第一节 复数项级数
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复数项级数
n(en
2
en )
当 n 时, zn , 所以数列发散.
2、复数项级数的概念
1)定义 设{zn} {xn iyn} (n 1, 2,L )为一复数列,
表达式
zn z1 z2 zn
n1
称为复数项无穷级数.
2）部分和 其最前面 n 项的和 sn z1 z2 zn
记作
lim
n
zn
z0
或 zn z0 (n ) .
若数列{zn }不收敛，则称{zn }发散.
2)复数列收敛的条件
定理 复数列{zn} (n 1,2, )收敛于z0 的充要条件是
lim
n
xn
x0 ,
lim
n
yn
y0 .
该定理说明: 可将复数列的敛散性转化为判别两 个实数列的敛散性.
例1 下列数列是否收敛, 如果收敛, 求出其极限.
(1)
zn
(1
1
)e
i
n
n
;
(2) zn ncos in .
解
(1) 因为
zn
(1
1
)e
i
s n
n
i sin
), n
所以
xn
(1
1 )cos n
π n
,
yn
(1
1 )sin
nn
.
而
lim
n
xn
1
,
lim
n
yn
0.
数列收敛,
且
lim
n
zn
1
.
(2)
由于
zn
n cos in
lim 8 0 n n 1
复数项级数
(an a) i(bn b) an a bn b ,
所以
lim
n
n
.
[证毕]
该定理说明: 可将复数列的敛散性转化为判别两
个实数列的敛散性.
课堂练习:
下列数列是否收敛? 如果收敛, 求出其极限.
(1)
zn
1 1
ni ni
;
(3)
zn
1
e
ni 2
.
n
(2)
zn
(1)n
n
i
; 1
收敛.
所以原级 数发散.
(2)级数
1 n2
n1
(1
i) n
是否收敛？
因为
an
n1
1 n2
n1
收敛;
所以原级
1
bn
n1
n1
n3
收敛 .
数收敛.
定理4.2 (Cauchy准则)复级数(4.1)收敛的充要 条件为:对任给ε>0,存在正整数N(ε),当n>N且p为 任何正整数时
|n+1+ n+2+…+ n+p|<ε.
23
23
n1 n
n1
n
因为级数 1 发散, 虽 (1)n 1收敛,
n1 n
n1
n
原级数仍发散.
例3 级数 (8i)n 是否绝对收敛？
n1 n! 解 因为 (8i)n 8n ,
n! n!
所以由正项级数的比值判别法知:
8n 收敛,
n1 n! 故原级数收敛, 且为绝对收敛.
例4
级数
[(1)n n1 n
4.1.2复数项级数
1.定义 设{n } {an ibn } (n 1, 2, )为一复数列,
4.1复数项数列、复数项级数
级数收敛的必要条件
n =1
n =1
定理3：级数 n = (an + ibn ) 收敛的必要条件是
lim n = lim ( an + ibn ) = 0.
n →
n →
证明：由定理2及实数项级数收敛的必要条件可知
级数
n =1
n
收敛，则 级数
a
n =1
n
和 bn 都收敛；
n =1
n =1
n =1
n =1
所以当 an 与 bn 绝对收敛时， n 也绝对收敛.
2
同时有 an n ，bn n ，所以当 n 绝对收敛时，
a
n =1
n
n =1
与 bn 也绝对收敛.
推论：
n =1
n =1
n
n =1
n =1
绝对收敛的充要条件是级数 an 与 bn 也绝对收敛.
复变函数与积分变换
第一节 复数项级数
一、复数项数列
二、复数项级数
一、复数项数列
定义1: 设 n = 1,2,∙∙∙ 为一复数列，其中 = + , 又设
= +为一确定的复数.如果对于任意给定的 > 0，相应地总
能找到一个正数 , 使得当 > 时，不等式 − <
→∞
当n > 时，有 n − α < ，即 (n + ) − ( + ) < 成立，
从而有
所以
n − ≤ (n −) + ( − ) < ，
4-1复数项级数与幂级数
• 称为这级数的部分和.
21
如果对于D内的某一点z0, 极限
lim
n
sn
(
z0
)
s(z0
)
存在, 则称复变函数项级数(4.2.1)在z0收敛, 而 s(z0)称为它的和. 如果级数在D内处处收敛, 则 它的和一定是z的一个函数s(z):
s(z)=f1(z)+f2(z)+...+fn(z)+...
s(z)称为级数
3
课堂练习:
下列数列是否收敛? 如果收敛, 求出其极限.
