算术平方根、平方根知识点2

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平方根与算术平方根(知识解读)(原卷版)

平方根与算术平方根知识点 1 ：平方根1.算术平方根的定义如果一个正数的平方等于，即,那么这个正数叫做的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；，读作“的算术平方根”，叫做被开方数. 注意：有意义时，≥0，≥0. 2.平方根的定义如果，那么叫做的平方根.求一个数的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算. (≥0)的平方根的符号表达为是的算术平方根.知识点2：平方根和算术平方根的区别与联系1．区别：（1）定义不同；（2）结果不同： 2．联系：（1）平方根包含算术平方根；（2）被开方数都是非负数；（3）0的平方根和算术平方根均为0．注意：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根．（2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根.知识点3：平方根的性质知识点4：平方根小数点位数移动规律被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位..x a 2x a =x a a a a a a a a a 2x a =x a a a a (0)a a ≥a a a ±a 20||000a a a a a a a >⎧⎪===⎨⎪-<⎩()20aaa =≥62500250=62525= 6.25 2.5=0.06250.25=【典例分析】【考点1：算术平方根】【典例1】求下列各数的算术平方根：（1）100；（2）；（3）0.0001．【变式1-1】求下列各数的算术平方根．（1）196 （2）（3）0.04 （4）100 （5）（﹣6）2．【变式1-2】求下列各式的值：（1）；（2）；（3）【考点2：算术平方根的性质】【典例2】（2022秋•崇川区校级月考）已知a，b满足（a﹣1）2+＝0，则a+b的值是（）A．﹣2B．2C．﹣1D．0【变式2-1】（2021秋•滨海县期末）已知实数x，y满足+（y+1）2＝0，则x﹣y等于（）A．1B．﹣1C．﹣3D．3【变式2-2】（2022春•绥江县期中）若（a﹣1）2+＝0，则（a﹣b）2022＝（）A．1B．﹣1C．0D．2022【考点3：算术平方根的估算】【典例3】（2022•东丽区二模）估计的值在（）A．2和3之间B．3和4之间C．4和5之间D．5和6之间【变式3-1】（2022•河西区模拟）估计的值在（）A．2和3之间B．3和4之间C．4和5之间D．5和6之间【变式3-2】（2020秋•福田区期末）设n为正整数，且n＜＜n+1，则n的值为（）A．7B．8C．9D．10【变式3-3】（2018•台州）估计+1的值在（）A．2和3之间B．3和4之间C．4和5之间D．5和6之间【典例4】（2015秋•萧山区期中）已知，则0.005403的算术平方根是（）A．0.735B．0.0735C．0.00735D．0.000735【变式4-1】（2019春•港口区期中）若＝5.036，则＝．【变式4-2】（2022春•渝中区校级月考）若≈7.149，≈22.608，则的值约为（）A．71.49B．226.08C．714.9D．2260.8【考点4：平方根】【典例5】求下列各数的平方根（1）49；（2）；（3）；（4）0.0016．【变式5-1】（2021秋•卫辉市月考）求下列各数的平方根（1）49 （2）；（3）2；（4）0.36；（5）（﹣）2．【变式5-2】（2022秋•青羊区校级期中）若m2＝4，则m＝（）A．2B．﹣2C．±2D．±【考点5 ：利用平方根的定义解方程】【典例6】（2022秋•莲湖区校级月考）求下列各式中x的值．（1）9x2﹣25＝0；（2）（x﹣1）2＝36．【变式6-1】（2022秋•江阴市校级月考）求下列各式中x的值：（1）x2﹣4＝0；（2）（x﹣1）2﹣9＝0．【变式6-2】（2022秋•新城区期中）已知2x2﹣8＝0，求x的值．【考点6：利用平方根的定义求参数】【典例7】（2021春•昭阳区校级月考）若一个正数的平方根是2m﹣4与3m﹣1，求这个正数的算术平方根．【变式7-2】（2022春•仁怀市校级月考）若m是169的正的平方根，n是121的负的平方根，求：（1）m+n的值；（2）（m+n）2的平方根．【变式7-3】（2021秋•河南月考）已知一个数m的两个不相等的平方根分别为a+2和3a﹣18．（1）求a的值；（2）求这个数m．【变式7-3】（2022秋•朝阳区校级月考）已知一个正数m的平方根为2n+1和4﹣3n．（1）求m的值；（2）|a﹣1|++（c﹣n）2＝0，a+b+c的平方根是多少？【考点7：平方根的实际应用】【典例8】（2022秋•南岗区校级期中）小李同学想用一块面积为400cm2的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为300cm2的长方形纸片，使它的长宽之比为2：3，他不知道能否裁得出来，正在发愁，这时小于同学见了说：“别发愁，一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片．”（1）长方形纸片的长和宽是分别多少cm？（2）你是否同意小于同学的说法？说明理由．【变式8】（2022秋•市北区期中）某新建学校计划在一块面积为256m2的正方形空地上建一个面积为150m2的长方形花园（长方形花园的边与正方形空地的边平行），要求长方形花园的长是宽的2倍．请你通过计算说明该学校能否实现这个计划．。

算术平方根、平方根知识点

算术平方根、平方根知识点-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII学科教师辅导讲义知识点2：估算估算算术平方根的大小主要是利用逼近法，即利用与被开方数最接近的完全平方数来估计这个被开方数的算术平方根的大小. 规律小结确定一个无限不循环小数的整数部分，一般采用估算法（估算到个位）；确定其小数部分的方法是：首先确实其整数部分，然后利用这个数减去它的整数部分. 例2.如果17-=m ，那么m 的取值范围是（）A.10<<mB.21<<mC.32<<mD.43<<m知识点3：平方根、开平方的概念及符号表示延伸拓展1.平方根的理解（1）被开方数a一定是非负数（即正数或0）；（2）平方与开平方是互逆运算；2.平方根与算术平方根的区别与联系例2.求下列各数的平方根和算术平方根：（1）0.0009 （2）8125（3）25-）（知识点4：平方根的性质平方根的性质：①正数有两个平方根，它们互为相反数；②0的平方根是0；③负数没有平方根.规律小结：一个正数a 的平方根有两个记作a ±，表示a 的正的平方根和负的平方根，其中正的平方根a 也叫做a 的算术平方根.注：一个正数的平方根有两个，而它的算术平方根只有一个.例3.一个正数x 的两个平方根分别是31-+a a 与，则a 的值为（） A.2 B.-1 C.1 D.0随堂巩固一、选择题.1. 4的算术平方根是（）A.2B.-2C.±2D.16 2.下列说法正确的是（）A.5是25的算术平方根B.16是4的算术平方根C.-6是()26-的算术平方根D.0没有算术平方根 3.下列整数中，与最接近的是（） A.4 B.5 C.6 D.7 4.一个正方形的面积是15，估计它的边长大小在（）A.2与3 之间B.3与4 之间C.4与5之间D.5与6之间 5.81的平方根是（）A.3±B.3C.9±D.9 6.下列语句正确的是（）A.-2是-4的平方根B.2是()22-的算术平方根C.()22-的平方根是2D.4的平方根是2或-27.252=a ，3=b ，则a+b 的值是（）A.-8B.8±C.2±D.8±或2±二、填空题1.化简：（1）412= ；（2） = .2.大于2且小于5的整数是 .3.使式子11=-x 成立的未知数x 的值是。

