z变换的收敛域
Z变换的定义与收敛域
X(z) x(n)zn
n
x(n)zn
n
令： lim n an n
则： <1：收敛 >1：发散 =1：可能收敛也可能发散
3、 几类序列收敛域情况讨论
1．有限长序列的收敛域
x(n ), n 1nn 2
2．右边序列的收敛域
x ( n ) a n u n n 1 n
（三） 典型序列的z变换
1、 单位样值函数的z变换
(n)10
n0 n0
X(z) (n)zn(0)z01 n
(n)
1 1 0
n 1
ROC:整个 z 平面
Z[T (nm )]zm
2、单位阶跃序列的z变换 u(n)
1 u(n)0
n0 n0
X(z)的ROC：Rx1<|z|< Rx2
前提
双边序列的收敛域是内径为 Rx1,外径为 Rx2 的环形部分
例8-4
x(n)
(
1 3
)
n
1 2
n
n0 n0
1
Rx1
, 3
Rx2 2
ROC:
1 z 2 3
j Im( z )
1/3 2
0
Re( z )
4、 单边 z变换的收敛域
X(z)anzn
z
,| z|| a|
n0
za
x n a n u n 1 X z z
za
左边
z a 序列
当a eb ， 则
ZT
e bn u( n)
z z eb
， z eb，
数字信号处理简答题
1.举例说明什么是因果序列和逆因果序列，并分别说明它们z 变换的收敛域。
答：因果序列定义为x （n ）＝0，n<0，例如x （n ）＝)(n u a n ⋅，其z 变换收敛域：∞≤<-z R x 。
逆因果序列的定义为x (n)=0,n>0。
例如x （n ）＝()1--n u a n ，其z 变换收敛域：+<≤x R z 02.用差分方程说明什么是IIR 和FIR 数字滤波器，它们各有什么特性？ 答： 1）冲激响应h （n ）无限长的系统称为IIR 数字滤波器，例如()()()1)(21)(1021-++-+-=n x b n x b n y a n y a n y 。
IIR DF 的主要特性：①冲激响应h （n ）无限长；②具有反馈支路，存在稳定性问题；③系统函数是一个有理分式，具有极点和零点；④一般为非线性相位。
（2）冲激响应有限长的系统称为FIR DF 。
例如()2)1()()(21-+-+=n x b n x b n x n y 。
其主要特性：①冲激响应有限长；②无反馈支路，不存在稳定性问题；③系统函数为一个多项式，只存在零点；④具有线性相位。
3.用数学式子说明有限长序列x （n ）的z 变换X （z ）与其傅里叶变换X )(ωj e 的关系，其DFT 系数X （k ）与X （z ）的关系。
答： （1）x （n ）的z 变与傅里叶变换的关系为()()ωωj e Z e X z X j== （2）x （n ）的DFT 与其z 变换的关系为()()K X z X k N j K N e w Z ===- 2 π4.设x （n ）为有限长实序列，其DFT 系数X （k ）的模)(k X 和幅角arg[X （k ）]各有什么特点？答：有限长实序列x （n ）的DFT 之模()k x 和幅角[])(arg k X 具有如下的性质：（1）)(k X 在0-2π之间具有偶对称性质，即)()(k N X k X -=（2）[])(arg k x 具有奇对称性质，即[]()[]k N X k X --=arg )(arg5.欲使一个FIR 数字滤波器具有线性相位，其单位取样响应)(n h 应具有什么特性？具有线性相位的FIR 数字滤器系统函数的零点在复平面的分布具有什么特点？答： 要使用FIR 具有线性相位，其h （n ）应具有偶对称或奇对称性质，即h(n)=h(N-n-1)或h(n)=-h(N-n-1)。
双边z变换定义及收敛域
n2 ≤ 0
7
(4)双边序列
n为任意值时皆有值
其z变 换：X (z) = x(n)z−n + ∑x(n)z−n ∑
n=0 −1 ∞
n=−∞
前式Roc: 0 ≤ z < Rx+ 后式Roc: Rx− < z ≤ ∞
∴当Rx− ≥ Rx+时，Roc : ∅ 当Rx− < Rx+时，Roc : Rx− < z < Rx+