(1)
zn
1 1
ni ni
;
收敛到-1
(2)
zn
(1)n
n
i
; 1
不收敛
(3)
zn
1
e
ni 2
.
n
收敛到0
4
二、级数的概念
1.定义 设{n} {an ibn} (n 1,2, )为一复数列,
表达式
n 1 2 n
n1
称为复数项无穷级数.
n n
但 1 i2n1 1 (1)n i
n1 n
n1
n
(1 1 1 ) i(1 1 1 ) 1 i (1)n 1
23
23
n1 n
n1
n
因为级数 1 发散, 虽 (1)n 1收敛,
n1 n
n1
n
原级数仍发散.
18
例2 级数 (8i)n 是否绝对收敛？
n1 n 所以原级数非绝对收敛.
20
四. 幂级数
1. 幂级数的概念 设{fn(z)}(n=1,2,...)为一复变函数序 列,其中各项在区域D内有定义.表达式
21
如果对于D内的某一点z0, 极限
lim
n
sn
(
z0
)
s(z0
)
存在, 则称复变函数项级数(4.2.1)在z0收敛, 而 s(z0)称为它的和. 如果级数在D内处处收敛, 则 它的和一定是z的一个函数s(z):
s(z)=f1(z)+f2(z)+...+fn(z)+...
s(z)称为级数
3
课堂练习:
下列数列是否收敛? 如果收敛, 求出其极限.
(1)
zn
1 1
ni ni
;
收敛到-1
(2)
zn
(1)n
n
i
; 1
不收敛
(3)
zn
1
e
ni 2
.
n
收敛到0
4
二、级数的概念
1.定义 设{n} {an ibn} (n 1,2, )为一复数列,
表达式
n 1 2 n
n1
称为复数项无穷级数.
n n
但 1 i2n1 1 (1)n i
n1 n
n1
n
(1 1 1 ) i(1 1 1 ) 1 i (1)n 1
23
23
n1 n
n1
n
因为级数 1 发散, 虽 (1)n 1收敛,
n1 n
n1
n
原级数仍发散.
18
例2 级数 (8i)n 是否绝对收敛？
n1 n 所以原级数非绝对收敛.
20
四. 幂级数
1. 幂级数的概念 设{fn(z)}(n=1,2,...)为一复变函数序 列,其中各项在区域D内有定义.表达式
《复数项级数》课件
1
局部调和公式
学会使用局部调和公式计算级数的极限。
2
狄利克雷补全和
掌握狄利克雷补全和的定义和性质，了解其与黎曼-黎博希茨定理的关系。
3
测度为零的级数
学习测度为零的级数定义，理解测度为零的意义及其应用概念。
总结与展望
结论总结
逐步总结本次课程所涉及的知识点，强化学生对知 识的记忆并强化知识点之间的联系。
《复数项级数》PPT课件
本课件将介绍复数项级数的基础概念，收敛性判别法和多项级数的应用。让 我们开始我们的数学之旅吧！
什么是复数项级数
定义
复数项级数是具有形如 a_1±ia_2±...±ia_n±...的无穷加法运 算的级数，其中n为正整数， a_n∈R。
收敛级数与发散级数
若级数的部分和随着n趋近于无穷 大而趋向于某一有限数，则称该级 数收敛；否则称之为发散。
未来展望
展望未来，介绍额外的信息和知识，展开人们对复 数项级数的深入思考。
绝对收敛性
通过学习绝对收敛性判别法，判别级数绝对收敛的 充分条件。
多项级数的应用
容斥原理与级数
学习如何运用容斥原Байду номын сангаас和级数解决 实际问题，并能灵活运用。
多项级数求和
掌握多项级数求和的基本方法，学 会灵活使用，解决具体问题。
数列的极限概念
了解数列极限的概念及其性质，运 用数列的极限判定数列的收敛性。
复数项级数的应用
重要概念
掌握重要概念如N次偏和、常数项 级数和振荡级数。能够理解其定义 和相关性质。
收敛性判别法
无理数型级数
通过无理数型级数掌握级数的收敛性概念和性质。
比较判别法
能够理解比较判别法的定义，通过学习该方法判别 级数的收敛性。
复数项级数
有用公式：
(n 1) 2 i dz l包含a。 l ( z a) n 0 (n 1的整数)
复变函数论
第三章 幂级数展开
复习：级数的敛散性
复习：级数的敛散性
第三章 幂级数展开
• 目的要求：掌握泰勒级数及罗朗级数的展开方法 • 重点难点：重点介绍幂级数的性质、幂级数收敛半径的求法，泰勒级数展开
| w( z ) Sn (z)|< 成立，Sn (z)＝ wk ( z )
k 1 n
表示：rn(z)=w( z ) Sn (z)余和， lim rn(z)＝0
n
若N与z无关，则称 wk ( z )在D上一致收敛于w( z )。
k 1
复变项级数收敛的判断： 1.若在区域D或曲线l上每一点上述级数都收敛，则称级数收敛于区域D或曲线l.
