势，对本地特产进行广告宣传，取得了社会效益和经济效益的双丰收，某商家统计了7个月的月广告投入x （单位：万元）与月销量y （单位：万件）的数据如表所示： 月广告投入x /万元 1 2 3 4 5 6 7 月销量y /万件 28323545495260（1）已知可用线性回归模型拟合y 与x 的关系，请用相关系数加以说明，并求y 关于x 的线性回归方程；（2）根据（1）的结论，预计月广告投入大于多少万元时，月销量能突破70万件．（本题结果均按四舍五入精确到小数点后两位）【答案】（1），线性相关程度相当高；. 0.99r =75151ˆ147yx =+（2）当月公告投入大于万元时，月销售量能突破万件. 9.0470【解析】【分析】（1）利用相关系数的公式求得的值，得出相关性相当高，再求得和的值，即可求得回归直r ˆbˆa 线的方程；（2）结合（1）中的回归方程，根据题意列出不等式，即可求解. 【小问1详解】解：由表格中的数据，可得， 1(1234567)47x =⨯++++++=，1(28323545495270)437y =⨯++++++=，77722111()28,()820,()()150ii i i i i x x y y x x y y ===-=-=--=∑∑∑可相关系数为，70.99x y r ==≈所以与的线性相关程度相当高，从而用线性回归模型能够很好地拟合与的关系，y x y x 又由，可得， 71721()()7514()ii ii x x y y r x x ==--==-∑∑75151ˆˆ434147a y bx =-=-⨯=所以关于的线性回归方程为. y x 75151ˆ147yx =+【小问2详解】解：要使得月销售量突破万件，则，解得， 707515170147x +>2269.0425x >≈所以当月公告投入大于万元时，月销售量能突破万件.9.047018. 如图，在四棱锥中，底面是平行四边形， 平面P ABCD -ABCD 90,ACB PA ∠=⊥ 是的中点.,1,ABCD PA BC AB F ===BC（1）求证: 平面；DA ⊥PAC （2）试在线段上确定一点,使平面,并求三棱锥的体积. PD G //CG PAF A CDG -【答案】（1）证明见解析；（2）. 112【解析】【分析】（1）因为四边形是平行四边形，所以，所以，因为ABCD 90ACB DAC ∠=∠= DA AC ⊥平面，则又，故平面.PA ⊥ABCD ,PA DA ⊥AC PA A ⋂=DA ⊥PAC （2）取的中点为，构造平行四边形，可证得平面.此时，高为的一半，所以体积PD G //CG PAF PA 为. 1111111332212A CDG G ACD ACD V V S h --∆∴==⋅⋅=⨯⨯⨯⨯=【小问1详解】因为四边形是平行四边形，平面,ABCD 90,,ACB DAC DA AC PA ∴∠=∠=∴⊥⊥ABCD DA ⊂平面，ABCD 又平面，,PA DA ∴⊥,AC PA A DA =∴⊥ PAC【小问2详解】设的中点为，连接，在平面内作于点,则， PD G ,AG CG PAD GH PA ⊥H //GH AD 且,由已知可得,且,连接，则四边形为平行12GH AD =////FC AD GH 12FC AD GH ==FH FCGH 四边形，平面平面,平面,//,GC FH FH ∴⊂ ,PAF CG ⊄PAF //CG ∴PAF 为的中点时,平面,设为的中点, 连接,则,G ∴PD //CG PAF S AD GS //GS PA 且平面,平面, 11,22GS PA PA ==⊥ ABCD GS ∴⊥ABCD.11111··11332212A CDG G ACD ACD V V S GS --∴===⨯⨯⨯⨯= 19. 甲、乙两地相距1004千米，汽车从甲地匀速驶向乙地，速度不得超过120千米/小时，已知汽车每小时的运输成本（以1元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v （千米/小时）的立方成正比，比例系数为2，固定部分为a 元．()0a >（1）把全部运输成本y 元表示为速度v （千米/小时）的函数，并指出这个函数的定义域； （2）为了使全部运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？ 【答案】（1） (]()2100420,120a y v v v ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭（2）答案见解析 【解析】【分析】（1）求出汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间，根据货车每小时的运输成本可变部分和固定部分组成，可求得全程运输成本以及函数的定义域； （2）对求导，分两种情况讨论单调性，从而可求得最小成本时对应的速度. 210042a y v v ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【小问1详解】由题意得，每小时运输成本为 , 全程行驶时间为 小时， ()32a v +1004v所以全部运输成本； (]()3210042001004(2),12a y v v v a v v ⎛⎫+⎪=∈+ ⎝=⎭【小问2详解】由（1）知，求导得，210042a y v v ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭3224100441004a v a y v v v -⎛⎫'=-+=⨯ ⎪⎝⎭令，解得， 30,40y v a '=-=v =，即时，，递减； 120<304120a <<⨯0v <<200,1042a y v y v ⎛⎫=+ ⎪⎝<⎭'，递增， 120v <≤200,1042a y v y v ⎛⎫=+ ⎪⎝>⎭'此时，当，有最小值； v =y，即时，，递减； 120≥34120a ≥⨯0120v <≤200,1042a y v y v ⎛⎫=+ ⎪⎝<⎭'此时，当，有最小值.120v =y综上，为了使全部运输成本最小，当时，汽车应以千米/小时行驶；当304120a <<⨯v =时，汽车应以千米/小时行驶.34120a ≥⨯120v =20. 已知是平面内的两个定点，且，动点到点的距离是10，线段的垂直平分线A B 、8AB =M A MB l 交于点，若以所在直线为轴，的中垂线为轴建立直角坐标系. MA P AB x AB y （1）试求点的轨迹的方程;P C （2）直线与点所在曲线交于弦，当变化时，试求的面积的()40R mx y m m --=∈P C EF m AEF △最大值.【答案】（1）221259x y +=（2） 15【解析】【分析】（1）根据几何关系将距离转化为，结合椭圆定义即可求解；10PA PB +=（2）先判断直线过定点且斜率不能为0，则三角形的底为定值，即求三角形的高的最大值，联12y y -立直线与椭圆方程，将斜率转化为三角形式，结合三角公式化简，用基本不等式求解即可. 【小问1详解】以为轴，中垂线为轴，则，AB x ABy ()()4,0,4,0A B -由题意得，， 108PA PB PA PM AB +=+==＞所以点的轨迹是以为左右焦点，长轴长为10的椭圆，P ,A B 设椭圆的方程为，焦距为2c ，()222210x y a b a b+=>>所以，解得，22221028a c a b c =⎧⎪=⎨⎪=+⎩534a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以点的轨迹的方程为P C 221259x y +=【小问2详解】由得过定点，显然，40mx y m --=()4y m x =-()4,0B 0m ≠联立 ()224,1259y m x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩得恒成立. 2297225810,Δ0y y m m ⎛⎫++-=>⎪⎝⎭所以，， 12227272925925m my y m m+=-=-++212228181925259m y y m m =-=-++所以12y y -===因为为直线斜率，所以令m tan ,tan 0,m θθ=≠所以22122290tan 90tan 125tan 925tan 9sin y y θθθθθ-==⋅++2222290sin 190sin 19015.99cos 25sin sin 916sin sin 416sin sin θθθθθθθθθ=⋅=⋅=≤=+++即 时 当且仅当916sin ,sin θθ=3sin ,4θ=1215,4max y y -=()115815.24AEF max S =⨯⨯=△【点睛】思路点睛：圆锥曲线的面积最值问题多采用直线与圆锥曲线联立方程组，运用韦达定理结合基本不等式计算的方法，本题为简化计算，还可以采用三角换元，将直线斜率与三角函数巧妙联系从而更快求解。
卓越数学教师考试答案
卓越数学教师考试答案一、单项选择题（每题2分，共20分）1. 以下哪个选项是数学中“有理数”的定义？A. 可以表示为两个整数的比的数B. 可以表示为两个实数的比的数C. 可以表示为两个无理数的比的数D. 可以表示为两个复数的比的数答案：A2. 几何中，圆的周长公式是什么？A. C = πrB. C = 2πrC. C = πdD. C = 2πd答案：B3. 以下哪个选项是数学中“质数”的定义？A. 只有1和它本身两个因数的自然数B. 只有1和它本身两个因数的整数C. 只有1和它本身两个因数的实数D. 只有1和它本身两个因数的有理数答案：A4. 代数中，一元二次方程的一般形式是什么？A. ax^2 + bx + c = 0B. ax^2 + bx + c = 1C. ax^2 + bx + c = 2D. ax^2 + bx + c = 3答案：A5. 以下哪个选项是数学中“函数”的定义？A. 一个数集到另一个数集的映射B. 一个数集到另一个数集的函数C. 一个数集到另一个数集的关系D. 一个数集到另一个数集的运算答案：A6. 以下哪个选项是数学中“向量”的定义？A. 有大小和方向的量B. 只有大小没有方向的量C. 只有方向没有大小的量D. 既没有大小也没有方向的量答案：A7. 以下哪个选项是数学中“矩阵”的定义？A. 由行和列组成的数阵B. 由行和列组成的字母阵C. 由行和列组成的符号阵D. 由行和列组成的图形阵答案：A8. 以下哪个选项是数学中“排列”的定义？A. 从n个不同元素中取出m个元素的所有可能的有序排列B. 从n个不同元素中取出m个元素的所有可能的无序排列C. 从n个不同元素中取出m个元素的所有可能的组合D. 从n个不同元素中取出m个元素的所有可能的配对答案：A9. 以下哪个选项是数学中“组合”的定义？A. 从n个不同元素中取出m个元素的所有可能的有序排列B. 从n个不同元素中取出m个元素的所有可能的无序排列C. 从n个不同元素中取出m个元素的所有可能的组合D. 从n个不同元素中取出m个元素的所有可能的配对答案：C10. 以下哪个选项是数学中“概率”的定义？A. 事件发生的可能性B. 事件发生的必然性C. 事件发生的不可能性D. 事件发生的随机性答案：A二、填空题（每题2分，共20分）1. 圆的面积公式是 ______ 。
八年级卓越杯数学竞赛试卷
