2 误差基本知识
误差知识与算法知识点总结
误差知识与算法知识点总结1. 误差的概念误差是指测量结果与真实值之间的差异。
在实际应用中，无法完全获得真实值，因此测量结果总会有一定的偏差，这种偏差就是误差。
误差可以分为系统误差和随机误差两种类型。
2. 系统误差系统误差是指测量结果偏离真实值的固有偏差，常常是由于仪器、环境或测量方法等因素引起的。
系统误差的存在会导致测量结果产生偏差，降低测量结果的准确性。
3. 随机误差随机误差是由于实验环境、人为操作等随机因素引起的误差，是无法完全避免的。
随机误差会导致测量结果的离散度增大，降低测量结果的精确性。
4. 误差分析误差分析是对测量结果中的误差进行定量分析的过程，其目的是评估测量结果的准确性和精确性。
误差分析通常包括误差的来源和类型、误差的大小和分布、误差的传递和积累等内容。
5. 误差传递误差传递是指当多个测量结果相互影响时，每个测量结果中的误差会随着计算和运算的进行而传递和积累。
误差传递的过程需要考虑各种因素对误差的影响，以准确评估测量结果的误差范围。
6. 误差控制误差控制是指在测量过程中采取一系列措施来减小误差的产生和传递，以提高测量结果的准确性和精确性。
误差控制的方法包括校准仪器、规范操作、提高测量精度等。
7. 误差分布误差分布是指测量结果中误差的分布情况，可以通过统计学方法进行分析和描述。
误差分布通常服从正态分布或其他概率分布，可以通过统计参数进行描述。
8. 误差评估误差评估是对测量结果中的误差进行评定和验证的过程，以确定测量结果的可靠性和可信度。
误差评估通常包括测量不确定度的计算和报告，以及误差边界的确定和验证。
二、算法知识点总结1. 算法的概念算法是指解决问题或实现功能的一系列有序步骤的描述，是计算机程序的核心。
算法描述了如何通过一定的计算过程来实现特定的功能或者处理特定的数据。
2. 算法的特性算法具有确定性、有限性、输入和输出、易实现等特性。
确定性指算法的每一步都有唯一的后续步骤，有限性指算法必须在有限的步骤内结束，输入和输出指算法需要接受输入数据并产生输出结果，易实现指算法可以通过简单的描述和规范步骤来实现。
误差基础知识
测量结果： 测量结果： 1）测量结果的完整表述：包括测量误差，必要时 测量结果的完整表述：包括测量误差， 测量误差 还应给出自由度和置信概率。 还应给出自由度和置信概率。 2）测量结果的特征：具有重复性和再现性。 测量结果的特征：具有重复性和再现性。 重复性——指在相同测量条件下 相同的测量程序、 重复性——指在相同测量条件下（相同的测量程序、 ——指在相同测量条件 测量仪器、观测者、地点、测量环境、 测量仪器、观测者、地点、测量环境、短期 内的重复测量） 内的重复测量）对同一被测量进行连续多次 测量所得的结果之间的一致性。 测量所得的结果之间的一致性。 再现性(复现性)——指在改变测量条件， 指在改变测量条件 再现性(复现性)——指在改变测量条件，对被测量 进行多次测量时，每一次测量结果的一致性。 进行多次测量时，每一次测量结果的一致性。 指在一定的误差范围内， （指在一定的误差范围内，每次测量结果的 可靠性是相同的）。 可靠性是相同的）。
3）相对真值：凡高一级标准器（计量器）的误差是 相对真值：凡高一级标准器（计量器） 低一级或普通测量仪器误差的1/3～ 低一级或普通测量仪器误差的1/3～1/20 1/3 时，则可认为前者是后者的相对真值。 则可认为前者是后者的相对真值。 在科学试验中，真值就是指在无系统误差的情况下， 在科学试验中，真值就是指在无系统误差的情况下， 就是指在无系统误差的情况下 观测次数无限时 求得的平均值。 观测次数无限时，求得的平均值。 平均值 但实际采用有限次所取得的平均值作为近似真值 但实际采用有限次所取得的平均值作为近似真值 有限次所取得的平均值作为 （最可信赖值）。 最可信赖值）。
（1）测量的目的 求出被测量的真值,但是一切测量都包含有误差, 求出被测量的真值,但是一切测量都包含有误差, 真值 测量值只能接近于真值。与测量手段是否先进无关。 测量值只能接近于真值。与测量手段是否先进无关。 只能接近于真值 手段越先进，越接近于真值。 手段越先进，越接近于真值。 （2）测量：以确定量值（数据）为目的的一组操作。 测量：以确定量值（数据）为目的的一组操作。 （3）测量结果：根据已有的信息和条件对被测量的 测量结果： 最佳估计，及对真值的最佳估计。 最佳估计 最佳估计，及对真值的最佳估计。
误差常用知识总结,考试必备!
