【解析版】2015高考二模北京市丰台区2015届高三二模数学理试题(PDF)

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2015年高三二模数学（理）北京市海淀区试题Word版带解析.doc

海淀区高三年级第二学期期末练习数学（理） 2015.5本试卷共4页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知全集U Z =，集合{1,2}A =，{1,2,3,4}A B =，那么()U C A B =（）（A ）∅（B ）{3}x x Z ∈≥（C ）{3,4}（D ）{1,2}【考点】集合的运算【难度】1 【答案】C 【解析】因为{}1,2A =，{1,2,3,4}AB =，所以集合B 中一定含有元素3,4，可能含有1,2()U C A B 表示集合B 中不属于集合A 的元素，所以，{}()3,4U C A B =，选C（2）设30.320.2,log 0.3,2a b c ===，则（）（A ）b c a << （B ）c b a << （C ）a b c << （D ）b a c <<【考点】对数与对数函数【难度】1 【答案】D 【解析】3000.20.21a <=<=，所以01a <<； 22b log 0.3log 0.51=<=-，所以1b <-；0.30221c =>=，所以1c >综上，b a c <<，选D（3）在极坐标系中，过点π(2,)6-且平行于极轴的直线的方程是（）（A ）cos ρθ=（B ）cos ρθ=（C ）sin 1ρθ=（D ）sin 1ρθ=-【考点】简单曲线的极坐标方程【难度】1 【答案】D 【解析】以极点为原点，以极轴为x 轴建立平面直角坐标系，点π(2,)6-的直角坐标为：(2,1)-，所求直线方程为：1y =-，转化为极坐标方程为：sin 1ρθ=-，选D（4）已知命题p ，q ，那么“p q ∧为真命题”是“p q ∨为真命题”的（）（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件【考点】充分条件与必要条件【难度】1 【答案】A 【解析】“p q ∧为真命题”等价于“p 真，q 真” “p q ∨为真命题”等价于“p 、q 至少一为真”所以，“p q ∧为真命题”是“p q ∨为真命题”的充分不必要条件，选A（5）已知函数()cos(2)f x x ϕ=+（ϕ为常数）为奇函数，那么cos ϕ=（）（A ）2-（B ）0（C ）2（D ）1【考点】函数的奇偶性【难度】2 【答案】B 【解析】由奇函数的性质得：()0cos 0f φ==，选B（6）已知函数()f x 的部分图象如图所示.向图中的矩形区域随机投出100粒豆子，记下落入阴影区域的豆子数.通过10次这样的试验，算得落入阴影区域的豆子的平均数约为33，由此可估计1()d f x x ⎰的值约为（）（A ）99100 （B ）310 （C ）910（D ）1011【考点】几何概型【难度】2 【答案】A 【解析】记图中阴影部分的面积为S ，几何概型的概率公式得：333100S ≈，即：99100S ≈，所以()1099100f x dx S =≈⎰，选A（7）已知()f x 是定义域为R 的偶函数，当0x ≤时，31()(1)e x f x x +=+.那么函数()f x 的极值点的个数是（）（A）5 （B）4 （C）3 （D）2【考点】利用导数求最值和极值【难度】2【答案】C【解析】()21'=++，f x x x e+(4)(1)xf x为偶函数，所以又因为()f x的极值点的个数为3个，选C所以，函数()n n≥个点，满足任意四个点都不共面，且任意两点的连线都与其它任意三点确定的平（8）若空间中有(5)面垂直，则这样的n值（）（A）不存在（B）有无数个（C）等于5 （D）最大值为8【考点】合情推理与演绎推理【难度】3【答案】C【解析】n=时，存在符合题意的情况：当5一个正四面体的4个顶点再加上正四面体的中心点当5n >时，任取不共线的三点确定一个平面α，假设存在三点之外的其他不共面的3个点不妨设为A 、B 、C ，由题意AC α⊥、AB α⊥，过平面外一点不可能存在作出两套直线与同一平面垂直，所以假设不成立综上，5n =，选C二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

2015年高三一模数学(理)北京市丰台区试题Word版带解析

丰台区2014—2015学年度第二学期统一练习高三数学（理科）2015.31．在复平面内，复数734ii++对应的点的坐标为（） (A) (1,1)- (B) (1,1)-(C) 17(,1)25- (D) 17(,1)5- 【难度】1【考点】复数综合运算【答案】A 【解析】277212542525=1342525i i i i ii i ++---===-+()(3-4i ）(3+4i)(3-4i ）故选A2．在等比数列}{n a 中，344a a +=，22a =，则公比q 等于（）(A) -2 (B) 1或-2(C) 1(D)1或2【难度】1 【考点】等比数列【答案】B 【解析】22342()2()4a a a q q q q +=+=+=，解得：12q q ==-或故选B3．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线方程是y =，它的一个焦点坐标为（2,0），则双曲线的方程为（）(A)22126x y -= (B)22162x y -= (C)2213y x -= (D) 2213x y -= 【难度】1 【考点】双曲线【答案】C 【解析】由题意得：22232ba c abc ⎧=⎪⎪=⎨⎪+=⎪⎩解得：221,3a b ==所求双曲线的方程为：2213y x -= 故选C4．当n =5时，执行如图所示的程序框图，输出的S 值是（）(A) 7(B)10(C) 11(D) 16【难度】2【考点】算法与程序框图【答案】C 【解析】程序执行过程如下：开始，输入5n =，1m =，1S =，满足条件m n <，进入循环体； 2S =，2m =，满足条件m n <，进入循环体； 4S =，3m =，满足条件m n <，进入循环体； 7S =，4m =，满足条件m n <，进入循环体； 11S =，5m =，不满足符合条件m n <，跳出循环体；输出11S =，结束。

2015北京西城高考二模数学理(含解析)

北京市西城区2014—2015学年度第二学期高三综合练习数学（理科） 2015．5第一部分（选择题共40 分）一、选择题（共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1．设集合{}10A x x =->，集合{}3B x x =≤，则AB =（）．A ．()1,3-B ．(]1,3C ．[)1,3D ．[]1,3-2．已知平面向量a ，b ，c 满足()1,1a =-，()2,3b =，()2,c k =-，若()//a b c +，则实数k =（）． A ．4 B ．4- C ．8 D 8-3．设命题p ：函数()1x f x e -=在R 上为增函数；命题q ：函数()()cos πf x x =+为奇函数．则下列命题中真命题是：（）．A ．p q ∧B ．()p q ⌝∨C ．()()p q ⌝∧⌝D ．()p q ∧⌝ 4．执行如图所示的程序框图，若输入的{}1,2,3n ∈，则输出的s 属于（）． A ．{}1,2 B ．{}1,3 C ．{}2,3 D ．{}1,3,95．某生产厂商更新设备，已知在未来x 年内，此设备所花费的各种费用总和y （万元）与x 满足函数关系2464y x =+，若欲使此设备的年平均花费最低，则此设备的使用年限x 为（）． A ．3 B ．4 C ．5 D ．66．数列{}n a 为等差数列，满足242010a a a +++=，则数列{}n a 的前21项的和等于（）．A ．212B ．21C ．42D ．84 7．若“1x >”是“不等式2x a x >-成立”的必要而不充分条件，则实数a 的取值范围是：（）． A ．3a > B ．3a < C ．4a > D ．4a <8．在长方体1111ABCD A B C D -中，AB 11BC AA ==，点M 为1AB 的中点，点P 为对角线1AC 上的动点，点Q 为底面ABCD 上的动点，（点P Q 、可以重合），则MP PQ +的最小值为（）．A B C ．34 D ．1第二部分（非选择题共110 分）二、填空题：本小题共6 小题，每小题5 分，共30 分．9．复数10i3i=+______． 10．双曲线22:184x y C -=的离心率为_________；渐近线的方程为_________．11．已知角α的终边经过点()3,4-，则cos α=______;cos 2α=_________．12．如图，P 为O 外一点，PA 是切线，A 为切点，割线PBC 与O 相交于B C 、，且2PC PA =，D 为线段PC 的中点，AD 的延长线交O 于E ，若34PB =，则PA =_____；AD DE =________．13．现有6人要排成一排照相，其中①②，则不同的排法有______种．（用数字作答）14．如图，正方形ABCD 的边长为2，O 为AD 中点，射线OP 从OA 出发，绕着点O 顺时针方向旋转至OD ，在旋转的过程中，记AOP ∠为x []()0,πx ∈，OP 所经过的在正方形ABCD 内的区域（阴影部分）的面积()S f x =，那么对于函数()f x 有以下三个结论：①π3f ⎛⎫= ⎪⎝⎭；②任意π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都有ππ422f x f x ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； ③任意12π,π2x x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭、且12x x ≠，都有()()12120f x f x x x --＜其中所有正确结论的序号是________．三、解答题：本大题共6 小题，共80 分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13 分）在锐角ABC △中，角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、，已知a =3b =sin B A +=．（Ⅰ）求角A 的大小．（Ⅱ）求ABC △的面积．某厂商调查甲、乙两种不同型号电视机在10个卖场的销售量（单位：台），并根据这10个卖场的销售情况，得到如图所示的茎叶图：为了鼓励卖场，在同型号电视机的销售中，该厂商将销售量高于数据平均数的卖场命名为该型号电视机的“星级卖场”．（Ⅰ）当3a b ==时，记甲型号电视机的“星级卖场”数量为m ，乙型号电视机的“星级卖场”的数量为n ，比较m n 、的大小关系．（Ⅱ）在这10个卖场中，随机选取2个卖场，记X 为其中甲型号电视机的“星级卖场”的个数，求X 的分布列和数学期望．（Ⅲ）若1a =，记乙型号电视机销售量的方差为2s ，根据茎叶图推断b 为和值时，2s 达到最小值．（只需写出结论）如图，在边长为4的菱形ABCD 中，60BAD ∠=︒，DE AB ⊥于点E ，将ADE △沿DE 折起到1A DE △的位置，使1A D DC ⊥，如图2．（Ⅰ）求证：1A E ⊥BCDE ．（Ⅱ）求二面角1E A B C --的余弦值；（Ⅲ）判断在线段EB 上是否存在点P ，使平面1A DP ⊥1A BC ？若存在，求出EPPB的值；若不存在，说明理由．18．（本小题满分13 分）已知函数()211xf x ax -=+，其中R a ∈．（Ⅰ）当14a =-时，求()f x 的单调区间；（Ⅱ）当0a ＞时，证明：存在实数0m ＞，使得对于任意的实数x ，都有()f x m ≤成立．19．（本小题满分14 分）设1F ，2F 分别为椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点，点A 为椭圆E 的左顶点，点B 为椭圆E 的上顶点，且2AB =．（Ⅰ）若椭圆E E 的方程；（Ⅱ）设P 为椭圆E 上一点，且在第一象限内，直线2F P 与y 轴相交于点Q ，若以PQ 为直径的圆经过点1F ，证明：OP >20．（本小题满分13 分）无穷数列12:,,,,n P a a a ，满足i a N *∈，且1()i i a a i N *+∈≤．对于数列P ，记{}()m i n ()k n T P na k k N *=∈≥，其中{}min n n a k ≥表示集合{}n n a k ≥中最小的数．（Ⅰ）若数列:1,3,4,7,P ，写出1()T P ，2()T P ，，()s T P ；（Ⅱ）若()21k T P k =-，求数列P 前n 项的和；（Ⅲ）已知2046a =，求12201246()()()s a a a T P T P T P =+++++++的值．北京市西城区高三年级二模数学试卷（理工类） 2015．5一、选择题：二、填空题：三、解答题：15．（本小题满分13分）（Ⅰ）在ABC △中，由正弦定理sin sin a bA B=，3sin B=3sin B A =，解得sin A =，因为ABC △为锐角三角形，所以π3A =．（Ⅱ）在ABC △中，由余弦定理222cos 2b c a A bc+-=，得219726c c+-=，即2320c c -+=，解得1c =或2c =，当1c =时，因为222cos 02a c b B ac +-==<，所以角B 为钝角，不符合题意，舍去．当2c =时，因为222cos 02a c b B ac +-==>．且b c >，b a >．所以ABC △为锐角三角形，符合题意．所以ABC △的面积11sin 3222S bc A ==⨯⨯=．16．（本小题满分13分）（Ⅰ）根据茎叶图，得甲组数据的平均数为101014182225273041432410+++++++++=，乙组数据的平均数为1018202223313233334326.510+++++++++=．由茎叶图，知甲型号电视机的“星级卖场”的个数5m =，乙型号电视机的“星级卖场”的个数5n =．所以m n =．（Ⅱ）由题意，X 的所有可能取值为0，1，2，且02552102(0)9C C P X C ===，11552105(1)9C C P X C ===，20552102(2)9C C P X C ===，所以X 的分布列：所以252()0121999E X =⨯+⨯+⨯=．（Ⅲ）当0b =时，2s 达到最小值． 17．（本小题满分14分）（Ⅰ）因为DE BE ⊥，BE DC ∥，所以DE DC ⊥，又因为1A D DC ⊥，1A D DE D =I ，所以DC ⊥平面1A DE ，所以1DC A E ⊥，又因为1A E DE ⊥，DC DE D =I ，所以1A E ⊥平面BCDE ．（Ⅱ）因为1A E ⊥平面BCDE ，DE BE ⊥，所以1A E ，DE ，BE 两两垂直，以EB ，ED ，1EA 分别为x 轴、y 轴和z 轴，如图建立空间直角坐标系．易知DE =则1(0,0,2)A ，(2,0,0)B，C，D ，所以1(2,0,2)BA =-u u u r，BC =u u u r，平面1A BE 的一个法向量为(0,1,0)n =r，设平面1A BC 的法向量为(,,)m x y z =u r，由10BA m ⋅=u u u r u r ，0BC m ⋅=u u u r u r，得22020x z x -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩，令1y =，得(,m =u r，所以cos ,m n m n m n⋅<>==⋅u r ru r r u r r 由图，得二面角1E A B C --的平面角为钝二面角，所以二面角1E A B C --的余弦值为．（Ⅲ）结论：在线段EB 上不存在一点P ，使得平面1A DP ⊥平面1A BC ．假设在线段EB 上存在一点P ，使得平面1A DP ⊥平面1A BC ．设(,0,0)P t （02t ≤≤），则1(,0,2)A P t =-u u u r，12)A D =-u u u r ，设平面1A DP 的法向量为111(,,)p x y z =u r，由10A D p ⋅=u u u r u r ，10A P p ⋅=u u u r u r，得11112020z tx z ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，令12x =，得)p t =u r ，因为平面1A DP ⊥平面1A BC ，所以0m p ⋅=u r u r，即0+=，解得3t =-，因为02t ≤≤，所以在线段上EB 不存在点P ，使得平面1A DP ⊥平面1A BC ． 18．（本小题满分13分）（Ⅰ）当14a =-时，函数21()114xf x x -=-．其定义域为{|2}x x ∈≠±R ，求导，得22222224(1)3()0114(1)4(1)44x x x f x x x -+----'==<--，所以函数()f x 在区间(,2)-∞-，(2,2)-，(2,)+∞上单调递减．（Ⅱ）当0a >时，21()1xf x ax -=+的定义域为R ，求导，得22221()(1)ax ax f x ax --'=+，令()0f x '=，解得110x =-，211x =+，当x 变化时，()f x '与()f x 的变化情况如下表：所以函数()f x 在1(,)x -∞，2(,)x +∞上单调递增，在12(,)x x 上单调递减，又因为(1)0f =，当1x <时，21()01x f x ax -=>+；当1x >时，21()01xf x ax -=<+，所以当1x ≤时，10()()f x f x ≤≤；当1x >时，2()()0f x f x <≤，记12max{(),()}M f x f x =，其中12max{(),()}f x f x 为两数1()f x ，2()f x 中最大的数综上，当0a >时，存在实数[),m M ∈+∞，使得对任意的实数x ，不等式()f x M ≤恒成立． 19．（本小题满分14分）（Ⅰ）设由题意，得224a b +=，且c a =解得a 1b =，c =所以椭圆E 的方程为2213x y +=．（Ⅱ）由题意，的224a b +=，所以椭圆E 的方程为222214x y a a+=-，则1(,0)F c -，2(,0)F c ，c ，设00(,)P x y ，由题意，知0x c ≠，则直线1F P 的斜率100F P y k x c=+，直线2F P 的斜率200F P y k x c=-，所以直线2F P 的方程为00(c)y y x x c=--，当0x =时，00y c y x c -=-，即点00(0,)y cQ x c--，所以直线1F Q 的斜率为10F Q y k c x =-，因为以PQ 为直径的圆经过点1F ，所以1100001F P F Q y yk k x c c x ⨯=⨯=-+-，化简，得22200(24)y x a =--，①又因为P 为椭圆E 上一点，且在第一象限内，所以22002214x y a a+=-，00x >，00y >，② 由①②，解得202a x =，20122y a =-，所以22222001(2)22OP x y a =+=-+，因为22242a b a +=<，所以22a >，OP > 20．（本小题满分13分）（Ⅰ）1()1T P =，2()2T P =，3()2T P =，4()3T P =，5()4T P =．（Ⅱ）由题意，1()1T P =，2()3T P =，3()5T P =，4()7T P =，L 因为2()3T P =，且()min{|}k n T P n a k =≥，所以32a ≥，且22a <，同理，由3()5T P =，()min{|}k n T P n a k =≥，得53a ≥，且43a <，以此类推，得74a ≥，64a <；L ；21n a n -≥，22n a n -<；L 因为1()i i a a i +∈*N ≤，i a ∈*N ，所以121a a ==，342a a ==，L ，212n n a a n -==，L当n 为奇数时，21211(1)2(12)224n n n n a a a -+++++=++++=L L ，当n 为偶数时，21222(12)24n n n na a a ++++=+++=L L ，所以数列{}n a 前n 项的和22(1),21,42,2,4n n n k S k n n n k ⎧+=-⎪⎪=∈⎨+⎪=⎪⎩*N （Ⅲ）解法一：考察符合条件的数列P 中，若存在某个(119)i i ≤≤满足1i i a a +<，对应可得()k T P ，及12201246()()()s a a a T P T P T P =+++++++L L ．因为()min{|}k n T P n a k =≥，所以1()1i a T P i +=+．下面将数列P 略作调整，仅将第i a 的值增加1，具体如下：设1j j a a '=+，对于任何(1)j j ≠，令j j a a '=，可得数列P '及其对应数列()k T P '，根据数列()k T P '的定义，可得1()i a T P i +'=，且()()(1)j j i T P T P j a '=≠+．显然11()()1i i a a T P T P ++'=-．所以12201246()()()s a a a T P T P T P '''''''=+++++++L L121120121246(1)()()(1)()i i i i i a a a a a a a a T P T P T T T P -+++=++++++++++++-+++L L L L 12201246()()()a a a T P T P T P s =+++++++=L L ．即调整后得s s '=，如果数列{}n a '还有存在相邻两项不相等，继续做以上的操作，最终一定可以经过有限次的操作，使得{}n a 中的每一项变为相等，且操作中保持s 的值不变，而当122046a a a ====L 时，1246()()()1T P T P T P ====L ，所以12201246()()()966s a a a T P T P T P =+++++++=L L ．解法二：将问题一般化，下面求1212()()()n n a s a a a T P T P T P =+++++++L L ．当1n =时，1()1T P =，2()1T P =，L ，()1i a T P =，故11112s a a a =+⨯=．当2n =时，1()1T P =，2()1T P =，L ，()1i a T P =，1()2i a T P +=，2()2i a T P +=，L ，2()2a T P =，故1242421()23s a a a a a a =++⨯+-⨯=，猜想(1)n s n a =+，下面用数学归纳法证明：（1）当1n =时，由以上叙述可知，命题成立．（2）假设当n k =时，命题成立，即4(1)s k a =+．当1n k =+时，若1k k a a +=，则12112()()()k k a s a a a a T P T P T P +=++++++++L L 11(1)(2)k k k k a a k a ++=++=+，命题成立．若1k k a a +>，则11211212()()()()()()k k k k k k a a a a s a a a a T P T P T P T P T P T P ++++=++++++++++++L L L112112()()()(1)(1)(1)k k k k k a a a a a a a T P T P T P k k k ++-=+++++++++++++++L L L 144444444444424444444444443共个11(1)(1)(1)(1)k k k k a a k a a k k k ++-=+++++++++L 144444444444424444444444443共个11(1)(1)()k k k k k a a k a a ++=++++-1(2)k k a +=+，命题成立．由（1）和（2），得(1)()n s n a n =+∈*N ．所以当2046a =时，(201)46966s =+⨯=．北京市西城区2014—2015学年度第二学期高三综合练习数学（理科）选填解析1. 【答案】B【解析】{}1A x x =>，{}3B x x =≤，所以(]1,3A B =．故答案为B ．2. 【答案】D【解析】()1,4a b +=，且()//a b c +，所以有4812k k =⇒=--．故答案为D ．3. 【答案】D【解析】由题意得命题p 为真，命题q ：函数()()cos πcos f x x x =+=-为偶函数，命题q 为假命题，则q ⌝为真命题，从而()p q ∧⌝为真命题．故答案为D ．4. 【答案】A【解析】当1n =时，经过判断得31n s =⇒=，所以输出1s =，当2n =时，经过判断得92n s =⇒=，所以输出2s =，当3n =时，经过判断得1s =，所以输出1s =，综上输出的s 满足的集合为{}1,2．故答案为A ．5. 【答案】B【解析】设平均费用为y ，则246464432x y x x x+==+≥，当且仅当644x x =，即4x =时取到最小值．故答案为B ．6. 【答案】B【解析】由数列{}n a 为等差数列，根据等差数列的性质得2420a a a +++()2205a a =+()121510a a =+=，所以()1212a a +=，则()1212121212a a S +⨯==．故答案为B ．7. 【答案】A【解析】由于1x >是2x a x >-的必要而不充分条件，所以2x a x >-，即2x x a +>的解集是{}1x x > 的子集，令()2xf x x =+，则()f x 为增函数，那么()()13f x f >=，则3a >，此时满足2x x a +>条件的x 一定是{}1x x >的子集．故答案为A ．8. 【答案】C【解析】对角线1AC 上的动点P 到底面ABCD 上的Q 点的最小值为点P 在底面ABCD 上的投影，即直线AC 上，所以选择确定点Q ，点1B 沿着线1AC 旋转，使得11ACC B 在一个平面上，过1AB 的中点M 做AC 的垂线，垂足为Q ，MQ 与1AC 的交点为P ，线段MQ 的长度为我们求的最小值．由题意长方体1111ABCD A B C D -，11AB BC AA ===可得111π6B AC CAC ∠=∠=，则1π3MAC ∠=，另外1AB =则AM =π334MQ ==．故答案为C ．9. 【答案】13i +【解析】()()()()10i 3i 10i 3i 10i13i 3i 3i 3i 10--===+++-．故答案为13i +．10. y =【解析】由题意得，2228,412a b c ==⇒=，所以离心率c e a ===，渐近线为b y x a =±==．y x =．11. 【答案】35-，725-【解析】由题意得3cos 5α=-，所以2237cos 22cos 121525αα⎛⎫=-=⋅--=- ⎪⎝⎭．故答案为35-，725-．12. 【答案】32， 98【解析】由切割线定理得22PA PB PC PB PA =⋅=⋅，所以32PA =3PC =；再根据相交弦定理得AD DE BD DC ⋅=⋅，由D 是PC 的中点，所以32DC =，34BD PD PB =-=，则339248AD DE BD DC ⋅=⋅=⋅=．故答案为32，98．13. 【答案】288【解析】所有甲乙不相邻的排法为4245A A ，排除甲与乙两人不相邻，但甲站在两端的情况为114244C C A ，故所以满足条件的排法为4211445244288A A C C A -= 故答案为288．14. 【答案】①②【解析】①如图，当π3AOP ∠=时，OP 与AM 相交于点M ，因为1AO =，则AM =，π132f ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭正确；②由于对称性ππ22f x f x ⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭恰好是正方形的面积，所以ππ422f x f x ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭正确； ③显然()f x 是增函数，所以()()12120f x f x x x ->-，错误．故答案为①②．。

