湖南省长沙市麓山国际实验学校初三上入学考试数学试卷及答案
长沙市麓山国际实九年级(上)数学试卷及解析
湖南省长沙市麓山国际实验学校九年级（上）限时训练数学试卷一、选择题（每小题3分，共36分）1．（3分）下列函数：xy=1，y=，y=，y=，y=2x2中，是y关于x的反比例函数的有（）个．A．1个B．2个C．3个D．4个2．（3分）同时掷两枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，下列事件中是不可能事件的是（）A．点数之和为12 B．点数之和小于3C．点数之和大于4且小于8 D．点数之和为133．（3分）已知反比例函数y=的图象在每一个象限内，y随x的增大而减小，则（）A．m≥5 B．m＜5 C．m＞5 D．m≤54．（3分）从2，3，4，5中任意选两个数，记作a和b，那么点（a，b）在函数y=图象上的概率是（）A．B．C．D．5．（3分）下列四个三角形中，与图中的三角形相似的是（）A．B．C．D．6．（3分）如图，已知直线a∥b∥c，直线m、n与直线a、b、c分别交于点A、C、E、B、D、F，AC=4，CE=6，BD=3，则BF=（）A．7 B．7.5 C．8 D．8.57．（3分）如图，已知∠1=∠2，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是（）A．B．C．∠B=∠D D．∠C=∠AED8．（3分）将抛物线y=3x2向上平移3个单位，再向左平移2个单位，那么得到的抛物线的解析式为（）A．y=3（x+2）2+3 B．y=3（x﹣2）2+3 C．y=3（x+2）2﹣3 D．y=3（x﹣2）2﹣39．（3分）二次函数y=kx2﹣6x+3的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围是（）A．k＜3 B．k＜3且k≠0 C．k≤3 D．k≤3且k≠010．（3分）在函数中，自变量x的取值范围是（）A．x≥1 B．x＜﹣1 C．x≥﹣1且x≠D．x≤﹣111．（3分）已知反比例函数的图象如图，则二次函数y=2kx2﹣x+k2的图象大致为（）A．B．C．D．12．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB=10，BC=5．若点M、N分别是线段AC，AB上的两个动点，则BM+MN的最小值为（）A．10 B．8 C．5D．6二、填空题（每小题3分，共18分）13．（3分）在一个袋中，装有五个除数字外其它完全相同的小球，球面上分别写有1，2，3，4，5这5个数字．小芳从袋中任意摸出一个小球，球面数字的平方根是无理数的概率是．14．（3分）从某玉米种子中抽取6批，在同一条件下进行发芽试验，有关数据如下：根据以上数据可以估计，该玉米种子发芽的概率约为（精确到0.1）．15．（3分）在函数y=（a为常数）的图象上三点（﹣1，y1），（﹣，y2），（，y3），则函数值y1、y2、y3的大小关系是．16．（3分）如图，反比例函数y=（x＜0）的图象经过点P，则k的值为．17．（3分）已知△ABC与△DEF的相似，它们的相似比是3：4，且△ABC的面积为18cm2，则△DEF的面积为cm2．18．（3分）如图所示，在△ABC中，AB=6，AC=4，P是AC的中点，过P点的直线交AB于点Q，若以A、P、Q为顶点的三角形和以A、B、C为顶点的三角形相似，则AQ的长为．三、解答题（19-25题每题8分，26题10分共66分）19．（8分）在一个不透明的箱子里，装有红、白、黑各一个球，它们除了颜色之外没有其他区别．（1）随机地从箱子里取出1个球，则取出红球的概率是多少？（2）随机地从箱子里取出1个球，放回搅匀再取第二个球，请你用画树状图或列表的方法表示所有等可能的结果，并求两次取出相同颜色球的概率．20．（8分）如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别相交于A、B两点，且与反比例函数y=（k≠0）的图象在第一象限交于点C，如果点B的坐标为（0，2），OA=OB，B是线段AC的中点．（1）求一次函数解析式及反比例函数的解析式；（2）若一次函数值大于反比例函数值，请求出相应的自变量x的取值范围．21．（8分）为了解中考体育科目训练情况，某县从全县九年级学生中随机抽取了部分学生进行了一次中考体育科目测试（把测试结果分为四个等级：A级：优秀；B级：良好；C级：及格；D级：不及格），并将测试结果绘成了如下两幅不完整的统计图．请根据统计图中的信息解答下列问题：（1）本次抽样测试的学生人数是；（2）图1中∠α的度数是，并把图2条形统计图补充完整；（3）该县九年级有学生3500名，如果全部参加这次中考体育科目测试，请估计不及格的人数为．（4）测试老师想从4位同学（分别记为E、F、G、H，其中E为小明）中随机选择两位同学了解平时训练情况，请用列表或画树形图的方法求出选中小明的概率．22．（8分）某药品研究所开发一种抗菌新药，经多年动物实验，首次用于临床人体试验，测得成人服药后血液中药物浓度y（微克/毫升）与服药时间x小时之间函数关系如图所示（当4≤x≤10时，y与x成反比例）．（1）根据图象分别求出血液中药物浓度上升和下降阶段y与x之间的函数关系式．（2）问血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间多少小时？23．（8分）△ABC是一块锐角三角形余料，边BC=180mm，高AD=120mm，要把它加工成矩形零件，使一边在BC上，其余两个顶点分别在边AB、AC上．（1）若这个矩形是正方形，那么边长是多少？（2）若这个矩形的长是宽的2倍，则边长是多少？24．（8分）如图所示，⊙O的内接△ABC中，∠BAC=45°，∠ABC=15°，AD∥OC并交BC的延长线于D 点，OC交AB于E点．（1）求∠D的度数；（2）若CE=3，AD=4，求线段AC的长．25．（8分）如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=1，点D是BC上一个动点（不与B、C重合），在AC上取E点，使∠ADE=45度．（1）求证：△ABD∽△DCE；（2）设BD=x，AE=y，求y关于x的函数关系式；（3）当：△ADE是等腰三角形时，求AE的长．26．（10分）如图，在矩形OABC中，OA=3，OC=5，分别以OA、OC所在直线为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，D是边CB上的一个动点（不与C、B重合），反比例函数y=（k＞0）的图象经过点D且与边BA交于点E，连接DE．（1）连接OE，若△EOA的面积为2，则k=；（2）连接CA、DE与CA是否平行？请说明理由；（3）是否存在点D，使得点B关于DE的对称点在OC上？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．2015-2016学年湖南省长沙市麓山国际实验学校九年级（上）第一次限时训练数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共36分）1．（3分）（2016秋•岳麓区校级月考）下列函数：xy=1，y=，y=，y=，y=2x2中，是y关于x的反比例函数的有（）个．A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：xy=1，符合反比例函数的定义；y=，属于正比例函数；y=，需要k≠0，y=，该函数不属于反比例函数，y=2x2该函数属于二次函数，故选：A．【点评】本题考查了反比例函数的定义．判断一个函数是否是反比例函数，首先看看两个变量是否具有反比例关系，然后根据反比例函数的意义去判断，其形式y=（k为常数，k≠0）或y=kx﹣1（k为常数，k ≠0）．2．（3分）（2006•永春县）同时掷两枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，下列事件中是不可能事件的是（）A．点数之和为12 B．点数之和小于3C．点数之和大于4且小于8 D．点数之和为13【解答】解：A、6点+6点=12点，为随机事件，不符合题意；B、例如：1点+1点=2点，为随机事件，不符合题意；C、例如：1点+5点=6点，为随机事件，不符合题意；D、两枚骰子点数最大之和为12点，不可能是13点，为不可能事件，符合题意．故选：D．【点评】本题考查事件的分类，事件根据其发生的可能性大小分为必然事件、随机事件、不可能事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．3．（3分）（2015秋•长沙校级月考）已知反比例函数y=的图象在每一个象限内，y随x的增大而减小，则（）A．m≥5 B．m＜5 C．m＞5 D．m≤5【解答】解：∵在每个象限内，y随着x的增大而减小，∴5﹣m＞0，∴m＜5．故选B．【点评】此题主要考查了反比例函数的性质，熟练掌握其性质是解决问题的关键，对于反比例函数y=（k≠0），（1）k＞0，反比例函数图象在一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小；（2）k＜0，反比例函数图象在第二、四象限内，在每个象限内，y随x的增大而增大．4．（3分）（2015•株洲）从2，3，4，5中任意选两个数，记作a和b，那么点（a，b）在函数y=图象上的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：画树状图得：∵共有12种等可能的结果，点（a，b）在函数y=图象上的有（3，4），（4，3）；∴点（a，b）在函数y=图象上的概率是：=．故选D．【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．5．（3分）（2008•江西）下列四个三角形中，与图中的三角形相似的是（）A．B．C．D．【解答】解：设单位正方形的边长为1，给出的三角形三边长分别为，2，．A、三角形三边2，，3，与给出的三角形的各边不成比例，故A选项错误；B、三角形三边2，4，2，与给出的三角形的各边成正比例，故B选项正确；C、三角形三边2，3，，与给出的三角形的各边不成比例，故C选项错误；D、三角形三边，4，，与给出的三角形的各边不成比例，故D选项错误．故选：B．【点评】此题考查三边对应成比例，两三角形相似判定定理的应用．6．（3分）（2011•肇庆）如图，已知直线a∥b∥c，直线m、n与直线a、b、c分别交于点A、C、E、B、D、F，AC=4，CE=6，BD=3，则BF=（）A．7 B．7.5 C．8 D．8.5【解答】解：∵a∥b∥c，∴，∵AC=4，CE=6，BD=3，∴，解得：DF=，∴BF=BD+DF=3+=7.5．故选：B．【点评】此题考查了平行线分线段成比例定理．题目比较简单，解题的关键是注意数形结合思想的应用．7．（3分）（2007•海南）如图，已知∠1=∠2，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是（）A．B．C．∠B=∠D D．∠C=∠AED【解答】解：∵∠1=∠2∴∠DAE=∠BAC∴A，C，D都可判定△ABC∽△ADE选项B中不是夹这两个角的边，所以不相似，故选B．【点评】此题考查了相似三角形的判定：①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．8．（3分）（2012•泰安）将抛物线y=3x2向上平移3个单位，再向左平移2个单位，那么得到的抛物线的解析式为（）A．y=3（x+2）2+3 B．y=3（x﹣2）2+3 C．y=3（x+2）2﹣3 D．y=3（x﹣2）2﹣3【解答】解：由“上加下减”的原则可知，将抛物线y=3x2向上平移3个单位所得抛物线的解析式为：y=3x2+3；由“左加右减”的原则可知，将抛物线y=3x2+3向左平移2个单位所得抛物线的解析式为：y=3（x+2）2+3．故选A．【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知二次函数图象平移的法则是解答此题的关键．9．（3分）（2013春•新泰市期中）二次函数y=kx2﹣6x+3的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围是（）A．k＜3 B．k＜3且k≠0 C．k≤3 D．k≤3且k≠0【解答】解：∵二次函数y=kx2﹣6x+3的图象与x轴有两个交点，∴，即，解得k＜3且k≠0．故选B．【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点，熟知抛物线与x轴的交点与△的关系是解答此题的关键．10．（3分）（2010•凉山州）在函数中，自变量x的取值范围是（）A．x≥1 B．x＜﹣1 C．x≥﹣1且x≠D．x≤﹣1【解答】解：x+1≥0且2x﹣1≠0，解得x≥﹣1且x≠．故选C．【点评】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．11．（3分）（2016•井研县一模）已知反比例函数的图象如图，则二次函数y=2kx2﹣x+k2的图象大致为（）A．B．C．D．【解答】解：∵反比例函数图象在第二四象限，∴k＜0，∴二次函数图象开口向下，抛物线对称轴为直线x=﹣＜0，∵k2＞0，∴二次函数图象与y轴的正半轴相交．纵观各选项，只有D选项图象符合．故选：D．【点评】本题考查了二次函数图象，反比例函数图象，根据k的取值范围求出二次函数开口方向、对称轴和与y轴的正半轴相交是解题的关键．12．（3分）（2015•绥化）如图，在矩形ABCD中，AB=10，BC=5．若点M、N分别是线段AC，AB上的两个动点，则BM+MN的最小值为（）A．10 B．8 C．5D．6【解答】解：过B点作AC的垂线，使AC两边的线段相等，到E点，过E作EF垂直AB交AB于F点，AC=5，AC边上的高为2，所以BE=4．∵△ABC∽△EFB，∴=，即=EF=8．故选B．【点评】本题考查最短路径问题，关键确定何时路径最短，然后运用勾股定理和相似三角形的性质求得解．二、填空题（每小题3分，共18分）13．（3分）（2008•益阳）在一个袋中，装有五个除数字外其它完全相同的小球，球面上分别写有1，2，3，4，5这5个数字．小芳从袋中任意摸出一个小球，球面数字的平方根是无理数的概率是．【解答】解：因为从装有十个除数字外其它完全相同的小球任意摸出一个小球共5种情况，其中有3种情况是球面数字的平方根是无理数，故其概率是=．【点评】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．根据以上数据可以估计，该玉米种子发芽的概率约为0.8（精确到0.1）．【解答】解：∵种子粒数5000粒时，种子发芽的频率趋近于0.801，∴估计种子发芽的概率为0.801，精确到0.1，即为0.8．故本题答案为：0.8．【点评】本题比较容易，考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．15．（3分）（2013春•红塔区校级期中）在函数y=（a为常数）的图象上三点（﹣1，y1），（﹣，y2），（，y3），则函数值y1、y2、y3的大小关系是y3＜y1＜y2．【解答】解：∵在函数y=（a为常数）中k=﹣a2﹣1＜0，∴函数图象的两个分支分别位于二、四象限，且在每一象限内y随x的增大而增大．∵﹣＜﹣＜0，∴0＜y1＜y2．∵＞0，∴y3＜0，∴y3＜y1＜y2．故答案为y3＜y1＜y2．【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，即反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式．16．（3分）（2016春•宝应县校级月考）如图，反比例函数y=（x＜0）的图象经过点P，则k的值为﹣6．【解答】解：如图所示，点P的坐标是（﹣3，2），则k=xy=﹣3×2=﹣6．故答案是：﹣6．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征．所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数．17．（3分）（2012•重庆模拟）已知△ABC与△DEF的相似，它们的相似比是3：4，且△ABC的面积为18cm2，则△DEF的面积为32cm2．【解答】解：∵△ABC与△DEF的相似，它们的相似比是3：4，∴它们的面积比是9：16，∵△ABC的面积为18cm2，∴△DEF的面积为：18×=32（cm2）．故答案为：32．【点评】此题考查了相似三角形的性质．此题比较简单，解题的关键是掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方定理的应用．18．（3分）（2012•西安模拟）如图所示，在△ABC中，AB=6，AC=4，P是AC的中点，过P点的直线交AB于点Q，若以A、P、Q为顶点的三角形和以A、B、C为顶点的三角形相似，则AQ的长为3或．【解答】解：∵AC=4，P是AC的中点，∴AP=AC=2，①若△APQ∽△ACB，则，即，解得：AQ=3；②若△APQ∽△ABC，则，即，解得：AQ=；∴AQ的长为3或．故答案为：3或．【点评】此题考查了相似三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用．三、解答题（19-25题每题8分，26题10分共66分）19．（8分）（2014•泉州）在一个不透明的箱子里，装有红、白、黑各一个球，它们除了颜色之外没有其他区别．（1）随机地从箱子里取出1个球，则取出红球的概率是多少？（2）随机地从箱子里取出1个球，放回搅匀再取第二个球，请你用画树状图或列表的方法表示所有等可能的结果，并求两次取出相同颜色球的概率．【解答】解：（1）∵在一个不透明的箱子里，装有红、白、黑各一个球，它们除了颜色之外没有其他区别，∴随机地从箱子里取出1个球，则取出红球的概率是：；（2）画树状图得：∵共有9种等可能的结果，两次取出相同颜色球的有3种情况，∴两次取出相同颜色球的概率为：=．【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．20．（8分）（2015秋•长沙校级月考）如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别相交于A、B两点，且与反比例函数y=（k≠0）的图象在第一象限交于点C，如果点B的坐标为（0，2），OA=OB，B是线段AC的中点．（1）求一次函数解析式及反比例函数的解析式；（2）若一次函数值大于反比例函数值，请求出相应的自变量x的取值范围．【解答】解：（1）∵OA=OB，点B的坐标为（0，2），∴点A（﹣2，0），点A、B在一次函数y=kx+b（k≠0）的图象上，∴，解得k=1，b=2，∴一次函数的解析式为y=x+2．∵B是线段AC的中点，∴点C的坐标为（2，4），又∵点C在反比例函数y=（k≠0）的图象上，∴k=8∴反比例函数的解析式为y=．（2）一次函数值大于反比例函数值的自变量x的取值范围﹣4＜x＜0或x＞2．【点评】本题主要考查了待定系数法求反比例函数与一次函数的解析式．这里体现了数形结合的思想．21．（8分）（2014•孝感）为了解中考体育科目训练情况，某县从全县九年级学生中随机抽取了部分学生进行了一次中考体育科目测试（把测试结果分为四个等级：A级：优秀；B级：良好；C级：及格；D级：不及格），并将测试结果绘成了如下两幅不完整的统计图．请根据统计图中的信息解答下列问题：（1）本次抽样测试的学生人数是40；（2）图1中∠α的度数是54°，并把图2条形统计图补充完整；（3）该县九年级有学生3500名，如果全部参加这次中考体育科目测试，请估计不及格的人数为700．（4）测试老师想从4位同学（分别记为E、F、G、H，其中E为小明）中随机选择两位同学了解平时训练情况，请用列表或画树形图的方法求出选中小明的概率．【解答】解：（1）本次抽样测试的学生人数是：=40（人），故答案为：40；（2）根据题意得：360°×=54°，答：图1中∠α的度数是54°；C级的人数是：40﹣6﹣12﹣8=14（人），如图：故答案为：54°；（3）根据题意得：3500×=700（人），答：不及格的人数为700人．故答案为：700；（4）根据题意画树形图如下：共有12种情况，选中小明的有6种，则P（选中小明）==．【点评】此题考查了条形统计图和扇形统计图的综合应用，用到的知识点是用样本估计总体、频数、频率、总数之间的关系等，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．22．（8分）（2016•呼伦贝尔）某药品研究所开发一种抗菌新药，经多年动物实验，首次用于临床人体试验，测得成人服药后血液中药物浓度y（微克/毫升）与服药时间x小时之间函数关系如图所示（当4≤x≤10时，y与x成反比例）．（1）根据图象分别求出血液中药物浓度上升和下降阶段y与x之间的函数关系式．（2）问血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间多少小时？【解答】解：（1）当0≤x≤4时，设直线解析式为：y=kx，将（4，8）代入得：8=4k，解得：k=2，故直线解析式为：y=2x，当4≤x≤10时，设反比例函数解析式为：y=，将（4，8）代入得：8=，解得：a=32，故反比例函数解析式为：y=；因此血液中药物浓度上升阶段的函数关系式为y=2x（0≤x≤4），下降阶段的函数关系式为y=（4≤x≤10）．（2）当y=4，则4=2x，解得：x=2，当y=4，则4=，解得：x=8，∵8﹣2=6（小时），∴血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间6小时．【点评】此题主要考查了反比例函数的应用，根据题意得出函数解析式是解题关键．23．（8分）（2015秋•长沙校级月考）△ABC是一块锐角三角形余料，边BC=180mm，高AD=120mm，要把它加工成矩形零件，使一边在BC上，其余两个顶点分别在边AB、AC上．（1）若这个矩形是正方形，那么边长是多少？（2）若这个矩形的长是宽的2倍，则边长是多少？【解答】解：（1）设边长为xmm，∵矩形为正方形，∴PN∥BC，PQ∥AD，根据平行线的性质可以得出：=、=，由题意知PQ=x，BC=180mm，AD=120mm，PN=x，即=，=，∵AP+BP=AB，∴+=+=1，解得x=72．答：若这个矩形是正方形，那么边长是72mm．（2）设边宽为xmm，则长为2xmm，∵四边形PNMQ为矩形，∴PN∥BC，PQ∥AD，根据平行线的性质可以得出：=、=，①PQ为长，PN为宽：由题意知PQ=2xmm，AD=120mm，BC=180mm，AN=xmm，即=，=，∵AP+BP=AB，∴+=+=1，解得x=45，2x=90．即长为90mm，宽为45mm．②PQ为宽，PN为长：由题意知PQ=xmm，AD=120mm，BC=180mm，PN=2xmm，即=，=，∵AP+BP=AB，∴+=+=1，解得x=，2x=．即长为mm，宽为mm．答：矩形的长为90mm，宽是45mm或者长为mm，宽为mm．【点评】本题考查了相似三角形的应用，主要利用了相似三角形对应高的比等于相似比，熟记性质并列出比例式是解题的关键．24．（8分）（2015秋•长沙校级月考）如图所示，⊙O的内接△ABC中，∠BAC=45°，∠ABC=15°，AD∥OC并交BC的延长线于D点，OC交AB于E点．（1）求∠D的度数；（2）若CE=3，AD=4，求线段AC的长．【解答】解：（1）连接OB，∵∠BOC=2∠BAC=90°，OB=OC，∴∠OCB=∠OBC=45°，∵AD∥OC，∴∠D=∠OCB=45°；（2）∵∠ABC=15°，∠OCB=45°，∴∠AEC=60°，∠ACD=∠ABC+∠BAC=60°，∴∠AEC=∠ACD=60°，∵∠D=45°，∠ACD=60°，∴∠CAD=75°，又∵∠OCA=75°，∴∠CAD=∠OCA=75°，∴△ACE∽△DAC，∴=，即AC2=AD•CE=4×3=12，∴AC=2．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形的外角性质，以及三角形的内角和定理．注意证得△OBC是等腰直角三角形，△ACE∽△DAC是关键．25．（8分）（2005•岳阳）如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=1，点D是BC上一个动点（不与B、C重合），在AC上取E点，使∠ADE=45度．（1）求证：△ABD∽△DCE；（2）设BD=x，AE=y，求y关于x的函数关系式；（3）当：△ADE是等腰三角形时，求AE的长．【解答】（1）证明：∵△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=1，∴∠ABC=∠ACB=45°．∵∠ADE=45°，∴∠BDA+∠CDE=135°．又∠BDA+∠BAD=135°，∴∠BAD=∠CDE．∴△ABD∽△DCE．（2）解：∵△ABD∽△DCE，∴；∵BD=x，∴CD=BC﹣BD=﹣x．∴，∴CE=x﹣x2．∴AE=AC﹣CE=1﹣（x﹣x2）=x2﹣x+1．即y=x2﹣x+1．（3）解：∠DAE＜∠BAC=90°，∠ADE=45°，∴当△ADE是等腰三角形时，第一种可能是AD=DE．又∵△ABD∽△DCE，∴△ABD≌△DCE．∴CD=AB=1．∴BD=﹣1．∵BD=CE，∴AE=AC﹣CE=2﹣．当△ADE是等腰三角形时，第二种可能是ED=EA．∵∠ADE=45°，∴此时有∠DEA=90°．即△ADE为等腰直角三角形．∴AE=DE=AC=．当AD=EA时，点D与点B重合，不合题意，所以舍去，因此AE的长为2﹣或．【点评】此题三个问题各有特点，却又紧密相联，第一个问题考查的是三角形的相似；第二个问题看起来是考查的函数但却与第一问紧密相联，运用第一问的结论即可顺利解决；第三问的关键是分类讨论，要考虑等腰的几种不同情况．26．（10分）（2015•徐州）如图，在矩形OABC中，OA=3，OC=5，分别以OA、OC所在直线为x轴、y 轴，建立平面直角坐标系，D是边CB上的一个动点（不与C、B重合），反比例函数y=（k＞0）的图象经过点D且与边BA交于点E，连接DE．（1）连接OE，若△EOA的面积为2，则k=4；（2）连接CA、DE与CA是否平行？请说明理由；（3）是否存在点D，使得点B关于DE的对称点在OC上？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）连接OE，如，图1，∵Rt△AOE的面积为2，∴k=2×2=4．（2）连接AC，如图1，设D（x，5），E（3，），则BD=3﹣x，BE=5﹣，=，∴∴DE∥AC．（3）假设存在点D满足条件．设D（x，5），E（3，），则CD=x，BD=3﹣x，BE=5﹣，AE=．作EF⊥OC，垂足为F，如图2，易证△B′CD∽△EFB′，∴，即=，∴B′F=，∴OB′=B′F+OF=B′F+AE=+=，∴CB′=OC﹣OB′=5﹣，在Rt△B′CD中，CB′=5﹣，CD=x，B′D=BD=3﹣x，由勾股定理得，CB′2+CD2=B′D2，（5﹣）2+x2=（3﹣x）2，解这个方程得，x1=1.5（舍去），x2=0.96，∴满足条件的点D存在，D的坐标为D（0.96，5）．【点评】本题考查了反比例函数综合题，涉及反比例函数k的几何意义、平行线分线段成比例定理、轴对称的性质、相似三角形的性质等知识，值得关注．参与本试卷答题和审题的老师有：wdzyzlhx；zhjh；CJX；sjzx；zcx；智波；ln_86；张其铎；HJJ；星期八；zcl5287；ZJX；自由人；Linaliu；守拙；dbz1018；lantin；gbl210；MMCH；heihudie（排名不分先后）菁优网2016年12月22日。
长沙市麓山国际九年级数学考试试卷
湖南省长沙市麓山国际实验学校九年级（上）限时训练数学试卷一、选择题、（本大题共12小题，每小题3分，满分36分．每小题给出的4个选项中只有一个符合题意，请在答题卷上将正确答案的代号涂黑）1．（3分）计算3×（﹣2）的结果是（）A．5 B．﹣5 C．6 D．﹣62．（3分）纳米是一种长度单位，1纳米=10﹣9米．已知某种花粉的直径为35000纳米，则用科学记数法表示该花粉的直径为（）A．3.5×10﹣6m B．3.5×10﹣5m C．35×10﹣4m D．3.5×104m3．（3分）下列计算正确的是（）A．6a﹣5a=1 B．（a2）3=a5 C．a6÷a3=a2 D．a2•a3=a54．（3分）函数y=的自变量x的取值范围是（）A．x＞﹣3 B．x＜﹣3 C．x≠﹣3 D．x≥﹣35．（3分）下列调查中，适宜采用全面调查（普查）方式的是（）A．调查一批新型节能灯泡的使用寿命B．调查长江流域的水污染情况C．调查重庆市初中学生的视力情况D．为保证“神舟7号”的成功发射，对其零部件进行普查检查6．（3分）分式方程的解是（）A．﹣3 B．2 C．3 D．﹣27．（3分）由四个大小相同的正方体组成的几何体如图所示，那么它的左视图是（）A．B．C．D．8．（3分）观察下列图形，则第n个图形中三角形的个数是（）A．2n+2 B．4n+4 C．4n﹣4 D．4n9．（3分）三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程x2﹣12x+35=0的根，则该三角形的周长为（）A．14 B．12 C．12或14 D．以上都不对10．（3分）若一个圆锥的底面圆的周长是4πcm，母线长是6cm，则该圆锥的侧面展开图的圆心角的度数是（）A．40°B．80°C．120°D．150°11．（3分）如图，数轴上A，B两点表示的数分别为﹣1和，点B关于点A的对称点为C，则点C所表示的数为（）A．﹣2﹣ B．﹣1﹣C．﹣2+D．1+12．（3分）如图所示是二次函数y=﹣x2+2的图象在x轴上方的一部分，对于这段图象与x轴所围成的阴影部分的面积，你认为与其最接近的值是（）A．4 B．C．2πD．8二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．请将答案填写在答题卷相应题号的位置）13．（3分）因式分解：a3﹣4a=．14．（3分）若m+n=10，mn=24，则m2+n2=．15．（3分）当m满足时，关于x的方程x2﹣4x+m﹣=0有两个不相等的实数根．16．（3分）从分别标有1、2、3、4的四张卡片中，一次同时抽2张，其中和为奇数的概率是．17．（3分）如果x2+2（k﹣3）x+16是一个完全平方式，那么k=．18．（3分）四边形ABCD的对角线AC、BD的长分别为m、n，可以证明当AC⊥BD时（如左图），四边形ABCD的面积S=mn，那么当AC、BD所夹的锐角为θ时（如图），四边形ABCD的面积S=．（用含m、n、θ的式子表示）三、解答题（本大题共8小题，满分66分．请认真读题，冷静思考．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤，请将答案写在答题卷相应题号的位置）19．（6分）计算：|﹣2|+2sin30°﹣（﹣）2+（tan45°）﹣1．20．（6分）先化简，再求值：，其中．21．（8分）如图，为了测出某塔CD的高度，在塔前的平地上选择一点A，用测角仪测得塔顶D的仰角为30°，在A、C之间选择一点B（A、B、C三点在同一直线上）．用测角仪测得塔顶D的仰角为75°，且AB 间的距离为40m．（1）求点B到AD的距离；（2）求塔高CD（结果用根号表示）．22．（8分）已知，如图，正方形ABCD的边长为1，点E是AD边上的动点，从点A沿AD向D运动，以BE为边，在BE的上方作正方形BEFG，连接CG，请探究：（1）线段AE与CG是否相等，请说明理由；（2）求证：△ABE∽△DEH；（3）当点E在何处时，DH的长度最大，最大长度是多少？23．（9分）国家推行“节能减排，低碳经济”政策后，某环保节能设备生产企业的产品供不应求．若该企业的某种环保设备每月的产量保持在一定的范围，每套产品的生产成本不高于50万元，每套产品的售价不低于90万元．已知这种设备的月产量x（套）与每套的售价y1（万元）之间满足关系式y1=170﹣2x，月产量x（套）与生产总成本y2（万元）存在如图所示的函数关系．（1）直接写出y2与x之间的函数关系式；（2）求月产量x的范围；（3）当月产量x（套）为多少时，这种设备的利润W（万元）最大？最大利润是多少？24．（9分）如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，AC=PC，∠COB=2∠PCB．（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）求证：BC=AB；（3）点M是的中点，CM交AB于点N，若AB=4，求MN•MC的值．25．（10分）对于平面直角坐标系xOy中的点P（a，b），若点P′的坐标为（，ka+b）（其中k为常数，且k≠0），则称点P′为点P的“k属派生点”．例如：P（1，4）的“2属派生点”为P′（1+，2×1+4），即P′（3，6）．（1）点P（﹣1，﹣2）的“2属派生点”P′的坐标为；（2）若点P在x轴的正半轴上，点P的“k属派生点”为P'点，且△OPP′为等腰直角三角形，求k的值；（3）已知点Q为二次函数图象上的一动点，点A在函数（x＜0）的图象上，且点A是点B的“属派生点”，当线段B Q最短时，求Q点坐标．26．（10分）如图，已知抛物线y=ax2+bx﹣3与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，经过A、B、C三点的圆的圆心M（1，m）恰好在此抛物线的对称轴上，⊙M的半径为，设⊙M与y轴交于D，抛物线的顶点为E．（1）求m的值及抛物线的解析式；（2）若F在抛物线第四象限上，求使四边形OBFC的面积最大时的点F的坐标；（3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCE相似？若存在，请指出点P 的位置，并求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．2015-2016学年湖南省长沙市麓山国际实验学校九年级（上）第五次限时训练数学试卷参考答案与试题解析一、选择题、（本大题共12小题，每小题3分，满分36分．每小题给出的4个选项中只有一个符合题意，请在答题卷上将正确答案的代号涂黑）1．（3分）（2011•绵阳校级自主招生）计算3×（﹣2）的结果是（）A．5 B．﹣5 C．6 D．﹣6【解答】解：3×（﹣2），=﹣（3×2），=﹣6．故选D．【点评】此题主要考查了有理数的乘法，牢记法则即可．2．（3分）（2015秋•长沙校级月考）纳米是一种长度单位，1纳米=10﹣9米．已知某种花粉的直径为35000纳米，则用科学记数法表示该花粉的直径为（）A．3.5×10﹣6m B．3.5×10﹣5m C．35×10﹣4m D．3.5×104m【解答】解：35000纳米=35000×10﹣9米=3.5×10﹣5米．故选：B．【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．3．（3分）（2015•嵊州市一模）下列计算正确的是（）A．6a﹣5a=1 B．（a2）3=a5 C．a6÷a3=a2 D．a2•a3=a5【解答】解：A、应为6a﹣5a=a，故本选项错误；B、应为（a2）3=a6，故本选项错误；C、应为a6÷a3=a6﹣3=a3，故本选项错误；D、a2•a3=a5，正确．故选D．【点评】本题考查合并同类项，幂的乘方，同底数幂的乘法，同底数幂的除法，熟练掌握运算性质是解题的关键．4．（3分）（2009•重庆）函数y=的自变量x的取值范围是（）A．x＞﹣3 B．x＜﹣3 C．x≠﹣3 D．x≥﹣3【解答】解：根据题意得：x+3≠0，解得：x≠﹣3．故选C．【点评】求解析法表示的函数的自变量取值范围时：当函数表达式是分式时，要注意考虑分式的分母不能为0．5．（3分）（2009•重庆）下列调查中，适宜采用全面调查（普查）方式的是（）A．调查一批新型节能灯泡的使用寿命B．调查长江流域的水污染情况C．调查重庆市初中学生的视力情况D．为保证“神舟7号”的成功发射，对其零部件进行普查检查【解答】解：A、调查一批新型节能灯泡的使用寿命，有破坏性，故得用抽查方式，故错误；B、调查长江流域的水污染情况，工作量大，得用抽查方式，故错误；C、调查重庆市初中学生的视力情况，工作量大，得用抽查方式，故错误；D、为保证“神舟7号”的成功发射，对零件全面检查十分重要，故进行普查检查，故正确．故选D．【点评】本题考查的是调查方法的选择；正确选择调查方式要根据全面调查的优缺点再结合实际情况去分析．6．（3分）（2009•芜湖）分式方程的解是（）A．﹣3 B．2 C．3 D．﹣2【解答】解：方程两边都乘x（x﹣2），得5x=3（x﹣2），解得：x=﹣3，检验：当x=﹣3时，（x﹣2）x≠0．∴x=﹣3是原方程的解．故选A．【点评】（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，方程两边都乘最简公分母，把分式方程转化为整式方程求解．（2）解分式方程一定注意要代入最简公分母验根．7．（3分）（2009•重庆）由四个大小相同的正方体组成的几何体如图所示，那么它的左视图是（）A．B．C．D．【解答】解：从左面看可得到第一层为2个正方形，第二层左面有一个正方形．故选A．【点评】本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图．8．（3分）（2009•重庆）观察下列图形，则第n个图形中三角形的个数是（）A．2n+2 B．4n+4 C．4n﹣4 D．4n【解答】解：根据给出的3个图形可以知道：第1个图形中三角形的个数是4，第2个图形中三角形的个数是8，第3个图形中三角形的个数是12，从而得出一般的规律，第n个图形中三角形的个数是4n．故选D．【点评】此题考查了学生由特殊到一般的归纳能力．解此题时要注意寻找各部分间的联系，找到一般规律．9．（3分）（2015•安顺）三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程x2﹣12x+35=0的根，则该三角形的周长为（）A．14 B．12 C．12或14 D．以上都不对【解答】解：解方程x2﹣12x+35=0得：x=5或x=7．当x=7时，3+4=7，不能组成三角形；当x=5时，3+4＞5，三边能够组成三角形．∴该三角形的周长为3+4+5=12，故选B．【点评】本题主要考查三角形三边关系，注意在求周长时一定要先判断是否能构成三角形．10．（3分）（2009•成都）若一个圆锥的底面圆的周长是4πcm，母线长是6cm，则该圆锥的侧面展开图的圆心角的度数是（）A．40°B．80°C．120°D．150°【解答】解：圆锥侧面展开图的扇形面积半径为6cm，弧长为4πcm，代入扇形弧长公式l=，即4π=，解得n=120，即扇形圆心角为120度．故选C．【点评】本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．