1、研究误差的意义：正确认识误差的性质，分析误差产生的原因消除或减少误差，正确处理测量和实验数据，合理计算所得结果得到更接近真值的数据，正确组织实验过程，合理设计、选用仪器及测量方法在最经济条件下得到理想结果。
2、误差：测得值与被测量的真值之差。
误差= 测得值–真值3、真值：观测一个量时，该量本身所具有的真实大小。
分类：理论值、约定真值4、约定真值：是指对于给定用途具有适当不确定度的、赋予特定量的值。
该术语在计量学中常用。
也称为指定值、最佳估计值、约定值、参考值5、实际值：满足规定精确度的用来代替真值使用的量值。
如高一级精度的测量结果。
6、绝对误差：绝对误差=测得值-真值；修正值=真值-测得值= -误差7、修正值:为了消除固定的系统误差用代数法而加到测量结果上的值。
8、相对误差：绝对误差与被测量真值之比。
相对误差=绝对误差/ 真值=绝对误差/ 测得值9、引用误差：是指仪器仪表某刻度的示值误差与测量范围上限制或全量程的比值。
引用误差=示值误差/测量范围上限。
10、误差来源：1、测量装置误差：标准器件误差、仪器误差、附件误差；2、测量环境误差：温度、湿度、尘埃、大气压力、气流、振动；3、测量方法误差：由于测量方法的不完善引起的误差，如采用近似的测量方法、计算公式等原因所引起的误差，又称为理论误差；4、测量人员误差：测量人员的工作责任心、技术熟练程度、生理感官与心理因素、测量习惯等的不同而引起的误差。
11、系统误差：在同一条件下，多次重复测量同一量值时，绝对值和符号保持不变，或在条件改变时，按某一确定规律变化的误差。
按对误差掌握程度，系统误差可分为: 已定系统误差、未定系统误差；按误差出现规律，系统误差可分为：不变系统误差、变化系统误差12、随机误差：在同一测量条件下，多次重复测量同一量值时，绝对值和符号以不可预知的方式变化的误差。
又称为偶然误差。
产生原因：实验条件的偶然性微小变化，如温度波动、噪声干扰、电磁场微变、电源电压的随机起伏、地面振动等。
误差基本知识
-3
17905957
+3
17905958
+2
18000001
-1
次序 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
第二组观测值
观测值 真误差
18000001
-1
17905958
+2
18000008
-8
18000002
-2
18000001
-1
17905958
+2
17905953
+7
18000000
二、测量误差的分类及处理原则 1、分类 根据误差产生的原因及对观测结果影响的性质，可以分 为：1）系统误差
在相同的观测条件下，对某量进行了 n 次观测，如果
误差出现的大小和符号均相同或按一定的规律变化，称为 系统误差。 特点：①同一性：误差的绝对值保持恒定常数或按一定规 律变化，即存在误差 f （常数）
3. 观测条件、等精度与不等精度观测
人、仪器及环境是测量工作进行的必要条件，把这 三个条件综合起来，就称为观测条件。凡观测条件相同 的同类观测称为等精度观测；观测条件不同的同类观测 称为不等精度观测。
问题：在相同观测条件下，得到一个三角形的内角
和闭合差是 10 ，另一个三角形内角闭合差
是 50 。试问，它们是同精度观测吗？
2
lim lim n
n
n n
偶然误差的数学性质
3. 偶然误差标准差（中误差）的理论值表达式:
lim n
2 n
lim n
n
4. 偶然误差中误差的求法:
m 2
n
n
对应不同中误差的偶然误差分布曲线
5.3 衡量精度的标准及算术平均值
测量的基本知识