平方根与算数平方根(复习讲义)01(教师版)

平方根与算数平方根（复习讲义）01【知识点讲解】知识点一：算术平方根1、定义：一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即a x =2，那么这个正数x 叫做a 的算术平方根，规定0的算术平方根是0。

2、表示方法：非负数a 的算术平方根记作“a ”，读作“根号a ”，其中a 叫做被开方数。

3、性质：正数a 的算术平方根为a ； 0的算术平方根是0，即00=；负数没有算术平方根。

举例：2552=，那么5叫做25的算术平方根（或者说25的算术平方根是5）。

算术平方根a 具有双重非负性：被开方数a 是非负数，即a ≥0；非负数a 的算术平方根a 是非负数，即a ≥0。

4、规律方法：求一个非负数的算术平方根与求一个非负数的平方恰好是互逆的过程。

算术平方根等于本身的数只有0和1。

被开方数越大，对应的算术平方根也越大，这个结论对所有正数都成立。

例1：求下列个数的算术平方根 ①：0.090.3②：2516 54 ③：()24-4④：0 0 ⑤：1010知识点二：估算算术平方根1、方法：求一个正数（非完全平方数）的算术平方根的近似值，一般采用夹逼法。

“夹”就是从两边确定取值范围；“逼”就是一点一点加强限制，使取值范围越来越小，从而达到理想的精确度。

2、依据：被开方数越大，对应的算术平方根也越大。

3、举例：估算10的大小，可以取与10最近的两个完全平方数9和16。

因为16109<<，所以16109<<，即4103<<4、估算一个正数（非完全平方数）的算术平方根是用有理数进行估计，利用与被开方数比较接近的完全平方数的算术平方根来估计这个被开方数的算术平方根的大小。

例2：估算7的近似值（精确到0.01）解：372974<<⇒<<76.66.22=、29.77.22=7.276.2<<⇒9696.664.22=、0225.765.22=65.2764.2<<⇒得：65.27≈知识点三：平方根的概念及性质 1、平方根：（1）定义：一般地，如果一个数x 的平方等于a ，即a x =2，那么这个数x 叫做a 的平方根或二次方根。

第3讲平方根与算术平方根

★ 小练习1
1．在0，32，(−5)2，−4，−|−16|，x中，有平方根的数的个数是( A )
A．3个
B．4个
C．5个
D．6个
★ 小练习1
2．下列说法正确的是( C )
A．1的平方根是1 C．0的平方根是0
B．−1平方根是−1 D．0.01是0.1的一个平方根
★ 小练习1
3．一个正数m的平方根是n+2与n−6，则下列正确的是（ C ）
★ 巩固练习
9. 已知x，y满足 2x − 16 + 1 y − 1 = 0，求x−4y的平方根.
5
5
解：∵ 2x − 16≥0， 1 y − 1 ≥0，且 2x − 16 + 1 y − 1 = 0
5
5
பைடு நூலகம்
∴ 2x − 16=0， 1 y − 1 =0
5
解得：x=8，y=5
将x=8，y=5代入x−4y得：8−4×5=4
（2）当a=2，b=1时，
原式=
1 1×2
+
1 2×3
+
1 3×4
+
⋯
+
1 2019×2020
＝1− 1 + 1 − 1 + 1 − ⋯ + 1 − 1
2233
2019 2020
＝1− 1
2020
= 22002109．
★ 例题精讲
例题9 已知非零有理数a，b满足|2a−4|+|b+2|+ (a − 3)b2+4=2a，求a+b 的值. 解：∵(a−3)b²≥0，b≠0 ∴a−3≥0 即a≥3 原式变形为：2a−4+|b+2|+ (a − 3)b²+4=2a. 整理得：|b+2|+ (a − 3)b²=0 ∵|b+2|≥0， (a − 3)b²≥0 ∴a=3，b=−2，∴a+b=1

