勾股定理培优

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第1讲(学生) 勾股定理培优

精心整理第1讲勾股定理(逆定理)知识要点：1、勾股定理勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

也就是说：如果直角三角形的两直角边为a、b，斜边为c，那么a2+b2=c2。

公式的变形：a2=c2-b2，b2=c2-a2。

2、勾股定理的逆定理如果三角形ABC的三边长分别是a，b，c222个定理叫做勾股定理的逆定理.①已知的条件：某三角形的三条边的长度.②满足的条件：最大边的平方=最小边的平方考点一：利用勾股定理求面积1、求阴影部分面积：（12、四边形ABCD中，∠B=90°，，AD=13，求四边形ABCD的面积。

3S1、S2、S3，则它们之A.S1-S2=SC.S2+S3<S4、在直线l（如图4所示）。

已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3S S12、、S S S S S S341234、，则+++=_____________。

考点二：在直角三角形中，已知两边求第三边1．在直角三角形中,若两直角边的长分别为1cm，2cm，则斜边长为．2、已知直角三角形两直角边长分别为5和12，求斜边上的高．3、在Rt△ABC中，∠C=90°①若a=5，b=12，则c=___________；②若a=15，c=25，则b=___________；③若c=61，b=60，则a=__________；④若a∶b=3∶4，c=10则Rt△ABC的面积是=________。

S3S2S14、如果直角三角形的两直角边长分别为1n2-，2n（n>1），那么它的斜边长是（）A、2nB、n+1C、n2－1D、1n2+5、已知Rt△ABC中，∠C=90°，若a+b=14cm，c=10cm，则Rt△ABC的面积是（）A、242c mc m D、602c m C、482c m B、3626、已知x、y为正数，且│x2-4│+（y2-3）2=0，如果以x、y的长为直角边作一个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为（）A、5B、25C、7D、15例、如图1所示，等腰中，，是底边上的高，若，求①AD的长；②ΔABC的面积．1、A.4，5，6B.2，3，4C.11，12，13D.8，15，2、若线段a，b，cA、2∶3∶4B、3∶4∶6C、5∶3、下面的三角形中：①△ABC中，∠C=∠A－∠②△③△4：5；④△8，15，17．A．1个4个4、若三角形的三边之比为，则这个三角形一定是（）A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.不等边三角形5、已知a，b，c为△ABC三边，且满足(a2－b2)(a2+b2－c2)＝0，则它的形状为（）A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形6、将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数,得到的三角形是()A ．钝角三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.等腰三角形7、若△ABC 的三边长a,b,c 满足222a b c 20012a 16b 20c +++=++，试判断△ABC 的形状。

初中数学培优教材勾股定理专题附答案-全面、精选

初中数学勾股定理培优教材一、探索勾股定理【知识点1】勾股定理定理容：在RT △中，勾股定理的应用：在RT △中，知两边求第三边，关键在于确定斜边或直角典型题型1、对勾股定理的理解〔1〕直角三角形的两条直角边长分别为a, b ，斜边长c ，那么以下关于a,b,c 的关系不成立的是〔〕 A 、c ²- a ²=b ² B 、c ²- b ²=a ² C 、a ²- c ²=b ² D 、 a ²+b ²= c ²〔2〕在直角三角形中，∠A=90°，那么以下各式中不成立的是〔〕A 、BC ²- AB ²=AC ² B 、BC ²- AC ²=AB ² C 、AB ²+AC ²= BC ²D 、AC ²+BC ²= AB ²2、应用勾股定理求边长〔3〕在直角三角形ABC 中，AB=10 cm, BC=8 cm, 求AC 的长.〔4〕在直角△中，假设两直角边长为a 、b ，且满足，那么该直角三角形的斜边长为．3、利用勾股定理求面积〔5〕以直角△的三边为直径作半圆，其中两个半圆的面积为25π，16π，求另一个半圆的面积。

〔6〕如图〔1〕，图中的数字代表形的面积，那么形A 的面积为。

〔7〕如图〔2〕，三角形中未知边x 与y 的长度分别是x= ,y=。

〔8〕在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，假设AC ＝6，BC ＝8，那么AB 的长为〔〕A 、6B 、8C 、10D 、12 〔9〕在直线l 上依次摆放着七个形〔如图4所示〕。

斜放置的三个形的面积分别是1、2、3，正放置的四个形的面积依次是S S 12、、S S S S S S 341234、，则+++=_____________。

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<勾股定理 >复习培优1．勾股定理勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的 .即：对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为a 、b ，斜边为 c ，那么一定有 .勾股定理表达式的常见变形：a 2＝c 2－b 2, b 2＝c 2－a 2，c ＝a 2＋b 2，a ＝c 2－b 2，b ＝c 2－a 2.勾股定理分类计算：如果已知直角三角形的两边是a 、b(且a ＞b)，那么，当第三边c 是斜边时，c ＝；当a 是斜边时，第三边c ＝2．勾股定理的验证据说验证勾股定理的方法有五百多种，其中很多是用平面图形的面积来进行验证的，比如我国古代的数学家赵爽就用了下面的方法：如图14－1，以a 、b 为直角边(b>a)、以c 为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于 .把这四个直角三角形拼成如图14－1所示的正方形ABCD ，它是一个边长为c 的正方形，它的面积等于 .而四边形EFGH 是一个边长为的正方形，它的面积等于 .∵四个直角三角形与中间的小正方形拼成了一个大正方形，∴4×12ab ＋(b －a)2＝c 2， ∴a 2＋b 2＝c 2.3．勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a 、b 、c 有关系：a 2＋b 2＝，那么这个三角形是直角三角形．利用此定理判定直角三角形的一般步骤：(1)确定最大边；(2)算出最大边的平方与另两边的；(3)比较最大边的平方与另两边的平方和是否相等，若相等，则说明这个三角形是三角形．到目前为止判定直角三角形的方法有：(1)说明三角形中有一个角是；(2)说明三角形中有两边互相；(3)用勾股定理的逆定理．[注意] 运用勾股定理的逆定理时，要防止出现一开始就写出a2＋b2＝c2之类的错误．4．勾股数能够成为直角三角形三条边长的三个数，称为勾股数，即满足的三个数a、b、c，称为勾股数．[注意] 勾股数都是正整数．5．勾股定理的应用应用勾股定理及其逆定理可解决如下问题：(1)已知三角形的任意两边，求第三边长或图形周长、面积的问题；(2)说明线段的平方关系问题；(3)在上作表示2、3、5等数的点的问题；(4)解决实际问题．一些实际问题，如解决圆柱侧面两点间距离问题、航海问题、折叠问题、梯子下滑问题等，常直接或间接运用勾股定理及其逆定理．6．勾股定理中的思想(1)分类的思想，斜边不确定时，要分类讨论；(2)数形结合的思想，通过边的数量判断三角形的形状，反之也可以；(3)方程的思想，建立方程，求边；(4)转化思想，把实际问题转化为勾股定理的问题来解决．考点攻略考点一勾股定理例1在△ABC中，已知BD是高，∠B＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，且a＝6，b＝8，求BD的长．考点二勾股定理的逆定理例2已知在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，a＝n2－1，b＝2n，c＝n2＋1(n＞1)，判断△ABC是否为直角三角形．考点三勾股定理在数学中的应用例3已知△ABC是边长为1的等腰直角三角形，以Rt△ABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰Rt△ACD，再以Rt△ACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰Rt△ADE，…，依此类推，第n个等腰直角三角形的斜边长的平方是________．例4如图14－3所示，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A出发，沿长方体的表面爬到对角顶点C1处(三条棱长如图14－3所示)，问怎样走路线最短？最短路线长为多少？考点五方程思想在勾股定理中的应用例6如图14－6，有一张直角三角形纸片，两直角边AC＝6 cm，BC＝8 cm，将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕是DE，求CD的长．例7如图14－11，有一个高为4，底面直径为6的圆锥，现有一只蚂蚁在圆锥的顶部A，它想吃到圆锥底部B的食物，蚂蚁需要爬行的最短路线长是多少？例8如图14－14所示，某住宅社区在相邻两楼之间修建一个上方是一个半圆，下方是长方形的仿古通道，现有一辆卡车装满家具后，高4米，宽2.8米，请问这辆送家具的卡车能否通过这个通道？专项练习：1．一个直立的火柴盒在桌面上倒下，启迪人们发现了勾股定理的一种新的证明方法，如图14－16，火柴盒的一个侧面ABCD倒下到AB′C′D′的位置，连结CC′，设AB＝a，BC＝b，AC＝c，请利用四边形BCC′D′的面积证明勾股定理：a2＋b2＝c2.2现有一张矩形纸片ABCD(如图14－12)，其中AB ＝4 cm ，BC ＝6 cm, 点E 是BC 的中点，将纸片沿直线AE 折叠，点B 落在四边形AECD 内，记为点B ′，求线段B ′C 的长．3已知：四边形ABCD 中，BD 、AC 相交于O ，且BD 垂直AC ，求证：AB CD AD BC 2222+=+。

勾股定理的培优专题

勾股定理的培优专题勾股定理培优专题一、基础知识1.勾股定理的逆定理是：如果三角形的三边长 a、b、c 满足 a+b=c，那么这个三角形是直角三角形。

2.勾股定理的逆定理和勾股定理的题设和结论相反，被称为互逆命题。

3.如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，它也是一个定理，称这两个定理互为逆定理。

4.能够成为直角三角形三条边长的三个正整数3、4、5 等，称为勾股数。

巩固练：1.如果三角形的三边长 a、b、c 满足 a+b=c，那么这个三角形是直角三角形，这个定理叫做勾股定理的逆定理。

2.如果两个命题中，第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。

如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。

3.分别以下列四组数为一个三角形的边长：(1)6、8、10，(2)5、12、13，(3)8、15、17，(4)4、5、6，其中能构成直角三角形的有 1、2、3 号。

