辽宁省五校协作体2013届高三第二次模拟考试数学(理)试题

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2013-东北三省三校-二模-理科数学

2013年三省三校第二次联合考试理科数学第I 卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合{|||3}A x x =<，{|B x y =，则集合A B 为A ．[0,3)B ．[1,3)C ．(1,3)D ．(3,1]-2．“a = 1”是“复数21(1)a a i -++（a R ∈，i 为虚数单位）是纯虚数”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．以下有关线性回归分析的说法不正确．．．的是 A ．通过最小二乘法得到的线性回归直线经过样本的中心(,)x yB ．用最小二乘法求回归直线方程，是寻求使21()ni i i y bx a =--∑最小的a ,b 的值C ．相关系数r 越小，表明两个变量相关性越弱D ．22121()1()niii nii y y R y y ==-=--∑∑越接近1，表明回归的效果越好4．将一枚质地均匀的硬币连掷4次，出现“至少两次正面向上”的概率为A ．14B ．34C ．38D ．11165．已知为等比数列，S n 是它的前n 项和。

若a 3 a 5=14a 1，且a 4与a 7的等差中项为98，则S 5等于 A ．35 B ．33 C ．31 D ．296．将函数的图象向左平移4π个单位，再向上平移1个单位，所的图象的函数解析式是A ．cos 2y x =B ．22cosy x =C ．1sin(2)4y x π=++D ．22sin y x =7．某几何体的三视图如图，则该几何体的表面积为A ．3+B ．8+C ．6+D ．11+8．已知圆M 过定点()2,0且圆心M 在抛物线24y x =上运动，若y 轴截圆M 所得的弦长为AB ，则弦长||AB 等于A ．4B ．3C ．2D ．与点M 位置有关的值9．当a > 0时，函数2()(2)x f x x ax e =-的图象大致是10．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>与双曲线22221(0,0)x y m n m n -=>>有相同的焦点(,0)c -和(,0)c ，若c 是a 与m 的等比中项，n 2是2m 2与c 2的等差中项，则椭圆的离心率为A ．12B ．14C ．2D ．311．已知函数321()(1)(3)23f x x b x a b x b =+---+-的图象过原点，且在原点处的切线斜率是-3，则不等式组0x ay x by -≥⎧⎨-≥⎩所确定的平面区域在224x y +=内的面积为A ．3π B ．2π C ．π D ．2π12．在底面半径为3，高为4+3的大球后再放入与球面、圆柱侧面及上底面均相切的小球，则放入的小球的个数最多的为A ．4个B ．5个C ．6个D ．7个第II 卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

辽宁省五校协作体12—13上学期高三数学(理)期初联考考试试卷

2012—2013学年度上学期辽宁省五校协作体高三期初联考数学试题(理)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑． 1．设非空集合P 、Q 满足，则A ．∀x Q ，有x ∈PB ．∀x Q ∉，有x P ∉C ．∃x 0∉Q ，使得x 0∈PD ．∃x 0∈P ，使得x 0∉Q2．在等比数列}{n a 中，若公比1>q ，且1673=a a ，1064=+a a ，则=3a A ．1± B ．2± C ．2D ．13．在空间中，下列命题正确的是A ．平面α内的一条直线a 垂直与平面β内的无数条直线，则βα⊥B ．若直线m 与平面α内的一条直线平行，则α//mC ．若平面βα⊥，且l =βα ，则过α内一点P 与l 垂直的直线垂直于平面βD ．若直线a 与平面α内的无数条直线都垂直，则不能说一定有α⊥a ．4．约束条件为50100,0x y x y x y +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥≥⎩，目标函数2Z x y =-，则Z 的最大值是A ．4-B ．4C ．5-D ．55．下列函数中，在其定义域内既是增函数又是奇函数的是 A ．()1ln 2++=x x yB ．()1log 2-=x yC ．⎪⎩⎪⎨⎧<-≥=-0,30,3x x y x xD ．xy 1-= 6．在等差数列}{n a 中，305=a ，510=a ，则621⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 的展开式中的常数项是该数列的 A ．第9项B ．第8项C ．第7项D ．第6项7．函数)sin()(ϕω+=x A x f (其中0>A ，0>ω，π||2ϕ<)的图象如图所示，为了得到x y 2cos =的图象，则只要将)(x f 的图象A ．向左平移π6个单位长度 B ．向右平移π6个单位长度C ．向左平移π12个单位长度D ．向右平移π12个单位长度8．双曲线14222=-y a x 的左、右焦点分别为21F F 、，P 是双曲线上一点，1PF 的中点在y轴上，线段2PF 的长为34，则该双曲线的离心率为A ．23 B ．213 C ．313 D ．313 9．由直线1=y 与曲线2x y =所围成的封闭图形的面积是 A ．34 B ．32 C ．31D ．21 10．在Rt ABC △中，90,60C A ==∠∠,从顶点C 出发，在ACB ∠内等可能地引射线CD 交线段AB 于点D ，则12ACD ABC S S ≤△△的概率是 A ．31 B ．21 C ．32 D ．4311．已知向量(2,1),(1,)a b k ==且a 与b 的夹角为锐角，则k 的取值范围是A ．(－2,＋∞)B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞⎪⎭⎫ ⎝⎛-,2121,2 C ．(－∞,－2)B ．(－2,2)12．函数x x y ln sin +=的零点个数为A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卡相应的位置上．13．12=_______；14．阅读如图所示的程序框图，输出的结果S 的值为_______；15．右图是一个空间几何体的三视图，则该几何体外接球的表面积是_______； 16．设函数)(x f y =，满足)(1)1(x f x f -=+，对一切R ∈x 都成立，又知当(]3,1时，xx f -=2)(，则()2013f =_____。

2013辽宁五校协作体一模理科综合试题及答案

一．选择题(本大题共13小题，每小题6分）1.关于细胞结构和功能的说法正确的是A.颤藻和衣藻都能通过叶绿体的光合作用合成有机物B.癌细胞中糖蛋白和核糖体的数量明显少于衰老细胞C.Na+进入神经元的方式与神经元释放递质的方式不同D.所有细胞中核糖体的形成都与核仁密切相关2.如图所示，物质甲是在胰岛B细胞中合成的；物质乙是一种淋巴因子；物质丙由浆细胞合成分泌；物质丁由垂体分泌，可促进蛋白质的合成和骨的生长。

下列说法正确的是A．物质甲、乙、丙、丁的合成和分泌与细胞核、核糖体、内质网及细胞膜等有关B．一种物质丙可以与多种抗原相结合C．物质甲、丁分别为胰岛素、抗利尿激素D．物质甲与胰高血糖素对血糖的调节起协同作用3．某种鱼的鳞片有4种表现型：单列鳞、野生型鳞、无鳞和散鳞，由两对同源染色体上的两对等位基因(分别用Aa、Bb表示)决定，且BB对生物个体有致死作用。

将无鳞鱼和纯合野生型鳞的鱼杂交，F1有两种表现型，野生型鳞的鱼占50％，单列鳞鱼占50％；选取其中的单列鳞鱼互交，其后代有上述4种表现型且比例为6:3:2:1，则F1的亲本基因型组合是A．aaBb×AAbb或aaBB×AAbb B．AABb×aabb C．aaBb×AAbb D．AaBB×AAbb 4.植株M和植株N是两个不同物种的纯系二倍体植物，现用以下两种方案培育新品种：若上述方案能培育成功，理论上新品种A.植株1和植株2的染色体数目存在差异B.植株1和植株2中的遗传物质存在差异C.植株1和植株2之间存在生殖隔离D.植株1和植株2的培育都须经历组织培养5.内环境稳态的维持，依赖于各个器官、系统的协调活动，而信息分子是它们之间的“语言”。

据图分析，下列叙述错误的是（）HOHO C H 3C CH 2 CH3HOA ．图中甲代表浆细胞和记忆细胞，进行的免疫为体液免疫B ．若乙表示垂体，对其具有调节作用的激素只有促甲状腺激素释放激素C ．图中作用于肾上腺细胞的信息分子丙是神经元分泌的神经递质D ．信息分子可以通过靶细胞上的受体影响细胞的生理活动6. 下图是某生态系统物质和能量流向示意图。

力的合成与分解精品题库试题

精品题库试题1.(浙江省宁波市2013年高考模拟考试卷,2)如图所示，小方块代表一些相同质量的钩码，图①中O为轻绳之间联结的节点，图②中光滑的滑轮跨在轻绳上悬挂钩码，两装置处于静止状态，现将图①中的B滑轮或图②中的端点B沿虚线稍稍上移一些，则关于θ角变化说法正确的是A．图①、图②中θ角均增大B．图①、图②中θ角均不变C．图①中θ增大、图②中θ角不变化D．图①中θ不变、图②中θ角变大2.(福建省2013年普通高中毕业班质量检查, 3) 如图，质量为m、带电量为q的小球S用绝缘细线悬挂，处于固定的带电体A产生的电场中，A可视为点电荷，B为试探电荷。

当小球B静止时，A、B等高，细线偏离竖直线方向的夹角为θ。

已知重力加速度为g。

则点电荷A在B处所产生的场强大小为A.B.C.D.3.(辽宁省五校协作体2013届高三摸底考试理科综合试题，2) 如图所示，水平轻线NP与斜拉轻线OP把质量为m的小球维持在位置P，OP与竖直方向的夹角为θ，这时斜拉轻线OP中的拉力大小为F1，作用于小球的合力大小为F2 。

若将水平轻线NP轻轻剪断，当小球摆动到位置Q时，OQ与竖直方向的夹角也为θ，斜线中的拉力大小为F3，作用于小球的合力大小为F4，则下列关系正确的为（）A．F1＝F3，F2＝F1B．F1≠F3，F2≠F4C．F1≠F3，F2＝F4D．F1＝F3，F2≠F44.（吉林普通中学2013届高三期末考试,5）如图所示，长为L的轻质细绳悬挂一个质量为m的小球，其下方有一个倾角为θ的光滑斜面体，放在光滑水平面上。

开始时小球刚好与斜面接触无压力，现在用水平力F缓慢向左推动斜面体，直至细绳与斜面平行为止，对该过程中有关量的描述正确的是（）A.绳的拉力和球对斜面的压力都在逐渐减小B.绳的拉力在逐渐减小，球对斜面的压力逐渐增大C.重力对小球做负功，斜面弹力对小球不做功D.推力F做的总功是mgL（1-cosθ）5.（2013届阜宁中学高三期中考试，8）如图所示，bc为固定在车上的水平横杆，物块M 串在杆上，靠摩擦力保持相对杆静止，M又通过细线悬吊着一个小铁球m，此时小车正以大小为a的加速度向右做匀加速直线运动，而M、m均相对小车静止，细线与竖直方向的夹角为θ，小车的加速度逐渐增大，M始终和小车保持相对静止，当加速度增加到2a时（）A．细线与竖直方向的夹角的正切值增加到原来的2倍B．横杆对M的摩擦力增加了MaC．横杆对M弹力不变D．细线的拉力小于原来的2倍6.（2013届阜宁中学高三期中考试，4）2011年10月7日-16日在日本东京举行的第43届世界体操锦标赛上，我国选手陈一冰勇夺吊环冠军，成就世锦赛四冠王。

辽宁省五校协作体2013届高三第二次联合模拟考试理科综合能力测试

全品高考网辽宁省五校协作体2013届高三第二次联合模拟考试理科综合能力测试可能用到的相对原子质量：H﹣1 C﹣12 N﹣14 O﹣16 S﹣32 Cl﹣35.5第Ⅰ卷（选择题共126分）一、选择题（本题共13小题，每小题6分，在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1．下图为细胞内某生理过程的示意图，其中图中甲表示甲硫氨酸，丙表示丙氨酸，有关该生理过程的有关说法错误的是（）A．该生理过程发生的是翻译，所需的原料是氨基酸B．甲硫氨酸对应的密码子是AUG，丙氨酸对应的密码子是GCTC．③中尿嘧啶和腺嘌呤的和占42％，与③合成有关的DNA分子片段中胞嘧啶占29% D．该生理过程的产物有可能是抗利尿激素，作用的靶部位是肾小管和集合管2.下图为豌豆幼苗在不同温度下呼吸速率随时间变化曲线，据图分析，不能得出的结论是（）A．豌豆幼苗呼吸作用的最适温度是45℃B．温度主要是通过影响酶的活性影响呼吸作用速率C．55℃时呼吸作用在一定时间后变得微弱，温室生产中不能将温度调至此温度来增产D．生产中贮藏水果和蔬菜时降低温度，主要是为了减少呼吸作用消耗3.美国耶鲁大学的生物学家正在从事将病毒引诱到人体“陷阱细胞”中，以防止病毒繁殖的实验研究。

