考点强化：以特殊三角形为背景的计算与证明

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专题提升(十) 以等腰三角形或直角三角形为背景的计算与证明

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已知如图3，P，Q是△ABC的边BC上的两点，且BP
＝PQ＝QC＝AP＝AQ，求∠BAC的度数．
图3
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解：∵BP＝PQ＝QC＝AP＝AQ，
∴∠PAQ＝∠APQ＝∠AQP＝60°， ∠B＝∠BAP，∠C＝∠CAQ. 又∵∠BAP＋∠B＝∠APQ， ∠C＋∠CAQ＝∠AQP， ∴∠BAP＝∠CAQ＝30°. ∴∠BAC＝∠BAP＋∠PAQ＋∠CAQ＝120°.
腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，D为AB边上一点．求证：BD＝AE.
图8
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解：∵△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，
∴AC＝BC，CD＝CE，∠ECD＝∠ACB＝90°，A＝∠DCB.
EC＝DC，在△ACE 与△BCD 中，∠ACE＝∠BCD， AC＝BC， ∴△ACE≌△BCD，∴BD＝AE.
分∠FAC，请写出图中两对全等三角形，并选择其中一对
加以证明．
图12
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解：△ADC≌△ADF，△ADC≌△CEB.
若选择△ADC≌△ADF，证明如下：
∵AD平分∠FAC，∴∠CAD＝∠FAD. ∵AD⊥CF，∴∠ADC＝∠ADF＝90°.
∠CAD＝∠FAD，在△ADC 和△ADF 中，AD＝AD， ∠ADC＝∠ADF， ∴△ADC≌△ADF(ASA).
专题提升（十）以等腰三角形或直角三角形为背景的计算与证明
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一
以等腰三角形为背景的计算与证明
把一张顶角为36°的等腰三角形纸片剪两刀，分成3 张小纸片，使每张小纸片都是等腰三角形．你能办到吗？请画示意图说明剪法．(浙教版八上P30作业题第5题) 解：如图，作∠ABC的平分线，交AC于点D.在BA上截取BE＝BD，连结ED，则沿虚线BD，DE剪两刀，分成的三个三角形都是等腰三角形．

【K12教育学习资料】[学习]浙江省2019年中考数学复习微专题五以特殊三角形为背景的计算与证明

微专题五以特殊三角形为背景的计算与证明姓名：________ 班级：________ 用时：______分钟1．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，E 为AB 边的中点，以BE 为边作等边△BDE，连结AD ，CD.(1)求证：△ADE≌△CDB；(2)若BC ＝3，在AC 边上找一点H ，使得BH ＋EH 最小，并求出这个最小值．2．如图，在等边△ABC 中，点D ，E ，F 分别同时从点A ，B ，C 出发，以相同的速度在AB ，BC ，CA 上运动，连结DE ，EF ，DF.(1)证明：△DEF 是等边三角形；(2)在运动过程中，当△CEF 是直角三角形时，试求S △DEF S △ABC的值．3．从三角形(不是等腰三角形)一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．(1)如图1，在△ABC中，CD为角平分线，∠A＝40°，∠B＝60°，求证：CD为△ABC的完美分割线；(2)在△ABC中，∠A＝48°，CD是△A BC的完美分割线，且△ACD为等腰三角形，求∠ACB的度数；(3)如图2，在△ABC中，AC＝2，BC＝2，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD是以CD为底边的等腰三角形，求完美分割线CD的长．4．如图，△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，点P为射线BD，CE的交点．(1)求证：BD＝CE；(2)若AB＝2，AD＝1，把△ADE绕点A旋转，当∠EAC＝90°时，求PB的长．5．如图，直角△ABC中，∠A为直角，AB＝6，AC＝8.点P，Q，R分别在AB，BC，CA边上同时开始作匀速运动，2秒后三个点同时停止运动，点P由点A出发以每秒3个单位的速度向点B运动，点Q由点B出发以每秒5个单位的速度向点C运动，点R由点C出发以每秒4个单位的速度向点A运动，在运动过程中：(1)求证：△APR，△BPQ，△CQR的面积相等；(2)求△PQR面积的最小值；(3)用t(秒)(0≤t≤2)表示运动时间，是否存在t，使∠PQR＝90°？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．6．问题：(1)如图1，在Rt△ABC中，AB＝AC，D为BC边上一点(不与点B，C重合)，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连结EC，则线段BC，DC，EC之间满足的等量关系式为________；探索：(2)如图2，在Rt△ABC与Rt△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，将△ADE绕点A旋转，使点D落在BC边上，试探索线段AD，BD，CD之间满足的等量关系，并证明你的结论；应用：(3)如图3，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°.若BD＝9，CD＝3，求AD的长．参考答案1．(1)证明：在Rt△ABC 中，∠B AC ＝30°，E 为AB 边的中点，∴BC＝EA ，∠ABC＝60°.∵△DEB 为等边三角形，∴DB＝DE ，∠DEB＝∠DBE＝60°，∴∠DEA＝120°，∠DBC＝120°，∴∠DEA＝∠DBC，∴△ADE≌△CDB.(2)解：如图，作点E 关于直线AC 对称点E′，连结BE′交AC 于点H ，连结EH ，AE′，则点H 即为符合条件的点．由作图可知，EH ＝HE′，AE′＝AE ，∠E′AC＝∠BAC＝30°，∴∠EAE′＝60°，∴△EAE′为等边三角形，∴EE′＝EA ＝12AB ，∴∠AE′B＝90°. 在Rt△ABC 中，∠BAC＝30°，BC ＝3，∴AB＝23，AE′＝AE ＝3， ∴BE′＝AB 2－AE′2＝（23）2－（3）2＝3，∴BH＋EH 的最小值为3.2．(1)证明：∵△ABC 是等边三角形，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，AB ＝BC ＝CA.∵AD＝BE ＝CF ，∴BD＝CE ＝AF.在△ADF，△BED 和△CFE 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝BE ＝CF ，∠A＝∠B＝∠C，AF ＝BD ＝CE ，∴△ADF≌△BED≌△CFE，∴FD＝DE ＝EF ，∴△DEF 是等边三角形．(2)解：∵△ABC 和△DEF 是等边三角形，∴△DEF∽△ABC.当DE⊥BC 时(EF⊥BC 时，同理)，∠BDE＝30°，∴BE＝12BD ，即BE ＝13BC ， CE ＝23BC. ∵EF＝EC·sin 60°＝23BC·32＝33BC ， ∴S △DEF S △ABC ＝(EF BC )2＝(33)2＝13. 3．(1)证明：∵∠A＝40°，∠B＝60°，∴∠ACB＝80°，∴△ABC 不是等腰三角形．∵CD 平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD＝12∠ACB＝40°， ∴∠ACD＝∠A＝40°，∴△ACD 为等腰三角形．∵∠DCB＝∠A＝40°，∠CBD＝∠ABC，∴△BCD∽△BA C ，∴CD 是△ABC 的完美分割线．(2)解：①当AD ＝CD 时，如图，则∠ACD＝∠A＝48°.∵△BDC∽△BCA，∴∠BCD＝∠A＝48°，∴∠ACB＝∠ACD＋∠BCD＝96°.②当AD ＝AC 时，如图，则∠ACD＝∠ADC＝180°－48°2＝66°.∵△BDC∽△BCA，∴∠BCD＝∠A＝48°，∴∠ACB＝∠ACD＋∠BCD＝114°.③当AC ＝CD 时，如图，则∠ADC＝∠A＝48°.∵△BDC∽△BCA，∴∠BCD＝∠A＝48°.∵∠A DC ＝∠BCD＝48°与∠ADC>∠BCD 矛盾，∴AC＝CD 不成立．综上所述，∠ACB＝96°或114°.(3)解：由已知得AD ＝AC ＝2.∵△BCD∽△BAC，∴BC BA ＝BD BC ＝CD AC. 设BD ＝x(x>0)，则(2)2＝x(x ＋2)，解得x ＝3－1(负值舍去)，∴CD AC ＝BD BC ＝3－12， ∴C D ＝3－12×2＝6－ 2. 4．(1)证明：∵△ABC 和△ADE 是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°， ∴AB＝AC ，AD ＝AE ，∠DAB＝∠EAC，∴△ADB≌△AEC，∴BD＝CE.(2)解：如图，①当点E 在AB 上时，BE ＝AB －AE ＝1.∵∠EAC＝90°，∴CE＝AE 2＋AC 2＝ 5.同(1)可证△ADB≌△AEC，∴∠DBA＝∠ECA.∵∠PEB＝∠AEC，∴△PEB∽△AEC，∴PB AC ＝BE CE ，∴PB 2＝15，∴PB＝255. ②如图，当点E 在BA 延长线上时，BE ＝3.∵∠EAC＝90°，∴CE＝AE 2＋AC 2＝ 5.同(1)可证△ADB≌△AEC，∴∠DBA＝∠ECA.∵∠BEP＝∠CEA，∴△PEB∽△AEC，∴PB AC ＝BE CE ，∴PB 2＝35，∴PB＝655. 综上所述，PB 的长为255或655. 5．(1)证明：在Rt△ABC 中，AB ＝6，AC ＝8，∴BC＝10，sin∠B＝AC BC ＝810＝45，sin∠C＝35. 如图，过点Q 作QE⊥AB 于点E ，作QD⊥AC 于点D.在Rt△BQE 中，BQ ＝5t ，∴sin∠B＝QE BQ ＝45，∴QE＝4t. 在Rt△CDQ 中，CQ ＝BC －BQ ＝10－5t ，∴QD＝CQ·sin∠C＝35(10－5t)＝3(2－t)， QE ＝BQ·sin∠B＝5t·45＝4t. 由运动知AP ＝3t ，CR ＝4t ，∴BP＝AB －AP ＝6－3t ＝3(2－t)，AR ＝AC －CR ＝8－4t ＝4(2－t)，∴S △APR ＝12AP·AR＝12×3t×4(2－t)＝6t(2－t)，S △BPQ ＝12BP·QE＝12×3(2－t)×4t＝6t(2－t)， S △CQR ＝12CR·QD＝12×4t×3(2－t)＝6t(2－t)， ∴S △APR ＝S △BPQ ＝S △CQR ，∴△APR，△BPQ，△CQR 的面积相等．(2)解：由(1)知，S △APR ＝S △BPQ ＝S △CQR ＝6t(2－t)．∵AB＝6，AC ＝8，∴S △PQR ＝S △ABC －(S △APR ＋S △BPQ ＋S △CQR )＝12×6×8－3×6t(2－t)＝24－18(2t －t 2) ＝18(t －1)2＋6.∵0≤t≤2，∴当t ＝1时，S △PQR 最小＝6.(3)解：存在．由(1)知QE ＝4t ，QD ＝3(2－t)，AP ＝3t ，CR ＝4t ，AR ＝4(2－t)， ∴BP＝AB －AP ＝6－3t ＝3(2－t)，AR ＝AC －CR ＝8－4t ＝4(2－t)．∵∠A＝90°，∴四边形AEQD 是矩形，∴AE＝DQ ＝3(2－t)，AD ＝QE ＝4t ，∴DR＝|AD －AR|＝|4t －4(2－t)|＝|4(2t －2)|，PE ＝|AP －AE|＝|3t －3(2－t)|＝|3(2t －2)|.∵∠DQE＝90°，∠PQR＝90°，∴∠DQR＝∠EQP，∴tan∠DQR＝tan∠EQP.在Rt△DQR 中，tan∠DQR＝DR DQ ＝4|2t －2|3（2－t ），在Rt△EQP 中，tan∠EQP＝PE QE ＝3|2t －2|4t， ∴4|2t －2|3（2－t ）＝3|2t －2|4t ， ∴t＝1825或1.6．解：(1) BC ＝DC ＋EC(2)BD 2＋CD 2＝2AD 2，理由如下：如图，连结CE.∵∠BAC＝∠BAD＋∠DAC＝90°，∠DAE＝∠CAE＋∠DAC＝90°， ∴∠BAD＝∠CAE.在△BAD 与△CAE 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ，∠BAD＝∠CAE，AD ＝AE ，∴△BAD≌△CAE，∴BD＝CE ，∠ACE＝∠B，∴∠DCE＝90°，∴CE 2＋CD 2＝ED 2.在Rt△ADE 中，AD 2＋AE 2＝ED 2，AD ＝AE ，∴BD 2＋CD 2＝ED 2，ED ＝2AD ，∴BD 2＋CD 2＝2AD 2.(3)如图，作AE⊥AD，使AE ＝AD ，连结CE ，DE.∵∠BAC＋∠CAD＝∠DAE＋∠CAD，即∠BAD＝∠CAE.在△BAD 与△CAE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ，∠BAD＝∠CAE，AD ＝AE ，∴△BAD≌△CAE(SAS)，∴BD＝CE ＝9.∵∠ADC＝45°，∠EDA＝45°，∴∠EDC＝90°，∴DE＝CE2－CD2＝6 2.∵∠DAE＝90°，∴AD＝AE＝22DE＝6.。

