z变换的收敛域
(完整版)z变换的定义与收敛域.
1 0
0 k N 1
其它
RN [k]
N 1
X (z)
k 0
z k
1 1
zN z 1
z 0
2)右边序列
X (z) x[k]zk
k N1
z R
例：x[k] aku[k]
X (z)
k 0
ak zk
1 1 az1
za
H (z)
b0 a0
b1z1 a1z1
bM zM aN zN
b) z的有理函数表示
H (z)
z(NM )
b0 z M a0 z N
b1zM 1 a1z N1
bM aN
c)零点、极点和增益常数表示
H (z) kz(NM ) (z z(1))( z z(2) (z z(M )) (z p(1))( z p(2)) (z p(N ))
3)左边序列
N2
X (z) x[k]zk
k
z < R
例：x[k] bku[k 1]
1
X (z) bk zk bk zk
k
k 1
1 bk z k k 0
1 1 1 1 b1z 1 bz 1
z变换与离散时间傅里叶变换(DTFT)
a
b Re[z]
0 c
j Im[z]
a 0
b Re[z] c
j Im[z]
a
b 0
Re[z] c
§2.2 z反变换
z反变换: 从X(z)中还原出原序列x(n)
x(n) IZT[X (z)]
X (z) ZT [x(n)] x(n)zn
实质：求X(z)幂级数展开式
n
z反变换的求解方法：
一、ZT的定义
X (z) x(n)z n n
x(n) X (z), z : (1, 2)
z 是复变量，所在的复平面称为z平面
二、ZT的收敛域
对于任意给定序列x(n)，使其z变换X(z)收敛的所有z值的集合称为X(z)的收 敛域。
级数收敛的充要条件是满足绝对可和
x(n)zn M
n
a 1 z 1 a1z
1 1 az1
Roc : z a
a Re[z]
0
零点：z 0 极点：z a
例5：求x(n)=a|n|，a为实数，求ZT及其收敛域
1
解：X(z)= x(n)zn = a n zn = anzn anzn
n
n
n
n0
= an zn an zn
n 1
n0
anzn
1
当 az1 1时
j Im[z]
第六节 Z 变 换
z 1
解：
F ( z) 2 6 8 13 2 z z z z 1 z 0.5
k
f (k ) 2 k 1 6 k (8 130.5 ) k
Ex. 2 1. F z 1 ; 1 2
z 1 f1 k ?
z
z 2. a x n X a
n
ROC : aR
1. e
j0 n
xn X e
j0
z
该式的左边理解为复指数序列的调制。 该式的右边理解为z平面的旋转。
z 2. a xn X a
n
当a为复数时，x(z)的零、极点不但 旋转了角度，模也发生了尺度变换。
2
z z cos0 cosk0 k 2 2 z 2 z cos0
2 k
四、Ｚ域微分（序列线性加权）：
If then
x ( n ) X(z )
ROC : R
dX ( z ) nxn z dz ROC : R
Ex. 求反Z变换：
X ( z) ln 1 az1
3 2
K=1时，0、1、0.5为一阶极点。
z 2z 1 f (1) Re s[ ] z zm z ( z 1)(z 0.5) m
3 2
8 6.5 2 3.5
求以下序列的z变换
习题五 Z 变换
1． 求以下序列的z 变换，并画出零极点图和收敛域。
n
n
n n n
n n z a z a -==∑∑+=0
1)
)(1
()1()
1)(1(1111212a z a
z a z a az az a z
a az az ---=
---=
-+-=-)
(21)()
2(n u n x n
⎪⎭
⎫
⎝⎛=)
1(21)()
3(--⎪⎫
⎛-=n u n x n
)1(,1
)()
4(≥=n n x )5()
6()1||()()
1(<=a a
n x n
