共轭梯度法计算磁性体系的磁阻

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磁路基本定律、计算方法

图中分铁心和气隙两段.
图14 铁心磁路
b、求各段B
BK = K /AK
c、确定HK
A、非铁磁材料 K= 0 HK =BK/ 0
B、铁磁材料查磁化曲线，由BK HK
d、求代数和 F = HK lK = FK =iN
第二类：已知F 试探（迭代）法
❖并联磁路：
与串联磁路计算相同，第一类问题顺序求解，第二类问题采用试探（迭代）法。
I E R
三、磁路与电路的差别
磁路和电路的比拟仅是—种数学形式上的类似、而不是物理本质的相似。
1.电路中有电流I时，就有功率损耗I2R，而在直流磁路中，维持一定的磁通量时，铁心中没有功率损耗；
2.在电路中可以认为电流全部在导线中流通，导线外没有电流；在磁路中，则没有绝对的磁绝缘体，除了铁心的磁通外，实际上总有一部分磁通散布在周围的空气中；
图15 并联磁路
图中分四段.
第一类：已知F
a、将磁路分段原则：同一段上、A、相同。
b、根据基尔霍夫第一、二定律列写节点方程和回路方程并求解
c、分段逐一求B
BK = K /AK
d、确定HK A、非铁磁材料 K= 0 HK =BK/ 0
B、铁磁材料查磁化曲线，由BK HK
e 、求代数和 F = HK lK = FK =iN
§1.7 电机的冷却与防护
一、冷却介质气冷（空气、氢气）、液冷（水、油）、混合冷二、冷却方式间接—空气冷却（冷却介质只与铁心、绕组、机壳外表面接触）直接--氢气、水（进入发热体内部）三、机壳防护开启式、防护式
2、交流磁路的特点
交流磁路中，激磁电流是交流，因此磁路中的磁动势及其所激励的磁通均随时间而交变，但每一瞬时仍和直流磁路一样，遵循磁路的基本定律。就瞬时值而言，通常情况下，可以使用相同的基本磁化曲线。

内部共轭梯度法

内部共轭梯度法是一种迭代方法，介于最速下降法与牛顿法之间。

它仅需利用一阶导数信息，克服了最速下降法收敛慢的缺点，并避免了牛顿法需要存储和计算Hesse矩阵并求逆的缺点。

内部共轭梯度法的优点包括所需存储量小，具有步收敛性，稳定性高，而且不需要任何外来参数。

对于求解大型稀疏矩阵，共轭梯度法是很有效的方法。

然而，这个方法并不是越迭代精度越高，有时候可能迭代多了反而出错，对迭代终止条件的选择要求还是很高的。

此外，共轭梯度法收敛的快慢依赖于系数矩阵的谱分布情况，当特征值比较集中，系数矩阵的条件数很小，共轭梯度方法收敛得就快。

如需了解更多关于内部共轭梯度法的信息，建议咨询专业人士获取帮助。

共轭梯度法(讲稿)3.

共轭梯度法
• 一、共轭梯度法的适用范围 • 二、等价极小值问题 • 三、极小化迭代法基本步骤 • 四、共轭梯度法
一、共轭梯度法的适用范围
• 1、CG法适用于求解大散射体的问题也可以解谐振问题 • 2、与SIT法比较，都可以避免矩阵求逆，但SIT法收敛较慢，有时不一定收敛，而CG法则能保证收敛，误差小，贮存量较SIT大一些，且其初始值可任意选定。 • 3、最速下降法反映的目标函数的一种局部性质,从局部看, 最速下降方向是目标函数值下降最快的方向,选择这样的方向进行搜索是有利的. • 4、但从全局来看,由于锯齿现象的影响, 即使向着极小点移近不太大的距离,也要经历不小的”弯路”,因此收敛速度大为减慢.
解设初始点为U ( 0) (1,1)T ，U (u1 , u 2 , u3 ...un )T 2u1 F(u 1 , u 2 ) 8u 2 (1,1)T 得， 2 F(U ( 0 ) ) , F(U ( 0 ) ) 8.24621 8 p ( 0 ) F (U ( 0 ) ) (2,8)T U(1) U ( 0 ) t0 p ( 0 ) , 其中t0由 min F (U ( 0 ) tp ( 0 ) ) min[( 1 2t ) 2 4(1 8t ) 2 ] dF (U ( 0) tp ( 0 ) ) 利用必要条件 4(1 2t ) 64(1 8t ) 520t 68 0 得t 0 0.13077 dt 1 2 0.73846 U (1) 0 . 13077 1 8 0.04616 F (U (1) ) (1.47692 ,0.36923 )T , p (1) F (U (1) ), F(U (1) ) 1.52237 U( 2 ) U (1) t1 p (1)