平方根和立方根知识点总结及练习

基础知识巩固一、平方根、算数平方根和立方根1、平方根1平方根的定义：如果一个数x 的平方等于a,那么这个数x 就叫做a 的平方根．即：如果a x =2,那么x 叫做a 的平方根．2开平方的定义：求一个数的平方根的运算,叫做开平方．开平方运算的被开方数必须是非负数才有意义;3平方与开平方互为逆运算：±3的平方等于9,9的平方根是±3 4一个正数有两个平方根,即正数进行开平方运算有两个结果；一个负数没有平方根,即负数不能进行开平方运算 5符号：正数a 的正的平方根可用a 表示,a 也是a 的算术平方根；正数a 的负的平方根可用-a 表示．6a x =2 <—> a x ±=a 是x 的平方 x 的平方是a x 是a 的平方根 a 的平方根是x2、算术平方根1算术平方根的定义：一般地,如果一个正数x 的平方等于a,即a x =2,那么这个正数x叫做a 的算术平方根．a 的算术平方根记为a ,读作“根号a”,a 叫做被开方数．规定：0的算术平方根是0.也就是,在等式a x =2 x≥0中,规定a x =;2a 的结果有两种情况：当a 是完全平方数时,a 是一个有限数；当a 不是一个完全平方数时,a 是一个无限不循环小数;3当被开方数扩大时,它的算术平方根也扩大；当被开方数缩小时与它的算术平方根也缩小;一般来说,被开放数扩大或缩小a 倍,算术平方根扩大或缩小a 倍,例如=5,=50;4夹值法及估计一个无理数的大小5a x =2x≥0 <—> a x =a 是x 的平方 x 的平方是ax 是a 的算术平方根 a 的算术平方根是x 6正数和零的算术平方根都只有一个,零的算术平方根是零; a a ≥00≥a==a a 2 ；注意a 的双重非负性：-a a <0 a ≥07平方根和算术平方根两者既有区别又有联系：区别在于正数的平方根有两个,而它的算术平方根只有一个；联系在于正数的正平方根就是它的算术平方根,而正数的负平方根是它的算术平方根的相反数; 3、立方根1立方根的定义：如果一个数x 的立方等于a ,这个数叫做a 的立方根也叫做三次方根,即如果3x a =,那么x 叫做a 的立方根2一个数a 的立方根,记作3a ,读作：“三次根号a ”,其中a 叫被开方数,3叫根指数,不能省略,若省略表示平方; 3 一个正数有一个正的立方根；0有一个立方根,是它本身；一个负数有一个负的立方根；任何数都有唯一的立方根;4利用开立方和立方互为逆运算关系,求一个数的立方根,就可以利用这种互逆关系,检验其正确性,求负数的立方根,可以先求出这个负数的绝对值的立方根,再取其相反数,即()330a a a -=->;5a x =3 <—> 3a x =a 是x 的立方 x 的立方是a x 是a 的立方根 a 的立方根是x633a a -=-,这说明三次根号内的负号可以移到根号外面;典型例题分析知识点一：有关概念的识别 1、下列说法中正确的是 A 、的平方根是±3 B 、1的立方根是±1 C 、=±1 D 、是5的平方根的相反数2、下列语句中,正确的是A ．一个实数的平方根有两个,它们互为相反数B ．负数没有立方根C ．一个实数的立方根不是正数就是负数D ．立方根是这个数本身的数共有三个3、下列说法中：①3±都是27的立方根,②y y =33,③64的立方根是2,④()4832±=±;其中正确的有A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个 4、()20.7-的平方根是A ．0.7-B ．0.7±C ．0.7D ．0.49 5、下列各组数中,互为相反数的组是A 、－2与2)2(- B 、－2和38- C 、－21与2 D 、︱－2︱和2知识点二：计算类题型1、25的算术平方根是_______；平方根是_____. -27立方根是_______.___________, ___________,___________.2、=-2)4( ； =-33)6( ； 2)196(= . 38-= .3、① 2+32—52 ② 771-7③ |23- | + |23-|- |12- | ④ 41)2(823--+4、1327-＋2)3(-－31- 233364631125.041027-++---3知识点三：利用平方根和立方根解方程1、12x-12-169=0； 212142=x 3125)2(3=+x知识点四：关于有意义的题a ,有非负性,a 0a a ≥0;要使1a有意义,必须满足a ≠0. 1、若a 的算术平方根有意义,则a 的取值范围是 A 、一切数 B 、正数 C 、非负数 D 、非零数 2、要使62-x 有意义,x 应满足的条件是3、当________x 时,式子21--x x 有意义;知识点五：有关平方根的解答题1、一个正数a 的平方根是3x ―4与2―x,则a 是多少2、若5a ＋1和a －19是数m 的平方根,求m 的值;3、已知x 、y 都是实数,且334y x x =--,求x y 的平方根;知识点六：非负性的应用1、已知实数x,y 满足 2x -+y+12=0,则x-y 等于解答：根据题意得,x-2=0,y+1=0,解得x=2,y=-1, 所以,x-y=2--1=2+1=3．2、已知a 、b 满足0382=-++b a ,解关于x 的方程()122-=++a b x a ;3、若0)13(12=-++-y x x ,求25y x +的值;4、若a 、b 、c 满足01)5(32=-+++-c b a ,求代数式acb -的值;5、已知a 31-和︱8b －3︱互为相反数,求ab －2－27 的值;重点知识巩固考点、平方根、算术平方根、立方根 1、概念、定义1如果一个正数x 的平方等于a,即,那么这个正数x 叫做a 的算术平方根;2如果一个数的平方等于a,那么这个数就叫做a 的平方根或二次方跟;如果,那么x 叫做a 的平方根;3如果一个数的立方等于a,那么这个数就叫做a 的立方根或a 的三次方根;如果,那么x叫做a的立方根;2、运算名称1求一个正数a的平方根的运算,叫做开平方;平方与开平方互为逆运算;2求一个数的立方根的运算,叫做开立方;开立方和立方互为逆运算;3、运算符号1正数a的算术平方根,记作“a”;2aa≥0的平方根的符号表达为;3一个数a的立方根,用表示,其中a是被开方数,3是根指数;4、运算公式4、开方规律小结,a的算术平方根a；正数的平方根有两个,它们互为相反1若a≥0,则a的平方根是a数,其中正的那个叫它的算术平方根；0的平方根和算术平方根都是0；负数没有平方根;实数都有立方根,一个数的立方根有且只有一个,并且它的符号与被开方数的符号相同;正数的立方根是正数,负数的立方根是负数,0的立方根是0;2若a<0,则a没有平方根和算术平方根；若a为任意实数,则a的立方根是;3正数的两个平方根互为相反数,两个互为相反数的实数的立方根也互为相反数;。

第二章平方根、算术平方根和立方根

第二章平方根、算术平方根和立方根知识点汇总1. 平方根、算术平方根和立方根三者的区别与联系( 理清概念方能百战不殆)指数 2 在根号的里面。

2 ( a) 2与a2的关系( 难点)(1) 区别：①意义不同：( a) 2表示非负数 a 的算术平方根的平方；a2表示实数a的平方的算术平方根。

②取值范围不同：( a)2中的a为非负数，即a≥0；a2中的 a 为任意数。

③运算顺序不同：( a)2是先求 a 的算术平方根，再求它的算术平方根的平方；a2是先求 a 的平方，再求平方后的算术平方根。

④写法不同。

在( a) 2中，指数 2 在根号的外面；而在a2中，⑤运算结果不同：(a)2＝a(a≥0) ； a ＝| a|＝a，a≥0，－a，a<0.（2）联系：①在运算时，都有平方和开平方的运算。

②两式运算的结果都是非负数，即 ≥0. ③仅当 a ≥0时，有（ a ）2＝ a 2 。

3. 立方根的化简公式： 3 a 3 ＝a ；（3 a ）3＝a ； 3 a ＝－ 3 a( a ) 2≥ 0， a 21．．选择2014·南京） 8 的平方根是（ A ． 4B ．±42．（2014 。

东营）的平方根是（ A ．±3 B ．3 3． 2014?连云港）计算 A ． ﹣3 B ． 4.（2014。

厦门） 4 的算术平方根是（ A ． 16 B ．5．下列计算中，正确的是（典型题精选）C ．的结果是（±9 C ． C ． D ．D ．9﹣9 D ． ﹣2 D ． ±2 3 2 6 A.a · a =a B. ( π -3.14 )o =1 C. (13)1) 2C ．( ab ) 3 D. 93 6.（2014 年湖北荆门）下列运算正确的是 A ．3﹣1=﹣3 B ． =±3 7. 下列说法错误的是（） A ．5是 25 的算术平方根 C ．（－4）2 的平方根是－ 4 8．如果 x 是 0.01的算术平方根，则 A ． 0.000 1 C ．0.1 9.下列说法中，正确的是（） A. 一个有理数的平方根有两个，B. 一个有理数的立方根，不是正数就是负数C.负数没有立方根D.如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数一定是－ 10. 下列各式中，无意义的是（） x ＝（ B ． D ． 36 =a b D ．a 6 2 ÷a =a A. 32 B ．1 是 1 的一个平方根D ．0 的平方根与算术平方根都是）±0.000 1±0.1 它们互为相反数 1， 0，1 B. 3 ( 3)3 C. ( 3)2 D. 10 3 绝对值与算术平方根的非负性）11. 若 a,b 为实数，且满足 |a －2|+ b 2 =0，则 b －a 的值为（）A ．2B ．0C ．－ 2D ．以上都不对平方与算术平方根的非负性）12.（2014·福州）若（m-1）2+ n 2 ＝0，则 m ＋ n 的值是（ A ．－ 1 B ． 0 C ．1 13. 有一个数值转换器，原理如图所示：当输入的D ．2x 错误！未找到引用源。

