浙江省杭州市五校联盟2014-2015学年高二统测模拟考数学(理)试卷
2014-2015年浙江省杭州市重点中学联考高二上学期期末数学试卷(理科)与解析
2014-2015学年浙江省杭州市重点中学联考高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（4分）直线x=﹣1的倾斜角和斜率分别是（）A．45°，1B．90°，不存在C．135°，﹣1D．180°，不存在2．（4分）椭圆+=1的焦点坐标为（）A．（﹣3，0），（3，0）B．（﹣4，0），（4，0）C．（0，﹣4），（0，4）D．（0，﹣3），（0，3）3．（4分）命题“若α=，则tanα=1”的逆否命题是（）A．若α≠，则tanα≠1B．若α=，则tanα≠1C．若tanα≠1，则α≠D．若tanα≠1，则α=4．（4分）设α，β是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是（）A．若l⊥α，α⊥β，则l⊂βB．若l∥α，α∥β，则l⊂βC．若l∥α，α⊥β，则l⊥βD．若l⊥α，α∥β，则l⊥β5．（4分）已知两条直线（a+1）x﹣y+1=0与（2a﹣1）x+2y﹣1=0互相垂直，则a的值为（）A．a=1B．a=1或a=﹣C．a=﹣1或a=﹣D．a=﹣1或a=6．（4分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为的正三角形，若P为底面A1B1C1的中心，则PA与平面A1B1C1所成角的大小为（）A．B．C．D．7．（4分）双曲线﹣=1与椭圆+=1（a＞0，m＞b＞0）的离心率互为倒数，则（）A．a2+b2=m2B．a+b=m C．a2=b2+m2D．a=b+m8．（4分）如图所示，正三棱锥V﹣ABC中，D，E，F分别是VC，VA，AC的中点，P为VB上任意一点，则直线DE与PF所成的角的大小是（）A．30°B．60°C．90°D．随P点的变化而变化9．（4分）设F1，F2分别为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，若在双曲线的右支上存在点P，满足|PF2|=|F1F2|，且原点O到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为（）A．4x±3y=0B．3x±5y=0C．3x±4y=0D．5x±3y=0 10．（4分）正四棱锥（底面是正方形，顶点在底面上的射影是底面中心）S﹣ABCD 的底面边长为4，高为4，点E、F、G分别为SD，CD，BC的中点，动点P在正四棱锥的表面上运动，并且总保持PG∥平面AEF，动点P的轨迹的周长为（）A．+B．2+2C．+D．2+二．填空题（共7小题，每小题4分，共28分）11．（4分）在空间直角坐标系中，若A（3，﹣4，0），B（﹣3，4，z）两点间的距离为10，则z=．12．（4分）棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为．13．（4分）下列命题：①一条直线在平面上的射影一定是直线；②在平面上的射影是直线的图形一定是直线；③两直线与同一个平面所成角相等，则这两条直线互相平行；④两条平行直线与同一个平面所成角一定相等．其中所有真命题的序号是．14．（4分）某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为15．（4分）已知点M（a，b）在直线4x+3y=10上，则的最小值为．16．（4分）如图，抛物线C1：y2=4x和圆C2：（x﹣1）2+y2=1，直线l经过C1的焦点F，依次交C1，C2于A，B，C，D四点，则•的值是．17．（4分）设t∈R，过定点A的动直线x﹣my=0和过定点B的动直线mx+y+2m ﹣2=0交于点P（x，y），则|PA|•|PB|的最大值是．三、解答题：（共4小题，共52分，解题应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）18．（12分）已知方程+=1（m∈R）表示双曲线．（Ⅰ）求实数m的取值集合A；（Ⅱ）设不等式x2﹣（2a+1）x+a2+a＜0的解集为B，若x∈B是x∈A的充分不必要条件，求实数a的取值范围．19．（12分）已知坐标平面上一点M（x，y）与两个定点M1（26，1），M2（2，1），且=5．（Ⅰ）求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；（Ⅱ）记（Ⅰ）中的轨迹为C，过点M（﹣2，3）的直线l被C所截得的线段的长为8，求直线l的方程．20．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为平行四边形，AB=1，BC=，∠ABC=45°，点E在PC上，AE⊥PC．（Ⅰ）证明：平面AEB⊥平面PCD；（Ⅱ）若二面角B﹣AE﹣D的大小为150°，求∠PDC的大小．21．（14分）如图，已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，过椭圆右焦点F2作两条互相垂直的弦AB与CD，当直线AB的斜率为0时，|AB|+|CD|=7．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）求|AB|+|CD|的取值范围．2014-2015学年浙江省杭州市重点中学联考高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（4分）直线x=﹣1的倾斜角和斜率分别是（）A．45°，1B．90°，不存在C．135°，﹣1D．180°，不存在【分析】垂直于x轴的直线倾斜角为90°，斜率不存在，即可得出．【解答】解：直线x=﹣1的倾斜角为90°，斜率不存在．故选：B．2．（4分）椭圆+=1的焦点坐标为（）A．（﹣3，0），（3，0）B．（﹣4，0），（4，0）C．（0，﹣4），（0，4）D．（0，﹣3），（0，3）【分析】求出椭圆的a，b，由a2﹣b2=c2，计算即可得到焦点坐标．【解答】解：椭圆+=1的a=5，b=3，c==4，则焦点为（0，﹣4），（0，4）．故选：C．3．（4分）命题“若α=，则tanα=1”的逆否命题是（）A．若α≠，则tanα≠1B．若α=，则tanα≠1C．若tanα≠1，则α≠D．若tanα≠1，则α=【分析】原命题为：若a，则b．逆否命题为：若非b，则非a．【解答】解：命题：“若α=，则tanα=1”的逆否命题为：若tanα≠1，则α≠．故选：C．4．（4分）设α，β是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是（）A．若l⊥α，α⊥β，则l⊂βB．若l∥α，α∥β，则l⊂βC．若l∥α，α⊥β，则l⊥βD．若l⊥α，α∥β，则l⊥β【分析】本题考查的知识点是直线与平面之间的位置关系，逐一分析四个答案中的结论，发现A，B，C中由条件均可能得到l∥β，即A，B，C三个答案均错误，只有D满足平面平行的性质，分析后不难得出答案．【解答】解：若l⊥α，α⊥β，则l⊂β或l∥β，故A错误；若l∥α，α∥β，则l⊂β或l∥β，故B错误；若l∥α，α⊥β，则l⊥β或l∥β，故C错误；若l⊥α，α∥β，由平面平行的性质，我们可得l⊥β，故D正确；故选：D．5．（4分）已知两条直线（a+1）x﹣y+1=0与（2a﹣1）x+2y﹣1=0互相垂直，则a的值为（）A．a=1B．a=1或a=﹣C．a=﹣1或a=﹣D．a=﹣1或a=【分析】由垂直关系可得（a+1）（2a﹣1）+（﹣1）×2=0，解方程可得．【解答】解：∵两条直线（a+1）x﹣y+1=0与（2a﹣1）x+2y﹣1=0互相垂直，∴（a+1）（2a﹣1）+（﹣1）×2=0，解得a=1或a=故选：B．6．（4分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为的正三角形，若P为底面A1B1C1的中心，则PA与平面A1B1C1所成角的大小为（）A．B．C．D．【分析】利用三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面垂直和线面角的定义可知，∠APA1为PA与平面A1B1C1所成角，即为∠APA1为PA与平面ABC所成角．利用三棱锥的体积计算公式可得AA1，再利用正三角形的性质可得A1P，在Rt△AA1P 中，利用tan∠APA1=即可得出．【解答】解：如图所示，∵AA1⊥底面A1B1C1，∴∠APA1为PA与平面A1B1C1所成角，∵平面ABC∥平面A1B1C1，∴∠APA1为PA与平面ABC所成角．∵==．==，解得．∴V三棱柱ABC﹣A1B1C1又P为底面正三角形A1B1C1的中心，∴==1，在Rt△AA1P中，，∴．故选：B．7．（4分）双曲线﹣=1与椭圆+=1（a＞0，m＞b＞0）的离心率互为倒数，则（）A．a2+b2=m2B．a+b=m C．a2=b2+m2D．a=b+m【分析】利用双曲线﹣=1与椭圆+=1（a＞0，m＞b＞0）的离心率互为倒数，可得，化简可得结论．【解答】解：由题意，，化简可得a2+b2=m2，故选：A．8．（4分）如图所示，正三棱锥V﹣ABC中，D，E，F分别是VC，VA，AC的中点，P为VB上任意一点，则直线DE与PF所成的角的大小是（）A．30°B．60°C．90°D．随P点的变化而变化【分析】连结VF，BF，则VF⊥AC，BF⊥AC，从而AC⊥平面VBF，由此能求出直线DE与PF所成的角的大小是90°．【解答】解：连结VF，BF，∵正三棱锥V﹣ABC中，D，E，F分别是VC，VA，AC的中点，∴VF⊥AC，BF⊥AC，又VF∩BF=F，∴AC⊥平面VBF，又PF⊂平面VBF，∴AC⊥PF，∴直线DE与PF所成的角的大小是90°．故选：C．9．（4分）设F1，F2分别为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，若在双曲线的右支上存在点P，满足|PF2|=|F1F2|，且原点O到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为（）A．4x±3y=0B．3x±5y=0C．3x±4y=0D．5x±3y=0【分析】利用题设条件和双曲线性质在三角形中寻找等量关系，得出a与b之间的等量关系，进而求出双曲线的渐近线方程．【解答】解：依题意|PF2|=|F1F2|，可知三角形PF2F1是一个等腰三角形，F2在直线PF1的投影是其中点，由勾股定理可知|PF1|=4b根据双曲定义可知4b﹣2c=2a，整理得c=2b﹣a，代入c2=a2+b2整理得3b2﹣4ab=0，求得=，∴双曲线的渐近线方程为y=±x，即4x±3y=0．故选：A．10．（4分）正四棱锥（底面是正方形，顶点在底面上的射影是底面中心）S﹣ABCD 的底面边长为4，高为4，点E、F、G分别为SD，CD，BC的中点，动点P在正四棱锥的表面上运动，并且总保持PG∥平面AEF，动点P的轨迹的周长为（）A．+B．2+2C．+D．2+【分析】先想着找到P点的轨迹：取SB的中点M，并连接GM，作GN∥AF，与AB交于N，再连接MN，从而可说明平面MNG∥平面AEF，从而便找到P点的轨迹为MG，NG，MN三条线段，把这三线段的长度求出即可．连接AC，BD，并交于O点，连接SO，这样即可分别以OB，OC，OS三直线为x，y，z 轴，建立空间直角坐标系，根据条件求出M，N，G三点的坐标，然后利用空间中两点间的距离公式求三线段MG，NG，MN即可．【解答】解：取SB中点M，连接GM，则GM∥SC，又EF∥SC；∴GM∥EF，EF⊂平面AEF，GM⊄平面AEF；∴GM∥平面AEF；过G作GN∥AF，交AB于N，并连接GN，同理可得GN∥平面AEF，GM∩GN=G；∴平面GMN∥平面AEF；∴动点P的轨迹便是线段MN，MG，NG，轨迹的周长便是MN+MG+NG；连接AC，BD，并交于O，则分别以OB，OC，OS三直线为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则：B（，0，0），C（0，，0），G（），S（0，0，4），M，A（0，﹣，0），N（，0）；∴，，|NG|=；∴P点轨迹的周长为．故选：D．二．填空题（共7小题，每小题4分，共28分）11．（4分）在空间直角坐标系中，若A（3，﹣4，0），B（﹣3，4，z）两点间的距离为10，则z=0．【分析】直接利用空间两点间的距离公式求解即可．【解答】解：∵空间直角坐标系中，点A（3，﹣4，0），B（﹣3，4，z）两点间的距离为10，∴=10，∴z2=0．解得z=0．故答案为：0．12．（4分）棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为27π．【分析】正方体的对角线就是球的直径，求出后，即可求出球的表面积．【解答】解：正方体的对角线就是球的直径，设其体对角线的长为l，则l==3，故答案为：27π．13．（4分）下列命题：①一条直线在平面上的射影一定是直线；②在平面上的射影是直线的图形一定是直线；③两直线与同一个平面所成角相等，则这两条直线互相平行；④两条平行直线与同一个平面所成角一定相等．其中所有真命题的序号是④．【分析】对四个命题分别分析解答；注意特殊情况．【解答】解：对于①，当直线与平面垂直是，此直线在平面上的射影是一个点；故①错误；对于②，如果两个平面垂直，其中一个平面在另一个平面上的射影是一条直线，故在平面上的射影是直线的图形一定是直线是错误的；对于③，两直线与同一个平面所成角相等，则这两条直线相交、异面或者平行；故③错误；对于④，两条平行直线，根据线面所成角的定义可以判断它们与同一个平面所成角一定相等；故④正确；故答案为：④．14．（4分）某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为【分析】由已知中的三视图可得，该几何体是一个以俯视图为底面的柱体，求出底面面积和高，代入柱体体积公式，可得答案．【解答】解：由已知中的三视图可得，该几何体是一个以俯视图为底面的柱体，柱体的底面面积S=2×2﹣1×1﹣π=3﹣，由柱体的高为h=2，故该几何体的体积V=Sh=．故答案为：．15．（4分）已知点M（a，b）在直线4x+3y=10上，则的最小值为2．【分析】由于表示直线4x+3y=10上的点与原点的距离，因此其最小值为原点到直线的距离，求出即可．【解答】解：由于表示直线4x+3y=10上的点与原点的距离，因此其最小值为原点到直线的距离d==2．故答案为：2．16．（4分）如图，抛物线C1：y2=4x和圆C2：（x﹣1）2+y2=1，直线l经过C1的焦点F，依次交C1，C2于A，B，C，D四点，则•的值是1．【分析】由题意可知直线l的斜率存在且不等于0，设出直线方程，分别和抛物线与题意方程联立后求出A，B，C，D的坐标，求出向量、的坐标，代入数量积公式得答案．【解答】解：由题意可知直线l的斜率存在且不等于0，由抛物线C1：y2=4x，得F（1，0），则直线l的方程为y﹣0=k（x﹣1），即y=kx﹣k．联立，得k2x2﹣2k2x﹣4x+k2=0，解得：，，联立，得B（），C（），，．∴=1．故答案为：1．17．（4分）设t∈R，过定点A的动直线x﹣my=0和过定点B的动直线mx+y+2m ﹣2=0交于点P（x，y），则|PA|•|PB|的最大值是4．【分析】动直线x﹣my=0过定点A（0，0），动直线mx+y+2m﹣2=0化为m（x+2）+y﹣2=0，令，可得定点B（﹣2，2）．由于此两条直线互相垂直，可得|PA|2+|PB|2=|AB|2=8，再利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：动直线x﹣my=0过定点A（0，0），动直线mx+y+2m﹣2=0化为m（x+2）+y﹣2=0，令，解得x=﹣2，y=2．过定点B（﹣2，2）．∵此两条直线互相垂直，∴|PA|2+|PB|2=|AB|2=8，∴8≥2|PA|•|PB|，∴|PA|•|PB≤4，当且仅当|PA|=|PB|时取等号．故答案为：4．三、解答题：（共4小题，共52分，解题应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）18．（12分）已知方程+=1（m∈R）表示双曲线．（Ⅰ）求实数m的取值集合A；（Ⅱ）设不等式x2﹣（2a+1）x+a2+a＜0的解集为B，若x∈B是x∈A的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【分析】（Ⅰ）由双曲线的方程可得m（4﹣m）＜0，运用二次不等式的解法即可得到A；（Ⅱ）运用二次不等式的解法可得B，再由条件可得B真包含于A，即可得到m 的范围．【解答】解：（Ⅰ）由方程+=1（m∈R）表示双曲线，可得：m（4﹣m）＜0，可得集合A={m|m＜0或m＞4}；（Ⅱ）由题意：B={x|x2﹣（2a+1）x+a2+a＜0}={x|（x﹣a）（x﹣a﹣1）＜0}={x|a＜x＜a+1}，∵x∈B是x∈A的充分不必要条件，即有B⊊A，∴a≥4或a+1≤0∴实数a的取值范围：a≥4或a≤﹣1．19．（12分）已知坐标平面上一点M（x，y）与两个定点M1（26，1），M2（2，1），且=5．（Ⅰ）求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；（Ⅱ）记（Ⅰ）中的轨迹为C，过点M（﹣2，3）的直线l被C所截得的线段的长为8，求直线l的方程．【分析】（Ⅰ）直接利用距离的比，列出方程即可求点M的轨迹方程，然后说明轨迹是什么图形；（Ⅱ）设出直线方程，利用圆心到直线的距离，半径与半弦长满足的勾股定理，求出直线l的方程．【解答】解：（Ⅰ）由题意，得=5.，化简，得x2+y2﹣2x﹣2y﹣23=0…（3分）即（x﹣1）2+（y﹣1）2=25．∴点M的轨迹方程是（x﹣1）2+（y﹣1）2=25，轨迹是以（1，1）为圆心，以5为半径的圆．…（6分）（Ⅱ）当直线l的斜率不存在时，l：x=﹣2，此时所截得的线段的长为2=8，∴l：x=﹣2符合题意．…（8分）当直线l的斜率存在时，设l的方程为y﹣3=k（x+2），即kx﹣y+2k+3=0，圆心到l的距离d=，由题意，得（）2+42=52，解得k=．∴直线l的方程为x﹣y+=0，即5x﹣12y+46=0．综上，直线l的方程为x=﹣2，或5x﹣12y+46=0…（12分）20．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为平行四边形，AB=1，BC=，∠ABC=45°，点E在PC上，AE⊥PC．（Ⅰ）证明：平面AEB⊥平面PCD；（Ⅱ）若二面角B﹣AE﹣D的大小为150°，求∠PDC的大小．【分析】（I）由已知条件推导出AB⊥AC，PA⊥AB，从而得到AB⊥平面PAC，进而得到CD⊥平面PAC，由此能证明平面AEB⊥平面PCD．（II）法一：由已知条件推导出二面角C﹣AE﹣D的大小为60°，∠CED为二面角C﹣AE﹣D的平面角，由此能求出∠PDC的大小．（Ⅱ）法二：以A为原点，AB，AC，AP所在射线为x，y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系利用向量法能求出∠PDC的大小．【解答】（本小题14分）（I）证明：∵AB=1，，∠ABC=45°，∴AB⊥AC…（2分）∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AB，又∵AC∩AP=A∴AB⊥平面PAC，又∵AB∥CD∴CD⊥平面PAC，∴CD⊥AE…（4分）又∵AE⊥PC，又∵PC∩CD=C∴AE⊥平面PCD…（6分）又∵AE⊂平面AEB∴平面AEB⊥平面PCD…（7分）（II）解法一：∵AB⊥平面PAC，AB⊂平面AEB，∴平面AEB⊥平面PAC，又∵二面角B﹣AE﹣D的大小为150°．∴二面角C﹣AE﹣D的大小等于150°﹣90°=60°．…（10分）又∵AE⊥平面PCD，∴CE⊥AE，DE⊥AE，∴∠CED为二面角C﹣AE﹣D的平面角，即∠CED=60°．…（12分）∵CD=1，∠ECD=90°，∴．，∵△AEC∽△PAC，∴，即，∴，∴∠PDC=60°．…（14分）（Ⅱ）解法二：如图，以A为原点，AB，AC，AP所在射线为x，y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系A﹣xyz，设AP=t，A（0，0，0），B（1，0，0），C（0，1，0），D（﹣1，1，0），P（0，0，t）．∵AB⊥PC，AE⊥PC，∴PC⊥平面ABE，∴平面ABE的一个法向量为．…（9分）∵AE⊥PC，∴．设∠EAC=∠APC=θ，∴，∴．…（10分）设平面AED的一个法向量为，∵，，∴，得．…（12分）∵二面角B﹣AE﹣D的大小为150°，∴，解得．…（13分）∴，CD=1，∴∠PDC=60°．…（14分）21．（14分）如图，已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，过椭圆右焦点F2作两条互相垂直的弦AB与CD，当直线AB的斜率为0时，|AB|+|CD|=7．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）求|AB|+|CD|的取值范围．【分析】（Ⅰ）通过当直线AB的斜率为0时可知|AB|=2a，，结合，计算即得结论；（Ⅱ）分别对两条弦的斜率进行讨论，当两条弦中一条斜率为0时、另一条弦的斜率不存在时易得结论；当两条弦斜率均存在且不为0时，通过设直线AB、CD的方程并分别与椭圆方程联立，利用韦达定理及两点间距离公式，可得|AB|+|CD|的表达式，利用换元法及二次函数的性质计算即得结论．【解答】解：（Ⅰ）当直线AB的斜率为0时，直线CD垂直于x轴，∴|AB|=2a，，即，∵，且a2=b2+c2，解得：，所以椭圆方程为；（Ⅱ）①当两条弦中一条斜率为0时，另一条弦的斜率不存在，由题意可知，|AB|+|CD|=7；②当两条弦斜率均存在且不为0时，设A（x1，y1），B（x2，y2），设直线AB的方程为y=k（x﹣1），则直线CD的方程为，将直线AB的方程代入椭圆方程中，并整理得：（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0，∴，∴，同理，，∴，令t=k2+1，则t＞1，∴，∵t ＞1，∴，∴，∴，∴，∴，综合①②可知，|AB |+|CD |的取值范围为：[，7]．赠送—高中数学知识点【1.3.1】单调性与最大（小）值 （1）函数的单调性②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数． ③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为yxo增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减．（2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x分别在(,-∞、)+∞上为增函数，分别在[、上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤；（2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性①定义及判定方法②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．。
2014-2015年浙江省杭州市萧山区五校联考高二上学期期末数学试卷(理科)与解析
2014-2015学年浙江省杭州市萧山区五校联考高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（3分）已知直线方程，则这条直线经过的定点和倾斜角分别为（）A．（4，3）和B．（﹣3，﹣4）和C．（4，3）和D．（﹣4，﹣3）和2．（3分）命题“∃x0∈R，x3﹣x2+1＞0”的否定是（）A．∀x∈R，x3﹣x2+1≤0B．∃x0∈R，x3﹣x2+1＜0C．∃x0∈R，x3﹣x2+1≤0D．不存在x∈R，x3﹣x2+1＞03．（3分）直线xcosθ+ysinθ+a=0与xsinθ﹣ycosθ+b=0的位置关系是（）A．平行B．垂直C．斜交D．与a，b，θ的值有关4．（3分）点P（m2，5）与圆x2+y2=24的位置关系是（）A．在圆外B．在圆上C．在圆内D．不确定5．（3分）“直线l与平面内无数条直线都垂直”是“直线l与平面垂直”的（）A．充要条件B．充分非必要条件C．必要非充分条件D．既非充分又非必要条件6．（3分）一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的体积是（）A．1B．2C．3D．47．（3分）两个圆与恰有三条公切线，则a+b的最小值为（）A．﹣6B．﹣3C．D．38．（3分）如图，四面体ABCD中，各棱相等，M是CD的中点，则直线BM与平面ABC所成角的正弦值为（）A．B．C．D．9．（3分）我们把由半椭圆+=1（x≥0）与半椭圆+=1（x＜0）合成的曲线称作“果圆”（其中a2=b2+c2，a＞b＞c＞0）．如图，设点F0，F1，F2是相应椭圆的焦点，A1、A2和B1、B2是“果圆”与x，y轴的交点，若△F0F1F2是边长为1的等边三角形，则a，b的值分别为（）A．5，4B．，1C．5，3D．，1 10．（3分）已知函数f（x）=，x∈[2，4]对于满足2＜x1＜x2＜4的任意x1，x2，给出下列结论：①x1f（x2）＞x2f（x1）②x2f（x1）＞x1f（x2）③（x2﹣x1）[f（x2）﹣f（x1）]＜0④（x2﹣x1）[f（x2）﹣f（x1）]＞0其中正确的是（）A．①③B．①④C．②③D．②④二、填空题：本大题共7小题，每题一空，每空4分，共28分．11．（4分）已知p：|x﹣m|＜4，q：（x﹣2）（x﹣3）＜0，且q是p的充分不必要条件，则m的取值范围为．12．（4分）若向量=（1，λ，1）与=（2，﹣1，2）的夹角的余弦值为，则λ的值为．13．（4分）点M（x，y）在直线y=﹣2x+8上，当x∈[2，5]时，则的取值范围是．14．（4分）直线y=kx+3与圆（x﹣3）2+（y﹣2）2=4相交于M，N两点，若|MN|≥2，则k的取值范围是．15．（4分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是正方形ADD1A1和ABCD的中心，G是CC1的中点，设GF，C1E与AB所成的角分别为α，β，则α+β=．16．（4分）已知椭圆C：+=1与直线L：y=x+m相交于A，B两点，O为坐标原点，则△AOB面积的最大值为．17．（4分）已知正方形ABCD的边长为12，动点M（不在平面ABCD内）满足MA⊥MB，则三棱锥A﹣BCM的体积的取值范围为．三、解答题：本大题共4小题，第18-20题每题10分，第21题12分，共42分．写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．（10分）已知命题p：方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆，命题q：关于x的方程x2+2mx+2m+3=0无实根，若“p∧q”为假命题，“p∨q”为真命题，求实数m的取值范围．19．（10分）已知m∈R，直线l：mx﹣（m2+1）y=4m和圆C：x2+y2﹣8x+4y+16=0．（1）求直线l斜率的取值范围；（2）直线l能否将圆C分割成弧长的比值为的两段圆弧？为什么？20．（10分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，∠ABC=45°，AB=AC=AE=2EF，EA⊥平面ABCD，EF∥AB，FG∥BC，EG∥AC．（1）若M是线段AD的中点，求证：GM∥平面ABFE；（2）求二面角A﹣BF﹣C的余弦值．21．（12分）已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，左焦点为F（﹣1，0），过点D（0，2）且斜率为k的直线l交椭圆于A，B两点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）求k的取值范围；（3）在y轴上，是否存在定点E，使•恒为定值？若存在，求出E点的坐标和这个定值；若不存在，说明理由．2014-2015学年浙江省杭州市萧山区五校联考高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（3分）已知直线方程，则这条直线经过的定点和倾斜角分别为（）A．（4，3）和B．（﹣3，﹣4）和C．（4，3）和D．（﹣4，﹣3）和【分析】由直线点斜式方程的特点可知直线过定点（4，3），斜率为，进而可得倾斜角．【解答】解：∵直线方程，∴由点斜式方程可知，直线过定点（4，3），斜率为，设直线的倾斜角为α，由斜率和倾斜角的关系可得tanα=，∴α=，故选：A．2．（3分）命题“∃x0∈R，x3﹣x2+1＞0”的否定是（）A．∀x∈R，x3﹣x2+1≤0B．∃x0∈R，x3﹣x2+1＜0C．∃x0∈R，x3﹣x2+1≤0D．不存在x∈R，x3﹣x2+1＞0【分析】特称命题“∃x0∈M，p（x）”的否定为全称命题“∀x∈M，￢p（x）”．【解答】解：特称命题“∃x0∈R，x3﹣x2+1＞0”的否定是“∀x∈R，x3﹣x2+1≤0”．故选：A．3．（3分）直线xcosθ+ysinθ+a=0与xsinθ﹣ycosθ+b=0的位置关系是（）A．平行B．垂直C．斜交D．与a，b，θ的值有关【分析】当这两条直线中有一条斜率不存在时，检验他们的位置关系式垂直关系．当它们的斜率都存在时，求出他们的斜率，发现斜率之积等于﹣1，两条直线垂直．【解答】解：当cosθ=0或si nθ=0时，这两条直线中，有一条斜率为0，另一条斜率不存在，两条直线垂直．当cosθ和sinθ都不等于0时，这两条直线的斜率分别为﹣和tanθ，显然，斜率之积等于﹣1，故两直线垂直．综上，两条直线一定是垂直的关系，故选：B．4．（3分）点P（m2，5）与圆x2+y2=24的位置关系是（）A．在圆外B．在圆上C．在圆内D．不确定【分析】根据点P到圆心的距离与圆的半径的大小关系即可判断点P与圆的位置关系．【解答】解：已知圆的圆心为原点O，半径为，OP=，所以点在圆外，故选：A．5．（3分）“直线l与平面内无数条直线都垂直”是“直线l与平面垂直”的（）A．充要条件B．充分非必要条件C．必要非充分条件D．既非充分又非必要条件【分析】运用直线与平面垂直的定义，性质，充分必要条件的定义即可判断选择答案．【解答】解：∵直线l与平面内无数条直线都垂直”，如果是平行直线，则直线l与平面不垂直，∴“直线l与平面内无数条直线都垂直”是“直线l与平面垂直”的不是充分条件．∵“直线l与平面垂直”，∴根据定义可判断：直线l与平面内任意的直线都垂直，∴直线l与平面内无数条直线都垂直．∴“直线l与平面内无数条直线都垂直”是“直线l与平面垂直”的必要条件．故选：C．6．（3分）一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的体积是（）A．1B．2C．3D．4【分析】由三视图及题设条件知，此几何体为一个四棱锥，其较长的侧棱长已知，底面是一个正方形，对角线长度已知，故先求出底面积，再求出此四棱锥的高，由体积公式求解其体积即可【解答】解：由题设及图知，此几何体为一个四棱锥，其底面为一个对角线长为2的正方形，故其底面积为=2由三视图知其中一个侧棱为棱锥的高，其相对的侧棱与高及底面正方形的对角线组成一个直角三角形由于此侧棱长为，对角线长为2，故棱锥的高为=3此棱锥的体积为=2故选：B．7．（3分）两个圆与恰有三条公切线，则a+b的最小值为（）A．﹣6B．﹣3C．D．3【分析】由题意可得两圆相外切，根据两圆的标准方程求出圆心和半径，由=3，得到a2+b2=9，故满足条件的点（a，b）在以原点为圆心，以3为半径的圆上，令a+b=t，利用线性规划求出t的最小值．【解答】解：由题意可得，两圆相外切，两圆的标准方程分别为（x+a）2+y2=4，x2+（y﹣b）2=1，圆心分别为（﹣a，0），（0，b），半径分别为2和1，故有=3，∴a2+b2=9，故满足条件的点（a，b）在以原点为圆心，以3为半径的圆上．令a+b=t，利用线性规划求出t的最小值．如图：可行域为圆a2+b2=9，t=a+b为目标函数，点A（﹣，﹣）和点B（，）为最优解，故A（﹣，﹣）使a+b=t 取得最小值为﹣3，故选：C．8．（3分）如图，四面体ABCD中，各棱相等，M是CD的中点，则直线BM与平面ABC所成角的正弦值为（）A．B．C．D．【分析】过A作AO⊥平面BCD，交BM于O，以O为原点，过O在平面BCD内平行于DC的直线为x轴，OM为y轴，OA为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线BM与平面ABC所成角的正弦值．【解答】解：过A作AO⊥平面BCD，交BM于O，设AB=2，∵四面体ABCD中，各棱相等，M是CD的中点，∴OA、OD、OM两两垂直，=，OM=，AO==，以O为原点，过O在平面BCD内平行于DC的直线为x轴，OM为y轴，OA为z 轴，建立空间直角坐标系，则B（0，﹣，0），M（0，，0），A（0，0，），C（1，，0），=（0，，0），=（0，﹣，﹣），=（1，，﹣），设平面ABC的法向量=（x，y，z），则，取z=1，得=（，﹣，1），设直线BM与平面ABC所成角为θ，则sinθ=|cos＜＞|=||=||=．∴直线BM与平面ABC所成角的正弦值为．故选：D．9．（3分）我们把由半椭圆+=1（x≥0）与半椭圆+=1（x＜0）合成的曲线称作“果圆”（其中a2=b2+c2，a＞b＞c＞0）．如图，设点F0，F1，F2是相应椭圆的焦点，A1、A2和B1、B2是“果圆”与x，y轴的交点，若△F0F1F2是边长为1的等边三角形，则a，b的值分别为（）A．5，4B．，1C．5，3D．，1【分析】由题意可知c=|OF2|求得c，再由|OF2|==，解得b，最后由a2=b2+c2求得a．【解答】解：由题意可得|OF2|==，|OF0|=c=|OF2|=，解得b=1，又a2=b2+c2=1+=，得a=，即a=，b=1．故选：D．10．（3分）已知函数f（x）=，x∈[2，4]对于满足2＜x1＜x2＜4的任意x1，x2，给出下列结论：①x1f（x2）＞x2f（x1）②x2f（x1）＞x1f（x2）③（x2﹣x1）[f（x2）﹣f（x1）]＜0④（x2﹣x1）[f（x2）﹣f（x1）]＞0其中正确的是（）A．①③B．①④C．②③D．