第12讲以特殊三角形为背景的计算和证明

第12讲以特殊三角形为背景的计算和证明二、方法剖析与提炼（一）以等腰三角形为背景的计算与证明例1．（2015温州）如图，在Rt ∠AOB 的平分线ON 上依次取点C ，F ，M ，过点C 作DE ⊥OC ，分别交OA ，OB 于点D ，E ，以FM 为对角线作菱形FGMH .已知∠DFE ＝∠GFH ＝120°，FG ＝FE ，设OC ＝x ，图中阴影部分面积为y ，则y与x 之间的函数关系式是（）A ．y ＝32x 2B ．y ＝3x 2C ．y ＝23x 2D ．y ＝33x 2【解析】由在Rt ∠AOB 的平分线ON 上依次取点C ，F ，M ，过点C 作DE ⊥OC ，可得△OCD 与△OCE 是等腰直角三角形，即可得OC 垂直平分DE ，求得DE=2x ，再由∠DFE=∠GFH=120°，可求得C 与DF ，EF 的长，继而求得△DF 的面积，再由菱形FGMH 中，FG=FE ，得到△FGM 是等边三角形，即可求得其面积．【解法】∵ON 是Rt ∠AOB 的平分线，∴∠DOC ＝∠EOC ＝45°.∵DE ⊥OC ，∴∠ODC ＝∠OEC ＝45°，∴CD ＝CE ＝OC ＝x ，∴DF ＝EF ，DE ＝CD ＋CE ＝2x .∵∠DFE ＝∠GFH ＝120°，∴∠CEF ＝30°，∴CF ＝，∴EF ＝，∴S △DEF ＝。

∵四边形FGMH 是菱形，∴FG ＝MG ＝FE ＝233x .∵∠G ＝180°－∠GFH ＝60°，∴△FMG 是等边三角形，∴S △FGH ＝，∴S 菱形FGMH ＝，∴S 阴影＝S △DEF ＋S 菱形FGMH ＝ .【说明】此题综合了菱形的性质、等腰直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质以及三角函数等知识．注意证得△OCD 与△OCE 是等腰直角三角形，△FGM 是等边三角形。

