2.5-例题讲解

主应力方向： 0 450 是 1 方向
一受扭圆轴,直径d=20mm,圆轴的材料为 钢,E=200GPa,ν=0.3。现测得圆轴表面上与轴线成450 方向的应变为ε=5.2×10-4,试求圆轴所承受的扭矩。
T
450
1
2 0
3
根据广义胡克定律:
3
1
1 1 1 1 2 3 E E
结构安全
现有两种说法：（1）塑性材料中若某点的最大拉应力 σmax=σs，则该点一定会产生屈服；（2）脆性材料中若某点的最 大拉应力σmax=σb，则该点一定会产生断裂，根据第一、第四强 度理论可知，说法( B ).
A.（1）正确、（2）不正确； B.（1）不正确、（2）正确； C.（1）、（2）都正确； D.（1）、（2）都不正确。
若构件内危险点的应力状态为二向等拉，则除 （ B ）强度理论以外，利用其他三个强度理论得到 的相当应力是相等的。
A.第一； B.第二； C.第三； D.第四；

r1
r 2

r 3 1 3
1 2 2 2 1 2 2 3 3 1 r4 2
T
450
应力状态如图所示：
x y 0, xy , 450

x y x y cos 2 xy sin 2 2 2
x y sin 2 xy cos 2 0 2
故所给45度方向是主应力方向。

根据圆轴扭转应力公式:
T Wp
1 E d 3 1 16
125.7Nm
分析轴向拉伸杆件的最大切应力的作用面，说明低碳钢 拉伸屈服时沿45度出现滑移线的原因。
低碳钢拉伸时，其上任意一点都是单向应力状态,如图所示：
x
三个主应力为： 主方向为：
1 x , 2 0, 3 0

x y 2
3
2
2 x
2 2 2
2
σ
τ
第三强度理论 第四强度理论
Baidu Nhomakorabea
1

2

2
1 3 2 4 2 149.0MPa
1 2 2 2 1 2 2 3 3 1 2 2 3 2 141.6MPa
解析法例题: 平面应力状态如图，求主应力、主方向、最大切应力。
40 50
解：1） x 60 2）求主应力
60
y －40 xy 50
max x y x y 80.7 2 xy 2 60.7 2 min


1 2 3 0
对图示的纯剪切应力状态，试按强度理论建立纯剪切状 态下的强度条件，并导出剪切许用应力［τ］与拉伸许用 应力［σ］之间的关系。 0 ＝ 45 1＝， 2＝0， 3＝ 0
1
K K
单元体纯剪切强度条件 第一强度理论

1
试用应力圆法计算图示单元体e--f截面上的应力。图中应 力的单位为MPa。

e
2.2
4.4
a
300
o
d
c
60 0

f
n
30 5.2MPa
0
30 0.8MPa
0
一受扭圆轴,直径d=20mm,圆轴的材料为 钢,E=200GPa,ν=0.3。现测得圆轴表面上与轴线成450 方向的应变为ε=5.2×10-4,试求圆轴所承受的扭矩。
一受扭圆轴,直径d=20mm,圆轴的材料为 钢,E=200GPa,ν=0.3。现测得圆轴表面上与轴线成450 方向的应变为ε=5.2×10-4,试求圆轴所承受的扭矩。
T
450
x y 0, xy , 450
主应力大小：
3
1
1
2 0
3
0.25

（ 1＋）
τ
第三强度理论 第四强度理论
3
第二强度理论 －（ ＋ ） 1 2 3
1 29.28MPa< 30MPa
故满足强度要求。
某结构上危险点处的应力状态如图所示，其中σ＝ 116.7MPa，τ＝46.3MPa。材料为钢，许用应力［σ］＝ 160MPa。试用第三、第四强度理论校核此结构是否安全。
max
min
x y
2
2 2
（应力单位 MPa ） 1 80.7
2
2 0 3 60.7
3）求主方向
3
1
0
tg20
2 xy
x y
1
0 22.5
x y
0为 max与x轴夹角
4）求最大切应力 （应力单位 MPa ）
max＝
1 3
2
＝70.7
第一强度理论
1
＋
x 10， y 23， xy 11
23
max
11 10
min
x y
2

x y 2
2 x
2
29.8MPa 3.72MPa
(单位 MPa)
1 29.28MPa， 2 3.72MPa， 3 0
0 00
1 3
2
最大切应力大小： max
x
2
最大切应力方向：
1 0 450 450
从以上分析结果可以看出：低碳钢拉伸屈服时沿45度方向出现 滑移线是由最大切应力引起的，也就是说低碳钢拉伸时，失效形 式是“剪切破坏”。
已知铸铁构件上危险点处的应力状态，如图所示。若铸 铁拉伸许用应力为［σ］＋＝30MPa，试校核该点处的强度 是否安全。