HIV通过T细胞表面的CD4识别T细胞(如图甲)，如果给AIDS患者注射大量用CD4分子修饰过的红细胞（如图乙），则该红细胞也会被HIV识别、入侵。

但HIV在红细胞中无法完成复制增殖过程，最后随红细胞的死亡而被清除。

下面有关说法错误的是（）A．病毒作为抗原会引起人体免疫系统的攻击，引发人体发生免疫反应，产生相应的抗全品高考网体和记忆细胞B．人体红细胞之所以成为“陷阱细胞”，从细胞角度分析是因为成熟的红细胞没有细胞核和核糖体C．制备灭活的病毒疫苗时，加热杀死病毒的过程中，体现病毒抗原特性的蛋白质会因空间结构发生改变而失活D．HIV是一种RNA病毒，其变异的来源有基因突变和染色体变异，发生变异后现行研制的疫苗可能不起作用4．下图为植物生长过程中的两种现象，下列分析错误的是（）A．两种现象都与生长素的分布不均有关B．甲图背光侧促进生长，向光侧抑制生长C．乙图中茎的近地侧生长素含量高，茎对生长素的敏感度低，促进生长D．乙图中根的近地侧生长素含量高，根对生长素的敏感度高，抑制生长5. 减数分裂过程中染色体不断发生着形态和数目的变化，某同学总结了四点有关减数分裂、染色体、组成染色体的DNA、四分体的知识点，其中不正确的是( )A．次级精母细胞中组成染色体的DNA分子数目正好和正常体细胞组成染色体的DNA分子数目相同B．减数分裂第二次分裂后期，细胞中染色体的数目等于正常体细胞中的染色体数目C．初级精母细胞中染色体的数目正好和组成染色体的DNA分子数目相同D．上图中该高等动物的一个原始生殖细胞进行减数分裂时，能形成4个四分体6.下列有关害虫防治的说法中，正确的是①可以利用捕食、竞争、寄生等种间关系对害虫进行生物防治②化学防治虽然一定程度上污染了环境，但杀虫效果好，所以要以化学防治为主③推广抗虫棉时，常与普通棉间行栽种④化学防治往往会引起害虫再度爆发，因为杀虫剂不仅会杀死害虫的天敌，而且经过选择作用，增强了害虫的抗药性A．②③④B．①②③C．①②③④D．①③④7．实验室中使用铝盐制备氢氧化铝，为了使其中的铝元素完全转化为目标产物，应该选用的试剂是（）A．碳酸B．稀硫酸C．氢氧化钠溶液D．氨水8．有机化学中取代反应范畴很广，下列有关CH3CH2OH的反应中（条件未注明）属于取代反应范畴的是（）①CH3CH2OH+HBr→CH3CH2Br+H2O ②2CH3CH2OH→CH3CH2OCH2CH3+H2O全品高考网 ③CH3CH2OH→CH2=CH2↑+H2O ④2CH3CH2OH+O2→2CH3CHO+2H2OA．①②④B．③C．①②D．全是9．下列关于有机物的正确说法是（）A．煤干馏可以得到汽油、煤油、柴油等B．聚乙烯分子中含有碳碳单键和碳碳双键C．乙烷、乙醇、乙酸都能与钠反应生成氢气D．淀粉和纤维素的水解产物相同10．用N A表示阿佛加德罗常数的值。

2013年辽宁高考数学理科试卷(带详解)

