九年级数学上册 24.2.2 直线与圆的位置关系(2)——圆的切线的判定和性质学案

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人教版数学九年级上册24.2《直线和圆的位置关系(2)》教学设计

人教版数学九年级上册24.2《直线和圆的位置关系（2）》教学设计一. 教材分析人教版数学九年级上册24.2《直线和圆的位置关系（2）》这一节主要讲述了直线和圆的位置关系的进一步应用。

通过本节课的学习，学生能够掌握直线和圆相交、相切、相离的判断方法，并能够运用这些知识解决实际问题。

教材通过丰富的案例和练习题，帮助学生巩固知识，提高解决问题的能力。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的几何知识，对直线、圆的概念和性质有一定的了解。

但是，对于直线和圆的位置关系的深入理解和应用，部分学生可能还存在困难。

因此，在教学过程中，教师需要关注学生的学习情况，针对学生的薄弱环节进行有针对性的教学。

三. 教学目标1.理解直线和圆的位置关系的判断方法。

2.能够运用直线和圆的位置关系解决实际问题。

3.提高学生的空间想象能力和解决问题的能力。

四. 教学重难点1.教学重点：直线和圆的位置关系的判断方法。

2.教学难点：直线和圆的位置关系的应用。

五. 教学方法1.案例分析法：通过分析具体的案例，让学生理解直线和圆的位置关系。

2.练习法：通过布置练习题，让学生巩固所学知识。

3.小组讨论法：让学生分组讨论，共同解决问题，提高学生的合作能力。

六. 教学准备1.准备相关的案例和练习题。

2.准备黑板和粉笔，用于板书。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过一个实际问题引入本节课的主题，例如：“在一条直线上，有一个圆，求圆心到直线的距离与圆的半径之间的关系。

”让学生思考直线和圆的位置关系。

2.呈现（15分钟）教师呈现相关的案例，让学生观察和分析直线和圆的位置关系。

通过案例的呈现，引导学生总结直线和圆的位置关系的判断方法。

3.操练（15分钟）教师布置练习题，让学生独立完成。

练习题包括判断直线和圆的位置关系以及运用位置关系解决实际问题。

教师在学生解答过程中进行个别指导，帮助学生克服困难。

4.巩固（5分钟）教师选取几个典型的练习题，让学生上台展示解题过程，并解释其答案。

九年级数学上册第章圆 . 点和圆、直线和圆的位置关系直线和圆的位置关系切线的判定与性质

第二页，共二十页。
一、温故知新(wēn gù zhī xīn)
1．直线和圆有哪些位置关系(guān ？ xì) 2．判断直线和圆的位置关系有哪几种方法？
12/11/2021
第三页，共二十页。
一、温故知新
直线和圆的位置关系
相交
相切
图形
公共点个数公共点名称
直线名称距离 d 与半径 r 的关系 12/11/2021
推理：圆心到直线的距离d =半径 r
相切
O
l A
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线(zhíxiàn)是圆的切线．
12/11/2021
第五页，共二十页。
二思、考：学已习知(xu一éxí)个新圆知和--圆切上线的的一判点定A，如何过这个点画(diǎn huà)
出圆的切线？
.O
.
Al
第一步：连接(liánjiē)OA; 第二步：过A点作OA的垂线l.
d Or l AB
2个
d Or A
l
1个
交点
(jiāodiǎn)
割线
(gēxiàn)
d＜rБайду номын сангаас
切点
(qiēdiǎn)
切线
d=r
第四页，共二十页。
相离
O r
d l
没有
－－
d＞r
二、学习新知(xīn zhī)--切线的判定
问题1：如图，在⊙O中，经过半径 OA 的外端点 A 作直线 l⊥OA，则圆心 O 到直线 l 的距离是多少(duōshǎo)？直线 l 和⊙O 有什么位置关系？为什么？
• 6.如图，AB是⊙O的直径,AC是弦,∠BAC的平分线AD交 ⊙O于点D，DE是⊙O的切线(qiēxiàn),交AC的延长线于点E. 求证：DE⊥AC.