中考数学总复习专题提升八以特殊三角形为背景的计算与证明

以特殊三角形为背景的计算与证明一、以等腰三角形为背景的计算与证明1．如图，在Rt ∠AOB 的平分线ON 上依次取点C ，F ，M ，过点C 作DE ⊥OC ，分别交OA ，OB 于点D ，E ，以FM 为对角线作菱形FGMH .已知∠DFE ＝∠GFH ＝120°，FG ＝FE ，设OC ＝x ，图中阴影部分面积为y ，则y 与x 之间的函数关系式是(B )(第1题图)A. y ＝32x 2 B. y ＝3x 2 C. y ＝23x 2 D. y ＝33x 2解：∵ON 是Rt ∠AOB 的平分线，∴∠DOC ＝∠EOC ＝45°.∵DE ⊥OC ，∴∠ODC ＝∠OEC ＝45°，∴CD ＝CE ＝OC ＝x ，∴DF ＝EF ，DE ＝CD ＋CE ＝2x .∵∠DFE ＝∠GFH ＝120°，∴∠CEF ＝30°，∴CF ＝CE ·tan 30°＝33x ， ∴EF ＝2CF ＝233x ， ∴S △DEF ＝12DE ·CF ＝33x 2. ∵四边形FGMH 是菱形，∴FG ＝MG ＝FE ＝233x . ∵∠G ＝180°－∠GFH ＝60°，∴△FMG 是等边三角形，∴S △FGH ＝33x 2， ∴S 菱形FGMH ＝233xx 2， ∴S 阴影＝S △DEF ＋S 菱形FGMH ＝3x 2.故选B.(第2题图)2．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC于点E.求证：∠CBE＝∠BAD. 证明：∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC，∴∠CBE＋∠C＝∠CAD＋∠C＝90°，∠CAD＝∠BAD，∴∠CBE＝∠BAD.(第3题图)3．如图，已知AB＝AC＝AD，且AD∥BC，求证：∠C＝2∠D.证明：∵AB＝AC＝AD，∴∠C＝∠ABC，∠D＝∠ABD，∴∠ABC＝∠CBD＋∠D.∵AD∥BC，∴∠CBD＝∠D，∴∠ABC＝∠D＋∠D＝2∠D.又∵∠C＝∠ABC，∴∠C＝2∠D.4．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝45°，∠ADB＝∠ABC＝105°.(1)若AD＝2，求AB.(2)若AB＋CD＝23＋2，求AB.(第4题图)(第4题图解)解：(1)过点D作DE⊥AB于点E，过点B作BF⊥CD于点F.∵∠A＝∠C＝45°，∠ADB＝∠ABC＝105°，∴∠ADC＝360°－∠A－∠C－∠ABC＝360°－45°－45°－105°＝165°，∴∠BDF ＝∠ADC －∠ADB ＝165°－105°＝60°. 易证△ADE 与△BCF 为等腰直角三角形，∵AD ＝2， ∴AE ＝DE ＝22＝2， ∵∠ABC ＝105°，∴∠ABD ＝105°－45°－30°＝30°，∴BE ＝DEtan30°＝233＝6， ∴AB ＝AE ＋BE ＝2＋ 6.(2)设DE ＝x ，则AE ＝x ，BE ＝x tan30°＝x33＝3x ， ∴BD ＝x 2＋（3x ）2＝2x .∵∠BDF ＝60°，∴∠DBF ＝30°，∴DF ＝12BD ＝x ， ∴BF ＝BD 2－DF 2＝（2x ）2－x 2＝3x ，∴CF ＝3x ，∵AB ＝AE ＋BE ＝x ＋3x ，CD ＝DF ＋CF ＝x ＋3x ，AB ＋CD ＝23＋2，∴x ＝1，∴AB ＝3＋1.二、以直角三角形为背景的计算与证明5．如图，在△ABC 中，D 为AC 边的中点，且DB ⊥BC ，BC ＝4，CD ＝5.(1)求DB 的长．(2)在△ABC 中，求BC 边上高的长． (第5题图)(第5题图解)解：(1)∵DB ⊥BC ，BC ＝4，CD ＝5，∴BD ＝52－42＝3.(2)延长CB ，过点A 作AE ⊥CB 延长线于点E .∵DB ⊥BC ，AE ⊥BC ，∴AE ∥DB .∵D 为AC 边的中点，∴BD ＝12AE ， ∴AE ＝6，即BC 边上高的长为6.(第6题图)6．如图，在Rt△ABC 中，∠ACB ＝90°，D 是AB 上一点，且∠ACD ＝∠B .求证：CD ⊥AB . 解：∵∠ACB ＝90°，∴∠A ＋∠B ＝90°.∵∠ACD ＝∠B ，∴∠A ＋∠ACD ＝90°，∴∠ADC ＝90°，∴CD ⊥AB .(第7题图)7．在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，BD ⊥AD ，垂足为D ，过点D 作DE ∥AC ，交AB 于E .若AB ＝5，求线段DE 的长．解：∵AD 平分∠BAC ，∴∠BAD ＝∠CAD .∵DE ∥AC ，∴∠CAD ＝∠ADE ，∴∠BAD ＝∠ADE ，∴AE ＝DE .∵AD ⊥DB ，∴∠ADB ＝90°，∴∠EAD ＋∠ABD ＝90°，∠ADE ＋∠BDE ＝∠ADB ＝90°，∴∠ABD ＝∠BDE ，∴DE ＝BE .∵AB ＝5，∴DE ＝BE ＝AE ＝12AB ＝2.5.(第8题图)8．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠B ＝30°，CD ，CE 分别是AB 边上的中线和高．(1)求证：AE ＝ED .(2)若AC ＝2，求△CDE 的周长．解：(1)证明：∵∠ACB ＝90°，CD 是AB 边上的中线，∴CD ＝AD ＝DB .∵∠B ＝30°，∴∠A ＝60°.∴△ACD 是等边三角形．∵CE 是斜边AB 上的高，∴AE ＝ED .(2)由(1)，得AC ＝CD ＝AD ＝2ED ，又∵AC ＝2，∴CD ＝2，ED ＝1.∴CE ＝22－1＝ 3.∴△CDE 的周长＝CD ＋ED ＋CE ＝2＋1＋3＝3＋ 3.9．如图，在△ABC 中，已知∠ACB ＝90°，CD 为高，且CD ，CE 三等分∠ACB .(1)求∠B 的度数．(2)求证：CE 是AB 边上的中线，且CE ＝12AB .(第9题图)解：(1)∵在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ，CE 三等分∠ACB ，∴∠ACD ＝∠DCE ＝∠BCE ＝30°，则∠BCD ＝60°，又∵CD 为高，∴∠B ＝90°－60°＝30°.(2)证明：由(1)知，∠B ＝∠BCE ＝30°，则CE ＝BE ，AC ＝12AB . ∵∠ACB ＝90°，∠B ＝30°，∴∠A ＝60°.又∵由(1)知，∠ACD ＝∠DCE ＝30°，∴∠ACE ＝∠A ＝60°，∴△ACE 是等边三角形，∴AC ＝AE ＝EC ＝12AB ， ∴AE ＝BE ，即点E 是AB 的中点．∴CE 是AB 边上的中线，且CE ＝12AB .10．“为了安全，请勿超速”．如图，一条公路建成通车，在某直线路段MN 限速60 km/h ，为了检测车辆是否超速，在公路MN 旁设立了观测点C ，从观测点C 测得一小车从点A 到达点B 行驶了5 s ，已知∠CAN ＝45°，∠CBN ＝60°，BC ＝200 m ，此车超速了吗？请说明理由(参考数据：2≈1.41，3≈1.73)．(第10题图)解：此车没有超速．理由：过点C 作CH ⊥MN 于点H .(第10题图解)∵∠CBN ＝60°，BC ＝200 m ， ∴CH ＝BC ·sin 60°＝200×32＝1003(m)， BH ＝BC ·cos 60°＝200×12＝100(m)．∵∠CAN ＝45°，∴AH ＝CH ＝100 3 m ，∴AB ＝1003－100≈73(m)．∵60 km/h ＝503m/s ， ∴735＝14.6(m/s)＜503≈16.7(m/s)， ∴此车没有超速．11．如图所示，一根长2.5 m 的木棍(AB )，斜靠在与地面(OM )垂直的墙(ON )上，此时OB 的距离为0.7 m ，设木棍的中点为P .若木棍A 端沿墙下滑，且B 端沿地面向右滑行．(1)如果木棍的顶端A 沿墙下滑0.4 m ，那么木棍的底端B 向外移动多少距离？(2)请判断木棍滑动的过程中，点P到点O的距离是否变化，并简述理由．(第11题图)解：(1)如解图，在Rt△ABC中，已知AB＝2.5 m，BO＝0.7 m，则由勾股定理，得AO＝AB2－BD2＝2.4(m)，∴OC＝2.4－0.4＝2(m)．∵在Rt△CDO中，AB＝CD，且CD为斜边，∴由勾股定理，得OD＝CD2－OC2＝1.5 m，∴BD＝OD－OB＝1.5－0.7＝0.8(m)．(第11题图解)(2)不变．理由：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，因为斜边AB不变，所以斜边上的中线OP不变．。

特殊三角形的证明讲义

第一讲特殊三角形的证明知识点一：全等三角形的判定与性质1．判定和性质一般三角形直角三角形判定边角边（SAS）、角边角（ASA）角角边（AAS）、边边边（SSS）具备一般三角形的判定方法斜边和一条直角边对应相等（HL）性质对应边相等，对应角相等对应中线相等，对应高相等，对应角平分线相等【典型例题】1．用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠AOC=∠BOC的依据是（）A．SSS B．ASAC．AAS D．角平分线上的点到角两边距离相等2．如图，△ABC≌ΔADE，若∠B＝80°，∠C＝30°，∠DAC＝35°，则∠EAC的度数为（）A．40°B．35°C．30°D．25°3．用三角板可按下面方法画角平分线：在已知∠AOB的两边上，分别取OM＝ON （如图），再分别过点M、N作OA、OB的垂线，交点为P，画射线OP，则OP平分∠AOB，请你说出其中的道理知识点二：等腰三角形的判定与性质等腰三角形的定义：有两边相等的三角形叫等腰三角形。

等腰三角形的判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）等腰三角形的性质：①等腰三角形的两底角相等（等边对等角）；②等腰三角形“三线合一”的性质：顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合；③等腰三角形两底角的平分线相等，两腰上的高、中线也相等．【典型例题】1．等腰三角形的两边长分别为3和6，则这个等腰三角形的周长为（）A．12 B．15 C．12或15 D．18 2．等腰三角形的一个角是80°，则它顶角的度数是（）A．80°B．80°或20°C．80°或50°D．20°3．已知△ABC中，AB=AC=x，BC=6，则腰长x的取值范围是（）A．0＜x＜3 B．x＞3 C．3＜x＜6 D．x＞64．如图，已知AB=AC，AD=AE．求证：BD=CE．（变试题）5．如图，点D，E分别在AB，AC上，且AD=AE，∠BDC=∠CEB．求证：BD=CE．知识点三：等边三角形的判定与性质判定：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形；三条边都相等的三角形是等边三角形；有两个角是60°的三角形是等边三角形．性质：等边三角形的三边相等，三个角都是60°．等边三角形是特殊的等腰三角形。