解题思路：解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系：（1）圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；（2）圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长．正确对这两个关系的记忆是解题的关键．11．（3分）（2010•枣庄）如图，数轴上A，B两点表示的数分别为﹣1和，点B关于点A的对称点为C，则点C所表示的数为（）A．﹣2﹣ B．﹣1﹣C．﹣2+D．1+【解答】解：∵对称的两点到对称中心的距离相等，∴CA=AB，|﹣1|+||=1+，∴OC=2+，而C点在原点左侧，∴C表示的数为：﹣2﹣．故选A．【点评】本题主要考查了求数轴上两点之间的距离，同时也利用对称点的性质及利用数形结合思想解决问题．12．（3分）（2016秋•沂源县校级月考）如图所示是二次函数y=﹣x2+2的图象在x轴上方的一部分，对于这段图象与x轴所围成的阴影部分的面积，你认为与其最接近的值是（）A．4 B．C．2πD．8【解答】解：解：函数y=﹣x2+2与y轴交于（0，2）点，与x轴交于（﹣2，0）和（2，0）两点，则三点构成的三角形面积s1=×2×4=4，则以半径为2的半圆的面积为s2=π×22=2π，则阴影部分的面积s有：4＜s＜2π．因为选项A、C、D均不在S取值范围内．故选：B．【点评】此题主要考二次函数的性质，关键是掌握函数图象与x轴相交时，y的值为0．函数图象与y轴相交时，x的值为0．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．请将答案填写在答题卷相应题号的位置）13．（3分）（2014•本溪）因式分解：a3﹣4a=a（a+2）（a﹣2）．【解答】解：a3﹣4a=a（a2﹣4）=a（a+2）（a﹣2）．故答案为：a（a+2）（a﹣2）．【点评】此题主要考查了提取公因式法和公式法分解因式，熟练掌握平方差公式是解题关键．14．（3分）（2016•广东模拟）若m+n=10，mn=24，则m2+n2=52．【解答】解：∵m+n=10，mn=24，∴m2+n2=（m+n）2﹣2mn=100﹣48=52．故本题答案为：52．【点评】本题考查了完全平方公式的应用，解此题可用完全平方公式把m+n，mn的值整体代入求解．15．（3分）（2009•芜湖）当m满足m＜时，关于x的方程x2﹣4x+m﹣=0有两个不相等的实数根．【解答】解：∵于x的方程x2﹣4x+m﹣=0有两个不相等的实数根，∴△=b2﹣4ac=16﹣4（m﹣）＞0，解之得m＜．【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．16．（3分）（2009•荆门）从分别标有1、2、3、4的四张卡片中，一次同时抽2张，其中和为奇数的概率是．【解答】解：由树状图可知共有4×3=12种可能，和为奇数的有8种，所以概率是．【点评】考查概率的概念和求法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．17．（3分）（2015秋•招远市期末）如果x2+2（k﹣3）x+16是一个完全平方式，那么k=7或﹣1．【解答】解：∵x2+2（k﹣3）x+16是一个完全平方式，∴2（k﹣3）=±8，解得：k=7或﹣1，故答案为：7或﹣1．【点评】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．18．（3分）（2008•泰安）四边形ABCD的对角线AC、BD的长分别为m、n，可以证明当AC⊥BD时（如左图），四边形ABCD的面积S=mn，那么当AC、BD所夹的锐角为θ时（如图），四边形ABCD的面积S=mnsinθ．（用含m、n、θ的式子表示）【解答】解：如图，设AC、BD交于O点，在①图形中，设BD=m，OA+OC=n，所以S四边形ABCD=S△ABD+S△BDC=m•OC+m•OA=mn；在②图形中，作AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，由于AC、BD夹角为θ，所以AE=OA•sinθ，CF=OC•sinθ，∴S四边形ABCD=S△ABD+S△BDC=BD•AE+BD•CF=BD•（AE+CF）=mnsinθ．故填空答案：mnsinθ．【点评】此题比较难，解题时关键要找对思路，即原四边形的高已经发生了变化，只要把高求出来，一切将迎刃而解．三、解答题（本大题共8小题，满分66分．请认真读题，冷静思考．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤，请将答案写在答题卷相应题号的位置）19．（6分）（2009•安徽）计算：|﹣2|+2sin30°﹣（﹣）2+（tan45°）﹣1．【解答】解：原式=2+1﹣3+1=1．【点评】本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握负整数指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．20．（6分）（2016•惠东县模拟）先化简，再求值：，其中．【解答】解：，=+，=+1，=，当时，原式===﹣6．【点评】此题主要考查了分式的运算，注意分式运算中分子、分母能因式分解的先因式分解；除法要统一为乘法运算．21．（8分）（2013•泸州）如图，为了测出某塔CD的高度，在塔前的平地上选择一点A，用测角仪测得塔顶D的仰角为30°，在A、C之间选择一点B（A、B、C三点在同一直线上）．用测角仪测得塔顶D的仰角为75°，且AB间的距离为40m．（1）求点B到AD的距离；（2）求塔高CD（结果用根号表示）．【解答】解：（1）过点B作BE⊥AD于点E，∵AB=40m，∠A=30°，∴BE=AB=20m，AE==20m，即点B到AD的距离为20m；（2）在Rt△ABE中，∵∠A=30°，∴∠ABE=60°，∵∠DBC=75°，∴∠EBD=180°﹣60°﹣75°=45°，∴DE=EB=20m，则AD=AE+EB=20+20=20（+1）（m），在Rt△ADC中，∠A=30°，∴DC==（10+10）m．答：塔高CD为（10+10）m．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，难度适中，解答本题的关键是根据仰角构造直角三角形并解直角三角形．22．（8分）（2015秋•长沙校级月考）已知，如图，正方形ABCD的边长为1，点E是AD边上的动点，从点A沿AD向D运动，以BE为边，在BE的上方作正方形BEFG，连接CG，请探究：（1）线段AE与CG是否相等，请说明理由；（2）求证：△ABE∽△DEH；（3）当点E在何处时，DH的长度最大，最大长度是多少？【解答】（1）解：AE=CG，理由如下：∵四边形ABCD，BEFG都为正方形，∴AB=BC，BE=BG，∠ABE=∠CBG，在△ABE和△CBG中∴△ABE≌△CBG，∴AE=CG（2）证明：∵四边形ABCD，EFGB都为正方形，∴∠AEB+DEF=90°∵∠DEF+DHE=90°，∴∠AEB=DHE，∵∠A=∠D∴△ABE∽△DEH（3）设DH=y，AE=x，则DE=1﹣x，∵△ABE∽△DEH，∴，∴，∴y=﹣x2+x=﹣（x﹣）2+，∴当x=时，y max=，∴当点E在AD的中点时，DH的最大值为．【点评】此题是相似的综合题，主要考查正方形的性质和三角形全等和相似，解本题的关键是有全等和相似得到线段的关系．23．（9分）（2010•荆州）国家推行“节能减排，低碳经济”政策后，某环保节能设备生产企业的产品供不应求．若该企业的某种环保设备每月的产量保持在一定的范围，每套产品的生产成本不高于50万元，每套产品的售价不低于90万元．已知这种设备的月产量x（套）与每套的售价y1（万元）之间满足关系式y1=170﹣2x，月产量x（套）与生产总成本y2（万元）存在如图所示的函数关系．（1）直接写出y2与x之间的函数关系式；（2）求月产量x的范围；（3）当月产量x（套）为多少时，这种设备的利润W（万元）最大？最大利润是多少？【解答】解：（1）设函数关系式为y2=kx+b，把坐标（30，1400）（40，1700）代入，解得：∴函数关系式y2=30x+500；（2）依题意得：，解得：25≤x≤40；（3）∵W=x•y1﹣y2=x（170﹣2x）﹣（500+30x）=﹣2x2+140x﹣500∴W=﹣2（x﹣35）2+1950∵25＜35＜40，∴当x=35时，W最大=1950答：当月产量为35件时，利润最大，最大利润是1950万元．【点评】本题考查了函数关系式及其最大值的求解，同时还有自变量取值范围的求解．24．（9分）（2010•兰州）如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，AC=PC，∠COB=2∠PCB．（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）求证：BC=AB；（3）点M是的中点，CM交AB于点N，若AB=4，求MN•MC的值．【解答】（1）证明：∵OA=OC，∴∠A=∠ACO．又∵∠COB=2∠A，∠COB=2∠PCB，∴∠A=∠ACO=∠PCB．又∵AB是⊙O的直径，∴∠ACO+∠OCB=90°．∴∠PCB+∠OCB=90°．即OC⊥CP，∵OC是⊙O的半径．∴PC是⊙O的切线．（2）证明：∵AC=PC，∴∠A=∠P，∴∠A=∠ACO=∠PCB=∠P．又∵∠COB=∠A+∠ACO，∠CBO=∠P+∠PCB，∴∠COB=∠CBO，∴BC=OC．∴BC=AB．（3）解：连接MA，MB，∵点M是的中点，∴，∴∠ACM=∠BCM．∵∠ACM=∠ABM，∴∠BCM=∠ABM．∵∠BMN=∠BMC，∴△MBN∽△MCB．∴．∴BM2=MN•MC．又∵AB是⊙O的直径，，∴∠AMB=90°，AM=BM．∵AB=4，∴BM=2．∴MN•MC=BM2=8．【点评】此题主要考查圆的切线的判定及圆周角定理的运用和相似三角形的判定和性质的应用．25．（10分）（2015秋•长沙校级月考）对于平面直角坐标系xOy中的点P（a，b），若点P′的坐标为（，ka+b）（其中k为常数，且k≠0），则称点P′为点P的“k属派生点”．例如：P（1，4）的“2属派生点”为P′（1+，2×1+4），即P′（3，6）．（1）点P（﹣1，﹣2）的“2属派生点”P′的坐标为（﹣2，﹣4）；（2）若点P在x轴的正半轴上，点P的“k属派生点”为P'点，且△OPP′为等腰直角三角形，求k的值；（3）已知点Q为二次函数图象上的一动点，点A在函数（x＜0）的图象上，且点A是点B的“属派生点”，当线段B Q最短时，求Q点坐标．【解答】解：（1）P（﹣1，﹣2）的“2属派生点”是（﹣1+，﹣2×1﹣2）即（﹣2，﹣4），故答案是：（﹣2，﹣4）；（2）P的“k属派生点”为P'点的坐标是（﹣1﹣，﹣k﹣2），当P'在第四象限，且OP=OP'时，P'的坐标是（2，﹣1），﹣1﹣=2，解得：k=﹣，此时﹣k﹣2=﹣时，不符合条件；当P'在第二象限时，P'的坐标是（﹣2，1），若﹣1﹣=﹣2，解得：k=2，此时﹣k﹣2=﹣4≠1，故不符合条件；当P是直角顶点时，若OP=PP'，此时P'即把（2，﹣1）左平移1个单位长度，向下平移2个单位长度，则P'的坐标是（1，﹣3）．则当﹣1﹣=1时，k=﹣1，此时﹣k﹣2=﹣3，满足条件；同理，当P的坐标是（﹣3，﹣1），若﹣1﹣=﹣3时，k=1，此时﹣k﹣2=﹣1，此时满足条件．总之，k=±1；（3）设B（a，b），∵B的“属派生点”是A，∴A（，）∵点A还在反比例函数的图象上，∴．∴．∵，∴．∴．∴B在直线l：上．设直线l的平行线为①∵点Q在直线②图象上联立①②得，由题意△=0 时BQ最短，此时点Q的坐标为．【点评】本题考查了反比例函数与二次函数的综合应用，正确理解题目中的新的定义，以及PQ最短的条件是关键．26．（10分）（2015秋•长沙校级月考）如图，已知抛物线y=ax2+bx﹣3与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，经过A、B、C三点的圆的圆心M（1，m）恰好在此抛物线的对称轴上，⊙M的半径为，设⊙M与y轴交于D，抛物线的顶点为E．（1）求m的值及抛物线的解析式；（2）若F在抛物线第四象限上，求使四边形OBFC的面积最大时的点F的坐标；（3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCE相似？若存在，请指出点P 的位置，并求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）如图1，，由题意可知C（0，﹣3），∴抛物线的解析式为y=ax2﹣2ax﹣3（a＞0），过M作MN⊥y轴于N，连结CM，则MN=1，∴CN=2，于是m=﹣1．同理可求得B（3，0），∴a×32﹣2﹣2a×3﹣3=0，得a=1，∴抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3；（2）如图2，，由B（3，0），C（0，﹣3）得BC的解析式为y=x﹣3，E点在BC上，F在抛物线上，设F（m，m2﹣2m﹣3），E（m，m﹣3），EF=m﹣3﹣（m2﹣2m﹣3）=﹣m2+3m，S△BCF最大时，S OBCF最大．S△BCF=EF•x B=（﹣m2+3m）×3=﹣（m﹣）2+，当m=时，S△BCF最大=，m=，m2﹣2m﹣3=﹣3﹣3=﹣，即F（，﹣）；（3）当y=0时，x2﹣2x﹣3=0，解得x=﹣1，x=3，即A（﹣1，0），B（3，0），y=（x﹣1）2﹣4，即E（1，﹣4）．由勾股定理得AC=，BC=3，CE=，①显然Rt△COA∽Rt△BCE，此时点P1（0，0），②过A作AP2⊥AC交y正半轴于P2，如图3，由Rt△CAP2∽Rt△BCE，得，=，即=，AP2=，OP2==，P2（0，）③过C作CP3⊥AC交x正半轴于P3，如图4，由Rt△P3CA∽Rt△BCE，得=，即=，CP3=．OP3==9，P3（9，0），故在坐标轴上存在三个点P1（0，0），P2（0，），P3（9，0），使得以P、A、C为顶点的三角形与BCE相似．【点评】本题考查了二次函数综合题，利用勾股定理得出B点坐标是解题关键；利用三角形的面积得出二次函数得出二次函数的性质是解题关键；利用相似三角形的性质得出P点坐标是解题关键，要分类讨论，以防遗漏．参与本试卷答题和审题的老师有：sd2011；gbl210；110397；天马行空；zhjh；lhz6918；shuiyu；zhangCF；lanchong；137-hui；hbxglhl；心若在；xiu；733599；郝老师；蓝月梦；lanyan；sks；Liuzhx；lf2-9；caicl；星月相随；Linaliu；张超。
2019-2020学年湖南省长沙市岳麓区麓山国际实验学校九年级(上)开学数学试卷 解析版
2019-2020学年湖南省长沙市岳麓区麓山国际实验学校九年级（上）开学数学试卷一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）1．（3分）（2017秋•青龙县期末）在以下数据75，80，85，90，80中，众数和中位数分别是( ) A ．75，80B ．80，80C ．80，85D ．85，902．（3分）（2019•北海一模）将一块长方形桌布铺在长为3m ，宽为2m 的长方形桌面上，各边下垂的长度相同，且桌布的面积是桌面面积的2倍，求桌布下垂的长度设桌布下垂的长度为xm ，则所列的方程是( ) A ．(23)(22)232x x ++=⨯⨯ B ．2(3)(2)32x x ++=⨯ C ．(3)(2)232x x ++=⨯⨯D ．2(23)22)32x x ++=⨯3．（3分）（2015•乌鲁木齐）在某次射击训练中，甲、乙、丙、丁4人各射击10次，平均成绩相同，方差分别是20.35S =甲，20.15S =乙，20.25S =丙，20.27S =丁，这4人中成绩发挥最稳定的是( ) A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁4．（3分）（2017秋•青龙县期末）关于x 的一元二次方程2620x x k ++=有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是( ) A ．92k …B ．92k …C ．92k <D ．92k >5．（3分）（2019秋•岳麓区校级月考）下列命题是真命题的是( ) A ．对角线相等的平行四边形是矩形 B ．菱形的对角线相等C ．对角线互相垂直的平行四边形是正方形D ．四边都相等的四边形是矩形6．（3分）（2019•鄂州模拟）如图，已知矩形ABCD ，3AB =，4BC =，AE 平分BAD ∠交BC 于点E ，点F 、G 分别为AD 、AE 的中点，则(FG = )A ．52B ．10 C ．2 D ．3227．（3分）（2019•永春县模拟）在函数xy =中，自变量x 的取值范围是( ) A ．0x …B ．0x >且3x ≠C ．0x …且3x ≠D ．0x >8．（3分）（2019•秦淮区二模）在平面直角坐标系中，点A 、B 的坐标分别是(0,3)、(4,0)-，则原点到直线AB 的距离是( ) A ．2B ．2.4C ．2.5D ．39．（3分）（2019•资阳）爷爷在离家900米的公园锻炼后回家，离开公园20分钟后，爷爷停下来与朋友聊天10分钟，接着又走了15分钟回到家中．下面图形中表示爷爷离家的距离y （米)与爷爷离开公园的时间x （分)之间的函数关系是( )A ．B ．C ．D ．10．（3分）（2019•邵阳三模）已知抛物线21y x x =--与x 轴的一个交点为(,0)m ，则代数式22019m m -+的值为( ) A ．2018B ．2019C ．2020D ．202111．（3分）（2019秋•岳麓区校级月考）已知二次函数223(0)y ax ax a a =--≠，关于此函数的图象及性质，下列结论中不一定成立的是( ) A ．该图象的顶点坐标为(1,4)a - B ．该图象在x 轴上截得的线段的长为4C ．若该图象经过点(2,5)-，则一定经过点(4,5)D ．当1x >时，y 随x 的增大而增大12．（3分）（2019•红桥区二模）如图，二次函数2y ax bx c =++的图象经过点(3,0)A -，其对称轴为直线1x =-，有下列结论： ①0abc <； ②20a b c -->；③关于x 的方程2()ax b m x c m +-+=有两个不相等的实数根；④若1(5,)P y -，2(,)Q m y 是抛物线上两点，且12y y >，则实数m 的取值范围是53m -<<． 其中正确结论的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）13．（3分）（2019•惠山区二模）已知m 、n 是关于x 的方程2210x x +-=的两个不相等的实数根，则m n += ．14．（3分）（2019•潍坊）当直线(22)3y k x k =-+-经过第二、三、四象限时，则k 的取值范围是 ．15．（3分）（2019•宁波二模）一次函数23y x =+的图象与x 轴的交点坐标是 ． 16．（3分）（2019•渝中区二模）如图，菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，过点O 作直线EF 分别与AB 、DC 相交于E 、F 两点，若10AC =，4BD =，则图中阴影部分的面积等于 ．17．（3分）（2019•南昌模拟）给出一组数据10，12，10，x ，8，若这组数据的众数和平均数相等，则中位数为 ．18．（3分）（2019•江汉区模拟）二次函数2y x bx =+的图象如图，对称轴为1x =．若关于x 的一元二次方程220(x bx t t +-=为实数）在14x -<…的范围内有解，则t 的取值范围是 ．三、解答题（共8小题，满分66分）19．（6分）（2019•东莞市模拟）计算：2018|22|()(31)2-+--+-．20．（6分）（2018春•松北区期末）为了调查学生每天零花钱情况，对我校初二学年某班50名同学每天零花钱情况进行了统计，并绘制成下面的统计图． （1）直接写出这50名同学零花钱数据的众数是 ；中位数是 ． （2）求这50名同学零花钱的平均数．（3）该校共有学生3100人，请你根据该班的零花钱情况，估计这个中学学生每天的零花钱不小于30元的人数．21．（8分）（2018秋•亭湖区校级期末）已知二次函数的图象如图所示．（1）求这个二次函数的表达式；（2）观察图象，当21x -<…时，y 的取值范围为 ；（3）将该二次函数图象向上平移 个单位长度后恰好过点(2,0)-．22．（8分）（2018春•福清市期中）如图，在ABCD 中，AD AB >，AE 平分BAD ∠，交BC 于点E ，过点E 作//EF AB 交AD 于点F ． （1）求证：四边形ABEF 是菱形；（2）若菱形ABEF 的周长为16，120EBA ∠=︒，求AE 的大小．23．（9分）（2019秋•岳麓区校级月考）为响应国家全民阅读的号召，望月湖区鼓励居民到社区阅览室借阅读书，并统计每年的借阅人数和图书借阅总量（单位：本）．该阅览室在2017年图书借阅总量是7500本，2019年图书借阅总量是10800本． （1）求该社区的图书借阅总量从2017年至2019年的年平均增长率；（2）已知2019年该社区居民借阅图书人数有1350人，预计2020年达到1440人，如果2019至2020年图书借阅总量的增长率不低于2017至2019年的年平均增长率，那么2020年的人均借阅量比2019年增长%a ，a 的值至少是多少？24．（9分）（2019•洪泽区二模）某手机专营店，第一期进了甲种手机50部．售后统计，甲种手机的平均利润是160元/部．调研发现：甲种手机每增加1部，平均利润减少2元/部；该店计划第二期进货甲种手机比第一期增加x 部，（1）第二期甲种手机售完后的利润为8400元，那么甲种手机比第一期要增加多少部？ （2）当x 取何值时，第二期进的甲种手机售完后获得的利润W 最大，最大利润是多少？ 25．（10分）（2019•宛城区一模）某公司准备购进一批产品进行销售，该产品的进货单价为6元/个．根据市场调查，该产品的日销售量y （个)与销售单价x （元/个）之间满足一次函数关系．关于日销售量y （个)与销售单价x （元/个）的几组数据如表：x10 12 14 16y300240180m（1）求出y 与x 之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）及m 的值．（2）按照（1）中的销售规律，当销售单价定为17.5元/个时，日销售量为 个，此时，获得日销售利润是 ．（3）为防范风险，该公司将日进货成本控制在900（含900元）以内，按照（1）中的销售规律，要使日销售利润最大，则销售单价应定为多少？并求出此时的最大利润．26．（10分）（2019秋•岳麓区校级月考）细图．抛物线214y x bx c =-++与y 轴交于点A ，与x 轴正半轴交于点B ，直线AB 的解忻式是132y x =-+，点C 是第一象限内抛物线上的一点，过点C 作x 轴的眶线交直线AB 于点D ．过点C 作x 轴的平行线交抛物线于点F ，以CD ，CF 邻边作矩形CDEF ．设矩形CDEF 的周长为L ，点C 的横坐标为m ． （1）求抛物线的解析式；（2）写出矩形CDEF 的周长L 与m 的函数关系式； （3）当m 为何值时，CE DF ⊥？2019-2020学年湖南省长沙市岳麓区麓山国际实验学校九年级（上）开学数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）1．（3分）（2017秋•青龙县期末）在以下数据75，80，85，90，80中，众数和中位数分别是()A．75，80B．80，80C．80，85D．85，90【考点】4W：众数W：中位数；5【专题】542：统计的应用【分析】根据众数、中位数的定义即可判断；【解答】解：数据75，80，80，85，90中，众数是80，中位数是80，故选：B．【点评】本题考查众数、中位数的定义，解题的关键是记住众数．中位数的定义，属于中考常考题型．2．（3分）（2019•北海一模）将一块长方形桌布铺在长为3m，宽为2m的长方形桌面上，各边下垂的长度相同，且桌布的面积是桌面面积的2倍，求桌布下垂的长度设桌布下垂的长度为xm，则所列的方程是()A．(23)(22)232++=⨯x x++=⨯⨯B．2(3)(2)32x xC．(3)(2)232++=⨯x xx x++=⨯⨯D．2(23)22)32【考点】AC：由实际问题抽象出一元二次方程【专题】523：一元二次方程及应用【分析】设桌布铺到桌面上时各边垂下的长度为xm，则用含x的代数式表示桌布的长为x x++=⨯⨯．+，宽为(22)x m+，依题意得(23)(22)232(32)x m【解答】解：设桌布铺到桌面上时各边垂下的长度为xm，则桌布的长为(32)x m+，宽为+，(22)x m依题意得(23)(22)232++=⨯⨯，x x故选：A．【点评】考查了一元二次方程的应用，此题选择未知数非常关键，设桌布铺到桌面上时各边垂下的长度，即可表示桌布的长与宽．3．（3分）（2015•乌鲁木齐）在某次射击训练中，甲、乙、丙、丁4人各射击10次，平均成绩相同，方差分别是20.35S =甲，20.15S =乙，20.25S =丙，20.27S =丁，这4人中成绩发挥最稳定的是( ) A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁【考点】7W ：方差【分析】方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好，据此判断出这4人中成绩发挥最稳定的是哪个即可．【解答】解：20.35S =Q 甲，20.15S =乙，20.25S =丙，20.27S =丁， 2222S S S S ∴<<<乙丙丁甲，∴这4人中成绩发挥最稳定的是乙．故选：B ．【点评】此题主要考查了方差的性质和应用，要熟练在我，解答此题的关键是要明确：方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．4．（3分）（2017秋•青龙县期末）关于x 的一元二次方程2620x x k ++=有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是( ) A ．92k …B ．92k …C ．92k <D ．92k >【考点】AA ：根的判别式 【专题】1：常规题型【分析】根据判别式的意义得到△26420k =-⨯>，然后解不等式即可． 【解答】解：Q 关于x 的一元二次方程2620x x k ++=有两个不相等的实数根，∴△240b ac =->，即26420k -⨯>，解得92k <， 故选：C ．【点评】此题考查了一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根的判别式△24b ac =-：当△0>，方程有两个不相等的实数根；当△0=，方程有两个相等的实数根；当△0<，方程没有实数根．5．（3分）（2019秋•岳麓区校级月考）下列命题是真命题的是()A．对角线相等的平行四边形是矩形B．菱形的对角线相等C．对角线互相垂直的平行四边形是正方形D．四边都相等的四边形是矩形【考点】1O：命题与定理【专题】67：推理能力；556：矩形菱形正方形【分析】根据平行四边形的判定方法，矩形的判定方法，菱形的性质，正方形的判定方法进行判断．【解答】解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，故符合题意；B、菱形的对角线互相垂直，故不符合题意；C、对角线互相垂直相等的平行四边形是正方形，故不符合题意；D、四边都相等的四边形是菱形，故不符合题意；故选：A．【点评】本题考查了命题真假的判断，属于基础题．根据定义：符合事实真理的判断是真命题，不符合事实真理的判断是假命题，不难选出正确项．6．（3分）（2019•鄂州模拟）如图，已知矩形ABCD，3AB=，4BC=，AE平分BAD∠交BC于点E，点F、G分别为AD、AE的中点，则(FG=)A．52B10C．2D32【考点】LB：矩形的性质；KX：三角形中位线定理【专题】556：矩形菱形正方形【分析】由矩形的性质和角平分线的性质可得3AB BE==，可得1EC=，由勾股定理可求10DE=GF的长．【解答】解：连接DE，Q 四边形ABCD 是矩形3AB CD ∴==，4AD BC ==，//AD BCDAE AEB ∴∠=∠ AE Q 平分BAD ∠ DAE BAE ∴∠=∠ BAE AEB ∴∠=∠3AB BE ∴== 1EC BC BE ∴=-=2210DE EC CD ∴=+Q 点F 、G 分别为AD 、AE 的中点，10FG ∴故选：B ．【点评】本题考查了矩形的性质，勾股定理，三角形中位线的定理，求EC 的长度是本题的关键．7．（3分）（2019•永春县模拟）在函数xy 中，自变量x 的取值范围是( ) A ．0x …B ．0x >且3x ≠C ．0x …且3x ≠D ．0x >【考点】4E ：函数自变量的取值范围【专题】538：用函数的观点看方程（组)或不等式【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x 的范围．【解答】解：根据题意得：0x …且30x -≠， 解得：0x …且3x ≠． 故选：C ．【点评】本题考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．8．（3分）（2019•秦淮区二模）在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别是(0,3)、(4,0)-，则原点到直线AB的距离是()A．2B．2.4C．2.5D．3【考点】8F：一次函数图象上点的坐标特征【专题】531：平面直角坐标系；533：一次函数及其应用【分析】由AOB∆是直角三角形，利用直角三角形面积相等，将O到AB的距离转化为直角三角形OAB斜边上的高求解；【解答】解：Q点A、B的坐标分别是(0,3)、(4,0)-，3OA∴=，4OB=，5AB∴=，AOB∆是直角三角形，O∴到AB的距离为3412 55⨯=；故选：B．【点评】本题考查坐标平面内点的特征；将将O到AB的距离转化为直角三角形OAB斜边上的高是解题的关键；9．（3分）（2019•资阳）爷爷在离家900米的公园锻炼后回家，离开公园20分钟后，爷爷停下来与朋友聊天10分钟，接着又走了15分钟回到家中．下面图形中表示爷爷离家的距离y（米)与爷爷离开公园的时间x（分)之间的函数关系是()A．B．C．D．【考点】6E ：函数的图象【专题】532：函数及其图象【分析】由题意，爷爷在公园回家，则当0x =时，900y =；从公园回家一共用了45分钟，则当45x =时，0y =；【解答】解：由题意，爷爷在公园回家，则当0x =时，900y =；从公园回家一共用了20101545++=分钟，则当45x =时，0y =；结合选项可知答案B ．故选：B ．【点评】本题考查函数图象；能够从题中获取信息，分析运动时间与距离之间的关系是解题的关键．10．（3分）（2019•邵阳三模）已知抛物线21y x x =--与x 轴的一个交点为(,0)m ，则代数式22019m m -+的值为( )A ．2018B ．2019C ．2020D ．2021【考点】HA ：抛物线与x 轴的交点【专题】535：二次函数图象及其性质【分析】把(,0)m 代入21y x x =--得21m m -=，然后利用整体代入的方法计算22019m m -+的值．【解答】解：把(,0)m 代入21y x x =--得210m m --=，所以21m m -=，所以22019120192020m m -+=+=．故选：C ．【点评】本题考查了抛物线与x 轴的交点：把求二次函数2(y ax bx c a =++，b ，c 是常数，0)a ≠与x 轴的交点坐标问题转化为解关于x 的一元二次方程．11．（3分）（2019秋•岳麓区校级月考）已知二次函数223(0)y ax ax a a =--≠，关于此函数的图象及性质，下列结论中不一定成立的是( )A ．该图象的顶点坐标为(1,4)a -B ．该图象在x 轴上截得的线段的长为4C ．若该图象经过点(2,5)-，则一定经过点(4,5)D ．当1x >时，y 随x 的增大而增大 【考点】5H ：二次函数图象上点的坐标特征；HA ：抛物线与x 轴的交点；4H ：二次函数图象与系数的关系【专题】67：推理能力；535：二次函数图象及其性质【分析】根据二次函数的图象与性质即可求出答案．【解答】解：2(23)y a x x =--(3)(1)a x x =-+令0y =，3x ∴=或1x =-，∴抛物线与x 轴的交点坐标为(3,0)与(1,0)-，∴图象在x 轴上截得的线段的长为4，故B 成立；∴抛物线的对称轴为：1x =，令1x =代入223y ax ax a =--，234y a a a a ∴=--=-，∴顶点坐标为(1,4)a -，故A 成立；由于点(2,5)-与(4,5)关于直线1x =对称，∴若该图象经过点(2,5)-，则一定经过点(4,5)，故C 成立；当1x >，0a >时，y 随着x 的增大而增大，当1x >，0a <时，y 随着x 的增大而减少，故D 不一定成立；故选：D ．【点评】本题考查二次函数，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于基础题型．12．（3分）（2019•红桥区二模）如图，二次函数2y ax bx c =++的图象经过点(3,0)A -，其对称轴为直线1x =-，有下列结论：①0abc <；②20a b c -->；③关于x 的方程2()ax b m x c m +-+=有两个不相等的实数根；④若1(5,)P y -，2(,)Q m y 是抛物线上两点，且12y y >，则实数m 的取值范围是53m -<<． 其中正确结论的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4【考点】4H ：二次函数图象与系数的关系；5H ：二次函数图象上点的坐标特征；AA ：根的判别式；HA ：抛物线与x 轴的交点【专题】535：二次函数图象及其性质【分析】由图象和已知可得0a >，0c <，2b a =，3c a =-；①0abc <；②22650a b c a a a a --=-+=>；③2()ax b m x c m +-+=，可化为2(2)30ax a m x a m +---=，则△222(2)4(3)160a m a a m a m =-++=+>；④与P 点y 值相等的点为1(7,)y ，12y y >时有57m -<<；【解答】解：有图可知0a >，0c <，对称轴为1x =-，12b x a∴=-=-， 20b a ∴=>；①0abc <，正确；②2y ax bx c =++的图象经过点(3,0)A -，930a b c ∴-+=，30a c ∴+=，即3c a =-，223y ax ax a ∴=+-，22650a b c a a a a --=-+=>，②正确；③2()ax b m x c m +-+=，可化为2(2)3ax a m x a m +--=，2(2)30ax a m x a m ∴+---=，△222(2)4(3)160a m a a m a m =-++=+>，∴关于x 的方程2()ax b m x c m +-+=有两个不相等的实数根；③正确；④1(5,)P y -，2(,)Q m y 是抛物线上两点，且12y y >，1x ∴=-是对称轴，∴与P 点y 值相等的点为1(7,)y ，12y y >Q ，57m ∴-<<；④错误；故选：C ．【点评】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握函数图象及性质，能够从函数图象获取信息，结合函数解析式进行求解是关键．二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）13．（3分）（2019•惠山区二模）已知m 、n 是关于x 的方程2210x x +-=的两个不相等的实数根，则m n += 2- ．【考点】AB ：根与系数的关系【专题】523：一元二次方程及应用【分析】由根与系数的关系求解即可．【解答】解：m Q 、n 是关于x 的方程2210x x +-=的两个不相等的实数根，2m n ∴+=-．故答案为2-．【点评】本题考查了根与系数的关系：1x ，2x 是一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根时，12b x x a +=-，12c x x a=g ． 14．（3分）（2019•潍坊）当直线(22)3y k x k =-+-经过第二、三、四象限时，则k 的取值范围是 13k << ．【考点】7F ：一次函数图象与系数的关系【专题】533：一次函数及其应用【分析】根据一次函数y kx b =+，0k <，0b <时图象经过第二、三、四象限，可得220k -<，30k -<，即可求解；【解答】解：(22)3y k x k =-+-经过第二、三、四象限，220k ∴-<，30k -<，1k ∴>，3k <，13k ∴<<；故答案为13k <<；【点评】本题考查一次函数图象与系数的关系；掌握一次函数y kx b =+，k 与b 对函数图象的影响是解题的关键．15．（3分）（2019•宁波二模）一次函数23y x =+的图象与x 轴的交点坐标是 3(2-，0) ． 【考点】8F ：一次函数图象上点的坐标特征【专题】533：一次函数及其应用【分析】令一次函数解析式中0y =，则可得出关于x 的一元一次方程，解方程得出x 值，从而得出一次函数图象与x 轴的交点坐标．【解答】解：令23y x =+中0y =，则230x +=， 解得：32x =-． ∴一次函数23y x =-+的图象与x 轴的交点坐标为3(2-，0)． 故答案为：3(2-，0)． 【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，令一次函数解析式中y （或)0x =，求出x （或)y 值是关键．16．（3分）（2019•渝中区二模）如图，菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，过点O 作直线EF 分别与AB 、DC 相交于E 、F 两点，若10AC =，4BD =，则图中阴影部分的面积等于 5 ．【考点】8L ：菱形的性质；KD ：全等三角形的判定与性质【专题】553：图形的全等；35：转化思想；556：矩形 菱形 正方形【分析】根据菱形的性质可证出CFO AEO ∆≅∆，可将阴影部分面积转化为AOB ∆的面积，根据菱形的面积公式计算即可．【解答】解：Q 四边形ADCB 为菱形，OC OA ∴=，//AB CD ，FCO OAE ∠=∠，FOC AOE ∠=∠Q ，()CFO AEO ASA ∆≅∆，CFO AOE S S ∆∆∴=，CFO EBO AOB S S S ∆∆∆∴+=，1111045444AOB ABCD S S AC BD ∆∴==⨯=⨯⨯=g ， 故答案为：5．