九年级数学上册 24.2点和圆直线和圆的位置关系24.2.2直线与圆3切线的判定和性质1_6-10

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请你总结一下：圆的切线的判定有几种方法？
1、如何判定一条直线是已知圆的切线？
(1)与圆只有一个公共点的直线是圆的切线；
(2)到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；(3)过半径外端点且和半径垂直的直线是圆的切线；
(d=r)
知识清单：
1、矩形的两边长分别为2.5和5，若以较长一边为直径作半圆，则矩形的各边与半圆相切的线段最多有（）
D
A、0条
B、1条
C、2条
D、3条
O B A C 分析：由于AB 过⊙O 上的点C ，所以连
接OC ，只要证明______________ 即可。

证明：连结OC(如图)。

∵ 在△OAB 中OA ＝OB,CA ＝CB,
∴ AB⊥OC。

∵直线AB 经过⊙O 上的点C
∴ AB是⊙O 的切线。

已知：直线AB 经过⊙O 上的点C ，且OA=OB,CA=CB
求证：直线AB 是⊙O 的切线。

AB⊥OC 例题讲解（1）。

人教版九年级数学上册作业课件第二十四章圆点和圆、直线和圆的位置关系第2课时切线的判定和性质

7．(3 分)如图，点 P 为⊙O 外一点，PA 为⊙O 的切线，A 为切点， PO 交⊙O 于点 B，∠P＝30°，OB＝3，则线段 BP 的长为( A ) A．3 B．3 3 C．6 D．9
8．(3 分)(湘西州中考)如图，直线 AB 与⊙O 相切于点 A，AC，CD 是
⊙O 的两条弦，且 CD∥AB，若⊙O 的半径为 5，CD＝8，则弦 AC 的
∴CE＝BC＝6，∵12 CD·AE＝12 AC·CE，∴CD
＝61×08 ＝254
14．(14分)(盐城中考)如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径， ∠DCA＝∠B. (1)求证：CD是⊙O的切线； (2)若DE⊥AB，垂足为E，DE交AC于点F，求证：△DCF是等腰三角形．
证明：(1)连接OC，∵OC＝OA，∴∠OCA＝∠A，∵AB是⊙O的直径， ∴∠BCA＝90°，∴∠A＋∠B＝90°，∵∠DCA＝∠B，∴∠OCA＋ ∠DCA＝∠OCD＝90°，∴OC⊥CD，∴CD是⊙O的切线 (2)∵∠OCA＋∠DCA＝90°，∠OCA＝∠A，
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三、解答题(共42分) 13．(12分)(教材P102习题T12变式)(深圳中考)如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，AD与过点C的切线互相垂直，垂足为D.连接BC并延长，交AD的延长线于点E. (1)求证：AE＝AB； (2)若AB＝10，BC＝6，求CD的长．
解：(1)证明：连接 AC，OC，如图，∵CD 为切线，∴OC⊥CD，∵CD ⊥AD，∴OC∥AD，∴∠OCB＝∠E，∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠B，∴ ∠B＝∠E，∴AE＝AB (2)∵AB 为直径，∴∠ACB＝90°，∴AC＝ 102－62 ＝8，∵AB＝AE ＝10，AC⊥BE，

24.2.2直线和圆的位置关系第2课时

例2 已知：△ABC 为等腰三角形，O 是底边 BC 的中点，腰 AB 与⊙O 相切于点 D. A 求证： AC 是⊙O 的切线．
证明：过点O作OE ⊥AC，垂足为E，连接OD,OA ∵ ⊙O与AB相切与点D ∴ OD⊥AB. 又∵△ABC是等腰三角形，O 是底边BC的中点
D B
E
O
C
∴ AO是∠BAC的平分线 ∴ OE=OD,即OE是⊙O的半径
l1
A
O ·
l2
B
2.、如图7，AB为⊙O直径，PA、PC为⊙O的切线，A、C为切点，∠BAC=30° （1）求∠P大小。（2）AB=2，求PA的长。
.O
A
l
切线的判定定理：
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
切线的判定定理：
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 几何语言：
∵ OA⊥L （OA是半径）
∴ L是⊙O的切线
注意要满足的两个条件
1、判断： (1)过半径的外端的直线是圆的切线（×） (2)与半径垂直的的直线是圆的切线（×）
几何语言:∵L是⊙O的切线（A是切点） ∴OA⊥L
例1 如图，直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB， CA=CB，求证直线AB是⊙O的切线.
证明：连接OC
O
∵ OA=OB ∴△OAB是等腰三角形
∵ CA=CB ， ∴ OC⊥AB. ∴ AB是⊙O的切线.
A
C
B
辅助线：有交点先连圆心，再证垂直
24.2.2 直线和圆的位置关系
（第2课时）
知识回顾
直线与圆的位置关系
相交
O r d l B
相切
O r d A