一、选择题（每题5分，共50分）1. 下列各数中，绝对值最小的是（）A. -3B. -2C. 0D. 12. 已知 a > b，下列不等式中正确的是（）A. a + 2 > b + 2B. a - 2 > b - 2C. a + 2 < b + 2D. a - 2 < b - 23. 若方程 x^2 - 4x + 3 = 0 的解为 x1 和 x2，则 x1 + x2 的值为（）A. 2B. 3C. 4D. 54. 下列函数中，自变量x的取值范围正确的是（）A. y = √(x - 1)B. y = 2/xC. y = x^2D. y = 1/x5. 在等腰三角形ABC中，AB = AC，若∠B = 50°，则∠A的度数是（）A. 50°B. 60°C. 70°D. 80°6. 已知 a、b、c 是等差数列，且 a + b + c = 12，则 a^2 + b^2 + c^2 的值为（）A. 36B. 48C. 60D. 727. 下列图形中，不是轴对称图形的是（）A. 正方形B. 等腰三角形C. 圆D. 长方形8. 若等比数列的前三项分别为 a, ar, ar^2，其中 a > 0，r ≠ 1，则数列的公比 r 的取值范围是（）A. r > 1B. 0 < r < 1C. r > 0 且r ≠ 1D. r < 09. 已知函数 y = kx + b（k ≠ 0），若点 (1, 3) 和 (2, 5) 在函数的图像上，则函数的解析式为（）A. y = 2x + 1B. y = 2x - 1C. y = 1x + 3D. y = 1x + 510. 在直角坐标系中，点A(2, 3)关于x轴的对称点B的坐标是（）A. (2, -3)B. (-2, 3)C. (-2, -3)D. (2, 6)二、填空题（每题5分，共50分）11. 已知 a、b、c 是等差数列，且 a + b + c = 12，若 a = 2，则 b + c =_______。
卓越数学试题
2013年卓越联盟自主招生数学试题一、选择题：（本大题共4小题，每小题5分．在每小题给出的4个结论中，只有一项是符合题目要求的．）1 已知()f x 是定义在实数集上的偶函数，且在(0,)+∞上递增，则（A ）0.72(2)(log 5)(3)f f f <-<- (B) 0.72(3)(2)(log 5)f f f -<<-(C) 0.72(3)(log 5)(2)f f f -<-< (D) 0.72(2)(3)(log 5)f f f <-<-2 已知函数()sin()(0,0)2f x x πωϕωϕ=+><<的图象经过点(,0)6B π-，且()f x 的相邻两个零点的距离为2π，为得到()y f x =的图象，可将sin y x =图象上所有点 (A) 先向右平移3π个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的12倍，纵坐标不变 (B) 先向左平移3π个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的12倍，纵坐标不变 (C) 先向左平移3π个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变 (D) 先向右平移3π个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变 3 如图，在,,,,A B C D E 五个区域中栽种3种植物，要求同一区域中只种1种植物，相邻两区域所种植物不同，则不同的栽种方法的总数为（A ）21 (B)24 (C)30 ( D)484 设函数()f x 在R 上存在导数()f x '，对任意的x R ∈，有2()()f x f x x -+=，且在(0,)+∞上()f x x '>．若(2)()22f a f a a --≥-，则实数a 的取值范围为（A ）[1,)+∞ (B) (,1]-∞ (C) (,2]-∞ (D) [2,)+∞二、填空题：（本大题共4小题，每小题6分，共24分）5 已知抛物线22(0)y px p =>的焦点是双曲线2218x y p -=的一个焦点，则双曲线的渐 近线方程为 ．6 设点O 在ABC ∆的内部，点D ，E 分别为边AC ，BC 的中点，且21OD DE +=， 则23OA OB OC ++= ．7 设曲线22y x x =-与x 轴所围成的区域为D ，向区域D 内随机投一点，则该点落 入区域22{(,)2}x y D x y ∈+<内的概率为 ．8 如图，AE 是圆O 的切线，A 是切点，AD 与OE 垂直，垂足是D ，割线EC 交圆O 于,B C ，且,O D C D B C αβ∠=∠=，则OEC ∠= （用,αβ表示）．三、解答题（本大题共4小题，共56分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 9（本小题满分13分）在ABC ∆中，三个内角A 、B 、C 所对边分别为a 、b 、c ．已知()(sin sin )()sin a c A C a b B -+=-．（1）求角C 的大小； （2）求sin sin A B ⋅的最大值．10（本题满分13分） 设椭圆2221(2)4x y a a +=>的离心率为33，斜率为k 的直线l 过点(0,1)E 且与椭圆交于,C D 两点．（1）求椭圆方程；（2）若直线l 与x 轴相交于点G ，且GC DE =，求k 的值； （3）设A 为椭圆的下顶点，AC k 、AD k 分别为直线AC 、AD 的斜率，证明对任意的k 恒 有2AC AD k k ⋅=-．11（本题满分15分）设0x >，（1）证明：2112x e x x >++；（2）若2112x y e x x e =++，证明：0y x <<． 12（本题满分15分）已知数列{}n a 中，13a =，2*1,,n n n a a na n N R αα+=-+∈∈． （1）若2n a n ≥对*n N ∀∈都成立，求α的取值范围；（2）当2α=-时，证明*121112()222n n N a a a +++<∈--- 2012年卓越联盟自主招生数学试题一、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
2022-2023学年上海市交通大学附属中学高一年级下册学期3月卓越考试数学试题【含答案】
高一下学期3月卓越考试数学试题一、单选题1．已知，则“”是“”的（ ）αβ∈R sin()sin 2αβα+=2()k k βαπ=+∈Z A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】利用正弦函数性质得出的关系，然后根据充分必要条件的定义判断．,αβ【详解】由，sin()sin 2αβα+=可得或，22,Z k k αβαπ+=+∈22,Z k k αβπαπ+=-+∈即或，2(Z)k k βαπ=+∈23(Z)k k βππα=+-∈所以由“”推不出“”，由“”可推出“sin()sin 2αβα+=2()k k βαπ=+∈Z 2()k k βαπ=+∈Z ”，sin()sin 2αβα+=所以“”是“”的必要不充分条件．sin()sin 2αβα+=2()k k βαπ=+∈Z 故选：B ．2．设是第三象限角，则下列函数值一定为负数的是（ ）αA ．B ．C ．D ．cos 2αtan2αsin2αcos2α【答案】B【分析】根据的范围，求出以及的范围，根据三角函数在各个象限的符号，即可得出答案.α2α2α【详解】对于A 项，由已知，的取值集合为.α{}|360180360270,k k k αα⋅︒+︒<<⋅︒+︒∈Z 所以，，236036022360360180,k k k α⋅︒+︒<<⋅︒+︒+︒∈Z 所以，，()()21360221360180,k k k α+⋅︒<<+⋅︒+︒∈Z 所以，可能是第一象限角，也可能为第二象限角，终边也有可能落在轴正半轴上，故A 错误；2αy 对于B 项，由已知，的取值集合为.α{}|360180360270,k k k αα⋅︒+︒<<⋅︒+︒∈Z 所以，.180********,2k k k α⋅︒+︒<<⋅︒+︒∈Z当为偶数时，设，则，k 2,k n n =∈Z 36090360135,2n n n α⋅︒+︒<<⋅︒+︒∈Z此时位于第二象限，；2αtan2α<当为奇数时，设，则，k 21,k n n =+∈Z 360270360315,2n n n α⋅︒+︒<<⋅︒+︒∈Z此时位于第四象限，.2αtan2α<综上所述，恒成立，故B 项正确；tan2α<对于C 项，当位于第二象限时，，故C 项错误；2αsin2α>对于D 项，当位于第四象限时，，故D 项错误.2αcos2α>故选：B.3．对于给定的实数a ，不等式ax 2 +（a -1）x -1 < 0的解集可能是（ ）A ．{}B ．{x |x ≠-1}C ．{x |x< -1}D ．R1|1x xa ＜＜【答案】B【分析】根据因式分解求解不等式并分类讨论即可得解.【详解】①当时,0a >ax 2 +（a -1）x -1 < 0可以转化为，(1)(1)0ax x -+<所以；11x a -<<②当时,0a =ax 2 +（a -1）x -1 < 0可以转化为，(1)0x -+<所以；1x >-③当时,a<0(i),解集为，10a -<<(1)(1)0ax x -+<1(,(1,)a ∞∞-⋃-+(ii),可以转化为，解集为 {x |x ≠-1}1a =-(1)(1)0ax x -+<2(1)0x -+<(iii),解集为，1a <-(1)(1)0ax x -+<1(,1)(,)a ∞∞--⋃+综上所述，不等式ax 2 +（a -1）x -1 < 0的解集可能是B.故选：B.4．若，则的值为（ ）1tan 3α=-222ππcos sin 332sin cos cos ααααα⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+A ．B ．C ．D ．1035323103-【答案】A【分析】根据三角函数基本关系式的和带入即可求解.22sin cos =1αα+sin tan cos ααα=【详解】因为，22sin cos =1αα+所以，22ππcos sin =133αα⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭又，1tan 3α=-所以原式.222221sin cos tan 1102sin cos cos 2sin cos cos 2tan 13αααααααααα++====+++故选：A.5．在中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，ABC 22cos 32BB +=，则的外接圆的面积为（ ）cos cos sin sin 6sin BC A Bb c C +=ABC A ．B ．C ．D ．12π16π24π64π【答案】B化简得到，利用余弦定理和正弦定理将22cos 32B B +=π3B =化简可得，进而求出结果.cos cos sin sin 6sin B C A Bb c C +=b =，22cos 32BB +=1cos 232B B ++⋅=，即，cos 2B B +=πsin 16B ⎛⎫+= ⎪⎝⎭又，所以，()0,πB ∈ππ7π,666B ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭所以，所以.