②④【分析】易得函数f（x）=在∈[2，4]上为减函数，故由减函数的性质得出结论．【解答】解：∵g（x）=4﹣（x﹣2）2在[2，4]上为减函数，∴由复合函数的单调性法则可知f（x）=在[2，4]上为减函数，又∵2＜x1＜x2＜4，∴f（x2）＜f（x1），∴x2f（x1）＞x1f（x2）故②正确；又由x2﹣x1＞0，f（x2）﹣f（x1）＜0得（x2﹣x1）[f（x2）﹣f（x1）]＜0 故③正确．故选：C．二、填空题：本大题共7小题，每题一空，每空4分，共28分．11．（4分）已知p：|x﹣m|＜4，q：（x﹣2）（x﹣3）＜0，且q是p的充分不必要条件，则m的取值范围为[﹣1，6] ．【分析】分别求出关于p，q成立的x的范围，结合q是p的充分不必要条件，得到关于m的不等式组，解出即可．【解答】解：关于p：|x﹣m|＜4，解得：m﹣4＜x＜m+4，关于q：（x﹣2）（x﹣3）＜0，解得：2＜x＜3，若q是p的充分不必要条件，则，解得：﹣1≤m≤6，故答案为：[﹣1，6]．12．（4分）若向量=（1，λ，1）与=（2，﹣1，2）的夹角的余弦值为，则λ的值为﹣5或1．【分析】根据两向量的夹角余弦值公式，列出方程求出λ的值即可．【解答】解：因为•=2﹣λ+2=4﹣λ，||=，||==3，且夹角的余弦值为，所以=，化简得λ2+4λ﹣5=0，解得λ=﹣5或1．故答案为：﹣5或1．13．（4分）点M（x，y）在直线y=﹣2x+8上，当x∈[2，5]时，则的取值范围是[﹣，] ．【分析】由题意画出图形，由的几何意义，即动点（x，y）与定点P（﹣1，﹣1）连线的斜率求得答案．【解答】解：如图，A（5，﹣2），B（2，4），的几何意义为动点（x，y）与定点P（﹣1，﹣1）连线的斜率，∵，，∴的取值范围是[﹣，]．故答案为：[﹣，]．14．（4分）直线y=kx+3与圆（x﹣3）2+（y﹣2）2=4相交于M，N两点，若|MN|≥2，则k的取值范围是[﹣，0] ．【分析】由圆的方程找出圆心坐标与半径r，利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线的距离d，利用垂径定理及勾股定理表示出弦长|MN|，列出关于k 的不等式，求出不等式的解集即可得到k的范围．【解答】解：由圆的方程得：圆心（3，2），半径r=2，∵圆心到直线y=kx+3的距离d=，|MN|≥2，∴2=2≥2，变形得：4﹣≥3，即8k2+6k≤0，解得：﹣≤k≤0，则k的取值范围是[﹣，0]．故答案为：[﹣，0]15．（4分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是正方形ADD1A1和ABCD的中心，G是CC1的中点，设GF，C1E与AB所成的角分别为α，β，则α+β=90°．【分析】本题适合建立空间坐标系得用向量法解决这个立体几何问题，建立空间坐标系，给出有关点的坐标，求出直线的GF、C1E与AB的方向向量，利用夹角公式求线线角的余弦值即可．【解答】解：建立坐标系如图，B（2，0，0），A（2，2，0），G（0，0，1），F（1，1，0），C1（0，0，2），E（1，2，1）．则=（0，2，0），=（1，1，﹣1），=（1，2，﹣1），∴cos＜，＞===，同理cos＜，＞=，∴cosα=，sinα=，cosβ=，sinβ=，∴cos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ=•﹣•=0∴α+β=90°，故答案为：90°．16．（4分）已知椭圆C：+=1与直线L：y=x+m相交于A，B两点，O为坐标原点，则△AOB面积的最大值为．【分析】把直线方程和椭圆方程联立，化为关于x的一元二次方程，由弦长公式求得AB长度，由点到直线的距离公式求出O到直线AB的距离，写出三角形AOB的面积，然后利用二次函数求最值．【解答】解：联立，消去y得：3x2﹣4mx+2m2﹣4=0，由△=16m2﹣12（2m2﹣4）＞0，得m2＜6．设A（x1，y1），B（x2，y2），则，则|AB|====．点O的AB的距离d==．∴△AOB的面积S=|AB|d=××=．∴当m2=3时，△AOB的面积有最大值为，故答案为：．17．（4分）已知正方形ABCD的边长为12，动点M（不在平面ABCD内）满足MA⊥MB，则三棱锥A﹣BCM的体积的取值范围为（0，144] ．【分析】由三棱锥A﹣BCM的体积=三棱锥M﹣ABC的体积，底面△ABC的面积一定，高最大时，其体积最大；高由顶点M确定，当平面MAB⊥平面ABCD 时，高最大，体积也最大．【解答】解：如图所示，因为三棱锥A﹣BCM的体积=三棱锥M﹣ABC的体积，底面△ABC的面积是定值，当高最大时，体积最大；所以，当平面MAB⊥平面ABCD时，过点M作MN⊥AB，则MN⊥平面ABCD，在△MAB中，MA⊥MB，AB=12，所以，高最大为MN=6，所以，三棱锥A﹣BCM的最大体积为：V A﹣BCM=V M﹣ABC=•S△ABC•MN=××12×12×6=144．所以三棱锥A﹣BCM的体积的取值范围为（0，144]．故答案为：（0，144]．三、解答题：本大题共4小题，第18-20题每题10分，第21题12分，共42分．写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．（10分）已知命题p：方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆，命题q：关于x的方程x2+2mx+2m+3=0无实根，若“p∧q”为假命题，“p∨q”为真命题，求实数m的取值范围．【分析】先将命题p，q化简，然后由“p∧q”为假命题，“p∨q”为真命题得出p，q恰有一真一假，分类讨论即可．【解答】解：∵方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆，∴m＞2；∵关于x的方程x2+2mx+2m+3=0无实根，∴4m2﹣4（2m+3）＜0，解得﹣1＜m ＜3，“p∧q”为假命题，“p∨q”为真命题⇔p，q恰有一真一假，①若“p真q假”，则，即m≥3，②若“p假q真”，则，即﹣1＜m≤2，综上，实数m的取值范围是（﹣1，2]∪[3，+∞）．19．（10分）已知m∈R，直线l：mx﹣（m2+1）y=4m和圆C：x2+y2﹣8x+4y+16=0．（1）求直线l斜率的取值范围；（2）直线l能否将圆C分割成弧长的比值为的两段圆弧？为什么？【分析】（1）写出直线的斜率利用基本不等式求最值；（2）直线与圆相交，注意半径、弦心距、弦长的一半构成的直角三角形【解答】解：（1）直线l的方程可化为，此时斜率，即km2﹣m+k=0，k=0时，m=0成立；又∵△≥0，∴1﹣4k2≥0，所以，斜率k的取值范围是．（2）不能．由（1知l的方程为y=k（x﹣4），其中；圆C的圆心为C（4，﹣2），半径r=2；圆心C到直线l的距离由，得，即，从而，若l与圆C相交，则圆C截直线l所得的弦所对的圆心角小于，所以l不能将圆C分割成弧长的比值为的两段弧．20．（10分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，∠ABC=45°，AB=AC=AE=2EF，EA⊥平面ABCD，EF∥AB，FG∥BC，EG∥AC．（1）若M是线段AD的中点，求证：GM∥平面ABFE；（2）求二面角A﹣BF﹣C的余弦值．【分析】（1）求出△EFG≌△ABC，从而BC=2FG．连接AF，推导出四边形AFGM 为平行四边形，从而GM∥FA，由此能证明GM∥平面ABFE．（2）分别以AB，AC，AE所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A﹣BF﹣C的余弦值．【解答】证明：（1）∵EF∥AB，FG∥BC，EG∥AC∴△EFG≌△ABC，∵AB=2EF，∴BC=2FG．…（1分）连接AF，则．…（2分）在平行四边形ABCD中，M是线段AD的中点，则，∴FG∥AM，FG=AM，∴四边形AFGM为平行四边形．…（3分）∴GM∥FA，FA⊂平面ABFE，GM⊄平面ABFE，∴GM∥平面ABFE．…（5分）解：（2）分别以AB，AC，AE所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．…（6分）不妨设AB=AC=2，则由题意得A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，2，0），F（1，0，2）平面ABF的法向量为=（0，1，0）…（7分）=（﹣1，0，2），=（﹣2，2，0），则，取x=2，得=（2，2，1）…（9分）设二面角A﹣BF﹣C的平面角为θ，则．∴二面角A﹣BF﹣C的余弦值为．…（10分）21．（12分）已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，左焦点为F（﹣1，0），过点D（0，2）且斜率为k的直线l交椭圆于A，B两点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）求k的取值范围；（3）在y轴上，是否存在定点E，使•恒为定值？若存在，求出E点的坐标和这个定值；若不存在，说明理由．【分析】（1）直接求出a，b；（2）利用一元二次方程有两个不等的实数解的条件；（3）利用设而不求的方法，设出要求的常数，并利用多项式的恒等条件（相同次项的系数相等）【解答】所以k的取值范围是：（3）设A（x1，y1），B（x2，y2）则x1+x2=﹣又y1y2=（kx1+2）（kx2+2）=k2x1x2+2k（x1+x2）+4=﹣，y1+y2=（kx1+2）+（kx2+2）=k（x1+x2）+4=设存在点E（0，m），则，所以==要使得=t（t为常数），只要=t，从而（2m2﹣2﹣2t）k2+m2﹣4m+10﹣t=0即由（1）得t=m2﹣1，代入（2）解得m=，从而t=，故存在定点，使恒为定值．赠送—高中数学知识点【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减． （2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x 分别在(,]a -∞-、[,)a +∞上为增函数，分别在[,0)a -、]a 上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤； （2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．yxo【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．。
浙江省五校联考高考数学二模试卷 理(含解析)
浙江省五校联考2015届高考数学二模试卷（理科）一、选择题：（每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）命题“存在x0∈R，2≤0”的否定是（）A．不存在x0∈R，2＞0 B．存在x0∈R，2≥0C．对任意的x∈R，2x≤0D．对任意的x∈R，2x＞02．（5分）给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，为真命题的是（）A．①和②B．②和③C．③和④D．②和④3．（5分）为得到函数f（x）=cosx﹣sinx，只需将函数y=sinx（）A．向左平移B．向右平移C．向左平移D．向右平移4．（5分）已知A、B、C为直线l上不同的三点，点O∉直线l，实数x满足关系式x2=，有下列结论中正确的个数有（）①≥0；②＜0；③x的值有且只有一个；④x的值有两个；⑤点B是线段AC的中点．A．1个B．2个C．3个D．4个5．（5分）已知映射．设点A（1，3），B（2，2），点M是线段AB上一动点，f：M→M′．当点M在线段AB上从点A开始运动到点B 结束时，点M的对应点M′所经过的路线长度为（）A．B．C．D．6．（5分）如图，已知椭圆C1：+y2=1，双曲线C2：﹣=1（a＞0，b＞0），若以C1的长轴为直径的圆与C2的一条渐近线交于A、B两点，且C1与该渐近线的两交点将线段AB三等分，则C2的离心率为（）A．B．5 C．D．7．（5分）半径为R的球内部装有4个半径相同的小球，则小球半径r的可能最大值为（）A．B．C．D．8．（5分）某学生对一些对数进行运算，如图表格所示：x 0.021 0.27 1.5 2.8lgx 2a+b+c﹣3（1）6a﹣3b﹣2（2）3a﹣b+c（3）1﹣2a+2b﹣c（4）x 3 5 6 7lgx 2a﹣b（5）a+c（6）1+a﹣b﹣c（7）2（a+c）（8）x 8 9 14lgx 3﹣3a﹣3c（9）4a﹣2b（10）1﹣a+2b（11）现在发觉学生计算中恰好有两次地方出错，那么出错的数据是（）A．（3），（8）B．（4），（11）C．（1），（3）D．（1），（4）二、填空题本大题共7小题，每小题5分，共35分．9．（5分）设全集U=R，集合A={x|x2﹣3x﹣4＜0}，B={x|log2（x﹣1）＜2}，则A∩B=，A∪B=，C R A=．10．（5分）若某多面体的三视图如图所示，则此多面体的体积为，外接球的表面积为．11．（5分）若max{a，b}表示a，b两数中的最大值，若f（x）=max{e|x|，e|x﹣2|}，则f（x）的最小值为，若f（x）=max{e|x|，e|x﹣t|}关于x=2015对称，则t=．12．（5分）A n={x|2n＜x＜2n+1，x=3m，m∈N}，若|A n|表示集合A n中元素的个数，则|A5|=，则|A1|+|A2|+|A3|+…+|A10|=．（5分）直角△ABC的三个顶点都在给定的抛物线y2=2x上，且斜边AB和y轴平行，则RT△ABC 13．斜边上的高的长度为．14．（5分）圆O的半径为1，P为圆周上一点，现将如图放置的边长为1的正方形（实线所示，正方形的顶点A与点P重合）沿圆周逆时针滚动，点A第一次回到点P的位置，则点A走过的路径的长度为．15．（5分）已知动点P（x，y）满足，则x2+y2+2y的最小值为．三、解答题：（本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16．（15分）已知△ABC的面积为S，且S．（1）求cosA；（2）求a=，求△ABC周长的最大值．17．（15分）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC侧面PAB⊥底面ABCD，PA=AD=AB=2，BC=4．（1）若PB中点为E．求证：AE∥平面PCD；（2）若∠PAB=60°，求直线BD与平面PCD所成角的正弦值．18．（15分）函数f（x）=mx|x﹣a|﹣|x|+1（1）若m=1，a=0，试讨论函数f（x）的单调性；（2）若a=1，试讨论f（x）的零点的个数．19．（15分）如图，在平面直角坐标系xOy中，离心率为的椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左顶点为A，过原点O的直线（与坐标轴不重合）与椭圆C交于P，Q两点，直线PA，QA分别与y轴交于M，N两点．若直线PQ斜率为时，PQ=2．（1）求椭圆C的标准方程；（2）试问以MN为直径的圆是否经过定点（与直线PQ的斜率无关）？请证明你的结论．20．（15分）已知数列{a n}（n∈N*，1≤n≤46）满足a1=a，a n+1﹣a n=其中d≠0，n∈N*．（1）当a=1时，求a46关于d的表达式，并求a46的取值范围；（2）设集合M={b|b=a i+a j+a k，i，j，k∈N*，1≤i＜j＜k≤16}．①若a=，d=，求证：2∈M；②是否存在实数a，d，使，1，都属于M？若存在，请求出实数a，d；若不存在，请说明理由．浙江省五校联考2015届高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）命题“存在x0∈R，2≤0”的否定是（）A．不存在x0∈R，2＞0 B．存在x0∈R，2≥0C．对任意的x∈R，2x≤0D．对任意的x∈R，2x＞0考点：特称命题；命题的否定．专题：简易逻辑．分析：根据特称命题的否定是全称命题，直接写出该命题的否定命题即可．解答：解：根据特称命题的否定是全称命题，得；命题“存在x0∈R，2≤0”的否定是“对任意的x∈R，都有2x＞0”．故选：D．点评：本题考查了全称命题与特称命题的应用问题，解题时应根据特称命题的否定是全称命题，写出答案即可，是基础题．2．（5分）给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，为真命题的是（）A．①和②B．②和③C．③和④D．②和④考点：平面与平面垂直的判定；平面与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离；简易逻辑．分析：从直线与平面平行与垂直，平面与平面平行与垂直的判定与性质，考虑选项中的情况，找出其它可能情形加以判断，推出正确结果．解答：解：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；如果这两条直线平行，可能得到两个平面相交，所以不正确．②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；这是判定定理，正确．③垂直于同一直线的两条直线相互平行；可能是异面直线．不正确．④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．正确．故选：D．点评：本题考查平面与平面垂直的判定，平面与平面平行的判定，是基础题．3．（5分）为得到函数f（x）=cosx﹣sinx，只需将函数y=sinx（）A．向左平移B．向右平移C．向左平移D．向右平移考点：两角和与差的正切函数．专题：三角函数的图像与性质．分析：由条件利用两角和差的余弦公式化简函数的解析式，再利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．解答：解：由于f（x）=cosx﹣sinx=2cos（x+），函数y=sinx=2cos（x ﹣），+=，故把函数y=sinx=2cos（x﹣）的图象向左平移个单位，即可得到f（x）=2cos（x+）的图象，故选：C．点评：本题主要考查两角和差的余弦公式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，4．（5分）已知A、B、C为直线l上不同的三点，点O∉直线l，实数x满足关系式x2=，有下列结论中正确的个数有（）①≥0；②＜0；③x的值有且只有一个；④x的值有两个；⑤点B是线段AC的中点．A．1个B．2个C．3个D．4个考点：平面向量数量积的含义与物理意义．专题：综合题；平面向量及应用．分析：由存在实数x满足x2=，△≥0，得出①正确、②错误；由x2+2x+=，得出=﹣x2﹣2x，根据平面向量的基本定理，得出﹣x2﹣2x=1，判断③正确、④错误；由=（+），得出B是线段AC的中点，判断⑤正确．解答：解：对于①，存在实数x满足x2=，∴﹣•≥0，∴①正确；对于②，由①知，②错误；对于③，∵x2+2x+=，变形为=﹣x2﹣2x，∵A、B、C为直线l上不同的三点，点O∉直线l，∴﹣x2﹣2x=1，解得x=﹣1，∴③正确；对于④，由③知，④错误；对于⑤，由③知，=（+），∴点B是线段AC的中点，⑤正确；综上，正确的命题是①③⑤．故选：C．点评：本题考查了平面向量的应用问题，也考查了一元二次方程有实数根的应用问题，是综合性题目．5．（5分）已知映射．设点A（1，3），B（2，2），点M是线段AB上一动点，f：M→M′．当点M在线段AB上从点A开始运动到点B 结束时，点M的对应点M′所经过的路线长度为（）A．B．C．D．考点：映射．专题：函数的性质及应用．分析：根据所给的两个点的坐标写出直线的方程，设出两个点的坐标，根据所给的映射的对应法则得到两个点坐标之间的关系，代入直线的方程求出一个圆的方程，得到轨迹是一个圆弧，求出弧长．解答：解：设点M′从A′开始运动，直到点B′结束，由题意知AB的方程为：x+y=4．设M′（x，y），则M（x2，y2），由点M在线段AB上可得 x2+y2=4．按照映射f：P（m，n）→P′（，），可得 A（1，3）→A′（1，），B（3，1）→B′（，），故tan∠A′OX==，∴∠A′OX=．tan∠B′OX==1，∴∠B′OX=，故∠A′OB′=∠A′OX﹣∠B′OX=，点M的对应点M′所经过的路线长度为弧长为=∠A′OB′•r=×2=；故选：B．点评：本题考查弧长公式和轨迹方程，本题解题的关键是利用相关点法求出点的轨迹，题目不大，但是涉及到的知识点不少，属于基础题．6．（5分）如图，已知椭圆C1：+y2=1，双曲线C2：﹣=1（a＞0，b＞0），若以C1的长轴为直径的圆与C2的一条渐近线交于A、B两点，且C1与该渐近线的两交点将线段AB三等分，则C2的离心率为（）A．B．5 C．D．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求出一条渐近线方程，联立直线方程和圆的方程、椭圆方程，求得交点，再由两点的距离公式，将|AB|=3|CD|，化简整理，即可得到b=2a，再由a，b，c的关系和离心率公式，即可得到结论．解答：解：双曲线C2：﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y=x，以C1的长轴为直径的圆的方程为x2+y2=11，联立渐近线方程和圆的方程，可得交点A（，），B（﹣，﹣），联立渐近线方程和椭圆C1：+y2=1，可得交点C（，），D（﹣，﹣），由于C1与该渐近线的两交点将线段AB三等分，则|AB|=3|CD|，即有=，化简可得，b=2a，则c==a，则离心率为e==．故选A．点评：本题考查双曲线的方程和性质，考查直线与圆、椭圆的位置关系，考查离心率的求法，属于基础题．7．（ 5分）半径为R的球内部装有4个半径相同的小球，则小球半径r的可能最大值为（）A．B．C．D．考点：球的体积和表面积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由题意，四个小球两两相切并且四个小球都与大球相切时，这些小球的半径最大，以四个小球球心为顶点的正四面体棱长为2r，该正四面体的中心（外接球球心）就是大球的球心，求出正四面体的外接球半径，即可求得结论．解答：解：由题意，四个小球两两相切并且四个小球都与大球相切时，这些小球的半径最大．以四个小球球心为顶点的正四面体棱长为2r，该正四面体的中心（外接球球心）就是大球的球心，该正四面体的高为=，设正四面体的外接球半径为x，则x2=（﹣x）2+（）2，∴x=r，∴R=r+r，∴r=R．故选：C．点评：本题考查点、线、面距离的计算，考查学生分析解决问题的能力，确定四个小球两两相切并且四个小球都与大球相切时，这些小球的半径最大是关键．8．（5分）某学生对一些对数进行运算，如图表格所示：x 0.021 0.27 1.5 2.8lgx 2a+b+c﹣3（1）6a﹣3b﹣2（2）3a﹣b+c（3）1﹣2a+2b﹣c（4）x 3 5 6 7lgx 2a﹣b（5）a+c（6）1+a﹣b﹣c（7）2（a+c）（8）x 8 9 14lgx 3﹣3a﹣3c（9）4a﹣2b（10）1﹣a+2b（11）现在发觉学生计算中恰好有两次地方出错，那么出错的数据是（）A．（3），（8）B．（4），（11）C．（1），（3）D．（1），（4）考点：对数的运算性质．专题：函数的性质及应用．分析：写出对数值的关系式，然后判断正误即可．解答：解：由题意可知：lg0.21=lg3+lg7﹣1=2a+b+c﹣3；lg0.27=2lg3﹣2=6a﹣3b﹣2；lg1.5=lg3+lg5﹣1=3a﹣b+clg2.8=2lg2+lg7﹣1，lg3=2a﹣b，lg5=a+clg6=lg2+lg3=1+a﹣b﹣c，lg7=2a+2c，lg8=3﹣3a﹣3c，lg9=2lg3=4a﹣2b，lg14=lg2+lg7=1﹣a+2b．有上述各式，可以看出，lg3，lg9，lg0.27是正确的关系式，则lg7=2a+2c，lg0.21=lg3+lg7﹣1=2a+b+c﹣3，可知lg7错误；由lg5=a+c，lg1.5=lg3+lg5﹣1=3a﹣b+c，可知lg5错误；即（3），（8）错误．故选：A．点评：本题考查对数的运算性质，推理与证明的应用，考查分析问题解决问题的能力．二、填空题本大题共7小题，每小题5分，共35分．9．（5分）设全集U=R，集合A={x|x2﹣3x﹣4＜0}，B={x|log2（x﹣1）＜2}，则A∩B=（1，4），A∪B=（﹣1，5），C R A=（﹣∞，﹣1]∪[4，+∞）．考点：交、并、补集的混合运算．专题：集合．分析：求出A与B中不等式的解集确定出A与B，找出A与B的交集，并集，求出A的补集即可．解答：解：由A中不等式变形得：（x﹣4）（x+1）＜0，解得：﹣1＜x＜4，即A=（﹣1，4），由B中不等式变形得：log2（x﹣1）＜2=log24，得到0＜x﹣1＜4，解得：1＜x＜5，即B=（1，5），∴A∩B=（1，4），A∪B=（﹣1，5），∁R A=（﹣∞，﹣1]∪[4，+∞）．故答案为：（1，4）；（﹣1，5）；（﹣∞，﹣1]∪[4，+∞）点评：此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．10．（5分）若某多面体的三视图如图所示，则此多面体的体积为，外接球的表面积为3π．考点：球内接多面体；球的体积和表面积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由三视图可知：该几何体是正方体的内接正四面体．可得此多面体外接球的直径是次正方体的对角线．即可得出．解答：解：由三视图可知：该几何体是正方体的内接正四面体（红颜色）．∴多面体的体积为1﹣×1=．此多面体外接球的直径是此正方体的对角线．因此其球的表面积是4π•=3π．故答案为：，3π．点评：本题考查了正方体的三视图、球的表面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．11．（5分）若max{a，b}表示a，b两数中的最大值，若f（x）=max{e|x|，e|x﹣2|}，则f（x）的最小值为e，若f（x）=max{e|x|，e|x﹣t|}关于x=2015对称，则t=4030．考点：指数函数单调性的应用．专题：函数的性质及应用．分析：化简函数的解析式，再利用函数y={e|x|的图象和函数y=e|x﹣t 的图象关于直线x=对称，从而得出结论．解答：解：由于f（x）=max{e|x|，e|x﹣2|}=，故f（x）的最小值为f（1）=e．若f（x）=max{e|x|，e|x﹣t|}关于x=2015对称，则=2015，求得t=4030，故答案为：e；4030．点评：本题主要考查指数函数的单调性，分段函数的应用，属于基础题．12．（5分）A n={x|2n＜x＜2n+1，x=3m，m∈N}，若|A n|表示集合A n中元素的个数，则|A5|=11，则|A1|+|A2|+|A3|+…+|A10|=219﹣29．考点：元素与集合关系的判断．专题：集合．分析：分n为奇数和偶数两种情况，根据等差数列的前n项和公式即可求出答案．解答：解：当n为奇数时，A n中的各个元素组成以2n+1为首项，3为公差的等差数列，设项数为m，则2n+1﹣1=2n+1+3（m﹣1），所以m=，∴|A5|==11，当n为偶数时，n﹣1时奇数，可知2n﹣1+1是3的倍数，因此2n+2=2（2n﹣1+1）是3的倍数；同理，2n+1﹣2=2（2n﹣1）是3的倍数，所以当n为偶数时，A n中的各个元素组成以2n+2为首项，3为公差的等差数列，设项数为m，则2n+1﹣2=2n+2+3（m﹣1），所以m=，所以当n是偶数时，A n中的所有元素个数之和为[2n+2）+（2n+1﹣2）]=22n﹣1﹣2n﹣1，所以|A1|+|A2|+|A3|+…+|A10|=22×10﹣1﹣210﹣1=219﹣29．故答案为：11，219﹣29．点评：本题主要考查与集合有关的新定义题，根据条件分别求出对应范围的个数是解决本题的关键，综合性较强．（5分）直角△ABC的三个顶点都在给定的抛物线y2=2x上，且斜边AB和y轴平行，则RT△ABC 13．斜边上的高的长度为2．考点：抛物线的简单性质．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：结合抛物线的方程与性质设出A，B，C的坐标，即可表达出斜边上的高|CD|，再由直角三角形的性质得到斜边上中线的长度，然后利用两点之间的距离公式表达出中线的长度，即可得到一个等式，进而求出斜边上的高得到答案．解答：解：由题意，斜边平行y轴，即垂直对称轴x轴，可设C的坐标为（，c），B的坐标为（，b），则A的坐标为（，﹣b）；=（﹣，c﹣b），=（﹣，﹣b﹣c），又由Rt△ABC的斜边为AB，则有AC⊥CB，即=0，变形可得|b2﹣c2|=4，而斜边上的高即C到AB的距离为|﹣|=2．故答案为：2．点评：本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，考查抛物线的标准方程等基础知识，考查运算求解能力、化归与转化思想．属于中档题．14．（5分）圆O的半径为1，P为圆周上一点，现将如图放置的边长为1的正方形（实线所示，正方形的顶点A与点P重合）沿圆周逆时针滚动，点A第一次回到点P的位置，则点A走过的路径的长度为．考点：弧长公式．专题：三角函数的求值．分析：由图可知：圆O的半径r=1，正方形ABCD的边长a=1，以正方形的边为弦时所对的圆心角为，正方形在圆上滚动时点的顺序依次为如图所示，当点A首次回到点P的位置时，正方形滚动了3圈共12次，分别算出转4次的长度，即可得出．解答：解：由图可知：∵圆O的半径r=1，正方形ABCD的边长a=1，∴以正方形的边为弦时所对的圆心角为，正方形在圆上滚动时点的顺序依次为如图所示，∴当点A首次回到点P的位置时，正方形滚动了3圈共12次，设第i次滚动，点A的路程为A i，则A1=×|AB|=，A2=×|AC|=，A3=×|DA|=，A4=0，∴点A所走过的路径的长度为3（A1+A2+A3+A4）=．故答案为：．点评：本题考查了正方形与圆的性质、旋转的性质、弧长的计算公式，考查了数形结合、分类讨论的思想方法，考查了分析问题与解决问题的能力，属于难题．15．（5分）已知动点P（x，y）满足，则x2+y2+2y的最小值为0．考点：二元一次不等式（组）与平面区域；基本不等式．专题：不等式．分析：可将P满足的不等式组变为，作出该不等式组表示的平面区域，可设x2+y2+2y=z，进一步得到x2+（y+1）2=z+1，从而根据平面区域求以（0，﹣1）为圆心的圆的半径的最小值即得到z的最小值．解答：解：x≥0时，；∴要使；只要；∴y≥0；∴动点P满足；该不等式组表示的平面区域如下图：设x2+y2+2y=z；∴x2+（y+1）2=z+1；∴便表示以（0，﹣1）为圆心的圆的半径；由图形看出当该圆经过原点O时半径最小为1；；∴z的最小值为0．故答案为：0．点评：考查不等式组表示的平面区域的概念，能够画出不等式组所表示的平面区域，能判断函数的单调性，圆的标准方程，利用线性规划的知识求最值的方法，数形结合解题的方法．三、解答题：（本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16．（15分）已知△ABC的面积为S，且S．（1）求cosA；（2）求a=，求△ABC周长的最大值．考点：余弦定理的应用．专题：综合题；解三角形．分析：（1）利用S，结合三角形的面积公式，即可求cosA；（2）利用正弦定理，结合a=，即可求△ABC周长的最大值．解答：解：（1）∵△ABC的面积为S，且，∴，∴，∴A为锐角，且，∴，所以．（2），∴周长为==，∵，∴，∴周长最大值为．点评：本题考查正弦定理，考查三角函数知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．17．（15分）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC侧面PAB⊥底面ABCD，PA=AD=AB=2，BC=4．（1）若PB中点为E．求证：AE∥平面PCD；（2）若∠PAB=60°，求直线BD与平面PCD所成角的正弦值．考点：直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）取PC中点F，并连接DF，FE，根据已知条件容易说明四边形ADFE为平行四边形，从而有AE∥DF，根据线面平行的判定定理即得到AE∥平面PCD；（2）设B到平面PCD的距离为h，从而直线BD与平面PCD所成角的正弦值便可表示为，BD根据已知条件容易求出，而求h可通过V P﹣BCD=V B﹣PCD求出：取AB中点O，连接PO，可以说明PO⊥平面ABCD，而根据已知条件能够求出S△BCD，S△PCD，从而求出h，从而求得答案．解答：解：（1）证明：如图，取PC的中点F，连结DF，EF；∵EF∥AD，且AD=EF，所以ADFE为平行四边形；∴AE∥DF，且AE⊄平面PCD，DF⊂平面PCD；∴AE∥平面PCD；（2）∵∠PAB=60°，PA=AB；∴△PAB为等边三角形，取AB中点O，连接PO；则PO⊥AB；又侧面PAB⊥底面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB；∴PO⊥平面ABCD；根据已知条件可求得PO=，S △BCD=4，PD=CD=，PC=2，；设点B到平面PCD的距离为h；∴，；∵V P﹣BCD=V B﹣PCD；∴；∴直线BD与平面PCD所成角θ的正弦值．点评：考查中位线的性质，平行四边形的定义，线面平行的判定定理，以及直角三角形边的关系，面面垂直的性质定理，棱锥的体积公式，线面角的定义．18．（15分）函数f（x）=mx|x﹣a|﹣|x|+1（1）若m=1，a=0，试讨论函数f（x）的单调性；（2）若a=1，试讨论f（x）的零点的个数．考点：利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理．专题：导数的综合应用．分析：（1）将m=1，a=0代入函数表达式，通过讨论x的范围，结合二次函数的性质，从而求出函数的单调性；（2）将a=1代入函数的表达式，通过讨论x的范围，根据二次函数的性质，从而求出函数的零点的个数．解答：解：（1）若m=1，a=0，则f（x）=x|x|﹣|x|+1，①x≥0时，f（x）=x2﹣x+1，对称轴x=，开口向上，∴f（x）在[0，）递减，在（，+∞）递增；②x＜0时，f（x）=﹣x2+x+1，对称轴x=﹣，开口向下，∴f（x）在（﹣∞，0）递增；综上：f（x）在（﹣∞，0）递增，在[0，）递减，在（，+∞）递增．（2）a=1时，f（x）=mx|x﹣1|﹣|x|+1，①x＜0时，f（x）=mx（1﹣x）+x+1=﹣mx2+（m+1）x+1，△=（m+1）2+4m=m2+6m+1，令m2+6m+1=0，解得：m=﹣3±2，当m＜﹣3﹣2或x＞﹣3+2时，△＞0，有2个零点，当﹣3﹣2＜m＜﹣3+2时，△＜0，没有零点，当m=﹣3±2时，△=0，有1个零点；②0≤x≤1时，f（x）=mx（1﹣x）﹣x+1=﹣mx2+（m﹣1）x+1，△=（m+1）2≥0，m=﹣1时，函数有1个零点，m≠﹣1时，有2个零点；③x＞1时，f（x）=mx（x﹣1）﹣x+1=mx2﹣（m+1）x+1，△=（m﹣1）2≥0，m=1时，函数有1个零点，m≠1时，函数有2个零点．点评：本题考查了函数的单调性问题，考查二次函数的性质，考查分类讨论思想，是一道中档题．19．（15分）如图，在平面直角坐标系xOy中，离心率为的椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左顶点为A，过原点O的直线（与坐标轴不重合）与椭圆C交于P，Q两点，直线PA，QA分别与y轴交于M，N两点．若直线PQ斜率为时，PQ=2．（1）求椭圆C的标准方程；（2）试问以MN为直径的圆是否经过定点（与直线PQ的斜率无关）？请证明你的结论．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：，（1）设，由于直线PQ斜率为时，，可得，解得，代入椭圆方程可得：，又，联立解得即可．（2）设P（x0，y0），则Q（﹣x0，﹣y0），代入椭圆方程可得．由直线PA方程为：，可得，同理由直线QA方程可得，可得以MN为直径的圆为，由于，代入整理即可得出．解答：解：（1）设，∵直线PQ斜率为时，，∴，∴，=1，∴，∵，化为a2=2b2．联立，∴a2=4，b2=2．∴椭圆C的标准方程为．（2）以MN为直径的圆过定点．下面给出证明：设P（x0，y0），则Q（﹣x0，﹣y0），且，即，∵A（﹣2，0），∴直线PA方程为：，∴，直线QA方程为：，∴，以MN为直径的圆为，即，∵，∴，令y=0，x2+y2﹣2=0，解得，∴以MN为直径的圆过定点．点评：本题考查了椭圆与圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、点与椭圆的位置关系、点斜式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．20．（15分）已知数列{a n}（n∈N*，1≤n≤46）满足a1=a，a n+1﹣a n=其中d≠0，n∈N*．（1）当a=1时，求a46关于d的表达式，并求a46的取值范围；（2）设集合M={b|b=a i+a j+a k，i，j，k∈N*，1≤i＜j＜k≤16}．①若a=，d=，求证：2∈M；②是否存在实数a，d，使，1，都属于M？若存在，请求出实数a，d；若不存在，请说明理由．考点：数列的应用；数列递推式．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：（1）直接计算即可；（2）①求出a n的公式即可；②假设存在实数a，d满足条件，得出矛盾，从而否定假设．解答：解：（1）当a=1时，a16=1+15d，a31=16+15d，．因为d≠0，，或，所以a46∈（﹣∞，﹣14]∪[46，+∞）．（2）①由题意，1≤n≤16，．令，得i+j+k=7．因为i，j，k∈N*，1≤i＜j＜k≤16，所以令i=1，j=2，k=4，则2∈M．②不存在实数a，d，使，1，同时属于M．假设存在实数a，d，使，1，同时属于M．∵a n=a+（n﹣1）d，∴b=3a+（i+j+k﹣3）d，从而M={b|b=3a+md，3≤m≤42，m∈Z}．因为，1，同时属于M，所以存在三个不同的整数x，y，z（x，y，z∈[3，42]），使得从而则．因为35与48互质，且y﹣x与z﹣x为整数，所以|y﹣x|≥35，|z﹣x|≥48，但|z﹣x|≤39，矛盾．所以不存在实数a，d，使，1，都属于M．点评：本题主要考查数列知识以及反证法，需要清晰的思路，属于难题．。