4.若△ABC 中，(b-a)(b+a)=c，则∠B=90°。

5.如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的△ABC 是直角三角形。

6.若一个三角形的三边长分别为1、a、8(其中a为正整数)，则以 a-2、a、a+2 为边的三角形的面积为 6(a-1)。

7.写出下列命题的逆命题，并判断逆命题的真假。

1) 两直线平行，同位角相等。

逆命题为：同位角相等，则两直线平行。

真。

2) 若 a>b，则 a>b。

逆命题为：若a≤b，则a≤b。

假。

二、例题和训练考点一：证明三角形是直角三角形例1：已知：如图，在△ABC 中，CD 是 AB 边上的高，且 CD=AD·BD。

求证：△ABC 是直角三角形。

训练：已知：在△ABC 中，∠A、∠B、∠C 的对边分别是 a、b、c，满足a+b+c+3√3=10a+24b+26c。

试判断△ABC 的形状。

例2：如图，在直角△ABC 中，∠B=90°，BD 垂直于AC，且 AD=CD。

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学科：数学教学内容：勾股定理知识精点1．勾股定理：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方． 2．勾股定理表达形式：条件：在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ．结论：222222222,,a b c b a c c b a =-=-=+． 3．勾股定理的作用：（1）已知直角三角形的两边，求第三边；（2）在数轴上作出表示n （n 为正整数）的点．重、难、疑点重点：（1）掌握勾股定理，会利用拼图验证勾股定理；（2）会利用勾股定理解决一些实际问题．难点：勾股定理的灵活应用，疑点：勾股定理的作用及变形公式的运用．典例精讲例1 已知：一个直角三角形的两边长分别为3cm 和4cm ，求第三边的长．方法指导：因为题目没有明确这两边中有无斜边，故应分类讨论，然后再用勾股定理计算第三边．解：设第三边长为xcm ，当x 为斜边长时，由勾股定理得：2543222=+=x ，∴x=5cm ．当4为斜边长时，由勾股定理得：22234+=x ，72=x ，∴cm x 7=．方法总结：在利用勾股定理时一定要分清斜边和直角边，若题目没有明确指出，则需分类讨论，避免漏解．举一反三以某直角三角形三边分别作三个正方形，其中两个正方形面积分别为225cm 和212cm ，求第三个正方形的面积．解：213cm 或237cm ．例2 直角三角形的两直角边同时扩大到原来的2倍，其斜边扩大到原来的（） A ．2倍 B ．3倍 C ．4倍 D ．不变方法指导：可设两直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，用代数式可清楚地反映它们之间的变化规律．解：设两直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，则变化后两直角边长分别为2a 、2b ，由勾股定理得：222c b a =+．那么22222222)2(4)(444)2()2(c c b a b a b a ==+=+=+．由此知斜边也扩大到原来的2倍．故应选A ．方法总结：由本例知直角三角形三边同时扩大相同的倍数后仍是直角三角形．举一反三直角三角形三边都增加相同的长度所得三角形是（） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．不确定解：A例3 如图，铁路上A 、B 两地相距25km ，C 、D 为两村庄，DA ⊥AB 于A ，CB ⊥AB 于B ，已知DA=15km ，CB=10km ，现在要在铁路AB 上建一个土特产收购站E ，使得C 、D 两村到E 站距离相等，则E 站应建在距A 地多少km 处？方法指导：此题中的E 可看作动点．当E 在AB 间移动时，在某处使得DE=CE ．此点惟一，而AE+BE 为定值25．故可利用这一关系建立方程．解：设AE=x ，则BE=25—x ．在Rt △ADE 中，222DE AE AD =+，在Rt △CBE 中，222EC BE BC =+，又DE=CE ，∴2222BE BC AE AD +=+，即2222)25(1015x x -+=+，解得x=10（km ）．故E 站应建在距A 地10km 处．方法总结：对确定点的位置这一类型题．先假定此点找到，再依据需满足的关系建立方程求解是解此类题常用方法．举一反三如图，在△ABC 中，AB=15，BC=14，CA=13，求BC 边上的高AD ．解：设DC=x ，则BD=14—x ，在Rt △ADB 中，由勾股定理得：22222)14(15x BD AB AD --=-=，在Rt △ADC 中，由勾股定理得：2222213x CD AC AD -=-=．∴222213)14(15x x -=--．解得：x=5．∴22222)14(15x BD AB AD --=-=22)514(15--==144． ∴AD=12．例 4 如图，在△ABC 中，∠C=90°，CD ⊥AB ，垂足为D ，BC=5cm ，DC=4cm ，求△ABC 的面积．方法指导：在Rt △ABC 中，已知BC 、DC ，可直接用勾股定理求出BD 的长，但要求ABC S∆就需计算AD 的长．求AD 取决于AC ．而AC 在两个直角三角形中，故可联立关于AC 的表达式从而求出AD ．解：设AD=xcm ，AC=ycm ．在Rt △BCD 中，94522222=-=-=CD BC BD ．∴BD=3cm ．在Rt △ACD 中，2224+=x y ，在Rt △ABC 中，2225)3(-+=x y ， ∴22225)3(4-+=+x x ．整理得：316,16166==-x x ． ∴350)3316(42121=+⨯⨯=⋅=∆CD AB S ABC ．方法总结：联立方程组其实质是寻找中间量．举一反三如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=8cm ，BC=6cm ，CD ⊥AB 于D ，求CD 的长．解：在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∴1006822222=+=+=BC AC AB ． ∴AB=10．又AC BC CD AB S ABC ⋅=⋅=∆2121，∴AB ·CD=BC ·AC ．即488610=⨯=CD ．∴CD=（cm ）．例5 一个直角三角形的三边为连续自然数，求这个直角三角形的三边长．方法指导：根据三边长为连续自然数，可设中间数为n ，则其余两数分别为（n —1）和（n+1），再根据勾股定理列方程求解．解：设中间数为n ，则其余两数分别为（n —1）和（n+1）． ∵这三个数为直角三角形的三边长，∴由勾股定理得：222)1()1(+=-+n n n ．∴1212222++=+-+n n n n n ．化简得：n n 42=，∵n>0，∴n=4，∴直角三角形的三边长分别为：3、4、5．方法总结：本题主要考察未知数的设法以及勾股定理的应用．举一反三一个直角三形的三边长为连续偶数，求这个直角三角形的三边长．解：设中间数为2n ，则其余两数分别为2（n —1）和2（n+1）．由勾股定理得：222)]1(2[)]1(2[)2(+=-+n n n ．∴4844844222++=+-+n n n n n ．化简得：n n 1642=，∵n>0，∴n=4．∴直角三角形的三边长分别为：6、8、10．例6 如图所示，正方形ABCD 边长为1，以AE 为折痕，使AD 落在AC 上，D 与F 重合．求：DE 的长．方法指导：折叠问题有它的共同特征，即折叠前后两图形关于折痕对称，这样我们就可利用对称性来解题．解：过点E 作EF ⊥AC 于点F ，设DE=x ，则EF=DE=x ，CE=1—x ，在Rt △ABC 中，由勾股定理得：2112222=+=+=BC AB AC ．又∵AD=AF=1，∴12-=-=AF AC CF ．在Rt △CFE 中，由勾股定理得：222CF EF CE +=．即222)12()1(-+=-x x ．解得：12-=x ．∴12-=DE ．方法总结：方程思想是一种重要的数学思想，将未知量用一字母表示，再寻找含未知量的等式即得方程，解之即可，同时也可将几何问题代数化．举一反三将长方形ABCD 沿AE 折叠后，D 点恰与BC 边上的F 点重合，如图，已知AB=8，BC=10，求EC 的长．解：EC=3．知识网络直角三角形——三边关系⎩⎨⎧=+-=数的点在数轴上作出表示无理求第三边已知直角三角形的两边,222c b a学法点津勾股定理是反映自然界基本规律的一条重要结论，它有着悠久的历史，我们应了解它的文化价值．勾股定理从边的角度进一步刻画了直角三角形的特征，我们应掌握它的一些重要用途．通过观察、归纳、猜想探索勾股定理，体验由特殊到一般的探索数学问题的方法；通过拼图来验证勾股定理，尝试用数形结合的思想来解决问题．同步练习1．直角三角形两直角边的长分别为8和10，则斜边上的高为_________，斜边被高分成的两部分的长分别是_________、_________．2．Rt △ABC 中，∠C=90°，∠B=30°，b=10，则c=_________，a=_________． 3．在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，则a ：b ：c=_________． 4．在△ABC 中，∠C=90°，AB=12cm ，AC=BC ，则BC=_________． 5．等边三角形边长为8cm ，它的面积为_________．6．在Rt △ABC 中，∠C=90°，BC=6cm ，CA=8cm ，动点P 从C 点出发，以每秒2cm 的速度沿CA ，AB 运动到点B ，则从点C 出发_________s 时，可使ABC BCP S S ∆∆=21．7．从边长为2的正方形的一个顶点到正方形四边中点的距离之和是_________．8．如图18．1-12，在△ABC 中，∠C=90°，AC ：BC=4：3，D 在CB 延长线上，且BD=AB ，则DC ：AD=_________．9．在Rt △ABC 中，E 是斜边AB 上一点，把△ABC 沿CE 折叠，点A 与B 恰好重合，如果AC=4cm ，那么AB=_________cm ．10．在△ABC 中，∠C=90°，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别是a ，b ，c ．（1）若a=8，b=6，则c=_____________．（2）若c=20，b=12，则a=_____________．（3）若a ：b=3：4，c=10，则a=_____________，b=_____________．11．一个直角三角形的三边长为12，5和a ，则以a 为半径的圆的面积是（） A ．π169 B ．π119C ．π169或π119D ．无法确定12．若线段a ，b ，c 能构成直角三角形，则它们之比为（） A ．2：3：4 B ．3：4：6 C ．5：12：13 D ．4：6：713．已知Rt △ABC 中，∠C=90°，若a+b=14cm ，c=10cm ，则Rt △ABC 的面积为（） A ．224cm B ．236cmC ．248cm D ．260cm14．放学以后，小红和小颖从学校分别沿东南方向和西南方向回家，若小红和小组知行走的速度都是40m/min ．小红用15min 到家，小颖用20min 到家，则小红家和小颖家的距离为（）A ．600mB ．800mC ．1000mD ．不能确定15．为迎接新年的到来，同学们做了许多拉花布置教室，准备召开新年晚会，小刚搬来一个高为的木梯，准备把拉花挂到的墙上，则梯脚与墙角的距离应为（）A ．B ．C ．D ．16．直角三角形两直角边长分别为5，12，则它斜边上的高是（）A ．6B ．C ．1330D ．136017．直角三角形一直角边长为11，另两边均为自然数，则其周长为（） A ．121 B ．120C ．123D ．以上均错18．在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别是a ，b ，c ．（1）已知a=15，b=20，求c ．（2）已知c=61，b=60，求a ．（3）已知217,218==b c ，求a ．（4）已知24,5:13:==b a c ，求c ，a ．19．如图18．1-13，在四边形ABCD 中，∠BAD=90°，∠CBD=90°，AD=4，AB=3，BC=12，求正方形DCEF 的面积．20．直角三角形两条直角边的比为3：4，面积是24．求这个三角形的周长．21．△ABC中，∠ACB=90°，a，b，c是∠A，∠B，∠C的对边，△ABC的面积是24，a+b=14．求c的长．22．某校要把一块形状是直角三角形的废地开发为生物园．如图18．1-14所示，∠ACB=90°，AC=80m，BC=60m．若线段CD为一条水渠，且D在边AB上，已知水渠的造价是10元/米，则D点在距A点多远处时此水渠的造价最低？最低造价是多少？在图上标出D点．23．小明的叔叔家承包了一个矩形养鱼池，已知其面积为248m，其对角线长为10m，为建起栅栏，需要计算这个矩形养鱼池的周长，你能帮助小明算一算吗？24．如图18．1-15，一个长的梯子，斜靠在一面竖直的墙上（如AB状态），这时梯子底端离墙距离BC=，为了安装壁灯，梯子顶端需离地面2m，请你计算一下，此时梯子底端应再向远离墙的方向拉多远？参考答案1．414140；414132；4141502．20；3103．2:3:14．cm265．2 316cm 6．2或 7．522+ 8．5:2 9．24 10．（1）10 （2）16 （3）6；8 11．C 12．C 13．A 14．C 15．A 16．D17．D 提示：设斜边为m，另一直角边为n，则1121))((,12122⨯=-+=-nmnmnm，因m，n为自然数，故m+n=121，m—n=1，所以m=81，n=40．所以m+n+11=132．18．（1）c=25 （2）11 （3）4 （4）c=26，a=1019．169=DCEFS正方形20．24 提示：设两条直角边长为3k，4k．则244321=⨯⨯kk，∴k=2，则12k=24．21．10 提示：由题意，得2421=ab，即ab=48．又a+b=14，两边平方，得196222=++baba，即10022=+ba，又因为222bac+=，所以1002=c，即c=10．22．过C作CD⊥AB于D，由勾股定理，得AB=100m．由面积公式：BCACCDAB⋅=⋅2121，得CD=48．瑞在直角三角形ADC中利用勾股定理，得222222644880=-=-=CDACAD．故造价为4801048=⨯元．答：D点在距A点64m处，此时水渠的造价最低，最低造价为480元．23．设矩形养鱼池的长为xm，宽为ym，则⎩⎨⎧=+=)2.(10)1(,48222yxxy由②得1002)(2=-+xyyx．③将①代入③，得100482)(2=⨯-+yx，则14=+yx．所以矩形周长为28cm．24．．学科：数学教学内容：勾股定理的逆定理知识精点1．勾股定理的逆定理：若一个三角形的三条边满足关系式222cba=+，则这个三角形是直角三角形．2．勾股定理的作用：判断一个三角形是不是直角三角形．3．用勾股定理及其逆定理解决一些实际问题．重、难、疑点重点：掌握用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否为直角三角形，或两条直线是否垂直．难点：用勾股定理及其逆定理解决一些实际问题．疑点：如何将实际问题转化为直角三角形的判定问题．典例精讲例 1 试判断：三边长分别为)0(122,12,2222>++++nnnnnn的三角形是不是直角三角形？方法指导：先确定最大边，再用勾股定理的逆定理判断．解：∵01)22()122(22>=+-++n n n n ， )0(02)12()122(22>>=+-++n n n n n ，∴1222++n n 为三角形的最大边．又∵14884)122(23422++++=++n n n n n n ， 14884)12()22(234222++++=+++n n n n n n n ，∴22222)12()22()122(+++=++n n n n n ．由勾股定理的逆定理可知，此三角形为直角三角形．方法总结：判定一个三角形是否是直角三角形，先确定最大边，再看最大边的平方是否是另两边的平方和．若是则是直角三角形，反之不是．举一反三试判断：三边长分别为)0(,2,2222>>+-n m n m mn n m 的三角形是不是直角三角形？解：∵m>n>0，∴222222,2n m n m mn n m ->+>+．∴22n m +为三角形的最大边，又∵224224222242)2()(n m n n m m mn n m ++-=-， 22422422242)(n m n n m m n m ++-=+，∴2222222)()2()(n m mn n m +=+-．由勾股定理的逆定理可知，此三角形为直角三角形．例2 如图，在正方形ABCD 中，E 是BC 的中点，F 为CD 上一点，且CD CF 41=．求证：△AEF 是直角三角形．方法指导：要证△AEF 是直角三角形，由勾股定理的逆定理，只要证222AF EF AE =+即可．解：证明：设正方形ABCD 的边长为a ，则21==CE BE ，a CF 41=，A DF 43=．在Rt △ABE 中，由勾股定理得：22222245)21(a a a BE AB AE =+=+=．同理在Rt △ABE 中，由勾股定理得：2222221625)43(aa a DF AD AF =+=+=．在Rt △CEF 中，由勾股定理得：222222165)41()21(a a a CF CE EF =+=+=．∴222EF AE AF +=．∴△AEF 是直角三角形．方法总结：利用代数方法，计算三角形的三边长，看它们是否符合勾股定理的逆定理，以判断三角形是否是直角三角形，这是解决几何问题常用的方法之一．举一反三如图，在四边形ABCD 中，∠B=90°，AB=BC=4，CD=6，DA=2，求∠DAB 的度数．解：连接AC ，在Rt △ABC 中，∠B=90°，AB=BC=4，∴∠BAC=45°，321616222=+=+=BC AB AC ．在△ADC 中，22236324CD AC AD ==+=+， ∴△ADC 是直角三角形，∠DAC=90°． ∴∠DAB=∠BAC+∠DAC=45°+90°=135°．例3 如图，△DEF 中，DE=17cm ，EF=30cm ，EF 边上的中线DG=8cm ，求△DEF 的面积．方法指导：利用勾股定理的逆定理解题．解：∵EF=30cm ，∴cm EF EG 1521==，∵2891722==DE，64822==DG ，2251522==EG ，∴222EG DG DE +=．∴△DGE 是直角三角形，即DG ⊥EF ，∴212021cm DG EF S DEF =⋅=∆．方法总结：利用勾股定理的逆定理可证两线垂直．举一反三已知如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=10，CD=6，求四边形ABCD 的面积．解：延长AD 、BC 交于点E ．在Rt △ABE 中，∠B=90°，∠A=60°，AB=10， ∴AE=20．由勾股定理可得：31022=-=AB AE BE ，∴3503101021=⨯⨯=∆ABE S ．在Rt △CDE 中，∠CDE=90°，∠E=30°，CD=6，∴36,1222=-==CD CE DE CE ． ∴31836621=⨯⨯=∆CDE S ．∴四边形ABCD 的面积为：332318350=-．例4 已知△ABC 的三边长为a ，b ，c ，且满足442222b a c b c a -=-，试判断△ABC 的形状．方法指导：要判断三角形的形状，应从已知条件入手，分析各边之间的关系，从而得出正确结论．解：∵44222b a c b c a -=-2，∴))(()(2222222b a b a c b a -+=-． ∴0))((22222=+-+b a c b a ． ∴0222=-+c b a 或022=-b a ．当0222=-+c b a 时，有222c b a =+．由勾股定理的逆定理知，此时三角形是直角三角形；当022=-b a 时，有a=b ，此时三角形是等腰三角形．综上，△ABC 是直角三角形或等腰三角形．方法总结：此题易犯的错误是由))(()(2222222b a b a c b a -+=-得0222=-+c b a ，漏掉022=-b a 这种情况，从而漏掉等腰三角形这种可能性．举一反三若△ABC 的三边满足条件c b a c b a 262410338222++=+++，试判断△ABC 的形状．解：∵c b a c b a 262410338222++=+++， ∴0262410338222=---+++c b a c b a ．∴0)13()12()5(222=-+-+-c b a ． ∴a=5，b=12，c=13．∴222c b a =+，∴△ABC 是直角三角形．例5 如图，在四边形ABCD 中，∠C=90°，AB=13，BC=4，CD=3，AD=12，求证：AD ⊥BD ．方法指导：可将直线的互相垂直问题转化成直角三角形的判定问题．解：∵在Rt △BCD 中，BC=4，CD=3， ∴由勾股定理得：253422222=+=+=CD BC BD ，即BD=5．在△ABD 中，∵BD=5，AB=13，AD=12，∴222BD AD AB +=，由勾股定理逆定理知：△ABD 是直角三角形，且∠ADB=90°，∴AD ⊥BD ．方法总结：判断三角形中的垂直或证明三角形是直角三角形的时候，应用勾股定理的逆定理，只要满足表达式的形式，就可判断三角形是直角三角形．举一反三如图，在△ABC 中，AD ⊥BD ，垂足为D ，AB=25，CD=18，BD=7，求AC ．解：在Rt △ADB 中，AB=25，BD=7，由勾股定理得：57672522222=-=-=BD AB AD ． ∴AD=24．在Rt △ADC 中，∵AD=24，CD=18， ∴3018242222=+=+=CD AD AC ．例6 如图，已知△ABC 中，AB=AC ，D 为BC 上任一点，求证：22AB DC BD AD =⋅+．方法指导：证明线段的平方关系，应注意到勾股定理的表达式里有平方关系，因此需要构造直角三角形，从而为用勾股定理创造前提条件．解：过点A 作AE ⊥BC 于E ． ∵AB=AC ，∴BE=EC ．又∵AE ⊥BC ，∴222BE AE AB +=，222ED AE AD +=．∴2222ED BE AD AB -=-BD CD ED BE ED EC ED BE ED BE ⋅=-+=-+=))(())((．∴22AB DC BD AD =⋅+.方法总结：构造直角三角形是解决几何问题的常用方法和手段，往往是通过作高来构造直角三角形．在解决问题的过程中，代数和几何的知识经常结合应用．举一反三如图所示，DE=m ，BC=n ，∠EBC 与∠DCB 互余，求22CE BD +．知识网络学法点津勾股定理是直角三角形的性质定理，而勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，它不仅可以判定三角形是否为直角三角形，还可以判定哪一个角是直角，从而产生了证明两直线互相垂直的新方法：利用勾股定理的逆定理，通过计算来证明，体现了数形结合的思想．三角形的三边分别为a 、b 、c ，其中c 为最大边，若222c b a =+，则三角形是直角三角形；若222c b a >+，则三角形是锐角三角形；若2<+c b a 22，则三角形是钝角三角形．所以使用勾股定理的逆定理时首先要确定三角形的最大边．同步练习一 1．已知一个三角形的三边分别为3k ，4k ，5k （k 为正整数），则这个三角形是__________三角形，理由是__________．2．若一个三角形的三边长为m+1，8，m+3，当m=__________时，此三角形是直角三角形，且其中m+3是斜边．3．在△ABC 中，a=2，b=5，则当____________2=c 时，∠C=90°． 4．如果一个三角形的三条边长分别是a ，b ，c ，当4:3:1::222=c b a 时，那么这个三角形是__________三角形．5．已知△ABC 中，AB=k ，AC=2k —1，BC=3，当k=__________时，∠C=90°． 6．我们知道，像“3，4，5”，“6，8，10”，“5，12，13”，“7，24，25”这样的每组三个数是勾股数；已知m 、n 是正整数，m<n ，设三个勾股数中的最大一个是22m n +．（1）用含n ，m 的代数式表示前两个勾股数是__________、__________．（2）如a ，b ，c 是一组勾股数，并且这三个数没有大于1的公因数，则这样的一组勾股数称为基本勾股数．例如“3，4，5”，“5，12，13”，“7，24，25”．请再写出一组不同于这三例的基本勾股数：__________．7．如果线段a ，b ，c 能组成一个直角三角形，那么2,2,2c b a （） A ．也能组成一个直角三角形B ．只能组成一个锐角三角形C ．不能组成三角形D ．无法确定8．以下列长度的各组线段为边，能组成直角三角形的是（） A ．2cm ，3cm ，5cm B ．2cm ，1．5cm ，2．5cmC ．7cm ，8cm ，10cmD ．cm cm cm 2225,4,3 9．三角形各边（从小到大）长度的平方比如下列各组数据，其中不是直角三形的是（）A ．1：1：2B ．1：3：4C ．9：25：26D ．25：144：16910．下列各组数中，以a ，b ，c 为边长的三角形不是直角三角形的是（） A ．a=1．5，b=2，c=3 B ．a=7，b=24，c=25 C ．a=6，b=8，c=10 D ．a=3，b=4，c=511．三角形的三边长为a ，b ，c ，且满足等式ab c b a 2)(22=-+，则此三角形是（）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等边三角形12．给出下列几组数：（1）5，6，7；（2）8，15，6；（3）)(,2,2222m n m n mn m n >+-；（4）1,2,122+-n n n ．其中能作为直角三角形的三条边长的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个13．适合下列条件的△ABC 中，直角三角形的个数为（）（1）51,41,31===c b a ；（2）a=b ，∠A=45°；（3）∠A=32°，∠B=58°；（4）a=7，b=24，c=25；（5）a=2．5，b=2，c=3．14．一个三角形三边的长分别是15cm ，20cm ，25cm ，这个三角形最长边上的高是（）A ．12cmB ．10cmC ．cm 2112D ．cm211015．如图18．2-4，四边形ABCD 中，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，∠B=90°，求四边形ABCD 的面积．16．已知：如图18．2-5，在△ABC 中，AC=5，AB=12，BC=13，求BC 边上的高AD ．17．初春时分，两组同学到村外平坦的原野上采集植物标本，分手后，他们向不同的两个方向前进，第一组的速度是30m/min ，第二组的速度是40m/in ，半小时后两组同学同时停下来，而此时两组同学相距1500m ．（1）两组同学行走的方向是否成直角？（2）如果接下来两组同学以原来的速度相向而行，多长时间后能相遇？18．如图18．2-6，长方形ABCD 中，AB=3，BC=4，E ，F 分别在AB ，BC 上，且BE=BF=1．问△EFD 是否是直角三角形？并说明理由．19．先阅读下列文字，然后按要求回答问题：如图18．2-7，在△ABC 中，CD ⊥AB 于D ，且AD BD CD ⋅=2，∠A ，∠B 都是锐角．在Rt △ABC中，222ADAC CD -=．所以AD BD AD AC ⋅=-22，即AD BD AD AC ⋅+=22，AB AD BD AD AD AC ⋅=+=)(2．如果在Rt △BDC 中，按照上述推理可得到什么结论呢？进而可得到△ABC 是什么形状的三角形？同步练习二1．如图，长方形ABCD 的长AB=12，宽CB=10，E 是BC 的中点．那么AE=_________．2．如图，正方体ABCD —A ′B ′C ′D ′的棱长是3，那么______________2=AC ，__________2='C A ．3．一只蚂蚁从长、宽都是3，高是8的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所爬行的最短路线的长是__________________________________．4．工人师傅常用如下方法来检验电线杆是否垂直于地面．现测得拉线AB=10m，BD=8m，AD=6m．问此时电线杆是否与地面垂直？_____________，因为___________________．5．如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，如果其中最大的正方形的边长是7cm，则正方形A，B，C，D的面积的和是_____________．6．如图，一块直角三角形的纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm．现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD等于（）A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm7．如图，正方形ABCD中，AO⊥BD，OE，FG，HI都垂直于AD；EF，GH，IJ都垂直于AO．如已知IJ=1．求BD的长．8．△ABC中，AB=m—5，AC=m+11，BC=24，则当m=_____________时，∠B=90°．9．△ABC中，三边a，b，c满足)2()(222cbcacbc++=++，那么△ABC是_________三角形．10．如图，四边形ABCD中，∠BAD=90°，AD=3cm，AB=4cm，BC=5cm，CD=6cm．（1）连接BD，判别△CBD的形状．（2）求四边形ABCD的面积．11．（1）如图（1），一个梯子AB 长2．5m ，顶端A 靠在墙AC 上，这时梯子下端B 与墙根C 距离为1．5m ，梯子滑动手停在DE 的位置上，如图（2）所示，测得BD 的长为0．5m ，问梯子顶端A 下落的距离是否也为0．5m ？为什么？（2）如图（3）梯子AB 靠在墙上，梯子底端A 到墙根O 的距离是2m ，梯子顶端B 到地面的距离是7m ．现将梯子的底端A 向左移动到A ′，使梯子的底端A ′到墙根O 的距离为3m ，同时梯子的顶端B 下降至B ′，那么BB ′；①等于1m ；②大于1m ；③小于1m ．其中正确结论的序号是__________．参考答案同步练习一1．直角；勾股定理的逆定理 2．14 3．29 4．直角 5．2．5 222BC AC AB +=，即9)12(422+-=k k ，则9144422++-=k k k ，解得k=2．5． 6．（1）mn m n 2;22-因为42242222)(m n m n m n ++=+，而42222224)(m n m n m n +-=-，2224)2(n m mn =，所以2222222)2()()(mn m n m n +-=+．（2）20，21，29 7．A 设c 为斜边，则222c b a =+，两边同乘以41，得222414141c b a =+，即222)2()2()2(c b a =+8．B 要注意D 中的2225,4,3，即9，16，25三边不能组成直角三角形的三边，因为22225169≠+ 9．B 10．A 11．B 12．B 13．B 14．A 15．连接AC ，则AC=5，可证△ACD 为直角三角形．36125214321=⨯⨯+⨯⨯=ABCD S 16．1360=AD 17．（1）第一组行走m 9003030=⨯，第二组行走m 12003040=⨯．因为22215001200900=+，所以行走方向成直角．（2）设再经过xmin相遇，则（30+40）x=1500，故min7150=x．18．是．在Rt△AED中204222222=+=+=ADEAED．同理求得2,182==EFDF。