∞
====<<<
z a z a
z a z a az ,0 1
, 1
1,1 零点为：极点为：即：且
收敛域：
解：(2) 由z 变换的定义可知：
n n
-∞
1(
∑∞
=-=
1
2n n n z z
z
212--=
12
111
--=
z 2
1 1
2 <
(
0 2
1
==z z 零点为：极点为：
解： (4) ∑
-⋅∞
==11)(n n
z n
z X
∞--∙
∙1
1)(n z dX 11n ∞
--
解：因此，收敛域为 ：1>z
∞
==-====-z z z z e z e z j j ,0,1,1 , 00零点为：（极点为二阶）极点为：ωω
解：(6)
)1(,1
)()4(≥=
n n
n x 1
0),()cos()()6(0<<+=r n u n Ar n x n φω
1
,cos 21)cos(cos cos 21sin sin cos 21cos 1cos )( )()sin(sin )()cos(cos )
(]sin )sin(cos )[(cos( )
()cos()( 2
01
012
010
根据定义求以下序列的单边z变换及其收敛域
k
∑ (7) f7[k] = f [k − i]
i=0
解： Z{ f [k]} =
F(z)
=
z (1 + z 2 )2
,
z
>1
(2)
f 2 [k ]
=
(1)k 2
f [k]
(4) f4[k] = kf [k]
k
∑ (6) f6[k] = f [i] i=0 k
∑ (8) f8[k] = f [k − i] i =1
F5 (z)
=
F4 (z) − 2F (z)
=
3z3 − z (1 + z 2 )3
−
2z (1 + z 2 )2
2
2
2
1
−
z
−1
cos
Ω
0k
+
1 4
z
−2
z >1 2
２． 根据单边 ｚ 变换的位移性质，求以下序列的 ｚ 变换及其收敛域。
(1)δ [k − N ]
(2) u[k − N ]
(3) ∇2u[k]
(4) a k−N u[k − N ]
(5) a k−N u[k ]
(6) a k u[k − N ]
2
k
∑ (5)
bi
i=0
解：(1)
Z
x[n]绝对可和与z变换收敛域的关系
![x[n]绝对可和与z变换收敛域的关系](https://img.taocdn.com/s3/m/72c4064df68a6529647d27284b73f242336c31d4.png)
x[n]绝对可和与z变换收敛域的关系
随着数学和工程学科的发展，我们对信号与系统的分析和处理变得日益重要。其中，z变换是一种重要的工具，用于描述离散时间系统的性质和行为。在离散时间信号处理中，我们经常需要研究离散序列的绝对可和性质，而这与z变换的收敛域密切相关。
接下来，我们将就x[n]绝对可和与z变换收敛域的关系展开讨论，以帮助读者更深入理解这一重要的概念。
1. x[n]绝对可和的定义
在离散时间信号处理中，绝对可和性质是指一个序列的绝对值的和是有限的。如果存在一个实数M，使得∑|x[n]|≤M，那么序列x[n]就是绝对可和的。
2. z变换的基本概念
z变换是一种重要的数学工具，用于描述离散时间系统的行为。对于离散序列x[n]，其z变换定义为X(z)=∑x[n]z^(-n)，其中z是一个复变量。z变换在信号处理、控制系统和数字滤波等领域有着广泛的应用。
3. x[n]绝对可和与z变换收敛域的关系
在研究x[n]绝对可和与z变换收敛域的关系时，我们需要注意以下几点：
3.1 x[n]绝对可和的充分条件
对于离散序列x[n]，其绝对可和的充分条件是|x[n]|绝对可和。如果一
个序列的绝对值序列是绝对可和的，那么该序列本身也是绝对可和的。
3.2 z变换的收敛域
对于z变换X(z)=∑x[n]z^(-n)，其收敛域是指z平面上的一块区域，
使得X(z)在该区域内绝对可和。z变换的收敛域与序列x[n]的绝对可和性质密切相关。
