重庆理工大学之高数(下)08-09(下)A试卷

2023-2024学年重庆市高二(下)期末数学试卷(含答案)

2023-2024学年重庆市高二（下）期末考试数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知f′(x)是函数f(x)的导函数，则满足f′(x)=f(x)的函数f(x)是( )A. f(x)=x 2B. f(x)=e xC. f(x)=lnxD. f(x)=tanx2.如图是学校高二1、2班本期中期考试数学成绩优秀率的等高堆积条形图，如果再从两个班中各随机抽6名学生的中期考试数学成绩统计，那么( )A. 两个班6名学生的数学成绩优秀率可能相等B. 1班6名学生的数学成绩优秀率一定高于2班C. 2班6名学生中数学成绩不优秀的一定多于优秀的D. “两班学生的数学成绩优秀率存在差异”判断一定正确3.对于函数f(x)=x 3+bx 2+cx +d ，若系数b ，c ，d 可以发生改变，则改变后对函数f(x)的单调性没有影响的是( )A. bB. cC. dD. b ，c4.某地根据以往数据，得到当地16岁男性的身高ycm 与其父亲身高xcm 的经验回归方程为y =1417x +29，当地人小王16岁时身高167cm ，他父亲身高170cm ，则小王身高的残差为( )A. −3cmB. −2cmC. 2cmD. 3cm5.若函数f(x)=(x 2+bx +1)e x ，在x =−1时有极大值6e −1，则f(x)的极小值为( )A. 0B. −e −3C. −eD. −2e 36.甲、乙、丙、丁、戊五个人站成一排照相，若甲不站最中间的位置，则不同的排列方式有( )A. 48种B. 96种C. 108种D. 120种7.若王阿姨手工制作的工艺品每一件售出后可以获得纯利润4元，她每天能够售出的工艺品(单位：件)均值为50，方差为1.44，则王阿姨每天能够获得纯利润的标准差为( )A. 1.2B. 2.4C. 2.88D. 4.88.若样本空间Ω中的事件A 1，A 2，A 3满足P(A 1)=P(A 1|A 3)=14,P(A 2)=23,P(−A 2|A 3)=25,P(−A 2|−A 3)=16，则P(A 1−A 3)=( )A. 114B. 17C. 27D. 528二、多选题：本题共3小题，共18分。

重庆大学高数(工学下)期末试题一(含答案)

重庆大学《高等数学（工学类）》课程试卷第1页共1页重庆大学《高等数学（工学类）》课程试卷20 — 20 学年第学期开课学院: 数统学院课程号: 考试日期:考试方式：考试时间: 120 分一、选择题(每小题3分,共18分) 1. 向量a b ⨯与,a b 的位置关系是().(A) 共面 (B) 垂直 (C) 共线 (D) 斜交知识点：向量间的位置关系,难度等级：1. 答案:(B).分析:,a b 的向量积a b ⨯是一个向量,其方向垂直,a b 所确定的平面.2. 微分方程633xy dye e y x y dx=+- 的一个解为().(A)6y = (B)6y x =- (C)y x =- (D)y x =知识点：微分方程的解,难度等级：1. 答案: (D).分析:将(A),(B),(C),(D)所给函数代入所给方程,易知只有y x =满足方程,故应选(D).3. 累次积分⎰⎰=-2022x y dy e dx ().(A))1(212--e (B))1(314--e (C))1(214--e (D))1(312--e 知识点：二重积分交换次序并计算,难度等级：2. 答案:(C).分析: 直接无法计算,交换积分限,可计算得)1(214--e ,只能选(C). 4．设曲线积分⎰--L x ydy x f ydx e x f cos )(sin ])([与路径无关,其中)(x f 具有一阶连续偏导数,且(0)0,f =则=)(x f ().(A)2x x e e -- (B)2xx e e --(C) 12-+-x x e e (D)21xx e e +-- 知识点：积分与路径无关的条件,微分方程,求解,难度等级：3.答案:(B).分析: 由积分与路径无关条件,有[()]cos ()cos x f x e y f x y '-=-命题人:组题人:审题人:命题时间:教务处制学院专业、班年级学号姓名考试教室公平竞争、诚实守信、严肃考纪、拒绝作弊封线密()().x f x f x e '⇒-=-由结构看,C,D 不满足方程,代入,B 满足,A 不满足,选B.5. 设直线方程为1111220,0A x B y C z D B y D +++=⎧⎨+=⎩且111122,,,,,0,A B C D B D ≠则直线().(A) 过原点 (B) 平行于z 轴 (C) 垂直于x 轴 (D) 垂直于y 轴知识点：直线与坐标轴的位置关系,难度等级：1. 答案:(D).分析:方程2220,0B y D D +=≠表示垂直于y 轴且不过原点的平面,11112200A x B y C z D B y D +++=⎧⎨+=⎩表示的直线位于垂直于y 轴且不过原点的平面上,不平行于z 轴,不垂直于x 轴.6. 设∑为球面2224(0)x y z z ++=≥的外侧,则2yzdzdx dxdy∑+⎰⎰().=(A)354(B)354π (C)12 (D)12π知识点：对坐标的曲面积分,高斯公式,难度等级：2. 答案:(D).分析: 添有向平面221:0(4)z x y ∑=+≤取下侧,则124,yzdzdx dxdy zdV π∑+∑Ω+==⎰⎰⎰⎰⎰1228.Dyzdzdx dxdy dxdy π∑+=-=-⎰⎰⎰⎰故有结果为D.二、填空题(每小题3分,共18分)7.121lim(1)sin x y x y →→⎛⎫- ⎪⎝⎭__________.= 知识点：二重极限,难度等级：1. 答案:0. 证明:1(1)sin01x x y--≤- 0,ε∴∀>取,δε=只要0,δ<必有1(1)sin0.x yε--<121lim(1)sin 0.x y x y →→⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭ 8. 已知lim6,n n a →∞=则11()n n n a a ∞+=-=∑__________. 知识点：级数和,定义,难度等级：1. 答案:1 6.a - 分析: 部分和数列12231111()()() 6.n n n n s a a a a a a a a a ++=-+-++-=-→-9.2221___________,ds x y z Γ=++⎰其中Γ为曲线cos ,sin ,tttx e t y e t z e ===上相应于t 从0变到2的这段弧.知识点：对弧长的曲线积分,难度等级：2. 答案21).e- 解:弧长的微分为tds dt ==,22222.tx y z e ++=于是2222011).ds x y z e Γ=-++⎰⎰10. 平面3x y z a ++=被球面2222x y z R ++=(0)R <所截得一个圆,则该圆的半径为__________.=知识点：平面,球面,半径,难度等级：1. 答案分析:该圆的中心在平面3x y z a ++=上,且三个坐标相等,中心坐标为(,,),a a a,11．设曲线积分 ,4 L 22⎰++-=yx xdyydx I 其中L 为椭圆,1422=+y x 并取正向,则__________.I =知识点：对坐标的曲线积分,难度等级：2. 答案:.π分析: 可取椭圆的参数方程计算.12. 设∑是球面222x y z R ++=在第一卦限部分,则2__________.x dS ∑=⎰⎰知识点：对面积的曲面积分,对称性,难度等级2. 答案:4.6R π分析:222x dS y dS z dS ∑∑∑==⎰⎰⎰⎰⎰⎰ ()22213x y z dS ∑=++⎰⎰ 224114.386R R R ππ=⋅⋅=三、计算题(每小题6分,共24分) 13. 求微分方程()0y xxe d y x xdy -=+的通解. 知识点：齐次微分方程,通解,难度等级1. 分析：齐次微分方程,作变量代换yu x=化为可分离变量的微分方程.解: 方程两端同除以,x 得()0.y xye dx dy x+-=令,y vx =则.dy vdx xdv =+ 代入上式,得0,ve dx xdv -= 即 0.vdx e dv x--= 积分之,得ln .v x e C -+=故原方程的通解为ln .y xx e C -+=14. 计算2(2)(3),y L x y dx x ye dy -++⎰其中L 由从)0,2(A 到)1,0(B 的直线段22=+y x 及从)1,0(B 到)0,1(-C 的圆弧21y x --=所构成.知识点：对坐标的曲线积分,格林公式,难度等级：2. 分析：补充线段构成闭曲线用格林公式.解 :如图,添加一段定向直线,CA 这样L 与CA 构成闭路.设所围的区域为,D 于是根据格林公式得:2211(2)(3)55(211)24y L CA Dx y dx x ye dy dxdy π+-++==⋅⋅+⋅⎰⎰⎰15(1).4π=+ 则L⎰=.L CACA→+-⎰⎰又2221(2)(3) 3.y CAx y dx x ye dy x dx --++==⎰⎰故25(2)(3)5(1)32.44y L x y dx x ye dy ππ-++=+-=+⎰ 15. 计算22(),x y dS ∑+⎰⎰其中∑为抛物面222z x y =--在xoy 面上方的部分.知识点：对面积的曲面积分,难度等级：2.分析：直接将曲面积分化为二重积分,用极坐标计算二重积分. 解:∑在xoy 的投影为22:2,xy D x y +≤且= 于是22()x y dS ∑+⎰⎰22(xyD x y =+⎰⎰20220112(14(14)84149.30d r r πθππ==⋅+-+=⎰ 16. 计算333,x dydz y dzdxz dxdy ∑++⎰⎰其中∑为球面2222x y z a ++=的外侧.知识点：对坐标的曲面积分,高斯公式,球面坐标,难度等级：2 分析:题设曲面为封闭曲面,高斯公式,再用球面坐标化为三次积分.解:333x dydz y dzdx z dxdy ∑++⎰⎰ 2223()x y z dxdydz Ω=++⎰⎰⎰222053sin 12.5ad d r r dra ππθϕϕπ=⋅=⎰⎰⎰四、解答题(每小题6分,共12分)17．设(,)z f x u =具有连续的二阶偏导数，而,u xy =求22.zx∂∂难度等级：1；知识点：复合函数的偏导数.分析: 按复合函数的偏导数的求法两次对x 求偏导数，即可求出22.z x∂∂ 解:x x u z f y f '''=+ 22.xx xx xu uu z f yf y f ''''''''⇒=++18．利用斯托克斯公式计算222222()()(),y z dx z x dy x y dz Γ-+-+-⎰其中Γ是用平面23=++z y x 截立方体[]⨯1,0[]⨯1,0[]1,0的表面所得的截痕,若从z 轴正向看去,Γ取逆时针方向.知识点：对坐标的曲线积分,斯托克斯公式,难度等级：3 分析: 通过斯托克斯公式将曲线积分转化为对面积的曲面积分,注意积分技巧:可将方程代入被积函数.解: 如图,我们将平面23=++z y x 的上侧被Γ所围的部分取为,∑于是∑的单位法向量.n e =由斯托克斯公式得:dS y x x z z y z y x I ⎰⎰∑---∂∂∂∂∂∂=222222cos coscos γβα ().x y z dS ∑=++ 观察上述积分,由于在∑上有3,2x y z ++=根据第二型曲面积分的计算公式,故396(6)().42xyxyD D I dS S ∑=-=-=-=-=-其中xy D 是∑在xOy 坐标平面的投影区域,而xyD S 为xy D 的面积.五、证明题(每小题6分,共12分)19．试证:,)(0,0)(,)0, (,)(0,0)x y f x y x y ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩在点(0,0)处偏导数存在,但是不可微.知识点：二元函数偏导数、可微,难度等级：1分析:先求出(0,0),(0,0)x y f f 然后说明(0,0)(0,0)x y z f x f y ∆-∆-∆不是比ρ更高阶的无穷小量就可以了.证明 : 0(,0)(0,0)lim 0(0,0);x x f x f f x∆→∆-==∆同理, (0,0)0.y f =则2200limlim.()()x x y y zx yx y ρρ→∆→∆→∆→∆→∆∆∆==∆+∆ 但是此极限不存在,故(,)f x y 在(0,0)处不可微.20. 证明:级数2(!)nn x y n ∞==∑满足方程0.xy y y '''+-= 知识点：幂级数,微分方程,难度等级：2. 分析：直接用幂数代入微分方程验证.证明: 因为20,(!)n n x y n ∞==∑所以122212(1),.(!)(!)n n n n nx n n x y y n n --∞∞==-'''==∑∑ 212222101122222111221(1)(!)(!)(!)(1)11(!)(!)(!)!(2)!!(1)!!!n n n n n n n nn n n n n nn n n n n x nx x xy y y x n n n n n x nx x n n n x x x n n n n n n --∞∞∞===--∞∞∞===--∞∞∞===''-'''+-=+--=++--=+---∑∑∑∑∑∑∑∑∑ 21111(1)!(1)!(1)!!(!)(1)(1)(1)!!0n n nn n n nn x x x n n n n n n n xn n ∞∞∞===∞==+-+-++-+=+=∑∑∑∑∴方程0xy y y '''+-=成立.六、应用题 (每小题8分,共16分)21. 设球在动点(),,P x y z 处的密度与该点到球心距离成正比,求质量为m 的非均匀球体2222x y z R ++≤对于其直径的转动惯量．知识点：立体的转动惯量,难度等级：2. 分析：利用转动惯量公式,球坐标计算三重积分.解:设球体方程为2222:,x y z R Ω++≤密度函数ρ=则球体的质量为:234(,,)sin Rm x y z dxdydz k k d d r dr k R ππρθϕϕπΩΩ====⎰⎰⎰⎰⎰⎰所以,密度函数为ρ=计算该球体绕z 轴转动的转动惯量:22224235232240()(,,)(24sin sin 39Rm I x y x y z dxdydz xy R m d d r dr mR d mR R πππρπθϕϕϕϕπΩΩ=+=+===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰22．将质量为m 的物体垂直上抛,假设初始速度为0,v 空气阻力与速度成正比(比例系数为k ),试求在物体上升过程中速度与时间的函数关系.知识点：微分方程的初值问题,难度等级：1 分析: 只需将二阶导数表示出来就可证之.解: 根据条件,空气阻力为.kv 于是物体上升过程中受力为()kv mg -+(其中负号表示力与运动方向相反),而运动加速度为.dva dt=因而得微分方程 .dv m kv mg dt=-- 又知初始速度为0v ,故得初值问题0,(0).dv kv g dt mv v ⎧+=-⎪⎨⎪=⎩ 因此000000(1.)()()ttkkkk k k dtdtt t t t tm m mm m mgm mg v egedt v ee v e v e k m k kg -----⎰⎰=-+=+-+=+⎰。