平方根、算术平方根讲义

9.6平方根基础知识点1.平方根和算术平方根的概念2.正确理解√a，-√a，±√a3.无限不循环小数利用平方根与算术平方根的概念1.一个正数x的两个平方根分别是a+1和a-3，则a, x2.√16的平方根是利用平方根的定义解简单方程1.若x的平方根/算术平方根是它本身，则x2.√1-x = 2 的解为利用算术平方根的双重非负性解题1.√(a-2) + (b+5)²= 02.√(2a+6) + |b-√2|= 0 ，解关于x的方程(a+2)x+ b²= a-1利用平方法估计算术平方根的范围1.估计20的算术平方根大小2.已知x为整数，且满足-√2≦x≦√3，则x练习：1.一个自然数的算术平方根为a，则这个自然数相邻的下一个自然数为2.√(-3)²3.√a²= 34.若m (m大于等于0) ,n满足3√m + 5|n|= 7, x=2√m -3|n|, 试求x的取值范围5.√(5x+2y-9) 与|2x-6y-7|互为相反数，则x+1/y =6.3√(a-b) + 4√c=16且x=4√(a-b) -3√c, 试求x的取值范围7.√(2-x)+√(x-2)-y=6, 试求y的x次方的平方根立方根基础知识点1.立方根概念2.平方根与立方根的比较先变形被开方式再直接运算解三次方程估值法比较数的大小实数基础知识点1.无理数的概念及其常见类型（Π类，开方开不尽的数、有规律但又无限不循环的数）2.正确区分无理数和有理数3.实数及其数轴上点的对应关系4.实数的运算法则和运算性质。

平方根重点知识

重点知识：1、平方根：如果一个数X 的平方等于a ，即X²=a，那么这个数X 就叫做a 的平方根。

例如，422=，2是4的平方根，4)2(2=-，－2是4的平方根，即2和－2都是4的平方根。

2、算术平方根：如果一个正数X 的平方等于a,即X²=a，那么这个正数X 就叫做a 的算术平方根。

（特别规定：0的算术平方根是0）。

例如，422=，正数2是4的算术平方根。

虽然4)2(2=-，但－2不是正数，所以－2不是4的算术平方根。

3、表示方法：平方根：一个非负数a 的平方根记做 a ±，读作“正负根号 a ”；例如：5的平方根记做5±，读作“正负根号5”。

算术平方根：一个非负数a 的算术平方根记作a ，读作“根号a ”；例如，5的算术平方根记作5，读作“根号5”。

结论：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根．求一个非负数a 的平方根的运算，叫做开平方．练习题 A 组课前准备：写出并熟记1——20的平方：（1）21= ；22= ；23= ；24= ；25= ； 26= ；27= ；28= ；29= ；210= ；（2）211= ；212= ；213= ；214= ；215= ； 216= ；217= ；218= ；219= ；220= ；例1 求下列各数的平方根。

（1）121 （2）259 （3）0 （4）2)5(-例2、判断下列各数，哪些有算术平方根，哪些没有： 220.2,9,81,(2),2,(4),2,-------例3 求下列各数的算术平方根。

（1）225 （2）8164 （3）0.49 （4）625例4 下列说法是否正确？为什么？（1）5是25的平方根；（2）25的平方根是5；（3）－5是2)5(-的算术平方根；（4） 81的平方根是9±； (5)2是－4的算术平方根； (6) 9的算术平方根是3±。

七年级数学平方根2

5 ≈2.24
2.解:
140 <12
5 1
2
>12
解:设长方形纸片的长为3xcm,宽为2xcm. 由题意,得 3x· 2x=300 已知正方形纸片的边长 6x2=300 只有20cm,这样长方形 2 x =50 纸片的长将大于正方形 x= 50 因此长方形纸片的长为 3 50cm 纸片的边长. 答:不能同意小明的说法. ∵50>49, ∴ 50 >7 小丽不能用这块正方形 ∴3 50 >21 纸片裁出符合要求的即长方形纸片的长应该大于21cm. 长方形纸片
16
3
______
0.04 (2005 (64) ______ 0.0016 ______ 8 ) 2 2005 ______
4、小明房间的面积为10.8平方米，房间地面恰由120块相同的正方形地砖铺成，问每块地砖的边长是多少？解：设每块地砖的边长为x米，
.8 由题意得： x2 10 120 0.09
2
2 ≤ -a 当a ___0时, (a) _____
2 -3 ＝＿＿ ④已知 2 x 6 和 | y－2 | 互为相反数，则x＝____,y
-16 ⑤ 162 的算术平方根的相反数是_____. ⑥一个自然数的算术平方根是a，
a 1 则下一个自然数的算术平方根是______.
2
（米） x 0.09 0.3
答：每块的地砖的边长是0.3米。
练习填空： ① 36 36 _____
≥ 0时 , 当a___
2
7的算术平方根是______ 7
2 ③ ② 16 的算术平方根是_____
(36) 2 36 ______
3 9 的算术平方根是_____

(完整版)平方根、算术平方根、立方根重点例题讲解

6.1平方根、算术平方根、立方根例题讲解第一部分：知识点讲解1、学前准备【旧知回顾】2.平方根（ 1）平方根的定义：一般的，若是一个数的平方等于a ，那么这个数叫做 a 的平方根，也叫做二次方根。

即若 x2 a ，( a0) ，则x叫做a的平方根。

即有 x a ，（a0 ）。

（ 2）平方根的性质：（ 3）注意事项：x a ， a 称为被开方数，这里被开方数必然是一个非负数（a0 ）。

（ 4）求一个数平方根的方法：（5）开平方：求一个数平方根的运算叫做开平方。

它与平方互为逆运算。

3.算术平方根（ 1）算术平方根的定义：若x2 a ， (a 0) ，则x叫做a的平方根。

即有x a ，（ a 0 ）。

其中x a 叫做 a 的算术平方根。

（ 2）算术平方根的性质：（ 3）注意点：在今后的计算题中，像22， 5 分别指的是 2 和25 （ - 2），其中5的算术平方根。

4.几种重要的运算：①ab a ? b a 0, b 0, a ? b ab a 0,b0②a a0),a a0,b0) b(a 0,bb(ab b③(a )2a ( a 0) ,2，2aaa（ - a）★★★ 若 a b 0，则(a b)2 a b a b a b5.立方根（1）立方根的定义：一般地，若是一个数的立方等于 a ，那么这个数叫做 a 的立方根，也叫做三次方根。

即若x3 a ，则x叫做a的立方根。

即有x 3 a。

（2）立方根的性质：（3）开立方求一个数的立方根的运算叫做开立方，它与立方互为逆运算。

6.几个重要公式：3ab 33,33b3ab③ a ?b a ?a 33a a3a(b 0),3(b 0) b33b bb④3333，33( a ) a (a可以为任何数）,a a（- a）-a 第二部分：例题讲解题型 1：求一个数的平方根、算术平方根、立方根。