法、罗朗级数展开法。难点在于罗朗级数展开，孤立奇点类型判断。 第一节 复数项级数 1．复常数项级数 2．复常数项级数收敛的判断（柯西收敛判据）。 3．复变函数项级数及收敛的判断 第二节 幂级数 1．幂级数定义 2．幂级数敛散性判别法 3．收敛圆与收敛半径定义及求解 第三节 泰勒级数 1．泰勒级数展开定理 2．泰勒级数展开举例 第四节 解析延拓* 第五节 罗朗级数展开 1．罗朗级数展开定理 2．罗朗级数展开举例 第六节 孤立奇点的分类 1．可去奇点 2．极点 3．本性奇点 4．无限远点
k 1
称 mk 为 wk的强级数。
k 1 k 1
n p
3.有关一致收敛的三个性质。 (1)若在D上一致收敛的复变项级数的每一项都是D上的连续函数，则级数的 和也是D上的连续函数。 在一致收敛时，极限运算与无限求和运算可以交换次序
复变函数级数第1,2节 复数项级数
n 1
定理2： n s
an Re(s), bn Im(s)
n1
n1
n1
2. 复数项级数的性质
(1)
n
收敛
lim
n
n
0
(级数收敛的必要条件)
n 1
证: n 收敛 n 1
an , bn 都收敛。
n 1
n 1
lim
n
an
lim
n
bn
0
lim
n
n
0
(2)
n 和 n 都收敛 (n n ) n n
级数
第一节 复数项级数 复数列的极限 复级数的概念 复级数的性质
一. 复数列的极限
设 n (n 1,2,) 为一复数列，其中 n an ibn .
a ib
lim
n
n
a
ib
0, N N( ) 0,使得当n N时，
n .
Th1
lim
n
an
a,
lim
n
bn
b
注: 1) n | n || |
n0
在a处的幂级数
cn z n c0 c1z c2 z 2 cn z n
n0
在0处的幂级数
幂级数的收敛定理（Abel定理）
如果级数 cn z n 在 z =z0(不等于零)收敛，那么对满足
n0
|z|<|z0|的z，级数必绝对收敛。
如果级数 cn z n 在 z =z1(不等于零)发散，那么对满足 n0 |z|>|z1|的z，级数必发散。
(2)
n0
ln(in)
(3) cos 1 (z 1)n
n0
n
例2. 求幂级数
02-4.1复数项数列、复数项级数教学课件
分别为 an 和 bn 的部分和. Sn 收敛的充要条件是 n，n
n=1
n=1
收敛，即级数 an 和 bn 都收敛.
n=1
n=1
复数项级数与实数项级数收敛的关系
定理2: 级数 n = (an + ibn ) 收敛的充要条件是级数 an 和
n
=
( lim
n→
an
+
ibn
)
=
0.
证明：由定理2及实数项级数收敛的必要条件可知
级数 n 收敛，则 级数 an 和 bn 都收敛；
n=1
n=1
n=1
lim
n→
an
=
0,
lim
n→
bn
= 0,
从而
lim
n→
n
= 0.
结论：lim n→
n
0
n
n=1
发散.
n=1
n=1
n=1
n=1
证明：因 Sn = 1 + 2 + + n
= (a1 + a2 + + an ) + i(b1 + b2 + + bn ) = n + i n
其中 n = a1 + a2 + + an， n = b1 + b2 + + bn
证明：反之，如果 lim
������→∞
������n
=������，
lim
复变函数第四章级数
n0
an 1 an
z n的收敛半径 :
an R lim 1 an
n
a n1
1 an1
lim
n
a(1
a
n
)
1 a
1.