ππ62B +=π3B =因为，cos cos sin sin 6sin B C A Bb c C +=由余弦定理得，222222sin sin 226sin a c b a b c A Bbac cab C +-+-+=即，sin sin 6sin a A B bc C =又，所以3B π=sin B =a bc =由正弦定理得a bc =b =设的外接圆的半径为，ABC R 所以，解得，28sin bR B ==4R =所以的外接圆的面积为.ABC 2π16πR =故选：B.6．阻尼器是一种以提供阻力达到减震效果的专业工程装置.我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器减震装置，被称为“定楼神器”，如图1.由物理学知识可知，某阻尼器的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移和时间的函数关系为，如图2，若该阻(m)y (s)t sin()(0,π)y t ωϕωϕ=+><尼器在摆动过程中连续三次到达同一位置的时间分别为，，，且，1t 2t ()31230t t t t <<<122t t +=，则在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于0.5m 的总时间为（ ）235t t +=A ．B ．C ．1D ．1s 32s 3s4s 3【答案】C【分析】先根据周期求出，再解不等式，得到的范围即得解.2π3ω=2πsin 0.53t ϕ⎛⎫+> ⎪⎝⎭t 【详解】因为，，，所以，又，所以，122t t +=235t t +=31t t T -=3T =2πT ω=2π3ω=则，由可得，2πsin 3y t ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭0.5y >2πsin 0.53t ϕ⎛⎫+> ⎪⎝⎭所以，π2π5π2π2π,Z 636k t k k ϕ+<+<+∈所以，故，135333,Z 42π42πk t k k ϕϕ+-<<-+∈531333142π42πk k ϕϕ⎛⎫⎛⎫+--+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于0.5m 的总时间为1s ．故选：C.7．函数的部分图象如图所示，则，的值分别是()()ππsin 0,0,22f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>-<< ⎪⎝⎭ωϕ（ ）A ．2，B ．2，C ．4，D ．4，π3-π6-π6-π3【答案】A【分析】根据函数图象先确定的值，再由周期求出，利用最大值点求出的值，从而得出结A ωϕ论．【详解】因为，有图可得，且，．0A >2A =12π11π5π21212ω⋅=-2ω∴=再将最大值点代入解析式可得：，，5ππ22π122k ϕ⨯+=+Z k ∈即，，又，所以.π2π3k ϕ=-+Z k ∈22ππϕ-<<π3ϕ=-故选：A ．8．已知函数.给出下列结论：()πsin 3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭①为奇函数；π3f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭②是的最大值；π2f ⎛⎫ ⎪⎝⎭()f x ③把函数的图象上所有点向左平移个单位长度，可得到函数的图象.sin y x =π3()y f x =其中所有正确结论的序号是（ ）A ．①B ．①③C ．②③D ．①②③【答案】B【分析】根据正弦函数的奇偶性，正弦函数的最大值判断①②，由图象变换判断③．【详解】，则，它是奇函数，①正确；()πsin 3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()in πs 3f x x-=不是函数的最大值，函数最大值是1，②错；ππππ1(sin()cos 22332f =+==把函数的图象上所有点向左平移个单位长度，所得图象的函数解析式是，sin y x =π3πsin(3y x =+③正确．故选：B ．9．已知函数，则在上的零点个数是（ ）()sin 22sin 1f x x x =+-()f x []0,2023πx ∈A ．2023B ．2024C ．2025D ．2026【答案】B【分析】先证明函数为周期函数，再利用导数研究函数在一个周期内的零点个数，由此()f x ()f x 可得结论.【详解】因为，()()()()2πsin 22π2sin 2π1sin 22sin 1f x x x x x f x +=+++-=+-=所以函数是周期为的周期函数，()sin 22sin 1f x x x =+-2π又，()2cos 22cos 2(2cos 1)(cos 1)f x x x x x '=+=-+当时，令，[]0,2πx ∈()2(2cos 1)(cos 1)0f x x x '=-+=可得或或π3x =5π3x =πx =当时，，当且仅当时，π03x ≤≤()0f x '≥π3x =()0f x '=函数在上单调递增，()f x π0,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦因为，，所以函数在存在一个零点；()01f =-π103f ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭()f x π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦当时，，当且仅当时，，π5π33x <<()0f x '≤πx =()0f x '=所以函数在上单调递减，()f x π5π,33x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭因为，，π103f ⎛⎫=> ⎪⎝⎭()π10f =-<所以函数在存在一个零点；()f x π,π3⎛⎫ ⎪⎝⎭当时，，所以函数在上单调递增，5π2π3x <≤()0f x ¢>()f x 5π,2π3x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦因为，，5π103f ⎛⎫=< ⎪⎝⎭()2π10f =-<所以函数在不存在零点；()f x 5π,2π3⎛⎤⎥⎝⎦所以当时，函数有两个零点，且零点位于区间内，[]0,2πx ∈()f x ()0,π所以在上共有个零点.()f x []0,2023πx ∈210122024⨯=故选：B.【点睛】对于具有周期性的函数的性质的研究一般先确定函数的周期，再研究函数在一个周期性质，由此解决问题.10．设函数，则（ ）()ln 21ln 21f x x x =++-()f x A ．是偶函数，且在单调递增B ．是奇函数，且在单调递减1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．是偶函数，且在单调递增D ．是奇函数，且在单调递增1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭【答案】A【分析】根据奇偶性定义判断BD ；再由导数判断AC.【详解】由得定义域为，关于坐标原点对称，()ln 21ln 21f x x x =++-()f x 12x x ⎧⎫≠±⎨⎬⎩⎭又，()()ln 12ln 21ln 21ln 21f x x x x x f x -=-+--=-++=故为定义域上的偶函数，可排除BD ；()f x 当时，，1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭()()()ln 21ln 21f x x x =++-()2202121f x x x '=+>+-即在上单调递增，故A 正确；又函数为偶函数，所以函数在单()f x 1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭()f x ()f x 1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭调递，故C 错误.故选：A11．已知函数在区间上存在零点，且函数在区间上()()π2sin 04f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭[]0,2π()f x []0,2π的值域为，则的取值范围是（ ）2M ⎡⎤⊆⎣⎦ωA ．B ．C ．D ．13,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦13,84⎡⎤⎢⎥⎣⎦14,83⎡⎤⎢⎥⎣⎦1,18⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B【分析】利用正弦函数的图象与性质以及整体代换的技巧进行求解.【详解】当时，，[]0,2πx ∈πππ,2π444x ωω⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦因为函数在区间上存在零点，()()π2sin 04f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭[]0,2π根据正弦函数图象可知，，解得，π2π04ω-≥18ω≥又函数在区间上的值域为，()f x []0,2π2M ⎡⎤⊆⎣⎦根据正弦函数图象可知，，解得，π5π2π44ω-≤34ω≤所以的取值范围是，故A ，C ，D 错误.ω13,84⎡⎤⎢⎥⎣⎦故选：B.12．已知函数对任意都有，则当取到最大值时，π()sin ,03f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭3π0,8x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭1()2f x >ω的一个对称中心为（ ）()f x A ．B ．C ．D ．π,08⎛⎫⎪⎝⎭3π,016⎛⎫ ⎪⎝⎭π,02⎛⎫ ⎪⎝⎭3π,04⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】C【分析】先根据，得到，结合，得到的范围，求3π0,8x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ππ3ππ3383x ωω<+<+1()2f x >3ππ83ω+出的范围，进而得到的最大值为，再利用整体法求出函数的对称中心，得到答案.ωω43【详解】，,3π0,8x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ 0ω>，ππ3ππ3383x ωω∴<+<+，1()2f x >，π3ππ5π3836ω∴<+≤，所以的最大值为，403ω∴<≤ω43当时，令，解得，43ω=4π()sin 33f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭4ππ,Z 33x k k +=∈π3π,Z 44x k k =-+∈所以函数的对称中心为，，π3π,044k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭Z k ∈当时，对称中心为，经检验，其他三个均不合要求.1k =π,02⎛⎫⎪⎝⎭故选：C13．