共轭梯度法

Hesteness和Stiefel于1952年为解线性方程组而提出
•基本思想:把共轭性与最速下降法相结合,利用已知点处的梯度构造一组共轭方向,并沿着这组方向进行搜索,求出目标函数的极小点
4.4共轭梯度法
先讨论对于二次凸函数的共轭梯度法,考虑问题
min f (x) 1 xT Ax bT x c
3, giT d (i) giT gi (蕴涵d (i) 0)
证明: 显然m1,下用归纳法(对i)证之.
当i 1时,由于d (1) g1,从而3)成立,对i 2时, 关系1)和2)成立,从而3)也成立.
4.4共轭梯度法
设对某个i<m,这些关系均成立,我们证明对于i+1
也成立.先证2),
因此
2 / 3 1 5/ 9
d (2)

1/ 1
3

1 9

2 0

5/9 1

从x(2)出发,沿方向d (2)进行搜索,求步长2,使满足 :
f
( x (1)

2d (1) )

min
0
f
(x(2)

d (2))

2 0

4.4共轭梯度法
显然, d (1)不是目标函数在x(1)处的最速下降方向.
下面,我们用FR法构造两个搜索方向.
从x(1)出发,沿方向d (1)进行搜索,求步长1,使满足 :
f
( x (1)
1d (1) )

min
0
f
( x (1)

d (1) )
得1 2 3
A正定,故x是f(x)的极小值点.

共轭梯度法

n
*
n
k
k
根据共轭梯度法的思想，令
11
⎧ s0 = − g 0 ⎪ k −2 ⎨ k k k −1 i β s = − g + s + ∑ β ki s , k = 1," , n − 1 k −1 ⎪ i =0 ⎩
我们用归纳法来确定其中的参数，使 s ," , s
k
0 n −1
(4.7)
为非零 H-共轭方向组。为此，设 s ," , s
( g k )T s k = − ∇f ( x k ) <0
0= ( s k )T Hs k −1 = −( g k )T Hs k −1 + β k −1 s k −1 Hs k −1 0= ( s k )T Hs i = −( g k )T Hs i + β ki s i Hs i , i = 0," , k − 2
i i T i
(4.3)
由 d ≠ 0 和 H 是对称正定阵知 (d ) Hd ≠ 0 ，于是据 (4.3) 有 α i =0 。再由 i ∈ {1, " , m} 的任意性得知
α 1 = " = α m = 0 ，由此得 d 1 ," , d m 线性无关。证毕。
将一组共轭方向作为搜索方向对无约束非线性规划问题(UNP)进行求解的方法称为共轭方向法。现在考虑无约束凸二次规划问题
(4.13)
12
( g k )T ( g k − g k −1 ) = g k
对于(4.13)的分母，由(4.10)和(4.12)的第二式知，
2
( s k −1 )T ( g k − g k −1 ) = −( s k −1 )T g k −1 = ( g k −1 − β k − 2 s k − 2 )T g k −1 = g k −1