1.求平方根、算术平方根、立方根。

（1） 0 的平方根是，算术平方根是.（2） 25 的平方根是，算术平方根是.（3）1的平方根是，算术平方根是. 64（4）(9) 2的平方根是，算术平方根是.（5） 23 的平方根是，算术平方根是.（6）16的平方根是，算术平方根是.(6)（2，算术平方根是. 16）的平方根是(8)- 9的平方根是，算术平方根是.（9）8。

初一-平方根复习(教师版)

23．已知a ≥0，那么等于什么？24．思考题：估计与最接近的整数．四、课堂小结五、巩固提高1． 9的算术平方根是( )．A ．3B ．±3C ．81D ．±81 考查目的：本题考查算术平方根的概念．答案：A ．解析：根据算术平方根的概念，因为，所以9算术平方根为3．故答案选A ．2．已知，则=( )．A ．0．5B ．±0．5C ．0．0625D ．±0．0625 考查目的：考查算术平方根的概念和符号表示．答案：C ．解析：符号表示的算术平方根．因为算术平方根等于0．25的数是0．0625，即，所以．3.的算术平方根是( )．.1)4(;)3(;)2(;2)1(2--x x x x 2)(a 35A．±2 B．2 C．±4 D．4考查目的：本题考查算术平方根的概念和符号表示．答案：B．解析：表示16的算术平方根．因此本题应先求“=？”，再求“？”的算术平方根．由于，4的算术平方根是2，故答案选B．4．估计的值在( )．A．2与3之间 B．3与4之间 C．4与5之间 D．5与6之间考查目的：本题考查用有理数估计一个带算术平方根符号的(无理)数的大致范围．答案：B．解析：解题的关键是找出10在哪两个连续整数的平方之间．因为，，所以3＜＜4，故在3与4之间．答案选B．5．是的( )．A．10倍B．100倍 C．1000倍 D．10000倍考查目的：本题考查被开方数的变化与算术平方根的变化之间的规律的应用．答案：A．解析：根据被开方数的变化与算术平方根的变化之间的规律“被开方数的小数点向左或向右移动位，它的算术平方根的小数点就相应地向左或向右移动位(为正整数)”解答．因为110是1．1的小数点向右移动2位，所以的小数点相应的向右移动1位，就得到的值，即是的10倍．6．下列关于的说法错误的是( )．A．1＜＜2 B．1．7＜＜1．8 C． D．是一个无限不循环小数考查目的：本题考查无限不循环小数的概念以及用有理数估计无理数的大小．答案：C．解析：因为，，所以1＜＜2，即选项A正确；因为，，所以1．7＜＜1．8，即选项B正确；因为是一个无限不循环小数，而1．732是一个有限小数，所以选项C错误，选项D正确．故答案选C．7．“16的平方根是±4”用数学式子表示正确的是( )．A．=±4 B．±=±4 C．=4 D．- =-4考查目的：本题考查平方根的符号表示．答案：B．解析：“16的平方根”用符号表示是“”，因此“16的平方根是±4”用符号表示是“”．故答案选B．8．下列命题中，正确的个数有( )．①=±3；②2的平方根是4；③的平方根是±1．A．0个 B．1个 C．2个 D．3个考查目的：本题考查平方根的概念，以及平方根与算术平方根的区别．答案：B．解析：因为，所以①错误；因为2的平方根是，所以②错误；因为=1，1的平方根是±1，所以③正确，故答案选B．9．如果一个正数的平方根为和，则这个正数为( )．A．25 B．36 C．49 D．64考查目的：本题考查平方根的定义以及相反数的概念．答案：C．解析：由平方根的定义可知，和是一对相反数，即，解这个方程得．当时，，，所以这个正数为．故答案选C．二、填空题10．一个面积为0．64m的正方形桌面，它的边长是．考查目的：本题考查运用算术平方根的概念解决问题．答案：0．8m．解析：因为正方形的面积为边长的平方，所以边长是面积的算术平方根，故边长为．11．算术平方根等于它的相反数的数是______．考查目的：本题考查算术平方根的性质．答案：0．解析：因为算术平方根一定是非负数(0和正数)，所以算术平方根等于它的相反数的数是一定是非正数(0和负数)．既是非负数，又是非正数的数只有0，故算术平方根等于它相反数的数是0．12．请你观察思考下列计算过程：因为，所以；同样：因为，所以；…，由此猜想=__________．考查目的：本题考查运用算术平方根概念探究规律．答案：111111111．解析：观察过程：“因为，所以；同样：因为，所以；…”可发现：算术平方根全由1组成，1的个数与被开方数的中间的数字相同．由此猜想=111111111．13．若将边长为1的五个正方形拼成图1的形状，然后将图1按斜线剪开，再将剪开后的图形拼成图2所示的正方形，那么图1中剪开的斜线的长是_______．考查目的：本题考查运用算术平方根解决问题．答案：．解析：由于每个小正方形面积为1，所以图1的面积为5．剪开后拼成图2的正方形的面积也是5，边长是．因为图1中剪开的斜线的长就是图2正方形的边长，所以图1中剪开的斜线的长是．14．已知，则约是_______．考查目的：本题考查被开方数的变化与算术平方根的变化之间的规律，以及算术平方根的符号表示．答案：0．0735．解析：由于被开方数0．005403是由54．03小数点向左移动四位得到的，则0．005403的算术平方根就是54．03的算术平方根的小数点向左移动两位得到，即．故答案选B．15．已知,为两个连续整数，且＜＜，则．考查目的：本题考查用有理数估计一个(带算术平方根符号的)无理数的大致范围．答案：5．解析：因为，，所以2＜＜3，对比已知条件，可得,,所以．16．已知=，则20．14的平方根为__________(用含的代数式表示)．考查目的：本题考查平方根与算术平方根之间的区别，以及被开方数的变化与算术平方根的变化之间的规律．答案：．解析：因为20．14是2014的小数点向右移动2位得到的，所以应由小数点向右移动1位得到．根据可得，所以20．13的平方根为．17．如果的平方根等于±2，那么=______．考查目的：本题考查平方根与算术平方根的概念以及它们之间的区别．答案：16．解析：根据平方根的定义，可知，4的平方根等于±2，所以；再根据算术平方根的定义，可知，算术平方根等于4的数是16．故答案应填16．18．若和是数的平方根，则=______．考查目的：本题考查平方根概念的运用．答案：256或576．解析：本题没有说明和是否为数的不同的平方根，所以有两种情况．当+=0时，解得，所以，，所以；当=时，解得，则，故答案为256或576．(注意本题与“数的平方根是和”的区别)三、解答题19．“欲穷千里目，更上一层楼，”说的是登得高看得远，如图，若观测点的高度为，观测者视线能达到的最远距离为，则=，其中是地球半径(通常取6400km)．小丽站在海边一块岩石上，眼睛离海平面的高度为20m，她观测到远处一艘船刚露出海平面，求此时的值．考查目的：本题考查算术平方根的应用．答案：16km．解析：根据题意，将，代入=，得=16(km)．20．（1）计算：①，②，③，④；（2）观察你计算的结果，用你发现的规律直接写出下面式子的值：．考查目的：本题考查算术平方根的求法以及分析结果发现规律的能力．答案：（1）①1，②3，③6，④10；（2）406．解析：（1）根据算术平方根的求法，可得：①，②，③，④；（2）分析①②③④的结果，可发现：①=1，②=3=1+2，③=6=1+2+3，④=10=1+2+3+4．所以=1+2+3+4+…+28=406．21．根据下表回答下列问题：28．028．128．228．328．428．528．628．728．8784．00789．61795．24800．89806．56812．25817．96823．69829．44（1）795．24的算术平方根是；（2）≈；（3）在哪两个数之间？考查目的：本题考查算术平方根的概念，以及用文字语言、符号语言表示算术平方根的能力和估算能力．答案：（1）28．2；（2）28．7；（3）28．4与28．5之间．解析：可根据算术平方根的定义解答，但需要一定的估算能力．（1）从表中可直接看出795．24的算术平方根是28．2；（2）表示823．7的算术平方根，表中平方数最接近823．7数是823．69，而，所以≈28．7；（3）因为 806．56＜810＜812．25，所以28．4＜＜28．5．22．某农场有一块长30米，宽20米的场地，要在这块场地上建一个正方形鱼池，使它的面积为场地面积的一半，问能否建成？若能建成，请你估计鱼池的边长为多少？(精确到0．1米)考查目的：本题考查估计算术平方根的大小的实际应用．答案：能，约17．3米．解析：设鱼池的边长为米,则,,＜20，故能建成．因为，，所以17．3＜＜17．4，且与17．3更接近，所以可以估计鱼池的边长为17．3米．23．如图所示是计算机程序计算，（1）若开始输入，则最后输出= ；（2）若输出的值为22，则输入的值= ．考查目的：本题考查平方运算与开平方运算是互逆运算．答案：（1）-2；（2）±3．解析：（1）；（2）根据题意，可得，整理得，．24．已知正数的两个平方根分别是、．请计算代数式的值．考查目的：本题考查平方根的概念和性质．答案：0．解析：由平方根的性质：正数有两个平方根，它们互为相反数．可得；由平方根的概念和性质，可得，所以．。