通用 2019中考数学复习微专题5以特殊3角形为背景的计算与证明训练

微专题五以特殊三角形为背景的计算与证明姓名：________ 班级：________ 用时：______分钟1．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，E 为AB 边的中点，以BE 为边作等边△BDE，连结AD ，CD.(1)求证：△ADE≌△CDB；(2)若BC ＝3，在AC 边上找一点H ，使得BH ＋EH 最小，并求出这个最小值．2．如图，在等边△ABC中，点D ，E ，F 分别同时从点A ，B ，C 出发，以相同的速度在AB ，BC ，CA 上运动，连结DE ，EF ，DF.(1)证明：△DEF 是等边三角形；(2)在运动过程中，当△CEF 是直角三角形时，试求S △DEFS △ABC的值．3．从三角形(不是等腰三角形)一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．(1)如图1，在△ABC中，CD为角平分线，∠A＝40°，∠B＝60°，求证：CD为△ABC的完美分割线；(2)在△ABC中，∠A＝48°，CD是△A BC的完美分割线，且△ACD为等腰三角形，求∠ACB的度数；(3)如图2，在△ABC中，AC＝2，BC＝2，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD是以CD为底边的等腰三角形，求完美分割线CD的长．4．如图，△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，点P为射线BD，CE的交点．(1)求证：BD＝CE；(2)若AB＝2，AD＝1，把△ADE绕点A旋转，当∠EAC＝90°时，求PB的长．5．如图，直角△ABC中，∠A为直角，AB＝6，AC＝8.点P，Q，R分别在AB，BC，CA边上同时开始作匀速运动，2秒后三个点同时停止运动，点P由点A出发以每秒3个单位的速度向点B运动，点Q由点B出发以每秒5个单位的速度向点C运动，点R由点C出发以每秒4个单位的速度向点A运动，在运动过程中：(1)求证：△APR，△BPQ，△CQR的面积相等；(2)求△PQR面积的最小值；(3)用t(秒)(0≤t≤2)表示运动时间，是否存在t，使∠PQR＝90°？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．6．问题：(1)如图1，在Rt△ABC中，AB＝AC，D为BC边上一点(不与点B，C重合)，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连结EC，则线段BC，DC，EC之间满足的等量关系式为________；探索：(2)如图2，在Rt△ABC与Rt△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，将△ADE绕点A旋转，使点D落在BC边上，试探索线段AD，BD，CD之间满足的等量关系，并证明你的结论；应用：(3)如图3，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°.若BD＝9，CD＝3，求AD的长．参考答案1．(1)证明：在Rt△ABC 中，∠B AC ＝30°，E 为AB 边的中点， ∴BC＝EA ，∠ABC＝60°. ∵△DEB 为等边三角形，∴DB＝DE ，∠DEB＝∠DBE＝60°， ∴∠DEA＝120°，∠DBC＝120°， ∴∠DEA＝∠DBC， ∴△ADE≌△CDB.(2)解：如图，作点E 关于直线AC 对称点E′，连结BE′交AC 于点H ，连结EH ，AE′，则点H 即为符合条件的点．由作图可知，EH ＝HE′，AE′＝AE ，∠E′AC＝∠BAC＝30°， ∴∠EAE′＝60°，∴△EAE′为等边三角形， ∴EE′＝EA ＝12AB ，∴∠AE′B＝90°.在Rt△ABC 中，∠BAC＝30°，BC ＝3， ∴AB＝23，AE′＝AE ＝3，∴BE′＝AB 2－AE′2＝（23）2－（3）2＝3， ∴BH＋EH 的最小值为3.2．(1)证明：∵△ABC 是等边三角形， ∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，AB ＝BC ＝CA. ∵AD＝BE ＝CF ，∴BD＝CE ＝AF. 在△ADF，△BED 和△CFE 中， ∵⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝BE ＝CF ，∠A＝∠B＝∠C，AF ＝BD ＝CE ， ∴△ADF≌△BED≌△CFE，∴FD＝DE ＝EF ， ∴△DEF 是等边三角形．(2)解：∵△ABC 和△DEF 是等边三角形， ∴△DEF∽△ABC.当DE⊥BC 时(EF⊥BC 时，同理)，∠BDE＝30°， ∴BE＝12BD ，即BE ＝13BC ，CE ＝23BC.∵EF＝EC·sin 60°＝23BC·32＝33BC ，∴S △DEF S △ABC ＝(EF BC )2＝(33)2＝13. 3．(1)证明：∵∠A＝40°，∠B＝60°， ∴∠ACB＝80°，∴△ABC 不是等腰三角形． ∵CD 平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD＝12∠ACB＝40°，∴∠ACD＝∠A＝40°， ∴△ACD 为等腰三角形．∵∠DCB＝∠A＝40°，∠CBD＝∠ABC， ∴△BCD∽△BA C ，∴CD 是△ABC 的完美分割线． (2)解：①当AD ＝CD 时，如图，则∠ACD＝∠A＝48°.∵△BDC∽△BCA，∴∠BCD＝∠A＝48°， ∴∠ACB＝∠ACD＋∠BCD＝96°. ②当AD ＝AC 时，如图，则∠ACD＝∠ADC＝180°－48°2＝66°.∵△BDC∽△BCA，∴∠BCD＝∠A＝48°，∴∠ACB＝∠ACD＋∠BCD＝114°. ③当AC ＝CD 时，如图，则∠ADC＝∠A＝48°.∵△BDC∽△BCA，∴∠BCD＝∠A＝48°. ∵∠A DC ＝∠BCD＝48°与∠ADC>∠BCD 矛盾， ∴AC＝CD 不成立．综上所述，∠ACB＝96°或114°. (3)解：由已知得AD ＝AC ＝2. ∵△BCD∽△BAC，∴BC BA ＝BD BC ＝CDAC .设BD ＝x(x>0)，则(2)2＝x(x ＋2)，解得x ＝3－1(负值舍去)， ∴CD AC ＝BD BC ＝3－12， ∴CD＝3－12×2＝6－ 2. 4．(1)证明：∵△ABC 和△ADE 是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°， ∴AB＝AC ，AD ＝AE ，∠DAB＝∠EAC， ∴△ADB≌△AEC，∴BD＝CE.(2)解：如图，①当点E 在AB 上时，BE ＝AB －AE ＝1.∵∠EAC＝90°，∴CE＝AE 2＋AC 2＝ 5. 同(1)可证△ADB≌△AEC， ∴∠DBA＝∠ECA.∵∠PEB＝∠AEC，∴△PEB∽△AEC，∴PB AC ＝BE CE ，∴PB 2＝15，∴PB＝255. ②如图，当点E 在BA 延长线上时，BE ＝3.∵∠EAC＝90°，∴CE＝AE 2＋AC 2＝ 5. 同(1)可证△ADB≌△AEC， ∴∠DBA＝∠ECA.∵∠BEP＝∠CEA，∴△PEB∽△AEC， ∴PB AC ＝BE CE ，∴PB 2＝35，∴PB＝655. 综上所述，PB 的长为255或655.5．(1)证明：在Rt△ABC 中，AB ＝6，AC ＝8， ∴BC＝10，sin∠B＝AC BC ＝810＝45，sin∠C＝35.如图，过点Q 作QE⊥AB 于点E ，作QD⊥AC 于点D.在Rt△BQE 中，BQ ＝5t ， ∴sin∠B＝QE BQ ＝45，∴QE＝4t.在Rt△CDQ 中，CQ ＝BC －BQ ＝10－5t ， ∴QD＝CQ·sin∠C＝35(10－5t)＝3(2－t)，QE ＝BQ·sin∠B＝5t·45＝4t.由运动知AP ＝3t ，CR ＝4t ，∴BP＝AB －AP ＝6－3t ＝3(2－t)，AR ＝AC －CR ＝8－4t ＝4(2－t)， ∴S △APR ＝12AP·AR＝12×3t×4(2－t)＝6t(2－t)，S △BPQ ＝12BP·QE＝12×3(2－t)×4t＝6t(2－t)，S △CQR ＝12CR·QD＝12×4t×3(2－t)＝6t(2－t)，∴S △APR ＝S △BPQ ＝S △CQR ，∴△APR，△BPQ，△CQR 的面积相等．(2)解：由(1)知，S △APR ＝S △BPQ ＝S △CQR ＝6t(2－t)． ∵AB＝6，AC ＝8，∴S △PQR ＝S △ABC －(S △APR ＋S △BPQ ＋S △CQR ) ＝12×6×8－3×6t(2－t)＝24－18(2t －t 2) ＝18(t －1)2＋6.∵0≤t≤2，∴当t ＝1时，S △PQR 最小＝6.(3)解：存在．由(1)知QE ＝4t ，QD ＝3(2－t)，AP ＝3t ，CR ＝4t ，AR ＝4(2－t)， ∴BP＝AB －AP ＝6－3t ＝3(2－t)， AR ＝AC －CR ＝8－4t ＝4(2－t)． ∵∠A＝90°，∴四边形AEQD 是矩形， ∴AE＝DQ ＝3(2－t)，AD ＝QE ＝4t ， ∴DR＝|AD －AR|＝|4t －4(2－t)| ＝|4(2t －2)|，PE ＝|AP －AE|＝|3t －3(2－t)| ＝|3(2t －2)|.∵∠DQE＝90°，∠PQR＝90°， ∴∠DQR＝∠EQP， ∴tan∠DQR＝tan∠EQP. 在Rt△DQR 中，tan∠DQR＝DR DQ ＝4|2t －2|3（2－t ），在Rt△EQP 中，tan∠EQP＝PE QE ＝3|2t －2|4t ，∴4|2t －2|3（2－t ）＝3|2t －2|4t，∴t＝1825或1.6．解：(1) BC ＝DC ＋EC(2)BD 2＋CD 2＝2AD 2，理由如下：如图，连结CE.∵∠BAC＝∠BAD＋∠DAC＝90°，∠DAE＝∠CAE＋∠DAC＝90°， ∴∠BAD＝∠CAE.在△BAD 与△CAE 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ，∠BAD＝∠CAE，AD ＝AE ，∴△BAD≌△CAE，∴BD＝CE ，∠ACE＝∠B，∴∠DCE＝90°，∴CE 2＋CD 2＝ED 2.在Rt△ADE 中，AD 2＋AE 2＝ED 2，AD ＝AE ，∴BD 2＋CD 2＝ED 2，ED ＝2AD ，∴BD 2＋CD 2＝2AD 2.(3)如图，作AE⊥AD，使AE ＝AD ，连结CE ，DE.∵∠BAC＋∠CAD＝∠DAE＋∠CAD，即∠BAD＝∠CAE.在△BAD 与△CAE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ，∠BAD＝∠CAE，AD ＝AE ，∴△BAD≌△CAE(SAS)，∴BD＝CE ＝9.∵∠ADC＝45°，∠EDA＝45°， ∴∠EDC＝90°，∴DE＝CE 2－CD 2＝6 2.2 2DE＝6.∵∠DAE＝90°，∴AD＝AE＝。

2020届中考数学基础题提分讲练专题19 以三角形为背景的证明与计算(含解析)