自制磁铁磁阻计算公式

自制磁铁磁阻计算公式磁阻是指磁场通过磁性材料时所遇到的阻力。

在磁性材料中，磁场线会受到材料内部原子、离子和电子的相互作用而产生阻力。

磁阻计算公式是用来计算磁性材料在特定条件下的磁阻值的公式。

本文将介绍如何自制磁铁磁阻计算公式，并给出一个简单的实例。

首先，我们需要了解一些基本的磁学知识。

在磁学中，磁铁的磁性是由其磁化特性决定的。

磁化特性可以通过磁化曲线来描述，磁化曲线是磁化强度与磁场强度的关系曲线。

在磁化曲线中，有一些重要的参数，比如剩磁、矫顽力和磁导率。

这些参数可以用来计算磁铁的磁阻。

磁阻计算公式可以通过磁化曲线和磁导率来表示。

一般来说，磁阻可以通过以下公式来计算：磁阻 = 磁场强度 / 磁通密度。

其中，磁场强度是指磁场在磁铁中的强度，通常用H表示；磁通密度是指单位面积上通过的磁通量，通常用B表示。

根据这个公式，我们可以通过磁化曲线和磁导率来计算磁阻。

接下来，我们将给出一个简单的实例来说明如何自制磁铁磁阻计算公式。

假设我们有一块铁磁材料，其磁化曲线如下图所示：在这个磁化曲线中，我们可以看到剩磁为1.2 T，矫顽力为800 A/m，磁导率为2000 H/m。

现在，我们希望计算在一个磁场强度为1000 A/m的条件下，这块铁磁材料的磁阻是多少。

根据上面的公式，我们可以计算出磁阻为：磁阻 = 1000 A/m / 1.2 T = 833.33 H/m。

通过这个简单的实例，我们可以看到如何使用磁化曲线和磁导率来计算磁铁的磁阻。

当然，实际情况可能更加复杂，需要考虑更多的因素，比如温度、磁场的方向等等。

但是基本的原理是相同的，通过磁化曲线和磁导率来计算磁铁的磁阻。

总之，磁阻计算公式是用来计算磁性材料在特定条件下的磁阻值的公式。

通过磁化曲线和磁导率，我们可以计算出磁铁的磁阻。

希望本文能够帮助大家更好地理解磁阻计算公式的原理和应用。

共轭梯度法公式推导

共轭梯度法公式推导一、问题的提出与预备知识。

1. 二次函数的极小化问题。

- 考虑二次函数f(x)=(1)/(2)x^TAx - b^Tx + c，其中A是n× n对称正定矩阵，x,b∈ R^n，c∈ R。

- 对f(x)求梯度∇ f(x)=Ax - b。

- 求f(x)的极小值点，即求解Ax = b。

2. 共轭方向的概念。

- 设A是对称正定矩阵，若对于非零向量d_1,d_2∈ R^n，满足d_1^TAd_2 = 0，则称d_1和d_2是A - 共轭的（或A - 正交的）。

二、共轭梯度法的基本思想。

1. 迭代格式。

- 共轭梯度法是一种迭代算法，其基本迭代格式为x_k + 1=x_k+α_kd_k，其中x_k是第k次迭代的近似解，α_k是步长，d_k是搜索方向。

2. 确定步长α_k- 为了使f(x_k+1)最小，将x_k + 1=x_k+α_kd_k代入f(x)中，得到f(x_k+α_kd_k)=(1)/(2)(x_k+α_kd_k)^TA(x_k+α_kd_k)-b^T(x_k+α_kd_k)+c。

- 对α_k求导并令其为0，可得α_k=((r_k)^Td_k)/((d_k)^TAd_k)，其中r_k = b - Ax_k=∇ f(x_k)。

三、搜索方向d_k的确定。

1. 初始搜索方向。

- 取d_0=-r_0，其中r_0 = b - Ax_0，x_0是初始近似解。

2. 后续搜索方向。

- 对于k≥1，d_k=-r_k+β_k - 1d_k - 1，其中β_k-1=frac{(r_k)^TAd_k - 1}{(d_k - 1)^TAd_k - 1}。

- 下面推导β_k - 1的表达式：- 因为d_k - 1和d_k是A - 共轭的，所以d_k - 1^TAd_k = 0。

- 将d_k=-r_k+β_k - 1d_k - 1代入d_k - 1^TAd_k = 0，得到d_k - 1^TAd_k=-d_k - 1^TAr_k+β_k - 1d_k - 1^TAd_k - 1=0。

