高中数学第三章 §1 第1课时 求值问题

第1课时 求 值 问 题[核心必知]同角三角函数基本关系式[问题思考]1．如何理解同角三角函数关系中“同角”的含义？提示：“同角”有两层含义．一是“角相同”，二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)关系式都成立，与角的表达式无关，如sin 22α＋cos 22α＝1，sin2α2＋cos 2α2＝1等． 2．平方关系对任意α∈R 均成立，对吗？商数关系呢？提示：正确．因为对任意α∈R ，sin α，cos α都有意义，所以sin 2α＋cos 2α＝1对任意角α∈R 都成立．而商数关系，sin αcos α＝tan α则不然，需保证cos α≠0，则tan α有意义，所以商数关系，只对α∈R ，且α≠k π＋π2(k ∈Z )成立．讲一讲1．(1)已知sin α＝45，α是第二象限角，求cos α，tan α；(2)若cos α＝－817，试求sin α，tan α的值．[尝试解答] (1)∵sin 2α＋cos 2α＝1， ∴cos 2α＝1－sin 2α＝1－(45)2＝925.又∵α是第二象限角， ∴cos α<0，cos α＝－35.∴tan α＝sin αcos α＝45×(－53)＝－43.(2)∵cos α＝－817<0，且cos α≠－1，∴α是第二或第三象限的角． 当α是第二象限角时，sin α>0. ∴sin α＝1－cos 2α＝1－（－817）2＝1517，tan α＝sin αcos α＝1517×(－178)＝－158.当α是第三象限角时，sin α<0， 则sin α＝－1517，tan α＝158.1．同角三角函数基本关系式揭示了“同角不同名”的三角函数的运算规律，其最基本的应用是“知一求二”．2．知弦求值时，一般需用到平方关系，这时涉及开方运算，应注意角的取值范围．当角所在的象限不确定时，要注意就角所在的象限分类讨论．练一练1．[多维思考] 若本讲(2)条件改为“cos α＝m (m ≠0)”，结果如何？ 解：当m ＝±1时，sin α＝0，tan α＝sin αcos α＝0；当m ≠±1时，由于m ≠0，所以角α为象限角．若α为第一或第二象限角，则sin α＝1－cos 2α＝1－m 2， ∴tan α＝sin αcos α＝m1－m 2. 若α为第三或第四象限角，则 sin α＝－1－cos 2α＝－1－m 2， ∴tan α＝sin αcos α＝－m1－m 2.讲一讲2．已知tan α＝2.试求： (1)sin α的值；(2)sin α－cos αsin α＋cos α和sin αcos α的值． [尝试解答] (1)∵tan 2α＝sin 2αcos 2α＝1－cos 2αcos 2α＝1cos 2α－1， ∴1cos 2α＝1＋tan 2α. ∴cos 2α＝11＋tan 2α＝11＋22＝15. ∵tan α＝2>0，∴α是第一或第三象限角． 当α是第一象限角时，cos α>0， ∴cos α＝55， ∴sin α＝cos αtan α＝55×2＝255. 当α是第三象限角时，cos α<0， ∴cos α＝－55，∴sin α＝cos αtan α＝－255.(2)sin α－cos αsin α＋cos α＝sin αcos α－cos αcos αsin αcos α＋cos αcos α＝tan α－1tan α＋1＝2－12＋1＝23. sin αcos α＝sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝sin αcos αcos 2αsin 2α＋cos 2αcos 2α＝tan αtan 2α＋1＝222＋1＝25.1．已知角α的正切值在求角α的正弦值时，应尽量少用平方关系，一般按以下思路求解： cos 2α＝11＋tan 2α――→开方cos α――→用sin α＝tan αcos αsin α. 2．本讲(2)是已知角α的正切值，求关于sin α，cos α的齐次式值的问题．解决该类问题通常是利用商数关系和平方关系，将原式化为关于tan α的表达式，然后整体代入tan α的值求解，体现了“整体化”的思想，可减少运算量并避免讨论．练一练2．已知tan(π－α)＝12，求：(1)sin α＋cos α的值； (2)2sin 2α－12cos 2α的值．解：(1)由已知得tan α＝－12<0，∴α是第二或第四象限的角，则cos 2α＝cos 2αsin 2α＋cos 2α＝1tan 2α＋1＝1（－12）2＋1＝45.当α是第二象限角时，cos α＝－255，∴sin α＝tan αcos α＝－12×(－255)＝55，sin α＋cos α＝－55；当α是第四象限角时，cos α＝255，∴sin α＝tan αcos α＝－55，sin α＋cos α＝55. (2)2sin 2α－12cos 2α＝2sin 2α－12cos 2αsin 2α＋cos 2α ＝2tan 2α－12tan 2α＋1＝2×（－12）2－12（12）2＋1＝0.讲一讲3．(1)已知sin α＝12cos α，则sin 4α－cos 4α＝________．(2)若sin α＋cos α＝15，且0<α<π，则tan α＝________.[尝试解答] (1)由sin α＝12cos α，得tan α＝12.∴cos 2α＝cos 2αsin 2α＋cos 2α＝11＋tan 2α＝45. ∴sin 2α＝1－cos 2α＝15.