2020届中考数学基础题提分讲练专题19 以三角形为背景的证明与计算考点分析【例1】（2019·山东中考真题）如图，已知等边ABC ∆，CD AB ⊥于D ，AF AC ⊥，E 为线段CD 上一点，且CE AF =，连接BE ，BF ，EG BF ⊥于G ，连接DG ．（1）求证：BE BF =；（2）试说明DG 与AF 的位置关系和数量关系．【答案】（1）详见解析；（2）2AF GD =，//AF DG ，理由详见解析．【解析】（1）∵ABC ∆是等边三角形，AB AC BC ∴==，60BAC ACB ABC ∠=∠=∠=︒，∵CD AB ⊥，AC BC =， ∴BD AD =，30BCD ∠=︒， ∵AF AC ⊥，90FAC ∴∠=︒，30FAB FAC BAC ∴∠=∠-∠=︒，FAB ECB ∴∠=∠，且AB BC =，AF CE =，()ABF CBE SAS ∴∆∆≌，BF BE ∴=，（2）2AF GD =，//AF DG .理由如下：连接EF ， ∵ABF CBE ∆∆≌ ∴ABF CBE ∠=∠， ∵60ABE EBC ∠+∠=︒， ∴60ABE ABF ∠+∠=︒， ∵BE BF =，BEF ∴∆是等边三角形，∵GE BF ⊥，BG FG ∴=，且BD AD =， 2AF GD ∴=，//AF DG .【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，三角形中位线定理，熟练运用三角形中位线定理是本题的关键．【例2】（2019·山东中考真题）小圆同学对图形旋转前后的线段之间、角之间的关系进行了拓展探究.（一）猜测探究在ABC ∆中，AB AC =，M 是平面内任意一点，将线段AM 绕点A 按顺时针方向旋转与BAC ∠相等的角度，得到线段AN ，连接NB ．（1）如图1，若M 是线段BC 上的任意一点，请直接写出NAB ∠与MAC ∠的数量关系是，NB 与MC 的数量关系是；（2）如图2，点E 是AB 延长线上点，若M 是CBE ∠内部射线BD 上任意一点，连接MC ，（1）中结论是否仍然成立？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由．（二）拓展应用如图3，在111A B C ∆中，118A B =，11160A B C ∠=o ，11175B A C ∠=o，P 是11B C 上的任意点，连接1A P ，将1A P 绕点1A 按顺时针方向旋转75o ，得到线段1A Q ，连接1B Q ．求线段1B Q 长度的最小值．【答案】（一）（1）结论：NAB MAC ∠=∠，BN MC =．理由见解析；（2）如图2中，①中结论仍然成立．理由见解析；（二）1QB 的最小值为4342-．【解析】（一）（1）结论：NAB MAC ∠=∠，BN MC =．理由：如图1中，∵MAN CAB ∠=∠，∴NAB BAM BAM MAC ∠+∠=∠+∠， ∴NAB MAC ∠=∠， ∵AB AC =，AN AM =， ∴NAB ∆≌MAC ∆（SAS ）， ∴BN CM =．故答案为NAB MAC ∠=∠，BNCM =．（2）如图2中，①中结论仍然成立．理由：∵MAN CAB ∠=∠，∴NAB BAM BAM MAC ∠+∠=∠+∠， ∴NAB MAC ∠=∠， ∵AB AC =，AN AM =， ∴NAB ∆≌MAC ∆（SAS ）， ∴BN CM =．（二）如图3中，在11A C 上截取11A N A Q =，连接PN ，作11NH B C ⊥于H ，作111A M B C ⊥于M ．∵1111C A B PAQ ∠=∠， ∴111QA B PA N ∠=∠， ∵11A A A P =，11A B AN =， ∴11QA B ∆≌1PA N ∆（SAS ）， ∴1B Q PN =，∴当PN 的值最小时，1QB 的值最小，在11Rt A B M ∆中，∵1160A B M ∠=o，118A B =，∴111sin6043AM A B =•=o ， ∵1111111753045MAC B AC B A M ∠=∠-∠=-=ooo， ∴1146AC =，∴1111468NC AC A N =-=-，在1Rt NHC ∆，∵145C ∠=o， ∴4342NH =-，根据垂线段最短可知，当点P 与H 重合时，PN 的值最小， ∴1QB 的最小值为4342-．【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，解直角三角形，垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用垂线段最短解决最值问题，属于中考压轴题．考点集训1．（2019·湖北中考真题）如图，在ABC ∆中，D 是BC 边上的一点，AB DB =，BE 平分ABC ∠，交AC 边于点E ，连接DE ．（1）求证：ABE DBE ∆≅∆；（2）若100A ∠=︒，50C ∠=︒，求AEB ∠的度数．【答案】(1)见解析；（2）65︒ 【解析】（1）证明：BE Q 平分ABC ∠，∴ABE DBE∠∠=，在ABE∆和DBE∆中，AB DBABE DBEBE BE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()ABE DBE SAS∆≅∆；（2）Q100A∠=︒，50C∠=︒，∴30ABC∠=︒，Q BE平分ABC∠，∴1152ABE DBE ABC∠∠∠︒===，在ABE∆中，1801801001565AEB A ABE∠=︒∠∠=︒︒︒=︒----．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的定义、三角形内角和定理；熟练掌握三角形内角和定理和角平分线定义，证明三角形全等是解题的关键．2．（2019·浙江中考真题）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AB边上一点，过点C作CF∥AB 交ED的延长线于点F，（1）求证：△BDE≌△CDF；（2）当AD⊥BC，AE＝1，CF＝2时，求AC的长．【答案】（1）见解析；（2）3AC=.【解析】解：（1）∵CF AB∥，∴B FCD BED F∠=∠∠=∠，.∵AD是BC边上的中线，∴BD CD=，∴BDE CDFV V≌.（2）∵BDE CDFV V≌，∴2BE CF==，∴123AB AE BE=+=+=.∵AD BC BD CD ⊥=，， ∴3AC AB ==. 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 3．（2019·天津）在Rt △ABC 中，∠A=90°，AC=AB=4，D ，E 分别是边AB ，AC 的中点．若等腰Rt △ADE 绕点A 逆时针旋转，得到等腰RtRt △AD 1E 1，设旋转角为α（0＜α≤180°），记直线BD 1与CE 1的交点为P ．（1）如图1，当α=90°时，线段BD 1的长等于，线段CE 1的长等于；（直接填写结果）（2）如图2，当α=135°时，求证：BD 1=CE 1 ，且BD 1⊥CE 1 ；（3）求点P 到AB 所在直线的距离的最大值．（直接写出结果）【答案】（1）BD 1=5CE 1=5（2）见解析；（3）3【解析】解：（1）解：∵∠A=90°，AC=AB=4，D ，E 分别是边AB ，AC 的中点， ∴AE=AD=2，∵等腰Rt △ADE 绕点A 逆时针旋转，得到等腰Rt △AD 1E 1，设旋转角为α（0＜α≤180°）， ∴当α=90°时，AE 1=2，∠E 1AE=90°，2222114225,4225BD E C ∴=+==+=（2）证明：当α=135°时，如下图：由旋转可知∠D 1AB=E 1AC=135° 又AB=AC ，AD 1=AE 1， ∴△D 1AB ≌ △E 1AC ∴BD 1=CE 1且 ∠D 1BA=E 1CA设直线BD 1与AC 交于点F ，有∠BFA=∠CFP ∴∠CPF=∠FAB=90°， ∴BD 1⊥CE 1；（3）解：如图3，作PG ⊥AB ，交AB 所在直线于点G ，∵D 1，E 1在以A 为圆心，AD 为半径的圆上，当BD 1所在直线与⊙A 相切时，直线BD 1与CE 1的交点P 到直线AB 的距离最大，此时四边形AD 1PE 1是正方形，PD 1=2，则2214223BD =-=，故∠ABP=30°，则223PB =+故点P 到AB 所在直线的距离的最大值为：13PG =考点：旋转变换，直角三角形，勾股定理，三角形全等，正方形的性质4．（2019·江西初二期末）（1）如图（1），已知：在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB=AC ，直线m 经过点A ，BD ⊥直线m, CE⊥直线m,垂足分别为点D、E.证明:DE=BD+CE.（2）如图（2），将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上,并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α,其中α为任意锐角或钝角.请问结论DE=BD+CE是否成立?如成立,请你给出证明;若不成立,请说明理由.（3）拓展与应用：如图（3），D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合）,点F为∠BAC平分线上的一点,且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE,若∠BDA=∠AEC=∠BAC，试判断△DEF的形状.【答案】（1）见解析（2）成立（3）△DEF为等边三角形【解析】解：（1）证明：∵BD⊥直线m，CE⊥直线m，∴∠BDA＝∠CEA=900．∵∠BAC＝900，∴∠BAD+∠CAE=900．∵∠BAD+∠ABD=900，∴∠CAE=∠ABD．又AB="AC" ，∴△ADB≌△CEA（AAS）．∴AE=BD，AD=CE．∴DE="AE+AD=" BD+CE．（2）成立．证明如下：∵∠BDA =∠BAC=α，∴∠DBA+∠BAD=∠BAD +∠CAE=1800—α．∴∠DBA=∠CAE．∵∠BDA=∠AEC=α，AB=AC，∴△ADB≌△CEA（AAS）．∴AE=BD，AD=CE．∴DE=AE+AD=BD+CE．（3）△DEF为等边三角形．理由如下：由（2）知，△ADB≌△CEA，BD=AE，∠DBA =∠CAE，∵△ABF和△ACF均为等边三角形，∴∠ABF=∠CAF=600．∴∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF．∴∠DBF=∠FAE．∵BF=AF，∴△DBF≌△EAF（AAS）．∴DF=EF，∠BFD=∠AFE．∴∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=600．∴△DEF为等边三角形．（1）因为DE=DA+AE ，故由AAS 证△ADB ≌△CEA ，得出DA=EC ，AE=BD ，从而证得DE=BD+CE ．（2）成立，仍然通过证明△ADB ≌△CEA ，得出BD=AE ，AD=CE ，所以DE=DA+AE=EC+BD ．（3）由△ADB ≌△CEA 得BD=AE ，∠DBA =∠CAE ，由△ABF 和△ACF 均等边三角形，得∠ABF=∠CAF=600，FB=FA ，所以∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF ，即∠DBF=∠FAE ，所以△DBF ≌△EAF ，所以FD=FE ，∠BFD=∠AFE ，再根据∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=600得到△DEF 是等边三角形．5．（2019·贵州中考真题）（1）如图①，在四边形ABCD 中，AB CD ∥，点E 是BC 的中点，若AE 是BAD ∠的平分线，试判断AB ，AD ，DC 之间的等量关系．解决此问题可以用如下方法：延长AE 交DC 的延长线于点F ，易证AEB FEC ∆∆≌得到AB FC =，从而把AB ，AD ，DC 转化在一个三角形中即可判断．AB ，AD ，DC 之间的等量关系________；（2）问题探究：如图②，在四边形ABCD 中，AB CD ∥，AF 与DC 的延长线交于点F ，点E 是BC 的中点，若AE 是BAF ∠的平分线，试探究AB ，AF ，CF 之间的等量关系，并证明你的结论．【答案】（1）AD AB DC =+；（2）AB AF CF =+，理由详见解析. 【解析】解：（1）AD AB DC =+.理由如下：如图①，∵AE 是BAD ∠的平分线，∴DAE BAE ∠=∠ ∵AB DC P ，∴F BAE ∠=∠，∴DAF F ∠=∠，∴AD DF =. ∵点E 是BC 的中点，∴CE BE =，又∵F BAE ∠=∠，AEB CEF ∠=∠ ∴CEF ∆≌BEA ∆（AAS ），∴AB CF =. ∴AD CD CF CD AB =+=+. 故答案为：AD AB DC =+. （2）AB AF CF =+.理由如下：如图②，延长AE 交DF 的延长线于点G .∵AB DC P ，∴BAE G ∠=∠，又∵BE CE =，AEB GEC ∠=∠， ∴AEB ∆≌GEC ∆（AAS ），∴AB GC =， ∵AE 是BAF ∠的平分线，∴BAG FAG ∠=∠， ∵BAG G ∠=∠，∴FAG G ∠=∠，∴FA FG =， ∵CG CF FG =+，∴AB AF CF =+. 