2015西城区高三二模数学(理)试题及答案

1．设集合，集合，则A B ＝（）A．（－1‚ 3）B．（1‚ 3］C．［1‚ 3）D．（－1‚ 3］2．已知平面向量，，则实数k ＝（）A．4 B．－4 C．8 D．－83．设命题p ：函数在R上为增函数；命题q：函数为奇函数．则下列命题中真命题是（）4．执行如图所示的程序框图，若输入的，则输出的s属于（）A． {1‚ 2}B．{1‚ 3}C．{2 ‚ 3}D．{1‚ 3‚ 9}5．某生产厂商更新设备，已知在未来x 年内，此设备所花费的各种费用总和y（万元）与x满足函数关系，若欲使此设备的年平均花费最低，则此设备的使用年限x为（）A．3 B．4 C．5 D．66．数列为等差数列，满足，则数列前21 项的和等于（）A．B．21 C．42D．847．若“ x ＞1 ”是“不等式2x >a -x成立”的必要而不充分条件，则实数a的取值范围是（）A．a ＞3 B．a ＜3 C．a ＞4 D．a ＜4第Ⅱ卷（非选择题共110 分）二、填空题：本小题共6 小题，每小题5 分，共30 分．9．复数＝＿＿＿＿10．双曲线C ：的离心率为；渐近线的方程为．11．已知角α的终边经过点（－3，4），则cos α＝；cos 2α＝．12．如图，P 为O 外一点，P A 是切线， A 为切点，割线PBC 与O 相交于点B 、C ，且 PC ＝ 2P A ， D 为线段 PC 的中点， AD 的延长线交O 于点 E ．若PB ＝34，则P A ＝；AD ·DE ＝．13．现有6 人要排成一排照相，其中甲与乙两人不相邻，且甲不站在两端，则不同的排法有种．（用数字作答）三、解答题：本大题共6 小题，共80 分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13 分）在锐角△ABC 中，角 A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a ，b ＝3，．（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）求△ABC 的面积．16．（本小题满分13 分）某厂商调查甲、乙两种不同型号电视机在10 个卖场的销售量（单位：台），并根据这10 个卖场的销售情况，得到如图所示的茎叶图．为了鼓励卖场，在同型号电视机的销售中，该厂商将销售量高于数据平均数的卖场命名为该型号电视机的“星级卖场”．（Ⅰ）当a ＝ b ＝ 3时，记甲型号电视机的“星级卖场”数量为m ，乙型号电视机的“星级卖场”数量为n ，比较m ，n 的大小关系；（Ⅱ）在这10 个卖场中，随机选取2 个卖场，记X 为其中甲型号电视机的“星级卖场”的个数，求X 的分布列和数学期望．（Ⅲ）若a ＝1，记乙型号电视机销售量的方差为s2，根据茎叶图推断b为何值时，s2达到最小值．（只需写出结论）17．（本小题满分14 分）如图1，在边长为4 的菱形ABCD中，于点E ，将△ADE沿DE 折起到的位置，使，如图2．⑴求证：平面BCDE ；⑵求二面角的余弦值；⑶判断在线段EB上是否存在一点P ，使平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．图1 图218．（本小题满分13 分）已知函数，其中a R ．⑴当时，求f (x)的单调区间；⑵当a＞0时，证明：存在实数m ＞0，使得对于任意的实数x，都有｜ f (x)｜≤m成立．。

2015丰台区数学二模试题(word)及答案

丰台区2015年初三毕业及统一练习（二）数学试卷学校姓名准考证号考生须知1．本试卷共7页，共五道大题，29道小题，满分120分．考试时间120分钟．2．在试卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名和准考证号．3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答．5．考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回．一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的．1．13的倒数是A．3B．3-C．13D．13-2．一根头发丝的直径约为0.00 006纳米，用科学记数法表示0.00 006，正确的是A．6×10-6 B． 6×10-5 C． 6×10-4 D． 0.6×10-43．下面的几何体中，主视图为三角形的是A B C D4．函数2y x=-中，自变量x的取值范围是A．2x≠ B．2x＞ C．2x≥ D．2x≤5．妈妈在端午节煮了10个粽子，其中5个火腿馅，3个红枣馅，2个豆沙馅（除馅料不同外，其它都相同）．煮好后小明随意吃一个，吃到红枣馅粽子的概率是A．110B．15C．310D．126．下面的几何图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是菱形扇形平行四边形等边A B C D7．如图，A ，B 是函数2=y x的图象上关于原点对称的任意两点， BC ∥x 轴， AC ∥y 轴，如果△ABC 的面积记为S ，那么A ．4S =B ．2S =C ．24S ＜＜D ．4S ＞ 8．甲、乙、丙、丁四位同学角逐“汉字听写大赛”的决赛资格，表中统计了他们五次测试成绩的平均分和方差．如果从这四位同学中，选出一位成绩较好且状态稳定的同学参加全市“汉字听写大赛”，那么应选A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁9．某地下车库出口处安装了“两段式栏杆”，如图1所示，点A 是栏杆转动的支点，点E 是栏杆两段的联结点．当车辆经过时，栏杆AEF 最多只能升起到如图2所示的位置，其示意图如图3所示（栏杆宽度忽略不计），其中AB ⊥BC ，EF ∥BC ，∠AEF =143°，AB =AE =1.2米，那么适合该地下车库的车辆限高标志牌为（参考数据：sin 37° ≈ 0.60，cos 37° ≈ 0.80，tan 37° ≈ 0.75）A B C D10．如图，点N 是以O 为圆心，AB 为直径的半圆上的动点，（不与点A ，B 重合），AB =4，M 是OA 的中点，设线段MN 的长为x ，△MNO 的面积为y ，那么下列图象中，能表示y 与x 的函数关系的图象大致是甲乙丙丁平均分 80 80 85 85 方差 59 41 54 42FCBA EEAFCB OyAxA O BM N图3图1 图2A E Fy1y1y1y1A B C D二、填空题（本题共18分，每小题3分） 11．分解因式：34a a -= ．12．如图，在△ABC 中，D 为AB 边上一点，DE ∥BC 交AC 于点E ，如果35AD DB =，AE =6，那么EC 的长为．13．图1中的三翼式旋转门在圆形的空间内旋转，旋转门的三片旋转翼把空间等分成三个部分，图2是旋转门的俯视图，显示了某一时刻旋转翼的位置，根据图2中的数据，可知AB 的长是_________m ．14．将二次函数245y x x =-+化为2()y x h k =-+的形式，那么=h k + ．15．在四边形ABCD 中，如果AB AD =，AB CD ∥，请你添加一个．．条件，使得该四边形是菱形，那么这个条件可以是 .16．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的表达式是y ＝33x ，点A 1坐标为(0，1)，过点A 1作y 轴的垂线交直线l 于点B 1，以原点O 为圆心，OB 1长为半径画弧交y 轴于点A 2；再过点A 2作y 轴的垂线交直线l 于点B 2，以原点O 为圆心，OB 2长为半径画弧交y 轴于点A 3，…，按此做法进行下去，点B 4的坐标为，2015OA = ．2m ABCO A BCED图1图 2l : y=33xy xOB 3B 2B 1A 4A 3A 2A 1三、解答题（本题共30分，每小题5分）17．计算：20153822cos45+--+︒（-1）．18．已知：如图，AB =AE ，∠1=∠2 ，∠B =∠E ．求证：BC =ED ． 19．解不等式组：240,321 5.x x +⎧⎨-->⎩≤（）20．已知3=yx ，求代数式22212y x y x xy y x⎛⎫--⋅ ⎪-+⎝⎭的值．21．已知关于x 的方程2(3)30(0)mx m x m -++=≠．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）如果方程的两个实数根都是整数，且有一根大于1，求满足条件的整数m 的值．22．列方程或方程组解应用题：为响应市政府“绿色出行”的号召，小张上班由自驾车改为骑公共自行车．已知小张家距上班地点10千米．他用骑公共自行车的方式平均每小时行驶的路程比他用自驾车的方式平均每小时行驶的路程少45千米，他从家出发到上班地点，骑公共自行车方式所用的时间是自驾车方式所用的时间的4倍．小张用骑公共自行车方式上班平均每小时行驶多少千米?四、解答题（本题共20分，每小题5分）21ABCED23．如图，在□ABCD 中，E 为BC 边上的一点，将△ABE 沿AE 翻折得到△AFE ，点F 恰好落在线段DE 上．（1）求证：∠FAD =∠CDE ；（2）当AB =5，AD =6，且tan 2ABC ∠=时，求线段EC 的长．24．某校九年级有200名学生参加《中小学生国家体质健康标准》测试赛活动．为了解本次测试的成绩分布情况，从中抽取了20名学生的成绩进行分组整理．现已完成前15个数据的整理，还有后5个数据尚未累计：62，83，76，87，70，学生测试成绩频数分布表学生测试成绩频数分布直方图（1）请将剩余的5个数据累计在“学生测试成绩频数分布表”中，填上各组的频数与频率，并补全“学生测试成绩频数分布直方图”；（2）这20个数据的中位数所在组的成绩范围是；（3）请估计这次该校九年级参加测试赛的学生中约有多少学生成绩不低于80分.25．如图，AB 是⊙O 的直径，以AB 为边作△ABC ，使得AC = AB ，BC 交⊙O 于点D ，联结OD ，过点D 作⊙O 的切线，交AB 延长线于点E ，交AC 于点F ．（1）求证：OD ∥AC ；成绩x （分）频数累计频数频率 50≤x ＜60 3 0.15 60≤x ＜70 70≤x ＜80 80≤x ＜90 90≤x ≤1005 0.25合计201.00BFACEDOA1357成绩（分）10090807060506284频数（2）当AB =10，5cos 5ABC ∠=时，求BE 的长．26．问题背景：在△ABC 中，AB ，BC ，AC 三边的长分别为5，32，17，求这个三角形的面积．小军同学在解答这道题时，先建立了一个正方形网格(每个小正方形的边长为1)，再在网格中画出格点△ABC （即△ABC 三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示．这样不需要求出△ABC 的高，借用网格就能计算出它的面积．CBA图1 图2 （1）请你直接写出△ABC 的面积________；思维拓展：（2）如果△MNP 三边的长分别为10，25，26，请利用图2的正方形网格(每个小正方形的边长为1)画出相应的格点△MNP ，并直接写出△MNP 的面积．五、解答题（本题共22分，第27题7分，第28题7分，第29题8分） 27．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线21y ax bx =++经过(13)A ，，(21)B ，两点.（1）求抛物线及直线AB 的解析式；（2）点C 在抛物线上，且点C 的横坐标为3．将抛物线在点A ，C 之间的部分（包含点A ，C ）记为图象G ，如 76541123321213xOy果图象G 沿y 轴向上平移t （0t >）个单位后与直线 AB 只有一个公共点，求t 的取值范围．28．已知△ABC 是锐角三角形，BA =BC ，点E 为AC 边的中点，点D 为AB 边上一点，且∠ABC =∠AED =α．（1）如图1，当α=40°时，∠ADE = °；（2）如图2，取BC 边的中点F ，联结FD ，将∠AED 绕点E 顺时针旋转适当的角度β(β<α)，得到∠MEN ，EM 与BA 的延长线交于点M ， EN 与FD 的延长线交于点N ．错误！未找到引用源。

北京各区2015届高三二模理科数学分类汇编(概率统计)

