四校联考高一年级数学答题卷

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浙江省杭州市四校联考2023-2024学年高一上学期10月月考数学试题答案

高一数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.1．设全集{}22,3,4U m m =+-，集合{},2A m =，∁u =3，则m =（）A ．2±B ．2C ．2-D ．4-【答案】C2．命题“20,1x x x ∀>-≤”的否定是（）A ．20,1x x x ∀≤-≤B ．20,1x x x ∀>->C ．20,1x x x ∃≤-≤D ．20,1x x x ∃>->【答案】D3．已知a ，b ，c ，满足c b a <<，且0ac <，那么下列不等式中一定成立的是（）A ．ab ac >B ．()0c b a -<C ．22cb ab <D ．ac (a -c )>0【答案】A4．若正数x ，y 满足35x y xy +=，则34x y +的最小值是（）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】D全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．若不等式20ax bx c -+>的解集是(1,2)-，则下列选项正确的是（）A ．0a b c ++=B ．a<0C ．0b >且0c <D ．不等式20ax cx b ++>的解集是R【答案】AB【解析】由于不等式20ax bx c -+>的解集是(1,2)-，所以a<0，B 选项正确，且1212b ac a ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-⨯=⎪⎩，即12b a c a ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，则,2==-b a c a ，所以20a b c a a a ++=+-=，A 选项正确，0,20b a c a =<=->，C 选项错误，不等式20ax cx b ++>，即220ax ax a -+>，即()222110x x x -+=-<，无解，D 选项错误.故选：AB12．设非空集合={|≤≤}满足：当∈时，有2∈.给出如下命题，其中真命题是()A.若=1，则B.若，则≤≤1C.若，则D.若=1，则【答案】BC【解析】【分析】本题考查了集合的新定义问题．先由非空集合={|≤≤}满足：当∈时，有2∈，判断出≥1或≤0，0≤≤1，对照四个选项分别列不等式组，解出不等式进行一一验证即可．【解答】解：∵非空集合={|≤≤}满足：当∈时，有2∈.∴当∈时，有2∈，即2≥，解得：≥1或≤0;同理：当∈时，有2∈，即2≤，解得：0≤≤1.对于:=1，必有2=1∈，故必有≥0≤≤1解得：==1，所以={1}，故A 错误;对于:=−12，必有2=14∈，故必有≥20≤≤1，解得：14≤≤1，故B 正确;对于:若=12，有≤12≤2,解得:−22≤≤0,故正确;2≤12对于:若=1，有≤1≤22≤1，解得：−1≤≤0或=1，故D 错误．故选：B三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分14.对于集合A,B ，用card(A)表示有限集合A 中元素的个数，已知card(A)=M,card(B)=N(M<N),集合C 满足A ⊆C ⊆B,则符合条件的集合C 的个数是____________.【答案】2N-M 15.已知集合={|K1r1<0}，={|(−)2<}，若“=1”是“∩≠⌀”的充分条件，则实数的取值范围是．【答案】(−2,2)【解答】解：由={|K1r1<0}={|(−1)·(+1)<0}={|−1<<1}，当=1时，={|(−)2<1}={|−1<<+1}，此时，∩≠⌀，所以+1>−1−1<1,解得−2<<2．故答案为：(−2,2)．三、解答题17．设全集R U =，集合{}|15A x x =≤≤，集合{|122}B x a x a =--≤≤-．(1)若“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围；(2)若B A ⊆，求实数a 的取值范围．【详解】（1）由“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，得A B ，又{}|15A x x =≤≤，{|122}B x a x a =--≤≤-，A=-∞，求B（2）若(),120．为宣传2023年杭州亚运会，某公益广告公司用一条长度为1m的铁丝，首尾相连做成一个直角三角形的海报纸，求：（1）海报纸的斜边最短是多少？（2）若在该海报纸画一个内切圆，则直角三角形内切圆半径最大值是多少？【答案】解：(1)假设直角三角形两条直角边为，，(0<<1,0<<1)，斜边长为2+2，++2+2=1，∵(+)2≤2(2+2)，∴1=++2+2⩽(2+1)2+2，∴2+2≥2+1=2−1当且仅当==2−22时等号成立，所以斜边2+2最短是2−1;(2)由直角三角形的内切圆半径=2又++2+2=1，∴=2(rp−12=+−12，∵2(2+2)≥(+)2，∴2+2≥2(rp2∴++2+2≥++22(+)=(1+22)(+)，即1≥(1++)，=2−2，∴+≤当且仅当==∴=+−12≤32−2，该直角三角形内切圆半径最大值是32−2．21．设函数JB2+K AR,AR.(1)若J1，且集合UJ0中有且只有一个元素，求实数的取值集合；(2)解关于的不等式I K12+r2K2；(3)当K0,K1时，记不等式K0的解集为，集合J{U−2−II−2+V.若对于任意正数shk∅，求1−1的最大值.【解答过程】（1）由题设JB2+K1AR，又UJ0有且只有一个元素，所以B2+K1=0有且仅有一个根，当J0时，K1=0，即J1，则UJ0={1}，满足题设；当k0时，Δ=1+4J0，即J−14，则UJ0={2}，满足题设；所以的取值集合为{−14,0}.（2）由题设B2+KI K12+r2K2，整理得2−(r1)rJ(Kp(K1)<0，当I1时，解集为{UII1}；当J1时，解集为∅；当K1时，解集为{U1<IV；（3）由K0，恒有K2>−K2，故k∅，Jop=B2+KK0且K0,K1，故op开口向上且o0)=−I0，故对应一元二次方程恒有两个不等实根，且在y轴两侧，因为hk∅，即op>0在(−2−s−2+p上有解，且∀A(0,+∞)，又区间(−2−s−2+p关于J−2对称，且区间长度2A(0,+∞)，综上，只需保证o−2)=4K2−J0，则4KJ2，且J4K2>1，即K34，所以1−1=12(2−2)=12(4K−4K)=52−12(+4)≤5212，当且仅当J2，即J1>34,J2>1时等号成立，故1−1的最大值为12.22.已知二次函数=B2+B+2(,为实数)(1)若=1时，=1且对∀∈(2,5)，>0恒成立，求实数的取值范围；(2)若=1时，=1且对∀∈−2,−1，>0恒成立，求实数的取值范围；(3)对∀∈，>0时，≥0恒成立，求r2的最小值．【答案】解：(1)∵=1时=1，∴++2=1，即=−1−，∵∀∈(2,5)，>0恒成立，即B2−(1+)+2>∴B(−1)>−2恒成立，∵∈(2,5)，∴>K2oK1)对∀∈(2,5)恒成立，∴>．令=−2，则∈(0,3)，则K2oK1)=(r2)(r1)=2+3r2=1r2+3≤2=3−22，当且仅当=2，即=2，此时=2+2时取“=”，所以实数的取值范围时(3−22,+∞)．(2)∵=1时=1，∴++2=1，即=−1−，∵∀∈−2,−1，>0恒成立，即B2−(1+)+2>0对∀∈−2,−1恒成立，∴(2−)−+2>0对∀∈−2,−1恒成立．−2++2>0−2+2>0,∴1−174<<1+174,所以实数(3)对∀∈，>0时，≥0恒成立，∴>0=2−8≤0，则≥28．∴r2≥28+2=8+2≥=1，当且仅当8=2且=28，即=4,=2时取等号，所以r2最小值是1．。

高一数学11月份四校联考试题含解析试题

智才艺州攀枝花市创界学校静海区第四二零二零—二零二壹高一数学11月份四校联考试题〔含解析〕一、选择题〔本大题一一共12小题〕1.设集合0，1，2，，，那么A. B. C. D.0，2.集合，2，，那么“〞是““的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件A.，B.，C. D.3.设，，假设，那么a的取值范围是A. B. C. D.4.：a，b，cA.假设，，那么B.假设，那么C.假设，，那么D.假设，那么5.设，，那么A. B. C. D.6.以下各组函数中，表示同一函数的是A.和B.和C.和D.和7.函数，当时，y获得最小值b，那么A. B.2 C.3 D.88.假设不等式的解集为R，那么实数m的取值范围是A. B.C. D.9.函数在R上为增函数，且，那么实数m的取值范围是A. B.C. D.10.以下函数在上最大值为3的是A. B. C. D.11.定义在R上的偶函数，对任意，，有，那么A. B.C. D.二、填空题〔本大题一一共7小题〕12.设集合，，假设A，B相等，那么实数______．13.集合，，那么______．14.______填写上相应序号．15.，，且，那么的最小值是______16.函数在上的最小值是，那么______．17.是定义在上的偶函数，那么的值是______________．18.假设为奇函数，当时，，且，那么实数a的值是______．三、解答题〔本大题一一共6小题〕19.______．20.求以下函数的定义域：；；．21.全集，集合，．求：；；；．22.函数，．判断函数在区间上的单调性，并给出证明；求该函数的最大值和最小值．23.解关于x的不等式．24.如图，动物园要围成一样的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．现有可围36m长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？假设使每间虎笼面积为，那么每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋总长度最小？答案和解析1.【答案】A【解析】解：或者，．应选：A．求解一元二次不等式化简集合B，然后直接利用交集运算得答案．此题考察了交集及其运算，考察了一元二次不等式的解法，是根底题．2.【答案】A故“〞是“〞的充分不必要条件应选：A．3.【答案】CC4.【答案】A【解析】解：根据题意，，如图假设，且，必有，那么a的取值范围是；故答案为：A．根据题意，利用数轴表示集合A，结合题意，由，分析可得a的取值范围．此题考察集合间关系的判断，对于此类问题可以借助数轴来分析．5.【答案】B【解析】解：选项A，假设，，，显然不成立，选项C不满足倒数不等式的条件，如，时，不成立；选项D只有时才可以．否那么如，时不成立，应选：B6.【答案】C【解析】【分析】此题考察了作差法比较两个数的大小的应用．作差法化简．【解答】解：，，，，应选C．7.【答案】D【解析】解：，由，得，两个函数的定义域不一样，不是同一函数，B.和，，两个函数的定义域和对应法那么不一样，不是同一函数，C.和，两个函数的对应法那么不一样，不是同一函数，D.，，，，两个函数的定义域和对应法那么一样是同一函数，应选：D．分别判断两个函数的定义域和对应法那么是否一样即可．此题主要考察同一函数的判断，结合函数的定义域和对应法那么是否一样是解决此题的关键．比较根底．8.【答案】C【解析】【分析】此题考察根本不等式的应用，凑“积为定值〞是关键，属于中档题．将，转化为，再利用根本不等式求解即可．【解答】解：，，，当且仅当时取等号．，，．应选：C．9.【答案】D【解析】解：由题意知原不等式对应方程的，即，即，解得，故答案为D．应选：D．利用不等式的解集是R，转化为函数恒成立，利用判别式转化求解即可．此题考察函数恒成立条件的应用，考察转化思想以及计算才能，是根本知识的考察．10.【答案】C【解析】解：函数在R上为增函数，且，，解得，应选：C．由题意根据函数的单调性的定义可得，由此解得m的范围．此题主要考察函数的单调性的应用，属于根底题．11.【答案】A【解析】解：由题意，对于A，函数在上单调减，所以时，函数有最大值为3；对于B，函数在上单调增，所以时，函数有最大值为10；对于C，函数在上单调增，所以时，函数有最大值为16；对于D，函数在上单调减，所以时，函数有最大值为0；应选A．分别研究函数在上的单调性，从而可确定函数的最大值．此题考察的重点是函数的最值，解题的关键是确定函数在区间上的单调性，属于根底题．12.【答案】A【解析】解：由题意，对任意，，有，函数在上单调减函数是偶函数，应选：A．确定函数在上单调减，结合函数是偶函数，即可得到结论．此题考察函数单调性与奇偶性的结合，确定函数的单调性是关键．13.【答案】1【解析】解：由集合相等的概念得，解得，经检验成立，故答案为：1．利用集合相等，列方程组求出，再检验即可．考察集合相等，根底题．14.【答案】【解析】【分析】此题考察并集的求法，考察并集定义、不等式性质等根底知识，考察运算求解才能，是根底题．先分别求出集合A和B，由此能求出．【解答】解：因为集合，，所以．故答案为：．15.【答案】【解析】解：由性质7可知，只有当时，才成立，故都错误；对于，只有当且时，才成立，故错误；由性质6可知，只有当，时，才成立，故错误；对于，由得，从而，故错误．故答案为：．利用不等式的根本性质判断516.【答案】25【解析】解：因为，，，所以当且仅当时取等号，所以．故答案为：25．由条件知，可得，展开后，运用根本不等式，计算即可得到所求最小值．此题考察代数式的最小值的求法，是根底题，解题时要认真审题，注意均值不等式的合理运用，易错点是容易无视等号成立的条件17.【答案】4【解析】解：函数在上递减，即有最小，且为．解得，故答案为：4．由函数在上递减，可得最小，解方程可得b．此题考察反比例函数的最值求法，注意单调性的运用，属于根底题．18.【答案】【解析】解：是定义在上的偶函数，，，又，，．故答案为按照偶函数的定义，对定义域内的任意实数，，且定义域关于原点对称，．此题考察偶函数的定义，对定义域内的任意实数，；奇函数和偶函数的定义域必然关于原点对称，定义域区间2个端点互为相反数．19.【答案】5【解析】解：因为为奇函数，当时，，且，所以，即，所以，解得．故答案为：5．利用函数是奇函数，由，得到，代入表达式即可求解．此题主要考察函数奇偶性的应用，比较根底．20.【答案】对任何，都有比较根底．21.【答案】解：要使函数有意义，只需，即且，故函数的定义域为且．要使函数有意义，那么且，解得且．所以定义域为．要使函数有意义，那么，解得，且．故定义域为，．【解析】根据函数的解析式，列出使函数解析式有意义的不等式组，求出解集即可．此题考察了求函数定义域的应用问题，解题的关键是列出使函数解析式有意义的不等式组，是根底题目．22.【答案】解：全集，集合，或者集合，．全集，或者或者，或者．【解析】根据中，全集，集合，，先求出；，然后结合集合的交集补集的定义即可得到答案．此题考察交并补集的混合运算，通过的集合的全集，按照补集的运算法那么分别求解，属于根底题．23.【答案】解：函数在上单调递增．证明：设任意，，满足．，，，，．，即在上为增函数．；．【解析】函数在上单调递增．运用单调性的定义证明，注意作差、变形和定符号、下结论；运用在上单调递增，计算即可得到最值．此题考察函数的单调性的判断和证明，考察函数的最值的求法，注意运用单调性，属于根底题．24.【答案】解：当时，那么不等式的解集为：当时，那么不等式的解集为：当时，不等式的解集为【解析】利用十字相乘法，我们可将不等式化为，分，，三种情况分别求出不等式的解集，即可得到答案．此题考察的知识点是一元二次不等式的解法，由于a的符号不能确定，故要对a的取值，进展分类讨论，解答时，易忽略的情况，而只讨论两种情况．25.【答案】解：设每间虎笼长为，宽为，由题意可知：，即．，，，当且仅当时取等号．解方程组可得，．每间虎笼长，宽3m时，虎笼面积最大．由题意可知，设钢筋总长度为l，那么，当且仅当时取等号．解方程组，可得，．每间虎笼长6m，宽4米时，钢筋总长度最小．【解析】设长xm，宽ym，那么，根据根本不等式求出xy获得最大值时的条件即可得出答案；设长xm，宽ym，那么，钢筋总长，根据根本不等式得出l获得最小值时的条件即可得出答案．此题考察了根本不等式的应用，属于根底题．。

四校高一期末数学试卷答案

一、选择题（每题5分，共50分）1. 下列各数中，有理数是（）A. √9B. √16C. √25D. √-16答案：C2. 已知等差数列{an}中，a1=3，d=2，则第10项a10的值为（）A. 23B. 24C. 25D. 26答案：B3. 函数f(x) = x^2 - 4x + 3在区间[-1, 5]上的最大值是（）A. 3B. 4C. 5D. 6答案：D4. 已知复数z = 2 + 3i，其共轭复数是（）A. 2 - 3iB. 3 + 2iC. -2 - 3iD. -3 + 2i答案：A5. 下列各命题中，正确的是（）A. 对任意实数x，都有x^2 ≥ 0B. 对任意实数x，都有x^3 ≥ 0C. 对任意实数x，都有x^4 ≥ 0D. 对任意实数x，都有x^5 ≥ 0答案：A6. 在直角坐标系中，点A(2, 3)关于直线y = x的对称点是（）A. (3, 2)B. (2, 3)C. (3, 3)D. (2, 2)答案：A7. 若a、b、c是等比数列，且a + b + c = 12，b = 4，则a^2 + c^2的值为（）A. 16B. 20C. 24D. 28答案：C8. 下列各函数中，是奇函数的是（）A. f(x) = x^2B. f(x) = x^3C. f(x) = x^4D. f(x) = x^5答案：B9. 已知等差数列{an}中，a1=1，公差d=2，则前10项和S10的值为（）A. 110B. 120C. 130D. 140答案：B10. 下列各方程中，有唯一解的是（）A. x^2 - 2x + 1 = 0B. x^2 - 2x + 1 = 0C. x^2 - 2x + 1 = 0D. x^2 - 2x + 1 = 0答案：A二、填空题（每题5分，共50分）11. 已知等差数列{an}中，a1=5，d=3，则第n项an的通项公式为______。

答案：an = 5 + 3(n - 1)12. 函数f(x) = 2x - 3在区间[1, 4]上的最大值是______。

2025届湖南省十四校联考高一上数学期末复习检测试题含解析

【详解】由 (1)x 9 (1)2 ，则 x 2 ，
3
3
所以“ x 1”是“ (1)x 9 ”的充分不必要条件. 3
故选：B
7、A
.【解析】由
【详解】由
所以
所以的周期为 4，
由
得
所以
故选：A. 8、A
和得
，即
可得函数的周期，再利用周期可得答案. ，
，，，
【解析】由题意可得 f (x) 在 (, 0) 单调递减，且 f (3) f (3) 0 ，从而可得当 x 3 或 0 x 3 时， f (x) 0 ，
当 x 0 时，不等式 xf (x 3) 0 等价于 f (x 3) 0，所以 x 3 3 或 0 x 3 3，解得 x 0 ，当 x 0 时，不等式 xf (x 3) 0 等价于 f (x 3) 0 ，所以 3 x 3 0或 x 3 3 ，解得 0 x 3 或 x 6 ，
2025 届湖南省十四校联考高一上数学期末复习检测试题
注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。 2．选择题必须使用 2B 铅笔填涂；非选择题必须使用 0．5 毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。 3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
的取值范围是________.
16．已知 f 2x 3 ex, 且 f x0 1，则 x0 =______________
三、解答题：本大题共 5 小题，共 70 分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知函数

