2.2.2直线与圆的位置关系
直线与圆的位置关系
2.2.2直线与圆的位置关系﹝2）学习目标：1.明确直线与圆的位置关系自主回顾1. 直线和圆的位置关系中常见问题及解决方法：（1） 求直线和圆的公共点：（2） 待定系数法求切线问题：（3） 求弦长问题：2．问题热身斜率为1-的直线l 平分圆02422=+-+y x y x 的周长，求直线l 的方程.3.问题解决221C (1)4A B AB=.y +-=问题：若直线l:x-y+c=0和圆：（x-2)相较于、两点.(1)求c 的取值范围; (2)若c 的值自我总结：是何种问题类型？ ；问题2：已知一个圆经过直线042:=++y x l 与圆0142:22=+-++y x y x C 的两个交点，并且有最小面积，求此圆的方程..自我总结：是何种问题类型？ ；问题3：已知P 是直线3x ＋4y ＋8＝0上的动点，P A 、PB 是圆C ：x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的两条切线，A 、B 是切点．(1)求四边形P ACB 面积的最小值；(2)直线上是否存在点P ，使∠BP A ＝60°，若存在，求出P 点的坐标；若不存在，说明理由．问题4：圆25)2()1(:22=-+-y x C ，直047)1()12(:=--+++m y m x m l )(R m ∈（1）证明：不论m 取什么实数，直线l 与圆恒交于两点；（2）求直线被圆C 截得的弦长最小时l 的方程.自我总结：是何种问题类型？ ； 自我总结：对于较复杂问题如何处理？2.2.2直线与圆的位置关系﹝2）（自主反馈）1． 直线x ＋3y －2＝0与圆x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，则弦AB 的长度等于___ _____．2、直线3440x y +=被圆22100x y +=截得的弦长等于___ _____．3、若直线1ax by +=与圆221x y +=相离，则点(,)P a b 和圆的位置关系是________．4、过圆224x y +=上一点P (1的圆的切线的方程是______ __．5、圆822=+y x 内有一点)2,1(-P ，AB 为过点P 的弦，则（1）弦AB 最长直线的方程是______ __； （2）弦AB 最短直线的方程是______ __.6、求过（5，5）且与圆22(2)(1)25x y -+-=相切的直线方程.7、已知圆C 过点(1,0)，且圆心在x 轴的正半轴上，直线l ：y ＝x －1被该圆所截得的弦长为22，求圆C 的标准方程.9.求圆心在y 轴上，且与直线01234:1=+-y x l ，直线01243:2=--y x l 都相切的圆的方程．10．已知圆C 的方程是222r y x =+，求证：经过圆C 上一点)(00y x M ，的切线方程是200r y y x x =+．11、已知圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝25，直线l ：(2m ＋1)x ＋(m ＋1)y －7m －4＝0(m ∈R )．(1)求证：直线l 与圆相交；(2)当直线l 被圆C 截得弦长最小时，求直线l 的方程．22C 22440().C C -y mx y m m R +--+-=∈8.已知圆的方程为：x （1）试求m 的值，使圆的面积最小；（2）求与满足（1）中条件的圆相切，且过点（1，2）的直线方程.。
2.2.2直线与圆的位置关系2
引方申 程： 为：过_圆x_0xx_+2_+y_y0_y2_==_rr_22上__一. 点p（x0,y0）的切线
过圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0) 的切线方程：
(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.
2.自点A(-1,4)作圆(x-2)2+(y-3)2=1的切线 ,求 切线的长.
拓展：从直线3x+4y+8=0上一点P向圆C:x2+y2-2x-
2y+1=0引切线PA,PB,A、B是切点,则四边形PACB的
周长的最小值为__4___2___2_.
y
3x 4y 8 0
A C
P
B
x
P
题型二 直线与圆相交问题的处理
拓展：已知直线 l 过点P(1,2)且与圆C：x2+y2=2相 交于A,B两点，ABC的面积为1，则直线 l 的方程
为_____.