定义在R 上的奇函数，满足，且在上单调递减，则不等式()f x 102f ⎛⎫= ⎪⎝⎭()0,∞+的解集为（ ）()()()f x f x x x --<--A ．或B ．或1|02x x ⎧<<⎨⎩102x ⎫-<<⎬⎭1|2x x ⎧<-⎨⎩12x ⎫>⎬⎭C ．或D ．或1|02x x ⎧<<⎨⎩12x ⎫<-⎬⎭12x x⎧⎨⎩102x ⎫-<<⎬⎭【答案】B【分析】由已知化简不等式可得.然后根据单调性、奇偶性，分别讨论求解以及()f x x <0x >时，不等式的解集，即可得出答案.0x <【详解】由已知可得.()()()()()202f x f x f x f x x x x x--==<--当时，有.0x >()0f x <由，且在上单调递减，可知；102f ⎛⎫= ⎪⎝⎭()0,∞+12x >当时，有.0x <()0f x >根据奇函数的性质，可推得，且在上单调递减，102f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭(),0∞-所以.12x <-综上所述，不等式的解集为或.()()()f x f x x x --<--1|2x x ⎧<-⎨⎩12x ⎫>⎬⎭故选：B.14．“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数和形是函数的神和形两方面､在数学的学习研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征.若下图为的大致图象，则函数的解析式最可能为（ ）()y f x =()y f x =A ．B ．C ．D ．()e ln xf x x =⋅()e ln ||xf x x =⋅||()e ln ||x f x x =⋅()e ln ||xf x x -=⋅【答案】B【分析】根据函数的定义域、奇偶性、单调性判断各选项.【详解】对于A ，函数的定义域为，所以与已知图像不符，排除；()e ln x f x x =⋅()0+∞，对于C ，，由于，所以函数是一个偶函数，||()e ln ||x f x x =⋅||||()e ln ||e ln ||()x x f x x x f x --=⋅-=⋅=()f x 图像关于轴对称，所以与已知图像不符，排除；y 对于D ，，，，所以与已知图像不符，排除；()e ln ||x f x x -=⋅e(e)e f -=22e e21(e )(e)e e f f =<=故选：B.15．在中，“是锐角三角形”是“”的（ ）ABC ABC tan tan 1A B >A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】运用在△中，分别证明充分性与必要性是否成立即ABC tan tan(π)tan()C A B A B =--=-+可.【详解】①已知△是锐角三角形，求证：.ABC tan tan 1A B >因为△是锐角三角形，所以C 为锐角，从而，即，所以ABC tan 0C >tan()0A B -+>，tan tan 01tan tan A BA B <-又因为A ，B 也是锐角，故有，即．1tan tan 0A B -<tan tan 1A B >②在△中，已知，求证：△是锐角三角形.ABC tan tan 1A B >ABC 因为在△中，，所以，即A ，B 为锐角，ABC tan tan 1A B >tan 0,tan 0A B >>又因为，()()tan tan tan tan πtan 01tan tan A BC A B A B A B +=--=-+=->-所以C 为锐角，所以△是锐角三角形.ABC 综述：在△中，“△是锐角三角形”是“”的充要条件.ABC ABC tan tan 1A B >故选：C.16．已知定义在R 上的函数满足，当时，．若对任()f x ()()12f x f x +=(]0,1x ∈()14f x sin x π=-意，都有的取值范围是（ ）(],x m ∈-∞()f x ≥m A ．B ．9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦7,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．D ．5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦8,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【答案】B【分析】由题意可得当时，，(]2,3x ∈()()()[]42sin π21,0f x f x x ⎡⎤=-=--∈-⎣⎦且，令或，结合图像即可得到结果.(]π2π,3πx ∈()sin π2x ⎡⎤--=⎣⎦73x =83x =【详解】由得，()()12f x f x +=()()21=-f x f x 因为当时，，所以；(],1x n n ∈+()()2sin ππn 4n f x x =--()2,04n f x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦当时，，；(]1,2x ∈(]10,1x -∈()()()1121sin π1,022f x f x x ⎡⎤⎡⎤=-=--∈-⎣⎦⎢⎥⎣⎦当时，，；(]2,3x ∈(]20,1x -∈()()()[]42sin π21,0f x f x x ⎡⎤=-=--∈-⎣⎦且，如图令或；(]π2π,3πx ∈()sin π2x ⎡⎤--=⎣⎦73x =83x =若对任意，都有的取值范围是.(],x m ∈-∞()f x ≥m 7,3⎛⎤-∞⎥⎝⎦故选：B.二、填空题17．已知函数，则不等式的解集是__________.()ln 1f x x x =+-()0f x <【答案】()0,1【分析】根据函数的单调性，以及即可求解.()10f =【详解】函数的定义域为.()ln 1f x x x =+-()0,∞+因为在上为增函数，在上为增函数，1y x =-()0,∞+ln y x =()0,∞+所以在上为增函数，()ln 1f x x x =+-()0,∞+又，所以不等式的解集为.()1ln1110f =+-=()0f x <()0,1故答案为：()0,118．已知，则__________．1sin cos ,(0,π)5ααα+=∈(sin 1)(cos 1)αα-+=【答案】225-【分析】利用同角三角函数平方关系可构造方程求得,再求,进而运算求得结sin cos αα⋅sin cos αα-果.【详解】由得：1sin cos 5αα+=，()2221sin cos sin 2sin cos cos 12sin cos 25αααααααα+=++=+=解得：；12sin cos 25αα⋅=-由得：12sin cos 25αα=-()22249sin cos sin 2sin cos cos 12sin cos 25αααααααα-=-+=-=又因为,且,所以即(0,π)α∈12sin cos 25αα⋅=-sin 0,cos 0αα><sin cos 0αα->所以7sin cos 5αα-=则(sin 1)(cos 1)sin co 1272sin cos 1521255s αααααα-+=⋅+=-+-=---故答案为：.225-19．函数的部分图象如图所示，则______．()πsin 3f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()0ω>ω=【答案】##32 1.5【分析】由图象可知，即可推出．进而根据图象可推得，4π09f ⎛⎫= ⎪⎝⎭93,4k k ω-=∈Z 8π16π99T <<即可得出，进而可得出答案.9984ω<<【详解】由题图知，，则，解得．4π09f ⎛⎫= ⎪⎝⎭4πππ,93k k ω+=∈Z93,4k k ω-=∈Z 设的最小正周期为T ，易知，所以.()πsin 3g x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭4π492T T <<8π16π99T <<因为，所以，解得，0ω>8π2π16π99ω<<9984ω<<当且仅当时，符合题意，此时．1k =32ω=故答案为：.3220．已知实数x ，y 满足，则的最大值为______．221x y xy ++=222x y +【答案】2【分析】由得，令，可解得，代221x y xy ++=223124y x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭cos 2sin y x y θθ⎧+=⎪=cos x y θθθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩入，结合三角函数的性质求得答案.222x y +【详解】由得，221x y xy++=223124y x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭令，可解得，则cos 2sin y x y θθ⎧+=⎪=cosxy θθθ⎧=⎪⎪⎨⎪⎪⎩，当时等号成立．222222cos 222x y θθθθ⎛⎫⎫+=+=≤ ⎪⎪⎝⎭⎭sin 21θ=-故的最大值为.222x y+2故答案为：.2+21．已知的内角所对的边分别为，若，则的ABC A B C ，，a b c ，，222222sin sin sin A C b c a B b c a --=+-tan C 取值范围为_____【答案】()0,1【分析】由正弦定理和余弦定理得到，从而得到异号，分cos sin cos BC A =-cos ,cos B A 和两种情况，第一种情况不成立，第二种情况得到cos 0,cos 0A B <>cos 0,cos 0B A <>，结合得到的取值范围.1tan 1tan C A =+tan 0A >tan C 【详解】由正弦定理得：，故，sin sin sin sin A C a CB b =222222sin a C b c a b b c a --=+-又，22222222222222b c a b c a c b c a b c ac ----=+-+-所以，即，222222sin 22b c a a Cc b c a bc --=+-2222222sin 2b c a ac C b c a bc --=+-由余弦定理得，cos sin cos BC A =-因为为的一个内 角，所以，C ABC sin 0C >由，知异号.cos sin cos BC A =-cos ,cos B A 若，则A 为钝角，为锐角，cos 0,cos 0A B <>,B C 则，()cos sin cos cos cos πB C A A A =-<-=-所以在上单调递减，而为锐角，cos y x =π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭πA -故，所以，不合题意；πB A >-πA B +>若，则为钝角，为锐角，cos 0,cos 0B A <>B ,A C 因为，所以，πA B C ++=()cos cos B A C =-+由，得，cos sin cos BC A =-cos sin cos 0B C A +=即，cos cos sin sin sin cos 0A C A C C A -++=因为为锐角，所以，,A C cos 0,cos 0A C ≠≠方程两边同除以得：，cos cos A C cos cos sin sin sin cos 0cos cos A C A C C AA C -++=故得，即，1tan tan tan 0A C C -++=1tan 1tan C A =+因为A 为锐角，所以，所以.tan 0A >()tan 0,1C ∈故答案为：()0,1【点睛】解三角形中最值或范围问题，通常涉及与边长，周长有关的范围问题，与面积有关的范围问题，或与角度有关的范围问题，常用处理思路：①余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案；②采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，通常采用这种方法；③巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦或余弦函数求出最值.22．