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（完整版）第三讲勾股定理及其应用培优辅导含答案.doc第1页共14页第三讲勾股定理及其应用培优辅导一、点击一：勾股定理勾股定理：．则 c2=, a2=, b 2 =．勾股数：＿＿＿＿、＿＿＿＿、＿＿＿＿、＿＿＿＿、＿＿＿＿、＿＿＿＿、特殊勾股数：连续的勾股数只有 3 ，4，5 连续的偶数勾股数只有 6， 8， 10 勾股定理的逆定理：．点击二：学会用拼图法验证勾股定理如，利用四个如图 1 所示的直角三角形，拼出如图 2 所示的三个图形并证明．b ca（图 1）图 3图 2证明图 2或3．点击三：在数轴上表示无理数例在数轴上作出表示10 的点．点击四：直角三角形边与面积的关系及应用例已知一直角三角形的斜边长是2，周长是2+ 6，求这个三角形的面积．点击五：勾股定理的应用（1）已知直角三角形的两条边，求第三边；（2）已知直角三角形的一边，求另两条边的关系；（3）用于推导线段平方关系的问题等．二、【精典题型】考点一、已知两边求第三边1．在直角三角形中, 若两直角边的长分别为6，8，则斜边长为__________ ，斜边的高为__________．2．已知直角三角形的两边长为3、2，则另一条边长是________________ ．3．已知，如图在ABC中， AB=BC=CA=2cm， AD是边 BC上的高．则① AD的长 _____；②Δ ABC的面积 _________．考点二、利用列方程求线段的长如图，某学校（ A 点）与公路（直线L）的距离为300 米，又与公路车站（ D 点）的距离为500 米，现要在公路上建一个小商店（ C 点），使之与该校A 及车站 D 的距离相等，求商店与车站之间的距离．考点三、判别一个三角形是否是直角三角形1.分别以下列四组数为一个三角形的边长：（1）3、4、5（2）5、12、13（ 3）8、15、17（4）4、 5、 6，其中能够成直角三角形的有_________________.2.若三角形的三边是 a2+b2,2ab,a 2-b 2(a>b>0), 则这个三角形是 _________________. 3、如图，在我国沿海有一艘不明国际的轮船进入我国海域，我海军甲、乙两艘巡逻艇立即从相距 13 海里的 A、B 两个基地前去拦截，六分钟后同时到达 C 地将其拦截。