重庆理工大学__审计试卷_08-09级_打印版

08级 A卷一、单项选择题（本题型共20题，每题1分，共20分。

1．随着审计环境的不断变化，审计的方法也进行着相应的调整。

在下列审计方法中，形成最晚，即最新的审计方法是( )。

A．账项基础审计 B．风险导向审计 C．制度基础审计 D．财务报表审计2．注册会计师审计在市场经济中的特殊作用是（）。

A．防止错误与舞弊的发生 B．提高企业财务信息的可靠性和可信性C．正确反映企业财务状况和经营成果 D．帮助企业改善经营管理、提高经济效益3．下列各项中，不属于注册会计师审计业务的有（）。

A．验证企业资本 B．验证年度会计报表的合法性和公允性C．设计企业内部控制制度 D．审计简要会计报表4．下列情形中，（）对注册会计师执行审计业务的独立性影响最大。

A．注册会计师的母亲退休前担任被审计单位工会的文艺干事B．注册会计师的配偶现在是被审计单位开户银行的业务骨干C．注册会计师的子女按就近原则在被审计单位的子弟小学读书D．注册会计师的妹妹大学毕业后在被审计单位担任现金出纳5. 审查F公司2006年度财务报表中列示的应收账款时，注册会计师L发现其应收G公司的货款在应收账款总额中占有70%的比例，为此决定对F公司与G公司的往来情况进行重点审查，以获取充分适当的审计证据。

在以下获取的相关证据中，可靠性最高的是（）。

A．由前往G公司催款的小王带回的G公司总经理亲笔签名并在封口盖章的亲笔信B．由G公司财务经理向L注册会计师发出、并由L亲自接收的有关该笔货款的电邮C．G公司财务经理对欠F公司的贷款情况作了专门录音，制成光盘后直接快递给LD．F公司财务部门提供的财务资料，包括其与G公司签订的销售合同及产品出库单6. A会计师事务所2007年3月l0日完成了F公司2006年度财务报表的审计工作，F公司于3月15日正式签发了其2006年度财务报表，A事务所于3月21日随即签发了审计报告。

3月31日，F公司对外公布了其上年度的财务报表。

2019年重庆理工大学高等代数考研真题A卷

2019年重庆理工大学高等代数考研真题A 卷一、填空题（每题4分，共20分）1. 设A 为n 阶方阵,Ax =0 有非零解, 则A 必有一个特征值是______.2. 设3维列向量 1α,2α,3α 线性无关,A 是3阶方阵,且 112323A αααα=++,23223A ααα=+,23334A ααα=-,则 ||A =_______.3. 已知3阶方阵A 的特征值为1,2,2-，则A 的伴随矩阵*A 的迹（主对角线元素之和）为________.4. 在3R 中, 若线性变换T 关于基1α,2α,3α的矩阵为123103215A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭,则T 关于基1α,12αα+,123ααα++ 的矩阵为________.5. 设n 阶方阵1111a a a aa a A aa a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭的秩为1, 则a =__________.二、（15分）（1）（7分）证明：3(1)5f x x x -=+在有理数域上不可约；（2）（8分）求432()3552x x x x x f +++-=的全部有理根.三、（15分）设1013211000120032A -⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,（1）（7分）计算13233343A A A A +-+的值, 其中ij A 是||A 中元素ij a 的代数余子式；（2）（8分）问A 是否可逆？若A 可逆，求1*1(5)4A A --，其中*A 为A 的伴随矩阵.四、（20分）设有向量组 ()A ：213312,1,1333a a a a a a a ααα+⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪==-=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭及向量20a a β⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 问a 为何值时（1）（6分）向量β可由向量组()A 线性表示，且表示式唯一；（2）（7分）向量β可由向量组()A 线性表示，但表示式不唯一；（3）（7分）向量β不能由向量组()A 线性表示.五、（20分）设非齐次线性方程组 ()Ax b b =≠0,秩A r =,（1）（10分）若Ax b =有一个解 *η, 12,,,n r ξξξ-⋯是其导出组Ax =0的一个基础解系, 证明： *12,,,,n r ηξξξ-⋯线性无关；（2）（10分）若 12,,,s ηηη⋯为Ax b =的解，证明：1122s s k k k x ηηη=+++也是Ax b =的解，其中 12,,,s k k k ⋯为实数, 且121s k k k +++=.六、（20分）已知A 、B 为n 阶方阵,2n A B AB E --=,2A A =,其中n E 为n 阶单位矩阵,（1）（10分）证明：A B -可逆, 并求其逆（用A 或B 表示）；（2）（10分）若 100031062A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭, 求矩阵B .七、（20分）已知二次型 22212312313,,)2(2T f x x x x Ax x x x bx x ==++-,且()1,1,1T-是矩阵A 的一个特征向量,（1）（6分）求b 的值；（2）（7分）求正交变换x Py =, 将二次型123,,)(T x x f x x x A =化为标准形；（3）（7分）当2T x x =时, 求123,,)(T x x f x x x A =的最大值.八、（20分）设1302A ⎛⎫=⎪⎝⎭,22K ⨯是数域K 上所有2阶方阵构成的集合,（1）（8分）证明：{}22,W B AB BA B K ⨯∈==是22K ⨯的子空间；（2）（12分）求W 的一般形式、基和维数.。

重庆理工大学考试试卷

重庆理工大学考试试卷2009学年第二学期班级学号姓名考试科目机械制图 A 卷闭卷共 6 页 ·········· 密························封························线············学生答题不得超过此线一、填空题：（共14分）1、判断A 、B 面和CD 直线相对于投影面的位置。

A 面是面。

B 面是面。

CD 直线是线。

A 面在B 面的方（左或右）。

2、判断空间两直线的相对位置（平行、相交、交叉）。

二、完成圆柱被截切后的水平投影（要求找出所有的特殊点和一定数量的一般点）（12分）三、已知组合体的两视图，补画第三视图。

（15分）（12分）五、在指定位置将主视图画成半剖视图。

（14分）六、补全螺栓联接的画法。

（7分）七、读拨叉零件图回答问题（15分）1、该零件图用了个基本视图，主视图是剖视图。

2、φ20圆柱的定位尺寸是、、。

3、图中38H11表示基本尺寸是，公差代号是。

4、图中M10x1-6H是螺纹，螺距是mm，6H是。

5、将图中表面粗糙度按光滑到粗糙的顺序排列表面粗糙度符号。

重庆理工大学材料成型原理09考试试卷A-答案

重庆理工大学材料成型原理09考试试卷A-答案重庆工学院考试试卷（A）（答案）一、填空题（每空1分，共34 分）1、液态金属或合金中一般存在起伏和起伏，其中在一定过冷度下，临界核心由相（或结构）起伏提供，临界生核功由能量起伏提供。

2、铸造合金从浇注温度冷却到室温一般要经历和固态收缩三个收缩阶段。

3、铸件宏观凝固组织一般包括部等轴晶区三个不同形态的晶区。

4、铸件中的成分偏析按范围大小可分为5、对于溶质平衡分配系数K0＜1时，K0 越小，最终凝固组织的成分偏析越严重。

因此，常将O1- K0O称为“偏析系数”。

6、根据固液两相区的宽度，可将凝固过程分为与。

7、液固界面可以分为与。

8、晶体长大方式包括和（侧面长大）。

9、合理地控制浇注工艺和冷却条件包括和的控制。

10、防止铸造产生缩孔和缩松的凝固方式有和。

11、铸造过程中产生的铸造应力包括、、。

12、塑性成形中的三种摩擦状态分别是：干摩擦、流体摩擦、边界摩擦。

13、对数应变的特点是具有真实性、可靠性和可加性。

14、就大多数金属而言，其总的趋势是，随着温度的升高，塑性增加。

15、钢冷挤压前，需要对坯料表面进行磷化、皂化润滑处理。

二、下列各小题均有多个答案，选择最适合的一个填于横线上（每空1分，共8分）1. 塑性变形时，工具表面的粗糙度对摩擦系数的影响工件表面的粗糙度对摩擦系数的影响。

Ａ、大于；Ｂ、等于；Ｃ、小于；2. 塑性变形时不产生硬化的材料叫做。

Ａ、理想塑性材料；Ｂ、理想弹性材料；Ｃ、硬化材料；3. 用近似平衡微分方程和近似塑性条件求解塑性成形问题的方法称为。

Ａ、解析法；Ｂ、主应力法；Ｃ、滑移线法；4. 韧性金属材料屈服时，准则较符合实际的。

Ａ、密席斯；Ｂ、屈雷斯加；Ｃ密席斯与屈雷斯加；5. 硫元素的存在使得碳钢易于产生。

Ａ、热脆性；Ｂ、冷脆性；Ｃ、兰脆性；6. 应力状态中的应力，能充分发挥材料的塑性。

Ａ、拉应力；Ｂ、压应力；Ｃ、拉应力与压应力；7. 平面应变时，其平均正应力ｍB 中间主应力２。

重庆理工大学高等数学部分答案

习题一一、 1. × 2. \/ 3. × 4. × 5. × 6. × 7. ×二、 1. A 2. D3. B4. A三、1. 直线y x =2. [ -1，3 ）3. 1[,0]2- 4.奇 5. 2log 1x y x =- 6.3,,sin u y e u v v x === 四、1(2)3f x x +=+，221()1f x x=+， 11(())1211xf f x x x+==+++，11()()2f f x x =+习题二一、 1. ∨ 2. × 3. × 4. ∨ 5. ∨ 6. × 二、 1. B 2. B3. A4. C三、（1）22110n n ε-=<取N =即可（3）sin 10n n nε-≤< 取1[]N ε=即可四、根据条件，0ε∀>，N ∃，当n N >时，有0n n x y M ε-≤即证。