2013年普通高等学校招生全国统一考试（卷）数学（理）第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．复数的1i 1z =-模为 ( ) A.12B.22C.2D.2【测量目标】复数代数形式的四则运算.【考查方式】直接给出复数，利用2i 1=-对复数进行化简，然后再求模.【难易程度】容易【参考答案】B【试题解析】111112i,i i 12222z z ==--∴=--=-. 2．已知集合{}4|0log 1A x x =<<，{}|2B x x =，则 A B = （）A ．()01，B ．(]02，C ．()1,2D ．(]12，【测量目标】集合的基本运算.【考查方式】考查了对数不等式及交集运算. 【难易程度】容易【参考答案】D 【试题解析】{}{}4|0log 1|14A x x x x =<<=<<，{}|2B x x =，{}{}{}14212A B x x x x x x ∴=<<=<.3．已知点()1,3A ，()4,1B -，则与向量AB 同方向的单位向量为（）A.3455⎛⎫ ⎪⎝⎭，-B.4355⎛⎫ ⎪⎝⎭，-C.3455⎛⎫- ⎪⎝⎭，D.4355⎛⎫- ⎪⎝⎭，【测量目标】向量的基本概念.【考查方式】给出两点坐标及方向，求同方向的单位向量. 【难易程度】容易【参考答案】A【试题解析】()3,4AB =-，则与其同方向的单位向量34(,)55ABAB==-e . 4．下面是关于公差0d >的等差数列()n a 的四个命题：1p ：数列{}n a 是递增数列； 2p ：数列{}n na 是递增数列；3p ：数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递增数列； 4p ：数列{}3n a nd +是递增数列；其中的真命题为（）A.12,p pB.34,p pC.23,p pD.14,p p【测量目标】等差数列的性质.【考查方式】给出d >0的等差数列，求数列的增减性. 【难易程度】中等【参考答案】D【试题解析】根据等差数列的性质判定.0d >,∴1n n a a +>,∴1p 是真命题，（步骤1）1n n +>,但是n a 的符号不知道，∴2p 是假命题. （步骤2）同理3p 是假命题.13(1)340n n a n d a nd d +++--=>,∴4p 是真命题. （步骤3）5．某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为[)[)20,40,40,60， [)[)60,80,80,100，若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是（） A.45 B.50 C.55 D.60第5题图【测量目标】频率分布直方图.【考查方式】给出频率分布直方图及某一频数，求总体频数. 【难易程度】容易【参考答案】B【试题解析】根据频率分布直方图的特点可知，低于60分的频率是00050012003...+⨯=（），所以该班的学生人数是15500.3=. 6．在ABC △上，角,,A B C 所对的边长分别为,,.a b c 1sin cos sin cos ,2a B C c B Ab +=且,a b >则B ∠= ( )A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6【测量目标】正弦定理，两角和的正弦，诱导公式.【考查方式】给出三角形各边长及角和边长的公式，求角. 【难易程度】中等【参考答案】A【试题解析】根据正弦定理与和角公式求解.由正弦定理可得sin sin cos A B C +1sin sin cos sin 2C B A B =, （步骤1）又sin 0B ≠,∴ sin cos A C +1sin cos 2C A =,∴1sin sin 2(A C )B +==.（步骤2）a b >,∴π6B ∠=. （步骤3） 7．使得()3nx n x x +⎛+∈ ⎪⎝⎭N 的展开式中含有常数项的最小的n 为（）A ．4B ．5C ．6D ．7【测量目标】二项式定理.【考查方式】考查了二项展开式的通项公式. 【难易程度】中等【参考答案】B【试题解析】根据二项展开式的通项公式求解.()521=C 3C 3rn r n rr r n r r nn T x x x x ---+= ⎪⎝⎭，当1r T +是常数项时，502n r -=，当2r =，5n =时成立. 8．执行如图所示的程序框图，若输入10n =，则输出的S = （）A ．511B ．1011C ．3655D ．7255第8题图【测量目标】循环结构的程序框图.【考查方式】给出输入值10n =，求输出值S . 【难易程度】中等【参考答案】A 【试题解析】13S =，410i =<， 21123415S ∴=+=-，610i =<，（步骤1）22135617S ∴=+=-， 8<10i =，23147819S ∴=+=-，1010i ==，2415910111S ∴=+=-，1210i =>，输出S . （步骤2）9．已知点()()()30,0,0,,,.O A b B a a 若OAB △为直角三角形，则必有（）A ．3b a =B ．31b a a=+ C ．()3310b ab a a ⎛⎫---= ⎪⎝⎭ D ．3310b a b a a-+--= 【测量目标】直线的倾斜角与斜率.【考查方式】给出三点坐标，由三角形l 的边的性质，求出,a b 之间的关系.【难易程度】中等【参考答案】C【试题解析】根据直角三角形的直角的位置求解.若以O 为直角顶点，则B 在x 轴上，则a 必为0，此时O ，B 重合，不符合题意；（步骤1）若π2A ∠=，则30b a =≠，若π2B ∠=，根据斜率关系可知 321a b a a -=-，3()1a a b ∴-=-，即310b a a--=.以上两种情况皆有可能，故只有C 满足条件.（步骤2）10．已知直三棱柱111ABC A B C -的6个顶点都在球O 的球面上，若34AB AC ==，，AB AC ⊥，112AA =，则球O 的半径为（）A．2 B ．．132D ．【测量目标】立体几何的综合问题.【考查方式】给出三条棱长及两棱垂直关系，求三棱柱外接球的半径. 【难易程度】较难【参考答案】C【试题解析】根据球的接三棱柱的性质求解.直三棱柱中13412AB ,AC ,AA ,===AB AC ⊥,∴5BC =,且BC 为过底面ABC 是截面圆的直径，取BC 中点D ，则OD ⊥底面ABC ，则O 在侧面11BCC B ，矩形11BCC B 的对角线长即为球直径，∴213R =,即132R =.11．已知函数()()2222f x x a x a =-++，()()22228g x x a x a =-+--+.设1()H x ()(){}max ,f x g x =，()()(){}2min ,H x f x g x =，{}max ,p q 表示,p q 中的较大值，{}min ,p q 表示,p q 中的较小值，记()1H x 的最小值为A ，()2H x 的最小值为B ，则A B -=( )A.2216a a --B.2216a a +- C.16- D.16【测量目标】二次函数的图象与性质.【考查方式】给出两函数解析式，设出较大值、较小值、最大值、最小值，求最值. 【难易程度】较难【参考答案】C【试题解析】根据二次函数图象的特征解决.由()()f x g x =，得2()4x a -= ，（步骤1）∴当2x a =-和2x a =+时，两函数值相等.()f x 图象为开口向上的抛物线，()g x 图象为开口向下的抛物线，两图象在2x a =-和2x a =+处相交，则1()H x =()(2),()(22),()(2),f x x ag x a x a f x x a -⎧⎪-<<+⎨⎪+⎩2()(2),()()(22),()(2),g x x a H x f x a x a g x x a -⎧⎪=-<<+⎨⎪+⎩ （步骤2）∴1min ()(2)44A H x f a a ==+=--，2max ()(2)412B H x g a a ==-=-+，∴16.A B -=-（步骤3）12．设函数()f x 满足()()2e 2x xf x xf x x '+=，()2e 28f =，则0x >时，()f x （）A.有极大值，无极小值B.有极小值，无极大值C.既有极大值又有极小值D.既无极大值也无极小值【测量目标】利用导数求函数的极值.【考查方式】通过构造函数，将问题转化，考查转化能力.通过导数判断函数单调性，考查知识的灵活应用能力. 【难易程度】较难【参考答案】D【试题解析】由题意知2'33e 2()e 2()()x x f x x f x f x x x x-=-=.（步骤1）令2()e 2()x g x x f x =-，则()222e 2()e 2()4()e 2()2()e e 1x xxxx g x x f x xf x x f x xf x x x ⎛⎫'''=--=-+=-=- ⎪⎝⎭.（步骤2）由()0g x '=得2x =，当2x =时，222mine ()e 2208g x =-⨯⨯=，即()0g x ，则当0x >时，3()()0g x f x x'=，（步骤3）故()f x 在()0,+∞上单调递增，既无极大值也无极小值.（步骤4）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 .第13题图【测量目标】由三视图求几何体的体积.【考查方式】给出三视图，求体积. 【难易程度】容易【参考答案】16π16-【试题分析】由三视图可知该几何体是一个圆柱部挖去一个正四棱柱，圆柱底面圆半径为2，高为 4，故体积为16π；正四棱柱底面边长为2，高为4，故体积为16，故题中几何体的体积为16π16.- 14.已知等比数列{}n a 是递增数列，n S 是{}n a 的前n 项和，若13a a ，是方程2540x x -+=的两个根，则6S = .【测量目标】等比数列及其性质，等比数列的前n 项和.【考查方式】给出方程，已知等比数列为递增数列，先求等比数列中两项值，即方程的两根，再由数列为递增数列求出数列的前n 项和. 【难易程度】中等【参考答案】63 【试题分析】13,a a 是方程2540x x -+=的两个根，且数列｛}n a 是递增的等比数列，∴131,4,2,a a q ===661263.12S -==-15．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为,F 椭圆C 与过原点的直线相交于,A B 两点，连接,AF BF ，若410,6,cos 5AB AF ABF ==∠=，则C 的离心率e = . 【测量目标】余弦定理，椭圆的简单几何性质.【考查方式】画图表示椭圆及直线位置，通过数量关系确定三角形形状以及椭圆系数，考查数形结合的能力.【难易程度】中等【参考答案】57【试题解析】根据椭圆的定义及性质和余弦定理求解.设椭圆的右焦点为1F ，直线过原点，16AF BF ∴==,BO AO =.（步骤1）在ABF △中，设BF x =，由余弦定理得24361002105x x =+-⨯⨯，（步骤2）解得8x =，即8BF =.90BFA ∴∠=,ABF ∴△是直角三角形，（步骤3）26814a ∴=+=,即7a =.（步骤4）又在Rt ABF △中，BO AO =，152OF AB ∴==，即5c =，（步骤5） 57e ∴=.（步骤6） 16．为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，在全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据.已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互相不相同，则样本数据中的最大值为 .【测量目标】用样本数字特征估计总体数字特征.【考查方式】给出样本平均数、样本方差样本组数，求样本数据中的最大值. 【难易程度】较难【参考答案】10【试题解析】设5个班级中参加的人数分别为12345,,,,,x x x x x 则由题意知2222212345123457,(7)(7)(7)(7)(7)20,5x x x x x x x x x x ++++=-+-+-+-+-=五个整数的平方和为20，则必为0119920++++=，由73x -=可得10x =或4x =，由71x -=可得8x =或6x =，由上可知参加的人数分别为4，6，7，8，10，故样本数据中的最大值为10.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. （本小题满分12分）设向量)()π,sin ,cos ,sin ,0,.2x x x x x ⎡⎤==∈⎢⎥⎣⎦a b（I ）若=a b 求x 的值；（Ⅱ）设函数()f x =a b ，求()f x 的最大值.【测量目标】平面向量的基本概念、向量的数量积运算、两角和与差的正弦和三角函数的最值. 【考查方式】给出两向量坐标，两向量模的关系，函数与向量的关系，求x 的值，函数的最大值. 【难易程度】容易【试题解析】（Ⅰ）2222222(3sin )sin 4sin ,cos sin 1,x x x x x =+==+=a b ,=a b∴24sin 1.x = （步骤1）又x ∈π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，∴1sin ,2x =∴π6x =. （步骤2）（Ⅱ）()3sin f x x ==a b 2311π1cos sin sin 2cos 2sin(2),2262x x x x x +=-+=-+ ∴当π3x =∈π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦时，πsin(2)6x -取最大值1. （步骤3） ∴()f x 的最大值为32. （步骤4）18．（本小题满分12分）如图，AB 是圆的直径，PA 垂直圆所在的平面，C 是圆上的点. （I ）求证：平面PAC ⊥平面PBC ；（II ）若2AB AC PA ===，1，1,求证：二面角C PB A --的余弦值.第18题图【测量目标】面面垂直的判定，二面角，空间直角坐标系和空间向量及其运算.【考查方式】面面垂直的判定及二面角的平面角的确定考查定理的灵活应用能力，空间直角坐标系的建立考查空间想象能力及运算求解能力. 【难易程度】中等【试题解析】(Ⅰ)由AB 是圆的直径,得AC BC ⊥,（步骤1）由PA ⊥平面ABC ,BC ⊂平面ABC ,得PA BC ⊥,又PA AC A =,PA ⊂平面PAC ,AC ⊂平面PAC ,BC ∴⊥平面PAC BC ⊂平面PBC ∴平面PBC ⊥平面PAC .（步骤2）(Ⅱ)解法一：如图（1），以点C 为坐标原点，分别以直线CB ,CA ,CM 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系. 在Rt ABC △中,2AB =,1AC =,3BC ∴=又1PA =,()0,1,0A ∴,)3,0,0B,()0,1,1P .（步骤3）故()3,0,0CB =,()0,1,1CP =.设平面BCP 的法向量为()1111,,x y z =n ，则110,0,CB CP ⎧•=⎪⎨•=⎪⎩n n 11130,0,x y z ⎧=⎪∴⎨+=⎪⎩不妨令11y =，则()10,1,1=-n .（步骤4）()0,0,1AP =,()3,1,0AB =-,设平面ABP 的法向量为()2222,,x y z =n ,则220,0,AP AB ⎧=⎪⎨=⎪⎩n n 2220,30,z x y =⎧⎪∴⎨-=⎪⎩（步骤5）不妨令21x =，则()21,3,0=n . 于是1236cos ,422==n n . 由图（1）知二面角C —PB —A 为锐角，故二面角C —PB —A 的余弦值为64.（步骤6）第18题图（1）解法二：如图（2），过C 作CM AB ⊥于M ，PA ⊥平面ABC ,CM ⊂平面ABC ,PA CM ∴⊥.又PA AB A =,且PA ⊂平面PAB ,AB ⊂平面PAB ,CM ∴⊥平面PAB . 过M 作MN PB ⊥于N ,连接NC ,由三垂线定理得CN PB ⊥ CNM ∴∠为二面角C —PB —A 的平面角.（步骤3）在Rt ABC △中,由2AB =,1AC =,得3BC =,32CM =,32BM =. 在Rt PAB △中,由2AB =,1PA =,得5PB =.Rt BNM △∽Rt BAP △,3215MN∴=,35MN ∴=.（步骤4） ∴在Rt CNM △中,30CN =,6cos CNM ∴∠=,∴二面角C —PB —A 的余弦值为6.（步骤5）第18题图（2）19．（本小题满分12分）现有10道题，其中6道甲类题，4道乙类题，同学从中任取3道题解答.（I ）求同学至少取到1道乙类题的概率；（II ）已知所取的3道题中有2道甲类题，1道乙类题.设同学答对每道甲类题的概率都是35，答对每道乙类题的概率都是45，且各题答对与否相互独立.用X 表示同学答对题的个数，求X 的分布列和数学期望.【测量目标】古典概型，互斥事件与对立事件的概率，离散型随机变量的分布列及期望.【考查方式】至少类问题反面求解考查转化化归能力，分布列及数学期望的求解考查运算求解能力. 【难易程度】中等【试题解析】 (1)设事件A =“同学所取的3道题至少有1道乙类题”，则有A = “同学所取的3道题都是甲类题”．()36310C 1C 6P A ==，()()516P A P A ∴=-=.（步骤1）(2)X 所有的可能取值为0,1,2,3.（步骤2）()020232140=C 555125P X ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（步骤3） ()11021022321324281C +C 555555125P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭；（步骤4） ()2112122321324572C +C 555555125P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭；（步骤5） ()222324363C 555125P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（步骤6） X ∴的分布列为：X 0 12 3P4125 28125 5712536125（步骤7）()428573601232125125125125E X ∴⨯⨯⨯⨯=＝＋＋＋.（步骤8）20．（本小题满分12分）如图，抛物线()2212:4,:20C x y C x py p ==->，点()00,M x y 在抛物线2C 上，过M 作1C 的切线，切点为,A B （M 为原点O 时，,A B 重合于O ），012x =-，切线MA的斜率为12-.（I ）求p 的值；（II ）当M 在2C 上运动时，求线段AB 中点N 的轨迹方程.(),,.A B O O 重合于时中点为第20题图【测量目标】导数的几何意义，圆锥曲线的轨迹方程.【考查方式】给出两抛物线方程，利用导数的几何意义及坐标中点与直线的关系求解；利用椭圆与直线的位置关系及待定系数法求解. 【难易程度】中等【试题解析】（Ⅰ）抛物线21:4C x y =上任意一点（,)x y 的切线斜率为'2xy =，且切线MA 的斜率为12-，∴A 点坐标为（1-，14），（步骤1） ∴切线MA 的方程为11(1)24y x =-++. (步骤2).点M （01)y 在切线MA 及抛物线2C 上，∴0113(2244y -=--+=-①20(1322y p p-=-=-② （步骤3）由①②得2p =. （步骤4）（Ⅱ）设22121212(,),(,),(,),,44x x N x y A x B x x x ≠N 为线段AB 中点∴122x x x +=，③22128x x y +=.④ （步骤5） ∴切线MA,MB 的方程为2111()24x x y x x =-+，⑤2222()24x x y x x =-+.⑥ （步骤6）由⑤⑥得MA,MB 的交点M （00,)x y 的坐标为121200,.24x x x xx y +== （步骤7）点M （00,)x y 在2C 上，即200,4x y =-∴221212.6x x x x +=-⑦ （步骤8）由③④⑦得24,0.3x y x =≠ （步骤9）当12x x =时，A,B 重合于原点O,AB 中点N 为O ，坐标满足24.3x y =∴AB 中点N 的轨迹方程为24.3x y = （步骤10）21．（本小题满分12分）已知函数()()21e xf x x -=+，()312cos 2x g x ax x x =+++.当[]0,1x ∈时，（I ）求证：()111x f x x-+ ；（II ）若()()f x g x 恒成立，数a 取值围.【测量目标】利用导数求函数的单调区间，不等式恒成立问题.【考查方式】第一问不等式的证明利用构造函数法，通过导数证明，考查简单的转化化归能力；第二问的两种解法都对转化化归能力进一步升级考查，解法一利用第一问的结论进行转化，解法二通过构造函数，两次利用导数转化. 【难易程度】较难【试题解析】(Ⅰ)证明：要证[]0,1x ∈时，()21e 1xx x -+-，只需证明()()1e 1e x x x x -+-.（步骤1）记()()(1)e 1e xx h x x x -=--＋，则()()e e x x h x x -'=-，（步骤2）当()0,1x ∈时，()0h x '>，因此()h x 在[]0,1上是增函数，（步骤3）故()()00h x h =.所以()[]10,1f x x x ∈－，．（步骤4）要证[]0,1x ∈时，21(1)e 1xx x-+＋，只需证明e1x x ＋.（步骤5）记()e 1x K x x =--，则()e 1x K x '=-，（步骤6）当()0,1x ∈时，()0K x '>，因此()K x 在[]0,1上是增函数，（步骤7）故()()00K x K =.所以()11f x x+，[]0,1x ∈．（步骤8）综上，()111xf x x-+，[]0,1x ∈．（步骤9） (Ⅱ)解法一：()()32(1)e 12cos 2xx f x g x x ax x x -⎛⎫-=-+++ ⎪⎝⎭＋3112cos 2x x ax x x -----2(12cos )2x x a x =-＋＋＋．（步骤10）设()22cos 2x G x x =＋，则()2sin G x x x '=-.（步骤11）记()2sin H x x x =-，则()12cos H x x '=-，（步骤12）当()0,1x ∈时，()0H x '<，于是()G x '在[]0,1上是减函数，（步骤13）从而当()0,1x ∈时，()()00G x G ''<=，故()G x 在[]0,1上是减函数．（步骤14）于是()()02G x G =，从而()13a G x a ＋＋＋.（步骤15）所以，当3a-时，()()f x g x 在[]0,1上恒成立．（步骤16）下面证明当3a >-时，()()f x g x 在[]0,1上不恒成立．()()3112cos 12x f x g x ax x x x -----+ 32cos 12x x ax x x x -=---+ 212cos 12x x a x x ⎛⎫=-+++ ⎪+⎝⎭，（步骤17）记()2112cos ()121x I x a x a G x x x =+++=++++，则()21()(1)I x G x x -''=++，（步骤18）当()0,1x ∈时，()0I x '<，故()I x 在[]0,1上是减函数，（步骤19）于是()I x 在[]0,1上的值域为[12cos 13]a a ＋＋，＋．（步骤20）因为当3a >-时，3>0a ＋，()00,1x ∴∃∈，使得()00I x >，（步骤21）此时()()00f x g x <，即()()f x g x 在[]0,1上不恒成立．（步骤22）综上，实数a 的取值围是(],3-∞-．（步骤23）解法二：先证当[]0,1x ∈时，22111cos 124x xx --.（步骤10）记()21cos 12F x x x =-＋，则()sin F x x x '=-＋.（步骤11）记()sin G x x x =-＋，则()cos 1G x x '=-＋，（步骤12）当()0,1x ∈时，()0G x '>，于是()G x 在[]0,1上是增函数，（步骤13）因此当()0,1x ∈时，()()00G x G >=，从而()F x 在[]0,1上是增函数．（步骤14）因此()()00F x F =，所以当[]0,1x ∈时，211cos 2x x -.（步骤15）同理可证，当[]0,1x ∈时，21cos 14x x -.（步骤16）综上，当[]0,1x ∈时，22111cos 124x x x --.（步骤17）当[]0,1x ∈时，()()()321e 12cos 2xx f x g x x ax x x -⎛⎫-=+-+++ ⎪⎝⎭321(1)12124x x ax x x ⎛⎫------ ⎪⎝⎭()3a x =-+.（步骤18）所以当3a-时，()()f x g x 在[]0,1上恒成立．（步骤19）下面证明当3a >-时，()()f x g x 在[]0,1上不恒成立．()()()321e 12cos 2xx f x g x x ax x x -⎛⎫-=+-+++ ⎪⎝⎭3211121122x ax x x x ⎛⎫----- ⎪+⎝⎭ 23(3)12x x a x x =+-++ 32(3)23x x a ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，（步骤20） ()00,1x ∴∃∈ (例如0x 取33a +和12中的较小值)满足()()00f x g x <．（步骤21）即()()f x g x 在[]0,1上不恒成立．（步骤22）综上，实数a 的取值围是(],3-∞-．（步骤23）请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑. 22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，AB 为半圆O 的直径，直线CD 与半圆O 相切于E ，AD 垂直CD 于D ，BC 垂直CD 于C ，EF 垂直AB 与F ，连接,AE BE .证明：（I ）FEB CEB ∠=∠；（II ）2.EF AD BC =⋅第22题图【测量目标】几何证明选讲.【考查方式】给出点、线、面之间的各种关系，根据圆中直线的垂直等角关系证明；根据圆中三角形的全等和线段间的关系求解. 【难易程度】容易【试题解析】(Ⅰ)直线CD 与⊙O 相切，∴.CEB EAB ∠=∠ （步骤1）AB 为⊙O 的直径，∴AE EB ⊥,∴π2EAB EBF ∠+∠=；（步骤2）又EF AB ⊥,∴π2FEB EBF ∠+∠=. （步骤3） ∴FEB EAB ∠=∠.∴.FEB CEB ∠=∠ （步骤4）（Ⅱ）BC CE ⊥,EF AB ⊥,,FEB CEB BE ∠=∠是公共边， ∴Rt BCE △≌Rt BFE △,∴BC BF =. （步骤5）类似可证Rt ADE △≌Rt AFE △,得AD AF =. （步骤6）又在Rt AEB △中，EF AB ⊥,∴2EF AF BF =，∴2EF AD BC =. （步骤7）23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立坐标系.圆1C ，直线2C 的极坐标方程分别为π4sin ,cos 2 2.4ρθρθ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭（I ）求1C 与2C 交点的极坐标；（II ）设P 为1C 的圆心，Q 为1C 与2C 交点连线的中点.已知直线PQ 的参数方程为3312x t a b y t ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩（t ∈R 为参数），求,a b 的值.【测量目标】极坐标与参数方程.【考查方式】给出各直线的极坐标方程或参数方程，联立1C 与2C 方程求交点；由参数方程的性质求解.【难易程度】容易【试题解析】(Ⅰ)圆1C 的直角坐标方程为2224x y +-=（），直线2C 的直角坐标方程为40x y -+=. 解222440x y x y ⎧+-=⎨+-=⎩（），，得1104x y =⎧⎨=⎩，，2222x y =⎧⎨=⎩， (步骤1) ∴1C 与2C 交点的极坐标为ππ42224⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，. （步骤2）注：极坐标系下点的表示不是唯一的.（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，P 点与Q 点的直角坐标分别为()()0213，，，.∴直线PQ 的直角坐标方程为20x y -+=， (步骤3)由参数方程可得b aby x 22=-+1. （步骤4）∴12122b ab ⎧=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩，，解得12a b =-⎧⎨=⎩，. （步骤5）24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知函数()f x x a =-，其中1a >. （I ）当=2a 时，求不等式()fx 4x a --的解集；（II ）已知关于x 的不等式(2)2()f x a f x +-2的解集为{1xx}2，求a 的值.【测量目标】绝对值不等式的解法，含参不等式的解法.【考查方式】给出函数方程，求不等式的解集.再给出不等式的解集，求未知数a 的值. 【难易程度】中等【试题解析】（1）当2a =时，2624224264x x fx x x x x .-+⎧⎪+-=<<⎨⎪-⎩，，（），，， (步骤1) 当2x时，由4f x x -（）4-得264x -+，解得1x ；（步骤2）当24x <<时，44f x x --（）无解；（步骤3）当4x时，由44f x x --（）得264x -，解得5x. （步骤4）∴44f x x --（）的解集为{1x x或}5x. （步骤5）（2）记22h x f x a f x =+-（）（）（），则204202a x h x x a x a a x a.-⎧⎪=-<<⎨⎪⎩，，（），，，（步骤6）由2h x （），解得1122a a x-+. （步骤7）又2h x （）的解集为{}12x x ，∴112122a a -⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，， ∴3a =. （步骤8）。