已知， 且， 则的最大值为________.π,0,2x y ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭tan tan tan sin sin 1x y x y x +-≤222(1)x y --【答案】2π2π22-+【分析】由，通过研究函数单调性可得tan tan tan sin sin 1x y x y x +-≤t an si n y x x =+，后设，则，其中，02πx y <+≤x y m +=222(1)x y --()22422y m y m =-+-+-02π,y ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.π02m <≤【详解】因，则tan tan tan sin sin 1x y x y x +-≤.1122si n ππt an si n cos t an si n t an t an x y y x x x x x ⎛⎫⎛⎫++≤=+=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因函数均在上单调递增，则函数在上单调递增，故tan ,sin y x y x ==π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭t an si n y x x =+π0,2⎛⎫⎪⎝⎭有：.02πx y <+≤设，其中，则x y m +=π02m <≤()()22222(1)21x y m y y --=---，()()()()2222242222121y m y m y m m m ⎡⎤=-+-+-=---+-≤-⎣⎦当且仅当时取等号，则此时，得2y m =-022πm <-<222ππm -<≤又函数在时单调递减，在时单调递增，()()221f m m =-212π,m ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦12π,m ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，222ππf f ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则，()()22212222πππf m m f ⎛⎫=-≤=-+ ⎪⎝⎭此时.222π，π-y x =-=故答案为：2π2π22-+【点睛】关键点点睛：本题涉及构造函数，含参二次函数的最值，难度较大.对于所给不等式，分离含x ，y 式子后，通过构造函数得到.后将问题化为求含参二次函数的最值问题.02πx y <+≤三、解答题23．在中，内角所对的边分别为，且.ABC A B C ，，a b c ，，cos cos c a b c B b Cb c a +++=-(1)求C ；(2)若角C 的内角平分线与AB 边交于点D ，且CD ＝2，求b ＋4a 的最小值.【答案】(1)2π3C =(2)18【分析】（1）利用正弦定理把已知条件化为，再用余弦定理求得角；c a b ab c a ++=-C （2）由△BCD 和△ACD 的面积之和等于△ABC 的面积求出，利用基本不等式求出故1112a b +=的最小值.4b a +【详解】（1）设外接圆的半径为R ，由正弦定理得：ABC ，()cos cos 2sin cos 2sin cos 2sin 2sin c B b C R C B R B C R B C R A a+=+=+==则可化为，cos cos c a b c B b C b c a +++=-c a b ab c a ++=-整理得.222a b c ab +-=-由余弦定理得，2221cos 222a b c ab C ab ab +--===-又，所以.0πC <<2π3C =（2）由和的面积之和等于的面积，得，BCD △ACD ABC 1π1π12πsin sin sin232323CD a CD b ab ⋅+⋅=可得，即.22ab b a =+1112a b +=则，()(114424252518a b b a b a a b b a ⎛⎫⎛⎫+=++=⨯++⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≥当且仅当，即时，等号成立.41112a bb a a b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩6,3b a ==故的最小值为18.4b a +24．若函数满足且（），则称函数为()y f x =()3π2f x f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ππ44f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x ∈R ()y f x =“函数”．M (1)试判断是否为“函数”，并说明理由；4sin 3y x=M (2)函数为“函数”，且当时，，求的解析式，并写出在()f x M ,ππ4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦sin y x =()y f x =上的单调增区间；30,π2⎡⎤⎢⎣⎦(3)在（2）条件下，当，关于的方程（为常数）有解，记该方程所有解的π52π,2x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦x ()f x a =a 和为，求．S S 【答案】(1)不是“函数”，理由见解析4sin 3y x=M (2)，单调递增区间为，；()33π3πcos π,π,π,Z 2222433π3sin π,π,ππ,Z 2242x k x k k k f x x k x k k k ⎧⎛⎫⎡⎫-∈-+∈ ⎪⎪⎪⎢⎪⎝⎭⎣⎭=⎨⎛⎫⎡⎤⎪-∈++∈ ⎪⎢⎥⎪⎝⎭⎣⎦⎩ππ,42⎡⎤⎢⎣⎦3ππ,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭(3){}4π,16π,8π,a S a a ⎧⎡∈⋃⎪⎢⎪⎣⎪⎪==⎨⎪⎪⎫∈⎪⎪⎪⎪⎭⎩【分析】（1）根据题干条件代入检验，得到，故不是“函数”；ππ44f x f x ⎛⎫⎛⎫+≠- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4sin 3y x=M（2）求出函数的周期，由得到，结合当时，3π2T =ππ44f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()π2f x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,ππ4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，从而得到函数解析式，并求出单调递增区间；sin y x =（3）画出在上图象，数形结合，由函数的对称性，分三种情况进行求解，得到.()f x π5π,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦S 【详解】（1）不是“函数”，理由如下：4sin 3y x=M ，()3π43π44sin sin 2πsin 23233f x x x x f x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=+== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，44sin sin 3ππ334π4f x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭44sin sin 3ππ334π4f x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭则，ππ44f x f x ⎛⎫⎛⎫+≠- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故不是“函数”；4sin 3y x=M （2）函数满足，故的周期为，()f x ()3π2f x f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()f x 3π2T =因为，ππ44f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以，()π2f x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭当时，，，3π3π,ππ242x k k ⎡⎤∈++⎢⎥⎣⎦()33πsin π22f x f x k x k ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Z k ∈当时，3π3ππ,π2224x k k ⎡⎫∈-+⎪⎢⎣⎭，，()π3π33πsin πcos π22222f x f x k x k x k ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦Z k ∈综上：，()33π3πcos π,π,π,Z 2222433π3sin π,π,ππ,Z2242x k x k k k f x x k x k k k ⎧⎛⎫⎡⎫-∈-+∈ ⎪⎪⎪⎢⎪⎝⎭⎣⎭=⎨⎛⎫⎡⎤⎪-∈++∈ ⎪⎢⎥⎪⎝⎭⎣⎦⎩中，()33π3sin π,π,ππ,Z2242f x x k x k k k ⎛⎫⎡⎤=-∈++∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦当时，，，此时单调递增区间为，0k =π,π4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()sin f x x =ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦，中，()3cos π2f x x k ⎛⎫=- ⎪⎝⎭3π3ππ,π,Z2224x k k k ⎡⎫∈-+∈⎪⎢⎣⎭当时，，，1k =7ππ,4x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭()3cos π2f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭则，31πππ,224x ⎡⎫-∈-⎪⎢⎣⎭当，即时，函数单调递增，31ππ,022x ⎡⎫-∈-⎪⎢⎣⎭3π,π2x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭经检验，其他范围不是单调递增区间，所以在上的单调递增区间为，；3π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦ππ,42⎡⎤⎢⎣⎦3ππ,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭（3）由（2）知：函数在上图象为：()f x π5π,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦当或1时，有4个解，由对称性可知：其和为，0a ≤<()f x a =π7π224π44⨯+⨯=当有6个解，由对称性可知：其和为，a =()f x a =π7ππ7π226π4444⨯+⨯++=时，有8个解，其和为，1a <<()f x a =π3π02222π28π22⨯+⨯+⨯+⨯=所以.