浙江省五校2014届高三第二次联考数学理试题
浙江省五校2014届高三第二次联考数学理试题注意事项：1．本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答．答题前，请在答题卷的规定处填写学校、姓名、考号、科目等指定内容，并正确涂黑相关标记;2．本试题卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共6页，全卷满分150分，考试时间120分钟．参考公式：如果事件A ，B 互斥，那么 )()()(B P A P B A P +=+．如果事件A ，B 相互独立，那么 )()()(B P A P B A P ⋅=⋅．如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率),,2,1,0()1()(n k p p C k P k n kk n n =-=- ．球的表面积公式 24R S π=，其中R 表示球的半径． 球的体积公式334R V π=，其中R 表示球的半径．棱柱的体积公式 Sh V =，其中S 表示棱柱的底面积，h 表示棱柱的高． 棱锥的体积公式Sh V 31=， 其中S 表示棱锥的底面积，h 表示棱锥的高． 棱台的体积公式)(312211S S S S h V ++=， 其中21,S S 分别表示棱台的上、下底面积，h 表示棱台的高．第I 卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知i 是虚数单位，则ii 31+=A ．i 4143- B ．i 4143+ C ．i 2123+ D ．i 2123- 2．设集合}20|{<≤∈=x Z x M ，}4|{2≤∈=x R x P ，则=P M A ．}1{B. }1,0{ C ． MD ．P3． 函数R x x x f ∈-=),32sin(2)(π的最小正周期为 A ．2πB ．πC ．π2D ．π44． R c b a ∈,,.则“c b a ,,成等比数列”是“ac b =”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．在ABC ∆中，内角C B A ,,的对边分别为,,,c b a 且0222=-++a bc c b ，则cb C a --︒)30sin(的值为A ．21 B ．23 C ．21- D ．23- 6．在平面直角坐标系中，不等式2|2||2|≤++-x y 表示的平面区域的面积是A ．8B ．4C ．24D ．227．某几何体是由直三棱柱与圆锥的组合体，其直 观图和三视图如图所示，正视图为正方形，其 中俯视图中椭圆的离心率为A ．2B ．21C ．22 D ．42 （第7题）直观图俯视图侧视图正视图8．如图， ABC ∆是边长为2的等边三角形，D 是边BC 上的 动点，AD BE ⊥于E ，则CE 的最小值为A ．1B ．32-C ．13-D ．239．已知椭圆C1222=+y x，点521,,,M M M 为其长轴AB 的6等分点，分别过这五点 作斜率为)0(≠k k 的一组平行线，交椭圆C 于1021,,,P P P ，则直线1021,,,AP AP AP 这10条直线的斜率乘积为A ．161-B ．321-C ．641D ．10241- 10．下列四个函数①23)(x x x f +=;②x x x f +=4)(;③x x x f +=2sin )(; ④x x x f sin 2cos )(+=中 ，仅通过平移变换就能使函数图像为奇函数或偶函数图像的函数为A ．① ② ③B ．② ③ ④C ．① ② ④D ．① ③ ④非选择题部分（共100分）二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分． 11．二项式52)1(x -的展开式中6x 的系数为 ▲ ．12．若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值为 ▲ ． 13．若非零向量,，满足||||=+，)(λ+⊥， 则=λ ▲ ．14．已知函数)32cos(2sin )(π++=x x a x f 的最大值为1，则=a ▲ ．15．对任意R x ∈，都有)()1(x f x f =+，)()1(x g x g -=+，且)()()(x g x f x h =在]1,0[上的值域]2,1[-．则)(x h 在]2,0[上 的值域为 ▲ ．16．两对夫妻分别带自己的3个小孩和2个小孩乘缆车游玩，每一缆车可以乘1人，2人或（第12题）（第8题）3人，若小孩必须有自己的父亲或母亲陪同乘坐，则他们不同的乘缆车顺序的方案共有 ▲ 种．17．已知：长方体1111D C B A ABCD -，4,4,21===AA AD AB ，O 为对角线1AC 的中点，过O 的直线与长方体表面交于两点N M ,，P 为长方体表面上的动点，则PN PM ⋅的取值范围是 ▲ ．三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．（本题满分14分）一个袋中装有大小相同的黑球和白球共9个，从中任取2个球，记随机变量X 为取出2球中白球的个数，已知125)2(==X P ． （Ⅰ）求袋中白球的个数；（Ⅱ）求随机变量X 的分布列及其数学期望．19．（本题满分14分）已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且⎩⎨⎧≥==)2(2)1(2n a n S n n ．（Ⅰ）求n a ； （Ⅱ）设)log )(log (11212+++++=n n n n n n S S S S S b ，求数列}{n b 的前n 项和n T ．20．（本题满分15分）如图，在四棱锥ABCD P -中，四边形ABCD 是正方形，PD CD =，︒=∠︒=∠120,90CDP ADP ，G F E ,,分别为AP BC PB ,,的中点.（Ⅰ）求证平面//EFG 平面PCD ;（Ⅱ）求二面角B EF D --的平面角的大小.21．（本题满分15分）已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a b y a x 的左焦点)0,1(-F ，离心率为22，函数=)(x f x x 4321+， （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）设)0)(0,(≠t t P ，)0),((t f Q ，过P 的直线l 交椭圆C 于B A ,两点，求∙的最小值，并求此时的t 的值．22．（本题满分14分）已知R ∈a ，函数1ln )(-+-=ax e xxx f （e 为自然对数的底数）．FBP（Ⅰ）若1=a ，求函数)(x f 的单调区间； （Ⅱ）若)(x f 的最小值为a ，求a 的最小值．2013学年浙江省第二次五校联考数学（理科）答案一、选择题（本大题共10小题，每题5分，共50分）1．B ； 2．B ； 3．D ； 4．D ； 5．A ； 6．A ； 7．C ；8．C ；9．B ；10．D ．二、填空题（本大题共7小题，每题4分，共28分）11．10-； 12．60137； 13．2；14． 0或3；15．]2,2[-； 16． 648；17．]8,8[-．三、解答题（本大题共5小题，第18、19、22题各14分，20、21题各15分，共72分）18. 解：（Ⅰ）设袋中有白球n 个，则125)2(292===C C X P n ，即12589)1(=⨯-n n ，解得6=n ．（Ⅱ）随机变量X 的分布列如下：3412522111210)(=⨯+⨯+⨯=X E ．19.解（Ⅰ）2≥n 时,)(221--==n n n n S S a S 2,211==-S S S n n 所以nn S 2=⎩⎨⎧=≥=-1)(n 22)(21n a n n（Ⅱ）12121)12)(2(1211++-+=++++=++n n n n b n n n n n n12131121213212212211211132221++-=++-++++-+++-+=+++=++n n n b b b T n n n nn20. 解：（Ⅰ）因为G E ,分别为AP BP ,中点,所以AB EG //,又因为ABCD 是正方形,CD AB //,所以CD EG //,所以//EG 平面PCD . 因为F E ,分别为BC BP ,中点,所以PC EF //,所以//EF 平面PCD . 所以平面//EFG 平面PCD .（Ⅱ）法1.易知CD AD ⊥,又PD AD ⊥,故⊥AD 平面分别以DA DC ,为x 轴和z 轴,建立空间直角坐标系(如图不妨设2===PD CD AD 则)1,0,2(),2,0,2(F B ,)0,3,1(-P所以)1,23,21(E)0,23,23(),1,0,0(-==设),,(111z y x =是平面BEF 的法向量,则⎪⎩⎪⎨⎧=∙=∙00所以⎪⎩⎪⎨⎧=-=023230111y x z 取⎪⎩⎪⎨⎧===031111z y x ,即)0,3,1(= 设),,(222z y x =是平面DEF 的法向量,则⎪⎩⎪⎨⎧=∙=∙00n FD 所以⎪⎩⎪⎨⎧=-=+02323022222y x z x 取⎪⎩⎪⎨⎧-===231222z y x 设二面角B EF D --的平面角的大小为θ2222231||||,cos =⨯+=<n m 所以22cos -=θ,二面角B EF D --的平面角的大小为π43.法 2. 取PC 中点,联结DM EM ,则BC EM //,又⊥AD 平面PCD ,BC AD //,所以⊥BC 平面PCD ,所以⊥EM 平面PCD ,所以DM EM ⊥,PC EM ⊥. 因为DP CD =,则PC DM ⊥,所以 ⊥DM 平面PCB .又因为PC EF //,所以EM EF ⊥所以DEM ∠就是二面角B EF D --的平面角的补角.不妨设2===PD CD AD ,则 1=EM ,1=DM ,4π=∠DEM .所以二面角B EF D --的平面角的大小为π43.21. 解：（Ⅰ）1=c ,由⎪⎩⎪⎨⎧=-=122122b a a 得1,2==b a ,椭圆方程为1222=+y x （Ⅱ）若直线l 斜率不存在,则∙=2)4321(2-+t t 设直线)(:t x k y l -=,)0,(),,(),,(02211x Q y x B y x A),(),,(202101y x x y x x -=-= 222021022122120201210201))(()1())(())(())((t k x x x x t k x x k t x t x k x x x x y y x x x x ++++-+=--+--=+--=∙由⎪⎩⎪⎨⎧-==+)(1222t x k y y x 得0224)12(22222=-+-+t k tx k x k 所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+=+2222122212122214k t k x x k t k x x21)43212(22)4321(22220-=∙+-≥-+=-=∙t t t t x 故故∙的最小值为21-,此时36±=t .FBP22. 解（Ⅰ）1=a 时,1ln )(-+-=x e x x x f ,12ln 1)('-+--=x e xxx f 当1>x 时,0ln 11ln 1)('222>+-=+-->x xx x x x f 当10<<x 时,0ln 11ln 1)('222<+-=+--<xxx x x x f 所以)(x f 的单调减区间为),1,0(单调增区间为),1(+∞. （Ⅱ）由题意可知a e xxax ≥+--1ln 恒成立,且等号可取. 即0ln 1≥---x ax xeax 恒成立,且等号可取.令x ax xe x g ax ln )(1--=- )1)(1()('1xe ax x g ax -+=- 由011=--x eax 得到x x a ln 1-=,设x x x p ln 1)(-=,22ln )('x x x p -= 当2e x >时,0)('>x p ;当20e x <<时,0)('<x p .)(x p 在),0(2e 上递减,),(2+∞e 上递增.所以22min 1)()(ee p x p -== 当21e a -≤时, x x a ln 1-≤,即011≤--x e ax , 在)1,0(a -上,0)(',01≤>+x g ax ,)(x g 递减;在),1(+∞-a上,0)(',01≥<+x g ax ,)(x g 递增.所以)1()(min ag x g -=设],0(12e a t ∈-=,)0(1ln )()1(22e t t e t t h a g ≤<+-==-011)('2≤-=t et h ,)(t h 在],0(2e 上递减,所以0)()(2=≥e h t h故方程0)1()(min =-=a g x g 有唯一解21e a =-,即21e a -=.综上所述,当21e a -≤时,仅有21e a -=满足)(xf 的最小值为a ,故a 的最小值为21e-.。
易错汇总2014-2015年浙江省杭州市萧山区五校联考高二上学期期末数学试卷(理科)与解析
≥2 ，则 k 的取值范围是
．
15．（4 分）正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中，E，F 分别是正方形 ADD1A1 和 ABCD的中
心，G 是 CC1 的中点，设 GF，C1E 与 AB 所成的角分别为 α，β，则 α+β＝
．
16．（ 4 分）已知椭圆 C： + =1 与直线 L： y=x+m 相交于 A，B 两点， O 为坐
D．3
【分析】 由题意可得两圆相外切，根据两圆的标准方程求出圆心和半径，由 =3，得到 a2+b2=9，故满足条件的点（ a，b）在以原点为圆心，以 3
为半径的圆上，令 a+b=t，利用线性规划求出 t 的最小值．
【解答】 解：由题意可得，两圆相外切，两圆的标准方程分别为 （ x+a） 2+y2=4， x2+（y﹣b）2=1，
20．（ 10 分）在如图所示的几何体中，四边形 ABCD为平行四边形，∠ ABC=45°， AB=AC=AE=2E，FEA⊥平面 ABCD，EF∥AB， FG∥BC，EG∥AC．
（ 1）若 M 是线段 AD 的中点，求证： GM∥平面 ABFE； （ 2）求二面角 A﹣BF﹣C 的余弦值．
21．（12 分）已知椭圆 C：
＞ | =|
| =|
|= ．
∴直线 BM 与平面 ABC所成角的正弦值为 ．
第 10 页（共 23 页）
故选： D．
9．（3 分）我们把由半椭圆 + =1（ x≥0）与半椭圆 + =1（ x＜0）合成
的曲线称作 “果圆 ”（其中 a2=b2+c2，a＞b＞c＞0）．如图，设点 F0，F1，F2 是相
【解答】 解：过 A 作 AO⊥平面 BCD，交 BM 于 O，设 AB=2， ∵四面体 ABCD中，各棱相等， M 是 CD的中点，
浙江省杭州市2015年高考数学命题比赛模拟试卷(6)及答案
2015年高考模拟试卷数学卷（理科）第（Ⅰ）卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（原创）已知集合}21{，=A ，}12{A a a B ∈-=，则=B A （ ） A ．{}1 B ．{}1,2 C ．{}1,2,3 D ．∅ 2．（改编）若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的侧面积等于( ) A ．212cm π B ．215cm π C ．224cm π D ．230cm π 3．（改编）已知0log log ,10<<<<n m a a a ，则( ) A ． 1n m <<B ． 1m n <<C ． 1m n <<D ． 1n m <<4．（原创）若实数x ，y 满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤-+≤083024733y x y x y ， 则y x z 2+=的最大值是( )A ．6B ．7C ．8D ．9 5．（原创）在三角形ABC 中，“0tan tan tan >++C B A ”是“三角形ABC 为锐角三角形”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．（原创）已知sin cos (0,)3αααπ+=∈，则s i n ()12πα+的值为（ ） ABCD ．7．（改编）已知圆M ：25)2()322=-+-y x （，过点)0,1(P 作两条相互垂直的弦AC 和BD ，那么四边形ABCD 的面积最大值为( ) A ．21 B ．321 C ．221D ． 42 8．（改编）设函数2)(-+-=x a x x f ，若函数)()()(x f a x x g ⋅+=的图象中心对称，则a 的值为（ ）A ．2B ．2-C ．0D ． 32-第（Ⅱ）卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题7小题，9-12题每题6分，13-15每题4分，共36分，把答案填在题中的横线上．9．(原创)已知首项为1，公差不为0的等差数列{}n a 的第2，4，9项成等比数列，则这个等（第2题图）比数列的公比=q ；等差数列{}n a 的通项公式n a = ；设数列{}n a 的前n 项和为n S ，则n S = 。
浙江省杭州市2015年高考数学命题比赛模拟试卷(8)及答案
2015年高考模拟试卷数学卷命题双向细目表说明：题型及考点分布按照《2015考试说明》参考样卷。
说明1、本试卷的命题方向和命题意图主要从以下几点为出发点：（1）、强化主干知识，强化知识之间的交叉，渗透和综合：基础知识全面考，重点知识重点考，注意信息的重组及知识网络的交叉点。
（2）、淡化特殊技巧，强调数学思想方法。
考查与数学知识联系的基本方法、解决数学问题的科学方法。
（3）、深化能力立意，突出考察能力与素质，对知识的考察侧重于理解和运用。
淡化繁琐、强调能力，提倡学生用简洁方法得出结论。
（4）、控制难度. “易︰中︰难=3︰5︰2” .（5）、新增知识考查力度及所占分数比例可略超课时比例。
基础题象“会考”，压轴题似“竞赛”.2、试卷结构与2015年样卷保持一致⑴题型结构为， 8道选择、7道填空、5道解答的结构；⑵赋分设计为，选择每题5分、填空题单空体每题4分，多空题每题6分，解答题共74分；⑶考查的内容，注重考查高中数学的主干知识：函数，三角函数和解三角形，立体几何，解析几何，数列等。
3、立足基础，突出主干命题把重点放在高中数学课程中最基础、最核心的内容上，充分关注考生在学习数学和应用数学解决问题中必须掌握的核心观念、思想方法、基本概念和常用技能。
对基础知识的考查主要集中在小题上，具体知识点分布在集合、向量、直线与圆、数列、函数图像、函数性质、线性规划、三视图、三角函数、圆锥曲线性质、空间角等内容上，而且小题的考查直接了当，大部分是直接考查单一知识点，试卷对中学数学的核心内容和基本能力，特别是对高中数学的主干知识进行较为全面地考查。
注重了知识之间的内在联系，重点内容重点考，没有片面追求知识及基本思想、方法的覆盖面，反映了新课程的理念。
4、试题难度适中，层次分明试卷在三种题型中体现出明显的层次感，选择题、填空题、解答题，层层递进。
试卷的入口题和每种题型的入口题较好的把握了难度。
试卷对较难的解答题利用分步给分的设计方法，在化解难度的同时，又合理区分不同层次的考生。
浙江省2014届高三下学期第二次五校联考数学(理)试题
2013学年浙江省第二次五校联考数学（理科）试题卷注意事项：1．本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答．答题前，请在答题卷的规定处填写学校、姓名、考号、科目等指定内容，并正确涂黑相关标记;2．本试题卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共6页，全卷满分150分，考试时间120分钟．参考公式：如果事件A ，B 互斥，那么 )()()(B P A P B A P +=+．如果事件A ，B 相互独立，那么 )()()(B P A P B A P ⋅=⋅．如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率),,2,1,0()1()(n k p p C k P k n kk n n =-=- ．球的表面积公式 24R S π=，其中R 表示球的半径． 球的体积公式 334R V π=， 其中R 表示球的半径．棱柱的体积公式 Sh V =，其中S 表示棱柱的底面积，h 表示棱柱的高． 棱锥的体积公式 Sh V 31=， 其中S 表示棱锥的底面积，h 表示棱锥的高． 棱台的体积公式 )(312211S S S S h V ++=，其中21,S S 分别表示棱台的上、下底面积，h 表示棱台的高．第I 卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知i 是虚数单位，则ii 31+=A ．i 4143- B ．i 4143+ C ．i 2123+ D ．i 2123- 2．设集合}20|{<≤∈=x Z x M ，}4|{2≤∈=x R x P ，则=P M A ．}1{B. }1,0{ C ． MD ．P3． 函数R x x x f ∈-=),32sin(2)(π的最小正周期为 A ．2πB ．πC ．π2D ．π44． R c b a ∈,,.则“c b a ,,成等比数列”是“ac b =”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．在ABC ∆中，内角C B A ,,的对边分别为,,,c b a 且0222=-++a bc c b ，则cb C a --︒)30sin(的值为A ．21 B ．23 C ．21- D ．23-6．在平面直角坐标系中，不等式2|2||2|≤++-x y 表示的平面区域的面积是A ．8B ．4C ．24D ．227．某几何体是由直三棱柱与圆锥的组合体，其直 观图和三视图如图所示，正视图为正方形，其 中俯视图中椭圆的离心率为A ．2B ．21C ．22 D ．42 （第7题）直观图俯视图侧视图正视图8．如图， ABC ∆是边长为2的等边三角形，D 是边BC 上的 动点，AD BE ⊥于E ，则CE 的最小值为A ．1B ．32-C ．13-D ．239．已知椭圆C:1222=+y x，点521,,,M M M 为其长轴AB 的6等分点，分别过这五点作斜率为)0(≠k k 的一组平行线，交椭圆C 于1021,,,P P P ，则直线1021,,,AP AP AP 这10条直线的斜率乘积为A ．161-B ．321-C ．641D ．10241- 10．下列四个函数:①23)(x x x f +=;②x x x f +=4)(;③x x x f +=2sin )(; ④x x x f sin 2cos )(+=中 ，仅通过平移变换就能使函数图像为奇函数或偶函数图像的函数为A ．① ② ③B ．② ③ ④C ．① ② ④D ．① ③ ④非选择题部分（共100分）二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分． 11．二项式52)1(x -的展开式中6x 的系数为 ▲ ．12．若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值为 ▲ ． 13．若非零向量b a ,，满足||||b b a =+，)(b a a λ+⊥， 则=λ ▲ ．14．已知函数)32cos(2sin )(π++=x x a x f 的最大值为1，则=a ▲ ．15．对任意R x ∈，都有)()1(x f x f =+，)()1(x g x g -=+，且)()()(x g x f x h =在]1,0[上的值域]2,1[-．则)(x h 在]2,0[上 的值域为 ▲ ．（第12题）（第8题）16．两对夫妻分别带自己的3个小孩和2个小孩乘缆车游玩，每一缆车可以乘1人，2人或3人，若小孩必须有自己的父亲或母亲陪同乘坐，则他们不同的乘缆车顺序的方案共有 ▲ 种．17．已知：长方体1111D C B A ABCD -，4,4,21===AA AD AB ，O 为对角线1AC 的中点，过O 的直线与长方体表面交于两点N M ,，P 为长方体表面上的动点，则PN PM ⋅的取值范围是 ▲ ．三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．（本题满分14分）一个袋中装有大小相同的黑球和白球共9个，从中任取2个球，记随机变量X 为取出2球中白球的个数，已知125)2(==X P ． （Ⅰ）求袋中白球的个数；（Ⅱ）求随机变量X 的分布列及其数学期望． 19．（本题满分14分）已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且⎩⎨⎧≥==)2(2)1(2n a n S nn ．（Ⅰ）求n a ； （Ⅱ）设)log )(log (11212+++++=n n n n n n S S S S S b ，求数列}{n b 的前n 项和n T ．20．（本题满分15分）如图，在四棱锥ABCD P -中，四边形ABCD 是正方形，PD CD =，︒=∠︒=∠120,90CDP ADP ，G F E ,,分别为AP BC PB ,,的中点.（Ⅰ）求证:平面//EFG 平面PCD ;（Ⅱ）求二面角B EF D --的平面角的大小.21．（本题满分15分）已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的左焦点)0,1(-F ，离心率为22，函数FBP=)(x f x x 4321+， （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）设)0)(0,(≠t t P ，)0),((t f Q ，过P 的直线l 交椭圆C 于B A ,两点，求QB QA ∙的最小值，并求此时的t 的值．22．（本题满分14分）已知R ∈a ，函数1ln )(-+-=ax e xxx f （e 为自然对数的底数）． （Ⅰ）若1=a ，求函数)(x f 的单调区间； （Ⅱ）若)(x f 的最小值为a ，求a 的最小值．2013学年浙江省第二次五校联考数学（理科）答案一、选择题（本大题共10小题，每题5分，共50分）1．B ； 2．B ； 3．D ； 4．D ； 5．A ； 6．A ； 7．C ；8．C ；9．B ；10．D ．二、填空题（本大题共7小题，每题4分，共28分）11．10-； 12．60137； 13．2；14． 0或3；15．]2,2[-； 16． 648；17．]8,8[-．三、解答题（本大题共5小题，第18、19、22题各14分，20、21题各15分，共72分）18.解：（Ⅰ）设袋中有白球n 个，则125)2(292===C C X P n ，即12589)1(=⨯-n n ，解得6=n ． （Ⅱ）随机变量X 的分布列如下：3412522111210)(=⨯+⨯+⨯=X E ．19.解:（Ⅰ）2≥n 时,)(221--==n n n n S S a S 2,211==-S S S n n 所以n n S 2=⎩⎨⎧=≥=-1)(n 22)(21n a n n（Ⅱ）12121)12)(2(1211++-+=++++=++n n n n b n n n n n n12131121213212212211211132221++-=++-++++-+++-+=+++=++n n n b b b T n n n nn20. 解：（Ⅰ）因为G E ,分别为AP BP ,中点,所以AB EG //,又因为ABCD 是正方形,CD AB //,所以CD EG //,所以//EG 平面PCD . 因为F E ,分别为BC BP ,中点,所以PC EF //,所以//EF 平面PCD . 所以平面//EFG 平面PCD .（Ⅱ）法1.易知CD AD ⊥,又PD AD ⊥,故⊥AD 平面分别以DA DC ,为x 轴和z 轴,建立空间直角坐标系(如图不妨设2===PD CD AD 则)1,0,2(),2,0,2(F B ,)0,3,1(-P所以)1,23,21(E)0,23,23(),1,0,0(-==EF FB设),,(111z y x m =是平面BEF 的法向量,则⎪⎩⎪⎨⎧=∙=∙00m EF m FB 所以⎪⎩⎪⎨⎧=-=023230111y x z 取⎪⎩⎪⎨⎧===031111z y x ,即)0,3,1(=m 设),,(222z y x n =是平面DEF 的法向量,则⎪⎩⎪⎨⎧=∙=∙00n EF n FD 所以⎪⎩⎪⎨⎧=-=+02323022222y x z x 取⎪⎩⎪⎨⎧-===231222z y x 设二面角B EF D --的平面角的大小为θ2222231||||,cos =⨯+=>=<n m n m 所以22cos -=θ,二面角B EF D --的平面角的大小为π43. 法 2. 取PC 中点,联结DM EM ,则BC EM //,又⊥AD 平面PCD ,BC AD //,所以⊥BC 平面PCD ,所以⊥EM 平面PCD ,所以DM EM ⊥,PC EM ⊥.因为DP CD =,则PC DM ⊥,所以 ⊥DM 平面PCB . 又因为PC EF //,所以EM EF ⊥所以DEM ∠就是二面角B EF D --的平面角的补角. 不妨设2===PD CD AD ,则1=EM ,1=DM ,4π=∠DEM .所以二面角B EF D --的平面角的大小为π43.21. 解：（Ⅰ）1=c ,由⎪⎩⎪⎨⎧=-=122122b a a 得1,2==b a ,椭圆方程为1222=+y x （Ⅱ）若直线l 斜率不存在,则QB QA ∙=2)4321(2-+t t 设直线)(:t x k y l -=,)0,(),,(),,(02211x Q y x B y x A),(),,(202101y x x QB y x x QA -=-= 222021022122120201210201))(()1())(())(())((t k x x x x t k x x k t x t x k x x x x y y x x x x QB QA ++++-+=--+--=+--=∙由⎪⎩⎪⎨⎧-==+)(1222t x k y y x 得0224)12(22222=-+-+t k tx k x k 所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+=+2222122212122214k t k x x k t k x x21)43212(22)4321(22220-=∙+-≥-+=-=∙t t t t x QB QA 故故QB QA ∙的最小值为21-,此时36±=t .FBP22. 解:（Ⅰ）1=a 时,1ln )(-+-=x e x x x f ,12ln 1)('-+--=x e xxx f 当1>x 时,0ln 11ln 1)('222>+-=+-->x xx x x x f当10<<x 时,0ln 11ln 1)('222<+-=+--<xxx x x x f 所以)(x f 的单调减区间为),1,0(单调增区间为),1(+∞. （Ⅱ）由题意可知:a e xxax ≥+--1ln 恒成立,且等号可取. 即0ln 1≥---x ax xe ax 恒成立,且等号可取. 令x ax xex g ax ln )(1--=-)1)(1()('1xe ax x g ax -+=- 由011=--x e ax 得到x x a ln 1-=,设x x x p ln 1)(-=,22ln )('x x x p -= 当2e x >时,0)('>x p ;当20e x <<时,0)('<x p .)(x p 在),0(2e 上递减,),(2+∞e 上递增.所以22min 1)()(ee p x p -== 当21ea -≤时, x x a ln 1-≤,即011≤--x e ax , 在)1,0(a -上,0)(',01≤>+x g ax ,)(x g 递减;在),1(+∞-a上,0)(',01≥<+x g ax ,)(x g 递增.所以)1()(min ag x g -=设],0(12e a t ∈-=,)0(1ln )()1(22e t t e tt h a g ≤<+-==-011)('2≤-=t et h ,)(t h 在],0(2e 上递减,所以0)()(2=≥e h t h故方程0)1()(min =-=a g x g 有唯一解21e a =-,即21e a -=.综上所述,当21e a -≤时,仅有21e a -=满足)(xf 的最小值为a ,故a 的最小值为21e-.。