算术平方根及平方根2

算术平⽅根及平⽅根2算术平⽅根与平⽅根知识点1：平⽅根的概念及其性质1、概念：⼀般地，如果⼀个数的平⽅等于a ，那么这个数叫做a 的平⽅根或⼆次⽅根．这就是说，如果2x ＝a ，那么x 叫做a 的平⽅根．2、表⽰：正数 a 的平⽅根可表⽰为⼠2a ，读作“正负根号a ”，其中“ 2 '’是根指数，当根指数是 2时可省略不写，“”读作“根号” , “a ”是被开⽅数．3、性质：（1）⼀个正数a 有两个平⽅根，其中⼀个是“a ”，另⼀个为“⼀a ”，它们互为相反数；（2）0 的平⽅根是0；（3）负数没有平⽅根．注意：1.被开⽅数 a 是⾮负数（⾮负数即指正数和零），2. 平⽅与开⽅是互逆运算关系例1.填空：1、的平⽅是64，所以64的平⽅根是；2、平⽅数是它本⾝的数是；平⽅数是它的相反数的数是；3、若x 的平⽅根是±2，则x= ；4、在下列各数中0，254， 2(5)--，222x x ++，|1|a -，||1a -数是个． 5、求下列各数的平⽅根：（1）0；（2）1；（3）1.21；（4）8；（4）（-3）2；（5）49151；（6）47 6、计算：（1）22810-；（2）9141+；（3）144251；（4）-1691。

变式练习：1、若a x =2，则（） A 、x>0 B 、x≥0 C、a>0 D 、a≥02、⼀个数若有两个不同的平⽅根，则这两个平⽅根的和为（）A 、⼤于0B 、等于0C 、⼩于0D 、不能确定3、下列说法正确的是（）A ．1的平⽅根是1±；B ．24±=C 、81的平⽅根是3±；D 、0没有平⽅根；4的平⽅根是，35±是的平⽅根．知识点2：算术平⽅根的概念及表⽰⽅法。

1、概念：⼀般地，如果⼀个正数 x 的平⽅等于 a ，即2x ＝ a ，那么这个正数x 叫做 a 的算术平⽅根．a 的算术平⽅根记为a ，读作“根号 a ”, a叫做被开⽅数．2、表⽰⽅法：⾮负数a 的算术平⽅根表⽰为a ，读作“根号a ”．例如： 24＝16 , 16 的算术平⽅根是 4 ，表⽰为了丽16＝4 .3、性质：(1)正数 a 的算术平⽅根为a ；(2) 0 的算术平⽅根是 o ，即0＝0；(3)负数没有算术平⽅根。

平方根与算术平方根

平方根与算术平方根1.平方根：如果一个数x 的平方等于a ，即x 2=a ，那么这个x 就叫a 的平方根，表示为±a ，也叫二次方根，3和－3的平方都等于9，由定义可知3和－3都是9的平方根，即9的平方根有两个3和－3，即±=9±3.2.算数平方根：若一个正数x 的平方等于a ，即x 2=a ，则这个正数x 就叫做a 的算术平方根.记为“a ”读作“根号a ”.这就是算术平方根的定义.特别地规定0的算术平方根是0，即0=0. 9的算术平方根只有一个是3.即39=.3.平方根的性质：一个正数有两个平方根，且它们互为相反数；0有一个平方根是0，负数没有平方根.4.算数平方根的性质：非负数（正数和0）才有算术平方根，负数没有算术平方根. 即用式子表示为a (a ≥0)一定为非负数4.平方根与算术平方根的区别与联系1、联系：(1)具有包含关系：平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根的一种.(2)存在条件相同：平方根和算术平方根都是只有非负数才有.(3)0的平方根，算术平方根都是0.2、区别：(1)定义不同：“如果一个数的平方等于a ，这个数就叫做a 的平方根”；“非负数a 的非负平方根叫a 的算术平方根”.(2)个数不同：一个正数有两个平方根，而一个正数的算术平方根只有一个.(3)表示法不同：正数a 的平方根表示为±a ，正数a 的算术平方根表示为a .(4)取值范围不同：正数的平方根一正一负，互为相反数；正数的算术平方根只有一个。