共轭梯度法

, k 1 ）
（1）
同样由前一节共轭方向的基本定理有：
T gk di 0
（ i 0,
, k 1 ），（2）
T 再由 g i 与 d i 的关系得： gk gi 0 （ i
0,
i 0,
, k 1 ）
(3)
将（2）与（3）代入（1）得：当而
i 0 , k 2 时，
第 2次迭代：
5 2 8 T ( 8 , 4 )T ( , ) 18 9 9
g1 (
8 2 16 2 ) ( ) || g1 || 9 9 4 . 0 || g 0 ||2 82 4 2 81
2
8 16 T , ) . ||g1 || 9 9
解：
4 1 f ( x) ( x1 , x2 ) 2 0
0 x1 , 2 x2
4 0 G . 0 2
f ( x) ( 4 x1 , 2 x2 )T .
第1 次迭代：
令
而
d (0) g0 f ( x(0) ) ( 8 , 4 )T ,

一、共轭梯度的构造（算法设计针对凸二次函数）设
f ( x)
1 T x Gx bT x c 2
其中 G 为 n n 正定矩阵，则
g ( x) Gx b
对二次函数总有 1）设
gk 1 gk G xk 1 xk k Gdk
，令 x1 x0 0 d0 （ 0 为精确步长因子）
dk 1 f ( xk 1 ) dk
|| f ( xk 1 ) ||2 || f ( xk ) ||2

令k=k+1;返回4.

时域电磁反演的五种共轭梯度算法对比研究

中图分类号：０４４１．４文献标识码：Ａ文章编号：１００４－４３２９（２０１５）０４－０２９－０５
ＤＯＩ：１０．１４０９６／ｊ．ｅｎｋｉ．ｅｎ３４．１０６９／ｎ／１００４４３－２９（２０１５）０４０２－９０５－
ｍａｇｎｅｔｉｃ（ＥＭ）ｉｎｖｅｓｉｒｏｎｐｒｏｂｌｅｍｓ，ｔｈｅｒｅｆｏｒｅ，ｗｈｅｔｈｅｒｉｔｉｓａｐｐｒｏｐｉｒａｔｅｏｒｎｏｔｉｓｄｉｒｅｃｔｌｙｒｅｌａｔｅｄｔｏｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓｏｆｔｈｅｉｎｖｅｒｓｉｏｎ．Ｉｎ
ｔｈｅｓｉｍｕｌａｔｅｄｒｅｓｕｌｔｓｉｎｄｉｃａｔｅｓｔｈａｔｔｈｅｐｒｏｐｅｒｔｙｆｒｏｍｔｈｅＰＲＰＣＧｌｇａｏｉｒｔｈｍｉｓｔｈｅｂｅｓｔｏｎｅ．
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｓｅｌｅｃｔｉｎｇｏｎｅｆｒｏｍｍａｎｙｃｏｎｊｕｇａｔｅｇｒａｄｉｅｎｔ（ＣＧ）＇ａｌｇｏｒｉｔｈｍｓｉｓｏｎｅｉｍｐｏｒｔａｎｔｓｔｅｐｆｏｒｓｏｌｖｉｎｇｔｉｍｅ — ｄｏｍａｉｎｅｌｅｃｔｒｏ－

共轭梯度法课件

4.3共轭梯度法4.3.1共轭方向法定义4.3.1设A 是n ×n 对称正定矩阵，d 1，d 2，是n 维非零矢量，如果d 1T Ad 2=0则称d 1和d 2是A-共轭的，简称共轭的设d 1，d 2，...,d m 是R n 中一组非零向量，如果d i T Ad j =0,i ≠j ，j,i=1,2,...,k则d 1,d 2,...,d m 是A-共轭的，简称共轭的，也称它们是一组A 共个方向定理4.3.3设x 0∈Rn 是任意初始点，对于极小化二次函数min f(x)=1/2 x T Ax-b T x 共轭方向法至多经n 步精确线性搜索终止；且每一x i+1都是f(x)在x 0和方向d 1，d 2,....,di, 所张成的线性流形｛|x x=x 0+,0j i j j da ∑=j a ∀｝中的极小点。

4.3.4共轭梯度法共轭梯度法是一个典型的共轭方向法，他的每一个搜索方向是相互共轭的，而这些搜索方向d k 仅仅是负梯度方向-g k 与上一次迭代的搜索方向d k-1组合。