浙江省五校联考高考数学二模试卷 理(含解析)
浙江省五校联考2015届高考数学二模试卷（理科）一、选择题：（每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）命题“存在x0∈R，2≤0”的否定是（）A．不存在x0∈R，2＞0 B．存在x0∈R，2≥0C．对任意的x∈R，2x≤0D．对任意的x∈R，2x＞02．（5分）给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，为真命题的是（）A．①和②B．②和③C．③和④D．②和④3．（5分）为得到函数f（x）=cosx﹣sinx，只需将函数y=sinx（）A．向左平移B．向右平移C．向左平移D．向右平移4．（5分）已知A、B、C为直线l上不同的三点，点O∉直线l，实数x满足关系式x2=，有下列结论中正确的个数有（）①≥0；②＜0；③x的值有且只有一个；④x的值有两个；⑤点B是线段AC的中点．A．1个B．2个C．3个D．4个5．（5分）已知映射．设点A（1，3），B（2，2），点M是线段AB上一动点，f：M→M′．当点M在线段AB上从点A开始运动到点B 结束时，点M的对应点M′所经过的路线长度为（）A．B．C．D．6．（5分）如图，已知椭圆C 1：+y 2=1，双曲线C 2：﹣=1（a ＞0，b ＞0），若以C 1的长轴为直径的圆与C 2的一条渐近线交于A 、B 两点，且C 1与该渐近线的两交点将线段AB 三等分，则C 2的离心率为（）A ．B ． 5C ．D ．7．（5分）半径为R 的球内部装有4个半径相同的小球，则小球半径r 的可能最大值为（）A ．B ．C ．D ．8．（5分）某学生对一些对数进行运算，如图表格所示：x 0.021 0.27 1.5 2.8lgx 2a+b+c ﹣3（1） 6a ﹣3b ﹣2（2） 3a ﹣b+c （3） 1﹣2a+2b ﹣c （4）x 3 5 6 7lgx 2a ﹣b （5） a+c （6） 1+a ﹣b ﹣c （7） 2（a+c ）（8） x 8 9 14lgx 3﹣3a ﹣3c （9） 4a ﹣2b （10） 1﹣a+2b （11） 现在发觉学生计算中恰好有两次地方出错，那么出错的数据是（）A ． （3），（8）B ． （4），（11）C ． （1），（3）D ． （1），（4）二、填空题本大题共7小题，每小题5分，共35分．9．（5分）设全集U=R ，集合A={x|x 2﹣3x ﹣4＜0}，B={x|log 2（x ﹣1）＜2}，则A∩B=，A∪B=，C R A=．10．（5分）若某多面体的三视图如图所示，则此多面体的体积为，外接球的表面积为．11．（5分）若max{a，b}表示a，b两数中的最大值，若f（x）=max{e|x|，e|x﹣2|}，则f（x）的最小值为，若f（x）=max{e|x|，e|x﹣t|}关于x=2015对称，则t=．12．（5分）A n={x|2n＜x＜2n+1，x=3m，m∈N}，若|A n|表示集合A n中元素的个数，则|A5|=，则|A1|+|A2|+|A3|+…+|A10|=．（5分）直角△ABC的三个顶点都在给定的抛物线y2=2x上，且斜边AB和y轴平行，则RT△ABC 13．斜边上的高的长度为．14．（5分）圆O的半径为1，P为圆周上一点，现将如图放置的边长为1的正方形（实线所示，正方形的顶点A与点P重合）沿圆周逆时针滚动，点A第一次回到点P的位置，则点A走过的路径的长度为．15．（5分）已知动点P（x，y）满足，则x2+y2+2y的最小值为．三、解答题：（本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16．（15分）已知△ABC的面积为S，且S．（1）求cosA；（2）求a=，求△ABC周长的最大值．17．（15分）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC侧面PAB⊥底面ABCD，PA=AD=AB=2，BC=4．（1）若PB中点为E．求证：AE∥平面PCD；（2）若∠PAB=60°，求直线BD与平面PCD所成角的正弦值．18．（15分）函数f（x）=mx|x﹣a|﹣|x|+1（1）若m=1，a=0，试讨论函数f（x）的单调性；（2）若a=1，试讨论f（x）的零点的个数．19．（15分）如图，在平面直角坐标系xOy中，离心率为的椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左顶点为A，过原点O的直线（与坐标轴不重合）与椭圆C交于P，Q两点，直线PA，QA分别与y轴交于M，N两点．若直线PQ斜率为时，PQ=2．（1）求椭圆C的标准方程；（2）试问以MN为直径的圆是否经过定点（与直线PQ的斜率无关）？请证明你的结论．20．（15分）已知数列{a n}（n∈N*，1≤n≤46）满足a1=a，a n+1﹣a n=其中d≠0，n∈N*．（1）当a=1时，求a46关于d的表达式，并求a46的取值范围；（2）设集合M={b|b=a i+a j+a k，i，j，k∈N*，1≤i＜j＜k≤16}．①若a=，d=，求证：2∈M；②是否存在实数a，d，使，1，都属于M？若存在，请求出实数a，d；若不存在，请说明理由．浙江省五校联考2015届高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）命题“存在x0∈R，2≤0”的否定是（）A．不存在x0∈R，2＞0 B．存在x0∈R，2≥0C．对任意的x∈R，2x≤0D．对任意的x∈R，2x＞0考点：特称命题；命题的否定．专题：简易逻辑．分析：根据特称命题的否定是全称命题，直接写出该命题的否定命题即可．解答：解：根据特称命题的否定是全称命题，得；命题“存在x0∈R，2≤0”的否定是“对任意的x∈R，都有2x＞0”．故选：D．点评：本题考查了全称命题与特称命题的应用问题，解题时应根据特称命题的否定是全称命题，写出答案即可，是基础题．2．（5分）给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，为真命题的是（）A．①和②B．②和③C．③和④D．②和④考点：平面与平面垂直的判定；平面与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离；简易逻辑．分析：从直线与平面平行与垂直，平面与平面平行与垂直的判定与性质，考虑选项中的情况，找出其它可能情形加以判断，推出正确结果．解答：解：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；如果这两条直线平行，可能得到两个平面相交，所以不正确．②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；这是判定定理，正确．③垂直于同一直线的两条直线相互平行；可能是异面直线．不正确．④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．正确．故选：D．点评：本题考查平面与平面垂直的判定，平面与平面平行的判定，是基础题．3．（5分）为得到函数f（x）=cosx﹣sinx，只需将函数y=sinx（）A．向左平移B．向右平移C．向左平移D．向右平移考点：两角和与差的正切函数．专题：三角函数的图像与性质．分析：由条件利用两角和差的余弦公式化简函数的解析式，再利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．解答：解：由于f（x）=cosx﹣sinx=2cos（x+），函数y=sinx=2cos（x ﹣），+=，故把函数y=sinx=2cos（x﹣）的图象向左平移个单位，即可得到f（x）=2cos（x+）的图象，故选：C．点评：本题主要考查两角和差的余弦公式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，4．（5分）已知A、B、C为直线l上不同的三点，点O∉直线l，实数x满足关系式x2=，有下列结论中正确的个数有（）①≥0；②＜0；③x的值有且只有一个；④x的值有两个；⑤点B是线段AC的中点．A．1个B．2个C．3个D．4个考点：平面向量数量积的含义与物理意义．专题：综合题；平面向量及应用．分析：由存在实数x满足x2=，△≥0，得出①正确、②错误；由x2+2x+=，得出=﹣x2﹣2x，根据平面向量的基本定理，得出﹣x2﹣2x=1，判断③正确、④错误；由=（+），得出B是线段AC的中点，判断⑤正确．解答：解：对于①，存在实数x满足x2=，∴﹣•≥0，∴①正确；对于②，由①知，②错误；对于③，∵x2+2x+=，变形为=﹣x2﹣2x，∵A、B、C为直线l上不同的三点，点O∉直线l，∴﹣x2﹣2x=1，解得x=﹣1，∴③正确；对于④，由③知，④错误；对于⑤，由③知，=（+），∴点B是线段AC的中点，⑤正确；综上，正确的命题是①③⑤．故选：C．点评：本题考查了平面向量的应用问题，也考查了一元二次方程有实数根的应用问题，是综合性题目．5．（5分）已知映射．设点A（1，3），B（2，2），点M是线段AB上一动点，f：M→M′．当点M在线段AB上从点A开始运动到点B 结束时，点M的对应点M′所经过的路线长度为（）A．B．C．D．考点：映射．专题：函数的性质及应用．分析：根据所给的两个点的坐标写出直线的方程，设出两个点的坐标，根据所给的映射的对应法则得到两个点坐标之间的关系，代入直线的方程求出一个圆的方程，得到轨迹是一个圆弧，求出弧长．解答：解：设点M′从A′开始运动，直到点B′结束，由题意知AB的方程为：x+y=4．设M′（x，y），则M（x2，y2），由点M在线段AB上可得 x2+y2=4．按照映射f：P（m，n）→P′（，），可得 A（1，3）→A′（1，），B（3，1）→B′（，），故tan∠A′OX==，∴∠A′OX=．tan∠B′OX==1，∴∠B′OX=，故∠A′OB′=∠A′OX﹣∠B′OX=，点M的对应点M′所经过的路线长度为弧长为=∠A′OB′•r=×2=；故选：B．点评：本题考查弧长公式和轨迹方程，本题解题的关键是利用相关点法求出点的轨迹，题目不大，但是涉及到的知识点不少，属于基础题．6．（5分）如图，已知椭圆C1：+y2=1，双曲线C2：﹣=1（a＞0，b＞0），若以C1的长轴为直径的圆与C2的一条渐近线交于A、B两点，且C1与该渐近线的两交点将线段AB三等分，则C2的离心率为（）A．B．5 C．D．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求出一条渐近线方程，联立直线方程和圆的方程、椭圆方程，求得交点，再由两点的距离公式，将|AB|=3|CD|，化简整理，即可得到b=2a，再由a，b，c的关系和离心率公式，即可得到结论．解答：解：双曲线C2：﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y=x，以C1的长轴为直径的圆的方程为x2+y2=11，联立渐近线方程和圆的方程，可得交点A（，），B（﹣，﹣），联立渐近线方程和椭圆C1：+y2=1，可得交点C（，），D（﹣，﹣），由于C1与该渐近线的两交点将线段AB三等分，则|AB|=3|CD|，即有=，化简可得，b=2a，则c==a，则离心率为e==．故选A．点评：本题考查双曲线的方程和性质，考查直线与圆、椭圆的位置关系，考查离心率的求法，属于基础题．7．（ 5分）半径为R的球内部装有4个半径相同的小球，则小球半径r的可能最大值为（）A．B．C．D．考点：球的体积和表面积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由题意，四个小球两两相切并且四个小球都与大球相切时，这些小球的半径最大，以四个小球球心为顶点的正四面体棱长为2r，该正四面体的中心（外接球球心）就是大球的球心，求出正四面体的外接球半径，即可求得结论．解答：解：由题意，四个小球两两相切并且四个小球都与大球相切时，这些小球的半径最大．以四个小球球心为顶点的正四面体棱长为2r，该正四面体的中心（外接球球心）就是大球的球心，该正四面体的高为=，设正四面体的外接球半径为x，则x2=（﹣x）2+（）2，∴x=r，∴R=r+r，∴r=R．故选：C．点评：本题考查点、线、面距离的计算，考查学生分析解决问题的能力，确定四个小球两两相切并且四个小球都与大球相切时，这些小球的半径最大是关键．8．（5分）某学生对一些对数进行运算，如图表格所示：x 0.021 0.27 1.5 2.8lgx 2a+b+c﹣3（1）6a﹣3b﹣2（2）3a﹣b+c（3）1﹣2a+2b﹣c（4）x 3 5 6 7lgx 2a﹣b（5）a+c（6）1+a﹣b﹣c（7）2（a+c）（8）x 8 9 14lgx 3﹣3a﹣3c（9）4a﹣2b（10）1﹣a+2b（11）现在发觉学生计算中恰好有两次地方出错，那么出错的数据是（）A．（3），（8）B．（4），（11）C．（1），（3）D．（1），（4）考点：对数的运算性质．专题：函数的性质及应用．分析：写出对数值的关系式，然后判断正误即可．解答：解：由题意可知：lg0.21=lg3+lg7﹣1=2a+b+c﹣3；lg0.27=2lg3﹣2=6a﹣3b﹣2；lg1.5=lg3+lg5﹣1=3a﹣b+clg2.8=2lg2+lg7﹣1，lg3=2a﹣b，lg5=a+clg6=lg2+lg3=1+a﹣b﹣c，lg7=2a+2c，lg8=3﹣3a﹣3c，lg9=2lg3=4a﹣2b，lg14=lg2+lg7=1﹣a+2b．有上述各式，可以看出，lg3，lg9，lg0.27是正确的关系式，则lg7=2a+2c，lg0.21=lg3+lg7﹣1=2a+b+c﹣3，可知lg7错误；由lg5=a+c，lg1.5=lg3+lg5﹣1=3a﹣b+c，可知lg5错误；即（3），（8）错误．故选：A．点评：本题考查对数的运算性质，推理与证明的应用，考查分析问题解决问题的能力．二、填空题本大题共7小题，每小题5分，共35分．9．（5分）设全集U=R，集合A={x|x2﹣3x﹣4＜0}，B={x|log2（x﹣1）＜2}，则A∩B=（1，4），A∪B=（﹣1，5），C R A=（﹣∞，﹣1]∪[4，+∞）．考点：交、并、补集的混合运算．专题：集合．分析：求出A与B中不等式的解集确定出A与B，找出A与B的交集，并集，求出A的补集即可．解答：解：由A中不等式变形得：（x﹣4）（x+1）＜0，解得：﹣1＜x＜4，即A=（﹣1，4），由B中不等式变形得：log2（x﹣1）＜2=log24，得到0＜x﹣1＜4，解得：1＜x＜5，即B=（1，5），∴A∩B=（1，4），A∪B=（﹣1，5），∁R A=（﹣∞，﹣1]∪[4，+∞）．故答案为：（1，4）；（﹣1，5）；（﹣∞，﹣1]∪[4，+∞）点评：此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．10．（5分）若某多面体的三视图如图所示，则此多面体的体积为，外接球的表面积为3π．考点：球内接多面体；球的体积和表面积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由三视图可知：该几何体是正方体的内接正四面体．可得此多面体外接球的直径是次正方体的对角线．即可得出．解答：解：由三视图可知：该几何体是正方体的内接正四面体（红颜色）．∴多面体的体积为1﹣×1=．此多面体外接球的直径是此正方体的对角线．因此其球的表面积是4π•=3π．故答案为：，3π．点评：本题考查了正方体的三视图、球的表面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．11．（5分）若max{a，b}表示a，b两数中的最大值，若f（x）=max{e|x|，e|x﹣2|}，则f（x）的最小值为e，若f（x）=max{e|x|，e|x﹣t|}关于x=2015对称，则t=4030．考点：指数函数单调性的应用．专题：函数的性质及应用．分析：化简函数的解析式，再利用函数y={e|x|的图象和函数y=e|x﹣t 的图象关于直线x=对称，从而得出结论．解答：解：由于f（x）=max{e|x|，e|x﹣2|}=，故f（x）的最小值为f（1）=e．若f（x）=max{e|x|，e|x﹣t|}关于x=2015对称，则=2015，求得t=4030，故答案为：e；4030．点评：本题主要考查指数函数的单调性，分段函数的应用，属于基础题．12．（5分）A n={x|2n＜x＜2n+1，x=3m，m∈N}，若|A n|表示集合A n中元素的个数，则|A5|=11，则|A1|+|A2|+|A3|+…+|A10|=219﹣29．考点：元素与集合关系的判断．专题：集合．分析：分n为奇数和偶数两种情况，根据等差数列的前n项和公式即可求出答案．解答：解：当n为奇数时，A n中的各个元素组成以2n+1为首项，3为公差的等差数列，设项数为m，则2n+1﹣1=2n+1+3（m﹣1），所以m=，∴|A5|==11，当n为偶数时，n﹣1时奇数，可知2n﹣1+1是3的倍数，因此2n+2=2（2n﹣1+1）是3的倍数；同理，2n+1﹣2=2（2n﹣1）是3的倍数，所以当n为偶数时，A n中的各个元素组成以2n+2为首项，3为公差的等差数列，设项数为m，则2n+1﹣2=2n+2+3（m﹣1），所以m=，所以当n是偶数时，A n中的所有元素个数之和为[2n+2）+（2n+1﹣2）]=22n﹣1﹣2n﹣1，所以|A1|+|A2|+|A3|+…+|A10|=22×10﹣1﹣210﹣1=219﹣29．故答案为：11，219﹣29．点评：本题主要考查与集合有关的新定义题，根据条件分别求出对应范围的个数是解决本题的关键，综合性较强．（5分）直角△ABC的三个顶点都在给定的抛物线y2=2x上，且斜边AB和y轴平行，则RT△ABC 13．斜边上的高的长度为2．考点：抛物线的简单性质．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：结合抛物线的方程与性质设出A，B，C的坐标，即可表达出斜边上的高|CD|，再由直角三角形的性质得到斜边上中线的长度，然后利用两点之间的距离公式表达出中线的长度，即可得到一个等式，进而求出斜边上的高得到答案．解答：解：由题意，斜边平行y轴，即垂直对称轴x轴，可设C的坐标为（，c），B的坐标为（，b），则A的坐标为（，﹣b）；=（﹣，c﹣b），=（﹣，﹣b﹣c），又由Rt△ABC的斜边为AB，则有AC⊥CB，即=0，变形可得|b2﹣c2|=4，而斜边上的高即C到AB的距离为|﹣|=2．故答案为：2．点评：本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，考查抛物线的标准方程等基础知识，考查运算求解能力、化归与转化思想．属于中档题．14．（5分）圆O的半径为1，P为圆周上一点，现将如图放置的边长为1的正方形（实线所示，正方形的顶点A与点P重合）沿圆周逆时针滚动，点A第一次回到点P的位置，则点A走过的路径的长度为．考点：弧长公式．专题：三角函数的求值．分析：由图可知：圆O的半径r=1，正方形ABCD的边长a=1，以正方形的边为弦时所对的圆心角为，正方形在圆上滚动时点的顺序依次为如图所示，当点A首次回到点P的位置时，正方形滚动了3圈共12次，分别算出转4次的长度，即可得出．解答：解：由图可知：∵圆O的半径r=1，正方形ABCD的边长a=1，∴以正方形的边为弦时所对的圆心角为，正方形在圆上滚动时点的顺序依次为如图所示，∴当点A首次回到点P的位置时，正方形滚动了3圈共12次，设第i次滚动，点A的路程为A i，则A1=×|AB|=，A2=×|AC|=，A3=×|DA|=，A4=0，∴点A所走过的路径的长度为3（A1+A2+A3+A4）=．故答案为：．点评：本题考查了正方形与圆的性质、旋转的性质、弧长的计算公式，考查了数形结合、分类讨论的思想方法，考查了分析问题与解决问题的能力，属于难题．15．（5分）已知动点P（x，y）满足，则x2+y2+2y的最小值为0．考点：二元一次不等式（组）与平面区域；基本不等式．专题：不等式．分析：可将P满足的不等式组变为，作出该不等式组表示的平面区域，可设x2+y2+2y=z，进一步得到x2+（y+1）2=z+1，从而根据平面区域求以（0，﹣1）为圆心的圆的半径的最小值即得到z的最小值．解答：解：x≥0时，；∴要使；只要；∴y≥0；∴动点P满足；该不等式组表示的平面区域如下图：设x2+y2+2y=z；∴x2+（y+1）2=z+1；∴便表示以（0，﹣1）为圆心的圆的半径；由图形看出当该圆经过原点O时半径最小为1；；∴z的最小值为0．故答案为：0．点评：考查不等式组表示的平面区域的概念，能够画出不等式组所表示的平面区域，能判断函数的单调性，圆的标准方程，利用线性规划的知识求最值的方法，数形结合解题的方法．三、解答题：（本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16．（15分）已知△ABC的面积为S，且S．（1）求cosA；（2）求a=，求△ABC周长的最大值．考点：余弦定理的应用．专题：综合题；解三角形．分析：（1）利用S，结合三角形的面积公式，即可求cosA；（2）利用正弦定理，结合a=，即可求△ABC周长的最大值．解答：解：（1）∵△ABC的面积为S，且，∴，∴，∴A为锐角，且，∴，所以．（2），∴周长为==，∵，∴，∴周长最大值为．点评：本题考查正弦定理，考查三角函数知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．17．（15分）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC侧面PAB⊥底面ABCD，PA=AD=AB=2，BC=4．（1）若PB中点为E．求证：AE∥平面PCD；（2）若∠PAB=60°，求直线BD与平面PCD所成角的正弦值．考点：直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）取PC中点F，并连接DF，FE，根据已知条件容易说明四边形ADFE为平行四边形，从而有AE∥DF，根据线面平行的判定定理即得到AE∥平面PCD；（2）设B到平面PCD的距离为h，从而直线BD与平面PCD所成角的正弦值便可表示为，BD根据已知条件容易求出，而求h可通过V P﹣BCD=V B﹣PCD求出：取AB中点O，连接PO，可以说明PO⊥平面ABCD，而根据已知条件能够求出S△BCD，S△PCD，从而求出h，从而求得答案．解答：解：（1）证明：如图，取PC的中点F，连结DF，EF；∵EF∥AD，且AD=EF，所以ADFE为平行四边形；∴AE∥DF，且AE⊄平面PCD，DF⊂平面PCD；∴AE∥平面PCD；（2）∵∠PAB=60°，PA=AB；∴△PAB为等边三角形，取AB中点O，连接PO；则PO⊥AB；又侧面PAB⊥底面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB；∴PO⊥平面ABCD；根据已知条件可求得PO=，S △BCD=4，PD=CD=，PC=2，；设点B到平面PCD的距离为h；∴，；∵V P﹣BCD=V B﹣PCD；∴；∴直线BD与平面PCD所成角θ的正弦值．点评：考查中位线的性质，平行四边形的定义，线面平行的判定定理，以及直角三角形边的关系，面面垂直的性质定理，棱锥的体积公式，线面角的定义．18．（15分）函数f（x）=mx|x﹣a|﹣|x|+1（1）若m=1，a=0，试讨论函数f（x）的单调性；（2）若a=1，试讨论f（x）的零点的个数．考点：利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理．专题：导数的综合应用．分析：（1）将m=1，a=0代入函数表达式，通过讨论x的范围，结合二次函数的性质，从而求出函数的单调性；（2）将a=1代入函数的表达式，通过讨论x的范围，根据二次函数的性质，从而求出函数的零点的个数．解答：解：（1）若m=1，a=0，则f（x）=x|x|﹣|x|+1，①x≥0时，f（x）=x2﹣x+1，对称轴x=，开口向上，∴f（x）在[0，）递减，在（，+∞）递增；②x＜0时，f（x）=﹣x2+x+1，对称轴x=﹣，开口向下，∴f（x）在（﹣∞，0）递增；综上：f（x）在（﹣∞，0）递增，在[0，）递减，在（，+∞）递增．（2）a=1时，f（x）=mx|x﹣1|﹣|x|+1，①x＜0时，f（x）=mx（1﹣x）+x+1=﹣mx2+（m+1）x+1，△=（m+1）2+4m=m2+6m+1，令m2+6m+1=0，解得：m=﹣3±2，当m＜﹣3﹣2或x＞﹣3+2时，△＞0，有2个零点，当﹣3﹣2＜m＜﹣3+2时，△＜0，没有零点，当m=﹣3±2时，△=0，有1个零点；②0≤x≤1时，f（x）=mx（1﹣x）﹣x+1=﹣mx2+（m﹣1）x+1，△=（m+1）2≥0，m=﹣1时，函数有1个零点，m≠﹣1时，有2个零点；③x＞1时，f（x）=mx（x﹣1）﹣x+1=mx2﹣（m+1）x+1，△=（m﹣1）2≥0，m=1时，函数有1个零点，m≠1时，函数有2个零点．点评：本题考查了函数的单调性问题，考查二次函数的性质，考查分类讨论思想，是一道中档题．19．（15分）如图，在平面直角坐标系xOy中，离心率为的椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左顶点为A，过原点O的直线（与坐标轴不重合）与椭圆C交于P，Q两点，直线PA，QA分别与y轴交于M，N两点．若直线PQ斜率为时，PQ=2．（1）求椭圆C的标准方程；（2）试问以MN为直径的圆是否经过定点（与直线PQ的斜率无关）？请证明你的结论．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：，（1）设，由于直线PQ斜率为时，，可得，解得，代入椭圆方程可得：，又，联立解得即可．（2）设P（x0，y0），则Q（﹣x0，﹣y0），代入椭圆方程可得．由直线PA方程为：，可得，同理由直线QA方程可得，可得以MN为直径的圆为，由于，代入整理即可得出．解答：解：（1）设，∵直线PQ斜率为时，，∴，∴，=1，∴，∵，化为a2=2b2．联立，∴a2=4，b2=2．∴椭圆C的标准方程为．（2）以MN为直径的圆过定点．下面给出证明：设P（x0，y0），则Q（﹣x0，﹣y0），且，即，∵A（﹣2，0），∴直线PA方程为：，∴，直线QA方程为：，∴，以MN为直径的圆为，即，∵，∴，令y=0，x2+y2﹣2=0，解得，∴以MN为直径的圆过定点．点评：本题考查了椭圆与圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、点与椭圆的位置关系、点斜式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．20．（15分）已知数列{a n}（n∈N*，1≤n≤46）满足a1=a，a n+1﹣a n=其中d≠0，n∈N*．（1）当a=1时，求a46关于d的表达式，并求a46的取值范围；（2）设集合M={b|b=a i+a j+a k，i，j，k∈N*，1≤i＜j＜k≤16}．①若a=，d=，求证：2∈M；②是否存在实数a，d，使，1，都属于M？若存在，请求出实数a，d；若不存在，请说明理由．考点：数列的应用；数列递推式．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：（1）直接计算即可；（2）①求出a n的公式即可；②假设存在实数a，d满足条件，得出矛盾，从而否定假设．解答：解：（1）当a=1时，a16=1+15d，a31=16+15d，．因为d≠0，，或，所以a46∈（﹣∞，﹣14]∪[46，+∞）．（2）①由题意，1≤n≤16，．令，得i+j+k=7．因为i，j，k∈N*，1≤i＜j＜k≤16，所以令i=1，j=2，k=4，则2∈M．②不存在实数a，d，使，1，同时属于M．假设存在实数a，d，使，1，同时属于M．∵a n=a+（n﹣1）d，∴b=3a+（i+j+k﹣3）d，从而M={b|b=3a+md，3≤m≤42，m∈Z}．因为，1，同时属于M，所以存在三个不同的整数x，y，z（x，y，z∈[3，42]），使得从而则．因为35与48互质，且y﹣x与z﹣x为整数，所以|y﹣x|≥35，|z﹣x|≥48，但|z﹣x|≤39，矛盾．所以不存在实数a，d，使，1，都属于M．点评：本题主要考查数列知识以及反证法，需要清晰的思路，属于难题．。
数学_2014年浙江省杭州市某校高考数学模拟练习试卷(15)(理科)(含答案)