【点评】此题考查了菱形的性质，菱形的面积公式，全等三角形的判定，将阴影部分的面积转化为AOB ∆的面积为解题关键．17．（3分）（2019•南昌模拟）给出一组数据10，12，10，x ，8，若这组数据的众数和平均数相等，则中位数为 10 ．【考点】4W ：中位数；5W ：众数；1W ：算术平均数【专题】542：统计的应用【分析】根据题意先确定x 的值，再根据定义求解．【解答】解：当8x =时，有两个众数，而平均数只有一个，不合题意舍去．当众数为10，根据题意得1012108105x ++++=， 解得10x =，将这组数据从小到大的顺序排列8，10，10，10，12，处于中间位置的是10，所以这组数据的中位数是10．故答案为：10．【点评】本题为统计题，考查平均数、众数与中位数的意义，解题时需要理解题意，分类讨论．18．（3分）（2019•江汉区模拟）二次函数2y x bx =+的图象如图，对称轴为1x =．若关于x 的一元二次方程220(x bx t t +-=为实数）在14x -<…的范围内有解，则t 的取值范围是 0.54t -剟 ．【考点】HA ：抛物线与x 轴的交点；3H ：二次函数的性质【专题】535：二次函数图象及其性质【分析】一元二次方程220(x bx t t +-=为实数）在14x -<…的范围内有解，即直线2y t =与二次函数2y x bx =+，在这个范围内由交点，则：2y t =在顶点和4x =时之间时，两个函数有交点，即可求解．【解答】解：Q 抛物线的对称轴为直线12b x =-=，解得2b =-， ∴抛物线解析式为22y x x =-，顶点坐标为(1,1)-，当1x =-时，3y =，当4x =时，8y =，Q 一元二次方程220(x bx t t +-=为实数）在14x -<…的范围内有解，∴直线2y t =与二次函数2y x bx =+在14x -<…范围内有交点，128t ∴-剟，0.54t ∴-剟．故答案为：0.54t -剟． 【点评】本题考查了抛物线与x 轴的交点：把求二次函数2(y ax bx c a =++，b ，c 是常数，0)a ≠与x 轴的交点坐标问题转化为解关于x 的一元二次方程．题目关键是把一元二次方程220x bx t +-=转化为直线2y t =与二次函数2y x bx =+的交点．三、解答题（共8小题，满分66分）19．（6分）（2019•东莞市模拟）计算：2018|22|()(31)2-+--+-． 【考点】6E ：零指数幂；2C ：实数的运算；6F ：负整数指数幂【专题】11：计算题；511：实数【分析】原式利用二次根式性质，绝对值的代数意义，零指数幂、负整数指数幂法则计算即可求出值．【解答】解：原式22224121=+--+=-．【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．20．（6分）（2018春•松北区期末）为了调查学生每天零花钱情况，对我校初二学年某班50名同学每天零花钱情况进行了统计，并绘制成下面的统计图．（1）直接写出这50名同学零花钱数据的众数是 20元 ；中位数是 ．（2）求这50名同学零花钱的平均数．（3）该校共有学生3100人，请你根据该班的零花钱情况，估计这个中学学生每天的零花钱不小于30元的人数．【考点】5V ：用样本估计总体；2W ：加权平均数；4W ：中位数；5W ：众数【专题】54：统计与概率【分析】（1）根据条形统计图中的数据可以得到这组数据的众数和中位数；（2）根据统计图中的数据可以求得这50名同学零花钱的平均数；（3）根据题意可以求得这个中学学生每天的零花钱不小于30元的人数．【解答】解：（1）由统计图可得，这50名同学零花钱数据的众数是20元，中位数是20元，故答案为：20元，20元；（2）56101520193085021850x ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==（元)， 答：这50名同学零花钱的平均数是18元；（3）82310062050+⨯=（人)， 答：这个中学学生每天的零花钱不小于30元的有620人．【点评】本题考查众数、用样本估计总体、加权平均数、中位数，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．21．（8分）（2018秋•亭湖区校级期末）已知二次函数的图象如图所示．（1）求这个二次函数的表达式；（2）观察图象，当21x -<…时，y 的取值范围为 40y -剟 ；（3）将该二次函数图象向上平移 个单位长度后恰好过点(2,0)-．【考点】8H ：待定系数法求二次函数解析式；3H ：二次函数的性质；6H ：二次函数图象与几何变换【专题】535：二次函数图象及其性质【分析】（1）设顶点式2(1)4y a x =+-，然后把(1,0)代入得求出a 即可；（2）计算自变量为2-、1对应的函数值，然后利用函数图象写出对应的函数值的范围；（3）设二次函数图象向上平移(0)k k >个单位长度后恰好过点(2,0)-．设平移后抛物线解析式可设为2(1)4y x k =+-+，然后把(2,0)-代入求出k 即可．【解答】解：（1）设抛物线的解析式为2(1)4y a x =+-，把(1,0)代入得440a -=，解得1a =，所以抛物线的解析式为2(1)4y x =+-；（2）当2x =-时，2(21)43y =-+-=-；当1x =时，0y =；所以当21x -<…时，y 的取值范围为40y -剟；（3）设二次函数图象向上平移(0)k k >个单位长度后恰好过点(2,0)-．则抛物线解析式可设为2(1)4y x k =+-+，把(2,0)-代入得2(21)40k -+-+=，解得3k =，即将该二次函数图象向上平移3个单位长度后恰好过点(2,0)-．故答案为40y -剟；3．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a 不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．也考查了二次函数的性质．22．（8分）（2018春•福清市期中）如图，在ABCD 中，AD AB >，AE 平分BAD ∠，交BC 于点E ，过点E 作//EF AB 交AD 于点F ．（1）求证：四边形ABEF 是菱形；（2）若菱形ABEF 的周长为16，120EBA ∠=︒，求AE 的大小．【考点】KJ ：等腰三角形的判定与性质；LA ：菱形的判定与性质【专题】14：证明题【分析】（1）由题意可得四边形ABEF 是平行四边形，由AE 平分BAD ∠，可得AB BE =，则结论可得（2）：连接BF 交AE 于点O ；则BF AE ⊥于点O ．由题意可得4AB =，90AOB ∠=︒，30BAE ∠=︒，可得AO 的长即可求AE 的长．【解答】（1）证明：ABCD Q//BC AD ∴，即//BE AF//EF AB Q∴四边形ABEF 为平行四边形AE Q 平分BAF ∠EAB EAF ∴∠=∠//BC AD QBEA EAF ∴∠=∠BEA BAE ∴∠=∠AB BE ∴=∴四边形ABEF 是菱形（2）解：连接BF 交AE 于点O ；则BF AE ⊥于点OBA BE =Q ，120EBA ∠=︒30BEA BAE ∴∠=∠=︒Q 菱形ABEF 的周长为164AB ∴=在Rt ABO ∆中30BAO ∠=︒ ∴122BO BA == 由勾股定理可得：2223AO AB BO -=243AE AO ∴==【点评】本题考查了菱形的判定，等腰三角形的性质和判定，关键是利用这些性质和判定解决问题．23．（9分）（2019秋•岳麓区校级月考）为响应国家全民阅读的号召，望月湖区鼓励居民到社区阅览室借阅读书，并统计每年的借阅人数和图书借阅总量（单位：本）．该阅览室在2017年图书借阅总量是7500本，2019年图书借阅总量是10800本．（1）求该社区的图书借阅总量从2017年至2019年的年平均增长率；（2）已知2019年该社区居民借阅图书人数有1350人，预计2020年达到1440人，如果2019至2020年图书借阅总量的增长率不低于2017至2019年的年平均增长率，那么2020年的人均借阅量比2019年增长%a ，a 的值至少是多少？【考点】AD ：一元二次方程的应用；9C ：一元一次不等式的应用【专题】523：一元二次方程及应用；69：应用意识【分析】（1）设该社区的图书借阅总量从2017年至2019年的年平均增长率为x ，根据该社区2017年及2019年的图书借阅总量，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；（2）根据2020年的借阅总量2019=年的人均借阅量(1⨯+增长率）2020⨯年借阅图书人数结合2019至2020年图书借阅总量的增长率不低于2017至2019年的年平均增长率，即可得出关于a 的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．【解答】解：（1）设该社区的图书借阅总量从2017年至2019年的年平均增长率为x ， 依题意，得：27500(1)10800x +=，解得：10.220%x ==，1 2.2x =-（舍去）．答：该社区的图书借阅总量从2017年至2019年的年平均增长率为20%．（2）依题意，得：10800(1%)144010800(120%)1350a ⨯+⨯⨯+…， 解得：12.5a …．答：a 的值至少是12.5．【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．24．（9分）（2019•洪泽区二模）某手机专营店，第一期进了甲种手机50部．售后统计，甲种手机的平均利润是160元/部．调研发现：甲种手机每增加1部，平均利润减少2元/部；该店计划第二期进货甲种手机比第一期增加x 部，（1）第二期甲种手机售完后的利润为8400元，那么甲种手机比第一期要增加多少部？（2）当x 取何值时，第二期进的甲种手机售完后获得的利润W 最大，最大利润是多少？【考点】HE ：二次函数的应用【专题】536：二次函数的应用【分析】（1）甲种手机利润=销售品牌手机的数量⨯每件品牌手机的利润，根据这个关系即。
湖南省长沙市麓山国际实验学校2019-2020学年度九年级第一学期入学考试数学试卷
麓山国际实验学校2019-2020学年度第一学期开学考试初三数学试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分）1.在以下数据75，80，85，90，80中，众数和中位数分别是（）A.75,80B.80,80C.80,85D.85.902.将一块长方形桌布铺在长为3m ，宽为2m 的长方形桌面上，各边下垂的长度相同，且桌布的面积是桌面面积的2倍，求桌布下垂的长度，若设桌布下垂的长度为x m ，则所到的方程是（）A.()()2322232x x ++=⨯⨯B.()()23232x x ++=⨯C.())32232x x ++=⨯⨯（D.()()2232232x x ++=⨯3.在某次射击训练中，甲、乙、丙、丁4人各射击10次，平均成绩相同，方差分别是2=0.35S 甲，2=0.15S 乙，2=0.25S 丙，2=0.27S 丁，这4人中成绩发挥最稳定的是（）A.甲B.乙C.丙D.丁4.关于x 的一元二次方程2+620x x k +=有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是（） A.92k ≤ B.92k ≥ C.92k < D.92k > 5.下列命题是真命题的是A.对角线相等的平行四边形是矩形B.菱形的对角线相等C.对角线互相垂直的平行四边形是正方形D.四边都相等的四边形是矩形6.如图，已知矩形ABCD ，AB=3，BC=4，AE 平分∠BAD 交BC 于点E ，点F ，G 分别为AD ，AE 的中点，则FG=（）A.52C.2D.27.在函数y =x 的取值范围是（） A.0x ≥ B.03x x >≠且 C.03x x ≥≠且 D.0x >8.在平面直角坐标系中，点A ，B 的坐标分别是（0，3)，（4-，0)，则原点到直线AB 的距离是（）A.2B.2.4C.2.5D.39. 爷爷在离家900米的公园锻炼后回家，离开公园20分钟后，爷爷停下来与朋友聊天10分钟，接着又走了15分钟回到家中，下面图形中表示爷爷离家的距离y （米）与又爷离开公园的时间x （分）之间的函数关系是（）10. 已知抛物线21y x x =--与x 轴的一个交点为（m ，0），则代数式22019m m -+的值为（）A.2018B.2019C.2020D.202111.已知二次函数()2230y ax ax a a =--≠，关于此函数的图象及性质，下列结论中不一定成立的是（）A.该图象的顶点坐标为(1)4a -，B.该图象在x 轴上截得的线段的长为4C.若该图象经过点（2-，5），则一定经过点（4，5）D.当1x >时，y 随x 的增大而增大12.如图，二次函数2y ax bx c =++的图象经过点A （3-，0），其对称轴为直线1x =-，有下列结论：①0abc <；②20a b c -->；③关于x 的方程()2ax b m x c m +-+= 有两个不相等的实数根；④若P （5-，1y ），Q （m ，2y ）是抛物线上两点，且12y y >，则实数m 的取值范围是53m -<<.其中正确结论的个数是（）A.1B.2C.3D.4二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）13.已知m ，n 是关于x 的方程2210x x +-=的两个不相等的实数根，则m n +=.14.当直线()223y k x k =-+-经过第二、三、四象限时，则k 的取值落围是.15.一次函数23y x =+的图象与x 轴的交点坐标是.16.如图，菱形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，过点O 作直线EF 分别与AB ，DC 相 交于E ，F 两点，若AC=10，BD=4，则图中阴影部分的面积等于.17.给出一组数据10，12，10，x ，8；若这组数据的众数和平均数相等，则中位数为.18.二次函数2y x bx =+的图象如图，对称轴为1x =.若关于x 的一元二次方程220x bx t +-=（t 为实数）在14t -<≤的范围内有解，则t 的取值范围是.三、解答题（本大题共8个小题，共66分）19.（6)201212-⎛⎫-+ ⎪⎝⎭.20.（6分）为了调查学生每天零花钱情况，对我校初二学年某班50名同学每天零花钱情况进行了统计，并绘制成下面的统计图。
湖南省长沙市岳麓区麓山国际实验学校2019-2020学年九年级(上)第一次月考数学试卷解析版
湖南省长沙市岳麓区麓山国际实验学校2019-2020学年九年级（上）第一次月考数学试卷一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）1．（3分）下面四个手机应用图标中，属于中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．（3分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2ax+4＝0的一个根是2，则a的值为（）A．1B．﹣1C．2D．﹣23．（3分）关于抛物线y＝2x2，下列说法错误的是（）A．开口向上B．对称轴是y轴C．函数有最大值D．在x＞0时，函数y随x随增大而增大4．（3分）随着划片招生和小班政策的实施，麓山国际实验学校初一新生人数逐步减少，2014届初一新入校人数为1300人，2016届初一新入校人数为1053人，设该校入校人数平均每年的下降率为x，则根据题意可列方程为（）A．1053＝1300（1﹣x）2B．1300＝1053（1﹣x）2C．1300＝1053（1+x）2D．1053＝1300（1+x）25．（3分）二次函数经过（﹣3，0）和（0，3），对称轴是x＝﹣1，则这个二次函数的表达式为（）A．y＝﹣x2+2x+3B．y＝x2+2x+3C．y＝﹣x2+2x﹣3D．y＝﹣x2﹣2x+36．（3分）如图，过⊙O外一点P引⊙O的两条切线PA、PB，切点分别是A、B，OP交⊙O于点C，点D是上不与点A、点C重合的一个动点，连接AD、CD，若∠APB＝80°，则∠ADC 的度数是（）A．15°B．20°C．25°D．30°7．（3分）下列说法：①过切点的直线垂直于切线，则这条直线必过圆心；②长度相等的弧是等弧；③平分弦的直径必垂直于弦；④三角形内心到三个顶点的距离相等．其中正确的个数有（）A．1B．2C．3D．48．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，⊙C的半径为6.5，则⊙C与AB 的位置关系是（）A．相切B．相离C．相交D．无法确定9．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，它的一个外角∠EBC＝65°，分别连接AC，BD，若AC＝AD，则∠DBC的度数为（）A．50°B．55°C．65°D．70°10．（3分）一个圆的内接正三边形的边长为2，则该圆的内接正方形的边长为（）A．B．4C．2D．211．（3分）如图1，⊙O的半径为r，若点P′在射线OP上，满足OP′×OP＝r2，则称点P′是点P关于⊙O的“反演点”，如图2，⊙O的半径为4，点B在⊙O上，∠BOA＝60°，OA＝8，若点A'是点A关于⊙O的反演点，求A'B的长为（）A．B．2C．2D．412．（3分）如图所示，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝1．直线y＝﹣x+c与抛物线y＝ax2+bx+c交于C、D两点，D点在x轴下方且横坐标小于3，则下列结论：①2a+b+c＞0；②a﹣b+c＜0；③x（ax+b）≤a+b；④a＜﹣1．其中正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个二、填空题（本大题共6个小是，每小是3分，共18分）13．（3分）方程x2+2x﹣3＝0的解是．14．（3分）如图，点O为平面直角坐标系的原点，点A在x轴上，△OAB是边长为2的等边三角形，以O为旋转中心，将△OAB按顺时针方向旋转60°，得到△OA'B'，那么点A′的坐标为．15．（3分）用一个半径为30，圆心角为90°的扇形围成一个圆锥，则这个圆锥的底面半径是．16．（3分）关于x的方程x2﹣kx﹣2k＝0的两个根的平方和为12，则k＝．17．（3分）二次函数y＝2x2﹣4x+1在0≤x≤3时y的取值范围为．18．（3分）如图，⊙O的半径是2，AB是⊙O的弦，点P是弦AB上的动点，且1≤OP≤2，则弦AB所对的圆周角的度数是．三、解答题（本大题共8小题，共66分19．（6分）计算（π﹣2）0+﹣（）﹣2+|﹣1|20．（6分）先化简，再求值；（a﹣b）2+2（a+b）（a﹣b）﹣a（a﹣2b），其中a＝，b＝﹣．21．（8分）在“优秀传统文化进校园”活动中，学校计划每周一下午第三节课时间开展此项活动，拟开展活动项目为：剪纸，武术，书法，器乐，要求七年级学生人人参加，并且每人只能参加其中一项活动，教务处在该校七年级学生中随机抽取了100名学生进行调查，并对此进行统计，绘制了如图所示的条形统计图和扇形统计图（均不完整）．请解答下列问题：（1）请补全条形统计图并计算扇形统计图中武术所对的圆心角度数；（2）教师从武术类中选取最优秀的4人，刚好2男2女，现教务处从中任意抽取2人参加比赛，用列表法或树状图法求出被抽取的两名学生性别相同的概率是多少．22．（8分）如图所示，已知AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E．连接AC、OC、BC．（1）若∠ACO＝25°，求∠BCD的度数．（2）若EB＝4cm，CD＝16cm，求⊙O的直径．23．（9分）如图，△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径的⊙O交AC于点D，点E为BC的中点，连接OD、DE，已知∠BAC＝30°，AB＝8．（1）求劣弧BD的长．（2）求阴影部分的面积．24．（9分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，点G在弧BD上，连接AG，交CD于点K，过点G的直线交CD的延长线于点E，交AB的延长线于点F，且EG＝EK．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为13，CH＝12，＝，求FG的长．25．（10分）国家推行“节能减排，低碳经济”政策后，某环保节能设备生产企业的产品供不应求．若该企业的某种环保设备每月的产量保持在一定的范围，每套产品的生产成本不高于50万元，每套产品的售价不低于80万元，已知这种设备的月产量x（套）与每套的售价y（万元）之间满足关系式y＝150﹣2x，月产量x（套）与生产总成本y2（万元）存在如图所示的函数关系．（1）直接写出y2与x之间的函数关系式；（2）求月产量x的范围；（3）当月产量x（套）为多少时，这种设备的利润W（万元）最大？最大利润是多少？26．（10分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，经过A、B、C三点的圆的圆心为M（1，﹣1），已知点B（3，0），设⊙M与y轴交于点D，抛物线的顶点为E．（1）求⊙M的半径及抛物线的解析式；（2）若点F在抛物线的第四象限上，求△FBC的面积的最大值；（3）探究坐标轴上是否存在点P，使得△PAC是直角三角形，且两直角边的长度之比是1：3？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）1．解：A、图形不是中心对称图形；B、图形是中心对称图形；C、图形不是中心对称图形；D、图形不是中心对称图形，故选：B．2．解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2ax+4＝0的一个根是2，∴22﹣2a×2+4＝0，即﹣4a＝﹣8解得，a＝2．故选：C．3．解：A、抛物线y＝2x2，开口向上，正确，不合题意；B、抛物线y＝2x2，对称轴是y轴，正确，不合题意；C、抛物线y＝2x2，函数有最小值，错误，符合题意；D、抛物线y＝2x2，在x＞0时，函数y随x随增大而增大，正确，不合题意．故选：C．4．解：设该校入校人数平均每年的下降率为x，根据题意得：1300（1﹣x）2＝1053．故选：A．5．解：点（﹣3，0）关于直线x＝﹣1的对称点的坐标为（1，0），设抛物线的解析式为y＝a（x+3）（x﹣1），把（0，3）代入得3＝a•3•（﹣1），解得a＝﹣1，所以抛物线解析式为y＝﹣（x+3）（x﹣1），即y＝﹣x2﹣2x+3．故选：D．6．解；如图，由四边形的内角和定理，得∠BOA＝360°﹣90°﹣90°﹣80°＝100°，由＝，得∠AOC＝∠BOC＝50°．由圆周角定理，得∠ADC＝∠AOC＝25°，故选：C．7．解：过切点的直线垂直于切线，则这条直线必过圆心，所以①正确；在同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，所以②错误；平分弦（非直径）的直径必垂直于弦，所以③错误；三角形内心到三边的距离相等．所以④错误．故选：A．8．解：过C作CD⊥AB于D，由勾股定理得：AB＝＝13，由三角形的面积公式得：AC×BC＝AB×CD，∴5×12＝13×CD，∴CD＝，∴⊙C与AB的位置关系是相交，故选：C．9．解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠ADC＝∠EBC＝65°．∵AC＝AD，∴∠ACD＝∠ADC＝65°，∴∠CAD＝180°﹣∠ACD﹣∠ADC＝50°，∴∠DBC＝∠CAD＝50°，故选：A．10．解：如图，连接OC，OA，OB，过O作OG⊥CD于G，则CG＝CD＝，∵△ACD是圆内接正三角形，∴∠OCG＝30°，∴OC＝＝2，∵四边形ABEF是正方形，∴∠AOB＝90°，∴AB＝OA＝2，故选：D．11．解：设OA交⊙O于C，连结B′C，如图2，∵OA′•OA＝42而r＝4，OA＝8∴OA′＝2，∵∠BOA＝60°，OB＝OC，∴△OBC为等边三角形，而点A′为OC的中点，∴BA′⊥OC，在Rt△OA′B中，sin∠A′OB＝，∴A′B＝4sin60°＝2．故选：B．12．解：∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c＞0，∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，∴b＝﹣2a，∴2a+b+c＝2a﹣2a+c＝c＞0，所以①正确；∵抛物线与x轴的一个交点在点（3，0）左侧，而抛物线的对称轴为直线x＝1，∴抛物线与x轴的另一个交点在点（﹣1，0）右侧，∴当x＝﹣1时，y＜0，∴a﹣b+c＜0，所以②正确；∵x＝1时，二次函数有最大值，∴ax2+bx+c≤a+b+c，∴ax2+bx≤a+b，所以③正确；∵直线y＝﹣x+c与抛物线y＝ax2+bx+c交于C、D两点，D点在x轴下方且横坐标小于3，∴x＝3时，一次函数值比二次函数值大，即9a+3b+c＜﹣3+c，而b＝﹣2a，∴9a﹣6a＜﹣3，解得a＜﹣1，所以④正确．故选：A．二、填空题（本大题共6个小是，每小是3分，共18分）13．解：x2+2x﹣3＝0（x+3）（x﹣1）＝0x1＝﹣3；x2＝1故本题的答案是﹣3或1．14．解：作BC⊥x轴于C，如图，∵△OAB是边长为2的等边三角形∴OA＝OB＝2，AC＝OC＝1，∠BOA＝60°，∴A点坐标为（﹣2，0），O点坐标为（0，0），在Rt△BOC中，BC＝＝，∴B点坐标为（﹣1，）；∵△OAB按顺时针方向旋转60°，得到△OA′B′，∴∠AOA′＝∠BOB′＝60°，OA＝OB＝OA′＝OB′，∴点A′与点B重合，即点A′的坐标为（﹣1，），故答案为（﹣1，）．15．解：设该圆锥底面圆的半径为r，根据题意得2πr＝，解得r＝7.5，即该圆锥底面圆的半径为7.5．故答案为：7.516．解：设关于x的方程x2﹣kx﹣2k＝0的两实数根分别为x1、x2，则x1+x2＝k，x1•x2＝﹣2k①∵原方程两实根的平方和为12，∴x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝12 ②∵方程有两实数根，∴△＝k2﹣4×（﹣2k）≥0，∴k≥0或k≤﹣8，把①代入②得，k2﹣2×（﹣2k）＝12，解得k1＝2，k2＝﹣6（舍去）．∴k＝2．故答案为：2．17．解：∵y＝2x2﹣4x+1＝2（x﹣1）2﹣1，∴当x＝1时，y取得最小值﹣1，又∵0≤x≤3，∴当x＝3时，y取得最大值，最大值为7，∴在0≤x≤3时y的取值范围为﹣1≤y≤7，故答案为：﹣1≤y≤7．18．解：作OD⊥AB，∵点P是弦AB上的动点，且1≤OP≤2，∴OD＝1，∴∠OAB＝30°，∴∠AOB＝120°，∴∠AEB＝∠AOB＝60°，∵∠E+∠F＝180°，∴∠F＝120°，即弦AB所对的圆周角的度数为60°或120°，故答案为：60°或120°．三、解答题（本大题共8小题，共66分19．解：原式＝1+3﹣4+1＝3﹣2．20．解：原式＝a2﹣2ab+b2+2a2﹣2b2﹣a2+2ab＝2a2﹣b2，当a＝，b＝﹣时，原式＝﹣＝0．21．解：（1）100名学生中女生人数有100﹣10﹣20﹣13﹣9＝48人，参加武术活动的女生人数为48﹣15﹣8﹣15＝10人，补全条形统计图如图所示，扇形统计图中武术所对的圆心角度数＝×360°＝360°×30%＝108°；（2）列表如下：所有等可能的情况有12种，其中被抽取的两名学生性别相同的情况有4种，则P＝＝．22．解：（1）∵AO＝CO，∴∠A＝∠ACO＝25°，∵AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD，∴＝，∴∠BCD＝∠A＝25°；（2）设⊙O的半径为xcm，则OC＝xcm，OE＝OB﹣BE＝x﹣4（cm），∵AB⊥CD，CD＝16cm，∴CE＝CD＝8cm，在Rt△OCE中，OC2＝OE2+CE2，∴x2＝82+（x﹣4）2，解得：x＝10，∴⊙O 的直径为20cm ． 23．解：（1）∵OA ＝OD ， ∴∠OAD ＝∠ODA ＝30°， ∴∠AOD ＝120°， ∴∠DOB ＝60°，∴的长＝＝．（2）S 阴＝S 扇形OAD ﹣S △AOD ＝﹣×4×2＝﹣4．24．（1）证明：连接OG ， ∵弦CD ⊥AB 于点H ， ∴∠AHK ＝90°， ∴∠HKA +∠KAH ＝90°， ∵EG ＝EK ， ∴∠EGK ＝∠EKG ， ∵∠HKA ＝∠GKE ， ∴∠HAK +∠KGE ＝90°， ∵AO ＝GO ， ∴∠OAG ＝∠OGA ， ∴∠OGA +∠KGE ＝90°， ∴GO ⊥EF ， ∴EF 是⊙O 的切线；（2）解：连接CO ，在Rt △OHC 中， ∵CO ＝13，CH ＝12， ∴HO ＝5， ∴AH ＝8，∵＝，∴OF ＝15，∴FG ＝＝＝2．25．解：（1）设函数关系式为y2＝kx+b，把坐标（30，1400）（40，1700）代入，，解得：，∴函数关系式y2＝30x+500；（2）依题意得：，解得：25≤x≤35；（3）∵W＝x•y1﹣y2＝x（150﹣2x）﹣（500+30x）＝﹣2x2+120x﹣500∴W＝﹣2（x﹣30）2+1300∵25＜30＜35，∴当x＝30时，W＝1300最大答：当月产量为30件时，利润最大，最大利润是1300万元．26．解：（1）由题意得：点M在抛物线的对称轴上，则抛物线的对称轴为x＝1，则：x＝﹣＝1，即：b＝﹣2a，把点B的坐标代入抛物线表达式得：a×9﹣2a×3﹣3＝0，则a＝1，故抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3，过点M作MN⊥y轴，交y轴于点N，则圆的半径＝MC＝＝＝；（2）点B、C的坐标分别为（3，0）、（0，﹣3），则直线BC的表达式为：y＝x﹣3，设：点F是抛物线在第四象限的点，过点F作y轴的平行线，交在BC与点P，设：点F的坐标为（x，x2﹣2x﹣3），则点P坐标为（x，x﹣3），S＝×PF×OB＝（x﹣3﹣x2+2x+3）×3＝﹣（x﹣）2+，△FBC有最大值，∵a＝﹣，故S△FBC故当x＝时，△FBC的面积的最大值；（3）当点P在点O、P、P′的位置时，△PAC是直角三角形，且两直角边的长度之比是1：3，即：∠P′AC＝∠ACP＝∠AOC＝90°，此时，点P的坐标分别为：（0，）或（9，0）或（0，0）．。
湖南省长沙市麓山国际实验学校九年级(上)入学数学试卷(含答案)
15. 方程 x2-9x+18=0 的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个等腰三角形的周长为 ______．
16. 学校新开设了航模、彩绘、泥塑三个社团，如果征征、舟舟两名同学每人随机选择 参加其中一个社团，那么征征和舟舟选到同一社团的概率为______ ．
湖南省长沙市麓山国际实验学校九年级（上）入学数学试
卷
副标题
题号 得分
一
二
三
四
பைடு நூலகம்
总分
一、选择题（本大题共 10 小题，共 30.0 分）
1. 下列说法中不正确的是（ ）
A. 抛掷一枚硬币，硬币落地时正面朝上是随机事件
B. 把 4 个球放入三个抽屉中，其中一个抽屉中至少有 2 个球是必然事件
C. 任意打开七年级下册数学教科书，正好是 97 页是确定事件
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27. 春秋旅行社为吸引市民组团去天水湾风景区旅游，推出了如下收费标准： 某单位组织员工去天水湾风景区旅游，共支付给春秋旅行社旅游费用 27000 元．请 问该单位这次共有多少员工去天水湾风景区旅游？
四、解答题（本大题共 7 小题，共 56.0 分） 23. ������2 − 2√2������ − 1 = 0．
24. 已知某市 2013 年企业用水量 x（吨）与该月应交的水费 y（元）之间的函数关系如 图． （1）当 x≥50 时，求 y 关于 x 的函数关系式； （2）若某企业 2013 年 10 月份的水费为 620 元，求该企业 2013 年 10 月份的用水 量．
2017-2018学年湖南省长沙市岳麓区麓山国际实验学校九年级(上)开学数学试卷 解析版
2017-2018学年湖南省长沙市岳麓区麓山国际实验学校九年级（上）开学数学试卷一、选择题（每小题3分，共39分）1．（3分）在下列图形中，是中心对称图形的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个2．（3分）将抛物线y＝（x+2）2﹣3如何平移得到y＝x2的图象（）A．向右平移2个单位，再向上平移3个单位B．向左平移2个单位，再向上平移3个单位C．向左平移2个单位，再向下平移3个单位D．向右平移2个单位，再向下平移3个单位3．（3分）如图，将五角星绕中心O按下列角度旋转后，不能与其自身重合的是（）A．72°B．108°C．144°D．2164．（3分）如图，已知圆锥的高为4，底面圆的直径为6，则此圆锥的侧面积是（）A．12πB．15πC．20πD．30π5．（3分）如图，△BC的边AC与⊙O相交于C、D两点，且经过圆心O，边AB与⊙O 相切，切点为B，如果∠C＝26°，那么∠A等于（）A．26°B．38°C．48°D．52°6．（3分）如图，∠ACB＝90°，∠B＝46°，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△A′B′C，若点B′恰好落在线段AB上，AC与A′B′交于点O，则∠COA′的度数是（）A．44°B．46°C．48°D．50°7．（3分）如图，AB是⊙O的直径，∠ADC＝30°，OA＝1，则BC的长为（）A．1B．2C．D．28．（3分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）过A（﹣2，0），B（4，0），C（﹣3，y1），D（3，y2）四点，则y1与y2的大小关系是（）A．y1＝y2B．y1＜y2C．y1＞y2D．不能确定9．（3分）圆内接四边形ABCD中，∠A，∠B，∠C的度数之比为2：5：7，则∠D的度数为（）A．60°B．80°C．100°D．120°10．（3分）关于x的二次函数y＝（a﹣3）x2+bx+a2﹣9的图象过原点，则a的值为（）A．﹣3B．3C．±3D．011．（3分）如图，四边形ABCD各边与⊙O相切，AB＝10，BC＝7，CD＝8，则AD的长度为（）A．8B．9C．10D．1112．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的两个交点分别为（﹣1，0），（3，0），有下列命题：①abc＞0；②a：b：c＝1：2：3；③b2﹣4ac＞0；④8a+c＞0，其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题（每小题3分，共18分）13．（3分）如图，正六边形ABCDEF的中心为原点O，点D的坐标为（2，0），则点B 的坐标为．14．（3分）如图，AB是O的直径，C，D，E是⊙O上不同于A，B的任意三点，且点C，D处在AB同一侧，点E处在AB另一侧，则∠C+∠D＝．15．（3分）已知抛物线y＝x2+（m2﹣4m）x+3关于y轴对称，则m＝．16．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，将△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△AB′C′，连接CC′，若AC＝4，AB＝1，则△B′C′C的面积为．17．（3分）当﹣1≤x≤3时，函数y＝x2﹣4x+3的最小值为a，最大值为b，则a+b＝．18．（3分）如图，∠ACB＝60°，半径为3cm的⊙O切BC于点C，若将⊙O在CB上向右滚动，则当滚动到⊙O与CA也相切时，圆心O移动的水平距离是cm．三、解答题（共66分）19．（6分）如图，有一座圆弧形拱桥，拱的跨度AB＝8m，拱高CD＝2m，求拱形所在圆的直径．20．（8分）如图，△ABC的顶点分别为A（2，1），B（4，4），C（1，3）．（1）画出△ABC关于原点O对称的图形△A1B1C1，并写出点A1的坐标；（2）画出△ABC绕点O逆时针旋转90°后的图形△A2B2C2，并写出点C2的坐标．21．（8分）已知二次函数y＝ax2+bx+c，当x＝3时，y有最小值﹣4，且图象经过点（﹣1，12）．（1）求此二次函数的解析式；（2）该抛物线交x轴于点A，B（点A在点B的左侧），交y轴于点C，在抛物线对称轴上有一动点P，求PA+PC的最小值，并求当PA+PC取最小值时点P的坐标．22．（8分）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，且CD⊥AB于点E．（1）求证：∠BCO＝∠D；（2）若CD＝2，AE＝1，求劣弧BD的长．23．（8分）已知二次函数y＝x2﹣（a﹣1）x+a﹣2，其中a是常数．（1）求证：不论a为何值，抛物线y＝x2﹣（a﹣1）x+a﹣2与x轴一定有交点；（2）若抛物线y＝x2﹣（a﹣1）x+a﹣2的图象如图所示，请直接写出不等式x2﹣（a﹣l）x+a﹣2＜0的解集；（3）在（2）的条件下，若关于x的方程x2﹣（a﹣1）x+a﹣2＝k恰有两个相等的实数根，求k的值．24．（8分）如图，AB为⊙O的直径，点D是弧BC的中点，DE⊥AC交AC的延长线于点E，FB是⊙O的切线，交AD的延长线于点F．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若BF＝1，⊙O的半径为1，求DF的长．25．（10分）某水产养殖户一次性收购了20000kg淡水鱼，计划养殖一段时间后再出售，已知每天放养的费用相同，放养10天的总成本为30.4万元：放养20天的总成本为30.8万元（总成本＝放养总费用+收购成本）．（1）设每天的放养费用是a万元，收购成本为b万元，求a和b的值；（2）设这批淡水鱼放养t天后的质量为mkg，销售单价为y元/kg，已知m与t的函数关系为m＝，y与t的函数关系如图所示，请分别求出当0≤t≤50和50＜t≤100时，y与t的函数关系式；（3）在（2）的条件下，设将这批淡水鱼放养t天后一次性出售所得利润为W元，求当t为何值时，W最大？并求出W的最大值．（利润＝销售总额﹣总成本）26．（10分）如图，在直角坐标系中，O为坐标原点，A点坐标为（﹣3，0），B点坐标为（12，0），以AB的中点P为圆心，AB为直径作⊙P与y轴的负半轴交于点C，抛物线经过A，B，C三点，其顶点为M．（1）求此抛物线的解析式；（2）设点D是抛物线与⊙P的第四个交点（除A，B，C三点以外），判断直线MD与⊙P的位置关系，并说明理由；（3）点E是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使以A，D，E，F四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F点的坐标；如果不存在，请说明理由．