高三数学-【数学】广东省华附、中山附中2018届高三2018月月考(理) 精品

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2018届广东省深中、华附、省实、广雅四校联考高三理科数学(解析版)

广东省2018届高三年级四校联考理科数学第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求．1. 集合，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】．故选.2.是虚数单位，则复数在复平面上对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】C【解析】，在复平面上对应的点位于第三象限．故选.3. 若实数满足条件，则的最大值为（）A. 21B. 17C. 14D. 5【答案】B【解析】作可行域为如图所示的，其中，设，则，表示斜率为，纵截距为的直线，作直线并平移，使其经过可行域内的点，当直线过点时，取得最大值，．故选.4. 已知两个单位向量的夹角为，则的最小值为（）A. B. C. 1 D.【答案】B，所以当时，取得最小值．故选.解法2：如图，，因为，所以点在直线上运动，则，显然，当时，取得最小值，此时．故选.5. 秦九韶是我国南宋时期的数学家，在他所著的《数书九章》中提出的多项式求值的“秦九韶算法”，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法，求某多项式值的一个实例，若输入的值分别为4和2，则输出的值为（）A. 32B. 64C. 65D. 130【答案】C【解析】程序运行循环时变量值为：；；；，退出循环，输出，故选C．6. 某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为（）A. B. 1 C. D.【答案】C【解析】该几何体为三棱锥，其直观图如图所示，体积．故选.7. 已知函数，若函数为奇函数，则的值为（）A. B. C. 0 D. 2【答案】B【解析】，令，得，又，所以函数的对称中心为，所以函数的对称中心为，根据题意可得，解得，所以．故选.8. 已知函数的图象的一个对称中心为，且，则的最小值为（）A. B. 1 C. D. 2【答案】A【解析】当时，，当时，或，，两式相减，得或，，即或，，又因为，所以的最小值为．故选.解法2：直接令，得，解得．故选.9. 已知关于的方程在区间上有两个根，且，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，即，所以，作出函数的图像，由图可知，要使得方程在区间上有两个根，且，则，即．故选.10. 已知抛物线的焦点为，为坐标原点，点，，连结，分别交抛物线于点，且三点共线，则的值为（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】直线的方程为，将其代入，解得，故；直线的方程为，将其代入，解得，故，又，所以，因为三点共线，所以，即，解得．故选.11.为自然对数的底数，已知函数，则函数有唯一零点的充要条件是（）A. 或或B. 或C. 或D. 或【答案】A【解析】作出函数的图像如图所示，其中，则，设直线与曲线相切，则，即，设，则，当时，，分析可知，当时，函数有极大值也是最大值，，所以当时，有唯一解，此时直线与曲线相切．分析图形可知，当或或时，函数的图像与函数的图像只有一个交点，即函数有唯一零点．故选.【点睛】本小题主要考查分段函数的图象与性质，考查函数零点问题的处理方法，考查利用导数求相切时斜率的方法，考查数形结合的数学思想方法.首先画出函数的图象，分段函数的图象注意分界点的位置是实心的函数空心的.然后将函数的零点问题转化为两个函数图象的交点来解决.12. 在三棱锥中，，则三棱锥的外接球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】取中点，连接，则，，所以，设外接圆圆心为，半径为，则所以．同理可得：的外接圆半径也为2，因为，所以是等边三角形，，即二面角为，球心在平面上，过平面的截面如图所示，则，所以，所以，即，所以外接球的表面积．故选.【点睛】本小题主要考查几何体外接球的表面积的求法，考查三角形外心的求解方法.在解决有关几何体外接球有关的问题时，主要的解题策略是找到球心，然后通过解三角形求得半径.找球心的方法是先找到一个面的外心，再找另一个面的外心，球心就在两个外心垂线的交点位置.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13. 如图是一组数据的散点图，经最小二乘法计算，与之间的线性回归方程为，则_____________．【答案】【解析】，将代入，解得：．14. 的展开式中的系数为_____________．【答案】1【解析】，所以展开式中的系数为．15. 过双曲线右顶点且斜率为2的直线，与该双曲线的右支交于两点，则此双曲线离心率的取值范围为_____________．【答案】【解析】双曲线的渐近线方程为，根据题意可得，所以离心率，所以离心率的取值范围是．【点睛】本题主要考查双曲线的渐近线，考查离心率和的关系，考查数形结合的数学思想方法.由于题目所给过右顶点的直线和双曲线右支交于两点，转化为渐近线的斜率小于该直线的斜率.双曲线的渐近线，在图像上显示的即是函数的图象无限的接近渐近线.在双曲线中，在椭圆中.16. 如图在平面四边形中，，则四边形的面积为_____________．【答案】【解析】连接，则，此时，，所以，取中点，连接，则，，，所以．【点睛】本题考查不规则四边形面积的求法，考查余弦定理解三角形.由于四边形是不规则的，所以要将求四边形面积的问题转化为求三角形面积的问题来求解.在连接将四边形分成两个三角形后，利用余弦定理和三角形内角和定理，结合解三角形与三角形面积公式，可求得面积.三、解答题：17. 已知等差数列的前项和为，，．（1）求的值；（2）求数列的前项和．【答案】（1）1（2）【试题解析】（1）因为，代入，可得：，整理可得，因为，所以，所以数列是首项为，公差为1的等差数列，所以，当时，，当时，，因为，所以，若数列为等差数列，则有，解得．（2）由（1）可得，所以所以，即．18. 依据某地某条河流8月份的水文观测点的历史统计数据所绘制的频率分布直方图如图（甲）所示；依据当地的地质构造，得到水位与灾害等级的频率分布条形图如图（乙）所示．试估计该河流在8月份水位的中位数；（1）以此频率作为概率，试估计该河流在8月份发生1级灾害的概率；（2）该河流域某企业，在8月份，若没受1、2级灾害影响，利润为500万元；若受1级灾害影响，则亏损100万元；若受2级灾害影响则亏损1000万元．现此企业有如下三种应对方案：方案防控等级费用（单位：万元）方案一无措施0方案二防控1级灾害40方案三防控2级灾害100试问，如仅从利润考虑，该企业应选择这三种方案中的哪种方案？说明理由．【答案】（1）（2）应选方案二．【解析】【试题分析】中位数是左右两边小长方形面积为的地方.（1）由于乙图中频率分成个部分，故将水位频率和对应级灾害的频率对应起来，利用相互独立事件概率计算公式，将发生级灾害的概率计算出来.（2）分别计算方案、方案和方案对应的利润分布列及数学期望，由此判断出方案较合理. 【试题解析】（1）依据甲图，记该河流8月份“水位小于40米”为事件，“水位在40米至50米之间”为事件，“水位大于50米”为事件，它们发生的概率分别为：，．记该地8月份“水位小于40米且发生1级灾害”为事件，“水位在40米至50米之间且发生1级灾害”为事件，“水位大于50米且发生1级灾害”为事件，所以．记“该河流在8月份发生1级灾害”为事件．则．估计该河流在8月份发生1级灾害的概率为．（2）以企业利润为随机变量，选择方案一，则利润（万元）的取值为：，由（1）知．的分布列为X1500 －100 －1000P 0.81 0.155 0.035则该企业在8月份的利润期望（万元）．选择方案二，则（万元）的取值为：，由（1）知，，的分布列为：X2460 －1040P 0.965 0.035则该企业在8月份的平均利润期望（万元）选择方案三，则该企业在8月份的利润为：（万元）由于，因此企业应选方案二．19. 已知四棱锥，底面为菱形，为上的点，过的平面分别交于点，且平面．（1）证明：；（2）当为的中点，，与平面所成的角为，求二面角的余弦值．【答案】（1）见解析（2）【解析】【试题分析】（1）连结交于点，连结．根据菱形有，根据等腰三角形有，所以以平面，.利用线面平行的性质定理有，故，所以.（2）以为坐标原点建立空间直角坐标系，通过计算平面和平面的法向量来计算二面角的余弦值.【试题解析】（1）证明：连结交于点，连结．因为为菱形，所以，且为、的中点，因为，所以，因为且平面，所以平面，因为平面，所以．因为平面，平面，且平面平面，所以，所以．（2）由（1）知且，因为，且为的中点，所以，所以平面，所以与平面所成的角为，所以，所以，因为，所以．分别以，，为轴，建立如图所示空间直角坐标系，设，则，所以．记平面的法向量为，则，令，则，所以，记平面的法向量为，则，令，则，所以，记二面角的大小为，则．所以二面角的余弦值为．20. 已知椭圆的离心率为，圆与轴交于点，为椭圆上的动点，，面积最大值为．（1）求圆与椭圆的方程；（2）圆的切线交椭圆于点，求的取值范围．【答案】（1）圆的方程为，椭圆的方程为．（2）【解析】【试题分析】（1）根据离心率可有，依题意可知为椭圆的焦点，故.当位于椭圆上顶点时，面积取得最大值，由此列方程可解得的值，并求得圆和椭圆的方程.（2）当直线斜率存在时，设出直线方程为，利用圆和直线相切求得的等量关系式，利用韦达定理和弦长公式计算出弦长并利用配方法求得弦长的取值范围.当直线斜率不存在时，直线的方程为，可直接得到的坐标求出弦长.【试题解析】（1）由题意得，解得：①因为，所以，点为椭圆的焦点，所以，设，则，所以，当时，，代入①解得，所以，所以，圆的方程为，椭圆的方程为．（2）①当直线的斜率存在时，设直线的方程为，因为直线与圆相切，所以，即，联立，消去可得，，令，则，所以，所以，所以②当直线的斜率不存在时，直线的方程为，解得，综上，的取值范围是．【点睛】圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是利用几何方法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数方法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解.21. 已知函数，其中为自然对数的底数，常数．（1）求函数在区间上的零点个数；（2）函数的导数，是否存在无数个，使得为函数的极大值点？说明理由．【答案】（1）1（2）存在【解析】【试题分析】（1）对函数求导后得到函数的单调区间，利用二分法判断函数在给定区间上只有一个零点.（2）原命题等价于，存在无数个，使得成立，求得的表达式，构造为函数，利用导数证得存在负值即可.【试题解析】（1），当时，单调递减；当时，单调递增；因为，所以存在，使，且当时，，当时，．故函数在区间上有1个零点，即．（2）（法一）当时，．因为当时，；当，．由（1）知，当时，；当时，．下证：当时，，即证．，记…，所以在单调递增，由，所以存在唯一零点，使得，且时，单调递减，时，单调递增．所以当时，．……由，得当时，．故．当时，单调递增；当时，单调递减．所以存在，使得为的极大值点．（2）（法二）因为当时，；当，．由（1）知，当时，；当时，．所以存在无数个，使得为函数的极大值点，即存在无数个，使得成立，①…由（1），问题①等价于，存在无数个，使得成立，因为，记…因为，当时，，所以在单调递增，因为，所以存在唯一零点，使得，且当时，单调递减；当时，单调递增；所以，当时，，②…由，可得，代入②式可得，当时，，所以，必存在，使得，即对任意有解，所以对任意，函数存在极大值点为．…【点睛】本小题主要考查利用导数求解关于零点个数问题.解决含参数问题及不等式问题注意两个转化：(1)利用导数解决含有参数的单调性问题可将问题转化为不等式恒成立问题，要注意分类讨论和数形结合思想的应用．(2)将不等式的证明、方程根的个数的判定转化为函数的单调性问题处理．22. [选修4—4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系中，已知曲线与曲线（为参数，）．以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）写出曲线的极坐标方程；（2）在极坐标系中，已知点是射线与的公共点，点是与的公共点，当在区间上变化时，求的最大值．【答案】（1），（2）【解析】【试题分析】（1）对于曲线直接代入公式即可得到极坐标方程，对于先消去参数转化为直角坐标方程，再代入公式得到极坐标方程.（2）利用极坐标表示，然后利用辅助角公式化简求得最大值.【试题解析】（1）曲线的极坐标方程为，即．曲线的普通方程为，即，所以曲线的极坐标方程为．（2）由（1）知，…由知，当，即时，有最大值．…23. [选修4—5：不等式选讲]已知函数，其中．（1）当时，求不等式的解集；（2）若存在，使得，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【试题分析】（1）利用零点分段法去绝对值，将变为分段函数来求解不等式.（2）利用绝对值不等式的性质求得的最小值为，且，由解求的的取值范围.【试题解析】（1）当时，，所以或或，解得或，因此不等式的解集的（2），且，所以，所以存在，使得，等价于，所以，解得，所以实数的取值范围是…。

2018深中、华附、省实、广雅四校联考理科数学答案(最终成稿)