24.2.2直线和圆的位置关系

O
d
要点归合纳作探究（用圆心O到直线的距离d与圆的半径r的关系来区分）
o
o
dr
r d
o r
d
∟
直线和圆相交直线和圆相切直线和圆相离数形结合：位置关系
d< r d= r d> r 数量关系
公共点个数
练一练：
1.已知圆的半径为6cm，设直线和圆心的距离为d ：（1）若d=4cm ,则直线与圆相交 , 直线与圆有_2___个公共点. （2）若d=6cm ,则直线与圆_相__切___, 直线与圆有__1__个公共点. （3）若d=8cm ,则直线与圆_相__离___, 直线与圆有__0__个公共点.
A．(－1，－2)
B．(1，2)
C．(－1.5，－2) D．(1.5，－2)
解析：过点A作AQ⊥MN于Q，连接AN，设半径为r，由垂径定理有MQ＝NQ，所以AQ＝2，AN＝r，NQ＝4－r，利用勾股定理可以求出NQ＝1.5，所以N点坐标为(－1，－2)．故选A.
拓展提升：已知☉O的半径r=7cm,直线l1 // l2,且l1 与☉O相切,圆心O到l2的距离为9cm.求l1与l2的距离.
0个：相离；1个：相切；2个：相交
d>r：相离 d=r:相切 d<r：相交
特别提醒：在图中没有d要先做出该垂线段
课后作业
见《学练优》本课时练习
B
当r=2.4cm或3cm≤r＜4cm时,⊙C与线
段AB有一个公共点.
5
4
D 当2.4cm＜r≤3cm 时,⊙C与线段AB有
C 3 A 两公共点.
例2 如图，Rt△ABC的斜边AB=10cm,∠A=30°.
(1) 以点C为圆心，当半径为多少时，AB与☉C相切？

人教版初中数学九上第二十四章圆 24.2.2 第2课时切线的判定与性质

35°，则∠ACB 的度数为（ C ）
A．35°
B．45°
C．55°
D．65°
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6．如图，直线 l 为☉O 的切线，A 为切点，B 为直线 l 上一点，连接 OB，交
☉O 于点 C．若 AB＝12，OA＝5，则 BC 的长为
（ D ）
A．5
B．6
∴∠OBC＝∠DBC．
∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，
∴∠OCB＝∠DBC，∴OC∥BD．
∵BD⊥CD，∴OC⊥CD．
∵点C在☉O上，∴CD为☉O的切线．
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知识点二切线的性质
5．（2021·长春）如图，AB 是☉O 的直径，BC 是☉O 的切线．若∠BAC＝
∵BC∥DE，∴∠E＝∠ACB＝45°．
由（1）知OD⊥DE，∴∠ODE＝90°，
∴△ODE为等腰直角三角形，∴DE＝OD＝5．
在Rt△ODE中，OD2＋DE2＝OE2，
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14．如图，以 Rt△ ABC 的边 AC 为直径作☉O 交斜边 AB 于点 E，连接 EO 并
点”，其他条件不变，则∠ACB 的度数为
55°或125°
．
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13．（2021·郴州）如图，△ ABC 是☉O 的内接三角形，AC 是☉O 的直径，D

九年级数学上册 24.2点和圆直线和圆的位置关系24.2.2直线与圆3切线的判定和性质1_1-5

第24章
24.2.2直线与圆（3）
切线的判定和性质
1 . 当你在下雨天快速转动雨伞时水飞出的方向是什么方向？ 2. 砂轮打磨零件飞出火星的方向是什么方向？
生活中的数学
下雨天转动雨伞时飞出的水，以及在砂轮上打磨工件飞出的火星，均沿着圆的切线的方向飞出．
探究：已知⊙O ，过点P你能作出它的一条切线吗？你是怎样判断这条直线是⊙Q
在⊙O中，
P
作任一条半径OP，过点P作PQ⊥OP
圆的切线判定定理：
经过半径的外端且垂于这条半径的直线是圆的切线。
条件： (1)经过半径的外端； (2)垂直于过该点半径；
符号
∵l⊥OA，且l 经过⊙O上的A点
语
言表
∴直线l是⊙O的切线
达
●O
┐
A
l
1. 过半径的外端的直线是圆的切线（ × ） 2. 与半径垂直的直线是圆的切线（ × ） 3. 过半径的端点与半径垂直的直线是圆的切线（ × ）
O l
r
A
O r
l A
●
O
┐
A
O l
r A
l
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人教版数学九年级上册24.2.2《直线与圆的位置关系》教学设计