{}4π,16π,8π,a S a a ⎧⎡∈⋃⎪⎢⎪⎣⎪⎪=⎨⎪⎪⎫∈⎪⎪⎪⎪⎭⎩【点睛】函数新定义问题的方法和技巧：（1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解；（2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻；（3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律；（4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念.。
天津市河东区卓越学校2024-2025学年上学期九年级9月月考数学试题
天津市河东区卓越学校2024-2025学年上学期九年级9月月考数学试题一、单选题1．方程213x x +=二次项系数，一次项系数和常数项分别是（ ） A ．1，3-，1B ．1-，3-，1C ．1，3，1-D ．1，3，12．关于x 的一元二次方程280x mx +-=的根的情况是（ ） A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．没有实数根D ．不能判断3．关于x 的一元二次方程2100x bx +-=的一个根为2，则b 的值为（ ） A ．3-B ．2C ．3D ．74．下列各点，在二次函数22y x =-的图象上的是（ ）A ．()00，B ．()10-，C ．()10，D ．()02-，5．已知关于x 的一元二次方程2310x x -+=的两个实数根分别为1x 和2x ，则1212x x x x +-的值为（ ） A ．3B ．3-C ．2D ．2-6．二次函数23(3)y x =--的最大值是（ ） A ．3B ．0C ．1D ．1-7．一元二次方程22310x x ++=用配方法解方程，配方结果是（ ） A ．231416x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ B ．231248x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭C ．23148x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭D ．2311416x ⎛⎫+-=- ⎪⎝⎭8．如图，某小区计划在一块长为32m ，宽为20m 的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为2570m ．若设道路的宽为m x ，则下面所列方程正确的是（ ）A ．()()32220570x x --=B ．322203232570x x +⨯=⨯-C ．()()32203220570x x --=⨯-D ．2322202570x x x +⨯-=9．如图，Rt AOB V 中，AB OB ⊥，且3AB OB ==，设直线x t =截此三角形所得阴影部分的面积为S ，则S 与t 之间的函数关系的图象为下列选项中的( )A ．B ．C ．D ．10．关于二次函数2y x =的图象，下列说法错误的是（ ）A ．它的开口向上，且关于y 轴对称B ．它与2y x =-的图象关于x 轴对称C ．它的顶点是抛物线的最高点D ．它与y 轴只有一个交点11．如果关于x 的一元二次方程 ()²²2110k x k x -++=有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是（ ）A ．14k >B ．14k >-且0k ≠C ．14k <-D ．14k ≥- 且0k ≠12．如图，某公司的大门是一抛物线形建筑物，大门的地面宽度和大门最高点离地面的高度都是8m ，公司想在大门两侧距地面6m 处各安装一盏壁灯，两盏壁灯之间的距离为（ ）A ．2mB ．3mC ．4mD ．6m二、填空题13．一元二次方程218x -=的根为． 14．若2x x =，则x =．15．请写出一个开口向下二次函数表达式，使其图象的对称轴为y 轴：． 16．若实数满足()()22222230x x x x +++-=，则22x x +的结果为．17．已知点()()()123412y y y --，、，、，都在函数21y x =-+的图象上，则123、、y y y 的大小关系为．18．已知关于x 的二次函数()2y x h =--，当25x ≤≤时，函数有最大值1-，则h 的值为．三、解答题 19．解下列方程 (1)2390x x -= (2)210210x x ++= 20．解方程： (1)()()22213x x -=- (2)()3122x x x -=-21．抛物线2y x m =-+与y 轴交于 0,3 点．(1)求出m 的值并画出这条抛物线； (2)求它与x 轴的交点和抛物线顶点的坐标： (3)x 取什么值时，抛物线在x 轴上方？ (4)x 取什么值时，y 的值随x 值的增大而减小？22．已知抛物线()2y a x h =-的对称轴为直线2x =-，且过点()1,3-．(1)求抛物线对应的函数表达式； (2)写出抛物线的开口方向及顶点坐标．23．某商品现在的售价为每件50元，每天可卖出200件．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每天要少卖出10件，已知商品的进价为每件40元，请你帮助分析，当每件商品涨价多少元时，可使每天的销售利润最大，最大利润是多少？ 设每件商品涨价x 元，每天售出商品的利润为y 元． （I ）根据题意，填写下表：（Ⅱ）由以上分析，用含x 的式子表示y ，并求出问题的解．24．如图，二次函数()22y x =+的图象与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ．(1)求点A 、B 的坐标；(2)在抛物线的对称轴上找一点C 使得BC OC +最小，并求出C 点的坐标；(3)在抛物线上是否存在点P ，使得PAB V 的面积与ABO V 的面积相等．若存在，直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．25．在平面直角坐标系中，O 为原点，DOE V 是等腰直角三角形，903ODE ，DO DE ∠=︒==，点D 在x 轴的负半轴上，点E 在第二象限，矩形ABCO 的顶点42B （，），点C 在x 轴的正半轴上，点A 在y 轴的正半轴上．将DOE V沿x 轴向右平移，得到D O E '''△，点D ，O ，E 的对应点分别为D ，O ，E '''．(1)如图1，当E O ''经过点A 时，求点E '的坐标；(2)设OO t '=，D O E '''△与矩形ABCO 重叠部分的面积为S ；①如图②，当D O E '''△与矩形ABCO 重叠部分为五边形时，D E ''与AB 相交于点M ，E O ''分别与AB ，BC 交于点N ，P ，试用含有t 的式子表示S ，并直接写出t 的取值范围； ②请直接写出满足72S =的所有t 的值．。
数学卓越六年级试卷答案
一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个数是负数？（）A. -3B. 0C. 3D. 5答案：A2. 下列哪个图形是正方形？（）A. 矩形B. 三角形C. 圆形D. 梯形答案：A3. 下列哪个数是偶数？（）A. 7B. 9C. 12D. 15答案：C4. 下列哪个数是质数？（）A. 6B. 8C. 10答案：D5. 下列哪个数是分数？（）A. 2B. 0.5C. 1D. 3答案：B6. 下列哪个数是整数？（）A. 1.5B. 2.5C. 3.5D. 4.5答案：A7. 下列哪个数是倒数？（）A. 2B. 0.5C. 1D. 2.5答案：B8. 下列哪个数是平方根？（）A. 4B. 9D. 25答案：C9. 下列哪个数是立方根？（）A. 2B. 3C. 4D. 5答案：C10. 下列哪个数是圆的面积？（）A. πr²B. 2πrC. πrD. 2πr²答案：A二、填空题（每题3分，共30分）1. 3的平方是_________，3的立方是_________。
答案：9，272. 2的倒数是_________，0的倒数是_________。
答案：1/2，无解3. 下列数中，质数有_________，合数有_________。
答案：2，3，5，7，11，合数有4，6，8，9，10，12，14，15，16，18，20……4. 下列数中，偶数有_________，奇数有_________。
答案：2，4，6，8，10，12，14，16，18，20……，奇数有1，3，5，7，9，11，13，15，17，19……5. 下列图形中，长方形有_________个，正方形有_________个。
答案：2个，1个6. 下列图形中，三角形有_________个，四边形有_________个。
答案：2个，3个7. 下列图形中，圆形有_________个，椭圆形有_________个。
答案：1个，2个8. 下列图形中，平行四边形有_________个，梯形有_________个。
河北省石家庄卓越中学2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试题