(完整版)勾股定理培优讲义

宜昌市迈克学习能力培训学校业精于勤荒于嬉勾股定理知识点汇总一、基础知识点： 1.勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 ―I ; 表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为 a , b ，斜边为c ,那么a 2 b 2 c 22 •勾股定理的证明方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积. 积的和为S 4 1ab c 2 2ab c 2大正方形面积为S (a b)2 a 2 2ab b 22 所以a 2b 2c 2方法三：S 弟形(a b) (a b) , S 梯形 2S ADE S ABE 2 ab c ，化简得证 a b c 2 2 23 •勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，和钝角三角形的三边就不具有这一特征。

4 •勾股定理的应用① 已知直角三角形的任意两边长，求第三边在 ABC 中,a c^V② 知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系 ③ 可运用勾股定理解决一些实际问题5 .勾股定理的逆定理如果三角形三边长 a , b , c 满足a 2 b 2 c 2，那么这个三角形是直角三角形，其中 c 为斜边。

① 勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和 a 2 b 2与较长边的平方c 2作比较，若它们相等时，以a , b ,c 为三边的三角形是直角三角形；② 若a 2 b 2 c 2，时，以三，b ，三为三边的三角形是钝角三角形：若 a 2 b 2 c 2，时，以_a ,_b ,_c 为三边的三角形是锐角三角形；③ 定理中a , b , c 及a 2 b 2 c 2只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ,b ,c 满足2 2 2a cb ,那么以a , b ,c 为三边的三角形是直角三角形，但是 b 为斜边勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是① 图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下：方法一：4SS E 方形EFGHS正方形ABCD，4 — ab (b a)2c 2，化简可证.四个直角三角形的面积与小正方形面ba6•勾股数满足a2 + b 2= c 2的三个正整数，称为勾股数。

勾股定理培优(教案)

3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“勾股定理在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解勾股定理的基本概念。勾股定理指的是直角三角形中，斜边的平方等于两个直角边平方和的数学关系。它是解决直角三角形相关问题的重要工具，广泛应用于建筑、工程等领域。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。通过测量三角形形的边长，应用勾股定理计算斜边长度，展示其在实际中的应用。
五、教学反思
在上完这节勾股定理培优课后，我对教学过程进行了深入的思考。首先，我发现学生在理解勾股定理的推导和应用过程中存在一定难度。在今后的教学中，我需要更加注重引导学生从具体的实例中抽象出数学规律，帮助他们理解并掌握勾股定理。
在讲授新课的过程中，我尝试通过生动的案例和实际操作，让学生感受勾股定理在实际生活中的应用。这种教学方法得到了学生的积极响应，他们表现出浓厚的兴趣。但同时，我也发现部分学生在将理论知识应用到实际问题解决时仍显得有些吃力。针对这一点，我计划在接下来的教学中，增加一些更具挑战性的实际问题，让学生在解决问题的过程中，提高勾股定理的应用能力。
三、教学难点与重点
1.教学重点
（1）勾股定理的表述及证明：让学生掌握勾股定理的表述，理解其证明过程，并能够运用定理解决相关问题。
举例：a² + b² = c²，其中c为直角三角形的斜边，a、b为两个直角边。

