大学物理习题及答案

x L

h

书中例题：1.2, 1.6（p.7;p.17）（重点）

直杆AB 两端可以分别在两固定且相互垂直的直导线槽上滑动，已知杆的倾角φ＝ωt 随时间变化，其中ω为常量。 求：杆中M 点的运动学方程。

解：运动学方程为： x=a cos(ωt)

y=b sin(ωt)

消去时间t 得到轨迹方程： x 2/a 2 + y 2/b 2

= 1 椭圆

运动学方程对时间t 求导数得速度：

v x ＝dx/dt ＝-a ωsin(ωt) v y ＝dy/dt ＝b ωcos(ωt) 速度对时间t 求导数得加速度： a x ＝d v x /dt ＝－a ω2cos(ωt) a y ＝d v y /dt ＝－b ω2sin(ωt) 加速度的大小： a 2＝a x 2＋a y 2 习题指导P9. 1.4（重点） 在湖中有一小船，岸边有人用绳子跨过一高处的滑轮拉船靠岸，当绳子以v 通过滑轮时，

求：船速比v 大还是比v 小？ 若v 不变，船是否作匀速运动？

如果不是匀速运动,其加速度是多少？ 解：

l ＝（h2＋x2）1/2

221/2

122()d l x d x v d t h x d t ==+ 221/2()d x h x v d t x +=

当x>>h 时，dx/dt ＝v ，船速＝绳速

当x →0时，dx/dt →∞ 加速度：

x

y M A B a b φ

x h

220d x d t =2221/22221/2221/2221/2221/22221/2()1()11()()1112()2()d x d h x v dt dt x d h x v dt x d dx d h x dx h x v v dx x dt x dx dt dx x dx h x v v x dt x h x dt

⎡⎤

+=⎢⎥⎣⎦⎡⎤=∙+⎢⎥⎣⎦

+⎛⎫=∙++ ⎪⎝⎭=-∙+++

将221/2()d x h x v

d t x +=代入得：

2221/2221/2

221/2

22221/21()112()()2()d x h x x h x h xv v v v d t x x x h x x

++=-∙+++3222232222)(x

v

h x v v x x h dt x d -=++-= 分析： 当x ∞,

变力问题的处理方法（重点）

力随时间变化：F ＝f （t ） 在直角坐标系下，以x 方向为例，由牛顿第二定律：

()x dv m f t dt =

且：t ＝t 0 时，v x ＝v 0 ；x ＝x 0 则：

1

()x dv f t dt m =

直接积分得：

1

()()x x v dv f t dt m

v t c

===+⎰⎰

其中c 由初条件确定。

由速度求积分可得到运动学方程：

2()x x v d t x t c ==+⎰

其中c2由初条件确定。

例题：

飞机着陆时受到的阻力为F ＝－ct ，（c 为常数） 且t ＝0时，v ＝v 0 。 求：飞机着陆时的速度。

解：根据牛顿第二定律：－ct ＝m dv / dt

2

1

2c v d v td t m

c t c m

==-=-+⎰⎰

当t ＝0时，v ＝v 0，代入得：v 0＝c 1

2

02c v v t

m =-

力随速度变化：F ＝f （v ）

直角坐标系中，x 方向f （v ）＝m dv ⁄ dt

经过移项可得：

()d v

d t m

f v = 等式两边同时积分得：

01

()()m t t d t d v m d v f v f v -===⎰⎰⎰

具体给出f （v ）的函数试就可进行积分运算。

例题：（重点）

质量为m 的物体以速度v 0投入粘性流体中，受到阻力f ＝－cv （c 为常数）而减速，若物体不受其它力，求：物体的运动速度。 解：根据牛顿第二定律： 移项变换： －c/m dt ＝dv/v

积分得：

1ln c d v d t m

v

c

t v c m

-

=-=+⎰

⎰

由初条件定c1：当t ＝0时，v ＝v 0 ∴0＝lnv 0＋c 1

∴ c1＝－lnv 0

dv

cv m dt -=

00l n c t m

c v t m v v v e

--==

力随位移变化：F ＝f （x ） 直角坐标系中，x 方向：

()d v d x d v d v

f x m m m v

d t d td x d x ===

经过移项可得：f （x ）dx ＝mv dv

等式两边同时积分得：

22

01()()2f x d x m v d v m v v ==-⎰⎰

例题：（重点）

光滑的桌面上一质量为M ，长为L 的匀质链条，有极小一段被推出桌子边缘。 求：链条刚刚离开桌面时的速度。

解：链条所受的力F 是个变力：F ＝m(x)g ()M

m x x

L =

根据牛顿第二定律：

M d v d x d v d v x g M M M v L d t d td x d x ===

0022122L

v M

g x d x M v d v L M g L M v L v g L ===⎰⎰ 书中例题3.11（p111）（重点）

长为L 的匀质链条，一部分在水平桌面上，另一部分自然下垂。链条与水平面间静摩擦因数为μ0，滑动摩擦因数为μ. 求：1）满足什么条件时，链条开始滑动？ 2）若下垂部分长度为b 时，链条开始滑动，

当链条末端刚刚离开桌面时的速度是多少？

解：1）最大拉力：ρb 0g ， 摩擦力：μ0ρ(L –b 0)g ρb 0g = μ0ρ(L –b 0)g

2)重力和摩擦力做的功分别为：

x

y L b 0

001μ

μ+=2

2

2)(1)()(2

1b L g dy y L g A b L g gydy A L f L

b g -=--=-==⎰

⎰μρμρρρ