测量的基本知识一、误差的基本知识1、测量测量是人们定量认识客观量值的唯一手段, 是人类从事科学研究活动的基础，没有测量就没有科学。
我们在进行物理实验时，不仅要对实验现象进行定性的观察，还要对物理量进行定量的研究，这就需要进行针对不同物理量的测量活动。
所谓测量就是以确定[被测量对象的]量值为目的的一组操作。
“被测量对象”被称为被测量（或称为：测量量、待测物理量），由测量确定的被测量量值的估计值被称为测量结果（或称为：测量值），被测量的希望确定的实际（客观）量值被称为被测量的真值，而这个“一组操作”（或称为全部操作）可以用下面这个例子来说明。
我们要测量一个如图 1-1-1 所示的圆柱的体积V ，在数学上，已知其中d 为圆柱体的直径，h 则为高。
利用长度测量工具例如卡尺、千分尺测得d 和h 后，我们便可以算出V 。
在上述的体积测量过程中，d 和h是利用测量工具得到的，而体积V则是利用d、h 和计算公式通过计算得到的，具体的操作方式虽然不同,而目的和性质却是相同的,都是测量。
通过上面这个例子我们还可以看到，虽然都是测量，但物理量d 、h 和V 的获取方法和过程是不相同，所以通常根据待测物理量最终测量结果的获取过程把测量分为两大类，即直接测量和间接测量。
进而也就有了直接测量量和间接测量量的概念。
不言而喻，在上例中，体积V的测量属间接测量，则V 这个量就是间接测量量，而d 与h 则是直接测量量。
2、误差的概念任何一个待测物理量的真值都是客观存在的，测量的本意就是要尽可能地得到这个真值。
但由于客观世界和测量过程本身的不完善性，从理论上讲这种不完善性永远不可能完全排除，因此测量值和真值之间必然存在差异，这种差异就是误差。
即：误差 = 测量值 - 真值。
如果用表示被测量Y 的测量误差，用表示被测物理量的真值，用表示测量结果，则有。
由于每次测量都存在误差，因而通过测量永远得不到真值。
那么，什么样的测量值是最理想的或者是最接近真值的呢？如何来评价测量结果的可信程度呢？这就必要对测量误差进行研究和讨论，用误差分析的思想方法来指导实验的全过程。
基础物理实验绪论知识点总结(北航版)
对上式微分： dn n 于是有： u (n)
n
cos
A 1 1 A 1 dA d cos dA 1 A A 1 A 2 2 2 2 2 cot cot dA cot d A A 2 2 2 2 2 sin sin 2 2
灯光源）对应的 50o58 3 ，则黄光对应的折射率 n u n = 【解】依题意，有：
sin A 60o 0 50o58 sin 2 2 1.6479 o A 50 58 sin sin 2 2
。
n
对折射率公式取对数： ln n ln sin A ln sin A
2
u x 1 u x x ， 1 1 2 u x i u xi
2 i i 2 i i
xi
7
五、 有效数字及其运算法则
1. 由若干位可靠数字和一位可疑数字合起来就构成了测量的有效数字。 （区别于计量学中的 有效数字） 2. 测量结果第一位（最高位）非零数字前的 0，不属于有效数字，而非零数字后面的 0 都是 有效数字。 3. 仪器示值有效数字的读取 对于直接观测量，直接读取仪器示值时，规定：通常可按“估读误差”来决定数据的有 效数字，即一般可读至标尺最小分度的 4. 有效数字的运算法则 加减法：以参加运算各量中有效数字最末一位位数最高的为准并与之对齐。 记 N A B C D ，则 u N u 2 A u2 B u2 C u2 D ，因此取决于 u A 、
1
在一定的实验条件下，三类误差有自己的内涵和界限；但当条件改变时，彼此又可互相
5.