习题三一、 1. × 2. × 3. × 二、 1. C2. D3. C4. C四、（1）证明：0ε∀>，要32832x x ε+-=-< 取3εδ=即可（2）0ε∀>，要242x x ε+-=-< 取δε=即可（3）0ε∀>，要213211x x x ε---=<++ 只要31x ε>+即可五、 1)lim 1x x x-→=-，0lim 1x x x+→=limx x x→不存在2)1lim ()2x f x +→=，1lim ()2x f x -→= 1lim ()2x f x →=2lim ()5, lim ()0x x f x f x →→==习题四一、1. ∨2. ×3. ∨4. ∨5. ×6. ×7. × 8. ∨ 9. ×10. × 11. ∨ 12. ×二、 1. D 2. C 3. B 4. D5. D三、 (1) 2131lim11x x x →-+=-+(2) 2211112lim lim 21213x x x x x x x →→-+==--+ (3) 202lim2h hx h I x h→+== (4) 23I =(5) 0I =(6) 422lim13x x I x →-==-(7) 11133lim 1213n n I +→∞-==-(8) 111lim (1)2212n n →∞-=+(9) 23211132limlim 111x x x x x I x x x →→++-+==-=--++ (10) 15I =(11) I =+∞ (12) 0I =(13) 由于lim 1lim1x x ==-，故原极限不存在。

重庆理工大学线性代数(A卷)2009年4月

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）
A2 = 0
）
C. A = 0
T
D. | A |= 0
⎛1 2⎞ ⎟ ，则矩阵 A 的伴随矩阵 A* = （ ⎝ 4 3⎠
B. ⎜
A. ⎜
⎛ 3 2⎞ ⎟ ⎝4 1⎠
⎛ 3 −2 ⎞ ⎟ ⎝ −4 1 ⎠
C. ⎜
⎛ 3 4⎞ ⎟ ⎝2 1⎠
）
D. ⎜
⎛ 3 −4 ⎞ ⎟ ⎝ −2 1 ⎠
3. 设 A 为 5 × 6 矩阵，若秩( A )=3，则齐次线性方程组 Ax = 0 的基础解系中包含的解向量的个数是（
三、求解下列各题（本大题共 6 小题，每小题 8 分，共 48 分）。
5 3 21．计算行列式 D = 3 3
3 5 3 3
3 3 5 3
3 3 . 3 5
⎧ x1 + x2 + x3 + x4 = 0 ⎪ 22. 求齐次线性方程组 ⎨ x1 + 2 x2 + 4 x3 + 4 x4 = 0 的一个基础解系. ⎪2 x + 3x + 5 x + 5 x = 0 2 3 4 ⎩ 1
B. 0
C. 2
）
D. 6
⎛1 2⎞ =⎜ ⎟ ，则 A =（ ⎝3 4⎠
−1
⎛1 2⎞ A． 2 ⎜ ⎜3 4⎟ ⎟ ⎝ ⎠
⎛1 2⎞ B．2 ⎜ ⎜3 4⎟ ⎟ ⎝ ⎠
1 ⎛1 2⎞ ⎟ C． ⎜ ⎟ 2⎜ ⎝ 3 4⎠
） C．7 ） C． A 可逆，且 A−1 = A ） C. 2 E − A
)
5. 已设 3 阶方阵 A = (α1 , α 2 , α 3 ) ，其中 α i (i = 1, 2,3) 为 A 的列向量，且 | A |= 2 ， B = (α1 + 3α 2 , α 3 , α 2 ) ，则 | B | =(

重庆理工大学高数理工类习题册答案第二册

V17 31 3二. A D 三.xoy 面 (-2,3,0)-2 a a四.cos 1 ——,cos 2——,cos 2五.（1） (-1,3, 3)二. C 三. 1. (-4, 2, —4) 2. 3. 4.四.S 15 五.去(5,V 93 2) 二. CDDCC 三. 1. 2 2. x 2四.1 .由 xoz 面上的曲线 2•由 xoy 面上的曲线 x 2二. BD 三. 1.点43’ 过点习题习题—10, 22 J3 yoz 坐标面COS5.习题二3. y 2 z 25x22x 绕z 轴旋转得到的 2—1绕x 轴旋转得到的4习题四2. x 2y 2 (0,0,3),2os 32©4. 3-,17,0 ）平行于z 轴的直线332953y (x 1)2z 2x 1 四.y 3 —=cos 3 -7= cos 迈3sin 五.在xoy 平面的投影曲线 x 2 y 2x y 1 z 0在yoz 平面的投影曲线 x 2(1 y z)2z x 0在xoz 平面的投影曲线 (1 x z)2 z 0习题五.DCC 二. 1. 3x 7y 5z 14 2. (1,— 1,3) 3. 103 4. — 4,3三.x 7y 8z 12四. 9x y 3z 16 五.面方程: y 3x 3y 0习题六一. DBA 二. 1. L 0 x 12.C y 2 1y 1 1z 30 z 11,参数方程： x 1 2t,y 1 t,z 1 3t3三.直线方程:四.x 5y z 13、2X lim 20 ,x 01 X 24五、由于第八章复习题三.1. 0 2. (X 3)2 (y 1) 4. 2 5. X 2 2 4z y ,z 6.X 2 y 3 z 1 12 20 23 四. ( 1,6,3)arcsin ——二. BBB 5 五. X 2'2(z 1)2 213.(X y)2 (z 1)23/2 六. 1、 2、3、四、 1、 2、 35 (2,9,6) (X 1)2(yf(x,y) xy {(X, y)13 2)2 (Z 1)249sin(x 2 y 2) 0}.7665 arcsin ---133习题七lim(X, y) (0,0) y X1、2、四、1、2、4、五、1、2、2、2lim 4X y2 lim (x’y) (0,0) x4y2x 0 x4 y x '所以极限不存在2,x3 cotFy y2x1、du15x2 v n(2(x342 x z :zy x lny;22xln(xdzdtyzx yz4x4x3x2习题八4 cotyx3 y2).y2).5yjl n3(x3 7)2y2zy)y22yl nx 尹(1xln2y2lnx 7」 --- x z2x3x y12t232z 2xy2 2x y (x y)习题九6tJ1 (3t2 4t32)21dx zx yz ln xdy yx yz ln xdz2z 2y 2e 2xy 2习题1.X2. D B C y e u3、dz 3x 2 2e 2xdx 1 (x 3 e 2x )2四、1、z f(x x, y y) f(x, y)5 42dz 0.1252、z 1上 y 2f 2；z x—f1 2 f 1 2xyf 2x yyyz2z 2 --- 6xy f32xf yg;gxx y4、令u 2x y, v 3x 2y 则zz u zv2vu v13uv ・In uxu x v xyg2(3x 2y)(2x\3x 2y 1y) 2四、 1. 6x 2ycosy 3£3y 4xa)Z yxz b )2x yexy Z ye z 4xye 2X22x ye z3(2x y)3x 2y ln(2x y)五、证明:x[y F(u) xy xF (u) z -F (u)] x yF (u) y[x F(u)]xy yF (u) xy1.2品2. e五、x 6, y 6,z 3习题习题四、1.1.3.A/5502. (3, 12. 6)2. (6e4. 01)习题3.1—(1,2,3)182. x 6y 10z 17 01. x3y 4z 1 _ 11x 4y 12z —2 4 12 22. x21 y 1z 2d1运x y 42x 1y 1 z 3. 12x 1 8y z 30 0 一J2y 3z 14 01.2四、1. 362. 182品2. e五、x 6, y 6,z 3复习题四、1. (1,3)为极大值点，极大值为103. 极大值6,极大小值X2 3 332sin(X 2 y 2) 1 03. (x,y)16且x 2 四、 1.2xy 3zf 1 yf 2 2xf 3 2. 3. 1.1. dz3x z 24y[(2x 2xz 3)d z (4yz 2 3y 2)d y72(5e2. 361. 1.1.1.16)习题十四四、R 32. 03.100习题十五2340 2.163.243 204. 8(1 cos1)dy (1 14a 4(1 cos1)f(x,y)d习题2. -R 3(3 (b1. 2 a22. 0四、 1.2.1. 641、、1、习题RdXdyX 2y 2f(X, y,z)d z1dX 1[(I n2 2 原式= 2、原式= 三、原式= dyX 22y 2f(X, y,z)d z8)3d 四、1、原式= 2、原式= 14 45si n2d dzcosd dzdrdr 3sin d d dz drdsin ) dz jd~22cos2、2dar 3sin dr2dz16 "93dz16 32acossi ndr(1cosr 3sin dr 10dxdy-12ddz28 3习题十九J 1 X 2dXdyD123 11620 032M x ydxdy 2 xydxdy D D 1 2D 1 3cos sin d d23d2cos 3cos sin d三、将扇形顶点放在坐标原点, y 轴为中心轴, 则质心为 (0,y)1 A D1 2ydxdy, A -a 2 2a 2 四、 ydxdy2asin五、I y x 2D (2) X 2 sin d d dxdy o,y d dza2・ Si nd 旦 sin3 质心为(0,2asin3cos2Rcos 03cos 5 R 4 4(x 2D y 2)dxdyadx a/ 2a (xy 2)dy8a 40,z zdv x 2 dx aa dy 。

重庆大学高数(下)期末试题二(含答案)