勾股定理培优训练

勾股定理培优训练一．选择题（共19小题）1．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D．若AC＝3，BC＝4，则CD的长为（）（1题）（3题）A．2.4B．2.5C．4.8D．52．已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长是（）A．5B．C．5或D．以上都不对3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，将△ABC扩充为等腰三角形ABD，且扩充部分是以AC 为直角边的直角三角形，则CD的长为（）A．，2或3B．3或C．2或D．2或34．已知△ABC中，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，则下列条件中：①a2﹣b2＝c2；②a2：b2：c2＝1：3：2；③∠A：∠B：∠C＝3：4：5；④∠A＝2∠B＝2∠C．能判断△ABC是直角三角形的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个5．已知△ABC三边分别为a、b、c，根据下列条件能判断△ABC为直角三角形的有（）①∠A＝∠B+∠C；②∠A：∠B：∠C＝3：4：5；③a：b：c＝3：4：5；④a＝n2﹣1，b＝2n，c＝n2+1．A．1个B．2个C．3个D．4个6．如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为（）（6题）（7题）A．90°B．60°C．45°D．30°7．如图，每个小正方形的边长为1，A，B，C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为（）A．30°B．45°C．60°D．75°8．如图，在直线l上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别为1，1.21，1.44，正放置的四个正方形的面积为S1、S2、S3、S4，则S1+S2+S3+S4的值是（）A．3.65B．2.42C．2.44D．2.659．如果一个直角三角形的两条直角边分别为n2﹣1，2n（n＞1），那么它的斜边长是（）A．2n B．n+1C．n2﹣1D．n2+110．五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，下列示意图中正确的是（）A．B．C．D．11．如图，在赵爽弦图中，已知直角三角形的短直角边长为a，长直角边长为b，大正方形的面积为20，小正方形的面积为4，则ab的值是（）（11题）（14题）（15题）A．10B．9C．8D．712．下列各组线段能构成直角三角形的一组是（）A．30，40，50B．7，12，13C．5，9，12D．3，4，613．满足下列条件时，△ABC不是直角三角形的是（）A．∠A：∠B：∠C＝3：4：5B．∠A＝20°，∠B＝70°C．AB：BC：CA＝3：4：5D．14．如图，一根垂直于地面的旗杆在离地面5m处撕裂折断，旗杆顶部落在离旗杆底部12m处，旗杆折断之前的高度是（）A．5m B．12m C．13m D．18m15．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，面积依次为S1，S2，S3，S4，下列结论正确的是（）A．S3+S4＝4（S1+S2）B．S4﹣S1＝S3﹣S2C．S1+S4＝S2+S3D．S4﹣3S1＝S3﹣3S216．如图，小明和小华同时从P处分别向北偏东60°和南偏东30°方向出发，他们的速度分别是3m/s和4m/s，则10s后他们之间的距离为（）（16）（17）（18）（19）A．30m B．40m C．50m D．60m17．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”，当AC＝6，BC＝3时，则阴影部分的面积为（）A．B．C．9πD．918．毕达哥拉斯树也叫“勾股树”，是由毕达哥拉斯根据勾股定理所画出来的一个可以无限重复的树状图形，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．如图，若正方形A，B，C，D的边长分别是2，3，1，2，则正方形G的边长是（）A．8B．C．D．519．如图，将长方形纸片ABCD折叠，使边DC落在对角线AC上，折痕为CE，且D点落在对角线D′处．若AB ＝3，AD＝4，则ED的长为（）A．B．3C．1D．二．填空题（共11小题）20．如图为某楼梯的侧面，测得楼梯的斜长AB为13米，高BC为5米，计划在楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要米．（20）（21）21．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，P为直线AB上一动点，连接PC，则线段PC最小值是．22．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，在直线BC上找一点P，使得△ABP为以AB为腰的等腰三角形，则PC＝．（22）（23）（24）23．如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为5和11，则b的面积为．24．如图，∠B＝90°，AB＝4cm，BC＝3cm，CD＝12cm，AD＝13cm，则图中此图形的面积是cm2．25．如图，四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝4cm，BC＝3cm，AD＝13cm，CD＝12cm，则四边形ABCD的面积cm2．（25）（26）（27）26．如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽，高分别为20dm、3dm、2dm，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点的最短路程是．27．如图，在直线l上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别为1，1.21，1.44，正放置的四个正方形的面积为S1、S2、S3、S4，则S1+2S2+2S3+S4＝．28．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠ADC+∠BCD＝90°，分别以DA、AB、BC为边向梯形外作正方形，其面积分别是S1、S2、S3，且S2＝S1+S3，则线段DC与AB存在的等量关系是．（28）（29）29．如图所示的正方形图案是用4个全等的直角三角形拼成的．已知正方形ABCD的面积为25，正方形EFGH的面积为1，若用x、y分别表示直角三角形的两直角边（x＞y），下列三个结论：①x2+y2＝25；②x﹣y＝1；③xy ＝12；④x+y＝40．其中正确的是（填序号）．30．如图，正方形网格中，每一小格的边长为2．P、A、B均为格点．（1）AP＝；（2）点B到直线AP的距离是；（3）∠APB＝；（4）S△APB ＝．三．解答题（共30小题）31．（1）如图（1），分别以Rt△ABC三边为直径向外作三个正方形，其面积分别用S1，S2，S3表示，写出S1，S2，S3之间关系．（不必证明）（2）如图（2），分别以Rt△ABC三边为边向外作三个半圆，其面积分别用S1，S2，S3表示，确定它们的关系证明；（3）如图（3），分别以Rt△ABC三边为边向外作正三角形，其面积分别用S1，S2，S3表示，确定它们的关系并证明．32．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c．（1）若a：b＝3：4，c＝75cm，求a、b；（2）若a：c＝15：17，b＝24，求△ABC的面积；（3）若c﹣a＝4，b＝16，求a、c；（4）若∠A＝30°，c＝24，求c边上的高h c；（5）若a、b、c为连续整数，求a+b+c．33．一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m．（1）如果梯子的顶端下滑1m，那么梯子的底端也将下滑1m吗？说明你的方法；（2）如果梯子的顶端下滑2m呢？说说你的理由．34．如图所示，在平静的湖面上，有一支红莲，高出水面1m，一阵风吹来，红莲吹到一边，花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为2m，求水深是多少？35．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，作DE⊥AC于点E．（1）若AD＝CD，求∠C的度数．（2）若AB＝6，BC＝8．①求AE的长度；②求△ACD的面积．36．在四边形ABCD中，AB＝AD＝8，∠A＝60°，∠D＝150°，四边形周长为32，求BC和CD的长度．37．如图，A、B两个小集镇在河流CD的同侧，分别到河的距离为AC＝5千米，BD＝15千米，且CD＝15千米，现在要在河边建一自来水厂，向A、B两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万．（1）请你在河流CD上设计选择水厂的位置M，使铺设水管的费用最节省（作图）．（2）请你求出铺设水管的长及总费用是多少？38．一架梯子AB长25m，如图斜靠在一面墙上，梯子底端B离墙7m．（1）这个梯子的顶端距地面有多高？（2）如果梯子的顶端下滑了4m，那么梯子的底端在水平方向也滑动了4m吗？如果不是，梯子的底端在水平方向上滑动了多长的距离呢？39．如图，△ABC中，CE、CF分别是∠ACB及外角∠ACD的平分线，且CE交AB于点E，EF交AC于点M，已知EF∥BC．（1）求证：M为EF中点；（2）若EM=3，求CE²+CF²的值．40．如图，Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝3，AC的垂直平分线DE分别交AB，AC于D，E两点．求CD 的长．41．如图1，在4×8的网格纸中，每个小正方形的边长都为1，动点P、Q分别从点D、A同时出发向右移动，点P的运动速度为每秒1个单位，点Q的运动速度为每秒0.5个单位，当点P运动到点C时，两个点都停止运动，设运动时间为t（0＜t＜8）．（1）请在4×8的网格纸图2中画出t为6秒时的线段PQ．并求其长度；（2）当t为多少时，△PQB是以PQ为腰的等腰三角形？42．若△ABC的三边长为a，b，c，根据下列条件判断△ABC的形状．（1）a2+b2+c2+200＝12a+16b+20c（2）a3﹣a2b+ab2﹣ac2+bc2﹣b3＝0．43．在△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c，设c为最长边，当a2+b2＝c2时，△ABC是直角三角形；当a2+b2≠c2时，利用代数式当a2+b2和c2的大小关系，可以判断△ABC的形状（按角分类）．（1）请你通过画图探究并判断：当△ABC三边长分别为6、8、9时，△ABC三角形：当△ABC三边长分别为6、8、11时，△ABC三角形．（2）小明同学根据上述探究．猜想：“当a2+b2＞c2时．△ABC为锐角三角形；当a2+b2＜c2时，△ABC为钝角三角形．”请你根据小明的猜想完成下面的问题：当a＝7、b＝24时，最长边c在什么范围内取值时，△ABC是锐角三角形、钝角三角形？44．已知△ABC的三边长分别为a、b、c，且a、b、c满足a2+b+|﹣2|＝10a+2﹣24，是判断△ABC的形状．45．在△ABC中，AB＝15，AC＝13，AD是BC上的高，AD＝12，求△ABC的周长和面积．46．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，AE＝2，DF＝1，请你判定△BEF的形状，并说明理由．47．有一个圆柱，它的高等于12cm，底面上圆的周长等于18cm．在圆柱下底面的点A有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与点A相对的点B处的食物，沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？（1）自己做一个圆柱，尝试从点A到点B沿圆柱侧面画出几条路线，你觉得哪条路线最短？（2）如图，将圆柱侧面剪开展成一个长方形，从点A到点B的最短路线是什么？（3）蚂蚁从点A出发，想吃到点B处的食物，它沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？解：由题意，得AC＝cm，AD＝cm，所以DB＝cm，在Rt△ADB中，由勾股定理，得AB＝（cm）．48．如图，一只蚂蚁从长为7cm、宽为5cm，高是9cm的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所走的最短路线的长是多少？49．如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，DE垂直平分AC，垂足为O，AD∥BC．（1）求证：OD＝OE．（2）若AB＝3，BC＝4，求AD的长．50．如图所示，已知等腰三角形ABC的底边BC＝20cm，D是腰AB上一点，且CD＝16cm，BD＝12cm，求△ABC 的周长．51．如图，△ABC中，AB＝10，BC＝9，AC＝17，求△ABC的面积．52．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，BC＝4cm，若点P从点A出发，以每秒1cm的速度沿折线A﹣B ﹣C﹣A运动，设运动时间为t（t＞0）秒．（1）AC＝cm；（2）若点P恰好在AB的垂直平分线上，求此时t的值；（3）在运动过程中，当t为何值时，△ACP是以AC为腰的等腰三角形（直接写出结果）？53．勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．勾股定理内容为：如果直角三角形的两条直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2+b2＝c2．（1）如图2、3、4，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足S1+S2＝S3的有个；（2）如图5所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别为S1，S2，直角三角形面积为S3，请判断S1，S2，S3的关系并证明；（3）如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到如图6所示的“勾股树”．在如图7所示的“勾股树”的某部分图形中，设大正方形M的边长为定值m，四个小正方形A，B，C，D的边长分别为a，b，c，d，已知∠1＝∠2＝∠3＝∠α，则当∠α变化时，回答下列问题：（结果可用含m的式子表示）①a2+b2+c2+d2＝；②b与c的关系为，a与d的关系为．54．如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，BC＝15，CD＝12，AD＝16．（1）求BD的长；（2）求△ABC的面积；（3）判断△ABC的形状．55．如图，铁路上A，B两点相距25km，C，D为两村庄，DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B，已知DA＝15km，CB ＝10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C，D两村到E站的距离相等，则E站应建在离A 站多少km处？56．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，BC＝4，BD＝2.5．（1）则点D到直线AB的距离为．（2）求线段AC的长．57．（1）如图，作直角边为1的等腰Rt△OA1A2，则其面积S1＝；以OA2为一条直角边，1为另一条直角边作Rt △OA2A3，则其面积S2＝；以OA2为一条直角边，1为另一条直角边作Rt△OA3A4，则其面积S3＝，……则S4＝；（2）请用含有n（n是正整数）的等式表示S n，并求+++...+的值．58．在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，D、E是直线AB上两点．∠DCE＝45°（1）当CE⊥AB时，点D与点A重合，求证：DE2＝AD2+BE2；（2）如图，当点D不与点A重合时，求证：DE2＝AD2+BE2；（3）当点D在BA的延长线上时，（2）中的结论是否成立？画出图形，说明理由．59．我市某中学有一块四边形的空地ABCD，如图所示，为了绿化环境，学校计划在空地上种植草皮，经测量∠B ＝90°，AB＝6m，BC＝8m，CD＝24m，AD＝26m．（1）求出空地ABCD的面积；（2）若每种植1平方米草皮需要350元，问总共需投入多少元？60．如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为2cm/秒，设点P运动的时间为t秒．（1）当△PBC是以BC为斜边的直角三角形时，求t的值；（2）当△PBC为等腰三角形时，求t的值．。

勾股定理培优题

勾股定理一、知识要点1、勾股定理勾股定理在西方又被称为毕达哥拉斯定理，它有着悠久的历史，蕴含着丰富的文化价值，勾股定理是数学史上的一个伟大的定理，在现实生活中有着广泛的应用，被人誉为“千古第一定理” .勾股定理反映了直角三角形（三边分别为a 、b 、c ，其中c 为斜边）的三边关系，即a 2+b 2=c 2，它的变形式为c 2-a 2=b 2或c 2-b 2=a 2.勾股定理是平面几何中最重要的几何定理之一，在几何图形的计算和论证方面，有着重要的应用，它沟通了形与数，将几何论证转化为代数计算，是一种重要的数学方法. 2、勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a 、b 、c 满足a 2+b 2=c 2，则这个三角形是以c 为斜边的直角三角形.勾股定理的逆定理给出了判定一个三角形是直角三角形的方法，这种方法与前面学过的一些判定方法不同，它是通过代数运算“算”出来的，实际上利用计算证明几何问题在几何里也是很重要的，这是里体现了数学中的重要思想——数形结合思想，突破了利用角与角之间的转化计算直角的方法，建立了通过求边与边的关系来判断直角的新方法，它将数形之间的联系体现得淋漓尽致.因此也有人称勾股定理的逆定理为“数形结合的第一定理”.二、基本知识过关测试1.如果直角三角形的两边为3，4，则第三边a 的值是 .2.如图，图形A 是以直角三角形直角边a 为直径的半圆，阴影S A = .3.如图，有一个圆柱的高等于12cm ，底面半径3cm ，一只蚂蚁要从下底面上B 点处爬至上底与B 点相对的A 点处，所需爬行的最短路程是 .4.如图.在 △ABC 中，CD ⊥AB 于D ，AB =5，CD=BCD =30° ，则AC = . 5.的线段.6.在下列各组数中 ①5，12，13 ；②7，24，25；③32，42，52；④3a ，4a ，5a ；⑤a 2+1，a 2-1，2a (a ＞1)；⑥m 2-n 2，2mn ，m 2+n 2(m ＞n ＞0)可作直角三角形三边长的有组.7.如图，四边形ABCD 中，AB =1，BC =2，CD =2，AD =3，AB ⊥BC ，则四边形ABCD 的面积是 .第2题图第3题图第4题图第7题图8.如图，在正方形ABCD 中，F 为DC 中点，E 为BC 上一点，且EC =14BC ，试判断△ AEF 的形状.三、综合.提高.创新BADCBADCBAFE DCB A【例1】（1）在三角形纸片ABC 中，∠C =90°，∠A =30°，AC =3，折叠该纸片，使点A 与点B 重合，折痕与AB 、AC 分别相交于点D 和点E （如图），折痕DE 的长是多少？（2）如图，在矩形ABCD 中，AB =8，AD =10，按如图所示折叠，使点D 落在BC 上的点E 处，求折痕AF 的长.（3）如图，正三角形ABC 的边长为2，M 是AB 边上的中点，P 是BC 边上任意一点，PA +PM 的最大值和最小值分别记作S 和T ，求S 2-T 2的值.【练】如图，四边形ABCD 是长方形，把△ACD 沿AC 折叠到△ACD ′，AD ′与BC 交于E ，若AD =4，DC =3，求BE .【例2】（1）如图，△ABC 中，∠C =60°，AB =70，AC =30，求BC 的长.EDC BAFEDCBAPMCAD 'EDCB A（2）如图，在四边形ABCD 中，AB =2，CD =1，∠A =60°， ∠B =∠D =90°，求四边形ABCD 的面积.【练】如图，△ABC 中，A =150°，AB =2，BCAC 的长.【例3】（1）如图，△ABC 中，AB =AC =20，BC =32，D 为BC 上一点，AD ⊥AB ，求CD .（2）如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，D 、E 分别是BC 、AC 中点，AD =5，BE=，求AB .【例4】如图，△ABC 中，∠ACB =90°，CD ⊥AB 于D ，设AC =b ，BC =a ，AB =c ，CD =h ，求证：CBADCBACBADCBAEDC BA（1）222111a b h +=；（2）a +b ＜c +h ；（3）以a +b ，h 和c +h 为边的三角形是直角三角形.【例5】（1）如图，ABCD 为矩形，P 为矩形ABCD 所在平面上一点，求证：PA 2-PB 2=PD 2 -PC 2.（2）锐角△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，若∠B =2∠C ，求证：AC 2=AB 2+AB ·BC .变式：如图，AM 是△ABC 的BC 边上的中线，求证：AB 2+AC 2=2(AM 2+BM 2).（3）如图，△ABC 中，AB =AC ，P 为线段BC 上一动点，试猜想AB 2，AP 2， PB ，PC 有何关系，并加以证明.D CBAPDCB ADCBAM BA变式：若点P 在BC 的延长线上，如图，（3）中结论是否仍然成立？并证明.（4）在等腰Rt △ABC 的斜边AB 所在的直线上取点P 并设s =AP 2+BP 2，试探求P 点位置变化时，s 与2CP 2的大小关系，并证明.变式：若点P 在BA 的延长线上，如图中，（4）中结论是否仍然成立？并证明.【例6】（1）如图，△ABC 中，D 为BC 边上的中点，以D 为顶点作∠EDF =90°，DE 、DF 分别交AB 、AC 于E 、F ，且BE 2+FC 2=EF 2，求证：∠BAC =90°.P CB APC APCBACBAFED（2）在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，E，F分别是BC上两点，若∠EAF=45°，试推断BE，CF，EF之间的关系，并证明.AB C变式一:将（2）中△AEF旋转至如图所示，上述结论是否仍然成立？试证明.AE变式二：如图，△AEF中∠EAF=45°，AG⊥EF于G，且GF=2，GE=3，求S△AEF.AG【例7】（1）在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P为△ABC内一点，且PA=3，PB=1，PC=2，求∠BPC的度数.（2）如图，在四边形ABCD 中，∠ABC =30°，∠ADC =60°，AD =CD ，求证BD 2=AB 2+BC 2.【例8】在等腰△ABC 中，AB =AC ，边AB 绕点A 逆时针旋转角度m ，得到线段AD . （1）如图1，若∠BAC =30°，30°＜m ＜80°，连接BD ，请用含m 的式子表示∠DBC ;（2）如图2，若∠BAC =90°，0°＜m ＜360°，射线AD 与直线BC 相交于点E ，是否存在旋转角度m，使AEBE若存在，求出所有符合条件的m 的值；若不存在，请说明理由.【例9】（1）已知点P 在一、三象限的角平分线上，且点P 到点A （3，6）的距离为PA =15，求点P 的坐标；PCBADCBADCB AE DCBA（2）已知直角坐标平面内的△ABC三个顶点的坐标分别为A（-1，4），B（-4，-2），C（2，-2），试判断△ABC的形状；（3的最小值；（4）已知a＞0，b＞0.自我归纳：四、课后练习1.如图，一艘货轮向正北方向航行，在点A处测得灯塔M在北偏西30°，货轮以每小时20海里的速度航行，1小时后到达B处，测得灯塔M在北偏西45°，问该货轮到达灯塔正东方向D处时，货轮与灯塔M的距离是多少？2.在△ABC 中，A =30°，B =45°，BC =10cm ，求AB ，AC 及△ABC 的面积.3.（1）如图，把长方形沿ABCD 对角线折叠，重合部分为△EBD . 1）求证和：△EBD 为等腰三角形； 2）若AB =2，BC =8，求AE .（2）如图，折叠长方形ABCD 的一边AD ，使点D 落在BC 边上，已知AB =8cm ，CE =4cm ，求AD .4．如图，△ABC 是等腰三角形，∠BAC =90°，AB =AC ，D .E .是BC 上的两点，且∠DAE =45°，若BD =6，EC =8，求DE 的长.MDB A北C 'EDCB AFED CBA5．如图，在等腰三角形中，AB=AC，D是斜边BC的中点，E、F分别为AB，AC边上的点，且DE⊥DF. （1）求证：BE2+CF2=EF2；（2）若BE=12，CF=5，试求△DEF的面积.6．如图，等腰Rt△ABC中，∠A=90°，P为△ABC内一点，PA=1，PB=3，PC，求∠CPA.7．（1）如图1，已知点P是矩形ABCD内一点，求证：PA2+PC2=PB2+PD2. （2）①如果点P移动到矩形的一边或顶点时，如图2，（1）中结论仍成立；C BAEDFC BAEPCB AAB CDP②如果点P移动到矩形ABCD的外部时，如图3，（1）中结论仍成立.请在以上两个结论中任选一个并给出证明.归纳结论：8．如图，△ABC中，AD是BC边的中点，AE是BC边上的高，求证：AB2-AC2=2BC·DE.9.10．试判断，三边长分别为2n2+2n，2n+1，2n2+2n+1（n>0）的三角形是否为直角三角形？11．已知a，b，x，y.PDCBAPDCBAED C BA12．如图，Rt△ABC的两直角边AB=4，AC=3，△ABC内有一点P，PD⊥BC于D，PE⊥AC于E，PF⊥AB于F，且AB PF+AC PE +BCPD=12，求PD、PE、PF的长.PFED CBA欢迎您的下载，资料仅供参考！致力为企业和个人提供合同协议，策划案计划书，学习资料等等打造全网一站式需求。