P( B) P( A1B 1) P( A 2 B 2) P( A 3 B 3) P( A1) P( B 1) P( A 2) P( B 2) P( A 3) P( B 3)
0.65 0.10 0.30 0.20 0.05 0.60 0.155 .
当 n 2 ， an Sn Sn1 2n 2
3 ，………………………… ， a1 ，……………………………………………………………………………7 分因为， an1 an 2 ，所以，若数列 {an } 为等差数列，则有 a2 a1 2
三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17~21 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：60 分. 17．（本小题满分 12 分）［解析］（I）因为 an1 Sn1 Sn ，代入 an 1 2 Sn 1 可得： Sn1 Sn 2 Sn 1 ， ………………………………………………………………………………………2 分
………………………………………………………………………………………12 分
18．（本小题满分 12 分）［解析］（I）依据甲图,记该河流 8 月份“水位小于 40 米”为事件 A 1 , “水位在 40 米至 50 米之间” 为事件 A 2 , “水位大于 50 米” 为事件 A 3 ，它们发生的概率分别为：
2 整理可得 Sn1 ( Sn 1) ，因为 Sn 0 ，所以 Sn1 Sn 1 ，……………………3 分
所以数列 { Sn } 是首项为，公差为 1 的等差数列，……………………………………4 分所以 Sn

【全国百强校】广东省华南师范大学附属中学2018届高三综合测试(三)数学(理科)答案

y

2
3z a
0
y
0
，
令 y 3a ，则 x 3 a 2 , z a ，∴ n 3 a 2 , 3a, a
∵二面角 P D F A 为 60,
∴ cos
n,
CE

n n

CE CE

4a 3
1 ，解得 a 2
所以动点P的轨迹方程E： x2 y2 1。 ………......4分 43
(2)证明：设 P 点坐标为 m, n n 0 ，则 Q 点的坐标为 m , n ，且 3m2 4n2 12，
所以直线 QA
:
y

4
n
m

x

4
，即
nx
(4 m) y
4n
所以数列{an}是首项是 2，公比为 2 的等比数列，则 an=2n ……6 分
（2）由（1）知，bn=n,
1 所以
bnbn2

1 n(n 2)

1 2
(
1 n

n
1
) 2
,则数列{
1 bn bn 2
}的前
n
项和
Tn=
1 2
[(1

1) 3

(1 2

1) 4

(1 3

1) 5

( n
12 3 a 22 3a2 a2 2
3
∴ P 点靠近 B 点的 CB 的三等分点处。 ………………. ………………. 12 分
2
20.(1)由题意得，F 点坐标为(1,0)，因为 P 为CF’中垂线上的点，所以 PF ' PC ，

广东省广州市华南师范大学附属中学2018届高三综合测试(二)数学(理)试题含答案

广东省广州市华南师范大学附属中学2018届高三综合测试（二）理科数学试卷第Ⅰ卷(共60分）一、选择题:本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合}1|{<=x x A ，}13|{<=xx B ，则（ )A ．}0|{<=x xB A B ．R B A =C ．}1|{>=x x B AD ．∅=B A2．=++i i13（）A ．i 21+B ．i 21-C ．i +2D ．i -2 3．已知点)3,1(A ，)33,1(-=B ,则直线AB 的倾斜角是（）A ．060B ．030C ．0120 D ．01504．设R ∈θ,则“12|12|ππθ<-”是“21sin <θ”的（)A ．充分但不必要条件B ．必要但不充分条件C ．即不充分也不必要条件D ．充要条件5．为了得到函数)521sin(3π-=x 的图象，只要把xy 21sin 3=上所有点( ）A ．向右平移5π个单位长度B ．向左平移5π个单位长度 C ．向右平移52π个单位长度D ．向左平移52π个单位长度6．设1>k ,则关于y x ,的方程1)1(222-=+-k y x k 所表示的曲线是( ）A ．长轴在x 轴上的椭圆B ．长轴在y 轴上的椭圆C ．实轴在在x 轴上的双曲线D ．实轴在在y 轴上的双曲线7．若2-=x 是函数12)1()(--+=x e ax x x f 的极值点，则)(x f 的极小值为（）A ．1-B ．32--e C ．35-e D ．18．已知函数)sin()(ϕ-=x x f ，且⎰=320)(πdx x f ，则函数)(x f 的图象的一条对称轴是（ ) A ．65π=x B ．127π=x C ．3π=x D ．6π=x9．若直线b x y +=与曲线243x x y --=有公共点，则b 的取值范围是( ） A ．]221,221[+- B ．]3,221[-C ．]221,1[+-D ．]3,221[-10．已知奇函数)(x f 在R 上是增函数，)()(x xf x g =。

【名师推荐】广东省华南师范大学附属中学2018届高三上学期第一次月考数学(理)试题(精品解析)

华南师大附中2018届高三综合测试（一）数学（理科）本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试时间120分钟．1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名和考生号、试室号、座位号等填写在答题卡上，并用2B铅笔在答题卡上的相应位置填涂考生号．2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．3．回答第Ⅱ卷时，用黑色钢笔或签字笔将答案写在答卷上．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知，，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】分别求出集合与中不等式的解集，确定两个结合，求出两个集合的交集即可．【详解】由题意，集合或，集合，所以，故选C．【点睛】本题主要考查了集合中交集的运算，其中熟记集合的运算和集合交集的运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．2.设，且，则是的（）A. 充分但不必要条件B. 必要但不充分条件C. 既不充分也不必要条件D. 充要条件【答案】C【解析】【详解】由题意，当，则，所以充分性不成立，又满足时，理如，此时不成立，所以必要性不成立，所以“”是“”既不充分也不必要条件，故选C．【点睛】本题主要考查了充要条件的判定问题，其中解答中熟记充要条件的判定方法，也采用特例法是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题．3.函数与在同一直角坐标系下的图象大致是（）【答案】选C．【解析】注意的图象是由的图象右移1而得．本题考查函数图象的平移法则．4.设命题，使得，则为（）A. ，使得B. ，使得C. ，使得D. ，使得【答案】A【解析】【详解】由题意，根据命题的否定的概念，可知命题“，使得”，则为“，使得”，故选A．【点睛】本题主要考查了命题的否定的概念，其中熟记全称命题和存在性命题的互为否定的关系是书写全称命题否定的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题．5.把的图像向左平移个单位，再把所得图像上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍，而纵坐标保持不变，所得的图像的解析式为（）A. B.C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据三角函数的图象变换，即可得到图象变换后的三角函数的解析式，得到答案．【详解】由题意，把的图像向左平移个单位，得，再把所得图像上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍，而纵坐标保持不变，所得的图像的解析式为，故选B．【点睛】本题主要考查了利用三角函数的图象变换求三角函数的解析式，其中解答中熟记三角函数的图象变换是解答此类问题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．6.设，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用指数函数与对数函数的图象与性质，即可得到答案．【详解】由题意，，所以，故选C．【点睛】本题主要考查了利用函数的性质比较大小问题，其中熟记指数函数和对数函数的图象与性质是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，以及分析问题和解答问题的能力，属于基础题．7. 函数f(x)=|x-2|-lnx在定义域内零点的个数为()A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】C【解析】分别画出函数y＝ln x(x>0)和y＝|x－2|(x>0)的图像，可得2个交点，故f(x)在定义域中零点个数为2.8.已知函数的定义域是，则函数的定义域是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据题意，利用抽象函数的定义域求解方法和对数函数的性质，列出相应的不等式，即可求解．【详解】由题意，函数的定义域为，即，令，解得，又由满足且，解得且，所以函数的定义域为，故选B．【点睛】本题主要考查了函数的定义域的求解问题，其中熟记抽象函数的定义域的求解方法和对数函数的性质是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．9.给出下列命题：①正切函数图象的对称中心是唯一的；②若函数的图像关于直线对称，则这样的函数是不唯一的；③若，是第一象限角，且，则；④若是定义在上的奇函数，它的最小正周期是，则．A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】①中，由正切函数的性质可知，正切函数的对称中心是不唯一的，所以是错误的；②中，图象关于直线的函数由多个，所以是正确的；③中，如，此时，此时，所以不正确；④中，由，，所以，所以正确，【详解】由题意，①中，由正切函数的性质可知，正切函数的对称中心是不唯一的，所以是错误的；②中，图象关于直线的函数由多个，所以是正确的；③中，若是第一象限角，且，如，此时，此时，所以不正确；④中，若函数是定义在上的奇函数，它的最小正周期为，则，，所以，所以正确，故选B．【点睛】本题主要考查了命题的真假判定问题，其中解答中熟记三角函数的相关知识，逐个判定是解答的关键，解答时要认真审题，注意函数性质的合理运用，着重考查了推理与论证能力，属于中档试题．10.函数是定义域为的非常值函数，且对任意，有，，则是（）A. 奇函数但非偶函数B. 偶函数但非奇函数C. 奇函数又是偶函数D. 非奇非偶函数【答案】B【解析】【分析】根据，可以确定函数额对称性，再根据，可以确定函数的周期，结合函数的奇偶性的定义，即可判断得到答案．【详解】由题意，因为，所以函数的对称轴为，又，所以，所以函数的周期为，∴是函数的对称轴，所以为偶函数，又∵在R上不是常数函数，所以不恒为0，所以是偶函数但不是奇函数，故选B．【点睛】本题主要考查了抽象函数的应用，以及函数的奇偶性与对称性、周期性的关系，函数的奇偶性可以利用定义判定，也可以利用函数的图象的对称性进行判定，同时主语既是奇函数又是偶函数的函数必为函数，着重考查了推理与论证能力，属于基础题．11.已知函数的定义域为，若在上为增函数，则称为“一阶比增函数”；若在上为增函数，则称为“二阶比增函数”。