重庆大学《高等数学（工学类）》课程试卷第1页共1页重庆大学《高等数学（工学类）》课程试卷A卷B卷20 —20 学年第学期开课学院: 数统学院课程号: 考试日期:考试方式：开卷闭卷其他考试时间: 120 分题号一二三四五六七八九十总分得分一、选择题(每小题3分,共18分)1. 设向量a与三轴正向夹角依次为,,,αβγ则当cos0β=时有().(A) a⊥xoy面(B) a//xoz面(C) a⊥yoz面(D) a xoz⊥面知识点:向量与坐标的位置关系,难度等级:1.答案: (B)分析:cos0,β=,2πβ=a垂直于y轴,a//xoz面.2. 若某个三阶常系数线性齐次微分方程的通解为212323,y C C x C x=++其中123,,C C C为独立的任意常数,则该方程为().(A)0y y'''+=(B) 30yy'''+'=(C)0y y'''-=(D) 0y'''=知识点:通过微分方程的通解求微分方程,难度等级:2.答案: (D)分析:由通解中的三个独立解21,,x x知,方程对应的特征方程的特征根为1230.λλλ===因此对应的特征方程是30.λ=于是对应的微分方程应是0.y'''=故应选(D).3. 设D由14122≤+≤yx确定.若1221,DI dx yσ=+⎰⎰222(),DI x y dσ=+⎰⎰223ln(),DI x y dσ=+⎰⎰则1,I2,I3I之间的大小顺序为().(A)321III<<(B)231III<<(C)132III<<(D)123III<<知识点:二重积分比较大小,难度等级:1.答案:(D)分析:积分区域D由22114x y≤+≤确定.在D内,2222221ln(),x y x yx y+<+<+故321.I I I<<只有D符合.4．设曲线L是由(,0)A a到(0,0)O的上半圆周22,x y ax+=则曲线积分命题人:组题人:审题人:命题时间:教务处制学院专业、班年级学号姓名考试教室公平竞争、诚实守信、严肃考纪、拒绝作弊封线密考试提示1.严禁随身携带通讯工具等电子设备参加考试;2.考试作弊,留校察看,毕业当年不授学位;请人代考、替他人考试、两次及以上作弊等,属严重作弊,开除学籍.(sin )(cos )().xx Ley my dx e y m dy -+-=⎰(A)0 (B)22m a π (C)28m a π (D)24m a π知识点:对坐标的曲线积分,格林公式,难度等级:2. 答案:(B)分析:补充直线段1:0(:0),L y x a =→则1L L +为封闭曲线在上使用格林公式可得12,2L L Dm mdxdy a π+==⎰⎰⎰而10.L =⎰选B.5. 已知向量23,a m n =+则垂直于a 且同时垂直于y 轴的单位向量().e =(A))i j k ++ (B))i j k -+ (C))2i k ±- (D)()2i k ±+知识点:向量垂直,单位向量,难度等级:1. 答案:(C) 分析:向量111010i j ki k =-+垂直于a 且同时垂直于y 轴,其模为6. 设∑为球面2222,x y z R ++=则22()().84x y I dS ∑=+=⎰⎰(A)24R π (B)545R π (C)24R π (D)R π4知识点:对面积的曲面积分,对称性,难度等级:2. 答案:(C)分析: 由于积分曲面关于三个坐标面对称,且满足轮换,故有2222224114()4.333x dS x y z dS R R R ππ∑∑=++=⋅=⎰⎰⎰⎰利用上述结论所求I 为23.8x dS ∑⎰⎰故选C.二、填空题(每小题3分,共18分)7. 幂级数21!n nn n x n ∞=∑的收敛半径为__________.知识点:幂级数收敛半径,难度等级:1. 答案分析:1`22222(1)(1)(1)!lim lim 1!n n n n n n n n n xn n x ex x n n x n ++→∞→∞+++==<⇒< 8. 由原点向平面引垂线,垂足的坐标是),,(c b a ,此平面的方程为__________.知识点:平面方程,难度等级:1.答案:23120.x y z -+-=分析:该平面的法向量为22350,x y z -+-=且过点22350,x y z -+-=则其平面的方程23120.x y z -+-=9. 设L 为椭圆221,34x y +=其周长记为,a 则求22(243)Lxy x y ds ++⎰__________.=知识点:对坐标的曲线积分,难度等级:1. 答案:12.a10. 设区域D 为222,x y R +≤则()DR y dxdy +⎰⎰__________.=知识点:二重积分的计算,对称性,难度等级:2. 答案:3.R π分析:所求几何体为一圆柱体被一平面劈开剩下部分,由几何形状知其为圆柱体体积一半,可得结果.或直接由被积函数奇偶分开,及积分区域对称立得. 11.3222(2cos )(12sin 3)__________,Lxy y x dx y x x y dy -+-+=⎰其中为抛物线22x y π=上由到的一段弧.知识点:对坐标的曲线积分,积分与路径无关,难度等级:2答案:2.4π解: 322cos ,P xy y x =-2212sin 3,Q y x x y =-+262cos .Q P xy y x x y∂∂⇒=-=∂∂ 3222(2cos )(12sin 3)L xy y x dx y x x y dy ⇒-+-+⎰与积分路径无关.⇒取L 为由(0,0),(,0),(,1)22ππ组成的折线,则2132222203(2cos )(12sin 3)0(12).44L xy y x dx y x x y dy y y dy ππ-+-+=+-+=⎰⎰12. 设∑为曲面2221x y z ++=的外侧,则333I x dydz y dzdx z dxdy∑=++⎰⎰__________.=知识点:对坐标的曲面积分,球坐标,难度等级:3. 答案:12.5π分析: 由高斯公式,2122240123()3sin .5I x y z dV d d r dr ππθϕϕΩ=++==⎰⎰⎰⎰⎰⎰三、计算题(每小题6分,共24分)13. 求初值问题2(2)|1x ydy x y dxy ==+⎧⎨=⎩的解.知识点:齐次微分方程的初值问题,求解,难度等级:1. 分析:所给方程为齐次微分方程,作代换yu x=化为可分离变量的微分方程. 解:将方程改写为2.dy x y dx y+= 这是齐次方程.令,y xu =则.dy du u x dx dx=+ 代入上式得L (0,0))1,2(π21.du u xdx u+=+ 这是变量分离方程,且有(2)1(2).22y u ==积分得21ln |2|ln |1|0.33x u u C +-+++= 代入初值可解得32ln .2C =--故原方程的特解为213ln |2|ln |1|2ln 0.332y y x x x +-++--=14. 求级数11(4)!n n ∞=∑的和. 知识点:级数和,难度等级:3分析:利用级数之和,幂级数的逐项求导解: 0,.!nx n x e x R n ∞==∈∑(1),.!n nx n x e x R n ∞-=-⇒=∈∑20,.(2)!2n x xn x e e x R n -∞=+⇒=∈∑又 20(1)cos ,.(2)!n nn x x x R n ∞=-=∈∑ 40cos 2,.(4)!2x xn n e e x x x R n -∞=++⇒=∈∑ 111cos112.(4)!2n e e n -∞=++⇒=∑ 15. 计算222()L ydx xdy x y -+⎰,其中L 为圆周22(1)2,x y -+=L 的方向为逆时针方向.知识点:对坐标的曲线积分,积分与路径无关,取特殊路径;难度等级:3.分析:先注意积分与路径无关,后根据分母特点取特殊路径积分.解:当(,)(0,0)x y ≠时,22222.2()P x y Qy x y x∂-∂==∂+∂作小圆222:,C x y ε+=取逆时针方向,则222222222112.2()2()22L C Cx y ydx xdy ydx xdy ydx xdy dxdy x y x y επεε+≤--==-=-=-++⎰⎰⎰⎰⎰16. 求力(,,)F y z x =沿有向闭曲线L 所作的功,其中L 为平面1x y z ++=被三个坐标面所截成的三角形的整个边界,从z 轴正向看去,顺时针方向.知识点:变力没曲线作功,难度等级:2.分析: 曲线积分的边界已为闭,用斯克斯公式,或化为平面曲线积分用格林公式.解: 用斯托克斯公式,取∑为平面1x y z ++=的下侧被L 所围的部分,∑1,1,1).--- 力F 所做的功为LW ydx zdy xdz =++⎰x y y z ∑---=∂∂∂∂⎰⎰3.2===⎰⎰四、解答题(每小题6分,共12分)17．设(),u yxf z =其中()f z 二阶可导,(,)z z x y =由方程2ln 10x y z +-+=所确定,求22.ux∂∂知识点:方程组的二阶偏导数,难度等级:2. 分析:()u yxf z =对x 求二阶偏导数得22,ux ∂∂但其中会包含z 对x 的二阶偏导数22zx ∂∂.2ln 10x y z +-+=两边对x两次求偏导数,可求出22zx∂∂.解:()(),u z yf z xyf z x x∂∂'=+∂∂ 222222()()()(),u z z zyf z xyf z xyf z x x x x∂∂∂∂''''=++∂∂∂∂221,1,z z x zz zz x x∂==∂∂∂==∂∂2222()()().uyzf z xyz f z xyzf z x∂''''=++∂ 18. 计算曲面积分323232()()(),x az dydz y ax dzdx z ay dxdy ∑+++++⎰⎰其中∑为上半球面z =.知识点:高斯公式,球面坐标,极坐标,难度等级3. 分析: 补充辅助面用高斯公式,再用球面坐标.解: 设222:,0x y a S z ⎧+≤⎨=⎩取下侧,则∑与S 围成的区域为,ΩS 在xoy 面的投影区域为.D 于是323232()()()SI x az dydz y ax dzdx z ay dxdy ∑+=+++++⎰⎰323232()()()Sx az dydz y ax dzdx z ay dxdy -+++++⎰⎰22223()Dx y z dv ay dxdy Ω=+++⎰⎰⎰⎰⎰222222203sin sin a a d d r r dr a d r rdr πππθϕϕθθ=⋅+⋅⎰⎰⎰⎰⎰555615429.20a a a πππ=+=五、证明题(每小题6分,共12分)19. 证明:()()0()()().ay am a x m a x dy e f x dx a x e f x dx --=-⎰⎰⎰知识点:二重积分交换积分次序,难度等级:1分析: 将二次积分化为定积分,注意到被积函数不含变量,y 先对y 积分,故将积分区域D 由y 型区域化为x 型区域计算可得证明结果证明: 积分区域为,0,{()0|},D x y y a x y =≤≤≤≤并且D 又可表示为,0,{(}.)|D x y x a x y a =≤≤≤≤ 所以()()()0()()()().ay a a am a x m a x m a x xdy e f x dx dx e f x dy a x e f x dx ---==-⎰⎰⎰⎰⎰20. 设在半平面0x >内有力3()kF xi yj ρ=-+构成力场,其中k 为常数,ρ=证明:在此力场中场力所作的功与所取路径无关. 知识点:变力沿曲线作功,难度等级:1 分析: 验证积分与路径无关. 证明场力所作的功2232,()Lxdx ydyW k x y +=-+⎰其中L 为力场内任一闭曲线段.223222523;()()Q y xyx x x y x y ⎡⎤∂∂==-⎢⎥∂∂++⎣⎦ 223222523.()()P x xy y y x y x y ⎡⎤∂∂==-⎢⎥∂∂++⎣⎦ 可见,,P Qy x∂∂=∂∂且,P Q 在半平面0x >内有连续偏导数,所以0.W =即场力作用与路径无关.六、应用题 (每小题8分,共16分)21. 已知年复利为0.05,现存a 万元,第一年取出19万元,第二年取出28万元,…,第n 年取出109n +万元,问a 至少为多少时,可以一直取下去？知识点:幂级数的和函数,难度等级:2解:设n A 为用于第n 年提取(109)n +万元的贴现值,则(1)(109).n n A r n -=++ 故1111110919102009.(1)(1)(1)(1)n n n n nn n n n n n n nA A r r r r ∞∞∞∞∞=====+===+=+++++∑∑∑∑∑设1(),(1,1),n n S x nx x ∞==∈-∑ 则21()()(),(1,1).1(1)n n x x S x x x x x x x ∞=''===∈---∑所以11()()4201 1.05S S r ==+万元,故20094203980A =+⨯=万元,即至少应存入3980万元.22．按照牛顿冷却定律:物体在空气中冷却的速度与物体温度和空气温度之差成正比.已知空气温度为30,︒物体在15分钟内从100︒冷却到70︒时,求物体冷却到40︒时所需要的时间？知识点:微分方程数学模型,难度等级:2分析:根据冷却定律建立微分方程初值问题并求解. 解:设在时间t 时,物体的温度为.T C ︒ 根据冷却定律列出方程(30).dTk T dt=-- 分离变量,并积分得,30dTkdt T =-- ln(30)ln .T kt c -=-+故有0.3kt T ce -=+由初始条件:015|100,|70.t t T T ==== 代入可解得1770,ln ,154c k ==即有 17(ln )154.3070t T e-=+当40T =时,由上式可解得15ln 7527ln 4t ==(分).。

