z变换的收敛域

列 x(n)

X (z) x(n)zn n1 n
nn1
lim n x(n)zn 1
n
lim n
n
x(n)
Rx1
z
z Rx1
其中 R为x1 收敛半径.可见,右边序列的收敛域是半径
Rx的1 圆外部分。

X (z) x(n)zn nn1
(1) n1<0
n
n0
圆内收敛
圆外收敛
Rx2 Rx1
j Im[ z]
Rx2 Rx1
Rx2 Rx1
有环状收敛域 没有收敛域
Re[ z]
例2：求序列x[n]=anu[n]-bnu[-n-1]的z变 换,并确定收敛域（b>a, b>0, a>0）。
解： x[n] anu[n] bnu[n 1] x1[n] x2[n]
n n2 z Rx2
(1)n1=-∞
n2>0
Rx2
0 z Rx2
(2)n1=-∞
Rx2
n2<0
z Rx2
4、双边序列：只在 n区间内，有非零的有
限值的序列
x(n)

X (z) x(n)zn
n
n
1

X (z) x(n)z n x(n)z n
变换为
n2
X (z) x(n)zn
n1 n n2
(n1 n 此n2时) z
nn1
当 n 1 0, n时2，0 收敛
x [n]
域为 0 z
n
X
n1
n2
当n 1 0, n时2，0
收敛域为 z 0
X
当 n 1 0, n时2 ，0
收敛域为 z
2、右边序列:只在 n 区n间1 内，有非零的有限值的序
2) 根值判定法
所谓根值判定法，是令正项级数一般项的n次根
等于
lim n
n
an

1,级数收敛。
1,级数发散。
1,不能肯定。
下面利用上述判定法讨论几类序列的z变换收敛域问题
三、几类序列的收敛域
1、 有限长序列（有始有终序列）
这类序列只在有限的区间具有非零的有限值
§ 7.3 z变换的收敛域
• 主要内容
•收敛域的定义 •两种正项级数收敛性的判别方法 •几种常见序列的z变换收敛域问题
• 重点：几种常见序列的z变换收敛域问题
一、收敛域的定义

对于任意给定的序列x(n)，能使 X (z) x(n)zn n
收敛的所有z 值之集合为收敛域。（Region of convergence简称ROC）

| x(n)zn |
n
可以用两种方法求级数的收敛域——比值判定法 和根值判定法。
二、两种正项级数收敛性的判别方法
1）比值判定法
所谓比值判定法就是说若有一个正项级数 ，
令它的 后an项与前项的比值等于 ，即

n
lim an1
n an
1,级数收敛。 1,级数发散。 1,不能肯定。
n1
n0
1
z
1

1 a1z z a
za
za
由上可知，不同的x(n)的z变换，由于收敛域不同， 可能对应于相同的z 变换，故在确定z变换时，必须指明 收敛域。在收敛域内，z变换及它的各阶导数是连续函数。 也就是说，z变换函数是收敛域内每一点上的解析函数。
根据级数的理论，级数收敛的充要条件是满足 绝对可和条件，即要求
a z b
2z(z a b)
X(z)
2
(z a)(z b)
a z b
jIm(z)
a

b
Re(z)
思考题
• 1. 不同的序列可以得到相同的z变换式吗？ • 2. 判别正项级数的收敛性的方法有哪些？ • 3. 序列的形式与双边z变换收敛域的关系？
mn
nm
X (z) x(m)zm x(n)zn
mn2
n n2
lim n x(n)zn 1 lim n x(n) z 1
n
n
Baidu Nhomakorabea
1
z
lim n
x(n)
Rx2
n
可见，左边序列的收敛域是半径为Rx2的圆内部分。
n2
X (z) x(n)zn n

解： X1(z) ZT (x1(n)) an zn n0 如果|z|>a, 则上面的级数收敛，这样得到
X1(z)


an zn
n0
1 1 az1

z za
1
X 2 (z) ZT (x2 (n)) (an )zn

n
an zn 1 (a1z)n
n2=∞
Rx1 z
n1 n
z Rx1
(2) n1>0 n2=∞
z Rx1
因果序列是一种特殊的右边序列，收敛域为 z Rx1
3、左边序列：只在 n 区n间2 内，有非零的有限值的
序列 x(n) n2
X (z) x(n)zn n n2
n
与拉氏变换的情况类似，对于单边变换，序列与变换 式惟一对应，同时也有唯一的收敛域。而在双边变换 时，不同的序列在不同的收敛域条件下可能映射为同 一个变换式。下面举例说明以上情况。
例1：已知两序列分别为x1(n)=anu(n)， x2(n)=-anu(-n-1)，分别求它们的z变换，并确
定它们的收敛域。
由例1的结果可直接得到：
X1(z)


x1[n]z n
n

z
z a
( z a)
X2 (z)


x2[n]zn
n

z zb
( z b)
因为b>a, 这样得到
X (z) X1(z) X2(z) z
z
a

z
z
b

2z(z a (z a)(z
b) 2 b)