1.(15广东5)平行于直线2x y 1 0 且与圆C :
x2 y2 5 相切的直线方程是_______.
2.(14江苏9)在平面直角坐标系 xoy 中，直线
3.求直线 x 3y 2 3 0 被圆x2+y2=4所截得的 弦长为2____.
变式1：设直线ax y 3 0 与圆(x-1)2+(y-2)2=4
相交于A,B两点，且弦AB的长为2 3 ，则a =__0__.
变式2：若直线l : x y 2 0 与圆C：x2+y2-2x-6y=0
交于A,B两点，则ABC 的面积为_2__3__.
3.能够通过“数”和“形”的结合，充分利用圆 的几何性质简化运算，培养综合运用知识分 析问题、解决问题的能力(难点).
直线和圆的位置关系.2.2_直线和圆的位置关系yong
2．直线和圆的位置关系 d：弦心距 —— 数量特征 r ：半径
O dr
l 直线 l 和⊙O相交
d<r
O
r
d
直线 l 和⊙O相离
l
O r
d
l
直线 l 和⊙O相切
d=r d>r
2．圆的直径是13cm，如果直线与圆心的距离分别是 （1）4.5cm ； （2） 6.5cm ； （3） 8cm，
那么直线与圆分别是什么位置关系？ 有几个公共点？
3． 已知⊙O的直径为10cm，点O到直线a的
距离为7cm，则⊙O与直线a的位置关系是 __相__离___; 直线a与⊙O的公共点个数是_零___．
4． 直线m上一点A到圆心O的距离等于⊙O的
半径，则直线m与⊙O的位置关系是_相___切__或__相__交__．
已知⊙A的直径为6，点A的坐标为
相（ __离-_3_，_,⊙-4）A与，Y则轴⊙的A位与置X轴关的系位是相置__切关__系__是。
(3) r=2.5cm
知识要点
判定直线与圆的位置关系的方法有__两__种： （1）根据定义，由_直__线___与__圆__的__公__共__点__ 的个数来判断； （2）根据性质，由_圆__心__到__直__线__的__距__离__与__半__径__ 的关系来判断． （在实际应用中，常采用第二种方法判定）
切 线
唯一的公共点叫切点．
直线和圆没有公共点，
．
O
叫做直线和圆相离 ．
l
1.看图判断直线l与 ⊙O的位置关系 基础训练
（1） l
·O
（2）
·O
l
（3）
·O
l
相离 （4）
相交 （5）
2.2.2直线与圆的位置关系
展板、点评要求 (1)要求展示同学字体工整，书写规范，如需
总结规律，请用彩笔； (2)点评同学应做到以下几点：①吐字清晰，
声音洪亮；②要分析解题思路；③若展示 过程有问题请用彩笔标注；④若有不同解 法或需补充总结请用彩笔标注.
3x y 6 0
(1)
解法一：联立方程
40km
30km
80km
【成果展示】
（1）能否用所学的平面几何知识解决这个问题？
（1）解:利用平面几何知识可知， 在 RtAOB 中， OA 80,OB 40 ，
则 AB 40 5 ，设 o 到 AB 的距离为 d ，
则 d OA OB 80 40 = 80 5 >30 ， AB 40 5 5
直线 l 与圆相交，有两个公共点. 由 x2 3x 2 0 ， 解得 x1 2 ， x2 1，代入方程（1），得 y1 0 ； y2 3 ； 直线 l 与圆有两个交点，坐标分别是： A(2, 0), B(1,3) .