北京各区二模理科数学分类汇编概率统计(2015届西城二模)16．（本小题满分13 分）某厂商调查甲、乙两种不同型号电视机在10 个卖场的销售量（单位：台），并根据这10 个卖场的销售情况，得到如图所示的茎叶图．为了鼓励卖场，在同型号电视机的销售中，该厂商将销售量高于数据平均数的卖场命名为该型号电视机的“星级卖场”．（Ⅰ）当a ＝b ＝3时，记甲型号电视机的“星级卖场”数量为m ，乙型号电视机的“星级卖场”数量为n ，比较m ，n 的大小关系；（Ⅱ）在这10 个卖场中，随机选取2 个卖场，记X 为其中甲型号电视机的“星级卖场”的个数，求X 的分布列和数学期望．（Ⅲ）若a ＝1，记乙型号电视机销售量的方差为s2，根据茎叶图推断b为何值时，s2达到最小值．（只需写出结论）16．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：根据茎叶图，得甲组数据的平均数为101014182225273041432410+++++++++=，………1分乙组数据的平均数为1018202223313233334326.510+++++++++=. …………2分由茎叶图，知甲型号电视机的“星级卖场”的个数5m=，………………3分乙型号电视机的“星级卖场”的个数5n=，所以m n=. ………………4分（Ⅱ）解：由题意，X的所有可能取值为0，1，2，………………5分且0255210C C2(0)C9P X===，1155210C C5(1)C9P X===，2055210C C2(2)C9P X===，…………8分所以X的分布列为：X0 1 2P295929………………9分所以252()0121999E X=⨯+⨯+⨯=. ………………10分（Ⅲ）解：当b=0时，2s达到最小值．………………13分(2015届海淀二模)答案：A(2015届海淀二模)（16）（共13分）解：（Ⅰ）20名女生掷实心球得分如下：5，6，7，7，7，7，7，7，8，8，8，9，9，9，9，9，9，9，10，10．所以中位数为8，众数为9．………………3分（Ⅱ）X的可能取值为0，1，2．………………4分73 5 5 284 5 519 7 8 乙甲()21222033095C P X C ===；()1112822048195C C P X C ===；()2822014295C P X C ===；………………10分（Ⅲ）略. ………………13分评分建议：从平均数、方差、极差、中位数、众数等角度对整个年级学生掷实心球项目的情况进行合理的说明即可；也可以对整个年级男、女生该项目情况进行对比；或根据目前情况对学生今后在该项目的训练提出合理建议.(2015届东城二模) （4）甲、乙两名同学8次数学测验成绩如茎叶图所示，12,x x 分别表示甲、乙两名同学8次数学测验成绩的平均数，12,s s 分别表示甲、乙两名同学8次数学测验成绩的标准差，则有（B ）（A ）12x x >，12s s < （B ）12x x =，12s s <（C ）12x x =，12s s = （D ）12x x <，12s s >(2015届东城二模) （16）（本小题共13分）某校高一年级开设A ，B ，C ，D ，E 五门选修课，每位同学须彼此独立地选三门课程，其中甲同学必选A 课程，不选B 课程，另从其余课程中随机任选两门课程．乙、丙两名同学从五门课程中随机任选三门课程．（Ⅰ）求甲同学选中C 课程且乙同学未选中C 课程的概率；（Ⅱ）用X 表示甲、乙、丙选中C 课程的人数之和，求X 的分布列和数学期望．（16）（共13分）解：（Ⅰ）设事件A 为“甲同学选中C 课程”，事件B 为“乙同学选中C 课程”．则1223C 2()C 3P A ==，2435C 3()C 5P B ==．因为事件A 与B 相互独立，所以甲同学选中C 课程且乙同学未选中C 课程的概率为224()()()()[1()]3515P AB P A P B P A P B ==-=⨯=． …………………4分（Ⅱ）设事件C 为“丙同学选中C 课程”．1=6,a则2435C 3()C 5P C ==．X 的可能取值为：0,1,2,3．1224(0)()35575P X P ABC ===⨯⨯=． (1)()()()P X P ABC P ABC P ABC ==++2221321232035535535575=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=． (2)()()()P X P ABC P ABC P ABC ==++2322231333335535535575=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=． 23318(3)()35575P X P ABC ===⨯⨯=． X 为分布列为：420331814028()0123757575757515E X =⨯+⨯+⨯+⨯==．………13分(2015届昌平二模) 5. 在篮球比赛中，某篮球队队员投进三分球的个数如表所示：右图是统计上述6名队员在比赛中投进的三分球总数s A. 6i < B. 7i < C. 8i < D. 9i <(2015届昌平二模) 16. （本小题满分13分）某大学志愿者协会有10名同学，成员构成如下表，其中表中部分数据不清楚，只知道从这10名同学中随机抽取一位，抽到该名同学为“数学专业．．．．”的概率为25.现从这10名同学中随机选取3名同学参加社会公益活动（每位同学被选到的可能性相同）.（I ）求,m n 的值；（II ）求选出的3名同学恰为专业互不相同的男生．．的概率；（III ）设ξ为选出的3名同学中“女生或数学专业．．．．．．．”的学生的人数，求随机变量ξ的分布列及其数学期望E ξ.16. (本小题满分13分)解：（I ）设事件A ：从10位学生中随机抽取一位，抽到该名同学为“数学专业”．由题意可知，“数学专业”的学生共有(1)m +人．则12()105m P A +==．解得 3m =．所以1n =． …………… 4分（II ）设事件B ：从这10名同学中随机选取3名同学为专业互不相同的男生．则123331011()12C C P B C +==． ……………7分（III ）由题意，ξ的可能取值为0，1，2，3．由题意可知，“女生或数学专业”的学生共有7人．所以333101(0)120C P C ===ξ，1273310217(1)12040C C P C ====ξ， 21733106321(2)12040C C P C ====ξ，37310357(3)12024C P C ====ξ．所以ξ的分布列为所以 012312040402410E =⨯+⨯+⨯+⨯=ξ． ……………13分(2015届丰台二模) 16.（本小题共13分）长时间用手机上网严重影响着学生的健康，某校为了解A ，B 两班学生手机上网的时长，分别从这两个班中随机抽取6名同学进行调查，将他们平均每周手机上网时长作为样本数据，绘制成茎叶图如图所示（图中的茎表示十位数字，叶表示个位数字）．如果学生平均每周手机上网的时长超过21小时，则称为“过度用网”．（Ⅰ）请根据样本数据，估计A ，B 两班的学生平均每周上网时长的平均值；（Ⅱ）从A 班的样本数据中有放回地抽取2个数据，求恰有1个数据为“过度用网”的概率；（Ⅲ）从A 班、B 班的样本中各随机抽取2名学生的数据，记“过度用网”的学生人数为ξ，写出ξ的分布列和数学期望ξE ．(2015届昌平二模) 16. （本小题满分13分）某大学志愿者协会有10名同学，成员构成如下表，其中表中部分数据不清楚，只知道从这10名同学中随机抽取一位，抽到该名同学为“数学专业．．．．”的概率为25.现从这10名同学中随机选取3名同学参加社会公益活动（每位同学被选到的可能性相同）. （I ）求,m n 的值；（II ）求选出的3名同学恰为专业互不相同的男生．．的概率；（III ）设ξ为选出的3名同学中“女生或数学专业．．．．．．．”的学生的人数，求随机变量ξ的分布列及其数学期望E ξ. 解：（I ）设事件A ：从10位学生中随机抽取一位，抽到该名同学为“数学专业”．A 班B 班 0 1 2 39 1 0 73 41 1 62 57由题意可知，“数学专业”的学生共有(1)m +人．则12()105m P A +==．解得 3m =．所以1n =． …………… 4分（II ）设事件B ：从这10名同学中随机选取3名同学为专业互不相同的男生．则123331011()12C C P B C +==． ……………7分（III ）由题意，ξ的可能取值为0，1，2，3．由题意可知，“女生或数学专业”的学生共有7人．所以333101(0)120C P C ===ξ，1273310217(1)12040C C P C ====ξ， 21733106321(2)12040C C P C ====ξ，37310357(3)12024C P C ====ξ．所以ξ的分布列为所以1721721012312040402410E =⨯+⨯+⨯+⨯=ξ． ……………13分。

北京市丰台区2015届高三二模数学理试卷

丰台区2015年高三年级第二学期统一练习（二） 2015.5数学（理科）第一部分（选择题共40分）选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．已知{1}A x x =>，2{20}B x x x =-<，则A B =(A) {0x x <或1}x ≥ (B) {12}x x << (C) {0x x <或1}x >(D) {0}x x >2．“a =0”是“复数i z a b =+(a ，b ∈R)为纯虚数”的(A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件 (C) 充分必要条件 (D) 既不充分也不必要条件 “复数i z a b =+(a ，b ∈R)为纯虚数”成立的充分不必要条件是 (A) a =0，b ≠0 (B) a =0 (C) b =0 (D) a =0，b =2 3．直线4y x =+与曲线21y x x =-+所围成的封闭图形的面积为(A) 223 (B)283 (C) 323(D) 343原题：如图所示，直线1y x =+与曲线321y x x x =--+与x 轴所围成的封闭图形的面积是．4．函数1,0,()2cos 1,20x f x x x -≥=--π≤<⎪⎩的所有零点的和等于(A) 1-2π (B) 312π-(C) 1-π(D) 12π-5．某三棱锥的正视图和俯视图如图所示，则其左视图面积为(A) 6 (B)29 (C) 3(D) 23俯视图正视图6．平面向量a 与b 的夹角是3π，且1a = ，2b = ，如果AB a b =+ ，3AC a b =- ，D 是BC 的中点，那么AD =(B) (C) 3(D) 67．某生产厂家根据市场调查分析，决定调整产品生产方案，准备每周（按5天计算）生产A ，B ，C 三种产品共15吨（同一时间段内只能生产一种产品），已知生产这些产品每吨所需天数和每吨产值如下表：则每周最高产值是 (A) 30 (B) 40 (C) 47.5 (D) 52.5某生产厂家根据市场调查分析，决定调整产品生产方案，准备每周（按5天计算）生产A ，B ，C 三种产品共15吨（同一时间段内只能生产一种产品），且C 种产品至少生产5吨，已知生产这些产品每吨所需天数和每吨产值如下表：(A) 40 (B) 42.5 (C) 45 (D) 50 说明：这两个题没有本质区别，主要差一句话（且C 种产品至少生产5吨），这句话意味着什么？考题希望交给学生遇到问题应如何思考。

北京市2015届高三综合能力测试(二)数学(理)试题含答案

A．充分不必要条件 C．充要条件
6、已知数列 an 满足 a1 1 ，且 an an 1 2n ，则数列 an 的前 20 项的和为（ A． 3 211 3 B． 3 211 1 C． 3 210 2
7、已知向量 a ， b 是夹角为 60 的单位向量．当实数 1 时，向量 a 与向量 a b 的夹角范围是（） A． B． 0 , 60 60 ,120
3 210 3
-1-
C． 120 ,180
D． 60 ,180
8、某几何体的三视图如图所示，该几何体的各面中互相垂直的面的对数是（ A． 2 D． 8 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分．） 9、双曲线 C : x 2
5
若直线 y x b 与 f x 在 x 1 处相切，求实数 a ， b 的值；
-3-
若 a 0 ，求证： f x 存在唯一极小值．
2 19、（本小题满分 14 分）已知椭圆 C1 过点 2 ,1 ，且其右顶点与椭圆 C2 : 2 2 x 2 y 4 的右焦点重合．
求证：平面 1AC 底面 AC ；求 1C 与平面 A1A1 所成角的正弦值；若， F 分别是线段 A1C1 ， C1C 的中点，问在线段 1F 上是否存在点，使
得 // 平面 A1A1 ．
18、（本小题满分 13 分）已知函数 f x x a ln x ．
7 ，求边 C 的长．
-2-
16、（本小题满分 13 分）在某地区的足球比赛中，记甲、乙、丙、丁为同一小组的四支队伍，比赛采用单循环制（每两个队比赛一场），并规定小组积分前两名的队出线，其中胜一场积 3 分，平一场积 1 分，负一场积 0 分．由于某些特殊原因，在经过三场比赛后，目前的积分状况如下：甲队积 7 分，乙队积 1 分，丙和丁 1 队各积 0 分．根据以往的比赛情况统计，乙队胜或平丙队的概率均为，乙队 4 1 胜、平、负丁队的概率均为，且四个队之间比赛结果相互独立． 3 求在整个小组赛中，乙队最后积 4 分的概率；

北京市丰台区高三二模理科数学试卷含答案

丰台区2015年高三年级第二学期统一练习（二）数学（理科）第一部分（选择题共40分）选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.已知集合2{R |21},{R |20}A x x B x x x =∈-<<=∈-<，那么A B = （A ）(2,0)- （B ）(2,1)-（C ）(0,2) （D ）(0,1)2.极坐标方程ρ=2cos θ表示的圆的半径是（A ） 12（B ）14（C ）2 （D ）13. “0x >”是“2212x x +≥”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件4.已知向量13(,2a =，(3,1)b =-，c a b λ=+，则c a ⋅等于_________ . （A ）λ （B ）λ- （C ） 1 （D ）-15.如图，设不等式组11,01x y -≤≤⎧⎨≤≤⎩表示的平面区域为长方形ABCD ，长方形ABCD内的曲线为抛物线2y x =的一部分，若在长方形ABCD 内随机取一个点，则此点取自阴影部分的概率等于（A ）23（B ）13（C ）12（D ）146.要得到2()log (2)g x x =的图象，只需将函数2()log f x x =的图象（A ）向上平移1个单位（B ）向下平移1个单位（C ）向左平移1个单位（D ）向右平移1个单位 7.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则下列结论中一定成立的（A ）若50a ，则20150a（B ）若50a ，则20150S（C ）若60a ，则2016a（D ）若60a ，则2016S8. 如图,已知一个八面体的各条棱长均为1,四边形ABCD 为正方形，给出下列命题：① 不平行的两条棱所在的直线所成的角是60o 或90o ；② 四边形AECF 是正方形； ③ 点A 到平面BCE 的距离为1.其中正确的命题有（A ）0个（B ）1个（C ）2个（D ）3个第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9.在复平面内，点A 对应的复数是2+i.若点A 关于实轴的对称点为点B ，则点B 对应的复数为___________.10. 执行右侧程序框图，输入n =4,A =4,x =2,输出结果A 等于______11.已知点(,4)P t 在抛物线24y x =上,抛物线的焦点为F ，那么|PF |=____________.12.已知等差数列{}n a 的公差不为零，且236a a a +=，则12345a a a a a +=++ ______.13. 安排6志愿者去做3项不同的工作，每项工作需要2人，由于工作需要，A ，B 二人必须做同一项工作，C ，D 二人不能做同一项工作，那么不同的安排方案有_________种.14.已知1,3x x ==是函数()sin()(0)f x x ωϕω=+>两个相邻的两个极值点，且()f x 在32x =处的导数3'()02f <，则1()3f =________；三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15.（本小题共13分）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且1cos2a C c b+=.（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若a=，5b=,求c的值.16.（本小题共13分）某地区人民法院每年要审理大量案件，去年审理的四类案件情况如下表所示：其中结案包括：法庭调解案件、撤诉案件、判决案件等.根据以上数据，回答下列问题.（Ⅰ）在编号为1、2、3的收案案件中随机取1件，求该件是结案案件的概率；（Ⅱ）在编号为2的结案案件中随机取1件，求该件是判决案件的概率；（Ⅲ）在编号为1、2、3的三类案件中，判决案件数的平均数为x ,方差为21S ，如果表中n x ，表中全部（4类）案件的判决案件数的方差为22S ，试判断21S 与22S 的大小关系，并写出你的结论（结论不要求证明）.17.（本小题共14分）如图1，已知四边形BCDE 为直角梯形，∠B =90O , BE ∥CD ,且BE =2 CD =2BC =2，A 为BE 的中点.将△EDA 沿AD 折到△PDA 位置(如图2)，连结PC ，PB 构成一个四棱锥P-ABCD .图2图1（Ⅰ）求证AD ⊥PB ；（Ⅱ）若PA ⊥平面ABCD .①求二面角B-PC-D 的大小；②在棱PC 上存在点M ，满足(01)PM PC λλ=≤≤，使得直线AM 与平面PBC 所成的角为45O ，求λ的值.18.（本小题共13分）设函数()e (R)ax f x a =∈.（Ⅰ）当2a =-时，求函数2()()g x x f x =在区间(0,)+∞内的最大值；（Ⅱ）若函数2()1()x h x f x =-在区间(0,16)内有两个零点，求实数a 的取值范围.19.（本小题共13分）已知椭圆C ：22143x y +=.（Ⅰ）求椭圆C 的离心率；（Ⅱ）若椭圆C 与直线y x m =+交于M ，N 两点，且|，求m 的值；（Ⅲ）若点A 11(,)x y 与点22(,)P x y 在椭圆C 上，且点A 在第一象限，点P在第二象限，点B 与点A 关于原点对称，求证：当22124x x +=时，三角形△PAB 的面积为定值.20.（本小题共13分）对于数对序列11:(,)P a b ，22(,)a b ，，(,)n n a b ，(,R ,1,2,3,,)i i a b i n +∈=，记0()0(0)f y y =≥，10,1,2,3,,()max {()}(0,1)k k k k k k k x mf y b x f y a x y k n -==+-≥≤≤，其中m为不超过kya 的最大整数.(注：10,1,2,3,,max {()}k k k k k k x mb x f y a x -=+-表示当k x 取0,1,2,3，…,m时，1()k k k k k b x f y a x -+-中的最大数）已知数对序列:(2,3),(3,4),(3,)P p ，回答下列问题：（Ⅰ）写出1(7)f 的值；（Ⅱ）求2(7)f 的值，以及此时的12,x x 的值；（Ⅲ）求得3(11)f 的值时，得到1234,0,1x x x ===，试写出p 的取值范围.（只需写出结论,不用说明理由）.丰台区2016年高三年级第二学期数学统一练习（二）数学（理科）参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9. 2-i 10. 49 11. 5 12. 1313. 12 14.12三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15.（本小题共13分）解：（Ⅰ）由正弦定理及1cos2a C c b+=得：1sin cos sin sin2A C C B+=，----------------------2分化简1sin cos sin sin()2A C C A C+=+----------------------4分解得：1cos2A=，----------------------6分因为0o<A<180o,所以60oA=. -----------------------7分（Ⅱ）由余弦定理得：221255c c=+-，即2540c c-+=.---------------------10分解得1c=和4c=，---------------------12分经检验1，4都是解，所以c的值是1和 4.---------------------13分16.（本小题共13分）解：（Ⅰ）在编号为1、2、3的收案案件中随机取1件，共有2400+3000+4100=9500种取法，其中取到的是结案案件方法数为2400+2900+4000=9300种---—————-----—--3分设“在收案案件中取1件结案案件”为事件A ，则P （A ）=9395.——-——-----5分（Ⅱ）在该结案案件中任取一件共有2900种取法，其中是判决案件有1200种取法.—8分设“在该结案案件中取1件判决案件”为事件B ，则P （B ）=1229.-----------10分 (注：讲评时应告诉学生这个概率低是因为人民法院做了大量工作如法庭调解案件、使得当事人撤诉等工作，有时法律不能解决感情问题)（Ⅲ）21S >22S .--------------------------13分（可以简单直观解释，也可以具体：设4类案件的均值为X ，则34x xX x +==. 2222212342()()()()4x x x x x x x x S -+-+-+-=2222123()()()()4x x x x x x x x -+-+-+-=222123()()()4x x x x x x -+-+-=22221231()()()3x x x x x x S -+-+-<=）17.（本小题共14分）解：（Ⅰ）在图1中，因为AB ∥CD ，AB =CD ，所以ABCD 为平行四边形，所以AD ∥BC ,因为∠B =90O ,所以AD ⊥BE ，当三角形EDA 沿AD 折起时，AD ⊥AB ，AD ⊥AE ，即：AD ⊥AB ，AD ⊥PA ，-----------------------3分又AB ∩PA =A .所以AD ⊥平面PAB ，-----------------------4分又因为PB 在平面PAB 上，所以AD ⊥PB .---------------------5分（Ⅱ）①以点A 为坐标原点，分别以AB ，AD ，AP 为x ,y ,z轴建立空间直角坐标系，如图. -------6分则A （0,0,0），B （1,0,0），C （1,1,0），P （0,0,1）.即(1,1,1)PC =-，(0,1,0)BC =，(1,0,0)DC =设平面PBC 的法向量为(,,)n x y z =，则0,PC n BC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，所以0,0x y z y +-=⎧⎨=⎩，取1z =，取1x =，所以(1,0,1)n =；同理求得平面PCD 的法向量(0,1,1)m =--.设二面角B-PC-D 为α，所以1cos 2||||n m n m α⋅-==⋅,所求二面角B-PC-D 为120o.②设AM 与面PBC 所成的角为ϕ.(0,0,1)(1,1,1)(,,1)AM AP PM λλλλ=+=+-=-，平面PBC 的法向量 1(1,0,1)n =,sin ϕ=1|cos ,|||2AM n <>==, 解得：20,3λλ==18.（本小题共13分）解：（Ⅰ）当2a =-时，22()e x g x x -=，222'()e (22)=-2(1)e x x g x x x x x --=--—-2分x 与'()g x 、()g x 之间的关系如下表：函数在区间(0,)+∞内只有一个极大值点，所以这个极值点也是最大值点1x =，---4分最大值21(1)e g =. （Ⅱ）（1）当0a =时，2()1h x x =-，显然在区间(0,16)内没有两个零点，0a =不合题意.(2)当0a ≠时，2()1e ax x h x =-，222()(2)e '()e eaxax axax x x ax a h x ---==. ①当0a <且(0,16)x ∈时，'()0h x >，函数()h x 区间(0,)+∞上是增函数，所以函数()h x 区间(0,16)上不可能有两个零点，所以0a <不合题意；②当0a >时，在区间(0,)+∞上x 与'()h x 、()h x 之间的关系如下表：因为(0)1h=-，若函数()h x区间(0,16)上有两个零点，则2()0,216,(16)0haah⎧>⎪⎪⎪<⎨⎪<⎪⎪⎩，所以22816410,1,8210ae aae⎧->⎪⎪⎪>⎨⎪⎪-<⎪⎩，化简20,e1,8ln22aaa⎧<<⎪⎪⎪>⎨⎪⎪>⎪⎩.因为1ln214ln21ln1616 82e<⇔<⇔<⇔<，2ln24eln243eln2e2>⇔>⇔>>,所以1ln22 82e <<.综上所述，当ln222ea<<时，函数2()1()xh xf x=-在区间(0,16)内有两个零点.19.（本小题共14分）解：（Ⅰ）因为2,a b ==1c =，离心率12e =. ————————3分（Ⅱ）22,3412y x m x y =+⎧⎨+=⎩，消去y的并化简得22784120x mx m ++-=.------4分2226428(412)16(213)0m m m ∆=--=->，—————----------5分设1122(,),(,)M x y N x y ，则||7MN ==，-------7分解得2m =±，且满足0∆>. —————————8分（Ⅲ）直线AB 的方程为11y y x x =，即110y x x y -=. 点22(,)P x y 到直线AB 的距离d =，||AB =分21211||||2PAB S AB d y x x y ∆===-， -----—10分因为12120,0,0,0x x y y ><>>，2222112233(4),(4)44y x y x =-=-，12y y ==--12分所以21212112||||||y x x y y x y x -=+-------------13分21|||)x x =2221)2x x =+，=.所以当22124x x +=时，三角形△PAB 的面积为定值. ---------------14分（Ⅲ）方法二：设直线AB 的方程为y kx =，即0kx y -=.220,3412kx y x y -=⎧⎨+=⎩，解得2121234x k =+.1||2||AB x ==点22(,)P x y ）到直线AB 的距离d =，11221||||||||2PAB S AB d x x kx y ∆===-，-------------10分因为12120,0,0,0x x y y ><>>，则0k >.所以1x =，2x ==，212y x ===，----------------12分22kx y k -=⨯-=122||||PAB S x kx y ∆=-==.所以三角形△PAB 的面积为定值.---------------------14分20.（本小题共13分）解：（Ⅰ）1110,1,2,3(7)max {3}max{0,3,6,9}9x f x ====，当13x =时,1(7)9f =.-----4分（Ⅱ）222120,1,2(7)max{4(73)}x f x f x ==+-，111max{0(7),4(4),8(1)}f f f =+++当21x =时，1110,1,2(4)max{3}max{0,3,6}6x f x ====,当12x =时1(4)6f =.当22x =时，1110(1)max{2}0x f x ===,即当10x =时,1(1)0f =.2(7)max{9,46,80}10f =++=，即当21x =，12x =时2(7)10f =.-----10分（Ⅲ）答：4 4.5p <<. ----- -----13分。