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、平行线的性质、角平分线的定义和等角对等边等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解本题的关键．6．（2019·江苏初二期中）如图，△ABC 中，AB=AC ，点E ，F 在边BC 上，BE=CF ，点D 在AF 的延长线上，AD=AC ，（1）求证：△ABE ≌△ACF ；（2）若∠BAE=30°，则∠ADC= °．【答案】（1）证明见解析；（2）75．【解析】（1）∵AB=AC ， ∴∠B=∠ACF ，在△ABE 和△ACF 中，AB ACB ACFBE CF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABE≌△ACF（SAS）；（2）∵△ABE≌△ACF，∠BAE=30°，∴∠CAF=∠BAE=30°，∵AD=AC，∴∠ADC=∠ACD，∴∠ADC=280013︒-︒=75°，故答案为75．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，熟练掌握相关性质与定理是解题的关键. 7．（2019·江苏中考真题）如图，ABC△中，点E在BC边上，AE AB=，将线段AC绕点A旋转到AF的位置，使得CAF BAE∠=∠，连接EF，EF与AC交于点G(1)求证：EF BC=；(2)若65ABC∠=︒，28ACB∠=︒，求FGC∠的度数.【答案】(1)证明见解析；(2)78°.【解析】(1)CAF BAE∠=∠QBAC EAF∴∠=∠AE AB AC AF==Q，()BAC EAF SAS∴△≌△EF BC∴=(2)65AB AE ABC =∠=︒Q ， 18065250BAE ∴∠=︒-︒⨯=︒ 50FAG ∴∠=︒ BAC EAF Q △≌△ 28F C ∴∠=∠=︒ 502878FGC ∴∠=︒+︒=︒ 【点睛】本题主要考查全等三角形证明与性质，等腰三角形性质，旋转性质等知识点，比较简单，基础知识扎实是解题关键8．（2019·江苏中考真题）如图，在△ABC 中，AB=AC,点D 、E 分别在AB 、AC 上，BD=CE ，BE 、CD 相交于点0；求证：（1）DBC ECB ∆≅∆ （2）OB OC =【答案】（1）见解析；（2）见解析. 【解析】 (1)∵AB=AC ， ∴∠ECB=∠DBC ，在DBC ECB ∆∆与中BD CE DBC ECB BC CB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴ DBC ECB ∆≅∆； (2)由(1) DBC ECB ∆≅∆， ∴∠DCB=∠EBC ，∴OB=OC. 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的判定定理与性质定理是解题的关键.9．（2019·江苏中考真题）如图，ABC ∆中，90C =o ∠，4AC =，8BC =．（1）用直尺和圆规作AB 的垂直平分线；（保留作图痕迹，不要求写作法）（2）若（1）中所作的垂直平分线交BC 于点D ，求BD 的长．【答案】（1）详见解析；（2）5BD =．【解析】（1）如图直线MN 即为所求．（2）∵MN 垂直平分线段AB ，∴DA DB =，设DA DB x ==，在Rt ACD ∆中，∵222AD AC CD =+，∴()22248x x =+-，解得5x =，∴5BD =．【点睛】本题考查作图﹣基本作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．10．（2019·湖北初二期中）（问题提出）如图①，已知△ABC 是等边三角形，点E 在线段AB 上，点D 在直线BC 上，且ED=EC ，将△BCE 绕点C 顺时针旋转60°至△ACF 连接EF试证明：AB=DB+AF（类比探究）（1）如图②，如果点E在线段AB的延长线上，其他条件不变，线段AB，DB，AF之间又有怎样的数量关系？请说明理由（2）如果点E在线段BA的延长线上，其他条件不变，请在图③的基础上将图形补充完整，并写出AB，DB，AF之间的数量关系，不必说明理由．【答案】证明见解析；（1）AB=BD﹣AF；（2）AF=AB+BD．【解析】（1）证明：DE=CE=CF，△BCE由旋转60°得△ACF，∴∠ECF=60°，BE=AF，CE=CF，∴△CEF是等边三角形，∴EF=CE，∴DE=EF，∠CAF=∠BAC=60°，∴∠EAF=∠BAC+∠CAF=120°，∵∠DBE=120°，∴∠EAF=∠DBE，又∵A，E，C，F四点共圆，∴∠AEF=∠ACF，又∵ED=DC，∴∠D=∠BCE，∠BCE=∠ACF，∴∠D=∠AEF，∴△EDB≌FEA，∴BD=AF，AB=AE+BF，∴AB=BD+AF．类比探究（1）DE=CE=CF，△BCE由旋转60°得△ACF，∴∠ECF=60°，BE=AF，CE=CF，∴△CEF是等边三角形，∴EF=CE，∴DE=EF，∠EFC=∠BAC=60°，∠EFC=∠FGC+∠FCG，∠BAC=∠FGC+∠FEA，∴∠FCG=∠FEA，又∠FCG=∠EAD∠D=∠EAD，∴∠D=∠FEA，由旋转知∠CBE=∠CAF=120°，∴∠DBE=∠FAE=60°∴△DEB≌△EFA，∴BD=AE，EB=AF，∴BD=FA+AB．即AB=BD-AF．（2）AF=BD+AB（或AB=AF-BD）如图③，，ED=EC=CF，∵△BCE绕点C顺时针旋转60°至△ACF，∴∠ECF=60°，BE=AF ，EC=CF ，BC=AC ， ∴△CEF 是等边三角形， ∴EF=EC ，又∵ED=EC ， ∴ED=EF ， ∵AB=AC ，BC=AC ， ∴△ABC 是等边三角形， ∴∠ABC=60°，又∵∠CBE=∠CAF ， ∴∠CAF=60°，∴∠EAF=180°-∠CAF-∠BAC =180°-60°-60° =60°∴∠DBE=∠EAF ； ∵ED=EC ， ∴∠ECD=∠EDC ，∴∠BDE=∠ECD+∠DEC=∠EDC+∠DEC ，又∵∠EDC=∠EBC+∠BED ，∴∠BDE=∠EBC+∠BED+∠DEC=60°+∠BEC ， ∵∠AEF=∠CEF+∠BEC=60°+∠BEC ， ∴∠BDE=∠AEF ，在△EDB 和△FEA 中，DBE EAF BDE AEF ED EF ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ∴△EDB ≌△FEA （AAS ）， ∴BD=AE ，EB=AF ， ∵BE=AB+AE ， ∴AF=AB+BD ，即AB ，DB ，AF 之间的数量关系是：AF=AB+BD ．考点：旋转变化，等边三角形，三角形全等，11．（2019·浙江中考真题）如图，在ABC △中，AC AB BC <<.⑴已知线段AB 的垂直平分线与BC 边交于点P ，连结AP ，求证：2APC B ??；⑵以点B 为圆心，线段AB 的长为半径画弧，与BC 边交于点Q ，连结AQ ，若3AQC B ??，求B Ð的度数.【答案】（1）见解析；（2）∠B=36°. 【解析】（1）证明：因为点P 在AB 的垂直平分线上，所以PA=PB ，所以∠PAB=∠B ，所以∠APC=∠PAB+∠B=2∠B. （2）根据题意，得BQ=BA ，所以∠BAQ=∠BQA ，设∠B=x ，所以∠AQC=∠B+∠BAQ=3x ，所以∠BAQ=∠BQA=2x ，在△ABQ 中，x+2x+2x=180°，解得x=36°，即∠B=36°. 【点睛】本题考查垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，解题的关键是掌握垂直平分线的性质、等腰三角形的性质.12．（2019·山东初三）（1）操作发现：如图①，小明画了一个等腰三角形ABC ，其中AB =AC ，在△ABC 的外侧分别以AB ，AC 为腰作了两个等腰直角三角形ABD ，ACE ，分别取BD ，CE ，BC 的中点M ，N ，G ，连接GM ，GN ．小明发现了：线段GM 与GN 的数量关系是__________；位置关系是__________．（2）类比思考：如图②，小明在此基础上进行了深入思考．把等腰三角形ABC换为一般的锐角三角形，其中AB＞AC，其它条件不变，小明发现的上述结论还成立吗？请说明理由．（3）深入研究：如图③，小明在（2）的基础上，又作了进一步的探究．向△ABC的内侧分别作等腰直角三角形ABD，ACE，其它条件不变，试判断△GMN的形状，并给与证明．【答案】（1）MG=NG；MG⊥NG；（2）成立，MG=NG，MG⊥NG；（3）答案见解析【解析】（1）连接BE，CD相交于H，如图1，∵△ABD和△ACE都是等腰直角三角形，∴AB=AD，AC=AE，∠BAD=∠CAE=90°∴∠CAD=∠BAE，∴△ACD≌△AEB（SAS），∴CD=BE，∠ADC=∠ABE，∴∠BDC+∠DBH=∠BDC+∠ABD+∠ABE=∠BDC+∠ABD+∠ADC=∠ADB+∠ABD=90°，∴∠BHD=90°，∴CD⊥BE，∵点M，G分别是BD，BC的中点，∴MG∥CD且MG=12CD，同理：NG∥BE且NG=12 BE，∴MG=NG，MG⊥NG，（2）连接CD，BE，相交于H，如图2，同（1）的方法得，MG=NG，MG⊥NG；（3）连接EB，DC并延长相交于点H，如图3.同（1）的方法得，MG=NG，同（1）的方法得，△ABE≌△ADC，∴∠AEB=∠ACD，∴∠CEH+∠ECH=∠AEH﹣∠AEC+180°﹣∠ACD﹣∠ACE=∠ACD﹣45°+180°﹣∠ACD﹣45°=90°，∴∠DHE=90°，同（1）的方法得，MG⊥NG．∴△GMN是等腰直角三角形.点睛：此题是三角形综合题，主要考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，三角形的中位线定理，正确作出辅助线用类比的思想解决问题是解本题的关键．13．（2019·山东）（提出问题）（1）如图1，在等边△ABC中，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连结AM，以AM为边作等边△AMN，连结CN．求证：∠ABC=∠ACN．（类比探究）（2）如图2，在等边△ABC中，点M是BC延长线上的任意一点（不含端点C），其它条件不变，（1）中结论∠ABC=∠ACN还成立吗？请说明理由．（拓展延伸）（3）如图3，在等腰△ABC中，BA=BC，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连结AM，以AM为边作等腰△AMN，使顶角∠AMN=∠ABC．连结CN．试探究∠ABC与∠ACN的数量关系，并说明理由．【答案】见解析【解析】解：（1）证明：∵△ABC、△AMN是等边三角形，∴AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60°．∴∠BAM=∠CAN．∵在△BAM和△CAN中，AB AC{BAM CAN? AM AN=∠=∠=，∴△BAM≌△CAN（SAS）．∴∠ABC=∠ACN．（2）结论∠ABC=∠ACN仍成立．理由如下：∵△ABC、△AMN是等边三角形，∴AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60°．∴∠BAM=∠CAN．∵在△BAM和△CAN中，AB AC{BAM CAN? AM AN=∠=∠=，∴△BAM≌△CAN（SAS）．∴∠ABC=∠ACN．（3）∠ABC=∠ACN．理由如下：∵BA=BC，MA=MN，顶角∠ABC=∠AMN，∴底角∠BAC=∠MAN．∴△ABC∽△AMN．∴AB ACAM AN=．又∵∠BAM=∠BAC﹣∠MAC，∠CAN=∠MAN﹣∠MAC，∴∠BAM=∠CAN.∴△BAM∽△CAN．∴∠ABC=∠ACN．14．（2019·辽宁中考真题）如图，是具有公共边AB的两个直角三角形，其中，AC=BC，∠ACB=∠ADB=90°．(1)如图1，若延长DA到点E，使AE=BD，连接CD，CE．①求证：CD=CE，CD⊥CE；②求证：AD+BD=2CD；(2)若△ABC与△ABD位置如图2所示，请直接写出线段AD，BD，CD的数量关系．【答案】(1)①证明见解析；②证明见解析；2CD.【解析】(1)证明：①在四边形ADBC中，∠DAC+∠DBC+∠ADB+∠ACB=360°，∵∠ADB+∠ACB=180°，∴∠DAC+∠DBC=180°，∵∠EAC+∠DAC=180°，∴∠DBC=∠EAC，∵BD=AE，BC=AC，∴△BCD≌△ACE(SAS)，∴CD=CE，∠BCD=∠ACE，∵∠BCD+∠DCA=90°，∴∠ACE+∠DCA=90°，∴∠DCE=90°，∴CD⊥CE；②∵CD=CE，CD⊥CE，∴△CDE是等腰直角三角形，∴2CD，∵DE=AD+AE，AE=BD，∴DE=AD+BD，∴2；(2)解：2CD；理由：如图2，在AD上截取AE=BD，连接CE，∵AC=BC，∠ACB=90°，∴∠BAC=∠ABC=45°，∵∠ADB=90°，∴∠CBD=90°-∠BAD-∠ABC=90°-∠BAD-45°=45°-∠BAD，∵∠CAE=∠BAC-∠BAD=45°-∠BAD，∴∠CBD=∠CAE，∵BD=AE，BC=AC，∴△CBD≌△CAE(SAS)，∴CD=CE，∠BCD=∠ACE，∵∠ACE+∠BCE=∠ACB=90°，∴∠BCD+∠BCE=90°，即∠DCE=90°，∴DE=222CD=2CD，CD CE=2∵DE=AD-AE=AD-BD，∴AD-BD=2CD．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．。