2017-2018学年湖南省长沙市岳麓区麓山国际实验学校九年级（上）开学数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共39分）1．（3分）在下列图形中，是中心对称图形的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据中心对称图形的概念求解．【解答】解：是中心对称图形的有第1、2、3个图形，故选：C．【点评】此题主要考查了中心对称图形的概念．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．2．（3分）将抛物线y＝（x+2）2﹣3如何平移得到y＝x2的图象（）A．向右平移2个单位，再向上平移3个单位B．向左平移2个单位，再向上平移3个单位C．向左平移2个单位，再向下平移3个单位D．向右平移2个单位，再向下平移3个单位【分析】分别写出两抛物线的顶点坐标，然后利用点平移的规律确定抛物线的平移规律．【解答】解：抛物线y＝（x+2）2﹣3的顶点坐标为（﹣2，﹣3），抛物线y＝x2的顶点坐标为（0，0），把点（﹣2，﹣3）先向右平移2个单位，再向上平移3个单位得到点（0，0），所以把抛物线y＝（x+2）2﹣3先向右平移2个单位，再向上平移3个单位得到抛物线y ＝x2．故选：A．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．3．（3分）如图，将五角星绕中心O按下列角度旋转后，不能与其自身重合的是（）A．72°B．108°C．144°D．216【分析】该图形被平分成五部分，因而每部分被分成的圆心角是72°，并且圆具有旋转不变性，因而旋转72度的整数倍，就可以与自身重合．【解答】解：该图形被平分成五部分，旋转72度的整数倍，就可以与自身重合，因而A、C、D都正确，不能与其自身重合的是B．故选：B．【点评】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．4．（3分）如图，已知圆锥的高为4，底面圆的直径为6，则此圆锥的侧面积是（）A．12πB．15πC．20πD．30π【分析】在由母线、底面圆的半径和圆锥的高组成的直角三角形中，利用勾股定理计算出母线长，再根据圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，利用扇形的面积公式计算即可得到圆锥的侧面积．【解答】解：∵底面圆的直径为6，∴底面圆的半径为3，而高为4，∴圆锥的母线长＝＝5，∴圆锥的侧面积＝•2π•3•5＝15π．故选：B．【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长；也考查了扇形的面积公式：S＝lR（l为弧长，R为扇形的半径）以及勾股定理．5．（3分）如图，△BC的边AC与⊙O相交于C、D两点，且经过圆心O，边AB与⊙O 相切，切点为B，如果∠C＝26°，那么∠A等于（）A．26°B．38°C．48°D．52°【分析】连接OB，由切线的性质可求得∠AOB，再由圆周角定理可求得∠A．【解答】解：如图，连接OB，∵AB与⊙O相切，∴OB⊥AB，∴∠ABO＝90°，∵OB＝OC，∠C＝26°，∴∠OBC＝∠C＝26°，∴∠COB＝180°﹣26°﹣26°＝128°，∴∠A＝128°﹣90°＝38°，故选：B．【点评】本题主要考查切线的性质，掌握过切点的半径与切线垂直是解题的关键．6．（3分）如图，∠ACB＝90°，∠B＝46°，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△A′B′C，若点B′恰好落在线段AB上，AC与A′B′交于点O，则∠COA′的度数是（）A．44°B．46°C．48°D．50°【分析】根据∠COA′＝∠ACB′+∠OB′C，只要求出∠ACB′即可．【解答】解：∵CB＝CB′，∴∠B＝∠CB′B＝46°，∴∠BCB′＝180°﹣46°﹣46°＝88°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACB′＝2°，∵∠OB′C＝∠B＝46°，∴∠COA′＝∠ACB′+∠OB′C＝2°+46°＝48°，故选：C．【点评】本题考查旋转变换、等腰三角形的性质、三角形内角和定理、三角形的外角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．7．（3分）如图，AB是⊙O的直径，∠ADC＝30°，OA＝1，则BC的长为（）A．1B．2C．D．2【分析】连接BD，根据圆周角定理得到∠B＝∠ADC＝30°，∠ACB＝90°，根据余弦的定义计算．【解答】解：连接BD，由圆周角定理得，∠B＝∠ADC＝30°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，在Rt△ABD中，BC＝AB•cos B＝，故选：C．【点评】本题考查的是圆周角定理，掌握直径所对的圆周角是90°、同弧所对的圆周角相等是解题的关键．8．（3分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）过A（﹣2，0），B（4，0），C（﹣3，y1），D（3，y2）四点，则y1与y2的大小关系是（）A．y1＝y2B．y1＜y2C．y1＞y2D．不能确定【分析】由已知可得抛物线与x轴交于A（﹣2，0）、B（4，0）两点，开口向上，对称轴为x＝1，可知D、C两点在对称轴的两边，点D离对称轴较近，再根据抛物线图象进行判断．【解答】解：∵抛物线与x轴交于A（﹣2，0）、B（4，0）两点，∴抛物线对称轴为x＝＝1∵C（﹣3，y1）、D（3，y2），点D离对称轴较近，且抛物线开口向上，∴y1＞y2．故选：C．【点评】本题考查了二次函数的增减性．当二次项系数a＞0时，在对称轴的左边，y随x的增大而减小，在对称轴的右边，y随x的增大而增大；a＜0时，在对称轴的左边，y 随x的增大而增大，在对称轴的右边，y随x的增大而减小．9．（3分）圆内接四边形ABCD中，∠A，∠B，∠C的度数之比为2：5：7，则∠D的度数为（）A．60°B．80°C．100°D．120°【分析】设∠A，∠B，∠C的度数分别为2x、5x、7x，根据圆内接四边形的性质列出方程，解方程即可．【解答】解：设∠A，∠B，∠C的度数分别为2x、5x、7x，由圆内接四边形的性质可知，2x+7x＝180°，解得，x＝20°，∴∠B＝5x＝100°，∴∠D＝180°﹣100°＝80°，故选：B．【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．10．（3分）关于x的二次函数y＝（a﹣3）x2+bx+a2﹣9的图象过原点，则a的值为（）A．﹣3B．3C．±3D．0【分析】把原点坐标代入解析式得到a2﹣9＝0，再解关于a的方程，然后利用二次函数的定义确定a的值．【解答】解：把（0，0）代入y＝（a﹣3）x2+bx+a2﹣9得a2﹣9＝0，解得a1＝3，a2＝﹣3，而a﹣3≠0，所以a的值为﹣3．故选：A．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上的点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的定义．11．（3分）如图，四边形ABCD各边与⊙O相切，AB＝10，BC＝7，CD＝8，则AD的长度为（）A．8B．9C．10D．11【分析】根据切线长定理可得AD+BC＝AB+CD，即可求AD的长度．【解答】解：如图，E，F，G，H是切点∵四边形ABCD各边与⊙O相切∴AH＝AE，DH＝DG，CG＝CF，BE＝BF∴AH+DH+CF+BF＝AE+DG+CG+BE∴AD+BC＝CD+AB∵AB＝10，BC＝7，CD＝8∴AD＝11故选：D．【点评】本题考查了切线的性质，熟练掌握切线长定理是解决问题的关键．12．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的两个交点分别为（﹣1，0），（3，0），有下列命题：①abc＞0；②a：b：c＝1：2：3；③b2﹣4ac＞0；④8a+c＞0，其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、与y轴的交点、与x轴的交点以及二次函数图象上点的坐标特征判断．【解答】解：抛物线开口向上，∴a＞0，抛物线经过y轴的负半轴，∴c＜0，对称轴是x＝﹣＝1＞0，∴b＜0，∴abc＞0，故①正确；∵a＞0，b＜0，∴故②错误；∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，故③正确；对称轴是x＝﹣＝1，则b＝﹣2a，因（3，0）在函数图象上，故9a+3b+c＝0，将b＝﹣2a代入得，3a+c＝0，由函数图象知a＞0，故3a+c+5a＞0，即8a+c＞0．故④正确，故选：C．【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题，掌握二次函数图象与系数的关系是解题的关键．二、填空题（每小题3分，共18分）13．（3分）如图，正六边形ABCDEF的中心为原点O，点D的坐标为（2，0），则点B的坐标为（﹣1，﹣）．【分析】连接OB、OC，根据正多边形的中心角的计算公式求出∠BOC，求出BH、OH，得到答案．【解答】解：连接OB、OC，∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠BOC＝＝60°，∴∠BOH＝30°，∴BH＝OB＝1，OH＝OB＝，∴点B的坐标为（﹣1，﹣），故答案为：（﹣1，﹣）．【点评】本题考查的是多边形的有关计算、坐标与图形性质，掌握正多边形的中心角的计算公式、坐标的确定方法是解题的关键．14．（3分）如图，AB是O的直径，C，D，E是⊙O上不同于A，B的任意三点，且点C，D处在AB同一侧，点E处在AB另一侧，则∠C+∠D＝90°．【分析】如图，连接AE、BE．因为AB是直径，推出∠AEB＝90°，推出∠EAB+∠EBA ＝90°，因为∠C＝∠EBA，∠D＝∠EAB，可得结论；【解答】解：如图，连接AE、BE．∵AB是直径，∴∠AEB＝90°，∴∠EAB+∠EBA＝90°，∵∠C＝∠EBA，∠D＝∠EAB，∴∠C+∠D＝90°，故答案为90°．【点评】本题考查圆周角定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．15．（3分）已知抛物线y ＝x 2+（m 2﹣4m ）x +3关于y 轴对称，则m ＝ 0或4 ．【分析】利用对称轴方程得到﹣＝0，然后解关于m 的方程即可．【解答】解：∵抛物线y ＝x 2+（m 2﹣4m ）x +3关于y 轴对称，∴﹣＝0，∴m ＝0或m ＝4．故答案为：0或4．【点评】本题考查了二次函数图象的对称轴问题，解题时需要提炼隐含的条件：﹣＝0．16．（3分）如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，将△ABC 绕点A 顺时针旋转90°得到△AB ′C ′，连接CC ′，若AC ＝4，AB ＝1，则△B ′C ′C 的面积为 6 ．【分析】先根据旋转的性质得AC ＝AC ′＝4，AB ′＝AB ＝1，∠CAC ′＝90°，则可判断△ACC ′为等腰直角三角形，然后根据三角形的面积公式即可得到结论．【解答】解：∵△ABC 绕点A 顺时针旋转90°后得到的△AB ′C ′，∴AC ＝AC ′＝4，AB ′＝AB ＝1，∠CAC ′＝90°，∴△ACC ′为等腰直角三角形，∴S △B ′C ′C ＝S △ACC ′﹣S △AB ′C ′＝×4×4﹣×4×1＝6．故答案为6．【点评】本题考查了旋转的性质：旋转前、后的图形全等，还考查了三角形的面积，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．17．（3分）当﹣1≤x ≤3时，函数y ＝x 2﹣4x +3的最小值为a ，最大值为b ，则a +b ＝ 7 ．【分析】先把一般式配成顶点式得到抛物线的对称轴为直线x ＝2，利用二次函数的性质得当1≤x ≤3时，x ＝2时，y 的值最小；x ＝﹣1时，y 的值最大，然后分别计算出a 和b 的值，从而得到a +b 的值．【解答】解：∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，∴抛物线的对称轴为直线x＝2，∵﹣1≤x≤3，∴x＝2时，y的值最小，即a＝﹣1；x＝﹣1时，y的值最大，即b＝（﹣1﹣2）2﹣1＝8，∴a+b＝﹣1+8＝7．故答案为7．【点评】本题考查了二次函数的最值：确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值．18．（3分）如图，∠ACB＝60°，半径为3cm的⊙O切BC于点C，若将⊙O在CB上向右滚动，则当滚动到⊙O与CA也相切时，圆心O移动的水平距离是3cm．【分析】设⊙O与CA相切于点P，此时和CB相切于点D，连接OC，OD、OP根据切线长定理得∠OCD＝30°，则CD＝OD，求出CD即可解决问题．【解答】解：设⊙O与CA相切于点P，此时和CB相切于点D，连接OC，OD、OP．∵⊙O与CA相切，⊙O与CB相切，∴∠OCD＝∠ACB＝30°，∵OC＝OD＝3，∴PD＝3．故答案为3．【点评】本题考查切线的性质、切线长定理、30°的直角三角形的性质、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活应用所学知识解决问题，属于中考常考题型．三、解答题（共66分）19．（6分）如图，有一座圆弧形拱桥，拱的跨度AB＝8m，拱高CD＝2m，求拱形所在圆的直径．【分析】先根据题意找出圆心，连接OA，OD，由垂径定理得出AB＝2AD，设OA＝r，则OD＝r﹣2，在Rt△AOD中，根据OA2＝AD2+OD2，构建方程求出r即可解决问题；【解答】解：如图所示，连接OD，由题意O、D、C共线．∵AB⊥CO，∴AB＝2AD，∵AB＝8m，CD＝2m，∴AD＝4m，设OA＝r，则OD＝r﹣2，在Rt△AOD中，∵OA2＝AD2+OD2，即r2＝42+（r﹣2）2，解得r＝5m．∴拱形所在圆的直径为10cm．【点评】本题主要考查直角三角形和垂径定理的应用，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．20．（8分）如图，△ABC的顶点分别为A（2，1），B（4，4），C（1，3）．（1）画出△ABC关于原点O对称的图形△A1B1C1，并写出点A1的坐标；（2）画出△ABC绕点O逆时针旋转90°后的图形△A2B2C2，并写出点C2的坐标．【分析】（1）依据△ABC关于原点O对称的图形是△A1B1C1进行画图，进而得到点A1的坐标；（2）依据△ABC绕点O逆时针旋转90°后得到图形△A2B2C2进行画图，进而得到点C2的坐标．【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；点A1的坐标为（﹣2，﹣1）；（2）如图所示，△A2B2C2即为所求，点C2的坐标为（﹣3，1）．【点评】本题主要考查了利用旋转变换进行作图，根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．21．（8分）已知二次函数y＝ax2+bx+c，当x＝3时，y有最小值﹣4，且图象经过点（﹣1，12）．（1）求此二次函数的解析式；（2）该抛物线交x轴于点A，B（点A在点B的左侧），交y轴于点C，在抛物线对称轴上有一动点P，求PA+PC的最小值，并求当PA+PC取最小值时点P的坐标．【分析】（1）由顶点坐标将二次函数的解析式设成y＝a（x﹣3）2﹣4，由该函数图象上一点的坐标，利用待定系数法即可求出二次函数的解析式；（2）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点A、B、C的坐标，由二次函数图象的对称性可得出连接BC交抛物线对称轴于点P，此时PA+PC取最小值，最小值为BC，根据点B、C的坐标可求出直线BC的解析式及线段BC的长度，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点P的坐标，此题得解．【解答】解：（1）∵当x＝3时，y有最小值﹣4，∴设二次函数解析式为y＝a（x﹣3）2﹣4．∵二次函数图象经过点（﹣1，12），∴12＝16a﹣4，∴a＝1，∴二次函数的解析式为y＝（x﹣3）2﹣4＝x2﹣6x+5．（2）当y＝0时，有x2﹣6x+5＝0，解得：x1＝1，x2＝5，∴点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（5，0）；当x＝0时，y＝x2﹣6x+5＝5，∴点C的坐标为（0，5）．连接BC交抛物线对称轴于点P，此时PA+PC取最小值，最小值为BC，如图所示．设直线BC的解析式为y＝mx+n（m≠0），将B（5，0）、C（0，5）代入y＝mx+n，得：，解得：，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+5．∵B（5，0）、C（0，5），∴BC＝5．∵当x＝3时，y＝﹣x+5＝2，∴当点P的坐标为（3，2）时，PA+PC取最小值，最小值为5．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的最值、待定系数法求二次函数解析式以及轴对称中最短路线问题，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式；（2）利用两点之间线段最短结合二次函数的对称性找出点P的位置．22．（8分）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，且CD⊥AB于点E．（1）求证：∠BCO＝∠D；（2）若CD＝2，AE＝1，求劣弧BD的长．【分析】（1）由等腰三角形的性质与圆周角定理，易得∠BCO＝∠B＝∠D；（2）由垂径定理可求得CE与DE的长，然后证得△BCE∽△DAE，再由相似三角形的对应边成比例，求得BE的长，继而求得直径与半径，再求出圆心角∠BOD即可解决问题；【解答】（1）证明：∵OB＝OC，∴∠BCO＝∠B，∵∠B＝∠D，∴∠BCO＝∠D；（2）解：连接OD．∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，∴CE＝DE＝CD＝，∵∠B＝∠D，∠BEC＝∠DEC，∴△BCE∽△DAE，∴AE：CE＝DE：BE，∴1：＝：BE，解得：BE＝3，∴AB＝AE+BE＝4，∴⊙O的半径为2，∵tan∠EOD＝＝，∴∠EOD＝60°，∴∠BOD＝120°，∴的长＝＝π．【点评】此题考查了圆周角定理、垂径定理、相似三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质．注意在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．证得△BCE∽△DAE是关键．23．（8分）已知二次函数y＝x2﹣（a﹣1）x+a﹣2，其中a是常数．（1）求证：不论a为何值，抛物线y＝x2﹣（a﹣1）x+a﹣2与x轴一定有交点；（2）若抛物线y＝x2﹣（a﹣1）x+a﹣2的图象如图所示，请直接写出不等式x2﹣（a﹣l）x+a﹣2＜0的解集；（3）在（2）的条件下，若关于x的方程x2﹣（a﹣1）x+a﹣2＝k恰有两个相等的实数根，求k的值．【分析】（1）计算判别式得到△＝（a﹣3）2，则根据非负数的性质可判断△≥0，然后根据判别式的意义得到结论；（2）利用对称轴方程得到a＝4，则抛物线解析式为y＝x2﹣3x+2，再解方程x2﹣3x+2＝0得抛物线与x轴的两个交点坐标为（1，0），（2，0），然后写出抛物线在x轴下方所对应的自变量的范围得到不等式x2﹣（a﹣l）x+a﹣2＜0的解集；（3）方程整理为x2﹣3x+2﹣k＝0，然后利用判别式的意义得到△＝32﹣4（2﹣k）＝0，然后解关于k的方程即可．【解答】（1）证明：△＝（a﹣1）2﹣4（a﹣2）＝a2﹣2a+1﹣4a+8＝（a﹣3）2，∵（a﹣3）2≥0，即△≥0，∴不论a为何值，抛物线y＝x2﹣（a﹣1）x+a﹣2与x轴一定有交点；（2）解：∵x＝﹣＝，∴a＝4，∴抛物线解析式为y＝x2﹣3x+2，当y＝0时，x2﹣3x+2＝0，解得x1＝1，x2＝2，∴抛物线与x轴的两个交点坐标为（1，0），（2，0），当1＜x＜2时，y＜0，即不等式x2﹣（a﹣l）x+a﹣2＜0的解集为1＜x＜2；（3）解：x2﹣3x+2＝k，即x2﹣3x+2﹣k＝0，∵方程x2﹣（a﹣1）x+a﹣2＝k恰有两个相等的实数根，∴△＝32﹣4（2﹣k）＝0，解得k＝﹣．【点评】本题考查了二次函数与不等式：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0），利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解．也考查了判别式的意义．24．（8分）如图，AB为⊙O的直径，点D是弧BC的中点，DE⊥AC交AC的延长线于点E，FB是⊙O的切线，交AD的延长线于点F．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若BF＝1，⊙O的半径为1，求DF的长．【分析】（1）根据切线的判定即可求出答案．（2）根据圆周角定理可知∠ADB＝90°，利用勾股定理可求出AF的长度，然后利用相似三角形的性质与判定即可求出DF的长度．【解答】解：（1）连接OD，∵点D是弧BC的中点，∴∠EAD＝∠OAD，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ADO，∴∠EAD＝∠ADO，∴AE∥OD，∴∠ODE+∠AED＝180°，∴∠ODE＝90°，∵OD是⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线；（2）连接BD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵AB＝2，BF＝1，∴由勾股定理可知：AF＝，∵FB是⊙O的切线，∴∠ABF＝90°，∵∠F＝∠F，∠ABF＝∠BDF＝90°，∴△BDF∽△ABF，∴BF2＝DF•AF，∴DF＝【点评】本题考查圆的综合问题，涉及相似三角形的性质与判定，勾股定理，切线的判定等知识，需要学生灵活运用所学知识．25．（10分）某水产养殖户一次性收购了20000kg淡水鱼，计划养殖一段时间后再出售，已知每天放养的费用相同，放养10天的总成本为30.4万元：放养20天的总成本为30.8万元（总成本＝放养总费用+收购成本）．（1）设每天的放养费用是a万元，收购成本为b万元，求a和b的值；（2）设这批淡水鱼放养t天后的质量为mkg，销售单价为y元/kg，已知m与t的函数关系为m＝，y与t的函数关系如图所示，请分别求出当0≤t≤50和50＜t≤100时，y与t的函数关系式；（3）在（2）的条件下，设将这批淡水鱼放养t天后一次性出售所得利润为W元，求当t为何值时，W最大？并求出W的最大值．（利润＝销售总额﹣总成本）【分析】（1）由放养10天的总成本为30.4万元；放养20天的总成本为30.8万元可得答案；（2）分0≤t≤50、50＜t≤100两种情况，结合函数图象利用待定系数法求解可得；（3）就以上两种情况，根据“利润＝销售总额﹣总成本”列出函数解析式，依据一次函数性质和二次函数性质求得最大值即可得．【解答】解：（1）由题意，得：，解得：，答：a的值为0.04，b的值为30；（2）当0≤t≤50时，设y与t的函数解析式为y＝k1t+n1，将（0，15）、（50，25）代入，得：，解得：，∴y与t的函数解析式为y＝t+15；当50＜t≤100时，设y与t的函数解析式为y＝k2t+n2，将点（50，25）、（100，20）代入，得：，解得：，∴y与t的函数解析式为y＝﹣t+30；（3）由题意，当0≤t≤50时，W＝20000（t+15）﹣（400t+300000）＝3600t，∵3600＞0，∴当t＝50时，W＝180000（元）；最大值当50＜t≤100时，W＝（100t+15000）（﹣t+30）﹣（400t+300000）＝﹣10t2+1100t+150000＝﹣10（t﹣55）2+180250，∵﹣10＜0，∴当t＝55时，W＝180250（元），最大值综上所述，放养55天时，W最大，最大值为180250元．【点评】本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握待定系数法求函数解析式，根据相等关系列出利润的函数解析式及二次函数的性质是解题的关键．26．（10分）如图，在直角坐标系中，O为坐标原点，A点坐标为（﹣3，0），B点坐标为（12，0），以AB的中点P为圆心，AB为直径作⊙P与y轴的负半轴交于点C，抛物线经过A，B，C三点，其顶点为M．（1）求此抛物线的解析式；（2）设点D是抛物线与⊙P的第四个交点（除A，B，C三点以外），判断直线MD与⊙P的位置关系，并说明理由；（3）点E是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使以A，D，E，F四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F点的坐标；如果不存在，请说明理由．【分析】（1）由题意可得AP＝BP＝CP＝，根据勾股定理可求OC的长度，用待定系数法可求解析式；（2）直线MD与⊙P的位置关系设直线DM和x轴交于E，连接PM则PM⊥OE，过P作PD ′⊥ME 于D ′，设y ＝0，则y ＝x ﹣＝0，则可求出OE 的长，根据勾股定理求出ME ，在根据三角形的面积为定值可求出PD ′的长，和圆P 的半径比较大小即可判定直线MD 与⊙P 的位置关系；（3）此题要分两种情况：①以AD 为边，②以AD 为对角线．确定平行四边形后，可直接利用平行四边形的性质求出F 点的坐标．【解答】解：（1）连接CP∵A 点坐标为（﹣3，0），B 点坐标为（12，0），∴AB ＝15∵点P 是AB 中点∴AP ＝＝BP ＝CP∵AO ＝3∴OP ＝在Rt △CPO 中，OC ＝＝6 ∴点C 坐标为（0，﹣6）∴设抛物线解析式y ＝a （x +3）（x ﹣12）且过点C （0，﹣6）∴﹣6＝﹣36a∴a ＝∴抛物线解析式y ＝（x +3）（x ﹣12）＝x 2﹣x ﹣6，（2）∵y ＝x 2﹣x ﹣6＝（x ﹣）2﹣；∴M （，﹣）， ∵P 是圆的圆心，∴PM 是圆的对称轴，PM 是抛物线的对称轴，∵C （0，﹣6），∴D （9，﹣6），设直线MD 的解析式y ＝kx +b ，把D （9，﹣6）和M （，﹣）代入得：，解得：，∴y＝x﹣；设直线DM和x轴交于E，连接PM，则PM⊥OE，过P作PD′⊥ME于D′，设y＝0，则y＝x﹣＝0，∴x＝17，∴OE＝17，∴E（17，0），∴PE＝17﹣4.5＝12.5，∵PM＝，∴ME＝＝，∵PM•PE＝PD′•EM，∴PD′＝＝7.5，∴PD′等于圆的半径，∴直线MD与⊙P的位置关系是相切；（3）存在4个这样的点F，分别是F1（1，0），F2（﹣3，0），F3（4+，0），F4（4﹣，0），①如图2，连接D与抛物线和y轴的交点C，那么CD∥x轴，此时AF＝CD＝9，因此F点的坐标是（﹣12，0）；②如图3，AF＝CD＝9，A点的坐标为（﹣3，0），因此F点的坐标为（6，0）；③如图4，此时D，E两点的纵坐标互为相反数，因此E点的纵坐标为6，代入抛物线中即可得出E点的坐标为（，6），∵直线AD的解析式为y＝﹣x﹣，∵EF∥AD，因此可设直线EF的解析式为y＝﹣x+h，将E点代入后可得出直线EF的解析式为y＝﹣x+，因此直线EF与x轴的交点F的坐标为（，0）；④如图5，同③可求出F的坐标为（，0）．总之，符合条件的F点共有4个．【点评】本题考查了用待定系数法求一次函数和二次函数的解析式、二次函数的性质、顶点坐标的求法、一次函数和坐标轴的交点、圆的性质、切线的判定以及勾股定理的运用，题目的综合性很强，难度不小．。
2020-2021学年湖南省长沙市岳麓区麓山国际实验学校九年级(上)第三次月考数学试卷(附答案详解)
2020-2021学年湖南省长沙市岳麓区麓山国际实验学校九年级（上）第三次月考数学试卷1. tan60°等于( )A. 12B. √32C. √33D. √32. 下列计算正确的是( )A. −42=−16B. 23=6C. −8−8=0D. −5−2=−33. 下列图形中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是( )A.B.C.D.4. “校园足球”已成为麓山国际实验学校的一张名片，这一新闻获得2400000的点击率，2400000这个数用科学记数法表示，结果正确的是( )A. 0.24×105B. 2.4×106C. 2.4×105D. 24×1045. 若代数式√x−2√x−1有意义，则实数x 的取值范围是( )A. x ≥1B. x ≥2C. x >1D. x >26. 下列说法正确的是( )A. “打开电视机，正在播放体育节目”是必然事件B. 了解夏季冷饮市场上冰淇淋的质量情况适合用普查C. 抛掷一枚普通硬币，“这枚硬币正面朝上”，这一事件发生的概率为12 D. 甲、乙两人在相同条件下各射击10次，他们的成绩的平均数相同，方差分别是S 甲2=0.3，S 乙2=0.5，则乙的射击成绩较稳定7. 如图是每个面上都有一个汉字的正方体的一种展开图，那么在正方体的表面与“生”相对应的面上的汉字是( )A. 数B. 学C. 活D. 的8. 正十二边形的每一个内角的度数为( )A. 120°B. 135°C. 150°D. 108°9.在同一平面直角坐标系中，反比例函数y=k与一次函数y=kx−1(k为常数，k>x0)的图象可能是()A. B.C. D.10.如图：△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，且AB=6cm，则△DEB的周长是()A. 6cmB. 4cmC. 10cmD. 以上都不对11.如图，将半径为4cm的圆折叠后，圆弧恰好经过圆心，则折痕的长为()A. 2√3cmB. 4√3cmC. √3cmD. √2cm(k≠0)图象上的12.如图，点A、B是反比例函数y=kx两点，延长线段AB交y轴于点C，且点B为线段AC中点，过点A作AD⊥x轴于点D，点E为线段OD的三等分点，且OE<DE.连接AE、BE，若S△ABE=7，则k的值为()A. −12B. −10C. −9D. −613.已知点P(m−3,m+1)在第一象限，则m的取值范围是______．14.已知4x2m y m+n与−3x6y2是同类项，则m−n=______．15.如图，路灯距离地面8米，身高1.6米的小明站在距离灯的底部(点O)20米的A处，则小明的影子AM长为______米．16.已知圆锥的高为6，底面圆的半径为8，则圆锥的侧面积为______．17.在半径为5cm圆内有两条互相平行的弦，一条弦长为8cm，另一条弦长为6cm，则这两条弦之间的距离为______．18.抛物线y=ax2+bx+c的顶点为D(−1,2)，与x轴的一个交点A在点(−3,0)和(−2,0)之间，其部分图象如图，则以下结论：①b2−4ac<0；②当x>−1时y随x增大而减小；③a+b+c<0；④若方程ax2+bx+c−m=0没有实数根，则m>2；⑤3a+c<0．其中，正确结论的序号是______ ．19.计算：sin30°−√4+(π−4)0+|−12|.20.先化简，再求值：a2−3aa2+a ÷a−3a2−1⋅a+1a−1，其中a=2020．21.按国家要求贫困家庭均要“建档立卡”.某中学七年级共有四个班，已“建档立卡”的贫困家庭的学生人数按一、二、三、四班分别记为A1，A2，A3，A4，现对A1，A2，A3，A4统计后，制成如图所示的统计图．(1)求七年级已“建档立卡”的贫困家庭的学生总人数；(2)将条形统计图补充完整，并求出A1所在扇形的圆心角的度数；(3)现从A4班选出两人进行座谈，若A4中有一名女生，三名男生，请用树状图或列表表示所有可能情况，并求出恰好选出一名男生和一名女生的概率．22.如图，点E是正方形ABCD的边BC延长线上一点，连结DE，过顶点B作BF⊥DE，垂足为F，BF分别交AC于H，交BC于G．(1)求证：BG=DE；(2)若点G为CD的中点，求HG的值．GF23.“一带一路”的战略构想为国内许多企业的发展带来了新的机遇，某公司生产A，B两种机械设备，每台B种设备的成本是A种设备的1.5倍，公司若投入16万元生产A种设备，36万元生产B种设备，则可生产两种设备共10台．请解答下列问题：(1)A、B两种设备每台的成本分别是多少万元？(2)若A，B两种设备每台的售价分别是6万元，10万元，公司决定生产两种设备共60台，计划销售后获利不低于126万元，且A种设备至少生产53台，求该公司有几种生产方案．24.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，点F是AD⏜上一点，连接AF交CD的延长线于点E．(1)求证：△AFC∽△ACE；(2)若AC=5，DC=6，当点F为AD⏜的中点时，求AF的值．25.如图1，如果一条直线截一个三角形的任意两边，把这个三角形分成了一个四边形和一个三角形．若这个四边形的四个顶点在同一个圆上，则称这条直线为该三角形的一条共圆线．(1)如图1，DE为△ABC的一条共圆线，判断△ABC被DE所分成的三角形与△ABC的形状有什么关系？并说明理由；(2)如图2，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=3，点P是边BC上的一点，PC=1，求过P的共圆线被△ABC两边截得的线段长；(3)如图3，A(1,3)，B(−3,0)，C(4,0)，点P为线段BC上一动点，设CP=x，若过P存在△ABC的共圆线，求x的取值范围．x+2与x轴、y轴分别交于B、C两点，经过B、C两点的抛26.如图1，直线y=−23物线与x轴的另一交点坐标为A(−1,0)．(1)求B、C两点的坐标及该抛物线所对应的函数关系式；(2)P在线段BC上的一个动点(与B、C不重合)，过点P作直线a//y轴，交抛物线于点E，交x轴于点F，设点P的横坐标为m，△BCE的面积为S．①求S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；②求S的最大值，并判断此时△OBE的形状，说明理由；(3)过点P作直线b//x轴(图2)，交AC于点Q，那么在x轴上是否存在点R，使得△PQR为等腰直角三角形？若存在，请求出点R的坐标；若不存在，请说明理由．答案和解析1.【答案】D【解析】解：tan60°=√3．故选D．根据tan60°=√3即可得出答案．此题考查了特殊角的三角函数值，比较简单，注意熟练记忆一些特殊角的三角函数值．2.【答案】A【解析】解：A、−42=−16，此选项正确；B、23=8，此选项错误；C、−8−8=−8+(−8)=−16，此选项错误；D、−5−2=−5+(−2)=−7，此选项错误；故选：A．根据有理数的乘方和减法法则计算可得．本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数的乘方和减法法则．3.【答案】C【解析】解：A、是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项错误；B、是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项错误；C、既是中心对称图形，又是轴对称图形，故本选项正确；D、是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项错误．故选：C．根据中心对称图形和轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．4.【答案】B【解析】解：2400000=2.4×106． 故选：B ．科学记数法的表示形式为a ×10n 的形式，其中1≤|a|<10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n 是正整数；当原数的绝对值<1时，n 是负整数．此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a ×10n 的形式，其中1≤|a|<10，n 为整数，表示时关键要确定a 的值以及n 的值．5.【答案】B【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件，解题的关键是正确理解二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件，本题属于基础题型． 根据二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件即可求出x 的范围． 【解答】解：由题意可知：{x −2≥0x −1>0∴解得：x ≥2， 故选：B ．6.【答案】C【解析】解：A 、“打开电视机，正在播放体育节目”是随机事件，故此选项错误； B 、了解夏季冷饮市场上冰淇淋的质量情况应该采用抽样调查的方式，故此选项错误； C 、抛掷一枚普通硬币，“这枚硬币正面朝上”，这一事件发生的概率为12；正确；D 、甲、乙两人在相同条件下各射击10次，他们的成绩的平均数相同，方差分别是S 甲2=0.3，S 乙2=0.5，则甲的射击成绩较稳定，错误．故选：C ．分别利用概率的意义以及抽样调查的意义以及方差的意义分别分析得出答案． 此题主要考查了概率的意义以及抽样调查的意义以及方差的意义，正确把握相关定义是解题关键．7.【答案】B【解析】解：∵正方体的平面展开图中，相对面的特点是之间一定相隔一个正方形，∴在此正方体上与“生”字相对的面上的汉字是“学”．故选：B．正方体的平面展开图中，相对面的特点是之间一定相隔一个正方形，据此作答．本题考查了正方体的展开图形，解题关键是从相对面入手进行分析及解答问题．8.【答案】C【解析】【分析】本题考查了多边形的计算，正确理解内角与外角的关系是关键．首先求得每个外角的度数，然后根据外角与相邻的内角互为邻补角即可求解．【解答】=30°，解：正十二边形的每个外角的度数是：360°12则每一个内角的度数是：180°−30°=150°．故选：C．9.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的图象，解题时注意：系数k的符号决定直线的方向以及双曲线的位置．先根据k的符号，得到反比例函数y=k与一次函数y=kx−1都经过第一、三象限，再x根据一次函数y=kx−1与y轴交于负半轴，即可得出结果．【解答】解：当k>0时，反比例函数图象在第一、三象限都是y随x的增大而增大，且一次函数图象必过第一、三象限，故A，C选项错误；∵一次函数y=kx−1与y轴交于负半轴，∴D选项错误，B选项正确，故选：B．10.【答案】A【解析】【分析】本题考查了角平分线定理，垂直的定义，直角三角形证明全等的方法−HL，利用了转化及等量代换的思想，熟练掌握角平分线定理是解本题的关键．