数学_2015年北京市西城区高考数学二模试卷(理科)(含答案)

2015年北京市西城区高考数学二模试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共40分）1. 设集合A ＝{x|x −1>0}，集合B ＝{x|x ≤3}，则A ∩B ＝（） A (−1, 3) B (1, 3] C [1, 3) D [−1, 3]2. 已知平面向量a →，b →，c →，a →=(−1, 1)，b →=(2, 3)，c →=(−2, k)，若(a →+b →) // c →，则实数k ＝（）A 4B −4C 8D −83. 设命题 p ：函数f(x)=e x−1在R 上为增函数；命题q ：函数f(x)=cos(x +π)为奇函数．则下列命题中真命题是（）A p ∧qB (￢p)∨qC (￢p)∧(￢q)D p ∧(￢q)4. 执行如图所示的程序框图，若输入的n ∈{1, 2, 3}，则输出的s 属于（）A {1‚2}B {1‚3}C {2‚3}D {1‚3‚9}5. 某生产厂商更新设备，已知在未来x 年内，此设备所花费的各种费用总和y （万元）与x 满足函数关系y ＝4x 2+64，若欲使此设备的年平均花费最低，则此设备的使用年限x 为（）A 3B 4C 5D 66. 数列{a n }为等差数列，满足a 2+a 4+...+a 20＝10，则数列{a n }前21 项的和等于（） A 212 B 21 C 42 D 847. 若“x >1”是“不等式2x >a −x 成立”的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是（） A a >3 B a <3 C a >4 D a <48. 在长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AB =√2，BC =AA 1=1，点M 为AB 1的中点，点P 为对角线AC 1上的动点，点Q 为底面ABCD 上的动点（点P ，Q 可以重合），则MP +PQ 的最小值为( )A √22 B √32 C 34 D 1二、填空题：（本小题共6小题，每小题5分，共30分） 9. 复数10i3+i =________． 10. 双曲线C:x 28−y 24=1的离心率为________；渐近线的方程为________．11. 已知角α的终边经过点(−3, 4)，则cosα=________；cos2α=________．12. 如图，P为⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B、C，且PC=2PA，D为线段PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E．若PB=34，则PA=________；AD⋅DE=________．13. 现有6人要排成一排照相，其中甲与乙两人不相邻，且甲不站在两端，则不同的排法有________种．（用数字作答）14. 如图，正方形ABCD的边长为2，O为AD的中点，射线OP从OA出发，绕着点O顺时针方向旋转至OD，在旋转的过程中，记∠AOP为x(x∈[0, π])，OP所经过正方形ABCD内的区域（阴影部分）的面积S＝f(x)，那么对于函数f(x)有以下三个结论：①f(π3)=√32；②任意x∈[0, π2]，都有f(π2−x)+f(π2+x)＝4；③任意x1，x2∈(π2, π)，且x1≠x2，都有f(x1)−f(x2)x1−x2<0．其中所有正确结论的序号是________．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15. 在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=√7，b＝3，√7sinB+sinA＝2√3．(Ⅰ)求角A的大小；(Ⅱ)求△ABC的面积．16. 某厂商调查甲、乙两种不同型号电视机在10个卖场的销售量（单位：台），并根据这10个卖场的销售情况，得到如图所示的茎叶图．为了鼓励卖场，在同型号电视机的销售中，该厂商将销售量高于数据平均数的卖场命名为该型号电视机的“星级卖场”．(Ⅰ)当a＝b＝3时，记甲型号电视机的“星级卖场”数量为m，乙型号电视机的“星级卖场”数量为n，比较m，n的大小关系；(Ⅱ)在这10个卖场中，随机选取2个卖场，记X为其中甲型号电视机的“星级卖场”的个数，求X的分布列和数学期望．(Ⅲ)若a＝1，记乙型号电视机销售量的方差为s2，根据茎叶图推断b为何值时，s2达到最小值．（只需写出结论）17. 如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠BAD＝60∘，DE⊥AB于点E，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1D⊥DC，如图．（1）求证：A1E⊥平面BCDE；（2）求二面角E−A1B−C的余弦值；（3）判断在线段EB上是否存在一点P，使平面A1DP⊥平面A1BC？若存在，求出EPPB的值；若不存在，说明理由．18. 已知函数f(x)=1−x1+ax2，其中a∈R．（1）当a=−14时，求f(x)的单调区间；（2）当a>0时，证明：存在实数m>0，使得对于任意的实数x，都有|f(x)|≤m成立．19. 设F1，F2分别为椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点，点A为椭圆E的左顶点，点B为椭圆E的上顶点，且|AB|＝2．（1）若椭圆E的离心率为√63，求椭圆E的方程；（2）设P为椭圆E上一点，且在第一象限内，直线F2P与y轴相交于点Q，若以PQ为直径的圆经过点F1，证明：|OP|>√2．20. 无穷数列P:a1，a2，…，a n，…，满足a i∈N∗，且a i≤a i+1(i∈N∗)，对于数列P，记T k(P)=min{n|a n≥k}(k∈N∗)，其中min{n|a n≥k}表示集合{n|a n≥k}中最小的数．（1）若数列P:1‚3‚4‚7‚…，写出T1(P)，T2(P)，…，T5(P)；（2）若T k(P)=2k−1，求数列P前n项的和；（3）已知a20=46，求s=a1+a2+...+a20+T1(P)+T2(P)+...+T46(P)的值．2015年北京市西城区高考数学二模试卷（理科）答案1. B2. D3. D4. A5. B6. B7. A8. C9. 1+3i 10. √62,y =±√22x 11. −35,−725 12. 32,9813. 28814. ①②15. （1）锐角△ABC 中，由条件利用正弦定理可得√7sinA=3sinB，∴ √7sinB ＝3sinA ，再根据√7sinB +sinA ＝2√3，求得sinA =√32，∴ 角A =π3．（2）锐角△ABC 中，由条件利用余弦定理可得a 2＝7＝c 2+9−6c ⋅cos π3，解得c ＝1 或c ＝2．当c ＝1时，cosB =a 2+c 2−b 22ac=−√714<0，故B 为钝角，这与已知△ABC 为锐角三角形相矛盾，故不满足条件．当c ＝2时，△ABC 的面积为12bc ⋅sinA =12⋅3⋅2⋅√32=3√32． 16. （1）根据茎叶图，可得甲组数据的平均数为10+10+14+18+22+25+27+30+41+4310=24，乙组数据的平均数为10+18+20+22+23+31+32+33+33+4310=26.5，甲型号电视机的“星级卖场”数量为m ＝5，乙型号电视机的“星级卖场”数量为n ＝5，所以m ＝n ；（2）X 的可能取值为0，1，2， P(X ＝0)=C 50C52C 102=29，P(X ＝1)=C 51C51C 102=59，P(X ＝2)=C 52C50C 102=29，X 的分布列为：∴ Eξ＝0×29+1×59+2×29=1． (Ⅲ)若a ＝1，b ＝0时，s 2达到最小值． 17. 证明：∵ DE ⊥BE ，BE // DC ， ∴ DE ⊥DC ，∵ A 1D ⊥DC ，A 1D ∩DE ＝D ， ∴ DC ⊥平面A 1DE ， ∴ DC ⊥A 1E ，∵ A 1E ⊥DE ，DC ∩DE ＝D ， ∴ A 1E ⊥平面BCDE ；由题意，以EB ，ED ，EA 1分别为x ，y ，z 轴，建立坐标系，则DE ＝2√3， A 1(0, 0, 2)，B(2, 0, 0)，C(4, 2√3, 0)，D(0, 2√3, 0)， ∴ BA 1→=(−2, 0, 2)，BC →=(2, 2√3, 0)，平面A 1BE 的一个法向量为n →=(0, 1, 0)，设平面A 1BC 的一个法向量为m →=(x, y, z)，则{−2x +2z =02x +2√3y =0，∴ m →=(−√3, 1, −√3)， ∴ cos <m →，n →>=√77， ∴ 二面角E −A 1B −C 的余弦值为−√77；在线段EB 上不存在一点P ，使平面A 1DP ⊥平面A 1BC ，设P(t, 0, 0)(0≤t ≤2)，则A 1P →=(t, 0, −2)，A 1D →=(0, 2√3, −2)，设平面A 1DP 的法向量为p →=(a, b, c)，则{2√3b −2c =0ta −2c =0，∴ p →=(2, √3, t)，∵ 平面A 1DP ⊥平面A 1BC ， ∴ −2√3+√3−√3t ＝0，∴ t ＝−3， ∵ 0≤t ≤2，∴ 在线段EB 上不存在一点P ，使平面A 1DP ⊥平面A 1BC ．18. 解：（1）当a =−14时，f(x)=1−x 1−14x 2；f(x)的定义域为{x|x ≠±2}； f′(x)=−14(x 2−2x+4)(1−14x 2)2=−(x−1)2−34(1−14x 2)2<0；∴ f(x)在(−∞, −2)，(−2, 2)，(2, ∞)上单调递减；∴ f(x)的单调递减区间为(−∞, −2)，(−2, 2)，(2, +∞)；（2）证明：当a >0时，f(x)=1−x1+ax 2的定义域为R ； f′(x)=ax 2−2ax−1(1+ax 2)2，令f′(x)=0得：x1=1−√1+1a <0，x2=1+√1+1a>1；∴ f(x)在(−∞, x1],[x2, +∞)上单调递增，在(x1, x2)上单调递减；又f(1)=0，当x<1时，f(x)1−x1+ax2>0；当x>1时，f(x)<0；∴ x≤1时，0≤f(x)≤f(x1)；x>1时，f(x2)≤f(x)<0；记M=max{|f(x1)|, |f(x2)|}，其中max{|f(x1)|, |f(x2)|}表示两数|f(x1)|，|f(x2)|中最大的数；综上，当a>0时，存在实数m∈[M, +∞)，使得对任意的实数x，不等式|f(x)|≤m恒成立．19. 设c=√a2−b2，由题意可得a2+b2＝4，且e=ca =√63，解得a=√3，b＝1，c=√2，则椭圆方程为x 23+y2＝1；证明：a2+b2＝4，则椭圆E:x2a2+y24−a2=1，F1(−c, 0)，F2(c, 0)，c=√a2−b2=√2a2−4，设P(x0, y0)，则x0≠c，直线F1P的斜率k F1P =y0x0+c，直线F2P的斜率为k F2P =y0x0−c，直线F2P:y=y0x0−c(x−c)，当x＝0时，y=−y0cx0−c ，即Q(0, −y0cx0−c)，F1Q的斜率为k F1Q =y0c−x0，以PQ为直径的圆经过点F1，即有F1P⊥F1Q，即有k F1P ⋅k F1Q=y0x0+c⋅y0c−x0=−1，化简可得y02＝x02−(2a2−4)①又P为E上一点，在第一象限内，则x02a2+y024−a2=1，x0>0，y0>0，②由①②解得x0=12a2，y0＝2−12a2，即有|OP|2＝x02+y02=12(a2−2)2+2，由a2+b2＝4<2a2，即a2>2，则有|OP|>√2．20. 解：（1）∵ 数列P:1‚3‚4‚7‚…，即从第三项起每项是前两项的和，∴ T 1(P)=1，T 2(P)=2，T 3(P)=2，T 4(P)=3，T 5(P)=4；（2）∵ T k (P)=2k −1，∴ T 1(P)=1，T 2(P)=3，T 3(P)=5，T 4(P)=7，… ∵ T 2(P)=3，且T k (P)=min{n|a n ≥k}(k ∈N ∗)， ∴ a 3≥2，且a 2<2，同理，由T 3(P)=5，且T k (P)=min{n|a n ≥k}(k ∈N ∗)，得a 5≥3，a 4<3，以此类推，得a 7≥4，a 6<4；…；a 2n−1≥n ，a 2n−2<n ；… ∵ a i ≤a i+1(i ∈N ∗)，a i ∈N ∗，∴ a 1=a 2=1，a 3=a 4=2，…，a 2n−1=a 2n =n ，… 当n 为奇数时，a 1+a 2+a 3+...+a n =2(1+2+...+n−12)+n+12=(n+1)24，当n 为偶数时，a 1+a 2+a 3+...+a n =2(1+2+...+n 2)=n 2+2n 4，∴ 数列{a n }前n 项的和S n ={(n+1)24，n 为奇数n 2+2n4，n 为偶数；（3）考查符合条件的数列P 中，若存在某个i(1≤i ≤19)满足a i ≤a i+1，对应可得T k (P)，及s =a 1+a 2+...+a 20+T 1(P)+T 2(P)+...+T 46(P)． ∵ T k (P)=min{n|a n ≥k}(k ∈N ∗)，∴ T a i +1(P)=i +1，下面将数列P 略作调整，仅将第a i 的值增加1，具体如下：将a j ′=a j +1，对于任何j(j ≠1)令a j ′=a j ，可得数列P′及其对应数列T k (P′)，根据数列T k (P′)的定义，可得T a i +1(P′)=i ，且T j (P′)=T j (P)(j ≠a i +1)．显然T a i +1(P′)=T a i +1(P)−1，∴ s′=a 1′+a 2′+...+a 20′+T 1(P′)+T 2(P′)+...+T 46(P′)=a 1+a 2+...+a i−1+(a i +1)+a i+1+...+a 20+T 1(P)+T 2(P)+...+(T a i +1−1)+T a i +2+...+T 46(P)=a 1+a 2+...+a 20+T 1(P)+T 2(P)+...+T 46(P)=s ，即调整后s′=s ．如果数列{a n ′}还有存在相邻两项不相等，继续做以上的操作，最终一定可以经过有限次的操作，使得{a n }中的每一项变为相等，且操作中保持s 的值不变，而当a 1=a 2=...=a 20=46时，T 1(P)=T 2(P)=...=T 46(P)=1，∴ s =a 1+a 2+...+a 20+T 1(P)+T 2(P)+...+T 46(P)=46×20+46=966．。

2015年北京市西城区高考数学二模试卷(理科)(解析版)