广东省华南师范大学附属中学2017-2018学年高三综合测试(一)(即月考)数学(理)试题 Word版含答案

2017-2018学年数学（理科）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集{}|2U x N x =∈≥，集合{}2|5A x N x =∈≥，则U C A （）A ．∅B ．{}2C ．{}5D ．{}2,5 2.命题“()0,10x x x ∀>->”的否定是（）A ．()0,10x x x ∀>-≤B ．0,01x x ∀<≤≤C ．()0,10x x x ∃>-≤D ．0,01x x ∃>≤≤3.设248log 3,log 6log 9a b ===，则下列关系中正确的是（） A ．a b c >> B ．c a b >> C ．c b a >> D ．a c b >>4.设x R ∈，则“12x >”是“2210x x +->”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件5.已知()()1,41,42x f x x f x x ⎧+<⎪=⎨⎛⎫≥⎪ ⎪⎝⎭⎩，则()2log 3f =（）A ．112 B ．124 C ．14 D ．126.由曲线y =，直线2y x =-+及x 轴所围成图形的面积是（）A ．103 B ．4 C ．76D ．6 7.已知函数()()20.5log 3f x x ax a =-+在[)2,+∞单调递减，则a 的取值范围是（）A ．(],4-∞B ．[)4,+∞C ．[]4,4-D ．(]4,4- 8.函数()21log f x x =+与()12xg x -=在同一直角坐标系下的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．9.已知()1f x +在偶函数，且()f x 在[)1,+∞单调递减，若()20f =，则()0f x >的解集为（）A ．()1,1-B ．()0,1C ．()1,2D ．()0,2 10.已知函数()sin f x x x =，则()1113f f f ππ⎛⎫⎛⎫--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭、、的大小关系为（） A ．()1311f f f ππ⎛⎫⎛⎫->-> ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ B ．()1311f f f ππ⎛⎫⎛⎫->-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ C ．()1113f f f ππ⎛⎫⎛⎫>->-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．()1311f f f ππ⎛⎫⎛⎫->>- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11.下列命题中是假命题的是（）A ．m R ∃∈，使()()2431mm f x m x-+=-是幂函数，且在()0,+∞上递减B ．函数()()21lg 14f x x a x a ⎡⎤=++-+⎢⎥⎣⎦的值域为R ，则60a a ≤-≥或C ．关于x 的方程2210ax x ++=至少有一个负根的弃要条件是1a ≤ D ．函数()y f a x =+与函数()y f a x =-的图像关于直线x a =对称 12.已知函数()f x 是定义在R 上的以4为周期的函数，当(]1,3x ∈-时，()(]()(]1,112,1,3x f x t x x ⎧∈-⎪=⎨--∈⎪⎩，其中0t >．若函数()15f x y x =-的零点个数是5，则t 的取值范围为（） A ．2,15⎛⎫⎪⎝⎭ B ．26,55⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．61,5⎛⎫⎪⎝⎭D ．()1,+∞ 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.函数2y =的定义域为____________．14.已知集合{}{}|10,1,1A x ax B =+==-，若A B A =，则实数a 的所有可能取值的集合为____________． 15.若25abm ==，且112a b+=，则m =__________． 16.过函数()32325f x x x x =-++图像上一个动点作函数的切线，则切线倾斜角的范围是__________．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分10分）已知集合{}{}2|3327,|log 1xA xB x x =≤≤=>．（1）分别求(),R AB C B A ；（2）已知集合{}|1C x x a =<<，若C A ⊆，求实数a 的取值集合． 18.（本小题满分12分）已知:p 实数x 满足22430x ax a -+<，其中0;:a q >实数x 满足23x <≤．（1）若1a =，且p q ∧为真，求实数x 的取值范围；（2）若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围． 19.（本小题满分12分）函数()()01xxf x ka aa a -=->≠且是定义在实数集R 上的奇函数．（1）若()10f >，试求不等式()()2240f x x f x ++->的解集；（2）若()312f =且()()222x xg x a a m f x -=+-在[)1,+∞上的最小值为-2，求m 的值． 20.（本小题满分12分）某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路．记两条相互垂直的公路为12l l 、，山区边界曲线为C ．计划修建的公路为l ，如图所示，,M N 为C 的两个端点，测得点M 到12l l 、的距离分别为5千米和40千米，点N 到12l l 、的距离分别为20千米和2.5千米，以12l l 、所在直线分别为,x y 轴，建立平面直角坐标系xOy ．假设曲线C 符合函数2ay x b=+（其中,a b 为常数）模型．（1）求,a b 的值；（2）设公路l 与曲线C 相切于P 点，P 的横坐标为t ． ①请写出公路l 长度的函数解析式()f t ，并写出其定义域； ②当t 为何值时，公路l 的长度最短？求出最短长度． 21.（本小题满分12分）已知定义为R 的函数()f x 满足下列条件：①对任意的实数,x y 都有：()()()1f x y f x f y +=+-；②当0x >时，()1f x >．（1）求()0f ；（2）求证：()f x 在R 上为增函数；（3）若()67,3f a =≤-，关于x 的不等式()()223f ax f x x -+-<对任意[)1,x ∈-+∞恒成立，求实数a 的取值范围． 22.（本小题满分12分）已知函数()ln x mf x ex +=-．（1）设1x =是函数()f x 的极值点，求m 并讨论()f x 的单调性；（2）设0x x =是函数()f x 的极值点，且()0f x ≥恒成立，求m 的取值范围（其中常数a 满足ln 1a a =）．参考答案一、选择题二、填空题13. ()2,+∞ 14. {}1,0,1-30,,24πππ⎡⎫⎡⎫⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭三、解答题：17.解：（1）∵3327x≤≤，即13333x ≤≤，∴13x ≤≤，∴{}|13A x x =≤≤，．．．．．．．．．．．2分∵2log 1x >，即22log log 2x >，∴2x >，∴{}|2B x x =>，．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分当C 为空集时，1a ≤，当C 为非集合时，可得13a <≤，综上所述3a ≤．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分18.解：（1）对:p 由22430x ax a -+<得()()30x a x a --<，因为0a >，所以3a x a <<．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 2分当1a =时，解得13x <<，即p 为真时，实数x 的取值范围是13x <<．又q 为真时实数x 的取值范围是23x <≤．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分若p q ∧为真，则p 真且q 零点，所以实数x 的取值范围是()2,3．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 6分（2）p 是q 的必要不充分条件，即q p ⇒，且p q ≠，设(){}(){}|,|A x p x B x q x ==，则B A ≠．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分又(]()2,3,,3B A a a ==；所以有233a a ≤⎧⎨≤⎩解得12a ≤≤，所以实数a 的取值范围是(]1,2．．．．．．．．．．．．．．．．12分19.解：（1）∵()f x 是定义在R 上的奇函数，∴()00f =，∴10k -=，∴1k =．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分 ∵()10f >，∴10a a->，又0a >且1a ≠，∴1a >．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分易知()f x 在R 上单调递增，原不等式化为：()()224f x x f x +>-，∴1x >或4x <-，∴不等式的解集为{}|14x x x ><-或．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分（2）∵()312f =，∴132a a -=， (2)2320a a --=，∴122a a ==-或（舍去） ∴()()()()22222222222222x x x x x x x x g x m m ----=+--=---+．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分令()22xxt f x -==-，∵1x ≥，∴()312t f ≥=，∴()()222222g t t mt t m m =-+=-+-，当32m ≥时，当t m =时，()min 17324g t m =-=-，∴2m =，当32m <时，当32t =时，()min 17324g t m =-=-，解得253122m =>，舍去，综上可知2m =．．．．．．．．．．．．12分20.解：（1）由题意知，点,M N 的坐标分别为()()5,40,20,2.5．将其分别代入2a y x b =+，得4025 2.5400aba b⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，解得10000a b =⎧⎨=⎩．．．．．．．．．．．．．．．．．4分（2）①由（1）知，()21000520y x x =≤≤，则点P 的坐标为21000,t t ⎛⎫⎪⎝⎭，设在点P 处的切线l 交,x y 轴分别交于,A B 点，32000y x'=-，则l 的方程为()2310002000y x t t t -=--，由此得233000,0,0,2t A B t ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故()[]5,20f t t ==∈．．．．．．．．．．．．．．．8分 ②设()624410g t t t ⨯=+，则()6516102g t t t⨯'=-，令()0g t '=，解得t =当(t ∈时，()0g t '<，()g t 是减函数；当()20t ∈时，()()0,g t g t '>是增函数．从而，当t =()g t 有极小值，也是最小值，所以()min 300g t =，此时()min f t =答：当t =l的长度最短，最短长度为．．．．．．．．．．．．．．．12分 21.解：（1）令0x y ==，恒等式可变为()()()00001f f f +=+-，解得()01f =．．．．．．．．．．．．1分（2）任取12x x <，则210x x ->，由题设0x >时，()1f x >，可得()211f x x ->， ∵()()()1f x y f x f y +=+-，∴()()()()()212112111f x f x x x f x f x x f x =+-=+-->⎡⎤⎣⎦，所以()f x 是R 上增函数．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分（3）由已知条件有：()()()22221f ax f x x f ax x x -+-=-+-+，故原不等式可化为：()2213f ax x x -+-+<，即()2122f x a x ⎡⎤-++-<⎣⎦，而当*n N ∈时，()()()()()()()()()1112212331311f n f n f f n f f n f nf n =-+-=-+-=-+-==--，所以()()6615f f =-，所以()12f =，故不等式可化为()()2121f x a x f ⎡⎤-++-<⎣⎦，由（2）可知()f x 在R 上为增函数，所以()2121x a x -++-<，即()2130x a x -++>在[)1,x ∈-+∞上恒成立，令()()213g x x a x =-++，即()min 0g x >成立即可． ①当112a +<-，即3a <-时，()g x 在[)1,x ∈-+∞上单调递增，则()()()min 11130g x g a =-=+++>解得5a >-，所以53a -<<-，②当112a +≥-即3a ≥-时，有()()2min 111130222a a a g x g a +++⎛⎫⎛⎫==-++> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解得11a -<<，而13-<-，所以31a -≤<，综上，实数a 的取值范围是(]5,3--．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分22.解：（1）()()1,0x mf x ex x+'=->，因为1x =是函数()f x 的极值点，所以()1110m f e +'=-=，所以1m =-，所以()11x f x e x-'=-．．．．．．．．．．．．．．．．．2分当01x <<时，1101,1x e x -<<-<-，所以()0f x '<，当1x >时，111,10x e x->-<-<，所以()0f x '>，所以()f x 在()0,1单调递减，在()1,+∞单调递增．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分（2）()()1,0x mf x ex x +'=->，设()1x m g x e x +=-，则()210x m g x e x+'=+>，所以()g x 在()0,+∞单调递增，即()f x '在()0,+∞单调递增．由于0x x =是函数()f x 的极值点，所以0x x =是()0f x '=在()0,+∞的唯一零点，所以00001,ln x mex m x x +=+=-．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分由于00x x <<时，()()00f x f x ''<=；当0x x >时，()()00f x f x ''>=，所以函数()f x 在()00,x 单调递减，在()0,x +∞单调递增．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分且函数()f x 在0x x =处取得最小值，所以()()000001ln x mf x f x ex x m x +≥=-=++，因为()0f x ≥恒成立，所以0010x m x ++≥．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分 ∴00001ln x m x x x +≥-=+，即001ln x x ≥．又因为ln 1a a =，故可解得0x a ≤．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分所以00,ln ln x a x a -≥--≥-，所以00ln ln m x x a a =--≥--，即m 的取值范围是[)ln ,a a --+∞．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分。

2018深中、华附、省实、广雅四校联考理科数学试题含答案

π 2
| x1 x2 | π ，则实数 m 的取值范围为
广东省 2018 届高三年级四校联考理科数学试题 2 / 6
A． ( 5,1)
B． ( 5,1]
C． [1, 5)
D． [0,1)
10．已知抛物线 E ： y 2 2 px （ p 0 ）的焦点为 F ， O 为坐标原点，点 M (
B．( ,3)
2i 在复平面上对应的点位于 i
C．第三象限
1 2
C． ( ,3]
1 2
D．( , 2] [3, )
1 2
B．第二象限
D．第四象限
x y 6, 3．若实数 x, y 满足条件 x 3 y 2, ，则 2 x 3 y 的最大值为 x 1,
v 1
n n 1
v vx n
n 0?
否输出 v 是
2 3
结束
B． 1 C．
4 3
2
8 D． 3
7．已知函数 f ( x)
2 正视图
2 侧视图
1 3 4 x x2 x ， 3 3
俯视图
若函数 y f ( x a) b 为奇函数，则 a b 的值为 A． 5 C． 0 B． 2 D． 2
1 4 14． ( x 1)( x 1) 展开式中 x 3 的系数为 x
15．过双曲线
．．
1.9 0.9
O
1
3
4
x
x2 y 2 1 （ a 0 ， b 0 ）右顶点且斜率为 2 的直线，与该双曲线的右支 a 2 b2
． C
交于两点，则此双曲线离心率的取值范围为
16．如图在平面四边形 ABCD 中， A 45 ， B 60 ， D 150 ， D

