部编版2020学年高中数学第一章三视图和直观图1.2.3直观图优化练习新人教A版必修1

1.2.3 空间几何体的直观图
[课时作业] [A 组 基础巩固]
1．用斜二测画法画水平放置的圆，得到的图形形状是( ) A ．圆 B ．椭圆 C ．正方形 D ．矩形
解析：因为斜二测画法中平行y 轴的长度变为原来的1
2，故圆的直观图就是椭圆．
答案：B
2.如图，Rt △O ′A ′B ′是一平面图形的直观图，直角边O ′B ′＝1，则这个平面图形的面积是( ) A ．2 2 B ．1 C. 2
D ．4 2
解析：∵O ′B ′＝1， ∴O ′A ′＝ 2.
∴在Rt △OAB 中，∠AOB ＝90°，OB ＝1，OA ＝22， ∴S △AOB ＝1
2×1×22＝2，故选C.
答案：C
3.如图所示，正方形O ′A ′B ′C ′的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是( ) A ．6 B ．8 C ．2＋3 2
D ．2＋2 3 解析：根据水平放置平面图形的直观图画法，可得原图形是一个平行四边形，如图所示，对角线OB ＝22，OA ＝1，所以AB ＝3，所以周长为8.
答案：B
4．如图所示为水平放置的正方形ABCO ，它在直角坐标系中点B 的坐标为(2,2)，则在斜二测画法画出的正方形的直观图中，点B ′到O ′x ′轴的距离为( )
A.12 B ．
22
C ．1
D ． 2
解析：由于BC 垂直于x 轴，所以在直观图中BC 的长度是1，且与O ′x ′轴的夹角是45°，所以B ′到O ′x ′轴的距离是22
. 答案：B
5.如图，梯形A 1B 1C 1D 1是平面图形ABCD 的直观图(斜二测画法)，若A 1D 1∥O 1y 1，A 1B 1∥C 1D 1，A 1B 1＝2
3C 1D 1＝2，A 1D 1＝1，则ABCD 的面
积是( ) A ．10 B ．5 C ．5 2
D ．10 2
解析：由直观图还原成原图，如图CD ＝C 1D 1＝3，AD ＝2A 1D 1＝2，
AB ＝A 1B 1＝2，∠ADC ＝90°，故S 梯形ABCD ＝1
2
(2＋3)×2＝5，选B.
答案：B
6．利用斜二测画法得到的①三角形的直观图是三角形；②正方形的直观图是正方形；③菱形的直观图是菱形．以上结论，正确的是________．
解析：①正确．②错，正方形的直观图是平行四边形；③错，利用斜二测画法画菱形的直观图时，相邻两边不一定再相等，故不一定是菱形． 答案：①
7.如图所示，△A ′B ′C ′表示水平放置的△ABC 在斜二测画法下的直观图，A ′B ′在x ′轴上，B ′C ′与x ′轴垂直，且B ′C ′＝3，则△ABC 的边AB 上的高为________．
解析：由题意知：过C ′作C ′H ∥y ′轴，交x ′轴于H ，则|C ′H |＝|C ′B ′|×2＝3 2. 由斜二测画法的规则知，CH ⊥AB . ∴AB 边的高CH ＝2C ′H ＝6 2. 答案：6 2
8.在直观图中，四边形O ′A ′B ′C ′为菱形且边长为2 cm ，则在坐标系xOy 中原四边形OABC
为______(填形状)，面积为________ cm2.
解析：由题意，结合斜二测画法可知，四边形OABC为矩形，其中OA＝2 cm，OC＝4 cm，所以四边形OABC的面积S＝2×4＝8(cm2)．
答案：矩形8
9．已知几何体的三视图如图所示，用斜二测画法画出它的直观图．
解析：(1)画轴．如图①，画x轴，y轴，z轴，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.
(2)画圆台的两底面．利用椭圆模板，画出底面⊙O，在z轴上截取OO′，使OO′等于三视图中相应的长度，过点O′作Ox的平行线O′x′，Oy的平行线O′y′，类似底面⊙O的作法作出上底面⊙O′.