完整版)勾股定理培优专项练习

完整版)勾股定理培优专项练习勾股定理练（根据对称求最小值）基本模型：已知点A、B为直线m同侧的两个点，请在直线m上找一点M，使得AM+BM有最小值。

1、已知边长为4的正三角形ABC上一点E，AE=1，AD⊥BC于D，请在AD上找一点N，使得EN+BN有最小值，并求出最小值。

解：由于AE=1，所以DE=√3.连接BE，设∠EBN=x，则∠EBD=∠ABE-x=60°-x。

由正弦定理得：EN/ sinx = BN/sin(60°-x)。

=。

EN/BN = sinx/sin(60°-x)由于sinx/sin(60°-x)在[0,1]内单调递增，所以EN/BN最小值对应的x值也是最小值。

又由于XXX，所以问题转化为：在直线AD上找一点N，使得MN+EB最小。

连接AC，设交点为F，则∠ABF=∠FBD=30°，BF=AB/2=2.由于AF=AD-DF=√3-DF，所以MN+EB=BF+MN+EF=BF+FN。

由于FN=AF-AN=AF-AE=√3-1，所以MN+EB=2+MN+√3-1=MN+3+√3.因此，EN+BN的最小值为3+√3，此时x=30°。

2、已知边长为4的正方形ABCD上一点E，AE=1，请在对角线AC上找一点N，使得EN+BN有最小值，并求出最小值。

解：连接BE，设∠EBN=x，则∠EBD=∠ABE-x=45°-x。

由正弦定理得：EN/sinx = BN/sin(45°-x)。

=。

EN/BN = sinx/sin(45°-x)由于sinx/sin(45°-x)在[0,1]内单调递增，所以EN/BN最小值对应的x值也是最小值。

又由于XXX，所以问题转化为：在对角线AC上找一点N，使得MN+EB最小。

连接BD，设交点为F，则∠ABF=∠FBD=45°，BF=AB/√2=2√2.由于AF=AD-DF=4-DF，所以MN+EB=BF+MN+EF=BF+FN。

勾股定理培优

第一章回顾与思考（勾股定理培优）【课前预习】按自学提纲阅读教材。

【学习目标】1、复习巩固勾股定理及其逆定理的内容；2、能利用勾股定理及其逆定理解决实际问题。

【自学过程】1、回顾完成以下知识点：（1）勾股定理：直角三角形的平方和等于的平方，即：a2+b2=c2。

公式变形：a2 = ； b2= 。

（a=22b c - ；22b c b -=；22b a c +=）（2）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长：a 、b 、c 满足，那么这个三角形是直角三角形。

（3）满足222c b a =+的三个，称为勾股数。

【例题讲解】1. 已知△ABC 中，AB=20，AC=15，BC 边上的高为12，求△ABC 的周长。

2．如右图，在Rt △ABC 中，∠C=90°,AM 是中线MN ⊥AB ，垂足为N ，试证明：222AN BN AC -=。

3．一直角三角形的一直角边长为7，另两条边长为两连续整数，求这个直角三角形的周长。

4．如果一个直角三角形的三条边长是三个连续整数，求这个三角形的周长。

5．如图，某同学将一直角三角形纸片折叠，A 与B 重合，折痕为DE ，若已知AC=10cm ，BC=6cm,你能求出CE 的长吗？6．已知：如图，将正方形纸片ABCDD 落在F 处，若正方形边长为1，求DE 。

7．如图，在△ABC 中，AB=AC ，P 为BC 上的任意一点（不与B ，C 重合）。

求证：（1）22AB AP BP PC -= （2）2222BP PC AP +=8．一个直角三角形的边长都是整数，它的面积和周长的数值相等，这样的直角三角形是否存？若存在，确定它的三边长，若不存在，说明理由。

9．已知：△ABC 中，AB=15cm,AC=24cm ,∠A=60°,求BC 的长。

10．如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，且A E ⊥BC 于E ，若AB=12，BC=10，AC=8，11．如图，长方形ABCD 中，AB=8。

专题2.11勾股定理的应用(重难点培优)(原卷版)【浙教版】

专题2.11勾股定理的应用（重难点培优）姓名：__________________班级：______________得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2021春•长沙期中）如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地AB＝2.5米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一个身高1.6米的学生CD正对门，缓慢走到离门1.2米的地方时（BC＝1.2米），感应门自动打开，则人头顶离感应器的距离AD等于（）A．1.2米B．1.5米C．2.0米D．2.5米2．（2021春•东湖区期中）如图，有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，求水的深度是（）尺．A．8B．10C．13D．123．（2020秋•和平区期末）如图，有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池的中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，则这个水池的深度是（）尺．A．26B．24C．13D．124．（2020秋•化州市期末）一根竹竿插到水池中离岸边1.5m远的水底，竹竿高出水面0.5m，若把竹竿的顶端拉向岸边，则竿顶刚好接触到岸边，并且和水面一样高，问水池的深度为（）A．2m B．2.5cm C．2.25m D．3m5．（2020•巴中）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”意思是：一根竹子，原来高一丈（一丈为十尺），虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离原竹子根部三尺远，问：原处还有多高的竹子？（）A．4尺B．4.55尺C．5尺D．5.55尺6．（2020秋•历城区期中）古代数学的“折竹抵地”问题：“今有竹高二十五尺，末折抵地，去本五尺，问折者高几何？”意思是：现有竹子高25尺，折后竹尖抵地与竹子底部的距离为5尺，问折处高几尺？即：如图，AB+AC＝25尺，BC＝5尺，则AC等于（）尺．A．5B．10C．12D．137．（2020春•南岗区校级期中）将一根24cm的筷子，置于底面直径为15cm，高8cm的装满水的无盖圆柱形水杯中，设筷子浸没在杯子里面的长度为hcm，则h的取值范围是（）A．h≤15cm B．h≥8cm C．8cm≤h≤17cm D．7cm≤h≤16cm8．（2021春•海珠区校级月考）如图，一根垂直于地面的旗杆在离地面5m的B处撕裂折断，旗杆顶部落在离旗杆底部12m的A处，则旗杆折断部分AB的高度是（）A．5m B．12m C．13m D．18m9．（2020春•钦州期末）如图，甲船以20海里/时的速度从港口O出发向西北方向航行，乙船以15海里/时的速度同时从港口O出发向东北方向航行，则2小时后，两船相距（）A．40海里B．45海里C．50海里D．55海里10．（2020秋•历城区期末）如图，为了测算出学校旗杆的高度，小明将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在与旗杆等长的地方打了一个结，然后将绳子底端拉到离旗杆底端5米的地面某处，发现此时绳子底端距离打结处约1米，则旗杆的高度是（）A．12B．13C．15D．24二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．（2021春•越秀区校级期中）如图，公路MN和公路PQ在点P处交会，公路PQ上点A处有学校，点A 到公路MN的距离为80m．现有一卡车在公路MN上以5m/s的速度沿PN方向行驶，卡车行驶时周围100m以内都会受到噪音的影响，请你算出该学校受影响的时间为秒．12．（2020秋•成华区校级月考）将一根24cm的筷子，置于底面直径为5cm、高为12cm的圆柱体中，如图，设筷子露出在杯子外面长为hcm，则h的最小值，h的最大值．13．（2021•宜兴市模拟）如图是高空秋千的示意图，小明从起始位置点A处绕着点O经过最低点B．最终荡到最高点C处，若∠AOC＝90°，点A与点B的高度差AD＝1米，水平距离BD＝4米，则点C与点B的高度差CE为米．14．（2021•杭州一模）如图，小明想要测量学校旗杆AB的高度，他发现系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，从而测得绳子比旗杆长a米，小明将这根绳子拉直，绳子的末端落在地面的点C处，点C距离旗杆底部b米（b＞a），则旗杆AB的高度为米（用含a，b的代数式表示）．15．（2020秋•新都区期末）如图，有一直立旗杆，它的上部被风从点A处吹折，旗杆顶点B落地，离杆脚6米，修好后又被风吹折，因新断处点D比上一次高1米，故杆顶E着地点比上次近2米，则原旗杆的高度为米．16．（2021•宿迁）《九章算术》中一道“引葭赴岸”问题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深，葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其地面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇AC生长在它的中央，高出水面部分BC为1尺，如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部C恰好碰到岸边的C'处（如图），水深和芦苇长各多少尺？则该问题的水深是尺．17．（2020秋•仪征市期末）如图，某斜拉桥的主梁AD垂直于桥面MN于点D，主梁上两根拉索AB、AC 长分别为13米、20米，主梁AD的高度为12米，则固定点B、C之间的距离为米．18．（2021•盂县一模）《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃（读kǔn，门槛的意思）一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意是：如图1、2（图2为图1的平面示意图），推开双门，双门间隙CD的距离为2寸，点C和点D距离门槛AB都为1尺（1尺＝10寸），则AB的长是寸．三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（2020秋•长春期末）《城市交通管理条例》规定：小汽车在城市街路上的行驶速度不得超过70千米/时．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测仪A正前方30米的C处，过了2秒后，小汽车行驶至B处，若小汽车与观测点间的距离AB为50米，请通过计算说明：这辆小汽车是否超速？20．（2020秋•荥阳市期中）郑州市CBD如意湖的两岸有A，B两棵景观树，数学兴趣小组设计实验测量两棵景观树之间的距离，他们在与AB垂直的BC方向上取点C，测得BC＝30米，AC＝50米．求：（1）两棵景观树之间的距离；（2）点B到直线AC的距离．21．（2020秋•太原期中）如图是一块四边形木板，其中AB＝16cm，BC＝24cm，CD＝9cm，AD＝25cm，∠B＝∠C＝90°．李师傅找到BC边的中点P，连接AP，DP，发现△APD是直角三角形，请你通过计算说明理由．22．（2020秋•青羊区校级月考）如图，有两条公路OM和ON相交成30°角，沿公路OM方向离两条公路的交叉处O点160米的A处有一所希望小学，当拖拉机沿ON方向行驶时，路两旁100米内会受到噪声影响．已知有一台拖拉机正沿ON方向行驶，速度为5米/秒．（1）该小学是否受到噪声的影响，并说明理由．（2）若该小学要受到噪声的影响，则这台拖拉机沿ON方向行驶时给小学带来噪声影响的时间是多少？23．（2020秋•南山区期末）如图，小旭放风筝时，风筝线断了，风筝挂在了树上．他想知道风筝距地面的高度．于是他先拉住风筝线垂直到地面上，发现风筝线多出1米，然后把风筝线沿直线向后拉开5米，发现风筝线末端刚好接触地面（如图为示意图）．请你帮小旭求出风筝距离地面的高度AB．24．（2020秋•惠来县期末）如图所示，一架梯子AB斜靠在墙面上，且AB的长为2.5米．（1）若梯子底端离墙角的距离OB为1.5米，求这个梯子的顶端A距地面有多高？（2）在（1）的条件下，如果梯子的顶端A下滑0.5米到点A'，那么梯子的底端B在水平方向滑动的距离BB'为多少米？。