重庆大学高数(下)期末试题11(含答案)

重庆大学《高等数学（工学类）》课程试卷A卷B卷20 — 20 学年第学期开课学院: 数统学院课程号:考试日期:考试方式：开卷闭卷其他考试时间: 120 分一、选择题(每小题3分,共18分)1. 设,yu xy x =+则22u x ∂=∂__________.答案:32.y x难度等级：1；知识点：偏导数.2. 已知级数1nn n a x ∞=∑满足11lim ,3n n na a +→∞=且lim 2,n n n ab →∞=则级数1n n n b x ∞=∑的收敛半径为__________.答案:3.难度等级：2；知识点：幂级数分析:1111111limlim 2, 3.233n n n n n n n n n n b b a a R b a a b +++→∞→∞+==⨯⨯== 3. 若曲线上任一点(,)x y 处的切线斜率等于(1),yx-+且过点(2,1),则该曲线方程是__________.答案:14.2y x x =-+难度等级：2；知识点：一阶线性微分方程4. 设L 为取正向的圆周229,x y +=则曲线积分2(22)(4)__________.Lxy y dx x x dy -+-=⎰答案:18.π-难度等级：2；知识点：格林公式分析:利用格林公式可化为被积函数为2-的二重积分,而积分区域面积为9,π故得.5. 设()f t 具有连续导数, (0)0,(0)1,f f '=={}2222(,,)|,x y z x y z t Ω=++≤则1lim40I f d t t V π==⎰⎰⎰+Ω→__________. 答案:1.命题人:组题人:审题人:命题时间:教务处制学院专业、班年级学号姓名考试教室公平竞争、诚实守信、严肃考纪、拒绝作弊封线密难度等级：2；知识点：三重积分6. 求以向量23a m n =+和4b m n =-为边的平行四边形的面积为，其中,m n 是互相垂直的单位向量. 答案：11.难度等级：2；知识点：向量代数.分析：为了便于计算,令,m i n j ==,则23a i j =+,4b i j =-,230(0,0,11),140i j ka b ⨯==--平行四边形的面积为20011a b ⨯=+=二、填空题(每小题3分,共18分)7. 设非零向量,,a b c 满足条件0a b c ++=,则a b ⨯().=(A) c b ⨯ (B) b c ⨯ (C) a c ⨯ (D) b a ⨯ 答案:(B).难度等级：1；知识点：向量代数分析:在0a b c ++=的两边左乘以b得到()0,b a b c b ⨯++=⨯0,b a b b b c ⨯+⨯+⨯=即0.a b b c -⨯+⨯=于是.a b b c ⨯=⨯8. 设函数z f x y =(,)在点(,)x y 00处沿任何方向有方向导数,则z f x y =(,)在点(,)x y 00处().(A)偏导数存在(B)可微 (C)偏导数不一定存在 (D)偏导数连续答案:(C).难度等级：2；知识点：偏导数与方向导数分析:函数z =(0,0)处沿任何方向的方向导数均为1,但偏导数不存在,所以应选(C).9. 微分方程22x y y '''=的通解是().(A)1221ln(1)C x y x C C -=--+ (B) 1211ln(1)C x x y C C C -=--+ (C)12211ln(1)C x x y C C C -=-+ (D) 12211ln(1)C x x y C C C -=--+ 答案: (D).难度等级：2；知识点：可降阶微分方程分析:方程为二阶非线性方程.令,u y '=则方程降为一阶方程22,x u u '=这是变量可分离方程.分离变量得22,du dxu x=积分得111.C u x =+将u y '=代入并积分可得12211,ln(1)C x x y C C C -=--+故应选(D).10.曲线2,x t y z t ===在点(4,8,16)处的法平面方程为().(A) 8132x y z --=- (B) 8140x y z ++= (C)x-y+8z=124 (D) 8116x y z +-=答案:(B).难度等级：1；知识点：多元微分学在几何上的应用分析:法平面的法向量就是曲线的切向量,为(1,1,8),n =所以法平面方程为:(4)(8)8(16)0.x y z -+-+-=即 8140.x y z ++= 与(A)、(B)、(C)、(D)比较后知,应选B).11. 设有一分布非均匀的曲面,∑其面密度为(,,),x y z ρ则曲面∑对x 轴的转动惯量为().(A)xdS ∑⎰⎰ (B)(,,)x x y z dS ρ∑⎰⎰(C)2x dS ∑⎰⎰ (D)22()(,,)y z x y z dS ρ∑+⎰⎰答案:(D).难度等级：1；知识点：曲面积分的应用分析:A,C 明显不对,B 被积函数不对,D 是转动惯量. 12. 设流速场{0,0,1},v =则流过球面2222x y z R ++=的流量值为().(A)0 (B)24R π (C)334R π (D)1 答案:(A).难度等级：2；知识点：第二型曲面积分的应用.分析:通量00.dxdy dV ∑ΩΦ===⎰⎰⎰⎰⎰三、计算题(每小题6分,共24分)13. 求微分方程3dy y dx x y =+的通解. 难度等级：2；知识点：一阶线性微分方程.分析方程为一阶非线性方程，需变形为一阶线性方程求解.解方程改写为21dx x y dy y-=, 这是关于()x x y =的一阶线性非齐次方程，故通解为2()dydyyyx ey edy C -⎰⎰=+⎰ 21()2y y C =+即32y x Cy =+.14. 设(,)z z x y =由方程(,)0f y x yz -=所确定，其中f 具有二阶连续偏导数，求22zx∂∂.难度等级：2；知识点：隐函数的高阶偏导数. 分析由方程(,,)0F x y z =所确定的隐函数的偏导数xzFz x F ∂=-∂，求出zx∂∂后再对x 求偏导数即可得22z x ∂∂.解11221f f z x yf y f -∂=-=∂ 21112221221222()()1z zf yf f f yf f z x x x y f ∂∂-+--+∂∂∂=⋅∂ 211121221232222f f f f fyf yf yf=-+-15.将函数()ln(f x x =+展成关于x 的幂级数. 难度等级：2；知识点：函数展开成幂级数分析:有对数,反三角函数需要求导后展开,然后逐项积分解:()f x '====0(21)!!(1).(2)!!n nn n x n ∞=-=-∑20(21)!!(),.(2)!!n n n f x x x R n ∞=-'⇒==∈∑ 21(21)!!()(1),.(2)!!21n knn n x f x dx x R n n +∞=-'⇒=-∈+∑⎰21(21)!!()(1),.(21)(2)!!nn n n f x x x R n n ∞+=-⇒=-∈+∑16. 计算2232(()(2),xz dydz x y z dzdx xy y z dxdy ∑+-++⎰⎰其中∑为上半球体0z ≤≤表面的外侧.难度等级：2；知识点：高斯公式分析:题设曲面为封闭曲面,利用高斯公式,再用球面坐标化为三次积分.解: 2232(()(2)xz dydz x y z dzdx xy y z dxdy ∑+-++⎰⎰222()x y z dxdydz Ω=++⎰⎰⎰222205sin 2.5ad d r r dra ππθϕϕπ=⋅=⎰⎰⎰四、解答题(每小题6分,共12分)17. 设),(y x z z =是由0182106222=+--+-z yz y xy x 确定的函数,求函数),(y x z z =的极值点和极值.难度等级：3；知识点：多元函数极值解:方程0182106222=+--+-z yz y xy x 两边分别对,x y 求偏导数得到26220,(1)6202220.(2)x x y y x y yz zz x y z yz zz ---=⎧⎪⎨-+---=⎪⎩令00x yz z =⎧⎪⎨=⎪⎩得260,62020x y x y z -=⎧⎨-+-=⎩即3.x yz y =⎧⎨=⎩ 代入方程0182106222=+--+-z yz y xy x 得 3.y =±因此有两个驻点(9,3),(9,3).--相应的函数值为3, 3.-方程(1),(2)两边再次分别对,x y 求偏导数得到22222()20(3)622220(4)20422()20.(5)xx x xxx xy y x xy y yy y yy yz z zz z yz z z zz z yz z zz ⎧---=⎪⎪-----=⎨⎪----=⎪⎩将9,3,3,0,0x y x y z z z =====代入(3),(4),(5)得到21150,,,0.623xx xy yy A z B z C z AC B ==>==-==->故点(9,3)是(,)z z x y =的极小值点,极小值(9,3) 3.z = 同样将9,3,3,0,0x y x y z z z =-=-=-==代入(3),(4),(5)得到 21150,,,0.623xx xy yy A z B z C z AC B ==-<====--> 故点(9,3)--是(,)z z x y =的极大值点,极大值(9,3) 3.z --=-18. 计算23,ydx xzdy yz dz Γ-+⎰其中Γ为圆周222, 2.x y z z +==若从z 轴的正向看去,这圆周是取逆时针方向.难度等级:2,知识点:斯托克斯公式,曲面积分的概念,二重积分的性质分析:曲线的参数方程不易写出,积分路径为闭,用斯托克斯公式化为对面积的曲面积分.解:取∑为平面2z =被Γ所围成的部分的上侧,∑的法线向量为(0,0,1),n =其方向余弦为(cos ,cos ,cos )(0,0,1).αβγ=于是23ydx xzdy yz dz Γ-+⎰2cos cos cos 3(3)dS x y z yxzyzz dSαβγ∑∑∂∂∂=∂∂∂-=--⎰⎰⎰⎰ 2245520.x y dSdxdy π∑+≤=-=-=-⎰⎰⎰⎰五、证明题(每小题6分,共12分)19. 证明下列第二类曲线积分的估计式: .L xdx ydy LM +≤⎰其中L 为积分路径L 的弧长,M 为函数22y x +在L 上最大值.难度等级：3；知识点：第二类曲线积分分析:将题设积分转化为对弧长的积分,再进行估值,并注意将被积函数表成向量的点积.证明:设路径L 上的单位切向量为(cos ,sin ).αα利用两类曲线积分的联系可得(cos sin )LL xdx ydyx y dsαα+=+⎰⎰cos sin {,}{cos ,sin }LLx y ds x y dsαααα≤+=⋅⎰⎰.LMdsML =≤=⎰⎰20. 设函数)(0x f 在),(+∞-∞内连续,10()(),1,2,.xn n f x f t dt n -==⎰证明:(1)1001()()(),1,2,;(1)!xn n f x f t x t dt n n -=-=-⎰ (2)对于区间),(+∞-∞内的任意固定的,x 级数()∑∞=1n n x f 绝对收敛.难度等级：3；知识点：无穷级数证明:(1)由函数)(0x f 在),(+∞-∞内连续,1011000()(),1,2,()();(0)lim ()0,,(0)0(2).xn n nn xk x f x f t dt n f x f x f f t dt f k --→=='=⎧⎪⇒⎨===≥⎪⎩⎰⎰11()()(1)!xn f t x t dt n -⇒--⎰ 1101()()(1)!xn x t df t n -=--⎰ 1110102101(()()()())(1)!1()()(2)!xn x n xn x t f t f t d x t n f t x t dt n ---=----=--⎰⎰().n f x ==(2) 函数0()f t 在t x ≤上连续,⇒存在0()0,,()().M x t x f t M x >∀≤≤由(1),1001001()()()(1)!1()()()(1)!xn n xn n f x f t x t dt n f x f t x t dt n --=--⇒=--⎰⎰10()()()().(1)!!n xn n M x x M x f x x t dt n n -⇒≤-=-⎰ 由于0()!nn M x x n ∞=∑收敛,故级数()∑∞=1n n x f 绝对收敛.六、应用题 (每小题8分,共16分)21. 设均匀柱体密度为,ρ占有闭区域222,,{()|,0,}x y z x y R z h Ω=+≤≤≤ 求它对于位于点00,0(),)(M a a h >处单位质量的质点的引力. 分析:由空间物体引力公式和对称性,利用直角坐标计算即可解:由柱体的对称性可知, 沿x 轴与y 轴方向的分力互相抵消, 故0,x y F F ==而 2223/2[()]z z aF G dv x y z a ρΩ-=++-⎰⎰⎰2222223/20()[()]hx y R dxdyG z a dzx y z a ρ+≤=-++-⎰⎰⎰ 2223/2000()[()]hRrdrG z a dz d r z a πρθ=-+-⎰⎰⎰012()[hG z a dz a z πρ=--⎰2[G h πρ=-22. 按P.F.Verhulst 人口增长规律:当人口数充分大时,大致按有机增长规律随时间成正比例增长(设比例系数为a ).如考虑到疾病和其它原因,有一个与人口数的平方成反比的的负增长率(设比例系数为b ).已知0t =时,人口数为0,x 求在时刻t 时的人口数(),x t 并问当t →∞时人口数如何？难度等级:3;知识点:常微分方程模型,可分离变量的微分方程的初值问题.分析:只需将二阶导数表示出来就可证之. 解:据题意可得如下初始值问题200.t dx ax bxdtx x =⎧=-⎪⎨⎪=⎩ 将方程分离变量,积分得020,xt x dxdt ax bx =-⎰⎰ 即有 00()1ln.()x a bx t ax a bx -=-解出x 得000.atatax e x a bx bx e=-+ 而且,当t →∞时,.a x b→。