3.3 x[n]绝对可和与z变换收敛域的关系
根据z变换的定义和收敛域的概念，我们可以得出以下结论：当x[n]
z变换的收敛域
z变换的收敛域
z变换的收敛域是指在哪些复平面上的z值，使得z变换的级数或积分收敛。z变换的收敛域通常按照其包含在复平面第一象限
（Re(z)>0,Im(z)>0）还是全平面（包括虚轴）来分类，分别称为单边收敛和双边收敛。
对于时域信号x(n)的z变换X(z)，其收敛域的判断方法为：
1.通过分析x(n)的极限，确定z变换的极点和零点，并求出其可能的收敛域。
2.通过柯西收敛原理，判断z变换的收敛域。
3.对于一些标准的信号，比如因果序列、双边指数信号等，可以直接列出其z变换并判断收敛域。
在工程应用中，通常只需关注z变换的最小收敛域，即最小包含其所有极点的收敛域。最小收敛域也称为“ROC”，表示因果性和稳定性的限制条件。
第二章Z变换
6
２、右边序列
右边序列只有在n≥n1时，序列值不全为零，其它 n值时，序列值全为零，即
其Ｚ变换为
x(n)0x(n)
nn1 nn1
1
X (z) x(n )z n x(n )z n x(n )z n
n n 1
n n 1
n 0
有限长序列，其收
是Z的负幂级数，
敛域为有限Z平面
其收敛域为RX-
4 3
A2
(
z
0 .5)
X
(z) z z 0 .5
z
z
2
z 0 .5
1 3
15
X (z) 4 1 1 1 z 3 z 2 3 z 0.5
X (z) 4 z 1 z 3 z 2 3 z 0.5
因此：
x(n)
4 3
2n－
1 3
(0.5)n
,
0,
x(n)
4 3
收敛域为各个序列z变换的公共收敛域，如果这些 组合中某些零点和极点相互抵消，则收敛域可能扩 大。
20
❖ 例：已知x(n)=cos(ω0n)u(n)，求它的z变换。 解：
Z
[cos(
0
n
)u
(
n
)]＝
Z
e
j
0
n
e j0n 2
u(n)
1 2
数字信号处理DSP第二章1 z变换的定义及收敛域
第二章 z变换
时域分析方法 变换域分析方法：
连续时间信号与系统 Laplace变换 Fourier变换 离散时间信号与系统 z变换 Fourier变换
2019/2/9 数字信号处理
一、z变换的定义及收敛域
1、z变换的定义
序列x(n)的z变换定义为：
n X () z Z T [() x n ] x () n z n
n n 2 1 0
R o c: 0 z
0 n n 1 2
n n 0 0
R o c: 0 z
n n 0 1 2
2019/2/9
n n 0 0
R o c: 0 z
数字信号处理
2）右边序列
当 R R 时 ， R o c : x x 当 R R 时 ， R o cR :x z R x x x
2019/2/9 数字信号处理
R
x
R e[ z ]
R
x
0
例 1 ： 求 x ( n ) R ( n ) 的 z 变 换 及 其 收 敛 域 N
n n 解 ： X ( z ) = x () n z = R () n z N n n
前 式 R o c : 0 zR x
(完整版)数字信号处理简答题
1.举例说明什么是因果序列和逆因果序列，并分别说明它们z 变换的收敛域。答：因果序列定义为（n ）＝0，n<0，例如（n ）＝，其z 变换收x x )(n u a n ⋅敛域：。逆因果序列的定义为(n)=0,n>0。例如（n ）＝
∞≤<-z R x x x ，其z 变换收敛域：()1--n u a n +
<≤x R z 02.用差分方程说明什么是IIR 和FIR 数字滤波器，它们各有什么特性？ 答：
1）冲激响应h （n ）无限长的系统称为IIR 数字滤波器，例如
。
()()()1)(21)(1021-++-+-=n x b n x b n y a n y a n y IIR DF 的主要特性：①冲激响应h （n ）无限长；②具有反馈支路，存在稳定性问题；③系统函数是一个有理分式，具有极点和零点；④一般为非线性相位。