浙江省杭州市周边重点中学四校2024-2025学年高一上学期10月联考模拟练习数学试题含答案

浙江省四校2024-2025学年高一上学期10月联考模拟练习数学试题（自编供学生使用）（考试时间：120分钟试卷总分：150分）（答案在最后）一、单选题（本大题共8小题，共40分）1．已知集合{2},{1}A x x B x x =>=<∣∣，则()()A B ⋂=R R 痧（）A．∅B．{12}xx <<∣C．{}12xx ≤≤∣D．R2．已知集合{|(38)(2)0}A x x x =-+<{|13}B x x =∈-Z ≤≤，则集合A B ⋂中的元素个数为A．2B．3C．4D．53．命题“,sin 0R αα∃∈=”的否定是（）A．,sin 0R αα∃∈≠B．,sin 0R αα∀∈≠C．,sin 0R αα∀∈<D．,sin 0R αα∀∈>4．已知,,a b c ∈R ，则下列说法正确的是A．若a b >,则a c b c ->-B．若a b >，则a b c c>C．若ac bc <，则a b<D．若a b >，则22ac bc >5．命题“2,2390x R x ax ∃∈-+<”为假命题，则实数a 的取值范围为（）A．)(222⎡⎤∞⋃-∞⎣⎦，+，B．2⎡⎣-22，C．)2⎡∞⎣，D．(2-∞，6．关于x 的不等式22280x ax a --<的解集为()12,x x ，且2115x x -=，则a 的值为（）A．152B．152±C．52D．52±7．已知2(0,0)a b ab a b +=>>，下列说法正确的是（）A．ab 的最大值为8B．1212a b +--的最小值为2C．a b +有最小值32D．2224a a b b -+-有最大值48．给定集合A ，若对于任意a 、b A ∈，有a b A +∈，且a b A -∈，则称集合A 为闭集合，给出如下三个结论：①集合{}4,2,0,2,4A =--为闭集合；②集合{}3,A n n k k Z ==∈为闭集合；③若集合1A 、2A 为闭集合，则12A A ⋃为闭集合．其中正确结论的个数是（）A．0B．1C．2D．3二、多选题（本大题共3小题，共18分）9．下列命题中为真命题的是（）A．若0xy =，则0x y +=B．若a b >，则a c b c +>+C．菱形的对角线互相垂直D．若,a b 是无理数，则a b +是无理数10．根据不等式的有关知识，下列日常生活中的说法正确的是（）A．自来水管的横截面制成圆形而不是正方形，原因是：圆的面积大于与它具有相同周长的正方形的面积．B．在b 克盐水中含有a 克盐(0)b a >>，再加入n 克盐，全部溶解，则盐水变咸了．C．某工厂第一年的产量为A ，第二年的增长率为a ，第三年的增长率为b ，则这两年的平均增长率为2a b+．D．购买同一种物品，可以用两种不同的策略．第一种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量一定；第二种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱数一定．用第二种方式购买一定更实惠．11．德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其命名的函数R 1,Q()0,Q x f x x ∈⎧=⎨∈⎩ð，被称为狄利克雷函数，其中R 为实数集，Q 为有理数集，则以下关于狄利克雷函数()f x 的结论中，正确的是（）A．函数()f x 满足：()()f x f x -=B．函数()f x 的值域是[]0,1C．对于任意的x ∈R ，都有()()1f f x =D．在()f x 图象上不存在不同的三个点、、A B C ，使得ABC V 为等边三角形三、填空题（本大题共3小题，共15分）12．命题“π0,2x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，sin 0x ≥”的否定为．13．学校举办秋季运动会时，高一（1）班共有26名同学参加比赛，有12人参加游泳比赛，有9人参加田赛，有13人参加径赛，同时参加游泳比赛和田赛的有3人，同时参加游泳比赛和径赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，则只参加游泳比赛的有人；同时参加田赛和径赛的有人．14．甲、乙两地相距240km，汽车从甲地以速度v (km/h)匀速行驶到乙地.已知汽车每小时的运输成本由固定成本和可变成本组成，固定成本为160元，可变成本为16400v 3元.为使全程运输成本最小，汽车应以km/h 的速度行驶.四、解答题（本大题共5小题，共77分）15．用一段长为16m 的篱笆，围成一个一边靠墙的矩形菜地（墙的长度大于16m ），矩形的长宽各为多少时，菜地的面积最大？并求出这个最大值？16．已知2:280p x x --≤，()22:200q x mx m m +-≤>，.（1）当1m =时，若命题“p q ∧”为真命题，求实数x 的取值范围；（2）若p 是q 的充分而不必要条件，求实数m 的取值范围.17．某人准备在一块占地面积为1800平方米的矩形地块中间建三个矩形温室大棚，大棚周围均是宽为1米的小路（如图所示），大棚占地面积为S 平方米，其中:1:2a b =.(1)试用x 表示S ，并标明x 的取值范围；(2)求S 的最大值，并求出S 取最大值时x 的值.18．已知函数()f x =的定义域为集合A ，{}B xx a =<∣．(1)求集合A ；(2)若全集{|4}U x x =≤，1a =-，求()U A B ð；(3)若A B A = ，求a 的取值范围．19．已知函数()2f x ax bx c =++（a ，b ，c ∈R ）有最小值4-，且()0f x <的解集为{}13x x -<<．(1)求函数()f x 的解析式；(2)若对于任意的()1,x ∈+∞，不等式()6f x mx m >--恒成立，求实数m 的取值范围．参考答案：题号12345678910答案C CBABDBBBCABD题号11答案AC1．C【分析】求出集合,A B 的补集，根据集合的交集运算，即可得答案.【详解】由于{2},{1}A x x B x x =>=<∣∣，故{|2},{|1}A x x B x x =≤=≥R R 痧,所以()()A B ⋂=R R 痧{}12xx ≤≤∣，故选：C 2．C【详解】依题意，()(){}8|3820|23A x x x x x ⎧⎫=-+<=-<<⎨⎬⎩⎭，{|13}B x Z x =∈-≤≤{}1,0,1,2,3=-，A B ⋂{}1,0,1,2=-,有4个元素，故选C.3．B【分析】原命题为存在性量词命题，按规则可写出其否定.【详解】根据命题否定的定义可得结果为：R α∀∈，sin 0α≠，故选：B.4．A【分析】由不等式的性质可判断A；取特值0c =，可判断BD；取0c <，结合不等式的性质判断C.【详解】对于A，利用不等式的性质可判断A 正确；对于BD，取0c =时，可知B 和D 均错误；对于C，当0c <时，若ac bc <，则a b >，故C 错误．故选：A 5．B【解析】特称命题为假命题，等价于其否定为真命题,利用判别式，即可确定实数a 的取值范围.【详解】“2,2390x R x ax ∃∈-+<”为假命题，等价于“2,2390x R x ax ∀∈-+≥”为真命题,所以()2=3890a ∆-⨯≤所以a ⎡∈⎣，则实数a 的取值范围为⎡⎣.故选：B.6．D【分析】根据22112122(())4x x x x x x -=+-以及韦达定理即可求解.【详解】因为关于x 的不等式22280x ax a --<的解集为()12,,x x 12,x x ∴是方程22280x ax a --=的两个不同的实数根，且224320a a ∆=+>，212122,8x x a x x a ∴+==-，2115x x -= ，()22221212154432x x x x a a ∴=+-=+，221536a =，解得52a =±故选：D.7．B【分析】根据基本不等式运用的三个条件“一正､二定､三相等”，可知8ab ≥，所以A 错误；将原式化成()()122a b --=，即可得()12112121a ab a +=+-≥---，即B 正确；不等式变形可得211ba+=，利用基本不等式中“1”的妙用可知3a b +≥+，C 错误；将式子配方可得222224(1)(2)5a a b b a b -+-=-+--，再利用基本不等式可得其有最小值1-，无最大值，D 错误.【详解】对于A 选项，2ab a b =+≥≥8ab ≥，当且仅当2,4a b ==时等号成立，故ab 的最小值为8，A 错误；对于B 选项，原式化为()()2122,01a ab b a --==>-，故10a ->；02ba b =>-，故20b ->；所以()12112121a ab a +=+-≥---，当且仅当2,4a b ==时等号成立，B 正确；对于C 选项，原式化为211ba +=，故()212123a a b a b b a ba b ⎛⎫+=++=+++≥+ ⎪⎝⎭当且仅当1,2a b =+=+C 错误；对于D 选项，()()222224(1)(2)521251a a b b a b a b -+-=-+--≥---=-，当且仅当12a b ==+1-，D 错误．故选：B 8．B【解析】取2a =，4b =-，利用闭集合的定义可判断①的正误；利用闭集合的定义可判断②的正误；取{}13,A n n k k Z ==∈，{}22,A m m t t Z ==∈，利用特殊值法可判断③的正误.由此可得出合适的选项.【详解】对于命题①，取2a =，4b =-，则6a b A -=∉，则集合{}4,2,0,2,4A =--不是闭集合，①错误；对于命题②，任取1n 、2n A ∈，则存在1k 、2k Z ∈，使得113n k =，223n k =，且12k k Z +∈，12k k Z -∈，所以，()12123n n k k A +=+∈，()12123n n k k A -=-∈，所以，集合{}3,A n n k k Z ==∈为闭集合，②正确；对于命题③，若集合1A 、2A 为闭集合，取{}13,A n n k k Z ==∈，{}22,A m m t t Z ==∈，则{123A A x x k ⋃==或}2,x k k Z =∈，取13A ∈，22A ∈，则()12325A A +=∉⋃，()12321A A -=∉⋃，所以，集合12A A ⋃不是闭集合，③错误.因此，正确的结论个数为1.故选：B.9．BC【分析】对于A，由0xy =得0x =或0y =即可判断；对于B，由不等式性质即可判断；对于C，由菱形性质即可判断；对于D，举反例如a b ==【详解】对于A，若0xy =，则0x =或0y =，故x y +不一定为0，故A 错误；对于B，若a b >，则由不等式性质a c b c +>+，故B 正确；对于C，由菱形性质可知菱形的对角线互相垂直，故C 正确；对于D，若,a b 是无理数，则a b +不一定是无理数，如a b ==0a b +=是有理数，故D 错误.故选：BC.10．ABD【分析】根据题意利用不等式的性质以及作差法、基本不等式逐项分析判断.【详解】对于选项A：设周长为0l >，则圆的面积为22π2π4πl l S ⎛⎫== ⎪⎝⎭圆，正方形的面积为22416l l S ⎛⎫==⎪⎝⎭正方形，因为211,04π16l >>，可得224π16l l >，即S S >圆正方形，故A 正确；对于选项B：原盐水的浓度为a b ，加入0n >克盐，盐水的浓度为a n b n++，则()()n b a a n a b n b b b n -+-=++，因为0,0b a n >>>，可得0,0b a b n ->+>，所以()()0n b a a n a b n b b b n -+-=>++，即a n ab n b+>+，故B 正确；对于选项C：设这两年的平均增长率为x ，则()()()2111A a b A x ++=+，可得1x ，因为()()111122a b a bx ++++=≤=+，即2a b x +≤，当且仅当11a b +=+，即a b =时，等号成立，即这两年的平均增长率不大于2a b+，故C 错误；对于选项D：按第一种策略购物，设第一次购物时的价格为1p 元/kg，购kg n ，第二次购物时的价格为2p 元/kg，购kg n ，两次购物的平均价格为121222p n p n p p n ++=；若按第二种策略购物，第一次花m 元钱，能购1kg mp 物品，第二次仍花m 元钱，能购2kg m p 物品，两次购物的平均价格为12122211m m m p p p p =++.比较两次购的平均价格：()()()()22121212121212121212124220112222p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p +--++-=-==≥++++，当且仅当12p p =时，等号成立，所以第一种策略的平均价格不低于第二种策略的平均价格，因而用第二种策略比较经济，故D 正确；故选：ABD.11．AC【分析】利用R 1,Q ()0,Q x f x x ∈⎧=⎨∈⎩ð，对选项A，B 和C 逐一分析判断，即可得出选项A，B 和C的正误，选项D，通过取特殊点()0,1,,A B C ⎫⎛⎫⎪⎪⎝⎭⎝⎭，此时ABC V 为等边三角形，即可求解.【详解】由于R 1,Q()0,Qx f x x ∈⎧=⎨∈⎩ð，对于选项A，设任意x ∈Q ，则()(),1x f x f x -∈-==Q ；设任意Q x ∈R ð，则()()Q,0x f x f x -∈-==R ð，总之，对于任意实数()(),x f x f x -=恒成立，所以选项A 正确，对于选项B，()f x 的值域为{}0,1，又{}[]0,10,1≠，所以选项B 错误，对于选项C，当x ∈Q ，则()()()()1,11f x f f x f ===，当Q x ∈R ð，则()()()()0,01f x f f x f ===，所以选项C 正确，对于选项D，取()0,1,,0,33A B C ⎫⎛⎫-⎪⎪⎝⎭⎝⎭，此时AB AC BC ===ABC V 为等边三角形，所以选项D 错误，故选：AC．12．π0,2x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，sin 0x <【分析】根据全称命题的否定为特称命题，即可得答案.【详解】命题“π0,2x ⎡⎤∀∈⎢⎣⎦，sin 0x ≥”为全称命题，它的否定为特称命题，即π0,2x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，sin 0x <；故答案为：π0,2x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，sin 0x <13．62【详解】设只参加游泳比赛有x 人，则12336x -=+=，得6x =．不参加游泳的人为261214-=，参加田赛未参加游泳的人为936-=人，参加径赛未参加游泳的人为13310-=人，则同时参加田赛和径赛的人为106142+-=人．14．80【分析】根据汽车每小时的运输成本由固定成本和可变成本组成，固定成本为160元，可变成本为316400v 元，可构建函数，利用导数可求函数的极值，极值就是最值．【详解】解：设全程运输成本为y 元，由题意，得3224011601(160)240()64006400y v v v v =+=，0v >，21602240()6400y v v '=-+．令0y '=，得80v =．当80v >时，0'>y ；当080v <<时，0'<y ．所以函数3224011601(160)240()64006400y v v v =+=+在()0,80上递减，在()80,+∞上递增，所以80v =km/h 时，720min y =．故答案为：80.15．长为8宽为4时，菜地面积最大，最大值为32【解析】设菜地长为x ，得162x S x -⎛⎫= ⎪⎝⎭，结合基本不等式可求最值【详解】如图，设菜地长为x ，()016x ∈,，则()1611622x S x x x -⎛⎫==- ⎪⎝⎭，结合基本不等式可知，0160x x >->,，则()()21616642x x x x ⎛⎫+--≤= ⎪⎝⎭，当且仅当8x =时，取到最大值，故()116322S x x =-≤，此时长为8，宽为16842-=，菜地面积最大值为3216．（1）21x -≤≤；（2）4≥m .【解析】（1）求出两个命题为真命题时的解集，然后利用p q ∧为真，求解x 的取值范围．（2）依题意可得p q q ⇒，推不出p ，即可得到不等式组224m m -≤⎧⎨≥⎩，解得即可【详解】解：∵2:280P x x --≤，∴24x -≤≤∵22:20q x mx m +-≤，0m >，∴2m x m -≤≤（1）当1m =时，:21q x -≤≤∵p q ∧为真命题，∴p 真且q 真即2421x x -≤≤⎧⎨-≤≤⎩，∴21x -≤≤（2）设集合{}|24A x x =-≤≤，{}2|m x m B x -=≤≤若p 是q 的充分不必要条件，则AB∴只需满足224m m -≤⎧⎨≥⎩且等号不同时成立得4≥m 17．(1)()4800180833600S x x x=--<<；(2)S 的最大值为1568，此时40x =.【分析】（1）先由题意得1800,2,333xy b a y a b a ===++=+且3,3x y >>，再结合图形即可求解所求S ；（2）由（1）结合基本不等式即可得解.【详解】（1）由题意可得1800,2,333xy b a y a b a ===++=+且3,3x y >>，所以33y a -=，18003600y x x=>⇒<，所以由图()()()()()3322223383823x y S a b a a a x x x x x --=+⨯⨯=+⋅==⋅-----()()()180034800600180831383836003x x x x x x x -⎛⎫=⋅=⋅=-----<<⎪⎝⎭.（2）由（1）()4800180833600S x x x=--<<，所以4800180818082180824015683S x x ⎛⎫=-≤--=+ ⎪⎝⎭，当且仅当48003x x=即40x =时等号成立，所以S 的最大值为1568，此时40x =.18．(1)(2,3]-；(2)[1,3]-；(3)(3,)+∞﹒【分析】(1)求出使f (x )有意义的x 的范围即可；(2)先计算U B ð，再按交集的运算法则计算即可；(3)A B A A B ⋂=⇒⊆，据此即可求解a 的范围﹒【详解】（1）3020x x -≥⎧⎨+>⎩32x x ≤⎧⎨>-⎩，23x ∴-<≤，(2,3]A ∴=-；（2）当1a =-时，()B =-∞，-1，[1,4]U B ∴=-ð，()[1,3]U A B ∴⋂=-ð；（3）A B A =Q I ，A B ∴⊆，3a ∴>，∴a 的求值范围是(3,)+∞．19．(1)2()23f x x x =--(2)m <【分析】（1）根据韦达定理列出方程组解出即可；（2）分离参数得()2122111x m x x x -+∴<=-+--，1x >，利用基本不等式求出右边最值即可.【详解】（1）令()0f x =，则1,2-为方程20ax bx c ++=的两根，则0a ≠，则由题有244423ac b a b a c a ⎧-=-⎪⎪⎪-=⎨⎪⎪=-⎪⎩，解得123a b c =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，2()23f x x x ∴=--.（2）由（1）得对()1,x ∀∈+∞，2236x x mx m -->--，即()2231x x m x -+>-，1x >Q ，10x ∴->，()2122111x m x x x -+∴<=-+--，令()211h x x x =-+-，1x >，则()211h x x x =-+≥=-当且仅当211x x-=-，即1x =+时等号成立，故()minh x =m <.。

上海市区域四校联考2023_2024学年高一第一学期12月月考数学测检测模拟试题(附解析)

f (x) f (x) ax2 2x, x 1 ，分
类讨论此时函数的值域即可.
【详解】函数
f
(x)
x 1, x 1 ax2 2x, x
1 的值域为
R
，
当 x 1 时， x 1 2 ， f x2, ，
( , 2] f (x) f (x) ax2 2x, x 1
则有
，
a 0 时， f (x) 2x, x 1 ，不合题意，
要 x0 R ， f (x0 ) M ，命题②错误；
若对于任意的 x1, x2 R x1
x2 ，都有
f
x1 f x2 0
x1 x2
成立，
则任意的 x1 x2 ，有 x1 x2 0 ，都有 f x1 f x2 0 ，即 f x1 f x2 ，
所以 y f (x) 在 R 上严格递减，命题③正确；
(3)当 a 0 时，求函数 y f (x) 在区间[2,4] 上的最小值.
20．在数学中，双曲函数是与三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数与双
sinh(x) ex ex
cosh(x) ex ex
曲余弦函数，其中双曲正弦：
2 ，双曲余弦.
2 （ e 是自然对数
的底数， e 2.71828… ）
．二、选择题（本大题共有 4 小题，满分 18 分，其中第 13、14 题每题 4 分，第 14、15 题每题 5 分） 13．下列选项中的两个函数表示同一函数的是（）
A． f (x) x 与 g(x) = elnx
g(x) 2x2
B． f (x) 2 | x |与
|x|
C． f (x)
即 a 的取值范围为 (, 2) (2, ) ，

2022-2023学年江苏省连云港市海州区四校高一年级上册学期期中联考数学试题【含答案】

2022-2023学年江苏省连云港市海州区四校高一上学期期中联考数学试题一、单选题1．命题“1x ∀≥，21x ≥”的否定是（） A ．1x ∃≥，21x < B ．1x ∃<，21x ≥ C ．1x ∃≥，21x ≥ D ．1x ∃<，21x <【答案】A【分析】直接用存在量词否定全称命题即可得到答案. 【详解】因为用存在量词否定全称命题，所以命题“1x ∀≥，21x ≥”的否定是“1x ∃≥，21x <”. 故选：A2．已知集合3=<2A x x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，{}=12>0B x x -，则（）A ．1=<2AB x x ⋂⎧⎫⎨⎬⎩⎭B ．A B =∅C ．1=<2A B x x ⋃⎧⎫⎨⎬⎩⎭D ．A B ⋃=R【答案】A【分析】根据集合交集，并集定义计算即可.【详解】由题可知1{|}2B x x =<1{|}2A B x x ⋂=<，A 正确，B 错误;3{|}2A B x x ⋃=<，C 错误，D 错误.故选:A3．不等式23180x x -++<的解集为（） A ．{6x x >或3}x <- B ．{}36x x -<< C ．{3x x >或6}x <- D ．{}63x x -<<【答案】A【分析】根据二次不等式的解法求解即可.【详解】23180x x -++<可化为23180x x -->，即()()630x x -+>，即6x >或3x <-．所以不等式的解集为{6x x >或3}x <-. 故选：A4．如图，已知集合R U =，集合{}1,2,3,4,5A =，()(){}|120B x x x =+-≤，则图中阴影部分表示的集合的子集的个数为（）A ．3B ．4C ．7D ．8【答案】D【分析】先求得图中阴影部分表示的集合，再根据该集合中元素个数即可求出该集合子集个数. 【详解】{}{}(1)(2)012B x x x x x =+-≤=-≤≤，则{R1UB B x x ==<-或}2x >，图中阴影部分表示的集合为{}()1,2,3,4,5U A B ={1x x <-或}{}23,4,5x >=；集合{}3,4,5的子集有328=（个）则图中阴影部分表示的集合的子集个数为8. 故选：D 5．“14m <”是“关于x 的方程()20x x m m ++=∈R 有实数根”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】求出当方程()20x x m m ++=∈R 有实数根时，实数m 的取值范围，利用集合的包含关系判断可得出结论.【详解】若关于x 的方程()20x x m m ++=∈R 有实数根，则140m ∆=-≥，解得14m ≤，因为14m m ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭ 14m m ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭，因此，“14m <”是“关于x 的方程()20x x m m ++=∈R 有实数根”的充分不必要条件. 故选：A.6．已知0.20.32log 0.2,2,0.2a b c ===，则 A ．a b c << B ．a c b << C ．c<a<b D ．b<c<a【答案】B【分析】运用中间量0比较,a c ，运用中间量1比较,b c【详解】22log 0.2log 10,a =<=0.20221,b =>=0.3000.20.21,<<=则01,c a c b <<<<．故选B ．【点睛】本题考查指数和对数大小的比较，渗透了直观想象和数学运算素养．采取中间变量法，利用转化与化归思想解题． 7．设a >0，则4a a a++的最小值为（）A ．B ．2C ．4D ．5【答案】D【分析】根据基本不等式可求解.【详解】0a >，44115a a a a a +∴+=++≥+，当且仅当a =2时取等号，所以4a a a++的最小值为5. 故选：D.8．为了衡量星星的明暗程度，公元前二世纪古希腊天文学家喜帕恰斯提出了星等这个概念.星等的数值越小，星星就越亮.1850年，由于光度计在天体光度测量的应用，英国天文学家普森又提出了亮度的概念，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足()12212.5lg lg m m E E -=-，其中星等为k m 的星的亮度为()1,2k E k =.已知小熊座的“北极星”与大熊座的“玉衡”的星等分别为2.02和1.77，且当x 较小时，2101 2.3 2.7x x x ≈++，则“玉衡”与“北极星”的亮度之比大约为（） A ．1.28 B ．1.26C ．1.24D ．1.22【答案】B【分析】理解题意，把已知数据代入公式计算12E E 即可. 【详解】由题意()212.02 1.77 2.5lg lg E E -=-，可得12lg 0.1E E =， 0.1212101 2.30.1 2.70.1 1.257 1.26E E ∴=≈+⨯+⨯=≈. 故选：B.二、多选题9．已知,,,a b c m R ∈，则下列推证中不正确的是( ) A ．22>⇒>a b am bm B ．a b a b c c>⇒> C ．22ac bc a b >⇒> D ．2211,0a b ab a b>>⇒< 【答案】ABD【分析】利用不等式的基本性质即可判断出结论．【详解】解：A ．0m =时不成立． B ．0c <时不成立．C ．22ac bc >，两边同除以2c ，可得a b >，正确．D ．由22a b >，0ab >，取2,1a b =-=-，可得11a b>，不成立．故选ABD ．【点睛】本题考查了不等式的基本性质，属于基础题．10．设{}220A x x x =--=，{}10B x mx =-=，若A B B =，则实数m 的值可以为（）A ．12B ．-1C ．0D ．12-【答案】ABC【解析】由A B B =可得B A ⊆，求出集合A ，讨论0m =和0m ≠，即可得m 的值.【详解】{}()(){}{}2|20|2101,2A x x x x x x =--==-+==-,由A B B =可得B A ⊆，当0m =时，B =∅，满足B A ⊆，所以0m =符合题意；当0m ≠时，{}1|10B x mx B m ⎧⎫=-===⎨⎬⎩⎭，若B A ⊆，则11m =-或12m =，可得：1m =-或12m =，综上所述：实数m 的值可以为：1-，0，12；故选：ABC.【点睛】易错点睛：若B A ⊆，分B =∅和B ≠∅两种情况讨论分析. 11．已知实数a 满足14a a -+=，下列选项中正确的是（） A ．2214a a -+=B．1a a --=C．1122a a -+=D ．332211223a a a a--+=+【答案】ACD【分析】由14a a -+=结合完全平方公式分别求出各个选项式子的值，即可判断正误．【详解】14a a -+=,()2122216a a a a --∴+=++=，2214a a -∴+=，故选项A 正确;()()2211244412a a a a ---=+-=-=，1a a -∴-=±B 错误;2111222426a a a a --⎛⎫+=++=+= ⎪⎝⎭,1122a a ∴+=C 正确; 31133113311331112222222222222233333a a a a aa a a a a a a a a a a --------⎛⎫⎛⎫+=+++=++++++ ⎪ ⎪=⎝⎭⎝⎭,且1122a a +=3322a a-+=+3322a a ∴+=332211223a a a a--+∴==+，故选项D 正确. 故选：ACD12．下列说法中，以下是真命题的是（）．A ．存在实数0x ，使200240x x +-=+B ．所有的素数都是奇数C ．至少存在一个正整数，能被5和7整除.D ．三条边都相等的三角形是等边三角形【答案】ACD【分析】举例证明选项AC 正确；举反例否定选项B ；依据等边三角形定义判断选项D. 【详解】选项A ：当0x 时，200240x x +-=+成立.判断正确；选项B ：2是素数，但是2不是奇数.判断错误；选项C ：正整数35和70能被5和7整除. 判断正确；选项D ：三条边都相等的三角形是等边三角形. 判断正确. 故选：ACD三、填空题13．已知}{31,,2a a ∈-则实数a 的值为_____________ 【答案】5【分析】根据集合中元素的确定性讨论3a =和23a -=，再结合元素互异性即可求解. 【详解】因为}{31,,2a a ∈-，当3a =时，那么21a -=，不满足集合元素的互异性，不符合题意，当23a -=时，5a =，此时集合为}{1,5,3符合题意，所以实数a 的值为5，故答案为：5．14．若a =b a b +的值为__________. 【答案】1【分析】利用根式的性质进行求解.【详解】因为3πa =-，2ππ2b =-=-，所以1a b +=. 故答案为：1.15．若命题“x ∃∈R ，2210x ax -+≤”是假命题，则实数a 的取值范围是______．【答案】11a -<<．【分析】由原命题的否定是真命题，结合一元二次不等式恒成立可得．【详解】命题“x ∃∈R ，2210x ax -+≤”是假命题，则其否定x ∀∈R ，2210x ax -+>是真命题，所以2440a ∆=-<，解得11a -<<．故答案为：11a -<<．16．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.若不相等的两个正实数,a b 满足4a b +=，且11t a b+>恒成立，则实数t 的取值范围是__________.【答案】(,1)-∞【分析】先利用基本不等式求出11a b+的最小值，再利用不等式11t a b +>恒成立进行求解.【详解】因为0a >，0b >，且4a b +=，所以111111()()(2)44b aa b a b a b a b+=++=++1(214≥+=（当且仅当4b aa b a b ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，即2a b ==时取“=”），因为11t a b+>恒成立，所以1t <.故答案为：(,1)-∞.四、解答题17．化简下列式子并求值: (1)7lg142lg lg7lg183-+-;(2)0.5232027492(0.2)(0.081)8925--⎛⎫⎛⎫-+⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【答案】(1)0 (2)89-【分析】(1)将式子用对数运算公式log log log ,log log log ,c c c c c c aab a b a b b=+=-log log b c c a b a =等展开合并化简即可求值;(2)将式子用分数指数幂运算公式11,mmn a a a -===,进行化简求值即可.【详解】（1）解:原式为7lg142lg lg7lg183-+-()()lg2lg72lg7lg3lg7lg2lg9=+--+-+lg2lg72lg72lg3lg7lg22lg3=+-++--0=;（2）原式为0.5232027492(0.2)(0.081)8925--⎛⎫⎛⎫-+⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2225125⨯-= 47193=-+ 89=-.18．已知集合{}2210,R A xax x a =++=∈∣. (1)若A 中只有一个元素，求a 的值； (2)若A 中至少有一个元素，求a 的取值范围. 【答案】(1)0a =或1a = (2){}|1a a ≤【分析】(1)针对0a =和0a ≠两种情况分类讨论，再转化为一元一次方程和一元二次方程分别得出a 的值即可(2)确定A 中有两个元素，可转化为一元二次方程两个不相等实数根进行求解，再结合第一问一个元素的情况即可得出a 的取值范围【详解】（1）由题意，当0a =时，210x +=，得12x =-，集合A 只有一个元素，满足条件；当0a ≠时，2210ax x ++=为一元二次方程，440a ∆=-=，得1a =，集合A 只有一个元素=1x -，∴A 中只有一个元素时0a =或1a =.（2）由A 中至少有一个元素包含两种情况，一个元素和两个元素，A 中有两个元素时，0a ≠并且440a ∆=->，得1a <且0a ≠，再结合A 中一个元素的情况，∴a 的取值范围为{}|1a a ≤. 19．已知集合{}25A x x =-≤≤，{}121B x m x m =+≤≤-，且B ≠∅． (1)若命题p ：“x B ∀∈，x A ∈”是真命题，求实数m 的取值范围； (2)若命题q ：“x A ∃∈，x B ∈”是真命题，求实数m 的取值范围。