准确度（or 精确度）——表示测量结果与被测量的（约定）真值之间的一致程度。
1-2-误差的基本知识解析
e x2
x2 1
p(x)
x1
x1 2
x2
2 2
d
x
e
p(x)
1
2
x2
2 2
d
x
2024/7/6
热能与动力工程测试技术
27
随机误差概率密度分布曲线-误差分布曲线
误差分布曲线性质：
1.对称性—误差分布方程中指数项含有x2，曲线y轴对称 2.单峰性—在x=0处，y达到最大值 3.有界性(小概率性)—当x->∞时，y->0，即最大误差
注意：系统误差很多情况是使测量结果偏向一边， 或者偏大，或者偏小，因此，多次测量求平均 值并不能消除系统误差。
2024/7/6
热能与动力工程测试技术
14
2).过失误差（粗大误差）
定义：在测量过程中完全由于人为过失而明显 造成了歪曲测量结果的误差称为过失误差。
原因：人为 处理：过失误差的值大大超出同样条件下所测 得的正确数值。一旦发现粗大误差，这类数据必 须予以剔除，并通过主观努力克服这种错误。
2024/7/6
热能与动力工程测试技术
15
3).随机误差（偶然误差、概率误差）
定义： 对同一个被测量进行多次测量时，剔除系统 误差和过失误差之后，由于受到某些不可知随机 因素的影响，其值并不一致，测量误差时大时小 时正时负地变化，但测量次数足够多时，其误差 的分布服从统计规律，这类误差称为随机误差。
2024/7/6
热能与动力工程测试技术
21
2.2.1、随机误差分布的性质
1)有界性： 在一定的测量条件下，随机误差总是在一定的、相当 窄的范围内变动，绝对值很大的误差出现的概率趋近 于零。 随机误差的绝对值实际上不会超过一定的界限。
仪表知识培训课件
一﹑仪表的分类与发展
控制单元的品种有：比例积分微分控制器﹑比例积分控制器﹑微分控 制器以及具有特种功能的控制器等。 d.运算单元：它将几个标准统一的信号进行加﹑减﹑乘﹑除﹑开方﹑ 平方等运算，适用于多种参数综合控制﹑比值控制﹑流量信号的温度 压力补偿计算等。 运算单元的品种有：加减器﹑乘除器﹑开方器等。 e.显示单元：它对各种被测参数进行指示﹑记录﹑报警和积算，供操 作人员监视控制系统和生产过程工况之用。 显示单元的品种有：指示仪﹑指示记录仪﹑报警器﹑比例积算器和开 方积算器等。 f.给定单元：它输出标准统一信号，作为被控变量的给定值送到控制 单元，实现定值控制。给定单元的输出也可以供给其他仪表作为参考 基准值。 给定单元的品种有：恒流给定器﹑定值器﹑比值给定器和时间程序给 定器等。
2.2 A:±(0.15+0.002 |t| ) B: ±(0.30+0.002 |t| ) 2.3 涡街流量计:测气体1.5、测液体1.0 2.4 质量流量计:0.1 电磁流量计:1.0 转子流量计:1.6
差压式流量计：按类型不同，根据传感器及差压变送器精度来确
2.5
定，一般为± (1.0-2.0)FS。
艾默生公司生产的375手操器
3.5应用中注意事项
不同类型表不要混用：根据生产要求及使用环境做具体分析， 按被测介质的性质，如状态（气体、液体）、温度、粘度、腐 蚀性、易燃和易爆程度等来选择使用。如氧气表、乙炔表，带 有“禁油”标志，专用于特殊介质的耐腐蚀压力表、耐高温压力 表、隔膜压力表等
开表时要慢，避免瞬间高压力的冲击。应该看表盘指示压力将 根步阀慢慢打开，尤其对小量程表kPa表更是如此（不可修复 ）。
一.仪表的分类与发展
(1)单元组合仪表可分为变送单元﹑执行单元﹑控制单元﹑转换单元﹑ 运算单元﹑显示单元﹑给定单元和辅助单元等八类。
误差基本知识及中误差计算公式
测量中误差测量误差按其对测量结果影响的性质，可分为：一.系统误差（system error）1.定义：在相同观测条件下，对某量进行一系列观测，如误差出现符号和大小均相同或按一定的规律变化，这种误差称为系统误差。
2.特点：具有积累性，对测量结果的影响大，但可通过一般的改正或用一定的观测方法加以消除。
二.偶然误差（accident error）1.定义：在相同观测条件下，对某量进行一系列观测，如误差出现符号和大小均不一定，这种误差称为偶然误差。