广东华南师大附中2017-2018学年高三下学期8月月考数学试卷(理科) Word版含解析

2017-2018学年广东华南师大附中高三（下）月考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合P={（x，y）|y=x+1}，Q={y|y=e x}，则P∩Q（）A．{0，1}B．{0}C．{1}D．∅2．在复平面内与复数z=所对应的点关于虚轴对称的点为A，则A对应的复数为（）A．1+2i B．1﹣2i C．﹣2+i D．2+i3．函数f（x）=sin（ωx+φ）（{其中ω＞0，|φ|＜）的图象如图所示，为了得到f（x）的图象，则只要将函数g（x）=sinωx的图象（）A．向右平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向左平移个单位4．已知空间直角坐标系O﹣xyz中有一点A（﹣1，﹣1，2），点B是xOy平面内的直线x+y=1上的动点，则A，B两点的最短距离是（）A．B． C．3 D．5．已知直线a，b，平面α，β，且a⊥α，b⊂β，则“a⊥b”是“α∥β”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件6．某学校周五安排有语文、数学、英语、物理、化学、体育六节课，要求体育不排在第一节课，数学不排在第四节课，则这天课程表的不同排法种数为（）A．600 B．288 C．480 D．5047．如图，在△ABC中，设，，AP的中点为Q，BQ的中点为R，CR的中点为P，若，则m、n对应的值为（）A．B．C．D．8．已知一个几何体的三视图及有关数据如图所示，则该几何体的体积为（）A．2B．C．D．9．已知集合A﹣{1，2，3，4，5，6，7，8，9），在集合A中任取三个元素，分别作为一个三位数的个位数，十位数和百位数，记这个三位数为a，现将组成a的三个数字按从小到大排成的三位数记为I（a），按从大到小排成的三位数记为D（a）（例如a=219，则I（a）=129，D（a）=921），阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个a，则输出b的值为（）A．792 B．693 C．594 D．49510．在△ABC中，若，，依次成等差数列，则（）A．a，b，c依次成等差数列B．，，依次成等比数列C．a2，b2，c2依次成等差数列D．a2，b2，c2依次成等比数列11．已知直线l1：x﹣2y﹣1=0，直线l2：ax﹣by+1=0，其中a，b∈{1，2，3，4，5，6，}．则直线l1与l2的交点位于第一象限的概率为（）A．B．C．D．12．非空集合G关于运算⊕满足：（1）对任意a，b∈G，都有a⊕b∈G；（2）存在e∈G，使得对一切a∈G，都有a⊕e=e⊕a=a，则称G关于运算⊕为“融洽集”．现给出下列集合和运算：①G={非负整数}，⊕为整数的加法；②G={偶数}，⊕为整数的乘法；③G={平面向量}，⊕为平面向量的加法；④G={二次三项式}，⊕为多项式的加法；⑤G={虚数}，⊕为复数的乘法．其中G关于运算⊕为“融洽集”的是（）A．①③B．②③C．①⑤D．②③④二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知点P（x，y）的坐标满足条件，那么点P到直线3x﹣4y﹣13=0的最小值为．14．在（x+y）n的展开式中，若第7项的系数最大，则n的值可能是．15．已知椭圆C： +=1，直线l：y=kx﹣2与椭圆C交于A，B两点，点P（0，1），且|PA|=|PB|，则直线l的方程为．16．已知△ABC的三个内角A、B、C满足A+B=2C， +=﹣，则cos的值为．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知函数f（x）=x2+x，数列{a n}的前n项和为S n，点（n，S n）（n∈N*）均在函数f（x）的图象上．（1）求数列{a n}的通项公式a n；（2）令cn=+证明：2n＜c1+c2+…+c n＜2n+．18．在一个圆锥体的培养房内培养了40只蜜蜂，准备进行某种实验，过圆锥高的中点有一个不计厚度且平行于圆锥底面的平面把培养房分成两个实验区，其中小锥体叫第一实验区，圆台体叫第二实验区，且两个实验区是互通的．假设蜜蜂落入培养房内任何位置是等可能的，且蜜蜂落入哪个位置相互之间是不受影响的．（1）求蜜蜂落入第二实验区的概率；（2）若其中有10只蜜蜂被染上了红色，求恰有一只红色蜜蜂落入第二实验区的概率；（3）记X为落入第一实验区的蜜蜂数，求随机变量X的数学期望EX．19．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面ABC为正三角形，AB=A1A=a，BA1=AC，A1C⊥AB．（I）求证：AA1⊥BC；（II）把四棱锥A1﹣BCC1B1绕直线BC旋转一个角到A′﹣BB′C′C，使平面ABC与BB′C′C 重合，求该旋转角的余弦值．20．已知△ABC的边AB在直角坐标平面的x轴上，AB的中点为坐标原点，若=，=，又E点在BC边上，且满足3=2，以A、B为焦点的双曲线经过C、E两点．（I）求||及此双曲线的方程；（II）若圆心为T（x0，0）的圆与双曲线右支在第一象限交于不同两点M，N，求T点横坐标x0取值范围．21．设函数f（x）=e x+ax+b（a，b∈R），g（x）=．（Ⅰ）当a=b=0时，求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程y=h（x）；并证明f（x）≥h（x）（x≥0）恒成立；（Ⅱ）当b=﹣1时，若f（x）≥g（x）对于任意的x∈[0，+∞）恒成立，求a的取值范围；）．（Ⅲ）求证：（e+ln2﹣2g（））＞2n+2ln（n+1）（n∈N+请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，半圆O的直径AB的长为4，点C平分弧AE，过C作AB的垂线交AB于D，交AE干F．（Ⅰ）求证：CE2=AE•AF：（Ⅱ）若AE是∠CAB的角平分线，求CD的长．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xoy中，曲线C1的参数方程为（其中θ为参数），点M 是曲线C1上的动点，点P在曲线C2上，且满足=2．（Ⅰ）求曲线C2的普通方程；（Ⅱ）以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线θ=，与曲线C1，C2分别交于A，B两点，求|AB|．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣a|+|x﹣1|，a∈R．（1）当a=3时，解不等式f（x）≤4；（2）当x∈（﹣2，1）时，f（x）＞|2x﹣a﹣1|，求a的取值范围．2015-2016学年广东华南师大附中高三（下）3月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合P={（x，y）|y=x+1}，Q={y|y=e x}，则P∩Q（）A．{0，1}B．{0}C．{1}D．∅【考点】交集及其运算．【分析】根据集合的基本运算进行求解即可．【解答】解：集合P={（x，y）|y=x+1}，表示点集，Q={y|y=e x}，表示数集，故P∩Q=∅，故选：D2．在复平面内与复数z=所对应的点关于虚轴对称的点为A，则A对应的复数为（）A．1+2i B．1﹣2i C．﹣2+i D．2+i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、几何意义、对称性，即可得出．【解答】解：复数===2+i所对应的点（2，1）关于虚轴对称的点为A（﹣2，1），∴A对应的复数为﹣2+i．故选：C．3．函数f（x）=sin（ωx+φ）（{其中ω＞0，|φ|＜）的图象如图所示，为了得到f（x）的图象，则只要将函数g（x）=sinωx的图象（）A．向右平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向左平移个单位【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】由T=﹣，可求得其周期T，继而可求得ω，再利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换及可求得答案．【解答】解：由图知，由T=﹣，∴T=π（ω＞0），∴ω=2；又ω+φ=π，∴φ=π﹣ω=π﹣=，∴y=f（x）=sin（2x+），g（x）=sin2x，∵g（x+）=sin2（x+）=sin（2x+），∴为了得到f（x）=sin（2x+）的图象，则只要将g（x）=sin2x的图象向左平移个单位长度．故选：C．4．已知空间直角坐标系O﹣xyz中有一点A（﹣1，﹣1，2），点B是xOy平面内的直线x+y=1上的动点，则A，B两点的最短距离是（）A．B． C．3 D．【考点】空间两点间的距离公式．【分析】因为点B是xoy平面内的直线x+y=1上的动点，则可设点B（m，1﹣m，0），运用空间两点的距离公式，得到A，B两点的距离是，最后用配方的方法，得到当m=时，被开方数的最小值为，从而得到A，B两点的最短距离．【解答】解：∵点B是xoy平面内的直线x+y=1上的动点，∴可设点B（m，1﹣m，0）由空间两点之间的距离公式，得|AB|==令t=2m2﹣2m+9=2（m﹣）2+当m=时，t的最小值为∴当m=时，|AB|的最小值为，即A、B两点的最短距离是故选B5．已知直线a，b，平面α，β，且a⊥α，b⊂β，则“a⊥b”是“α∥β”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据题意，分两步来判断：①分析当α∥β时，a⊥b是否成立，有线面垂直的性质，可得其是真，②分析当a⊥b时，α∥β是否成立，举出反例可得其是假，综合①②可得答案．【解答】解：根据题意，分两步来判断：①当α∥β时，∵a⊥α，且α∥β，∴a⊥β，又∵b⊂β，∴a⊥b，则a⊥b是α∥β的必要条件，②若a⊥b，不一定α∥β，当α∩β=a时，又由a⊥α，则a⊥b，但此时α∥β不成立，即a⊥b不是α∥β的充分条件，则a⊥b是α∥β的必要不充分条件，故选B．6．某学校周五安排有语文、数学、英语、物理、化学、体育六节课，要求体育不排在第一节课，数学不排在第四节课，则这天课程表的不同排法种数为（）A．600 B．288 C．480 D．504【考点】排列、组合及简单计数问题．【分析】该题这种学校安排课表是有条件限制排列问题，可看做是6个不同的元素填6个空的问题，条件限制是体育不排第一节，数学不排第四节，所以解答时分体育在第四节和体育不在第四节两类，体育在第四节既满足了体育不在第一节的条件，也满足了数学不在第四节的条件，当体育不在第四节时，数学也不能在第四节，则先安排第四节课，然后安排第一节课，最后安排剩余的四节课，安排完后利用分布乘法计数原理求第二类的方法种数，最后两类的方法种数作和即可．【解答】解：学校安排六节课程可看做是用6个不同的元素填6个空的问题，要求体育不排在第一节课，数学不排在第四节课的排法可分两类．一类是体育课排在第四节，则满足了体育课不在第一节，同时满足了数学课不在第四节，排法种数是=120种；一类是体育课不排第四节，数学课也不排在第四节，则第四节课只能从语文、英语、物理、化学课中任取1节来安排，有4种安排方法，然后安排第一节课，第一节课可从语文、英语、物理、化学课中剩下的3各科目及数学科目4个科目中任选1节，有4种安排方法，最后剩余的4各科目和4节课可全排列有=24种排法，由分步计数原理，第二类安排方法共有4×4×24=384种．所以这天课表的不同排法种数为120+384=504种．故选D．7．如图，在△ABC中，设，，AP的中点为Q，BQ的中点为R，CR的中点为P，若，则m、n对应的值为（）A．B．C．D．【考点】向量的线性运算性质及几何意义．【分析】根据向量减法及数乘的几何意义可以得出，，这样便可以求出，这样根据，并进行向量的数乘运算便得到，由平面向量基本定理即可建立关于m，n的二元一次方程组，从而可以解出m，n．【解答】解：根据条件，=；==；∴，，；∵；∴；∴；解得．故选：A．8．已知一个几何体的三视图及有关数据如图所示，则该几何体的体积为（）A．2B．C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】几何体是四棱锥，结合其直观图，利用四棱锥的一个侧面与底面垂直，作四棱锥的高线，求出棱锥的高，代入棱锥的体积公式计算．【解答】解：由三视图知：几何体是四棱锥，其直观图如图：四棱锥的一个侧面SAB与底面ABCD垂直，过S作SO⊥AB，垂足为O，∴SO⊥底面ABCD，SO=2×，底面为边长为2的正方形，∴几何体的体积V=×2×2×=．故选：B．9．已知集合A﹣{1，2，3，4，5，6，7，8，9），在集合A中任取三个元素，分别作为一个三位数的个位数，十位数和百位数，记这个三位数为a，现将组成a的三个数字按从小到大排成的三位数记为I（a），按从大到小排成的三位数记为D（a）（例如a=219，则I（a）=129，D（a）=921），阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个a，则输出b的值为（）A．792 B．693 C．594 D．495【考点】程序框图．【分析】利用验证法判断求解即可．【解答】解：A，如果输出b的值为792，则a=792，I（a）=279，D（a）=972，b=D（a）﹣I（a）=972﹣279=693，不满足题意．B，如果输出b的值为693，则a=693，I（a）=369，D（a）=963，b=D（a）﹣I（a）=963﹣369=594，不满足题意．C，如果输出b的值为594，则a=594，I（a）=459，D（a）=954，b=D（a）﹣I（a）=954﹣459=495，不满足题意．D，如果输出b的值为495，则a=495，I（a）=459，D（a）=954，b=D（a）﹣I（a）=954﹣459=495，满足题意．故选：D．10．在△ABC中，若，，依次成等差数列，则（）A．a，b，c依次成等差数列B．，，依次成等比数列C．a2，b2，c2依次成等差数列D．a2，b2，c2依次成等比数列【考点】等差数列的性质．【分析】先根据等差数列的性质写出关系式，再将余切化为余弦与正弦的比值，进而根据两角和与差的正弦公式化简，最后根据正余弦定理将角的关系式转化为边的关系即可得解．【解答】解：∵，，依次成等差数列，∴+=，∴2cosBsinAsinC=cosAsinBsinC+cosCsinAsinB．∴由正弦定理，得2accosB=bccosA+abcosC=b（ccosA+acosC），由射影定理，得2accosB=b2，由余弦定理，得a2+c2=2b2．故选：C．11．已知直线l1：x﹣2y﹣1=0，直线l2：ax﹣by+1=0，其中a，b∈{1，2，3，4，5，6，}．则直线l1与l2的交点位于第一象限的概率为（）A．B．C．D．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件数是36，满足条件的事件是两条直线的交点在第一象限，写出两条直线的交点坐标，根据在第一象限写出不等式组，解出结果，根据a，b之间的关系写出满足条件的事件数，得到结果．【解答】解：设事件A为“直线l1与l2的交点位于第一象限”，由于直线l1与l2有交点，则b≠2a．联立方程组解得x=，y=，∵直线l1与l2的交点位于第一象限，则x=＞0，y=＞0，解得b＞2a．a，b∈{1，2，3，4，5，6}的总事件数为36种．满足条件的实数对（a，b）有（1，3）、（1，4）、（1，5）、（1，6）、（2，5）、（2，6）共六种．∴P（A）==即直线l1与l2的交点位于第一象限的概率为．故选：A．12．非空集合G关于运算⊕满足：（1）对任意a，b∈G，都有a⊕b∈G；（2）存在e∈G，使得对一切a∈G，都有a⊕e=e⊕a=a，则称G关于运算⊕为“融洽集”．现给出下列集合和运算：①G={非负整数}，⊕为整数的加法；②G={偶数}，⊕为整数的乘法；③G={平面向量}，⊕为平面向量的加法；④G={二次三项式}，⊕为多项式的加法；⑤G={虚数}，⊕为复数的乘法．