【新知应用】
港口
40km 80km / h
台风
中心 36km
（1）
（2）
（3）
现在，如何用直线和圆的方程判断它们之间的 位置关系？
（1）
（2）
（3）
【创设情景】
港口
40km
一个小岛的周围有环岛暗礁， 暗礁分布在以小岛的中心为 圆心，半径为 30km的圆形区 域．已知轮船位于小岛中心 正东 80km处，港口位于小岛 中心正北40km处. 如果轮船 沿直线返港，
2
y
4
0
(2)
消去 y 得： x2 3x 2 0 ，
2.2.2直线和圆的位置关系(2)
d
（几何方法）
A B
2
2
d>r d=r d<r
直线与圆相离 直线与圆相切 直线与圆相交
(2) 利用直线与圆的公共点的个数进行判断：
自学指导：
1、在课本的例2中求圆的切线方程的两种方法各 有什么优点？
2、在课本的例3中求直线被圆截得的弦长的两种方法各 有什么优点？在解法一中能否不求出公共点的坐标？
自学检测：P106页练习 第3题
例 2 自点A 1,4 作圆 x 2 y 3
2
2
1的切线l , 求切线的方程.
作业： P108 习题5、7
思考题：一艘轮船在沿直线返回港口的途中，
接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西 70km处，受影响的范围是半径长为30km的圆形区 域。已知港口位于台风中心正北40km处，如果这 艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影 响？ y
B 港口
.
O
A . 轮船
x
直线和圆的位置关系及判定方法：
位置 关系
相 交
图形
r d
判定方法
几 何特 征 方程特征
几何法 代数法
有两个公共 点
方程组有两 组不同实数 解
d<r
△>0
相 切
பைடு நூலகம்
dr
有且只有 一个公共 点
方程组有 且只有一 组实数解
d=r
△=0
相 离
r
高中数学知识点精讲精析 直线与圆的位置关系
2.2.2直线与圆的位置关系1.直线和圆位置关系的判定方法一是方程的观点，即把圆的方程和直线的方程联立成方程组，利用判别式Δ来讨论位置关系.①Δ＞0，直线和圆相交.②Δ=0，直线和圆相切.③Δ＜0，直线和圆相离.方法二 是几何的观点，即把圆心到直线的距离d 和半径R 的大小加以比较. 设直线：，圆：，圆的半径为，圆心到直线的距离为， ，则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点：①d ＜R ，直线和圆相交.②d =R ，直线和圆相切.③d ＞R ，直线和圆相离.2.直线和圆相切，这类问题主要是求圆的切线方程.求圆的切线方程主要可分为已知斜率k 或已知直线上一点两种情况，而已知直线上一点又可分为已知圆上一点和圆外一点两种情况.3.直线和圆相交，这类问题主要是求弦长以及弦的中点问题.例1．已知直线和圆 有两个交点，则的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ． 答案：D例2 如图，OA.OB.OC 都是⊙O 的半径，∠AOB=2∠BOC ，求证：∠ACB=2∠BAC.证明：l 0=++c by ax C 022=++++F Ey Dx y x r )2,2(E D --d 22B A CBb Aa d +++=k x y +=2422=+y x k 55<<-k 0=k 52>k 5252<<-k例3 如图，⊙O 是直角三角形的直角边AB 为直径的圆ED 与⊙O 切于D ，求证： .证明：连结OD.BD ∵ EB.ED 都是⊙O 的切线 ∴ EB=ED 又EO=EO∠EBO=∠EDO=90° ∴ △EBO ≌△EDO ∴ ∠1=∠2∵ ∠A=∠DOB=∠1，AO=OB ∴ EO CA ∵ OB=OD ，∠1=∠2∴ BD ⊥OE ∴ BD ⊥CA 又 AB ⊥BC ∴ △ABC ∽△BDC∴ 即例4如图，AB 是半圆的直径，E 是上任意一点，过E 作半圆的切线CD ，分别过A ，B 作半圆的切线交CD 于C.D 两点，连结AD ，BC 交于P 点，连结EP 且延长交AB 于F 点，求证：EP=FP .