因此，存储量小，计算方便。

定理4.3.6对于正定二次函数，采用精确线性搜索的共轭梯度法在m ≦n 步后终止，且对1≦i≦n成立下列关系式：d i T Ad j=0,j=0,1,...,i-1,g i T Ag j=0,j=0,1-1,d i T Ag i= - g i T g I[g0,g1,...,g i]=[g0,Ag0,,...,A i g0][d0,d1,...,d i]=[g0,Ag0,,...,A i g0]其中[g0,g1,...,g i]和[d0,d1,...,d i]分别表示g0,g1,...,g i及d0,d1,...,d i张成的子空间，[g0,Ag0,,...,A i g0]表示g0的i阶Krylov子空间。

定理4.3.9（FR共轭梯度法的总体收敛性定理）假定f R n R在有界水平集L={x R n|f（x）≦f（x0）｝上连续可微，且有下界，那么采用精确线性搜索的F-R共轭梯度法产生的序列｛x k｝至少有一个聚点是驻点，即1当｛x k｝是有穷数列时，其最后一个点是f（x）的驻点；2当｛x k｝是无穷数列时，它必有聚点，且任一聚点都是f（x）的驻点。

共轭方向法和共轭梯度法

设问题的最优解 x*= -Q-1b 在这组基底下的表示为 x* = u1 p1 + u2 p 2 + · · ·+ un pn 并任取初始点 x0 = s1 p1 + s2 p2 + · · ·+ sn pn. 先在方向
p1上进行一维搜索，即求解问题
x* = u1 p1 + u2 p2 + · · ·+ un pn
对 n 元二次函数
1 T f ( x) x Qx bT x C 2
研究方向 p 1 与 p 0 有什么关系?
p0
x 1 x 0 t0 p 0 p1
*
x0
因为又
f ( x 1 )
t 0
x * x1 t 1 p 1 arg min f ( x 1 t p 1 )
* 2 1 2 || x x ||Q min || x Q b || 因此原问题等价于： Q
在Rn上，按照上面定义的内积给出一组Q -共扼的
基底 p1, p2, · · · , pn ，则 p1, p2, · · · , pn 线性无关，且
pi , p j Q 0, ( i j )
1R
2 ( sn un ) pn ||Q 2 ( sn un ) pn ] ||Q
min || ( s1 1 u1 ) p1 [( s2 u2 ) p2
1R
x* = u1 p1 + u2 p2 + · · ·+ un pn
因为对任意
x0 = s1 p1 + s2 p2 + · · ·+ sn pn
定理( 共轭方向法的收敛性) 设 (1) Q 为 n 阶正定矩阵; (2) p0, p1,· · · , pm-1为一组 n 维Q -共扼的向量.

共轭梯度法

共轭梯度法对物质的一种分析方法，共轭梯度分析法是近几十年发展起来的无损检测技术。

共轭梯度技术是将多种物理效应相结合，并且具有较高的检出率、分辨率和灵敏度，这是一种具有很大发展潜力的分析技术。

共轭梯度法主要包括：共轭电子效应、共轭磁效应、共轭梯度效应。

共轭梯度分析技术是一种高效的新型无损检测技术。

其主要优点在于：①不需要使用电子源；②同时利用共轭电子效应和共轭磁效应，可以消除多种原子的外层电子对核磁矩的屏蔽作用，同时，也降低了铁磁性物质的饱和磁化强度的影响；③能够实现对缺陷浓度较低的金属或非金属材料的快速检测。

共轭梯度技术是20世纪70年代发展起来的无损检测技术，它是利用一些特殊的元素（如铝、铅、铋等）与一些有色金属的原子形成离子，或在两者之间形成过渡族的元素（如汞、铊、铟等），从而达到产生强共轭的效果，再利用超声场或磁场改变他们的相互作用，而不改变他们的化学性质。