1 an1
22
4、 幂级数的运算和性质
定理三 (1) 幂级数
f (z) cn (z a)n
(4.3)
n0
的和函数f(z)在其收敛圆K:|z-a|<R(0<R≤+∞)内解析.
f z cn z z0 n ,
D
n0
成 立 ， 其 中cn
1 n!
f
nz0 , n
0,1, 2，,
d
• z0
并 且 展 开 式 唯 一. （证略）
31
注
⑴
f z cn z z0 n
n0
n0
f
n z0
n!
z
z0
n
=
f
z0 +
f z0 z - z0 +
f
z0
2!
z
-
z0
2
+
n
z a 收敛
z1 a
cn(z a)n 在圆K内绝对收敛. n0
推论： 若幂级数(4.3)在某点z2(≠a)发散,则它在以a为圆 心并且通过点z2的圆周外部发散.
z1 z2
a
2.收敛圆与收敛半径
z1
y
z.2
.
R
o
收敛圆 收敛半径
x 收敛圆周
幂级数 cnzn的收敛范围是以a点为中心的圆域.
常用的展开式：
ez 1 z z2 z3 zn
2! 3!
an 1 an
z n的收敛半径 :
an R lim 1 an
n
a n1
1 an1
lim
n
a(1
a
n
)
1 a
1.
1 an1
22
4、 幂级数的运算和性质
定理三 (1) 幂级数
f (z) cn (z a)n
(4.3)
n0
的和函数f(z)在其收敛圆K:|z-a|<R(0<R≤+∞)内解析.
f z cn z z0 n ,
D
n0
成 立 ， 其 中cn
1 n!
f
nz0 , n
0,1, 2，,
d
• z0
并 且 展 开 式 唯 一. （证略）
31
注
⑴
f z cn z z0 n
n0
n0
f
n z0
n!
z
z0
n
=
f
z0 +
f z0 z - z0 +
f
z0
2!
z
-
z0
2
+
n
z a 收敛
z1 a
cn(z a)n 在圆K内绝对收敛. n0
推论： 若幂级数(4.3)在某点z2(≠a)发散,则它在以a为圆 心并且通过点z2的圆周外部发散.
z1 z2
a
2.收敛圆与收敛半径
z1
y
z.2
.
R
o
收敛圆 收敛半径
x 收敛圆周
幂级数 cnzn的收敛范围是以a点为中心的圆域.
常用的展开式：
ez 1 z z2 z3 zn
2! 3!
1-2 复数项级数 幂级数
∞
n
zn 例3 讨论 的敛散性。 ∑ n!的敛散性。 n=0 n ∞ ∞ z rn 解 令z = r, ∑ = ∑ = er ! n=0 n! n=0 n
zn ∴∑ 在复平面上处处绝对收 。 敛 ! n=0 n
∞
∞
1 iπ 练习： 练习： 讨论 1+ e n的敛散性。 ∑ n 的敛散性。 n=0
n
---级数的部分和 级数的部分和 ∃ 若∀z0 ∈ D lim sn ( z0 ) = s( z0 ), 称级数(1)在z0收敛,
n→ ∞
k =1
lim 不存在， 其和为s( z0 ), sn ( z0 )不存在，称级数(1)发散,
n→ ∞
若级数(1)在 内处处收敛 其和为z的函数 内处处收敛， 若级数 在D内处处收敛，其和为 的函数 级数(1)的和函数 级数 s( z ) = f1 ( z ) + f 2 ( z ) + ⋯ + f n ( z )＋⋯ ---级数 的和函数 特殊情况，在级数 中 特殊情况，在级数(1)中 f n ( z ) = cn ( z − z0 ) n 得
∞
π
cos in en + e−n 的敛散性。 讨论 ∑ 2n 的敛散性。 cos in = 2 n=0
∞
§4.2 幂级数
1. 幂级数的概念 2. 收敛定理 3. 收敛圆与收敛半径 4. 收敛半径的求法 5. 幂级数的运算和性质
1. 幂级数的概念
定义 设复变函数列： 设复变函数列： f n ( z )} z ∈ D, n = 1,2,⋯ {
∑
∞
n =1
f n ( z ) = f 1 ( z ) + f 2 ( z ) + ⋯ + f n ( z ) + ⋯ (1)
复变函数第10讲
（ 注 ： 此 时 收 敛 圆 盘 在 z i 点 ， 即 z i 3 ）
5) enizn,
i
cn en 1,R1
练习：求下列幂级数的 收敛半径：
1) (cosin） zn 2) ch( i )zn
n
4. 幂级数运算和性质 幂级数的加、减、乘法运算规则：
anzn bnzn (an bn)zn
定 理 设 幂 级 数 s (z )c n z n 的 收 敛 半 径 为 R ， 则 n 0
1 )s (z ) 在 收 敛 圆 |z | R 内 解 析 ;