证明：∵ CA.CE 是⊙O 的切线 ∴ CA=CE 同理DE=DB∵ CA 是切线且AB 为直径 ∴ CA ⊥AB 同理DB ⊥AB∴ CA//DB ∴ △CAP ∽△BDP ∴ ∴ ∴ EP//CA ∴ 同理 ∴ CA//EF//DB ∴ ∴ ∴ EP=FP 例5 .已知实数x .y 满足x 2+y 2+2x －2y =0，求x +y 的最小值.⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫∠=∠∠=∠∠=∠BOC AOB BOC BAC AOB ACB 22121BAC ACB ∠=∠⇒2CD EO BC ⋅=2221=//21BC AC DCBC =CD EO DC AC BC ⋅=⋅=22⋂AB PD AP DBAC =PD AP ED CE =CA EP DCDE =CA PF BC PB =BC BP DCDE =CA PF CA EP =3解：原方程为（x +1）2+（y －）2=4表示一个圆的方程，可设其参数方程为 x =－1+2cos θ，y =+2sin θ2sin （θ+），当θ=，即x =－1－，y =－时，x +y 的最小值为－1－2.3324π4π523232（θ为参数，0≤θ<2π），则x +y =－1+2（sin θ+cos θ）=－+1 33。
2.2.2 直线与圆的位置关系
2.2.2直线与圆的位置关系江苏省海州高级中学张玮教学目标：1．在学生能够应用平面几何知识判断直线与圆的位置关系的基础上,能应用坐标方法判断直线与圆的位置关系．2．理解直线与圆的位置关系；能通过解方程组和点到直线的距离公式判断直线与圆的位置关系．能够解决直线与圆的相关的一些问题．3．通过数形结合，理解并掌握直线与圆的位置关系，培养学生数形结合的数学思想．内容分析：本节内容是在学生掌握了直线方程、圆的方程等一系列基础知识之后来研究直线与圆之间的位置关系．涉及到两大数学思想：数形结合、方程思想，这是培养学生数学思想的良好题材．另外为学生后续学习直线与圆锥曲线的位置关系提供了方法和基础．教学重点：直线与圆的位置关系的判断方法．直线与圆相关问题．教学难点：用坐标法判定直线与圆的位置关系．教学过程：一、自学质疑1．复习基础知识．（1）直线方程的几种形式，点斜式、斜截式、截距式方程的局限性？直线kx－y＋1＋2k＝0过定点？如何判定两直线相交、平行？（2）圆的标准方程与一般方程，圆心、半径？点与圆的位置关系？圆心为点(2,3),半径为3的圆的标准方程?一般方程?点(－2,1)与此圆的位置关系？学生回答，教师参与分析，点明方法：解方程组、坐标法．2．问题：问题1 初中学过的平面几何中，直线与圆的位置关系有几种？教师通过幻灯片展示直线与圆的位置关系，学生回答．问题2 如何用直线和圆的方程判断它们之间的位置关系？通过图形展示，学生回答，师生一起总结出方法：判断交点个数，联系到方程的公共解，从而总结出解方程组的方法判定直线与圆之间的位置关系． 二、精彩展示1．画图并讨论，学生分析过程并说出自己的解法与步骤；2．在教师的引导下，观察图形，利用类比的方法，系统归纳出直线与圆的位置关系的种类与解法；投影：直线与圆的位置关系的判定方法：方法1——几何法，．直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0；圆(x －a )2＋(y －b )＝r 2利用圆心到直线的距离d 与半径r 的大小关系判断：d ＞r ——相离 d ＝r ——相切 d ＜r ——相交注：体会逻辑思维的严密性．方法2——代数法利用直线与圆的公共点的个数进行判断：设方程组2220()()Ax By C x a y b r++=⎧⎨-+-=⎩的解的个数为n ，则有△＞0⇒ n ＝2⇒相交；△＝0⇒ n ＝1⇒相切；△＜0⇒ n ＝0⇒相离；例题补充（让学生讲出解题思路，教师点评）四：纠正反馈练习：（1）直线x－y－2＝0被圆x2＋y2＝4所截得的弦长为．