第17章勾股定理-利用勾股定理逆定理证垂直专题培优突破(教案)

-举例：如何运用勾股定理逆定理计算斜边长度，或确定一个直角三角形的形状。
-难点四：平方运算的准确性和效率。在进行计算时，学生可能会因为平方运算的失误导致结果错误。
-举例：在计算过程中，如何避免出现计算错误，提高运算速度和准确性。
-难点五：逆向思维能力的培养。逆定理的运用要求学生具备逆向思维能力，这对于部分学生来说是一个挑战。
此外，小组讨论环节，学生的参与度还有待提高。有些学生在讨论中显得比较被动，可能是因为他们对主题不够感兴趣，或者是对自己的观点缺乏信心。为了激发学生的讨论兴趣，我可以在选题上下一些功夫，选择更贴近他们生活、更具趣味性的问题。
在实践活动方面，我注意到学生们的操作能力和团队协作能力得到了锻炼，但仍有部分学生在实验过程中对勾股定理逆定理的应用不够熟练。针对这个问题，我打算在课后辅导中加强对这部分学生的关注，帮助他们巩固知识点。
-学会运用勾股定理逆定理判断三角形的类型，特别是识别直角三角形的特征。
-通过实际例题，强调勾股定理逆定理在解决几何问题中的应用，如证明两条线段垂直或确定直角三角形的未知边长。
-熟练掌握勾股定理逆定理相关的解题步骤和技巧，如正确选择数据、进行平方运算和比较大小。
2.教学难点
-难点一：理解逆定理的逻辑结构。学生需要理解勾股定理和逆定理之间的逻辑关系，明白逆定理是勾股定理的逆命题，并能够逆向运用定理。
1.培养学生的逻辑推理能力，通过勾股定理逆定理的推导和应用，使学生掌握数学证明的基本方法，提高逻辑思维水平。
2.增强学生的空间观念，通过分析直角三角形的特性，培养学生对几何图形的认识和空间想象能力。
3.提升学生的问题解决能力，使学生能够将勾股定理逆定理应用于解决实际问题，增强数学知识在实际生活中的运用。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。

八下勾股定理培优-含答案

第17章《勾股定理》拔高训练一．选择题1．一支长为13cm 的金属筷子（粗细忽略不计），放入一个长、宽、高分别是4cm 、3cm 、16cm 的长方体水槽中，那么水槽至少要放进（）深的水才能完全淹没筷子．A ．13cmB ．410cmC ．12cmD ．153cm2. 如图，已知直线a ∥b ，且a 与b 之间的距离为4，点A 到直线a 的距离为2，点B 到直线b 的距离为3，AB =230．试在直线a 上找一点M ，在直线b 上找一点N ，满足MN ⊥a 且AM+MN+NB 的长度和最短，则此时AM+NB 等于（）A ．6B ．8C ．10D ．123．如图，在4×4方格中作以AB 为一边的Rt △ABC ，要求点C 也在格点上，这样的Rt △ABC 能作出（）A ．2个B ．3个C ．4个D ．6个第2题第3题第5题第6题4．直角三角形的三边为a ﹣b ，a ，a+b 且a ，b 都为正整数，则三角形其中一边长可能为（）A ．61B ．71C ．81D ．915．四个全等的直角三角形按图示方式围成正方形ABCD ，过各较长直角边的中点作垂线，围成面积为S 的小正方形EFGH ．已知AM 为Rt △ABM 较长直角边，23AM EF ，则正方形ABCD 的面积为（）A ．14SB ．13SC ．12SD ．11S6．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB ，垂足为D ，AF 平分∠CAB ，交CD 于点E ，交CB 于点F ．若AC=3，AB=5，则CE 的长为（）A ．32B ．43C ．53D ．857．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AB=4，分别以AC ，BC 为直径作半圆，面积分别记为S 1，S2，则S1+S2的值等于（）A．2πB．3πC．4πD．8π第7题第9题第10题8．直角三角形一直角边长为12，另两边长均为自然数，则其周长为（）A．36 B．28 C．56 D．不能确定9．如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是（）D．35A．521B．25 C．1055二．填空题10．如图，MN垂直平分线段AB，P是射线MN上的一个动点，连接P A，PB，过点P作CD∥AB，点G在直线CD上，连接GA、GB，已知AB=4，若满足△GAB是等腰三角形的点G有且只有3个，则PM的长为．11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90，AC=3，B C=4，分别以AB、AC、BC为边在AB同侧作正方形ABEF，ACPQ，BDMC，记四块阴影部分的面积分别为S1、S2、S3、S4，则S1+S2+S3+S4=．12．如图，在△ABC中，AB=BC=8，AO=BO，点M是射线CO上的一个动点，∠AOC=60°，则当△ABM为直角三角形时，AM的长为．第11题第12题第14题13．△ABC是等腰三角形，腰上的高为8cm，面积为40cm2，则该三角形的周长是cm．14．我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B 处，则问题中葛藤的最短长度是尺．15．如图，一只蚂蚁沿着边长为2的正方体表面从点A出发，经过3个面爬到点B，如果它运动的路径是最短的，则最短距离为．第15题第16题第17题16．如图所示的是一段楼梯，高BC=3 m，斜边AB=5m，现计划在楼上铺地毯，至少需要地毯的长为m．17．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，按图中所示方法将△BCD沿BD折叠，使点C 落在边AB上的点C′处，则折痕BD的长为．18．已知一个直角三角形的两边长分别是3和4，则以第三边为边长的正方形面积为．19．如图，E、F、G、H分别为正方形ABCD的边AB、BC、CD、DA上的点，且AE=BF=CG=DH=13 AB，则图中阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为．第19题第20题20．如图，将矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上F点处，已知CE=3 cm，AB=8 cm，则图中阴影部分面积为cm2．三．解答题（共20小题）21．两个城镇A、B与两条公路ME，MF位置如图所示，其中ME是东西方向的公路．现电信部门需在C处修建一座信号发射塔，要求发射塔到两个城镇A、B的距离必须相等，到两条公路ME，MF的距离也必须相等，且在∠FME的内部．（1）那么点C应选在何处？请在图中，用尺规作图找出符合条件的点C．（不写已知、求作、作法，只保留作图痕迹）（2）设AB的垂直平分线交ME于点N，且MN=4km，在M处测得点C位于点M的北偏东60°方向，在N处测得点C位于点N的北偏西45°方向，求点C到公路ME的距离．（结果保留根号）22．王伟准备用一段长30米的篱笆围成一个三角形形状的小圈，用于饲养家兔．已知第一条边长为a米，由于受地势限制，第二条边长只能是第一条边长的2倍多2米．（1）请用a表示第三条边长；（2）问第一条边长可以为7米吗？请说明理由，并求出a的取值范围；（3）能否使得围成的小圈是直角三角形形状，且各边长均为整数？若能，说明你的围法；若不能，说明理由．23．能够成为直角三角形三边长的三个正整数，我们称之为一组勾股数，观察下列表格所给出的三个数a，b，c，a＜b＜c．（1）试找出它们的共同点，并证明你的结论；（2）写出当a=17时，b，c的值．3，4，5 32+42=525，12，13，52+122=1327，24，25 72+242=2529，40，41 92+402=412……172+b2=c217，b，c24．如图，已知△ABC是边长为1的等腰直角三角形，以Rt△ABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰Rt△ACD，再以Rt△ACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰Rt△ADE，如此类推．（1）求AC、AD、AE的长．（2）写出第n个等腰直角三角形的斜边长AN．25．如图，公路MN与公路PQ在点P处交汇，且∠QPN=30°，点A处有一所中学，AP=160m．假设拖拉机行驶时，周围100m以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否受到噪音影响？说明理由；如果受影响，且知拖拉机的速度为18km/h，那么学校受影响的时间是多少秒？26．在△ABC中，∠A=150°，AB=20m，AC=30m，求△ABC的面积．27．计算①2+32+6+10+15；②如图，四边形ABCD中∠A=60°，∠B=∠D=90°，AB=2，CD=1，求四边形ABCD的面积．28．一个直立的火柴盒在桌面上倒下，启发人们发现了勾股定理的一种新的证法．如图，火柴盒的一个侧面ABCD倒下到AB′C′D′的位置，连接CC′，设AB=a．BC=b，AC=c，请利用四边形BCC′C 的面积证明勾股定理．29．有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，现将ABC沿直线AD折叠，使AC落在斜边AB上，且与AE重合，求CD的长．30．如图，A、B两个小集镇在河流的同侧，分别到河岸L的距离为AC=10千米，BD=30千米，且CD=30千米，现在要在河边建一自来水厂，向A、B两镇供水，铺设水管的费用为每千米2万元，请你在河岸L上选择水厂的位置M（作图并标注出来），使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少？31．观察下列各式，你有什么发现？32=4+5，52=12+13，72=24+25，92=40+41，…用你的发现解决下列问题：（1）填空：112=+；（2）请用含字母n（n为正整数）的关系式表示出你发现的规律：；（3）结合勾股定理有关知识，说明你的结论的正确性．32．如图，某货船以20海里/时的速度将一批重要物资由A处运往正西方向的B处，经16小时的航行到达，到达后必须立即卸货．此时，接到气象部门通知，一台风中心正以40海里/时的速度由A 向北偏西60°方向移动，距台风中心200海里的圆形区域（包括边界）均会受到影响．（1）问：B处是否会受到台风的影响？请说明理由．（2）为避免受到台风的影响，该船应在多少小时内卸完货物？（供选用数据：2 1.43 1.7≈≈，）33．勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感，他惊喜的发现，当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明，下面是小聪利用图1证明勾股定理的过程：将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中∠DAB =90°，求证：a 2+b 2=c 2证明：连结DB ，过点D 作BC 边上的高DF ，则DF=EC=b ﹣a 。