重庆理工大学考试试题卷(带答案)

班级学号姓名考试科目高等数学2（机电）A卷闭卷共 2 页····································密························封························线································学生答题不得超过此线处沿l=（B.（）B.2,)，则级数、发散 C到点(1,1)的一段弧，则曲线积分班级学号姓名考试科目高等数学2（机电） A 卷闭卷共 2 页 ···································· 密························封························线································学生答题不得超过此线计算(24)Lx y dx -+⎰求()(x y dydz y ∑++-⎰⎰22x y dv Ω+⎰⎰⎰，其中求微分方程23y y '''+-四、应用题（本题6分）得分评卷人高等数学2（机电）（A 卷）参考答案与评分标准一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）。

重庆大学高数(下)期末试题二(含答案)

重庆大学《高等数学（工学类）》课程试卷第1页共1页重庆大学《高等数学（工学类）》课程试卷A卷B卷20 —20 学年第学期开课学院: 数统学院课程号: 考试日期:考试方式：开卷闭卷其他考试时间: 120 分题号一二三四五六七八九十总分得分一、选择题(每小题3分,共18分)1. 设向量a与三轴正向夹角依次为,,,αβγ则当cos0β=时有().(A) a⊥xoy面(B) a//xoz面(C) a⊥yoz面(D) a xoz⊥面知识点:向量与坐标的位置关系,难度等级:1.答案: (B)分析:cos0,β=,2πβ=a垂直于y轴,a//xoz面.2. 若某个三阶常系数线性齐次微分方程的通解为212323,y C C x C x=++其中123,,C C C为独立的任意常数,则该方程为().(A)0y y'''+=(B) 30yy'''+'=(C)0y y'''-=(D) 0y'''=知识点:通过微分方程的通解求微分方程,难度等级:2.答案: (D)分析:由通解中的三个独立解21,,x x知,方程对应的特征方程的特征根为1230.λλλ===因此对应的特征方程是30.λ=于是对应的微分方程应是0.y'''=故应选(D).3. 设D由14122≤+≤yx确定.若1221,DI dx yσ=+⎰⎰222(),DI x y dσ=+⎰⎰223ln(),DI x y dσ=+⎰⎰则1,I2,I3I之间的大小顺序为().(A)321III<<(B)231III<<(C)132III<<(D)123III<<知识点:二重积分比较大小,难度等级:1.答案:(D)分析:积分区域D由22114x y≤+≤确定.在D内,2222221ln(),x y x yx y+<+<+故321.I I I<<只有D符合.4．设曲线L是由(,0)A a到(0,0)O的上半圆周22,x y ax+=则曲线积分命题人:组题人:审题人:命题时间:教务处制学院专业、班年级学号姓名考试教室公平竞争、诚实守信、严肃考纪、拒绝作弊封线密考试提示1.严禁随身携带通讯工具等电子设备参加考试;2.考试作弊,留校察看,毕业当年不授学位;请人代考、替他人考试、两次及以上作弊等,属严重作弊,开除学籍.(sin )(cos )().xx Ley my dx e y m dy -+-=⎰(A)0 (B)22m a π (C)28m a π (D)24m a π知识点:对坐标的曲线积分,格林公式,难度等级:2. 答案:(B)分析:补充直线段1:0(:0),L y x a =→则1L L +为封闭曲线在上使用格林公式可得12,2L L Dm mdxdy a π+==⎰⎰⎰而10.L =⎰选B.5. 已知向量23,a m n =+则垂直于a 且同时垂直于y 轴的单位向量().e =(A))i j k ++ (B))i j k -+ (C))2i k ±- (D)()2i k ±+知识点:向量垂直,单位向量,难度等级:1. 答案:(C) 分析:向量111010i j ki k =-+垂直于a 且同时垂直于y 轴,其模为6. 设∑为球面2222,x y z R ++=则22()().84x y I dS ∑=+=⎰⎰(A)24R π (B)545R π (C)24R π (D)R π4知识点:对面积的曲面积分,对称性,难度等级:2. 答案:(C)分析: 由于积分曲面关于三个坐标面对称,且满足轮换,故有2222224114()4.333x dS x y z dS R R R ππ∑∑=++=⋅=⎰⎰⎰⎰利用上述结论所求I 为23.8x dS ∑⎰⎰故选C.二、填空题(每小题3分,共18分)7. 幂级数21!n nn n x n ∞=∑的收敛半径为__________.知识点:幂级数收敛半径,难度等级:1. 答案分析:1`22222(1)(1)(1)!lim lim 1!n n n n n n n n n xn n x ex x n n x n ++→∞→∞+++==<⇒< 8. 由原点向平面引垂线,垂足的坐标是),,(c b a ,此平面的方程为__________.知识点:平面方程,难度等级:1.答案:23120.x y z -+-=分析:该平面的法向量为22350,x y z -+-=且过点22350,x y z -+-=则其平面的方程23120.x y z -+-=9. 设L 为椭圆221,34x y +=其周长记为,a 则求22(243)Lxy x y ds ++⎰__________.=知识点:对坐标的曲线积分,难度等级:1. 答案:12.a10. 设区域D 为222,x y R +≤则()DR y dxdy +⎰⎰__________.=知识点:二重积分的计算,对称性,难度等级:2. 答案:3.R π分析:所求几何体为一圆柱体被一平面劈开剩下部分,由几何形状知其为圆柱体体积一半,可得结果.或直接由被积函数奇偶分开,及积分区域对称立得. 11.3222(2cos )(12sin 3)__________,Lxy y x dx y x x y dy -+-+=⎰其中为抛物线22x y π=上由到的一段弧.知识点:对坐标的曲线积分,积分与路径无关,难度等级:2答案:2.4π解: 322cos ,P xy y x =-2212sin 3,Q y x x y =-+262cos .Q P xy y x x y∂∂⇒=-=∂∂ 3222(2cos )(12sin 3)L xy y x dx y x x y dy ⇒-+-+⎰与积分路径无关.⇒取L 为由(0,0),(,0),(,1)22ππ组成的折线,则2132222203(2cos )(12sin 3)0(12).44L xy y x dx y x x y dy y y dy ππ-+-+=+-+=⎰⎰12. 设∑为曲面2221x y z ++=的外侧,则333I x dydz y dzdx z dxdy∑=++⎰⎰__________.=知识点:对坐标的曲面积分,球坐标,难度等级:3. 答案:12.5π分析: 由高斯公式,2122240123()3sin .5I x y z dV d d r dr ππθϕϕΩ=++==⎰⎰⎰⎰⎰⎰三、计算题(每小题6分,共24分)13. 求初值问题2(2)|1x ydy x y dxy ==+⎧⎨=⎩的解.知识点:齐次微分方程的初值问题,求解,难度等级:1. 分析:所给方程为齐次微分方程,作代换yu x=化为可分离变量的微分方程. 解:将方程改写为2.dy x y dx y+= 这是齐次方程.令,y xu =则.dy du u x dx dx=+ 代入上式得L (0,0))1,2(π21.du u xdx u+=+ 这是变量分离方程,且有(2)1(2).22y u ==积分得21ln |2|ln |1|0.33x u u C +-+++= 代入初值可解得32ln .2C =--故原方程的特解为213ln |2|ln |1|2ln 0.332y y x x x +-++--=14. 求级数11(4)!n n ∞=∑的和. 知识点:级数和,难度等级:3分析:利用级数之和,幂级数的逐项求导解: 0,.!nx n x e x R n ∞==∈∑(1),.!n nx n x e x R n ∞-=-⇒=∈∑20,.(2)!2n x xn x e e x R n -∞=+⇒=∈∑又 20(1)cos ,.(2)!n nn x x x R n ∞=-=∈∑ 40cos 2,.(4)!2x xn n e e x x x R n -∞=++⇒=∈∑ 111cos112.(4)!2n e e n -∞=++⇒=∑ 15. 计算222()L ydx xdy x y -+⎰,其中L 为圆周22(1)2,x y -+=L 的方向为逆时针方向.知识点:对坐标的曲线积分,积分与路径无关,取特殊路径;难度等级:3.分析:先注意积分与路径无关,后根据分母特点取特殊路径积分.解:当(,)(0,0)x y ≠时,22222.2()P x y Qy x y x∂-∂==∂+∂作小圆222:,C x y ε+=取逆时针方向,则222222222112.2()2()22L C Cx y ydx xdy ydx xdy ydx xdy dxdy x y x y επεε+≤--==-=-=-++⎰⎰⎰⎰⎰16. 求力(,,)F y z x =沿有向闭曲线L 所作的功,其中L 为平面1x y z ++=被三个坐标面所截成的三角形的整个边界,从z 轴正向看去,顺时针方向.知识点:变力没曲线作功,难度等级:2.分析: 曲线积分的边界已为闭,用斯克斯公式,或化为平面曲线积分用格林公式.解: 用斯托克斯公式,取∑为平面1x y z ++=的下侧被L 所围的部分,∑1,1,1).--- 力F 所做的功为LW ydx zdy xdz =++⎰x y y z ∑---=∂∂∂∂⎰⎰3.2===⎰⎰四、解答题(每小题6分,共12分)17．设(),u yxf z =其中()f z 二阶可导,(,)z z x y =由方程2ln 10x y z +-+=所确定,求22.ux∂∂知识点:方程组的二阶偏导数,难度等级:2. 分析:()u yxf z =对x 求二阶偏导数得22,ux ∂∂但其中会包含z 对x 的二阶偏导数22zx ∂∂.2ln 10x y z +-+=两边对x两次求偏导数,可求出22zx∂∂.解:()(),u z yf z xyf z x x∂∂'=+∂∂ 222222()()()(),u z z zyf z xyf z xyf z x x x x∂∂∂∂''''=++∂∂∂∂221,1,z z x zz zz x x∂==∂∂∂==∂∂2222()()().uyzf z xyz f z xyzf z x∂''''=++∂ 18. 计算曲面积分323232()()(),x az dydz y ax dzdx z ay dxdy ∑+++++⎰⎰其中∑为上半球面z =.知识点:高斯公式,球面坐标,极坐标,难度等级3. 分析: 补充辅助面用高斯公式,再用球面坐标.解: 设222:,0x y a S z ⎧+≤⎨=⎩取下侧,则∑与S 围成的区域为,ΩS 在xoy 面的投影区域为.D 于是323232()()()SI x az dydz y ax dzdx z ay dxdy ∑+=+++++⎰⎰323232()()()Sx az dydz y ax dzdx z ay dxdy -+++++⎰⎰22223()Dx y z dv ay dxdy Ω=+++⎰⎰⎰⎰⎰222222203sin sin a a d d r r dr a d r rdr πππθϕϕθθ=⋅+⋅⎰⎰⎰⎰⎰555615429.20a a a πππ=+=五、证明题(每小题6分,共12分)19. 证明:()()0()()().ay am a x m a x dy e f x dx a x e f x dx --=-⎰⎰⎰知识点:二重积分交换积分次序,难度等级:1分析: 将二次积分化为定积分,注意到被积函数不含变量,y 先对y 积分,故将积分区域D 由y 型区域化为x 型区域计算可得证明结果证明: 积分区域为,0,{()0|},D x y y a x y =≤≤≤≤并且D 又可表示为,0,{(}.)|D x y x a x y a =≤≤≤≤ 所以()()()0()()()().ay a a am a x m a x m a x xdy e f x dx dx e f x dy a x e f x dx ---==-⎰⎰⎰⎰⎰20. 设在半平面0x >内有力3()kF xi yj ρ=-+构成力场,其中k 为常数,ρ=证明:在此力场中场力所作的功与所取路径无关. 知识点:变力沿曲线作功,难度等级:1 分析: 验证积分与路径无关. 证明场力所作的功2232,()Lxdx ydyW k x y +=-+⎰其中L 为力场内任一闭曲线段.223222523;()()Q y xyx x x y x y ⎡⎤∂∂==-⎢⎥∂∂++⎣⎦ 223222523.()()P x xy y y x y x y ⎡⎤∂∂==-⎢⎥∂∂++⎣⎦ 可见,,P Qy x∂∂=∂∂且,P Q 在半平面0x >内有连续偏导数,所以0.W =即场力作用与路径无关.六、应用题 (每小题8分,共16分)21. 已知年复利为0.05,现存a 万元,第一年取出19万元,第二年取出28万元,…,第n 年取出109n +万元,问a 至少为多少时,可以一直取下去？知识点:幂级数的和函数,难度等级:2解:设n A 为用于第n 年提取(109)n +万元的贴现值,则(1)(109).n n A r n -=++ 故1111110919102009.(1)(1)(1)(1)n n n n nn n n n n n n nA A r r r r ∞∞∞∞∞=====+===+=+++++∑∑∑∑∑设1(),(1,1),n n S x nx x ∞==∈-∑ 则21()()(),(1,1).1(1)n n x x S x x x x x x x ∞=''===∈---∑所以11()()4201 1.05S S r ==+万元,故20094203980A =+⨯=万元,即至少应存入3980万元.22．按照牛顿冷却定律:物体在空气中冷却的速度与物体温度和空气温度之差成正比.已知空气温度为30,︒物体在15分钟内从100︒冷却到70︒时,求物体冷却到40︒时所需要的时间？知识点:微分方程数学模型,难度等级:2分析:根据冷却定律建立微分方程初值问题并求解. 解:设在时间t 时,物体的温度为.T C ︒ 根据冷却定律列出方程(30).dTk T dt=-- 分离变量,并积分得,30dTkdt T =-- ln(30)ln .T kt c -=-+故有0.3kt T ce -=+由初始条件:015|100,|70.t t T T ==== 代入可解得1770,ln ,154c k ==即有 17(ln )154.3070t T e-=+当40T =时,由上式可解得15ln 7527ln 4t ==(分).。