其中G关于运算⊕为“融洽集”的是（）A．①③B．②③C．①⑤D．②③④【考点】的真假判断与应用．【分析】根据G是关于运算⊕为“融洽集”的定义，逐一分析五个集合及运算是否满足定义，可得答案．【解答】解：①G={非负整数}，⊕为整数的加法；满足（1），且存在e=0，满足（2），故G是关于运算⊕为“融洽集”；②G={偶数}，⊕为整数的乘法；若存在e满足（2），则e=1，矛盾，故G不是关于运算⊕为“融洽集”；③G={平面向量}，⊕为平面向量的加法；满足（1），且存在e=，满足（2），故G是关于运算⊕为“融洽集”；④G={二次三项式}，⊕为多项式的加法；两个二次三项式的和可能不是三项式，不满足（1），故G不是关于运算⊕为“融洽集”；⑤G={虚数}，⊕为复数的乘法．两个虚数的积可能为一个实数，不满足（1），故G不是关于运算⊕为“融洽集”；这样G是关于运算⊕为“融洽集”的有①③．故选：A二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知点P（x，y）的坐标满足条件，那么点P到直线3x﹣4y﹣13=0的最小值为2．【考点】简单线性规划．【分析】画出约束条件的可行域，判断P的位置，利用点到直线的距离公式求解即可．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，由图可知，当P与A（1，0）重合时，P到直线3x﹣4y﹣13=0的距离最小为d==2．故答案为：2．14．在（x+y）n的展开式中，若第7项的系数最大，则n的值可能是11或12或13．【考点】二项式系数的性质．【分析】根据题意，分三种情况讨论，①若仅T7系数最大，②若T7与T6系数相等且最大，③若T7与T8系数相等且最大，由二项式系数的性质，分析其项数，综合可得答案．【解答】解：根据题意，分三种情况：①若仅第7项系数最大，则共有13项，n=12；②若第7项与第6项的系数相等且最大，则共有12项，n=11；③若第7与第8系数相等且最大，则共有14项，n=13；所以n的值可能等于11，12，13故答案为：11，或12 或1315．已知椭圆C： +=1，直线l：y=kx﹣2与椭圆C交于A，B两点，点P（0，1），且|PA|=|PB|，则直线l的方程为x﹣y﹣2=0或x+y+2=0．【考点】直线与圆锥曲线的关系．【分析】设出A，B的坐标，得到AB中点E的坐标，联立直线方程和椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系把E的坐标用含有k的代数式表示，结合|PA|=|PB|，得PE⊥AB，转化为斜率的关系列式求得k值，则直线方程可求．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），则AB的中点为E（），由，得（1+3k2）x2﹣12kx+3=0，则，∵直线与椭圆有两个不同的交点，∴△=144k2﹣12（1+3k2）＞0，解得k2．而，∴E点的坐标为（）．∵|PA|=|PB|，∴PE⊥AB，则k PE•k AB=﹣1，∴，解得：k=±1，满足k2＞．∴直线方程为x﹣y﹣2=0或x+y+2=0．故答案为：x﹣y﹣2=0或x+y+2=0．16．已知△ABC的三个内角A、B、C满足A+B=2C， +=﹣，则cos的值为．【考点】正弦定理．【分析】设α=，则A﹣C=2α，可A=60°+α，C=60°﹣α，代入条件化简求出cosα=，即可得出结论．【解答】解：由题设条件知B=60°，A+C=120°．设α=，则A﹣C=2α，可A=60°+α，C=60°﹣α，因为+=﹣，所以+=+==﹣，因为cosB=，所以=﹣2．整理得（2cos）（2+3）=0从而得cosα=．所以cos=．故答案为：．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知函数f（x）=x2+x，数列{a n}的前n项和为S n，点（n，S n）（n∈N*）均在函数f（x）的图象上．（1）求数列{a n}的通项公式a n；（2）令cn=+证明：2n＜c1+c2+…+c n＜2n+．【考点】数列与函数的综合；等差数列的通项公式．=n+1，【分析】（1）点（n，S n）均在函数y=f（x）的图象上，则s n=n2+n，可得a n=S n﹣S n﹣1并验证a1即可；（2）证明：由c n=+＞2，得c1+c2+…+c n＞2n；由c n=+=2+﹣，得c1+c2+…+c n=2n+（﹣+﹣+…+﹣）=2n+﹣＜2n+；即证．【解答】解：（1）∵点（n，S n）均在函数y=f（x）的图象上，∴，=n+1，a1也适合，所以a n=n+1（n∈N*）．当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1（2）证明：∵，∴c1+c2+…+c n＞2n；又c n=+=2+﹣，∴c1+c2+…+c n=2n+（﹣+﹣+…+﹣）=2n+﹣＜2n+；∴2n＜c1+c2+…+c n＜2n+．18．在一个圆锥体的培养房内培养了40只蜜蜂，准备进行某种实验，过圆锥高的中点有一个不计厚度且平行于圆锥底面的平面把培养房分成两个实验区，其中小锥体叫第一实验区，圆台体叫第二实验区，且两个实验区是互通的．假设蜜蜂落入培养房内任何位置是等可能的，且蜜蜂落入哪个位置相互之间是不受影响的．（1）求蜜蜂落入第二实验区的概率；（2）若其中有10只蜜蜂被染上了红色，求恰有一只红色蜜蜂落入第二实验区的概率；（3）记X为落入第一实验区的蜜蜂数，求随机变量X的数学期望EX．【考点】离散型随机变量的期望与方差；几何概型．【分析】（1）由题意知蜜蜂落入培养房内任何位置是等可能的，且蜜蜂落入哪个位置相互之间是不受影响的，可以得到这是一个等可能事件的概率，做出条件中所给的两个几何体的体积，求比值得到结果．（2）本题符合独立重复试验，实验一共复数10次，恰好有一次发生，发生的概率根据上一问做出的结果，代入公式得到概率．（3）因为蜜蜂落入培养房内任何位置是等可能的，且蜜蜂落入哪个位置相互之间是不受影响的，得到变量X满足二项分布，根据二项分布的期望公式得到结果．【解答】解：（1）由题意知蜜蜂落入培养房内任何位置是等可能的，且蜜蜂落入哪个位置相互之间是不受影响的，可以得到这是一个等可能事件的概率，记“蜜蜂落入第一实验区”为事件A，“蜜蜂落入第二实验区”为事件B．依题意，∴∴蜜蜂落入第二实验区的概率为．（2）本题符合独立重复试验，记“恰有一只红色蜜蜂落入第二实验区”为事件C，则∴恰有一只红色蜜蜂落入第二实验区的概率．（3）因为蜜蜂落入培养房内任何位置是等可能的，且蜜蜂落入哪个位置相互之间是不受影响的，∴变量X满足二项分布，即X～∴随机变量X的数学期望EX=40×=519．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面ABC为正三角形，AB=A1A=a，BA1=AC，A1C⊥AB．（I）求证：AA1⊥BC；（II）把四棱锥A1﹣BCC1B1绕直线BC旋转一个角到A′﹣BB′C′C，使平面ABC与BB′C′C 重合，求该旋转角的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的性质．【分析】（I）过A1作A1H⊥底面ABC，H为垂足，连接CH、BH、AH，推导出H为△ABC 的垂心，由此能证明AA1⊥BC．（II）由题知所求旋转过的角就是二面角B1﹣BC﹣B′，推导出为二面角的平面角，=∠A1AH，由此能求出所求旋转过的角的余弦值．【解答】证明：（I）过A1作A1H⊥底面ABC，H为垂足，连接CH、BH、AH，A1B⊥AC，A1H⊥AC，A1B与A1H相交，∴AC⊥面A1BH，…又BH在面A1BH内，∴BH⊥AC，…同理CH⊥AB，∴H为△ABC的垂心…∴AH⊥BC，又A1H⊥BC，AH与A1H相交，∴BC⊥面A1AH．又A1A在面A1AH内，∴AA1⊥BC．…解：（II）由题知所求旋转过的角就是二面角B1﹣BC﹣B′，…∵AA1∥BB1，由（I）知BB1⊥BC，从而BB′⊥BC，∴为二面角的平面角…又BB′∥AH（在底面内AH，BB′同时垂直于BC），∴=∠A1AH（和∠A1AH的两边分别平行，且方向相同）．…∵AB=AA1=a，又H为△ABC的垂心，△ABC为正三角形，∴H为△ABC的中心，在Rt△A1AH中，cos∠A1AH===，∴cos=．…即所求旋转过的角的余弦值为． (12)20．已知△ABC的边AB在直角坐标平面的x轴上，AB的中点为坐标原点，若=，=，又E点在BC边上，且满足3=2，以A、B为焦点的双曲线经过C、E两点．（I）求||及此双曲线的方程；（II）若圆心为T（x0，0）的圆与双曲线右支在第一象限交于不同两点M，N，求T点横坐标x0取值范围．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；双曲线的标准方程．【分析】（I）由已知向量等式可得，，由此求得，得到A，B的坐标，设出双曲线方程及C，E的坐标，结合3=2，把E的坐标用C的坐标表示，代入双曲线方程求得a，b的值，则双曲线方程可求；（II）设出M坐标，由已知条件得|TM|=|TN|，结合M，N在双曲线上可得7（x1+x2）=2x0，结合M，N的横坐标的范围求得T点横坐标x0取值范围．【解答】解：（I）由题知：①，而②，由①②，，作CD⊥AB于D，即．同理，，∴，A（﹣1，0），B（1，0），设双曲线方程，，E（x1，y1），由，得，∵E，C两点在双曲线上，∴，解得，∴双曲线方程为；（II）设M（x1，y1），N（x2，y2），由条件知|TM|=|TN|，得，∴+2x0（x1﹣x2）①，又M，N在双曲线上，满足，，∴②，将②代入①，，由条件知x1≠x2，∴7（x1+x2）=2x0，又x1＞，x2＞，x1≠x2，∴＞，∴x0的取值范围为（，+∞）．21．设函数f（x）=e x+ax+b（a，b∈R），g（x）=．（Ⅰ）当a=b=0时，求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程y=h（x）；并证明f（x）≥h（x）（x≥0）恒成立；（Ⅱ）当b=﹣1时，若f（x）≥g（x）对于任意的x∈[0，+∞）恒成立，求a的取值范围；）．（Ⅲ）求证：（e+ln2﹣2g（））＞2n+2ln（n+1）（n∈N+【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（Ⅰ）把a=b=0代入函数解析式，求y=f（x）在点（0，f（0））处的导数，得到切线方程y=h（x）然后构造函数F（x）=f（x）﹣h（x），利用导数求其最小值为F（0），则结论即可证明；（Ⅱ）当b=﹣1时，f（x）≥g（x）等价于，构造函数G（x）=，求其导函数，分a≥﹣1和a＜﹣1讨论，讨论可知a≥﹣1时f（x）≥g（x）对于任意的x ∈[0，+∞）恒成立，a＜﹣1时不合题意；（Ⅲ）把要证的结论转化为证，然后结合（Ⅱ）与（Ⅰ）中的结论采用换元的办法证得，故（e+ln2﹣2g（））＞2n+2ln（n+1）（n∈N）．+【解答】解：（Ⅰ）当a=0，b=0时，f（x）=e x，f′（x）=e x，∴f′（0）=1，f（0）=1，∴曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y﹣1=1（x﹣0），即：y=h（x）=x+1；证明：令F（x）=f（x）﹣h（x）=e x﹣x﹣1，∴F′（x）=e x﹣1≥0，∴F（x）=e x﹣x﹣1单调递增，又F（0）=0，∴F（x）≥F（0），即e x≥x+1（x≥0）恒成立；（Ⅱ）当b=﹣1时，f（x）≥g（x）等价于，令G（x）=，∴G′（x）=e x﹣x+a，当a≥﹣1时，由（1）知G′（x）=e x﹣x+a≥e x﹣x﹣1≥0，∴G（x）=单调递增，又G（0）=0，∴．当a＜﹣1时，G′′（x）=e x﹣1＞0，∴G′（x）=e x﹣x+a单增，又G′（0）=1+a＜0，∴存在x0∈[0，+∞），使G′（x0）=0，即，∴G（x）在（0，x0）上单减，在（x0，+∞）上单增，又∵G（0）=0，∴x∈（0，x0）时，G（x）＜0不合题意，故a≥﹣1；（Ⅲ）要证：（e+ln2﹣2g（））＞2n+2ln（n+1），即证，也就是．由（Ⅱ），令a=﹣1可知：，令，则，∴，又由（Ⅰ）可知：e x＞1+x（x＞0），∴x＞ln（1+x），令，∴，∴，∴，即，）．故（e+ln2﹣2g（））＞2n+2ln（n+1）（n∈N+请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，半圆O的直径AB的长为4，点C平分弧AE，过C作AB的垂线交AB于D，交AE干F．（Ⅰ）求证：CE2=AE•AF：（Ⅱ）若AE是∠CAB的角平分线，求CD的长．【考点】相似三角形的判定；相似三角形的性质．【分析】（I）利用点C平分，可得，CE=CA，∠CAE=∠CEA=∠FCA，进而得到△AFC∽△ECA．即可得出．（II）由AE平分∠CAB，可得∠BAE=∠EAC=∠CEA，可得CE∥AB，于是∠ECD=90°，∠CAB=60°，即可得出．【解答】（I）证明：∵点C平分，∴，∴CE=CA，∴∠CAE=∠CEA=∠FCA，∴△AFC∽△ECA．∴，∴CE2=AE•AF．（II）解：∵AE平分∠CAB，∴∠BAE=∠EAC=∠CEA，∴CE∥AB，∴∠ECD=90°，∠BAE=∠EAC=∠CEA=30°，∴∠CAB=60°，∴CD=2sin60°=．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xoy中，曲线C1的参数方程为（其中θ为参数），点M是曲线C1上的动点，点P在曲线C2上，且满足=2．（Ⅰ）求曲线C2的普通方程；（Ⅱ）以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线θ=，与曲线C1，C2分别交于A，B两点，求|AB|．【考点】参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）设P（x，y），M（x′，y′），因为点M是曲线C1上的动点，点P在曲线C2上，将M坐标代入，消去θ，得到M满足的方程，再由向量共线，得到P满足的方程；（Ⅱ）以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，分别利用极坐标方程表示两个曲线，求出A，B的极坐标，得到AB长度．【解答】解：（Ⅰ）因为点M是曲线C1上的动点，点P在曲线C2上，且满足=2．设P（x，y），M（x′，y′），则x=2x′，y=2y′，并且，消去θ得，（x′﹣1）2+y′2=3，所以曲线C2的普通方程为：（x﹣2）2+y2=12；（Ⅱ）以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρ2﹣2ρcosθ﹣2=0，将θ=代入得ρ=2，∴A的极坐标为（2，），曲线C2的极坐标方程为ρ2﹣4ρcosθ﹣8=0，将代入得ρ=4，所以B的极坐标为（4，），所以|AB|=4﹣2=2．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣a|+|x﹣1|，a∈R．（1）当a=3时，解不等式f（x）≤4；（2）当x∈（﹣2，1）时，f（x）＞|2x﹣a﹣1|，求a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（1）当a=3时，，分类讨论求得它的解集．（2）因为f（x）=|x﹣a|+|x﹣1|≥|x﹣a+x﹣1|=|2x﹣a﹣1|，分类讨论求得不等式（x﹣1）（x﹣a）＜0的解集为A，再根据（﹣2，1）⊆A，求得a的取值范围．【解答】解：（1）当a=3时，，当x＜1时，由f（x）≤4得4﹣2x≤4，解得0≤x＜1；当1≤x≤3时，f（x）≤4恒成立；当x＞3时，由f（x）≤4得2x﹣4≤4，解得3＜x≤4，所以不等式f（x）≤4的解集为{x|0≤x≤4}．（2）因为f（x）=|x﹣a|+|x﹣1|≥|x﹣a+x﹣1|=|2x﹣a﹣1|，当（x﹣1）（x﹣a）≥0时，f（x）=|2x﹣a﹣1|；当（x﹣1）（x﹣a）＜0时，f（x）＞|2x﹣a﹣1|．…记不等式（x﹣1）（x﹣a）＜0的解集为A，则（﹣2，1）⊆A，故a≤﹣2，所以a的取值范围是（﹣∞，﹣2]．2016年10月30日。