2）s(z)在收敛内可逐项求导，即
s(z) (cnzn) cnnzn1
n0
n1
3) s(z)在收敛圆盘内可逐项积分即0 zs (z ) d z 0 z(n 0 c n z n ) d n z 0 c n0 zz n d n z 0 n c n 1 z n 1
出发往右移动，首先进入的是收敛点区，然后会遇 到发散点。收敛点集与发散点集有唯一的分界点， 记为R，则
当 z R 时 , 级 数 收 敛 且 绝 对 收 敛 ；
当 zR时 , 级 数 发 散 。
综上所述，便得如下结论：幂级数的收敛范围是以原 点为中心的圆域。幂级数在圆内收敛，在圆外发散。此 圆称为收敛圆，圆的半径R称为幂级数的收敛半径。在圆 周上是收敛还是发散不能作出一般的结论，要具体问题 具体分析。
注：性质2）和3）为用间接法将函数展开成幂级 数提供了极大的方便。
2）若 z0为发散点，则对 z，任只意要 z 点 z0
级数皆发散。
。z0收敛点
。z0发散点
证明：1） 设 z 0 为 收 敛 点 ， 则 当 z z 0， 有
cnzn
第四章 第一节 复级数的基本性质
∴ ∑ an与∑ bn绝对收敛时, ∑ α n也绝对收敛.
n =1 n =1 n =1
∞
∞
∞
综上: 综上
∑α n绝对收敛 ⇔ ∑ an与∑ bn绝对收敛 .
n =1 n =1 n =1
∞
∞
∞
③ 定理4.3 (1) 绝对收敛级数的各项可以任意重 排改序,而不改变其绝对收敛性,也不改变其和.
′ (2) 两个绝对收敛的级数S = ∑ α n , S ′ = ∑ α n
上连续且一致收敛于f ( z ), 则f ( z )在E上连续. n 证明思路 令S n ( z ) = ∑ f k ( z ),则每一项S n ( z )在E上
连续且 {S n ( z )} 在E上一致收敛于f ( z ). 任取z0 ∈ E
f ( z ) − f ( z0 ) = f ( z ) − S N ( z ) + S N ( z ) − S N ( z0 ) + S N ( z0 ) − f ( z0 ),
k =1
∫
≤ ε ∫ 1dz ≤ ε L ( L为C的长).
C
C
S n ( z )dz − ∫ f ( z )dz ≤ ∫ S n ( z ) − f ( z ) dz
C C
6.内闭一致收敛：
定义4.5 设函数序列{ f n ( z )}( n = 1,2,...)定义于 区域D内,若级数
∑f
n =1
n
n= 0
2
n-1
所以当 z < 1 时级数收敛 .
∞ ∞
② 复数项级数与实数项级数的关系 定理4.1 级数∑ α n = ∑ (an + ibn )收敛于S = a + bi的 定理
第三章第一节复数项级数
(二) 复变项级数(函数项级数)
1. 复变项级数定义
w z w z w z ... w z ...,3.1.6
k 1 k 1 2 k
它的各项是z 的函数。
2.复变项级数收敛
如果在某个区域B(或某根曲线 l )上所有的点，级数(3.1.6)都收敛， 就叫做在B(或l )上收敛。
k 1 k 1 2 k
如果对于某个区域B (或某根曲线 l )所有的点z，复变项级数
(3.1.6)的各项的模
wk z mk ,
而正的常数项级数
m ,
k 1 k
收敛，则复变项级数在区域B (或曲线 l )上绝对且一致收敛。
k
w1 w2 ... wk ...,3.1.1
级数中每一项都可分为实部和虚部
wk uk ivk
即一个复数项级数可以用两个实数项级数来表示。
这样，实数项级数的许多性质都可以用到复数项级数中。
2. 复数项级数收敛的柯西判据
，必有N存在，使得n>N时，
n p k n 1
第三章
§3.1 复数项级数
§3.2 幂级数
§3.3 解析函数的Taylor展开 §3.4 解析延拓
§3.5 洛朗级数展开
§3.6 孤立奇点的分类
§3.1 复数项级数
本节主要内容： 复数(复变)项级数定义
级数收敛的判据
收敛级数的一些性质
(一) 复数项级数
1.复数项级数定义
w
k 1
w z w z w z ... w z ...,3.1.6
k 1 k 1 2 k
3.复变项级数收敛的柯西判据及一致收敛 复变项级数(3.1.6) 在某个区域B(或某根曲线 l )上收敛的充分必
1 复数项级数
又 | xn |
2 2 2 2 x n yn , | yn | x n yn ,
根据正项级数的比较法可得， | xn | 和 | yn | 均收敛，
x n 和 yn 均收敛， z n 收敛。
1 e, 解 由于 | zn | n 0 n 0 n!