0
Rx −
Re[z]
n1 ≥ 0
包括z =5∞处
因果序列 • n1≥0的右边序列 的右边序列 • Roc: Rx− ≤| z |≤ ∞ • 因果序列的z变换必在∞处收敛 因果序列的z变换必在∞ 收敛域一定是某个圆的外部
Rx −
j Im[z]
Re[z] n1 ≥ 0
0
包括z =∞处
6
(3)左边序列
n=−∞
∞
P( z ) 令X ( z ) = Q( z)
j Im z] [
Re[z]
则X(z)的零点：使X(z)=0的点， 即P( z ) = 0和当Q ( z )阶次高于P ( z )时 Q ( z ) → ∞ X(z)的极点：使X(z) → ∞的点， 即Q ( z ) = 0和当P ( z )阶次高于Q ( z )时P ( z ) → ∞
2
(1)有限长序列 1)有限长序列
x(n), n ≤ n ≤ n2 1 x(n) = 其 n 他 0,
其Z变换 X (z) = ∑x(n)z−n ：
n=n1 n2
j Im[z]
Roc至 为 0 < z < ∞ 少 ：
有限z平面 有限 平面
z变换收敛域
z变换收敛域z变换收敛域是一种数字图像处理中应用非常广泛的技术。
它是一种快速而有效的方法，可以转换图像中的信号，从而实现对图像进行处理。
z变换收敛域也称为变换收敛域(TFD)，它是从z变换出发的一种重要概念。
z变换收敛域是将一个时域信号转换成频域的一种方法，它能够将时域信号的特性转换到频域，从而使得处理者可以更好地理解信号的特性，而不用去考虑其时间特性。
z变换收敛域也可以被用来分析信号的频率响应特性，以及信号的振幅和相位响应特性。
z变换收敛域能够帮助我们了解信号的细节，并更好地掌握信号的特性。
z变换收敛域的定义如下：当一个时域信号作用于z 变换之后，即[Z (n)] = [F (n)] X [H (z)]，其中[F (n)] 是信号的时域表达式，[H (z)] 是信号的z变换表达式，则[Z (n)] 的收敛域就是所有可能的[F (n)] 和[H (z)] 的组合，它们能够使[Z (n)] 收敛到有界值∞。
z变换收敛域也可以看作是一种“传递函数”，它可以描述信号在每一个时刻都是如何传播的，和信号受到外部影响时会有什么样的变化。
z变换收敛域的传递函数可以用来描述信号的延迟、增益、衰减、抑制等特性，从而帮助我们更好地理解信号的特性。
z变换收敛域的收敛域是一个多元函数，它由一个或多个维度组成，每个维度都代表一种特定的属性，例如，收敛域的一维可以表示信号在不同频率上的振幅响应，收敛域的二维可以表示信号在不同频率上的相位响应，三维可以表示信号在不同频率上的衰减响应等等。
z变换收敛域的应用非常广泛，它能够帮助我们更好地理解信号的特性，并帮助我们更好地处理信号。
它能够检测和分析信号的特性，并且能够提供信号的实时反馈和诊断，从而为信号的处理和控制提供依据，以及帮助我们更好地处理和控制信号。
此外，z变换收敛域还可以用来检测和控制信号的相位和频率响应，以及检测和控制信号的延迟、衰减和抑制等特性。
总之，z变换收敛域是一种非常有效的技术，它可以帮助我们更好地理解信号的特性，并且能够提供有效的信号处理和控制的依据，从而使我们能够更好地处理信号。
第六节 Z 变 换
Z xn 1 z X ( z) x(1)
1
Z xn 2 z X ( z) z x(1) x(2)
2 1
三、频移性质（Ｚ域尺度变换）：
If x ( n ) X(z )
j0 n
ROC : R
then 1. e
x n X e
j0z k源自 z 1 j 0 j 0
1 e z e z cosk 0 k j 0 j 0 e z 1 e z 1 2 z z cos 0 2 z 2 z cos 0 1
2
z z cos 0 k cosk 0 k 2 z z 2 cos 0 1
2
a 1 b 1 z a b z a b a z b
1 k 1 k 1 x ( k ) * h( k ) a b k a b
七、序列除(k+m)（Z域积分）
If f ( n) F ( z )
z 2. F2 z 2 . z z 3 1
f 2 k ?