2023-2024学年广东省东莞市四校联考高一(上)期中数学试卷【答案版】

2023-2024学年广东省东莞市四校联考高一（上）期中数学试卷一、单选题（本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，一个选项符合要求，选对得5分，错选得0分.)1．若集合A ＝{0，1，2}，则下列结论正确的是（） A ．{0}∈AB ．0∉AC ．{0，﹣1，1，2}⊆AD ．∅⊆A2．命题“∀x ∈[0，+∞），x 3+x ≥0”的否定是（） A ．∀x ∈（﹣∞，0），x 3+x ＜0 B ．∃x 0∈[0，+∞），x 03+x 0＜0 C ．∀x ∈（﹣∞，0），x 3+x ≥0D ．∃x 0∈[0，+∞），x 03+x 0≥03．已知x ∈R ，则“x ＜1”是“x 2＜1”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件4．函数y =lg(2−x)1x+1的定义域为（） A ．（﹣1，2] B ．[﹣1，2） C ．（﹣1，2） D ．[﹣1，2）5．设函数f （x ）={x 2−2x ，x ≤0f(x −3)，x ＞0，则f （9）的值为（）A ．﹣7B ．﹣1C ．0D ．126．设a ＝30.7，b =(13)−0.8，c ＝log 0.70.8，则a ，b ，c 的大小关系为（） A ．a ＜b ＜cB ．b ＜a ＜cC ．b ＜c ＜aD ．c ＜a ＜b7．下列可能是函数y =x 2−1e|x|的图象的是（）A ．B ．C ．D ．8．已知函数f （x ）={(1−3a)x +a +1，x ＜22a x ，x ≥2满足对任意的x 1≠x 2，都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＜0成立，则实数a 的取值范围为（）A ．（0，12]B ．（13，12]C ．[12，1）D ．（13，1）二、多项选择题（本题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合要求.全部选对得5分，部分选对得2分，错选得0分.） 9．以下结论正确的是（） A ．不等式a +b ≥2√ab 恒成立 B ．存在a ，使得不等式a +1a ≤2成立 C ．若a ，b ∈（0，+∞），则ba +a b ≥2D ．若正实数x ，y 满足x +2y ＝1，则2x+1y ≥1010．已知a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，则下列不等式中错误的是（） A ．−1a＜−1bB ．c 2＜cdC ．a +c ＜b +dD ．a d＜bc11．函数f （x ）＝x +1，g （x ）＝（x +1）2，用M （x ）表示f （x ），g （x ）中的较大者，记为M （x ）＝max {f （x ），g （x ）}，则下列说法正确的是（） A ．M （2）＝3 B ．∀x ≥1，M （x ）≥4 C ．M （x ）有最大值D ．M （x ）最小值为012．已知函数f （x ）是偶函数，f （x +1）是奇函数，当x ∈[2，3]时，f （x ）＝1﹣|x ﹣2|，则下列选项正确的是（）A ．f （x ）在（﹣3，﹣2）上为减函数B ．f （x ）的最大值是1C ．f （x ）的图象关于直线x ＝﹣2对称D ．f （x ）在（﹣4，﹣3）上f （x ）＜0三、填空题（本题共4小题，每题5分，共20分） 13．不等式﹣x 2+2x +8＞0的解集是．14．设全集U 是实数集R ，M ＝{x |x ＜﹣2或x ＞2}，N ＝{x |1＜x ＜3}，则图中阴影部分所表示的集合是．15．已知奇函数f （x ）是定义在（﹣1，1）上的减函数，则不等式f （1﹣x ）+f （1﹣3x ）＜0的解集为． 16．定义：函数f （x ）在区间[a ，b ]上的最大值与最小值的差为f （x ）在区间[a ，b ]上的极差，记作d （a ，b）．①若f（x）＝x2﹣2x+2，则d（1，2）＝；②若f(x)=x+mx，且d（1，2）≠|f（2）﹣f（1）|，则实数m的取值范围是．四、解答题（本大题共6小题，第17题10分，18、19、20、21、22题各12分，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效.）17．（10分）已知集合A＝{x|﹣3＜x＜2}，B＝{x|m﹣1＜x＜2m+1}．（1）若m＝2，求A∪B；（2）若A∩B＝B，求实数m的取值范围．18．（12分）已知幂函数f（x）＝（m2﹣3m+3）x m+1为偶函数．（1）求幂函数f（x）的解析式；（2）若函数g(x)=f(x)+1x，根据定义证明g（x）在区间（1，+∞）上单调递增．19．（12分）已知f（x）为R上的奇函数，当x≥0时，f(x)=log12(x+4)+m．（1）求m的值并求出f（x）在R上的解析式；（2）若f（a）＞1，求a的取值范围．20．（12分）已知函数f（x）＝x2﹣（a2+6a+9）x+a+1．（1）若a＞0，且关于x的不等式f（x）＜0的解集是{x|m＜x＜n}，求1m +1n的最小值；（2）设关于x的不等式f（x）＜0在[0，1]上恒成立，求a的取值范围．21．（12分）某企业为积极响应国家垃圾分类号召，在科研部门的支持下进行技术创新，新上一个把厨余垃圾加工处理为可重新利用的化工产品的项目．已知该企业日加工处理量x（单位：吨）最少为70吨，最多为100吨．日加工处理总成本y（单位：元）与日加工处理量x之间的函数关系可近似地表示为y=12x2+40x+3200，且每加工处理1吨厨余垃圾得到的化工产品的售价为110元．（1）该企业日加工处理量为多少吨时，日加工处理每吨厨余垃圾的平均成本最低？此时该企业处理1吨厨余垃圾处于亏损还是盈利状态？（2）为了使该企业可持续发展，政府决定对该企业进行财政补贴，补贴方案共有两种：①每日进行定额财政补贴，金额为2300元；②根据日加工处理量进行财政补贴，金额为30x元．如果你是企业的决策者，为了获得最大利润，你会选择哪种补贴方案？为什么？22．（12分）已知函数f（x）对任意实数x，y，恒有f（x+y）＝f（x）+f（y），当x＞0时，f（x）＜0，且f（1）＝﹣2．（1）判断f（x）的奇偶性；（2）求f（x）在区间[﹣3，3]上的最大值；（3）若f（x）＜m2﹣2am+2对所有的x∈[﹣1，1]，a∈[﹣1，1]恒成立，求实数m的取值范围．2023-2024学年广东省东莞市四校联考高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单选题（本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，一个选项符合要求，选对得5分，错选得0分.)1．若集合A＝{0，1，2}，则下列结论正确的是（）A．{0}∈A B．0∉AC．{0，﹣1，1，2}⊆A D．∅⊆A解：{0}⊂A而不是{0}∈A，故A不正确；由0∈A，可知B不正确；集合{0，﹣1，1，2}中含有元素﹣1，它不在A中，故{0，﹣1，1，2}⊈A，C不正确；空集是任何集合的子集，故∅⊆A，D正确．故选：D．2．命题“∀x∈[0，+∞），x3+x≥0”的否定是（）A．∀x∈（﹣∞，0），x3+x＜0B．∃x0∈[0，+∞），x03+x0＜0C．∀x∈（﹣∞，0），x3+x≥0D．∃x0∈[0，+∞），x03+x0≥0解：命题为全称命题，则命题的否定是：∃x0∈[0，+∞），x03+x0＜0，故选：B．3．已知x∈R，则“x＜1”是“x2＜1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件解：x2＜1，解得﹣1＜x＜1．∴“x＜1”是“x2＜1”的必要不充分条件．故选：B．4．函数y=lg(2−x)1√x+1的定义域为（）A．（﹣1，2]B．[﹣1，2）C．（﹣1，2）D．[﹣1，2）解：由{2−x＞0x+1＞0，解得﹣1＜x＜2．∴函数y=lg(2−x)+1x+1的定义域为（﹣1，2）．故选：C．5．设函数f （x ）={x 2−2x ，x ≤0f(x −3)，x ＞0，则f （9）的值为（）A ．﹣7B ．﹣1C ．0D ．12解：∵函数f （x ）={x 2−2x ，x ≤0f(x −3)，x ＞0，∴f （9）＝f （0）＝02﹣20＝﹣1．故选：B ．6．设a ＝30.7，b =(13)−0.8，c ＝log 0.70.8，则a ，b ，c 的大小关系为（） A ．a ＜b ＜cB ．b ＜a ＜cC ．b ＜c ＜aD ．c ＜a ＜b解：∵b =(13)−0.8=30.8＞30.7＞30＝1， ∴b ＞a ＞1，∵log 0.70.8＜log 0.70.7＝1，∴c ＜1， ∴c ＜a ＜b ．故选：D ． 7．下列可能是函数y =x 2−1e |x|的图象的是（） A ． B ．C ．D ．解：函数定义域为R ，排除选项AB ，当x ＞1时，y ＞0，排除选项D ，故选：C ． 8．已知函数f （x ）={(1−3a)x +a +1，x ＜22a x ，x ≥2满足对任意的x 1≠x 2，都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＜0成立，则实数a 的取值范围为（） A ．（0，12]B ．（13，12]C ．[12，1）D ．（13，1）解：因为函数f （x ）={(1−3a)x +a +1，x ＜22a x ，x ≥2满足对任意的x 1≠x 2，都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＜0成立，则函数f （x ）在R 上是单调递减函数，则一定有{1−3a ＜00＜a ＜1(1−3a)×2+a +1≥2a 2，解得{a ＞130＜a ＜1−3≤a ≤12，即13＜a ≤12，所以实数a 的范围为（13，12]，故选：B ．二、多项选择题（本题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合要求.全部选对得5分，部分选对得2分，错选得0分.） 9．以下结论正确的是（） A ．不等式a +b ≥2√ab 恒成立 B ．存在a ，使得不等式a +1a ≤2成立 C ．若a ，b ∈（0，+∞），则ba +a b ≥2D ．若正实数x ，y 满足x +2y ＝1，则2x+1y ≥10解：不等式a +b ≥2√ab 成立的条件是a ≥0，b ≥0，故A 不正确；当a 为负数时，不等式a +1a ≤2成立，故B 正确；若a ，b ∈（0，+∞），则ba+a b ≥2，当且仅当a ＝b 时等号成立，C 正确；由于2x+1y=(2x+1y)(x +2y)=4+4y x+x y≥4+2√4y x⋅x y=8，当且仅当4y x=xy，即x =12，y =14时取等号，故D 不正确．故选：BC ．10．已知a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，则下列不等式中错误的是（）A ．−1a ＜−1bB ．c 2＜cdC ．a +c ＜b +dD ．a d＜bc解：在a ＞b 两边同除以负数﹣ab 得−1b＜−1a，即−1a＞−1b，与A 项矛盾．由c ＜d ＜0，c 2﹣cd ＝c （c ﹣d ）＞0，得c 2＞cd ，与B 项矛盾．由a +c ﹣（b +d ）＝（a ﹣b ）+（c ﹣d ），a ﹣b ＞0，c ﹣d ＜0，故（a ﹣b ）+（c ﹣d ）不一定小于0，故C 不正确．由c ＜d ＜0得﹣c ＞﹣d ＞0，又a ＞b ＞0，两式相乘得﹣ac ＞﹣bd ，两边同除以负数﹣cd ，可得ad＜bc ，故D 正确．故选：ABC ．11．函数f （x ）＝x +1，g （x ）＝（x +1）2，用M （x ）表示f （x ），g （x ）中的较大者，记为M （x ）＝max {f （x ），g （x ）}，则下列说法正确的是（） A ．M （2）＝3 B ．∀x ≥1，M （x ）≥4 C ．M （x ）有最大值D ．M （x ）最小值为0解：令g （x ）＞f （x ），即（x +1）2＞（x +1），解得x ＜﹣1或x ＞0，所以可知M （x ）＝max {f （x ），g （x ）}={(x +1)2，x ＜−1或x ＞0x +1，−1≤x ≤0，作出M （x ）的图象，如图所示：所以M （2）＝（2+1）2＝9，故A 错误；当∀x ≥1时，M （x ）＝（x +1）2≥（1+1）2＝4，故B 正确；由M （x ）＝（x +1）2（x ＜﹣1或x ＞0）可知，函数无最大值，故C 错误；当x ＜﹣1或x ＞0时，M （x ）＞0，当﹣1≤x ≤0时，1≥M （x ）≥0，所以M （x ）最小值为0，故D 正确．故选：BD ．12．已知函数f （x ）是偶函数，f （x +1）是奇函数，当x ∈[2，3]时，f （x ）＝1﹣|x ﹣2|，则下列选项正确的是（）A ．f （x ）在（﹣3，﹣2）上为减函数B ．f （x ）的最大值是1C ．f （x ）的图象关于直线x ＝﹣2对称D ．f （x ）在（﹣4，﹣3）上f （x ）＜0解：当x ∈[2，3]时，f （x ）＝1﹣|x ﹣2|，且f （x ）在[2，3]递减，由偶函数的图象关于y 轴对称，可得f （x ）在（﹣3，﹣2）单调递增，选项A 错误；函数f （x ）是偶函数，可得f （﹣x ）＝f （x ），f（x+1）是奇函数，可得f（﹣x+1）＝﹣f（x+1），所以f（﹣x）＝﹣f（x+2），即f（x）＝﹣f（x+2），所以f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），可得f（x）的最小正周期为4，由f（﹣4+x）＝f（x），可得f（x）的图象关于直线x＝﹣2对称，选项C正确；当x∈[2，3]时，f（x）＝1﹣|x﹣2|＝3﹣x，由f（x）为偶函数．可得x∈[﹣3，﹣2]时，f（x）＝x+3，x∈[1，2]时，x﹣4∈（﹣3，﹣2），则f（x﹣4）＝x﹣1，所以x∈[1，2]时，f（x）＝x﹣1；由于f（x）的图象关于（1，0），可得f（1）＝0，f（0）＝﹣f（2）＝﹣1，所以x∈[0，1）时，f（x）＝x﹣1；由f（x）的图象关于y轴对称，可得x∈[﹣1，0）时，f（x）＝﹣x﹣1．则f（x）在一个周期内的最小值为﹣1，最大值为1，选项B正确；所以当x∈（﹣4，﹣3）时，f（x）＝f（x+4）＝x+3∈（﹣1，0），选项D正确．故选：BCD．三、填空题（本题共4小题，每题5分，共20分）13．不等式﹣x2+2x+8＞0的解集是{x|﹣2＜x＜4}解：不等式﹣x2+2x+8＞0等价于x2﹣2x﹣8＜0由于方程x2﹣2x﹣8＝0的解为：x＝﹣2或x＝4所以﹣2＜x＜4故答案为：{x|﹣2＜x＜4}14．设全集U是实数集R，M＝{x|x＜﹣2或x＞2}，N＝{x|1＜x＜3}，则图中阴影部分所表示的集合是{x|1＜x≤2}．解：由韦恩图可知，图中阴影部分所表示的集合是N∩（∁U M），因为M＝{x|x＜﹣2或x＞2}，N＝{x|1＜x＜3}，所以∁U M＝{x|﹣2≤x≤2}，则N∩（∁U M）＝{x|1＜x≤2}．故答案为：{x|1＜x≤2}．15．已知奇函数f （x ）是定义在（﹣1，1）上的减函数，则不等式f （1﹣x ）+f （1﹣3x ）＜0的解集为（0，12）．解：根据题意，奇函数f （x ）是定义在（﹣1，1）上的减函数，则f （1﹣x ）+f （1﹣3x ）＜0，则f （1﹣x ）＜﹣f （1﹣3x ），变形可得f （1﹣x ）＜f （3x ﹣1）．又函数f （x ）是定义在（﹣1，1）上的减函数，所以{−1＜1−x ＜1−1＜3x −1＜11−x ＞3x −1，解得0＜x ＜12，故所求不等式的解集为（0，12）．故答案为：（0，12）．16．定义：函数f （x ）在区间[a ，b ]上的最大值与最小值的差为f （x ）在区间[a ，b ]上的极差，记作d （a ，b ）．①若f （x ）＝x 2﹣2x +2，则d （1，2）＝ 1 ；②若f(x)=x +mx ，且d （1，2）≠|f （2）﹣f （1）|，则实数m 的取值范围是（1，4）．解：①f （x ）＝x 2﹣2x +2的对称轴为x ＝1，可得f （x ）在[1，2]递增，可得f （x ）的最大值为f （2）＝2，最小值为f （1）＝1，可得d （1，2）＝2﹣1＝1； ②若f(x)=x +mx ，且d （1，2）≠|f （2）﹣f （1）|，可得f （x ）不为单调函数，若m ＝0时，f （x ）为[1，2]的递增函数，若m ＜0时，f （x ）为[1，2]的递增函数，若m ＞0时，由于f （x ）在x =√m 处取得极值，则1＜√m ＜2，可得1＜m ＜4，即m 的范围是（1，4）．故答案为：1，（1，4）．四、解答题（本大题共6小题，第17题10分，18、19、20、21、22题各12分，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效.）17．（10分）已知集合A ＝{x |﹣3＜x ＜2}，B ＝{x |m ﹣1＜x ＜2m +1}．（1）若m ＝2，求A ∪B ；（2）若A ∩B ＝B ，求实数m 的取值范围．解：（1）由题意A ＝{x |﹣3＜x ＜2}，∵m ＝2，∴B ＝{x |1＜x ＜5}，可得A ∪B ＝{x |﹣3＜x ＜5}；（2）∵A ∩B ＝B ，∴B ⊆A ，∴当B ＝∅，即m ﹣1≥2m +1，即m ≤﹣2时满足题意；当B ≠∅，即m ＞﹣2时，{m −1≥−32m +1≤2，即−2＜m ≤12．综上，实数m 的取值范围为{m|m ≤12}=（﹣∞，12]． 18．（12分）已知幂函数f （x ）＝（m 2﹣3m +3）x m +1为偶函数．（1）求幂函数f （x ）的解析式；（2）若函数g(x)=f(x)+1x，根据定义证明g （x ）在区间（1，+∞）上单调递增．解：（1）由已知可得m 2﹣3m +3＝1，解得m ＝1或2，又函数为偶函数，则m ＝1，则f （x ）＝x 2；（2）g （x ）=f(x)+1x =x +1x，证明：设任意1＜x 1＜x 2，则g （x 1）﹣g （x 2）=x 1+1x 1−x 2−1x 2=（x 1﹣x 2）（1−1x 1x 2），因为1＜x 1＜x 2，则x 1﹣x 2＜0，x 1x 2＞1，所以1−1x 1x 2＞0，则g （x 1）﹣g （x 2）＜0，即g （x 1）＜g （x 2），所以函数g （x ）在（1，+∞）上单调递增．19．（12分）已知f （x ）为R 上的奇函数，当x ≥0时，f(x)=log 12(x +4)+m ．（1）求m 的值并求出f （x ）在R 上的解析式；（2）若f （a ）＞1，求a 的取值范围．解：（1）由题可知f （0）＝﹣2+m ＝0，即m ＝2，即有当x ≥0时，f （x ）＝lo g 12（x +4）+2，经检验符合题意，则x ≥0时，f （x ）＝lo g 12（x +4）+2，当x ＜0时，则﹣x ＞0，f （﹣x ）＝lo g 12（﹣x +4）+2，又f （x ）为奇函数，所以f （﹣x ）＝﹣f （x ），所以f （x ）＝﹣f （﹣x ）＝﹣lo g 12（﹣x +4）﹣2，x ＜0，故f （x ）在R 上的解析式为f （x ）={log 12(x +4)+2，x ≥0−log 12(−x +4)−2，x ＜0．（2）由函数性质可知f （x ）在[0，+∞）上单调递减，则f （x ）在R 上单调递减，又因为f(−4)=−log 128−2=1，所以f （a ）＞1，即f （a ）＞f （﹣4），所以当a ＜﹣4时，f （a ）＞1，即a 的取值范围为（﹣∞，﹣4）．20．（12分）已知函数f （x ）＝x 2﹣（a 2+6a +9）x +a +1．（1）若a ＞0，且关于x 的不等式f （x ）＜0的解集是{x |m ＜x ＜n }，求1m +1n 的最小值；（2）设关于x 的不等式f （x ）＜0在[0，1]上恒成立，求a 的取值范围．解：（1）因为a ＞0，且关于x 的不等式f （x ）＜0的解集是{x |m ＜x ＜n }，所以x ＝m 和x ＝n 是方程x 2﹣（a 2+6a +9）x +a +1＝0的两根，所以m +n ＝a 2+6a +9，mn ＝a +1．所以1m +1n =m+n mn =a 2+6a+9a+1=(a+1)2+4(a+1)+4a+1=(a +1)+4a+1+4≥4+4=8，当且仅当a ＝1时等号成立，所以1m +1n 的最小值为8．（2）因为关于x 的不等式f （x ）＜0在[0，1]上恒成立，所以{f(0)＜0f(1)＜0，所以{a +1＜01−(a 2+6a +9)+a +1＜0，解得a ＜﹣1，所以a 的取值范围为（﹣∞，﹣1）．21．（12分）某企业为积极响应国家垃圾分类号召，在科研部门的支持下进行技术创新，新上一个把厨余垃圾加工处理为可重新利用的化工产品的项目．已知该企业日加工处理量x （单位：吨）最少为70吨，最多为100吨．日加工处理总成本y （单位：元）与日加工处理量x 之间的函数关系可近似地表示为y =12x 2+40x +3200，且每加工处理1吨厨余垃圾得到的化工产品的售价为110元．（1）该企业日加工处理量为多少吨时，日加工处理每吨厨余垃圾的平均成本最低？此时该企业处理1吨厨余垃圾处于亏损还是盈利状态？（2）为了使该企业可持续发展，政府决定对该企业进行财政补贴，补贴方案共有两种：①每日进行定额财政补贴，金额为2300元；②根据日加工处理量进行财政补贴，金额为30x 元．如果你是企业的决策者，为了获得最大利润，你会选择哪种补贴方案？为什么？解：（1）由题意可知，每吨厨余垃圾平均加工成本为y x=x 2+3200x +40，x ∈[70，100]，又x 2+3200x+40≥2√x 2⋅3200x +40=120，当且仅当x 2=3200x ，即x ＝80时，每吨厨余垃圾的平均加工成本最低，因为120＞110，所以此时该企业处理1吨厨余垃圾处于亏损状态；（2）若该企业采用补贴方式①，设该企业每日获利为y 1，则y 1=110x −(12x 2+40x +3200)+2300=−12x 2+70x −900=−12(x −70)2+1550，因为x ∈[70，100]，所以当x ＝70吨时，企业获得最大利润，为1550元；若该企业采用补贴方式②，设该企业每日获利为y 2，则y 2=110x +30x −(12x 2+40x +3200)=−12x 2+100x −3200=−12(x −100)2+1800，因为x ∈[70，100]，所以当x ＝100吨时，企业获得最大利润，为1800元；综上：选择方案一，当日加工处理量为70吨时，可以获得最大利润1550元；选择方案二，当日加工处理量为100吨时，可以获得最大利润1800元；所以为了获得最大利润，应选择方案二进行补贴．22．（12分）已知函数f （x ）对任意实数x ，y ，恒有f （x +y ）＝f （x ）+f （y ），当x ＞0时，f （x ）＜0，且f （1）＝﹣2．（1）判断f （x ）的奇偶性；（2）求f （x ）在区间[﹣3，3]上的最大值；（3）若f （x ）＜m 2﹣2am +2对所有的x ∈[﹣1，1]，a ∈[﹣1，1]恒成立，求实数m 的取值范围．解：由题意函数f （x ）对任意实数x ，y ，恒有f （x +y ）＝f （x ）+f （y ），令y ＝x ＝0，可得f （0）＝0，领y ﹣x ，可得f （x ）+f （﹣x ）＝0，即f （﹣x ）＝﹣f （x ），则f （x ）是奇函数．（2）由f （x ）＝f [（x ﹣y ）+y ]＝f （x ﹣y ）+f （y ），∴f （x ）﹣f （y ）＝f （x ﹣y ），设x ＞y ，那么x ﹣y ＞0，∵当x ＞0时，f （x ）＜0，∴f （x ﹣y ）＜0，即f （x ）﹣f （y ）＜0，∴f （x ）＜f （y ），可得f （x ）是单调递减函数；可得f （x ）在区间[﹣3，3]上的最大值为f （﹣3）；∵f （1）＝﹣2，∴f （﹣1）＝2，那么f （﹣3）＝f （﹣2﹣1）＝f （﹣2）+f （﹣1）＝3f （﹣1）＝6，故得f （x ）在区间[﹣3，3]上的最大值为f （﹣3）＝6；（3）根据（2）可得f （x ）在区间[﹣1，1]上的最大值为f （﹣1）＝2；那么f （x ）＜m 2﹣2am +2对所有的x ∈[﹣1，1]，a ∈[﹣1，1]恒成立，即m 2﹣2am +2＞2 可得m 2﹣2am ＞0，在a ∈[﹣1，1]恒成立，令g （a ）＝﹣2am +m 2＞0，在a ∈[﹣1，1]恒成立，可得{g(−1)＞0g(1)＞0，解得m ＞2或m ＜﹣2，故得实数m 的取值范围是（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）．。