共轭梯度的基本原理：①共轭电子效应。

就是利用一些电负性比较强的元素作为原子核，因此他们最外层的电子被核外其他电子吸引，由于距离原子核较远，受到核外电子的排斥，所以核外电子浓度较小。

其电子从价带跃迁到导带，然后再跃迁回价带，所以他们不显电性。

反之，价带中的电子被导带中的电子所吸引，从而降低了价带的电子密度，增加了导带的电子密度，使得原子的核外电子浓度减少，同样会使原子的磁矩减弱。

因此，与这些元素形成化合物的非金属元素的电子都会向原子核附近集聚，从而影响原子的磁矩。

但是当原子序数越高，因为核外电子对核磁矩的屏蔽作用越弱，元素形成的化合物的稳定性越高，原子序数越高的元素的电子就越容易向原子核靠拢。

②共轭磁矩效应。

与电子的共轭电子效应相反，铁磁性物质的原子的核外电子轨道对外磁矩的影响相对比较大。

当这些原子处于磁化状态时，内层电子只能自旋平行，但是这个平行的自旋磁矩，会使这些原子的自旋磁矩大小相等，互相抵消，因此这些原子呈顺磁性。

但当这些原子处于非磁化状态时，内层电子的自旋磁矩可以取向不同，所以，铁磁性物质又显示出反铁磁性。

磁阻的公式

磁阻的公式磁阻是指磁场影响电流的能力，它是物理学中最重要的概念之一。

磁阻的定义是电流通过一段磁性材料（用称为磁场）时阻碍的程度。

它用来描述磁场变化时影响电流的机制。

它的大小可以用不同的表达方式来表示，其中最常用的是磁阻公式。

磁阻公式是一个定性公式，用来表示磁阻大小相关的系数和变量。

磁阻公式的参数如下：1.阻（R）：电阻是导体对电流和电场的反应。

一般磁阻公式中电阻Rs是固定的参数，它代表着磁阻系数。

2.加速度（ω）：角加速度ω是指在单位时间内，电流穿过磁性材料时围绕轴的转角变化的平均值。

它决定了电流通过磁场的效率。

3.场强度（B）：磁场强度是指磁场的偏移程度，它决定了电流的抵抗大小，因此影响磁阻大小。

4.导率（μ）：磁导率μ是指物质中电流流动所需要的磁力。

它可以用来衡量磁场对电流的影响程度。

根据以上参数，磁阻公式是这样的：R =Bμ磁阻公式说明了电流在磁场中流动时受到的阻力大小。

这个公式可以用来计算磁场改变时，电流受到的阻力大小。

例如，当电场强度变化时，角加速度ω会发生变化，从而改变磁阻值。

磁阻公式也可以用来研究电磁感应和励磁的原理：当电流通过一个磁场时，磁场强度会改变，从而引起电场强度变化，从而引起电流受到的阻力大小也会发生变化；而当磁场强度改变时，电流也会受到影响而发生励磁。

电流改变时，磁阻公式也可以被用来研究机电设备的工作原理：电流流过磁性材料改变了电场强度，从而引起磁场变化，最终改变了电流的抵抗，从而使机电设备的运行受到影响。

磁阻公式广泛应用于日常生活中，比如电磁炉、洗衣机、电视机等电器产品，也可以用来研究电力系统、电力电子技术以及计算机存取技术等。

磁阻公式在物理学上有着重要的作用，它可以帮助我们理解磁场如何影响电流，从而影响电器产品、电力系统以及计算机存取技术等，这样才能保证电子设备、电力系统和计算机技术的正常运行。

因此，理解和运用磁阻公式对我们的日常生活和工作都有着重大的意义。

第二节共轭梯度法

Page 1§3.4 共轭梯度法基本思想Page 2利用目标函数在当前迭代点处的负梯度方向与上一步的搜索方向的适当线性组合，构造下一步的搜索方向，要求这些搜索方向是一系列共轭方向。

由Taylor公式知，一个函数在一点附近的性态与二次函数是很接近的，因此，为了建立有效算法,往往选用二次模型，即先针对正定二次函数建立有效的算法，然后再推广到一般函数上去。