2018年最新华南师大附中2018学年度高三综合测试(1)数学试题(理科) 精品

华南师大附中2018—2018学年度高三综合测试（1）数学试题（理科）本试卷分选择题和非选择题两部分，满分150分，考试用时120分钟.注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的校名、姓名、考号填写在答题卡的密封线内.2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上.3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在另发的答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液. 不按以上要求作答的答案无效.4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卷和答题卡一并收回.参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么球的表面积公式P(A+B)=P(A)+P(B) 24R S π= 如果事件A 、B 相互独立，那么其中R 表示球的半径P(A·B)=P(A)·P(B) 球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是 334R V π=球P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k其中R 表示球的半径次的概率k n kk n n P P C k P --=)1()(第一部分（选择题共40分）一、（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设=⎪⎩⎪⎨⎧>+≤--=))21((1|| 111|| 2|1|)(2f f x x x x x f ，则（）A ．21B ．134 C ．59-D ．41252．已知2)(xx e e x f --=，则下列判断中正确的是（）A ．奇函数，在R 上为增函数B ．偶函数，在R 上为增函数C ．奇函数，在R 上为减函数D ．偶函数，在R 上为减函数3．若函数)(x f y =的反函数)(1x f y --=的图象与y 轴交于点P （0，2），则方程0)(=x f 的根是（） A ．x =4 B ．x =3 C ．x =2 D ．x =1 4．下列关系中，成立的是（）A ．10log )51(4log 3103>>B ．4log )51(10log 3031>>C ．0313)51(10log 4log >>D ．0331)51(4log 10log >>5．已知A 、B 两地相距150千米，某人开汽车以60千米/小时的速度从A 地到达B 地，在B地停留1小时后再以50千米/小时的速度返回A 地，把汽车离开A 地的距离x 表示为时间t （小时）的函数表达式是（）A ．)5.60(5060≤≤+=t t t xB ．⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤<≤≤=5.65.3 ,501505.35.2,1505.20,60t t t t t xC ．⎩⎨⎧>-≤≤=5.3 ,501505.20,60t t t t xD ．⎪⎩⎪⎨⎧≤<--≤<≤≤=5.65.3 ),5.3(501505.35.2,1505.20,60t t t t t x6．若函数],[)(b a x f y 在区间=上的图象为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是（） A ．若0)()(>b f a f ，不存在实数0)(),(=∈c f b a c 使得B ．若)()(b f a f <0，存在且只存在一个实数0)(),(=∈c f b a c 使得C ．若)()(b f a f >0，有可能存在实数0)(),(=∈c f b a c 使得D ．若)()(b f a f <0，有可能不存在实数0)(),(=∈c f b a c 使得7．为了得到函数xy )31(3⨯=的图象，可以把函数xy )31(=的图象（）A ．向左平移3个单位长度B ．向右平移3个单位长度C ．向左平移1个单位长度D ．向右平移1个单位长度8．设b>0，二次函数122-++=a bx ax y 的图象为下列之一，则a 的值为（）A ．1B ．－1C ．251--D ．251+-第二部分（非选择题 110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．函数),2[54)(2+∞-+-=在区间mx x x f 上是增函数，在区间]2,(--∞上是减函数，则 )1(f 等于10．若集合B A x xy y B x x y y A ⋂≤<-==≤≤-==，则}10,12|{},11,|{31等于 11．函数2231x x y -+=单调减区间是；值域是12．对任意)}(1,1max{)( , ,},max{,R x x x x f ba b ba ab a R b a ∈++-=⎩⎨⎧<≥=∈，则函数，记的最小值是13．已知两变量x ，y 之间的关系为x y x y lg lg )lg(-=-，则以x 的自变量的函数y 的最小值为14．已知集合M 是满足下列条件的函数)(x f 的全体； ①当),0[+∞∈x 时，函数值为非负实数；②对于任意的s 、t ∈),0[+∞，都有)()()(t s f t f s f +≤+在三个函数中，)1ln()(12)(,)(321+=-==x x f x f x x f x ，属于集合M 的是三、解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（本小题满分12分）已知全集U=R ，集合}.02|{},,116|{2<--=∈≥+=m x x x B R x x x A （Ⅰ）当m=3时，求A B C U ⋂；（Ⅱ）若}41|{<<-=⋂x x B A ，求实数m 的值. 16．（本小题满分12分）已知函数).,1[,2)(2+∞∈++=x xax x x f （Ⅰ）当,21时=a 求函数)(x f 的最小值；（Ⅱ）若对任意),1[+∞∈x ，都有)(x f >0恒成立，试求实数a 的取值范围.17．（本小题满分14分）某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价定为60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.18元，但实际出厂单价不能低于51元.（Ⅰ）当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰降为51元？（Ⅱ）设一次订购量为x 个，零件的实际出厂单价为P 元，写出函数P=)(x f 的表达式；（Ⅲ）当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是多少元？如果订购1000个，利润又是多少元？（工厂售出一个零件的利润=实际出厂单价－成本）18．（本小题满分14分）设函数y=)(x f 是定义在R 上的函数，并且满足下面三个条件：①对任意正数x 、y ，都有)()()(y f x f xy f +=；②当x >1时，)(x f <0；③1)3(-=f . （Ⅰ）求)91()1(f f 、的值；（Ⅱ）如果不等式2)2()(<-+x f x f 成立，求x 的取值范围；（Ⅲ）如果存在正数k ，使不等式2)2()(<-+x f kx f 有解，求正数k 的取值范围. 19．（本小题满分14分）P ：函数),0()1(log +∞+=在x y a 内单调递减； Q ：曲线x x a x y 与1)32(2+-+=轴交于不同的两点. 如果P 与Q 有且只有一个正确，求a 的取值范围. 20．（本小题满分14分）已知函数)0(|11|)(>-=x xx f ，. （Ⅰ）当1)()(0>=<<ab b f a f b a ，求证，且；（Ⅱ）是否存在实数)(,b a b a <使得函数y=)(x f 的定义域、值域都是[a ，b]，若存在，则求出a ，b 的值；若不存在，请说明理由.参考答案一、选择题1.B2.A3.C4.A5.D6.C7.D8.B 二、填空题9．25 10．[－1，1] 11．),21[ ];1,1(+∞- 12．1 13．4 14．)(),(21x f x f 三、解答题 15．解：∵516101116≤<-⇔⎩⎨⎧≤+>+⇔≥+x x x x ∴}51|{≤<-=x x A（Ⅰ）当m=3时，}31|{<<-=x x B ，则}31|{≥-≤=x x x B C U 或 ∴}53|{≤≤=⋂x x B C A U（Ⅱ）由024}41|{2<--=<<-=⋂m x x x x x B A 是方程可知的根， ∴有04242=-⨯-m 成立，解得m=8 此时}42|{<<-=x x B ，符合题意 16．（Ⅰ）解：当221)(21++==xx x f a 时，设21212122112121212)(2121)()(1x x x x x x x x x x x f x f x x -⋅-=--+=-≥>，则， ∵0212,0 121212121>->-∴≥>x x x x x x x x ，，∴)()(0)()(2121x f x f x f x f >>-，即 ∴),1[)(+∞在区间x f 上为增函数， ∴),1[)(+∞在区间x f 上的最小值为.27)1(=f（Ⅱ）解法一：在区间02)(),1[2>++=+∞xax x x f 上恒成立 02),1[2>+++∞⇔a x x 上在区间恒成立.设),1[ ,22+∞∈++=x a x x y ∴当x =1时，a y +=3min ，当且仅当30)(03min ->>>+=a x f a y 恒成立，故时，函数解法二 ),1[2)(+∞∈++=x x a x x f ，，当0≥a 时，函数)(x f 的值恒为正；当a <0时，函数)(x f 的递增，故当x =1时，a x f +=3)(min ，当且仅当a x f +=3)(min >0时，函数)(x f >0恒成立，故a >－317．解：（Ⅰ）设每个零件的实际出厂价恰好降为51元时，一次订购量为x 0个，则55002.051601000=-+=x ，因此，当一次订购量为550个时，每个零件的实际出厂价恰好降为51元，（Ⅱ）当时，当时，550100601000≤<=≤<x P x ， 5062)100(02.060xx P -=--= 当,51550=≥P x 时，所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥∈<<-≤<=)550(51).)(550100(5062)1000(60)(x N x x x x x f P（Ⅲ）设销售商的一次订购量为x 个时，工厂获得的利润为L 元，则 ).( )500100(5022)1000(20)40(2N x x x x x x x P L ∈⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤<=-= 当x =500时，L=6000；当x=1000时，L=11000.因此，当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是6000元；如果订购1000个，利润是11000元.18．解：（Ⅰ）令x =y=1易得0)1(=f .而211)3()3()9(-=--=+=f f f ，且.2)91(0)1()91()9(===+f f f f ，得（Ⅱ）由条件①及（Ⅰ）的结果得：,20)91()]2([<<<-x f x x f 其中由函数)(x f 在R 上的递减性，可得：⎪⎩⎪⎨⎧<<>-20,91)2(x x x 由此解得x 的范围是3221,3221(+-）（Ⅲ）同上理，不等式2091)2(2)2()(<<>-<-+x x kx x f kx f 且可化为，可得 )2(91x x k ->，此不等式有解等价于k>[)2(91x x -]min∵911)]2([max >=-k x x ，故即为所求范围. 19．解：当0<a <1时，函数),0()1(log +∞+=在内x y a 单调递减；当a >1时，函数),0()1(log +∞+=在内x y a 不是单调递减.曲线x x a x y 与1)32(2+-+=轴交于两点等价于.252104)32(2><>--a a a 或，即情形（1）：P 正确，且Q 不正确.即函数),0()1(log +∞+=在内x y a 单调递减，曲线x x a x y 与1)32(2+-+=轴交于两点，因此)1,21[]]25,1()1,21[[)1,0(∈⋃⋂∈a a ，即情形（2）：P 不正确，且Q 正确.即函数),0()1(log +∞+=在内x y a 不是单调递减，曲线x x a x y 与1)32(2+-+=轴交于两点，因此).,25()],25()21,0[(),1(+∞∈+∞⋃⋂+∞∈a a ，即综上，a 取值范围是).,25()1,21[+∞⋃20．（Ⅰ）解：∵⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-≤<-=-=1 ,1110 ,11|11|)(x xx x x x f故]1,0()(在x f 上是减函数，而在),1(+∞上是增函数，由,211111110)()(0=+-=-<<<=<<ba b a b a b f a f b a ，即，和得，且而.112112>>+=ab abb a ，所以（Ⅱ）不存在这样的实数a ，b.假设存这样的实数a ，b 使得函数)(x f y =的定义域、值域是都是 [a ，b]①当0<a <b<1时，函数]1,0(11)(在-=x x f 上是减函数，则⎩⎨⎧==ab f b a f )()(，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-a bb a 1111，解得a =b 与0<a <b<1矛盾，故此时不存在满足条件的实数a ，b. ②当1<a <b 时，函数),1(11)(+∞-=在x x f 上是增函数，则⎩⎨⎧==b b f a a f )()(，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-b ba a 1111，此时实数a ，b 为方程012=+-x x 的两根，但方程012=+-x x 无实根，因此不存在满足条件的实数a ，b.③当0<a <1<b ，此时显然有],[0)1(],[1b a f b a ∉=∈，而（这是因为a >0），故此时不存在满足条件的实数a ，b.综合①②③可得满足条件的实数是不存在的.。