人教版数学九年级上册24.2.2《直线与圆的位置关系》教学设计一. 教材分析人教版数学九年级上册第24.2.2节《直线与圆的位置关系》是本节课的主要内容。

本节课主要介绍了直线与圆的位置关系，包括相离、相切和相交三种情况，并学习了如何判断直线与圆的位置关系以及如何求解圆的弦长和圆心角。

本节课的内容是九年级数学的重要内容，对于学生来说具有较高的难度，需要学生具备较强的逻辑思维能力。

二. 学情分析九年级的学生已经学习了平面几何的基础知识，对于图形的性质和几何关系有一定的了解。

但是，对于直线与圆的位置关系的理解和应用还需要进一步的引导和培养。

此外，学生对于数学问题的解决方法还不够丰富，需要通过本节课的学习，提高学生解决问题的能力。

三. 教学目标1.理解直线与圆的位置关系，掌握判断直线与圆位置关系的方法。

2.学会求解圆的弦长和圆心角的方法。

3.培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

四. 教学重难点1.直线与圆的位置关系的理解和判断。

2.圆的弦长和圆心角的求解方法。

五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，通过提问引导学生思考和探索直线与圆的位置关系。

2.使用几何画板软件，直观展示直线与圆的位置关系，帮助学生理解和记忆。

3.通过例题讲解和练习，巩固所学知识，提高学生的解决问题的能力。

六. 教学准备1.准备相关的教学PPT，包括直线与圆的位置关系的图片和例题。

2.准备几何画板软件，用于展示直线与圆的位置关系。

3.准备相关的中难度的练习题，用于巩固所学知识。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过提问方式引导学生回顾平面几何中直线与圆的基本概念，如圆的定义、直线的定义等，为后续学习直线与圆的位置关系打下基础。

2.呈现（10分钟）使用几何画板软件展示直线与圆的位置关系，包括相离、相切和相交三种情况。

让学生直观地感受直线与圆的位置关系，并为后续学习判断方法和求解方法做准备。

3.操练（15分钟）讲解如何判断直线与圆的位置关系，以及如何求解圆的弦长和圆心角。

初中数学九年级上册24.2.2 直线和圆的位置关系2切线的判定与性质

教案
课题
24.2.2直线和圆的位置关系(第二课时)
课时及授课时间
课时
授课人
年月日
教学目标(学习目标)
知识与技能理解切线的判定定理和性质定理，会用三角尺过圆上一点画圆的切线。
过程与方法探索切线与过切点的半径的关系，发展学生的分析推理能力。
情感态度与价值观通过切线判定定理和性质定理的应用，锻炼学生解决数学问题的能力。
1、动手操作：
（1）以O为圆心，任意长为半径作圆，记作“⊙O”；
（2）在⊙O上任意找一点A，并连接OA；
（3）过半径OA的外端点A作切线l。
2、问题：切线l与半径OA有什么位置关系？
3、得到切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。
三、新知应用
1、例题：∆ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D。
直线l⊥OA
5、练习：判断（指生口答，并说出错误的理由，PPT出示）
(1)过半径的外端的直线是圆的切线（）
(2)与半径垂直的的直线是圆的切线（）
(3)过半径的端点与半径垂直的直线是圆的切线（）
6、作图：在⊙O上任找一点B，过点B作⊙O的切线。
思考：一个圆有多少条切线？过圆上一定点，有几条切线？
（二）切线的性质定理
求证：AC是⊙OBiblioteka 切线。分析：根据切线的判定定理，要证明AC是⊙O的切线，只要证明由点O向AC所作的垂线OE是⊙O的半径就可以了。
根据题意，先做出三条辅助线，然后根据等腰三角形三线合一的性质和角平分线的性质解决此题。
教师板书证明过程。
2、自我检测：书本98页第1、2题
三、课堂小结
1、切线的判定方法；
教学重点
理解并应用切线的判定和性质定理。