但具有一定的统计规律。
2.特点：（1）具有一定的范围。
（2）绝对值小的误差出现概率大。
（3）绝对值相等的正、负误差出现的概率相同。
（4）数学期限望等于零。
即：误差概率分布曲线呈正态分布，偶然误差要通过的一定的数学方法（测量平差）来处理。
此外，在测量工作中还要注意避免粗差（gross error）（即：错误）的出现。
§2衡量精度的指标测量上常见的精度指标有：中误差、相对误差、极限误差。
一.中误差方差——某量的真误差，[]——求和符号。
规律：标准差估值（中误差m）绝对值愈小，观测精度愈高。
在测量中，n为有限值，计算中误差m的方法，有：1.用真误差（true error）来确定中误差——适用于观测量真值已知时。
真误差Δ——观测值与其真值之差，有：标准差中误差（标准差估值）， n为观测值个数。
2.用改正数来确定中误差（白塞尔公式）——适用于观测量真值未知时。
V——最或是值与观测值之差。
一般为算术平均值与观测值之差，即有：二.相对误差1.相对中误差=2.往返测较差率K=三.极限误差（容许误差）常以两倍或三倍中误差作为偶然误差的容许值。
即：。
§3误差传播定律一.误差传播定律设、…为相互独立的直接观测量，有函数，则有：二.权（weight）的概念1.定义：设非等精度观测值的中误差分别为m1、m2、…m n，则有：权其中，为任意大小的常数。
当权等于1时，称为单位权，其对应的中误差称为单位权中误差（unit weight mean square error）m0，故有：。
误差基础知识
)er
(x
* i
)
绝对误差限和相对误差限传播关系：
n
( y* )
fi' ( x1* ,, xn* ) ( xi* )
i 1
n
r ( y*) i1
xi* y*
fi' (x1*,, xn* )
r (xi*)
2019年11月22日星期
yfnie@
e( f (x * )) f (x)
x
f f
' (x) (x )
er
(x
*
)
•相对误差意义下的条件数：
Condr ( f )
x
f '(x) f (x)
条件数与误差传播的关系： er ( f (x*)) Condr ( f ) er (x*)
结论：条件数是函数自身在一点处固有的特性. 对于相 同的自变量扰动，条件数越大，计算出的函数值误差 越大. 要提高函数值的计算精度，通常需要通过提高初 值精度来实现.
相对误差
Next
不能直接显示出误差限
有效数字
Next
度量间的关系 Next
2019年11月22日星期
yfnie@
5
五
1）绝对误差
• 绝对误差定义： 近似值---真值
e(x*) x* x
在不引起混淆时，简记e(x * ) 为 e * .
• 强、弱近似：
误差有正有负，当误差为正时，近似值较真 值偏大，称此近似为“强近似”；当误差为负时， 近似值较真值偏小，称此近似为“弱近似”。
用自变量的近似值进行准确计算，得
y*=
f
(x1*
,
x
误差的基本概念
误差的基本概念误差的基本概念误差是指实际值与理论值或标准值之间的差异，它是一种客观存在的量，是科学研究、工程设计和生产制造等领域中不可避免的问题。
在现代科学技术和经济管理中，误差的控制和评定是非常重要的。
一、误差的分类1. 绝对误差：指实际值与理论值或标准值之间的代数差。
2. 相对误差：指绝对误差与理论值或标准值之比。
3. 系统误差：指在同样条件下进行多次测量时，由于仪器、环境等因素引起测量结果偏离真实值而形成的常规性偏离。
系统误差也被称为仪器误差或固有偏离。
4. 随机误差：指在同样条件下进行多次测量时，由于各种因素引起测量结果随机地偏离真实值而形成的非常规性偏离。
随机误差也被称为非系统性偏离。
二、误差的来源1. 人为因素：如操作不当、读数不准确、观察角度不同等。
2. 仪器因素：如仪器的精度、灵敏度、分辨率等。
3. 环境因素：如温度、湿度、气压等。
4. 样品因素：如样品的形状、大小、密度等。