第四章 解析函数的级数表示
§4.1 复数项级数 §4.2 复变函数项级数 §4.3 泰勒级数 §4.4 洛朗级数
§4.1 复数项级数
一、复数序列 二、复数项级数
一、复数序列
1. 基本概念 定义 设 z n 为复数，称 { zn }n1 , 2 2 , 为一复数序列，又设 a 为一确定的复数， 如果对任意给定的 e > 0，相应地存在自然数 N， 使得
故序列 { | zn | } 收敛。
注 (1) 序列 { | zn | } 收敛 (2) lim | z n | 0
n
序列 { z n } 收敛；
n
lim zn 0 .
10000 n n i , 讨论序列 { zn } 的收敛性。 例 设 zn n! 10000 n 解 lim | z n | lim 0, n n n!
| x n - | | z n - a | e , | yn - | | z n - a | e ,
lim yn , lim yn .
n n
一、复数序列
2. 复数序列极限存在的充要条件 定理 设 zn xn i yn , a i , 则 lim z n a 的充要条件是
1 1 1 xn - - 收敛， (莱布尼兹型的交错级数) 2 4 6 n 1 1 1 1 yn 1 - - 收敛， 故级数 zn 收敛。 3 5 7 n 1
4.1级数的基本性质
由于当 z 1时,
lim
n
sn
lim 1 zn n 1 z
1 1
z
,
所以当 z 1时级数收敛.
复数项级数收敛的等价条件
设S a ib为复数.
复数项级数 zn收敛于S n1
an a, bn b .
n1
n1
复数项级数收敛的必要条件
复数项级数 zn收敛于S的必要条件为 n1
lim
则称{zn}收敛于z0，记作
lim
n
zn
z0.
如果序列{zn}不收敛,则称{zn}发散,或称{zn}为发散序列.
复数序列收敛的等价条件
设z0 a ib为复数. 复数列 {zn} (n 1, 2, ) 收敛于 z0
lim
n
an
a,
lim
n
bn
b.
即 序列 {zn} 收敛于 z0 的充要条件是{an}收敛于a 与{bn}收敛于b.
n1 n!
解
因为
(8i)n 8n ,
n! n!
所以由正项级数的比式判别法知:
8n 收敛,
n1 n! 故原级数收敛, 且为绝对收敛.
例7
级数
[(1)n n1 n
1 2n
i]是否绝对收敛？
解 因为 (1)n 收敛; n1 n
n1
1 2n
也收敛,
故原级数收敛.
但 (1)n 为条件收敛,
n
fn(z) S(z) ,
k 1
或
fn(z) f (z) ,
则称复函数级数 fn (z),或复序列{ fn (z)}在E上 n1
一致收敛于S(z)或f (z).
定义4.1.1 如果 0, N N ,当n N, z E时,
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2、如果级数 zk收敛，则
k 1
lim n
zn
lim(
n
Sn1
Sn )
0
3、关于实数项级数的一些基本结果，可以不加 改变地推广到复数项级数，例如柯西收敛原理：
柯西收敛原理（复数项级数）：
级数 zk收敛的充分必要条件是：任意给定 k 1
0，可以找到一个正整数N，使得当n N时， | zn1 zn2 ... zn p | ( p 1, 2,L )
如果任意给定 0，存在自然数N，使得
当n N时，总有 zn z0 成立，则称复数
序列zn收敛于复数z0，或称zn以z0为极限，
记作
lim n
zn
z0
或
zn z0 (n )
如果序列{zn}不收敛，则称{zn}发散，或者说它 是发散序列。
因为 | xn x0 || zn z0 || xn x0 | | yn y0 |，且 | yn y0 || zn z0 || xn x0 | | yn y0 | .
n1
也绝对收敛，并且它的和为 '".