∴sin 4α－cos 4α＝(sin 2α＋cos 2α)(sin 2α－cos 2α) ＝sin 2α－cos 2α＝15－45＝－35.(2)由sin α＋cos α＝15，得1＋2sin αcos α＝125.∴sin αcos α＝－1225<0.又0<α<π，∴sin α>0，cos α<0， ∴sin α－cos α>0，∴sin α－cos α＝（sin α－cos α）2＝1－2sin αcos α ＝1－2×（－1225）＝75. ②可得sin α＝45，cos α＝－35，∴tan α＝sin αcos α＝－43.[答案] (1)－35 (2)－431．已知角α的某一个三角函数值，求其他三角函数式的值时，一般先利用公式将其化简，再利用同角三角函数的基本关系求解．2．sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α三个式子中，已知其中一个，可以求其他两个，即“知一求二”，它们之间的关系是：(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，利用此关系求sin α＋cos α或sin α－cos α的值时，要注意判断它们的符号．练一练3．已知sin θ，cos θ是关于x 的方程x 2－ax ＋a ＝0的两个根(a ∈R )． (1)求sin 3θ＋cos 3θ的值； (2)求tan θ＋1tan θ的值． 解：∵sin θ，cos θ是方程x 2－ax ＋a ＝0的两个根， ∴sin θ＋cos θ＝a ，且sin θcos θ＝a ， (sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ.即a 2＝1＋2a ，解得a ＝1±2，而当a ＝1＋2时， Δ＝(1＋2)2－4(1＋2)＝－1－22<0， ∴a ＝1－2，则(1)sin 3θ＋cos 3θ＝(sin θ＋cos θ)(1－sin θcos θ) ＝a (1－a )＝(1－2)[1－(1－2)]＝2－2. (2)tan θ＋1tan θ＝sin θcos θ＋cos θsin θ＝sin 2θ＋cos 2θsin θcos θ＝1sin θcos θ＝1a ＝11－2＝－1－ 2.若sin A ＝45，且A 是三角形的一个内角，求5sin A ＋815cos A －7的值．[错解] ∵sin A ＝45，∴cos A ＝ 1－sin 2A ＝35，∴5sin A ＋815cos A －7＝5×45＋815×35－7＝6. [错因] 由sin A ＝45不能确定A 是锐角或钝角，那么cos A 就有正、负两个值，此解法中忽视开方运算的符号而出现错误．[正解] ∵sin A ＝45，且A 是三角形的一个内角，∴A 是锐角或钝角． 当A 为锐角时， cos A ＝1－sin 2A ＝35.∴5sin A ＋815cos A －7＝5×45＋815×35－7＝6； 当A 为钝角时，cos A ＝－1－sin 2A ＝－35.∴5sin A ＋815cos A －7＝5×45＋815×（－35）－7＝－34.1．下列各项中可能成立的是( ) A ．sin α＝12且cos α＝12B ．sin α＝0且cos α＝－1C ．tan α＝1且cos α＝－1D ．α在第二象限时，tan α＝－sin αcos α解析：选B 由平方关系知A 不成立；由商数关系知D 不成立．对于B ，当sin α＝0时，cos α＝±1，所以B 可能成立．而对于C ，当tan α＝1时，cos 2α＝11＋tan 2α＝12，所以C 不成立．应选B.2．已知sin α＝－45，α是第三象限角，则tan α等于( )A.34 B ．－34 C.43 D ．－43解析：选C ∵sin α＝－45，且α是第三象限角．∴cos α＝－1－sin 2α＝－35，∴tan α＝sin αcos α＝43.3．已知tan φ＝－3，且φ为三角形的内角，那么cos φ的值为( ) A ．－ 3 B.233C ．－12D ．－2解析：选C cos 2φ＝11＋tan 2φ＝11＋（－3）2＝14. ∵φ为三角形的内角，tan φ<0， ∴φ∈(π2，π)，∴cos φ＝－12.4．已知sin α＝55，则sin 2α－cos 2α的值为________． 解析：sin 2α－cos 2α ＝2sin 2α－1＝2×(55)2－1＝－35. 答案：－355．已知tan α＝－12，则1＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α的值是________． 解析：原式＝sin 2α＋cos 2α＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α ＝（sin α＋cos α）2（sin α＋cos α）（sin α－cos α）＝sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1＝（－12）＋1（－12）－1＝－13.答案： －136．已知sin α＝4－2m m ＋5，cos α＝m －3m ＋5，α是第四象限角，试求tan α的值． 解：∵sin 2α＋cos 2α＝1， ∴(4－2m m ＋5)2＋(m －3m ＋5)2＝1.化简，整理得，m (m －8)＝0，∴m 1＝0，m 2＝8.当m ＝0时，sin α＝45，cos α＝－35，不符合α是第四象限角，舍去．