三、误差的控制误差的控制是科学研究和生产制造中必须重视的问题。
以下是误差控制的几个方面：1. 提高人员技能水平，加强对测量方法和仪器使用规范的培训。
2. 选用精度较高、稳定性好的仪器，并按照使用说明进行正确操作和维护。
3. 控制环境条件，确保测量环境稳定，避免外界干扰。
4. 对样品进行预处理，使其符合测量要求。
5. 采用多次测量并取平均值来减小随机误差，同时对系统误差进行校正。
四、误差评定误差评定是指对实验或生产过程中产生的误差进行判断和分析。
以下是误差评定的几个方面：1. 计算绝对误差和相对误差，并与规定标准比较，判断是否满足要求。
2. 根据测量数据的分布情况，判断随机误差的大小和分布规律。
3. 对系统误差进行校正，并对校正后的数据进行评定。
4. 通过误差分析，找出产生误差的原因并采取相应措施，以减小误差。
五、总结误差是科学研究和生产制造中不可避免的问题，它会对实验结果和产品质量产生影响。
因此，我们需要了解误差的基本概念、分类和来源，并采取相应措施进行控制和评定。
第2章 测量误差基本知识
L l1 l2 l12 360 .000 m mL ml 12 17 .3mm mL 1 L 21000
(二)解：依题意，则
L 12 l 360 .000 m mL 12 ml 60 .0mm mL 1 L 6000
1 2 3 4 5 6 7 8 9 Σ
125.77 125.74 125.72 125.78 125.75 125.73 125.71 125.79 125.76 1131.75
-2 +1 +3 -3 0 +2 +4 -4 -1 0
4 1 9 9 0 4 16 16 1 60
[例]如图，为求未知点F的高程，由已知点A、B、C、 D和E向F布设五条水准路线，构成具有一个节点的水准 网。各已知点高程、各水准路线长度及高差观测值列 于表中，试求算： 1.未知点F的高程最或然值HF及其中误差mF； 2.每公里水准路线高差测定的中误差m公里； 3.各条水准路线的高差观测值的中误差m1、m2、m3、 m4、m5 。 B
p
i
cN i
距离测量中，当单位距离测量的中误差相同时，各
段距离观测值的权与其长度s成反比
c pi s i
三、单位权中误差
其值恰为1的权称为单位权，此时,pi=1. mi= 与之对应的观测值、精度值和中误差分别称为单位 权观测值L，单位权精度和单位权中误差。 设对某量进行n次不等精度观测，观测值为：L1， L2，…，Ln (权为：p1，p2，…，pn),则
piδHi (mm) +16.0 -7.5 -16.0 +140.0 +60.0
vi (mm) +1 +8 +13 -2 -1
误差的基本知识.
第一章 误差的基本知识§1.0 误差的来源→→→观测误差 模型误差 截断误差 舍入误差 (1) 观测误差：受测量工具本身精度的影响(2) 模型误差：因简化和抽象，数学模型本身包含的误差(3) 截断误差：近似解与精确解之间的误差，将数学模型转化为数值方法时产生 (4) 舍入误差：取有限位小数所引起的误差例1 公式：!!212n x x x e nx++++≈ 所产生的误差即截断误差 例2 R = π- 3.14159 = 0.0000026... 所产生的误差即舍入误差注：(1) 疏忽大意造成的错误不属于误差。
(2) 总假定：由实际问题建立的数学模型是合理的，参量也是足够精确的 (3) 主要讨论截断误差和舍入误差。
§1.1 绝对误差、相对误差及有效数字1. 绝对误差与绝对误差限定义3.1 设x 为精确值，x *为x 的近似值，称e = x * - x 为近似值x*的绝对误差，简称误差，简记为e 。
注：e 可正可负，很难求出。
（但往往知道|e |的范围：|e | ≤ ε）若|e | = | x * - x | ≤ ε(x *)，则称ε(x *)为x *的绝对误差限，简称误差限，简记为ε。
注：(1) ε > 0(2) x 的范围：x * - ε ≤ x ≤ x * + ε，工程上常记为：x = x * ± ε。