由∠C=90°，根据垂直定义得到DC与AC垂直，又AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB，利用角平分线定理得到DC=DE，再利用HL证明三角形ACD与三角形AED全等，根据全等三角形的对应边相等可得AC=AE，又AC=BC，可得BC=AE，然后由三角形BED的三边之和表示出三角形的周长，将其中的DE换为DC，由CD+DB=BC进行变形，再将BC换为AE，由AE+EB=AB可得出三角形BDE的周长等于AB的长，由AB 的长可得出周长．【解答】解：∵∠C=90°，∴DC⊥AC，又AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB，∴CD=ED，在Rt△ACD和Rt△AED中，{DC=DEAD=AD，∴Rt△ACD≌Rt△AED(HL)，∴AC=AE，又AC=BC，∴AC=AE=BC，又AB=6cm，∴△DEB的周长=DB+BE+ED=DB+CD+BE=BC+BE=AE+EB=AB=6(cm)．故选：A．11.【答案】B【解析】【分析】本题考查的是垂径定理在实际生活中的运用及翻折变换的性质，根据题意画出图形，作出辅助线利用数形结合解答．连接AO，过O作OD⊥AB，交AB⏜于点D，交弦AB于点E，根据折叠的性质可知OE=DE，再根据垂径定理可知AE=BE，在Rt△AOE中利用勾股定理即可求出AE的长，进而可求出AB的长．【解答】解：如图所示，连接AO，过O作OD⊥AB，交AB⏜于点D，交弦AB于点E，∵AB⏜折叠后恰好经过圆心，∴OE=DE，∵⊙O的半径为4，∴OE=12OD=12×4=2，∵OD⊥AB，∴AE=12AB，在Rt△AOE中，AE=√OA2−OE2=√42−22=2√3．∴AB=2AE=4√3．故选：B．12.【答案】A【解析】【分析】设A(m,km )，C(0,n)，则D(m,0)，E(13m,0)，由AB=BC，推出B(m2,km+n2)，根据点B在y=kx 上，推出m2⋅km+n2=k，可得mn=3k，连接EC，OA.因为AB=BC，推出S△AEC=2⋅S△AEB=14，根据S△AEC=S△AEO+S△ACO−S△ECO，构建方程即可解决问题；本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考选择题中的压轴题．【解答】解：设A(m,km )，C(0,n)，则D(m,0)，E(13m,0)，∵AB=BC，∴B(m2,km+n2)，∵点B在y=kx上，∴m2⋅km+n2=k，∴k+mn=4k，∴mn=3k，连接EC，OA．∵AB=BC，∴S△AEC=2⋅S△AEB=14，∵S△AEC=S△AEO+S△ACO−S△ECO，∴14=12⋅(−13m)⋅km+12⋅n⋅(−m)−12⋅(−13m)⋅n，∴14=−16k−3k2+k2k2，∴k=−12．故选A．13.【答案】m>3【解析】【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中各个象限的点的坐标的符号特点，此特点常与不等式、方程结合起来求一些字母的取值范围．属于基础题．在第一象限内的点的横纵坐标均为正数，列式求值即可．【解答】解：∵点P(m −3,m +1)在第一象限，∴{m −3>0m +1>0， 解得m >3．故答案为m >3．14.【答案】4【解析】解：根据题意得：{2m =6m +n =2， 解得：{m =3n =−1， 则m −n =3+1=4．故答案是：4．根据同类项的定义(所含字母相同，相同字母的指数相同)列出方程，求出n ，m 的值，再代入代数式计算即可．本题考查同类项的定义，同类项定义中的两个“相同”：相同字母的指数相同，是易混点，因此成了中考的常考点．15.【答案】5【解析】【分析】本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比可得出小明的影长．易得：△ABM∽△OCM ，利用相似三角形的相似比可得出小明的影长．【解答】解：根据题意，易得△MBA∽△MCO ，根据相似三角形的性质可知ABOC =AMOA+AM，即1.68=AM20+AM，解得AM=5m.则小明的影长为5米．16.【答案】80π【解析】解：圆锥的主视图如右图所示，半径BD=8，AD=6，∴AB√BD2+AD2=√62+82=10，∴圆锥的侧面积是：12×16π×10=80π，故答案为：80π．根据题意可以求得圆锥的母线长，然后根据圆锥的侧面展开图是一个扇形，由扇形的面积公式S=12lr即可解答本题．本题考查圆锥的计算，解答本题的关键是明确题意，知道圆锥的侧面展开图是扇形和扇形的面积计算公式．17.【答案】1cm或7cm【解析】解：①当弦A和CD在圆心同侧时，如图，∵AB=8cm，CD=6cm，∴AE=4cm，CF=3cm，∵OA=OC=5cm，∴EO=3cm，OF=4cm，∴EF=OF−OE=1cm；②当弦A和CD在圆心异侧时，如图，∵AB=8cm，CD=6cm，∴AF=4cm，CE=3cm，∵OA=OC=5cm，∴EO=4cm，OF=3cm，∴EF=OF+OE=7cm．故答案为：1cm或7cm．分两种情况进行讨论：①弦A和CD在圆心同侧；②弦A和CD在圆心异侧；作出半径和弦心距，利用勾股定理和垂径定理求解即可．本题考查了勾股定理和垂径定理，解此类题目要注意将圆的问题转化成三角形的问题再进行计算．18.【答案】②③④⑤【解析】解：∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2−4ac>0，∴结论①不正确．∵抛物线的对称轴x=−1，∴当x>−1时，y随x增大而减小，∴结论②正确．∵抛物线与x轴的一个交点A在点(−3,0)和(−2,0)之间，∴抛物线与x轴的另一个交点在点(0,0)和(1,0)之间，∴当x=1时，y<0，∴a+b+c<0，∴结论③正确．∵y=ax2+bx+c的最大值是2，∴方程ax2+bx+c−m=0没有实数根，则m>2，∴结论④正确．=−1，∵抛物线的对称轴x=−b2a∴b=2a，∵a+b+c<0，∴a+2a+c<0，∴3a+c<0，∴结论⑤正确．综上，可得正确结论的序号是：②③④⑤．故答案为：②③④⑤．①根据抛物线与x轴有两个交点，可得b2−4ac>0，据此解答即可．②根据抛物线的对称轴x=−1，可得当x>−1时，y随x增大而减小，据此判断即可．③根据抛物线与x轴的一个交点A在点(−3,0)和(−2,0)之间，可得抛物线与x轴的另一个交点在点(0,0)和(1,0)之间，所以当x=1时，y<0，据此判断即可．④根据y=ax2+bx+c的最大值是2，可得方程ax2+bx+c−m=0没有实数根，则m>2，据此判断即可．⑤首先根据抛物线的对称轴x=−b2a=−1，可得b=2a，然后根据a+b+c<0，判断出3a+c<0即可．此题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a>0时，抛物线向上开口；当a<0时，抛物线向下开口；②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时(即ab>0)，对称轴在y轴左；当a与b异号时(即ab<0)，对称轴在y轴右．(简称：左同右异)③常数项c决定抛物线与y轴交点．抛物线与y轴交于(0,c)．19.【答案】解：原式=12−2+1+12=0．【解析】原式利用特殊角角的三角函数值，平方根定义，零指数幂法则，以及绝对值的代数意义化简，计算即可求出值．此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．20.【答案】解：a2−3aa2+a ÷a−3a2−1⋅a+1a−1=a(a−3)a(a+1)⋅(a+1)(a−1)a−3⋅a+1a−1=a+1，当a=2020时，原式=2020+1=2021．【解析】先把除法变成乘法，同时把分式的分子和分母分解因式，再根据分式的乘法法则进行计算，最后求出答案即可．本题考查了分式的混合运算和求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键．21.【答案】解：(1)6÷40%=15(人)，即七年级已“建档立卡”的贫困家庭的学生一共有15人；(2)A 2所对应的学生为15−2−6−4=3(人)，补全的条形统计图如右图所示：A 1所在扇形的圆心角的度数是：360°×215=48°；(3)树状图如下所示：由树状图可知，一共有12中结果，其中一男一女有6种结果，故恰好选出一名男生和一名女生的概率为612=12．【解析】(1)根据A 3对应的人数和所占的百分比，可以计算出七年级已“建档立卡”的贫困家庭的学生总人数；(2)根据(1)中的结果和条形统计图中的数据，可以计算出A 2所对应的学生人数，从而可以将条形统计图补充完整，再根据A 1所对应的学生人数，即可计算出A 1所在扇形的圆心角的度数；(3)根据题意，先画出树状图，然后即可得到恰好选出一名男生和一名女生的概率． 本题考查列表法与树状图法、扇形统计图、条形统计图，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键．22.【答案】解：(1)∵BF ⊥DE ，∴∠GFD =90°，∵∠BCG =90°，∠BGC =∠DGF ，∴∠CBG =∠CDE ，在△BCG 与△DCE 中，{∠CBG =∠CDE BC =CD ∠BCG =∠DCE∴△BCG≌△DCE(ASA)，∴BG=DE，(2)设CG=1，∵G为CD的中点，∴GD=CG=1，由(1)可知：△BCG≌△DCE(ASA)，∴CG=CE=1，∴由勾股定理可知：DE=BG=√5，∵sin∠CDE=CEDE =GFGD，∴GF=√55，∵AB//CG，∴△ABH∽△CGH，∴ABCG =BHGH=21，∴BH=23√5，GH=13√5，∴HG=5【解析】(1)由于BF⊥DE，所以∠GFD=90°，从而可知∠CBG=∠CDE，根据全等三角形的判定即可证明△BCG≌△DCE，从而可知BG=DE；(2)设CG=1，从而知CG=CE=1，由勾股定理可知：DE=BG=√5，由易证△ABH∽△CGH，所以BHHG =2，从而可求出HG的长度，进而求出HGGF的值．本题考查相似三角形的综合问题，涉及相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，综合程度较高，属于中等题型．23.【答案】解：(1)设A种设备每台的成本是x万元，B种设备每台的成本是1.5x万元，根据题意得：16x +361.5x=10，解得：x=4，经检验x=4是分式方程的解，∴1.5x=6．答：A种设备每台的成本是4万元，B种设备每台的成本是6万元；(2)设A种设备生产a台，则B种设备生产(60−a)台，根根据题意得：{(6−4)a +(10−6)(60−a)≥126a ≥53， 解得：53≤a ≤57．∵a 为整数，∴a =53，54，55，56，57，∴该公司有5种生产方案．【解析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式组的应用有关知识．(1)设A 种设备每台的成本是x 万元，B 种设备每台的成本是1.5x 万元．根据数量=总价÷单价结合“投入16万元生产A 种设备，36万元生产B 种设备，则可生产两种设备共10台”，即可得出关于x 的分式方程，解之经检验后即可得出结论；(2)设A 种设备生产a 台，则B 种设备生产(60−a)台．根据销售后获利不低于126万元且A 种设备至少生产53台，即可得出关于a 的一元一次不等式组，解之即可得出a 的取值范围，再根据a 为正整数即可得出a 的值，进而即可得出该公司生产方案种数．24.【答案】解：(1)∵CD ⊥AB ，AB 是⊙O 的直径∴AD⏜=AC ⏜ ∴∠AFC =∠ACD ．∵在△ACF 和△AEC 中，∠AFC =∠ACD ，∠CAF =∠EAC∴△AFC∽△ACE ．(2)∵四边形ACDF 内接于⊙O∴∠AFD +∠ACD =180°∵∠AFD +∠DFE =180°∴∠DFE =∠ACD∵∠AFC =∠ACD∴∠AFC =∠DFE ．∵△AFC∽△ACE∴∠ACF =∠DEF ．∵F 为AD⏜的中点 ∴AF =DF ．∵在△ACF 和△DEF 中，∠ACF =∠DEF ，∠AFC =∠DFE ，AF =DF∴△ACF≌△DEF(AAS)∴AC =DE =5∵CD ⊥AB ，AB 是⊙O 的直径∴CH=DH=3．∴EH=8在Rt△AHC中，AH2=AC2−CH2=16，在Rt△AHE中，AE2=AH2+EH2=80，∴AE=4√5．∵△AFC∽△ACE∴AFAC =ACAE，即AF5=54√5，∴AF=5√54．【解析】(1)先由垂径定理得AD⏜=AC⏜，从而得∠AFC=∠ACD.再结合∠CAF=∠EAC，可得答案；(2)先由圆内接四边形的性质及邻补角关系得∠DFE=∠ACD，进而得∠AFC=∠DFE；再求证△ACF≌△DEF，从而得AC=DE=5；然后在在Rt△AHC中和在Rt△AHE中，由勾股定理求得AE的长；最后由△AFC∽△ACE，根据相似三角形的性质，写出比例式，即可解出AF的长．本题考查了相似三角形的判定与性质、圆中的相关性质及定理的应用，熟练掌握相关性质定理及其应用，是解题的关键．25.【答案】解：(1)如图1，△DEC∽△BAC，理由是：∵A、B、E、D四点共圆，∴∠EDC=∠B，∵∠C=∠C，∴△DEC∽△BAC；(2)分两种情况：①如图2(a)，过P作PD⊥AB于D，∴∠ADP=90°，∵∠C=90°，∴∠ADP+∠C=180°，∴A、D、P、C四点共圆，∴直线PD就是△ABC的共圆线，在Rt△ABC中，AB=5，AC=3，由勾股定理得：BC=4，∴BP=BC−PC=4−1=3，∵∠BDP=∠C=90°，∠B=∠B，∴△BDP∽△BCA，∴PDAC =BPAB，∴PD3=35，∴PD=95；②如图2(b)，当∠PDC=∠B时，A、B、P、D四点共圆，直线PD为就是△ABC的共圆线，∴△PDC∽△ABC，∴PDAB =PCAC，∴PD5=13，∴PD=53；(3)过A作AD⊥BC于D，∵A(1,3)，C(4,0)，∴AD=3，CD=4−1=3，∴△ADC是等腰直角三角形，∴∠ACD=45°，过A作AE⊥AB，交AC于E，作∠BAE的平分线AP，交x 轴于P，∵∠DAE+∠DAB=90°，∠DAE+∠AED=90°，∴∠DAB=∠AED，∵∠ADB=∠ADE=90°，∴△ADE∽△BDA，∴ADBD =AEAB，在Rt△ADB中，AD=3，BD=3+1=4√52+(154)2，∴AB=5，∴34=AE5，∴AE =154， 由勾股定理得：BE =√AB 2+AE 2=√52+(154)2=254，∴EC =7−254=34，∵AP 平分∠BAE ，∴AB AE =BPPE ，∴5154=7−xx−34，∴x =247；如图4，在AB 上任意取一点D 作DE ⊥AB ，交BC 于E ，再作∠BDE 的平分线，则∠BDE =90°，∴∠BDP =45°，∵∠ACD =45°，∴∠ACD =∠BDP ，∴A 、D 、P 、C 四点共圆，∴当247<x <7时，过P 存在△ABC 的共圆线，如图5，作∠CAP =∠ABC ，∴△APE∽△BAD ，∵AD =3，BD =4，∴设PE =3a ，AE =4a ，则EC =3a ，AP =5a ，∴PC =3√2a ，∴PD =DC −PC =3−3√2a ，在Rt △APD 中，32+(3−3√2a)2=(5a)2，7a 2+18√2a −18=0，(a +3√2)(7a −3√2)=0，a 1=−3√2(舍)，a 2=3√27，∴PC =3√2a =3√2×3√27=187，如图6，同理作∠PEC =∠ABC ，则A 、B 、P 、E 四点共圆，则当0<x <187时，过P 存在△ABC 的共圆线，综上所述，当0<x <187和247<x <7时，过P 存在△ABC 的共圆线．【解析】(1)相似，根据四点共圆时，圆外角等于它的内对角得：∠EDC =∠B ，利用两角对应相等，则两三角形相似；(2)分两种情况：①如图2(a)，过P 作PD ⊥AB 于D ，根据对角互补的四边形四点共圆，可得A 、D 、P 、C 四点共圆，则直线PD 就是△ABC 的共圆线，分别求出BP 、PC 的长，利用相似求出所截线段PD 的长即可；②如图2(b)，同理根据相似三角形的相似比可得PD 的长；(3)分两种情况：第一种：如图4和图5，过P 的直线与A 、C 共圆，根据∠ACD =45°，求出x 的最小值为247；第二种情况：如图5和图6，过P 的直线与A 、B 共圆，作一个角与∠ABC 相等，求此时x 的最大值为187；由此写出x 的取值范围．本题主要考查了四点共圆的性质和判定，即：①共圆的四个点所连成的同侧共底的两个三角形的顶角相等；②圆内接四边形对角互补；③圆内接四边形的外角等于内对角；反之也成立．26.【答案】解：(1)在y =−23x +2中，令y =0，得−23x +2=0，解得x =3， 令x =0，得y =2，∴B(3,0)，C(0,2)，设抛物线y =ax 2+bx +c(a ≠0)，∵抛物线经过点A(−1,0)、B(3,0)、C(0,2)，∴{a −b +c =09a +3b +c =0c =2，解得{a =−23b =43c =2，∴抛物线解析式为，y =−23x 2+43x +2；(2)①∵点P 的横坐标为m ，过点P 作直线a//y 轴，∴EP =−23m 2+43m +2−(−23m +2)=−23m 2+2m ，∴△BCE 的面积为S =12EP ⋅|x B −x C |=12×(−23m 2+2m)×|3−0|=−m 2+3m ，∵P 在线段BC 上的一个动点(与B 、C 不重合)，∴0<m <3，∴S 与m 之间的函数关系式为：S =−m 2+3m(0<m <3)；②∵S =−m 2+3m =−(m −32)2+94， ∴当m =32时，S 最大值=94，当m =32时，P 是BC 的中点，OE =BE ，EF =94，∴△OBE 是等腰三角形；(3)令y =0，则−23x 2+43x +2=0，整理得，x 2−2x −3=0，解得x 1=−1，x 2=3，∴点A(−1,0)，易得直线AC 的解析式为y =2x +2，∵点P 的横坐标为m ，∴点P 的纵坐标为−23m +2，∴点Q 的纵坐标为−23m +2，代入直线AC得，2x +2=−23m +2，解得x =−13m ，∴PQ =m −(−13m)=43m ，①当PQ 是等腰直角三角形△PQR 的直角边时，43m =−23m +2， 解得m =1，∴QR 是直角边时，点R 1(−13,0)，PQ 是直角边时，点R 2(1,0)，②PQ是等腰直角三角形△PQR的斜边时，1 2×43m=−23m+2，解得m=32，∴PQ=43m=43×32=2，OR=m−12PQ=32−12×2=12，∴点R3(12,0)，综上所述，x轴上存在点R(−13,0)或(1,0)或(12,0)，使得△PQR为等腰直角三角形．【解析】(1)根据直线解析式令y=0求解得到点B的坐标，令x=0得到点C的坐标，然后利用待定系数法求二次函数解析式解答；(2)①根据直线和抛物线解析式表示出EP的长度，再根据△BCE的面积等于△CEP的面积和△BEP的面积之和列式整理即可得解，再根据点P在线段BC上确定出m的取值范围；②把二次函数整理成顶点式形式，然后根据最值问题求出S的最大值，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得OE=BE，判断出△OBE是等腰三角形；(3)根据抛物线解析式求出点A的坐标，然后求出直线AC的解析式，再根据点P的横坐标求出点P的纵坐标，再求出点Q的横坐标，然后求出PQ的长，再根据等腰直角三角形的性质分PQ是斜边和底边两种情况讨论求解即可．本题是二次函数综合题，主要利用了求直线与坐标轴的交点，待定系数法求二次函数解析式，三角形的面积，二次函数的最值问题，等腰直角三角形的性质，(2)根据两函数图象解析式表示EP是解题的关键，(3)难点在于要分情况讨论并根据等腰直角三角形的性质列出方程．。
麓山国际实验学校2014-2015年初三上入学考试数学试卷
y
lA
B
O
Px
y
O
·P
x
（备用
麓山国际实验学校 2014—2015—1初三入学限时训练
数 学 试 卷(参考答案)
一、选择题（每小题 3 分，共 30分）
题号 1
2
3
4
A．
1 2
B．1
）
C．
3 2
D． 2
6．小明把如图 3 所示的平行四边形纸板挂在墙上，玩飞镖游戏（每次飞镖均落在纸板上，且落在纸
板的任何一个点的机会都相等），则飞镖落在阴影区域的概率是（
1 A． 2
1 B． 3
1 C． 4
A
）
1 D． 5
P O
B
（图 1）
（图 2）
（图 3）
7．已知点 M（1，a）和点 N（2，b）是一次函数 y (k 2)x 3 图象上的两点，若 a＞b，则 k 的
倍。设购进 A 掀电脑 x 台，这 100 台电脑的销售总利润为 y 元。 ①求 y 与 x 的关系式；
②该商店购进 A 型、B 型各多少台，才能使销售利润最大？ （3）实际进货时，厂家对 A 型电脑出厂价下调 m（0＜m＜100）元，且限定商店最多购进 A 型电脑 70 台。若商店保持两种电脑的售价不变，请你以上信息及（2）中的条件，设计出使这 100 台电脑 销售总利润最大的进货方案。
2．一次函数 y 2x 3 的图象不经过下列哪个象限（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
3．用配方法解方程
2018-2019学年湖南省长沙市岳麓区麓山国际实验学校九年级(上)开学数学试卷
2018-2019学年湖南省长沙市岳麓区麓山国际实验学校九年级（上）开学数学试卷一．选择题（每小题3分，共30分）1．（3分）下列说法正确的是（）A．任意掷一枚质地均匀的硬币10次，一定有5次正面向上B．天气预报说“明天的降水概率为40%”，表示明天有40%的时间都在降雨C．“篮球队员在罚球线上投篮一次，投中”为随机事件D．“a是实数，|a|≥0”是不可能事件2．（3分）在平面直角坐标系中，点P（﹣3，﹣5）关于原点对称的点的坐标是（）A．（3，﹣5）B．（﹣3，5）C．（3，5）D．（﹣3，﹣5）3．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．4．（3分）抛物线y＝3（x﹣2）2+5的顶点坐标是（）A．（﹣2，5）B．（﹣2，﹣5）C．（2，5）D．（2，﹣5）5．（3分）某种植基地2016年蔬菜产量为80吨，预计2018年蔬菜产量达到100吨，求蔬菜产量的年平均增长率，设蔬菜产量的年平均增长率为x，则可列方程为（）A．80（1+x）2＝100B．100（1﹣x）2＝80C．80（1+2x）＝100D．80（1+x2）＝1006．（3分）从﹣5，﹣，﹣，﹣1，0，2，π这七个数中随机抽取一个数，恰好为负整数的概率为（）A．B．C．D．7．（3分）关于抛物线y＝x2﹣2x+1，下列说法错误的是（）A．开口向上B．与x轴有两个重合的交点C．对称轴是直线x＝1D．当x＞1时，y随x的增大而减小8．（3分）如图，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC．若点A，D，E 在同一条直线上，∠ACB＝20°，则∠ADC的度数是（）A．55°B．60°C．65°D．70°9．（3分）已知二次函数y＝﹣x2+（m﹣1）x+1，当x＞1时，y随x的增大而减小，而m的取值范围是（）A．m＝﹣1B．m＝3C．m≥﹣1D．m≤3 10．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，以下结论：①abc＞0；②4ac ＜b2；③2a+b＞0；④其顶点坐标为（，﹣2）；⑤当x＜时，y随x的增大而减小；⑥a+b+c＞0中正确的有（）A．3 个B．4 个C．5 个D．6 个二．填空题（每小题3分，共30分）11．（3分）将抛物线y＝3x2向左平移2个单位，再向下平移3个单位所得新抛物线的解析式为．12．（3分）抛物线y＝﹣x2+bx+c的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程﹣x2+bx+c＝0的解为．13．（3分）若二次函数y＝x2﹣6x+c的图象过A（﹣1，y1）、B（2，y2）、C（5，y3）三点，则y1、y2、y3大小关系是．14．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，△A′B′C′由△ABC绕点P旋转得到，则点P的坐标为．15．（3分）根据下列表格的对应值，判断ax2+bx+c＝0 （a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的取值范围是x 3.23 3.24 3.25 3.26 ax2+bx+c﹣0.06﹣0.020.030.09 16．（3分）若二次函数y＝﹣x2﹣4x+k的最大值是9，则k＝．17．（3分）关于x的方程mx2﹣2x+3＝0有两个不相等的实数根，那么m的取值范围是．18．（3分）若从﹣1，1，2这三个数中，任取两个分别作为点M的横、纵坐标，则点M在第二象限的概率是．19．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3．矩形ABCD绕着点A逆时针旋转一定角度得到矩形AB'C'D'．若点B的对应点B'落在边CD上，则B'C 的长为．20．（3分）如图，正方形ABCD的边长为2，点E，F分别在边AD，CD上，若∠EBF＝45°，则△EDF的周长等于．三、解答题（共8个大题，52分）21．（6分）一个不透明的口袋中有三个小球，上面分别标有字母A，B，C，除所标字母不同外，其它完全相同，从中随机摸出一个小球，记下字母后放回并搅匀，再随机摸出一个小球，用画树状图（或列表）的方法，求该同学两次摸出的小球所标字母相同的概率．22．（6分）已知一个二次函数的图象经过点A（﹣1，0）、B（3，0）和C（0，﹣3）三点；求此二次函数的解析式．23．（7分）已知二次函数y＝﹣x2+2x+3．（1）求其开口方向、对称轴、顶点坐标，并画出这个函数的图象；（2）根据图象，直接写出：①当函数值y为正数时，自变量x的取值范围；②当﹣2＜x＜2时，函数值y的取值范围．24．（6分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k﹣1）x+k2+k﹣1＝0有实数根．（1）求k的取值范围；（2）若此方程的两实数根x1，x2满足x12+x22＝11，求k的值．25．（6分）一名在校大学生利用“互联网+”自主创业，销售一种产品，这种产品的成本价10元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于16元/件，市场调查发现，该产品每天的销售量y（件）与销售价x（元/件）之间的函数关系如图所示．（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）当每件销售价为多少元时，每天的销售利润为144元？26．（6分）如图，在△ABC中，∠CAB＝70°，将△ABC绕点A逆时针旋转到△AB'C'的位置，使得CC'∥AB，则∠BAB'的度数是多少？27．（7分）甲、乙两人分别站在相距6米的A、B两点练习打羽毛球，已知羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分，甲在离地面1米的C处发出一球，乙在离地面1.5米的D处成功击球，球飞行过程中的最高点H与甲的水平距离AE 为4米，现以A为原点，直线AB为x轴，建立平面直角坐标系（如图所示）．求羽毛球飞行的路线所在的抛物线的表达式及飞行的最高高度．28．（7分）如图，已知△ABC中，AB＝AC，把△ABC绕A点沿顺时针方向旋转得到△ADE，连接BD，CE交于点F．（1）求证：△AEC≌△ADB；（2）若AB＝2，∠BAC＝45°，当四边形ADFC是菱形时，求BF的长．四、综合题（8分）29．（8分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3）三点，其顶点为D，对称轴是直线l，l与x轴交于点H．（1）求该抛物线的解析式．（2）若点P是该抛物线对称轴l上的一个动点，求△PBC周长的最小值．（3）如图（2），若E是线段AD上的一个动点（E与A、D不重合），过E点作平行于y轴的直线交抛物线于点F，交x轴于点G，设点E的横坐标为m，四边形AODF的面积为S．①求S与m的函数关系式．②S是否存在最大值，若存在，求出最大值及此时点E的坐标，若不存在，请说明理由．2018-2019学年湖南省长沙市岳麓区麓山国际实验学校九年级（上）开学数学试卷参考答案一．选择题（每小题3分，共30分）1．C；2．C；3．B；4．C；5．A；6．A；7．D；8．C；9．D；10．B；二．填空题（每小题3分，共30分）11．y＝3（x+2）2﹣3；12．x1＝1，x2＝﹣3；13．y1＞y3＞y2；14．（1，﹣1）；15．3.24＜x＜3.25；16．5；17．m＜且m≠0；18．；19．1；20．4；三、解答题（共8个大题，52分）21．；22．；23．；24．；25．；26．；27．；28．；四、综合题（8分）29．；。
麓山国际初三入学数学考试试卷及答案
9-2-2018-19-002麓山国际初三入学数学考试试卷数 学总分：120分 时量：120分钟一.选择题(本大题共12个小题，每小题3分，共36分) 1.在下列四个数中，其中无理数的是( ) A .722 B .﹣2018C .4D .π2.下列计算正确的是( ) A .33=-x xB .a a a 143=÷C .12)1(22--=-x x xD .6326)2(a a -=-3. 近几年，长沙市经济呈现稳中有进，稳中向好的态势，2018年GDP 突破4000亿元大关，4000亿这个数用科学记数法表示为( ) A .12104⨯ B .11104⨯C .12104.0⨯D .111040⨯4. 不等式组⎩⎨⎧-<+->14212x x xx 的解集为( )A .1>xB .31>xC .131<<x D .无解5.下列语句所描述的事件是随机事件的是( ) A .任意画一个四边形，其内角和为180° B .经过任意两点画一条直线 C .任意画一个菱形，是中心对称图形 D .过平面内任意三点画一个圆6.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是( )A .B .C .D .7.如图，两条直线21//l l ，ABC Rt ∆中， 90=∠C ，BC AC =，顶点B A ,分别在1l 和2l 上，∠1＝20°，则∠2的度数是( ) A .45° B .55° C .65° D .75°8.某同学记录了自己一周每天的零花钱(单位：元)，分别如下：5，4.5，5，5.5，5.5，5，4.5，这组数据的众数和平均数分别是( ) A .5和5.5B .5和5C .5和17D .17和5.5 9.已知二次函数1412-+-=m x x y 的图象与x 轴有交点，则m 的取值范围是( ) A .5≤m B .2≥m C .5<m D .2>m10.如图，把直角三角形ABO 放置在平面直角坐标系中，已知30=∠OAB ，B 点的坐标为(0，2)，将ABO ∆沿着斜边AB 翻折后得到ABC ∆，则点C 的坐标是( ) A .)4,32( B .)32,2( C .)3,3( D .)3,3(11.如图是本地区一种产品30天的销售图象，图①是产品日销售量y (单位：件)与时间t (单位：天)的函数关系，图②是一件产品的销售利润z (单位：元)与时间t (单位：天)的函数关系，已知日销售利润＝日销售量×一件产品的销售利润.下列结论错误的是( ) A .第24天的销售量为300件 B .第10天销售一件产品的利润是15元 C .第27天的日销售利润是1250元 D .第15天与第30天的日销售量相等第7题图 第10题图 第11题图12. 已知抛物线c bx ax y ++=2(0<<b a )与x 轴最多有一个交点，现有以下四个结论：①该抛物线的对称轴在y 轴右侧；②关于x 的方程022=-++c bx ax 有两个不相等的实数根；③024≤+-c b a ；④03<+c a .其中，正确结论的个数为( )A .1个B .2个C .3个D .4个二.填空题(本大题共6个小题，每小题3分，共18分) 13.分解因式：23828a a a -+＝ .14.如图，四边形ABCD 与四边形EFGH 位似，其位似中心为点O ，且34=EA OE ，则BCFG＝ . 15.若反比例函数xky -=2的图象位于第二、四象限，则k 的取值范围是 . 16.如图，已知⊙O 的半径为6cm ，弦AB 的长为8cm ，P 是AB 延长线上一点，BP ＝2cm ，则O P A ∠ta n 的值是 .17.如图，一艘轮船自西向东航行，航行到A 处测得小岛C 位于北偏东60°方向上，继续向东航行10海里到达点B 处，测得小岛C 在轮船的北偏东15°方向上，此时轮船与小岛C 的距离为 海里. 18.如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝3，矩形内部有一动点P 满足ABCD PAB S S 矩形31=∆，则点P 到B A 、两点的距离之和PB PA +的最小值为 .第14题图 第16题图 第17题图 第18题图三、解答题(本大题共8个小题，共66分) 19.(6分)计算：45tan )21(4|2|1++---20.(6分)先化简，后求值121)11(22++-÷+-a a a a a ，其中12+=a .21.(8分)某校创建“环保示范学校”，为了解全校学生参加环保类杜团的意愿，在全校随机抽取了50名学生进行问卷调查，问卷给出了五个社团供学生选择(学生可根据自己的爱好选择一个社团，也可以不选)，个数的中位数是 ；(2)根据以上信息，补全扇形图(图1)和条形图(图2)；(3)该校有1400名学生，根据调查统计情况，请估计全校有多少学生愿意参加环保义工社团；(4)若小诗和小雨两名同学在酵素制作社团或绿植养护社团中任意选择一个参加，请用树状图或列表法求出这两名同学同时选择绿植养护社团的概率.22.(8分)如图，平行四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，AE ＝CF . (1)求证：△BOE ≌△DOF ；(2)若BD ＝EF ，连接DE 、BF ，判断四边形EBFD 的形状，并说明理由.23.(9分)某自行车经销商计划投入7.1万元购进100辆A 型和30辆B 型自行车，其中B 型车单价是A 型车单价的6倍少60元.(1)求A 、B 两种型号的自行车单价分别是多少元？(2)后来由于该经销商资金紧张，投入购车的资金不超过5.86万元，但购进这批自行年的总数不变，那么至多能购进B 型车多少辆？24.(9分)如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，AB 是⊙O 的直径，OF ⊥AB ，交AC 于点F ，点E 在AB 的延长线上，射线EM 经过点C ，且∠ACE +∠AFO ＝180°. (1)求证：EM 是⊙O 的切线；(2)若∠A ＝∠E ，BC ＝3，求阴影部分的面积.(结果保留π和根号).25.(10分)定义：若存在实数对坐标(,)x y 同时满足一次函数y ax b =+和反比例函数cy x=-，则二次函数2y ax bx c =++为一次函数和反比例函数的“派生”函数.(1)试判断(需要写出判断过程)：一次函数3y x =-+和反比例函数4y x=是否存在“派生”函数，若存在，写出它们的“派生”函数和实数对坐标：若不存在，请说明理由；(2)已知：整数m ，n ，t 满足条件9t n m <<，并且一次函数(6)22y n x m =+++与反比例函数xy 2019=存在“派生”函数2019)10()3(2--++=x t m x t m y ，求m 的值；(3)若同时存在两组实数对坐标1(x ，1)y 和2(x ，2)y 使一次函数2(0)y ax b a =+≠和反比例函数3(0)cy c x=-≠有“派生”函数，其中，实数23a b c >>，0a b c ++=，设12||S x x =-，S 的取值范围.26.(10分)如图1，在平面直角坐标系中，直线1y x =-与抛物线2y x bx c =-++交于A 、B 两点，其中(,0)A m 、(4,)B n ，该抛物线与y 轴交于点C ，与x 轴交于另一点D . (1)求这条抛物线的解析式；(2)如图2，若点P 为线段AD 上的一动点(不与A 、D 重合)，分别以AP 、DP 为斜边，在直线AD 的同侧作等腰直角APM ∆和等腰直角DPN ∆，连接MN ，试确定MPN ∆面积最大时P 点的坐标；(3)如图3，连接BD 、CD ，在线段CD 上是否存在点Q ，使得以A 、D 、Q 为顶点的三角形与ABD ∆相似，若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.9-2-2018-19-002麓山国际初三入学数学考试试卷参考答案。
麓山国际初三数学试卷
一、选择题（每题4分，共40分）1. 下列各数中，有理数是（）A. $\sqrt{2}$B. $\pi$C. $-2\sqrt{3}$D. $2\sqrt{5}$2. 如果$a$，$b$是方程$2x^2-5x+2=0$的两个根，那么$a+b$的值是（）A. 2B. $\frac{5}{2}$C. 3D. $\frac{7}{2}$3. 在直角坐标系中，点$A(2,3)$关于原点的对称点是（）A. $(-2,-3)$B. $(-2,3)$C. $(2,-3)$D. $(2,3)$4. 如果$2a+3b=5$，$a-b=1$，那么$3a+2b$的值是（）A. 6B. 7C. 8D. 95. 在等腰三角形$ABC$中，$AB=AC$，$AD$是$BC$边上的高，且$AD=6$，$BD=4$，那么$AB$的长度是（）A. 8B. 10C. 12D. 146. 若函数$f(x)=2x-3$，则$f(2x-1)$的值是（）A. $4x-5$B. $4x-7$C. $4x-9$D. $4x-11$7. 下列各数中，无理数是（）A. $\sqrt{9}$B. $\sqrt{16}$C. $\sqrt{25}$D. $\sqrt{36}$8. 在一次函数$y=kx+b$中，若$y$随$x$的增大而增大，那么$k$的取值范围是（）A. $k>0$B. $k<0$C. $k=0$D. $k$无限制9. 在等腰梯形$ABCD$中，$AD//BC$，$AB=CD$，$AD=10$，$BC=12$，那么$ABCD$的面积是（）A. 60B. 70C. 80D. 9010. 下列函数中，是反比例函数的是（）A. $y=2x+3$B. $y=\frac{1}{x}$C. $y=x^2+1$D. $y=3x-2$二、填空题（每题5分，共50分）11. 已知$3x+2y=8$，$x-2y=1$，则$x=$________，$y=$________。
2019-2020学年湖南省长沙市岳麓区麓山国际实验学校九年级(上)开学数学试卷(含解析)印刷版