（2）冲激响应有限长的系统称为FIR
DF 。例如
。
()2)1()()(21-+-+=n x b n x b n x n y 其主要特性：①冲激响应有限长；②无反馈支路，不存在稳定性问题；
③系统函数为一个多项式，只存在零点；④具有线性相位。
3.用数学式子说明有限长序列（n ）的z 变换X （z ）与其傅里叶变换X x 的关系，其DFT 系数X （k ）与X （z ）的关系。
)(ωj e 答： （1）（n ）的z 变与傅里叶变换的关系为x ()()
ωωj e Z e X z X j == （2）（n ）的DFT 与其z 变换的关系为x ()
()
K X z X k N
j K N
e
第二章(2)序列的Z变换
n
z
n
za
a
z a
n
当 n 0 时 , 围 线 c内 F ( z )
za
有 一 个 单 阶 极 点 z a,和 一 个
n 阶 极 点 z 0; 围 线 c 没 有 极 点 ， 故 ：
x(n) Re s[ F ( z ), zk ] Re s[ F ( z ), zm ] 0
n 1
x(n) z
n
n
1
x(n) z
n
n0
x(n) z
n
Im(z)
第 一 项 是 左 边 序 列 其 收 敛 域 为 0 z Rx 第 二 项 是 右 边 序 列 其 收 敛 域 为 Rx z 两 个 的 交 集 就 是 的 X ( z )的 收 敛 域 R x z R x 注 ： 若 R x R x ， 则 X ( z ) 不 存 在 。
2.5.3、逆Z变换
一.定义： 已知X(z)及其收敛域, 反过来求序列x(n)的变换称作Z反变换。
记作：x(n) Z [ X ( z )] z变换公式：
正：X ( z ) 反：x(n)
1
n
x ( n) z
n
, Rx z Rx
§5-1 z变换的定义与收敛域
每一个这样的平行带域，均全映射至z平面上一次。 因此，s平面至z平面上的映射是多对一的映射。
《Signals & Systems》
电子技术教研室
《信号与系统》
§5-1 z变换的定义与收敛域
正弦信号采样举例：
f1 ( t ) = sin Ω1t = sin 2π t，每秒一个周期，T1 = 1 秒 f 2 ( t ) = sin Ω 2t = sin 4π t，每秒两个周期，T2 = 0.5 秒 设采样率为 f S = 10 Hz，每秒钟采10个点，TS = 0.1 秒 x ( n ) = f ( nTS ) = sin ( nTS Ω ) sin nω，ω单位是弧度/ 点
j
n = n1
∑
n2
−1
1
Re{ z}
x ( n ) z − n z变换式是有限项之和。
− j
⑴ n1 ≥ 0, n2 > 0
x(n)
⑵ n1 < 0, n2 ≤ 0
x(n)
⑶ n1 < 0, n2 > 0
x(n)
n1
n2
n
n1
n2
n
n1
n2
n
z变换式中各 项z均为负的幂次 方，其收敛域应 该是|z|>0。
n= k
z−k = 1 − z −1
∞
第八章z变换
n0
z e 引入一个新的复变量z
sT
X (z)x (n T )z n 令 T 1 X (z)x (n )z n
n 0
n 0
第二节
Z变换定义、 典型序列的z变换
一、Z变换定义
Z变换定义
序 列 的 Z变 换 ：
设 某 序 列 为 x(n)
则 其 单 边 Z 变 换 X ( z ) = Z x (n ) x (n )z -n n 0 双 边 Z 变 换 X ( z ) = Zx (n ) x (n )z-n n
举例8.2
Resz1znz10.5z0.5(0.5)n
由此写出
x (n ) [2 (0 .5 )n]u (n )
若 z 0 . 5 或 0 . 5 z 1 ,求 其 逆 z 变 换 x n ?