高考数学总复习 051三角形中的有关计算和证明新人教A版

g3.1051三角形中的有关计算和证明一、知识回顾本节公式中，,2a b c s ++=,r 为内切圆半径，R 为外接圆半径，Δ为三角形面积. （一).三角形中的各种关系设△ABC 的三边为a 、b 、c ，对应的三个角为A 、B 、C ．1．角与角关系：A +B +C = π，2．边与边关系：a + b > c ，b + c > a ，c + a > b ，a －b <c ，b －c < a ，c －a > b ．3．边与角关系：1）正弦定理 R Cc B b A a 2sin sin sin === 2）余弦定理 c 2 = a 2+b 2－2bc cos C ，b 2 = a 2+c 2－2ac cos B ，a 2 = b 2+c 2－2bc cos A ．它们的变形形式有：a = 2R sin A ，ba B A =sin sin ，bc a cb A 2cos 222-+=． 3）射影定理： a ＝b ·cos C ＋c ·cos B ，b ＝a ·cos C ＋c ·cos A ，c ＝a ·cos B ＋c ·cos A ．4）正切定理：22sin sin sin sin BA tgB A tgB A B A b a b a -+=-+=-+ …………….(轮换)5）模尔外得公式：;2cos 2sin ,2sin 2cos C B A c b a C B A c b a -=--=+ 6）半角定理：bc c s b s A ))((2sin--=bc a s s A )(2cos -= as r s c s b s a s a s a s s c s b s A tg -=----=---=))()((1)())((2 （以上公式均轮换）7）面积公式：))()((4222222sin sin sin 2)sin(2sin sin sin 21212222c s b s a s s R abc rs C ctg B ctg A ctg r C tg B tg A tg s C B A R C B C B a C ab ah a ---======+===∆ （二）、关于三角形内角的常用三角恒等式：1.三角形内角定理的变形由A ＋B ＋C ＝π，知A ＝π－（B ＋C ）可得出：sin A ＝sin （B ＋C ），cos A ＝－cos （B ＋C ）．而222C B A +-=π．有：2cos 2sin C B A +=，2sin 2cos C B A +=．2.常用的恒等式：（1）sin A ＋sin B ＋sin C ＝4cos 2A cos 2B cos 2C ．（2）cos A ＋cos B ＋cos C ＝1＋4sin 2A sin2B sin 2C ．（3）sin A ＋sin B －sin C ＝4sin 2A sin 2B cos 2C ．（4）cos A ＋cos B －cos C ＝－1＋4cos2A cos 2B sin 2C ．（5）sin2A ＋sin2B ＋sin2C ＝4sin A sin B sin C ．（6）cos2A ＋cos2B ＋cos2C ＝－1－4cos A cos B cos C ．（7）sin 2A ＋sin 2B ＋sin 2C ＝2＋2cos A cos B cos C ．（8）cos 2A ＋cos 2B ＋cos 2C ＝1－2cos A cos B cos C ．二、基本训练1、在ABC ∆中，已知35513sin B ,cos A ==，则cosC ＝ . 2、在ABC ∆中，A ＞B 是sin A sin B >成立的 .条件.3、在ABC ∆中，若sin Asin B cos Acos B <，则ABC ∆的形状为 .4、在ABC ∆中， 112(tan A)(tan B )++=，则2log sinC ＝ .5、在ABC ∆中，a,b,c 分别是角A 、B 、C 所对的边，若(a b c )(sin A sin B +++ 3sinC )a sin B -=，则C ∠＝ .三、例题分析例1、在ABC ∆中，451a ,b c ,tan A tan B tan Atan B )=+=+=-，求sin A .例2、在ABC ∆中，已知22a tan B b tan A =，试判断ABC ∆的形状.例3、已知A 、C 是三角形ABC 的两个内角，且tan A,tanC 是方程2100x p (p )+-=≠的两个实根。