例2、判别下列级数的收敛性
(1)
n1
(1 n
i 2n
) (2)
n1
in n
(3)
n1
in n2
yn
y0
复数序列{zn}收敛（于z0）的充分必要条件是复数 列实部构成的序列{xn}收敛（于x0）并且虚部构成 的序列{yn}收敛（于y0）
注：
1、复数列{zn}收敛于z0的几何意义为： 任给z0的一个邻域，可相应地找到一个正整数N， 使得当n>N时，{zn}全部落入该邻域
2、可以证明，两个收敛复数列的和、差、积、 商仍收敛，并且其极限是相应极限的和、差、 积、商
定理4.3 级数 zk收敛的必要条件是
k 1
lim n
zn
lim(
n
xn
iyn )
0.
定理4.4 如果级数 zk 收敛，则 zk收敛.
k 1
k 1
如果由级数 zk的各项取模形成的级数 zk
k 1
k 1
是收敛的，则称原级数是绝对收敛的.
绝对收敛的级数本身一定是收敛的；
二、复数项级数
1、概念
设{zn}(n 1, 2,L )为一复数列，表达式
zk z1 z2 L zn L
k 1
称为复数项无穷级数.
Sn z1 z2 ... zn称为上述复数项级数的 部分和.
2、级数的收敛与发散
若部分和序列{Sn
}有极限
lim
n
Sn
第四章 解析函数的 级数表示
➢理解复数项级数、复变函数项级 数等概念
➢掌握简单幂级数 ➢掌握将解析函数展成泰勒级数、
洛朗级数
第一节 复数项级数
❖正确理解级数收敛、发散与绝 对收敛等概念
❖了解无穷级数收敛的充要条件
一、复数序列的极限
1、复数序列
z1 a1 ib1, z2 a2 ib2,..., zn an ibn ,...
S (有限复数)，
则称级数 zk是收敛的，S称为级数的和； k 1
若{Sn}没有极限，则称该级数是发散的.
级数 zk收敛于S的 N定义叙述为： 0， k 1
n
N 0，使得当n N时，有 | zk S | k 1
例1、当 z 1时，判断级数 1 z z2 L zn L 的敛散性.
柯西收敛准则(复数序列)： 复数列{zn}收敛的充分必要条件是，任意
给定 0，可以找到一个正整数N，使得当 m及n均大于N时，成立 | zn zm |
4、如果复数项级数 zn '
及
z
" n
绝对收敛
并且它们的和分别为 ',",
那么级数（它们的柯西积）
(z1' zn" z2' zn"1 ... zn' z1")
易证，lim n
zn
z0等价于下列两极限式：
lim
n
xn
x0
,
lim n
yn
y0
定理4.1 设z0 x0 iy0，zn xn iyn
(n
1, 2,L
)，则 lim n
zn
z0的充分必要条件
是：
lim n
xn
x0
,
lim n
反之，若 zk收敛， zk 却不一定收敛；
k 1
k 1
称 zk收敛而 zk 不收敛的级数 zk是
k 1
k 1
k 1
条件收敛的.
注：
1、对于一个复数列{zn}，可以作一个复数项 级数z1 (z2 z1) (z3 z 2 ) L (zn zn1) L ， 则复数序列的敛散性与该级数的敛散性一致.
Sn
1 lim( n 1
z
zn ) 1 z
1 1 z
.
即，级数收敛，且和为 1 1 z
3、级数收敛的各类条件
定理4.2 级数 zk收敛的充分必要条件是 k 1
级数 xk和 yk都收敛.
k 1
k 1
复数项级数的收敛与发散问题可转化为实数项 级数的收敛与发散问题
解：
做部分和序列Sn 1 z L zn1,
则Sn
1 zn
1 z
1 1 z
zn .
1
由于 z 1，所以lim z n 0，因而 n
lim
zn
zn lim 0.
n 1 z n 1 z
于是 lim zn 0， n 1 z
所以 lim n
其中，zn 是复数， Re zn an, Im zn bn,
一般简单记为{zn} 按照{zn}是有界或无界序列，我们也称{zn} 为有界或无界序列。
2、复数序列的极限
设{zn}(n 1, 2,L )为一复数列(zn xn iyn ). 又设z0 x0 iy0为一确定的复数.