2015年北京市西城区高考数学二模试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共40分）1．（5分）设集合A＝{x|x﹣1＞0}，集合B＝{x|x≤3}，则A∩B＝（）A．（﹣1，3）B．（1，3]C．[1，3）D．[﹣1，3] 2．（5分）已知平面向量，，，＝（﹣1，1），＝（2，3），＝（﹣2，k），若（+）∥，则实数k＝（）A．4B．﹣4C．8D．﹣83．（5分）设命题p：函数f（x）＝e x﹣1在R上为增函数；命题q：函数f（x）＝cos（x+π）为奇函数．则下列命题中真命题是（）A．p∧q B．（￢p）∨q C．（￢p）∧（￢q）D．p∧（￢q）4．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的n∈{1，2，3}，则输出的s属于（）A．{1‚2}B．{1‚3}C．{2‚3}D．{1‚3‚9} 5．（5分）某生产厂商更新设备，已知在未来x年内，此设备所花费的各种费用总和y（万元）与x满足函数关系y＝4x2+64，若欲使此设备的年平均花费最低，则此设备的使用年限x为（）A．3B．4C．5D．66．（5分）数列{a n}为等差数列，满足a2+a4+…+a20＝10，则数列{a n}前21 项的和等于（）A．B．21C．42D．847．（5分）若“x＞1”是“不等式2x＞a﹣x成立”的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是（）A．a＞3B．a＜3C．a＞4D．a＜48．（5分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝，BC＝AA1＝1，点M为AB1的中点，点P为对角线AC1上的动点，点Q为底面ABCD上的动点（点P、Q可以重合），则MP+PQ的最小值为（）A．B．C．D．1二、填空题：（本小题共6小题，每小题5分，共30分）9．（5分）复数＝．10．（5分）双曲线C：﹣＝1的离心率为；渐近线的方程为．11．（5分）已知角α的终边经过点（﹣3，4），则cosα；cos2α＝．12．（5分）如图，P为⊙O外一点，P A是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B、C，且PC＝2P A，D为线段PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E．若PB＝，则P A＝；AD•DE＝．13．（5分）现有6人要排成一排照相，其中甲与乙两人不相邻，且甲不站在两端，则不同的排法有种．（用数字作答）14．（5分）如图，正方形ABCD的边长为2，O为AD的中点，射线OP从OA 出发，绕着点O顺时针方向旋转至OD，在旋转的过程中，记∠AOP为x（x∈[0，π]），OP所经过正方形ABCD内的区域（阴影部分）的面积S＝f（x），那么对于函数f（x）有以下三个结论：①f（）＝；②任意x∈[0，]，都有f（﹣x）+f（+x）＝4；③任意x1，x2∈（，π），且x1≠x2，都有＜0．其中所有正确结论的序号是．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a ＝，b＝3，sin B+sin A＝2．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）求△ABC的面积．16．（13分）某厂商调查甲、乙两种不同型号电视机在10个卖场的销售量（单位：台），并根据这10个卖场的销售情况，得到如图所示的茎叶图．为了鼓励卖场，在同型号电视机的销售中，该厂商将销售量高于数据平均数的卖场命名为该型号电视机的“星级卖场”．（Ⅰ）当a＝b＝3时，记甲型号电视机的“星级卖场”数量为m，乙型号电视机的“星级卖场”数量为n，比较m，n的大小关系；（Ⅱ）在这10 个卖场中，随机选取2 个卖场，记X为其中甲型号电视机的“星级卖场”的个数，求X的分布列和数学期望．（Ⅲ）若a＝1，记乙型号电视机销售量的方差为s2，根据茎叶图推断b为何值时，s2达到最小值．（只需写出结论）17．（14分）如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，DE⊥AB于点E，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1D⊥DC，如图．（1）求证：A1E⊥平面BCDE；（2）求二面角E﹣A1B﹣C的余弦值；（3）判断在线段EB上是否存在一点P，使平面A1DP⊥平面A1BC？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．18．（13分）已知函数f（x）＝，其中a∈R．（1）当a＝﹣时，求f（x）的单调区间；（2）当a＞0时，证明：存在实数m＞0，使得对于任意的实数x，都有|f（x）|≤m成立．19．（14分）设F1，F2分别为椭圆E：＝1（a＞b＞0）的左、右焦点，点A为椭圆E的左顶点，点B为椭圆E的上顶点，且|AB|＝2．（1）若椭圆E的离心率为，求椭圆E的方程；（2）设P为椭圆E上一点，且在第一象限内，直线F2P与y轴相交于点Q，若以PQ为直径的圆经过点F1，证明：|OP|＞．20．（13分）无穷数列P：a1，a2，…，a n，…，满足a i∈N*，且a i≤a i+1（i∈N*），对于数列P，记T k（P）＝min{n|a n≥k}（k∈N*），其中min{n|a n≥k}表示集合{n|a n≥k}中最小的数．（Ⅰ）若数列P：1‚3‚4‚7‚…，写出T1（P），T2（P），…，T5（P）；（Ⅱ）若T k（P）＝2k﹣1，求数列P前n项的和；（Ⅲ）已知a20＝46，求s＝a1+a2+…+a20+T1（P）+T2（P）+…+T46（P）的值．2015年北京市西城区高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共40分）1．（5分）设集合A＝{x|x﹣1＞0}，集合B＝{x|x≤3}，则A∩B＝（）A．（﹣1，3）B．（1，3]C．[1，3）D．[﹣1，3]【解答】解：由A中不等式解得：x＞1，即A＝（1，+∞），∵B＝（﹣∞，3]，∴A∩B＝（1，3]．故选：B．2．（5分）已知平面向量，，，＝（﹣1，1），＝（2，3），＝（﹣2，k），若（+）∥，则实数k＝（）A．4B．﹣4C．8D．﹣8【解答】解：∵＝（﹣1，1），＝（2，3），∴+＝（1，4），若（+）∥，则，即k＝﹣8，故选：D．3．（5分）设命题p：函数f（x）＝e x﹣1在R上为增函数；命题q：函数f（x）＝cos（x+π）为奇函数．则下列命题中真命题是（）A．p∧q B．（￢p）∨q C．（￢p）∧（￢q）D．p∧（￢q）【解答】解：命题p：函数f（x）＝e x﹣1在R上为增函数，为真命题，则￢p为假命题，命题q：函数f（x）＝cos（x+π）＝﹣cos x为偶函数，故q为假命题，则￢为真命题，∴p∧q为假命题，￢p∨q为假命题，￢p∧￢q为假命题，p∧￢q为真命题．故选：D．4．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的n∈{1，2，3}，则输出的s属于（）A．{1‚2}B．{1‚3}C．{2‚3}D．{1‚3‚9}【解答】解：由程序框图可得，当n的值为1时，不满足条件n＞2，可得n＝3，满足条件n＞2，计算并输出s ＝1；当n的值为2时，不满足条件n＞2，可得n＝9，满足条件n＞2，计算并输出s ＝2；当n的值为3时，满足条件n＞2，计算并输出s＝1；综上，输出的s∈{1‚2}．故选：A．5．（5分）某生产厂商更新设备，已知在未来x年内，此设备所花费的各种费用总和y（万元）与x满足函数关系y＝4x2+64，若欲使此设备的年平均花费最低，则此设备的使用年限x为（）A．3B．4C．5D．6【解答】解：解法一，根据题意，得；该设备所花费的年平均费用为f（x）＝＝＝4x+，其中x＞0；∵x＞0，∴4x+≥2＝32，当且仅当4x＝，即x＝4时，取“＝”；∴当x＝4时，该设备的年平均花费最低．解法二，根据题意，得；该设备所花费的年平均费用为f（x）＝＝，其中x＞0；设t＝，∴4x2﹣tx+64＝0，∴△＝t2﹣4×4×64≥0，解得t≥32或t≤﹣32（不和题意，舍去），当t＝32时，x＝＝4，∴x＝4时，该设备的年平均花费最低．故选：B．6．（5分）数列{a n}为等差数列，满足a2+a4+…+a20＝10，则数列{a n}前21 项的和等于（）A．B．21C．42D．84【解答】解：根据题意，得10＝a2+a4+…+a20＝a2+a20+a4+a18+…+a10+a12＝10a11，∴a11＝1，∴S21＝a1+a21+a2+a20+…+a10+a12+a11＝21a11＝21，故选：B．7．（5分）若“x＞1”是“不等式2x＞a﹣x成立”的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是（）A．a＞3B．a＜3C．a＞4D．a＜4【解答】解：若2x＞a﹣x，即2x+x＞a；设f（x）＝2x+x，该函数为增函数；根据题意“不等式2x+x＞a成立，即f（x）＞a成立”能得到“x＞1”，并且反之不成立；∵x＞1时，f（x）＞3；∴a＞3．故选：A．8．（5分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝，BC＝AA1＝1，点M为AB1的中点，点P为对角线AC1上的动点，点Q为底面ABCD上的动点（点P、Q可以重合），则MP+PQ的最小值为（）A．B．C．D．1【解答】解：由题意，要求MP+PQ的最小值，就是P到底面ABCD的距离的最小值与MP的最小值之和，Q是P在底面上的射影距离最小，展开三角形ACC1与三角形AB1C1，在同一个平面上，如图，易知∠B1AC1＝∠C1AC＝30°，AM ＝，可知MQ⊥AC时，MP+PQ的最小，最小值为：＝．故选：C．二、填空题：（本小题共6小题，每小题5分，共30分）9．（5分）复数＝1+3i．【解答】解：＝．故答案为：1+3i．10．（5分）双曲线C：﹣＝1的离心率为；渐近线的方程为y＝±x．【解答】解：∵双曲线的方程是﹣＝1，∴a2＝8，b2＝4，∴c2＝a2+b2＝12，∴a＝2，b＝2，c＝2，∴离心率为e＝＝，渐近线的方程为y＝±x，故答案为：，y＝±x．11．（5分）已知角α的终边经过点（﹣3，4），则cosα﹣；cos2α＝﹣．【解答】解：∵角α的终边经过点（﹣3，4），则x＝﹣3，y＝4，r＝|OP|＝5，∴cosα＝＝﹣cos2α＝2cos2α﹣1＝﹣，故答案为：﹣；﹣．12．（5分）如图，P为⊙O外一点，P A是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B、C，且PC＝2P A，D为线段PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E．若PB＝，则P A＝；AD•DE＝．【解答】解：∵P A是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，∴P A2＝PB•PC，∵PC＝2P A，PB＝，∴P A2＝•2P A，∴P A＝；∵P A2＝PB•PC，PC＝2P A，∴P A＝2PB，∴PD＝2PB，∴PB＝BD，∴BD•DC＝PB•2PB，∵AD•DE＝BD•DC，∴AD•DE＝2PB2＝．故答案为：，．13．（5分）现有6人要排成一排照相，其中甲与乙两人不相邻，且甲不站在两端，则不同的排法有 288 种．（用数字作答）【解答】解：分类讨论，甲站第2个位置，则乙站4，5，6中的一个位置，不同的排法有＝72种；甲站第3个位置，则乙站1，5，6中的一个位置，不同的排法有＝72种；甲站第4个位置，则乙站1，2，6中的一个位置，不同的排法有＝72种；甲站第5个位置，则乙站1，2，3中的一个位置，不同的排法有＝72种，故共有72+72+72+72＝288．故答案为：288．14．（5分）如图，正方形ABCD 的边长为2，O 为AD 的中点，射线OP 从OA出发，绕着点O 顺时针方向旋转至OD ，在旋转的过程中，记∠AOP 为x （x ∈[0，π]），OP 所经过正方形ABCD 内的区域（阴影部分）的面积S ＝f （x ），那么对于函数f （x ）有以下三个结论：①f （）＝；②任意x ∈[0，]，都有f （﹣x ）+f （+x ）＝4；③任意x 1，x 2∈（，π），且x 1≠x 2，都有＜0．其中所有正确结论的序号是 ①② ．【解答】解：当0≤x ≤arctan2时，f （x ）＝＝；当arctan2＜x ＜，在△OBE 中，f （x ）＝S 矩形OABM ﹣S △OME ＝2﹣＝2﹣；当x ＝时，f （x ）＝2；当＜x ≤π﹣arctan2时，同理可得f （x ）＝2﹣．当π﹣arctan2＜x≤π时，f（x）＝4﹣＝4+．于是可得：①＝＝，正确；②对任意x∈[0，]，都有f（﹣x）+f（+x）＝4用换元法，以x代替﹣x，可得：f（x）+f（π﹣x）＝4，因此，故②正确；③不妨设x1＜x2，则＜0⇔f（x1）＞f（x2），显然不正确．综上只有：①②正确．故答案为：①②．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a ＝，b＝3，sin B+sin A＝2．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）求△ABC的面积．【解答】解：（Ⅰ）锐角△ABC中，由条件利用正弦定理可得＝，∴sin B＝3sin A，再根据sin B+sin A＝2，求得sin A＝，∴角A＝．（Ⅱ）锐角△ABC中，由条件利用余弦定理可得a2＝7＝c2+9﹣6c•cos，解得c＝1 或c＝2．当c＝1时，cos B＝＝﹣＜0，故B为钝角，这与已知△ABC为锐角三角形相矛盾，故不满足条件．当c＝2时，△ABC的面积为bc•sin A＝•3•2•＝．16．（13分）某厂商调查甲、乙两种不同型号电视机在10个卖场的销售量（单位：台），并根据这10个卖场的销售情况，得到如图所示的茎叶图．为了鼓励卖场，在同型号电视机的销售中，该厂商将销售量高于数据平均数的卖场命名为该型号电视机的“星级卖场”．（Ⅰ）当a＝b＝3时，记甲型号电视机的“星级卖场”数量为m，乙型号电视机的“星级卖场”数量为n，比较m，n的大小关系；（Ⅱ）在这10 个卖场中，随机选取2 个卖场，记X为其中甲型号电视机的“星级卖场”的个数，求X的分布列和数学期望．（Ⅲ）若a＝1，记乙型号电视机销售量的方差为s2，根据茎叶图推断b为何值时，s2达到最小值．（只需写出结论）【解答】解：（Ⅰ）根据茎叶图，可得甲组数据的平均数为＝24，乙组数据的平均数为＝26.5，甲型号电视机的“星级卖场”数量为m＝5，乙型号电视机的“星级卖场”数量为n＝5，所以m＝n；（Ⅱ）X的可能取值为0，1，2，P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝，X的分布列为：∴Eξ＝0×+1×+2×＝1．（Ⅲ）若a＝1，b＝0时，s2达到最小值．17．（14分）如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，DE⊥AB于点E，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1D⊥DC，如图．（1）求证：A1E⊥平面BCDE；（2）求二面角E﹣A1B﹣C的余弦值；（3）判断在线段EB上是否存在一点P，使平面A1DP⊥平面A1BC？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．【解答】（1）证明：∵DE⊥BE，BE∥DC，∴DE⊥DC，∵A1D⊥DC，A1D∩DE＝D，∴DC⊥平面A1DE，∴DC⊥A1E，∵A1E⊥DE，DC∩DE＝D，∴A1E⊥平面BCDE；（2）解：由题意，以EB，ED，EA1分别为x，y，z轴，建立坐标系，则DE＝2，A1（0，0，2），B（2，0，0），C（4，2，0），D（0，2，0），∴＝（﹣2，0，2），＝（2，2，0），平面A1BE的一个法向量为＝（0，1，0），设平面A1BC的一个法向量为＝（x，y，z），则，∴＝（﹣，1，﹣），∴cos＜，＞＝，∴二面角E﹣A1B﹣C的余弦值为﹣；（3）解：在线段EB上不存在一点P，使平面A1DP⊥平面A1BC，设P（t，0，0）（0≤t≤2），则＝（t，0，﹣2），＝（0，2，﹣2），设平面A1DP的法向量为＝（a，b，c），则，∴＝（2，，t），∵平面A1DP⊥平面A1BC，∴﹣2+﹣t＝0，∴t＝﹣3，∵0≤t≤2，∴在线段EB上不存在一点P，使平面A1DP⊥平面A1BC．18．（13分）已知函数f（x）＝，其中a∈R．（1）当a＝﹣时，求f（x）的单调区间；（2）当a＞0时，证明：存在实数m＞0，使得对于任意的实数x，都有|f（x）|≤m成立．【解答】解：（1）当a＝﹣时，f（x）＝；f（x）的定义域为{x|x≠±2}；；∴f（x）在（﹣∞，﹣2），（﹣2，2），（2，∞）上单调递减；∴f（x）的单调递减区间为（﹣∞，﹣2），（﹣2，2），（2，+∞）；（2）证明：当a＞0时，f（x）＝的定义域为R；f′（x）＝，令f′（x）＝0得：，；∴f（x）在（﹣∞，x1]，[x2，+∞）上单调递增，在（x1，x2）上单调递减；又f（1）＝0，当x＜1时，f（x）；当x＞1时，f（x）＜0；∴x≤1时，0≤f（x）≤f（x1）；x＞1时，f（x2）≤f（x）＜0；记M＝max{|f（x1）|，|f（x2）|}，其中max{|f（x1）|，|f（x2）|}表示两数|f（x1）|，|f（x2）|中最大的数；综上，当a＞0时，存在实数m∈[M，+∞），使得对任意的实数x，不等式|f（x）|≤m恒成立．19．（14分）设F1，F2分别为椭圆E：＝1（a＞b＞0）的左、右焦点，点A为椭圆E的左顶点，点B为椭圆E的上顶点，且|AB|＝2．（1）若椭圆E的离心率为，求椭圆E的方程；（2）设P为椭圆E上一点，且在第一象限内，直线F2P与y轴相交于点Q，若以PQ为直径的圆经过点F1，证明：|OP|＞．【解答】解：（1）设c＝，由题意可得a2+b2＝4，且e＝＝，解得a＝，b＝1，c＝，则椭圆方程为+y2＝1；（2）证明：a2+b2＝4，则椭圆E：+＝1，F1（﹣c，0），F2（c，0），c＝＝，设P（x0，y0），则x 0≠c，直线F1P的斜率＝，直线F 2P的斜率为＝，直线F2P：y＝（x﹣c），当x＝0时，y＝﹣，即Q（0，﹣），F 1Q的斜率为＝，以PQ为直径的圆经过点F1，即有F 1P⊥F1Q，即有•＝•＝﹣1，化简可得y02＝x02﹣（2a2﹣4）①又P为E上一点，在第一象限内，则+＝1，x0＞0，y0＞0，②由①②解得x0＝a2，y0＝2﹣a2，即有|OP|2＝x02+y02＝（a2﹣2）2+2，由a2+b2＝4＜2a2，即a2＞2，则有|OP|＞．20．（13分）无穷数列P：a1，a2，…，a n，…，满足a i∈N*，且a i≤a i+1（i∈N*），对于数列P，记T k（P）＝min{n|a n≥k}（k∈N*），其中min{n|a n≥k}表示集合{n|a n≥k}中最小的数．（Ⅰ）若数列P：1‚3‚4‚7‚…，写出T1（P），T2（P），…，T5（P）；（Ⅱ）若T k（P）＝2k﹣1，求数列P前n项的和；（Ⅲ）已知a20＝46，求s＝a1+a2+…+a20+T1（P）+T2（P）+…+T46（P）的值．【解答】解：（Ⅰ）∵数列P：1‚3‚4‚7‚…，即从第三项起每项是前两项的和，∴T1（P）＝1，T2（P）＝2，T3（P）＝2，T4（P）＝3，T5（P）＝4；（Ⅱ）∵T k（P）＝2k﹣1，∴T1（P）＝1，T2（P）＝3，T3（P）＝5，T4（P）＝7，…∵T2（P）＝3，且T k（P）＝min{n|a n≥k}（k∈N*），∴a3≥2，且a2＜2，同理，由T3（P）＝5，且T k（P）＝min{n|a n≥k}（k∈N*），得a5≥3，a4＜3，以此类推，得a7≥4，a6＜4；…；a2n﹣1≥n，a2n﹣2＜n；…∵a i≤a i+1（i∈N*），a i∈N*，∴a1＝a2＝1，a3＝a4＝2，…，a2n﹣1＝a2n＝n，…当n为奇数时，a1+a2+a3+…+a n＝2（1+2+…+）+＝，当n为偶数时，a1+a2+a3+…+a n＝2（1+2+…+）＝，∴数列{a n}前n项的和S n＝；（Ⅲ）考查符合条件的数列P中，若存在某个i（1≤i≤19）满足a i≤a i+1，对应可得T k（P），及s＝a1+a2+…+a20+T1（P）+T2（P）+…+T46（P）．∵Tk（P）＝min{n|a n≥k}（k∈N*），∴（P）＝i+1，下面将数列P略作调整，仅将第a i的值增加1，具体如下：将a j′＝a j+1，对于任何j（j≠1）令a j′＝a j，可得数列P′及其对应数列T k（P′），根据数列Tk（P′）的定义，可得（P′）＝i，且T j（P′）＝T j（P）（j ≠a i+1）．显然（P′）＝（P）﹣1，∴s′＝a1′+a2′+…+a20′+T1（P′）+T2（P′）+…+T46（P′）＝a 1+a2+…+a i﹣1+（a i+1）+a i+1+…+a20+T1（P）+T2（P）+…+（﹣1）+ +…+T46（P）＝a1+a2+…+a20+T1（P）+T2（P）+…+T46（P）＝s，即调整后s′＝s．如果数列{a n′}还有存在相邻两项不相等，继续做以上的操作，最终一定可以经过有限次的操作，使得{a n}中的每一项变为相等，且操作中保持s的值不变，而当a1＝a2＝…＝a20＝46时，T1（P）＝T2（P）＝…＝T46（P）＝1，∴s＝a1+a2+…+a20+T1（P）+T2（P）+…+T46（P）＝46×20+46＝966．。