08-09工科数学分析试卷及答案

1 哈尔滨工业大学（威海）2008/2009学年秋季学期工科数学分析（A 班）试题卷（A ）（答案）考试形式（闭卷）：闭答题时间：150 （分钟）本卷面成绩占课程成绩 70 %一、填空题（每题2分，共20分）（不填题首答案按零分处理）答案：1． e 312． 1- Ⅱ 3． 21,14． 22)1(t t e t - 5． 632=-+z y x 6．337． C x x x ++----13tan 2tan 318． 22121123f f f ''+''+''9． 161- 10． 1 1．=++++++∞→3231323)1ln(limnnen n e n n n2．115+-=x x y 的间断点是=x ，且是类间断点。

3．已知0]1[lim 2=--+++∞→b ax x x x ，则=a ，=b4．已知：⎩⎨⎧=+=tey t x 12，则=22dx yd 5．曲面632222=++z y x 在点)1,1,1(-M 处的切平面方程为教研室主任签字：第1 页（共 12 页）姓名: 班级：学号：26．函数)0(>=z z u xy沿21P P =l 的方向导数=∂∂1P ul，其中21,P P 分别为)1,1,1(与)2,2,2(。

7．⎰=x x dx24cos sin8．设),(),2,(v u f y x y x f z ++=有二阶连续偏导数，则=∂∂∂yx z29．⎰==13ln xdx x I10．设R x xe y x ∈=-,1，则=∈y Rx max 二、选择题：（每题2分，共20分）（不填题首答案按零分处理）答案：1．设nn x xx f 211lim)(++=∞→ ，则（）成立。

（A ）有间断点1=x ；（B ）有间断点1-=x ；（C ）有间断点0=x ；（D ）无间断点2．关于函数⎪⎩⎪⎨⎧<≥=-1,11,)(22x ex e x x f x 在1±=x 两点处的连续性与可导性为（）（A ）在1±=x 处连续但不可导；（B ）在1±=x 处可导；（C ）在1=x 可导，在1-=x 处不可导；（D ）在1=x 不可导，在1-=x 处可导。

重庆理工大学高数机电

重庆理工大学考试试卷2009～2010学年第一学期班级学号姓名考试科目高等数学（上）（机电类） A卷闭卷共 2 页学生答题不得超过此线注意：试题卷，请答题写在答题卷上。

一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）。

得分评卷人在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1. ( )。

A. 2B. 1C.D. 02、设函数,在处连续，则 ( )。

A A. 2 B. 1 C.D. 03、若，则( )。

A. B. C.D.4、当时，是的（）A. 高阶无穷小B. 同阶无穷小，但不是等价无穷小C. 等价无穷小D. 低阶无穷小5、过曲线上点的切线平行于直线，则切点的坐标是（）。

A. （1，0）B. （e, 0）C. (e, 1)D. (e, e)6. 在区间内，下列函数中单调增加的是（）A． B． C．D．7.设，则是的（）A．可去间断点B．跳跃间断点C．无穷间断点D．连续点8．设函数在点的某邻域内可导，如果，有，则有（）A． B． C．D．9. 在区间内，下列曲线中为凹的是（）A. B. C.D.10. 设，则（）A. B. C.D.不存在二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）得分评卷人请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

11. 设，则。

12、设函数,则。

13. 函数在区间上的最小值为。

14、。

15．设，。

16、曲线的拐点坐标为。

重庆理工大学考试试卷2009～2010学年第一学期班级学号姓名考试科目高等数学（上）（机电类） A卷闭卷共 2 页学生答题不得超过此线17．曲线在处的切线方程为。

18、设函数，则_______.19、极限___________. 20、设函数在[1，e]上满足罗尔定理的条件，则______三、求解下列各题（本大题共9小题，每小题5分，共45分）。

得分评卷人21. 求极限。

22. 求极限23. 设求。

重庆高等数学试题及答案

重庆高等数学试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 函数\( f(x) = x^2 - 4x + 4 \)的最小值是（）。

A. 0B. 1C. 3D. 42. 极限\( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \)的值为（）。

A. 0B. 1C. -1D. 23. 函数\( y = e^x \)的导数是（）。

A. \( e^x \)B. \( -e^x \)C. \( \ln e^x \)D. \( \frac{1}{e^x} \)4. 曲线\( y = x^3 - 3x^2 + 2 \)的拐点坐标是（）。

A. (0,2)B. (1,0)C. (2,-2)D. (3,6)5. 定积分\( \int_{0}^{1} x^2 dx \)的值为（）。

A. \( \frac{1}{3} \)B. \( \frac{1}{2} \)C. \( \frac{1}{4} \)D. \( \frac{1}{5} \)6. 微分方程\( y'' + 4y' + 4y = 0 \)的特征方程是（）。

A. \( r^2 + 4r + 4 = 0 \)B. \( r^2 - 4r + 4 = 0 \)C. \( r^2 + 4r - 4 = 0 \)D. \( r^2 - 4r - 4 = 0 \)7. 函数\( f(x) = \ln(x+1) \)的不定积分是（）。

A. \( x\ln(x+1) - x + C \)B. \( x\ln(x+1) + x + C \)C. \( x\ln(x+1) + \ln(x+1) + C \)D. \( x\ln(x+1) - \ln(x+1) + C \)8. 级数\( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} \)的和是（）。

A. \( \frac{\pi^2}{6} \)B. \( \frac{\pi^2}{4} \)C. \( \frac{\pi^2}{3} \)D. \( \frac{\pi^2}{2} \)9. 矩阵\( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \)的行列式是（）。