(完整版)2018届高三年级华附、省实、深中、广雅四校联考(理数)

2018届高三年级华附、省实、深中、广雅四校联考数学（理科）本试卷共5页，22小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．用2B 铅笔将试卷类型和考生号填涂在答题卡相应位置上． 2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应的题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂其他答案，答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效．4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题组号的信息点，再作答．漏涂、错涂、多涂的，答案无效． 5．考生必须保持答题卡的整洁．第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求．1．集合}065|{2≥+-=x x x A ，}012|{>-=x x B ，则=B A IA ．),3[]2,(+∞-∞YB ．)3,21(C ．]3,21(D ．),3[]2,21(+∞Y2． i 为虚数单位，则复数iiz -=2在复平面上对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．若实数y x ,满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≥-≤-≤+,1,23,6x y x y x ，则y x 32+的最大值为A ．21B ．17C ．14D ．54．已知两个单位向量b a ,的夹角为︒120，R k ∈，则||kb a -的最小值为A ．43 B ．23C ．1D ．235．秦九韶是我国南宋时期的数学家，在他所著的《数书九章》中提出的多项式求值的“秦九韶算法”，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n ，x 的值分别为4，2，则输出v 的值为 A ．32 B ．64 C ．65 D ．1306．某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为A ．32 B ．1 C ．34D ．38 7．已知函数3431)(23+++=x x x x f ，若函数b a x f y ++=)(为奇函数，则b a +的值为 A ．5- B ．2-C ．0D ．28．已知函数)0)(sin()(>+=ωϕωx x f 图象的一个对称中心为)0,2(π，且21)4(=πf ，则ω的最小值为 A ．32 B ．1C ．34 D ．29．已知关于x 的方程m x x =++-)2sin()sin(ππ在区间)2,0[π上有两个实根21,x x ，且π≥-||21x x ，则实数m 的取值范围为A ．)1,(5-B ．]1,5(-C ．)5,1[D ．)1,0[10．已知抛物线)0(2:2>=p px y E 的焦点为F ，O 为坐标原点，点)9,2(pM -，)1,2(--pN ，连结OM ，ON 分别交抛物线E 于点B A ,，且F B A ,,三点共线，则p 的值为A ．1B ．2C ．3D ．411． e 为自然对数的底数，已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≥-<+=1,1ln 1,18)(x x x xx f ，则函数ax x f y -=)(有唯一零点的充要条件是A ．1-<a 或21e a =或89>aB ．1-<a 或2181ea ≤≤ C ．1->a 或8912<<a eD ．1->a 或89>a12．在三棱锥ABC P -中，2====BC AC PB PA ，32=AB ，1=PC ，则三棱锥ABC P -的外接球的表面积为A ．34π B ．π4C ．π12D ．352π第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．如图是一组数据),(y x 的散点图，经最小二乘法计算，y 与x 之间的线性回归方程为1ˆˆ+=x b y，则=b ˆ ． 14．4)1)(11(-+-x xx 展开式中3x 的系数为． 15．过双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 右顶点且斜率为2的直线，与该双曲线的右支交于两点，则此双曲线离心率的取值范围为． 16．如图在平面四边形ABCD 中，︒=∠45A ，︒=∠60B ，︒=∠150D ，42==BC AB ，则四边形ABCD 的面积为．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：60分． 17．（本小题满分12分）已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，)0(1>=λλa ，).(12*1N n S a n n ∈+=+(Ⅰ)求λ的值； (Ⅱ)求数列}1{1+n n a a 的前n 项和.n T依据某地某条河流8月份的水文观测点的历史统计数据所绘制的频率分布直方图如图（甲）所示；依据当地的地质构造，得到水位与灾害等级的频率分布条形图如图（乙）所示．(Ⅰ)以此频率作为概率，试估计该河流在8月份发生1级灾害的概率；(Ⅱ)该河流域某企业，在8月份，若没受1、2级灾害影响，利润为500万元；若受1级灾害影响，则亏损100万元；若受2级灾害影响则亏损1000万元．现此企业有如下三种应对方案：方案防控等级费用（单位：万元）方案一无措施 0 方案二防控1级灾害 40 方案三防控2级灾害100试问，如仅从利润考虑，该企业应选择这三种方案中的哪种方案？说明理由． 19．（本小题满分12分）已知四棱锥ABCD P -，底面ABCD 为菱形，PB PD =，H 为PC 上的点，过AH的平面分别交PD PB ,于点N M ,，且//BD 平面.AMHN (Ⅰ)证明：PC MN ⊥；(Ⅱ)当H 为PC 的中点，AB PC PA 3==，PA 与平面ABCD 所成的角为︒60，求二面角N AM P --的余弦值．已知椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x E 的离心率为21，圆)0(:222>=+r r y x O 与x 轴交于点N M 、，P 为椭圆E 上的动点，a PN PM 2||||=+，PMN ∆面积最大值为.3 (Ⅰ)求圆O 与椭圆E 的方程；(Ⅱ)圆O 的切线l 交椭圆E 于点B A 、，求||AB 的取值范围．21．（本小题满分12分）已知函数1)61()(+--=xe ax x f ，其中Λ718.2=e 为自然对数的底数，常数.0>a (Ⅰ)求函数)(x f 在区间),0(+∞上的零点个数；(Ⅱ)函数)(x F 的导数)()()(x f a e x F x-='，是否存在无数个)4,1(∈a ，使得a ln 为函数)(x F 的极大值点？说明理由．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．（本小题满分10分）[选修4—4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线1:1=+y x C 与曲线⎩⎨⎧=+=.sin 2,cos 22:2ϕϕy x C （ϕ为参数，)2,0[ πϕ∈）．以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． (Ⅰ)写出曲线21,C C 的极坐标方程；(Ⅱ)在极坐标系中，已知点A 是射线)0(:≥=ραθl 与1C 的公共点，点B 是l 与2C的公共点，当α在区间]2,0[π上变化时，求||||OA OB 的最大值． 23．（本小题满分10分）[选修4—5：不等式选讲]已知函数|||1|)(2a x x x f ++-=，其中.R a ∈ (Ⅰ)当2=a 时，求不等式6)(≥x f 的解集；(Ⅱ)若存在R x ∈0，使得a x f 4)(0<，求实数a 的取值范围．数学（理科）参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分 13．0.8； 14．1； 15．)5,1(； 16．.36-三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：60分． 17．（本小题满分12分）[解析](Ⅰ)因为n n n S S a -=++11，代入121+=+n n S a 可得：121+=-+n n n S S S ，……2分整理可得21)1(+=+n n S S ，因为0>n S ，所以11=-+n n S S ，……3分所以数列}{n S 是首项为λ，公差为1的等差数列， ……4分所以1)1(-+=-+=λλn n S n ，2)1(-+=λn S n ，……5分当2≥n ，3221-+=-=-λn S S a n n n ，……6分当1=n ，λ=1a ，……7分因为，21=-+n n a a ，所以，若数列}{n a 为等差数列，则有21212=-+=-λλa a ，解得.1=λ……8分(Ⅱ)由(Ⅰ)可得12+=n a n ，所以)321121(21)32)(12(111+-+⨯=++=+n n n n a a n n ，……10分所以13221111++++=n n n a a a a a a T Λ，即.64161)32112171515131(21+-=+-+++-+-⨯=n n n T n Λ ……12分18．（本小题满分12分）[解析](Ⅰ)依据甲图，记该河流8月份“水位小于40米”为事件1A ，“水位在40米至50米之间”为事件2A ，“水位大于50米”为事件3A ，它们发生的概率分别为：65.05)06.005.002.0()(1=⨯++=A P ，30.05)02.004.0()(2=⨯+=A P ， .05.0501.0)(3=⨯=A P……3分记该地8月份“水位小于40米且发生1级灾害”为事件1B ，“水位在40米至50米之间且发生1级灾害”为事件2B ，“水位大于50米且发生1级灾害”为事件3B ，所以1.0)(1=B P ，2.0)(2=B P ，.6.0)(3=B P……4分记“该河流在8月份发生1级灾害”为事件.B)()()()()()()()()()(332211332211B P A P B P A P B P A P B A P B A P B A P B P ⋅+⋅+⋅=++=155.060.005.020.030.010.065.0=⨯+⨯+⨯=．估计该河流在8月份发生1级灾害的概率为0.155，……6分(Ⅱ)以企业利润为随机变量，选择方案一，则利润1X （万元）的取值为：1000,100,500--，由(Ⅰ)知81.0)500(1==X P ，155.0)100(1=-=X P ，035.0)1000(1=-=X P ， 1X 的分布列为，则该企业在8月份的利润期望5.354035.01000155.010081.0500)(1=⨯-⨯-⨯=X E （万元）……8分选择方案二，则2X （万元）的取值为：1040,460-，由(Ⅰ)知965.0)460(2==X P ，035.0)1040(2=-=X P ，2X 的分布列为，P0.965 0.035则该企业在8月份的平均利润期望5.407035.0)1040(965.0460)(2=⨯-+⨯=X E（万元）……10分选择方案三，则该企业在8月份的利润为：400100500)(3=-=X E （万元）……11分由于)()()(132X E X E X E >>，因此企业应选方案二……12分19．（本小题满分12分）(Ⅰ)证明：连结AC 交BD 于点O ，连结.PO因为ABCD 为菱形，所以AC BD ⊥，且O 为BD AC 、的中点，因为PB PD =，所以BD PO ⊥，因为O PO AC =I 且⊂PO AC 、平面PAC ，所以⊥BD 平面PAC ，因为⊂PC 平面PAC ，所以PC BD ⊥，因为//BD 平面AMHN ，且平面I AMHN 平面MN PBD =，所以MN BD //，所以.PC MN ⊥ ……5分(Ⅱ)由(Ⅰ)知AC BD ⊥且BD PO ⊥，因为PC PA =，且O 为AC 的中点，所以AC PO ⊥，所以⊥PO 平面ABCD ，所以PA 与平面ABCD 所成的角为PAO ∠，所以︒=∠60PAO ，所以PA AO 21=，PA PO 23=，因为AB PA 3=，所以.63PA BO =……8分以OP OB OA ,,分别为z y x ,,轴，建立如图所示空间直角坐标系．记2=PA ，所以),0,0,1(),0,0,0(A O),0,33,0(),0,0,1(),0,33,0(--D C B ),23,0,21(),3,0,0(-H P所以),23,0,23(),0,332,0(-==AH DB ).3,0,1(),0,33,1(-=-=AP AB记平面AMHN 的法向量为),,(1111z y x n =，所以⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0011AH n DB n 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=023230332111z x y ，令11=x ，解得01=y ，31=z ，所以，)3,0,1(1=n ，记平面PAB 的法向量为),,(2222z y x n =，所以⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0022n n 即⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-030332222z x y x ，令12=x ，解得32=y ，332=z ，所以，)33,3,1(2=n ， ……11分记二面角N AM P --的大小为θ，所以，.1339||||||,cos |cos 212121==><=n n n n n n θ所以二面角N AM P --的余弦值为1339．……12分20．（本小题满分12分）[解析](Ⅰ)由题意2122=-a b a ，解得，a b 23=，①，……1分因为，a PN PM 2||||=+，所以，点N M 、为椭圆的焦点，所以，222241a b a r =-=， ……2分设),(00y x P ，所以b y b ≤≤-0，因为，||21||00y a y r S PMN =⋅=∆，当b y =||0时，321)(max ==∆ab S PMN ， ……3分代入①解得2=a ，所以，3=b ，1=r ，……4分所以，圆O 的方程为122=+y x ，椭圆E 的方程为.13422=+y x ……5分(Ⅱ)(1)当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为m kx y +=，),(11m kx x A +，),(22m kx x B +，因为，直线l 与圆O 相切，所以有：11||2=+km ，即221k m +=，②……6分联立⎪⎩⎪⎨⎧+==+,,13422m kx y y x ，消y 可得：01248)34(222=-+++m kmx x k ，因为21,x x 为此方程的根，0)23(48)34(48222>+=-+=∆k m k ，所以，348221+-=+k kmx x ，341242221+-=k m x x ③，因为，2122122124)(1||1||x x x x k x x k AB -++=-+=，代入③式可得：3434134||2222+-+⋅+⋅=k m k k AB……8分代入②式可得：43)41)43(3)(4143(334)23)(1(34||222222+-+++⋅=+++⋅=k k k k k k AB所以，343121)43(11613||222++⋅++-⋅=k k AB ，令4312+=k t ，所以，3443102≤+=<k t ，所以，3211613||2+⋅+-⋅=t t AB ，340≤<t ，因为，4)4(1613||2+--⋅=t AB ，所以，364||3≤<AB……11分(2)当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为1±=x ，解得：)23,1(),23,1(μB A ±，或)23,1(),23,1(μ-±-B A ，所以，.3||=AB综上，||AB 的取值范围为]364,3[ ……12分21．（本小题满分12分）[解析](Ⅰ)xe a x xf )6()(-='……1分当60a x <<时，0)(<'x f ，)(x f 单调递减；当6ax >时，0)(>'x f ，)(x f 单调递增；……2分因为06)0()6(<-=<a f a f ，01)61(>=+a f ，所以存在)61,6(0aa x +∈，使0)(0=x f ；且当00x x <<时，0)(<x f ，当0x x >时，.0)(>x f 故函数)(x f 的有1个零点，即.0x ……4分(Ⅱ)（法一）当1>a 时，0ln >a ．因为当)ln ,0(a x ∈，0<-a e x；当),(ln +∞∈a x ，.0>-a e x由(Ⅰ)知，当),0(0x x ∈，0)(<x f ；当),(0+∞∈x x ，.0)(>x f 下证：当),1(e a ∈时，0ln x a <，即证.0)(ln <a f16ln 1)61(ln )(ln 2+--=+--=a a a a a a a a f ，记16ln )(2+--=x x x x x g ，],1[e x ∈……6分3ln )(x x x g -='，033)(>-=''x xx g ，所以)(x g '在),1(e 单调递增，由031)1(<-='g ，031)(>-='ee g ，……7分所以存在唯一零点),1(0e t ∈，使得0)(0='t g ，且),1(0t x ∈时，0)(<'x g ，)(x g 单调递减；),(0e t x ∈时，0)(>'x g ，)(x g 单调递增．……8分当),1(e x ∈时，)}.(),1(max{)(e g g x g <……9分由061)1(<-=g ，066)(2<-=e e g ，得当),1(e x ∈时，.0)(<x g 故0)(ln <a f ，.ln 00x a <<……11分当a x ln 0<<时，0<-a e x，0)(<x f ，0)()()(>-='x f a e x F x，)(x F 单调递增；当0ln x x a <<时，0>-a e x，0)(<x f ，0)()()(<-='x f a e x F x，)(x F 单调递减．所以存在)4,1(),1(⊂∈e a 时，a ln 为)(x F 的极大值点．……12分(Ⅱ)（法二）因为当)ln ,(a x -∞∈，0<-a e x；因为当),(ln +∞∈a x ，.0>-a e x由(Ⅰ)知，当),(0x x -∞∈，0)(<x f ；因为当),(0+∞∈x x ，0)(>x f ．（0x 的意义同(Ⅰ)）存在无数个)4,1(∈a ，使得a ln 为函数)(x F 的极大值点，即存在无数个)4,1(∈a ，使得0ln x a <成立，①……6分由(Ⅰ)，问题①等价于，存在无数个)4,1(∈a ，使得0)(ln <a f 成立，因为，16ln 1)61(ln )(ln 2+--=+--=a a a a a a a a f ，记16ln )(2+--=x x x x x g ，)4,1(∈x……7分3ln )(xx x g -='，)4,1(∈x ，因为，033)(>-=''xx x g ，所以)(x g '在)2,23(单调递增，由02123ln )23(<-='g ，0322ln )2(>-='g ，所以存在唯一零点)2,23(0∈t ，使得0)(0='t g ，且),23(0t x ∈时，0)(<'x g ，)(x g 单调递减；且)2,(0t x ∈时，0)(>'x g ，)(x g 单调递增；所以，]2,23[∈x 16ln )())((200000min +--==t t t t t g x g ，②……9分由0)(0='t g ，可得3ln 00t t =，代入②式可得16)())((0200min +-==t t t g x g ，当)2,23(0∈t ，081216)3(16)(200200<-≤--=+-=t t t t g ， ……11分所以，必存在)2,23(∈x ，使得0)(<x g ，即对任意)2,23(∈a ，0)(ln <a f 有解，所以，对任意)2,23(∈a ，函数)(x F 存在极大值点为.ln a……12分（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）[解析] (Ⅰ)曲线1C 的极坐标方程为1)sin (cos =+θθρ，……3分即.22)4sin(=+πθρ……3分曲线2C 的普通方程为4)2(22=+-y x ，即.0422=-+x y x 曲线2C 的极坐标方程为θρcos 4=……6分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知θθρsin cos 1||+==A OA ，θρcos 4||==B OB ，……8分)42sin(222)2sin 2cos 1(2)sin (cos cos 4||||παααααα++=++=+=OA OB ……10分由20πα≤≤知45424ππαπ≤+≤，当242ππα=+，即8πα=时，||||OA OB 有最大值.222+……12分23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）[解析](Ⅰ)当2=a 时，⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤<--≤--=++-=.1,12,12,3,2,12|2||1|)(x x x x x x x x f⎩⎨⎧≥---≤⇔≥61226)(x x x f 或⎩⎨⎧≥<≤-6312x 或276121-≤⇔⎩⎨⎧≥+≥x x x 或25≥x ……4分因此不等式6)(≥x f 的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥-≤2527x x x 或……6分(Ⅱ)1|1||)()1(||||1|)(2222+=+=+--≥++-=a a a x x a x x x f ，且1)1(2+=a f ，所以.1)(2min +=a x f ……10分存在R x ∈0，使得a x f 4)(0<等价于.32320141422+<<-⇔<+-⇔+>a a a a a所以实数a 的取值范围是).32,32(+-……12分。