2019-2020学年湖南省长沙市岳麓区麓山国际实验学校九年级（上）开学数学试卷一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）1．（3分）在以下数据75，80，85，90，80中，众数和中位数分别是（）A．75，80B．80，80C．80，85D．85，902．（3分）将一块长方形桌布铺在长为3m，宽为2m的长方形桌面上，各边下垂的长度相同，且桌布的面积是桌面面积的2倍，求桌布下垂的长度设桌布下垂的长度为xm，则所列的方程是（）A．（2x+3）（2x+2）＝2×3×2B．2（x+3）（x+2）＝3×2C．（x+3）（x+2）＝2×3×2D．2（2x+3）2x+2）＝3×23．（3分）在某次射击训练中，甲、乙、丙、丁4人各射击10次，平均成绩相同，方差分别是S甲2＝0.35，S乙2＝0.15，S丙2＝0.25，S丁2＝0.27，这4人中成绩发挥最稳定的是（）A．甲B．乙C．丙D．丁4．（3分）关于x的一元二次方程x2+6x+2k＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（）A．k≤B．k≥C．k＜D．k＞5．（3分）下列命题是真命题的是（）A．对角线相等的平行四边形是矩形B．菱形的对角线相等C．对角线互相垂直的平行四边形是正方形D．四边都相等的四边形是矩形6．（3分）如图，已知矩形ABCD，AB＝3，BC＝4，AE平分∠BAD交BC于点E，点F、G分别为AD、AE的中点，则FG＝（）A．B．C．2D．7．（3分）在函数y＝中，自变量x的取值范围是（）A．x≥0B．x＞0且x≠3C．x≥0且x≠3D．x＞08．（3分）在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别是（0，3）、（﹣4，0），则原点到直线AB的距离是（）A．2B．2.4C．2.5D．39．（3分）爷爷在离家900米的公园锻炼后回家，离开公园20分钟后，爷爷停下来与朋友聊天10分钟，接着又走了15分钟回到家中．下面图形中表示爷爷离家的距离y（米）与爷爷离开公园的时间x（分）之间的函数关系是（）A．B．C．D．10．（3分）已知抛物线y＝x2﹣x﹣1与x轴的一个交点为（m，0），则代数式m2﹣m+2019的值为（）A．2018B．2019C．2020D．202111．（3分）已知二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3a（a≠0），关于此函数的图象及性质，下列结论中不一定成立的是（）A．该图象的顶点坐标为（1，﹣4a）B．该图象在x轴上截得的线段的长为4C．若该图象经过点（﹣2，5），则一定经过点（4，5）D．当x＞1时，y随x的增大而增大12．（3分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（﹣3，0），其对称轴为直线x＝﹣1，有下列结论：①abc＜0；②a﹣b﹣2c＞0；③关于x的方程ax2+（b﹣m）x+c＝m有两个不相等的实数根；④若P（﹣5，y1），Q（m，y2）是抛物线上两点，且y1＞y2，则实数m的取值范围是﹣5＜m＜3．其中正确结论的个数是（）A．1B．2C．3D．4二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）13．（3分）已知m、n是关于x的方程x2+2x﹣1＝0的两个不相等的实数根，则m+n＝．14．（3分）当直线y＝（2﹣2k）x+k﹣3经过第二、三、四象限时，则k的取值范围是．15．（3分）一次函数y＝2x+3的图象与x轴的交点坐标是．16．（3分）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点O作直线EF分别与AB、DC相交于E、F两点，若AC＝10，BD＝4，则图中阴影部分的面积等于．17．（3分）给出一组数据10，12，10，x，8，若这组数据的众数和平均数相等，则中位数为．18．（3分）二次函数y＝x2+bx的图象如图，对称轴为x＝1．若关于x的一元二次方程x2+bx﹣2t＝0（t为实数）在﹣1＜x≤4的范围内有解，则t的取值范围是．三、解答题（共8小题，满分66分）19．（6分）计算：+|﹣2|﹣（）﹣2+（﹣1）0．20．（6分）为了调查学生每天零花钱情况，对我校初二学年某班50名同学每天零花钱情况进行了统计，并绘制成下面的统计图．（1）直接写出这50名同学零花钱数据的众数是；中位数是．（2）求这50名同学零花钱的平均数．（3）该校共有学生3100人，请你根据该班的零花钱情况，估计这个中学学生每天的零花钱不小于30元的人数．21．（8分）已知二次函数的图象如图所示．（1）求这个二次函数的表达式；（2）观察图象，当﹣2＜x≤1时，y的取值范围为；（3）将该二次函数图象向上平移个单位长度后恰好过点（﹣2，0）．22．（8分）如图，在▱ABCD中，AD＞AB，AE平分∠BAD，交BC于点E，过点E作EF∥AB交AD于点F．（1）求证：四边形ABEF是菱形；（2）若菱形ABEF的周长为16，∠EBA＝120°，求AE的大小．23．（9分）为响应国家全民阅读的号召，望月湖区鼓励居民到社区阅览室借阅读书，并统计每年的借阅人数和图书借阅总量（单位：本）．该阅览室在2017年图书借阅总量是7500本，2019年图书借阅总量是10800本．（1）求该社区的图书借阅总量从2017年至2019年的年平均增长率；（2）已知2019年该社区居民借阅图书人数有1350人，预计2020年达到1440人，如果2019至2020年图书借阅总量的增长率不低于2017至2019年的年平均增长率，那么2020年的人均借阅量比2019年增长a%，a的值至少是多少？24．（9分）某手机专营店，第一期进了甲种手机50部．售后统计，甲种手机的平均利润是160元/部．调研发现：甲种手机每增加1部，平均利润减少2元/部；该店计划第二期进货甲种手机比第一期增加x 部，（1）第二期甲种手机售完后的利润为8400元，那么甲种手机比第一期要增加多少部？（2）当x取何值时，第二期进的甲种手机售完后获得的利润W最大，最大利润是多少？25．（10分）某公司准备购进一批产品进行销售，该产品的进货单价为6元/个．根据市场调查，该产品的日销售量y（个）与销售单价x（元/个）之间满足一次函数关系．关于日销售量y（个）与销售单价x （元/个）的几组数据如表：（1）求出y与x之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）及m的值．（2）按照（1）中的销售规律，当销售单价定为17.5元/个时，日销售量为个，此时，获得日销售利润是．（3）为防范风险，该公司将日进货成本控制在900（含900元）以内，按照（1）中的销售规律，要使日销售利润最大，则销售单价应定为多少？并求出此时的最大利润．26．（10分）细图．抛物线y＝﹣x2+bx+c与y轴交于点A，与x轴正半轴交于点B，直线AB的解忻式是y＝﹣x+3，点C是第一象限内抛物线上的一点，过点C作x轴的眶线交直线AB于点D．过点C作x 轴的平行线交抛物线于点F，以CD，CF邻边作矩形CDEF．设矩形CDEF的周长为L，点C的横坐标为m．（1）求抛物线的解析式；（2）写出矩形CDEF的周长L与m的函数关系式；（3）当m为何值时，CE⊥DF？2019-2020学年湖南省长沙市岳麓区麓山国际实验学校九年级（上）开学数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）1．（3分）在以下数据75，80，85，90，80中，众数和中位数分别是（）A．75，80B．80，80C．80，85D．85，90【分析】根据众数、中位数的定义即可判断；【解答】解：数据75，80，80，85，90中，众数是80，中位数是80，故选：B．2．（3分）将一块长方形桌布铺在长为3m，宽为2m的长方形桌面上，各边下垂的长度相同，且桌布的面积是桌面面积的2倍，求桌布下垂的长度设桌布下垂的长度为xm，则所列的方程是（）A．（2x+3）（2x+2）＝2×3×2B．2（x+3）（x+2）＝3×2C．（x+3）（x+2）＝2×3×2D．2（2x+3）2x+2）＝3×2【分析】设桌布铺到桌面上时各边垂下的长度为xm，则用含x的代数式表示桌布的长为（3+2x）m，宽为（2+2x）m，依题意得（2x+3）（2x+2）＝2×3×2．【解答】解：设桌布铺到桌面上时各边垂下的长度为xm，则桌布的长为（3+2x）m，宽为（2+2x）m，依题意得（2x+3）（2x+2）＝2×3×2，故选：A．3．（3分）在某次射击训练中，甲、乙、丙、丁4人各射击10次，平均成绩相同，方差分别是S甲2＝0.35，S乙2＝0.15，S丙2＝0.25，S丁2＝0.27，这4人中成绩发挥最稳定的是（）A．甲B．乙C．丙D．丁【分析】方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好，据此判断出这4人中成绩发挥最稳定的是哪个即可．【解答】解：∵S甲2＝0.35，S乙2＝0.15，S丙2＝0.25，S丁2＝0.27，∴S乙2＜S丙2＜S丁2＜S甲2，∴这4人中成绩发挥最稳定的是乙．故选：B．4．（3分）关于x的一元二次方程x2+6x+2k＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（）A．k≤B．k≥C．k＜D．k＞【分析】根据判别式的意义得到△＝62﹣4×2k＞0，然后解不等式即可．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+6x+2k＝0有两个不相等的实数根，∴△＝b2﹣4ac＞0，即62﹣4×2k＞0，解得k＜，故选：C．5．（3分）下列命题是真命题的是（）A．对角线相等的平行四边形是矩形B．菱形的对角线相等C．对角线互相垂直的平行四边形是正方形D．四边都相等的四边形是矩形【分析】根据平行四边形的判定方法，矩形的判定方法，菱形的性质，正方形的判定方法进行判断．【解答】解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，故符合题意；B、菱形的对角线互相垂直，故不符合题意；C、对角线互相垂直相等的平行四边形是正方形，故不符合题意；D、四边都相等的四边形是菱形，故不符合题意；故选：A．6．（3分）如图，已知矩形ABCD，AB＝3，BC＝4，AE平分∠BAD交BC于点E，点F、G分别为AD、AE的中点，则FG＝（）A．B．C．2D．【分析】由矩形的性质和角平分线的性质可得AB＝BE＝3，可得EC＝1，由勾股定理可求DE＝，由三角形中位线定理可求GF的长．【解答】解：连接DE，∵四边形ABCD是矩形∴AB＝CD＝3，AD＝BC＝4，AD∥BC∴∠DAE＝∠AEB∵AE平分∠BAD∴∠DAE＝∠BAE∴∠BAE＝∠AEB∴AB＝BE＝3∴EC＝BC﹣BE＝1∴DE＝＝∵点F、G分别为AD、AE的中点，∴FG＝故选：B．7．（3分）在函数y＝中，自变量x的取值范围是（）A．x≥0B．x＞0且x≠3C．x≥0且x≠3D．x＞0【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x的范围．【解答】解：根据题意得：x≥0且x﹣3≠0，解得：x≥0且x≠3．故选：C．8．（3分）在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别是（0，3）、（﹣4，0），则原点到直线AB的距离是（）A．2B．2.4C．2.5D．3【分析】由△AOB是直角三角形，利用直角三角形面积相等，将O到AB的距离转化为直角三角形OAB 斜边上的高求解；【解答】解：∵点A、B的坐标分别是（0，3）、（﹣4，0），∴OA＝3，OB＝4，∴AB＝5，△AOB是直角三角形，∴O到AB的距离为＝；故选：B．9．（3分）爷爷在离家900米的公园锻炼后回家，离开公园20分钟后，爷爷停下来与朋友聊天10分钟，接着又走了15分钟回到家中．下面图形中表示爷爷离家的距离y（米）与爷爷离开公园的时间x（分）之间的函数关系是（）A．B．C．D．【分析】由题意，爷爷在公园回家，则当x＝0时，y＝900；从公园回家一共用了45分钟，则当x＝45时，y＝0；【解答】解：由题意，爷爷在公园回家，则当x＝0时，y＝900；从公园回家一共用了20+10+15＝45分钟，则当x＝45时，y＝0；结合选项可知答案B．故选：B．10．（3分）已知抛物线y＝x2﹣x﹣1与x轴的一个交点为（m，0），则代数式m2﹣m+2019的值为（）A．2018B．2019C．2020D．2021【分析】把（m，0）代入y＝x2﹣x﹣1得m2﹣m＝1，然后利用整体代入的方法计算m2﹣m+2019的值．【解答】解：把（m，0）代入y＝x2﹣x﹣1得m2﹣m﹣1＝0，所以m2﹣m＝1，所以m2﹣m+2019＝1+2019＝2020．故选：C．11．（3分）已知二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3a（a≠0），关于此函数的图象及性质，下列结论中不一定成立的是（）A．该图象的顶点坐标为（1，﹣4a）B．该图象在x轴上截得的线段的长为4C．若该图象经过点（﹣2，5），则一定经过点（4，5）D．当x＞1时，y随x的增大而增大【分析】根据二次函数的图象与性质即可求出答案．【解答】解：y＝a（x2﹣2x﹣3）＝a（x﹣3）（x+1）令y＝0，∴x＝3或x＝﹣1，∴抛物线与x轴的交点坐标为（3，0）与（﹣1，0），∴图象在x轴上截得的线段的长为4，故B成立；∴抛物线的对称轴为：x＝1，令x＝1代入y＝ax2﹣2ax﹣3a，∴y＝a﹣2a﹣3a＝﹣4a，∴顶点坐标为（1，﹣4a），故A成立；由于点（﹣2，5）与（4，5）关于直线x＝1对称，∴若该图象经过点（﹣2，5），则一定经过点（4，5），故C成立；当x＞1，a＞0时，y随着x的增大而增大，当x＞1，a＜0时，y随着x的增大而减少，故D不一定成立；故选：D．12．（3分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（﹣3，0），其对称轴为直线x＝﹣1，有下列结论：①abc＜0；②a﹣b﹣2c＞0；③关于x的方程ax2+（b﹣m）x+c＝m有两个不相等的实数根；④若P（﹣5，y1），Q（m，y2）是抛物线上两点，且y1＞y2，则实数m的取值范围是﹣5＜m＜3．其中正确结论的个数是（）A．1B．2C．3D．4【分析】由图象和已知可得a＞0，c＜0，b＝2a，c＝﹣3a；①abc＜0；②a﹣b﹣2c＝a﹣2a+6a＝5a＞0；③ax2+（b﹣m）x+c＝m，可化为ax2+（2a﹣m）x﹣3a﹣m＝0，则△＝（2a﹣m）2+4a（3a+m）＝16a2+m2＞0；④与P点y值相等的点为（3，y1），y1＞y2时有﹣5＜m＜3；【解答】解：有图可知a＞0，c＜0，对称轴为x＝﹣1，∴x＝﹣＝﹣1，∴b＝2a＞0；①abc＜0，正确；②y＝ax2+bx+c的图象经过点A（﹣3，0），∴9a﹣3b+c＝0，∴3a+c＝0，即c＝﹣3a，∴y＝ax2+2ax﹣3a，a﹣b﹣2c＝a﹣2a+6a＝5a＞0，②正确；③ax2+（b﹣m）x+c＝m，可化为ax2+（2a﹣m）x﹣3a＝m，∴ax2+（2a﹣m）x﹣3a﹣m＝0，△＝（2a﹣m）2+4a（3a+m）＝16a2+m2＞0，∴关于x的方程ax2+（b﹣m）x+c＝m有两个不相等的实数根；③正确；④P（﹣5，y1），Q（m，y2）是抛物线上两点，且y1＞y2，∴x＝﹣1是对称轴，∴与P点y值相等的点为（3，y1），∵y1＞y2，∴﹣5＜m＜3；④正确；故选：D．二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）13．（3分）已知m、n是关于x的方程x2+2x﹣1＝0的两个不相等的实数根，则m+n＝﹣2．【分析】由根与系数的关系求解即可．【解答】解：∵m、n是关于x的方程x2+2x﹣1＝0的两个不相等的实数根，∴m+n＝﹣2．故答案为﹣2．14．（3分）当直线y＝（2﹣2k）x+k﹣3经过第二、三、四象限时，则k的取值范围是1＜k＜3．【分析】根据一次函数y＝kx+b，k＜0，b＜0时图象经过第二、三、四象限，可得2﹣2k＜0，k﹣3＜0，即可求解；【解答】解：y＝（2﹣2k）x+k﹣3经过第二、三、四象限，∴2﹣2k＜0，k﹣3＜0，∴k＞1，k＜3，∴1＜k＜3；故答案为1＜k＜3；15．（3分）一次函数y＝2x+3的图象与x轴的交点坐标是（﹣，0）．【分析】令一次函数解析式中y＝0，则可得出关于x的一元一次方程，解方程得出x值，从而得出一次函数图象与x轴的交点坐标．【解答】解：令y＝2x+3中y＝0，则2x+3＝0，解得：x＝﹣．∴一次函数y＝﹣2x+3的图象与x轴的交点坐标为（﹣，0）．故答案为：（﹣，0）．16．（3分）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点O作直线EF分别与AB、DC相交于E、F两点，若AC＝10，BD＝4，则图中阴影部分的面积等于5．【分析】根据菱形的性质可证出△CFO≌△AEO，可将阴影部分面积转化为△AOB的面积，根据菱形的面积公式计算即可．【解答】解：∵四边形ADCB为菱形，∴OC＝OA，AB∥CD，∠FCO＝∠OAE，∵∠FOC＝∠AOE，△CFO≌△AEO（ASA），∴S△CFO＝S△AOE，∴S△CFO+S△EBO＝S△AOB，∴S△AOB＝S ABCD＝×AC•BD＝×10×4＝5，故答案为：5．17．（3分）给出一组数据10，12，10，x，8，若这组数据的众数和平均数相等，则中位数为10．【分析】根据题意先确定x的值，再根据定义求解．【解答】解：当x＝8时，有两个众数，而平均数只有一个，不合题意舍去．当众数为10，根据题意得＝10，解得x＝10，将这组数据从小到大的顺序排列8，10，10，10，12，处于中间位置的是10，所以这组数据的中位数是10．故答案为：10．18．（3分）二次函数y＝x2+bx的图象如图，对称轴为x＝1．若关于x的一元二次方程x2+bx﹣2t＝0（t为实数）在﹣1＜x≤4的范围内有解，则t的取值范围是﹣0.5≤t≤4．【分析】一元二次方程x2+bx﹣2t＝0（t为实数）在﹣1＜x≤4的范围内有解，即直线y＝2t与二次函数y＝x2+bx，在这个范围内由交点，则：y＝2t在顶点和x＝4时之间时，两个函数有交点，即可求解．【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，解得b＝﹣2，∴抛物线解析式为y＝x2﹣2x，顶点坐标为（1，﹣1），当x＝﹣1时，y＝3，当x＝4时，y＝8，∵一元二次方程x2+bx﹣2t＝0（t为实数）在﹣1＜x≤4的范围内有解，∴直线y＝2t与二次函数y＝x2+bx在﹣1＜x≤4范围内有交点，∴﹣1≤2t≤8，∴﹣0.5≤t≤4．故答案为：﹣0.5≤t≤4．三、解答题（共8小题，满分66分）19．（6分）计算：+|﹣2|﹣（）﹣2+（﹣1）0．【分析】原式利用二次根式性质，绝对值的代数意义，零指数幂、负整数指数幂法则计算即可求出值．【解答】解：原式＝2+2﹣﹣4+1＝﹣1．20．（6分）为了调查学生每天零花钱情况，对我校初二学年某班50名同学每天零花钱情况进行了统计，并绘制成下面的统计图．（1）直接写出这50名同学零花钱数据的众数是20元；中位数是20元．（2）求这50名同学零花钱的平均数．（3）该校共有学生3100人，请你根据该班的零花钱情况，估计这个中学学生每天的零花钱不小于30元的人数．【分析】（1）根据条形统计图中的数据可以得到这组数据的众数和中位数；（2）根据统计图中的数据可以求得这50名同学零花钱的平均数；（3）根据题意可以求得这个中学学生每天的零花钱不小于30元的人数．【解答】解：（1）由统计图可得，这50名同学零花钱数据的众数是20元，中位数是20元，故答案为：20元，20元；（2）＝18（元），答：这50名同学零花钱的平均数是18元；（3）3100×＝620（人），答：这个中学学生每天的零花钱不小于30元的有620人．21．（8分）已知二次函数的图象如图所示．（1）求这个二次函数的表达式；（2）观察图象，当﹣2＜x≤1时，y的取值范围为﹣4≤y≤0；（3）将该二次函数图象向上平移3个单位长度后恰好过点（﹣2，0）．【分析】（1）设顶点式y＝a（x+1）2﹣4，然后把（1，0）代入得求出a即可；（2）计算自变量为﹣2、1对应的函数值，然后利用函数图象写出对应的函数值的范围；（3）设二次函数图象向上平移k（k＞0）个单位长度后恰好过点（﹣2，0）．设平移后抛物线解析式可设为y＝（x+1）2﹣4+k，然后把（﹣2，0）代入求出k即可．【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y＝a（x+1）2﹣4，把（1，0）代入得4a﹣4＝0，解得a＝1，所以抛物线的解析式为y＝（x+1）2﹣4；（2）当x＝﹣2时，y＝（﹣2+1）2﹣4＝﹣3；当x＝1时，y＝0；所以当﹣2＜x≤1时，y的取值范围为﹣4≤y≤0；（3）设二次函数图象向上平移k（k＞0）个单位长度后恰好过点（﹣2，0）．则抛物线解析式可设为y＝（x+1）2﹣4+k，把（﹣2，0）代入得（﹣2+1）2﹣4+k＝0，解得k＝3，即将该二次函数图象向上平移3个单位长度后恰好过点（﹣2，0）．故答案为﹣4≤y≤0；3．22．（8分）如图，在▱ABCD中，AD＞AB，AE平分∠BAD，交BC于点E，过点E作EF∥AB交AD于点F．（1）求证：四边形ABEF是菱形；（2）若菱形ABEF的周长为16，∠EBA＝120°，求AE的大小．【分析】（1）由题意可得四边形ABEF是平行四边形，由AE平分∠BAD，可得AB＝BE，则结论可得（2）：连接BF交AE于点O；则BF⊥AE于点O．由题意可得AB＝4，∠AOB＝90°，∠BAE＝30°，可得AO的长即可求AE的长．【解答】（1）证明：∵▱ABCD∴BC∥AD，即BE∥AF∵EF∥AB∴四边形ABEF为平行四边形∵AE平分∠BAF∴∠EAB＝∠EAF∵BC∥AD∴∠BEA＝∠EAF∴∠BEA＝∠BAE∴AB＝BE∴四边形ABEF是菱形（2）解：连接BF交AE于点O；则BF⊥AE于点O∵BA＝BE，∠EBA＝120°∴∠BEA＝∠BAE＝30°∵菱形ABEF的周长为16∴AB＝4在Rt△ABO中∠BAO＝30°∴由勾股定理可得：AO＝∴AE＝23．（9分）为响应国家全民阅读的号召，望月湖区鼓励居民到社区阅览室借阅读书，并统计每年的借阅人数和图书借阅总量（单位：本）．该阅览室在2017年图书借阅总量是7500本，2019年图书借阅总量是10800本．（1）求该社区的图书借阅总量从2017年至2019年的年平均增长率；（2）已知2019年该社区居民借阅图书人数有1350人，预计2020年达到1440人，如果2019至2020年图书借阅总量的增长率不低于2017至2019年的年平均增长率，那么2020年的人均借阅量比2019年增长a%，a的值至少是多少？【分析】（1）设该社区的图书借阅总量从2017年至2019年的年平均增长率为x，根据该社区2017年及2019年的图书借阅总量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；（2）根据2020年的借阅总量＝2019年的人均借阅量×（1+增长率）×2020年借阅图书人数结合2019至2020年图书借阅总量的增长率不低于2017至2019年的年平均增长率，即可得出关于a的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．【解答】解：（1）设该社区的图书借阅总量从2017年至2019年的年平均增长率为x，依题意，得：7500（1+x）2＝10800，解得：x1＝0.2＝20%，x1＝﹣2.2（舍去）．答：该社区的图书借阅总量从2017年至2019年的年平均增长率为20%．（2）依题意，得：×（1+a%）×1440≥10800×（1+20%），解得：a≥12.5．答：a的值至少是12.5．24．（9分）某手机专营店，第一期进了甲种手机50部．售后统计，甲种手机的平均利润是160元/部．调研发现：甲种手机每增加1部，平均利润减少2元/部；该店计划第二期进货甲种手机比第一期增加x 部，（1）第二期甲种手机售完后的利润为8400元，那么甲种手机比第一期要增加多少部？（2）当x取何值时，第二期进的甲种手机售完后获得的利润W最大，最大利润是多少？【分析】（1）甲种手机利润＝销售甲种手机的数量×每件甲种手机的利润，根据这个关系即可列出方程；（2）表示出第二期进的甲种手机售完后获得的总利润，根据二次函数，即可求出最大利润．【解答】解：（1）根据题意，（50+x）（160﹣2x）＝8400，解得x1＝10，x2＝20，因为增加10件和增加20件品牌手机的利润是相同的，为了减少成本故第二期甲种手机售完后的利润为8400元，甲种手机应该增加10部；（2）W＝（50+x）（160﹣2x）＝﹣2（x﹣15）2+8450，当x取15时，第二期进的甲手机售完后获得的总利润W最大，最大总利润是8450元．25．（10分）某公司准备购进一批产品进行销售，该产品的进货单价为6元/个．根据市场调查，该产品的日销售量y（个）与销售单价x（元/个）之间满足一次函数关系．关于日销售量y（个）与销售单价x （元/个）的几组数据如表：（1）求出y与x之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）及m的值．（2）按照（1）中的销售规律，当销售单价定为17.5元/个时，日销售量为75个，此时，获得日销售利润是862.5．（3）为防范风险，该公司将日进货成本控制在900（含900元）以内，按照（1）中的销售规律，要使日销售利润最大，则销售单价应定为多少？并求出此时的最大利润．【分析】（1）观察可得该函数图象是一次函数，设出一次函数解析式，把其中两点代入即可求得该函数解析式，代入x＝16求得m的值即可；（2）把x＝17.5代入y＝﹣30x+600，可求日销售量，日销售利润＝每个商品的利润×日销售量，依此计算即可；（3）根据进货成本可得自变量的取值，根据销售利润＝每个商品的利润×销售量，结合二次函数的关系式即可求得相应的最大利润．【解答】解：（1）y是x的一次函数，设y＝kx+b，图象过点（10，300），（12，240），，解得：，∴y＝﹣30x+600，当x＝16时，m＝120；∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣30x+600，m的值为120；（2）﹣30×17.5+600＝75（个）；（17.5﹣6）×75＝862.5（元）．故日销售量为75个，获得日销售利润是862.5元；故答案为：75，862.5；（3）由题意得：6（﹣30x+600）≤900，解得x≥15．w＝（x﹣6）（﹣30x+600）＝﹣30x2+780x﹣3600，即w与x之间的函数关系式为w＝﹣30x2+780x﹣3600，w＝﹣30x2+780x﹣3600的对称轴为：x＝﹣＝13，∵a＝﹣30＜0，∴抛物线开口向下，当x≥15时，w随x增大而减小，∴当x＝15时，w最大＝1350，即以15元/个的价格销售这批许愿瓶可获得最大利润1350元．26．（10分）细图．抛物线y＝﹣x2+bx+c与y轴交于点A，与x轴正半轴交于点B，直线AB的解忻式是y＝﹣x+3，点C是第一象限内抛物线上的一点，过点C作x轴的眶线交直线AB于点D．过点C作x 轴的平行线交抛物线于点F，以CD，CF邻边作矩形CDEF．设矩形CDEF的周长为L，点C的横坐标为m．（1）求抛物线的解析式；（2）写出矩形CDEF的周长L与m的函数关系式；（3）当m为何值时，CE⊥DF？【分析】（1）易得A（0，3），解方程﹣x+3＝0得B（6，0），再把A、B点的坐标代入y＝﹣x2+bx+c 得b、c的方程组，然后解方程组即可得到抛物线解析式；（2）设C（m，﹣m2+m+3）（0＜m＜6），则D（m，﹣m+3），则CD＝﹣m2+m，利用抛物线的对称性得点C、点F为抛物线上的对称点，接着求出抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝2，当0＜m＜2，CF＝2（2﹣m）＝4﹣2m，从而得到L＝2（CD+CF）＝﹣m2﹣m+8（0＜m＜2）；当2＜m＜6，则CF ＝2（m﹣2）＝2m﹣4，从而得到L＝2（CD+CF＝﹣m2+7m﹣8（2＜m＜6）；（3）根据正方形的判定，当CD＝CF时，矩形CDEF为正方形，则利用正方形的性质得CE⊥DF，即﹣m2+m＝4﹣2m或﹣m2+m＝2m﹣4，然后解关于m的方程即可．【解答】解：（1）当x＝0时，y＝﹣x+3＝3，则A（0，3），当y＝0，﹣x+3＝0，解得x＝6，则B（6，0），把A（0，3），B（6，0）代入y＝﹣x2+bx+c得，解得，∴抛物线解析式为y＝﹣x2+x+3；（2）抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝2，设C（m，﹣m2+m+3），则D（m，﹣m+3），∴CD＝﹣m2+m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+m，∵CF∥x轴，∴点C、点F为抛物线上的对称点，当0＜m＜2，CF＝2（2﹣m）＝4﹣2m；∴L＝2（CD+CF）＝2（﹣m2+m+4﹣2m）＝﹣m2﹣m+8（0＜m＜2）；当2＜m＜6，CF＝2（m﹣2）＝2m﹣4；∴L＝2（CD+CF）＝2（﹣m2+m+2m﹣4）＝﹣m2+7m﹣8（2＜m＜6）；（3）当0＜m＜2，当CD＝CF时，矩形CDEF为正方形，则CE⊥DF，即﹣m2+m＝4﹣2m，整理得m2﹣14m+16＝0，解得m1＝7+（舍去），m2＝7﹣∴m的值为7﹣．当2＜m＜6时，﹣m2+m＝2m﹣4，解得m1＝﹣1﹣（舍去），m2＝1+．综上所述，m的值为﹣1+或7﹣．。
2021-2022学年湖南省长沙市岳麓区麓山国际实验学校九年级(上)入学数学试卷及答案解析
2021-2022学年长沙市岳麓区麓山国际实验学校九年级（上）入学数学试卷一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分）1．（3分）下列是一元二次方程的是（）A．﹣5x+2＝1B．2x2﹣y+1＝0C．x2+2x＝0D．x2﹣＝0 2．（3分）7位评委给一个演讲者打分（满分10分）如下：9，8，9，10，10，7，9，若去掉一个最高分和一个最低分，这名演讲者的最后平均得分是（）A．7分B．8分C．9分D．10分3．（3分）已知一次函数y＝kx+b，函数值y随自变量x的增大而减小，且kb＜0，则函数y ＝kx+b的图象大致是（）A．B．C．D．4．（3分）一组数据3，3，4，2，8的中位数和众数分别是（）A．3，3B．3，4C．4，3D．4，45．（3分）将抛物线y＝5x2先向左平移2个单位，再向上平移3个单位后得到新的抛物线，则新抛物线的表达式是（）A．y＝5（x﹣2）2+3B．y＝5（x+2）2+3C．y＝5（x﹣2）2﹣3D．y＝5（x+2）2﹣36．（3分）某校七年级学生的平均年龄为13岁，年龄的方差为3，若学生人数没有变动，则两年后的同一批学生，对其年龄的说法正确的是（）A．平均年龄为13岁，方差改变B．平均年龄为15岁，方差不变C．平均年龄为15岁，方差改变D．平均年龄为13岁，方差不变7．（3分）关于正比例函数y＝﹣2x的下列结论中，正确的是（）A．它的图象经过点（﹣1，﹣2）B．y随x的增大而增大C．它的图象经过原点（0，0）D．不论x取何值，总有y＜08．（3分）一元二次方程x2+kx﹣4＝0的一个根是x＝﹣1，则另一个根是（）A．4B．﹣1C．﹣3D．﹣29．（3分）用配方法解一元二次方程2x2﹣4x＝1，配方后的结果是（）A．（x﹣1）2＝B．（2x﹣1）2＝0C．2（x﹣1）2＝1D．（x+2）2＝10．（3分）在某篮球邀请赛中，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共比赛36场．设有x 个队参赛，根据题意，可列方程为（）A．x（x﹣1）＝36B．x（x+1）＝36C．x（x﹣1）＝36D．x（x+1）＝3611．（3分）已知m＞0，关于x的一元二次方程（x+1）（x﹣2）﹣m＝0的解为x1，x2（x1＜x2），则下列结论正确的是（）A．x1＜﹣1＜2＜x2B．﹣1＜x1＜2＜x2C．﹣1＜x1＜x2＜2D．x1＜﹣1＜x2＜2 12．（3分）二次函数y＝﹣（x﹣1）2+5，当m≤x≤n且mn＜0时，y的最小值为5m，最大值为5n，则m+n的值为（）A．0B．﹣1C．﹣2D．﹣3二、填空题（共6小题，每题3分，共18分）13．（3分）在函数y＝中，自变量x的取值范围是．14．（3分）1，2，3，4，5的方差为．15．（3分）已知x1，x2是一元二次方程x2﹣4x﹣7＝0的两个实数根，则x12+3x1x2+x22的值是．16．（3分）若函数y＝，则当函数值y＝8时，自变量x的值等于．17．（3分）一次函数y＝ax+b与正比例函数y＝kx在同一平面直角坐标系的图象如图所示，则关于x的不等式ax+b≥kx的解集为．18．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数且a≠0）中的x与y的部分对应值如表：x﹣1013y﹣1353给出了结论：①二次函数y＝ax2+bx+c有最大值，最大值为5；②ac＜0；③x＞1时，y的值随x值的增大而减小；④3是方程ax2+（b﹣1）x+c＝0的一个根；⑤当﹣1＜x＜3时，ax2+（b﹣1）x+c＞0，则其中正确结论是．三、解答题（共66分）19．（8分）选择适当方法解一元二次方程：（1）（x﹣5）2﹣36＝0；（2）2x2+4x﹣5＝0．20．（6分）已知：y与x+2成正比例，且x＝﹣4时，y＝﹣2．（1）求y与x之间的函数表达式；（2）点P1（m，y1），P2（m﹣2，y2）在（1）中所得函数图象上，比较y1与y2的大小．21．（8分）2021年是中国共产党建党100周年，某校开展了全校教师学习党史活动并进行了党史知识竞赛，从七、八年级中各随机抽取了20名教师，统计这部分教师的竞赛成绩（竞赛成绩均为整数，满分为10分，9分及以上为优秀）．相关数据统计、整理如下：抽取七年级教师的竞赛成绩（单位：分）：6，7，7，8，8，8，8，8，8，8，8，9，9，9，9，10，10，10，10，10．七八年级教师竞赛成绩统计表年级七年级八年级平均数8.58.5中位数a9众数8b优秀率45%55%根据以上信息，解答下列问题：（1）填空：a＝，b＝；（2）估计该校七年级120名教师中竞赛成绩达到8分及以上的人数；（3）根据以上数据分析，从一个方面评价两个年级教师学习党史的竞赛成绩谁更优异．22．（8分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象顶点坐标为（1，4），且经过点C（3，0）．（1）求该二次函数的解析式；（2）当x取何值时，y随x的增大而减小？（3）当y≤﹣x+3时，直接写出x的取值范围．23．（8分）中秋节前夕，某代理商从厂家购进某品牌月饼的A、B两种礼盒，已知购进A 种月饼3盒、B种月饼2盒共650元，购进4盒A种月饼比购进3盒B种多用300元．（1）求A、B两种月饼礼盒的进价；（2）若该代理商购进该品牌的这两种礼盒月饼资金不超过8600元，购进盒数共70盒，销售时，销售一盒A种礼盒月饼可获利100元，销售一盒B种礼盒月饼可获利80元，并全部售完，请求出获利最多的进货方案以及最大利润．24．（8分）某水晶厂生产的水晶工艺品非常畅销，某网店专门销售这种工艺品．成本为30元/件，每天销售y（件）与销售单价x（元）之间存在一次函数关系如图所示．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）如果规定每天工艺品的销售量不低于240件，当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？（3）该网店店主热心公益事业，决定从每天的销售利润中捐出150元给希望工程，为了保证捐款后每天剩余利润不低于3600元，试确定该工艺品销售单价的范围．25．（10分）对于某一函数给出如下定义：若存在实数p，当其自变量的值为p时，其函数值等于p，则称p为这个函数的不变值．在函数存在不变值时，该函数的最大不变值与最小不变值之差q称为这个函数的不变长度．特别地，当函数只有一个不变值时，其不变长度q为零．例如，图中的函数有0，1两个不变值，其不变长度q等于1．（1）分别判断函数y＝x﹣1，y＝x2﹣2有没有不变值？如果有，请写出其不变长度；（2）函数y＝x2﹣bx﹣1且﹣2≤b≤3，求其不变长度q的取值范围；（3）记函数y＝x2﹣4x（x≥m）的图象为G1，将G1沿x＝m翻折后得到的函数图象记为G2，函数G的图象由G1和G2两部分组成，若其不变长度q满足0≤q≤5，求m的取值范围．26．（10分）如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣2与x轴交于A（﹣2，0）、B（1，0）两点，与y轴交于点C．（1）试求抛物线的解析式；（2）作直线AC，点E为线段AC上一动点，过点E作DE⊥AC，交抛物线于点D，交y 轴于点F，请问在点E的移动过程中DE是否存在最大值，如果有，求出此时点D的坐标，如果没有，请说明理由；（3）在（2）的条件下，点N是x轴上的一个动点，点M是坐标平面内的一点，是否存在这样的点N，使得以D、F、M、N四点组成的四边形是矩形？如果存在，请求出点N 的坐标；如果不存在，请说明理由．2021-2022学年长沙市岳麓区麓山国际实验学校九年级（上）入学数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分）1．【分析】根据一元二次方程的定义逐一判断即可．【解答】解：A、含有一个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；B、含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；C、是一元二次方程，故此选项符合题意；D、含有分式，不是一元二次方程，故此选项不符合题意．故选：C．【点评】此题主要考查了一元二次方程定义，关键是掌握判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．2．【分析】去掉一个最高分和一个最低分，该选手的有效分数为5个评委给出，计算5个人的平均分即可．【解答】解：去掉一个最高分10分，去掉一个最低分7分，＝×（9+8+9+10+9）＝9分．故选：C．【点评】本题考查了算术平均数，熟记公式是解决本题的关键．3．【分析】根据一次函数的性质得到k＜0，而kb＜0，则b＞0，所以一次函数y＝kx+b的图象经过第二、四象限，与y轴的交点在x轴上方．【解答】解：∵一次函数y＝kx+b，y随着x的增大而减小，∴k＜0，∴一次函数y＝kx+b的图象经过第二、四象限；∵kb＜0，∴b＞0，∴图象与y轴的交点在x轴上方，∴一次函数y＝kx+b的图象经过第一、二、四象限．故选：C．【点评】本题考查了一次函数的图象：一次函数y＝kx+b（k、b为常数，k≠0）是一条直线，当k＞0，图象经过第一、三象限，y随x的增大而增大；当k＜0，图象经过第二、四象限，y随x的增大而减小；图象与y轴的交点坐标为（0，b）．4．【分析】根据中位数和众数的定义分别进行解答即可．