辽宁省五校协作体2013届高三上学期联合竞赛数学(理)试题

辽宁省五校协作体2013届高三上学期联合竞赛数学（理）试题第Ⅰ卷（选择题共60分）一·选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若集合211{|log (1)1},{|()1}42xM x x N x =-<=<<，则M N =（） A ．{|12}x x <<B ．{|13}x x << {|03}x x << D ．{|02}x x <<2．已知i 为虚数单位，复数121iz i+=-，则复数z 的虚部是（） A ．i 23 B ．23 C ．i 21- D ．21-3. 已知原命题：“若a +b ≥2，则a ,b 中至少有一个不小于1”，则原命题与其否命题的真假情况是（）A ．原命题为真，否命题为假B ．原命题为假，否命题为真C ．原命题与否命题均为真命题D ．原命题与否命题均为假命题4. 已知等差数列1，,a b ，等比数列3，2,5a b ++，则该等差数列的公差为（）A ．3或3-B ．3或1-C ．3D ．3-5．定义在R 上的偶函数)(x f 满足),()1(x f x f -=+且在]4,5[--上是减函数， βα、是锐角三角形的两个内角，则（）A.)(cos )(sin βαf f >B.)(sin )(sin βαf f >C.)(cos )(sin βαf f <D.)(cos )(cos βαf f >6.现有12件商品摆放在货架上，摆成上层4件下层8件，要从下层8件中取2件调整到上层，若其他商品的相对顺序不变，则不同调整方法的种数是（） A ．420 B ．560 C ．840 D ．201607.如右框图，当x 1=6,x 2=9,p=8.5时，x 3等于（）A ．11B ．10C ．8D ．78.从一个棱长为1的正方体中切去一部分，得到一个几何体,其三视图如右图，则该几何体的体积为（）A.87B. 85C. 43D. 65 9.已知函数)0,0)(sin()(>>+=ωϕωA x A x f 的图象与直线 y = b (0<b<A)的三个相邻交点的横坐标分别是2，4，8，则)(x f 的单调递增区间是（） A. []Z k k k ∈+,36,6ππ B. []Z k k k ∈-,6,36 C. []Z k k k ∈+,36,6D. 无法确定10.已知双曲线1-:2222=b y a x M 和双曲线1-:2222=bx a y N ，其中0>>a b ，且双曲线M 与N的交点在两坐标轴上的射影恰是两双曲线的焦点，则双曲线M 离心率（） A ．215+ B. 21-5 C. 235+ D. 25-311．在ABC ∆中，AC=6，BC=7，51cos =A ，O 是ABC ∆的内心，若OB y OA x OP +=，其中10,10≤≤≤≤y x ，动点P 的轨迹所覆盖的面积为（）A.6310 B. 635 C.310 D.32012.已知函数⎩⎨⎧>+-≤-=)0(1)1()0(12)(x x f x x x f ，把函数g(x)=f(x)-x+1的零点按从小到大的顺序排列成一个数列，则该数列的前n 项的和n S ,则10S ＝( )A ．1210-B ．129-C ．45D ．55第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二·填空题：本大题共4小题，每小题5分。

【解析版】辽宁省沈阳市2013届高三第二次模拟考试数学理试题

辽宁省沈阳市2013年高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2013•沈阳二模）复数（i为虚数单位）对应的点在（）解：∵复数==12．（5分）（2013•沈阳二模）已知非空集合A，B，全集U=A∪B，集合M=A∩B，集合N=3．（5分）（2013•沈阳二模）已知{a n}是等差数列，a4=15，S5=55，则过点P（3，a3），Q（4，=44．（5分）（2013•沈阳二模）执行如图所示的程序框图，若输入a=2，则输出的结果为（）5．（5分）（2013•沈阳二模）椭圆C：与动直线l：2mx﹣2y﹣2m+1=0（m∈R），，，67．（5分）（2013•怀化三模）一个锥体的主视图和左视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是（）B8．（5分）（2013•沈阳二模）在等比数列{a n}中，有，则a1a2…a6=（）B即可求解，9．（5分）（2013•沈阳二模）已知关于x的方程有正根，则实数a的取值范围是（）＜（））＜）的方程（＜10．（5分）（2013•沈阳二模）已知点O为△ABC外接圆的圆心，且由，则△ABC的内角A等于（）移项，得到两个向量的和等于，11．（5分）（2013•沈阳二模）函数f（x）=Asin（ωx+ωπ）（A＞0，ω＞0）的图象在[﹣，﹣]上单调递增，则ω的最大值是（）B，﹣]﹣﹣，﹣，﹣﹣﹣12．（5分）（2013•沈阳二模）定义在（0，）上的函数f（x），f′（x）是它的导函数，且．．．．，由其导函数的符号得到其在）上为增函数，则，整理后即可得到答案．，x，=）上为增函数，，即，所以二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题纸上.13．（5分）（2013•沈阳二模）=0．解：定积分14．（5分）（2013•沈阳二模）将7支不同的笔全部放入两个不同的笔筒中，每个笔筒中至少放两支笔，有112种放法．（用数字作答）个，有个，有个，有种放法，个，有种放法，=11215．（5分）（2013•沈阳二模）已知有公共焦点的椭圆与双曲线中心为原点，焦点在x轴上，左右焦点分别为F1，F2，且它们在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形．若|PF1|=10，双曲线的离心率的取值范围为（1，2）．则该椭圆的离心率的取值范围是（，）．＜的取值范围．⇒＜的取值范围．=x c=，=﹣．﹣＜﹣＜﹣，即＜﹣＜16．（5分）（2013•沈阳二模）三棱锥A﹣BCD的外接球为球O，△ABC与△ACD都是以AC为斜边的直角三角形，△BCD是以BD为斜边的等腰直角三角形，且BD=，向量与的夹角为，则球O的表面积为3π．解：∵向量与的夹角为BAD=AB=AD=AD=，AC=×（三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，解答过程书写在答题纸的对应位置.17．（12分）（2013•沈阳二模）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（1）求角A；（2）若a=1，求△ABC的面积S的最大值．A=b，结合S=b=c=的面积的最大值为，cosC=代入已知等式，得=b+A=．≤≤bc S×=，时，的面积的最大值为．18．（12分）如图1，已知ABCD是上．下底边长分别为2和6，高为的等腰梯形，将它沿对称轴OO1折成直二面角，如图2．（Ⅰ）证明：AC⊥BO1；（Ⅱ）求二面角O﹣AC﹣O1的大小．）利用几何体中的垂直关系建立空间直角坐标系，求•，）=），，=3+=0•=3+=0=⇒，得=，，由、＜，=arccosB=，==2，=F==FE==arcsin19．（12分）（2013•沈阳二模）在一次数学测验后，班级学委对选答题的选题情况进行统计，（1）在统计结果中，如果把平面几何选讲和极坐标与参数方程称为几何类，把不等式选讲（2）在原统计结果中，如果不考虑性别因素，按分层抽样的方法从选做不同选做题的同学中随机选出7名同学进行座谈．已知这名学委和两名数学科代表都在选做“不等式选讲”的同学中．①求在这名学委被选中的条件下，两名数学科代表也被选中的概率；②记抽取到数学科代表的人数为X，求X的分布列及数学期望E（X）．=，=．=====；=．×××=20．（12分）（2013•沈阳二模）已知抛物线C：y2=x，过定点A（x0，0），作直线l交抛物线于P，Q（点P在第一象限）．（Ⅰ）当点A是抛物线C的焦点，且弦长|PQ|=2时，求直线l的方程；（Ⅱ）设点Q关于x轴的对称点为M，直线PM交x轴于点B，且BP⊥BQ．求证：点B 的坐标是（﹣x0，0）并求点B到直线l的距离d的取值范围．的方程为：得到两根之和、两根之积，表示出和根据∥得抛物线的焦点坐标为得．所以．或因为，则．由题意知：∥，∴，即．∵，∴．21．（12分）（2013•沈阳二模）已知函数f（x）=，a∈R且a≠0．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）当a＜0时，若，证明：．，再分）﹣（=．）﹣（）﹣（，）﹣（﹣（=+﹣=a，且x=）﹣（选修题：（请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时请写清题号．）22．（10分）（2013•沈阳二模）选修4﹣1：几何证明选讲如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，PA是过点A的直线，且∠PAC=∠ABC．（1）求证：PA是⊙O的切线；（2）如果弦CD交AB于点E，AC=8，CE：ED=6：5，AE：EB=2：3，求直径AB的长．m=，23．（2013•沈阳二模）选修4﹣4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，圆C的方程是x2+y2﹣4x=0，圆心为C．在以坐标原点为极点，以x轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线C1：与圆C相交于A，B两点．（1）求直线AB的极坐标方程；（2）若过点C（2，0）的曲线C2：（t是参数）交直线AB于点D，交y轴于点E，求|CD|：|CE|的值．+4或，﹣﹣﹣﹣x）则有，﹣2+﹣，则有，|CE|=．24．（2013•沈阳二模）选修4﹣5：不等式选讲已知函数f（x）=|x﹣1|．（1）解不等式：1≤f（x）+f（x﹣1）≤2；（2）若a＞0，求证：f（ax）﹣af（x）≤f（a）．，即≤≤{x|}。