2014年浙江省杭州市某校高考数学模拟练习试卷（15）（理科）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．1. 已知P ={a →|a →=(1, 0)+m(0, 1), m ∈R}，Q ={b →|b →=(1, 1)+n(−1, 1), n ∈R}是两个向量集合，则P ∩Q =( )A {(1, 1)}B {(−1, 1)}C {(1, 0)}D {(0, 1)}2. 对于函数y =f(x)，x ∈R ，“y =|f(x)|的图象关于y 轴对称”是“y =f(x)是奇函数”的（ ） A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件3. 已知sin2α=2425，0<α<π2，则√2cos(π4−α)的值为( ) A 15B −15C 75D ±154. 若f(x)=−x 2+2ax 与g(x)=(a +1)1−x 在区间[1, 2]上都是减函数，则a 的取值范围是（ ）A (−1, 0)B (−1, 0)∪(0, 1]C (0, 1]D (0, 1)5. 在等比数列{a n }中，a 1+a n ＝34，a 2⋅a n−1＝64，且前n 项和S n ＝62，则项数n 等于（ ）A 4B 5C 6D 76. 连续投掷两次骰子得到的点数分别为m ，n ，向量a →=(m,n)与向量b →=(1,0)的夹角记为α，则α∈(0,π4)的概率为（ ）A 518B 512C 12D 7127. 已知bx n +1=a 0+a 1(x −1)+a 2(x −1)2+...+a n (x −1)n 对任意x ∈R 恒成立，且a 1=9，a 2=36，则b =( ) A 1 B 2 C 3 D 48. 袋中共有7个大小相同的球，其中3个红球、2个白球、2个黑球．若从袋中任取3个球，则所取3个球中至少有2个红球的概率是（ ） A 435 B 1335 C 1835 D 22359. 在Rt △ABC 中，AC =2，BC =2，已知点P 是△ABC 内一点，则PC →⋅(PA →+PB →)的最小值是（ ）A −2B −1C 0D 110. 设集合A ={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}，如果方程x 2−mx −n =0(m, n ∈A)至少有一个根x 0∈A ，就称该方程为合格方程，则合格方程的个数为（ ） A 15 B 16 C 17 D 18二．填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）11. 已知U ={y|y =log 2x, x >1}，P ={y|y =1x , x >2}，则∁U P =________．12. 已知sin2(π4+x 2)=35，那么cos2x =________．13. 以集合U ={a, b, c, d}的子集中选出4个不同的子集，需同时满足以下两个条件：(1)⌀、U 都要选出；(2)对选出的任意两个子集A 和B ，必有A ⊆B 或B ⊆A ，那么共有________种不同的选法．14. 设x ，y 为实数，若4x 2+y 2+xy =1，则2x +y 的最大值是________．15. 过双曲线G:x 2a 2−y 2b 2=1(a >0, b >0)的右顶点A 作斜率为1的直线m ，分别与两渐近线交于B ，C 两点，若|AB|=2|AC|，则双曲线G 的离心率为________．16. 已知关于n 的不等式2n 2−n −3<(5−λ)(n +1)2n 对任意n ∈N ∗恒成立，则实数λ的取值范围是________．17. 如图，ABCD 是边长为4的正方形，动点P 在以AB 为直径的圆弧APB 上，则PC →⋅PD →的取值范围是________．三．解答题（本大题含5个小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 18. 已知角α的顶点在原点，始边与x 轴的正半轴重合，终边经过点P(−3,√3)． (1)求sin2α−tanα的值；(2)若函数f(x)=cos(x −α)cosα−sin(x −α)sinα，求函数y =√3f(π2−2x)−2f 2(x)在区间[0,2π3]上的取值范围．19. 已知数集A ={a 1, a 2, ..., a n }(1≤a 1<a 2<...a n , n ≥2)具有性质P ；对任意的i ，j(1≤i ≤j ≤n)，a i a j 与aj a i两数中至少有一个属于A ．（1）分别判断数集{1, 3, 4}与{1, 2, 3, 6}是否具有性质P ，并说明理由；（2）证明：a 1=1，且a 1+a 2+⋯+ana 1−1+a 2−1+⋯+a n−1=a n ； （3）证明：当n =5时，a 1，a 2，a 3，a 4，a 5成等比数列．20. 如图，在直角梯形ABCP 中，AB =BC =3，AP =6，CD ⊥AP 于D ，现将△PCD 沿线段CD 折成60∘的二面角P −CD −A ，设E ，F ，G 分别是PD ，PC ，BC 的中点．（1）求证：PA // 平面EFG ；（2）若M 为线段CD 上的动点，问点M 在什么位置时，直线MF 与平面EFG 所成角为60∘． 21. 已知方向向量为V →=(1,√3)的直线l 过椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的焦点以及点(0, −2√3)，直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，且A 、B 两点与另一焦点围成的三角形周长为4√6．（1）求椭圆C 的方程；（2）过左焦点F 1且不与x 轴垂直的直线m 交椭圆于M 、N 两点，OM →⋅ON →=4√63tan∠MON≠0（O 坐标原点），求直线m 的方程． 22. 设函数f(x)=ax 2+bx +clnx ，（其中a ，b ，c 为实常数且a >0），曲线y =f(x)在点（1, f(1)）处的切线方程为y =3x −3．（1） 若函数f(x)无极值点且f ′(x)存在零点，求a ，b ，c 的值； （2） 若函数f(x)有两个极值点，证明f(x)的极小值小于−34．2014年浙江省杭州市某校高考数学模拟练习试卷（15）（理科）答案1. A2. B3. C4. C5. B6. B7. A8. B9. B 10. C11. {y|y =0或y ≥12} 12. −725 13. 36 14.2√10515. √10或√10316. λ<37817. [0, 16]18. 解：(1)因为角α终边经过点P(−3,√3)， 所以sinα=12，cosα=−√32，tanα=−√33， ∴ sin2α−tanα=2sinαcosα−tanα =−√32+√33=−√36. (2)∵ f(x)=cos(x −α)cosα−sin(x −α)sinα =cosx ，x ∈R ，∴ y =√3cos(π2−2x)−2cos 2x =√3sin2x −1−cos2x =2sin(2x −π6)−1， ∵ 0≤x ≤2π3， ∴ 0≤2x ≤4π3，∴ −π6≤2x −π6≤7π6，∴ −12≤sin(2x −π6)≤1， ∴ −2≤2sin(2x −π6)−1≤1.故函数y =√3f(π2−2x)−2f 2(x)在区间[0,2π3]上的值域是[−2, 1].19. 解：（1）由于3×与均不属于数集{1，3，4， ∴ 该数集不具有性质P ．由于1×2，1×3，1×6，2×3，62，63，11，22，33，都属于数集{1，2，3，6， ∴ 该数集具有性质P ．（2）∵ A ={a 1, a 2, ..., a n }具有性质P ， ∴ a n a n 与an a n中至少有一个属于A ，由于1≤a 1<a 2<...<a n ，∴ a n a n >a n 故a n a n ∉A ．从而1=an a n∈A ，a 1=1．∵ 1=a 1<a 2<...a n ，n ≥2，∴ a k a n >a n (k =2, 3, 4,…,n)， 故a k a n ∉A(k =2, 3, 4,…,n)．由A 具有性质P 可知an a k∈A(k =2, 3, 4,…,n)．又∵ a n a n<a n a n−1<...<a n a 2<a n a 1， ∴a n a n=1，a na n−1=a 2，…，a n a 2=a n−1，从而an a n+a nan−1+...+an a 2+an a 1=a 1+a 2+...+a n ，∴ 且a 1+a 2+⋯+a n a 1−1+a 2−1+⋯+a n−1=a n ；（3）由（2）知，当n =5时，有a 5a 4=a 2，a5a 3=a 3，即a 5=a 2⋅a 4=a 32，∵ 1=a 1<a 2<...<a 5，∴ a 3a 4>a 2a 4=a 5，∴ a 3a 4∉A ， 由A 具有性质P 可知a 4a 3∈A ． 由a 2⋅a 4=a 32，得a 3a 2=a 4a 3∈A ，且1<a3a 2=a 2，∴ a3a 2=a4a 3=a 2，∴ a 5a 4=a 4a 3=a 3a 2=a2a 1=a 2，即a 1，a 2，a 3，a 4，a 5 是首项为1，公比为a 2等比数列．20. （1）证明：取AD 中点O ，连接GO ，OE ，则四边形OGFE 为梯形，PA // OE∵ PA ⊄平面EFG ，OE ⊂平面EFG ，∴ PA // 平面EFG ；…（2）解：分别以OG ，OD ，OP 为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系Oxyz ，则OG →=(3,0,0)，OE →=(0,34,34√3)．设平面EFG 的法向量为n →=(x,y,z)，则{n →⋅OE →=0˙，∴ {3x =034y +34√3z =0， 取y =√3，得到n →=(0,√3,−1)．设点M(λ,32，0)(0≤λ≤3)，于是MF →=(32−λ,−34,34√3)， 由题知sin60∘=|n →|×|MF →|˙，即√32=|−34√3−34√3|2×√(32−λ)+916+916×3，解得λ=32．∴ 点M 在CD 的中点时，MF 与平面EFG 所成角为60∘．… 21. 解：（1）l:y =√3x −2√3，直线l 与x 轴交点即为椭圆的右焦点F 2(2, 0)， ∴ c =2，由已知△F 1AB 周长为4√6， 则4a =4√6，即a =√6， ∴ b =√6−4=√2， 故椭圆方程为x 26+y 22=1．（2）椭圆的左焦点为F 1(−2, 0)，则直线m 的方程为y =k(x +2)， 代入椭圆方程，得：(3k 2+1)x 2+12k 2x +12k 2−6=0， 设M(x 1, y 1)，N(x 2, y 2)，则x 1+x 2=−12k 23k 2+1，x 1⋅x 2=12k 2−63k 2+1，∵ OM →⋅ON →=4√63tan∠MON=4√6cos∠MON 3sin∠MON =|OM →|⋅|ON →|cos∠MON ≠0，∴ |OM →|⋅|ON →|sib∠MON =43√6，即S △OMN =23√6， ∵ |MN|=√1+k 2⋅|x 1−x 2|=2√6(1+k 2)3k 2+1， 原点O 到m 的距离d =√1+k 2，则S △OMN =12|MN|d =2√6(1+k 2)3k 2+1√1+k 2=23√6， 解得k =±√33， ∴ m 的方程为y =±√33(x +2)．22. （1）解：求导函数可得f′(x)=2ax +b +c x，由曲线y =f(x)在点（1, f(1)）处的切线方程为y =3x −3，可得得{f(1)=0f′(1)=3，即{a +b =02a +b +c =3，∴ {b =−a c =3−a． 此时f(x)=ax 2−ax +(3−a)lnx ，f′(x)=2ax −a +3−a x=2ax 2−ax+3−ax；由f(x)无极值点且f ′(x)存在零点，得a 2−8a(3−a)=0(a >0) 解得a =83，于是b =−83，c =−13．… （2）证明：由（1）知f′(x)=2ax 2−ax+3−ax(x >0)，要使函数f(x)有两个极值点，只要方程2ax 2−ax +3−a =0有两个不等正根，那么实数a 应满足 {a 2−8a(3−a)>03−a >0a 2(2a)>0，解得83<a <3， 设两正根为x 1，x 2，且x 1<x 2，可知当x =x 2时，有极小值f(x 2)．其中这里0<x 1<14，由于对称轴为x =14，所以14<x 2<12，且2ax 22−ax 2+3−a =0，得a =−32x 22−x2−1记g(x)=x 2−x −lnx ，(14<x ≤1)，有g′(x)=(2x+1)(x−1)x≤0对x ∈(14，1]恒成立，又g(1)=0，故对x ∈(14，12)恒有g(x)>g(1)，即g(x)>0．所以有f(x 2)=ax 22−ax 2+(3−a)lnx 2=a(x 22−x 2−lnx 2)+3lnx 2=3lnx 2−3(x 22−x 2−lnx 2)2x 22−x 2−1(14<x 2<12)而f′(x 2)=(4x 2−1)(x 22−x 2−lnx 2)(2x 22−x 2−1)2>0对于14<x 2<12恒成立，即f(x 2)在(14，12)上单调递增，故f(x 2)<f(12)=−34．…。
浙江省2015届高三下学期第一次五校联考数学(理)试题
2014学年浙江省第一次五校联考数学（理科）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题的四个选项中，只有一项是符合要求的．1.已知全集为R ，集合{}21xA x =≥，{}2680B x x x =-+≤，则R A C B =（ ）A.{}0x x ≤ B.{}24x x ≤≤ C.{|02x x ≤<或4}x > D.{|02x x ≤<或4}x ≥【答案】C.考点：集合的运算.2.在等差数列{}n a 中，432a a =-，则此数列{}n a 的前6项和为（ ） A.12 B.3 C.36 D.6 【答案】D. 【解析】试题分析：由题意得，342a a +=，∵等差数列{}n a ，∴16346()6()6622a a a a S +⋅+⋅===，∴{02R A C B x =≤<或4}x >. 考点：等差数列的性质及其前n 项和.3.已知函数()y f x x =+是偶函数，且(2)1f =，则(2)f -=（ ） A.1- B.1 C.5- D.5 【答案】D. 【解析】试题分析：∵()f x x +为偶函数，∴(2)2(2)2(2)(2)45f f f f +=--⇒-=+=. 考点：函数的性质.4.已知直线l ，m ，平面α，β满足l α⊥，m β⊂，则“l m ⊥”是“//αβ”的（ ）A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件 【答案】C. 【解析】试题分析：由l m ⊥不能推出//αβ，反之，若//αβ，则有l m ⊥，从而为必要不充分条件. 考点：空间中直线与平面的位置关系. 5.函数()cos 3f x x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭(,0)x R ω∈>的最小正周期为π，为了得到()f x 的图象，只需将函数()sin 3g x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象（ ） A.向左平移2π个单位长度 B.向右平移2π个单位长度C.向左平移4π个单位长度D.向右平移4π个单位长度【答案】C. 【解析】试题分析：∵最小正周期为π，∴22ππωω=⇒=，∴()c o s (2)s i n (2)332f x x x πππ=+=++5sin(2)sin(2())643x x πππ=+=++，故()g x 向左平移4π个单位，即可得()f x 的图象.考点：三角函数的图象和性质.6.右图为一个几何体的侧视图和俯视图，若该几何体的体积为43，则它的正视图为（ ）侧视图俯视图A. B. C. D. 【答案】B. 【解析】试题分析：由该几何体的体积为43可知，该几何体为一正方体与四棱锥的组合，如下图所示，故主视图为B.考点：1.三视图；3.空间几何体的体积计算.7.如图，在正四棱锥ABCD S -中，E ，M ，N 分别是BC ，CD ，SC 的中点，动点P 在线段MN 上运动时，下列四个结论：①AC EP ⊥；②//EP BD ；③S BD EP 面//；④SAC EP 面⊥．中恒成立的为（ ）A.①③B.③④C.①②D.②③④【答案】A.【解析】试题分析：如下图所示，连结NE ，ME ，∵E ，M ，N 分别是BC ，CD ，SC 的中点，∴//EN SB ，//MN SD ，∴平面//SBD 平面NEM ，∴//EP 平面SBD ，故③正确，又由正四棱锥S ABCD -，∴AC ⊥平面SBD ，∴AC ⊥平面NEM ，∴AC EP ⊥，故①正确，②④对于线段MN 上的任意一点P 不一定成立，故正确的结论为①③.考点：1.面面平行的判定与性质；2.线面垂直的判定与性质. 8.已知数列{}n a 满足：11a =，12n n n a a a +=+()n N *∈．若11(2)(1)n nb n a λ+=-⋅+()n N *∈，1b λ=-，且数列{}n b 是单调递增数列，则实数λ的取值范围是（ ）A.23λ>B.32λ>C. 23λ<D.32λ< 【答案】C. 【解析】试题分析：∵12n n n a a a +=+，∴111211112(1)n n n na a a a ++=+⇒+=+，又∵11a =，∴数列1{1}n a +是以2为首项，2为公比的等比数列，∴112n na +=，∴1(2)2n nb n λ+=-⋅，又∵数列{}n b 是单调递增数列，∴21b b >，且21n n b b ++>对任意的*n N ∈恒成立，由21b b >可得23λ<，由21n n b b ++>可得12nλ<+对于任意*n N ∈恒成立，∴32λ<，综上可知，23λ<.考点：数列的综合运用.9.定义,max{,},a a b a b b a b ≥⎧=⎨<⎩，设实数x ，y 满足约束条件22x y ⎧≤⎪⎨≤⎪⎩，则max{4,3}z x y x y =+-的取值范围是（ ）A.[8,10]-B.[7,10]-C.[6,8]-D.[7,8]-【答案】B.考点：1.线性规划；2.分类讨论的数学思想. 10.已知函数52log (1)(1)()(2)2(1)x x f x x x ⎧-<=⎨--+≥⎩，则关于x 的方程1(2)f x a x+-=的实根个数不可能．．．为（ ） A.5个 B.6个 C.7个 D.8个 【答案】A. 【解析】试题分析：如下图所示，画出函数()f x 以及1()2g x x x=+-的图象，从而可知，当0a <时，方程()f x a =有一正根，∴方程1(2)f x a x+-=有两个根，当0a =时，方程()f x a =有一正根，一个根为0，∴1(2)f x a x+-=有三个根，当01a <<时，方程()f x a =有两个正根，一个大于4-的负根，∴1(2)f x a x+-=有四个根，当1a =时，方程()f x a =有一个负根4-，三个正根，∴1(2)f x a x+-=有七个根，当12a <<时，方程()f x a =有三个正根，一个小于4-的负根，∴1(2)f x a x +-=有八个根，当2a =时，方程()f x a =有两个正根，一个小于4-的负根，∴1(2)f x a x +-=有六个根，当2a >时，方程()f x a =有一个正根一个小于4-的负根，∴1(2)f x a x +-=有四个根，∴1(2)f x a x+-=根的个数可能为2，3，4，6，7，8，故选A.考点：1.函数与方程；2.分类讨论的数学思想.二．填空题:本大题共7个小题，每小题4分，共28分，把答案填在答卷对应的横线上． 11.函数)2(log 1)(2-=x x f 的定义域为_______．【答案】{|2x x >且3}x ≠. 【解析】试题分析：∵20221x x x ->⎧⇒>⎨-≠⎩且3x ≠，故定义域为{|2x x >且3}x ≠.考点：函数的定义域.12.已知三棱锥A BCD -中，2AB AC BD CD ====，2BC AD ==，则直线AD 与底面BCD 所成角为________．【答案】3π. 【解析】试题分析：如下图所示，取BC 中点E ，连结AE ，DE ，则B C A E ⊥，BC DE ⊥，∴BC ⊥平面ADE ，∴ADE ∠即为直线AD 与平面BCD 所成的角，易得AD DE AD ===∴3ADE π∠=，即直线与平面BCD 所成角为3π. 考点：直线与平面的夹角. 13.已知3cos()45πα+=，322ππα≤<，则cos 2α=________． 【答案】2425-.考点：三角恒等变形.14.定义在R 上的奇函数()f x 满足(3)(f x f x +=-，且(1)2f =，则(2013)(20f f +=_____． 【答案】2-. 【解析】试题分析：由(3)()()(3)(6)f x f x f x f x f x +=-⇒=-+=+，∴(2013)(3)f f =，(2015)(1)f f =-，又∵奇函数()f x ，∴(3)(0)0f f =-=，(1)(1)2f f -=-=-，∴(2013)(2015)2f f +=-. 考点：函数的性质.15.设1a ，2a ，…，n a ，…是按先后顺序排列的一列向量，若1(2014,13)a =-，且1(1,1)n n a a --=，则其中模最小的一个向量的序号n = ______． 【答案】1001或1002. 【解析】试题分析：设(,)n n n a x y =，∵1(2014,13)a =-，且1(1,1)n n a a --=，∴数列{}n x 是首项为2014-，公差为1的等差数列，数列{}n y 是首项为13，公差为1的等差数列，∴2015n x n =-，12n y n =+，∴22222||(2015)(12)24006201512n a n n n n =-++=-++，∴可知当1001n =或1002时，||n a 取到最小值.考点：1.向量的坐标运算；2.等差数列的通项公式；3.二次函数的性质. 16..设向量2(2,)a λλα=+，(,sin cos )2mb m αα+=，其中λ，m ，α为实数． 若2a b =，则mλ的取值范围为_______．【答案】[6,1]-. 【解析】试题分析：∵2a b =，∴22222249422sin cos mm m m m λλλααα+=⎧⎪⇒=-⇒-+⎨=+⎪⎩ 2sin(2)3πα=+，∴212494224m mm -≤-+≤⇒≤≤，而2222[6,1]m mm mλ-==-∈-.考点：1.三角恒等变形；2.函数的值域.17.若实数a ，b ，c ，满足2221a b c ++=，则2332ab bc c -+的最大值为________． 【答案】3. 【解析】 试题分析：222222233933222()2322244ab bc c b c c a b b c c -+=⋅+⋅-⋅+≤++++ 2223()3a b c =++=，当且仅当32b c =⎨⎪-=⎪⎩时，等号成立，∴2332ab bc c -+的最大值为3.考点：基本不等式求最值.三．解答题：本大题共5小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18.（本题满分14分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知30B ∠=，ABC ∆的面积为32．（1）当a ，b ，c 成等差数列时，求b ； （2）求AC 边上的中线BD 的最小值． 【答案】（1）1b =（2）32. 【解析】试题分析：（1）根据条件可知b c a 2=+，6=ac ，再由余弦定理即可求解b 的值；（2）利用平面向量的线性运算可知2BA BCBD +=，进一步利用基本不等式即可求得其最小值. 试题解析：（1）由已知得b c a 2=+，6=ac ，而()(22222b a c a c=+-=+-+(2462b =-+，得1b =（2）∵2BA BCBD +=， 222BA BA BC BA BCBD ⎛++⋅==≥==，当a c ==BD 的最小值是32+. 考点：1.正余弦定理解三角形；2.平面向量的线性运算；3.基本不等式求最值. 19.（本题满分14分）20.四棱锥P ABCD -如图放置，//AB CD ，BC CD ⊥，2AB BC ==，1CD PD ==，PAB ∆为等边三角形．（1）证明：面PD PAB ⊥；（2）求二面角PCB A --的平面角的余弦值．A【答案】（1）详见解析；（2）7. 【解析】试题分析：（1）利用梯形ABCD 的性质可证得PD PA ⊥，PB PD ⊥，从而利用线面垂直的判定即可得证；（2）取AB 中点M ，连PM ，DM ，作PN DM ⊥，垂足为N ，再作NH BC ⊥，连HN ，利用三垂线定理可知NHP ∠二面角P CB A --的平面角，从而利用余弦定理即可求解.试题解析：（1）易知在梯形ABCD中，AD 1PD =，2=AP ，则PD PA ⊥，同理PD PB ⊥，故PD ⊥面PAB ；（2）取AB 中点M ，连PM ，DM ，作PN DM ⊥，垂足为N ，再作NH BC ⊥，连HN ，易得AB ⊥面DPM ，则面ABCD ⊥面DPM ，于是PN ⊥面ABCD ，BC ⊥面NPH ，即NHP ∠二面角P CB A --的平面角，在NHP ∆中，PN =，PH =，1=NH，∴cos =7NHP ∠， 故二面角A PB C --的平面角的余弦值为7.A考点：1.线面垂直的判定；2.二面角的求解. 20.（本题满分15分）已知函数2()2f x x x x a =+-，其中a R ∈． （1）求函数()f x 的单调区间；（2）若不等式4()16f x ≤≤在[1,2]x ∈上恒成立，求a 的取值范围．【答案】（1）当0a ≥时，在R 上递增 ，当0a <时，在(,)a -∞和(,)3a+∞上递增，在(,)3a a 上递减；（2）112a -≤≤-或552a ≤≤. 【解析】试题分析：（1）分类讨论将)(x f 表达式中的绝对值符号去掉，结合二次函数的单调性即可求解；（2）分析题意可知问题等价于min ()4f x ≥，max ()16f x ≤，再由（1）中得到的单调性即可求解.试题解析：（1）由2222()()()3()()33x a a x a f x a a x x a ⎧--+≤⎪=⎨-->⎪⎩，故当0a ≥时，()f x 在(,)a -∞和(,)a +∞上递增，又∵2()f a a =，∴()f x 在R 上递增，当0a <时，()f x 在(,)a -∞和(,)3a +∞上递增，在(,)3aa 上递减；（2）由题意只需min ()4f x ≥，max ()16f x ≤，首先，由（1）可知，()f x 在[1,2]x ∈上恒递增，则min ()(1)1214f x f a ==+-≥，解得12a ≤-或52a ≥，其次，当52a ≥时，()f x 在R 上递增，故max ()(2)4416f x f a ==-≤，解得552a ≤≤，当12a ≤-时，()f x 在[1,2]上递增，故max ()(2)12416f x f a ==-≤，解得112a -≤≤-，综上：112a -≤≤-或552a ≤≤.考点：1.函数的单调性；2.不等式恒成立问题；3.分类讨论的数学思想. 21.（本题满分15分） 已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足2n n S a n =-． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设1nn n a b a +=，记数列{}n b 的前n 和为n T ，证明：1032n n T -<-<．【答案】（1）21n n a =-；（2）详见解析. 【解析】试题分析：（1）考虑到n n n S S a -=++11，因此可以利用条件中的式子得到数列}{n a 的一个递推公式，从而即可求解；（2）由（1）可知112121n n n n n a b a ++-==-，211222n n b +-=--，从而可证02nn T -<，进一步放缩可得211122223232n n n n+=<--+⋅⋅，求和即可得证. 试题解析：（1）∵2n n S a n =-，当1=n 时，1111211S a a a ==-⇒= ，又∵1121n n S a n ++=--，与2n n S a n =-两边分别相减得11221n n n a a a ++=--，得()1121n n a a ++=+，又∵112a +=，∴数列}1{+n a 是以2为首项，2为公比的等比数列，∴12n n a +=，得21n n a =-； （2）∵112121n n n n n a b a ++-==-，∴211222n n b +-=--，3421112222222n n n T +⎛⎫-=-+++< ⎪---⎝⎭，得02n n T -<，又∵211122223232n n nn +=<--+⋅⋅，∴2111123222nn n T ⎛⎫-=-+++⎪⎝⎭1113323n=-+>-⋅，∴1032n n T -<-<. 考点：1.数列的通项公式；2.放缩法证明不等式. 22.（本题满分14分）给定函数()f x 和常数,a b ，若(2)()f x af x b =+恒成立，则称(,)a b 为函数()f x 的一个“好数对”；若(2)()f x af x b ≥+恒成立，则称(,)a b 为函数()f x 的一个“类好数对”．已知函数()f x 的定义域为[1,)+∞．（1）若(1,1)是函数()fx 的一个“好数对”，且(1)3f =，求(16)f ；（2）若(2,0)是函数()f x 的一个“好数对”，且当12x <≤时，()f x = 函数()y f x x =-在区间(1,)+∞上无零点；（3）若(2,2)-是函数()f x 的一个“类好数对”，(1)3f =，且函数()f x 单调递增，比较()f x 与22x+的大小，并说明理由． 【答案】（1）7；（2）详见解析；（3）()22xf x >+.()y f x x =-在区间(1,)+∞上无零点；（3）由题意得()()222f x f x ≥-，则()()12222n n f f-≥-，即()()122222n n f f-⎡⎤-≥-⎣⎦，得()()()12222222222n n n f f f --⎡⎤⎡⎤-≥-≥-≥⎣⎦⎣⎦()02222n n f ⎡⎤≥-=⎣⎦，即()222n n f ≥+，而对任意1>x ，必存在*n N ∈，使得122n nx -<≤，由)(x f 单调递增得()()()122n n f f x f -<≤，则()()1122222222n n n xf x f --≥≥+=+≥+，∴()22x f x >+.考点：1.新定义函数；2.函数与数列，不等式相结合综合.。
浙江2015届高三第二次五校联考数学(理)试题Word版含答案
2014学年浙江省五校联考第二次考试数学（理科）试题卷本试题卷分选择题和非选择题两部分．全卷共4页, 选择题部分1至2页, 非选择题部分3至4页．满分150分, 考试时间120分钟．请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上．参考公式：柱体的体积公式V =Sh 其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高 锥体的体积公式 V =13Sh 其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高台体的体积公式1()123V h S S =+ 其中S 1,S 2分别表示台体的上,下底面积球的表面积公式S =4πR 2其中R 表示球的半径，h 表示台体的高 球的体积公式V =43πR3其中R 表示球的半径第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：（每小题5分, 共40分。
在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的）1．命题“存在0x ∈R ，02x ≤0”的否定是（ ▲ ）A ．不存在0x ∈R, 02x >0B ．存在0x ∈R, 02x ≥0C ．对任意的x ∈R, 2x≤0D ．对任意的x ∈R, 2x>02．给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； ②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直； ③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直． 其中，为真命题的是 （ ▲ ）A ． ①和②B ． ②和③C ． ③和④D ． ②和④3．为得到函数()cos f x x x =，只需将函数y x x （ ▲ ） A ． 向左平移512π B ．向右平移512π C ．向左平移712πD ．向右平移712π4．已知A 、B 、C 为直线l 上不同的三点，点O ∉直线l ，实数x 满足关系式220x OA xOB OC ++=，有下列结论中正确的个数有 （ ▲ ）① 20OB OC OA -⋅≥； ② 20OB OC OA -⋅<；③ x 的值有且只有一个； ④x 的值有两个；⑤ 点B 是线段AC 的中点．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．已知映射():(,)0,0f P m n P m n '→≥≥．设点()3,1A ，()2,2B ，点M 是线段AB 上一动点，:f M M '→．当点M 在线段AB 上从点A 开始运动到点B 结束时，点M 的对应点M '所经过的路线长度为 （ ▲ ）A ．12πB ．6πC ． 4πD ． 3π6．如图，已知椭圆C 1：112x +y 2=1，双曲线C 2：22ax —22b y =1（a >0，b >0），若以C 1的长轴为直径的圆与C 2的一条渐近线交于A 、B 两点，且C 1与该渐近线的两交点将线段AB 三等分，则C 2的离心率为 （ ▲ ） A ．5 B ．5 C ．17D ．7142 7．半径为R 的球内部装有4个半径相同的小球，则小球半径r 的可能最大值为（ ▲ ）．AR B R C D8．某学生对一些对数进行运算，如下图表格所示：现在发觉学生计算中恰好有两次地方出错，那么出错的数据是 （ ▲ ） A ．(3),(8) B ．()4,(11) C ．()1,(3) D ．(1),(4)非选择题部分（共110分）二、填空题本大题共7小题, 每小题4分, 共28分．9．设全集U R =，集合2{|340}A x x x =--<，2{|log (1)2}B x x =-<， 则AB = ▲ ，A B = ▲ ，RC A = ▲ ．10．若某多面体的三视图如右图所示，则此多面体的体积为__▲ ， 外接球的表面积为__▲ ．11．若{}max ,a b 表示,a b 两数中的最大值，若{}2()max ,xx f x e e-=，则()f x 的最小值为 ▲ ，若{}()max ,x x tf x e e-=关于2015x =对称，则t = ▲ ．12．，若n A 表示集合n A 中元素的个数，则5A =__▲ ，则12310...A A A A ++++=__▲ ．13．直角ABC ∆的三个顶点都在给定的抛物线22y x =上，且斜边AB 和y 则RT ABC ∆斜边上的高的长度为 ▲ ．14．圆O 的半径为1，P 为圆周上一点，现将如图放置的边长为1的正方形 （实线所示 ，正方形的顶点A 和点P 重合）沿着圆周顺时针滚动，经过若干次滚动，点A 第一次回到点P 的位置，则点A 走过的路径的长度为 ▲．15．已知动点(,)P x y 满足220(1x y x x y ⎧+≤⎪⎪≥⎨⎪++≥⎪⎩，则222x y y ++的最小值为▲ ．三、解答题：（本大题共5小题, 共74分。
数学_2014年浙江省杭州市某校高考数学模拟练习试卷(4)(理科)(含答案)