（知道误差限就可知道精确值的范围） 例1：“四舍五入”的绝对误差限设x = ±0.a 1a 2⋯ anan +1⋯⨯10m ，—— 十进制标准表示式（a 1≠ 0）。
四舍五入：⎪⎩⎪⎨⎧≥⨯+±≤⨯±=++510)1(.04 10.0*121121n mn n m n a a a a a a a a x 若若此时，总有n m m nx x e -⨯=⨯≤-=1021105000.0||||*2. 相对误差与相对误差限绝对误差限不能完全表示近似程度的好坏，如x = 100 ± 2，y = 10 ± 1定义3.2 称xxx x e e r -==*为近似值x *的相对误差。
测量学第3章-测量误差基本知识2
观测量的中误差分别为， m1 3mm, m2 2mm, m3 6mm 求Z的中误差
4 9 1 m z 3 2 6 1.6mm 14 14 14
2
2
2
4、一般函数
z f x1 , x2 xn
x n l l l
1 n 1 1 n 2
l
1 n n
mX
m n
误差传播定律的应用
例1：要求三角形最大闭合差m15，问用DJ6 经纬仪观测三角形每个内角时须用几个测回？ 解：由题意：2m= 15,则 m= 7.5 每个角的测角中误差：
2
1
3
2 z 2 2 s 2
2
二、一般函数的中误差 求观测值函数的精度时，可归纳为如下三步： 1）按问题的要求写出函数式：
z f x1 , x2 xn
2）对函数式全微分，得出函数的真误差与观测值 真误差之间的关系式： z f x f x f xn x x x 1 2 n
mx1=mx2=mxn=m则为
mz m n
在同精度观测时，观测值代数和（差）的中误差，与观 测值个数n的平方根成正比。
例1：设用长为L的卷尺量距，共丈量了n个尺段，已知每尺 段量距的中误差都为m，求全长S的中误差ms。 解：因为全长S=L＋L＋……＋L（式中共有n个L）。而L 的中误差为m。
mS m n
n
两观测值代数和的中误差平方，等于两观测值中误差的平方 之和。 当z是一组观测值X1、X2…Xn代数和（差）的函数时，即
z x1 x2 xn
可以得出函数Z的中误差平方为
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1.测绘科学有那些分类? 测绘工作在工程建设中有什么作用? 解释数字地球/大地水准面/大地体/绝对高 程/相对高程/天文经纬度/大地经纬度。 测量工作的基本原则是什么? 设用经纬仪对某角等精度观测了6个测回， 其观测值列于表中，试求该角的最或然值， 观测值中误差和最或然值中误差，将表中 数据平差计算，整理后结果列于表中空白 处。
n
用最或是值误差求观测值的中误差
vi = l i - x
m
vv
n 1
2. 求最可靠值中误差
Mx
vv nn 1
m n
六、不等精度直接观测值的最可靠值
例： 已知：HA、 HB、 HC ， 求： HE
B A S=4km E
S=2km
S=2.5km
C
一、权（用 p 表示）
2. σ 与误差分布曲线拐点的关系
y y=f(△)
－△
-
+
3. 标准差σ 的概率值P（－σ＜△ ＜＋σ ）
y y=f(△)
－△
-
+
+△
三、 衡量精度的标准
一、用绝对误差来衡量精度 1. 方差和中误差
方差
2
lim
n
n
标准差σ的计算公式
lim
2 n
会超过一定的限度；
2.渐降性：绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的
机多；
3.对称性：绝对值相等的正负误差出现的机会相等；
4.抵偿性：当观测次数无限增大时，偶然误差的平均
数趋近于零，即
1 2 n 0 lin lin n n n n
三、高斯分布曲线
A a d b′ D b p R p′
B
结论: 在半径10km范围内,对距离的影响可以忽略不计.
2). 对高程的影响
A
B
h Bb Bb D h 2R
2
p′
a d b′ D b p
R
结论: 在高程测量中,即使距离很短也应考虑地球曲率的影响.