2024-2025学年江苏省盐城市四校高一年级第一次联考数学试卷(含答案)

2024-2025学年江苏省盐城市四校高一年级第一次联考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.如图，已知矩形U表示全集，M、N是U的两个子集，集合M={x|(x+1)(x−2)=0}，集合N={2,3}，则阴影部分表示的集合为( )A. {−1}B. {2}C. {3}D. {2,3}2.命题“∃x0>0，x20−3x0−2>0”的否定是( )A. ∀x≤0，x2−3x−2≤0B. ∀x>0，x2−3x−2≤0C. ∃x0∈R，x20−3x0−2≤0D. ∃x0>0，x20−3x0−2≤03.不等式1−xx≥0的解为( )A. 0≤x≤1B. 0<x≤1C. x≤0或x≥1D. x<0或x≥14.“x>2”是“x2>4”的一个()条件．A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要5.命题“∃x∈R，x2−x+m<0”是真命题，则实数m的取值范围是( )A. (−∞,14]B. (−∞,14)C. (14,+∞)D. [14,+∞)6.下列命题中正确的是( )A. 若a>b，则1a <1bB. 若a>b，则a2>b2C. 若a>b>0，m>0，则b+ma+m <baD. 若−1<a<4，2<b<3，则−4<a−b<27.若实数a，b满足a2−7a+5=0，b2−7b+5=0，则b−1a−1+a−1b−1的值是( )A. −27B. 2C. 2或−27D. 12或−278.已知关于x的不等式组{x2−x−6>02x2+(2k+7)x+7k<0仅有一个整数解，则k的取值范围为( ) A. (−4,3)∪(4,5) B. [−4,3)∪(4,5] C. (−4,3]∪[4,5) D. [−4,3]∪[4,5]二、多选题：本题共3小题，共18分。

浙江省杭州市四校2024_2025学年高一数学上学期12月联考试卷

浙江省杭州市四校2024-2025学年高一数学上学期12月联考试卷考生须知：1.本卷满分150分，考试时间120分钟；2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场、座位号及准考证号（填涂）；3.全部答案必需写在答题卷上，写在试卷上无效选择题部分一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点（—2，1），则sinα的值为（）A ．55-B ．55C ．255-D ．2552.已知全集U R =，集合，那么A B ⋃=（）A ．（—1，4）B ．（—1，4]C ．（—2，5）D ． [—2，5）3. 下面命题中不正确的是（） A ．“1a >”是“”的充分不必要条件B ．命题“210x R x x ∀∈++<，”的否定是“210x R x x ∃∈++≥， C ．设x ，y R ∈，若“4x y +≥”则“2x ≥且2y ≥”是真命题 D ．设a ，b R ∈，则“0a ≠且0b ≠”是“0ab ≠”的充要条件 4. 函数f （x ）的部分图象如图所示，则f （x ）的解析式可能是（）A ．()31xf x x=- B.()21x f x x =+C ．()321x f x x =-D ．()2211x f x x +=-5. 已知0.35sin,ln 2,26a b c π===，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a b c <<B ．c b a <<C ．b a c <<D ．a c b <<6. 已知f （x ）是定义在R 上的增函数，且对随意x R ∈，都有()()()1212f x f x f x x =+，则不等式()2122f x fx ⎡⎤⎛⎫->+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的解集为（）A ．（—3，+∞）B ．（2，+∞）C ．（—∞，—3）D ．（—∞，2）7.若函数()213log 412y ax x =-+在区间[1，2]上单调递增，则实数a 的取值范围（）A ．（—1，1]B ． [—1，1]C ．（0，1]D ． [0，1]8. 已知函数()()ln ,,f x x a b x a a b R=-+⋅+∈，若()0f x ≥在定义域上恒成立，则2a b -的值是（）A ． —1B ． 0C ． 1D ． 2二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

高一数学必修一第一学期四校联考阶段性检测

高一数学必修一第一学期四校联考阶段性检测时限120分钟满分150分一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1、已知集合}5,4,3,2,1{=U ，}3,2,1{=A ，}5,2{=B ，则)(B C A U 等于（）A. }3,1{B. }3,2{C. }3{D. }2{2、下列四个集合中，是空集的是（）A. }33|{=+x xB. },,|),{(22R y x x y y x ∈-=C.}0|{2≤x xD. }01|{2=+-x x x3、函数0)1(21)(-+--=x x x x f 的定义域为（） A. ),1[+∞ B. ),1(+∞ C. ),2()2,1[+∞ D. ),2()2,1(+∞4、⎩⎨⎧≥-<+-=1,21,12)(2x x x x x x f ，若3)(=x f ，则x 的值为（） A. 1- B. 3 C. 31或- D. 21或-5、已知函数)(x f y =是偶函数，且)(x f y =在]2,0[上是单调减函数，则)0(f ，)1(-f ，)2(f 由小到大排列为（）A. )2()1()0(f f f <-<B. )2()0()1(f f f <<-C.)0()2()1(f f f <<-D. )0()1()2(f f f <-<6、函数xm x x f -=||)(（其中R m ∈）的图像不可能是（）7、已知)(x f 是定义域为R 的偶函数，当0≤x 时，x x x f 4)(2+=，则5)2(>+x f 的解集为（）A. ),3()7,(+∞--∞B. ),3()5,(+∞--∞C.),5()5,(+∞--∞D.),3()7,(+∞---∞8、若R x ∈，)(x f 是22x y -=，x y =这两个函数中的较小者，则)(x f 的最大值为（）A. 2B. 1C. 1-D. 无最大值9、函数x x x f --=3)(，R c b a ∈，，且0>+b a ，0>+c b ，0>+a c ，则)()()(c f b f a f ++的值（）A. 一定大于零B. 一定小于零C. 等于零D. 正负都有可能10、函数|6|)2()(--=x x x f 在],(a -∞上取得最小值4-，则实数a 的集合是（）A. ]4,(-∞B. ]4,224[-C. ]224,4[+D. ),4[+∞二、填空题（本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分）11、集合}02|{2=-=x x x A ，}1,0{=B ，则集合=B A ，集合B A 的子集个数为 .12、已知⎩⎨⎧-<>≤≤-=11,111,)(2x x x x x f 或，则=))2018((f f ，)(x f 的值域是 .13、设函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，且当0≥x 时，b x x f x ++=22)(（b 为常数），则=b ，=-)1(f .14、函数)(x f 的定义域为]4,1[，值域为]2,1[-，则函数)1(+=x f y 的定义域为，值域为 .15、函数ax y -=3在区间]2,0[上是减函数，则实数a 的取值范围是 .16、已知函数1)(2++=mx mx x f 的定义域是一切实数，则m 的取值范围是 .17、若关于x 的方程012=+-ax x 在)3,21(∈x 上有实数根，则实数a 的取值范围是 .三、解答题（共74分）18、（本小题满分14分）已知函数xx x f ---=713)(的定义域为集合A ，且}102|{<<∈=x Z x B ，}1|{+><∈=a x a x R x C 或.（1）求A 和B A C R )(；（2）若R C A = ，求实数a 的取值范围.19、（本小题满分15分）已知函数)(|2|2)(R x ax x x f ∈+-=有最小值.（1）求实数a 的取值范围；（2）设)(x g 为定义在R 上的奇函数，且0<x 时，)()(x f x g =，求)(x g 的解析式.20、（本小题满分15分）已知二次函数()f x 的最大值为1，且0)2()0(==f f ．（1）求()f x 的解析式；（2）若)(x f 在区间],[n m 上的值域为]3,8[--，试求n m ,的值．21、（本小题满分15分）函数),0()(2R a x xa x x f ∈≠+= . （1）讨论函数)(x f 的奇偶性，并说明理由；（2）若函数)(x f 在),2[+∞上为增函数，试用单调性定义求实数a 的取值范围.22、（本小题满分15分）已知函数||)1()(2a x x x x f --+=.（1）若1-=a ，解方程1)(=x f ；（2）若1<a ，且不等式32)(-≥x x f 对一切实数R x ∈恒成立，求实数a 的取值范围.高一数学必修一第一学期四校联考阶段性检测答案一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有二填空题答案：11、{}0，812、 1，[]1,013、,1- 3-14、[]3,0 []2,1-15、⎥⎦⎤ ⎝⎛23,0 16、[]4,017、)310,2[ 18、20、（1）对称轴为1220=+=x 设)2()(-=x ax x f则1)1(=-=a f1-=∴ax x x x x f 2)2()(2+-=--=∴（2）当1≤n 时，)(x f 在],[n m 上单调递增 ⎩⎨⎧-=-=∴3)(8)(n f m f ⎩⎨⎧-=-=⇒12n m 当1>n 时，)(x f 在],[n m 上单调递减 ⎩⎨⎧-=-=∴8)(3)(n f m f ⎩⎨⎧==⇒43n m 综上，⎩⎨⎧-=-=12n m 或⎩⎨⎧==43n m（2）。

2020-2021学年天津市四校联考高一(下)期末数学试卷(附答案详解)

