数学分析2009

西安交通大学2009年攻读硕士学位研究生入学考试试题
一 判断下列命题是否正确（不用说明理由，每小题3分，共30分）
1． 设()f x 在点10x R ∈的邻域有定义．如果()f x 在0x 处取得极大值，则存在
0δ>，使得()f x 在00(,)x x δ-内单调增，而在00(,)x x δ+单调减．
2． 若实数列{}n x 有上界，则lim n n x →∞
有限．
3． 若级数1
n n a ∞
=∑与1
n n b ∞
=∑都是发散的，且(1,2,)n n n a c b n ≤≤= ，则级数1
n n c ∞
=∑也
发散．
4．设{(,)}n n
a b 是一个开区间序列，11(,)(,),1,2,,n n n n a b a b n ++⊆= 且
lim()0n n n b a →∞
-=．则不存在唯一的实数1
(,)n n n a b ξ∞
=∈ ．
5． 含参变量广义积分
(,)a
f x y dx +∞
⎰
在区间[,]c d 收敛的充要条件是：
0[,],0y c d ε∀∈∀>，存在0
A a >，使得'
0,A A A ∀>，有'
|(,)|A A
f x y dx ε<⎰．
6． 当x →+∞时，函数(,)g x y 关于[,]y c d ∈一致收敛于0的充要条件：0ε∀>，存在00A >，使得当0x A >时，[,]y c d ∀∈有|(,)|g x y ε<．
7． 设I 是区间．若(,)f x y 在[,]a b I ⨯连续，则()(,)b
a F y f x y dx =⎰在I 连续．
8． 若函数()f x 在(,)a b 内可导，则'()f x 在(,)a b 内没有第一类间断点．
9． 设(,)f x y 在2R 上有定义，1y R ∀∈，()(,)x f x y ϕ=是1R 上的有界函数，
1x R ∀∈，()(,)y f x y ψ=也是1R 上的有界函数，则(,)f x y 在2R 上有界．
10． 若级数1
n n u ∞=∑收敛，则级数31
n n u ∞
=∑也收敛．
二 填空（每小题6分，共60分）
1．21
lim(ln(1))x x x x →∞-+=_________
2． 设n 是正整数，则0|sin |n x dx π
=⎰_________
3． 设yz z u xe e y -=++，则du =_________
4． 若2222(2)(2)du x xy y dx x xy y dy =+-+--，则u =_________
5． 设S 为圆柱体，222,0x y a z h +≤≤≤的侧面（取外侧为正向），则向量
a yz i zx j xy k
→
→→→
=++通过S 的流量为_________
6． 设积分沿不和y 轴相交的途径，则(1,2)
2
(2,1)
ydx xdy
x
-=⎰_________ 7． 函数0
sin ()x
t
f x dt t =⎰
关于x 的幂级数展开是_________
8． 设(,)f x y 是2R 上的连续函数，二次积分1
2
20
1
(,)(,)x
x dx f x y dy dx f x y dy
-+⎰⎰⎰⎰
交换积分次序后，得到的二次积分是_________
9． 设2
2
2
,(1,1,1),(0,1,3)u x y z A B =++-，则u 在A 点处沿AB →
方向的方向导数为
_________
10． 设L 为单位圆221x y +=，则线积分23
()L
x y ds +=⎰ _________
三 （12分）设(,)f x y 在2{(,)|0,0}D x y R x y =∈≥≥上连续，当(,)x y →∞时，
(,)f x y 的极限存在．证明：(,)f x y 在D 上是一致连续的．
四 （12分）讨论函数0
ln(1)
()x
t F x dt t
+∞+=⎰在区间(1,2)内的连续性．
五 （12分）设1
n n u ∞
=∑是正项级数，{}n a 是正数列，若11
lim()0n
n
n n n u a a u +→∞
+->，证明：级数1
n n u ∞
=∑收敛．
六 （12分）设2
||()sin ,1,2,,n x n f x e nx n -== ，讨论函数列()n f x 在1R 上的一致收敛性．
七 （12分）设2R 上的函数(,)f x y 在22{(,)|1}D x y x y =+<内连续，且
(,)u v D ∀∈∂，存在0δ>，使得f 在222((,)|()())x y x u y v δ-+-<内有界．证明：f 在__
22{(,)|1}D x y x y =+≤上是有界的．。