【解答】解：把这组数据从小到大排列：2、3、3、4、8，最中间的数是3，则这组数据的中位数是3；3出现了2次，出现的次数最多，则众数是3；故选：A．【点评】此题考查了中位数和众数，将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）叫做这组数据的中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数．5．【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律，即可得出平移后抛物线的解析式．【解答】解：抛物线y＝5x2先向左平移2个单位得到解析式：y＝5（x+2）2，再向上平移3个单位得到抛物线的解析式为：y＝5（x+2）2+3．故选：B．【点评】此题考查了二次函数图象与几何变换，掌握抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减是解题的关键．6．【分析】根据两年后的同一批学生的年龄均增加2岁，其年龄的波动幅度不变知平均年龄为15岁，方差不变．【解答】解：两年后的同一批学生的年龄均增加2岁，其年龄的波动幅度不变，所以平均年龄为15岁，方差不变，故选：B．【点评】本题主要考查平均数与方差，解题的关键是掌握平均数和方程的意义．7．【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征及正比例函数的性质，逐一分析四个选项的正误，此题得解．【解答】解：A、当x＝﹣1时，y＝﹣2×（﹣1）＝2，∴正比例函数y＝﹣2x的图象经过点（﹣1，2），选项A不符合题意；B、∵k＝﹣2＜0，∴y随x的增大而减小，选项B不符合题意；C、当x＝0时，y＝﹣2×0＝0，∴正比例函数y＝﹣2x的图象经过原点（0，0），选项C符合题意；D、∵正比例函数y＝﹣2x的图象经过原点（0，0），且y随x的增大而减小，∴当x＜0时，y＞0，选项D不符合题意．故选：C．【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及正比例函数的性质，逐一分析四个选项的正误是解题的关键．8．【分析】设方程的另一个根为m，由根与系数的关系即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论．【解答】解：设方程的另一个根为m，则有m×（﹣1）＝﹣4，解得：m＝4．故选：A．【点评】本题考查了根与系数的关系以及解一元一次方程，牢记两根之积等于是解题的关键．9．【分析】将二次项系数化为1，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可．【解答】解：∵2x2﹣4x＝1，∴x2﹣2x＝，则x2﹣2x+1＝+1，即（x﹣1）2＝，故选：A．【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．10．【分析】关系式为：球队总数×每支球队需赛的场数÷2＝36，把相关数值代入即可．【解答】解：设有x个队参赛，根据题意，可列方程为：x（x﹣1）＝36，故选：A．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解决本题的关键是得到比赛总场数的等量关系，注意2队之间的比赛只有1场，最后的总场数应除以2．11．【分析】可以将关于x的方程（x+1）（x﹣2）﹣m＝0的解为x1，x2看作直线y＝m与二次函数y＝（x+1）（x﹣2）交点的横坐标，而与x轴交点坐标可以通过二次函数的关系式求得，结合图象可以求出x1与x2的取值范围，进而做出判断．【解答】解：二次函数y＝（x+1）（x﹣2）的图象如图所示：它与x轴的交点坐标为（﹣1，0），（2，0），关于x的一元二次方程（x+1）（x﹣2）﹣m＝0的解为x1，x2，可以看作是直线y＝m（m ＞0）与二次函数y＝（x+1）（x﹣2）交点的横坐标，由图象可知x1＜﹣1，x2＞2；∴x1＜﹣1＜2＜x2，故选：A．【点评】理清一元二次方程与二次函数的关系，将x的方程（x+1）（x﹣2）﹣m＝0的解为x1，x2的问题转化为二次函数m＝（x+1）（x﹣2）与x轴交点的横坐标，借助图象得出答案．12．【分析】条件m≤x≤n和mn＜0可得m＜0，n＞0，所以y的最小值为5m为负数，最大值为5n为正数．最大值为5n分两种情况，（1）结合抛物线顶点纵坐标的取值范围，求出n＝1，结合图象最小值只能由x＝m时求出．（2）结合抛物线顶点纵坐标的取值范围，图象最大值只能由x＝n求出，最小值只能由x＝m求出．【解答】解：二次函数y＝﹣（x﹣1）2+5的大致图象如下：．①当m＜0≤x≤n＜1时，当x＝m时y取最小值，即5m＝﹣（m﹣1）2+5，解得：m＝﹣4或m＝1（舍去）．当x＝n时y取最大值，即5n＝﹣（n﹣1）2+5，解得：n＝﹣4或n＝1（均不合题意，舍去）；②当m＜0≤x≤1≤n时，当x＝m时y取最小值，即5m＝﹣（m﹣1）2+5，解得：m＝﹣4或m＝1（舍去）．当x＝1时y取最大值，即5n＝﹣（1﹣1）2+5，解得：n＝1，或x＝n时y取最小值，x＝1时y取最大值，5m＝﹣（n﹣1）2+5，n＝1，∴m＝1，∵m＜0，∴此种情形不合题意，所以m+n＝﹣4+1＝﹣3．故选：D．【点评】本题考查了二次函数的最值问题，二次函数的增减性，根据函数解析式求出对称轴解析式是解题的关键．二、填空题（共6小题，每题3分，共18分）13．【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0解答．【解答】解：由题意得，1+x≥0且x+2≠0，解得x≥﹣1且x≠﹣2，所以，x≥﹣1．故答案为：x≥﹣1．【点评】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．14．【分析】先计算出数据的平均数，然后根据方差公式S2＝[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x n﹣）2]计算即可．【解答】解：因为平均数＝×（1+2+3+4+5）＝3，所以S2＝×[（1﹣3）2+（2﹣3）2+（3﹣3）2+（4﹣3）2+（5﹣3）2]＝2．故答案为：2．【点评】本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的计算公式．15．【分析】先根据根与系数的关系得到x1+x2＝4，x1x2＝﹣7，然后利用整体代入的方法计算．【解答】解：根据题意得x1+x2＝4，x1x2＝﹣7，所以x12+3x1x2+x22＝（x1+x2）2+x1x2＝16﹣7＝9．故答案为：9．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1•x2＝．16．【分析】因为不知道x的取值范围，所以需要讨论，①x≤2，②x＞2，从而在两种情况下分别求出符合条件的x的值．【解答】解：①当x≤2时，x2+1＝8，解得：x＝﹣；②当x＞2时，2x＝8，解得：x＝4．故答案为：4或﹣．【点评】本题考查函数值的知识，属于基础题，解答此类题目的关键是讨论x的取值范围，避免漏解．17．【分析】当x≥﹣1时，y＝kx的函数图象在y＝ax+b的下方，从而可得到不等式的解集．【解答】解：从图象可看出当x≥﹣1，直线l2的图象在直线l1的上方，不等式ax+b＞kx．故答案为：x≥﹣1．【点评】本题考查一次函数与一元一次不等式的关系，通过图象求解，当图象在上方时大于，在下方时小于．18．【分析】先利用待定系数法求出二次函数y＝ax2+bx+c的解析式，再化为顶点式，则可对①②进行判断；根据二次函数的性质可对③进行判断；根据一元二次方程解的定义对④进行判断；先解方程﹣x2+2x+3＝0得抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴的交点坐标为（﹣1，0），（3，0），然后利用抛物线在x轴上方对应的自变量的范围可对⑤进行判断．【解答】解：把（0，3），（1，5），（﹣1，﹣1）代入y＝ax2+bx+c得，解得∴抛物线解析式为y＝﹣x2+3x+3，∵y＝﹣（x﹣）2+，∴当x＝时，y有最大值，所以①错误；∵a＝﹣1，b＝3，∴ac＝﹣3＜0，所以②正确；∵抛物线开口向下，对称轴为直线x＝，∴当x＞时，y的值随x值的增大而减小，所以③错误；当x＝3时，ax2+（b﹣1）x+c＝﹣1×9+（3﹣1）×3+3＝0，即3是方程ax2+（b﹣1）x+c＝0的一个根，所以④正确；二次函数y＝ax2+（b﹣1）x+c＝﹣x2+2x+3，解方程﹣x2+2x+3＝0得x1＝﹣1，x2＝3，∴抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴的交点坐标为（﹣1，0），（3，0），∴当﹣1＜x＜3时，﹣x2+2x+3＞0，所以⑤正确．故答案为②④⑤．【点评】本题考查了二次函数与不等式（组）：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）与不等式的关系，函数值y与某个数值m之间的不等关系，一般要转化成关于x的不等式，解不等式求得自变量x的取值范围，或利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，也可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解．也考查了二次函数的性质．三、解答题（共66分）19．【分析】（1）因式分解法求解．（2）用公式法解方程．【解答】解：（1）原方程化为：（x﹣5）2＝62．∴x﹣5＝±＝±6．∴x1＝﹣1或x2＝11．（2）∵a＝2，b＝4，c＝﹣5．△＝42﹣4×2×（﹣5）＝56．由求根公式x＝得：x＝．∴x1＝或x2＝．【点评】本题考查一元二次方程的解法，根据方程特征选择适当的解法是求解本题的关键．20．【分析】（1）设y＝k（x+2）（k≠0），把x＝﹣4，y＝﹣2代入求出k即可；（2）根据一次函数的性质比较大小即可．【解答】解：（1）设y＝k（x+2）（k为常数，k≠0），把x＝﹣4，y＝﹣2代入得：﹣2＝k（﹣4+2），解得：k＝1，即y＝x+2，所以y与x之间的函数表达式是y＝x+2；（2）∵y＝x+2中k＝1＞0，∴y随x增大而增大，∵m＞m﹣2，∴y1＞y2．【点评】本题考查了一次函数的性质，一次函图象上点的坐标特征和用待定系数法求函数的解析式等知识点，能求出一次函数的解析式是解此题的关键．21．【分析】（1）根据中位数定义、众数的定义即可找到a、b的值．（2）计算出成绩达到8分及以上的人数的频率即可求解．（3）根据优秀率进行评价即可．【解答】解：（1）∵七年级教师的竞赛成绩：6，7，7，8，8，8，8，8，8，8，8，9，9，9，9，10，10，10，10，10．∴中位数a＝8．根据扇形统计图可知D类是最多的，故b＝9．故答案为：8；9．（2）该校七年级120名教师中竞赛成绩达到8分及以上的人数估计为＝102（人）．（3）根据表中可得，七八年级的优秀率分别是：45%、55%．故八年级的教师学习党史的竞赛成绩更优异．【点评】本题考查中位数、众数定义、用样本去估算总体．关键在于从图中获取信息，结合中位数、众数进行作答．22．【分析】（1）由于已知抛物线顶点坐标，则可设顶点式y＝a（x﹣1）2+4，然后把（3，0）代入求出a的值即可；（2）根据二次函数的性质，当开口向下时，在对称轴右侧y随x的增大而减小，即x＞1；然后利用抛物线与x轴的交点问题求出抛物线与x轴的交点坐标，再找出函数图象在x 轴上方所对应的自变量的取值范围即可；（3）易证得抛物线与直线y＝﹣x+3的交点为（0，3）和（3，0），根据解得坐标，结合二次函数的性质即可求得．【解答】解：（1）设y＝a（x﹣1）2+4，将C（3，0）代入得4a+4＝0，解得a＝﹣1，∴二次函数的解析式为y＝﹣（x﹣1）2+4；（2）∵a＝﹣1＜0，∴在对称轴的右边y随x的增大而减小∴当x≥1时y随x的增大而减小（3）抛物线y＝﹣（x﹣1）2+4中，令x＝0，则y＝3，∴抛物线经过点（0，3），由直线y＝﹣x+3可知，直线经过（3，0），（0，3）点，∴抛物线与直线y＝﹣x+3的交点为（3，0），（0，3），∵a＝﹣1＜0，∴开口向下，∴当y≤﹣x+3时，x的取值范围是x≤0或x≥3．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．也考查了二次函数的性质．23．【分析】（1）设A种月饼礼盒的进价是x元，B种月饼礼盒的进价是y元，根据“购进A种月饼3盒、B种月饼2盒共650元，购进4盒A种月饼比购进3盒B种多用300元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设购进A种月饼礼盒m盒，则购进B种月饼礼盒（70﹣m）盒，根据“购进该品牌的这两种礼盒月饼资金不超过8600元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，且m为正整数，设销售利润为w元，根据销售利润＝每盒的利润×销售数量，即可得出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质即可解决最值问题．【解答】解：（1）设A种月饼礼盒的进价是x元，B种月饼礼盒的进价是y元，依题意，得：，解得：．答：A种月饼礼盒的进价是150元，B种月饼礼盒的进价是100元．（2）设购进A种月饼礼盒m盒，则购进B种月饼礼盒（70﹣m）盒，依题意，得：150m+100（70﹣m）≤8600，解得：m≤32，且m为正整数，设销售利润为w元，则w＝100m+80（70﹣m）＝20m+5600，∵20＞0，∴w随m的增大而增大，∴当m＝32时，w取得最大值，最大值＝20×32+5600＝6240，此时70﹣m＝38．即购进A种月饼礼盒32盒，B种月饼礼盒38盒时，获得的利润最大，最大利润为6240元．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的性质，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出利润关于购进A种月饼盒数的函数关系式以及一元一次不等式．24．【分析】（1）可用待定系数法来确定y与x之间的函数关系式；（2）根据利润＝销售量×单件的利润，然后将（1）中的函数式代入其中，求出利润和销售单件之间的关系式，然后根据其性质来判断出最大利润；（3）首先得出w﹣150与x的函数关系式，进而利用所获利润等于3600元时，对应x的值，根据增减性，求出x的取值范围．【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式：y＝kx+b，由题意得：，解得：．∴y与x之间的函数关系式为：y＝﹣10x+700；（2）由题意，得﹣10x+700≥240，解得x≤46．设利润为w＝（x﹣30）•y＝（x﹣30）（﹣10x+700）＝﹣10x2+1000x﹣21000＝﹣10（x﹣50）2+4000，∵﹣10＜0，∴x＜50时，w随x的增大而增大，＝﹣10（46﹣50）2+4000＝3840，∴x＝46时，w大答：当销售单价为46元时，每天获取的利润最大，最大利润是3840元；（3）w﹣150＝﹣10x2+1000x﹣21000﹣150＝3600，﹣10（x﹣50）2＝﹣250，解得：x1＝55，x2＝45，∵a＝﹣10＜0，∴当45≤x≤55时，捐款后每天剩余利润不低于3600元．【点评】此题主要考查了二次函数的应用、一次函数的应用和一元二次方程的应用，利用函数增减性得出最值是解题关键，能从实际问题中抽象出二次函数模型是解答本题的重点和难点．25．【分析】（1）由题意得：y＝x﹣1＝x，无解，故不存在不变值；y＝x2﹣2＝x，解得：x ＝2或﹣1，即可求解；（2）由题意得：y＝x2﹣bx﹣1＝x，解得：x＝，即可求解；（3）如图1中，当图象G与直线y＝x的交点在第一象限时，P的最大值为5，最小值＞0，满足其不变长度q满足0≤q≤5，此时m＜5，如图2中，当图象G经过原点时，m ＝2，此时p的最大值为5最小值为0，满足其不变长度q满足0≤q≤5，由此即可判断，如图3中，当直线x＝m在y轴的左侧，翻折后的抛物线的解析式为y＝（x﹣2m+2）2﹣4，构建方程组，利用Δ＝0求出翻折后的抛物线与直线y＝x相切时，m的值即可判断．【解答】解：（1）由题意得：y＝x﹣1＝x，无解，故不存在不变值；y＝x2﹣2＝x，解得：x＝2或﹣1，故存在不变值，q＝2﹣（﹣1）＝3；（2）由题意得：y＝x2﹣bx﹣1＝x，解得：x＝，q＝，﹣2≤b≤3，解得：2≤q≤2．（3）如图1中，当图象G与直线y＝x的交点在第一象限时，P的最大值为5，最小值＞0，满足其不变长度q满足0≤q≤5，∴m≤5，如图2中，当图象G经过原点时，m＝2，此时p的最大值为5最小值为0，满足其不变长度q满足0≤q≤5，如图3中，当直线x＝m在y轴的左侧，翻折后的抛物线的解析式为y＝（x﹣2m+2）2﹣4，由，消去y得到x2+（﹣4m+3）x+4m2﹣8m＝0，当Δ＝0时，（﹣4m+3）2﹣4（4m2﹣8m）＝0，解得m＝﹣，观察图象可知，m＜﹣时，满足条件，综上所述，满足条件的m的值为2≤m≤5或m＜﹣．【点评】本题属于二次函数综合题，考查的是二次函数综合运用，涉及到方程和不等式的求解等知识，解题的关键是学会利用图象法解决问题，属于中考压轴题．26．【分析】（1）把点A、B的坐标分别代入抛物线解析式，列出关于系数a、b的解析式，通过解方程组求得它们的值；（2）过点D作x轴的垂线，交直线AC于点P，求出直线AC的解析式，可得△PED是等腰直角三角形，设出点D的坐标，从而得到点P的坐标，表示出PD的长，根据二次函数的最值即可求解；（3）分DF为矩形的边，DF为矩形的对角线两种情况讨论求解即可．【解答】解：（1）把点A（﹣2，0）、B（1，0）分别代入y＝ax2+bx﹣2，得，解得，所以抛物线的解析式为：y＝x2+x﹣2；（2）存在，过点D作x轴的垂线，交直线AC于点P，如图1，将x＝0代人y＝x2+x﹣2中，得y＝﹣2，∴C（0，﹣2）．设直线AC的解析式为y＝mx+n，将点A（﹣2，0），C（0，﹣2）代人y＝mx+n中，得，解得，∴直线AC的解析式为y＝﹣x﹣2．∵OA＝OC＝2，∠AOC＝90°，∴∠ACO＝45°．∵PD∥CF，DE⊥AC，∴∠DPE＝∠ACO＝45°，∠PED＝90°，∴△PED为等腰直角三角形．∴DE＝PE＝PD．设点D的坐标为（k，k2+k﹣2），则点P的坐标为（k，﹣k﹣2），∴PD＝﹣k﹣2﹣（k2+k﹣2）＝﹣k2﹣2k＝﹣（k+1）2+1．∵﹣1＜0，∴当k＝﹣1时，PD有最大值，此时DE的值也最大，∴点D的坐标为（﹣1，﹣2）；（3）存在这样的点N，使得以D，F，M，N四点组成的四边形是矩形．①当DF是矩形的边时，有以下两种情况：（i）当四边形M1N1FD为矩形时，连接DC，如解图2．由（2）可知D（﹣1，﹣2），C（0，﹣2），∠ACO＝45°，DF⊥AC，∴∠DFC＝45°．又∵点D与点C的纵坐标相同，∴△DFC是等腰直角三角形．∴FC＝DC＝1．∴OF＝OC﹣FC＝1．∴点F的坐标为（0，﹣1）．∠N1FO＝90°﹣∠DFC＝45°，∴N1O＝OF＝1．∴点N的坐标为（﹣1，0）．（ii）当四边形M2N2DF为矩形时，过点D作DG⊥x轴交于点G，连接DC，如解图3．由（i）可知∠DFC＝45°，∴∠N2DG＝45°，∴△N2DG是等腰直角三角形．∴GN2＝GD＝2．又∵OG＝DG＝1，∴ON2＝GN2+OG＝3．∴N2的坐标为（﹣3，0）；②当DF是矩形的对角线时，设点N3的坐标为（x，0），则有N3F2＝x2+1，N3D2＝（x+1）2+22，DF2＝2．∴点N3为直角顶点，∴N3F2+N3D2＝DF2．∴x2+1+（x+1）2+22＝2，整理得x2+（x+1）2＝﹣3，此方程无解．∴此种情况不存在．综上所述，满足条件的点N的坐标为（﹣1，0）或（﹣3，0）．【点评】本题是二次函数的综合题型，考查了二次函数图象与性质，待定系数法确定函数解析式，要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．。
2021-2022学年湖南省长沙市岳麓区麓山国际实验学校九年级(上)第一次月考数学试卷(解析版)
2021-2022学年湖南省长沙市岳麓区麓山国际实验学校九年级第一学期第一次月考数学试卷一、选择题（共有10小题，每小题3分，共30分．）1．随着人们健康生活理念的提高，环保意识也不断增强，以下是回收、绿色包装、节水、低碳四个标志，其中是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．要使有意义，则实数x的取值范围是（）A．x≥2B．x＞0C．x≥﹣2D．x＞23．2022年北京冬奥会会将于2022年在北京举行，届时将需要200000名城市志愿者和50000名赛会志愿者，数250000用科学记数法表示为（）A．2.5×104B．25×104C．0.25×106D．2.5×1054．⊙O的半径为4cm，点P到圆心O的距离为5cm，点P与⊙O的位置关系是（）A．点P在⊙O内B．点P在⊙O上C．点P在⊙O外D．无法确定5．绍兴是著名的桥乡，如图，圆拱桥的拱顶到水面的距离CD＝8m，桥拱半径OC＝5m，则水面宽AB＝（）A．4 m B．5 m C．6 m D．8 m6．如图，点A，B，C在⊙O上，∠BAC＝54°，则∠BOC的度数为（）A．27°B．108°C．116°D．128°7．如图，在△ABC中，∠BAC＝138°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△AB'C'．若点B'刚好落在BC边上，且AB'＝CB'，则∠C的度数为（）A．13°B．14°C．15°D．16°8．如图，矩形OABC的边OA，OC分别在x轴、y轴的正半轴上，点D在OA的延长线上，若A（2，0），D（4，0），以O为圆心、OD长为半径的弧经过点B，交y轴正半轴于点E，连接DE，BE，则∠BED的度数是（）A．15°B．22.5°C．30°D．45°9．下列命题：①平⾏四边形是中⾏对称图形，也是轴对称图形；②直径是最长的弦，半径是最短的弦；③过切点的直线是圆的切线；④三角形的外⾏是三条边垂直平分线的交点；⑤三角形的内⾏是三条内角平分线的交点，其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个10．使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量y（单位：m3）与旋钮的旋转角度x（单位：度）（0°＜x≤90°）近似满足函数关系y＝ax2+bx+c（a≠0）．如图记录了某种家用燃气灶烧开同一壶水的旋钮角度x与燃气量y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮角度约为（）A．18°B．36°C．41°D．58°二、填空题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）11．若点P（m，﹣m+3）关于原点的对称点Q在第三象限，那么m的取值范围是．12．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝5，以点C为圆心r为半径作圆，如果⊙C与AB相切，则半径r的值是．13．已知：如图，⊙O是△ABC的内切圆，分别切BC、AB、AC于点D、E、F，△ABC的周长为24cm，BC＝10cm，则AE＝cm．14．如图，A、B、C、D为一个正多边形的相邻四个顶点，O为正多边形的中心，若∠ADB ＝12°，则这个正多边形的边数为．15．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，BC＝，将△ABC绕点A逆时针旋转角α（0°＜α＜180°）得到△AB′C′，并使点C′落在AB边上，则点B所经过的路径长为．（结果保留π）16．如图，点O是三角形ABC内的一点，OA＝OB＝OC＝4，∠BAC＝45°，已知S△AOC﹣S△AOB＝2，则∠BOC＝，S△ABC＝．三、解答题（本大题共有9小题，共72分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．计算：（﹣）﹣2﹣|﹣1|+（π﹣1）0+3．18．先化简，再求值：（2a﹣1）2+6a（a+1）﹣（3a+2）（3a﹣2），其中a2+2a﹣2021＝0．19．解不等式组：．20．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（﹣1，0），B（﹣4，1），C（﹣2，2）．（1）直接写出点B关于原点对称的点B′的坐标：；（2）平移△ABC，使平移后点A的对应点A1的坐标为（2，1），请画出平移后的△A1B1C1；（3）画出△ABC绕原点O逆时针旋转90°后得到的△A2B2C2．21．如图，AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点，E为的中点，点C在BA的延长线上，且∠CDA＝∠B．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若DE＝2，∠BDE＝30°，求CD的长．22．如图，△ABC是等腰三角形，其中AB＝BC，将△ABC绕顶点B逆时针旋转50°到△A1BC1的位置，AB与A1C1相交于点D，AC与A1C1，BC1分别相交于点E，F．（1）求证：△BCF≌△BA1D；（2）当∠C＝50°时，判断四边形A1BCE的形状并说明理由．23．某种冰激凌的外包装可以视为圆锥，它的底面圆直径ED与母线AD长之比为1：2．制作这种外包装需要用如图所示的等腰三角形材料，其中AB＝AC，AD⊥BC．将扇形AEF 围成圆锥时，AE，AF恰好重合．（1）求这种加工材料的顶角∠BAC的大小．（2）若圆锥底面圆的直径ED为5cm，求加工材料剩余部分（图中阴影部分）的面积．（结果保留π）24．在一次数学探究活动中，李老师设计了一份活动单：已知线段BC＝2，使用作图工具作∠BAC＝30°，尝试操作后思考：（Ⅰ）这样的点A唯一吗？（Ⅱ）点A的位置有什么特征？你有什么感悟？“追梦”学习小组通过操作、观察、讨论后汇报：点A的位置不唯一，它在以BC为弦的圆弧上（点B、C除外），…，小华同学画出了符合要求的一条圆弧（如图1）．（1）小华同学提出了下列问题，请你帮助解决．①该弧所在圆的半径长为；②△ABC面积的最大值为；（2）经过比对发现，小明同学所画的角的顶点不在小华所画的圆弧上，而在如图1所示的弓形内部，我们记为A′，请你利用图1证明∠BA′C＞30°．（3）请你运用所学知识，结合以上活动经验，解决问题：如图2，已知矩形ABCD的边长AB＝2，BC＝3，点P在直线CD的左侧，且tan∠DPC＝．①求线段PB长的最小值；②若S△PCD＝S△PAD，求线段的PD长．25．如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴分别相交于A、B两点，与y轴相交于点C，下表给出了这条抛物线上部分点（x，y）的坐标值：x…﹣10123…y…03430…（1）求出这条抛物线的解析式；（2）如图1，直线y＝kx+1（k＜0）与抛物线交于P，Q两点，交抛物线的对称轴于点T，若△QMT的面积是△PMT面积的两倍，求k的值；（3）如图2，点D是第四象限内抛物线上一动点，过点D作DF⊥x轴，垂足为F，△ABD的外接圆与DF相交于点E．试问：线段EF的长是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．参考答案一、选择题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．随着人们健康生活理念的提高，环保意识也不断增强，以下是回收、绿色包装、节水、低碳四个标志，其中是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．解：选项A、C、D不能找到这样的一个点，使这些图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以它们不是中心对称图形；选项B能找到这样的一个点，使这个图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以它是中心对称图形；故选：B．2．要使有意义，则实数x的取值范围是（）A．x≥2B．x＞0C．x≥﹣2D．x＞2【分析】根据二次根式有意义的条件、分式有意义的条件列出不等式，解不等式得到答案．解：由题意得，x﹣2＞0，解得，x＞2，故选：D．3．2022年北京冬奥会会将于2022年在北京举行，届时将需要200000名城市志愿者和50000名赛会志愿者，数250000用科学记数法表示为（）A．2.5×104B．25×104C．0.25×106D．2.5×105【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．解：250000＝2.5×105．故选：D．4．⊙O的半径为4cm，点P到圆心O的距离为5cm，点P与⊙O的位置关系是（）A．点P在⊙O内B．点P在⊙O上C．点P在⊙O外D．无法确定【分析】根据点在圆上，则d＝r；点在圆外，d＞r；点在圆内，d＜r（d即点到圆心的距离，r即圆的半径）．解：∵OP＝5＞4，∴点P与⊙O的位置关系是点在圆外．故选：C．5．绍兴是著名的桥乡，如图，圆拱桥的拱顶到水面的距离CD＝8m，桥拱半径OC＝5m，则水面宽AB＝（）A．4 m B．5 m C．6 m D．8 m【分析】连接OA，根据勾股定理求出AD的长，根据垂径定理计算即可．解：连接OA，∵CD＝8m，OC＝5m，∴OD＝3m，∴AD＝＝4m，由垂径定理得，AB＝2AD＝8m，故选：D．6．如图，点A，B，C在⊙O上，∠BAC＝54°，则∠BOC的度数为（）A．27°B．108°C．116°D．128°【分析】直接由圆周角定理求解即可．解：∵∠A＝54°，∴∠BOC＝2∠A＝108°，故选：B．7．如图，在△ABC中，∠BAC＝138°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△AB'C'．若点B'刚好落在BC边上，且AB'＝CB'，则∠C的度数为（）A．13°B．14°C．15°D．16°【分析】由AB'＝CB'，得∠C＝∠CAB'，根据外角性质可证∠AB'B＝2∠C，由旋转的性质可知AB＝AB'，则∠AB'B＝∠B＝2∠C，根据三角形内角和为180°得∠B+∠C+∠CAB ＝180°即可解答．解：∵AB'＝CB'，∴∠C＝∠CAB'，∴∠AB'B＝∠C+∠CAB'＝2∠C，∵将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△AB'C'，∴∠C＝∠C'，AB＝AB'，∴∠B＝∠AB'B＝2∠C，∵∠B+∠C+∠CAB＝180°，∴3∠C＝180°﹣138°，∴∠C＝14°，故选：B．8．如图，矩形OABC的边OA，OC分别在x轴、y轴的正半轴上，点D在OA的延长线上，若A（2，0），D（4，0），以O为圆心、OD长为半径的弧经过点B，交y轴正半轴于点E，连接DE，BE，则∠BED的度数是（）A．15°B．22.5°C．30°D．45°【分析】连接OB，根据直角三角形的边角关系可求出∠BOC＝30°，进而求出∠BOD ＝60°最后再由圆周角定理得出答案．解：如图，连接OB，∵A（2，0），D（4，0），矩形OABC，∴OA＝2，OD＝4＝OB，∴sin∠OBA＝＝，∴∠OBA＝30°，∴∠BOD＝90°﹣30°＝60°，∴∠BED＝∠BOD＝×60°＝30°，故选：C．9．下列命题：①平⾏四边形是中⾏对称图形，也是轴对称图形；②直径是最长的弦，半径是最短的弦；③过切点的直线是圆的切线；④三角形的外⾏是三条边垂直平分线的交点；⑤三角形的内⾏是三条内角平分线的交点，其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】利用平行四边形的对称性、圆的有关定义、切线的判定及三角形的内心和外心的性质分别判断后即可确定正确的选项．解：①平⾏四边形是中⾏对称图形，但不是轴对称图形，故原命题错误，不符合题意；②直径是最长的弦，但半径不一定是最短的弦，故原命题错误，不符合题意；③过切点且垂直于半径的直线是圆的切线，故原命题错误，不符合题意；④三角形的外⾏是三条边垂直平分线的交点，正确，符合题意；⑤三角形的内⾏是三条内角平分线的交点，正确，符合题意，故选：B．10．使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量y（单位：m3）与旋钮的旋转角度x（单位：度）（0°＜x≤90°）近似满足函数关系y＝ax2+bx+c（a≠0）．如图记录了某种家用燃气灶烧开同一壶水的旋钮角度x与燃气量y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮角度约为（）A．18°B．36°C．41°D．58°【分析】根据已知三点和近似满足函数关系y＝ax2+bx+c（a≠0）可以大致画出函数图像，并判断对称轴位置在36和54之间即可选择答案．解：由题意可知函数图象为开口向上的抛物线，由图表数据描点连线，补全图可得如图，∴抛物线对称轴在36和54之间，约为41℃，∴旋钮的旋转角度x在36°和54°之间，约为41℃时，燃气灶烧开一壶水最节省燃气．故选：C．二、填空题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）11．若点P（m，﹣m+3）关于原点的对称点Q在第三象限，那么m的取值范围是0＜m ＜3．【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点得到点Q的坐标，根据点Q在第三象限列出不等式组，解不等式组得到答案．解：点P（m，﹣m+3）关于原点的对称点Q（﹣m，m﹣3），∵点Q在第三象限，∴﹣m＜0，m﹣3＜0，解得0＜m＜3．故答案为：0＜m＜3．12．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝5，以点C为圆心r为半径作圆，如果⊙C与AB相切，则半径r的值是．【分析】过点C作CD⊥AB于D，根据勾股定理求出BC，根据三角形的面积公式求出CD，根据直线与圆的位置关系求出r．解：过点C作CD⊥AB于D，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝5，由勾股定理得：BC＝＝＝12，S△ABC＝×BC×AC＝×AB×CD，∴×12×5＝×13×CD，解得：CD＝，当⊙C与AB相切时，半径r的值是，故答案为：．13．已知：如图，⊙O是△ABC的内切圆，分别切BC、AB、AC于点D、E、F，△ABC的周长为24cm，BC＝10cm，则AE＝2cm．【分析】由切线长定理，可知：AE＝AF，CD＝CF，BE＝BD，设AF＝AE＝x；BD＝BE ＝y；CF＝CD＝z，利用已知数据建立方程组即可求出AE的长．解：∵⊙O是△ABC的内切圆，分别切BC、AB、AC于点D、E、F，设AF＝AE＝x；BD＝BE＝y；CF＝CD＝z，根据题意得：，解得x＝2，∴AE＝2．14．如图，A、B、C、D为一个正多边形的相邻四个顶点，O为正多边形的中心，若∠ADB ＝12°，则这个正多边形的边数为15．【分析】根据圆周角定理可得正多边形的边AB所对的圆心角∠AOB＝24°，再根据正多边形的一条边所对的圆心角的度数与边数之间的关系可得答案．解：如图，设正多边形的外接圆为⊙O，连接OA，OB，∵∠ADB＝12°，∴∠AOB＝2∠ADB＝24°，而360°÷24°＝15，∴这个正多边形为正十五边形，故答案为：15．15．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，BC＝，将△ABC绕点A逆时针旋转角α（0°＜α＜180°）得到△AB′C′，并使点C′落在AB边上，则点B所经过的路径长为π．（结果保留π）【分析】由直角三角形的性质可求∠BAC＝60°，AB＝3，由旋转的性质可求∠BAB'＝∠BAC＝60°，由弧长公式可求解．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，BC＝，∴∠BAC＝60°，cos∠ABC＝，∴AB＝2，∵将△ABC绕点A逆时针旋转角α（0°＜α＜180°）得到△AB′C′，∴∠BAB'＝∠BAC＝60°，∴点B所经过的路径长＝＝π，故答案为：π．16．如图，点O是三角形ABC内的一点，OA＝OB＝OC＝4，∠BAC＝45°，已知S△AOC﹣S△AOB＝2，则∠BOC＝90°，S△ABC＝8+2．【分析】由OA＝OB＝OC＝4可得△ABC是以O为圆心，半径为4的内接三角形，所以∠BOC＝2∠BAC＝90°，延长AO交BC于点E，作BM⊥AE，CN⊥AE，证明△BOM≌△CON，由S△AOC﹣S△AOB ＝2及BM2+CN2＝16可得BM及CN长度，进而求解．解：∵OA＝OB＝OC＝4，∴△ABC是以O为圆心，半径为4的内接三角形，延长AO交BC于点E，作BM⊥AE，CN⊥AE，∵∠BAC＝45°，∴∠BOC＝2∠BAC＝90°，∴BC＝OB＝4，∵S△AOC﹣S△AOB＝2，∴AO•CN﹣AO•BM＝2（CN﹣BM）＝2，∴CN﹣BM＝1．∵∠BOM+∠CON＝90°，∠BOM+∠OBM＝90°，∴∠CON＝∠OBM，又∵∠BMO＝∠CNO＝90°，OB＝OC，在△BOM和△CON中，∴△BOM≌△CON（AAS），∴OM＝CN，在Rt△BOM和Rt△CON中，由勾股定理得：BM2+OM2＝ON2+CN2＝16，即BM2+CN2＝16，联立方程，解得BM＝或BM＝（舍）．∴CN＝BM+1＝．∴S△AOC+S△AOB＝AO•CN+AO•BM＝2（CN+BM）＝2．∵S△BOC＝OB•OC＝8，∴S△ABC＝S△AOC+S△AOB+S△BOC＝8+2．故答案为：90°，8+2．三、解答题（本大题共有9小题，共72分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．计算：（﹣）﹣2﹣|﹣1|+（π﹣1）0+3．【分析】原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，绝对值的代数意义，以及二次根式性质计算即可求出值．解：原式＝4﹣（﹣1）+1+3×＝4﹣+1+1+＝6．18．先化简，再求值：（2a﹣1）2+6a（a+1）﹣（3a+2）（3a﹣2），其中a2+2a﹣2021＝0．【分析】直接利用乘法公式以及整式的混合运算法则化简，再利用已知变形代入即可．解：原式＝4a2﹣4a+1+6a2+6a﹣9a2+4＝a2+2a+5，∵a2+2a﹣2021＝0，∴a2+2a＝2021，∴原式＝2021+5＝2026．19．解不等式组：．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．解：解不等式3x﹣1≥x+2，得：x≥1.5，解不等式x+4＜4x﹣2，得：x＞2，则不等式组的解集为x＞2．20．