2020-2021学年天津市四校联考高一（下）期末数学试卷一、单选题（本大题共9小题，共45.0分）1.已知i是虚数单位，则复数1+i2−i的共轭复数为()A. 1−iB. 35−35i C. 15−35i D. 13−i2.在△ABC中，a=√3，b=1，A=60°，则B=()A. 30°B. 60°C. 30°或150°D. 60°或120°3.已知水平放置的△ABC按斜二测画法，得到如图所示的直观图，其中B′O′=C′O′=1，A′O′=2，那么△ABC的周长为()A. 6B. 2+2√2C. 2+2√15D. 2+2√174.某校高一年级开展英语百词测试，现从中抽取100名学生进行成绩统计．将所得成绩分成5组：第1组[75,80)，第2组[80,85)，第3组[85,90)，第4组[90,95)，第5组[95,100]，并绘制成如图所示的频率分布直方图．则第4组的学生人数为()A. 20B. 30C. 40D. 505.设α，β为不重合的平面，m，n为不重合的直线，则其中正确命题的序号为()①m//α，α//β，则m//β；②m⊂α，n⊂β，α//β，则m//n；③m⊥α，n⊥β，α⊥β，则m⊥n；④n⊂β，m⊥α，m//n，则α⊥β．A. ①③B. ②③C. ②④D. ③④6. 在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，CO ⃗⃗⃗⃗⃗ =3CE⃗⃗⃗⃗⃗ ，BE 的延长线与CD 交于点F.若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，则EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. 67a⃗ −16b ⃗ B. −130a⃗ +16b ⃗ C. 130a⃗ +16b ⃗ D. 67a⃗ +16b ⃗ 7. 已知直三棱柱ABC −A 1B 1C 1的各棱长均相等，体积为2√3，M 为A 1B 中点，则点M到平面A 1B 1C 的距离为( )A. √217B. 4√55C. √77D. 2√338. 下列四个命题正确的个数为( )①抛掷两枚质地均匀的骰子，则向上点数之和不小于10的概率为16；②现有7名同学的体重(公斤)数据如下：50，55，45，60，68，65，70，则这7个同学体重的上四分位数(第75百分位数)为65；③新高考改革实行“3+1+2”模式，某同学需要从政治、地理、化学、生物四个学科中任取两科参加高考，则选出的两科中含有政治学科的概率为12．A. 3B. 2C. 1D. 09. 已知O 是三角形ABC 的外心，若ACAB AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AO ⃗⃗⃗⃗⃗ +ABACAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =2m(AO ⃗⃗⃗⃗⃗ )2，且sinB +sinC =√3，则实数m 的最大值为( )A. 3B. 35C. 75D. 32二、单空题（本大题共6小题，共30.0分）10. 已知平行四边形ABCD ，A(1,3)，B(2,4)，C(5,6)，则点D 的坐标为______． 11. 将圆心角为3π4，半径为8的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的母线与底面所成角的余弦值为______．12. 记△ABC 的面积为S ，且满足8S =3BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CA⃗⃗⃗⃗⃗ ，则cos C 的值为______． 13. 甲参加猜成语比赛，假定甲每轮获胜的概率都是34，且各轮比赛结果互不影响，则在三轮比赛中甲恰好获胜两轮的概率为______．14. 已知正四棱锥P −ABCD 中，底面边长为2，侧面积为4√5，若该四棱锥的所有顶点都在球O 的表面上，则球O 的体积为______．15. 在△ABC 中，AB =AC =√3，2AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，2CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =514，则BC =______，延长DF 交AC 于点E ，点P 在边BC 上，则DP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅EP ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为______．三、解答题（本大题共5小题，共75.0分）16.已知平面向量a⃗，b⃗ 满足a⃗=(1,3)，|b⃗ |=√102．(1)若b⃗ //a⃗，求b⃗ 的坐标；(2)若(2a⃗+b⃗ )⊥(a⃗−5b⃗ )，求|3a⃗−2b⃗ |的值；(3)若a⃗在b⃗ 上的投影向量为−√2b⃗ ，求a⃗与b⃗ 的夹角．17.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且c(sinB−√3cosB)+√3a=0．(Ⅰ)求角C的大小；(Ⅱ)若△ABC的外接圆半径R=√7，b=4，求△ABC的面积．18.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，√33sinC−cosA=a2−b22bc．(1)求角B的大小；(2)若角B为锐角，AD=2DC，c=3，BD=73，求a．19.如图，三棱柱ABC−A1B1C1，侧面A1ABB1⊥底面ABC，侧棱BB1=2，BA=1，∠ABB1=60°，点E、F分别是棱C1C、A1B1的中点，点M为棱BC上一点，且满，B1M⊥BC．足AM=12(1)求证：EF//平面CB1A；(2)求证：AB1⊥BC；(3)求直线BA1与平面MB1A所成角的余弦值．20.如图，平面四边形ABCD中，BC⊥CD，AB=AD=BC=3，BD=2√3，以BD为折痕将△ABD折起，使点A到达点P的位置，且PC=√6．(1)若E为棱PD中点，求异面直线CE与PB所成角的余弦值；(2)证明：平面BCD⊥平面PBC；(3)求二面角P−BD−C的平面角的正弦值．答案和解析1.【答案】C【解析】解：因为1+i2−i =(1+i)(2+i)(2−i)(2+i)=1+3i5=15+35i，所以共轭复数为15−35i．故选：C．先利用复数的除法运算求助复数，再利用共轭复数的定义求解即可．本题考查了复数的除法运算，共轭复数定义的应用，考查了运算能力，属于基础题．2.【答案】A【解析】解：因为a=√3，b=1，A=60°，所以由正弦定理asinA =bsinB，可得√3√32=1sinB，解得sinB=12，因为b<a，可得B<A，则B=30°．故选：A．由已知利用正弦定理可得sinB=12，根据大边对大角可求B<A，利用特殊角的三角函数值即可求解B的值．本题主要考查了正弦定理，大边对大角，特殊角的三角函数值在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．3.【答案】D【解析】解：由直观图中B′O′=C′O′=1，A′O′=2，可得△ABC中，BO=CO=1，AO=4，因为AO⊥BC，则AB=AC=√42+12=√17又底边BC=2，所以△ABC的周长为2+2√17．故选：D．利用斜二测画法的规则，求出原△ABC中的信息，求解周长即可．本题主要考查了平面图形的直观图的画法及应用，其中熟记斜二测画法的规则是解答的关键，考查了数形结合思想的应用，属于基础题．4.【答案】A【解析】解：由图可得，(0.01+0.02+m+0.06+0.07)×5=1，解得m=0.04，∴第四组的人数为0.04×5×100=20．故选：A．根据直方图中各区间所对应的频率和为1，可推得第4组[90,95)频率，再结合样本容量100，即可求解．本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了频率、频数与样本容量的应用问题，属于基础题．5.【答案】D【解析】解：①若m//α，α//β，则m//β或m⊂β，故①错误；②若m⊂α，n⊂β，α//β，则m//n或m与n异面，故②错误；③若m⊥α，α⊥β，则m⊂β或m//β，又n⊥β，则m⊥n，故③正确；④若m⊥α，m//n，则n⊥α，又n⊂β，可得α⊥β，故④正确．故选：D．由直线与平面平行、平面与平面平行的关系判断①；由两平面平行分析两平面中直线的位置关系判断②；由线面垂直与面面垂直的关系分析③；由直线与平面垂直的性质及面面垂直的判定判断④．本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定，考查空间想象能力与思维能力，是基础题．6.【答案】B【解析】解：如图所示：由CO ⃗⃗⃗⃗⃗ =3CE ⃗⃗⃗⃗⃗ 得CE EA =15，由DC//AB 得△EFC∽△EBA ，∴CFAB =CEEA =15，又∵DC =AB ，∴CFDC =15，EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =EC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =16AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +15CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =16(DC ⃗⃗⃗⃗⃗ −DA ⃗⃗⃗⃗⃗ )−15DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−130DC ⃗⃗⃗⃗⃗ −16DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =−130a ⃗ +16b ⃗ ，故选：B ．EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =EC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，根据△EFC∽△EBA 和CO ⃗⃗⃗⃗⃗ =3CE ⃗⃗⃗⃗⃗ 可得CF =15AB =15DC ，结合EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =EC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CF⃗⃗⃗⃗⃗ ，可解决此题．本题考查平面向量共线定理，考查数学运算能力及直观想象能力，属于中档题．7.【答案】A【解析】解：直三棱柱ABC −A 1B 1C 1的各棱长均相等，设棱长为a ，因为体积为2√3，则√34a 2⋅a =2√3，解得a =2，设点M 到平面A 1B 1C 的距离为d ，因为A 1B 1=2，CB 1=CA 1=2√2，则S △CA 1B 1=√7，由等体积法，V M−A 1B 1C =V C−A 1B 1M ，即13⋅d ⋅S △CA 1B 1=13⋅√3⋅S △A 1B 1M ，即13⋅d ⋅√7=13×√3×12×2×1，解得d =√217，故点M 到平面A 1B 1C 的距离为√217．故选：A ．利用直棱柱的体积公式求出棱长，点M 到平面A 1B 1C 的距离为d ，由等体积法V M−A 1B 1C =V C−A 1B 1M ，求解即可．本题考查了点到平面距离的求解，涉及了直棱柱体积公式的应用，等体积法是求解点到平面的距离的常用方法，属于中档题．8.【答案】A【解析】解：①：抛掷两枚质地均匀的骰子，总的基本事件数为6×6=36种，向上点数之和不小于10的基本事件有(4,6)，(5,5)(5,6)，(6,4)，(6,5)，(6,6)共6种，所以所求事件的概率P=636=16，故①正确，②：因为7×75%=5.25，所以这7个同学体重的上四分位数(第75百分位数)为65，故②正确，③：从政治、地理、化学、生物四个学科中任取两科参加高考的基本事件个数为C42=6，选出的两科中含有政治学科的基本事件有(政治，地理)，(政治，生物)，(政治，化学)共3种，所以所求事件的概率P=36=12，故③正确，故选：A．①③：根据古典概型的概率计算公式即可求解；②：根据百分位数的求解公式即可求解．本题考查了命题的真假判断，涉及到古典概型的概率计算公式以及百分位数的求解，考查了学生的运算转化能力，属于中档题．9.【答案】D【解析】解：如图所示：设AB=c，AC=b，∠BAO=θ，∠CAO=α，由ACAB AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AO⃗⃗⃗⃗⃗ +ABACAC⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AO⃗⃗⃗⃗⃗ =2m(AO⃗⃗⃗⃗⃗ )2得b c ⋅c⋅AOcosθ+cb⋅b⋅AOcosα=2m⋅AO2，化简得bcosθ+ccosα=2mAO，由O是三角形ABC的外心可知，O是三边中垂线交点，得cosθ=c2AO ，cosα=b2AO，代入上式得bc=2mAO2，∴m=bc2AO2．根据题意知，AO是三角形ABC外接圆的半径，可得sinB=b2AO ，sinC=c2AO，代入sinB+sinC=√3，得b+c=2√3AO，∴m =bc 2AO2≤(b+c 2)22AO 2=32，当且仅当“b =c ”时，等号成立．故选：D ．设AB =c ，AC =b ，∠BAO =θ，∠CAO =β，由AC AB AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AO ⃗⃗⃗⃗⃗ +ABAC AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =2m(AO ⃗⃗⃗⃗⃗ )2得bc ⋅c ⋅AOcosθ+cb⋅b ⋅AOcosα=2m ⋅AO 2，化简得bcosθ+ccosα=2mAO ，由O 是三角形ABC 的外心可知，O 是三边中垂线交点，得cosθ=c2AO ，cosα=b2AO ，根据题意知，AO 是三角形ABC 外接圆的半径，可得sinB =bAO ，sinC =cAO 代入sinB +sinC =√3，得b +c =√3AO ，结合前面等式得m 关于b 、c 、AO 的表达式，再用基本不等式可解决此题．本题考查平面向量数量积性质及基本不等式应用，考查数学运算能力，属于难题．10.【答案】(4,5)【解析】解：平行四边形ABCD 中，A(1,3)，B(2,4)，C(5,6)，设点D 的坐标为(x,y)，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x −1,y −3)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,2)，由AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，得{x −1=3y −3=2，解得{x =4y =5，所以D(4,5)．故答案为：(4,5)．设点D 的坐标为(x,y)，根据AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 列方程组求出x 、y 的值．本题考查了平面向量的坐标表示与运算问题，是基础题．11.【答案】38【解析】解：设母线长为l ，底面半径为r ，则依题意易知l =8，由θ=2πr l，代入数据即可得r =3，因此所求角的余弦值即为rl =38．故答案为：38．设母线长为l ，底面半径为r ，利用侧面展开图，求出圆心角，然后求出底面半径，即可求出圆锥母线与底面所成角的余弦值．本题是基础题，考查圆锥的侧面展开图，扇形的知识，圆锥的母线与底面所成的角，考查计算能力．12.【答案】−45【解析】解：∵8S =3BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CA⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴8×12×|BC|×|CA|×sinC =3×|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |×|CA ⃗⃗⃗⃗⃗ |×cos(π−C)， ∴4sinC =−3cosC ， ∴tanC =−34，且C ∈(π2,π)， ∴cosC =−45，故答案为：−45．由三角形的面积公式及平面向量的数量积公式代入化简，再由同角三角关系式求解即可．本题考查了平面向量的数量积公式应用及三角函数的应用，属于基础题．13.【答案】2764【解析】解：由题意，甲每轮获胜的概率都是34，且各轮比赛结果互不影响，所以在三轮比赛中甲恰好获胜两轮的概率为C 32⋅(34)2⋅(1−34)=2764．故答案为：2764．利用相互独立事件的概率乘法公式列式求解即可．本题考查了相互独立事件的概率乘法公式的应用，属于基础题．14.【答案】9π2【解析】解：设正四棱锥的侧棱长为b ，又侧面积为4√5， ∴4×12×2×√b 2−1=4√5，解得b =√6， ∴正四棱锥P −ABCD 的高ℎ=√6−2=2，正四棱锥P −ABCD 的外接球的球心O 在正四棱锥P −ABCD 的高所在直线上，如图，设球O 的半径为R ，则(2−R)2+(√2)2=R 2，解得R =32，则球O 的体积为V =43πR 3=43π×(32)3=9π2．故答案为：9π2．由正四棱锥的底边长与侧面积可得侧棱长，求出正四棱锥的高，球心在高所在直线上，利用勾股定理求半径，则球的体积可求．本题主要考查正四棱锥的性质，直四棱锥的体积与其外接球的体积，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题．15.【答案】√3 −3【解析】解：由2AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，可得CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +3AB ⃗⃗⃗⃗⃗由2CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，可得AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +32AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(32AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC⃗⃗⃗⃗⃗ )=92AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+32AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC⃗⃗⃗⃗⃗ 2=92×3−3+32√3×√3×cosA =514，则cosA =12.∴BC =√3．如图建立平面直角坐标系，可得B(−√32,0)，C(√32,0)，A(0,32)，设P(x,0)，√32≤x ≤√32．∵2CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴CF//AD ，CF =12AD ，∴C 为AE 中点， ∴ AE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2AC⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +3AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−x,32)+3((−√32,−32)=(−x −3√32,−3)， PE ⃗⃗⃗⃗⃗ =PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +2AC⃗⃗⃗⃗⃗ =(−x,32)+2(√32,−32)=(−x +√3,−32)， DP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅EP ⃗⃗⃗⃗⃗ =PD ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PE⃗⃗⃗⃗⃗ =(−x −3√32)(−x +√3)+(−3)×(−32)=−x 2−3√32x ∵−√32≤x ≤√32，∴x =√32时，DP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅EP⃗⃗⃗⃗⃗ 最小，最小值为−3．答案为：√3，−3．用 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，求得cos A ，即可求得BC ，建立平面直角坐标系，设P(x,0)，√32≤x ≤√32.即可求得DP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅EP⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值．本题考查了平面向量的线性、数量积的运算，考查了转化思想，属于中档题．16.【答案】解：(1)由题意设b ⃗ =λ(1,3)，|b ⃗ |=|λ|√12+32=√102，解得λ=±12，即b ⃗=(12,32)或b ⃗ =(−12,−32)， (2)∵(2a ⃗ +b ⃗ )⊥(a ⃗ −5b ⃗ )，∴(2a ⃗ +b ⃗ )⋅(a ⃗ −5b ⃗ )=0，即2 a ⃗⃗⃗ 2−9 a ⃗⃗⃗ ⋅b ⃗ −5b ⃗ 2=0，即2×(12+32)−9 a ⃗⃗⃗ ⋅b ⃗ −5×104=0，故 a⃗⃗⃗ ⋅b ⃗ =56， |3a ⃗ −2b ⃗ |=√9 a ⃗⃗⃗ 2−12a ⃗ ⋅b ⃗ +4b ⃗ 2=√90−10+10=3√10，(3)设a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为θ，则| a ⃗⃗⃗ |⋅cosθ⋅b⃗ |b⃗ |=−√2b ⃗ ，即√10⋅cosθ⃗ √102=−√2b ⃗ ，即cosθ=−√22，θ=3π4．【解析】(1)由向量平行设b ⃗ =λ(1,3)，再由模公式求得，(2)由垂直得(2a ⃗ +b ⃗ )⋅(a ⃗ −5b ⃗ )=0，化简得 a ⃗⃗⃗ ⋅b ⃗ =56，从而整体代入求|3a ⃗ −2b ⃗ |， (3)设a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为θ，由投影向量的定义的得| a ⃗⃗⃗ |⋅cosθ⋅b⃗ |b⃗ |=−√2b ⃗ ，从而解得．本题考查了平面向量的应用，重点考查了平行与垂直的应用，同时考查了整体思想与待定系数法的应用，属于中档题．17.【答案】解：(Ⅰ)因为c(sinB −√3cosB)+√3a =0，由正弦定理可得sinCsinB −√3sinCcosB +√3sinA =0，又sinA =sin(B +C)=sinBcosC +cosBsinC ，所以sinCsinB −√3sinCcosB +√3sinBcosC +√3cosBsinC =0，即sinCsinB +√3sinBcosC =0，因为sinB ≠0，所以sinC +√3cosC =0，即tanC =−√3，因为C ∈(0,π)，所以C =2π3．(Ⅱ)因为C =2π3，△ABC 的外接圆半径R =√7，所以由 csinC =2R ，可得c =2√7×√32=√21，因为b =4，由余弦定理c 2=a 2+b 2−2abcosC ，可得21=a 2+16+4a ，即a 2+4a −5=0，解得a =1，(负值舍去)，所以△ABC 的面积S =12absinC =12×1×4×√32=√3．【解析】(Ⅰ)由正弦定理，两角和的正弦公式，同角三角函数基本关系式化简已知等式可得tan C 的值，结合范围C ∈(0,π)，可求C 的值．(Ⅱ)由题意利用正弦定理可求c 的值，根据余弦定理可求a 的值，进而根据三角形的面积公式即可求解．本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦公式，同角三角函数基本关系式，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．18.【答案】解：(1)因为√33sinC =cosA +a 2−b 22bc=b2+c 2−a 22bc+a 2−b 22bc=c 22bc = c2b ，所以由正弦定理可得√33sinC =sinC 2sinB，又sinC ≠0，所以可得sinB =√32，又B ∈(0,π)，所以B =π3，或2π3．(2)若角B 为锐角，则B =π3，又AD =2DC ，c =3，BD =73，设CD =x ，可得AD =2x ，AC =3x ，在△ABC 中，由余弦定理可得9x 2=9+a 2−3a ，① 又cos∠ADB =−cos∠CDB ，所以499+4 x 2−92×73×2x =−x 2+499−a 22×x×73，整理可得11+9x 2−3a 2=0，②由①②联立解得2a 2+3a −20=0，解方程可得a=52，或−4(舍去)．【解析】(1)由正弦定理，余弦定理化简已知等式，结合sinC≠0，可得sin B的值，结合范围B∈(0,π)，可得B的值．(2)由题意可得B=π3，设CD=x，可得AD=2x，AC=3x，在△ABC中，由余弦定理可得9x2=9+a2−3a，又cos∠ADB=−cos∠CDB，利用余弦定理可得11+9x2−3a2=0，联立解得2a2+3a−20=0，解方程可得a的值．本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了转化思想和方程思想的应用，属于中档题．19.【答案】(1)证明：设A1B∩AB1=O，连接OC，OF，因为O，F分别为A1B，A1B1的中点，则OF//BB1，OF=12BB1，因为E为CC1的中点，所以CE=12CC1=12BB1，且CC1//BB1，所以OF//OE，OF=OE，则四边形CEFO为平行四边形，故EF//OC，因为OC⊂平面CB1A，EF⊄平面CB1A，故EF//平面CB1A；(2)证明：因为∠ABB1=60°，AB=1，BB1=2，所以∠B1AB=90°，即AB⊥AB1，因为平面A1ABB1⊥平面ABC，且平面A1ABB1∩平面ABC=AB，所以AB1⊥平面ABC，又BC⊂平面ABC，故AB 1⊥BC；(3)解：因为B1M⊥BC，AB1⊥BC，又B1M∩AB1=B1，B1M，AB1⊂平面MB1A，故BC⊥平面MB1A，连接OM，则OM为BA1在平面MB1A内的射影，所以∠OBM为BA1与平面MB1A所成的角，因为AB=1，AM=12，且AM⊥BM，所以BM=√32，在△A1AB中，A1B2=4+1−2×2×1×(−12)=7，所以A1B=√7，则OB=√72，所以OM=√74−34=1，故cos∠OBM=1√72=2√77，所以直线BA1与平面MB1A所成角的余弦值为2√77．【解析】(1)设A1B∩AB1=O，连接OC，OF，利用中位线定理可证明四边形CEFO为平行四边形，则EF//OC，由线面平行的判定定理证明即可；(2)利用已知的边角关系可得，AB⊥AB1，由面面垂直的性质定理可得AB1⊥平面ABC，即可证明结论；(3)先利用线面垂直的判定定理证明BC⊥平面MB1A，可得∠OBM为BA1与平面MB1A所成的角，然后在三角形中，由边角关系求解即可．本题主要考查了空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，空间角的计算，在使用几何法求线面角时，可通过已知条件，在斜线上取一点作该平面的垂线，找出该斜线在平面内的射影，通过解直角三角形求得，属于中档题．20.【答案】(1)解：取DB的中点M，连接ME，MC，CE，因为E为PD的中点，则ME//PB，则∠MEC即为异面直线CE与PB所成的角，在△PCD中，PC=√6，CD=√3，PD=3，则PD2=PC2+CD2，所以△PCD为直角三角形，则CE=12PD=32，在△MEC中，ME=12PB=32，MC=12BD=√3，CE=32，由余弦定理可得，cos∠MEC=ME 2+CE2−MC22⋅ME⋅CE=94+94−32×32×32=13，故异面直线CE与PB所成角的余弦值为13；(2)证明：由(1)可知，CD⊥PC，又CD⊥BC，PC∩BC=C，PC，BC⊂平面PBC，所以CD⊥平面PBC，又CD⊂平面BCD，所以平面BCD⊥平面PBC；(3)解：在平面PBC内，过点PF⊥BC，连接MF，由(2)可知，平面BCD⊥平面PBC，又平面BCD∩平面PBC=BC，所以PF⊥平面BCD，因为PM⊥BD，由三垂线定理可得，MF⊥BD，则∠PMF即为二面角P−BD−C的平面角，在△PBC中，由余弦定理可得cosB=PB2+BC2−PC22⋅PB⋅BC =9+9−62×3×3=23，在Rt△PBF中，cosB=PFPB =PF3=23，所以PF=2，在等腰△PBD中，PM=√PB2−BM2=√9−3=√6，在Rt△PFM中，sin∠PMF=PFPM =√6=√63，故二面角P−BD−C的平面角的正弦值为√63．【解析】(1)取DB的中点M，连接ME，MC，CE，利用异面直线的定义，得到∠MEC即为异面直线CE与PB所成的角，在三角形中利用边角关系求解即可；(2)利用线面垂直的判定定理证明CD⊥平面PBC，由面面垂直的判定定理证明即可；(3)在平面PBC内，过点PF⊥BC，连接MF，利用二面角的平面角的定义可得，∠PMF 即为二面角P−BD−C的平面角，在三角形中利用边角关系求解即可．本题考查了翻折问题，异面直线所成角的求解，二面角的求解，面面垂直的判定，对于几何法求解空间角问题，解题的关键是利用定义找到对应的角，考查了逻辑推理能力与空间想象能力，属于中档题．。

吉林省四校2023-2024学年高一下学期开学联考试题数学含答案

2023—2024学年度下学期四校期初联考高一数学试题（答案在最后）本试卷满分150分，共4页。

考试时间120分钟。

考试结束后，只交答题卡。

第I 卷（选择题，共58分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上并将条形码粘贴在粘贴处。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

