专题01二次根式的化简与求值

专题01二次根式的化简与求值

阅读与思考

二次根式的化简与求值问题常涉及最简根式、同类根式，分母有理化等概念，常用到分解、分拆、 换元等技巧.

有条件的二次根式的化简与求值问题是代数变形的重点，也是难点，这类问题包含了整式、分式、 二次根式等众多知识，又联系着分解变形、整体代换、一般化等重要的思想方法，解题的基本思路是：

1、 直接代入

直接将已知条件代入待化简求值的式子 •

2、 变形代入

适当地变条件、适当地变结论，同时变条件与结论，再代入求值

数学思想：

数学中充满了矛盾，如正与负，加与减，乘与除，数与形，有理数与无理数，常量与变量、有理式 与无理式，相等与不等，正面与反面、有限与无限，分解与合并，特殊与一般，存在与不存在等，数学 就是在矛盾中产生，又在矛盾中发展 • 想一想：若

x 二、n （其中x, y, n 都是正整数），则x,.. y,、、n 都是同类二次根式，为什么?

例题与求解

B 、一 1

（绍兴市竞赛试

题）

【例1】

1 「200

2 时

—y 时，

代数式 (4x 3 -2005x-2OO1 )2003 的值是( 22003

(1)

丄B_b 丄a, 、b

”a . b ab -b

（黄冈市中考试题）

（五城市联赛试题）

【例2】化简

⑶? 4.3 3 2_

（.•6 .3）（「3 J2）

3、厉-、10 -2.6 3.3-2 18

.5 2,3 1

（陕西省竞赛试题）

解题思路：若一开始把分母有理化，则计算必定繁难，仔细观察每题中分子与分母的数字特点，通 过分解、分析等方法寻找它们的联系，问题便迎刃而解

题的难度

【例3】 比•、、5）6大的最小整数是多少?

（西安交大少年班入学试题）

解题思路：直接展开，计算较繁，可引入有理化因式辅助解题，即设

想一想：设 X =.;；19-8；3,求

X

_?

x

字

18x 23

的值.

x -7x +5x+15

形如：-A —「B 的根式为复合二次根式，常用配方，引入参数等方法来化简复合二次根式

（北京市竞赛试题）

x =6 5, y - , 6 - \ 5,

（“祖冲之杯”邀请赛试题）

【例4】设实数x, y满足（x . X21）（y y21）=1，求x+ y的值.

（“宗泸杯”竞赛试题）解题思路：从化简条件等式入手，而化简的基本方法是有理化

【例5】（1）代数式',x2• 4 • . （12-X）2• 9的最小值.

（2）求代数式,x2-8x • 41「x2-4x - 13的最小值.

（“希望杯”邀请赛试题）

解题思路：对于（1），目前运用代数的方法很难求此式的最小值，J a2 +b2的几何意义是直角边

为a，b的直角三角形的斜边长，从构造几何图形入手，对于（2），

设y = J（x_4）2+52+ J（X-2）2+32，设A（x，0），B（4，5），C（2，3）相当于求AB+ AC 的最

小值，以下可用对称分析法解决•

方法精髓：

解决根式问题的基本思路是有理化，有理化的主要途径是乘方、配方、换元和乘有理化因式

【例6】设m = J a+2>/a—1 +Q a—2ja—1（1 Wa 兰2），求m0 +rm +m +||| + m — 47 的值•

解题思路：配方法是化简复合二次根式的常用方法，配方后再考虑用换元法求对应式子的值

能力训练

1•化简：（7）1004

3 32008 1 52008

_ 15一(“希望杯”邀请赛试题)

2008 2008

7 35

2.若x y = 3 5 - 2, x - y = 3,2 -、5，则xy =（北京市竞赛试

题）

.1997 ^.1999

____ + ----------- . " —---------- +

3 计算：(J1997 _(1999)(^/1997 -72001) &1999 -(2001)(71999 -V1997)

•、

2001

仁2001 - "997)( .2001 - 1999)

（“希望杯”邀请赛试

题）

4.若满足0 v x v y及•.. 1088 = x •y的不同整数对（x, y）是（上海市竞赛试

题）

5.如果式子（X-1）2& -2）2化简结果为2x—3，则x的取值范围是（

A. x w 1

B. x> 2

C. 1 < X W 2

D. x>0

6、计算,14 -6,5 -/4-6；5 的值为（)

（全国初中数学联赛试题）

2a+ 999b+ 1001c 的值是（

）

（全国初中数学联赛试题）

8、有下列三个命题

A. 1

B. .5

C. 2.5

D. 5

甲

：

,3是不相等的无理数,

乙: ,3是不相等的无理数, 是无理数;

a +P

丙: ,3是不相等的无理数, ■::厂是无理数;

其中正确命题的个数是（

A. 0个

B. 1个

C.2个

D. 3个

9、化简:

(1)X、y -y、x y . x x y

Xi y y x y x「X、y

(2)

（全国初中数学联赛试

题）

2、石

、3 & - .5

7. a, b, c为有理数，且等式a b 2• c、. 3 = 5 • 2 ” 6成立，则

A. 1999

B. 2000

C. 2001

D. 不能确定