2014年浙江省杭州市某校高考数学模拟练习试卷（4）（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．1. 已知i 为虚数单位，则1i +i 3=( )A 0B 1−iC 2iD −2i2. 设集合A ={x|y =√x +1}，集合B ={y|y =x 2, x ∈R}，则A ∪B =( )A ϕB [0, +∞)C [1, +∞)D [−1, +∞)3. 已知a ，b ∈R ，则“a ＝b”是“a+b 2=√ab”的（ ）A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件4. 200辆汽车经过某一雷达地区，时速频率分布直方图如图所示，则时速超过60km/ℎ的汽车数量为（ ）A 65辆B 76辆C 88辆D 95辆5. 下列命题中，错误的是（ ）A 一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个平面相交B 平行于同一平面的两个不同平面平行C 如果平面α不垂直平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βD 若直线l 不平行平面α，则在平面α内不存在与l 平行的直线6. 设集合A ={(x, y)|x +a 2y +6=0}，B ={(x, y)|(a −2)x +3ay +2a =0}，若A ∩B =⌀，则实数a 的值为（ ）A 3或−1B 0或3C 0或−1D 0或3或−17. 执行如图所示的程序框图，其输出的结果是（ ）A 1B −12C −54D −1388. 设点G 是△ABC 的重心，若∠A =120∘，AB →⋅AC →=−1，则|AG →|的最小值是( ) A √33 B √23 C 23 D 349. 已知f(x)是定义在实数集R 上的增函数，且f(1)＝0，函数g(x)在(−∞, 1]上为增函数，在[1, +∞)上为减函数，且g(4)＝g(0)＝0，则集合{x|f(x)g(x)≥0}＝（ ）A {x|x ≤0或1≤x ≤4}B {x|0≤x ≤4}C {x|x ≤4}D {x|0≤x ≤1或x ≥4}10. 设点P 是椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)上一点，F 1，F 2分别是椭圆的左、右焦点，I 为△PF 1F 2的内心，若S △IPF 1+S △IPF 2=2S △IF 1F 2，则该椭圆的离心率是（ ）A 12B √22C √32D 14二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．11. (1−x)4的展开式中x 2的系数是________．12. 如图是一个组合几何体的三视图，则该几何体的体积是________．13. 已知某随机变量ξ的概率分布列如表，其中x >0，y >0，随机变量ξ的方差Dξ=12，14. 已知函数f(x)={2cos 3x ，x ≤2000x −100,x >2000，则f[f(2012)]=________． 15. 若α∈(0,π2)，且cos 2α+sin(π2+2α)=12，则tanα=________．16. 已知实数x ，y 满足{x −y +1≥0x +2y −8≤0x ≤3，若(3,52)是使得ax −y 取得最小值的可行解，则实数a 的取值范围为________．17. 已知函数y =√3x −1x 的图象为中心是坐标原点O 的双曲线，在此双曲线的两支上分别取点P ，Q ，则线段PQ 的最小值为________．三、解答题：本大题共4小题，共72分．18. 已m →=(2cosx +2√3sinx, 1)，n →=(cosx, −y)，满足m →⋅n →=0．（1）将y 表示为x 的函数f(x)，并求f(x)的最小正周期；（2）已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C对应的边长，若f(x)≤f(A)对所有的2x∈R恒成立，且a=2，求b+c的取值范围．19. 在数列{a n}中，S n为其前n项和，满足S n=ka n+n2−n(k∈R, n∈N∗)．(I)若k=1，求数列{a n}的通项公式；(II)若数列{a n−2n−1}为公比不为1的等比数列，求S n．20. 已知四棱锥中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是边长为a的菱形，∠BAD=120∘，PA=b．（1）求证：平面PBD⊥平面PAC；（2）设AC与BD交于点O，M为OC中点，若二面角O−PM−D的正切值为2√6，求a:b的值．x2+bx(b, c∈R, c≠0)，且x=1为f(x)的极值点．21. 设函数f(x)=clnx+12（1）若x=1为f(x)的极大值点，求f(x)的单调区间（用c表示）；（2）若f(x)=0恰有1解，求实数c的取值范围．2014年浙江省杭州市某校高考数学模拟练习试卷（4）（理科）答案1. D2. D3. B4. B5. D6. C7. C8. B9. A10. A11. 612. 36+128π13. 3414. −115. 116. a≤−1217. 2√3−218. 解：（1）∵ m→⋅n→=0，m→=(2cosx+2√3sinx, 1)，n→=(cosx, −y)，∴ (2cosx+2√3sinx)cosx−y=0即f(x)=(2cosx+2√3sinx)cosx=2cos2x+2√3sinxcosx=1+cos2x+√3sin2x=1+2sin(2x+π6 )T=2π2=π∴ f(x)的最小正周期为π．（2）∵ f(x)≤f(A2)对所有的x∈R恒成立∴ 1+2sin(2x+π6)≤1+2sin(A+π6)对所有的x∈R恒成立即sin(2x+π6)≤sin(A+π6)对所有的x∈R恒成立，而A是三角形中的角∴ A=π3∴ cosA=cosπ3=b2+c2−42bc即b2+c2=4+bc即(b+c)2=4+3bc≤4+3(b+c2)2∴ (b+c)2≤16即b+c≤4而b+c>a=2∴ 2<b+c≤4即b+c的取值范围为(2, 4]19. 解：(1)当k=1时，S n=a n+n2−n，∴ S n−1=n2−n，(n≥2)，∴ S n=(n+1)2−(n+1)=n2+n(n≥1)∴ 当n=1时，a1=S1=2；当n≥2时，a n=S n−S n−1=n2+n−(n−1)2−(n−1)=2n，所以数列{a n}的通项公式为a n=2n(n∈N∗)．(II)当n≥2时，a n=S n−S n−1=ka n−ka n−1+2n−2，∴ (k−1)a n=ka n−1−2n+2，a1=S1=ka1，若k=1，则a n−2n−1=−1，从而{a n−2n−1}为公比为1的等比数列，不合题意；若k≠1，则a1=0，a2=21−k ，a3=4−6k(1−k)2，a1−3=−3，a2−5=5k−31−k，a3−7=−7k2+8k−3(k−1)2，由题意得，(a2−5)2=(a1−3)(a3−7)≠0，∴ k=0或k=32，当k=0时，S n=n2−n，a n=2n−2，a n−2n−1=−3，不合题意；当k=32时，a n=3a n−1−4n+4，从而a n−2n−1=3[a n−1−2(n−1)−1]，∵ a1−2×1−1=−3≠0，a n−2n−1≠0，{a n−2n−1}为公比为3的等比数列，∴ a n−2n−1=−3n，∴ a n=2n−3n+1，∴ S n=n2+2n−3n+12+32．20. 解：（1）证明：因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BD，又ABCD为菱形，所以AC⊥BD，因为PA∩AC=A，所以BD⊥平面PAC，因为BD⊂平面PBD，所以平面PBD⊥平面PAC．（2）解：过O作OH⊥PM交PM于H，连HD，因为DO⊥平面PAC，由三垂线定理可得DH⊥PM，所以∠OHD为A−PM−D的平面角又OD=√32a，OM=a4，AM=3a4，且OHOM=APPM从而OH=b√b2+916a2⋅a4=ab√16b2+9a2∴ tan∠OHD=ODOH =√3(16b2+9a2)2b=2√6所以9a2=16b2，即ab =43．21. 解：（1）∵ f(x)=clnx+12x2+bx(b, c∈R, c≠0)，∴ f′(x)=cx +x+b=x2+bx+cx，∵ x=1为f(x)的极值点，∴ f′(1)=0，∴ b+c+1=0，且c≠1，f′(x)=(x−1)(x−c)x．∵ x=1为f(x)的极大值点，∴ c>1．当0<x<1时，f′(x)>0；当1<x<c时，f′(x)<0；当x>c时，f′(x)>0．∴ f(x)的递增区间为(0, 1)，(c, +∞)；递减区间为(1, c)．(II)若c<0，则f(x)在(0, 1)上递减，在(1, +∞)上递增f(x)=0恰有1解，则f(1)=0，即12+b=0，所以c=−12；若0<c<1，则f极大(x)=f(c)=clnc+12c2+bc，f极小(x)=f(1)=12+b因为b=−1−c，则f极大(x)=clnc+c22+c(−1−c)=clnc−c−c22<0f极小(x)=−12−c，从而f(x)=0恰有一解；若c>1，则f极小(x)=clnc+c22+c(−1−c)=clnc−c−c22<0f极大(x)=−12−c，从而f(x)=0恰有一解；所以所求c的范围为{c|0<c<1或c>1或c=−12}．．。
浙江省杭州市五校联盟高二数学下学期质检试卷 理(含解析)
浙江省杭州市五校联盟2014-2015学年高二下学期质检数学试卷（理科）一、选择题（共10题，每题3分，共30分）1．已知全集U=R，A={x|x≤0}，B={x|x＞﹣1}，则集合∁U（A∩B）=（）A．{x|﹣1＜x≤0}B．{x|﹣1≤x≤0}C．{x|x≤﹣1或x≥0}D．{x|x≤﹣1或x＞0}2．已知集合M={x|x2﹣4x＜0}，N={x|m＜x＜5}，若M∩N={x|3＜x＜n}，则m+n等于（）A．9 B．8 C．7 D．63．设f（x）=，则f[f（ln2+2）]=（）A．log515 B．2 C．5 D．log5（3e2+1）4．如果对定义在R上的函数f（x），对任意x1≠x2，都有x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2f （x1）则称函数f（x）为“H函数”．给出下列函数：①y=﹣x3+x+1；②y=3x﹣2（sinx﹣cosx）；③y=e x+1；④f（x）=．其中函数式“H函数”的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．15．设x，y满足约束条件，若目标函数的最大值为2，则的图象向右平移后的表达式为（）A．B．C．y=sin2x D．6．在△ABC中，点G是△ABC的重心，若存在实数λ，μ，使=λ+μ，则（）A．λ=，μ=B．λ=，μ=C．λ=，μ=D．λ=，μ=7．已知等差数列{a n}的公差d≠0，且a1，a3，a13成等比数列，若a1=1，S n是数列{a n}前n 项的和，则（n∈N+）的最小值为（）A．4 B．3 C．2﹣2 D．8．若实数x，y满足不等式组，且z=y﹣2x的最小值等于﹣2，则实数m的值等于（）A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．29．设F1，F2分别为双曲线（a＞0，b＞0）的左，右焦点．若在双曲线右支上存在一点P，满足|PF2|=|F1F2|，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．10．三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面垂直，AA1=AB=AC=1，AB⊥AC，N是BC的中点，点P在A1B1上，且满足=λ，直线PN与平面ABC所成角θ的正切值取最大值时λ的值为（）A．B．C．D．二、填空题（共8题，每题3分，共24分）11．已知函数f（x）=，若对任意的x∈[t，t+2]，不等式f（x+t）≥2f （x）恒成立，则实数t的取值范围是．12．对于函数f（x）=，有下列4个命题：①任取x1、x2∈[0，+∞），都有|f（x1）﹣f（x2）|≤2恒成立；②f（x）=2kf（x+2k）（k∈N*），对于一切x∈[0，+∞）恒成立；③函数y=f（x）﹣ln（x﹣1）有3个零点；④对任意x＞0，不等式f（x）≤恒成立．则其中所有真命题的序号是．13．已知函数f（x）=sin2x+sinxcosx﹣，下列结论中：①函数f（x）关于x=对称；②函数f（x）关于（﹣，0）对称；③函数f（x）在（0，）是增函数，④将y=cos2x的图象向右平移可得到f（x）的图象．其中正确的结论序号为．14．如图，已知△ABC中，AB=AC=4，∠BAC=90°，D是BC的中点，若向量=+m•，且的终点M在△ACD的内部（不含边界），则•的取值范围是．15．数列{a n}的通项a n=n2（cos2﹣sin2），其前n项和为S n，则S30为．16．设m＞1，在约束条件下，目标函数z=x+my的最大值等于2，则m=．17．已知正方形ABCD的边长为8，空间有一点M（不在平面ABCD内）满足|MA|+|MB|=10，则三棱锥M﹣ABC的体积的最大值是．18．已知椭圆的左焦点为F1，右焦点为F2．若椭圆上存在一点P，满足线段PF2相切于以椭圆的短轴为直径的圆，切点为线段PF2的中点，则该椭圆的离心率为．三、解答题（共4题，第一题10分，后三题每题12分，共46分）19．设函数f（x）=log2（4x）•log2（2x），，（1）若t=log2x，求t取值范围；（2）求f（x）的最值，并给出最值时对应的x的值．20．已知，数列{a n}的前n项的和记为S n．（1）求S1，S2，S3的值，猜想S n的表达式；（2）请用数学归纳法证明你的猜想．21．如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，点E是线段AB中点．（1）证明：D1E⊥CE；（2）求二面角D1﹣EC﹣D的大小的余弦值；（3）求A点到平面CD1E的距离．22．在平面直角坐标系xOy中，点P（a，b）（a＞b＞0）为动点，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点．已知△F1PF2为等腰三角形．（Ⅰ）求椭圆的离心率e；（Ⅱ）设直线PF2与椭圆相交于A，B两点，M是直线PF2上的点，满足，求点M 的轨迹方程．浙江省杭州市五校联盟2014-2015学年高二下学期质检数学试卷（理科）一、选择题（共10题，每题3分，共30分）1．已知全集U=R，A={x|x≤0}，B={x|x＞﹣1}，则集合∁U（A∩B）=（）A．{x|﹣1＜x≤0}B．{x|﹣1≤x≤0}C．{x|x≤﹣1或x≥0}D．{x|x≤﹣1或x＞0}考点：交、并、补集的混合运算．专题：集合．分析：根据集合的基本运算进行求解即可．解答：解：∵A={x|x≤0}，B={x|x＞﹣1}，∴A∩B={x|﹣1＜x≤0}，则∁U（A∩B）={x|x≤﹣1或x＞0}，故选：D．点评：本题主要考查集合关系的应用，比较基础．2．已知集合M={x|x2﹣4x＜0}，N={x|m＜x＜5}，若M∩N={x|3＜x＜n}，则m+n等于（）A．9 B．8 C．7 D．6考点：交集及其运算．专题：集合．分析：求出集合的等价条件，根据集合的基本运算进行求解即可．解答：解：M={x|x2﹣4x＜0}={x|0＜x＜4}，∵N={x|m＜x＜5}，∴若M∩N={x|3＜x＜n}，则m=3，n=4，故m+n=3+4=7，故选：C点评：本题主要考查集合的基本运算，比较基础．3．设f（x）=，则f[f（ln2+2）]=（）A．log515 B．2 C．5 D．log5（3e2+1）考点：函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：根据分段函数的表达式，结合对数和指数幂的运算法则进行化简即可．解答：解：f（ln2+2）=4e ln2+2﹣2=4e ln2=4×2=8，f（8）=log5（3×8+1）=log525=2，故f[f（ln2+2）]=2，故选：B．点评：本题主要考查函数值的计算，根据函数表达式直接代入是解决本题的关键．4．如果对定义在R上的函数f（x），对任意x1≠x2，都有x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2f （x1）则称函数f（x）为“H函数”．给出下列函数：①y=﹣x3+x+1；②y=3x﹣2（sinx﹣cosx）；③y=e x+1；④f（x）=．其中函数式“H函数”的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．1考点：函数单调性的性质；函数的图象．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：不等式x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2f（x1）等价为（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0，即满足条件的函数为单调递增函数，判断函数的单调性即可得到结论．解答：解：∵对于任意给定的不等实数x1，x2，不等式x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2f （x1）恒成立，∴不等式等价为（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0恒成立，即函数f（x）是定义在R上的增函数．①y=﹣x3+x+1；y'=﹣3x2+1，则函数在定义域上不单调．②y=3x﹣2（sinx﹣cosx）；y'=3﹣2（cosx+sinx）=3﹣2sin（x+）＞0，函数单调递增，满足条件．③y=e x+1为增函数，满足条件．④f（x）=，当x＞0时，函数单调递增，当x＜0时，函数单调递减，不满足条件．综上满足“H函数”的函数为②③，故选C．点评：本题主要考查函数单调性的应用，将条件转化为函数的单调性的形式是解决本题的关键．5．设x，y满足约束条件，若目标函数的最大值为2，则的图象向右平移后的表达式为（）A．B．C．y=sin2x D．考点：简单线性规划；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质；不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用线性规划的知识求出m的值，利用三角函数的图象关系进行平移即可．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图，∵m＞0，∴平移直线，则由图象知，直线经过点B时，直线截距最大，此时z最大为2，由，解得，即B（1，1），则1+=2，解得m=2，则=sin（2x+），则的图象向右平移后，得到y=sin[2（x﹣）+]=sin2x，故选：C．点评：本题主要考查三角函数解析式的求解以及线性规划的应用，根据条件求出m的取值是解决本题的关键．6．在△ABC中，点G是△ABC的重心，若存在实数λ，μ，使=λ+μ，则（）A．λ=，μ=B．λ=，μ=C．λ=，μ=D．λ=，μ=考点：平面向量的基本定理及其意义．专题：平面向量及应用．分析：由三角形的重心分中线为得λ，μ的值．解答：解：∵点G是△ABC的重心，∴点G分中线为∴=（）=（），∵=λ+μ，∴，故选：A．点评：本题考查三角形的重心性质、向量相等，属于基础题．7．已知等差数列{a n}的公差d≠0，且a1，a3，a13成等比数列，若a1=1，S n是数列{a n}前n项的和，则（n∈N+）的最小值为（）A．4 B．3 C．2﹣2 D．考点：等差数列的性质．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：由题意得（1+2d）2=1+12d，求出公差d的值，得到数列{a n}的通项公式，前n项和，从而可得，换元，利用基本不等式，即可求出函数的最小值．解答：解：∵a1=1，a1、a3、a13 成等比数列，∴（1+2d）2=1+12d．得d=2或d=0（舍去），∴a n =2n﹣1，∴S n==n2，∴=．令t=n+1，则=t+﹣2≥6﹣2=4当且仅当t=3，即n=2时，∴的最小值为4．故选：A．点评：本题主要考查等比数列的定义和性质，等比数列的通项公式，考查基本不等式，属于中档题．8．若实数x，y满足不等式组，且z=y﹣2x的最小值等于﹣2，则实数m的值等于（）A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用z=y﹣2x的最小值等于﹣2，结合数形结合即可得到结论．解答：解：由z=y﹣2x，得y=2x+z，作出不等式对应的可行域，平移直线y=2x+z，由平移可知当直线y=2x+z经过点A时，直线y=2x+z的截距最小，此时z取得最小值为﹣2，即y﹣2x=﹣2，由，解得，即A（1，0），点A也在直线x+y+m=0上，则m=﹣1，故选：A点评：本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．9．设F1，F2分别为双曲线（a＞0，b＞0）的左，右焦点．若在双曲线右支上存在一点P，满足|PF2|=|F1F2|，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用题设条件和双曲线性质在三角形中寻找等量关系，得出a与b之间的等量关系，进而求出离心率．解答：解：依题意|PF2|=|F1F2|，可知三角形PF2F1是一个等腰三角形，F2在直线PF1的投影是其中点，由勾股定理知可知|PF1|=2 =4b根据双曲定义可知4b﹣2c=2a，整理得c=2b﹣a，代入c2=a2+b2整理得3b2﹣4ab=0，求得=；∴e====．故选B．点评：本题主要考查三角与双曲线的相关知识点，突出了对计算能力和综合运用知识能力的考查，属中档题．10．三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面垂直，AA1=AB=AC=1，AB⊥AC，N是BC的中点，点P在A1B1上，且满足=λ，直线PN与平面ABC所成角θ的正切值取最大值时λ的值为（）A．B．C．D．考点：直线与平面所成的角．专题：综合题；空间角．分析：以AB、AC、AA1分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系A﹣xyz，可得向量的坐标关于λ的表示式，而平面ABC的法向量=（0，0，1），可建立sinθ关于λ的式子，最后结合二次函数的性质可得当λ=时，角θ达到最大值．解答：解：以AB、AC、AA1分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系A﹣xyz，则=（﹣λ，），易得平面ABC的一个法向量为=（0，0，1）则直线PN与平面ABC所成的角θ满足：sinθ=|cos＜，＞|=，于是问题转化为二次函数求最值，而θ∈[0，]，当θ最大时，sinθ最大，所以当λ=时，sinθ最大为，同时直线PN与平面ABC所成的角θ得到最大值．故选：A．点评：本题给出特殊三棱柱，探索了直线与平面所成角的最大值，着重考查了用空间向量求直线与平面的夹角等知识，属于中档题．二、填空题（共8题，每题3分，共24分）11．已知函数f（x）=，若对任意的x∈[t，t+2]，不等式f（x+t）≥2f （x）恒成立，则实数t的取值范围是[，+∞）．考点：函数恒成立问题．专题：函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：由当x＜0时，f（x）=﹣x2，x≥0时，f（x）=x2，从而f（x）在R上是单调递增函数，且满足2f（x）=f（x），再根据不等式f（x+t）≥2f（x）=f（x）在[t，t+2]恒成立，可得x+t≥x在[t，t+2]恒成立，计算即可得出答案．解答：解：当x＜0时，f（x）=﹣x2递增，当x≥0时，f（x）=x2递增，函数f（x）=，在R上是单调递增函数，且满足2f（x）=f（x），∵不等式f（x+t）≥2f（x）=f（x）在[t，t+2]恒成立，∴x+t≥x在[t，t+2]恒成立，即：t≥（﹣1）x在 x∈[t，t+2]恒成立，∴t≥（﹣1）（t+2），解得：t≥，故答案为：．点评：本题考查了函数恒成立问题及函数的单调性，难度适中，关键是掌握函数的单调性的运用．12．对于函数f（x）=，有下列4个命题：①任取x1、x2∈[0，+∞），都有|f（x1）﹣f（x2）|≤2恒成立；②f（x）=2kf（x+2k）（k∈N*），对于一切x∈[0，+∞）恒成立；③函数y=f（x）﹣ln（x﹣1）有3个零点；④对任意x＞0，不等式f（x）≤恒成立．则其中所有真命题的序号是①③④．考点：分段函数的应用．专题：数形结合；函数的性质及应用．分析：作出f（x）=的图象，利用图象可得结论．解答：解：f（x）=的图象如图所示：①f（x）的最大值为1，最小值为﹣1，∴任取x1、x2∈[0，+∞），都有|f（x1）﹣f（x2）|≤2恒成立，正确；②f（）=2f（+2）=4f（+4）=8f（+6）≠8f（+8），故不正确；③如图所示，函数y=f（x）﹣ln（x﹣1）有3个零点；④对任意x＞0，不等式f（x）≤恒成立，则实数k的取值范围是（，+∞），结合图象，可得④正确．故答案为：①③④．点评：本题考查分段函数的应用，考查数形结合的数学思想，正确作出函数的图象是关键．13．已知函数f（x）=sin2x+sinxcosx﹣，下列结论中：①函数f（x）关于x=对称；②函数f（x）关于（﹣，0）对称；③函数f（x）在（0，）是增函数，④将y=cos2x的图象向右平移可得到f（x）的图象．其中正确的结论序号为③④．考点：三角函数中的恒等变换应用．专题：三角函数的图像与性质．分析：利用三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得f（x）=sin（2x﹣），由2x﹣=k，k∈Z可解得函数对称轴．①不正确；由2x﹣=kπ，k∈Z可解得函数对称中心为：（，0），②不正确；由2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，可解得函数单调递增区间，可得③正确；将y=cos2x的图象向右平移可得到y=cos[2（x﹣）]=sin（2x﹣），可得④正确．解答：解：∵f（x）=sin2x+sinxcosx﹣==sin（2x﹣），对于①，2x﹣=k，k∈Z可解得函数对称轴为：x=，k∈Z，故①不正确；对于②，由2x﹣=kπ，k∈Z可解得：x=，k∈Z，故函数对称中心为：（，0），②不正确；对于③，由2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，可解得函数单调递增区间为：[k，k]，k∈Z，故可得函数f（x）在（0，）是增函数，③正确；对于④，将y=cos2x的图象向右平移可得到y=cos[2（x﹣）]=cos（2x﹣）=sin[﹣（2x﹣）]=sin（﹣2x）=sin（2x﹣），④正确．故答案为：③④．点评：本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，正弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查．14．如图，已知△ABC中，AB=AC=4，∠BAC=90°，D是BC的中点，若向量=+m•，且的终点M在△ACD的内部（不含边界），则•的取值范围是（﹣2，6）．考点：向量在几何中的应用．专题：计算题；作图题；平面向量及应用．分析：以AB为x轴，AC为y轴，作图如右图，利用向量的坐标运算求•的取值范围．解答：解：以AB为x轴，AC为y轴，作图如右图，点A（0，0），B（4，0），C（0，4），D（2，2），则=+m•=（4，0）+m（0，4）=（1，4m），则M（1，4m），又∵的终点M在△ACD的内部（不含边界），∴1＜4m＜3，＜m＜，则•=（1，4m）•（﹣3，4m）=16m2﹣3，∵＜m＜，∴﹣2＜16m2﹣3＜6；故答案为：（﹣2，6）．点评：本题考查了向量在平面几何中的运用，属于基础题．15．数列{a n}的通项a n=n2（cos2﹣sin2），其前n项和为S n，则S30为470．考点：数列的求和．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：利用二倍角公式对已知化简可得，a n=n2（cos2﹣sin2）=n2cos，然后代入到求和公式中可得，+32cos2π+…+302cos20π，求出特殊角的三角函数值之后，利用平方差公式分组求和即可求解解答：解：∵a n=n2（cos2﹣sin2）=n2cos∴+32cos2π+…+302cos20π=+…=[1+22﹣2×32）+（42+52﹣62×2）+…+（282+292﹣302×2）]=[（12﹣32）+（42﹣62）+…+（282﹣302）+（22﹣32）+（52﹣62）+…+（292﹣302）] =[﹣2（4+10+16…+58）﹣（5+11+17+…+59）]=[﹣2×]=470故答案为：470点评：本题主要考查了二倍角的余弦公式、分组求和方法的应用，解题的关键是平方差公式的应用16．设m＞1，在约束条件下，目标函数z=x+my的最大值等于2，则m=．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：根据m＞1，可以判断直线y=mx的倾斜角位于区间（）上，由此判断出满足约束条件件的平面区域的形状，再根据目标函数z=x+my对应的直线与直线y=mx垂直，且在直线y=mx与直线x+y=1交点处取得最大值，由此可得关于m的方程，从而求得m值．解答：解：∵m＞1，由约束条件作出可行域如图，直线y=mx与直线x+y=1交于（），目标函数z=x+my对应的直线与直线y=mx垂直，且在（）处取得最大值，由题意可知，又∵m＞1，解得m=1+．故答案为：1+．点评：本题考查的知识点是简单线性规划的应用，其中根据平面直线方程判断出目标函数z=x+my对应的直线与直线y=mx垂直，且在（）点取得最大值，并由此列出关于m的方程是解答本题的关键，是中档题．17．已知正方形ABCD的边长为8，空间有一点M（不在平面ABCD内）满足|MA|+|MB|=10，则三棱锥M﹣ABC的体积的最大值是32．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：综合题；空间位置关系与距离．分析：由已知点M（不在平面ABCD内）满足|MA|+|MB|=10，可得点M在以A，B为焦点的椭球上（去掉在平面ABCD内的点），球心为O．当MO⊥平面ABCD时，MO=，此时三棱锥的高最大，即可得出．解答：解：由已知点M（不在平面ABCD内）满足|MA|+|MB|=10，可得点M在以A，B为焦点的椭球上（去掉在平面ABCD内的点），球心为O．当MO⊥平面ABCD时，MO==3，此时三棱锥的高最大，因此三棱锥A﹣BCM的体积的最大值===32．故答案为：32．点评：本题考查了椭球的定义及其性质、线面面面垂直的性质、三棱锥的体积计算公式、勾股定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．已知椭圆的左焦点为F1，右焦点为F2．若椭圆上存在一点P，满足线段PF2相切于以椭圆的短轴为直径的圆，切点为线段PF2的中点，则该椭圆的离心率为．考点：椭圆的简单性质．专题：直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：先设切点为M，连接OM，PF1，根据已知条件即可得到|PF1|=2b，并且知道PF1⊥PF2，这样即可可求得|PF2|=2，这样利用椭圆的定义便得到2b+2=2a，化简即可得到b=，根据离心率的计算公式即可求得离心率e．解答：解：如图，设以椭圆的短轴为直径的圆与线段PF2相切于M点，连接OM，PF2，∵M，O分别是PF2，F1F2的中点，∴MO∥PF1，且|PF1|=2|MO|=2b，OM⊥PF2，∴PF1⊥PF2，|F1F2|=2c，∴|PF2|=2，根据椭圆的定义，|PF1|+|PF2|=2a，∴2b+2=2a，∴a﹣b=，两边平方得：a2﹣2ab+b2=c2﹣b2，c2=a2﹣b2代入并化简得：2a=3b，∴b=，a=1，c==，∴e==，即椭圆的离心率为．故答案为：．点评：本题考查中位线的性质，圆心和切点的连线和切线的关系，以及椭圆的定义，c2=a2﹣b2，椭圆离心率的计算公式，属于中档题．三、解答题（共4题，第一题10分，后三题每题12分，共46分）19．设函数f（x）=log2（4x）•log2（2x），，（1）若t=log2x，求t取值范围；（2）求f（x）的最值，并给出最值时对应的x的值．考点：对数函数图象与性质的综合应用．专题：计算题；转化思想．分析：（1）由对数函数的单调性，结合，我们易确定出t=log2x的最大值和最小值，进而得到t取值范围；（2）由已知中f（x）=log2（4x）•log2（2x），根据（1）的结论，我们可以使用换元法，将问题转化为一个二次函数在定区间上的最值问题，根据二次函数的性质易得答案．解答：解：（1）∵∴即﹣2≤t≤2（2）f（x）=（log2x）2+3log2x+2∴令t=log2x，则，∴时，当t=2即x=4时，f（x）max=12点评：本题考查的知识点是对数函数的图象与性质的综合应用，二次函数在定区间上的最值问题，熟练掌握对数函数的性质和二次函数的性质是解答本题的关键．20．已知，数列{a n}的前n项的和记为S n．（1）求S1，S2，S3的值，猜想S n的表达式；（2）请用数学归纳法证明你的猜想．考点：数列的求和；归纳推理；数学归纳法．专题：计算题；点列、递归数列与数学归纳法．分析：（1）依题意，可求得S1，S2，S3的值，继而可猜想S n的表达式；（2）猜想S n=；用数学归纳法证明，先证明n=1时等式成立，再假设n=k时等式成立，去证明当n=k+1时等式也成立即可．解答：解：（1）∵a n=，∴S1=a1==，S2=a1+a2=+=，S3=S2+a3=+==；…∴猜想S n=；（2）证明：①当n=1时，S1=，等式成立；②假设当n=k时，S k=成立，则当n=k+1时，S k+1=S k+a k+1=+====，即当n=k+1时等式也成立；综合①②知，对任意n∈N*，S n=．点评：本题考查归纳推理，着重考查数学归纳法，考查推理、证明的能力，属于中档题．21．如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，点E是线段AB中点．（1）证明：D1E⊥CE；（2）求二面角D1﹣EC﹣D的大小的余弦值；（3）求A点到平面CD1E的距离．考点：点、线、面间的距离计算；二面角的平面角及求法．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）根据线面垂直的性质定理，证明CE⊥面D1DE即可证明：D1E⊥CE；（2）建立坐标系，利用向量法即可求二面角D1﹣EC﹣D的大小的余弦值；（3）根据点到平面的距离公式，即可求A点到平面CD1E的距离．解答：解：（1）证明：DD1⊥面ABCD，CE⊂面ABCD所以，DD1⊥CE，Rt△DAE中，AD=1，AE=1，DE==，同理：CE=，又CD=2，CD2=CE2+DE2，DE⊥CE，DE∩CE=E，所以，CE⊥面D1DE，又D1E⊂面D1EC，所以，D1E⊥CE．（2）设平面CD1E的法向量为=（x，y，z），由（1）得=（1，1，﹣1），=（1，﹣1，0）•=x+y﹣1=0，•=x﹣y=0解得：x=y=，即=（，，1）；又平面CDE的法向量为=（0，0，1），∴cos＜，＞===，所以，二面角D1﹣EC﹣D的余弦值为，（3））由（1）（2）知=（0，1，0），平面CD1E的法向量为=（，，1）故，A点到平面CD1E的距离为d===．点评：本题主要考查直线和平面垂直的性质，以及空间二面角和点到直线的距离的计算，利用向量法是解决本题的关键．22．在平面直角坐标系xOy中，点P（a，b）（a＞b＞0）为动点，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点．已知△F1PF2为等腰三角形．（Ⅰ）求椭圆的离心率e；（Ⅱ）设直线PF2与椭圆相交于A，B两点，M是直线PF2上的点，满足，求点M 的轨迹方程．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；轨迹方程；椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）直接利用△F1PF2为等腰三角形得|PF2|=|F1F2|，解其对应的方程即可求椭圆的离心率e；（Ⅱ）先把直线方程与椭圆方程联立，求得A，B两点的坐标，代入，即可求点M的轨迹方程．解答：解：（Ⅰ）设F1（﹣c，0），F2（c，0）（c＞0）．由题得|PF2|=|F1F2|，即=2c，整理得2+﹣1=0，得=﹣1（舍），或=，所以e=．（Ⅱ）由（Ⅰ）知a=2c，b=c，可得椭圆方程为3x2+4y2=12c2，直线方程为y=（x﹣c）．A，B的坐标满足方程组，消y并整理得5x2﹣8xc=0，解得x=0，x=，得方程组的解为，，不妨设A（c，c），B（0，﹣c）．设点M的坐标为（x，y），则=（x﹣c，y﹣c），=（x，y+c）由y=（x﹣c）得c=x﹣y ①，由=﹣2即（x﹣c）x+（y﹣c）（y+c）=﹣2．将①代入化简得18x2﹣16xy﹣15=0，⇒y=代入①化简得c=＞0．所以x＞0，因此点M的轨迹方程为18x2﹣16xy﹣15=0 （x＞0）．点评：本题主要考查椭圆的方程和几何性质，直线的方程，平面向量等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质和数形结合的数学思想，考查解决问题的能力和运算能力．。