—、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知集合{}122,lg(1)2x A x B x y x ⎧⎫=<<=+⎨⎬⎩⎭∣，则()R A B = ð（）A ．(,1)-∞B ．∅C ．(1,)-+∞D ．(,1)(1,1)-∞-- 2．设((5)),510,()215,10,f f x x f x x x +<<⎧=⎨-≥⎩则(9)f 的值为（）A ．9B ．11C ．28D ．143．“关于x 的不等式2(23)(23)40a x a x ---+≥的解集为R ”是“392a <<”的（）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件4．函数3()1ln ||x f x x =+的图像大致为（）A ．B ．C ．D ．5．设0.623log 6,log 12,2a b c ===，则（）A ．a b c<<B ．c a b<<C ．b a c<<D ．c b a<<6．已知函数()cos()0,0,||2f x M x M πωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的部分图象如图所示，其中,024A π⎛⎫ ⎪⎝⎭，7,0,(0,2)24B C π⎛⎫⎪⎝⎭，现先将函数()f x 图象上所有点的横坐标缩短为原来的13，再向左平移24π个单位长度，得到函数()g x 的图象，则5144g π⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A B ．-C D 7．已知(),()f x g x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且满足()()2xf xg x +=．若(())0g f x a -≥恒成立，则实数a 的取值范围为（）A ．(,1)-∞B ．(,1]-∞C ．(1,)+∞D ．[1,)+∞8．已知函数()sin (0)3f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，且在3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭上有且仅有1个零点，则ω的取值范围为（）A ．22,93⎛⎫⎪⎝⎭B ．22814,,9399⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ C ．22814,,9399⎛⎫⎡⎫⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭D ．22814,,9399⎛⎫⎛⎤⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9．下列命题为真命题的有（）A ．若,a b ∈R ，则222a b ab +≥B ．若0,0a b m >>>，则a m ab m b+>+C ．若0a b <<，则11a b>D ．若22ac bc >，则a b>10．对于函数()tan 24f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，下列说法正确的是（）A ．函数()f x 的是最小正周期是πB ．函数()f x 的图象的对称中心是,0()48k k Z ππ⎛⎫+∈⎪⎝⎭C ．函数|()|y f x =的图象的对称轴是()48k x k Z ππ=+∈D ．不等式()f x ≥的解集是73,248 x k x k k Z ππππ⎧⎫+≤<+∈⎨⎬⎩⎭11．设函数()f x 的定义域为R ，满足()()11f x f x +=--，且()()22f x f x +=-，当[]1,2x ∈时，2()f x ax b =+，若(0)(3)6f f +=，则以下正确的是（）A ．(4)()f x f x +=B ．2a =-C ．2b =D ．1722f ⎛⎫=⎪⎝⎭第II 卷（非选择题，共92分）三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12．已知幂函数()122()32m f x m m x=-满足(2)(3)f f <．则m =______．13．已知0,0,3x y x y xy >>++=，且不等式2()()10x y a x y +-++≥恒成立．则实数a 的取值范围是______．14．已知函数()()()2154087lo 7g x f x m x x m ⎛⎫--<⎪⎝⎭-≤=恰有3个零点，则m 的取值范围是______．四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．（13分）求下列各式的值．（11220.25316(8)849-⎛⎫+-+⨯ ⎪⎝⎭；（2）()3log 314319lg 25lg 2log 9log 822-++-⨯+-16．（15分）已知函数2()2cos cos (0,R)f x x x x a a ωωωω=++>∈．已知()f x 的最大值为1，且()f x 的相邻两条对称轴之间的距离为2π．（1）求函数()f x 的解析式．（2）求()f x 在[0,]π的单调递增区间；（3）将函数()f x 图象上的点纵坐标不变，横坐标变为原来的12，再向右平移12π单位，得到函数()g x 的图象，若()g x 在区间[0,]m 上的最小值为(0)g ，求m 的最大值．17．（15分）已知,0,,22ππαβπ⎛⎫⎛⎫∈-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭且2sin ,tan()1011αβα=--=-．（1）求cos 24πα⎛⎫+⎪⎝⎭；（2）求角2αβ+的大小．18．（17分）心理学家根据高中生心理发展规律，对离中生的学习行为进行研究，发现学生学习的接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间．上课开始时，学生的兴趣激增，中间有一段时间学生的兴趣保持理想状态，随后学生的注意力开始分散．分析结果和实验表明，用()f x 表示学生掌握和接受概念的能力（()f x 的值越大，表示接受能力越强），x 表示提出和讲授概念的时间（单位：min ），满足以下关系：20.1 2.838,010,()56,1020,296,2040.x x x f x x x x ⎧-++<≤⎪=<≤⎨⎪-+<≤⎩（1）上课多少分钟后，学生的接受能力最强？能维持多少分钟？（2）有一道数学难题，需要54的接受能力及15min 的讲授时间：老师能否及时在学生处干所需接受能力的状态下讲授完成这道难题？19．（17分）已知函数2()log 1,()22xf x xg x =+=-．（1）求方程|()||()|f x g x =的解的个数（不要求详细过程，有简要理由即可）；（2）求函数()22()[()]2F x f x af x =-+在区间［2，4]上的最大值；（3）若函数()()()h x g f x =，且函数1(|()|)12y h g x =-的图象与函数3241|()|b y b g x +=--的图象有3个不同的交点，求实数b 的取值范围．2023—2024学年度下学期四校期初联考高一数学答案一．选择题（每小题5分，共8题，共40分）12345678ABCADCBD二．多选题（每小题6分，共3题，共18分）91011ACD BCABC1．A 【详解】1222x <<，得11x -<<，所以{11}A xx =-<<∣，函数()lg 1y x =+中，10x +>，即1x >-，所以{1}B xx =>-∣，{}R ð1B x x =≤-∣，所以()()R ð,1A B =-∞ ．故选：A 2．B【详解】()()()()()91421415132131511f f f f f ==⨯-==⨯-=．故选：B ．3．C【详解】当230a -=即32a =时，不等式20040x x ⨯-⨯+≥的解集为R ，符合题意；当230a -≠即32a ≠时，若不等式()()2232340a x a x ---+≥的解集为R ，可得()2230(23)16230a a a ->⎧⎨---≤⎩，解得31922a <≤，所以不等式()()2232340a x a x ---+≥的解集为R 可得31922a ≤≤，充分性不成立，若392a <<，则不等式()()2232340a x a x ---+≥的解集为R ，必要性成立，所以不等式()()2232340a x a x ---+≥的解集为R 是“392a <<”的必要不充分条件．故选：C ．4．A【详解】对于函数()f x ，有01ln 0x x ≠⎧⎨+≠⎩，解得0x ≠且1e x ≠±，所以，函数()f x 的定义域为1111,,00,,e ee e⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-∞--+∞ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，因为()()33()1ln 1ln x x f x f x x x --===-+-+，函数()f x 为奇函数，排除CD 选项，当10ex <<时，1ln 0x +<，则()301ln x f x x =<+，排除B 选项．故选：A ．5．D【详解】由6<，得225log 6log 2a =>=，由912<<，得333log 9log 12log <<，即522b <<，而0.61222c =<=，所以c b a <<．故选：D 6．C【详解】记函数()f x 的最小正周期为T ，由题意知7224244T πππ=-=，得2T π=，所以24Tπω==，故()()cos 4f x M x ϕ=+．因为()f x 的图象过点,024A π⎛⎫⎪⎝⎭，所以()42242k k ππϕπ⨯+=+∈Z ，得()23k k πϕπ=+∈Z ，又2πϕ<，所以3πϕ=，故()cos 43f x M x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，因为()f x 的图象过点()0,2C ，所以cos23M π=，解得4M =，所以()4cos 43f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．将()f x 图象上所有点的横坐标缩短为原来的13，得到4cos 123y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，再将所得图象向左平移24π个单位长度，得到函数()54cos 124cos 12236g x x x πππ⎛⎫⎛⎫=++=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象，所以554cos 4cos 4cos cos sin sin 14412464646g ππππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-==+=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故选：C ．7．B【详解】因为()(),f x g x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，所以()()()(),f x f x g x g x -=-=-，因为()()2xf xg x +=，①所以()()2xf xg x --+-=，所以()()2xf xg x --=，②①+②得()()2222,22x x x xf xg x --+-==，因为2xy =在定义域R 上单调递增，2xy -=在定义域R 上单调递减，所以()222x xg x --=在R 上单调递增，又()00g =，若()()0g f x a -≥恒成立，则()()()0g f x a g -≥恒成立，所以()0f x a -≥恒成立，所以()f x a ≥恒成立，所以只需min ()a f x ≤，因为20,20xx->>，所以222x x -+≥=（当且仅当22x x -=，即0x =时取等号），所以()2212x xf x -+=≥（当且仅当0x =时，取等号），所以1a ≤，所以a 的取值范围为(],1-∞．故选：B ．8．D【详解】当,0,,1231233x x πππππωω⎛⎫⎛⎫∈--∈--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为()f x 在,012π⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增，故1232πππω--≥-，则02ω<≤；当33,,,2232323x x πππππππωωω⎛⎫⎛⎫∈-∈--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且2,2333ππππω⎛⎤-∈- ⎥⎝⎦，38,2333ππππω⎛⎤-∈- ⎥⎝⎦，又因为()f x 在3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭上有且仅有1个零点，故讨论两种情况：①022323393023πππωωππωπ⎧-<-<⎪⎪⇒<<⎨⎪<-≤⎪⎩，②20814233399223πππωωπππωπ⎧≤-≤⎪⎪⇒<≤⎨⎪<-≤⎪⎩，综上：ω的取值范围为22814,,9399⎛⎫⎛⋃ ⎪ ⎝⎭⎝，故选：D ．9．ACD【详解】对于A ，因为2222()0a b ab a b +-=-≥，所以222a b ab +≥，故A 正确；对于B ，()()()b a ma m a ab bm ab am b m b b b m b b m -++---==+++，因为0,0a b m >>>，所以()()0,0b a m b b m -+，所以0a m a b m b +-<+，所以a m a b m b+<+，故B 错误；对于C ，若0a b <<，则110b a a b ab --=>，所以11a b>，故C 正确；对于D ，若22ac bc >，则20c >，所以a b >，故D 正确．故选：ACD ．10．BC【详解】函数()tan 24f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的最小正周期为2π，A 错误；由2,Z 42k x k ππ-=∈，解得,Z 48k x k ππ=+∈，则函数()f x 的图象的对称中心是(),0Z 48k k ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，B 正确；由于()tan 2tan 24444f x x x f x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-=⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，则8x π=是()y f x =图象的一条对称轴，又()tan 2tan 24444f x x x f x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=---=-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，则8x π=-是()y f x =图象的一条对称轴，而函数()y f x =的最小正周期是2π，则,Z 28k x k ππ=+∈及,Z 28k x k ππ=-∈都是()y f x =图象的对称轴，所以函数()y f x =图象的对称轴是()Z 48k x k ππ=+∈，C 正确；不等式()tan 24f x x π⎛⎫≥⇔-≥ ⎪⎝⎭，则2,Z 342k x k k πππππ+≤-<+∈，解得73,22428k k x k Z ππππ+≤<+∈，即不等式()f x ≥的解集是()73,22428k k k Z ππππ⎡⎫++∈⎪⎢⎣⎭，D 错误．故选：BC 11．ABC【详解】因为()()11f x f x +=--，所以()][()1111f x f x ⎡⎤+-=---⎣⎦，即()()2f x f x =--，又()()22f x f x +=-所以()()2f x f x =-+，所以()()()()2224f x f x f x f x ⎡⎤=-+=++=+⎣⎦，A 正确；因为()()()()()032146f f f f a b a b +=-+=-+++=，所以2a =-，B 正确；在()()11f x f x +=--中，令0x =，得()()11f f =-，即()a b a b +=-+，解得2b =，C 正确；1711395822222242f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+==-=--⨯-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，D 错误．故选：ABC 12．13-【详解】由幂函数的定义可知，2321m m -=，即23210m m --=，解得1m =或13m =-．当1m =时，()12f x x-=在()0,+∞上单调递减，不满足()()23f f <；当13m =-时，()56f x x =在()0,+∞上单调递增，满足()()23f f <．综上，13m =-．故答案为：13-．13．37,6⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【详解】令t x y =+，则223412062x y x y xy t t t +⎛⎫++=≤⇒--≥⇒≥ ⎪⎝⎭，()21()10, x y a x y a t t+-++≥∴≤+ 在6t ≥恒成立，1y t t =+ 在[)6,+∞单调递增，min1376t t ⎛⎫∴+=⎪⎝⎭，37,6a ⎛⎤∴∈-∞ ⎥⎝⎦，故答案为：37,6⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦．14．()()150,11,22,7⎛⎫⎪⎝⎭【详解】由()0f x =，得2log x m =或15477x m -=，函数()f x 在(]0,8上有3个零点，当且仅当直线y m =与函数2log y x =及15477xy =-在(]0,8内的图象有3个交点，函数2log y x =在(]0,1上单调递减，函数值集合为[)0,+∞，在[]1,8上单调递增，函数值集合为[]0,3，函数15477x y =-在(]0,1上单调递减，函数值集合为1715,77⎡⎫-⎪⎢⎣⎭，显然直线15477x y =-与2log y x =的图象交于点1,24⎛⎫⎪⎝⎭和()2,1，在坐标系内作出直线y m =和函数2log y x =及15477xy =-在(]0,8内的图象，如图，观察图象知，当1507x <<，且1m ≠且2m ≠时，直线y m =与函数2log y x =及15477xy =-在(]0,8内的图象有3个交点，所以m 的取值范围是()()150,11,22,7⎛⎫ ⎪⎝⎭ ．故答案为：()()150,11,22,7⎛⎫⎪⎝⎭15．（1）9（2）196（1）原式()1231122333443134(2)22(2)47ππ-⎡⎤⎛⎫⎡⎤=-++-+⨯+-⎢⎥ ⎪⎣⎦⎝⎭⎢⎥⎣⎦()131244134(2)22247ππ-⎛⎫=-++-+⨯+- ⎪⎝⎭1374944=++=．（2）()2log 31431lg25lg2log 9log 822-++-⨯+-23log 2lg9lg814lg5lg22lg4lg33=++-⨯+-2lg33lg2314lg102lg2lg323=+-⨯+-3141323=+-+-196=．16．（1）()22sin 21;0,,,663f x x ππππ⎛⎫⎡⎤⎡⎤=+- ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦（2）3π【详解】（1）()22cos cos f x x x x aωωω=++cos212sin 216x x a x a πωωω⎛⎫=+++=+++ ⎪⎝⎭，31a +=，解得2;22T a π=-=，即22T ππω==，解得1ω=；()2sin 216f x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭；令222262k x k πππππ-+≤+≤+，得,Z 36k x k k ππππ-+≤≤+∈所以函数()f x 的单调递增区间为(),36k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；所以()f x 在[]0,π的单调递增区间为20,,,63πππ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦（2）将函数()f x 图象上的点纵坐标不变，横坐标变为原来的12，得到2sin 416y x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的图象，再向右平移12π单位，得到函数2sin 412sin 411266y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+-=-- ⎪ ⎢⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象，即()2sin 416g x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭；因为[]0,x m ∈，所以4,4666x m πππ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦，因为()g x 在区间[]0,m 上的最小值为()0g ，所以74660m m ππ⎧-≤⎪⎨⎪>⎩，解得03m π<≤．所以m 的最大值为3π．17．（1）50（2）74π【详解】（1）1,0,sin sin,,0210266πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫∈-=->-=-∴∈-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭cos10α∴===，2124cos212sin12525αα∴=-=-=，7sin22sin cos25ααα==-，247cos2cos2cos sin2sin44425225250πππααα⎛⎫∴+=-=⨯+⨯⎪⎝⎭；（2）()2,,tan211πβπβα⎛⎫∈-=-⎪⎝⎭，()()()21tan tan1117tan tan211tan tan31117βααββααβαα⎛⎫⎛⎫-+-⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭=-+===---⎛⎫⎛⎫--⨯-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1355tan tan,3366ππββπ⎛⎫=->-=∴∈ ⎪⎝⎭，由倍角公式得222tan33tan211tan419βββ-===---，由（1）得1cos,tan107αα=∴=-，()13tan tan274tan21131tan tan2174αβαβαβ--+∴+===--⎛⎫⎛⎫---⎪⎪⎝⎭⎝⎭，21,0,sin sin,,0210266πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫∈-=->-=-∴∈-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭372,2,224ππαβπαβ⎛⎫∴+∈∴+=⎪⎝⎭．18．（1）上课10分钟后，学生的接受能力最强，能维持10分钟19．（2）老师不能及时在学生处于所需接受能力的状态下讲授完这道题【详解】（1）解：由题知()20.1 2.838f x x x=++在(]0,10上单调递增，所以()max ()1056f x f ==又(]10,20x ∈时，()56f x =()296f x x =-+在(]20,40x ∈上单调递减，()(]16,56f x ∈，所以上课10分钟后，学生的接受能力最强，能维持10分钟．（2）当(]0,10x ∈时，令()54f x ≥，即20.1 2.83854x x -++≥，化简得2281600x x -+≤，解得820x ≤≤，又(]0,10x ∈，所以810x ≤≤，此时有效时间为2分钟当(]10,20x ∈时，()56f x =，有效时间为10分钟，当(]20,40x ∈时，令()54f x ≥，解得2021x <≤，有效时间为1分钟，由于讲授时间需15分钟，但有效时间210113++=分钟，1315<，所以老师不能及时在学生处于所需接受能力的状态下讲授完这道题．19．（1）3个（2）max 5115,2()563,2a a F x a a ⎧-≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩（3）4,5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【详解】（1）如图，由翻折变换分别作出函数22x y =-与函数2log 1y x =+的图象，因为两函数图象有3个不同的交点，所以方程()()f x g x =的解的个数3；（2）()()()22[]2F x f x af x =-+()222log 21log 3x a x a =+-+-，令][2log ,2,4,1,2t x x t ⎡⎤=∈∴∈⎣⎦，()F x 化为()()2213p t t a t a=+-+-()22[1]2t a a a =---++则函数()p t 的图象开口向上，且对称轴为1t a =-，当312a -≤即52a ≤时，()max max ()()2115F x p t p a ===-；当312a ->即52a >时，()max max ()()163F x p t p a ===-，max 5115,2();563,2a a F x a a ⎧-≤⎪⎪∴=⎨⎪->⎪⎩（3）()()()2log 12222x h x g f x x +==-=-，令(),(0)m g x m =>，()()()11222y h g x g x m =-=-=-，()32324141b b y b b m g x ++=--=--，令32241b m b m +-=--，即()214320m b m b -+++=①，函数()22x m gx ==-的图象如图，因为函数1(|()|)12y h g x =-的图象与函数3241|()|b y b g x +=--的图象有3个不同的交点，所以①式有2个不等的实根，且一根在(0,2)内，另一根为0或在[2,)+∞内；因为0m ≠所以方程①的两根一根在(0,2)内，另一根在[2,)+∞内．设2()(14)32m m b m b ϕ=-+++，当一根在(0,2)内，另一根在(2,)+∞内时，由(0)0(2)0ϕϕ>⎧⎨<⎩，即320450b b +>⎧⎨-<⎩，解得45b >；当一根为2时，由(2)0ϕ=解得45b =，验证：此时方程①为22122055m m -+=，解得2m =或11(0,2)5m =∉，故不合题意，舍去；综上所述，b 的取值范围是4,5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭．。

浙江四校2024年高一10月联考数学试题+答案

2024学年第一学期高一年级10月四校联考数学学科试题卷命题人：浦江中学徐德荣校对人：浦江中学于杭君考生须知：1.本卷满分150分，考试时间120分钟；2.答题前，在答题卷指定区域填写班级､姓名､考场､座位号及准考证号（填涂）；3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效；一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}1,2,3,4,5,9,A BxA ==，则()AA B ∩= （） A.{}2,3,5 B.{}3,4,9 C.{}1,4,9 D.{}1,2,3 2.如图，已知全集U =R ，集合{}{}1,2,3,4,5,12A B xx ==−≤≤∣，则图中阴影部分表示的集合的子集个数为（）A.3B.4C.7D.83.已知,x y ∈R ，则“0xy =”是“220x y +=”的（） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.已知0,0a b a +><，那么,,,a b a b −−的大小关系是（） A.b a b a >−>−> B.a b a b >−>−> C.b a a b >−>>− D.a b a b >>−>−5.命题“230,x x x ∃>>”的否定是（） A.230,x x x ∀>> B.230,x x x ∀>≤ C.230,x x x ∀≤≤ D.230,x x x ∃>≤6.若命题“[]21,3,20x x x a ∃∈−−−≤”为真命题，则实数a 可取的最小整数值是（）A.1−B.0C.1D.37.已知关于x 不等式()()20x ax b x c−+≥−的解集为(](],21,2∞−−∪，则（）A.2c =B.点(),a b 在第二象限C.22y ax bx a +−的最大值为3aD.关于x 的不等式20ax ax b +−≥的解集为[]2,1−8.若数集{}()1212,,,1,2n n A a a a a a a n =≤<<<≥ 具有性质P ：对任意的,(1),i j i j i j n a a ≤<≤与j ia a 中至少有一个属于A ，则称集合A 为“权集”，则（）A.“权集”中一定有1B.{}1,2,3,6为“权集”C.{}1,2,3,4,6,12为“权集”D.{}1,3,4为“权集”二､多选题：本题3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选的得0分.9.中国古代重要的数学著作《孙子算经》下卷有题：“今有物，不知其数.三三数之，剩二.五五数之，剩三；七七数之，剩二.问：物几何？”现有如下表示：已知{}*32,A xx n n ==+∈N ∣，{}{}**53,,72,B xx n n C xx n n ==+∈==+∈N N ∣∣，若()x A B C ∈∩∩，则下列选项中符合题意的整数x 为（）A.23B.133C.233D.33310.根据不等式的有关知识，下列日常生活中的说法正确的是（）A.自来水管的横截面制成圆形而不是正方形，原因是：圆的面积大于与它具有相同周长的正方形的面积.B.购买同一种物品，可以用两种不同的策略.第一种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量一定；第二种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱数一定.用第一种方式购买比较经济.C.某工厂第一年的产量为A ，第二年的增长率为a ，第三年的增长率为b ，则这两年的平均增长率等于2a b+. D.金店使用一架两臂不等长的天平称黄金.一位顾客到店内购买20g 黄金，店员先将10g 的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中，使天平平衡；再将10g 的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中，使得天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客.记顾客实际购得的黄金为g x ，则20x >.11.若正实数,x y 满足21x y +=，则下列说法正确的是（）A.xy 有最大值为18B.14x y+有最小值为6+ C.224x y +有最小值为12 D.()1x y +有最大值为12三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.某学校举办秋季运动会时，高一某班共有24名同学参加比赛，有12人参加游泳比赛，有9人参加田赛，有13人参加径赛，同时参加游泳比赛和田赛的有3人，同时参加游泳比赛和径赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，借助韦恩图，可知同时参加田赛和径赛的有__________人.13.甲､乙两地相距1000千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成.可变部分与速度x （千米/时）的平方成正比，比例系数为2，固定部分为5000元.为使全程运输成本最小，汽车的速度是__________千米/时. 14.若一个三角形的三边长分别为,,a b c ，记()12p a b c =++，则此三角形面积S ，这是著名的海伦公式.已知ABC 的周长为9,2c =，则ABC 的面积的最大值为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答题应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（本题满分13分）用篱笆在一块靠墙的空地围一个面积为2的等腰梯形菜园，如图所示，用墙的一部分做下底AD ，用篱笆做两腰及上底，且腰与墙成60 ，当等腰梯形的腰长为多少时，所用篱笆的长度最小？并求出所用篱笆长度的最小值.16.（本题满分15分）已知集合{}215A xx =−≤−≤∣､集合{}()121B x m x m m =+≤≤−∈R ∣. （1）若4m =，求()A B ∪R ；（2）设命题:p x A ∈；命题:q x B ∈，若命题p 是命题q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围 17.（本题满分15分）如图，ABDC 为梯形，其中,AB a CD b ==，设O 为对角线的交点.GH 表示平行于两底且与它们等距离的线段（即梯形的中位线），KL 表示平行于两底且使梯形ABLK 与梯形KLDC 相似的线段，EF 表示平行于两底且过点O 的线段，MN 表示平行于两底且将梯形ABDC 分为面积相等的两个梯形的线段.试研究线段,,,GH KL EF MN与代数式2112a b a b++之间的关系，并据此推测它们之间的一个大小关系.你能用基本不等式证明所得到的猜测吗？18.（本题满分17分）已知二次函数22y ax x c =++（1）若0y >的解集为{23}xx −<<∣，解关于x 的不等式220x ax c +−<；（2）若a c >且1ac =，求22a ca c+−的最小值；（3）若2a <，且对任意x ∈R ，不等式0y ≥恒成立，求442a c a++−的最小值.19.（本题满分17分）已知集合A 为非空数集，定义：{},,S x x a b a b A ==+∈∣，{|,,}T x x a b a b A ==−∈（实数,a b 可以相同）（1）若集合{}2,5A =，直接写出集合S T ､；（2）若集合{}12341234,,,,A x x x x x x x x =<<<，且T A =，求证：1423x x x x +=+；（3）若集合{}02021,,A x x x S T ⊆≤≤∈∩=∅N ，记A 为集合A 中元素的个数，求A 的最大值.2024学年第一学期高一年级10月四校联考数学学科参考答案一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 2 3 4 5 6 7 8 ADBCBADB二､多选题：本题3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选的得0分.14.由海伦公式及基本不等式求解即：9,22pc AB ===，则a b +=周长927c −=−=，故()()()2972;p a p b p a b S −+−=−+=−= 99222a b−+− ==≤= 等号成立时，9922a b −=−，即72a b == 15.设()()m 0AB a a =>，上底()()m 0BC b b =>，分别过点,B C 作下底的垂线，垂足分别为,E F，则,2a BE AE DF ===，则下底22a aAD b a b =++=+，该等腰梯形的面积())22b a b S a b a ++==+=，所以()2300a b a +=，则30022ab a =−，所用篱笆长为300300322302222a a l a b a a a ++−+≥，当且仅当300322aa =，即()()10m ,10m ab =时取等号.所以，当等腰梯形的腰长为10m 时，所用篱笆长度最小，其最小值为30m . 16.（1）由题意可知{}{}21516A xx x x =−≤−≤=−≤≤∣∣，若{}()4,57,{1,7}m B xx A B x x x ==≤≤∪=<−>R ∣∣ .（2）命题p 是命题q 的必要不充分条件，∴集合B 是集合A .真子集，当B =∅时，121m m +>−，解得2m <，当B ≠∅时，12111216m m m m +≤−+≥− −≤（等号不能同时成立），解得722m ≤≤，综上所述，实数m 的取值范围为7,2∞ −17.因为GH 是梯形ABDC 的中位线，所以22AB CD a bGH++==；因为梯形ABLK 与梯形KLDC 相似，所以AB KL KL CD=，所以KL；因为,AEO ACD DOF DAB ∽∽，所以,OE OA OF OD b DA a AD ==，所以1OE OF b a+=，所以 111OE OF a b==+，所以211EF a b=+，设梯形,MNDC ABNMABDC 的面积分别为12,,S S S ，高分别为12,,h h h ，则()()()121211,22S S S a b h b MN h a MN h ==+=+=+，所以()()1122a b h a b h h a MN b MN+++=++，所以()11112a b a MN b MN ++= ++ ，所以MN =由图可知，EF KL GH MN <<<，即2112a b a b+<<<+证明：显然2112a ba b +><+因为222a b ab +>，所以()2222()a b a b+>+<，所以2112a b a b+<<<+18.（1）由已知220ax x c ++>的解集为{23}x x −<<∣，且0a <，所以2,3−是方程220ax x c ++=的解，所以()223,23ca a−+=−−×=，所以2,12a c =−=，所以不等式220x ax c +−<可化为24120x x −−<，所以26x −<<，故不等式220x ax c +−<的解集为{26}xx −<<∣ （2）因为1ac =，所以()222()22a c a c ac a c a c a c a c+−+==−+−−− 因为a c >，所以0a c −>，由基本不等式可得()222a c a c a c a c+=−+≥−−当且仅当1a cac −=时等号成立，即当且仅当ac 所以22a c a c+−的最小值为；（3）因为对任意x ∈R ，不等式220ax x c ++≥恒成立，所以0,440a ac >−≤，所以2444411440,1,22211c a c a a a a a ac a a a++++++>≥=≥−−−，令21t a =−，则20,1t t a >=+，所以()2(1)211444482t t a c t a t t++++++≥=++≥−，当且仅当23,1ac a==时等号成立，即当且仅当23,32a c ==时等号成立，所以442a c a++−的最小值为8. 19.（1）因为集合{}{}2,5,,,,{|,,}A S x x a b a b A T x x a b a b A ===+∈==−∈∣，所以由224,257,5510+=+=+=，可得{}4,7,10S =，220,550,253−=−=−=，可得{}0,3T =. （2）由于集合{}12341234,,,,A x x x x x x x x =<<<，则T 集合的元素在2131413242430,,,,,,x x x x x x x x x x x x −−−−−−中，且2131414342410,x x x x x x x x x x x x <−<−<−−<−<−，而A T =，故A 中最大元素4x 必在T 中，而41x x −为7个元素中的最大者，故441x x x =−即10x =，故{}2340,,,A x x x =，故T 中的4个元素为2340,,,x x x ，且324243,,x x x x x x −−−与234,,x x x 重复，而3230x x x <−<，故322x x x −=即322x x =，而4340x x x <−<，故4340x x x <−<，故432x x x −=或433x x x −=，若43224x x x ==，则{}2222220,,2,4,43A x x x x x x T =−=∉，与题设矛盾；故432x x x −=即4132x x x x +=+（3）设{}12,,k A a a a = 满足题意，其中12k a a a <<< ，则11213123122k k k k k k a a a a a a a a a a a a a a −<+<+<<+<+<+<<+< ， 112131121,,k S k a a a a a a a a T k ∴≥−−<−<−<<−∴≥S T ∩=∅ ，由容斥原理31,S T S T k S T ∪=+≥−∪中最小的元素为0，最大的元素为2k a ，()21,312140431,k k S T a k a k k ∪≤+∴−≤+≤≥∈N ，即314043,1348k k −≤∴≤.实际上当{}674,675,676,2021A = 时满足题意，证明如下：设{},1,2,,2021,A m m m m =++∈N ，则{}2,21,22,,4042S m m m =++ ，{}0,1,2,,2021Tm − ，依题意有20212m m −<，即2673,3m >故m 的最小值为674，于是当674m =时，A 中元素最多，即{}674,675,676,,2021A = 时满足题意，综上所述，集合A 中元素的个数的最大值是1348.。