z 0.5时, x ( n ) [ 2 ( 0 .5 ) n ] u ( n 1 ) 0.5z1 时 , x ( n ) 2 u ( n 1 ) ( 0 .5 ) n u ( n )
za
5 单 边 正 弦 序 列 s i n ( n 0 ) u n
Z
1 z 2j z ej0
z z ej0
z2
zsin0 2zcos0
, 1
z 1
典型序列的Z变换
6 单 边 余 弦 序 列 c o s ( n 0 ) u n
§82Z变换的收敛域收敛域的定义
二．两种判定法
1．比值判定法
若有一个正项级数， a n 令
则： <1：收敛 =1：可能收敛也可能发散 >1：发散
n
an1 lim an n
2．根值判定法 即令正项级数的一般项 a n 的n次根的极限等于，
lim
n
n
an
则
<1：收敛 =1：可能收敛也可能发散 >1：发散
m 1 z z 1 1 lim 1 m a m 0 a m
z 1 a
a z X z 1 1 z a z z a 1 a
z 当 a 1时，
n
b nu n 1
1 n b u n 1 z 1 z b z b 1
b1
x n b
n
1
n
若 0 b 1
1 b b
收敛域： b
z
1 b
四．总结
x(n)的收敛域（ROC）为 z 平面以原点为中心 的圆环； 收敛域内不包含任何极点（以极点为边界）； 有限长序列的收敛域为整个 z 平面 （可能除去z = 0 和z = ）； 右边序列的收敛域为 z R1的圆外；
三．常用序列的收敛域情况
1．有限长序列的收敛域
Z变换的定义与收敛域
留数法求Z反变换 留数法求 反变换
1 k 1 x[k ] = ∫c X ( z ) z dz 2πj
l
C为X(z) 的ROC中的一闭合曲线
= ∑ Re s{ X ( z ) z k 1 } z = p
l
1 例：X ( z ) = (1 az 1 ) 2
1 z k 1 1) x[k ] = ∫c (1 az 1 ) 2 dz 2πj
第2章 Z变换
Z变换的定义与收敛域 Z反变换 系统的稳定性和H(z) 系统的稳定性和H(z) 系统函数
z变换定义及收敛域 变换定义及收敛域
X ( z) =
收敛域(ROC): R< |z|<R+ 1)有限长序列
k = ∞
∑
∞
x[k ] z k
X ( z) =
k = N1
∑
N2
x[k ]z
k
ROC
0< z <∞
(1) m! 1 = (m 1)! ( z a) 2+ m 1
m 1
= ma ( m +1) = (k + 1) a k
z =0
k
x[k ] = (k + 1)a u[k 1]
系统的稳定性和H(z) 系统的稳定性和
LTI系统稳定的充要条件：
∑ k = ∞
∞
2第二章-z变换
h[k ] 2 k 1 u[k ] 3k 1 u[k 1] 性质4和5
3) |z|<2 稳定，非因果
h[k ] 2 k 1 u[k 1] 3k 1 u[k 1] 性质5
三、z变换的性质
共介绍了12个性质，要求掌握： 线性性 序列移位
序列的翻褶
时域和z域卷积定理
xe (n) 的傅立叶变换对应于X (e j ) 的实部； xo (n) 的傅立叶变换对应于 X (e j )的虚部(加上j 在内)。
对其实施傅立叶变换X (e j ) DTFT [ xr (n)] jDTFT [ xi (n)]
2、若将序列分成x(n) xr (n) jxi (n)
1 则DTFT [ xe (n)] { X (e j ) X (e j )} Re[ X (e j )] X R (e j ) 2 1 DTFT [ xo (n)] { X (e j ) X * (e j )} j Im[ X (e j )] jX I (e j ) 2
max[ Rx , Rh ] < z < min[ Rx , Rh ]
时域卷积和 Z域乘
证明：Y ( z ) ZT [ y(n)] ZT [ x(n) h(n)]
n
[ x(n) h(n)] z n
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列 x(n)
X (z) x(n)zn n1 n
nn1
lim n x(n)zn 1
n
lim n
n
x(n)
Rx1
z
z Rx1
其中 R为x1 收敛半径.可见,右边序列的收敛域是半径
Rx的1 圆外部分。
X (z) x(n)zn nn1
(1) n1<0
n
n0
圆内收敛
圆外收敛