人教版九年级数学上章节知识点深度解析直线和圆的位置关系第2课时切线的判定与性质

12345
∵ OB ＝ OD ， ∴∠1＝∠3. ∴∠1＝∠2. ∴ BD 平分∠ ABC .
12345
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第二十四章圆
24.2 点和圆、直线和圆的位置关系 24.2.2 直线和圆的位置关系第2课时切线的判定与性质
要点归纳知识要点1 切线的判定定理
文字经过半径的外端并且垂直于这 ⁠ 语言条半径的直线是圆的切线. 数学如图，直线 l ⊥ OA 于点 A ， OA 是☉ O 语言的半径，则直线 l 是☉ O 的切线.
解题 ①有公共点时，连半径，证垂直；策略 ②公共点不明确时，作垂直，证半径.
图形
知识要点2 切线的性质切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半
⁠
径.当图形中有切线或切点时，通常连接经过切点的半径，构造直角三角形.
当堂检测 1. 如图， AB 和☉ O 相切于点 B ，∠ AOB ＝60°，则 ∠ A 的大小为（ B ）
12345
5. 如图，在Rt△ ABC 中，∠ C ＝90°，点 O 在 AB 上，以点 O 为圆心， OB 长为半径的圆与 AC 相切于点 D ，交 BC 于点 E . 求证： BD 平分∠ ABC . 证明：如图，连接 OD . ∵ AC 为☉ O 的切线，∴ OD ⊥ AC . ∴∠ ODA ＝90°. ∵∠ C ＝90°，∴ OD ∥ BC . ∴∠2＝∠3.
⁠
第3题图
12345
4. 如图，已知 O 是∠ ACB 的平分线 CD 上一点， OE ⊥ AC 于 E . 以点 O 为圆心， OE 长为半径作☉ O . 求证： ☉ O 与 CB 相切. 证明：如图，作 OF ⊥ BC 于 F ， ∵ CD 平分∠ ACB ， OE ⊥ AC ， ∴ OE ＝ OF . 又 OE 为半径， ∴☉ O 与 CB 相切.

九年级数学上册第二十四章圆24.2点和圆、直线和圆的位置关系24.2.2切线的判定和性质

12/11/2021
第十一页，共三十一页。来自【点悟】 (1)过圆心作已知直线的垂线段，证明垂线段的长等于半径是证明直线是圆的切线的方法之一；(2)已知圆的切线，连接切点与圆心作半径是与切线有关的常用辅助线．
12/11/2021
第十二页，共三十一页。
当堂测评
1．下列结论正确的是( D ) A．圆的切线必垂直于半径 B．垂直于切线的直线必经过圆心 C．垂直于切线的直线必经过切点 D．经过圆心与切点的直线必垂直于切线
12/11/2021
第四页，共三十一页。
归类探究
类型之一切线的判定如图 24-2-13，在等腰三角形 ABC 中，AC＝BC，以 BC 为直径作⊙O
交 AB 于点 D，交 AC 于点 G.DF⊥AC，垂足为 F，交 CB 的延长线于点 E.求证：直线 EF 是⊙O 的切线．
12/11/2021
图 24-2-13
第五页，共三十一页。
证明：如答图，连接 OD，DC. ∵BC 是⊙O 的直径， ∴∠CDB＝90°. 又∵AC＝BC，∴点 D 是 AB 的中点．又∵点 O 为 BC 的中点，∴OD∥AC. 又∵DF⊥AC，∴OD⊥EF， ∴直线 EF 是⊙O 的切线．
12/11/2021
第六页，共三十一页。
【点悟】运用切线的性质时，常常连接切点和圆心．
12/11/2021
第九页，共三十一页。
类型之三切线的判定与性质的综合运用如图 24-2-15，△ABC 为等腰三角形，AB＝AC，O 是底边 BC 的中点，
⊙O 与腰 AB 相切于点 D，求证：AC 与⊙O 相切．
12/11/2021
图 24-2-15
No Image
12/11/2021

九年级数学上册 24.2点和圆直线和圆的位置关系24.2.2直线与圆3切线的判定和性质2_6-10

证明直线与圆相切有如下三种途径:
1.定义法:和圆有且只有一个公共点的直线是圆的切线.
2.数量法(d=r):和圆心距离等于半径的直线是圆的切线.
3.判定定理:经过半径外端且垂直于这条半径的直线是
圆的切线.
即:若直线与圆的一个公共点已指明,则连接这点和圆心,说明直线垂直于经过这点的半径;若直线与圆的公共点未指明,则过圆心作直线的垂线段,然后说明这条线段的长等于圆的半径．
.O
A l
将上页思考中的问题反过来,如果l是⊙O的切线,切点为A,那么半径OA与直线l是不是一定垂直呢?
一定垂直
切线的性质定理:
圆的切线垂直于过切点的半径
切线的性质：
1.切线和圆只有一个公共点.
2.切线和圆心的距离等于半径.
3.切线垂直于过切点的半径.
4.经过圆心垂直于切线的直线必过切点.
5.经过切点垂直于切线的直线必过圆心.
切线的性质３、４、５可归纳为:已知直线满足a.过圆心,b.过切点,c.垂直于切线中任意两个,便得到第三个结论.
1.如图,AB 是⊙O 的直径,点D 在AB 的延长线上,BD=OB,点C 在圆
上,∠CAB=30°.
求证:DC 是⊙O 的切线.
.A B D
C O 方法引导
当已知直线与圆有公共点,要证明直线与圆相切时,可先连接圆心与公共点,再证明
连线垂直于直线,这是证明切线的一种方法.
练习。