浙江2024年高一3月四校联考数学试题+答案

2023学年第二学期高一年级四校联考数学学科试题卷考生须知：1．本卷满分150分，考试时间120分钟；2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场、座位号及准考证号（填涂）； 3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效；第Ⅰ卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{1,2,3,4}A =，{1,2,3,4,6}A B = ，{2,4}A B = ，则B =（） A ．{1,2,4}B ．{2,3,4}C ．{2,4,6}D ．{1,4,6}2．设()11,a x y =，()22,b x y = ，则“1212y y x x =”是“//a b ”的（）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充分必要条件D ．非充分非必要条件3．已知向量(3,4)a = ，(2,)b m − ，(2,1)c =− ，若()a b c −⊥，则m =（） A ．6− B ．2− C ．6 D ．1324．在四边形ABCD 中，O 为任意一点，若0OA OB OC OD −+−=，则（）A ．四边形ABCD 是矩形B ．四边形ABCD 是菱形C ．四边形ABCD 是正方形D ．四边形ABCD 是平行四边形5．在ABC △中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（） A ．4a =，5b =，6c =B．a =2b =，45A =°C ．10a =，45A =°，70B =°D ．3a =，2b =，60A=° 6．已知六边形ABCDEF 为正六边形，且AC a = ，BD b =，以下不正确的是（）A ．2133DE a b =−+B ．1133BCa b =+C ．2233AF a b =−+ D ．2433BE a b =−+ 7．鼎湖峰，矗立于浙江省缙云县仙都风景名胜区，状如春笋拔地而起，其峰顶镶嵌着一汪小湖，传说黄帝炼丹鼎坠积水成湖．白居易曾以诗赋之：“黄帝旌旗去不回，片云孤石独崔嵬．有时风激鼎湖浪，散作晴天雨点来”．某校开展数学建模活动，有建模课题组的学生选择测量鼎湖峰的高度，为此，他们设计了测量方案．如图，在山脚A 测得山顶P 得仰角为45°，沿倾斜角为15°的斜坡向上走了90米到达B 点（A ，B ，P ，Q 在同一个平面内），在B 处测得山顶P 得仰角为60°，则鼎湖峰的山高PQ 为（）米A．45B．45C．)901−D．)9018．已知点P 是ABC △所在平面内的动点，且满足(0)AB AC OP OA AB AC λλ=++> ，射线AP 与边BC 交于点D ，若2π3BAC ∠=，1AD =，则BC 的最小值为（）AB ．2C．D．二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．9．在下列各组向量中，可以作为基底的是（）A ．1(1,2)e − ，2(5,7)e =B ．1(4,5)e =−，211,54e =− C ．1(2,3)e =，2(0,0)e =D ．1(1,2)e −，2(2,1)e =10．函数2()cos 2cos 1(01)f x x x x ωωωω=+−<<的图象如图所示，则（）A ．()f x 的最小正周期为2πB ．π23yf x+是奇函数C ．πcos 6y f x x=+的图象关于直线π12x =对称 D ．若()(0)yf tx t >在[0,π]上有且仅有两个零点，则1117,66t∈11．在ABC △中，5AB AC ==，6BC =，O 为ABC △内的一点，设AO AB AC λµ=+，则下列说法正确的是（）A ．若O 为ABC △的重心，则23λµ+=B ．若O 为ABC △的外心，则2532λµ+=C ．若O 为ABC △的内心，则38λµ+=D ．若O 为ABC △的垂心，则716λµ+=第Ⅱ卷三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知向量a 与b 的夹角为30°，a =，1b = ，则a b += __________．13．在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知a b ≠，2c =，sin A =，22cos cos cos 2A BA AB −=−，则ABC △的面积是__________． 14．已知函数1π()sin sin 224f x m x x =−−+ 在π,2π2上有两个不同的零点，则满足条件的所有m 的值组成的集合是__________．四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）在平面直角坐标系中，已知点(1,2)A −−，(3,1)B ，(4,3)C −−．（1）求向量AB 在AC的投影向量的坐标；（2）求ABC △的面积． 16．（15分）已知函数()222()log log ()2f x x x =−−．（1）若()0f x <，求x 的取值范围；（2）当184x ≤≤时，求函数()f x 的值域． 17．（15分）如图，在ABC △中，D 是BC 中点，E 在边AB 上，且2BE EA =，AD 与CE 交于点O ．（1）用AB ，AC 表示AO ；（2）过点O 作直线交线段AB 于点G ，交线段AC 于点H ，且23AG AB = ，AH t AC =，求t 的值；（3）若6AB AC AO EC ⋅⋅ ，求ABAC的值．18．（17分）已知ABC △内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，cos()cos sin cos a B C a A B A −+．（1）求A 的大小；（2）若2BC =，将射线BA 和射线CA 分别绕点B ，C 顺时针旋转15°，30°，旋转后相交于点D （如图所示），且30DBC ∠=°，求AD ．19．（17分）古希腊的数学家海伦在其著作《测地术》中给出了由三角形的三边长a ，b ，c 计算三角形面积的公式：S ，这个公式常称为海伦公式．其中，1()2pa b c =++．我国南宋著名数学家秦九韶在《数书九章》中给出了由三角形的三边长a ，b ，c计算三角形面积的公式：S（1）利用“三斜求积”公式证明三角形的面积公式1sin 2S ac B =；（2）在ABC △中，8a c +=，sin tan 22cos B AA=−，求ABC △而积的最大值．2023学年第二学期高一年级3月月考数学学科参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．C2．A3．A4．D5．B6．C7．B8．C二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分．9．AD10．ACD11．ABD三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．121314．{3,−−四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本题满分13分）（1）因为(4,3)AB = ，(3,1)AC =−−，所以AB 在AC 上的投影向量为：2224(3)3(1)393,(3)(1)222AB AC AC AC AC AC⋅×−+×− ⋅=⋅=−= −+−．（2）5AB =，AC =，4(3)3(1)15AB AC ⋅=×−+×−=−，cos AB AC BAC AB AC ⋅∴∠==⋅π0,2A∈，sin BAC ∴∠115sin 5222ABC S AB AC BAC ∴=⋅⋅∠=×= △． 16．（1）设2log t x =，0x >，R t ∈，所以()222()log log 20f x x x =−−<，即220t t −−<，解得12t −<<，所以21log 2x −<<，解得142x <<，即1,42x∈；（2）由（1）得，当184x ≤≤，[2,3]t ∈−，所以函数可转化为22y t t =−−，[2,3]t ∈−，当12t =时，y 取最小值为94−，当2t =−或3t =时，y 取最大值为4，即当x =时，()f x取最小值为94f =−，当14x =或8x =时，()f x 取最大值为1(8)44f f ==，即函数()f x 的值域为9,44−． 17．（1）因为A ，O ，D 三点共线，所以AO AD λ=，()R λ∈，且E ，O ，C 三点共线，所以(1)AO AE AC µµ=+− ，其中D 是BC 中点，且2BE EA =，所以11112222(1)(1)3AO AD AB AC AB AC AO AE AC AB ACλλλλµµµµ ==+=+ =+−=+−即1231(1)2µλλµ = =− 解得12λ=，34µ=所以1144AO AB AC =+ ．（2）因为H ，O ，G 三点共线，所以(1)AO mAG m AH =+−，其中23AG AB = ，AH t AC = ，所以2(1)3m AO AB m t AC =+− ，根据平面向量基本定理可得：21341(1)4m m t = −= 即3825m t == ，所以25t =．（3整理可得：2213AC AB =，所以ABAC=18．（1）cos cos()A B C =−+，cos()cos()sin cos a B C a B C B A ∴−−+，cos cos sin sin cos cos sin sin sin cos a B C a B C a B C a B C B A ∴+−+，sin sin sin cos a B C B A ∴，即sin sin sin sin cos A B C C B A =，所以tan A =又因为(0,π)A ∈，所以π3A =．（2）在ABC △中，由正弦定理得sin sin BC ACABCBAC =∠=∠，在BCD △中，由于45BDC ∠=°，由正弦定理得sin sin BCCD DBCBDC=∠=∠，于是，在ACD △中，由余弦定理得：AD =． 19．（1）因为222cos 2c a b B ac +−=，即222cos 2c a b ac B +−=，可得12S =且(0,π)B ∈，则sin 0B >，所以1sin 2S ac B =．（2）因为2sin 2sin cos sin 222tan 21cos cos 2cos 22B B B B B B B B ===+，由题意可得sin sin 1cos 2cos B AB A=+−，即sin (2cos )sin (1cos )B A A B −=+，整理得2sin sin sin cos cos sin sin sin()sin sin B A A B A B A A B A C =++=++=+，由正弦定理可得28b a c =+=，即42a cb+=， ABC △的面积S，因为2()164a cac+≤=，当且仅当a c=时，等号成立，则S=≤ABC△面积的最大值为。

江苏省无锡市四校2022-2023学年高一下学期期中联考数学试题

(2)过点
O
的直线与边
AB
，
AC
分别交于点
E，F（图
2），设
uuur EB
=
l
uuur AE
，
uuur FC
=
m
uuur AF
．
（i）求证 2l + m 为定值；
（ii）设△AEF 的面积为 S1 ， VABC 的面积为 S2 ，求 S1 的最小值． S2
22．如图，某公园改建一个三角形池塘，∠C = 90o ， AB = 2 百米， BC =1 百米，现准备养一批观赏鱼供游客观赏.
江苏省无锡市四校 2022-2023 学年高一下学期期中联考数
学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知复数
z
=
2+i 1-i
，则
z
×
z
=
（
）
A．1
B． 3 2
C．2
D． 5 2
2．一个水平放置的平面图形，用斜二测画法画出了它的直观图，如图所示，此直观图恰好是一个边长为 2 的正方形，则原平面图形的面积为（）
分别为 3cm ， 4cm ， 5cm .
试卷第51 页，共33 页
(1)以上、下底面的内切圆为底面，挖去一个圆柱，求剩余部分几何体的体积V ；
(2)求该三棱柱的外接球的表面积与内切球的体积.
21．如图所示，在
VABC
中，
P
在线段
BC
上，满足
uuur 2BP
=
uuur PC
，
O
是线段

学年度高一上学期数学期中考试四校联考答案

参考答案一、选择题（每小题5分，共60分）1．A 2．B 3．B 4．B 5．C 6．C 7．B 8．D 9．B 10．C 11．D 12．A 二、填空题（每小题4分，共16分） 13．2314.－x 2－2x 三、解答题（共74分） 17．解：x 2－5x ＋6=0∴x =2或x =3 即A ={2，3} 2分 ∵A ∪B =A∴B 是单元素集{2}，{3}或B =∅ 5分当B ={2}时，由2a －6=0得a =3 7分当B ={3}时，由3a －6=0得a =2 9分当B =∅时，由ax －6=0得a =0 11分所以由实数a 形成的集合为C ={0，2，3} 12分 18．解：∵x 2－16＜0∴－4＜x ＜4即A ={x |－4＜x ＜4} 2分又∵x 2－4x ＋3≥0∴x ≥3或x ≤1即B ={x |x ≥3或x ≤1} 4分 ∴A ∩B ={x |－4＜x ≤1或3≤x ＜4} 6分 A ∪B =U =R 8分x x B A C U |{)(=I ≥4，或1＜x ＜3，或x ≤－4}10分}4,31,4|{)()(-≤≥=x x x x B C A C U U 或或ππY 12分19．解：原不等式等价于⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+-+-2|112|1|112|x x x x φ 2分即等价于⎩⎨⎧+≤-+-1|2|12||1||12|x x x x φ 4分即等价于⎪⎩⎪⎨⎧+≤-+-2222)1(4)12()1()12(x x x x φ 6分即⎩⎨⎧≥+-014022x x x φ 10分解得2041φπx x 或≤-故原不等式的解集为{x |2041φπx x 或≤-} 12分20．（1）证明：设x 1、x 2∈（－∞，0）且x 1＜x 2则－x 1,－x 2∈(0,+∞)且－x 1＞－x 2 3分 ∵f (x )在（0，＋∞）上为增函数∴f (－x 1)＞f (－x 2) 4分 ∵f (x )在R 上是奇函数∴)()( )()(2211x f x f x f x f -=--=- 6分 ∴)()(21x f x f --φ7分即f (x 1)＜f (x 2)∴f (x )在（－∞，0）上是增函数 8分（2）解：∵f (x )是奇函数∴1)21()21(-=-=-f f 9分 ∴原不等式f (2x +1)＞－1化为2112 )21()12(-+∴-+φφx f x f11分 ∴x ＞43-12分21．（1）∵f (x +1)=f (1－x ) ∴f (2)=f (0)=0 ∴4a +b =0 2分又∵f (x )－x =ax 2+(b －1)x =0有等根 ∴Δ=(b －1)2=0 ∴b =14分 ∴x x x f a +-=∴-=221)( 216分（2）∵2121)1(21)(2≤+--=x x f∴2n ≤21即n ≤418分∵二次函数的对称轴为x =1∴f (x )在[m ,n ]上为增函数 ∴m m m m f 221)(2=+-= n n n n f 221)(2=+-=10分又∵m ＜n ≤41∴m =－2 n =0故存在m =－2,n =0使函数f (x )的定义域为[－2，0]，值域为[－4，0] 12分22．（1）解：∵x ＞1 ∴0＜11+-x x ＜1 ∴0＜(11+-x x )2＜1即)(1x f -的定义域为（0，1）2分由1111)(+-=+-=x x y x x x f 得 ∴yy x -+=11 4分∴f (x )的反函数xx x f -+=-11)(1（0＜x ＜1） 6分（2）要使]21,41[)()()1(1对x m m x f x ---φ上的每一个x 的值都成立即)(11)1(x m m xx x --+-φ即1)1(2-+m x m φ （*）对一切x ∈]21,41[都成立即可 8分①当m =－1时，不合题意 ∴m ≠1 9分 ②当m +1＞0即m ＞－1时（*）式化为1-m x φ要使对一切x ∈]21,41[均成立，只需141-m φ ∴－1＜m ＜2311分 ③当m +1＜0即m ＜－1时，（*）式化为1-m x π要使对一切x ∈]21,41[均成立，只需121-m π 此时m 不存在 13分综合①②③可得－1＜m ＜2314分。