Page 3一、共轭方向及其性质注：若,Q I =则是正交的，因此共轭是正交的推广．定义1:如果：()0,T ij d Q d i j =≠则称m d d d ,,,21"是关于Q 共轭的．设m d d d ,,,21"是nR 中任一组非零向量，n nQ R×∈是n 阶实正定矩阵，Page 4定理1:设Q 为n 阶正定阵，非零向量组m d d d ,,,21"关于Q 共轭，则必线性无关．推论1:设Q 为n 阶正定阵，非零向量组n d d d ,,,21"关于Q 共轭，则它们构成nR 的一组基．n 则推论2:设Q 为阶正定阵，非零向量组n d d d ,,,21"关于Q 共轭.若向量v 与n d d d ,,,21"均正交,.0=vPage 5定理2:设为阶正定阵，向量组Q n 12,,kd d d "关于Q 共轭，对正定二次函数()12T Tf x x Qx b x c =++，由任意1x 开始，1,1,2,,i ii i xx d i k α+=+="则：(１)1()0,1,2,k T if x d i k+∇=="(２)当k n =时，1n x +为f(x)在n R 上的极小点．后得沿k 次精确线搜索依次进行i dPage 6启发：用迭代法求解正定二次函数极小：()12T TMin f x x Qx b x c=++转化为构造关于Q共轭的n个方向问题.如何构造n个关于Q共轭的方向?一种做法是借助迭代点处的负梯度方向来构造共轭梯度法Page 7二、求解正定二次函数的共轭梯度法令11(),.k k kk k df xd λλ++=−∇+为待定组合系数1()()()kTk k k T kd Q f x d Q dλ+∇=左乘(),kTd Q 并使1()0,kTk d Q d+=得：1. 构造共轭方向—用待定系数法1,:,k k kk k x x d αα+=+精确线搜得步长进而得索取：0()d f x =−∇令0;k =Page 8不仅如此, 还可以证明:1()0,1,2,,j Tk d Qdj k+=="12,,,nd d d "可见, 若中途不停机的话, 按上述方法得到的关于Q 是两两共轭的.n 个方向Page 92. 正定二次函数的共轭梯度法算法Step2:如果(),kf xε∇<停止迭代；令1.k k kk xx d α+=+Step3:令1,k k =+转Step2.0()()argmin ()()k T k k kk k T kd f x f x d d Qd ααα>∇=+=−否则沿精确线搜索求步长:kd 111()()(),()k T k k k kk k k T kd Q f xd f x d d Qdλλ+++∇=−∇+=其中并计算:Step1:给出0,(),01,0.nx R d f x k ε∈=−∇≤<<=Page 1012,,,nd d d "可以证明, 若中途不停机的话, 这样得到的关于Q 是两两共轭的.n 个方向再结合定理2, 因此1n x+一定是所求的最优解.3. 收敛性1()()()kTk k k T kd Q f x d Q dλ+∇=（Hestenes-Stiefel 公式）组合系数的选取:可见,该公式中里面含有Hessen矩阵Q, 不能直接应用于求解一般非正定二次函数情形.Page 114. 组合系数的其他形式（１）FR 公式212()()k k kf xf x λ+∇=∇（1964）（2）DM 公式21()-()()k k k Tkf xd f x λ+∇=∇（Fletcher-Reeves 公式）（Dixon-Myers 公式）Page 12组合系数的其他形式（3）PRP 公式()12()()()()k Tk kk kf x f xf x f x λ+∇∇−∇=∇（1969）（Polak-Ribiere-Polyak 公式）Page 13三、求解一般函数的FR 共轭梯度法Step1:给出0,(),01,0.nx R d f x k ε∈=−∇≤<<=否则，由精确线搜索求步长:Step3:0argmin ().k kk f x d ααα>=+进而得1.k k kk x x d α+=+返回Step2.Step2:如果(),kf x ε∇<*;kx x =取停,()21112()()k k k kkf xdf x df x +++∇=−∇+∇以及1,k k =+令Page 14FR 共轭梯度法收敛定理定理4:假定()x f 在有界水平集()(){}nL x R f x f x=∈≤上连续可微，且有下界，那么采用精确线搜索下的FR 共轭梯度法产生的点列{}kx 至少有一个聚点是驻点，即：(1)当{}kx 是有穷点列时，其最后一个点是()x f 的驻点．(2)当{}kx 是无穷点列时，它必有聚点，且任一聚点都是()x f 的驻点．Page 15例2：用共轭梯度法求解：()()22012min 4,1,1Tf x x x x =+=取又由()f x 可看出()()1122201,208x f x x x x ⎛⎞⎛⎞=⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠2008Q ⎛⎞=⎜⎟⎝⎠是一个正定二次函数, 其中解:因共轭梯度法的第一步迭代与最速下降法相同,故由上一节例1知分析：由例1知该函数的极小点是(0,0).Tx ∗=因此在求最优步长和组合系数时,有两种方法.Page 16()01,1:Tx =得()()2,8Td f x=−∇=−−(1) 由令00()0:0.13077df x d d ααα+==得由于较大, 因此还需迭代下去.()1f x ∇10120.738460.13077180.04616x x d α⎛⎞⎛⎞⎛⎞=+=−=⎜⎟⎜⎟⎜⎟−⎝⎠⎝⎠⎝⎠进而有:()()()111.47692,0.36923,1.52237Tf xf x ∇=−∇=Page 17()110d f x dλ=−∇+(2) 先构造下一个搜索方向110()1.476922 1.545080.034080.3692380.09659d f x dλ=−∇+−−−⎛⎞⎛⎞⎛⎞=+=⎜⎟⎜⎟⎜⎟−⎝⎠⎝⎠⎝⎠于是有21020()0.03408()f x f x λ∇===∇"01000()()17.723040.03408()520TT d Q f x d Qd λ∇===="或其中, 组合系数Page 18沿搜索方向用精确线搜索求步长:21110.73846 1.5450800.477940.046160.096590x x d α−⎛⎞⎛⎞⎛⎞=+=+=⎜⎟⎜⎟⎜⎟−⎝⎠⎝⎠⎝⎠于是有令111()0:0.47794df x d d ααα+==得为此, 先计算出表达式11()f x d α+所以迭代终止,因()20,f x ∇=最优点为:()20,0.Tx x ∗==可见: 对于例1, 用共轭梯度法经两次迭代求得最优解.优点:Page 19（1）克服了最速下降法的慢收敛性.（2）建立在二次模型上，对正定二次模型具有二次终止性．（3）算法简单，易于编程，需存储空间小等优点,是求解大规模问题的重要方法．Page 20。

