质点的动量定理

mi zi
xC
i
m
, yC
i
m
, zC
i
m
5
例4.1.2-1 A 、B 、D 三质点在某一时刻的位置坐标
分别为: (3, 2, 0) 、(1,1, 4) 、(3, 8, 6) , A 的质量是 B 的两倍，而 B 的质量是 D 的两倍。求此时由
此三质点组成的体系的质心的位置。
,m2 分别应用牛顿第二定律：
14
FT

m1
v1'2 xC1

m2
l
v2'2 xC1
其中，xC1

m10 m2l m1 m2
是
m1 相对质心的距离，v1' , v2' 分别
是 m1 和 m2 相对质心的速度，分别为：
相对质心速度：
v1' 0 vC , v2' v0 vC
例4.1.2-3 如例4.1.2-3图所示，半径为 R 、质量为 m 、
质量分布均匀的圆盘，沿某半径方向挖去半径为 R 的Βιβλιοθήκη Baidu圆
2
盘，求大圆盘剩余部分的质心位置。
10
解：由对称性可知，所求剩余部分质心在 x 轴上，设
在（xC , 0 ）处。挖去的小圆盘（设质量为 m'' ）原来的
质心位置为( R ,0) ，与所求剩余圆盘（设质量为 m' ）质
解：根据题中给定的坐标系，由质心定义得
xc

mA xA mB xB mD xD mA mB mD

4mD 3 2mD (1) mD (3) 4mD 2mD mD
1
yc

mA yA mB yB mD yD mA mB mD
y 0 的一侧。
解：如例4.1.2-2图所示，设质心坐标为（ XC ,YC ），平板
的质量为 m ,密度为 。因为平板质量分布均匀，且圆心在
原点，由对称性知 XC 0 。对于板边缘上 的每一点有，x边2 y边2 R2 。
8
将半圆形板分割成无数个平行于x 轴的细条，每细条
的质心为 0, yC y边 ，则系统的质心为：
(2) 连续质点系的质心
rC

lim
N
i miri 1 mm
rdm
mi 0
在直角坐标系下可以表示为：
xC

1 m

xdm,
yC

1 m

ydm, zC

1 m
zdm
7
(3) 规则形状、密度均匀的物体的质心 例4.1.2-2 求半径为 R ,质量分布均匀的半圆形薄板 的质心位置。设圆心在原点，薄板位于 xOy 平面中的
2
心之和应为原点处，即
0

m
'
xC

m
''
R 2
xC
m ' m ''
其中 m ' m m '' 3 m 4
m '' π( R)2 m 1 m 2 πR2 4
解得所求质心位置为： xC


R 6
11
质点系的质心运动
质点系质心运动
质心与质心运动定律 质心的特点与求法
质心系
12
质心系
质点系的质心运动
质点系质心运动
质心与质心运动定律 质心的特点与求法
质心系
1
质点系质心与质心运动定律
F1

F21

F31

m1
d2r1 dt 2
F2

F12

F32

m2
d2r2 dt 2
F3

F13

F23

m3
d 2 r3 dt 2
上述三式相加有：
动画演示
F1

F2

F3

m1
d2r1 dt 2
对上式积分得：
F d(mv) dt
定义：
t t
Fdt mv(t t) mv(t) t P mv 称为质点的动量
tt
I Fdt
称为力在 t 时间内的冲量
t
质点的动量定理: 外力冲量等于质点动量的改变量
17
例4.2.1-1 一质量为 0.15 千克的棒球以 v0 40m/s 的
水平速度飞来，被棒打击后，速度仍沿水平方向，但与
原来方向成 135 角，大小为 v 50m/s 。 如果棒与
质心速度：
vC

m10 m2v0 m1 m2
m1
xC1
c l xC1
v0 m2
联立得：
FT （mm1 1mm2v2）02 l
15
质点系动量定理与守恒定律
质点的动量定理
质点系运动定理 与守恒定律
质点系动量定理 质心动量定理 质点系动量守恒
质心系下质点系动量
16
质点的动量定理
由牛顿第二定律原始表达式：

4mD (2) 2mD (1) mD (8) 4mD 2mD mD
2
zc

mA zA mB zB mD mA mB mD
zD

4mD (0) 2mD (4) mD (6) 4mD 2mD mD
2
系统质心的坐标: (1, 2, 2) 6
1
Yc m
1 yCdm m
R
0 y边 (2x边dy边)
1 m
R
0 y边 (2
R2

y边2 dy边
)

4R 3π
dy边
yC
y边
即质心位置为

0,
4R 3π

。
9
(4) 多个规则形状物体组成系统的质心 多个规则形状物体组成系统的质心，可先找到每
个物体的质心，再用分立质点系质心的求法，求出公 共质心。
如图4.1.3-1所示，坐标原点始终跟随质心，坐 标轴保持平行。
13
例4.1.3-1 质量分别为 m1 和 m2 的两个质点，用长为
l 的轻绳连接，置于光滑的平面内，绳处于自然伸长
状态。现突然使 m2 获得与绳垂直的初速度 v0 ，求此
时绳中的张力。
m1
c
v0 m2
解：由于两个质点是自由置于光滑的平面上，所以 m2 获得初速度的瞬时，并不绕 m1 作圆周运动，而是绕二 者的质心作圆周运动。在质心系（惯性系）下，对 m1
N
质心加速度:
aC

d 2 rC dt 2

mi ai
i
m
F 0 ，自然界如没摩擦力
的情形设想……
3
质点系的质心运动
质点系质心运动
质心与质心运动定律 质心的特点与求法
质心系
4
质心的求法
(1) 分立质点系的质心
N
miri
rC

i1
m
在直角坐标系下可以表示为：
mi xi
mi yi

m2
d2r2 dt 2
m3
d2r3 dt 2
2
推广多个质点组成的质点系：
0
N
质心运动定律： m mi
i 1
F
i
Fi

m
d 2 rC dt 2
maC
N
质心位置矢量:
miri
rC
i
m
ac
Fi i
应用：
质心速度:
N
vC

drC dt

mi vi
i
m
运动员、炮弹等的轨迹 筛选法（大小土豆）