2023-2024学年天津市四校高一上学期期末联考数学试卷含详解

2023～2024学年度第一学期高一数学期末四校联考高一数学一、选择题（本愿共9小恩，每小题5分，共计45分、每小题有且仅有一项符合题目要求.）1.已知全集{}0,2,4,6,8,10U =，集合{}0,2,4A =，{}0,6,8B =，则()UA B ⋂=ð（）A.{}0 B.{}6,8 C.{}0,6,8 D.{}2,4,6,8 2.“π2π3x k =+，k ∈Z ”是3sin 2x =的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3.命题“所有六边形得内角和都是720︒”的否定为（）A.存在一个六边形，它的内角和是720︒B.存在一个六边形，它的内角和不是720︒C.所有不是六边形的多边内角和都不是720︒D.所有六边形的内角和都不是720︒4.近年来，人们对健康环境、生态环境的关注越来越高，因此，低碳环保、城市可持续发展已经成为各方关注的热点话题.某市对居民计费方法如下表：若某户居民本月缴纳的电费为150元，则此户居民本月的用电量为（）生活用电实行分段计电价0~200度用电量0.3元/度201~400度用电量0.6元/度401度以上用电量0.9元/度A.250度B.350度C.450度D.500度5.设0.914a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，0.84b =，4πlog sin2c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系为（）A.a b c >>B.b a c >>C.a c b>> D.b c a>>6.已知函数()f x 是定义城为R 的奇函数，当0x ≤时，()2322f x x x =++，则32f ⎛⎫⎪⎝⎭的值为（）.A.474B.474-C.234D.234-7.若将函数ππ()sin 23f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向左平移13个单位，得到函数图象解析式是（）A.πsin 2y x ⎛⎫= ⎪⎝⎭B.πsin 2y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭C.πcos 2y x ⎛⎫= ⎪⎝⎭D.πcos 2y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭8.若不等式()232911221e e x x a x x --++⎛⎫> ⎪⎝⎭对任意的()1,4x ∈恒成立，则实数a 的取值范围为（）A.(),5∞--B.(],5-∞-C.[)1,-+∞ D.(),1∞--9.音乐是用声音来表达人思想感情的一种艺术，是人类精神通过无意识计算而获得的愉悦享受.法国的数学家傅里叶说：“任何声乐都是形如‘()sin t A ωϕ+’的各项之和”，其中每一项都代表一种有适当频率和振幅的简单声音.某音乐的数学模型可以用函数()cos sin f x x x =⋅表示，则下列结论中正确的个数是（）①()f x 是周期为π的周期函数②,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦是函数()f x 的一个单调递增区间③若()()1214f x f x =-，12x x ≠，则12x x -的最小值为2π④()f x 的对称中心为,02k ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，k ∈Z A.0个B.1个C.2个D.3个二、填空题（本题共6小题，每小题5分，共计30分.）10.函数311x y a -=-（0a >且1a ≠）无论a 取何值，函数图像恒过一个定点，则定点坐标为________.11.15πlg 25lg 2sin 24++=______.12.tan 2x =，则3cos sin sin 5cos x xx x-=+________.13.若实数1a >，2b >，且满足250a b +-=，则1112a b +--的最小值为______.14.砖雕是我国古建筑雕刻中的重要艺术形式，传统砖雕精致细腻、气韵生动、极富书卷气.如图所示，一扇环形砖雕，可视为将扇形OCD 截去同心扇形OAB 所得图形，已知0.1m OA =，0.4m AD =，125AOB ∠=︒，则该扇环形砖雕的面积为________2m .15.已知函数()2ln 1,022,0x x f x x x x ⎧-≤=⎨-+>⎩若函数()()22m g x f x =-有三个零点，则实数m 的取值范围________.三、解答题（本题共5小题，共75分.解答必需写出必要的文字说明、推理过程或计算步骤，只有结果的不给分.）16.已知集合{}121A x a x a =+≤≤+，函数()23log 310y x x =--的定义域为B .（1）若集合R B C =ð，求集合C ；（2）在(1)条件下，若3a =，求()R A C ð；（3）在(1)条件下，若“x A ∈”是“x C ∈”充分不必要条件，求实数a 的取值范围.17.已知函数()23sin cos 32f x x x x =-+.（1）求函数()f x 的最小正周期及单调递减区间；（2）求函数()f x 在2π,123π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最值；（3）若π243f α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求4πcos 23α⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.18.函数()22f x ax bx =++，,a b ∈R（1）若()0f x >的解集是{|1x x <或2}x >，求实数a ，b 的值；（2）当0a =时，若()()42ff x x =-，求实数b 的值；（3）a ∈R ，若()24f =，求()28f x x <-+的解集.19.已知函数()()21,mx f x m n x n+=∈+R 是奇函数，且()()2g x f x =-一个零点为1.（1）求m ，n 的值及()f x 解析式；（2）已知函数()f x 在()0,1单调递减，()t x 在()()1,00,1-U 满足()()t x t x -=，当0x >时，()()t x f x =，若不等式()1412t a t ⎛⎫+≥- ⎪⎝⎭恒成立，求实数a 的取值范围；（3）已知函数()()()()233ln 1ln 1h x f x x x k x =--++-+⎡⎤⎣⎦的一个零点为2，求函数()h x 的其余零点.20.已知()f x ，()g x 分别为定义在上的偶函数和奇函数，且()()2xf xg x +=.（1）求()f x 和()g x 的解析式；（2）利用函数单调性的定义证明()f x 在区间[)0,∞上是增函数；（3）已知()()()2449F x f x mf x =-+，其中m 是大于1的实数，当[]20,log x m ∈时，()0F x ≥，求实数m 的取值范围.2023～2024学年度第一学期高一数学期末四校联考高一数学一、选择题（本愿共9小恩，每小题5分，共计45分、每小题有且仅有一项符合题目要求.）1.已知全集{}0,2,4,6,8,10U =，集合{}0,2,4A =，{}0,6,8B =，则()UA B ⋂=ð（）A.{}0 B.{}6,8 C.{}0,6,8 D.{}2,4,6,8【答案】B【分析】根据集合的交集和补集的运算得到结果即可.【详解】因为{}0,2,4,6,8,10U =，{}0,2,4A =所以{}6,8,10U A =ð，又{}0,6,8B =所以(){}6,8U A B ⋂=ð，故选：B 2.“π2π3x k =+，k ∈Z ”是3sin 2x =的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【分析】利用充分条件与必要条件的定义，结合三角函数的性质求解即可.【详解】若π2π3x k =+，k ∈Z ，则πsin sin 2π32x k ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，充分性成立；若sin 2x =，则π2π3x k =+或2π2π3x k =+，k ∈Z ，必要性不成立，所以“π2π3x k =+，k ∈Z ”是3sin 2x =的充分不必要条件.故选：A.3.命题“所有六边形得内角和都是720︒”的否定为（）A.存在一个六边形，它的内角和是720︒B.存在一个六边形，它的内角和不是720︒C.所有不是六边形的多边内角和都不是720︒D.所有六边形的内角和都不是720︒【答案】B【分析】根据全称量词命题的否定的知识：“改量词，否结论”即可确定正确选项.【详解】“所有六边形得内角和都是720︒”的否定为“存在一个六边形，它的内角和不是720︒”.故选：B4.近年来，人们对健康环境、生态环境的关注越来越高，因此，低碳环保、城市可持续发展已经成为各方关注的热点话题.某市对居民计费方法如下表：若某户居民本月缴纳的电费为150元，则此户居民本月的用电量为（）生活用电实行分段计电价0~200度用电量0.3元/度201~400度用电量0.6元/度401度以上用电量0.9元/度A.250度B.350度C.450度D.500度【答案】B【分析】根据题意，得到本月缴纳的电费和居民用电量的函数关系式，结合题意，列出方程，即可求解.【详解】由题意，设某户居民用电量为x 度，本月缴纳的电费为y ，可得0.3,(0,200]600.6(200),(200,400]1800.9(400),(400,)x x y x x x x ∞∈⎧⎪=+⨯-∈⎨⎪+⨯-∈+⎩，当某户居民本月缴纳的电费为150元时，可得600.6(200)150x +⨯-=，解得350x =，即居民本月的用电量为350度.故选：B.5.设0.914a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，0.84b =，4πlog sin2c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系为（）A.a b c >>B.b a c >>C.a c b >>D.b c a>>【答案】A【分析】利用指数指数函数的性质及特殊角的正弦值计算即可.【详解】易知00.9.9144a -⎛⎫= ⎪⎝⎭=，由于4x y =单调递增，所以041a b >>=，而πsin12=，所以4log 10c ==，综上c b a <<.故选：A6.已知函数()f x 是定义城为R 的奇函数，当0x ≤时，()2322f x x x =++，则32f ⎛⎫⎪⎝⎭的值为（）.A.474B.474-C.234D.234-【答案】D 【分析】由3322f f ⎛⎫⎛⎫=--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即可求解.【详解】因为函数()f x 是定义城为R 的奇函数，233332332222224f f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=--+-+=-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦故选：D7.若将函数ππ()sin 23f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向左平移13个单位，得到函数图象解析式是（）A.πsin 2y x ⎛⎫=⎪⎝⎭ B.πsin 2y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭C.πcos 2y x ⎛⎫= ⎪⎝⎭D.πcos 2y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭【答案】C【分析】利用图象平移“左加右减”的原则，直接推出平移后的函数解析式即可．【详解】将函数ππ()sin 23f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向左平移13个单位后所得到的函数图象对应的解析式为：1π1ππππ()sin ()sin cos 3233222f x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=++=+= ⎪ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭．故答案为：C ．8.若不等式()232911221e e x x a x x --++⎛⎫> ⎪⎝⎭对任意的()1,4x ∈恒成立，则实数a 的取值范围为（）A.(),5∞--B.(],5-∞-C.[)1,-+∞ D.(),1∞--【答案】A【分析】化成同底数指数幂，然后参变分离，可知a 的取值范围.【详解】因为32219(1)221e()ex x x x a +--+>，所以32219(1)22e e x x x x a +++>，32219(1)22x x x x a ∴+>++，即324(1)x x x a ->+()1,4x ∈ ，241x x a ∴->+当2x =时，24x x -有最小值4-，145a a ∴+<-⇒<-，故选：A9.音乐是用声音来表达人思想感情的一种艺术，是人类精神通过无意识计算而获得的愉悦享受.法国的数学家傅里叶说：“任何声乐都是形如‘()sin t A ωϕ+’的各项之和”，其中每一项都代表一种有适当频率和振幅的简单声音.某音乐的数学模型可以用函数()cos sin f x x x =⋅表示，则下列结论中正确的个数是（）①()f x 是周期为π的周期函数②,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦是函数()f x 的一个单调递增区间③若()()1214f x f x =-，12x x ≠，则12x x -的最小值为2π④()f x 的对称中心为,02k ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，k ∈Z A.0个 B.1个C.2个D.3个【答案】C【分析】根据三角函数性质周期及对称中心判断①④，根据单调区间及值域分别判断②③.【详解】因为()()()()πcos πsin πcos sin f x x x x x f x +=++=-=-,所以周期不是π，①错误；πππ1πππ1cos sin cos -sin -444222444222f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅=⨯=-=⋅=⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，ππ44f f ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦不是的单调递增区间，②错误；()1sin2,sin 021sin2,sin 02x x f x x x ⎧≥⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩,因为()()121,4f x f x =-设()()121122f x f x ==-，所以111222πππ,Z,π,Z 44x k k x k k ∈∈=+=-+,所以()121212ππ,Z 2x x k k k k ∈-=+--,所以12x x -的最小值为π2，③正确；()πππ22πcos 22πsin 22πcos sin 222f x k x k x k x x f x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⨯+=+⨯++⨯=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,④正确.故选：C.二、填空题（本题共6小题，每小题5分，共计30分.）10.函数311x y a -=-（0a >且1a ≠）无论a 取何值，函数图像恒过一个定点，则定点坐标为________.【答案】1(,0)3【分析】根据题意，令310x -=，求得13x =和0y =，即可求解.【详解】由函数311x y a -=-（0a >且1a ≠），令310x -=，解得13x =，则0y =，所以函数恒经过定点1(,0)3.故答案为：1(,0)3.11.15πlg 25lg 2sin 24++=______.【答案】522-【分析】根据对数的运算性质和特殊角的三角函数值可求原式的值.【详解】原式13π32522lg 5lg 2ln e sin 1224222=⨯++-=+-=.故答案为：522-.12.tan 2x =，则3cos sin sin 5cos x xx x-=+________.【答案】17【分析】应用同角三角函数关系结合齐次式求解即可.【详解】因为tan 2x =所以3cos sin 3tan 321sin 5cos tan 5257x x x x x x ---===+++.故答案为：17.13.若实数1a >，2b >，且满足250a b +-=，则1112a b +--的最小值为______.【答案】3+##3【分析】将式子变形，利用常数代换，结合基本不等式即可求得最小值.【详解】因为250a b +-=，所以()()2121a b -+-=，又实数1a >，2b >，所以10,20a b ->->所以()()()211111221221121212a b a b a b a b a b --⎛⎫⎡⎤+=+-+-=+++ ⎪⎣⎦------⎝⎭()21233312a b a b --=++≥+=+--，当且仅当()21212250a b a b a b ⎧--=⎪⎨--⎪+-=⎩，即2221a b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩时，等号成立，故答案为：3+14.砖雕是我国古建筑雕刻中的重要艺术形式，传统砖雕精致细腻、气韵生动、极富书卷气.如图所示，一扇环形砖雕，可视为将扇形OCD 截去同心扇形OAB 所得图形，已知0.1m OA =，0.4m AD =，125AOB ∠=︒，则该扇环形砖雕的面积为________2m .【答案】π12【分析】根据题意，结合扇形的面积公式，准确计算，即可求解.【详解】因为扇形OAB 的院校为π25π12518036AOB ∠=⨯=，又因为0.1m OA =，0.4m AD =，所以，该扇环形砖雕的面积为()22125ππ0.50.123612S =⨯⨯-=.故答案为：π12.15.已知函数()2ln 1,022,0x x f x x x x ⎧-≤=⎨-+>⎩若函数()()22m g x f x =-有三个零点，则实数m的取值范围________.【答案】()2,2-【分析】转化为=与22m y =的图象有3个交点，做出=的图象，结合图象可得答案.【详解】若函数()()22m g x f x =-有三个零点，则=与22m y =的图象有3个交点，()2ln 1,022,0x x f x x x x ⎧-≤=⎨-+>⎩，当0x ≤时，ln 10y x =-≥，当0x >时，()2222111y x x x =-+=-+≥，与y 轴的交点为0,2，()f x 的大致图象如下，要使=与22m y =的图象有3个交点，则2122m <<2m <<，或2m -<<.故答案为：()2,2-⋃.【点睛】关键点点睛：解题的关键点是数形结合.三、解答题（本题共5小题，共75分.解答必需写出必要的文字说明、推理过程或计算步骤，只有结果的不给分.）16.已知集合{}121A x a x a =+≤≤+，函数()23log 310y x x =--的定义域为B .（1）若集合R B C =ð，求集合C ；（2）在(1)条件下，若3a =，求()R A C ð；（3）在(1)条件下，若“x A ∈”是“x C ∈”充分不必要条件，求实数a 的取值范围.【答案】（1）{}25x x -≤≤（2）4{|}2x x -≤<（3）(,2]-∞【分析】（1）由对数函数的性质，求得集合{2B x x =<-或5}x >，结合补集的运算，即可求解；（2）当3a =时，求得R {|4A x x =<ð或7}x >，结合集合交集的运算，即可求解；（3）根据题意，得到A 是C 的真子集，分类讨论，集合集合的包含关系，列出不等式组，即可求解.【小问1详解】解：由函数23log (310)y x x =--的定义域为B ，可得23100x x -->，即(2)(5)0x x +->，解得2x <-或5x >，所以集合{2B x x =<-或5}x >，所以{}R 25B C x x ==-≤≤ð.【小问2详解】解：当3a =时，集合{|47}A x x =≤≤，可得R {|4A x x =<ð或7}x >，因为{|25}C x x =-≤≤，所以()R {|24}A C x x ⋂=-≤<ð.【小问3详解】解：若“x A ∈”是“x C ∈”的充分不必要条件，所以A 是C 的真子集，当121a a +>+时，即0a <时，此时A =∅，满足A 是C 的真子集；当A ≠∅时，则满足21121512a a a a +≥+⎧⎪+≤⎨⎪+≥-⎩且不能同时取等号，解得02a ≤≤，综上，实数a 的取值范围为(,2]-∞.17.已知函数()23sin cos 2f x x x x =-+.（1）求函数()f x 的最小正周期及单调递减区间；（2）求函数()f x 在2π,123π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最值；（3）若π243f α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求4πcos 23α⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.【答案】（1）π，单调减区间为()5π11ππ,πZ 1212k k k ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦.（2）min ()1f x =-，max ()1f x =（3）23-【分析】（1）化简函数为()πsin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，结合三角函数的图象与性质，即可求解；（2）由(1)得出函数()f x 的单调递增区间，结合π(12f -，5π()12f 和2π(3f 的值，即可求解；（3）根据题意，求得π3sin(2)62α+=，结合4ππ3πcos(2cos[(2)362αα-=+-，即可求解.【小问1详解】解：由函数()()22313sin cos 2sin cos 2cos 1222f x x x x x x x =-+=⨯--1πsin 22sin 223x x x ⎛⎫=-=- ⎝⎭，所以()f x 的最小正周期为2ππ2T ==，令ππ3π2π22π,Z 232k x k k +≤-≤+∈，可得5π11πππ,Z 1212k x k k +≤≤∈，所以()f x 的单调减区间为()5π11ππ,πZ 1212k k k ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦.【小问2详解】解：由(1)知，函数的单调递增区间为π5ππ,π,Z 1212k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，因为π2π,123x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以()f x 在π5π,1212⎡⎤-⎢⎣⎦上单调递增，在5π2π,123⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，且π()112f -=-，5π(112f =，2π(03f =，所以min ()1f x =-，max ()1f x =.【小问3详解】解：由函数()πsin 23f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，可得ππ2()sin(2463f αα+=+=，因为π4π3π(2(2632αα+--=，所以4ππ3ππ2cos(2)cos[(2]sin(2)36263ααα-=+-=-+=-.18.函数()22f x ax bx =++，,a b ∈R （1）若()0f x >的解集是{|1x x <或2}x >，求实数a ，b 的值；（2）当0a =时，若()()42f f x x =-，求实数b 的值；（3）a ∈R ，若()24f =，求()28f x x <-+的解集.【答案】（1）1a =，3b =-（2）2b =-（3）答案见解析【分析】（1）根据三个二次的关系可求参数的值.（2）先求出()()f f x ，再根据代数式恒相等可求b 的值.（3）原不等式即为2(32)60ax a x +--<，就a 不同情形分类讨论后可得不等式的解.【小问1详解】不等式220ax bx ++>的解集为{|1x x <或2}x >，0a ∴>，且220ax bx ++=的两根为11x =，22x =，3b a∴-=，22a =，1a =，3b =-.【小问2详解】()2()(2)(2)22242f f x f bx b bx b x b x =+=++=++=-，得24222b b ⎧=⎨+=-⎩，2b ∴=-.【小问3详解】(2)4220f a b =+-=，21a b ∴+=，12b a∴=-即2(32)60ax a x +--<，(3)(2)0ax x ∴+-<（1）当0a =时，2x <（2）当0a ≠时，则3(2)0a x x a +-<，①当0a >时，32x a -<<；②当0a <时，若32a -<，即32a <-时，3x a <-或2x >，若32a -=，即32a =-时，2x ≠；若32a ->，即302a -<<时，2x <或3x a >-；综上所述：当32a <-时，不等式的解集为3{|x x a <-或2}x >；当32a =-时，不等式的解集为{|2}x x ≠；当302a -<<时，不等式的解集为{|2x x <或3}x a>-；当0a =时，不等式的解集为{|2}x x <；当0a >时，不等式的解集为3{|2}x x a-<<.19.已知函数()()21,mx f x m n x n+=∈+R 是奇函数，且()()2g x f x =-一个零点为1.（1）求m ，n 的值及()f x 解析式；（2）已知函数()f x 在()0,1单调递减，()t x 在()()1,00,1-U 满足()()t x t x -=，当0x >时，()()t x f x =，若不等式()1412t a t ⎛⎫+≥- ⎪⎝⎭恒成立，求实数a 的取值范围；（3）已知函数()()()()233ln 1ln 1h x f x x x k x =--++-+⎡⎤⎣⎦的一个零点为2，求函数()h x 的其余零点.【答案】（1）1m =，0n =，1()f x x x=+（2）3111[,(,]8448a ∈---- （3）0，4.【分析】（1）根据零点和奇函数的定义，联立方程组，解得,m n 的值，得到()f x 解析式，验证()f x 的奇偶性，即可得解；（2）依题意利用偶函数和单调性可得a 满足的条件，进而可求解a 的取值范围；（3）求出()h x 的解析式，依题意求出k ，进而可得ℎ的其他零点.【小问1详解】因为函数()g x 的一个零点是1，所以()10g =⇒(1)2f =，()f x 是奇函数，所以()12f -=-，所以，()()11211121m f n m f n +⎧==⎪⎪+⎨+⎪-==-⎪-+⎩，解得10m n =⎧⎨=⎩，()211x f x x x x+==+，定义域为()(),00,∞∞-⋃+.()(),00,x ∞∞∀∈-⋃+，都有()()11f x x x f x x x ⎛⎫-=-+=-+=- ⎪-⎝⎭，所以，()f x 是奇函数，满足题意，故1m =，0n =，1()f x x x =+【小问2详解】函数()t x 满足()()t x t x -=，所以()t x 是偶函数且在(0,1)单调递减因为不等式()1412t a t ⎛⎫+≥- ⎪⎝⎭恒成立所以04111412a a ⎧<+<⎪⎨+≤⎪⎩，11102443188a a a ⎧-<<--<<⎪⎪⎨⎪-≤≤-⎪⎩或所以3111[,(,]8448a ∈---- 【小问3详解】()()21ln 1(3)h x k x x ⎛⎫=-+ ⎪-⎝⎭，因为函数ℎ的一个零点为2，所以210(23)k -=-，解得1k =.所以()()211ln 1(3)h x x x ⎛⎫=-+ ⎪-⎝⎭，令()0h x =，得2110(3)x -=-或ln(1)0x +=，解得0,2,4x =.所以函数()g x 的其余零点为0，4.20.已知()f x ，()g x 分别为定义在上的偶函数和奇函数，且()()2xf xg x +=.（1）求()f x 和()g x 的解析式；（2）利用函数单调性的定义证明()f x 在区间[)0,∞上是增函数；（3）已知()()()2449F x fx mf x =-+，其中m 是大于1的实数，当[]20,log x m ∈时，()0F x ≥，求实数m 的取值范围.【答案】（1）()()1222x x f x -=+，()()1222x x g x -=-（2）证明见解析（3）(]1,3【分析】（1）由函数奇偶性，构造方程组即可求解；（2）利用增函数的定义，结合指数函数单调性推理即得；（3）换元并求出新元的范围，转化为二次函数在闭区间上的最小值求解即可.【小问1详解】()f x ，()g x 分别为定义在上的偶函数和奇函数所以−=，()()g x g x -=-()()2x f x g x +=①，()()()()2x f x g x f x g x --+-=-=②，由①②可知，()()1222x x f x -=+，()()1222x x g x -=-【小问2详解】取120x x ∀>≥，()()()()11221211222222x x x x f x f x ---=+-+2112121212121222222222221212222x x x x x x x x x x x x x x --++--+-+--⎛⎫===- ⎪⎝⎭因为120x x >≥，所以12220x x ->，1221x x +>，121102x x +->，所以()()120f x f x ->，即()()12f x f x >，得证；【小问3详解】由已知()()()2449F x f x mf x =-+()2222244922x x x x F x m --⎛⎫⎛⎫++=⋅-⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()2222229x x x x m --=+-⋅++由(2)得()f x 在[]20,log m 上单调递增，1m ∴>，1()1,2m m f x ⎡⎤+⎢⎥∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦设122=2()2,x x t f x m m -⎡⎤=+∈+⎢⎥⎣⎦，令()2290G t t mt =-+≥0t > ，192m t t ⎛⎫∴≤+ ⎪⎝⎭，12,t m m ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦而函数192y t t ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，在[]2,3t ∈上递减，在[]3,+t ∞∈递增①当13m m +≤时，35132m +<≤<，192t t ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，显然成立即312m +<≤②当13m m +>时，352m +>，min 193323y ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，3m ∴≤即353 2m+<≤综上所述，实数m的取值范围是(]1,3.。