2 2 2
解：
1 z z z 1. F1 z 1 2 2 z 1 z 1
cos 0;
2
k f1 k k cos 2
k
z 2. F2 z 2 z z 3 1
3 2
z 1
解：
F ( z) 2 6 8 13 2 z z z z 1 z 0.5
k
f (k ) 2 k 1 6 k (8 130.5 ) k
21Z变换的定义22Z变换的收敛域23Z变换的性质24
k 1 N
N
p
n k
h( n) c p
n 0 n 0 k 1 N k
N
n k n k
ck
k 1
p
n 0
2. 幅频特性：
e
0
j
| e j zr |
zr
| e pk |
j
pk
观察：
1. 当 时，
0
思考：什么信号的z变换的收敛域是整个z平面？
2.3 Z变换的性质
1. 线性:
如何求
x(n) r cos n X ( z)
n
r j n j n x ( n) e e 2
n
2. 移位: （1） 双边Z变换
表示
单位延迟
（2） 单边Z变换
仍为双边序列
（ 3）
4.zplane.m
本文件可用来显示离散系统的极－零图。 其调用格式是： zplane(z,p), 或 zplane(b,a),
前者是在已知系统零点的列向量 z和极点的 列向量p的情况下画出极－零图，后者是在 仅已知A(z)、B(z) 的情况下画出极－零图。
5. residuez.m
将H(z) 的有理分式分解成简单有理分 式的和，因此可用来求逆变换。调用格式： [r,p,k]= residuez(b,a) 假如知道了向量r, p和k，利用residuez.m还 可反过来求出多项式A(z)、B(z)。格式是 [b,a]= residuez(r,p,k)。
B( z ) b0 b1z b2 z A( z ) 1 a1z a2 z
1 2
1
《Z变换的收敛域》课件
1
收敛域的大小与稳定性有密切
关系
信号的频域特性
2
如果系统的输入信号Z变换的收敛域包含 了稳定域，则系统是稳定的
不同的收敛域代表着信号在频域上的不
同特性，因此收敛域在信号分析中具有
重要的地位
3
滤波器设计
不同的收敛域决定了数字滤波器的性质， 因此我们可以根据需要指定收敛域来设 计所需的数字滤波器
收敛域的边界有哪些？如何确定边界？
常见的收敛域有哪些？
1 收敛于整个平面
对于某些信号，Z变换在整个平面都收敛，这在实际应用中较为少见
2 收敛于单位圆内部
当信号的绝对值随着时间的增加而指数衰减，Z变换收敛于单位圆内部
3 收敛于单位圆外部的环状区域
如果信号的绝对值并不随着时间的增加而衰减，而是不断循环波动，Z变换就会在圆环上 收敛
动态系统中收敛域的重要性是什么？
控制系统稳定性分析
Z变换和收敛域在控制系统的分 析和设计中具有广泛应用。我们 可以利用收敛域来预测系统的稳 定性，并设计控制器来改善系统 的性能
语音信号处理
语音信号的处理和分析需要考虑 其时间和频率特性。Z变换和收 敛域是分析语音信号频率特性的 有力工具之一
Z变换与收敛域在实际应用中的局限性 与挑战
边界线的特点不同
收敛域和发散域之间的边界线有很大不同。收敛域 的边界线通常是连续的，而发散域的边界线则断断 续续
收敛定理是什么？有哪些类型？
1
极限定理
如果序列的极限存在，则它的Z变换必收
稳定定理
2
敛于某个区域内
一个因果稳定的离散系统的Z变换必定在
单位圆内收敛
3
因果性定理
如果离散系统是因果的，那么它的Z变换
z变换的收敛域
z变换的收敛域
z变换的收敛域是指在哪些复平面上的z值，使得z变换的级数或积分收敛。
z变换的收敛域通常按照其包含在复平面第一象限
（Re(z)>0,Im(z)>0）还是全平面（包括虚轴）来分类，分别称为单边收敛和双边收敛。
对于时域信号x(n)的z变换X(z)，其收敛域的判断方法为：
1.通过分析x(n)的极限，确定z变换的极点和零点，并求出其可能的收敛域。
2.通过柯西收敛原理，判断z变换的收敛域。
3.对于一些标准的信号，比如因果序列、双边指数信号等，可以直接列出其z变换并判断收敛域。
在工程应用中，通常只需关注z变换的最小收敛域，即最小包含其所有极点的收敛域。
最小收敛域也称为“ROC”，表示因果性和稳定性的限制条件。
z变换的定义和收敛域PPT课件
第二章 离散系统的变换域分析
——电子信息工程
u( t ) 0
f
t
——电子信息工程
主要内容： • z变换及其收敛域 • 部分分式展开法求z反变换 • z变换的主要性质 • 离散系统的系统函数和频率响应 • 系统函数与差分方程的关系 • 线性时不变系统的基本结构