2015高三数学理科海淀二模解析

f ( x) f '( x) f ( x)
3
3
3
(0, e 2 )
e2
0
(e 2 , )

↗

↘
3
所以 f ( x ) 的单调递减区间为 (0, e 2 ) ，单调递增区间为 (e , ) . （Ⅱ）令 g ( x )
3 2
………………6 分
ln x .则 x
1 x 1 ln x 1 ln x g '( x) x f ( x) . ………………7 分 2 x x2 1 1 因为 f ( ) 4 4ln 2 4 4 6 ， f (e) 0 ，且由（Ⅰ）得， f ( x ) 在 2 2
2
2
A
得
8k 2 4 2 4k 2 ，即 . x 0 2k 2 1 2k 2 1 4k 2 4k 2 4k 所以 y0 ，即 P ( 2 , 2 ). 2 2k 1 2k 1 2k 1 4k 2 1 1 . 所以直线 BP 的斜率为 2k 2 2 4k 2k 2 2 2k 1 1 ( x 2) . 所以 BP : y 2k
2 ln x0 1 6 x0 1 所以 g ( x0 ) 6 x0 . x0 x0 x0 1 因为 x0 , 2 1 所以 2 ， 6 x0 3 . x0
所以 y0 g ( x0 ) 1 .
……13 分
19、（共 14 分）
2a 4, 【解析】（Ⅰ）依题意得 c b, 解得： a 2 ， b c 2 . 2 2 2 a b c .
………………7 分
z P M
则 AC (2,1, 0) ， D (2, 0,0) ，P (0, 0, 2) ， PB (0, 2, 2) . 由（Ⅱ）得： PA 平面 ABCD . 所以平面 ABCD 的一个法向量为 n (0, 0,1) . ………………10 分 PM 设 (0 1) ，即 PM PB .所以 PB AM AP PB (0, 2 , 2 2 ) . 设平面 AMC 的法向量为 m ( x, y, z ) ，则 m AC 0, 2 x y 0, 即 2 y (2 2 ) z 0. m AM 0,

2015年北京市朝阳区和西城区高三二模数学理试题及答案(word版)

北京市朝阳区理科数学2015学年度第二学期高三综合练习2015．5第一部分（选择题共40 分）一、选择题（共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1．已知集合，集合，则＝（）．B．C．D．2．执行如图所示的程序框图，则输出的n的值是（）．A．7 B．10 C．66 D．1663．设为虚数单位，，“复数是纯虚数”是“”的（）．A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件4．已知平面上三点A，B，C，满足，则=（）．A．48 B．-48 C．100 D．-1005．已知函数，若对任意的实数x，总有，则的最小值是（）．A．2 B．4 C．D．26．已知双曲线与抛物线有一个公共的焦点F，且两曲线的一个交点为P．若，则双曲线的渐近线方程为（）．7．已知函数，若对任意，都有成立，则实数m的取值范围是（）．8．如图，将一张边长为1的正方形纸ABCD折叠，使得点B始终落在边AD上，则折起部分面积的最小值为（）．第Ⅱ卷（非选择题共110 分）二、填空题：本小题共6 小题，每小题5 分，共30 分．9．展开式中含项的系数是__________．10．已知圆C的圆心在直线x－y=0上，且圆C与两条直线x＋y=0和x＋y－12=0都相切，则圆C的标准方程是__________．11．如图，已知圆B的半径为5，直线AMN与直线ADC为圆B的两条割线，且割线AMN过圆心B．若AM=2，，则AD=__________．12．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面积为__________．13．已知点在函数的图像上，则数列的通项公式为__________；设O为坐标原点，点，则，中，面积的最大值是__________．14．设集合，集合A中所有元素的个数为__________；集合A 中满足条件“”的元素个数为__________．三、解答题：本大题共6 小题，共80 分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题共13分）在梯形ABCD中，（Ⅰ）求AC的长；（Ⅱ）求梯形ABCD的高．某学科测试中要求考生从A，B，C三道题中任选一题作答，考试结束后，统计数据显示共有600名学生参加测试，选择A，B，C三题答卷数如下表：（Ⅰ）某教师为了解参加测试的学生答卷情况，现用分层抽样的方法从600份答案中抽出若干份答卷，其中从选择A题作答的答卷中抽出了3份，则应分别从选择B，C题作答的答卷中各抽出多少份？（Ⅱ）若在（Ⅰ）问中被抽出的答卷中，A，B，C三题答卷得优的份数都是2，从被抽出的A，B，C三题答卷中再各抽出1份，求这3份答卷中恰有1份得优的概率；（Ⅲ）测试后的统计数据显示，B题的答卷得优的有100份，若以频率作为概率，在（Ⅰ）问中被抽出的选择B题作答的答卷中，记其中得优的份数为X，求X的分布列及其数学期望EX．如图，在直角梯形ABCD中，．直角梯形ABEF可以通过直角梯形ABCD以直线AB为轴旋转得到，且平面平面ABCD．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求直线BD和平面BCE所成角的正弦值；（Ⅲ）设H为BD的中点，M，N分别为线段FD，AD上的点（都不与点D重合）．若直线平面MNH，求MH的长．18．（本小题共13分）已知点M为椭圆的右顶点，点A，B是椭圆C上不同的两点（均异于点M），且满足直线MA与直线MB斜率之积为14．（Ⅰ）求椭圆C的离心率及焦点坐标；（Ⅱ）试判断直线AB是否过定点：若是，求出定点坐标；若否，说明理由．19．（本小题共14分）已知函数．（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；（Ⅱ）若在区间(1,2)上存在不相等的实数成立，求的取值范围；（Ⅲ）若函数有两个不同的极值点，，求证：．20．（本小题共13分）已知数列，是正整数1，2，3，，n的一个全排列．若对每个都有或3，则称为H数列．（Ⅰ）写出满足的所有H数列；（Ⅱ）写出一个满足的数列的通项公式；（Ⅲ）在H数列中，记．若数列是公差为d的等差数列，求证：或．参考答案及评分标准高三数学（理科）一、选择题：题号（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）答案 A B B C A C D B二、填空题：题号（9）（10）（11）（12）（13）（14）答案三、解答题：15．（本小题共13 分）解：（Ⅰ）在中，因为，所以．由正弦定理得：，即．（Ⅱ）在中，由余弦定理得：，整理得，解得（舍负）．过点作于，则为梯形的高．因为，，所以．在直角中，．即梯形的高为．16．（本小题共13 分）解：（Ⅰ）由题意可得：题 A B C答卷数180 300 230抽出的答卷数 3 5 2应分别从题的答卷中抽出份，份．（Ⅱ）记事件：被抽出的三种答卷中分别再任取出份，这份答卷中恰有份得优，可知只能题答案为优，依题意．（Ⅲ）由题意可知，题答案得优的概率为，显然被抽出的题的答案中得优的份数的可能取值为，且．；；；；；．随机变量的分布列为：所以．17．（本小题共14分）证明：（Ⅰ）由已知得，．因为平面平面，且平面平面，所以平面，由于平面，所以．（Ⅱ）由（1）知平面所以，．由已知，所以两两垂直．以为原点建立空间直角坐标系（如图）．因为，则，，，，所以，，设平面的一个法向量．所以，即．令，则．设直线与平面所成角为，因为，所以．所以直线和平面所成角的正弦值为．（Ⅲ）在为原点的空间直角坐标系中，，，，，．设，即．，则，，．若平面，则．即．．解得．则，．18．（本小题共13分）解：（Ⅰ）椭圆的方程可化为，则，，．故离心率为，焦点坐标为，．（Ⅱ）由题意，直线的斜率存在，可设直线的方程为，，，则，．由得．判别式．所以，，因为直线与直线的斜率之积为，所以，所以．化简得，所以，化简得，即或．当时，直线方程为，过定点．代入判别式大于零中，解得．当时，直线的方程为，过定点，不符合题意．故直线过定点．19．（本小题共14分）解：（Ⅰ）当时，，．由，解得，．当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增．所以的单调增区间为，单调减区间为．（Ⅱ）依题意即求使函数在上不为单调函数的的取值范围．，设，则，．因为在上为增函数．当，即当时，函数在上有且只有一个零点，设为，当时，，即，为减函数；当时，，即，为增函数，满足在上不为单调函数．当时，，，所以在上成立（因在上为增函数），所以在上成立，即在上为增函数，不合题意．同理时，可判断在为减函数，不合题意．综上．（Ⅲ）．因为函数有两个不同的零点，即有两个不同的零点，即方程的判别式，解得．由，解得，．此时，．随着变化，和的变化情况如下：+ +极大值极小值所以是的极大值点，是的极小值点，所以是极大值，是极小值所以因为，所以，所以．20．（本小题共13分）解：（Ⅰ）满足条件的数列有两个：．（Ⅱ）由（1）知数列满足，把各项分别加后，所得各数依次排在后，因为，所得数列显然满足或，，即得数列．其中，．如此下去即可得到一个满足的数列为：（其中）（写出此通项也可以（其中））（Ⅲ）由题意知，，且．有解：①，，，则，这与是矛盾的．②时，与①类似可得不成立．③时，，则不可能成立．④时，若或，则或．若或，则，类似于③可知不成立．④时，若同号，则，由上面的讨论可知不可能；若或，则或；⑤时，若异号，则，不行；若同号，则，同样由前面的讨论可知与矛盾．综上，只能为或，且（2）中的数列是的情形，将（2）中的数列倒过来就是，所以为或．北京市西城区2015 年高三二模试卷数学（理科）2015.5本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷1 至2 页，第Ⅱ卷3 至6 页，共150 分．考试时长120 分钟．考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。

2015年北京西城高三二模数学(理科)试题及答案

北京市西城区 2 0 1 5年高三二模试卷数学（理科）2015.5本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷 1 至 2 页，第Ⅱ卷 3 至 6 页，共 150 分．考试时长 120 分钟．考生务势必答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回．1．设会合，会合?，则 A I B＝（）（－1? 3）?（1? 3］?［?（－］A ．B ．C． 1? 3） D ．1? 32．已知平面向量，则实数 k ＝（）A ． 4B．－ 4C． 8D．－ 83．设命题 p ：函数在 R上为增函数；命题q：函数为奇函数．则以下命题中真命题是（）4．履行如下图的程序框图，若输入的，则输出的 s属于（）A．{ 1?2}?B．{1?3}?C．{2?3}?D．{1?3?9}?5．某生产厂商更新设施，已知在将来x 年内，此设施所花销的各样花费总和y（万元）与 x知足函数关系，若欲使此设施的年均匀花销最低，则此设施的使用年限x为（）A ． 3B． 4C．5D． 66．数列为等差数列，知足，则数列前 21项的和等于（）A ．B．21C． 42D． 847．若“x＞ 1 ”是“不等式建立”的必需而不充足条件，则实数a的取值范围是（）A ． a ＞ 3B ． a ＜ 3C． a ＞ 4 D ．a ＜ 48．在长方体，点 M 为AB1的中点，点 P 为对角线AC1上的动点，点Q为底面ABCD上的动点（点P，Q能够重合），则MP＋PQ的最小值为（）第Ⅱ卷（非选择题共110 分）二、填空题：本小题共 6 小题，每题 5 分，共 30 分．9．复数＝＿＿＿＿10．双曲线 C ：的离心率为；渐近线的方程为．．已知角的终边经过点（－，）； cos 2 ＝．11 3 4 ，则 cos ＝ ?12．如图， P 为O 外一点， PA是切线，A为切点，割线PBC 与O订交于点B、C，且 PC ＝ 2PA ， D 为线段 PC 的中点，AD 的延伸线交O于点 E．若PB＝3? ，则4PA ＝； AD·DE ＝．13．现有 6 人要排成一排照相，此中甲与乙两人不相邻，且甲不站在两头，则不一样的排法有种．（用数字作答）14．如图，正方形 ABCD 的边长为 2， O为AD 的中点，射线 OP 从 OA 出发，绕着点 O 顺时针方向旋转至 OD，在旋转的过程中，记， OP 所经过的在正方形 ABCD 内的地区（暗影部分）的面积S ＝ f （x），那么关于函数 f （x）有以下三个结论：①；②随意，都有③随意此中全部正确结论的序号是．三、解答题：本大题共 6 小题，共 80分．解答应写出必需的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分 13分）在锐角△ ABC 中，角 A， B ，C 所对的边分别为 a， b ， c ，已知 a ＝7 ，b＝3，．（Ⅰ）求角 A 的大小；（Ⅱ）求△ ABC 的面积．16．（本小题满分 13分）某厂商检查甲、乙两种不一样型号电视机在10 个卖场的销售量（单位：台），并依据这10个卖场的销售状况，获得如下图的茎叶图．为了鼓舞卖场，在同型号电视机的销售中，该厂商将销售量高于数据均匀数的卖场命名为该型号电视机的“星级卖场”．（Ⅰ）当 a ＝ b ＝3时，记甲型号电视机的“星级卖场”数目为m，乙型号电视机的“星级”n，比较m，n的大小关系；卖场数目为（Ⅱ）在这 10个卖场中，随机选用 2 个卖场，记 X 为此中甲型号电视机的“星级卖场”的个数，求 X 的散布列和数学希望．（Ⅲ）若 a ＝ 1，记乙型号电视机销售量的方差为s2，依据茎叶图推测 b为什么值时， s2达到最小值．（只要写出结论）17．（本小题满分 14分）如图 1，在边长为 4的菱形 ABCD中，于点 E ，将△ADE沿DE 折起到的地点，使，如图2．⑴求证：平面 BCDE ；⑵求二面角的余弦值；⑶判断在线段 EB 上能否存在一点 P ，使平面？若存在，求出的值；若不存在，说明原因．18．（本小题满分 13分）已知函数，此中 a R ．⑴当时，求 f (x)的单一区间；⑵a0m0x f (x)｜≤m建立．当＞时，证明：存在实数＞，使得关于随意的实数，都有｜19．（本小题满分 14分）设分别为椭圆 E：x2y21(a b0) 的左、右焦点，点 A 为椭圆 E 的左极点，a2b2点 B 为椭圆 E 的上极点，且｜AB｜＝ 2．⑴若椭圆 E 的离心率为，求椭圆 E 的方程；⑵设 P 为椭圆 E 上一点，且在第一象限内，直线与y轴订交于点Q，若以PQ为直径的圆经过点F1，证明：20．（本小题满分 13 分）无量数列P：，知足，关于数列P ，记，此中表示会合中最小的数．（Ⅰ）若数列P:1?3?4?7?，写出；（Ⅱ）若，求数列P 前 n项的和；（Ⅲ）已知＝ 46，求的值．欢迎接见“高中试卷网”——。

2015届高三二模理科数学分类汇编(解析)