Rx2 Rx1
j Im[ z]
Rx2 Rx1
Rx2 Rx1
有环状收敛域 没有收敛域
Re[ z]
例2：求序列x[n]=anu[n]-bnu[-n-1]的z变 换,并确定收敛域（b>a, b>0, a>0）。
解： x[n] anu[n] bnu[n 1] x1[n] x2[n]
n n2 z Rx2
(1)n1=-∞
n2>0
Rx2
0 z Rx2
(2)n1=-∞
Rx2
n2<0
z Rx2
4、双边序列：只在 n区间内，有非零的有
限值的序列
x(n)
X (z) x(n)zn
n
n
1
X (z) x(n)z n x(n)z n
变换为
n2
X (z) x(n)zn
n1 n n2
(n1 n 此n2时) z
nn1
当 n 1 0, n时2，0 收敛
x [n]
域为 0 z
n
X
n1
n2
当n 1 0, n时2，0
收敛域为 z 0
X
当 n 1 0, n时2 ，0
收敛域为 z
2、右边序列:只在 n 区n间1 内，有非零的有限值的序
2) 根值判定法
所谓根值判定法，是令正项级数一般项的n次根
等于
lim n
n
an
1,级数收敛。
1,级数发散。
1,不能肯定。
下面利用上述判定法讨论几类序列的z变换收敛域问题
三、几类序列的收敛域
1、 有限长序列（有始有终序列）
这类序列只在有限的区间具有非零的有限值
§ 7.3 z变换的收敛域
• 主要内容
•收敛域的定义 •两种正项级数收敛性的判别方法 •几种常见序列的z变换收敛域问题
• 重点：几种常见序列的z变换收敛域问题
一、收敛域的定义
对于任意给定的序列x(n)，能使 X (z) x(n)zn n
收敛的所有z 值之集合为收敛域。（Region of convergence简称ROC）
| x(n)zn |
n
可以用两种方法求级数的收敛域——比值判定法 和根值判定法。
二、两种正项级数收敛性的判别方法
1）比值判定法
所谓比值判定法就是说若有一个正项级数 ，
令它的 后an项与前项的比值等于 ，即
n
lim an1
n an
1,级数收敛。 1,级数发散。 1,不能肯定。
n1
n0
1
z
1
1 a1z z a
za
za
由上可知，不同的x(n)的z变换，由于收敛域不同， 可能对应于相同的z 变换，故在确定z变换时，必须指明 收敛域。在收敛域内，z变换及它的各阶导数是连续函数。 也就是说，z变换函数是收敛域内每一点上的解析函数。
根据级数的理论，级数收敛的充要条件是满足 绝对可和条件，即要求
a z b
2z(z a b)
X(z)
2
(z a)(z b)
a z b
jIm(z)
a
b
Re(z)
思考题
• 1. 不同的序列可以得到相同的z变换式吗？ • 2. 判别正项级数的收敛性的方法有哪些？ • 3. 序列的形式与双边z变换收敛域的关系？
mn
nm
X (z) x(m)zm x(n)zn
mn2
n n2
lim n x(n)zn 1 lim n x(n) z 1
n
n
Baidu Nhomakorabea
1
z
lim n
x(n)
Rx2
n
可见，左边序列的收敛域是半径为Rx2的圆内部分。
n2
X (z) x(n)zn n
解： X1(z) ZT (x1(n)) an zn n0 如果|z|>a, 则上面的级数收敛，这样得到
X1(z)
an zn
n0
1 1 az1
z za
1
X 2 (z) ZT (x2 (n)) (an )zn
n
an zn 1 (a1z)n
n2=∞
Rx1 z
n1 n
z Rx1
(2) n1>0 n2=∞
z Rx1
因果序列是一种特殊的右边序列，收敛域为 z Rx1
3、左边序列：只在 n 区n间2 内，有非零的有限值的
序列 x(n) n2
X (z) x(n)zn n n2
n
与拉氏变换的情况类似，对于单边变换，序列与变换 式惟一对应，同时也有唯一的收敛域。而在双边变换 时，不同的序列在不同的收敛域条件下可能映射为同 一个变换式。下面举例说明以上情况。
例1：已知两序列分别为x1(n)=anu(n)， x2(n)=-anu(-n-1)，分别求它们的z变换，并确
定它们的收敛域。
由例1的结果可直接得到：
X1(z)
x1[n]z n
n
z
z a
( z a)
X2 (z)
x2[n]zn
n
z zb
( z b)
因为b>a, 这样得到
X (z) X1(z) X2(z) z
z
a
z
z
b
2z(z a (z a)(z
b) 2 b)