广东省华南师范大学附属中学2018届高三上学期第一次月考数学(理)试题(精品解析)

华南师大附中2018届高三综合测试（一）数学（理科）本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试时间120分钟．1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名和考生号、试室号、座位号等填写在答题卡上，并用2B铅笔在答题卡上的相应位置填涂考生号．2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．3．回答第Ⅱ卷时，用黑色钢笔或签字笔将答案写在答卷上．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知，，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】分别求出集合与中不等式的解集，确定两个结合，求出两个集合的交集即可．【详解】由题意，集合或，集合，所以，故选C．【点睛】本题主要考查了集合中交集的运算，其中熟记集合的运算和集合交集的运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．2.设，且，则是的（）A. 充分但不必要条件B. 必要但不充分条件C. 既不充分也不必要条件D. 充要条件【答案】C【解析】【详解】由题意，当，则，所以充分性不成立，又满足时，理如，此时不成立，所以必要性不成立，所以“”是“”既不充分也不必要条件，故选C．【点睛】本题主要考查了充要条件的判定问题，其中解答中熟记充要条件的判定方法，也采用特例法是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题．3.函数与在同一直角坐标系下的图象大致是（）【答案】选C．【解析】注意的图象是由的图象右移1而得．本题考查函数图象的平移法则．4.设命题，使得，则为（）A. ，使得B. ，使得C. ，使得D. ，使得【答案】A【解析】【详解】由题意，根据命题的否定的概念，可知命题“，使得”，则为“，使得”，故选A．【点睛】本题主要考查了命题的否定的概念，其中熟记全称命题和存在性命题的互为否定的关系是书写全称命题否定的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题．5.把的图像向左平移个单位，再把所得图像上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍，而纵坐标保持不变，所得的图像的解析式为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据三角函数的图象变换，即可得到图象变换后的三角函数的解析式，得到答案．【详解】由题意，把的图像向左平移个单位，得，再把所得图像上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍，而纵坐标保持不变，所得的图像的解析式为，故选B．【点睛】本题主要考查了利用三角函数的图象变换求三角函数的解析式，其中解答中熟记三角函数的图象变换是解答此类问题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．6.设，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用指数函数与对数函数的图象与性质，即可得到答案．【详解】由题意，，所以，故选C．【点睛】本题主要考查了利用函数的性质比较大小问题，其中熟记指数函数和对数函数的图象与性质是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，以及分析问题和解答问题的能力，属于基础题．7. 函数f(x)=|x-2|-lnx在定义域内零点的个数为()A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】C【解析】分别画出函数y＝ln x(x>0)和y＝|x－2|(x>0)的图像，可得2个交点，故f(x)在定义域中零点个数为2.8.已知函数的定义域是，则函数的定义域是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据题意，利用抽象函数的定义域求解方法和对数函数的性质，列出相应的不等式，即可求解．【详解】由题意，函数的定义域为，即，令，解得，又由满足且，解得且，所以函数的定义域为，故选B．【点睛】本题主要考查了函数的定义域的求解问题，其中熟记抽象函数的定义域的求解方法和对数函数的性质是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．9.给出下列命题：①正切函数图象的对称中心是唯一的；②若函数的图像关于直线对称，则这样的函数是不唯一的；③若，是第一象限角，且，则；④若是定义在上的奇函数，它的最小正周期是，则．A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】①中，由正切函数的性质可知，正切函数的对称中心是不唯一的，所以是错误的；②中，图象关于直线的函数由多个，所以是正确的；③中，如，此时，此时，所以不正确；④中，由，，所以，所以正确，【详解】由题意，①中，由正切函数的性质可知，正切函数的对称中心是不唯一的，所以是错误的；②中，图象关于直线的函数由多个，所以是正确的；③中，若是第一象限角，且，如，此时，此时，所以不正确；④中，若函数是定义在上的奇函数，它的最小正周期为，则，，所以，所以正确，故选B．【点睛】本题主要考查了命题的真假判定问题，其中解答中熟记三角函数的相关知识，逐个判定是解答的关键，解答时要认真审题，注意函数性质的合理运用，着重考查了推理与论证能力，属于中档试题．10.函数是定义域为的非常值函数，且对任意，有，，则是（）A. 奇函数但非偶函数B. 偶函数但非奇函数C. 奇函数又是偶函数D. 非奇非偶函数【答案】B【解析】【分析】根据，可以确定函数额对称性，再根据，可以确定函数的周期，结合函数的奇偶性的定义，即可判断得到答案．【详解】由题意，因为，所以函数的对称轴为，又，所以，所以函数的周期为，∴是函数的对称轴，所以为偶函数，又∵在R上不是常数函数，所以不恒为0，所以是偶函数但不是奇函数，故选B．【点睛】本题主要考查了抽象函数的应用，以及函数的奇偶性与对称性、周期性的关系，函数的奇偶性可以利用定义判定，也可以利用函数的图象的对称性进行判定，同时主语既是奇函数又是偶函数的函数必为函数，着重考查了推理与论证能力，属于基础题．11.已知函数的定义域为，若在上为增函数，则称为“一阶比增函数”；若在上为增函数，则称为“二阶比增函数”。