辽宁省五校协作体2013届高三第二次模拟考试数学(文)试题

辽宁省五校协作体2013 届高三第二次联合模拟考试数学学科试卷（文科）一、选择题：本大题共12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.U =M { x | x 0或x 2} N { x | x24x 3 0}，则e N (M N ) ()（文）已知全集R ，，A.{ x | 0 x 1} B.{ x | 0 x 2}C. { x |1x2}D. { x | x 2}2.函数y2a（0 a 1））x1的图象一定过点（A.（ 1,1）B.（ 1,2）C. （ 2,0）D. （ 2,-1）3.（文）曲线y3ln x x 2 在点P0处的切线方程为4x y 1 0 ，则点P0的坐标是（）A.(0,1)B.(1,1)C.(1,3)D.(1,0)4.下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（）A.y sin( x6) B.y2x C.y x D.y x35.有下列说法：（ 1）“p q ”为真是“p q ”为真的充分不必要条件；（2）“p q ”为假是“p q ”为真的充分不必要条件；（ 3）“p q ”为真是“ p ”为假的必要不充分条件；（4）“ p ”为真是“p q ”为假的必要不充分条件。

其中正确的个数为（）A.1B.2C.3D.46.在ABC 中，a,b,c分别是三内角A, B ,C 的对边,设A60 , a43, b 4 2，则 B( )A.45 或 135B.1350C.45D.以上都不对7.12sin(3)（）其中, )sin(22A.sin－ cosB.cos－ sinC.±（ sin－ cos ）D.sin+cos8.设映射f : x x22x 1 是集合 A x | x2到集合 B R 的映射。

若对于实数 p B ，在 A 中不存在对应的元素，则实数p 的取值范围是（）A.1,B.1,Ｃ., 1 D.,19.（文）函数y cos 2x 在下列哪个区间上是减函数（）A. [ , ]B. [ , 3] C. [ 0,]D. [, ] 44 4 42210.已知函数 f (x) (m 2)x2mx (2m 1) 的两个零点分别在区间 ( 1,0) 和区间 (1,2) 内，则实数m 的取值范围是（）1 1B ．1 1C ．1 11 1 A ．,,2,D ．4,4 242 4211.定义行列式运算：a 1 a 2 a 1a 4a 2 a 3 .a 3 a 4-sinx cos x0) 个单位后，所得图象对应的函数为奇函若将函数 f ( x)-3 的图象向左平移 m (m1数，则 m 的最小值是（）2B ．C ．5A ．3D ．36612.已知 f ( x) 是定义在R 上的偶函数，在区间[0,) 上为增函数，且f ( 1) 0 ，则不等式3f (log 1 x)0 的解集为（）81, 2)B.(2, ) C.(0,1 (2,)D.1 )A. () ( ,1) (2,222二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。

辽宁省五校协作体2013届高三第二次模拟考试理数

辽宁省五校协作体2013届高三第二次模拟考试数学理一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.（理）已知全集U =R ，{|0M x x =<或2}x >，2{|430}N x x x =-+<，则图中阴影部分所表示的集合是( )A. {|01}x x ≤<B. {|02}x x ≤≤C. {|12}x x <≤D. {|2}x x <2.函数1201x y a a -=<<（）的图象一定过点（）A. （1,1）B. （1,2）C. （2,0）D. （2,-1）3.（理）点000(,)P x y 是曲线3ln y x x k =++()k R ∈图象上一个定点，过点0P 的切线方程为410x y --=，则实数k 的值为（）A. 2B. 2-C. 1-D. 4- 4.下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（）A. sin()6y x π=- B. 2x y = C. x y = D. 3x y -=5.有下列说法：（1）“p q ∧”为真是“p q ∨”为真的充分不必要条件；（2）“p q ∧”为假是“p q ∨”为真的充分不必要条件；（3）“p q ∨”为真是“p ⌝”为假的必要不充分条件；（4）“p ⌝”为真是“p q ∧”为假的必要不充分条件。

其中正确的个数为（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 46.在ABC ∆中，,,a b c 分别是三内角,,A B C 的对边,设60,A a ==b =，则B = ( )A. 45或135B. 0135 C. 45 D. 以上都不对7.=（）其中,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ A. sin θ－cos θ B. cos θ－sin θ C. ±（sin θ－cos θ） D. sin θ+cos θ8.设映射2:21f x x x →-+-是集合{}|2A x x =>到集合B R =的映射。

辽宁省五校协作体高三数学摸底考试试题理

辽宁省五校协作体2013届高三数学摸底考试试题理一.选择题（每小题5分，共60分）1.已知全集=⋃≤=≤==)(},12|{},0lg |{,B A C x B x x A R U U x 则集合（）A ．)1,(-∞B ．),1(+∞C ．]1,(-∞D ．),1[+∞2.复数z 满足(1)2z i i +=，则复数z 的实部与虚部之差为（ ) A.0 B.－1 C.－3 D.33.已知向量(sin(),1),(4,4cos 6παα=+=-a b ，若⊥a b ，则4sin()3πα+等于 ( )A.14- D. 144.若直线032:1:22=--++=x y x C kx y l 被圆截得的弦最短，则直线l 的方程是（）A ．0=xB ．1=yC ．01=-+y xD.01=+-y x5.在由数字1，2，3，4，5组成的所有没有重复数字的5位数中，大于23145且小于43521的数共有（） A ．56个 B ．57个 C ．58个 D ．60个 6.数列{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，若平面上的三个不共线的向量,,满足,20061OC a OA a OB +=且A 、B 、C 三点共线，则S 2006=（）A ．1003B ．1010C ．2006D ．20107.函数13)(3+-=x x x f 在闭区间[-3，0]上的最大值、最小值分别是 ( )A1，-1 B1，-17 C3，-17 D9，-19 8.不等式log sin 2(0a x x a >>且1)a ≠对任意(0,)4x π∈都成立，则a 的取值范围为（） A ．(0,)4πB ． }1,4[πC ．(,1)(1,)42ππ⋃ D ．(0,1)9.方程lgx+x=3的解所在区间为 ( ）A ．(0，1)B ．(1，2)C ．(2，3)D ．(3，+∞)10.下图a 是某市参加2012年高考的学生身高条形统计图，从左到右的各条形表示的学生人数依次记为A 1、A 2、…、A m [如A 2表示身高（单位：cm ）在[150，155]内的学生人数]。