重庆大学高数工学下期末试题十二含答案

大学《高等数学（工学类）》课程试卷A卷B卷20 —20 学年第学期开课学院:数统学院课程号:考试日期:考试方式：开卷闭卷其他考试时间: 120 分一、选择题(每小题3分,共18分)1.设,x yz x=则zx∂=∂().(A)1xx yy x-(B)1ln lnxy x yx⎡⎤+⎢⎥⎣⎦(C)1ln lnxx yy x x yx⎡⎤+⎢⎥⎣⎦(D)1lnxx yy x xx⎡⎤+⎢⎥⎣⎦难度等级：2；知识点：偏导数答案:C.2. 曲线sec,csc,sec cscx t y t z t t===在对应于4tπ=点处的切线方程是().(A) 2z==-(B) 2zx--==(C) 2z==-(D)2z-==难度等级：1；知识点：多元微分学的几何应用答案:B.分析:4tπ=时切点为2),切向量(2,a=-所以切线方程为2.10y zx-==-与(A)、(B)、(C)、(D)比较后知,应选(B).3. 物质沿曲线23:,,(01)23t tx t y z tΓ===≤≤分布,线密度为μ则它的质量为().()A⎰(B)0⎰(C)10⎰(D)1t⎰难度等级：2；知识点：第一类曲线积分的应用答案:C.命题人:组题人:审题人:命题时间:教务处制学院专业、班年级学号XX考试教室公平竞争、诚实守信、严肃考纪、拒绝作弊封线密分析: 化为定积分,被积函数为1),t =≤≤ 只有C 符合.4. 设2,1m n ==，m 与n 的夹角为2π,a =4,m n -2,b m n =+23c m n =-，则23()2()1a a b b c +⋅-⋅+=( ).(A) 126 (B) 102 (C) 103 (D) 104 难度等级：2；知识点：向量代数. 答案： ( D)分析：2a 2222(4)1681620165m n m m n n =-=-⋅+=⋅-+=a b ⋅222(4)(2)472420214m n m n m m n n =-⋅+=-⋅-=⋅--=22(2)(23)2262b c m n m n m m n n ⋅=+-=-⋅-= 23()2()1a a b b c +⋅-⋅+=65314221104+⋅-⋅+=5. 设积分区域D 由2y x =和2y x =+围成,则(,)Df x y d σ=⎰⎰().(A)2221(,)x x dx f x y dy +-⎰⎰ (B)2210(,)dx f x y dy -⎰⎰(C)2122(,)x x dx f x y dy +-⎰⎰ (D)2120(,)x x dx f x y dy +⎰⎰难度等级：1；知识点：二重积分答案:(A)分析:四个选项都是先y 后x 的积分顺序,曲线求交点得为(1,1),(2,4),-积分区域为212,2,x x y x -≤≤≤≤+显然(D)不符合,(C)下限小于上限不符合,(B)积分限不对,只有(A)符合.6. 设积分曲面∑为球面2222R z y x =++的外侧,则322221()()xdydz ydzdx zdxdy x y z ∑++++⎰⎰().=(A)0 (B)π4 (C)24R π (D)334R π难度等级:2;知识点:对坐标曲面积分的计算,高斯公式答案:(B).分析: 先将∑的方程代入被积函数，然后使用高斯公式，故选B.二、填空题(每小题3分,共18分)7. 极限0x y →→=__________.难度等级:2;知识点:多元函数极限答案:4.分析:可通过分母有理化和等价无穷小的代换约去分母上的无穷小量,使分母的极限不为零.解: 0x y →→=004.x y →→= 8. 函数32242z x xy y x =+++的驻点为__________.答案:()12,,1,2.33⎛⎫-- ⎪⎝⎭难度等级:1;知识点:多元函数极值分析:驻点处函数的偏导数等于0.解:由26420,420x y z x y z x y ⎧=++=⎪⎨=+=⎪⎩解得驻点:()12,,1,2.33⎛⎫-- ⎪⎝⎭9. 设空间区域2222,x y z R Ω++≤：则__________.Ω=难度等级:2;知识点:三重积分答案:4.R π分析::02,0,0,r R θπϕπΩ≤≤≤≤≤≤220sin Rd d r r dr ππθϕϕΩ=⋅=⎰⎰⎰4.R π10.设向量场()()(23)32,A z y i x z j y x k =-+-+-则旋度________.rotA = 难度等级:1;知识点:旋度答案:2332i jk x y z z y x zy x∂∂∂∂∂∂---=246.i j k ++ 11.设24(),x f x x e -=则(69)(0)__________.f = 难度等级:2;知识点:函数展开成幂级数答案: 0. 分析: 2244(69)0(1)()(0)0.!n nx n x f x x ex f n ∞-=-==⇒=∑因为24()x f x x e -=幂级数的69x 的系数为 0.12. 设123(),(),()y x y x y x 是线性微分方程()()()y P x y Q x y f x '''++=的三个线性无关的解,则微分方程的通解是__________. 难度等级:1;知识点:二阶非齐次线性微分方程的通解答案:1213233(()())(()())().y x y x y x y x y x C C -++-类似的也可. 分析:由二阶线性微分方程通解的结构定理,13()()y x y x -与23()()y x y x -是齐次微分方程()()0y P x y Q x y '''++=的解,因此原方程的通解为1213233(()())(()())().y x y x y x y x y x C C -++-三、计算题(每小题6分,共24分)13. 判断级数11(0)1nn a a∞=>+∑的敛散性.难度等级:2;知识点:敛散性的判别分析:对参数进行讨论.解:(1)11101,lim 1,1,lim .112n n n n a a a a →∞→∞<<===++故级数111n n a∞=+∑发散. (2)11111,,1n n n n a a a a ∞=>≤+∑收敛,故级数111nn a ∞=+∑收敛. 14.求微分方程2xy y y '-=满足初始条件1|1x y ==的解. 难度等级:2;知识点:一阶线性微分方程. 分析:方程为2n =的贝努利方程的初值问题. 解:这是2n =的贝努利方程,在原式两边同除以2xy 得2111.dy y dx xy x-= 令1,z y =则21.dz dydx y dx=-方程化为 11.dz z dx x x+=- 这是一阶线性方程,且有11, 1.x z y ===其解为2.xz x-=故原方程的解为().2xy x x=-15.确定正数a ，使曲面xyz a =与球面22227x y z ++=在交点000(,,)M x y z 处相切.难度等级：2；知识点：曲面的切平面. 分析(,,)0F x y z =在点000(,,)x y z 处的切平面的法向量为(,,)x y z n F F F =，两曲面在000(,,)M x y z 相切，说明法向量平行，且000(,,)M x y z 在两个曲面上.解曲面xyz a =在点M 的法向量1000000(,,)n y z x z x y =，球面22227x y z ++=点M的法向量2000(,,)n x y z =，二曲面在交点000(,,)M x y z 相切，则12//n n 于是000000000x y zy z x z x y ==，而且000x y z a =，22200027x y z ++= 解之得到0003x y z ===，00027a x y z == 16.计算()()(),y z dx z x dy x y dz Γ-+-+-⎰其中积分路径Γ为椭圆222,x y a +=1x za b+=(0,0).a b >>若从x 轴的正向看去,这椭圆是取逆时针方向.难度等级:3,知识点:斯托克斯公式,曲面积分的计算,二重积分的性质分析:曲线的参数方程不易写出,积分路径为闭,用斯托克斯公式.解:取∑为平面1x za b+=被Γ所围成的部分的上侧,∑的法线向量为11(,0,),n a b=其方向余弦为(cos ,cos ,cos )αβγ=于是()()()y z dx z x dy x y dz Γ-+-+-⎰cos cos cos dS x y zy zz xx ydSαβγ∑∑∂∂∂=∂∂∂---=⎰⎰⎰⎰2222222()y a x y a a b dxdy a +≤+≤=-+=⎰⎰⎰⎰22()2().a b a aa ab ππ-+=⋅=-+ 或解:cos sin :02cos x a t y a tt z b b t π=⎧⎪=→⎨⎪=-⎩()()()y z dx z x dy x y dz Γ-+-+-⎰20[(sin cos )(sin )(cos cos )cos (cos sin )sin ]a t b b t a t b b t a t a t a t a t b t dtπ=-+-+--⋅+-⎰220()2()a ab dt a a b ππ=-+=-+⎰四、解答题(每小题6分,共12分)17.设22,323ydx xdydz x xy y -=-+求原函数.z难度等级2;知识点:曲线积分与路径无关的条件分析: 利用曲线积分与路径无关找原函数解: 22010323xy ydxz dy c x xy y =++-+⎰⎰2283()39x y dx c y y x =+-+⎰3y c=+.c =+ 18.求与原点的距离为6，且在三个坐标轴上的截距之比为2:3:1::=c b a 的平面方程.难度等级：2；知识点：空间解析几何.分析平面的截距式方程为1x y z abc++=.解设所求的平面方程为123=++kz k y k x . 即.06326=-++k z y x 由题意有63266030206222=++-⨯+⨯+⨯k，即676=k ，7±=k .故所求的平面方程为042326=±++z y x五、证明题(每小题6分,共12分)19.设函数()f x 在[0,1]上连续,试证1113001()()()[()].6yxxf x f y f z dxdydz f x dx =⎰⎰⎰⎰难度等级:3;知识点:重积分分析: 利用连续函数一定有原函数,计算三次积分,求出结果即证证: 令0()(),xF x f t dt =⎰则()().dF x f x dx =()()()().yyxxf z dz dF z F y F x ⇒==-⎰⎰110()()()yxxf x f y f z dxdydz ⇒⎰⎰⎰11()()()yxxf x dx f y dy f z dz =⎰⎰⎰11()()[()()]xf x dx f y F y F x dy =-⎰⎰121012201()[()()()]211()[(1)()(1)()]22x f x F y F x F y dx f x F F x F F x dx =-=+-⎰⎰ 23210111{(1)()()(1)()}262F F x F x F F x =+- 1301[()].6f x dx =⎰ 20. 设有方程10,n x nx +-=其中n 为正整数.证明此方程存在惟一正实根,n x 并证明当1>α时,级数∑∞=1n n x α收敛.难度等级:2;知识点:敛散性的判别证明: 1.设1()1()0(0)()n n f x x nx f x nx n x f x -'=+-⇒=+>≥⇒单增(0).x >故方程01=-+nx x n 至多一正实根.又(0)10,(1)0,f f n =-<=>故方程01=-+nx x n 至少一正实根.所以方程01=-+nx x n (其中n 为正整数)存在惟一正实根.n x2. 111110.n n n n n n n x nx x x n x n n αα-+-=⇒=<⇒<+故当1>α时,级数∑∞=1n n x α收敛.六、应用题(每小题8分,共16分)21.设薄片所占的闭区域D 如下,求均匀薄片的质心:D 由y =0,0,x x y ==所围成.难度等级:2;知识点:二重积分的应用分析:由平面薄片质心公式,分别计算即可解: 令密度为 1.μ=因为区域D可表示为00, 0x x y ≤≤≤≤所以00x x DA dxdy dx ====⎰⎰⎰⎰0000001113,5x x D x xdxdy dx x A A A ====⎰⎰⎰⎰0000001113.8x x D y ydxdy dx ydy pxdx y A A A ====⎰⎰⎰⎰ 所求质心为0033(, ).58x y22. 设有一半径为R 的空球,另有一半径为r 的变球与空球相割,如果变球的球心在空球的表面上,问r 等于多少时,含在空球变球的表面积最大？并求出最大表面积的值．分析:建立合适坐标系,以空球心为原点,变球心在z 轴建立坐标系,求关于变球半径为变量函数,即含于空球部面积,再求函数最值解: STEP1.以空球心为原点,变球心在z 轴建立坐标系.STEP2.变球与空球的交线为22222222,()x y z R x y z R r⎧++=⎪⎨++-=⎪⎩它在xoy 面投影为:42222.4R r x y r R=⇒+=-STEP3.由曲面方程z R =zx z y ∂⎧=⎪∂⎪⇒⎨∂⎪=⎪∂⎩DA ⇒=20322().2D r r d r r Rπθπ===-⎰23()2(2)0.2r A r r Rπ'⇒=-=23241616432,2().3922727R R R r A R R ππ⇒==-=。

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