江苏省海安高级中学高一数学试卷(27)

江苏省海安高级中学高一数学试卷（）
编制：
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．
1． 在正三角形ABC 中，D 是BC 上的点，AB ＝3，BD ＝1，则AB AD ⋅=u u u r u u u r
▲ ． 【答案】152
2． 已知向量()
1,3=-a ，则与a 反向的单位向量是 ▲ ． 【答案】31,2⎛⎫
- ⎪⎝⎭
3． 若()
π3sin 25θ+=，则cos2θ= ▲ ．
【答案】725
- 4． 在△ABC 中，若sin sin sin a A b B c C +<，则△ABC 的形状是 ▲ ． 【答案】钝角三角形
5． 在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2sin c a C =，bc ＝4，则△AB C
的面积等于 ▲ ． 【答案】1
6． 如图，在直角梯形ABCD 中，AB //CD ，AB ＝2，AD ＝DC ＝1，P 是线段BC 上一动点，
Q 是线段DC 上一动点，DQ DC λ=u u u r u u u r ，()1CP CB λ=-u u u r u u u r ，则AP AQ ⋅u u u r u u u r
的取值范围是
▲ ．
【答案】[0,2]
7． 在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A 、B 、C 的对边，若222sin sin sin 3sin sin A C B A C +-=，则角B 为 ▲ ． 【答案】30°
8．若5π3π,42θ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦1sin 21sin 2θθ-+可化简为 ▲ ．
【答案】2cos θ
9． 已知两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n A 和n B ，且7453n n A n B n +=
+，则使得n n
a
b 为整数的正整数n 的个数是 ▲ ． 【答案】5
10．将正奇数按下表的规律填在5列的数表中，则第20行第3列的数字与第20行第2列数
字的和为 ▲ ．
【答案】312
11．正方形1S 和2S 内接于同一个直角三角形ABC 中，如图所示，设A α∠=，若1441S =，
2440S =，则sin2α= ▲ ．
【答案】110
12．已知函数()()10,0f x ax x a x =+>>在x ＝2时取得最小值，则a ＝ ▲ ．
【答案】14
13．已知二次函数()24f x ax x c =-+的值域是[)0,+∞，则19a c +的最小值是 ▲ ．
【答案】3
14．如果关于x 的不等式()0f x <和()0g x <的解集分别为(),a b 和()
11,b a
，那么称这两个不
A
B
C
D
E
F
S 1
α
A
B
C
P
N
F S 2
α
M
Q
等式为“对偶不等式”．如果不等式220x x θ-⋅+<与不等式224sin 210x x θ+⋅+<为“对偶不等式”，且()
π,π2
θ∈，那么θ= ▲ ．
【答案】5π6
二、解答题：本大题共6小题，计90分．请在答题卡指定的区域内作答，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）
已知平面向量()1,x =a ，()23,x x =+-b ，x ∈R ． （1）若a ⊥b ，求x 的值； （2）若a ∥b ，求|a －b |的值．
【答案】（1）x ＝－1或x ＝3；（2）2或 16．（本小题满分14分）
已知函数()2cos sin cos f x x x x =+，x ∈R ． （1）求()
π6
f 的值；
（2）若3sin 5α=，且()π,π2α∈，求()
π224f α+．
【答案】（1；（2
17．（本小题满分14分）
设△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，且()
2cos cos b A C =． （1）求角A 的大小；
（2）若角π6B =，BC 边上的中线AM ，求△ABC 的面积．
【答案】（1）π6；（2
18．（本小题满分16分）
设函数()2f x x a =-，a ∈R ．
（1）若不等式()1f x <的解集为{}13x x <<，求a 的值； （2）若存在0x ∈R ，使()003f x x +<，求a 的取值范围． 【答案】
（1）a ＝1；（2）32a <
19．（本小题满分16分）
某校要建一个面积为450平方米的矩形球场，要求球场的一面利用旧墙，其他各面用钢筋网围成，且在矩形一边的钢筋网的正中间要留一个3米的进出口（如图）．设矩形的长为x 米，钢筋网的总长度为y 米．
（1）列出y 与x 的函数关系式，并写出其定义域； （2）问矩形的长与宽各为多少米时，所用的钢筋网
的总长度最小？
（3）若由于地形限制，该球场的长和宽都不能超过25米，问矩形的长与宽各为多少米
时，所用的钢筋网的总长度最小？
【答案】（1）()900
30150y x x x
=
+-<< （2）长为30米，宽为15米，所用的钢筋网的总长度最小. （3）长为25米，宽为18米时，所用的钢筋网的总长度最小 20．（本小题满分16分）
已知数列{}n a 的前n 项和n S ，且满足()
22n n S a n n *=-∈N ． （1）求数列{}n a 的通项n a ；
（2）若数列{}n b 满足()2log 2n n b a =+，n T 为数列2n n b a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭
的前n 项和，求证：12n T ≥．
【答案】（1）122n n a +=-；。