奥林匹克数学题型三角形性质与证明

奥林匹克数学题型三角形性质与证明三角形性质与证明三角形是数学中一个非常重要的概念，它具有许多独特的性质和特点。

在这篇文章中，我们将探讨三角形的性质，并通过证明来加深理解。

一、三角形的定义与分类三角形是由三条边及其所对的三个角组成的图形。

根据边长关系，三角形可以分为等边三角形、等腰三角形和普通三角形。

根据角度关系，三角形可以分为锐角三角形、钝角三角形和直角三角形。

这些分类对于我们后续的讨论将起到重要的指导作用。

二、三角形的性质1. 内角和定理：三角形的三个内角的和等于180度。

通过这个定理，我们可以根据已知角度推导出未知角度的大小。

2. 外角和定理：三角形的外角等于其对应的两个内角之和。

这个定理在计算三角形外角时非常有用。

3. 三角形的角平分线：三角形的内角的角平分线相交于三角形内部的一点，这个点被称为三角形的内心。

内角的角平分线具有许多重要性质，例如，三角形的内心到各边的距离相等。

4. 三角形的垂直平分线：三角形的边的垂直平分线相交于三角形的内部的一点，这个点被称为三角形的垂心。

垂直平分线具有许多重要性质，例如，垂直平分线上的任意一点到三角形的顶点的距离相等。

5. 三角形的中线：三角形的三条中线交于一点，这个点被称为三角形的重心。

中线具有许多重要性质，例如，重心到各顶点的距离与各边的长度成比例。

三、三角形性质的证明1. 内角和定理的证明：假设三角形的三个内角分别为A、B、C。

我们可以通过连续使用平行线和纵向相交线之间的性质来证明内角和定理。

首先，我们延长边AB，使之与边AC平行，得到一条平行线。

之后，我们画一条经过点B且与边AC垂直的线段，它与边AC相交于点D。

由于平行线和纵向相交线之间的性质，角ABC和角CBD是等角，而角CBD又与角ACB 互补。

所以，我们有角ABC + 角ACB = 角ABC + 角CBD = 180度。

2. 外角和定理的证明：假设三角形的一个外角A等于两个对应内角B、C的和。

特殊三角形知识点和常规题型方法归类

特殊三⾓形知识点和常规题型⽅法归类⼀、特殊三⾓形知识点1、等腰三⾓形的定义，性质，判定。

等腰三⾓形性质定理：等腰三⾓形的两个底⾓相等 (即等边对等⾓）等腰三⾓形判定定理：如果⼀个三⾓形有两个⾓相等，那么这个三⾓形是等腰三⾓形（即等⾓对等边）“三线合⼀”定理：等腰三⾓形的顶⾓平分线、底边上的中线和底边上的⾼互相重合2、等边三⾓形性质：等边三⾓形的各⾓都相等，并且每⼀个⾓都等于60°判定：三个⾓都相等的三⾓形是等边三⾓形；三边都相等的三⾓形是等边三⾓形；有⼀个⾓等于60°的等腰三⾓形是等边三⾓形3、直⾓三⾓形性质：（1）在直⾓三⾓形中，两个锐⾓互余；（2）直⾓三⾓形斜边上的中线等于斜边上的⼀半；（3）（补充结论）在直⾓三⾓形中，如果⼀个锐⾓等于30°那么它所对的直⾓边等于斜边的⼀半；（4）勾股定理：直⾓三⾓形两直⾓边的平⽅和等于斜边的平⽅；（5）逆定理：如果三⾓形的三边长满⾜两边的平⽅和等于第三条边的平⽅，那么这个三⾓形是直⾓三⾓形；（6）直⾓三⾓形全等判定条件HL：斜边和⼀条直边对应相等的两个直⾓三⾓形全等。

⼆、题型归类1、关于三线的题型：（1）等腰三⾓形两底⾓的⾓平分线相等；（2）等腰三⾓形腰上的⾼相等；（3）等腰三⾓形腰上的中线相等；（4）题中出现⾓平分线，垂线，中线中的两条是同⼀条线，要想到“三线合⼀”2、分类讨论题型：（1）没有指明边是底边，腰，直⾓边，斜边；（2）没有强调是底⾓还是顶⾓；例题：若等腰三⾓形中有⼀个⾓等于40°，则这个等腰三⾓形的顶⾓的度数为____在△ABC中，AB=15，AC=13，⾼AD=12，则三⾓形的周长是（3）没有强调是锐⾓还是钝⾓，需要⾃⼰画图的题；例题：等腰三⾓形的顶⾓是80°，则⼀腰上的⾼与底边的夹⾓是______。

专题提升(10) 以等腰三角形和直角三角形为背景的计算与证明

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(2)BD2＋CD2＝2AD2.证明如下：如答图①，连接CE. ∵∠BAC＝∠BAD＋∠DAC＝90°，AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB＝45°. ∵∠DAE＝∠CAE＋∠DAC＝90°， ∴∠BAD＝∠CAE.
中考预测答图①
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在△BAD和△CAE中，
AB＝AC， ∠BAD＝∠CAE， AD＝AE，
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如图，已知∠ABC＝90°，点A，B，D在同一条直线上，AD＝BC. (1)如图①，过点A作AF⊥AB，并截取AF＝BD，连接DC，DF，CF，判断△ CDF的形状并证明； (2)如图②，点B，C，E在同一条直线上，且CE＝BD，直线AE，CD相交于点P， ∠APD的度数是一个固定的值吗？若是，请求出它的度数；若不是，请说明理由．
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(2)如图②，在Rt△ABC与Rt△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，将△ADE绕点A旋转，使点D落在边BC上，试探索线段AD，BD，CD之间满足的等量关系，并证明你的结论； (3)如图③，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°.若BD＝9，CD＝ 3，求AD的长．
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【解析】开放型题型，根据垂直关系，可以判断△AEH与△CEB有两组对应角相等，就只需要找它们的一组对应边相等就可以了． ∴根据AAS添加AH＝CB或EH＝EB，根据ASA添加AE＝CE，可证△AEH≌△CEB.
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3．如图，在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE， C，D，E三点在同一直线上，连接BD.

浙江省2017年中考数学总复习考点强化课七以相似三角形三角函数为背景的计算与证明课件

(2)若轮船不改变航向，该轮船能否停靠在码头？请说明理由.(参考数据： ≈ 1.4， 2 ≈ 31.7)
答案
规律方法
解
∵BD＝BC，BE⊥CD，∴DE＝CE，
在Rt△BEC中，∵BC＝12，∠BCE＝30°，
∴BE＝6，CE＝6 3 ≈10.2，∴CD＝20.4，
∵20＜20.4＜21.5，
∴轮船不改变航向，可以停靠在码头.
AE AM ∴△AEM∽△ADE，∴AD＝ AE ， ∴AE2＝AM· AD，∴AN2＝AM· AD，故②正确；
分析
③∵AE2＝AM· AD，∴22＝(2－MN)(4－MN)， ∴MN＝3－ 5，故③正确； ④在正五边形 ABCDE 中，作 EH⊥BC，如答图， 1 ∵BE＝CE＝AD＝1＋ 5，BH＝2BC＝1， ∴EH＝ (1＋ 5)2－12＝ 5＋2 5， 1 1 ∴S△EBC＝2BC· EH＝2× 2× 5＋2 5＝ 5＋2 5，故④错误.
AD AE DE ∴△ADE∽△BEC，∴ BE ＝BC＝CE ， 1 2 2－x 设 BE＝x，则 AE＝2 2－x，即 x ＝ 2 ，解得 x＝ 2， AD DE 1 ∴ BE ＝ CE ＝，∴CE＝ 2DE. 2
考查角度二
与相似三角形有关的综合问题
例2 (2016· 甘孜)如图1，AD为等腰直角△ABC的高，点A和点C分别在正方形DEFG的边DG和DE上，连接BG，AE. (1)求证：BG＝AE；
分析
答案
分析
①∵在正五边形ABCDE中，
∠BAE＝∠AED＝108°， AB＝AE＝DE，∴∠ABE＝∠AEB＝∠EAD＝36°， ∴∠AME＝180°－∠EAM－∠AEM＝108°，故①正确； ②∵∠AEN＝108°－36°＝72°，∠ANE＝36°＋36°＝72°， ∴∠AEN＝∠ANE，∴AE＝AN，同理可得，DE＝DM，∴AE＝DM， ∵∠EAD＝∠AEM＝∠ADE＝36°，

浙教版八年级上册数学第二章特殊三角形全部知识点、考点及练习

浙教版八年级上册数学第二章特殊三角形全部知识点、考点及练习本章主要研究了等腰三角形、直角三角形和特殊三角形的性质和判定，其中包括了勾股定理和HL定理等知识。

等腰三角形的两腰相等，两底角也相等，三线合一，是对称图形，有一条对称轴。

等边三角形三边相等，三个内角也相等，是正多边形，有三条对称轴。

直角三角形有一个直角和两个锐角，斜边上的中线等于斜边的一半，两直角边的平方和等于斜边的平方，可以用勾股定理判断。

角平分线是指从角的顶点到对边的线段，它可以被平分线所穿过。

等腰三角形的判定方法是有两边相等或两角相等。

但需要注意的是，有两腰相等的三角形不一定是等腰三角形。

等边三角形的判定方法是三边相等或三个角都是60度。

直角三角形的判定方法是有一个角是90度或两个角相加等于90度或两直角边的平方和等于斜边的平方。

最后，需要注意的是，一条边上的中线等于该边长度的一半并不一定能直接判断某三角形是直角三角形，但可以在解题时提供帮助。

直角三角形全等的判定方法是斜边和一个锐角对应相等。

角平分线可以被平分线穿过，这个性质可以在解题时使用。

研究特殊三角形时，需要明确性质与判定的区别，不能混淆。

一般来说，根据边角关系判断一个图形形状通常用的是判定，而根据图形形状得到边角关系则是性质。

等腰三角形的腰是在已知一个三角形是等腰三角形的情况下才给出的名称，即先有等腰三角形，后有腰。

因此，在判定一个三角形是等腰三角形时，不能将理由说成是“有两腰相等的三角形是等腰三角形”。

直角三角形斜边上的中线不仅可以用来证明线段之间的相等关系，而且它也是今后研究直角三角形问题较为常用的辅助线，熟练掌握可以为解题带来不少方便。

勾股定理反映的是直角三角形两直角边和斜边之间的平方关系。

解题时应注意分清哪条是斜边，哪条是直角边，不要一看到字母“c”就认定是斜边。

另外，不要一看到直角三角形两边长为3和4，就认为另一边一定是5.HL”是仅适用于判定直角三角形全等的特殊方法，只有在已知两个三角形均是直角三角形的前提下，此方法才有效。