三．测量工作的基本原则
布局上：由整体到局部 精度上：由高级到低级 程序上：先控制后碎部 测量工作的又一原则:
加权算术平均值
p1l1 p2l2 pnln pl x p p1 p2 pn
三、最可靠值（最或是值）的精度评定
（一）最或是值的中误差
x p1l1 p2l2 pn ln p1 p2 pn
pl p
f 1 2 e
2 2 2
y
y=f(△)
－ △
+ △
1. σ与观测误差△及偶然 误差概率密度f(△)的关系
正态分布的特征
正态分布密度以 x 为对称轴,并在 x 处 达到最大。 当 x 时，f(x) 0，所以f(x)以x轴为渐近 线。 用求导方法可知，在 x 处f(x)有两个拐 点。 对分布密度在某个区间内的积分就等于随机 变量在这个区间内取值的概率
测回 1 2
观测值 （°′″） 36 50 30 36 50 26
改正数 （″）
vv
计算
3
4 5 6 总和
36 50 28
36 50 24 36 50 25 36 5023
四、误差传播定律
五、等精度直接观测平差
六、不等精度直接观测平差
一、
测量误差概述
1. 测量误差定义
测量中的被观测量，客观上都存在着一个真实值， 简称真值。对该量进行观测得到观测值。
观测值与真值之差，称为真误差。
△ =l
-
X
真误差＝观测值－真值
2. 误差来源
仪器精度的局限性 观测者的感官不稳定 自然环境的影响
粗差——细心，多余观测
系统误差——找出规律，加以改正 偶然误差——合适的仪器、合理的观测 方法，认真的态度、多余观测，制定限 差
二、
偶然误差特性
一、偶然误差的四个特性
例如：对358个三角形在相同的观测条件下观测了全部内角， 三角形内角和的误差i为
举例：
△i=ai+bi+ci-180°
b a c
（i=1,2, ··· ··· ··358）
步步检核：“前一步工作未作检核，不进行下一步工作”。
四、测量工作基本种类：
控制测量 碎步测量 施工放样
控制测量
碎部测量
施工放样
基本观测量——距离、角度、高差
•距离—斜距 、平距； •角度—水平 角、垂直角 •高差—垂直 距离
§1.7
测量误差的基本知识
一、测量误差概述
二、偶然误差特性
三、衡量精度的标准
n
中误差（用m表示）就是标准差σ 中误差的估算值的计算公式
m
n
2. 极限误差（容许误差） m容许 =3｜m ｜~ 2｜m ｜
m容许 的概率含义
二、用相对误差来衡量精度
1 k D N
m
四、
误差传播定律
一、线性函数：倍数函数，和差函数，算术 平均值函数 二、一般函数
f f m12 mz x x1 2
权是表示观测值可靠程度的一个相对性数值 权的特性 1、权愈大表示观测值愈可靠 2、权是相对数值，故单独一个值无意义 3、权始终取正号 4、权可以用一数乘除其意义不变
怎样定权
取中误差定权 从实际出发
pi
mi
2
pi
Li
测角取测回数
pi ni
二、求不同精度观测值的最可靠值(最或是值) ——加权算术平均值
2
f m2 2 x n
2
mn 2
2
五、
等精度直接观测值的最可靠值
一、求最可靠值（最或是值）
l1 l2 ln l x n n
二、评定精度
1. 求观测值的中误差
用真误差求观测值的中误差
△i= li－X
m
Σ
181 0.505
177 0.495
358 1.000
2、误差概率分布曲线
直方图
k n d△ (频率/组距)
k/n(频率)
－△ -1.6 -1.2 -0.8 -0.4 0 0.4 0.8 1.2 1.6 -1.4 -1.0 -0.6 -0.2 0.2 0.6 1.0 1.4
+△
偶然误差特性
1. 有限性：在一定的条件下，偶然误差的绝对值不
3.测量误差的分类与对策
（一）分类 (1)系统误差——在相同的观测条件下，误差 在符号和数值相同，或按一定的规律变化。 出现
(2)偶然误差——在相同的观测条件下，误差出现的 符号和数值大小都不相同，从表面看没有任何规律 性，但大量的误差有“统计规律” (1)粗差——特别大的误差（错误）
(二）处理原则
加权平均值的中误差
Mx p
（二）单位权观测值中误差 μ
[ p] n
用观测值的最或是值误差来计算 单位权中误差的公式：
pvv
n 1
用最或是值误差 来计算不同精度观测值最或是值 中误差公式：
Mx
p
pvv p n 1
作业
表2-1 误差区间 dΔ " 0~3 3~6 6~9 9~12 12~15 15~18 18~21 21~24 24以上 负误差 K K/n 45 0.126 40 0.112 33 0.092 23 0.064 17 0.047 13 0.036 6 0.017 4 0.011 0 0
偶然误差的统计 正误差 K K/n 46 0.128 41 0.115 33 0.092 21 0.059 16 0.045 13 0.036 5 0.014 2 0.006 0 0 误差绝对值 K K/n 91 0.254 81 0.226 66 0.184 44 0.123 33 0.092 26 0.073 11 0.031 6 0.017 0 0
§1.6 测量工作概述
一．测量的基本工作
——测角、量边、测高差
二．测量工作中用水平面代替水准面的限度
1．对水平距离的影响——在半径10km距离很短也要顾及地
球曲率的影响。
用水平面代替水准面的限度
1). 对距离的影响
d d D d d3 d 3R 2