磁阻的公式

磁阻的公式磁阻是一种物理量，它指的是一种电路中电流通过之后产生的被磁场影响的电势变化。

它是物理和电子学中一个重要的概念，可以用公式表示，它的概念被广泛应用于电工学，电子学，电力学和电磁学，以及其他领域的研究和开发。

磁阻是由电子在其前后位置之间移动产生的。

当它们移动时，会在晶体中形成一种磁场，晶体中的电子会受到这种磁场的影响而产生一个势能阻碍。

这个阻碍就是磁阻，可以通过公式来表示：R=μ*I/A其中，R为磁阻，μ为介电常数，I为电流，A为磁学流体的断面积。

磁阻的公式是影响磁阻的要素的数学表示，介绍了磁阻的物理基础和与其相关的量的关系。

磁阻的物理本质是一种电流在磁性介质中的移动而产生的势能变化，由于不同的介质有不同的磁特性，所以磁阻也会有不同的值。

实际应用中，磁阻可以用来衡量不同类型的电子元器件在受磁场影响时电流的流动。

如果将一架飞机机身中的绝缘体与磁学流体比较，就可以得出机身表面所受磁场的强度。

此外，磁阻也可以应用于电机控制系统，它可以直接检测出电机的启动时的电流变化，从而确定电机的运行情况。

在计算机科学中，磁阻是用来控制磁性记忆器的定量参数，以确定其可以记录多少数据，从而控制存储的空间。

磁阻的公式可以从多个角度解释，其中最重要的是，它能够衡量磁性介质中电流的流动，在电路设计中有重要的意义。

比如，磁阻可以用来测量某一特定电路中电流的流动，从而可以确定电路的良好性能和可靠性，为电路的设计提供依据。

另外，由于磁阻的测量受到磁性介质的影响，因此它也可以用来监测和检测某物体表面的磁场强度，为反控制和大修提供理论参考。

总之，磁阻是电路设计和电子元器件研究中一个重要的概念，它是影响电路性能和可靠性的重要因素。

它的表示是由磁阻公式表示的，这些公式通过表达不同介质中电流流动的结果，来解释了磁阻的物理本质，为电路设计和研究提供了重要的参考。