(3)画圆锥的顶点．在O′z上截取O′P，使O′P等于三视图中O′P的长度．
(4)成图．连接PA′，PB′，A′A，B′B，整理得到三视图所表示的几何体的直观图，如图
②.
10．由下列几何体的三视图画出直观图．
解析：(1)画轴．
如图，画出x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，
使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.
(2)画底面．作水平放置的三角形(俯视图)的直观图△ABC.
(3)画侧棱．过A、B、C各点分别作z轴的平行线，并在这些平行线上分别截取线段AA′、BB′、CC′.
(4)成图．顺次连接A′、B′、C′，并加以整理(擦去辅助线，将遮挡部分用虚线表示)，得到的图形就是所求的几何体的直观图．
[B组能力提升]
1.水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示，已知B′C′＝4，
A′C′＝3，则△ABC中AB边上的中线的长度为( )
A.73
2
B．73 C．5 D．
5
2
解析：由斜二测画法规则知AC⊥BC，即△ABC为直角三角形，其中AC＝3，BC＝8，所以AB
＝73，AB边上的中线长度为73 2
.
答案：A
2．如图，在斜二测画法下，边长为1的正三角形ABC的直观图不是全等三角形的一组是( )
解析：在直观图中，平行于x轴(或在x轴上)的线段长不变，平行于y轴(或在y轴上)的线段长减半．在C中，第一个图中，AB不变，高减半，第二个图中，AB减半，高不变，因此两三角形(直观图)不全等．
答案：C
3．已知一个建筑物上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样，长方体的长、宽、高分别为20 m,5 m,10 m，四棱锥的高为8 m．如果按1∶500的比例画出它的直观图，那么在直观图中，长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为( ) A．4 cm,1 cm,2 cm,1.6 cm
B．4 cm,0.5 cm,2 cm,0.8 cm
C．4 cm,0.5 cm,2 cm,1.6 cm
D．4 cm,0.5 cm,1 cm,0.8 cm
解析：由比例尺可知，长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为4 cm,1 cm,2 cm和1.6 cm，再结合直观图，图形的尺寸应为4 cm,0.5 cm,2 cm,1.6 cm.
答案：C
4.如图所示的水平放置的三角形的直观图，D′是△A′B′C′中B′C′
边的中点，且A′D′平行于y′轴，那么A′B′，A′D′，A′C′三条
线段对应原图形中线段AB，AD，AC中( )
A．最长的是AB，最短的是AC
B．最长的是AC，最短的是AB
C．最长的是AB，最短的是AD
D．最长的是AD，最短的是AC
解析：因为A′D′∥y′轴，所以在△ABC中，AD⊥BC，又因为D′是B′C′的中点，所以D是BC中点，所以AB＝AC>AD.
答案：C
5.如图所示，△ABC中，AC＝12 cm，边AC上的高BD＝12 cm，求其水平放置
的直观图的面积．
解析：△ABC的面积为1
2
AC·BD＝
1
2
×12×12＝72(cm2)，由平面图形的面积与
直观图的面积间的关系，可得△ABC的水平放置的直观图的面积是
2
4
×72＝182(cm2)．
6．已知某几何体的三视图如图，试用斜二测画法画出它的直观图．
解析：由该几何体的三视图可知该几何体是一个简单组合体，下方是一个四棱柱，上方是一个四棱锥，并且下方的四棱柱与上方的四棱锥底面重合，可以先画下方的四棱柱，再画上方的四棱锥．
(1)画轴．如图①所示，画出x轴、y轴、z轴，三轴交于点O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.
(2)画棱柱的底面．以O为中点，在x轴上画MN＝2，在y轴上画EQ＝2，分别过点M，N作y轴的平行线，过点E，Q作x轴的平行线，设它们的交点分别为A，B，C，D，则四边形ABCD
就是该棱柱的下底面．
(3)画棱柱的侧棱．分别以A，B，C，D四个顶点为起点作平行于z轴，长度为1的线段，得四条侧棱AA′，BB′，CC′，DD′，顺次连接A′，B′，C′，D′.
(4)画四棱锥的顶点．在Oz上截取线段OP使OP＝2.
(5)成图．连接PA′，PB′，PC′，PD′，擦去辅助线，将被遮挡部分改为虚线，可得所求直观图如图②.。