2013年辽宁省高考数学试卷(理科)答案与解析

2013年辽宁省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）（2013•辽宁）复数的模长为（）A．B．C．D．2考点：复数求模．专题：计算题．分析：通过复数的分子与分母同时求模即可得到结果．解答：解：复数，所以===．故选B．点评：本题考查复数的模的求法，考查计算能力．2．（5分）（2013•辽宁）已知集合A={x|0＜log4x＜1}，B={x|x≤2}，则A∩B=（）A．（0，1）B．（0，2]C．（1，2）D．（1，2]考点：交集及其运算；其他不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：求出集合A中其他不等式的解集，确定出A，找出A与B的公共部分即可求出交集．解答：解：由A中的不等式变形得：log41＜log4x＜log44，解得：1＜x＜4，即A=（1，4），∵B=（﹣∞，2]，∴A∩B=（1，2]．故选D点评：此题考查了交集及其运算，以及其他不等式的解法，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．3．（5分）（2013•辽宁）已知点A（1，3），B（4，﹣1），则与向量同方向的单位向量为（）A．B．C．D．考点：平行向量与共线向量；单位向量．专题：平面向量及应用．分析：由条件求得=（3，﹣4），||=5，再根据与向量同方向的单位向量为求得结果．解答：解：∵已知点A（1，3），B（4，﹣1），∴=（4，﹣1）﹣（1，3）=（3，﹣4），||==5，则与向量同方向的单位向量为=，故选A．点评：本题主要考查单位向量的定义和求法，属于基础题．4．（5分）（2013•辽宁）下列关于公差d＞0的等差数列{a n}的四个命题：p1：数列{a n}是递增数列；p2：数列{na n}是递增数列；p3：数列是递增数列；p4：数列{a n+3nd}是递增数列；其中真命题是（）A．p1，p2B．p3，p4C．p2，p3D．p1，p4考点：等差数列的性质；命题的真假判断与应用．专题：等差数列与等比数列．分析：对于各个选项中的数列，计算第n+1项与第n项的差，看此差的符号，再根据递增数列的定义得出结论．解答：解：∵对于公差d＞0的等差数列{a n}，a n+1﹣a n=d＞0，∴命题p1：数列{a n}是递增数列成立，是真命题．对于数列数列{na n}，第n+1项与第n项的差等于（n+1）a n+1﹣na n=（n+1）d+a n，不一定是正实数，故p2不正确，是假命题．对于数列，第n+1项与第n项的差等于﹣==，不一定是正实数，故p3不正确，是假命题．对于数列数列{a n+3nd}，第n+1项与第n项的差等于a n+1+3（n+1）d﹣a n﹣3nd=4d＞0，故命题p4：数列{a n+3nd}是递增数列成立，是真命题．故选D．点评：本题主要考查等差数列的定义，增数列的含义，命题的真假的判断，属于中档题．5．（5分）（2013•辽宁）某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组一次为[20，40），[40，60），[60，80），[80，100）．若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是（）A．45 B．50 C．55 D．60考点：频率分布直方图．专题：概率与统计．分析：由已知中的频率分布直方图，我们可以求出成绩低于60分的频率，结合已知中的低于60分的人数是15人，结合频数=频率×总体容量，即可得到总体容量．解答：解：∵成绩低于60分有第一、二组数据，在频率分布直方图中，对应矩形的高分别为0.005，0.01，每组数据的组距为20，则成绩低于60分的频率P=（0.005+0.010）×20=0.3，又∵低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是=50．故选：B．点评：本题考查的知识点是频率分布直方图，结合已知中的频率分布直方图，结合频率=矩形的高×组距，求出满足条件的事件发生的频率是解答本题的关键．6．（5分）（2013•辽宁）在△ABC，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c．asinBcosC+csinBcosA=b，且a＞b，则∠B=（）A．B．C．D．考点：正弦定理；两角和与差的正弦函数．专题：解三角形．分析：利用正弦定理化简已知的等式，根据sinB不为0，两边除以sinB，再利用两角和与差的正弦函数公式化简求出sinB的值，即可确定出B的度数．解答：解：利用正弦定理化简已知等式得：sinAsinBcosC+sinCsinBcosA=sinB，∵sinB≠0，∴sinAcosC+sinCcosA=sin（A+C）=sinB=，∵a＞b，∴∠A＞∠B，即∠B为锐角，则∠B=．故选A点评：此题考查了正弦定理，两角和与差的正弦函数公式，以及诱导公式，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．7．（5分）（2013•辽宁）使得（n∈N+）的展开式中含有常数项的最小的n为（）A．4B．5C．6D．7考点：二项式系数的性质．专题：计算题．分析：利用二项展开式的通项公式T r+1=3n﹣r••，令x的幂指数n﹣r=0即可求得展开式中含有常数项的最小的n．解答：解：设（n∈N+）的展开式的通项为T r+1，则：T r+1=3n﹣r••x n﹣r•=3n﹣r••，令n﹣r=0得：n=r，又n∈N+，∴当r=2时，n最小，即n min=5．故选B．点评：本题考查二项式系数的性质，求得n﹣r=0是关键，考查分析与运算能力，属于中档题．8．（5分）（2013•辽宁）执行如图所示的程序框图，若输入n=10，则输出的S=（）A．B．C．D．考点：循环结构．专题：计算题；图表型．分析：框图首先给累加变量S和循环变量i分别赋值0和2，在输入n的值为10后，对i的值域n的值大小加以判断，满足i≤n，执行，i=i+2，不满足则跳出循环，输出S．解答：解：输入n的值为10，框图首先给累加变量S和循环变量i分别赋值0和2，判断2≤10成立，执行，i=2+2=4；判断4≤10成立，执行=，i=4+2=6；判断6≤10成立，执行，i=6+2=8；判断8≤10成立，执行，i=8+2=10；判断10≤10成立，执行，i=10+2=12；判断12≤10不成立，跳出循环，算法结束，输出S的值为．故选A．点评：本题考查了循环结构中的当型循环，即先判断后执行，满足条件，执行循环，不满足条件跳出循环，算法结束，是基础题．9．（5分）（2013•辽宁）已知点O（0，0），A（0，b），B（a，a3），若△OAB为直角三角形，则必有（）A．b=a3B．C．D．考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系．专题：平面向量及应用．分析：利用已知可得=（a，a3﹣b），，=（a，a3），且ab≠0．分以下三种情况：①，②，③，利用垂直与数量积的关系即可得出．解答：解：∵=（a，a3﹣b），，=（a，a3），且ab≠0．①若，则=ba3=0，∴a=0或b=0，但是ab≠0，应舍去；②若，则=b（a3﹣b）=0，∵b≠0，∴b=a3≠0；③若，则=a2+a3（a3﹣b）=0，得1+a4﹣ab=0，即．综上可知：△OAB为直角三角形，则必有．故选C．点评：熟练掌握垂直与数量积的关系、分类讨论的思想方法是解题的关键．10．（5分）（2013•辽宁）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB=3，AC=4，AB⊥AC，AA1=12，则球O的半径为（）A．B．C．D．考点：球内接多面体；点、线、面间的距离计算．专题：空间位置关系与距离．分析：通过球的内接体，说明几何体的侧面对角线是球的直径，求出球的半径．解答：解：因为三棱柱ABC﹣A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB=3，AC=4，AB⊥AC，AA1=12，所以三棱柱的底面是直角三角形，侧棱与底面垂直，侧面B1BCC1，经过球的球心，球的直径是其对角线的长，因为AB=3，AC=4，BC=5，BC1=，所以球的半径为：．故选C．点评：本题考查球的内接体与球的关系，球的半径的求解，考查计算能力．11．（5分）（2013•辽宁）已知函数f（x）=x2﹣2（a+2）x+a2，g（x）=﹣x2+2（a﹣2）x﹣a2+8．设H1（x）=max{f（x），g（x）}，H2（x）=min{f（x），g（x）}，（max{p，q}）表示p，q中的较大值，min{p，q}表示p，q中的较小值），记H1（x）的最小值为A，H2（x）的最大值为B，则A﹣B=（）A．16 B．﹣16 C．﹣16a2﹣2a﹣16 D．16a2+2a﹣16考点：函数的值域．专题：压轴题；新定义；函数的性质及应用．分析：先作差得到h（x）=f（x）﹣g（x）=2（x﹣a）2﹣8．分别解出h（x）=0，h（x）＞0，h（x）＜0．画出图形，利用新定义即可得出H1（x），H2（x）．进而得出A，B 即可．解答：解：令h（x）=f（x）﹣g（x）=x2﹣2（a+2）x+a2﹣[﹣x2+2（a﹣2）x﹣a2+8]=2x2﹣4ax+2a2﹣8=2（x﹣a）2﹣8．①由2（x﹣a）2﹣8=0，解得x=a±2，此时f（x）=g（x）；②由h（x）＞0，解得x＞a+2，或x＜a﹣2，此时f（x）＞g（x）；③由h（x）＜0，解得a﹣2＜x＜a+2，此时f（x）＜g（x）．综上可知：（1）当x≤a﹣2时，则H1（x）=max{f（x），g（x）}=f（x）=[x﹣（a+2）]2﹣4a﹣4，H2（x）=min{f（x），g（x）}=g（x）=﹣[x﹣（a﹣2）]2﹣4a+12，（2）当a﹣2≤x≤a+2时，H1（x）=max{f（x），g（x）}=g（x），H2（x）=min{f（x），g（x）}=f（x）；（3）当x≥a+2时，则H1（x）=max{f（x），g（x）}=f（x），H2（x）=min{f（x），g （x）}=g（x），故A=g（a+2）=﹣[（a+2）﹣（a﹣2）]2﹣4a+12=﹣4a﹣4，B=g（a﹣2）=﹣4a+12，∴A﹣B=﹣4a﹣4﹣（﹣4a+12）=﹣16．故选：B．点评：熟练掌握作差法、二次函数图象的画法及其单调性、一元二次不等式的解法、数形结合的思想方法及正确理解题意是解题的关键．12．（5分）（2013•辽宁）设函数f（x）满足x2f′（x）+2xf（x）=，f（2）=，则x＞0时，f（x）（）A．有极大值，无极小值B．有极小值，无极大值C．既有极大值又有极小值D．既无极大值也无极小值考点：函数在某点取得极值的条件；导数的运算．专题：压轴题；导数的综合应用．分析：令F（x）=x2f（x），利用导数的运算法则，确定f′（x）=，再构造新函数，确定函数的单调性，即可求得结论．解答：解：∵函数f（x）满足，∴令F（x）=x2f（x），则F′（x）=，F（2）=4•f（2）=．由，得f′（x）=，令φ（x）=e x﹣2F（x），则φ′（x）=e x﹣2F′（x）=．∴φ（x）在（0，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增，∴φ（x）的最小值为φ（2）=e2﹣2F（2）=0．∴φ（x）≥0．又x＞0，∴f′（x）≥0．∴f（x）在（0，+∞）单调递增．∴f（x）既无极大值也无极小值．故选D．点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与极值，考查学生分析解决问题的能力，难度较大．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．（5分）（2013•辽宁）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是16π﹣16．考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：首先判断该几何体的形状，然后计算其体积即可．解答：解：根据三视图可知，该几何体为圆柱中挖去一个四棱柱，圆柱是底面外径为2，高为4的圆筒，四棱柱的底面是边长为2的正方形，高也为4．故其体积为：22π×4﹣22×4=16π﹣16，故答案为：16π﹣16．点评：本题考查了由三视图判断几何体的知识，解题的关键是首先判断该几何体为圆柱中挖去一个棱柱，然后利用柱体的体积计算方法计算其体积差即可．14．（5分）（2013•辽宁）已知等比数列{a n}是递增数列，S n是{a n}的前n项和．若a1，a3是方程x2﹣5x+4=0的两个根，则S6=63．考点：等比数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：通过解方程求出等比数列{a n}的首项和第三项，然后求出公比，直接利用等比数列前n项和公式求前6项和．解答：解：解方程x2﹣5x+4=0，得x1=1，x2=4．因为数列{a n}是递增数列，且a1，a3是方程x2﹣5x+4=0的两个根，所以a1=1，a3=4．设等比数列{a n}的公比为q，则，所以q=2．则．故答案为63．点评：本题考查了等比数列的通项公式，考查了等比数列的前n项和，是基础的计算题．15．（5分）（2013•辽宁）已知椭圆的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF、BF，若|AB|=10，|AF|=6，cos∠ABF=，则C的离心率e=．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题；压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设椭圆右焦点为F'，连接AF'、BF'，可得四边形AFBF'为平行四边形，得|AF|=|BF'|=6．△ABF中利用余弦定理算出|BF|=8，从而得到|AF|2+|BF|2=|AB|2，得∠AFB=90°，所以c=|OF|=|AB|=5．根据椭圆的定义得到2a=|BF|+|BF'|=14，得a=7，最后结合椭圆的离心率公式即可算出椭圆C的离心率．解答：解：设椭圆的右焦点为F'，连接AF'、BF'∵AB与FF'互相平分，∴四边形AFBF'为平行四边形，可得|AF|=|BF'|=6∵△ABF中，|AB|=10，|AF|=6，cos∠ABF=，∴由余弦定理|AF|2=|AB|2+|BF|2﹣2|AB|×|BF|cos∠ABF，可得62=102+|BF|2﹣2×10×|BF|×，解之得|BF|=8由此可得，2a=|BF|+|BF'|=14，得a=7∵△ABF中，|AF|2+|BF|2=100=|AB|2∴∠AFB=90°，可得|OF|=|AB|=5，即c=5因此，椭圆C的离心率e==故答案为：点评：本题给出椭圆经过中心的弦AB与左焦点构成三边分别为6、8、10的直角三角形，求椭圆的离心率．着重考查了椭圆的定义与标准方程、椭圆的简单几何性质等知识，属于中档题．16．（5分）（2013•辽宁）为了考察某校各班参加课外小组的人数，从全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据，已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为10．考点：总体分布的估计；极差、方差与标准差．专题：压轴题；概率与统计．分析：本题可运用平均数公式求出平均数，再运用方差的公式列出方差表达式，再讨论样本数据中的最大值的情况，即可解决问题．解答：解：设样本数据为：x1，x2，x3，x4，x5，平均数=（x1+x2+x3+x4+x5）÷5=7；方差s2=[（x1﹣7）2+（x2﹣7）2+（x3﹣7）2+（x4﹣7）2+（x5﹣7）2]÷5=4．从而有x1+x2+x3+x4+x5=35，①（x1﹣7）2+（x2﹣7）2+（x3﹣7）2+（x4﹣7）2+（x5﹣7）2=20．②若样本数据中的最大值为11，不妨设x5=11，则②式变为：（x1﹣7）2+（x2﹣7）2+（x3﹣7）2+（x4﹣7）2=4，由于样本数据互不相同，这是不可能成立的；若样本数据为4，6，7，8，10，代入验证知①②式均成立，此时样本数据中的最大值为10．故答案为：10．点评：本题考查的是平均数和方差的求法．计算方差的步骤是：①计算数据的平均数；②计算偏差，即每个数据与平均数的差；③计算偏差的平方和；④偏差的平方和除以数据个数．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12分）（2013•辽宁）设向量，，．（1）若，求x的值；（2）设函数，求f（x）的最大值．考点：平面向量数量积的运算；向量的模；两角和与差的正弦函数；正弦函数的单调性．专题：平面向量及应用．分析：（1）由条件求得，的值，再根据以及x的范围，可的sinx的值，从而求得x的值．（2）利用两个向量的数量积公式以及三角恒等变换化简函数f（x）的解析式为sin（2x ﹣）+．结合x的范围，利用正弦函数的定义域和值域求得f（x）的最大值．解答：解：（1）由题意可得=+sin2x=4sin2x，=cos2x+sin2x=1，由，可得4sin2x=1，即sin2x=．∵x∈[0，]，∴sinx=，即x=．（2）∵函数=（sinx，sinx）•（cosx，sinx）=sinxcosx+sin2x=sin2x+=sin（2x﹣）+．x∈[0，]，∴2x﹣∈[﹣，]，∴当2x﹣=，sin（2x﹣）+取得最大值为1+=．点评：本题主要考查两个向量的数量积的运算，三角函数的恒等变换及化简求值，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．18．（12分）（2013•辽宁）如图，AB是圆的直径，PA垂直圆所在的平面，C是圆上的点．（Ⅰ）求证：平面PAC⊥平面PBC；（Ⅱ）若AB=2，AC=1，PA=1，求证：二面角C﹣PB﹣A的余弦值．考点：二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（Ⅰ）要证平面PAC⊥平面PBC，只要证明平面PBC经过平面PAC的一条垂线BC 即可，利用题目给出的条件借助于线面垂直的判定定理能够证明BC⊥平面PAC；（Ⅱ）因为平面PAB和平面ABC垂直，只要在平面ABC内过C作两面的交线AB 的垂线，然后过垂足再作PB的垂线，连结C和后一个垂足即可得到二面角C﹣PB﹣A的平面角，然后在作出的直角三角形中通过解直角三角形即可求得二面角C﹣PB﹣A的余弦值．解答：（Ⅰ）证明：如图，由AB是圆的直径，得AC⊥BC．由PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，得PA⊥BC．又PA∩AC=A，PA⊂平面APC，AC⊂平面PAC，所以BC⊥平面PAC．因为BC⊂平面PBC，所以平面PAC⊥平面PBC；（Ⅱ）解：过C作CM⊥AB于M，因为PA⊥平面ABC，CM⊂平面ABC，所以PA⊥CM，故CM⊥平面PAB．过M作MN⊥PB于N，连接NC．由三垂线定理得CN⊥PB．所以∠CNM为二面角C﹣PB﹣A的平面角．在Rt△ABC中，由AB=2，AC=1，得，，．在Rt△ABP中，由AB=2，AP=1，得．因为Rt△BNM∽Rt△BAP，所以．故MN=．又在Rt△CNM中，．故cos．所以二面角C﹣PB﹣A的余弦值为．点评：本题考查了平面与平面垂直的判定，考查了二面角的平面角及其求法，“寻找垂面，构造垂线”是找二面角的平面角常用的方法，此题是中档题．19．（12分）（2013•辽宁）现有10道题，其中6道甲类题，4道乙类题，张同学从中任取3道题解答．（Ⅰ）求张同学至少取到1道乙类题的概率；（Ⅱ）已知所取的3道题中有2道甲类题，1道乙类题．设张同学答对甲类题的概率都是，答对每道乙类题的概率都是，且各题答对与否相互独立．用X表示张同学答对题的个数，求X的分布列和数学期望．考点：离散型随机变量及其分布列；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量的期望与方差．专题：计算题；概率与统计．分析：（I）从10道试题中取出3个的所有可能结果数有，张同学至少取到1道乙类题的对立事件是：张同学取到的全为甲类题，代入古典概率的求解公式即可求解（II）先判断随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，根据题意求出随机变量的各个取值的概率，即可求解分布列及期望值解答：解：（I）设事件A=“张同学至少取到1道乙类题”则=张同学至少取到的全为甲类题∴P（A）=1﹣P（）=1﹣=（II）X的所有可能取值为0，1，2，3P （X=0）==P（X=1）==P（X=2）=+=P（X=3）==X的分布列为X 0 1 2 3PEX=点评：本题主要考查了古典概型及计算公式，互斥事件、离散型随机变量的分布列及期望值的求解，考查了运用概率知识解决实际问题的能力．20．（12分）（2013•辽宁）如图，抛物线C1：x2=4y，C2：x2=﹣2py（p＞0），点M（x0，y0）在抛物线C2上，过M作C1的切线，切点为A，B（M为原点O时，A，B重合于O），当x0=1﹣时，切线MA的斜率为﹣．（Ⅰ）求P的值；（Ⅱ）当M在C2上运动时，求线段AB中点N的轨迹方程（A，B重合于O时，中点为O）．考点：直线与圆锥曲线的关系；抛物线的简单性质．专题：综合题；压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）利用导数的几何意义，先表示出切线方程，再由M在抛物线上及在直线上两个前提下，得到相应的方程，解出p值．（Ⅱ）由题意，可先设出A，B两个端点的坐标及中点的坐标，再由中点坐标公式建立方程，直接求解出中点N的轨迹方程解答：解：（Ⅰ）因为抛物线C1：x2=4y上任意一点（x，y）的切线斜率为y′=，且切线MA的斜率为﹣，所以A点的坐标为（﹣1，），故切线MA的方程为y=﹣（x+1）+因为点M（1﹣，y0）在切线MA及抛物线C2上，于是y0=﹣（2﹣）+=﹣①∴y0=﹣=﹣②解得p=2（Ⅱ）设N（x，y），A（x1，），B（x2，），x1≠x2，由N为线段AB中点知x=③，y==④切线MA，MB的方程为y=（x﹣x1）+，⑤；y=（x﹣x2）+⑥，由⑤⑥得MA，MB的交点M（x0，y0）的坐标满足x0=，y0=因为点M（x0，y0）在C2上，即x02=﹣4y0，所以x1x2=﹣⑦由③④⑦得x2=y，x≠0当x1=x2时，A，B丙点重合于原点O，A，B中点N为O，坐标满足x2=y因此中点N的轨迹方程为x2=y点评：本题考查直线与圆锥曲线的关系，此类题运算较繁，解答的关键是合理引入变量，建立起相应的方程，本题探索性强，属于能力型题21．（12分）（2013•辽宁）已知函数f（x）=（1+x）e﹣2x，g（x）=ax++1+2xcosx，当x∈[0，1]时，（I）求证：；（II）若f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围．考点：利用导数研究函数的单调性；函数恒成立问题；利用导数研究函数的极值．专题：压轴题；导数的综合应用．分析：（I）①当x∈[0，1）时，（1+x）e﹣2x≥1﹣x⇔（1+x）e﹣x≥（1﹣x）e x，令h（x）=（1+x）e﹣x﹣（1﹣x）e x，利用导数得到h（x）的单调性即可证明；②当x∈[0，1）时，⇔e x≥1+x，令u（x）=e x﹣1﹣x，利用导数得出h（x）的单调性即可证明．（II）利用（I）的结论得到f（x）≥1﹣x，于是G（x）=f（x）﹣g（x）≥=．再令H（x）=，通过多次求导得出其单调性即可求出a的取值范围．解答：（I）证明：①当x∈[0，1）时，（1+x）e﹣2x≥1﹣x⇔（1+x）e﹣x≥（1﹣x）e x，令h（x）=（1+x）e﹣x﹣（1﹣x）e x，则h′（x）=x（e x﹣e﹣x）．当x∈[0，1）时，h′（x）≥0，∴h（x）在[0，1）上是增函数，∴h（x）≥h（0）=0，即f（x）≥1﹣x．②当x∈[0，1）时，⇔e x≥1+x，令u（x）=e x﹣1﹣x，则u′（x）=e x﹣1．当x∈[0，1）时，u′（x）≥0，∴u（x）在[0，1）单调递增，∴u（x）≥u（0）=0，∴f（x）．综上可知：．（II）解：设G（x）=f（x）﹣g（x）=≥=．令H（x）=，则H′（x）=x﹣2sinx，令K（x）=x﹣2sinx，则K′（x）=1﹣2cosx．当x∈[0，1）时，K′（x）＜0，可得H′（x）是[0，1）上的减函数，∴H′（x）≤H′（0）=0，故H（x）在[0，1）单调递减，∴H（x）≤H（0）=2．∴a+1+H（x）≤a+3．∴当a≤﹣3时，f（x）≥g（x）在[0，1）上恒成立．下面证明当a＞﹣3时，f（x）≥g（x）在[0，1）上不恒成立．f（x）﹣g（x）≤==﹣x．令v（x）==，则v′（x）=．当x∈[0，1）时，v′（x）≤0，故v（x）在[0，1）上是减函数，∴v（x）∈（a+1+2cos1，a+3]．当a＞﹣3时，a+3＞0．∴存在x0∈（0，1），使得v（x0）＞0，此时，f（x0）＜g（x0）．即f（x）≥g（x）在[0，1）不恒成立．综上实数a的取值范围是（﹣∞，﹣3]．点评：本题综合考查了利用导数研究函数的单调性、等价转化、作差比较大小、放缩法等基础知识与基本技能，考查了推理能力、计算能力和分析问题、解决问题的能力．请考生在21、22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。