河北省石家庄卓越中学2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试题一、单选题1．若()()()2,3,2,1,2,2,1,2,2a b c ===-r r r，则()a b c -⋅r r r 的值为（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．22．“3m =-”是“直线()1:1210l m x y +++=与直线2:310l x my ++=平行”的（ ） A ．充要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分不必要条件 D ．既不充分也不必要条件3．已知向量i r ，j r ，k r是一组单位向量，且两两垂直．若83m j k =+u r r r ，54n i j k =-+-r r r r ，则m n⋅u r r 的值为（ ）．A ．7B ．20-C ．28D ．114．如图，在四面体OABC 中，M ，N 分别在棱OA ，BC 上且满足2OM MA =u u u u r u u u r ，BN NC =u u u r u u u r，点G 是线段MN 的中点，用向量OA u u u r ，OB u u u r ，OC u u u r 作为空间的一组基底表示向量OG u u u r应为（ ）A ．111363OG OA OB OC =++u u u r u u u r u u u r u u u rB ．111344OG OA OB OC =++u u u r u u u r u u u r u u u rC ．111336OG OA OB OC =++u u u r u u u r u u u r u u u rD ．111443OG OA OB OC =++u u u r u u u r u u u r u u u r5．给出以下命题，其中正确的是（ ）A ．平面αβ、的法向量分别为12(0,1,3),(1,0,2)n n ==u ru u r，则αβ∥B ．直线l 的方向向量为(0,1,1)a =-r ，平面α的法向量为(1,1,1)n =--r，则l α⊥C ．直线l 的方向向量为(1,1,2)a =-r ，直线m 的方向向量为12,1,2b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭r ，则l 与m 垂直D ．平面α经过三个点(1,0,1),(0,1,0),(1,2,0)A B C ---，向量(1,,)n u t =r是平面α的法向量，则1u t +=6．已知空间向量()()2,2,1,3,0,4a b =-=r r，则向量b r 在向量a r 上的投影向量是（ ） A ．()103,0,49B ．()23,0,45C ．()102,2,19- D ．()22,2,15-7．已知直线l 过点()0,4，40y -+=及x 轴围成等腰三角形，则l 的方程为（ ）A 40y +-=3120y -+=B 3120y -+=40y -+=C 30y -+=D 30y +-=8．如图，在棱长为1的正方体中，下列结论不正确．．．的是（ ）A ．异面直线AC 与1BC 所成的角为60°B ．直线1AB 与平面11ABCD 所成角为45°C ．二面角1A B C B --D ．四面体11D AB C -二、多选题9．在空间直角坐标系O xyz -中，以下结论正确的是（ ） A ．点(3,1,5)A -关于原点O 的对称点的坐标为(3,1,5)-- B ．点(134)A -,,关于x 轴的对称点的坐标为(1,3,4)-- C ．点(1,2,3)P -关于xOy 平面对称的点的坐标是()1,2,3--D ．两点(1,1,2),(1,3,3)M N -间的距离为310．（多选）已知直线:10l x my m -+-=，则下列说法正确的是（ ）．A ．直线l 的斜率可以等于0B ．若直线l 与y 轴的夹角为30°，则m =m =C ．直线l 恒过点()2,1D ．若直线l 在两坐标轴上的截距相等，则1m =或1m =-11．如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，以顶点A 为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是60︒，M 为11AC 与11B D 的交点，若AB a u u u r r=，AD b =u u u r r ，1AA c =u u u r r ，则下列正确的是（ ）A ．1AC c a b =++u u u u r r r rB ．1122BM a b c =-++u u u u rrr rC ．1AC D ．1cos ,AB AC =u u u r u u u u r三、填空题12．经过()1,0A ，(B 两点的直线的倾斜角为. 13．已知直线1:2340l x y -+=，23:1202l ax y a --+=，且12//l l ，则这两条直线之间的距离为.14．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，11AD AA ==，2AB =，E ，F 分别为棱AB ，BC 上一点，且2BE BF +=，P 是线段1B F 上一动点，当三棱锥1B EBF -的体积最大时，直线1D P 与平面1B EC 所成角的正弦值的取值范围为．四、解答题15．已知空间三点()2,0,2A -，()1,1,2B -，()3,0,4C -，设,b AC a AB ==u u ur r u u u r r . (1)求a r和b r的夹角θ的余弦值；(2)若向量ka b +r r 与2ka b -r r 互相垂直，求k 的值．16．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为1BB 的中点．(1)求证：1//BC 平面1AD E ；(2)求直线1AA 与平面1AD E 所成角的正弦值； 17．如图所示，在三棱柱111ABC A B C -中，112π,,,,,,3CA CB CC CA a CB b CC c a b a c =======u u u r u u u r u u u u r r r r r r r r ，π,,2b c N =r r 是AB 的中点.(1)用,,a b c r r r表示向量1A N u u u u r ；(2)在线段11C B 上是否存在点M ，使1AM A N ⊥？若存在，求出M 的位置，若不存在，请说明理由.18．已知直线:140()l kx y k k -+-=∈R 过定点P ： (1)求过P 且在两坐标轴上截距相等的直线方程；(2)l 与x 轴，y 轴正半轴分别相交于A ，B 两点，O 为坐标原点： （i ）求三角形OAB 面积取最小值时直线l 的方程； （ⅱ）求OA OB +取最小值时直线l 的方程．19．已知在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是边长为4的正方形，△P AD 是正三角形，平面P AD ⊥平面ABCD ，E 、F 、G 分别是P A 、PB 、BC 的中点．(1)求证：EF ⊥平面P AD ；(2)求平面EFG 与平面ABCD 所成二面角的夹角的余弦值；(3)线段PD 上是否存在一个动点M ，使得直线GM 与平面EFG 所成角为3π，若存在，求线段PM 的长度，若不存在，说明理由．。
卓越杯竞赛试题数学八年级
卓越杯竞赛试题数学八年级一、选择题（每题2分，共20分）1. 下列哪个数是最小的正整数？A. 0B. 1C. -1D. 22. 如果一个数的平方等于它本身，那么这个数是：A. 0或1B. 0或-1C. 1或-1D. 只有03. 一个直角三角形的两条直角边分别为3和4，斜边的长度是：A. 5B. 6C. 7D. 84. 一个数的立方根等于它本身，这个数可能是：A. 1B. -1C. 0D. 所有选项5. 一个数的绝对值是它本身，这个数是：A. 正数B. 负数C. 零D. 正数或零二、填空题（每题2分，共20分）6. 一个数的平方是36，这个数是________。
7. 一个数的相反数是-5，这个数是________。
8. 一个数的倒数是1/4，这个数是________。
9. 一个数的立方是-27，这个数是________。
10. 如果a和b互为倒数，那么ab的值是________。
三、计算题（每题5分，共30分）11. 计算下列表达式的值：(2x³ - 3x² + 5x - 7) - (5x³ - 2x²+ x - 1)，其中x = 2。
12. 解方程：2x + 5 = 3x - 2。
13. 计算下列分数的和：1/2 + 2/3 + 3/4。
14. 求下列多项式的因式分解：x³ - 2x² - 3x + 6。
四、解答题（每题10分，共30分）15. 一个长方体的长、宽、高分别是6厘米、4厘米和3厘米，求这个长方体的表面积和体积。
16. 一个班级有40名学生，其中1/3的学生喜欢数学，1/4的学生喜欢英语，剩下的学生喜欢科学。
求喜欢科学的学生人数。
17. 一个工厂计划在一年内生产1000个产品，如果前半年每月生产100个，后半年每月生产150个，问这个工厂能否完成生产计划？【注意】请同学们仔细审题，合理分配时间，确保答题的准确性。
卓越县数学试题卷及答案
卓越县数学试题卷及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个数是质数？A. 2B. 4C. 6D. 8答案：A2. 如果一个直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么它的斜边长度是多少？A. 5B. 6C. 7D. 8答案：A3. 圆的面积公式是什么？A. A = πr²B. A = 2πrC. A = πdD. A = πd²答案：A4. 以下哪个表达式的结果不是偶数？A. 2 + 4B. 3 × 6C. 7 - 5D. 8 ÷ 2答案：C5. 下列哪个分数是最简分数？A. 4/8B. 5/10C. 3/4D. 6/9答案：C6. 一个数的平方根是它本身，这个数是？A. 1B. 0C. -1D. 4答案：B7. 以下哪个是二次方程？A. x + 3 = 0B. x² + 2x + 1 = 0C. 3x - 5 = 0D. x³ - 2x² + x - 2 = 0答案：B8. 一个长方体的长、宽、高分别是2米、3米和4米，它的体积是多少？A. 12立方米B. 24立方米C. 36立方米D. 48立方米答案：C9. 一个数的立方根是它本身，这个数可以是？A. 1B. 2C. 8D. 0答案：A, C, D10. 以下哪个是不等式？A. 2x = 5B. 3x + 4 > 7C. 5y - 2 = 13D. 6z + 3 = 18答案：B二、填空题（每题2分，共20分）1. 一个数的绝对值是它本身，这个数是______或______。
答案：正数；零2. 一个数的相反数是它本身，这个数是______。
答案：零3. 如果一个数的平方是25，那么这个数是______或______。
答案：5；-54. 一个数的倒数是它本身，这个数是______或______。
答案：1；-15. 一个三角形的内角和是______度。
答案：1806. 圆的周长公式是C = ______。