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（﹣1，0），B（﹣4，1），C（﹣2，2）．（1）直接写出点B关于原点对称的点B′的坐标：（4，﹣1）；（2）平移△ABC，使平移后点A的对应点A1的坐标为（2，1），请画出平移后的△A1B1C1；（3）画出△ABC绕原点O逆时针旋转90°后得到的△A2B2C2．【分析】（1）根据关于原点对称的两点的横纵坐标均与原来点的横纵坐标互为相反数，据此可得答案；（2）将三个点分别向右平移3个单位、再向上平移1个单位，继而首尾顺次连接即可；（3）将三个点分别绕原点O逆时针旋转90°后得到对应点，再首尾顺次连接即可．解：（1）点B关于原点对称的点B′的坐标为（4，﹣1），故答案为：（4，﹣1）；（2）如图所示，△A1B1C1即为所求．（3）如图所示，△A2B2C2即为所求．21．如图，AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点，E为的中点，点C在BA的延长线上，且∠CDA＝∠B．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若DE＝2，∠BDE＝30°，求CD的长．【分析】（1）连结OD，利用已知条件证明OD⊥CD即可求证CD是⊙O的切线；（2）连结OE，根据∠BDE＝30°，E为的中点即可求出∠BOD度数以及求证三角形EOD为等边三角形，进而求出∠DOC度数，再利用tan∠DOC的值即可求出CD的长．【解答】（1）证明：连结OD，如图所示：∵AB是直径，∴∠BDA＝90°，∴∠BDO+∠ADO＝90°，又∵OB＝OD，∠CDA＝∠B，∴∠B＝∠BDO＝∠CDA，∴∠CDA+∠ADO＝90°，∴OD⊥CD，且OD为⊙O半径，∴CD是⊙O的切线；（2）解：连结OE，如图所示：∵∠BDE＝30°，∴∠BOE＝2∠BDE＝60°，又∵E为的中点，∴∠EOD＝60°，∴△EOD为等边三角形，∴ED＝EO＝OD＝2，又∵∠BOD＝∠BOE+∠EOD＝120°，∴∠DOC＝180°﹣∠BOD＝180°﹣120°＝60°，在Rt△DOC中，∠DOC＝60°，OD＝2，∴tan∠DOC＝tan60°＝＝＝，∴CD＝2．22．如图，△ABC是等腰三角形，其中AB＝BC，将△ABC绕顶点B逆时针旋转50°到△A1BC1的位置，AB与A1C1相交于点D，AC与A1C1，BC1分别相交于点E，F．（1）求证：△BCF≌△BA1D；（2）当∠C＝50°时，判断四边形A1BCE的形状并说明理由．【分析】（1）由等腰三角形的性质得出∠A＝∠C，由旋转的性质得出∠A＝∠A1＝∠C，∠A1BD＝∠CBC1，则可得出答案；（2）证明A1E∥BC，A1B∥EC，得出四边形A1BCE是平行四边形，由菱形的判定方法可得出结论．【解答】（1）证明：∵AB＝BC，∴∠A＝∠C，∵△A1BC1是由△ABC绕顶点B逆时针旋转而得，∴∠A＝∠A1＝∠C，∠A1BD＝∠CBC1，AB＝A1B，在△BCF和△BA1D中，，∴△BCF≌△BA1D（ASA）；（2）解：四边形A1BCE是菱形．∵△ABC是等腰三角形，∠C＝50°，∴∠A＝∠C1＝∠C＝50°，又∵△BCF≌△BA1D，∴∠CBF＝∠A1BD＝50°，∴∠C1＝∠CBF，∠A＝∠A1BD，∴A1E∥BC，A1B∥EC，即四边形A1BCE是平行四边形，又∵A1B＝BC，∴四边形A1BCE是菱形．23．某种冰激凌的外包装可以视为圆锥，它的底面圆直径ED与母线AD长之比为1：2．制作这种外包装需要用如图所示的等腰三角形材料，其中AB＝AC，AD⊥BC．将扇形AEF 围成圆锥时，AE，AF恰好重合．（1）求这种加工材料的顶角∠BAC的大小．（2）若圆锥底面圆的直径ED为5cm，求加工材料剩余部分（图中阴影部分）的面积．（结果保留π）【分析】(1)设∠BAC＝n°．根据弧EF的两种求法，构建方程，可得结论．（2）根据S阴＝•BC•AD﹣S扇形AEF求解即可．解：（1）设∠BAC＝n°．由题意得π•DE＝,AD＝2DE,∴n＝90,∴∠BAC＝90°．(2)∵AD＝2DE＝10(cm),∴S阴＝•BC•AD﹣S扇形AEF＝×10×20﹣＝(100﹣25π)cm2．24．在一次数学探究活动中，李老师设计了一份活动单：已知线段BC＝2，使用作图工具作∠BAC＝30°，尝试操作后思考：（Ⅰ）这样的点A唯一吗？（Ⅱ）点A的位置有什么特征？你有什么感悟？“追梦”学习小组通过操作、观察、讨论后汇报：点A的位置不唯一，它在以BC为弦的圆弧上（点B、C除外），…，小华同学画出了符合要求的一条圆弧（如图1）．（1）小华同学提出了下列问题，请你帮助解决．①该弧所在圆的半径长为2；②△ABC面积的最大值为+2；（2）经过比对发现，小明同学所画的角的顶点不在小华所画的圆弧上，而在如图1所示的弓形内部，我们记为A′，请你利用图1证明∠BA′C＞30°．（3）请你运用所学知识，结合以上活动经验，解决问题：如图2，已知矩形ABCD的边长AB＝2，BC＝3，点P在直线CD的左侧，且tan∠DPC＝．①求线段PB长的最小值；②若S△PCD＝S△PAD，求线段的PD长．【分析】（1）①设O为圆心，连接BO，CO，根据圆周角定理得到∠BOC＝60°，证明△OBC是等边三角形，可得半径；②过点O作BC的垂线，垂足为E，延长EO，交圆于D，以BC为底，则当A与D重合时，△ABC的面积最大，求出OE，根据三角形面积公式计算即可；（2）延长BA′，交圆于点D，连接CD，利用三角形外角的性质和圆周角定理证明即可；（3）①根据，连接PD，设点Q为PD中点，以点Q为圆心，PD为半径画圆，可得点P 在优弧CPD上，连接BQ，与圆Q交于P′，可得BP′即为BP的最小值，再计算出BQ 和圆Q的半径，相减即可得到BP′；②根据AD，CD和S△PCD＝S△PAD推出，可得点P在∠ADC的平分线上，从而找到点P的位置，过点C作CF⊥PD，垂足为F，解直角三角形即可求出DP．【解答】（1）解：①设O为圆心，连接BO，CO，∵∠BCA＝30°，∴∠BOC＝60°，又OB＝OC，∴△OBC是等边三角形，∴OB＝OC＝BC＝2，即半径为2，故答案为：2；②∵△ABC以BC为底边，BC＝2，∴当点A到BC的距离最大时，△ABC的面积最大，如图，过点O作BC的垂线，垂足为E，延长EO，交圆于D，以BC为底，则当A与D 重合时，△ABC的面积最大，∴BE＝CE＝1，DO＝BO＝2，∴OE＝＝，∴DE＝+2，∴△ABC的最大面积为×2×（+2）＝+2，故答案为：+2；（2）证明：如图，延长BA′，交圆于点D，连接CD，∵点D在圆上，∴∠BDC＝∠BAC，∵∠BA′C＝∠BDC+∠A′CD，∴∠BA′C＞∠BDC，∴∠BA′C＞∠BAC，即∠BA′C＞30°；（3）解：①如图，当点P在BC上，且PC＝时，∵∠PCD＝90°，AB＝CD＝2，AD＝BC＝3，∴tan∠DPC＝＝，为定值，连接PD，设点Q为PD中点，以点Q为圆心，PD为半径画圆，∴当点P在优弧CPD上时，tan∠DPC＝，连接BQ，与圆Q交于P′，此时BP′即为BP的最小值，过点Q作QE⊥BE，垂足为E，∵点Q是PD中点，∴点E为PC中点，即QE＝CD＝1，PE＝CE＝PC＝，∴BE＝BC﹣CE＝3﹣＝，∴BQ＝＝，∵PD＝＝，∴圆Q的半径为×＝，∴BP′＝BQ﹣P′Q＝﹣＝，即BP的最小值为；②∵AD＝3，CD＝2，S△PCD＝S△PAD，∴，∴△PAD中AD边上的高＝△PCD中CD边上的高，即点P到AD的距离和点P到CD的距离相等，∴点P在∠ADC的平分线上，如图，过点C作CF⊥PD，垂足为F，∵PD平分∠ADC，∴∠ADP＝∠CDP＝45°，∴△CDF为等腰直角三角形，又CD＝2，∴CF＝DF＝，∵tan∠DPC＝＝，∴PF＝，∴PD＝DF+PF＝+＝．25．如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴分别相交于A、B两点，与y轴相交于点C，下表给出了这条抛物线上部分点（x，y）的坐标值：x…﹣10123…y…03430…（1）求出这条抛物线的解析式；（2）如图1，直线y＝kx+1（k＜0）与抛物线交于P，Q两点，交抛物线的对称轴于点T，若△QMT的面积是△PMT面积的两倍，求k的值；（3）如图2，点D是第四象限内抛物线上一动点，过点D作DF⊥x轴，垂足为F，△ABD的外接圆与DF相交于点E．试问：线段EF的长是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．【分析】（1）运用待定系数法即可求出抛物线解析式；（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），令y＝kx+1＝﹣x2+2x+3，求得x1+x2＝2﹣k，x1x2＝﹣2①，再根据△QMT的面积是△PMT面积的两倍，求得x2＝3﹣2x1②，将②代入①求得：x1＝2或，再代入①，结合k＞0，即可求得k；（3）如图，连接BE，设D（t，﹣t2+2t+3），且t＞3，可得DF＝t2﹣2t﹣3，BF＝t﹣3，AF＝t+1，运用圆内接四边形的性质可得∠DAF＝∠BEF，进而证明△AFD∽△EFB，利用，即可求得答案．解：（1）根据表格可得出A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3），设抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），将C（0，3）代入，得：3＝a（0+1）（0﹣3），解得：a＝﹣1，∴y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3，∴该抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3；（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），令y＝kx+1＝﹣x2+2x+3，整理得：x2+（k﹣2）x﹣2＝0，∴x1+x2＝2﹣k，x1x2＝﹣2①，∵△QMT的面积是△PMT面积的两倍，∴MT•（x2﹣1）＝2×MT•（1﹣x1），∴2x1+x2＝3，即x2＝3﹣2x1②，将②代入①得：2x12﹣3x1﹣2＝0，解得：x1＝2或，∴或，∴k＝1或，∵k＞0，∴k＝1；（3）线段EF的长为定值1，如图，连接BE，设D（t，﹣t2+2t+3），且t＞3，∵EF⊥x轴，∴DF＝﹣（﹣t2+2t+3）＝t2﹣2t﹣3，∵F（t，0），∴BF＝OF﹣OB＝t﹣3，AF＝t﹣（﹣1）＝t+1，∵四边形ABED是圆内接四边形，∴∠DAF+∠BED＝180°，∵∠BEF+∠BED＝180°，∴∠DAF＝∠BEF，∵∠AFD＝∠EFB＝90°，∴△AFD∽△EFB，∴，∴，∴EF＝＝＝1，∴线段EF的长为定值1．。
麓山国际实验学校 初三数学试卷.pdf
麓山国际实验学校2016-2017-2初三整理试卷数学试卷总分：120分 时量：120分钟一、选择题（每小题3分，共36分）1. 下列函数：1=xy ，3x y =，x k y =，21-=x y ，22x y =中，是y 关于x 的反比例函数的有（ ）个A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个2. 同时抛掷质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，下列事件是不可能事件的是（ ）A. 点数之和为12B. 点数之和小于3C. 点数之和大于4且小于8D. 点数之和为133. 下列各图中，不是．．中心对称图形的是（ ） A. B.C. D. 4. 下面的计算正确的是（ ）A. 636±=B. 2211-=⎪⎭⎫ ⎝⎛- C. 156=-a a D. 426a a a =÷ 5. 关于函数12+-=x y ，下列结论正确的是（ ）A. 图形必经过点）（1,2- B. 图形经过第一、二、三象限 C. 当21>x 时，0<y D. y 随x 的增大而增大 6. 在半径等于5㎝的圆内有长为35cm 的弦，则此弦所对的圆周角为（ ）A. 120°B. 30°或120°C. 60°D. 60°或120°7. 将抛物线23x y =向上平移3个单位，再向左平移2个单位，那么得到的抛物线的解析式为（ ）A. 3)2(32++=x yB. 3)2(32+-=x yC. 3)2(32-+=x yD. 3)2(32--=x y8. 下列关于分式的判断，正确的是（ ）A. 当2=x 时，21-+x x 的值为零B. 当3≠x 时，xx 3-有意义C. 无论x 为何值，13+x 不可能取得整数值D. 无论x 为何值，132+x 的值总为正数 9. 若关于x 的方程0cos 22=+-αx x 有两个相等的实数根，则锐角α为（ ）A. 30°B. 45°C. 60°D. 75°10. 已知一个圆锥体的三视图如图所示，则这个圆锥体的侧面积是（ ）A. π40B. π24C. π20D. π12第10题图 第11题图11. 如图，C Θ过原点，与x 轴、y 轴分别交于D A 、两点，已知︒=∠30OBA ，点D 的坐标为），（20，则C Θ的半径是（ ） A. 334 B. 332 C. 34 D. 2 12. 如图，边长分别为1和2的两个等边三角形，开始它们的左边重合，大三角形固定不动，然后把小三角形自左向右平移直至移出大三角形外停止，设小三角形移动的距离为x ，两个三角形重叠面积为y ，则y 关于x 的函数图象是（ ）A.B. C. D.二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）13. 函数21-=x y 的自变量x 的取值范围是； 14. 分解因式：=+-x x x 24223；15. 如果关于x 的不等式组⎩⎨⎧≥-≥-0035m x x 有实数解，则实数m 的取值范围为； 16. 如图，河堤横断面迎水坡AB 的坡比是3:1：，堤高m BC 10=，则坡面AB 的长度是m ；17. 如图，等边三角形ABC 的边长为3，P 为BC 上一点，且1=BP ，D 为AC 上一点，若︒=∠60APD ，则CD 的长为；18. 如图，在矩形ABCD 中，3=AB ，3=AD ，点P 在边BC 上，过点P 作BD PQ //，交CD 边于Q 点，再把PQC ∆沿PQ 对折，点C 的对应点R 恰好落在AB 边上，则=CP .第16题图 第17题图 第18题图三、解答题（本大题共8小题，满分66分）19. （6分）计算：︒----+--30tan 3)31()2502017(3110.20. （6分）先化简，再求值：⎪⎭⎫ ⎝⎛---÷⎪⎭⎫ ⎝⎛---+a a a a a a 22111541，其中1-=a .21. （8分）某校初三（1）班部分同学接受一次内容为“最适合自己的考前减压方式”的调查活动，收集整理数据后，老师将减压方式分为五类，并绘制了图1、图2两个不完整的统计图，请根据图中的信息解答下列问题：（1）初三（1）班接受调查的同学共有名；（2）补全条形统计图，扇形统计图中的“体育活动C ”所对应的圆心角度数为度；（3）若喜欢“交流谈心”的5名同学中有三名男生和两名女生，老师想从5名同学正任选两名同学进行交谈，求选取的两名同学都是女生的概率.22. （8分）如图，已知AB 为O Θ的直径，点E 在O Θ上，EAB ∠的平分线交O Θ于点C ，过点C 作AE 的垂线，垂足为D ，直线DC 与AB 的延长线交于点P .（1）判断直线PC 与O Θ的位置关系，并说明理由；（2）若43tan =∠P ，6=AD ，求线段AE 的长.23. （9分）为迎接“五一”劳动节，某中学组织了甲、乙两个义务劳动小组，甲组x 人，乙组y 人，到“初中部”和“高中部”打扫卫生，根据打扫卫生的进度，学校随时调整两组人数，如果从甲组调50人去乙组，则乙组人数为甲组人数的2倍，；如果从乙组调m 人去甲组，则甲组人数为乙组人数的3倍.（1）求出x 与m 之间的关系式；（2）问当m 为何值时，甲组人数最少，最少是多少人？24. （9分）如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，8=AB ，︒=∠60BAD ，点E 从点A 出发，沿AB 以每秒2个单位长度的速度向终点B 运动，当点E 不与点A 重合时，过点E 作AD EF ⊥于点F ，作AD EG //交AC 于点G ，过点G 作AD GH ⊥交AD （或AD 的延长线）于点H ，得到矩形EFHG .设点E 运动时间为t 秒.（1）求线段EF 的长（用含t 的代数式表示）；（2）求点H 与点D 重合时t 的值；（3）设矩形EFHG 与菱形ABCD 重叠部分图形的面积为S 平方单位，求S 与t 之间的函数关系式.25. （10分）已知两个函数，如果对于任意的自变量x ，这两个函数对应的函数值记为1y ，2y ，都有点）（1,y x 、）（2,y x 关于点）（x x ,对称，则称这两个函数为关于x y =的对称函数，例如，x y 211=和x y 232=为关于x y =的对称函数. （1）判断：①x y 31=和x y -=2；②11+=x y 和12-=x y ；③121+=x y 和122-=x y ，其中为关于x y =的对称函数的是（填序号）；（2）若231+=x y 和b kx y +=2)0(≠k 为关于x y =的对称函数：①求b k 、的值；②对于任意的实数x ，满足m x >时，21y y >恒成立，则m 满足的条件为.（3）若)0(21≠++=a c bx ax y 和n x y +=22为关于x y =的对称函数，且对于任意的实数x ，都有21y y <，请结合函数的图象，求n 的取值范围.26. 已知在平面直角坐标系xOy 中，O 是坐标原点，以)11(，P 为圆心的P Θ与x 轴、y 轴分别相切于点M 和点N ，点F 从点M 出发，沿x 轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，连接PF ，过点P 作PF PE ⊥交y 轴于点E ，设点F 运动的时间是t 秒（t >0）.（1）若点E 在y 轴的负半轴上（如图所示），求证：PF PE =；（2）在点F 运动过程中，设a OE =，b OF =，试用含a 的代数式表示b ；（3）作点F 关于点M 的对称点F '，经过E M 、和F '三点的抛物线的对称轴交x 轴于点Q ，连接QE .在F 运动过程中，是否存在某一时刻，使得以点E O Q 、、为顶点的三角形与以F M P 、、为顶点的三角形相似？若存在，请直接写出t 的值；若不存在，请说明理由.。
2017-2018麓山国际初三年级入学考试数学试卷
3
27
tan
60
1 2017
0
1 2
2
20．（6 分）先化简，再求值： (2x y)2 (x y)(x y) 2y2 ，其中 x 1 , y 2 ． 2
21．（8 分）在大课间活动中，同学们积极参加体育锻炼，小明就本班同学“我最喜爱的体育项目”进 行了一次调查统计，下面是他通过收集数据后，绘制的两幅不完整的统计图．请你根据图中提供的
（第 12 题图）
（第 15 题图）
二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，满分 18 分）
13．因式分解： 4xy 9xy3 =
．
14．函数 y 1 中自变量 x 的取值范围是 x2
15．如图，已知直线 m ∥ n ，则∠α 的度数为
． ．
16．如图，在平面直角坐标系中，已知 A（1，0），D（3，0），△ABC 与△DEF 位似，原点 O 是位
（3）若“直角型抛物线” y ax2 bx c(a 0) 中，ABC 的面积为 S ，已知 t b2 4 8a 2 ， 且当 1 a 2 时 t 的最小值为 1，求 S 的值及抛物线的解析式。
2
26．（10 分）①如图 1，已知直线 l ： y 1 和抛物线 L ： y ax2 bx c(a 0) ，抛物线 L 的顶点为
3），（0，4）之间（包含端点），则下列结论：① abc 0 ；② 2a b 0 ；③ 4 a 1；④ a b am2 bm 3
（ m 为任意实数）；⑤一元二次方程 ax2 bx c n 有四个不相等的实数根，其中正确的有（ ）
A．2 个
B．3 个
C．4 个
D．5 个
（第 11 题图）
A．25°
B．32.5°
麓山国际实验学校初三上入学考试数学试卷.doc
麓山国际实验学校2014—2015—1初三入学限时训练数 学 试 卷一、选择题（每小题3分，共30分） 1．下列说法中不正确的是（ ）A ．抛掷一枚硬币，硬币落地时正面朝上是随机事件B ．把4个球放入三个抽屉中，其中有一个抽屉中至少有2个球是必然事件C ．任意打开七年级下册数学教科书，正好是97页是确定事件D ．一个盒子中有白球m 个，红球6个，黑球n 个（每个除了颜色外都相同）．如果从中任取一个球，取得的是红球的概率与不是红球的概率相同，那么m 与n 的和是6 2．一次函数32+-=x y 的图象不经过下列哪个象限（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ． 第三象限D ． 第四象限3．用配方法解方程0462=+-x x 时，配方后得的方程为（ ） A ．5)3(2=+x B ．13)3(2-=-xC ．5)3(2=-xD ．13)3(2=-x4．如图1，△ABC 为⊙O 的内接三角形，AB 为⊙O 的直径，点D 在⊙O 上，∠ADC =54°，则∠BAC 的度数等于（ ）A ．36°B ．44°C ．46°D ．54°5．如图2，PB PA ,为⊙O 的切线，A B ，分别为切点，60APB =∠，点P 到圆心O 的距离2OP =，则⊙O 的半径为（ ）A ．12B ．1C ．32D ．26．小明把如图3所示的平行四边形纸板挂在墙上，玩飞镖游戏（每次飞镖均落在纸板上，且落在纸板的任何一个点的机会都相等），则飞镖落在阴影区域的概率是（ ） A ．21 B ．31 C ．41 D ．517．已知点M （1，a ）和点N （2，b ）是一次函数3)2(--=x k y 图象上的两点，若a ＞b ，则k 的取值范围是（ ）A ．2>kB ．0<kC ．2<kD ．2≤k8．若关于x 的一元二次方程2210kx x --=有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是（ ）（图2）（图1）（图3）A ．1k >-B ．1k <且0k ≠C ．1k ≥-且0k ≠D ．1k >-且0k ≠9．如图4，直线x y 2=和4+=ax y 相交于点A （m ，3），则不等式42+≥ax x 的解集为（ ）A ．23≥x B ．23≤x C ．3≥x D ． 3≤x 10．如图5是油路管道的一部分，延伸外围的支路恰好构成一个直角三角形，两直角边分别为6m 和8m 。
2024-2025学年湖南省长沙市岳麓区麓山国际洋湖实验中学九年级(上)入学数学试卷(含详解)
2024-2025学年湖南省长沙市岳麓区麓山国际洋湖实验中学九年级（上）入学数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.“杂交水稻之父”袁隆平培育的超级杂交稻在全世界推广种植.某种植户为了考察所种植的杂交水稻苗的长势，从稻田中随机抽取9株水稻苗，测得苗高(单位：cm)分别是：22，23，24，23，24，25，26，23，25.则这组数据的众数和中位数分别是( )A. 24，25B. 23，23C. 23，24D. 24，242.下列是一元二次方程的是( )A. ax2+bx+c=0B. x−2=x2C. x2−2=x(x−2)D. 1x+x=13.关于一次函数y=−2x+1的图象和性质，下列说法正确的是( )A. y随x的增大而增大B. 图象经过第三象限C. 图象经过点(−1,2)D. 图象与y轴的交点是(0,1)4.将抛物线y=−4x2+3向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的抛物线为( )A. y=−4(x+2)2−1B. y=−4(x−2)2+2C. y=−4(x−2)2−1D. y=−4(x+2)2+25.二次函数y=x2+3x−4的对称轴是直线( )A. x=3B. x=−3C. x=−32D. x=326.若m是方程2x2−3x−1=0的一个根，则6m2−9m+2016的值为( )A. 2016B. 2017C. 2018D. 20197.如图，直线y=kx+b和直线y=mx+n相交于点(3,−2)，则方程组{y=kx+by=mx+n的解是( )A. {x=3y=−2B. {x=3y=2C. {x =−3y =−2D. {x =−3y =28.若点A(−2,y 1)，B(2,y 2)，C(3,y 3)在抛物线y =2(x−1)2+m 上，则y 1，y 2，y 3的大小关系是( )A. y 1<y 2<y 3B. y 2<y 1<y 3C. y 2<y 3<y 1D. y 3<y 2<y 19.为了使居住环境更加美观，某小区建造了一个小型喷泉，水流从地面上的点O 喷出，在各个方向上沿形状相同的抛物线落到地面，某方向上抛物线的形状如图所示，落点A 到点O 的距离为4，水流喷出的高度y(m)与水平距离x(m)之间近似满足函数关系式y =ax 2+245x ，则水流喷出的最大高度为( )A. 245mB. 5mC. 112mD. 6m10.已知二次函数y =ax 2+bx +c(a ≠0)的图象经过三点A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，C(−3,0)，且对称轴为直线x =−1.有以下结论：①a +b +c =0；②2c +3b =0；③当−2<x 1<−1，0<x 2<1时，有y 1<y 2；④对于任何实数k >0，关于x 的方程ax 2+bx +c =k(x +1)必有两个不相等的实数根.其中结论正确的有( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
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麓山国际实验学校初三入学限时训练数 学 试 卷一、选择题（每小题3分，共30分） 1．下列说法中不正确的是（ ）A ．抛掷一枚硬币，硬币落地时正面朝上是随机事件B ．把4个球放入三个抽屉中，其中有一个抽屉中至少有2个球是必然事件C ．任意打开七年级下册数学教科书，正好是97页是确定事件D ．一个盒子中有白球m 个，红球6个，黑球n 个（每个除了颜色外都相同）．如果从中任取一个球，取得的是红球的概率与不是红球的概率相同，那么m 与n 的和是6 2．一次函数32+-=x y 的图象不经过下列哪个象限（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ． 第三象限D ． 第四象限3．用配方法解方程0462=+-x x 时，配方后得的方程为（ ） A ．5)3(2=+x B ．13)3(2-=-xC ．5)3(2=-xD ．13)3(2=-x4．如图1，△ABC 为⊙O 的内接三角形，AB 为⊙O 的直径，点D 在⊙O 上，∠ADC =54°，则∠BAC 的度数等于（ ）A ．36°B ．44°C ．46°D ．54°5．如图2，PB PA ,为⊙O 的切线，A B ，分别为切点，60APB =∠，点P 到圆心O 的距离2OP =，则⊙O 的半径为（ ）A ．12B ．1C ．32D ．26．小明把如图3所示的平行四边形纸板挂在墙上，玩飞镖游戏（每次飞镖均落在纸板上，且落在纸板的任何一个点的机会都相等），则飞镖落在阴影区域的概率是（ ） A ．21 B ．31 C ．41 D ．517．已知点M （1，a ）和点N （2，b ）是一次函数3)2(--=x k y 图象上的两点，若a ＞b ，则k 的取值范围是（ ）A ．2>kB ．0<kC ．2<kD ．2≤k8．若关于x 的一元二次方程2210kx x --=有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是（ ）ABOP（图2）（图1）（图3）A ．1k >-B ．1k <且0k ≠C ．1k ≥-且0k ≠D ．1k >-且0k ≠9．如图4，直线x y 2=和4+=ax y 相交于点A （m ，3），则不等式42+≥ax x 的解集为（ ）A ．23≥x B ．23≤xC ．3≥xD ． 3≤x 10．如图5是油路管道的一部分，延伸外围的支路恰好构成一个直角三角形，两直角边分别为6m 和8m 。
按照输油中心O 到三条支路的距离相等来连接管道，则O 到三条支路的管道总长（计算时视管道为线，中心O 为点）是（ ）A ．2mB ．3mC ．6mD ．9m二、填空题（每小题3分，共30分） 11．方程x x 22=的解为12．函数1+=x xy 中的自变量x 的取值范围是 13．将一次函数13-=x y 的图象向上平移3个单位后，得到的图象对应的函数关系式为 ． 14．五张分别写有﹣1，2，0，﹣4，5的卡片（除数字不同以外，其余都相同），现从中任意取出一张卡片，则该卡片上的数字是负数的概率是 ．15．方程01892=+-x x 的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个等腰三角形的周长为 15 ． 16．学校新开设了航模、彩绘、泥塑三个社团，如果征征、舟舟两名同学每人随机选择参加其中一个社团，那么征征和舟舟选到同一社团的概率为17．如图6，在Rt △ABC 中，∠C =90°，∠A =60°，BC =4cm ，以点C 为圆心，以3cm 长为半径作圆，则⊙C 与AB 的位置关系是18．如图7，AB 是⊙O 的弦，AB 长为8，P 是⊙O 上一个动点（不与A 、B 重合），过点O 作OC ⊥AP 于点C ，OD ⊥PB 于点D ，则CD 的长为 ．19．如图8，AB 是⊙O 的直径，点C 在AB 的延长线上，CD 切⊙O 于点D ，连接AD ．若∠A =25°，则∠C = 度．（图5）（图4） A20．已知关于x 的方程01)(2=-++-ab x b a x ，21,x x 是此方程的两个实数根，现给出三个结论：①21x x ≠；②ab x x <21；③222221b a x x +<+．则正确结论的序号是 ．（填上你认为正确结论的所有序号）三、解一元二次方程（每小题4分，共8分）21．01222=--x x 22．x x x 64)23(-=-四、解答题(23－25题每题6分，26－28题每题8分，共42分)23.某学习小组由3名男生和1名女生组成，在一次合作学习后，开始进行成果展示． （1）如果随机抽取1名同学单独展示，那么女生展示的概率为 ； （2）如果随机抽取2名同学共同展示，求同为男生的概率．24．已知某市2013年企业用水量x （吨）与该月应交的水费y （元）之间的函数关系如图． （1）当x ≥50时，求y 关于x 的函数关系式； （2）若某企业2013年10月份的水费为620元， 求该企业2013年10月份的用水量；25．某施工工地安放了一个圆柱形饮水桶的木制支架（如图1），若不计木条的厚度，其俯视图如图2所示，已知AD 垂直平分BC ，AD=BC=48cm ，求圆柱形饮水桶的底面半径的最大值。
26．如图，AB 为⊙O 的直径，AC 、DC 为弦，∠ACD=60°，P 为AB 延长线上的点，∠APD=30°． （1）求证：DP 是⊙O 的切线；（2）若⊙O 的半径为3cm ，求图中阴影部分的面积．DBCA（图2）（图1）27．某旅行社为吸引游客组团去凤凰风景区旅游，推出了如下收费标准（如图所示）：某单位组织员工去凤凰风景区旅游，共支付给旅行社旅游费用27000元，请问该单位这次共有多少名员工去凤凰风景区旅游？28．某商店销售10台A 型和20台B 型电脑的利润为4000元，销售20台A 型和10台B 型电脑的利润为3500元．（1）求每台A 型电脑和B 型电脑的销售利润； （2）该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中B 型电脑的进货量不超过A 型电脑的2倍。
设购进A 掀电脑x 台，这100台电脑的销售总利润为y 元。
①求y 与x 的关系式； ②该商店购进A 型、B 型各多少台，才能使销售利润最大？（3）实际进货时，厂家对A 型电脑出厂价下调m （0＜m ＜100）元，且限定商店最多购进A 型电脑70台。
若商店保持两种电脑的售价不变，请你以上信息及（2）中的条件，设计出使这100台电脑销售总利润最大的进货方案。
五、综合题（本题10分）29．如图，已知平面直角坐标系中，⊙O 的圆心在坐标原点，直线l 与x 轴相交于点P ，与⊙O 相交于A 、B 两点，∠AOB =90°。
点A 和点B 的横坐标是方程02=--k x x 的两根，且两根之差为3。
（1）求方程02=--k x x 的两根；（2）求A 、B 两点的坐标及⊙O 的半径；（3）把直线l 绕点P 旋转，使直线l 与⊙O 相切，求直线l 的解析式。
PO x y AB l · PO xy （备用图）麓山国际实验学校初三入学限时训练数 学 试 卷(参考答案)一、选择题（每小题3分，共30分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案CCCABCCDAA二、填空题（每小题3分，共30分） 11．2,021==x x 12．0≥x 13．23+=x y 14．52 15．15 16．3117．相交 18．4 19．40 20．①② 三、解一元二次方程（每小题4分，共8分）21．01222=--x x 22．x x x 64)23(-=-解：124)22(2=+-=∆……………1分 解：)23(2)23(--=-x x x3221222±=±=x ………2分 0)23)(2(=-+x x ………2分32,3221-=+=x x ………4分 1,321=-=x x …………4分23．解：（1）41；（2分） （2）21。
（列表或画树形图2分，答案2分）24．解：（1）设y 关于x 的函数关系式y =kx +b ，则解得∴y 关于x 的函数关系式是1006-=x y ………………………3分 （2）由图可知，当y =620时，x ＞50∴6x ﹣100=620，解得x =120．…………………………………5分 答：该企业2013年10月份的用水量为120吨．………………6分25．解：过A 、B 、C 三点作⊙O ，连结OB∵AD 垂直平分BC∴点O 必在AD 上，……………………………1分24==CD BD设⊙O 的半径为r ，则r OD -=48OD BC·∵222OB BD OD =+∴22224)48(r r =+-……………………………4分 解得，30=r∴圆柱形饮水桶的底面半径的最大值30cm 。
………6分26．（1）证明：连接OD ，∵∠AOD=2∠ACD=120°， ∴∠DOP=180°﹣120°=60°， ∵∠APD=30°，∴∠ODP=180°﹣30°﹣60°=90°， ∴OD ⊥DP ， ∵OD 为半径，∴DP 是⊙O 切线；………………………………………………………4分 （2）解：∵∠P=30°，∠ODP=90°，OD=3cm ，∴OP=6cm ，由勾股定理得：DP=3cm ，…………………………………6分 ∴S 阴影=S △ODP ﹣S 扇形DOB =×3×3﹣=（﹣π）cm 2…………8分27．解：设该单位去具有喀斯特地貌特征的黄果树旅游人数为x 人，由题意得[]27000)25(201000=--x x ……………………………3分整理得01350752=+-x x解得30,4521==x x ………………………………………………6分当45=x 时，人均旅游费用为700600)2545(201000<=--，不符合题意，应舍去． 当30=x 时，人均旅游费用为700900)2530(201000>=--，符合题意．答：该单位这次共有30名员工去具有喀斯特地貌特征的黄果树风景区旅游．…………8分 28．解：（1）设每台A 型电脑的销售利润为a 元，每台B 型电脑的销售利润为b 元， 则有10a 20b 400020a 10b=3500+=⎧⎨+⎩ 解得a=100b=150⎧⎨⎩即每台A 型电脑的销售利润为100元，每台B 型电脑的销售利润为150元.………………2分 （2)①根据题意得)100(150100x x y -+=，即1500050+-=x y …………………………3分 ②根据题意得x x 2100≤-，解得3133≥x ………………………………………………4分∵y 随x 的增大而减小.∴当34=x 时，y 取最大值，此时66100=-x∴商店购进A 型电脑34台，B 型电脑66台，才能使销售总利润最大……………………5分（3）根据题意得)100(150)100(x x m y -++=，即15000)50(+-=x m y …………………………………………………………6分703133≤≤y ①当0＜m ＜50时，m －50＜0，y 随x 的增大而减小． ∴当x =34时，y 取得最大值．即商店购进34台A 型电脑和66台B 型电脑才能获得最大利润； ②当m =50时，m －50=0，y ＝15000． 即商店购进A 型电脑数最满足3313≤x ≤70的整数时，均获得最大利润； ③当50＜m ＜100时，m －50＞0，y 随x 的增大而增大． ∴x =70时，y 取得最大值．即商店购进70台A 型电脑和30台B 型电脑才能获得最大利润．…………………………………………………8分（只写出一种或两种情况扣1分） 29．解：（1）设方程的两根分别为21,x x )(21x x >，由已知得⎩⎨⎧=-=+312121x x x x ， 解得⎩⎨⎧-==1221x x∴方程的两根分别为2和－1……………………………………………………3分 （2）过点A 作AC ⊥x 轴于点C ，过点B 作BD ⊥x 轴于点D ， 易证：△AOC ≌△OBD （过程略）……………4分 ∴BD =OC =1，AC =OD =2∴)2,1(-A ，)1,2(B …………………………5分 ∴54122=+=+=AC OC OA ………6分 （3）设直线AB 的解析式为11b x k y +=，则⎩⎨⎧=+=+-1221111b k b k ， 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=353111b k ， ∴3531+-=x y当0=y 时，03531=+-x ，解得5=x ，∴)0,5(P …………………………7分 当直线l 与⊙O 的切点在第一象限时，设直线l 与⊙O 相切于点E ，过点E 作EF ⊥x 轴于点F∵PE 是⊙O 的切线，∴OE ⊥PE∴5252522=-=-=OE OP PE∵PE OE EF OP S POE ⋅=⋅=∆2121 ∴5255⋅=EF ， ∴2=EF∴145=-=OF ，)2,1(E …………………………8分（由相似求解同样给分）设直线l 的解析式为22b x k y +=，则⎩⎨⎧=+=+0521122b k b k ， 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=252111b k ， ∴2521+-=x y ………………9分当直线l 与⊙O 的切点在第四象限时，同理可求得2521-=x y ………………10分。