辽宁省五校协作体2013届高三上学期期中考试数学(理)试题

第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设全集U=R，集合P=，集合Q=，则集合P∩Q为（）A．{x︱-1﹤x≤0,x∈R} B.{x︱-1﹤x﹤0,x∈R}C.{x︱x﹤0,x∈R}D.{x︱x>-1,x∈R}2.下列命题中错误的个数是（）①命题“若则x=1”的否命题是“若则x≠1”②命题P:,使，则,使③若P且q为假命题，则P、q均为假命题④是函数为偶函数的充要条件A．1 B.2 C.3 D.43.曲线与直线y=围成的封闭图形的面积是（）A． B. C. D.4若点P在直线上，则=( )A. B. C. D.5.已知m、n是两条不同的直线，、、是三个不同的平面，下列命题中错误的是（）A. 若则∥B. 若∥，∥则∥C. 若∥n则∥D. 若m、n是异面直线，∥，n∥则∥6．已知数列是等差数列，若，则的值是（）A．B．1或 C. D．1或7若实数x、y满足条件，则的最大值是（）A．3 B.4 C. 6 D.88.已知函数的导函数为且若，则x的取值范围为（）A (0,1)B (1,)C D(1,)∪9．函数的图像与x轴的交点的横坐标构成一个公差为的等差数列，要得到函数的图像，只需将的图像（）A．向左平移个单位 B.向右平移个单位C.向左平移个单位D.向右平移个单位10．函数的图像恒过定点A，若点A在直线上，其中mn>0，则的最小值为（）A1 B2 C3 D411．已知非零向量、、满足，向量与的夹角为，且，则向量与的夹角为（）A B. C D12．已知函数在定义域R内可导，若且，记，则、b、c的大小关系是（）A B C D第Ⅱ卷（非选择题共90分）二填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。

把答案填在题中的横线上）13．如图所示是一个几何体的三视图（单位：cm），主视图和左视图是底边长为4cm，腰长为的等腰三角形，俯视图是边长为4的正方形，则这个几何体的表面积是__________俯视图14．在△ABC中，已知, 则△ABC的面积为__________________15．设数列的前n项和为，已知数列是首项和公比都为3的等比数列，则数列的通项公式为=_____________________16．已知函数满足下面关系：⑴⑵当时给出下列四个命题：①函数为周期函数②函数为奇函数③函数的图像关于y轴对称④方程的解的个数是8其中正确命题的序号是：_______________（把正确命题的序号都填上）三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题满分12分）已知最小正周期为(1).求函数的单调递增区间及对称中心坐标(2).求函数在区间上的取值范围。