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2013年卓越联盟自主招生数学试题一、选择题：（本大题共4小题，每小题5分．在每小题给出的4个结论中，只有一项是符合题目要求的．）1 已知()f x 是定义在实数集上的偶函数，且在(0,)+∞上递增，则（A ）0.72(2)(log 5)(3)f f f <-<- (B) 0.72(3)(2)(log 5)f f f -<<-(C) 0.72(3)(log 5)(2)f f f -<-< (D) 0.72(2)(3)(log 5)f f f <-<-2 已知函数()sin()(0,0)2f x x πωϕωϕ=+><<的图象经过点(,0)6B π-，且()f x 的相邻两个零点的距离为2π，为得到()y f x =的图象，可将sin y x =图象上所有点 (A) 先向右平移3π个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的12倍，纵坐标不变 (B) 先向左平移3π个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的12倍，纵坐标不变 (C) 先向左平移3π个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变 (D) 先向右平移3π个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变 3 如图，在,,,,A B C D E 五个区域中栽种3种植物，要求同一区域中只种1种植物，相邻两区域所种植物不同，则不同的栽种方法的总数为（A ）21 (B)24 (C)30 ( D)484 设函数()f x 在R 上存在导数()f x '，对任意的x R ∈，有2()()f x f x x -+=，且在(0,)+∞上()f x x '>．若(2)()22f a f a a --≥-，则实数a 的取值范围为（A ）[1,)+∞ (B) (,1]-∞ (C) (,2]-∞ (D) [2,)+∞二、填空题：（本大题共4小题，每小题6分，共24分）5 已知抛物线22(0)y px p =>的焦点是双曲线2218x y p -=的一个焦点，则双曲线的渐 近线方程为 ．6 设点O 在ABC ∆的内部，点D ，E 分别为边AC ，BC 的中点，且21OD DE +=， 则23OA OB OC ++= ．7 设曲线22y x x =-与x 轴所围成的区域为D ，向区域D 内随机投一点，则该点落 入区域22{(,)2}x y D x y ∈+<内的概率为 ．8 如图，AE 是圆O 的切线，A 是切点，AD 与OE 垂直，垂足是D ，割线EC 交圆O 于,B C ，且,O D C D B C αβ∠=∠=，则OEC ∠= （用,αβ表示）．三、解答题（本大题共4小题，共56分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 9（本小题满分13分）在ABC ∆中，三个内角A 、B 、C 所对边分别为a 、b 、c ．已知()(sin sin )()sin a c A C a b B -+=-．（1）求角C 的大小； （2）求sin sin A B ⋅的最大值．10（本题满分13分） 设椭圆2221(2)4x y a a +=>的离心率为33，斜率为k 的直线l 过点(0,1)E 且与椭圆交于,C D 两点．（1）求椭圆方程；（2）若直线l 与x 轴相交于点G ，且GC DE =，求k 的值； （3）设A 为椭圆的下顶点，AC k 、AD k 分别为直线AC 、AD 的斜率，证明对任意的k 恒 有2AC AD k k ⋅=-．11（本题满分15分）设0x >，（1）证明：2112x e x x >++；（2）若2112x y e x x e =++，证明：0y x <<． 12（本题满分15分）已知数列{}n a 中，13a =，2*1,,n n n a a na n N R αα+=-+∈∈． （1）若2n a n ≥对*n N ∀∈都成立，求α的取值范围；（2）当2α=-时，证明*121112()222n n N a a a +++<∈--- 2012年卓越联盟自主招生数学试题一、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
1. 若以椭圆短轴的两个端点和长轴的一个端点为顶点的三角形是等边三角形，则椭圆的离心率为 。
2. 函数()θθθcos 2sin +=f ，()R ∈θ的值域为 。
3. 设10<<a ，40πθ<<，()θθsin log sin a x =，()θθtan log cos a y =，则y x ,的大小关系为。
4. 已知△ABC 中， 90=∠A ，4=BC ，点A 为线段EF 中点，EF=2，若→EF 与→BC 的夹角为 60，则=⋅→→CF BE 。
5. 设{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，记{}n a 、{}n b 的前n 项和分别为n S 、n T 。
若22b a =，44b a =，且52435=--T T S S ，则=++3535b b a a 。
6. 设函数()()ϕϖ+=x x f sin ，其中0>ϖ，R ∈ϕ，若存在常数()0>T T ，使对任意R x ∈有()()x Tf T x f =+，则ϖ可取到的最小值为 。
二、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
7. （本小题满分10分）设b a 、是从集合{}5,4,3,2,1中随机选取的数。
（I ）求直线b ax y +=与圆222=+y x 的公共点的概率。
（II ）设X 为直线b ax y +=与圆222=+y x 的公共点的个数，求随机变量x 的分布列及数序期望()X E 。
8.（本小题满分10分）如图，AB 是圆O 的直径，弦AB CD ⊥于点M ，E 是CD 延长线上一点，10=AB ，8=CD ，OM ED 43=，EF 切圆O 与F ，BF 交CD 于G ，（I ）求线段EG 的长；（II ）连接DF ，判断DF 是否平行于AB ，并证明你的结论。
（注：根据解题需要，须将图像自行画在答题卡上。
）9. (本小题满分10分)如图，在四棱锥ABCD P -中，地面ABCD 为直角梯形，BC AD //，BC AB ⊥，侧面PAB ⊥底面ABCD ，1===AB AD PA ，2=BC 。
（I ）证明平面PBC ⊥平面PDC ；（II ）若 120=∠PAB ，求二面角C PD B --的正切值（注：根据解题需要，须将图像自行画在答题卡上。
）。
10. (本小题满分10分)设抛物线px y 22=，0>p 的焦点是F ，A 、B 是抛物线上互异的亮点，直线AB 与x 轴不垂直，线段AB 的垂直平分线交x 轴与()0,a D ，记BF AF m +=。
（I ）证明a 是p 与m 的等差中项；（II ）设p m 2=，直线y l //轴，且l 被以AD 为直径的动圆，截得的弦长恒为定值，求直线l 方程。
11. (本小题满分15分) 已知函数()bxax x f 12+=，其中a 是非零实数，0>b 。
（I ）求()x f 的单调区间；（II ）若0>a ，设ax i 1>，321、、=i ，且021>+x x ，032>+x x ，031>+x x 。
证明：()()()ba x f x f x f 2321>++； （III ）若()x f 有极小值m in f ，且()21m i n ==f f ，证明：()()22-≥-n n n x f x f ，+∈N n 。
12. 12. (本小题满分15分)设数列{}n a 的前n 项和为n S ，01≠a ，v a uS vS n n 11=-+，其中v u 、是正整数，且v u >，+∈N n 。
（I ）证明{}n a 为等比数列；（II ）设p a a 、1两项均为正整数，其中3≥p 。
（i ）若1a p ≥，证明v 整除u ；（ii ）若存在正整数m ，使得()11-+≤p p m a ，证明：()pp p m m S -+=1。
2011年卓越联盟自主招生数学试题1. 向量a ，b 均为非零向量，(a-2b)⊥a ，(b-2a)⊥b ，则a ，b 的夹角为 (A)6π (B)3π (C)23π (D)56π2. 已知sin2( + )=nsin2 ，则tan()tan()αβγαβγ++-+22等于(A)11nn-+(B)1nn+(C)1nn-(D)11nn+-3. 在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E为棱AA1的中点，F是棱A1B1上的点，且A1F：FB1=1：3，则异面直线EF与BC1所成角的正弦值为(A)153(B)155(C)53(D)554. i为虚数单位，设复数z满足|z|=1，则2221z zz i-+-+的最大值为(A)2-1 (B)2-2(C)2+1 (D)2+25. 已知抛物线的顶点在原点，焦点在x轴上，△ABC 三个顶点都在抛物线上，且△ABC 的重心为抛物线的焦点，若BC边所在直线的方程为4x+y-20=0，则抛物线方程为(A)y2=16x (B)y2=8x (C)y2=-16x (D)y2=-8x6. 在三棱锥ABC—A1B1C1中，底面边长与侧棱长均等于2，且E为CC1的中点，则点C1到平面AB1E的距离为(A)3(B)2(C)32(D)22(7)若关于x的方程||4xx+=kx2有四个不同的实数解，则k的取值范围为( )(A)(0，1) (B)(14，1) (C)(14，+∞) (D)(1，+∞)(8)如图，△ABC内接于⊙O，过BC中点D作平行于AC的直线l，l交AB于E，交⊙O于G、F，交⊙O在A点的切线于P，若PE=3，ED=2，EF=3，则PA的长为(A)5(B)6(C)7(D)229. 数列{a n}共有11项，a1=0，a11=4，且|a k+1-a k|=1，k=1，2，…，10．满足这种条件的不同数列的个数为( )(A)100 (B)120 (C)140 (D)16010. 设σ是坐标平面按顺时针方向绕原点做角度为27π的旋转，τ表示坐标平面关于y轴的镜面反射．用τσ表示变换的复合，先做τ，再做σ，用σk表示连续k次的变换，则στσ2τσ3τσ4是( )(A)σ4(B)σ5(C)σ2τ(D)τσ211. 设数列{a n}满足a1=a，a2=b，2a n+2=a n+1+a n．(Ⅰ)设b n=a n+1-a n，证明：若a≠b，则{b n}是等比数列；(Ⅱ)若lim n →∞(a 1+a 2+…+a n )=4，求a ，b 的值． 12. 在△ABC 中，AB=2AC ，AD 是A 的角平分线，且AD=kAC ．(Ⅰ)求k 的取值范围；(Ⅱ)若S △ABC =1，问k 为何值时，BC 最短？13. 已知椭圆的两个焦点为F 1(-1，0)，F 2(1，0)，且椭圆与直线y=x-3相切． (Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)过F 1作两条互相垂直的直线21,l l ，与椭圆分别交于P ，Q 及M ，N ，求四边形PMQN 面积的最大值与最小值．14. 一袋中有a 个白球和b 个黑球．从中任取一球，如果取出白球，则把它放回袋中；如果取出黑球，则该黑球不再放回，另补一个白球放到袋中．在重复n 次这样的操作后，记袋中白球的个数为X n ．(Ⅰ)求EX 1；(Ⅱ)设P(X n =a+k)=p k ，求P(X n+1=a+k)，k=0，1，…，b ；(Ⅲ)证明：EX n+1=(1-1a b+)EX n+1． 15. (Ⅰ)设f(x)=xlnx ，求f ′(x)；(Ⅱ)设0<a<b ，求常数C ，使得1|ln |b ax C dx b a --⎰取得最小值； (Ⅲ)记(Ⅱ)中的最小值为m a,b ，证明：m a,b <ln2．。