当m ＝8时，sin α＝－1213，cos α＝513，∴tan α＝－125.一、选择题1．已知sin(α＋π2)＝13，α∈(－π2，0)，则tan α的值为( )A ．－2 2B ．2 2C ．－24 D.24解析：选A 由已知得cos α＝13.∵α∈(－π2，0)，∴sin α＝－1－cos 2α＝－232，∴tan α＝sin αcos α＝－232×3＝－2 2.2．已知向量a ＝(3，4)，b ＝(sin α，cos α)，且a ∥b ，则tan α＝( ) A.34 B ．－34C.43 D ．－43解析：选A 由a ∥b 得，sin α3＝cos α4.∴sin αcos α＝34＝tan α. 3．若sin α，cos α是方程3x 2＋6mx ＋2m ＋1＝0的两根．则实数m 的值为( ) A ．－12 B.56C ．－12或56 D.12解析：选A 依题意得⎩⎪⎨⎪⎧sin α＋cos α＝－2m ，sin αcos α＝2m ＋13，∵(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α， ∴(－2m )2＝1＋23(2m ＋1)，即12m 2－4m －5＝0. 解m ＝－12或56.m ＝56时，Δ＝36m 2－12(2m ＋1)<0，∴m ＝－12.4．已知sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5，则sin 2α－sin αcos α的值是( )A.25 B ．－25 C ．－2 D ．2解析：选A 由条件可得tan α＋33－tan α＝5.解得tan α＝2.∴sin 2α－sin αcos α＝sin 2α－sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α－tan αtan 2α＋1＝22－222＋1＝25. 二、填空题5．若sin θ＝－45，tan θ>0，则cos θ＝________．解析：∵sin θ<0，tan θ>0，∴θ是第三象限角， ∴cos θ＝－1－sin 2θ＝－35.答案：－356．已知α∈(π，3π2)，tan α＝2，则cos α＝________． 解析：依题意得⎩⎪⎨⎪⎧tan α＝sin αcos α＝2，sin 2α＋cos 2α＝1，由此解得cos 2α＝15. 又α∈(π，3π2)，因此cos α＝－55. 答案：－557．已知A 为三角形内角，且sin A cos A ＝－18，则cos A －sin A ＝________． 解析：(cos A －sin A )2＝1－2sin A cos A ＝1－2×(－18)＝54. ∵0<A <π，sin A cos A <0，∴sin A >0，cos A <0.∴cos A －sin A <0，∴cos A －sin A ＝－52. 答案：－52 8．已知θ是第三象限角，且sin 4θ＋cos 4θ＝59， 则sin θcos θ＝________．解析：sin 4θ＋cos 4θ＝(sin 2θ＋cos 2θ)2－2sin 2θcos 2θ＝1－2(sin θcos θ)2＝59，∴(sin θcos θ)2＝29. ∵θ是第三象限角，∴sin θ<0，cos θ<0.∴sin θ cos θ＝23. 答案：23 三、解答题9．已知向量a ＝(sin θ，cos θ－2sin θ)，b ＝(1，2)．(1)若a ∥b ，求tan θ的值；(2)若|a |＝|b |，0<θ<π，求θ的值．解：(1)∵a ∥b ，∴2sin θ－(cos θ－2sin θ)＝0，即4sin θ＝cos θ，故tan θ＝14. (2)∵|a |＝|b |，∴sin 2θ＋(cos θ－2sin θ)2＝5.展开得sin 2θ＋cos 2θ－4sin θcos θ＋4sin 2θ＝5.把sin 2θ＝1－cos 2θ代入并整理，得cos θ(sin θ＋cos θ)＝0.∴cos θ＝0或tan θ＝－1.又θ∈(0，π)，∴θ＝π2或θ＝3π4. 10．已知3sin α＋cos α＝0，求下列各式的值：(1)3cos α＋5sin αsin α－cos α； (2)sin 2α＋2sin αcos α－3cos 2α.解：法一：由已知得，cos α＝－3sin α.(1)3cos α＋5sin αsin α－cos α＝－9sin α＋5sin αsin α＋3sin α＝－4sin α4sin α＝－1. (2)sin 2α＋2sin αcos α－3cos 2α＝sin 2α＋2sin α(－3sin α)－3(－3sin α)2＝－32sin 2α.由⎩⎪⎨⎪⎧cos α＝－3sin α，sin 2α＋cos 2α＝1，得sin 2α＝110. ∴sin 2α＋2sin αcos α－3cos 2α＝－32×110＝－165. 法二：由已知，得sin αcos α＝－13，∴tan α＝－13. (1)3cos α＋5sin αsin α－cos α＝3＋5×sin αcos αsin αcos α－1＝3＋5tan αtan α－1＝3－53－13－1＝－1. (2)sin 2α＋2sin αcos α－3cos 2α＝sin 2α＋2sin αcos α－3cos 2αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α＋2tan α－3tan 2α＋1＝（－13）2＋2×（－13）－3（－13）2＋1 ＝－165.。