北京各区二模理科数学分类汇编解析(2015届西城二模)10．双曲线 C ：的离心率为；渐近线的方程为．答案：x y 22,26±= (2015届西城二模)19．（本小题满分14 分）设F 1、F 2分别为椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，点A 为椭圆E 的左顶点，点B 为椭圆E 的上顶点，且｜AB ｜＝2．⑴ 若椭圆E 的离心率为26，求椭圆E 的方程；⑵ 设P 为椭圆E 上一点，且在第一象限内，直线与y 轴相交于点Q ，若以PQ 为直径的圆经过点F 1，证明：|OP|>则219．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：设22c a b =-，由题意，得224a b +=，且6c a =……………… 2分解得3a =1b =，2c = ……………… 4分所以椭圆E 的方程为2213x y +=. ……………… 5分（Ⅱ）解：由题意，得224a b +=，所以椭圆E 的方程为222214x y a a +=-，则1(,0)F c -，2(,0)F c ，22224c a b a =--设00(,)P x y ，由题意，知0x c ≠，则直线1F P 的斜率10F P y k x c=+， ……………… 6分直线2F P 的斜率20F Py k x c =-，所以直线2F P 的方程为0()y y x c x c=--，当0x =时，00y c y x c -=-，即点00(0,)Q y cx c--，所以直线1F Q 的斜率为1F Qy k c x =-， ……………… 8分因为以PQ为直径的圆经过点1F，所以11PF F Q⊥.所以1100001F P F Qy yk kx c c x⨯=⨯=-+-，………………10分化简，得22200(24)y x a=--，○1又因为P为椭圆E上一点，且在第一象限内，所以22002214x ya a+=-，x>，y>，○2由○1○2，解得202ax=，2122y a=-，………………12分所以2222200||1(2)22OP x y a=+=-+，………………13分因为22242a b a+=<，所以22a>，所以||2OP>. ………………14分(2015届海淀二模)答案：(2,)+∞(2015届海淀二模)（19）（共14分）解：（Ⅰ）依题意得22224,,.ac ba b c⎧=⎪=⎨⎪-=⎩解得：2a=，2b c==………………3分所以圆O 的方程为222x y +=，椭圆C 的方程为22142x y +=. ………………5分（Ⅱ）解法一：如图所示，设00(,)P x y （00y ≠）， 0(,)Q Q x y ，则22002201,422,Q x y x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩即220022042,2.Q x y x y ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩ ………………7分又由00:(2)2y AP y x x =++得002(0,)2y M x +. 由00:(2)2y BP y x x =--得002(0,)2y N x --.………………10分所以0000002(,)(,)22Q Q y x y QM x y x x x =--=--++uuu r ,0000002(,)(,)22Q Q y x yQN x y x x x =---=----uuu r .所以222222000002200(42)2042Q x y y y QM QN x y x y -⋅=+=-+=--uuu r uuu r . 所以QM QN ⊥，即90MQN ∠=︒. ………………14分（Ⅱ）解法二：如图所示，设00(,)P x y ，:(2)AP y k x =+（0k ≠）.由221,42(2)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得2222(21)8840k x k x k +++-=.所以20284221k x k --=+，即222421kx k -=+. 所以02421ky k =+，即222244(,)2121k k P k k -++.所以直线BP 的斜率为2224121242221kk k kk +=---+.所以 1:(2)2BP y x k=--. 令0x=得:(0,2)M k ，1(0,)N k. ………………10分设0(,)Q Q x y ，则0(,2)Q QM x k y =--uuu r ，01(,)Q QN x y k=--uuu r .所以22220000121(2)()2Q Q k QM QN x k y y x y y k k+⋅=+--=++-⋅uuu r uuu r .因为2200242,21Q kx y y k +==+，所以 0QM QN ⋅=u u u r u u u r.所以 QM QN ⊥，即90MQN ∠=︒. ………………14分(2015届东城二模)（12）若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>截抛物线24y x =的准线所得线段长为b ，则a = ．答案：552(2015届东城二模) （19）（本小题共13分）已知椭圆C 的中心在原点O ，焦点在xC上的点到两个焦点的距离之和为4．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设A 为椭圆C 的左顶点，过点A 的直线l 与椭圆交于点M ，与y 轴交于点N ，过原点与l 平行的直线与椭圆交于点P ．证明：2||||2||AM AN OP ⋅=．（19）（共13分）解：（Ⅰ）设椭圆C 的标准方程为22221(0)x y a b a b+=>>，由题意知222,24,a b c ca a ⎧=+⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩解得2a =，1b =．所以椭圆C 的标准方程为2214x y +=．……………………………5分（Ⅱ）设直线AM 的方程为：(2)y k x =+，则(0,2)N k ．由22(2)44,y k x x y =+⎧⎨+=⎩，得2222(1+4)161640k x k x k ++-=（*）．设(2,0)A -，11(,)M x y ，则2-，1x 是方程（*）的两个根，所以2122814k x k -=+．所以222284(,)1414k kM k k -++．||AM ===．||AN =2228(1)||||1414k AM AN k k +==++．设直线OP 的方程为：y kx =．由2244,y kx x y =⎧⎨+=⎩，得22(14)40k x +-=．设00(,)P x y ，则202414x k =+，2202414k y k =+．所以22244||14k OP k +=+，222882||14k OP k +=+．所以2||||2||AM AN OP ⋅=． ……………13分(2015届丰台二模)19.（本小题共14分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的焦距为2，其两个焦点与短轴的一个顶点是正三角形的三个顶点．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）动点P 在椭圆C 上，直线l ：4x=与x 轴交于点N ，PM l ⊥于点M （M ，N 不重合），试问在x 轴上是否存在定点T ，使得PTN ∠的平分线过PM 中点，如果存在，求定点T 的坐标；如果不存在，说明理由．(2015届昌平二模) 19.（本小题满分14分）已知椭圆C ：22221(0)+=>>x y a b a b，右焦点F，点D 在椭圆上.（I ）求椭圆C 的标准方程；(II) 已知直线kx y l=:与椭圆C 交于,A B 两点，P 为椭圆C 上异于,A B 的动点.（i ）若直线,PA PB 的斜率都存在，证明：12PA PB k k ⋅=-; (ii) 若0k=，直线,PA PB 分别与直线3x =相交于点,M N ，直线BM 与椭圆C 相交于点Q （异于点B ），求证：A ,Q ,N 三点共线.解：（Ⅰ）依题意，椭圆的焦点为12(F F ，则12||||2DF DF a +=，解得{a c ==2222b a c =-=.故椭圆C 的标准方程为22142x y +=. ……………5分（Ⅱ）(i)证明：设001111(,),(,),(,)P x y A x y B x y --，则22001,42x y +=2211 1.42x y += 两式作差得22220101042x x y y --+=. 因为直线,PA PB 的斜率都存在，所以0212≠-x x .所以2201220112y y x x -=--，即010*******y y y y x x x x +-⨯=-+-. 所以，当,PA PB 的斜率都存在时，12PA PB k k ⋅=-. ……………9分 (ii) 证明：0k=时， 00(,),(2,0),(2,0)P x y A B -.设PA 的斜率为n ，则PB 的斜率为12n-，直线:(2)PA y n x =+，(3,5)M n ，直线1:(2)2PB y x n =--, 1(3,)2N n-，所以直线:5(2)BM y n x =-，直线1:(2)10AN y x n=-+，联立，可得交点2222(501)20(,)501501n nQ n n --++. 因为222222(501)20[]2()4501501n n n n --+=++，所以点2222(501)20(,)501501n n Q n n --++在椭圆22142x y +=上. 即直线MB 与直线NA 的交点Q 在椭圆上，即A ，Q ，N 三点共线. ……………14分。

北京市西城区2015届高三二模数学(理)试题含解析

汽车租赁中的车辆保险费用分摊范本近年来，汽车租赁行业的发展迅速，租车已成为一种常见的出行方式。

然而，在租车过程中，车辆保险费用分摊问题一直备受争议。

为了明确车辆保险费用的分摊范本，保障租车双方的权益，本文将对汽车租赁中的车辆保险费用分摊进行探讨。

一、保险费用的定义及计算方式在汽车租赁中，保险费用指的是为了保障车辆投保人和驾驶人的车辆安全而支付的费用。

计算保险费用时，通常会考虑车辆的价值、车型、驾驶人的驾龄和行驶记录等因素。

二、车辆保险费用的责任划分1.基本强制保险根据我国法律规定，每一辆机动车都必须购买基本强制保险，即交强险。

交强险保障的是在道路交通事故中由被保险人负责的人身伤亡、财产损失责任，费用由所有机动车车主共同分摊。

2.商业保险除了基本强制保险外，车辆租赁公司还可以按照客户的需求为租车提供商业保险，例如车损险、第三者责任险等。

商业保险的费用由租车双方通过协商决定，并在租车合同中明确注明。

三、车辆保险费用分摊的原则1.保险费用由使用方承担汽车租赁中，保险费用应由租车使用方承担。

使用方在租车之前应明确了解并同意支付相应的保险费用。

2.按照使用时间分摊车辆保险费用的分摊应根据租车的使用时间进行合理划分。

通常情况下，按照天数进行分摊是一种常见的方式。

四、车辆保险费用的分摊例子假设小明在租赁一辆汽车，租期为7天，每日租金为100元，保险费用为50元/天。

则车辆保险费用的分摊可以按照以下方式计算：保险费用总额 = 每日保险费用 ×租期天数保险费用总额 = 50元/天 × 7天 = 350元小明需要支付的保险费用 = 每日租金 ×租期天数 ×保险费用占租金比例小明需要支付的保险费用 = 100元 × 7天 × 50% = 350元五、车辆保险费用的支付方式车辆保险费用的支付方式可以根据租车双方的协商而定。

一种常见的做法是，在租车时支付全部保险费用，然后在还车时根据实际使用天数进行退还或调整。

数学_2015年北京市丰台区高考数学二模试卷(理科)(含答案)

2015年北京市丰台区高考数学二模试卷（理科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1. 已知A ={x|x >1}，B ={x|x 2−2x <0}，则A ∪B =( )A {x|x <0或x ≥1}B {x|1<x <2}C {x|x <0或x >1}D {x|x >0} 2. “a =0”是“复数z =a +bi(a, b ∈R)为纯虚数”的( )A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件 3. 直线y =x +4与曲线y =x 2−x +1所围成的封闭图形的面积为（） A 223 B 283 C 323 D 343 4. 函数f(x)={√x −1，x ≥02cosx −1,−2π≤x <0的所有零点的和等于（） A 1−2π B 1−3π2C 1−πD 1−π25. 某三棱锥的正视图和俯视图如图所示，则其左视图面积为（）A 6B 92C 3D 326. 平面向量a →与b →的夹角是π3，且|a →|=1，|b →|=2，如果AB →=a →+b →，AC →=a →−3b →，D 是BC 的中点，那么|AD →|=( )A √3B 2√3C 3D 67. 某生产厂家根据市场调查分析，决定调整产品生产方案，准备每周（按5天计算）生产A ，B ，C 三种产品共15吨（同一时间段内只能生产一种产品），已知生产这些产品每吨所需天数和每吨产值如表：A 30B 40C 47.5D 52.58. 抛物线y 2=4x 的焦点为F ，经过F 的直线与抛物线在x 轴上方的部分相交于点A ，与准线l交于点B ，且AK ⊥l 于K ，如果|AF|=|BF|，那么△AKF 的面积是（） A 4 B 3√3 C 4√3 D 8二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9. 已知正实数x ，y 满足xy =3，则2x +y 的最小值是________．10. 直线l 的斜率是−1，且过曲线{x =2+2cosθy =3+2sinθ（θ为参数）的对称中心，则直线l 的方程是________．11. 已知函数f(x)=12sin2x +√3cos 2x ，则f(x)的最小正周期是________；如果f(x)的导函数是f′(x)，则f′(π6)=________．12. 执行如图所示的程序框图，则输出的结果是________．13. 如图所示，△ABC 内接于⊙O ，PA 是⊙O 的切线，PB ⊥PA ，BE =PE =2PD =4，则PA =________，AC =________．14. 已知非空集合A ，B 满足以下四个条件：①A ∪B ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}；②A ∩B =⌀；③A 中的元素个数不是A 中的元素；④B 中的元素个数不是B 中的元素．（1）如果集合A 中只有1个元素，那么A =________；（2）有序集合对(A, B)的个数是________．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15. 在△ABC 中，A =30∘，BC =2√5，点D 在AB 边上，且∠BCD 为锐角，CD =2，△BCD 的面积为4．（1）求cos∠BCD 的值；（2）求边AC 的长．16. 长时间用手机上网严重影响着学生的健康，某校为了解A ，B 两班学生手机上网的时长，分别从这两个班中随机抽取6名同学进行调查，将他们平均每周手机上网时长作为样本数据，绘制成茎叶图如图所示（图中的茎表示十位数字，叶表示个位数字）．如果学生平均每周手机上网的时长超过21小时，则称为“过度用网”．(Ⅰ)请根据样本数据，分别估计A，B两班的学生平均每周上网时长的平均值；(Ⅱ)从A班的样本数据中有放回地抽取2个数据，求恰有1个数据为“过度用网”的概率；(Ⅲ)从A班、B班的样本中各随机抽取2名学生的数据，记“过度用网”的学生人数为ξ，写出ξ的分布列和数学期望Eξ．17. 如图所示，在四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AA1⊥底面ABCD，BD⊥AC于O，且AA1=OC=2OA=4，点M是棱CC1上一点．（1）如果过A1，B1，O的平面与底面ABCD交于直线l，求证：l // AB；（2）当M是棱CC1中点时，求证：A1O⊥DM；（3）设二面角A1−BD−M的平面角为θ，当|cosθ|=2√525时，求CM的长．18. 已知数列{a n}满足a1=10，a n={2a n−1，n=2k−1+log2a n−1，n=2k+1(n∈N∗)，其前n项和为S n．（1）写出a3，a4；（2）求数列的通项公式；（3）求S n的最大值．19. 已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦距为2，其两个焦点与短轴的一个顶点是正三角形的三个顶点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）动点P在椭圆C上，直线l:x=4与x轴交于点N，PM⊥l于点M（M，N不重合），试问在x轴上是否存在定点T，使得∠PTN的平分线过PM中点，如果存在，求定点T的坐标；如果不存在，说明理由．20. 已知函数f(x)=lnax+1x(a>0)．（1）求函数f(x)的最大值；（2）如果关于x的方程lnx+1=bx有两解，写出b的取值范围（只需写出结论）；（3）证明：当k∈N∗且k≥2时，ln k2<12+13+14+...+1k<lnk．2015年北京市丰台区高考数学二模试卷（理科）答案1. D2. B3. C4. A5. C6. A7. D8. C9. 2√610. x +y −5=0 11. π,−1 12. 212213. 4,5√2 14. {6}；3215. 解：（1）∵ BC =2√5，CD =2，S △BCD =12BC ⋅CD ⋅sin∠BCD =4， ∴ sin∠BCD =2√55． ∵ ∠BCD 为锐角， ∴ cos∠BCD =√1−(2√55)2=√55；（2）在△BCD 中，CD =2，BC =2√5，cos∠BCD =√55，由余弦定理得：DB 2=CD 2+BC 2−2CD ⋅BC ⋅cos∠BCD =4+20−8=16，即DB =4， ∵ DB 2+CD 2=BC 2，∴ ∠CDB =90∘，即△ACD 为直角三角形， ∵ A =30∘，∴ AC =2CD =4．16. （1）A 班样本数据的平均值为16(9+11+13+20+24+37)＝19，由此估计A 班学生每周平均上网时间19小时；B 班样本数据的平均值为16(11+12+21+25+27+36)＝22，由此估计B 班学生每周平均上网时间22小时．（2）因为从A 班的6个样本数据中随机抽取1个的数据，为“过度用网”的概率是13，所以从A 班的样本数据中有放回的抽取2个的数据，恰有1个数据为“过度用网”的概率为P =C 21⋅13⋅23=．(Ⅲ)ξ的可能取值为0，1，2，3，（4） P(ξ＝0)=C42C32C 62C62=225，P(ξ＝1)=C 41C21C32+C 42C31C31C 62C62=2675，P(ξ＝2)=C 22C32+C 42C32+C 41C21C31C31C 62C62=3175，P(ξ＝3)=C 22C32C31+C 41C21C32C 62C62=1175，P(ξ＝4)=C22C32C 62C62=175．ξ的分布列是：Eξ＝0×225+1×2675+2×3175+3×1175+4×175=53．17. 证明：（1）因为ABCD −A 1B 1C 1D 1是棱柱，所以A 1B 1BA 是平行四边形．所以A 1B 1 // AB ．因为A 1B 1⊄平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，所以A 1B 1 // 平面ABCD ．因为平面A 1BO ∩平面ABCD =l ，所以l // A 1B 1．所以l // AB ．（2）因为DB ⊥AC 于O ，如图建立空间直角坐标系．因为AA 1=4，且OC =2AO =4，所以O(0, 0, 0)，C(4, 0, 0)，A(−2, 0, 0)，A 1(−2, 0, 4)．因为M 是棱CC 1中点，所以M(4, 0, 2)．设D(0, b, 0)，所以DM →=(4, −b, 2)，OA 1→=(−2, 0, 4)．所以DM →⋅OA 1→=−8+0+8=0．所以A 1O ⊥DM ．（3）设D(0, b, 0)，B(0, c, 0)，平面A 1BD 的法向量为m →=(x, y, z)，又因为A 1D →=(2,b,−4)，A 1B →=(2,c,−4)，所以{m →⋅A 1B →=0˙，即{2x +by −4z =02x +cy −4z =0．因为b ≠c ，所以y =0，令z =1，则x =2，所以m →=(2, 0, 1)．设M(4, 0, ℎ)，所以MD →=(−4, b, −ℎ)，MB →=(−4,c,−ℎ)．设平面MBD 的法向量为n →=(x, y, z)，所以 {n →⋅MB →=0˙，即{−4x +by −ℎz =0−4x +cy −ℎz =0．因为b ≠c ，所以y =0，令z =1，则x =−ℎ4，所以n →=(−ℎ4, 0, 1)．又因为|cosθ|=2√525，所以|cos <m →，n →>|=2√525，即|m →||n →|˙=|1−ℎ2|√5×√216+1=2√525．解得ℎ=3或ℎ=76．所以点M(4, 0, 3)或M(4, 0, 76)．所以CM =3或CM =76．18. 解：（1）因为a 1=10，所以a 2=2a 1=210，a 3=−1+log 2a 2=−1+log 2210=9， a 4=29．（2）当n 为奇数时，a n =−1+log 2a n−1=−1+log 22a n−2=a n−2−1，即a n −a n−2=−1．所以{a n }的奇数项成首项为a 1=10，公差为−1的等差数列．所以当n 为奇数时，a n =a 1+(n−12)⋅(−1)=21−n 2当n 为偶数时，a n =2a n−1=221−(n−1)2=211−n 2所以a n={211−n2，n=2k21−n2，n=2k−1(k∈N∗)，（3）因为偶数项a n=211−n2>0，奇数项a n=21−n2为递减数列，所以S n取最大值时n为偶数．令a2k+a2k−1≥0(k∈N∗)，即211−k+21−2k+12≥0．所以211−k≥k−11．得k≤11．所以S n的最大值为S22=(210+29+...+21+20)+(10+9+ 0=1−2111−2+12×(1+10)×10=2102．19. 解：（1）由椭圆C的焦距2c=2，解得c=1，因为两个焦点与短轴的一个顶点构成正三角形，所以b=√3c=√3，a=√b2+c2=2，所以椭圆C的标准方程为x 24+y23=1；（2）假设存在点T，使得∠PTN的平分线过PM中点．设P(x0, y0)，T(t, 0)，PM中点为S．因为PM⊥l于点M（M，N不重合），且∠PTN的平分线过S，所以∠PTS=∠STN=∠PST．又因为S为PM的中点，所以|PT|=|PS|=12|PM|．即√(x0−t)2+(y0−0)2=12|x0−4|．因为点P在椭圆C上，所以y02=3(1−x024)，代入上式可得2x0(1−t)+(t2−1)=0．因为对于任意的动点P，∠PTN的平分线都过S，所以此式对任意x0∈(−2, 2)都成立．所以{1−t=0t2−1=0，解得t=1．所以存在定点T，使得∠PTN的平分线过PM中点，此时定点T的坐标为(1, 0)．20. 解：（1）函数f(x)=lnax+1x(a>0)的定义域为{x|x>0}．∵ f(x)=lnax+1x，∴ f′(x)=−lnaxx2；∵ a>0，且当f′(x)=0时，x=1a；当x∈(0, 1a )时，f′(x)>0，f(x)在(0, 1a)上单调递增；当x∈(1a , +∞)时，f′(x)<0，f(x)在(1a, +∞)上单调递减．所以当x=1a 时，f(x)max=f(1a)=a．（2）结合（1）知，当0<b<1时，方程lnx+1=bx有两解；（3）证明：由（1）得lnx+1x≤1，即1−x≤ln1x，（当x=1时，等号成立）；则1−12<ln2，1−23<ln32，…，1−k−1k<ln kk−1，则当k∈N且k≥2时，1 2+13+14+...+1k<lnk；由（1）得lnx+1x≤1，即lnx≤x−1，（当x=1时，等号成立），则ln32<32−1，ln43<43−1，…ln k+1k<k+1k−1，则当k∈N且k≥2时，ln k2<ln k+12<12+13+14+...+1k；综上所述，当k∈N且k≥2时，ln k2<12+13+14+...+1k<lnk．。