2014届浙江省杭州市高三二模数学(理)试题及答案
2014年杭州市第二次高考科目教学质量检测高三数学检测试卷（理科）考生须知：1.本试卷满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，在答题卷密封线内填写学校、班级和姓名.3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效.参考公式：如果事件A,B 互斥，那么 如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 )()()(B P A P B A P +=+ n 次独立重复试验中事件A 恰好发生的k 次概率如果事件A,B 相互独立，那么 )...,3,2,1()1()(n k P C k P k n kn n =-=-)()()(B P A P B A P ∙=∙选择题部分（共50分）一、选择题（本大题共10个小题.每小题5分.共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 设全集,R U =集合{}012＜-=x x A ，{}0)2(≥-=x x x B ，则()B C A U ⋂=（ ）A.{}20＜＜x xB.{}10＜＜x xC.{}10＜x x ≤D.{}01＜＜x x - 2. 设n S 为公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和，若893a S =，则=5153a S （ ） A.15 B.17 C.19 D.213. 设直线012:1=--my x l ，01)1(:2=+--y x m l .则“2=m ”是“21//l l ”的（ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件4. 设函数x x x f sin )(2=，则函数)(x f 的图像可能为（ ）5. 某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的结果不大于37，则输入的整数i 的最大值为（ ）A.3B.4C.5D.66. 设O △ABC 的外心（三角形外接圆的圆心）.若 AC AB AO 3131+=，则BAC ∠的度数为（ ） A.30° B.60° C.60° D.90° 7. 在△ABC 中，若42cos 52cos 322=+-CB A ，则C tan 的 最大值为（ ） A.43-B.34-C.42- D.22- 8. 设),,()(2R c b a c bx ax x f ∈++=，e 为自然对数的底数.若xx f x x f )(ln )(＞'.则（ ） A.)()(2,2ln )()2(2e f e f e f f ＞＜ B.)()(2,2ln )()2(2e f e f e f f ＜＜ C. )()(2,2ln )()2(2e f e f e f f ＜＞ D.)()(2,2ln )()2(2e f e f e f f ＞＞9. 设21,F F 为椭圆)0(1:22221＞＞b a by a x C =+与双曲线2C 的公共点左右焦点，它们在第一象限内交于点M ,△21F MF 是以线段1MF 为底边的等腰三角形,且21=MF .若椭圆1C 的离心率⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈94,83e ，则双曲线2C 的离心率取值范围是（ ） A.⎥⎦⎤⎢⎣⎡35,45 B.⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,23C.(]4,1D.⎥⎦⎤⎢⎣⎡4,2310.在等腰梯形ABCD 中，F E ,分别是底边BC AB ,的中点，把四边形AEFD 沿直线EF 折 起后所在的平面记为αα∈p ,，设α与PC PB ,所成的角分别为21,θθ（21,θθ均布为零）. 若21θθ=，则点P 的轨迹为（ ）A.直线B.圆C.椭圆D.抛物线非选择题部分（共100分）二、填空题：（本大题共7小题，每小题4分，共28分.） 11. 设i 是虚数单位,若复数i zi -=1，则=z ______.12. 某几何体的三视图如图所示，若该正视图面积为S ，则此几何体的体积是______. 13. 若..., (11)23322102++++++=+x a x a x a x a a xn 则3a =_____. 14. 用1,2,3,4,5组成不含重复数字的五位数，数字2不出现在首位和 末位，数字1,3,5中有且仅有两个数字相邻，则满足条件的不同五 位数的个数是_______.（注：用数字作答）15. 若R y x ∈,，设y x y xy x M +-+-=2232，则M 的最小值为_____.16. 设集合{}R a a a x x x A ∈++-=,022＜,{}2＜x x B =.若≠A ∅且B A ⊆,则实数a 的取值范围是______.17. 设抛物线)0(2:2＞p px y C =,A 为抛物线上一点（A 不同于原点O ）,过焦点F 作直线 平行于OA ,交抛物线C 于点Q P ,两点.若过焦点F 且垂直于x 轴的直线交直线OA 于B ,则OB OA FQ FP -∙=____________.三、解答题：（本大题共5个小题，共72分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 18.（本题满分14分）设数列{}12-n a 是首项为1的等差数列，数列{}n a 2是首项为2的等比 数列，数列{}n a 的前n 项和为)(*∈N n S n ，已知2,45343+=+=a a a a S . （I ）求数列{}n a 的通项公式；（II ）比较n S 2与22n n+的大小，并说明理由.19.（本题满分14分）已知箱子中装有标号分别为1,2,3,4,5的五个小球.现从该箱子中取钱， 每次取一个球（无放回，且每球取到的机会均等）.（I ）若连续取两次，求取出的两球上标号都是奇数或都是偶数的概率；（II ）若取出的球的标号为奇数即停止取球，否则继续取，求取出次数X 的分布列和数学 期望)(X E .20.（本题满分15分）如图，在直三棱柱'''-C B A ABC 中， 2=='=AC AA AB ，π32=∠BAC ,点E D ,分别是BC , ''B A 的中点.（I ）求证：//DE 平面''A ACC ； （II ）求二面角'--'C AD B 的余弦值.21.（本题满分15分）设椭圆)0(1:2222＞＞b a b y a x =+ℜ的左顶点)0,2(-A ,离心率23=e ,过点)0,1(G 的直线交椭圆ℜ于C B ,两点，直线AC AB ,分别交直线3=x 于N M ,两点. （I ）求椭圆ℜ的标准方程；（II ）以线段MN 为直径的圆是否过定点，若是，求 出所有定点的坐标；若不是，请说明理由.22.（本题满分14分）设函数)1ln()(+-=x e x f x.（I ）求函数)(x f 的最小值； （II ）已知210x x ＜≤.求证：1)1(ln1212++-x x e e x x ＞；（III ）设)(ln 1)(x f x x xe x g x-+-=，证明：对任意的正实数a ，总能找到实数)(a m ， 使[]a a m g ＜)(成立. 注：e 为自然对数的底数.。
2015年浙江省杭州市高考一模数学试卷(理科)【解析版】
2015年浙江省杭州市高考数学一模试卷（理科）一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．（5分）若sinα＝，则cos（+α）＝（）A．B．﹣C．D．﹣2．（5分）设实数x，y满足不等式组，若z＝x+2y，则z的最大值为（）A．﹣1B．4C．D．3．（5分）若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积是（）A．24cm3B．40cm3C．36cm3D．48cm34．（5分）设a，b∈R，则“2a+2b＝2a+b”是“a+b≥2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）设函数f（x）＝e|lnx|（e为自然对数的底数）．若x1≠x2且f（x1）＝f （x2），则下列结论一定不成立的是（）A．x2f（x1）＞1B．x2f（x1）＝1C．x2f（x1）＜1D．x2f（x1）＜x1f（x2）6．（5分）设P为锐角△ABC的外心（三角形外接圆圆心），＝k（+）（k∈R）．若cos∠BAC＝，则k＝（）A．B．C．D．7．（5分）设F为双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的右焦点，过点F且斜率为﹣1的直线l与双曲线C的两条渐近线分别交于A，B两点，若＝﹣3，则双曲线C的离心率e＝（）A．B．C．D．8．（5分）已知函数f（x）（x∈R）是以4为周期的奇函数，当x∈（0，2）时，f （x）＝ln（x2﹣x+b）．若函数f（x）在区间[﹣2，2]上有5个零点，则实数b 的取值范围是（）A．﹣1＜b≤1B．≤b≤C．﹣1＜b＜1或b＝D．＜b≤1或b＝二、填空题：本大题共7小题，第9至12题每小题6分，第13至15题每题4分，共36分.9．（6分）已知函数y＝sin（2x+）（x∈R），则该函数的最小正周期为，最小值为，单调递减区间为．10．（6分）设函数f（x）＝x2﹣（k+1）x+2（k∈R），则f（）＝；若当x＞0时，f（x）≥0恒成立，则k的取值范围为．11．（6分）设圆C：（x﹣k）2+（y﹣2k+1）2＝1，则圆C的圆心轨迹方程是，若直线l：3x+ty﹣1＝0截圆C所得的弦长与k无关，则t＝．12．（6分）设函数f（x）＝x|x﹣2|，则当x∈（0，2）时，函数f（x）的最大值等于，若x0是函数g（x）＝f（f（x））﹣1的所有零点中的最大值，且x0∈（k，k+1）（k∈Z），则k＝．13．（6分）设实数a1，d为等差数列{a n}的首项和公差．若a6＝﹣，则d的取值范围是．14．（6分）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0），过点G（3p，0）的直线l与抛物线C交于A，B两点（点B在第四象限），O为坐标原点，且∠OBA＝90°，则直线l的斜率k＝．15．（6分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，其中ABCD是正方形，AA1＞AB．设点A到直线B1D的距离和到平面DCB1A1的距离分别为d1，d2，则的取值范围是．三．解答题：本大题共5个题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．（15分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知cos2A+＝2cos A．（1）求角A的大小；（2）若a＝1，求△ABC的周长l的取值范围．17．（15分）已知四边形ABCD是矩形，BC＝kAB（k∈R），将△ABC沿着对角线AC翻折，得到△AB1C，设顶点B1在平面ABCD上的投影为O．（1）若点O恰好落在边AD上，①求证：AB1⊥平面B1CD；②若B1O＝1，AB＞1．当BC取到最小值时，求k的值（2）当k＝时，若点O恰好落在△ACD的内部（不包括边界），求二面角B1﹣AC﹣D的余弦值的取值范围．18．（15分）在直角坐标系xOy中，设点A（﹣1，0），B（1，0），Q为△ABC 的外心．已知+2＝0，OG∥AB．（1）求点C的轨迹Γ的方程（2）设经过f（0，）的直线交轨迹Γ与E，H，直线EH与直线l：y＝交于点M，点P是直线y＝上异于点F的任意一点．若直线PE，PH，PM的斜率分别为k1，k2，k3，问是否存在实数t，使得+＝，若存在，求t 的值；若不存在，说明理由．19．（15分）设数列{a n}的前n项和为S n，若S n+a n＝n（n∈N+）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求证：+++…+＜2．20．（14分）已知实数a＞0，函数f（x）＝（1）若函数f（x）在区间（﹣b，b）（b＞0）上存在最小值，求b的取值范围（2）对于函数f（x），若存在区间[m，n]（n＞m），使{y|y＝f（x），x∈[m，n]}＝[m，n]，求a的取值范围，并写出满足条件的所有区间[m，n]．2015年浙江省杭州市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．（5分）若sinα＝，则cos（+α）＝（）A．B．﹣C．D．﹣【解答】解：∵sinα＝，∴cos（+α）＝﹣sinα＝﹣，故选：B．2．（5分）设实数x，y满足不等式组，若z＝x+2y，则z的最大值为（）A．﹣1B．4C．D．【解答】解：作出不等式对应的平面区域，由z＝x+2y，得y＝﹣，平移直线y＝﹣，由图象可知当直线y＝﹣经过点A时，直线y＝﹣的截距最大，此时z最大．由，得，即A（，），此时z的最大值为z＝+2×＝，故选：C．3．（5分）若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积是（）A．24cm3B．40cm3C．36cm3D．48cm3【解答】解：由该几何体的三视图，知该几何体是具有公共边CD的两个等腰梯形ABCD和A1B1CD组成的几何体，体积的计算，利用分割法，过D，C作DG⊥A1B1，CH⊥A1B1，DE⊥AB，CF⊥AB，则左右四棱锥的底面为矩形，长为4，宽为2，高为3，棱柱的底面三角形，底边为4，高为3，棱柱的高为4，所以它的体积V＝＝×（2×4）×3+（）×4+×（2×4）×3＝8+24+8＝40（cm3）．故选：B．4．（5分）设a，b∈R，则“2a+2b＝2a+b”是“a+b≥2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：若a＝0，b＝3，满足a+b≥2但2a+2b＝1+8＝9，2a+b＝8，则2a+2b ＝2a+b不成立，若2a+2b＝2a+b，则2a+b＝2a+2b，即（2a+b）2≥4（2a+b），解得2a+b≥4或2a+b≤0（舍去），即a+b≥2成立，即“2a+2b＝2a+b”是“a+b≥2”的充分不必要条件，故选：A．5．（5分）设函数f（x）＝e|lnx|（e为自然对数的底数）．若x1≠x2且f（x1）＝f （x2），则下列结论一定不成立的是（）A．x2f（x1）＞1B．x2f（x1）＝1C．x2f（x1）＜1D．x2f（x1）＜x1f（x2）【解答】解：f（x）＝，作出y＝f（x）的图象，若0＜x1＜1＜x2，则f（x1）＝＞1，f（x2）＝x2＞1，则x2f（x1）＞1，则A可能成立；若0＜x2＜1＜x1，则f（x2）＝＞1，f（x1）＝x1＞1，则x2f（x1）＝x2x1＝1，则B可能成立；对于D．若0＜x1＜1＜x2，则x2f（x1）＞1，x1f（x2）＝1，则D不成立；若0＜x2＜1＜x1，则x2f（x1）＝1，x1f（x2）＞1，则D成立．故有C一定不成立．故选：C．6．（5分）设P为锐角△ABC的外心（三角形外接圆圆心），＝k（+）（k∈R）．若cos∠BAC＝，则k＝（）A．B．C．D．【解答】解：如图所示，取BC的中点D，连接PD，AD．则PD⊥BC，，∵满足＝k（+）（k∈R∴，∴A，P，D三点共线，∴AB＝AC．∴cos∠BAC＝cos∠DPC＝＝＝．∴．∴，解得k＝．故选：A．7．（5分）设F为双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的右焦点，过点F且斜率为﹣1的直线l与双曲线C的两条渐近线分别交于A，B两点，若＝﹣3，则双曲线C的离心率e＝（）A．B．C．D．【解答】解：设F（c，0），则过双曲线：﹣＝1（a＞0，b＞0）的右焦点F作斜率为﹣1的直线为：y＝﹣（x﹣c），而渐近线的方程是：y＝x，由得：B（，﹣），由得，A（，），＝（，﹣），＝（，﹣），由＝﹣3，则＝﹣3•，即有b＝a，则c＝＝a，则e＝＝．故选：D．8．（5分）已知函数f（x）（x∈R）是以4为周期的奇函数，当x∈（0，2）时，f （x）＝ln（x2﹣x+b）．若函数f（x）在区间[﹣2，2]上有5个零点，则实数b 的取值范围是（）A．﹣1＜b≤1B．≤b≤C．﹣1＜b＜1或b＝D．＜b≤1或b＝【解答】解：由题意知，f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（0）＝0，即0是函数f（x）的零点，因为f（x）是定义在R上且以4为周期的周期函数，所以f（﹣2）＝f（2），且f（﹣2）＝﹣f（2），则f（﹣2）＝f（2）＝0，即±2也是函数f（x）的零点，因为函数f（x）在区间[﹣2，2]上的零点个数为5，且当x∈（0，2）时，f（x）＝ln（x2﹣x+b），所以当x∈（0，2）时，x2﹣x+b＞0恒成立，且x2﹣x+b＝1在（0，2）有一解，即或，解得＜b≤1或b＝，故选：D．二、填空题：本大题共7小题，第9至12题每小题6分，第13至15题每题4分，共36分.9．（6分）已知函数y＝sin（2x+）（x∈R），则该函数的最小正周期为π，最小值为﹣，单调递减区间为[k，k]，（k∈Z）．【解答】解：∵函数y＝sin（2x+）（x∈R），∴该函数的最小正周期为T＝＝π，最小值为y min＝﹣，单调递减区间满足：，k∈Z，解得：k≤x≤k，k∈Z，∴单调递减区间为[k，k]，（k∈Z）．故答案为：π，﹣，[k，k]，（k∈Z）．10．（6分）设函数f（x）＝x2﹣（k+1）x+2（k∈R），则f（）＝；若当x＞0时，f（x）≥0恒成立，则k的取值范围为（﹣∞，﹣1]．【解答】解：＝；f（x）的对称轴为x＝；（1）若，即k≤﹣1，f（x）在（0，+∞）上单调递增；又f（0）＝2＞0；∴对于任意的x＞0，f（x）≥0恒成立；（2）若，即k＞﹣1，则：f（x）在x＞0时的最小值为f（）＝；∴需成立；解得；综合（1）（2）得k的取值范围为（﹣∞，]．故答案为：，．11．（6分）设圆C：（x﹣k）2+（y﹣2k+1）2＝1，则圆C的圆心轨迹方程是y ＝2x﹣1，若直线l：3x+ty﹣1＝0截圆C所得的弦长与k无关，则t＝﹣．【解答】解：设圆心C（x，y），则x＝k，y＝2k﹣1，消去k可得y＝2x﹣1；直线l：3x+ty﹣1＝0截圆C所得的弦长与k无关，则圆心到直线的距离为定值，∴直线l：3x+ty﹣1＝0与y＝2x﹣1平行，∴﹣＝2，∴t＝﹣．故答案为：y＝2x﹣1；﹣．12．（6分）设函数f（x）＝x|x﹣2|，则当x∈（0，2）时，函数f（x）的最大值等于1，若x0是函数g（x）＝f（f（x））﹣1的所有零点中的最大值，且x0∈（k，k+1）（k∈Z），则k＝2．【解答】解：当x∈（0，2）时，f（x）＝x|x﹣2|＝x（2﹣x）＝﹣（x﹣1）2+1≤1；作函数f（x）＝x|x﹣2|的图象如下，解x|x﹣2|＝1得，x＝1或x＝1+；又∵x0是函数g（x）＝f（f（x））﹣1的所有零点中的最大值，∴f（x0）＝1+；且f（2）＝0＜1+，f（3）＝3＞1+；故k＝2．故答案为：1，2．13．（6分）设实数a1，d为等差数列{a n}的首项和公差．若a6＝﹣，则d的取值范围是（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）．【解答】解：∵实数a1，d为等差数列{a n}的首项和公差，且a6＝﹣，∴（a1+5d）（a1+4d）＝﹣3，即+9a1d+20d2+3＝0；要使方程有实数解，须△＝81d2﹣4（20d2+3）≥0，即d2≥12，解得d≤﹣2，或d≥2；∴d的取值范围是（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）．故答案为：（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）．14．（6分）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0），过点G（3p，0）的直线l与抛物线C交于A，B两点（点B在第四象限），O为坐标原点，且∠OBA＝90°，则直线l的斜率k＝．【解答】解：设直线l：y＝k（x﹣3p），直线OB：y＝﹣x，联立可得B（，﹣）（k＞0），代入y2＝2px可得（﹣）2＝2p×∴k＝．故答案为：．15．（6分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，其中ABCD是正方形，AA1＞AB．设点A到直线B1D的距离和到平面DCB1A1的距离分别为d1，d2，则的取值范围是．【解答】解：设AB＝a，AA1＝b，由AA1＞AB得b＞a，在RT△AB1D中，由三角形面积相等得，点A到直线B1D的距离d1＝＝，连接A1D，过A作AE⊥A1D，由CD⊥平面ADD1A1得，CD⊥AE，又AE⊥A1B，则AE⊥平面DCB1A1，所以AE为点A到平面DCB1A1的距离，则d2＝AE＝＝，所以＝＝，上式分子分母同除以b2得，＝，设t＝，则0＜t＜1，代入上式可得＝，设y＝＝＝＝≥＝1，当且仅当时取等号，此时t＝0，因为0＜t＜1，函数y在（0，1）上是增函数，当t＝1时，y＝＝，所以1＜y＜，∈，故答案为：．三．解答题：本大题共5个题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．（15分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知cos2A+＝2cos A．（1）求角A的大小；（2）若a＝1，求△ABC的周长l的取值范围．【解答】解：（1）cos2A+＝2cos A，即2cos2A﹣1+＝2cos A，即有4cos2A﹣4cos A+1＝0，（2cos A﹣1）2＝0，即cos A＝，（0＜A＜π），则A＝；（2）由正弦定理可得b＝＝＝sin B，c＝＝sin C，则l＝a+b+c＝1+（sin B+sin C），由A＝，B+C＝，则sin B+sin C＝sin B+sin（﹣B）＝sin B+cos B＝sin（B+），即有l＝1+2sin（B+），由于0＜B＜，则＜B+＜，sin（B+）≤1，即有2＜l≤3．则有△ABC的周长l的取值范围为（2，3]．17．（15分）已知四边形ABCD是矩形，BC＝kAB（k∈R），将△ABC沿着对角线AC翻折，得到△AB1C，设顶点B1在平面ABCD上的投影为O．（1）若点O恰好落在边AD上，①求证：AB1⊥平面B1CD；②若B1O＝1，AB＞1．当BC取到最小值时，求k的值（2）当k＝时，若点O恰好落在△ACD的内部（不包括边界），求二面角B1﹣AC﹣D的余弦值的取值范围．【解答】解：（1）①证明：∵点B1在平面ABCD上的射影为O，点O恰好落在边AD上，∴平面AB1D⊥平面ACD，又CD⊥AD，∴CD⊥平面AB1D，∴AB1⊥CD，又∵AB1⊥CB1，∴AB1⊥平面B1CD．②解：作矩形ABMN，使得B 1在MN上，设AB＝x，BC＝y，则NB1＝，∵AB1⊥B1D，∴△ANB1∽△B1MD，∴B1D＝＝，∴y＝B1C＝＝≥2，当且仅当x＝时取等号，y有最小值，k＝；（2）解：作BF⊥AC，交AC于E，交AD于F，当点O恰好落在△ACD的内部（不包括边界），点O恰好在线段EF上，又∵B1E⊥AC，EF⊥AC，∴∠B1EF为二面角B1﹣AC﹣D的平面角∴cos∠B1EF＝∈（0，），故二面角B1﹣AC﹣D的余弦值的取值范围为（0，）．18．（15分）在直角坐标系xOy中，设点A（﹣1，0），B（1，0），Q为△ABC 的外心．已知+2＝0，OG∥AB．（1）求点C的轨迹Γ的方程（2）设经过f（0，）的直线交轨迹Γ与E，H，直线EH与直线l：y＝交于点M，点P是直线y＝上异于点F的任意一点．若直线PE，PH，PM的斜率分别为k1，k2，k3，问是否存在实数t，使得+＝，若存在，求t 的值；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）设C（x，y），+2＝，则G，Q，根据|QA|＝|QC|，可得．（2）当直线EF的斜率不存在时，t＝2．当直线EF的斜率存在时，设斜率为k．则直线EH的方程为y＝kx+，点M的坐标为．把直线方程代入椭圆方程可得，设E（x1，y1），F（x2，y2），P（a，）（a≠0）．则，x1x2＝，∴＝＝，＝，＝．又∵+＝，∴+＝．故存在常数t＝2满足条件．19．（15分）设数列{a n}的前n项和为S n，若S n+a n＝n（n∈N+）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求证：+++…+＜2．【解答】（1）解：当n＝1时，a1+a1＝1，解得．S n+a n＝n，当n≥2时，S n﹣1+a n﹣1＝n﹣1，可得a n+a n﹣a n﹣1＝1，∴，．∴数列{a n﹣1}是等比数列，，∴．（2）证明：∵＝，∴+++…+≤+…+＝＝＜2．∴+++…+＜2．20．（14分）已知实数a＞0，函数f（x）＝（1）若函数f（x）在区间（﹣b，b）（b＞0）上存在最小值，求b的取值范围（2）对于函数f（x），若存在区间[m，n]（n＞m），使{y|y＝f（x），x∈[m，n]}＝[m，n]，求a的取值范围，并写出满足条件的所有区间[m，n]．【解答】解：（1）画出函数f（x）的图象，由图象可得，函数f（x）在区间（﹣b，b）（b＞0）上存在最小值，则最小值为•（﹣a）＝﹣，令﹣x（x﹣a）＝﹣（x＜0），解得x＝﹣，即有＜b≤；（2）当区间[m，n]⊆（﹣∞，0），即为增区间，由﹣x（x﹣a）＝x，可得x＝0，或a﹣，由a﹣＜0，可得0＜a＜．则区间m，n]为[a﹣，0]，再由x（x﹣a）＝x，解得x＝0或a+1，由a﹣≤﹣，解得﹣≤a≤．但a＞0，则有0＜a≤．则区间[m，n]为[a﹣，a+1]．综上可得当0＜a＜时，存在区间[m，n]满足条件．当0＜a＜时，存在三个区间[a﹣，a+1]，[﹣，a+1]，[a﹣，0]满足条件；当a＝时，存在两个区间[a﹣，a+1]，[a﹣，0]满足条件；当＜a＜时，存在一个区间[a﹣，0]满足条件；当a＞时，存在一个区间[﹣，a+1]．。
2015学年浙江省第二次五校联考数学(理科)
2015学年浙江省第二次五校联考数学（理科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分）1. 定义集合{{}2|(),|log (22)x A x f x B y y ====+，则R A C B =（ ）[][)[).(1,).0,1.0,1.0,2A B C D +∞2. ABC ∆的三内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，则“222a b c +<”是“ABC ∆为钝角三角形”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3. 对任意的(0,)2πθ∈，不等式2214|21|sin cos x θθ+≥-恒成立，则实数x 的取值范围是（ ） A.[3,4]- B. [0,2] C. 35[,]22- D. [4,5]-4.已知棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，下列数学命题不正确的是（ ）A. 平面1ACB ‖平面11A C D ；B. 点P 在线段AB 上运动，则四面体111PA B C 的体积不变；C. 与所有12；D. M 是正方体的内切球的球面上的任意一点，N 是1AB C !外接圆的圆周上的任意一点，则||MN 的最.5. 设函数()[](]2sin ,0,|cos |,,2x x f x x x πππ⎧∈⎪=⎨∈⎪⎩，若函数()()g x f x m =-在[]0,2π内恰有4个不同的零点。
则实数m 的取值范围是（ ）()[](]().0,1.1,2.0,1.1,2A B C D6. 已知12,F F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点，以12F F 为直径的圆与双曲线在第一象限的交点为P ，过点P 向x 轴作垂线，垂足为H ，若||PH a =，则此双曲线的离心率为（ ）53..22A B C D7. 已知23tan tan 1,sin 3sin(2)22ααβαβ+==+，则tan()αβ+=（ ）A.43B. 43-C. 23-D.3- 8. 如图，棱长为4的正方体1111ABCD A B C D -，点A 在平面α内，平面ABCD 与平面α所成的二面角为30 ，则顶点1C 到平面α的距离的最大值是（ ）.2(22).2(32).2(31).2(21)A B C D ++++二、填空题（本大题7小题，前4题每题6分，后3题没空4分，共36分）9. 已知空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是__________________ , 体积是_______________10. 若6x π=是函数()sin 2cos2f x x a x =+的一条对称轴，则函数()f x 的最小正周期是______________；函数()f x 的最大值是___________11. 已知数列{}n a 满足1112,1n n na a a a ++==-，则12315a a a a = _____________；设(1)n n nb a =-，数列{}n b 的前n 项和为n S ，则2016S =______________；12. 已知整数,x y 满足不等式4280y x x y x y ≥⎧⎪+>⎨⎪-+>⎩，则2x y +的最大值是___________:22x y +的最小值是________:13. 已知向量,a b 满足： 2||2,,=3a ab b π=<-> ，则a b ⋅ 的取值范围是 ____________;14. 若(1)f x +=*x N ∈，且(1)10f =，则()f x 的表达式是________________________；15. 从抛物线22y x =上的点000(,)(2)A x y x >向圆22(1)1x y -+=引两条切线分别与y 轴交于,B C 两点，则ABC !的面积最小值为 ______________；三、解答题（本大题5小题，共74分）16.（本题满分14分）如图，四边形,60,,ABCD DAB CD AD CB AB ∠=⊥⊥ . （I ） 若2||||2CB CD ==，求ABC !的面积；（II ） 若||||3CB CD += ，求||AC 的最小值.17.（本小题15分）如图（1），,E F 分别是,AC AB 的中点，,26ACB CAB ππ∠=∠=，沿着EF 将AEF !折起，记二面角A EF C--的度数为θ.（I ）当2πθ=时，即得到图（2），求二面角A BF C --的余弦值； （II ）如图（3）中，若AB CF ⊥，求cos θ的值.18.（本题满分15分）设函数2(),()||f x ax bx c g x c x bx a =++=++,对任意的[1,1]x ∈-都有1|()|2f x ≤. （I ）求()|2|f 的最大值；（II ）求证：对任意的[1,1]x ∈-，都有()1g x ≤.19.（本题满分15分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为12，焦点与短轴的两顶点的连线与圆2234x y +=相切. （I ） 求椭圆C 的方程；（II ）过点(1,0)的直线l 与C 相交于,A B 两点，在x 轴上是否存在点N ，使得NA NB ⋅为定值?如果有，求出点N 的坐标及定值；如果没有，请说明理由.20. 已知正项数列{}n a 满足：23333*123....()nn S a a a a n N =++++∈，其中n S 是数列{}n a 的前n 项和； （1）求数列{}n a 的通项公式；（2333322221232111113n a a a a +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫<++++< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.。
2014年浙江省杭州二中高考数学模拟试卷(理科)