练习1．9的平方根是（）A ．3B ．－3C ．±3D ．32．下列说法中正确的是（）A ．任何数都有平方根B ．一个正数的平方根的平方就是它的本身C ．只有正数才有算术平方根D ．不是正数没有平方根3．下列各式正确的是（）A ．1691=45B ．414=221 C ．25.0=0.05 D ．－49-=－（－7）=7 4.下列说法正确的是（）A.5是25的算术平方根B.±4是16的算术平方根C.－6是（－6）2的算术平方根D.0.01是0.1的算术平方根5．下列各式无意义的是（）A ．－5B ．25-C ．51- D ．2)5(- 6．3－2的算术平方根是（） A ．61 B ．31C ．3D ．6 7．（－23）2的平方根是（） A ．±8 B ．8 C ．－8D ．不存在 8．使x -有意义的x 的值是（）A ．正数B ．负数C ．0D ．非正数9．一个自然数的算术平方根是n ，那么大于这个自然数且与它相邻的自然数是（）A.n +1B.n 2+1C.12+n D.n +110．若x 2=2,则x 的准确值是多少? 如何表示?请填写下列各空：（1）∵42=16，∴16的算术平方根是，用符号表示出来为；（2）∵94)32(2=，∴94的算术平方根是；用符号表示出来为；（3）∵( )2=6，∴6的算术平方根是 .11．若一个数的算术平方根是5，则这个数是_________.12．8116的平方根是____________，（21-）2的算术平方根是____________． 13．y =x x -+-33+2，则x =__________，y =__________．14．一个数的算术平方根是它本身，这个数是______________．15．252－242的平方根是__________，0.04的负的平方根是____________．16．若2-a +|b －3|=0，则a +b －5=____________．17．若4x 2=9，则x =____________．18．81的算术平方根为_________.16的平方根是____________19． (－π)2的算术平方根为_____.20．求下列各数的算术平方根，并用符号表示出来：(1)(7.1)2； (2)(－3.5)2； (4)241.21、求各式的值－01.0 2)5(- 610-22、计算32÷（－3）2+|－61|×（－6）+49．23、求下列各式中x 的值.(1) 25x 2－36=0； (2) (x +1)2－81=0；24、12-x +（y +2）2=0，求x －3+y 3的值．25、 |2a －5|与2+b 互为相反数，求ab 的值．26、已知x ，y 满足x x y 211121-+-=+3，求x y27、请你在数轴上画出表示5的点，并简要说出你的画法．。

算术平方根、平方根知识点

学科教师辅导讲义知识点2：估算估算算术平方根的大小主要是利用逼近法，即利用与被开方数最接近的完全平方数来估计这个被开方数的算术平方根的大小.规律小结确定一个无限不循环小数的整数部分，一般采用估算法（估算到个位）；确定其小数部分的方法是：首先确实其整数部分，然后利用这个数减去它的整数部分.例2.如果，那么m 的取值范围是（）17-=m A. B. C. D.10<<m 21<<m 32<<m 43<<m 知识点3：平方根、开平方的概念及符号表示延伸拓展1.平方根的理解（1）被开方数a 一定是非负数（即正数或0）；（2）平方与开平方是互逆运算；2.平方根与算术平方根的区别与联系定义一般地，如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a 的平方根或二次方根，即如果，a x =2那么x 叫做a 的平方根.表示方法正数a 的平方根表示为“”，读作“正、负根号a”,a ±例如，36的平方根是±6，记作.636±=±定义求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方特征开平方是一种运算，它与平方运算是互逆运算，这与加法、减法以及乘法、除法的关系是一样的，开平方运算的结果就是平方根，我们就是利用开平方与平方的互逆关系求一个数的平方根.例2.求下列各数的平方根和算术平方根：（1）0.0009 （2）（3）812525-）（知识点4：平方根的性质平方根的性质：①正数有两个平方根，它们互为相反数；②0的平方根是0；③负数没有平方根.规律小结：一个正数a 的平方根有两个记作，表示a 的正的平方根和负的平方根，其中正的平方根a ±也叫做a 的算术平方根.a 注：一个正数的平方根有两个，而它的算术平方根只有一个.例3.一个正数x 的两个平方根分别是，则a 的值为（）31-+a a 与A.2 B.-1 C.1 D.0随堂巩固一、选择题.1. 4的算术平方根是（）A.2B.-2C.±2D.162.下列说法正确的是（）A.5是25的算术平方根B.16是4的算术平方根C.-6是的算术平方根D.0没有算术平方根()26-3.下列整数中，与最接近的是（）A.4 B.5 C.6 D.74.一个正方形的面积是15，估计它的边长大小在（）A.2与3 之间B.3与4 之间C.4与5之间D.5与6之间5.的平方根是（）81 A. B.3 C. D.93±9±6.下列语句正确的是（）A.-2是-4的平方根B.2是的算术平方根C.的平方根是2D.的平方根是2或-()22-()22-427.，，则a+b 的值是（）252=a 3=b A.-8 B. C. D.或8±2±8±2±二、填空题1.化简：（1）= ；（2） = .4122.大于且小于的整数是 .253.使式子成立的未知数的值是。

平方根(基础)知识点归纳总结及典型例题详解

平方根（基础）知识讲解【学习目标】1．了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根．2．了解开方与乘方互为逆运算，会用开方运算求某些非负数的平方根，会用计算器求平方根．【要点梳理】【平方根，知识要点】知识点一、平方根和算术平方根的概念1.算术平方根的定义如果一个正数x的平方等于a，即2x a=,那么这个正数x叫做a的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；a的算术平方根记作a的算术平方根”，a叫做被开方数.要点诠释：a一定表示一个非负数，0，a≥0.2.平方根的定义如果2x a=，那么x叫做a的平方根.求一个数a的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算.a (a≥0)的平方根的符号表达为a≥是a的算术平方根.0)知识点二、平方根和算术平方根的区别与联系1．区别：（1）定义不同；（2）结果不同：2．联系：（1）平方根包含算术平方根；（2）被开方数都是非负数；（3）0的平方根和算术平方根均为0．要点诠释：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根．（2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根. 知识点三、平方根的性质20 ||00a aa a aa a >⎧⎪===⎨⎪-<⎩()()2a a a=≥知识点四、平方根小数点位数移动规律被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如：62500250=，62525=， 6.25 2.5=，0.06250.25=.【典型例题】类型一、平方根和算术平方根的概念1、下列说法错误的是（）A.5是25的算术平方根B.l是l的一个平方根C.()24-的平方根是－4D.0的平方根与算术平方根都是0【答案】C ；【解析】利用平方根和算术平方根的定义判定得出正确选项．A.因为25＝5，所以本说法正确；B.因为±1＝±1，所以l 是l 的一个平方根说法正确；C.因为±()24-＝±16＝±4，所以本说法错误； D.因为0±＝0，0＝0，所以本说法正确；【总结升华】此题主要考查了平方根、算术平方根的定义，关键是明确运用好定义解决问题．举一反三：【变式】判断下列各题正误，并将错误改正：（1）9-没有平方根．（）（2）164=±．（）（3）21()10-的平方根是110±．（）（4）25--是425的算术平方根．（）【答案】√ ；×； √； ×，提示：（2）164=；（4）25是425的算术平方根． 2、填空：（1）4-是的负平方根．（2116表示的算术平方根，116= ．（3）181的算术平方根为．（4）若3x =，则x = ，若23x =，则x = ．【思路点拨】（3）181就是181的算术平方根＝19，此题求的是19的算术平方根. 【答案与解析】(1)16；(2)11;164(3)13 (4) 9；±3 【总结升华】要审清楚题意，不要被表面现象迷惑.注意数学语言与数学符号之间的转化.举一反三：【变式1】下列说法中正确的有（）：①3是9的平方根． ② 9的平方根是3．③4是8的正的平方根．④ 8-是64的负的平方根．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B ；提示：①④是正确的.【变式2】求下列各式的值：（1）325 （2）8136+ （3）0.040.25- （4）40.36121⋅ 【答案】（1）15；（2）15；（3）－0.3；（4）655 3、使代数式1x +有意义的x 的取值范围是______________．【答案】x≥1-；【解析】x＋1≥0，解得x≥1-.【总结升华】当式子a有意义时，a一定表示一个非负数，即a≥0，a≥0.举一反三：【变式】（2015春•中江县期中）若+（3x+y﹣1）2=0，求5x+y2的平方根．【答案】解：∵+（3x+y﹣1）2=0，∴，解得，，∴5x+y2=5×1+（﹣2）2=9，∴5x+y2的平方根为±=±3．类型二、利用平方根解方程4、（2015春•鄂州校级期中）求下列各式中的x值（1）169x2=144（2）（x﹣2）2﹣36=0．【思路点拨】（1）移项后，根据平方根定义求解；（2）先将（x﹣2）看成一个整体，移项后，根据平方根定义求解．【答案与解析】解：（1）169x2=144，两边同时除以169，得1442x=169开平方，得x=（2）（x﹣2）2﹣36=0，移项，得（x﹣2）2=36开平方，得x﹣2=±6，解得：x=8或x=﹣4．【总结升华】本题考查了平方根，根据是一个正数的平方根有两个．类型三、平方根的应用5、要在一块长方形的土地上做田间试验，其长是宽的3倍，面积是1323平方米．求长和宽各是多少米？【答案与解析】解：设宽为x，长为3x，由题意得，x·3x＝132332x＝1323x=±21x＝－21(舍去)答：长为63米，宽为21米.【总结升华】根据面积由平方根的定义求出边长，注意实际问题中边长都是正数.。