（2）若过点(－2，1)作圆(x－3) 2＋(y－1) 2＝r2的切线有且只有一条，则r＝．（3）若直线(m＋1)x＋y＋1＝0与圆(x－1)2＋y2＝1相切，则实数的m值为．（4）已知直线x－y＋b=0与圆x2＋y2＝25相离，求b的取值范围．（5）求以C(1、3）为圆心，并和直线3x－4y－6＝0相切的圆的方程．小结——要点归纳与方法总结本节课学习了以下内容：1．直线与圆位置关系；2．判断直线与圆的位置关系的方法：（1）代数法；（2）几何法．3．数学思想：数形结合和分类讨论的思想．作业：课本103页练习。
17-(教学案)2.2.2 直线与圆的位置关系1
2.2.2 直线与圆的位置关系 1 1、理解直线与圆的位置的种类；
编号
17
学习目标
2、利用平面直角坐标系中点到直线的距离公式求圆心到直线的距离； 3、会用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系．
教学重点、 教学重点 直线与圆的位置关系（相切） 教学难点 直线与圆的位置关系的几何判定 难点 教学方法 导学、精讲、勤练 学习心得
2 2 2
学习要点及自主学习导引 1 、设直线 l : Ax By C 0 , 圆 C : x a y b r 圆心到直线的距 离 。 2、 利用直线与圆的位置直观特征导出几何判定：比较圆心到直线的距离 d 与圆的半径 ① d r 直线与圆相离 ② d r 直线与圆相切 ③ d r 直线与圆相交 3、看直线与圆组成的方程组有无实数解: （1）有解，直线与圆有公共点.有一组则相切；有两组则相交 （2）无解，则相离 典例探究 【例 1】求直线 4 x 3 y 50 和圆 x y 100 的公共点坐标，并判断它们
课堂练习： 1、直线 y kx 3 与圆 x2 y 2 4 至多只有一个公共点，则 k 的取值范围 为 .
2、求斜率为
4 2 2 ，且与圆 ( x 2) ( y 3) 1 相切的切线方程. 3
3、从点 P( x,5) 作圆 ( x 2) ( y 3) 1 的切线，求切线长度最小值.
2 2
4、实数 x, y 满足 x y 2x 2值范围. x2
5、判断 4 x 3 y 80 和 x y 100 的位置关系.
2 2
2
2 2
思想方法 总结
的位置关系.
【例 2】当 k 为何值时，直线 l : y kx 5 与圆 C : ( x 1) y 1
高中数学 直线与圆的位置关系
典例导学
即时检测
一
二
Байду номын сангаас
三
1.已知点M(a,b)(ab≠0)是圆x2+y2=r2内一点,直线m是以点M为中 点的弦所在的直线,直线l的方程是ax+by=r2,那么①m∥l,②m⊥l,③l 与圆相交,④l与圆相切,⑤l与圆相离.其中正确的是( ) A.①② B.①③ C.①④ D.①⑤
典例导学
即时检测
一
二
三
解析： 直线 m 的方程为 y-b=- (x-a), 整理得 ax+by=a2+b2. ∵直线 l 的方程为 ax+by=r2, 且 M(a,b)在圆内 , ∴a2+b2<r2. ∴两直线 m,l 平行 ,故 ①正确 .
������
������
∵圆心到 l 的距离 d=
又 ∵a2+b2<r2,
(3)位置关系如下:
位置关系 公共点个数 几何特征(圆心到直线 的距离为 d,半径为 r) 代数特征(直线与圆的 方程组成的方程组)
相离 0 d>r 无实数解
相切 1 d=r 仅有一组 实数解
相交 2 d<r 有两组不同 的实数解
交流2 对比判断直线与圆的位置关系的两种方法,哪一种方法更好? 答案：利用几何法更好.因为借助数形结合的方法,运算量较小. 交流3 直线y=kx+1与圆x2+y2=4的位置关系如何? 答案：由于直线y=kx+1恒过点(0,1), 而(0,1)在圆x2+y2=4内, 所以直线y=kx+1与圆x2+y2=4相交.