2013年大连市高三二模数学理科答案

2013年大连市高三二模测试试题理科数学试题参考答案说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答末改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题1.C ；2.D ；3. B ；4.A ；5.C ；6.B ；7．C ；8.B ；9.C ；10.D ；11.B ；12.A.二、填空题13. 0.8；14.643； 15. 21n a n n =-+；16.ln 2a e >- . 三、解答题17.解:(Ⅰ) 设“取出的3个球颜色不全相同”为事件A ,“恰好取出2个白球”为事件B . 则()P B A 214539335439()303()8410471C C C P A B C C P A C ====+--- . ············ 4分 (Ⅱ)随机变量X 的所有可能取值为0,1,2,3,0345395(0)42C C P X C ===,12453910(1)21C C P X C ===, 2145395(2)14C C P X C ===,3045391(3)21C C P X C ===, ·············· 8分 X ∴的分布列为········· 10分数学期望510514()0123422114213E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. ·········· 12分18. 解：(I)在ABD ∆中，由余弦定理，得：222222cos 4516216200BD AB AD AB AD =+-=+-⨯⨯∴ BD =（海里）． ······················· 4分 (II)设外国船到达离D 点12海里处的地点为为E 点，所用时间为t 小时，过点B 作BF垂直于AD 于点F ，则4BF cos 5DBE =∠=,在BDE ∆中，由余弦定理，得：2224(4)24125t t +-⨯⨯=．解得227=02t t -+=，或2t =（舍）． ··········· 7分在ABE ∆中，由余弦定理，得：2222cos 45AB BE AB BE AE +-⋅= ,21621622+-⨯⨯=（，20v =． ······················································ 9分在AED ∆中，由余弦定理，得：2224cos 0.825AE AD DE EAD AE AD +-∠===⋅，37EAD ∴∠= ． ························································································································· 11分所以海监船的航向是北偏东53 ，最小航行速度为20海里/小时． ··· 12分19．证明:(Ⅰ)PD ⊥ 平面ABCD ,AC ⊂平面ABCD ,AC PD ∴⊥.四边形ABCD 是菱形,AC BD ∴⊥,又PD BD D = ,AC ⊥平面PBD .而AC ⊂平面EAC ,∴平面EAC ⊥平面PBD . ······················· 6分 (Ⅱ)如图,以O 为坐标原点,,OA OB ,DP 方向为,x y ,z以12AB 为单位长度,建立空间直角坐标系. A ,(0,1,0)B,(0,1P -,(0,2)BE BP λλ==- ,(0,1)λ∈,(,0)AB = ,设平面BAE 的法向量1(,,)x y z =n ,则200y z y λ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩,取1(1=n , ·················· 8分CA =,(2)AE AB BE λ=+=- ,设平面ACE 的法向量2(,,)x y z =n ,则0(12)0y λ⎧=⎪⎨+-=⎪⎩,取21)λ=-n , ·········· 10分由于二面角B AE C --的大小为45,12cos ,2∴=n n ,2=,2428130λλ∴-+=,12λ∴=或132λ=(舍). 即E 为PB 中点,所以:PE EB 的值为1. ··················· 12分 (注:先说明E 为PB 中点,即:PE EB 的值为1,后证明同样得分)20.解：（Ⅰ）法一：由已知直线EF 一定有斜率，设EF: y kx b =+,联立24x y y kx b⎧=⎨=+⎩,消去y 得2440x kx b --=．设1122()()E x y x y ，，F ，，由韦达定理得124x x k +=，124x x b =-． ···· 2分因为 DE DF ⊥,所以0DE DF ⋅= ．所以 1212(2)(2)(1)(1)0x x y y +++--=，1212(2)(2)(1)(1)0x x kx b kx b ++++-+-=，221212(1)(2)()4(1)0k x x kb k x x b ++-++++-=．化简得：226484b b k k -=-+，即 22(3)4(1)b k -=-．所以 21b k =+或25b k =-+． ·················· 4分当21b k =+时，直线DE ：1(2)y k x -=+，恒过定点（-2,1）（舍）．当25b k =-+时，直线DE ：5(2)y k x -=-，恒过定点（2,5）． ···· 6分法二：由已知DE 和DF 都有斜率，设DE: 1(2)y k x -=+，联立241(2)x y y k x ⎧=⎨-=+⎩，，消去y 得24840x kx k ---=．设1122()()E x y x y ，，F ，，考虑到D 在已知抛物线上，由韦达定理得1(2)4x k +-=，得 142x k =+． ··· 2分同理可得： 242x k =-+．所以222121122121111()144EF y y x x k x x k x x x x k--==⨯=+=-+--，所以2(42)1:(1)(42)4k EF y k x k k+-=-+-- ． ············· 4分即2(2)(3)(2)0k x k x y x -+-++-=，当203020x x y y -=⎧⎪-+=⎨⎪-=⎩，即25x y =⎧⎨=⎩时不论k 为何值时等式都成立.所以：直线EF 恒过定点（2,5）. ····················· 6分（注：整理为15(1)(2)y k x k-=-+-亦可）（Ⅱ）法一：假设满足条件的直线l 存在，其方程为y a =， AC 的中点为O '，l 与AC 为直径的圆相交于点P 、Q PQ ，的中点为H ，则O H PQ '⊥，设00(,)A x y ，则O '点的坐标为00222x y +⎛⎫ ⎪⎝⎭，． ········ 8分12O P AC '===∵ 00212222y O H a a y +'=-=--， 222PH O P O H ''=-∴220011(4)(22)44y a y =+--- ()01(2)a y a a =-+-，22(2)PQ PH =∴()041(2)a y a a =-+-⎡⎤⎣⎦．··············· 10分令10a -=，得1a =，此时2PQ =为定值，故满足条件的直线l 存在，其方程为1y =，即抛物线的通径所在的直线． ················ 12分法二：假设满足条件的直线l 存在，其方程为y a =，则以AC 为直径的圆的方程为00(0)()(2)()0x x x y y y -----=， ······· 8分将直线方程y a =代入得200(2)()0x x x a a y -+--=，则()20004(2)()41(2)x a a y a y a a =---=-+-⎡⎤⎣⎦△．设直线l 与以AC 为直径的圆的交点为3344()()P x y Q x y ，，，，则有34PQ x x =-==··· 10分令20a -=，得1a =，此时2PQ =为定值，故满足条件的直线l 存在，其方程为1y =，即抛物线的通径所在的直线． ··············· 12分21. 解:(Ⅰ)2()2(12)(212)x x x x f x et e e e t '=+-=+-, ①当120t -…即12t …时,()f x '恒大于0,()f x 的增区间是(,)-∞+∞; ······ 2分 ②当120t -<即12t >时,令()0f x '=，得1ln()2x t =-，当1ln()2x t <-时,()0f x '<,当1ln()2x t >-时,()0f x '> 从而()f x 的减区间是1(,ln())2t -∞-,()f x 的增区间是1(ln(),)2t -+∞. ····· 4分 (Ⅱ)21()122x g x e kx x '=--…对0x …恒成立,设21()12(0)2x h x e kx x x =---…,()2x h x e k x '=--, 设()()m x h x '=,()1x m x e '=-,当0x …时,()0m x '…,即()h x '在[0,)+∞上是增函数,()(0)12h x h k ''∴=-…. ·· 6分 ①当12k …时,120k -…,()0h x '…恒成立,()h x 在[0,)+∞上是增函数, ()(0)0h x h =…成立,满足题意; ②当12k >时,(0)120,h k '=-<由于()h x '是增函数且连续,所以存在00x >,使得在0(0,)x x ∈时()0h x '<,()h x 是减函数,()(0)0h x h ∴<=,与()0h x …恒成立矛盾.综上,实数k 的范围是1(,]2-∞. ······················· 8分 (Ⅲ)由于t R ∈,2()()x x x f x t e e e ∴=-+…, 由(2)知,当12k =时,2112x e x x --…,2112x e x x ∴++…,21()12f x x x ∴++…, 2211()cos 21cos 2cos 122f x x x x x x x x x ∴+--+++--=+-…, ······ 10分设21()cos 1,(0)2F x x x x =+-…,()sin F x x x '=-, 设()()G x F x '=,则()1cos 0G x x '=-…,()F x '∴在[0,)+∞上是增函数,()(0)0F x F ''=…,()F x ∴在[0,)+∞上是增函数,()(0)0F x F =…,即()cos 2f x x x ++…,证明完毕. ······················ 12分22．解:（Ⅰ）证明： 23AE AB =，∴13BE AB =. 在正△ABC 中，13AD AC =，∴AD BE =，又AB BC = ，BAD CBE ∠=∠，∴△BAD ≌△CBE ，∴ADB BEC ∠=∠，即πADF AEF ∠+∠=，所以A ，E ，F ，D 四点共圆. ·········· 5分（Ⅱ）解法1：如图6，取AE 的中点G ，连结GD ，则12AG GE AE ==. 23AE AB =，∴1233AG GE AB ===，113AD AC ==，60DAE ∠=︒， ∴△AGD 为正三角形，∴1GD AG AD ===，即1GA GE GD ===，所以点G 是△AED 外接圆的圆心，且圆G 的半径为1.由于A ，E ，F ，D 四点共圆，即A ，E ，F ，D 四点共圆G ，其半径为1. ················ 10分解法2:在ADE △中,由余弦定理,2222cos60DE AE AD AE AD =+-⋅⋅= 222AD DE AE ∴+=,90ADE ∴∠= ,AE ∴是ADE △外接圆直径.以下同解法1答案. ·························· 10分23. 解：（I ）θθρsin 2cos 2-= ，θρθρρsin 2cos 22-=∴，····················· 2分 02222=+-+∴y x y x C 的直角坐标方程为圆，即1)22()22(22=++-y x ，)22,22(-∴圆心直角坐标为． ······· 5分（II ）方法1：直线上的点向圆C 引切线长是6224)4(4081)242222()2222(2222≥++=++=-+++-t t t t t ， ∴直线上的点向圆C 引的切线长的最小值是62． ············ 10分方法2：024=+-∴y x l 的普通方程为直线，圆心C 到l 直线距离是52|242222|=++， ∴直线上的点向圆C 引的切线长的最小值是621522=-． ········ 10分24．证明：因为a ，b是正实数，所以2230ab b a ab ++≥=>，当且仅当22ab b a ==，即1a b ==时，等号成立； ············ 3分同理：2230ab a b ab ++≥=>，当且仅当1a b ==时，等号成立． 6分所以222222()()9ab b a ab a b a b ++++≥当且仅当1a b ==时，等号成立． ··············································································· 8分因为a b ≠，所以222222()()9ab b a ab a b a b ++++>. ········································· 10分。

辽宁省五校协作体2013届高三摸底考试数学理(附答案)

一.选择题（每小题5分，共60分）1.已知全集=⋃≤=≤==)(},12|{},0lg |{,B A C x B x x A R U U x 则集合（）A ．)1,(-∞B ．),1(+∞C ．]1,(-∞D ．),1[+∞2.复数z 满足(1)2z i i +=，则复数z 的实部与虚部之差为（ ) A.0 B.－1 C.－3 D.33.已知向量(sin(),1),(4,4cos 6παα=+=a b ，若⊥a b ，则4sin()3πα+等于 ( )A.4-14- C. 4D. 144.若直线032:1:22=--++=x y x C kx y l 被圆截得的弦最短，则直线l 的方程是（）A ．0=xB ．1=yC ．01=-+y xD.01=+-y x5.在由数字1，2，3，4，5组成的所有没有重复数字的5位数中，大于23145且小于43521的数共有（） A ．56个 B ．57个 C ．58个 D ．60个6.数列{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，若平面上的三个不共线的向量OC OB OA ,,满足,20061a a +=且A 、B 、C 三点共线，则S 2006= （）A ．1003B ．1010C ．2006D ．20107.函数13)(3+-=x x x f 在闭区间[-3，0]上的最大值、最小值分别是 ( ) A1，-1 B1，-17 C3，-17 D9，-198.不等式log sin 2(0a x x a >>且1)a ≠对任意(0,)4x π∈都成立，则a 的取值范围为（）A ．(0,)4πB ． }1,4[πC ．(,1)(1,)42ππ⋃ D ．(0,1)9.方程lgx+x=3的解所在区间为 ( ） A ．(0，1) B ．(1，2) C ．(2，3) D ．(3，+∞)10.下图a 是某市参加2012年高考的学生身高条形统计图，从左到右的各条形表示的学生人数依次记为A 1、A 2、…、A m [如A 2表示身高（单位：cm ）在[150，155]内的学生人数]。