算术平方根平方根知识点

算术平方根平方根知识点算数平方根和平方根是数学中的基本概念，它们在数学和现实生活中都有着重要的应用。

本文将详细介绍算数平方根和平方根的定义、性质以及它们在数学中的应用。

一、算术平方根1.定义2.性质(1)非负数的算术平方根是唯一的。

例如，16的算术平方根是4，没有其他数字的平方等于16(2)正数的算术平方根一定是正数。

(3)零的算术平方根是0。

(4)负数没有实数的算术平方根。

3.求算术平方根的方法(1)直接开方法：对一个给定的数开平方根，找到一个数使得它的平方等于给定数。

例如，√16=4(2)近似开方法：通过计算和估算找到一个数，使得它的平方与给定数值相近。

例如，√25≈54.算术平方根的应用(1)几何学：算术平方根被用于计算直角三角形的斜边长度。

(2)物理学：算术平方根被用于计算速度、加速度和力的大小。

(3)经济学：算术平方根被用于计算方差和标准差，用于测量数据的离散程度。

二、平方根1.定义平方根是指一个数与自身相乘等于给定数的非负根。

例如，4的平方根为2，因为2×2=4、平方根也可以用符号√a来表示。

2.性质(1)非负数的平方根是唯一的。

例如，16的平方根是4，没有其他数字与自身相乘等于16(2)正数的平方根一定是正数。

(3)零的平方根是0。

(4)负数没有实数的平方根。

3.求平方根的方法(1)直接开方法：对一个给定的数开平方根，找到一个数使得它与自身相乘等于给定数。

例如，√16=4(2)近似开方法：通过计算和估算找到一个数，使得它与自身相乘与给定数相近。

例如，√25≈54.平方根的应用平方根在数学、物理学、工程学等领域有广泛的应用：(1)数学：平方根被用于解方程和求解二次函数的根。

(2)物理学：平方根被用于计算速度、加速度和力的大小。

(3)工程学：平方根被用于计算电阻、电容和感应电流等电路的参数。

综上所述，算术平方根和平方根是数学中的重要概念，它们具有丰富的性质和广泛的应用。

了解算数平方根和平方根的定义、性质以及求解方法，有助于加深对数学的理解，并在实际生活和学习中灵活运用。

第一讲平方根与算术平方根

是 49 的平方根，即±
都有意义，则 a 的值是(
(A)a≥0 (B)a≤0 4、求下列各式 x 中的取值范围： (1) x 1 (2)
(C)a＝0
3 x 2x 4
(3) x 2 1
(4) 9 x 2 5、求下列各式的平方根：（1）
(5) 3 x
x3
(6) x 4
-2-
3. 性质：（1） ( a ) 2 a (a 0) （2） a 2 a ：①当 a 0 时， a 2 a ； ②当 a＜0 时， a 2 a 。 4、开平方：①求一个数 a 的平方根的运算，叫做开平方，其中 a 叫被开方数； ②开平方是一种运算方法，与加、减、乘、除、乘方一样，都是一种运算； ③平方与开平方互为逆运算. 例 6、求下列各数的平方根：（1）121；（2）
5 3 x 18
144 ； 49
（2） 10 12 ；
（3）
1 ； 16
（4） 17 2 152
6、求 x 值： ① x 2 24 25 ② 4 x 2 25 ③ ( x 0.7 ) 3 0.027
B 组：能力提升
1、若数轴上的点 A，B，C，D 表示数－2，1，2，3，则表示 (A) AB 上 (B) BC 上 (C) CD 上 (D) OB 上的点 P 应在线段( ).
3
x x 有意义，则 x 1 的值是
；
；若
x
1 1 ＋ x 有意义，则 8 8
x=
5．（ 2012 江苏）已知 x 、 y 都是实数，且 y 是 . 6. .若 4a 1 有意义，则 a 能取得最小整数是（ A、0 B、1 C、 5 D、 4

算术平方根、平方根知识点2

例3.一个正数x 的两个平方根分别是31-+a a 与，则a 的值为（）
一、选择题.
]
1. 4的算术平方根是（）
± 2.下列说法正确的是（）
是25的算术平方根是4的算术平方根
是()26-的算术平方根没有算术平方根
3.下列整数中，与最接近的是（）
4.;
5.一个正方形的面积是15，估计它的边长大小在（）
与3 之间与4 之间与5之间与6之间
5.81的平方根是（）
A.3± C.9±
6.下列语句正确的是（）
是-4的平方根是()22-的算术平方根 C.()22-的平方根是2 D.4的平方根是2或-2
7.252=a ，3=b ，则a+b 的值是（）
\
B.8±
C.2±
D.8±或2±
二、填空题
1.化简：（1）41
2= ；（2） = .
2.大于2且小于5的整数是 .
3004.0
3.使式子11=-x 成立的未知数x 的值是。

4.已知一个正数的平方根是23-x 和65+x ，则这个数是
）
5.已知m,n 为两个连续的整数，且n m <<11，则n m += .
1.求下列各式的值.
（1）225 （2）0004.0- (3)4112
± (4)()21.0--。

算术平方根、平方根知识点2

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第二章平方根、算术平方根和立方根

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