2014年浙江省杭州二中高考数学模拟试卷（理科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共10小题，共50.0分)1.设集合A={a，b}，集合B={5，log2（a+3）}，若A∩B={2}，则A∪B等于（）A.{2，5，7}B.{-1，2，5}C.{1，2，5}D.{-7，2，5}【答案】C【解析】解：∵集合A={a，b}，集合B={5，log2（a+3）}，A∩B={2}，∴log2（a+3）=2，解得a=1，∴b=2，∴A∪B={1，2，5}．故选：C．由已知得log2（a+3）=2，解得a=1，由此求出b=2，从而得到A∪B={1，2，5}．本题考查并集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集的性质的合理运用．2.已知函数f（x）=cos2x，若f′（x）是f（x）的导数，则f′（）=（）A. B.- C. D.-【答案】D【解析】解：∵f（x）=cos2x，∴f′（x）=-2sin2x，∴f′（）=-2sin=-．故选：D．先求复合函数的导数，再代入值求即可．本题主要考查了函数的求导公式，属于基础题．3.在的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则展开式中常数项是（）A.15B.20C.30D.120【答案】A【解析】解：∵二项展开式中中间项的二项式系数最大又∵二项式系数最大的项只有第4项∴展开式中共有7项∴n=6展开式的通项为=C6r x12-3r令12-3r=0，r=4，展开式的常数项为T5=C64=15故选A利用二项展开式中中间项的二项式系数最大求出n，再用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为0求出常数项本题考查二项式系数的性质：二项展开式中中间项的二项式系数最大．考查二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具．4.设函数f（x）=tan（ωx+ϕ），（ω＞0），条件P：“f（0）=0”；条件Q：“f（x）为奇函数”，则P是Q的（）A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】解：∵函数f（x）=tan（ωx+ϕ），条件P：“f（0）=0”，∴函数的图象关于原点对称，函数是一个奇函数，当函数是一个奇函数时，函数在原点处不一定有定义，∴不一定存在f（0）=0，∴P是q的充分不必要条件，故选B．函数的图象关于原点对称，函数是一个奇函数，当函数是一个奇函数时，函数在原点处不一定有定义，不一定存在f（0）=0，得到P是q的充分不必要条件．本题考查条件的判断，本题解题的关键是当函数是一个奇函数时，不一定在原点处有定义，所以不一定有函数值等于0，本题是一个基础题．5.设S n是等差数列{a n}的前n项和，S5=3（a2+a8），则的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】解：∵{a n}为等差数列，设首项为a1，公差为d，∴5a1+d=3（a1+d+a1+7d）；∴a1=-14d；∴===；故选D．利用等差数列的通项公式和前n项和公式，将a2、a8、s5用a1和d表示，可得a1、d的关系，进而求出的值．本题考查了等差数列的通项公式和前n项和公式，用到了基本量a1与d，熟记公式是正确解题的关键．6.设O为△ABC的外心，且，则△ABC的内角C=（）A. B. C. D.【答案】B【解析】解：设外接圆的半径为R，∵，∴，∴，∴2R2+2=2R2，∴=0，∴，根据圆心角等于同弧所对的圆周的两倍得：△ABC中的内角C值为=．故选B．由，移项得，再平方得到=0，从而，最后根据圆心角等于同弧所对的圆周的两倍得△ABC中的内角C值．本小题主要考查三角形外心的应用、向量在几何中的应用等基础知识，考查运算求解能力与转化思想．属于基础题．7.如图，已知球O是棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的内切球，则平面ACD1截球O的截面面积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】解：根据题意知，平面ACD1是边长为的正三角形，故所求截面的面积是该正三角形的内切圆的面积，则由图得，△ACD1内切圆的半径是×tan30°=，则所求的截面圆的面积是π××=．故选A．根据正方体和球的结构特征，判断出平面ACD1是正三角形，求出它的边长，再通过图求出它的内切圆的半径，最后求出内切圆的面积．本题考查了正方体和它的内接球的结构特征，关键是想象出截面图的形状，考查了空间想象能力．8.过圆O的直径的三等分点A，B作与直径垂直的直线分别与圆周交E，F，M，N，如果以A，B为焦点的双曲线恰好过E，F，M，N，则该双曲线的离心率是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】解：设圆的直径为6c，则半焦距长为|OB|=c，|BM|=2c∴|MA|==2c∴|MA|-|MB|=（2-2）c=2a∴e==故选A．设圆的直径为6c，则半焦距长为|OB|=c，计算实轴长，即可得到双曲线的离心率．本题考查双曲线的几何性质，解题的关键是确定半焦距与实轴长，属于基础题．9.已知正方形ABCD的边长为6，空间有一点M（不在平面ABCD内）满足|MA|+|MB|=10，则三棱锥A-BCM的体积的最大值是（）A.48B.36C.30D.24【答案】D【解析】解：如图所示，因为三棱锥A-BCM的体积=三棱锥M-ABC的体积，底面△ABC的面积是定值，当高最大时，体积最大；所以，当平面MAB⊥平面ABCD时，过点M作MN⊥AB，则MN⊥平面ABCD，在△MAB中，|MA|+|MB|=10，AB=6，所以，当|MA|=|MB|=5时，高MN最大，且MN===4，所以，三棱锥A-BCM的最大体积为：V A-BCM=V M-ABC=•S△ABC•MN=××6×6×4=24．故选：D．由三棱锥A-BCM的体积=三棱锥M-ABC的体积，底面△ABC的面积一定，高最大时，其体积最大；高由顶点M确定，当平面MAB⊥平面ABCD时，高最大，体积也最大．本题通过作图知，侧面与底面垂直时，得出高最大时体积也最大；其解题的关键是正确作图，得高何时最大．10.设函数f（x）的定义域为D，若存在闭区间[a，b]⊆D，使得函数f（x）满足：①f（x）在[a，b]上是单调函数；②f（x）在[a，b]上的值域是[2a，2b]，则称区间[a，b]是函数f（x）的“和谐区间”．下列结论错误的是（）A.函数f（x）=x2（x≥0）存在“和谐区间”B.函数f（x）=e x（x∈R）不存在“和谐区间”C.函数（x≥0）存在“和谐区间”D.函数（a＞0，a≠1）不存在“和谐区间”【答案】D【解析】解：函数中存在“倍值区间”，则：①f（x）在[a，b]内是单调函数；②或．A．若f（x）=x2（x≥0），若存在“倍值区间”[a，b]，则此时函数单调递增，则由，得，∴，∴f（x）=x2（x≥0）存在“倍值区间”[0，2]，∴A正确．B若f（x）=e x（x∈R），若存在“倍值区间”[a，b]，则此时函数单调递增，则由，得，即a，b是方程e x=2x的两个不等的实根，构建函数g（x）=e x-2x，∴g′（x）=e x-2，∴函数在（-∞，ln2）上单调减，在（ln2，+∞）上单调增，∴函数在x=ln2处取得极小值，且为最小值．∵g（ln2）=2-ln2＞0，∴g（x）＞0，∴e x-2x=0无解，故函数不存在“倍值区间”，∴B正确．C．若函数（x≥0），f′（x）=，若存在“倍值区间”[a，b]⊆[0，1]，则由，得，∴a=0，b=1，即存在“倍值区间”[0，1]，∴C正确．D．若函数（a＞0，a≠1）．不妨设a＞1，则函数在定义域内为单调增函数，若存在“倍值区间”[m，n]，则由，得，即m，n是方程loga（a x-）=2x的两个根，即m，n是方程a2x-a x+=0的两个根，由于该方程有两个不等的正根，故存在“倍值区间”[m，n]，∴D结论错误．故选：D．根据函数中存在“倍值区间”，则：①f（x）在[a，b]内是单调函数；②0或，对四个函数分别研究，从而确定是否存在“倍值区间”即可．本题主要考查与函数性质有点的新定义，涉及的知识点较多，综合性较强，难度较大．二、填空题(本大题共7小题，共28.0分)11.如果复数z=（a∈R）的实部和虚部相等，则zi等于______ ．【答案】-1+i【解析】解：复数z==，∵实部和虚部相等，∴-a=1，a=-1．∴z=1+i，则zi=（1+i）i=i-1．故答案为：-1+i．由复数代数形式的除法运算化简z，由实部和虚部相等求得a，则答案可求．本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．12.各项均为实数的等比数列{a n}的前n项和为S n，若S10=10，S30=70，则S40等于______ ．【答案】150【解析】解：若公比q=1，由S10=10可得S30=30≠70，故公比q≠1，∴S10==10，①S30==70，②②可得=1+q10+q20=7，①解得q10=2，或q10=-3，∵等比数列{a n}的各项均为实数，∴q10=2，代回①式可得=-10∴S40==-10×（1-24）=150故答案为：150．由题意易得公比q≠1，由求和公式可得和q10的方程组，解得代入求和公式可得S40．本题考查等比数列的前n项和，涉及分类讨论的思想和整体的思想，属中档题．13.如图所示算法程序框图中，令a=tan315°，b=sin315°，c=cos315°，则输出结果为______ ．【答案】【解析】解：∵a=tan315°=-1，b=sin315°=-，∴执行第一个选择结构后a=b=sin315°=-，又∵c=cos315°=，∴执行第二个选择结构后a=c=cos315°=，故答案为：分析已知中的算法流程图，我们易得出该程序的功能是计算并输出a，b，c三个变量中的最大值，并输出，利用诱导公式及特殊角的三角函数值，我们分别求出三个变量a，b，c的值，即可得到答案．本题考查的知识点是选择结构，诱导公式，及特殊角的三角函数值，其中根据已知中的框图分析程序的功能是解答本题的关键．14.在△ABC中，A、B、C所对边分别为a、b、c．若，则A= ______ ．【答案】【解析】解：已知等式变形得：1+======-=-，∴cos A=-，则A=．故答案为：已知等式移项后，左边通分并利用同分母分式的加法法则变形，再利用同角三角函数间的基本关系切化弦，整理后利用诱导公式化简，右边利用正弦定理化简，求出cos A的值，即可确定出A的度数．此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．15.已知点P（x，y）满足，设A（3，0），则（O为坐标原点）的最大值为______ ．【答案】2【解析】解：满足的可行域如图所示，又∵，∵，，，，∴由图可知，平面区域内x值最大的点为（2，3）故答案为：2先画出满足的可行域，再根据平面向量的运算性质，对进行化简，结合可行域，即可得到最终的结果．用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数．然后将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解．16.正方体ABCD-A1B1C1D1的12条棱的中点和8个顶点共20个点中，任意两点连成一条直线，其中与直线B1D垂直的直线共有______ 条．【答案】27【解析】解：平面A1BC1与B1D垂直，这样的与B1D垂直的平面（与平面A1BC1平行）有四个，此时与B1D垂直的直线有4条，中点E、F、G、H、M、N所构成的平面与B1D垂直，此时与B1D垂直的直线有条，∴与B1D垂直的直线有4+=27条．故答案为：27．平面A1BC1与B1D垂直，这样的与B1D垂直的平面（与平面A1BC1平行）有四个，此时与B1D垂直的直线有4条，中点E、F、G、H、M、N所构成的平面与B1D垂直，此时与B1D垂直的直线有条，由此能求出结果．本题考查满足条件的直线条数的求法，是中档题，解题时要注意空间思维能力的培养．17.将的图象向右平移2个单位后得曲线C1，将函数y=g（x）的图象向下平移2个单位后得曲线C2，C1与C2关于x轴对称．若的最小值为m且＞，则实数a的取值范围为______ ．【答案】（，2）【解析】解：∵将的图象向右平移2个单位后得曲线C1，∴曲线C1：p（x）=2x-2-，∵曲线C2，C1与C2关于x轴对称，∴曲线C2：q（x）=-2x-2，∵将函数y=g（x）的图象向下平移2个单位后得曲线C2，∴g（x）=-2x-2+2，∴=+-2x-2+2=（）•2x++2，设t=2x，∵2x＞0，∴t＞0，∵函数定义域的端点值取不到，∴如果函数有最值，那么该最值就一定在非端点处取到，也就是说该函数一定不是单调函数，而对于形如y=ax+的函数只有当ab＞0时才是（0，+∞）上的非单调函数，∴（-）（4a-1）＞0，解得a＜0或＜a＜4，当a＜0时，变量t的两个系数都为负数，此时F（x）只有最大值，不合题意．当＜a＜4时，t的两个系数都为正数，并且t也为正数，∴可以用基本不等式：F（x）≥2+2，∵的最小值为m且＞，∴m=2+2＞2+，联立＜a＜4，解得：＜a＜2．综上所述：实数a的取值范围为（，2）．故答案为：（，2）．根据C1推出C2，由C2推出g（x），再算出F（x）=（）•2x++2，设t=2x，利用非单调函数取最值的性质和均值定理能求出实数a的取值范围．本题考查函数中参数的取值范围的求法，涉及到函数图象的对称性、函数的单调性、函数的最值、均值定理等知识点，综合性强，难度大，解题时要注意等价转化思想的合理运用．三、解答题(本大题共5小题，共72.0分)18.已知函数＞的最大值为2．（1）求函数f（x）在[0，π]上的单调递减区间；（2）△ABC中，，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且C=60°，c=3，求△ABC的面积．【答案】解：（1）f（x）=msinx+cosx=sin（x+θ）（其中sinθ=，cosθ=），∴f（x）的最大值为，∴=2，又m＞0，∴m=，∴f（x）=2sin（x+），令2kπ+≤x+≤2kπ+（k∈Z），解得：2kπ+≤x≤2kπ+（k∈Z），则f（x）在[0，π]上的单调递减区间为[，π]；（2）设△ABC的外接圆半径为R，由题意C=60°，c=3，得====2，化简f（A-）+f（B-）=4sin A sin B，得sin A+sin B=2sin A sin B，由正弦定理得：+=2×，即a+b=ab①，由余弦定理得：a2+b2-ab=9，即（a+b）2-3ab-9=0②，将①式代入②，得2（ab）2-3ab-9=0，解得：ab=3或ab=-（舍去），则S△ABC=absin C=．【解析】（1）将f（x）解析式利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由正弦函数的值域表示出f（x）的最大值，由已知最大值为2列出关于m的方程，求出方程的解得到m的值，进而确定出f（x）的解析式，由正弦函数的递减区间为[2kπ+，2kπ+]（k∈Z），列出关于x的不等式，求出不等式的解集即可得到f（x）在[0，π]上的单调递减区间；（2）由（1）确定的f（x）解析式化简f（A-）+f（B-）=4sin A sin B，再利用正弦定理化简，得出a+b=ab①，利用余弦定理得到（a+b）2-3ab-9=0②，将①代入②求出ab的值，再由sin C的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积．此题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，两角和与差的正弦函数公式，以及正弦函数的单调性，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．19.袋中有1个白球和4个黑球，且球的大小、形状都相同．每次从其中任取一个球，若取到白球则结束，否则，继续取球，但取球总次数不超过k次（k≥5）．（Ⅰ）当每次取出的黑球不再放回时，求取球次数ξ的数学期望与方差；（Ⅱ）当每次取出的黑球仍放回去时，求取球次数η的分布列与数学期望．【答案】解：（Ⅰ）当每次取出的黑球不再放回时，ξ的可能取值为1，2，3，4，5，由题意知知，，，，，．∴，．（Ⅱ）当每次取出的黑球仍放回去时，直到取球k次结束，η的可能取值是1，2，…，k，所求概率分布列为∴，上述两式相减，整理得．【解析】（Ⅰ）当每次取出的黑球不再放回时，ξ的可能取值为1，2，3，4，5，由题意知知，，，，，．由此能求出取球次数ξ的数学期望与方差．（Ⅱ）当每次取出的黑球仍放回去时，直到取球k次结束，η的可能取值是1，2，…，k，由此能求出取球次数η的分布列与数学期望．本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，是中档题，在历年高考中都是必考题型．20.如图，四面体ABCD中，O是BD的中点，△ABD和△BCD均为等边三角形，，．（I）求证：AO⊥平面BCD；（Ⅱ）求二面角A-BC-D的余弦值；（Ⅲ）求O点到平面ACD的距离．【答案】解法一：（I）证明：连接OC，△ABD为等边三角形，O为BD的中点，∴AO⊥BD，∵△ABD和△CBD为等边三角形，O为BD的中点，，，∴．在△AOC中，∵AO2+CO2=AC2，∴ AOC=90°，即AO⊥OC．∵BD∩OC=0，AD⊥面BCD．（Ⅱ）过O作OE⊥BC于E，连接AE，∵AO⊥平面BCD，∴AE在平面BCD上的射影为OE∴AE⊥BC∴ AEO为二面角A-BC-D的平角．在R t△AEO中，，，，∴二面角A-BC-D的余弦值为（Ⅲ）解：设点O到平面ACD的距离为h，∵V O-ACD=V A-OCD，∴在△ACD中，，，而，，∴，∴点O到平面ACD的距离为．解法二：（I）同解法一．（Ⅱ）解：以O为原点，如图建立空间直角坐标系，则，，，，，，，，，，，，，∵AO⊥平面BCD，∴平面BCD的法向量，，设平面ABC的法向量，，，，，，，，由，，设与夹角为θ，则∴二面角A-BC-D的余弦值为．（Ⅲ）解：设平面ACD的法向量为，，，又，，，，，，，设与夹角为θ，则设O到平面ACD的距离为h，∵，∴O到平面ACD的距离为．【解析】（I）连接OC，由已知中O是BD的中点，△ABD和△BCD均为等边三角形，，，根据等腰三角形“三线合一”及勾股定理，可分别证得AO⊥BD，AO⊥OC，结合线面垂直的判定定理即可得到AO⊥平面BCD；（Ⅱ）法一：过O作OE⊥BC于E，连接AE，则 AEO为二面角A-BC-D的平角，解三角形AEO即可得到二面角A-BC-D的余弦值；法二：以O为原点，建立空间直角坐标系，分别求出平面ABC与平面BCD的法向量，代入向量夹角公式即可得到二面角A-BC-D的余弦值；（Ⅲ）法一：设点O到平面ACD的距离为h，根据V O-ACD=V A-OCD，分别求出三棱锥的体积和底面ACD的面积，即可得到O点到平面ACD的距离；法二：求出平面ACD的法向量，代入公式，即可得到O点到平面ACD的距离．本题考查的知识点是用空间向量求平面间的夹角，直线与平面垂直的判定，点到平面的距离，其中解法一（几何法）中要熟练掌握空间线线垂直，线面垂直之间的相互转化，及棱锥体积的转化；解法二（向量法）的关键是建立适当的坐标系，将二面角问题及点到平面的距离问题转化为向量问题．21.给定椭圆C：=1（a＞b＞0），称圆心在原点O，半径为的圆是椭圆C的“准圆”．若椭圆C的一个焦点为，，其短轴上的一个端点到F的距离为．（Ⅰ）求椭圆C的方程和其“准圆”方程．（Ⅱ）点P是椭圆C的“准圆”上的一个动点，过点P作直线l1，l2，使得l1，l2与椭圆C都只有一个交点，且l1，l2分别交其“准圆”于点M，N．①当P为“准圆”与y轴正半轴的交点时，求l1，l2的方程；②求证：|MN|为定值．【答案】解：（I）因为，，所以b=1所以椭圆的方程为，准圆的方程为x2+y2=4．（II）（1）因为准圆x2+y2=4与y轴正半轴的交点为P（0，2），设过点P（0，2），且与椭圆有一个公共点的直线为y=kx+2，所以，消去y，得到（1+3k2）x2+12kx+9=0，因为椭圆与y=kx+2只有一个公共点，所以△=144k2-4×9（1+3k2）=0，解得k=±1．所以l1，l2方程为y=x+2，y=-x+2．（2）①当l1，l2中有一条无斜率时，不妨设l1无斜率，因为l1与椭圆只有一个公共点，则其方程为或，当l1方程为时，此时l1与准圆交于点，，，，此时经过点，（或，）且与椭圆只有一个公共点的直线是y=1（或y=-1），即l2为y=1（或y=-1），显然直线l1，l2垂直；同理可证l1方程为时，直线l1，l2垂直．②当l1，l2都有斜率时，设点P（x0，y0），其中x02+y02=4，设经过点P（x0，y0）与椭圆只有一个公共点的直线为y=t（x-x0）+y0，则，消去y得到x2+3（tx+（y0-tx0））2-3=0，即（1+3t2）x2+6t（y0-tx0）x+3（y0-tx0）2-3=0，△=[6t（y0-tx0）]2-4•（1+3t2）[3（y0-tx0）2-3]=0，经过化简得到：（3-x02）t2+2x0y0t+1-y02=0，因为x02+y02=4，所以有（3-x02）t2+2x0y0t+（x02-3）=0，设l1，l2的斜率分别为t1，t2，因为l1，l2与椭圆都只有一个公共点，所以t1，t2满足上述方程（3-x02）t2+2x0y0t+（x02-3）=0，所以t1•t2=-1，即l1，l2垂直．综合①②知：因为l1，l2经过点P（x0，y0），又分别交其准圆于点M，N，且l1，l2垂直，所以线段MN为准圆x2+y2=4的直径，所以|MN|=4．【解析】（I）由椭圆的方程与准圆的方程关系求得准圆的方程（II）（1）由准圆x2+y2=4与y轴正半轴的交点为P（0，2），设椭圆有一个公共点的直线为y=kx+2，与准圆方程联立，由椭圆与y=kx+2只有一个公共点，求得k．从而得l1，l2方程（2）分两种情况①当l1，l2中有一条无斜率和②当l1，l2都有斜率处理．本题主要考查直线与曲线的位置关系，通过情境设置，拓展了圆锥曲线的应用范围，同时渗透了其他知识，考查了学生综合运用知识的能力．22.已知函数（其中n为常数，n∈N*），将函数f n（x）的最大值记为a n，由a n构成的数列{a n}的前n项和记为S n．（Ⅰ）求S n；（Ⅱ）若对任意的n∈N*，总存在x∈R+使，求a的取值范围；（Ⅲ）比较与a n的大小，并加以证明．【答案】解：（Ⅰ）′，（2分）令f n′（x）＞0，则x＜e n+1-n．∴f n（x）在（-n，e n+1-n）上递增，在（e n+1-n，+∞）上递减．（4分）∴当x=e n+1-n时，（5分）即，则．（6分）（Ⅱ）∵n≥1，∴e n+1递增，n（n+1）递增，∴递减．∴＜，即，（8分）令，则′，∴g（x）在（0，1）上递增，在（1，+∞）上递减．当x→0时，；当x→+∞时，＞；又g（1）=1+a，∴g（x）∈（a，1+a]（10分）由已知得，（a，1+a]⊇，，∴（11分）（Ⅲ）===（12分）令，∵，′在[1，+∞）上递减．∴＜，即，（13分）又，′＞＞（14分）∴＞∴＞（15分）【解析】（Ⅰ）′，令f n′（x）＞0，则x＜e n+1-n．所以f n（x）在（-n，e n+1-n）上递增，在（e n+1-n，+∞）上递减．由此能求出S n．（Ⅱ）由n≥1，知e n+1递增，n（n+1）递增，递减．所以，，令，则′，故g（x）在（0，1）上递增，在（1，+∞）上递减．由此入手能够求出a的取值范围．（Ⅲ）作差相减，得，整理为，令，能够推导出＞．本题考查导数在函数最值中的应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，易出错．解题时要认真审题，仔细解答，注意培养运算能力，注意作差法的合理运用．。
浙江省杭州市五校联盟高二数学统测模拟考试卷理
2015年杭州市高二年级教学质量检测数学试题卷（理科）考生须知：1.本试卷分试题卷和答题卷，满分100分，考试时间90分钟。
2.答题前，在答题卷上相应位置填写学校、姓名和准考证号，并用2B 铅笔将会考号对应选项涂黑。
3.所有答案必须写在答题卷上，写在试题卷上无效。
4.考试结束，只需上交答题卷。
一、选择题（共10题，每题3分，共30分）1．已知全集 {}{},|0,|1U R A x x B x x ==≤=>-，则集合（ ）A ．{}|10x x -<≤B ．{}|10x x -≤≤C ．{}|10x x x ≤-≥或D ．{}|10x x x ≤->或2．已知集合{}{}240,5M x x x N x m x =-<=<<，若{}3M N x x n⋂=<<，则m n +等于A.9B.8C.7D.64．定义在R 上的函数()f x ，若对任意12x x ≠，都有11221221()()()()x f x x f x x f x x f x +>+，则称f （x ）为“H 函数”，给出下列函数： ①31y x x =-++； ②32(sin cos )y x x x =--； ③1x y e =+； ④ln ||,0,()0,0.x x f x x ≠⎧=⎨=⎩其中是“H 函数”的个数为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．15．设y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≥-≤--0,00023y x y x y x ，若目标函数 )0(2>+=m y m x z 的最大值为2，则)3sin(π+=mx y 的图 象向右平移6π后的表达式为A.)62sin(π+=x y B.)6sin(π+=x y C.x y 2sin = D.)322sin(π+=x y 6．在△ABC 中，点G 是△ABC 的重心，若存在实数,λμ，使A G A B A C λμ=+，则（ ） （A ）11,33λμ== （B ）21,33λμ== （C ）12,33λμ== （D ）22,33λμ==7．已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，且1313,,a a a 成等比数列，若11,n a S =是数列{}n a 的前n 项的和，则*216()3n n S n N a +∈+的最小值为 （ ）A ．4B ．3 C．2 D ．928．若实数,x y 满足不等式组22000x y x y m y ++≥⎧⎪++≤⎨⎪≥⎩，且2z y x =-的最小值等于2-，则实数m 的值等于（ ）A ．1-B ．1C ．2-D ． 29．设1F 、2F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=＞＞的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点P ，满足212PF F F =，且2F 到直线1PF 的距离等于双曲线的实轴长，则双曲线的离心率为（ ） A ．43 B ．53C ．54 D ．2 10．三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面垂直，11AA AB AC ===，AB AC ⊥，N 是BC 的中点，点P 在11A B 上，且满足111A P A B λ=，直线PN 与平面ABC 所成角θ的正切值取最大值时λ的值为（ ） A.12B.2二、填空题（共8题，每题3分，共24分）11． 已知函数⎩⎨⎧-=22)(xx x f )0()0(<≥x x ， 若对任意的]2,[+∈t t x ，不等式)(2)(x f t x f ≥+恒成立，则实数t 的取值范围是 ．12．对于函数[]sin ,0,2()1(2),(2,)2x x f x f x x π⎧∈⎪=⎨-∈+∞⎪⎩，有下列4个结论：①任取[)120,x x ∈+∞、，都有12()()2f x f x -≤恒成立； ②()2(2)f x kf x k =+*()k ∈N ，对于一切[)0,x ∈+∞恒成立；③函数()ln(1)y f x x =--有3个零点； ④对任意0x >，不等式2()f x x≤恒成立． 则其中所有正确结论的序号是 ．13．已知函数21()sin sin cos 2f x x x x =+-，下列结论中：①函数()f x 关于8x π=对称；②函数()f x 关于（8π-，0）对称；③函数()f x 在（0，8π）是增函数，④将cos 22y x =的图像向右平移38π可得到()f x 的图像．其中正确的结论序号为 ． 14．如图，已知ABC ∆中，4A B A C ==，90BAC ∠=，D 是BC 的中点，若向量14AM AB m AC =+⋅，且AM 的终点M 在ACD ∆的内部（不含边界），则AM BM ⋅的取值范围是 ．15．数列{}n a 的通项222(cossin )33n n n a n ππ=-，其前n 项和为n S ，则30S 为_______. 16．设1m >，在约束条件1y xy mx x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+≤⎩下，目标函数z x my =+的最大值等于2，则m = .17．已知正方形A B C D 的边长为8，空间有一点M （不在平面A B C D 内）满足||||10MA MB +=，则三棱锥M ABC -的体积的最大值是___________．18．已知椭圆的左焦点为1F ，右焦点为2F .若椭圆上存在一点P ，满足线段2PF 相切于以椭圆的短轴为直径的圆，切点为线段2PF 的中点，则该椭圆的离心率为 ．三、解答题（共4题，第一题10分，后三题每题12分，共46分） 19．（本小题满分10分） 设函数22()log (4)log (2)f x x x =⋅,144x ≤≤, （1）若x t 2log =,求t 取值范围;（2）求()f x 的最值，并给出最值时对应的x 的值。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2015年杭州市高二年级教学质量检测
数学试题卷（理科）
考生须知：
1.本试卷分试题卷和答题卷，满分100分，考试时间90分钟。
2.答题前，在答题卷上相应位置填写学校、姓名和准考证号，并用2B 铅笔将会考号对应选项涂黑。
3.所有答案必须写在答题卷上，写在试题卷上无效。
4.考试结束，只需上交答题卷。
一、选择题（共10题，每题3分，共30分）
1．已知全集 {}{},|0,|1U R A x x B x x ==≤=>-，则集合
（ ）
A ．{}|10x x -<≤
B ．{}|10x x -≤≤
C ．{}|10x x x ≤-≥或
D ．{}
|10x x x ≤->或
2．已知集合{}{}
2
40,5M x x x N x m x =-<=<<，若{}
3M N x x n ⋂=<<，则m n +等于
A.9
B.8
C.7
D.6
4．定义在R 上的函数()f x ，若对任意12x x ≠，都有11221221()()()()x f x x f x x f x x f x +>+，则称f （x ）为“H 函数”，给出下列函数： ①31y x x =-++； ②32(sin cos )y x x x =--； ③1x y e =+； ④ln ||,0,
()0,0.x x f x x ≠⎧=⎨=⎩
其中是“H 函数”的个数为（ ）
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
5．设y x ,满足约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≥≥≥-≤--0
,000
23y x y x y x ，若目标函数 )0(2>+=m y m x z 的最大值为2，则
)3
sin(π
+
=mx y 的图 象向右平移6
π
后的表达式为 A.)6
2sin(π
+
=x y B.)6sin(π
+
=x y C.x y 2sin = D.)3
22sin(π+=x y 6．在△ABC 中，点G 是△ABC 的重心，若存在实数,λμ，使AG AB AC λμ=+，则（ ）
（A ）11,33λμ=
= （B ）21,33λμ== （C ）12,33λμ== （D ）22
,33
λμ==
7．已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，且1313,,a a a 成等比数列，若11,n a S =是数列{}n a 的前n 项的
和，则
*216
()3
n n S n N a +∈+的最小值为 （ ） A ．4 B ．3 C
．2 D ．
92
8．若实数,x y 满足不等式组22000x y x y m y ++≥⎧⎪
++≤⎨⎪≥⎩
，且2z y x =-的最小值等于2-，则实数m 的值等于
（ ）
A ．1-
B ．1
C ．2-
D ． 2
9．设1F 、2F 分别为双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=＞＞的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点P ，
满足212PF F F =，且2F 到直线1PF 的距离等于双曲线的实轴长，则双曲线的离心率为（ ） A ．
43 B ．53
C ．5
4 D ．2 10．三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面垂直，11AA AB AC ===，AB AC ⊥，N 是BC 的中点，点P 在11A B 上，且满足111A P A B λ=，直线
PN 与平面ABC 所成角θ的正切值取最大值时λ的值为（ ） A.
1
2
二、填空题（共8题，每题3分，共24分）
11． 已知函数⎩
⎨⎧-=22)(x x x f )0()
0(<≥x x ， 若对任意的]2,[+∈t t x ，不等式)(2)(x f t x f ≥+恒成立，则实
数t 的取值范围是 ．
12．对于函数[]sin ,0,2()1(2),(2,)2
x x f x f x x π⎧∈⎪
=⎨-∈+∞⎪⎩，有下列4个结论：
①任取[)120,x x ∈+∞、，都有12()()2f x f x -≤恒成立； ②()2(2)f x kf x k =+*
()k ∈N ，对于一切[)0,x ∈+∞恒成立；
③函数()ln(1)y f x x =--有3个零点； ④对任意0x >，不等式2
()f x x
≤
恒成立． 则其中所有正确结论的序号是 ．
13．已知函数2
1
()sin sin cos 2
f x x x x =+-
，下列结论中：①函数()f x 关于8x π=对称；②函数
()f x 关于（8
π
-
，0）对称；③函数()f x 在（0，
8
π
）是增函数，④将22y x =的图像向右
平移
38
π
可得到()f x 的图像．其中正确的结论序号为 ． 14．如图，已知ABC ∆中，4A B A C ==，90BAC ∠=，D 是BC 的中点，若向量
14
A M A
B m A
C =+⋅，且AM 的终点M 在AC
D ∆的内部（不含边界），则AM BM ⋅的取值范围
是 ．
15．数列{}n a 的通项22
2(cos
sin )33
n n n a n ππ=-，其前n 项和为n S ，则30S 为_______. 16．设1m >，在约束条件1y x
y mx x y ≥⎧⎪
≤⎨⎪+≤⎩
下，目标函数z x my =+的最大值等于2，则m = .。