2016-2017学年高中数学人教B版必修5学业分层测评11 等差数列前n项和的综合应用 Word版含解析

学业分层测评(十一)
等差数列前n 项和的综合应用
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．等差数列前n 项和为S n ，若a 3＝4，S 3＝9，则S 5－a 5＝( )
A ．14
B.19 C ．28 D.60
【解析】 在等差数列{a n }中，a 3＝4，S 3＝3a 2＝9，∴a 2＝3，S 5－a 5＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝2(a 2＋a 3)＝2×7＝14.
【答案】 A
2．等差数列{a n }的前n 项和记为S n ，若a 2＋a 4＋a 15的值为确定的常数，则下列各数中也是常数的是( )
A ．S 7
B ．S 8
C ．S 13 D.S 15
【解析】 a 2＋a 4＋a 15＝a 1＋d ＋a 1＋3d ＋a 1＋14d ＝3(a 1＋6d )＝3a 7＝3×a 1＋a 132＝313×13(a 1＋a 13)2
＝313S 13. 于是可知S 13是常数．
【答案】 C
3．已知等差数列的前n 项和为S n ，若S 13<0，S 12>0，则此数列中绝对值最小的项为( )
A ．第5项
B ．第6项
C ．第7项 D.第8项
【解析】 由⎩⎪⎨⎪⎧ S 12＝12a 1＋66d >0，S 13＝13a 1＋78d <0，得⎩⎨⎧ a 1＋112d >0，a 1＋6d <0，
所以⎩⎨⎧ a 7<0，
a 6>－d 2，
故|a 6|>|a 7|.
【答案】 C 4．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝36，则a 7＋a 8＋a 9等于
( )
A ．63
B ．45
C ．36 D.27
【解析】 ∵a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6，而由等差数列的性质可知，S 3，S 6－S 3，S 9－S 6构成等差数列，所以S 3＋(S 9－S 6)＝2(S 6－S 3)，即S 9－S 6＝2S 6－3S 3＝2×36－3×9＝45.
【答案】 B
5．含2n ＋1项的等差数列，其奇数项的和与偶数项的和之比为( ) A.2n ＋1n
B.n ＋1n
C.n －1n
D.n ＋12n
【解析】 ∵S 奇＝a 1＋a 3＋…＋a 2n ＋1＝(n ＋1)(a 1＋a 2n ＋1)2
，S 偶＝a 2＋a 4＋…＋a 2n ＝n (a 2＋a 2n )2.又∵a 1＋a 2n ＋1＝a 2＋a 2n ，∴S 奇S 偶
＝n ＋1n .故选B. 【答案】 B
二、填空题
6．已知等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和，已知S 3＝9，a 4＋a 5＋a 6＝7，则S 9－S 6＝________. 【导学号：33300061】
【解析】 ∵S 3，S 6－S 3，S 9－S 6成等差数列，而S 3＝9，S 6－S 3＝a 4＋a 5＋a 6
＝7，∴S 9－S 6＝5.
【答案】 5
7．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－9n ，第k 项满足5<a k <8，则k ＝________.
【解析】 ∵a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧
S 1，(n ＝1)，
S n －S n －1，(n ≥2)，
∴a n ＝2n －10.由5<2k －10<8，
得7.5<k <9，∴k ＝8.
【答案】 8
8．首项为正数的等差数列的前n 项和为S n ，且S 3＝S 8，当n ＝________时，S n 取到最大值．
【解析】 ∵S 3＝S 8，∴S 8－S 3＝a 4＋a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝5a 6＝0，∴a 6＝0，∵a 1>0， ∴a 1>a 2>a 3>a 4>a 5>a 6＝0，a 7<0.
故当n ＝5或6时，S n 最大．
【答案】 5或6
三、解答题
9．已知等差数列{a n }中，a 1＝9，a 4＋a 7＝0.
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)当n 为何值时，数列{a n }的前n 项和取得最大值？
【解】 (1)由a 1＝9，a 4＋a 7＝0，
得a 1＋3d ＋a 1＋6d ＝0，解得d ＝－2，
∴a n ＝a 1＋(n －1)·d ＝11－2n .