2015年高三二模数学（理）北京市朝阳区试题Word版带解析.doc

北京市朝阳区高三年级第二次综合练习数学学科测试（理工类）2015．5（考试时间120分钟满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1.已知集合{}21A x x =>，集合{}(2)0B x x x =-<，则AB =A ．{}12x x << B. {}2x x > C ． {}02x x << D ． {1x x ≤，或}2x ≥ 【答案】A【解析】由不等式21x >得1x <-或1x >，即{1A x =<-或}1x >;由不等式(2)0x x -<得02x <<，即{}02B x x =<<，所以{}12A B x x =<<，故选A【考点】集合运算;一元二次不等式【难度】 22. 执行如图所示的程序框图，则输出的n 的值是A ．7B ．10C ．66D ．166【答案】B【解析】初始值：S ＝1，n ＝1第一次循环：4n =，21417S =+= 第二次循环：7n =，217766S =+=第三次循环：10n =，26610166100S =+=>，输出10n =，故选B 【考点】算法与程序框图【难度】 23. 设i 为虚数单位，m R ∈，“复数(1)+i m m -是纯虚数”是“1m ”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件【答案】B【解析】“复数(1)+i m m -是纯虚数”等价于(1)0m m -=，所以0m =或1m =;所以“复数(1)+i m m -是纯虚数”是“1m”的必要不充分条件，故选B【考点】充分条件与必要条件【难度】 24.已知平面上三点,,A B C 满足=6AB ，=8AC ，=10BC ，则++AB BC BC CA CA ABA. 48B. 48C.100D. 100 【答案】D【解析】因为=6AB ，=8AC ，=10BC ，所以AB AC ⊥，以A 为原点，AB ，AC 所在直线为x ，y 轴建立坐标系，则有(6,0)AB =，(0,8)AC =，所以(6,8)BC =- ，(0,8)CA =-，所以++(6,0)(6,8)(6,8)(0,8)(0,8)(6,0)AB BC BC CA CA AB 36640100故选D【考点】平面向量运算【难度】 25.已知函数()2sin()25f x x ππ=+.若对任意的实数x ，总有12()()()f x f x f x ≤≤，则12x x -的最小值是 A. 2 B.4 C. π D. 2π 【答案】A【解析】依题意1()f x 是函数的最小值，2()f x 是函数的最大值，所以12x x -的最小值为半个周期2，故选A 【考点】三角函数的图象与性质【难度】 26.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>与抛物线24y x =有一个公共的焦点F ，且两曲线的一个交点为P .若52PF =，则双曲线的渐近线方程为 A. 12y x =±B. 2y x =±C. y =D.y = 【答案】C【解析】由抛物线方程可知(,)F 10，因为52PF =，所以P 点横坐标为53122-=，所以纵坐标为因为点P 为交点，且有公共焦点，所以222296141a b a b ⎧-=⎪⎨⎪+=⎩，解得221434a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即12a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以渐近线方程为by x a=±=，故选C 【考点】双曲线;抛物线【难度】 37.已知函数e e()2xxf x ，x R ，若对任意π(0,]2，都有(sin )(1)0f m f m 成立，则实数m 的取值范围是A. 0,1B. 0,2C. ,1D. ,1【答案】D【解析】因为ee e e ()()22xx xxf x f x ，所以()f x 为奇函数;又因为1'()(e e )02x x f x ，所以()f x 为增函数，由(sin )(1)0f m f m 得(sin )(1)(1)f m f m f m所以sin 1m m 对于π(0,]2恒成立，即11sinm 恒成立，因为π(0,]2，所以sin 0,1，所以1110m，故选D 【考点】函数的性质【难度】 48. 如图，将一张边长为1的正方形纸ABCD 折叠，使得点B 始终落在边AD 上，则折起的部分的面积最小值为A. 14B. 38 C. 25 D. 12【答案】B【解析】如图，设折痕为ME ，过E 作EF AB⊥于F ，连接'BB 交ME 于N ，根据对称性可知'BB M E ⊥，且1'2BN BB =，所以'AB B NMB ∆∆∽，所以'BN BMAB BB =，即'BNBM BB AB= 设'AB x =，则'BB ，BN 21(1)2BM x =+又因为EF AB ⊥，所以'M EF B BA ∠=∠，而EF AB =，所以'M EF B BA ∆∆≌，所以'MF B A x == 所以21(1)2BF BM MF x x =-=+-，即21(1)2EC x x =+-所以折起部分的面积22211(1)(1)122(1)222x x xBM EC S BC x x +++-+=⨯==-+ 因为01x ≤≤，所以当12x =时min 38S =，故选D 【考点】函数的应用【难度】 4ACBB 1(B )D C 1(C )NM F E C'B'D A CB第二部分（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上． 9. 41(1)3x展开式中含3x 项的系数是 . 【答案】427【解析】二项展开式通项为114411()()33r r rr r r T C x C x --+=-=-令3r =得3x 项的系数是33414()327C -=-【考点】二项式定理及性质【难度】 210.已知圆C 的圆心在直线0x y -=上，且和两条直线0x y +=和120x y +-=都相切，则圆C 的标准方程是 .【答案】()223(3)18x y -+-=【解析】设圆心(,)C a b ，因为圆心在直线0x y -=上，所以a b =，即(,)C a a因为和两条直线0x y +=和120x y +-==，解得3a =所以半径为r ==所以圆的标准方程为()223(3)18x y -+-=【考点】直线与圆的位置关系;圆的标准方程【难度】 211. 如图，已知圆B 的半径为5，AMN 与ADC 为圆B 的两条割线，且割线AMN 过圆心B .若2AM，60CBD ，则AD = .【答案】3 【解析】因为60CBD，所以5CD =，由割线定理AD AC AM AN ⋅=⋅，即(5)21224AD AD ⋅+=⨯=所以25240AD AD +-=，解得3AD = 【考点】割线定理【难度】 212.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面积为______.A正视图侧视图俯视图【答案】239【解析】四棱锥的直观图如图所示，底面ABCD 为边长为1的菱形，高PO 为3，顶点P 在底面的射影O 为菱形中心，过O 作OE BC ⊥于E ，则32OE =，所以斜高392PE =，所以侧面积为1139424239222BC PE ⨯⨯⨯=⨯⨯⨯=【考点】几何体的三视图与直观图【难度】 313.已知点11(,1)A a ，22(,2)A a ，…，(,)n n A a n （N *n ∈）都在函数13log y x =的图象上.则数列{}n a 的通项公式为_________；设O 为坐标原点，点(,0)n n M a （N *n ∈），则11OA M ∆，22OA M ∆，…，n n OA M ∆中，面积的最大值是_________. 【答案】13nna ;16. 【解析】因为点(,)n a n 在函数13log y x =的图象上，所以13log n n a =，即1()3n n a =;设n n OA M ∆的面积111()223n n n S na n ==，则1111()(1)23n n S n ++=+所以111111()(1)()2323n n n n S S n n ++-=+-1112()233n n-=因为N *n ∈所以10n n S S +-<，所以当1n =时n S 最大，为16【考点】等比数列;数列综合运用【难度】 3 14．设集合123(,,)2,0,2,1,2,3iA m m m m i ，集合A 中所有元素的个数为 ;集合A 中满足条件“12325m m m ”的元素个数为 .【答案】27;18【解析】集合A 中所有元素的个数为11133327C C C =个;因为0i m =或2，所以1m ，2m ，3m 三个数字中只有两种情况（1）一个０，两个2，此时123(,,)m m m 有11132212C C C =种（2）两个０，一个2，此时123(,,)m m m 有11326C C =种共有1８种元素【考点】排列组合【难度】 4三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）在梯形ABCD 中，AB CD ，2CD ，120ADC ，57cos 14CAD. （Ⅰ）求AC 的长; （Ⅱ）求梯形ABCD 的高. 【答案】见解析【解析】解：（Ⅰ）在ACD 中，因为57cos 14CAD，所以21sin 14CAD ，由正弦定理得，sin sin AC CDADC CAD，即32sin 227sin 21CD ADC ACCAD. ……………………………………6分（Ⅱ）在ACD 中，由余弦定理得，22422cos120AC AD AD =+-⨯⨯，整理得22240AD AD +-=，解得4AD =(舍负). 过点D 作D E AB ⊥于E ，则DE 为梯形ABCD 的高. 因为AB CD ，120ADC ，所以60BAD .在直角ADE 中，sin 6023DEAD .即梯形ABCD 的高为【考点】解斜三角形【难度】 316．（本小题满分13分）某学科测试中要求考生从,,A B C 三道题中任选一题作答，考试结束后，统计数据显示共有600名学生参加测试.选择,,A B C 三题答卷数如下表：（Ⅰ）某教师为了解参加测试的学生答卷情况，现用分层抽样的方法从600份答卷中抽出若干份答卷，其中从选择A 题的答卷中抽出了3份，则应分别从选择,B C 题的答卷中抽出多少份？（Ⅱ）若在（Ⅰ）问中被抽出的答卷中，,,A B C 三题答卷得优的份数都是2.从被抽出的,,A B C 三题答卷中再各抽出1份，求这3份答卷恰有1份得优的概率;（Ⅲ）测试后的统计数据显示，B 题的答卷得优的有100份，若以频率作为概率，在（Ⅰ）问中被抽出的选择B题作答的答卷中，记其中得优的份数为X ，求X 的分布列及其数学期望EX ．【答案】见解析【解析】解：（Ⅰ）由题意可得：应分别从,B C 题的答卷中抽取5份，2份.（Ⅱ）记事件M ：被抽取的,,A B C 三种答卷中分别再各任取1份，这3份答卷恰有1份得优，可知只能C 题答卷为优. 依题意131()1355P M =⨯⨯=．（Ⅲ）由题意可知，B 题答卷得优的概率是13．显然被抽取的B 题的答卷中得优的份数X 的可能取值为0,1,2,3,4,5，且X1(5,)3B ．00551232(0)()()33243P X C ===;11451280(1)()()33243P X C ===;22351280(2)()()33243P X C ===;33251240(3)()()33243P X C ===;44151210(4)()()33243P X C ===;5505121(5)()()33243P X C ===．随机变量X 的分布列为所以0123452432432432432432433EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.【考点】古典概率;随机变量的分布列与期望【难度】 317．（本小题满分14分）如图，在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，90DAB ∠=︒，112AD DC AB ===．直角梯形ABEF 可以通过直角梯形ABCD 以直线AB 为轴旋转得到，且平面ABEF ⊥平面ABCD ．（Ⅰ）求证：FA BC ⊥;（Ⅱ）求直线BD 和平面BCE 所成角的正弦值;（Ⅲ）设H 为BD 的中点，M ，N 分别为线段,FD AD 上的点（都不与点D 重合）.若直线FD平面MNH ，求MH 的长.【答案】见解析【解析】证明：（Ⅰ）由已知得90FAB ∠=︒，所以FA AB ⊥，因为平面ABEF ⊥平面ABCD ，且平面ABEF平面ABCD AB =，所以FA ⊥平面ABCD ，由于BC ⊂平面ABCD ，所以FA BC ⊥．（Ⅱ）由（Ⅰ）知FA ⊥平面ABCD ，所以,FA AB FA AD ⊥⊥，由已知DA AB ⊥，所以,,AD AB AF两两垂直．以A 为原点建立空间直角坐标系（如图）．因为112AD DC AB ===，则(0,2,0),(1,1,0),(1,0,0),(0,1,1)B C D E ，ADHCBEFMN ADH CBEN M所以(1,1,0),(0,1,1)BC BE =-=-，设平面BCE 的一个法向量为()x,y,z n =．所以0,0,BC BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n即0,0.x y y z -=⎧⎨-+=⎩令1x =，则(1,1,1)n =．设直线BD 和平面BCE 所成角为θ，因为(1,2,0)BD =-，所以1sin cos ,3BD BD BDθ⋅=〈〉===⋅n n n . 所以直线BD 和平面BCE 所成角的正弦值为15． (Ⅲ)在A 为原点的空间直角坐标系Axyz 中，(0,0,0)A ，(1,0,0)D ，(0,0,1)F ，(0,2,0)B ，H 1(,1,0)2.设01DMk k DF，即DMkDF .,0,DMk k ，则(1,0,)M k k ，1(,1,)2MHkk ，(1,0,1)FD .若FD平面MNH ，则FDMH .即0FD MH .102kk ，解得14k. 则11(,1,)44MH，324MH . 【考点】立体几何综合【难度】 318．（本小题满分13分）已知点M 为椭圆22:3412C x y +=的右顶点，点,A B 是椭圆C 上不同的两点（均异于点M ），满足直线MA 与直线MB 斜率之积为14．（Ⅰ）求椭圆C 的离心率及焦点坐标;（Ⅱ）试判断直线AB 是否过定点？若是，求出定点坐标;若否，说明理由．【答案】见解析【解析】解：（Ⅰ）椭圆C 的方程可化为22143x y +=，则2a =，b 1c =．故离心率为12，焦点坐标为(1,0),(1,0)-．（Ⅱ）由题意，直线AB 斜率存在.可设直线AB 的方程为y kx m =+，11(,)A x y ，22(,)B x y ，则11y kx m =+，22y kx m =+．由22,3412y kx m x y =+⎧⎨+=⎩得222(34)84120k x kmx m +++-=. 判别式2222=644(34)(412)k m k m =2248(43)0k m .所以122834km x x k -+=+，212241234m x x k -=+，因为直线MA 与直线MB 斜率之积为14，所以12121224y y x x ⋅=--，所以12124()()(2)(2)kx m kx m x x ++=--．化简得221212(41)(42)()440k x x km x x m -++++-=，所以22222412(8)(41)(42)4403434m km k km m k k---+++-=++，化简得22280m km k --=，即4m k =或2m k =-.当4m k =时，直线AB 方程为(4)y k x =+，过定点(4,0)-． 4m k =代入判别式大于零中，解得1122k. 当2m k =-时，直线AB 方程为(2)y k x =-，过定点(2,0)M ，不符合题意舍去．故直线AB 过定点(4,0)-．【考点】圆锥曲线综合【难度】 419.（本小题满分14分）已知函数2()()e xf x x a =-，a ∈R ．（Ⅰ）当0a =时，求函数()f x 的单调区间;（Ⅱ）若在区间1,2上存在不相等的实数,m n ，使()()f m f n 成立，求a 的取值范围;（Ⅲ）若函数()f x 有两个不同的极值点1x ，2x ，求证：212()()4e f x f x -<.【答案】见解析【解析】解：（Ⅰ）当0a =时，2()e x f x x =，2()e (2)x f x x x '=+．由2e (2)0x x x +=，解得0x =，2x =-.当(,2)x ∈-∞-时，f '(x)＞0，f (x)单调递增;当(2,0)x ∈-时，f '(x)＜0，f (x)单调递减;当(0,)x ∈+∞时，f '(x)＞0，f (x)单调递增．所以函数()f x 的单调增区间为(,2)-∞-，(0,)+∞，单调减区间为(2,0)-（Ⅱ）依题意即求使函数2()e ()x f x x a =-在1,2上不为单调函数的a 的取值范围.2()e (2)x f x x x a '=+-.设2()2g x x x a =+-，则(1)3g a ，(2)8g a .因为函数()g x 在1,2上为增函数，当(1)30(2)80g a g a ，即当38a 时，函数()g x 在1,2上有且只有一个零点，设为0x .当0(1,)x x 时，()0g x <，即()0f x ，()f x 为减函数; 当0(,2)x x 时，()0g x >，即()0f x ，()f x 为增函数，满足在1,2上不为单调函数. 当3a 时，(1)0g ，(2)0g ，所以在1,2上()g x 0成立（因()g x 在1,2上为增函数），所以在1,2上()0f x '>成立，即()f x 在1,2上为增函数，不合题意.同理8a时，可判断()f x 在1,2上为减函数，不合题意. 综上38a. (Ⅲ) 2()e (2)x f x x x a '=+-．因为函数()f x 有两个不同的极值点，即()f x 有两个不同的零点，即方程220x x a 的判别式440a ∆=+>，解得1a >-.由220x x a +-=，解得1211x x =-=-此时122x x +=-，12x x a =-.随着x 变化时，()f x 和()f x '的变化情况如下：所以1x 是函数()f x 的极大值点，2x 是函数()f x 的极小值点.所以1()f x 为极大值，2()f x 为极小值．所以12221212()()e ()e ()x x f x f x x a x a =-⨯-12222221212=e [()]x x x x a x x a +-++{}122222121212=e [()2]x x x x a x x x x a +-+-+222=e [(42]a a a a --++）2=4e .a --因为1a >-，所以224e 4e a ---<．所以212()()4e f x f x -<．【考点】导数的综合应用【难度】 420.（本小题满分13分）已知数列n n a a a A ,,,:21 2,n n N 是正整数n ,,3,2,1 的一个全排列.若对每个{}2,3,,∈k n ，都有12--=k k a a 或3，则称n A 为H 数列．（Ⅰ）写出满足55=a 的所有H 数列5A ;（Ⅱ）写出一个满足)403,,2,1(55 ==k k a k 的H 数列2015A 的通项公式;（Ⅲ）在H 数列2015A 中，记5(1,2,,403)k k b a k ==.若数列{}k b 是公差为d 的等差数列，求证：5d =或5-．【答案】见解析【解析】解：（Ⅰ）满足条件的数列有两个：3，1，4，2，5;与2，4，1，3，5．…… 3分（Ⅱ）由（Ⅰ）知数列5A ：2，4，1，3，5满足55=a ，把其各项分别加5后，所得各数依次排在后，因为65||2a a -=，所得数列10A 显然满足12--=k k a a 或3，{}2,3,,10k ∈，即得H 数列10A ：2，4，1，3，5，7，9，6，8，10．其中10,5105==a a ．如此下去，即可得一个满足)403,,2,1(55 ==k k a k 的H 数列2015A 为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=--=--=+-=+=kn n k n n k n n k n n k n n a n 5,15,125,235,245,1，（其中)403,,3,2,1 =k （写出此通项也可以：2,541,531,522,51,5n n n k n n k a n n k n n k n n k+=-⎧-=-⎪⎪=+=-⎨-=-⎪=⎪⎩（其中)403,,3,2,1 =k ）（Ⅲ）不妨设0d >．(1)若6d ≥，则20154031402140262413a b b d ==+≥+⨯=，与20152015≤a 矛盾．(2)若14d ≤≤．（i ）若1001≤b ，则1(1)10040241708k b b k d =+-≤+⨯=，403.,2,1⋅⋅⋅=k ．不妨设052015l i a -=，其中0{1,2,,403},{1,2,3,4}l i ∈⋅⋅⋅∈. 于是000000555515(1)5||||||312.l l i l l l i l i a a a a a a i ------≤-+⋅⋅⋅+-≤≤ 即05|2015|12l a -≤，可得2003005≥=l l a b ，与17080≤l b 矛盾．（ii ）若1011≥b ，则1011≥≥b b k ，403,,2,1⋅⋅⋅=k ．不妨设051l i a -=，其中0{1,2,,403},{1,2,3,4}l i ∈⋅⋅⋅∈．于是000000555515(1)5||||||312l l i l l l i l i a a a a a a i ------≤-+⋅⋅⋅+-≤≤ 即05|1|12l a -≤，可得13005≤=l l a b ，与1010≥l b 矛盾．因为d 为整数，所以综上可得5d =. 由（Ⅱ）可知存在使55k k b a k ==（其中403,,2,1⋅⋅⋅=k ）的H 数列2015A ．把上述H 数列2015A 倒序排列，即有5d =-．所以5d =或5-.【考点】数列综合【难度】 5。