勾股定理经典培优题及答案

勾股定理经典培优题类型之一勾股定理的验证1．小明利用如图17－X －1①所示的图形(三个正方形和一个直角三角形)验证勾股定理验证勾股定理，，他的方法如下：过点D 作直线FG ∥AC ，过点E 作直线GH ∥BC ，直线FG 与直线GH 交于点G ，与直线BC 交于点F ，直线GH 与直线AC 交于点H ，如图②所示．请你回答：(1)△ABC 与△BDF ，△DEG ，△EAH 有什么关系？为什么？(2)用含a ，b 的代数式表示正方形CFGH 的面积；(3)你能否根据图形面积之间的关系找到a ，b ，c 之间的数量关系？(4)你能得到什么结论？图17－X －1 2．勾股定理神秘而美妙勾股定理神秘而美妙，，它的证法多样它的证法多样，，其巧妙各有不同其巧妙各有不同，，其中的“面积法”给了小明灵感其中的“面积法”给了小明灵感，，他惊喜地发现他惊喜地发现，，当四个全等的直角三角形如图17－X －2摆放时摆放时，，可以用“面积法”来证明a 2＋b 2＝c 2.(请你写出证明过程) 图17－X －2 类型之二勾股定理及其应用3．等腰三角形的底边长为6，底边上的中线长为4，则它的腰长为() A ．7 B ．6 C ．5 D ．4 4．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，，创制了一幅“弦图”创制了一幅“弦图”，，后人称其为“赵爽弦图”．如图17－X －3是由弦图变化得到的是由弦图变化得到的，，它由八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形ABCD 、正方形EFGH 、正方形MNKT 的面积分别为S 1，S 2，S 3.若正方形EFGH 的边长为2，则S 1＋S 2＋S 3＝________. 图17－X －3 图17－X －4 5．图17－X －4①是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图①是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，，它是由四个全等的直角三角形围成的．若AC ＝12，BC ＝10，将四个直角三角形中边长为12的直角边分别向外延长一倍的直角边分别向外延长一倍，，得到图②所示的数学“风车”得到图②所示的数学“风车”，，则这个数学“风车”的外围周长是________．6．知识回顾：在学习《二次根式》时知识回顾：在学习《二次根式》时，，我们知道：2＋3≠5；在学习《勾股定理》时在学习《勾股定理》时，，由于2，3，5满足(2)2＋(3)2＝(5)2，因此以2，3，5为三边长能构成直角三角形．三角形．探索思考：请通过构造图形来说明：a ＋b ≠a ＋b (a ＞0，b ＞0)．(画出图形并进行解释) 7．在△ABC 中，AB ＝15，AC ＝20，D 是直线BC 上的一个动点上的一个动点，，连接AD ，如果线段AD 的长度最短是12，请你求△ABC 的面积．的面积．类型之三勾股定理的逆定理及其应用8．已知三组数据：①2，3，4；②3，4，5；③1，3，2.分别以每组数据中的三个数为三角形的三边长分别以每组数据中的三个数为三角形的三边长，，能构成直角三角形的有( ) A ．②B ．①②．①②C ．①③．①③D ．②③．②③ 9．如果△ABC 的三边长分别是m 2－1，m 2＋1，2m (m >1)，那么下列说法中正确的是( ) A ．△ABC 是直角三角形是直角三角形，，且斜边长为m 2＋1 B ．△ABC 是直角三角形是直角三角形，，且斜边长为2m C ．△ABC 是直角三角形是直角三角形，，且斜边长为m 2－1 D ．△ABC 不是直角三角形不是直角三角形10．若△ABC 的三边长a ，b ，c 满足关系式(a ＋2b －60)2＋|b －18|＋c －30＝0，则△ABC 是________三角形．类型之四勾股定理及其逆定理的综合应用图17－X －5 11．如图17－X －5，E 是正方形ABCD 内的一点内的一点，，连接AE ，BE ，CE ，将△ABE 绕点B 顺时针旋转90°到△CBE ′的位置．若AE ＝1，BE ＝2，CE ＝3，则∠BE ′C ＝________°. 12．如图17－X －6，在4×3的正方形网格中有从点A 出发的四条线段AB ，AC ，AD ，AE ，它们的另一个端点B ，C ，D ，E 均在格点上(正方形网格的交点)．(1)若每个正方形的边长都是1，分别求出AB ，AC ，AD ，AE 的长度(结果可以保留根号)；(2)在AB ，AC ，AD ，AE 四条线段中四条线段中，，是否存在三条线段是否存在三条线段，，它们能构成直角三角形？如果存在它们能构成直角三角形？如果存在，，请指出是哪三条线段条线段，，并说明理由．并说明理由．图17－X －6 类型之五勾股定理在实际生活中的应用图17－X －7 13．如图17－X －7是矗立在高速公路旁水平地面上的交通警示牌是矗立在高速公路旁水平地面上的交通警示牌，，经测量得到如下数据：AM ＝4米，AB ＝8米，∠MAD ＝45°，∠MBC ＝30°，则警示牌的高CD 为________米(结果精确到0.1米，参考数据：2≈1.41，3≈1.73)．14．如图17－X －8，A ，B 两地之间有一座山两地之间有一座山，，汽车原来从A 地到B 地需经过C 地沿折线ACB 行驶行驶，，现开通隧道后隧道后，，汽车直接沿直线AB 行驶．已知AC ＝10千米千米，，∠A ＝30°，∠B ＝45°则隧道开通后则隧道开通后，，汽车从A 地到B 地比原来少走多少千米？(结果保留根号) 图17－X －8 。

勾股定理培优练习题

勾股定理培优练习题1. 已知直角三角形的直角边分别为3cm和4cm，求斜边的长度。

解答：根据勾股定理，直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

设斜边长度为x，则有3^2 + 4^2 = x^2。

计算可得5^2 = x^2，因此x = 5。

所以，斜边的长度为5cm。

2. 已知直角三角形的斜边为13cm，一直角边为5cm，求另一直角边的长度。

解答：根据勾股定理，直角三角形的斜边的平方等于两直角边的平方和。

设另一直角边的长度为x，则有x^2 + 5^2 = 13^2。

计算可得x^2 + 25 = 169，即x^2 = 144。

所以，x = 12。

因此，另一直角边的长度为12cm。

3. 一座直角梯形的短边长度分别为6cm和8cm，斜边长度为10cm，求长边的长度。

解答：根据勾股定理，直角梯形斜边的平方等于长边的平方减去短边的平方。

设长边的长度为x，则有10^2 = x^2 - 8^2。

计算可得100 =x^2 - 64，即x^2 = 164。

所以，x = √164。

因此，长边的长度为√164cm。

4. 已知直角三角形某直角边的长度为9cm，斜边长度为15cm，求另一直角边的长度。

解答：根据勾股定理，直角三角形一直角边的平方和等于斜边的平方。

设另一直角边的长度为x，则有9^2 + x^2 = 15^2。

计算可得81 +x^2 = 225，即x^2 = 144。

所以，x = 12。

因此，另一直角边的长度为12cm。

5. 一直角三角形的两直角边的长度之比为3:4，斜边长度为10cm，求两直角边的长度。

解答：设两直角边的长度分别为3x和4x。

根据勾股定理，直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

所以，有(3x)^2 + (4x)^2 =10^2。

计算可得9x^2 + 16x^2 = 100，即25x^2 = 100。

解方程得x^2 = 4，所以x = 2。

因此，两直角边的长度分别为3x = 6cm和4x = 8cm。

人教版八下数学勾股定理专题培优

第十七章勾股定理 7.勾股定理（一）基础题训练01.在Rt △ABC 中，∠C =90°，a ＝3,b ＝4,则c =______. 【解答】：c =502. 在Rt △ABC 中，∠C =90°，a =6, c =10,则b =______. 【解答】：b =803. 在△ABC 中, ∠C =90°, ∠A=30°，则其三边a ：b ：c =__________ 【解答】：a ：b ：c =1:3:204. 在Rt △ABC 中，∠C =90°，∠A ，∠B , ∠C 的对边分别为a ，b ，c ，则下列结论正确的是（） A.222a cb =+ B. 222c b a =- C. 222b c a -= D. 222b c a =- 【解答】：C05.一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边分别为（）A.2、4、6B.4、6、8C.6、8、10D.3、4、5 【解答】：C06.等腰直角三角形的直角边为2，则斜边的长为（） A.2 B. 22 C.1 D.2【解答】：B07.已知等边三角形的边长为2cm,则等边三角形的面积为（）A. 32B.3 C.1 D. 2【解答】：B08.如图，在△ABC 中，∠C =90°，AB =15，则两个正方形面积的和为（）A.150B.200C.225D.350【解答】：C09. 在△ABC 中, ∠C =90°,c =20, a ：b =3:4，则a =_____. 【解答】：12ABC10. 如图，在△ABC 中，AB =AC =10cm ，高AD =8cm ，求BC 的长及S △ABC .【解答】：BC =12，S △ABC =48. 11.（2013·资阳）如图，点E 在正方形内，∠AEB = 90°，AE =6，BE =8，求阴影部分的面积.【解答】：S 阴 = 76.12. 如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，AB =3，BD =2，DC =1，求AC 的长.【解答】：AC=6.中档题训练13．已知直角三角形的两边为2和3，则第三边的长为【解答】（答案13或5）14．如图，已知直角△ABC 中，∠C =90°，3BC =，4AC =，CD ⊥AB 于D ．()1求AB 的长；()2 求CD 的长．DCBAABCDECBDA[解析] （1）5AB =；(2) 由面积法可求 125CD =15．已知直角△ABC 的周长为12cm ，一直角边的长为4cm ，求斜边的长？ [解析] 设另一直角边为x ，则斜边为8-x ，在Rt △ABC 中，2224(8x x +=-） ∴ 3x =， ∴ 斜边为835-= 16．如图在△ABC 中，AB BC =,∠ABC =90°，D 为AC 的中点，DE ⊥DF ,DE 交AB 于E ,DF BC 交于F1（）求证：BE CF =；(2) 若3AE =，1CF =，求EF 的长[解析] 1（）证△BED ≌△CFD (2) 10EF =综合题训练17．如图CA CB =，CD CE = ，∠ACB =∠ECD 90=°，D 为AB 边上一点．若1AD =，3BD =，求CD 的长．[解析] 由△ACE ≌△BCD 可得，∠EAC =∠45B =°，∠90EAD =°，2222210DE AD AE AD BD =+=+=，10DE =5CD =8. 勾股定理（二）基础训练01.在直角坐标系中，点P（－2,3）到原点的距离为【解答】：1302.如图，∠ACB＝∠ABD＝90，AC＝2，BC＝1，AD＝14,则BD＝【解答】303.已知△ABC中，AB＝AC＝10，BD是AC边上的高，CD＝2，则BD为（）A.4B.6C.8D.210【解答】B04.如图，每个小正方形的边长为1，ABC中边长为无理数的边共有（)条A.0B.1C.2D.3【解答】C05.一座建筑物发生了火灾，消防车到达现场后，发现最多只能靠近建筑物底端5米，消防车的云梯最大升长为13米，则云梯可以达到该建筑物的最大高度是（)A.12米B.13米C.14米D.15米【解答】A06.把三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍，则其斜边扩大到原来的（）A.1倍B.2倍C.3倍D.4倍【解答】B07.如图，在水塔的东北方向32m 处有一抽水站A,在水塔的东南方向24m 处有一建筑工地B,在A,B间建一条水管，则水管AB的长为（)A.45mB.40mC.50mD.60m【解答】B08.一直角三角形的斜边长比一直角边的长大2，另一直角边长为6，则斜边长为（)A.4B.8C.10D.12【解答】C09.如图，有两棵树，一棵树高10米，另一棵树高4米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则小鸟至少飞行（ )A.8米B.10米C.12米D.14米【解答】B10.如图，将一个有45°角的三角板ABC 的直角顶点C 放在一张宽为3cm 的纸带边沿上，另一顶点B 在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30°角，求三角板最大边AB 的长。

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第1讲(学生) 勾股定理 培优

初中数学培优教材勾股定理专题附答案-全面、精选

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专题2.11勾股定理的应用(重难点培优)(原卷版)【浙教版】

第17章勾股定理-利用勾股定理逆定理证垂直专题培优突破(教案)

八下勾股定理培优-含答案

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