(2)法一 a 1＝9，d ＝－2，
S n ＝9n ＋n (n －1)2·(－2)＝－n 2＋10n
＝－(n －5)2＋25，
∴当n ＝5时，S n 取得最大值．
法二 由(1)知a 1＝9，d ＝－2<0，∴{a n }是递减数列．
令a n ≥0，则11－2n ≥0，解得n ≤112.
∵n ∈N *，∴n ≤5时，a n >0，n ≥6时，a n <0.
∴当n ＝5时，S n 取得最大值．
10．若等差数列{a n }的首项a 1＝13，d ＝－4，记T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |，求T n . 【导学号：33300062】
【解】 ∵a 1＝13，d ＝－4，∴a n ＝17－4n .
当n ≤4时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a n
＝na 1＋n (n －1)2d ＝13n ＋n (n －1)2×(－4)
＝15n －2n 2；
当n ≥5时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |
＝(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)－(a 5＋a 6＋…＋a n )
＝S 4－(S n －S 4)＝2S 4－S n
＝2×(13＋1)×42
－(15n －2n 2) ＝2n 2－15n ＋56.
∴T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧
15n －2n 2，(n ≤4)，
2n 2－15n ＋56，(n ≥5). [能力提升]
1．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 4＝40，S n ＝210，S n －4＝130，则n ＝( )
A ．12
B ．14
C ．16 D.18
【解析】 S n －S n －4＝a n ＋a n －1＋a n －2＋a n －3＝80，
S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝40，
所以4(a 1＋a n )＝120，a 1＋a n ＝30，
由S n ＝n (a 1＋a n )2
＝210，得n ＝14. 【答案】 B
2．(2015·海淀高二检测)若数列{a n }满足：a 1＝19，a n ＋1＝a n －3(n ∈N *)，则数列{a n }的前n 项和数值最大时，n 的值为( )
A ．6
B ．7
C ．8 D.9
【解析】 因为a n ＋1－a n ＝－3，所以数列{a n }是以19为首项，－3为公差的等差数列，所以a n ＝19＋(n －1)×(－3)＝22－3n .设前k 项和最大，则有⎩⎪⎨⎪⎧ a k ≥0，
a k ＋1≤0，
所以⎩⎪⎨⎪⎧
22－3k ≥0，22－3(k ＋1)≤0，
所以193≤k ≤223. 因为k ∈N *，所以k ＝7.
故满足条件的n 的值为7.
【答案】 B
3．(2015·潍坊高二检测)设项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为33，则这个数列的中间项是________，项数是________．
【解析】 设等差数列{a n }的项数为2n ＋1，
S 奇＝a 1＋a 3＋…＋a 2n ＋1
＝(n ＋1)(a 1＋a 2n ＋1)2
＝(n ＋1)a n ＋1，
S 偶＝a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2n ＝n (a 2＋a 2n )2
＝na n ＋1，
所以S 奇S 偶
＝n ＋1n ＝4433， 解得n ＝3，所以项数2n ＋1＝7，
S 奇－S 偶＝a n ＋1，
即a 4＝44－33＝11为所求中间项．
【答案】 11 7
4．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{a n }为等差数列，a 1＝12，d ＝－2.
(1)求S n ，并画出{S n }(1≤n ≤13)的图象；
(2)分别求{S n }单调递增、单调递减的n 的取值范围，并求{S n }的最大(或最小)的项；
(3){S n }有多少项大于零？
【解】 (1)S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝12n ＋n (n －1)2×(－2)＝－n 2＋13n .图象如图．
(2)S n ＝－n 2
＋13n ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫n －1322＋1694，n ∈N *， ∴当n ＝6或7时，S n 最大；当1≤n ≤6时，{S n }单调递增；当n ≥7时，{S n }单调递减．
{S n }有最大值，最大项是S 6，S 7，S 6＝S 7＝42.
(3)由图象得{S n }中有12项大于零．。