2.直线与圆位置关系的判定方法 (1)代数法: 已知直线l:Ax+By+C=0,圆O:x2+y2+Dx+Ey+F=0,由l和O的方程
直线与圆的位置关系
直线与圆的位置关系直线和圆是几何图形中常见的两种元素，它们之间的位置关系对于解决许多几何问题非常重要。
本文将探讨直线与圆的不同位置关系，并在实例中进行说明。
1. 直线与圆的相交关系当一条直线与圆相交时，可能存在三种不同的情况：相离、相切和相交。
1.1 相离关系：当直线与圆无交点时，我们称其为相离。
换句话说，直线完全位于圆的外部，并且没有任何一点与圆相交。
1.2 相切关系：当直线与圆有且仅有一个交点时，我们称其为相切。
这意味着直线刚好与圆接触，但没有穿过或与其它部分相交。
1.3 相交关系：当直线与圆有两个交点时，我们称其为相交。
此时，直线穿过圆的内部，并与其它部分相交。
举个例子，假设有一条直线L和一个圆C，它们的位置关系如下图所示：[图片]在这个例子中，直线L与圆C相离于A和B两点；相切于点C；相交于点D和E。
2. 弦与切线的位置关系弦是圆上的两点之间的线段，而切线是与圆只有一个交点并且与圆垂直的直线。
弦和切线在与圆的位置关系上有一些特殊的性质。
2.1 弦的位置关系：当弦不经过圆心时，我们称其为弦。
弦有两种不同的位置关系：一条弦可以在圆内部，另一条弦可以在圆外部。
2.1.1 弦在圆内部：当一条弦的两个端点都在圆的内部时，我们称其为圆内弦。
弦的中点会恰好位于圆的内部，并且连接圆心和弦的中点可以创造出一个垂直平分弦的直径。
2.1.2 弦在圆外部：当一条弦的两个端点都在圆的外部时，我们称其为圆外弦。
圆外弦的中点会在圆的外部，并且与连接圆心和中点的直线垂直。
2.2 切线的位置关系：当一条直线与圆只有一个交点且与圆垂直时，我们称其为切线。
切线有两种不同的位置关系：一条切线可以在圆的内部，一条切线可以在圆的外部。
2.2.1 切线在圆内部：当切线位于圆的内部时，它与圆只有一个交点，并且与圆的圆心连线垂直。
2.2.2 切线在圆外部：当切线位于圆的外部时，它同样只与圆有一个交点，并且与圆的圆心连线垂直。
举个例子，假设有一个圆C和一条弦AB以及一条切线T，它们的位置关系如下图所示：[图片]在这个例子中，弦AB在圆内部，而切线T在圆外部。
2.2.2直线与圆的位置关系
方程有两个相等实根 , 所以判别式 2k 2k 4
2
4 1 k 2 k 2 2k 4 0, 解得 k 0或k 3 / 4.
2
因此, 所求直线 l 的方程是 y 4 或 3x 4 y 13 0.
例3 求直线 x 3 y 2 3 0 被圆x 2 y 2 4 截得的弦长.
y
A- 1,4
因为直线 l与圆相切, 所以方程组 y 4 k x 1, 仅有一组解 . 2 2 x 2 y 3 1
-1
o
1
x
图2 2 5
由方程组消去 y, 得关于 x的一元二次方程
1 k x 2k
4 0. 因为一元二次
解法1 直线 x 3 y 2 3 0 和圆 x 2 y 2 4 的公共点坐 标就是方程组
x 3 y 2 3 0, x y 4
2 2
的解 . 解这个方程组, 得
所以公共点的坐标为 3 ,1 , 0,2,
x1 3 , y1 1 ,
x2 0 , y2 2 .
图2 2 6
OM
|002 3 | 1
2
3
2
2
3,
2
所以 AB 2 AM 2 OA OM 2 2
2 2
3
2.
位置 关系 相 交
有利于新旧知识的结合，培养学生对知识的迁移 能力。 将归纳得出的结论用表格的形式给出，使学 生对知识有更完整系统的认识。 判定方法 图形 几 何特 征 方程特征 几 何 代数 法 法
．
o
L