——电子信息工程
2.1 z变换与z逆变换
n0
n
若有 | a || b |
X(z) z z za zb
| a || z || b |
——电子信息工程
3.典型序列z变换
(1) x(n) (n) 1, 任意z
(2)
x(n)
u(n)
1
1 z 1
,
|z|1
(3)
x(n)
u(n
1)
1
1 z 1
,
|z|1
(4)
x(n)
a n u(n)
x(n) 0
——电子信息工程
例： 求序列 x(n) bnu(n 1) 的 z 变换及收敛域
1
解： X (z) x(n)zn bnzn bnzn 1 bnzn
n
n
n1
n0
当 | z |时1，级数 b
收b 敛n z n
n0
X (z)
1
n0
bnzn
1
1 1 b1z
z zb
| z || b |
注意： 左边序列和右边序列具有相同的z变换形式， 但收敛域不同。
——电子信息工程
（4）.双边序列
双边序列是指n为任意值时x(n)皆有值的序列。
1
X (z) x(n)zn x(n)zn x(n)zn
z变换的收敛域
z
z
b
2z(z a (z a)(z
b) 2 b)
a z b
2z(z a b)
X(z)
2
(z a)(z b)
a z b
jIm(z)
a
b
Re(z)
思考题
• 1. 不同的序列可以得到相同的z变换式吗？ • 2. 判别正项级数的收敛性的方法有哪些？ • 3. 序列的形式与双边z变换收敛域的关系？
知识回顾 Knowledge Review
3、左边序列：只在 n n2区间内，有非零的有限值
的序列 x(n) n2
X (z) x(n)zn n n2
n
mn
nm
X (z) x(m)zm x(n)zn
m n2
nn2
lim n x(n)zn 1 lim n x(n) z 1
零的有限值的序列 x(n)
X (z) x(n)zn
n
n
1
X (z) x(n)z n x(n)z n
n
n0
圆内收敛
圆外收敛
Rx2 Rx1
j Im[ z]
Rx2 Rx1
Rx2 Rx1
有环状收敛域 没有收敛域
Re[ z]
例2：求序列x[n]=anu[n]-bnu[-n-1]的z变 换,并确定收敛域（b>a, b>0, a>0）。
lim an1
a n n
1,级数收敛。 1,级数发散。 1,不能肯定。
2) 根值判定法
(完整版)数字信号处理简答题
1.举例说明什么是因果序列和逆因果序列，并分别说明它们z 变换的收敛域。
答：因果序列定义为（n ）＝0，n<0，例如（n ）＝，其z 变换收x x )(n u a n ⋅敛域：。
逆因果序列的定义为(n)=0,n>0。
例如（n ）＝∞≤<-z R x x x ，其z 变换收敛域：()1--n u a n +<≤x R z 02.用差分方程说明什么是IIR 和FIR 数字滤波器，它们各有什么特性？ 答：1）冲激响应h （n ）无限长的系统称为IIR 数字滤波器，例如。
()()()1)(21)(1021-++-+-=n x b n x b n y a n y a n y IIR DF 的主要特性：①冲激响应h （n ）无限长；②具有反馈支路，存在稳定性问题；③系统函数是一个有理分式，具有极点和零点；④一般为非线性相位。
（2）冲激响应有限长的系统称为FIRDF 。
例如。
()2)1()()(21-+-+=n x b n x b n x n y 其主要特性：①冲激响应有限长；②无反馈支路，不存在稳定性问题；③系统函数为一个多项式，只存在零点；④具有线性相位。
3.用数学式子说明有限长序列（n ）的z 变换X （z ）与其傅里叶变换X x 的关系，其DFT 系数X （k ）与X （z ）的关系。
)(ωj e 答： （1）（n ）的z 变与傅里叶变换的关系为x ()()ωωj e Z e X z X j == （2）（n ）的DFT 与其z 变换的关系为x ()()K X z X k Nj K New Z ===- 2 π4.设（n ）为有限长实序列，其DFT 系数X （k ）的模和幅角arg[X （k ）]各x )(k X 有什么特点？答：有限长实序列（n ）的DFT 之模和幅角具有如下的性质：x ()k x [])(arg k X （1）在0-2之间具有偶对称性质，即)(k X π)()(k N X k X -=（2）具有奇对称性质，即[])(arg k x []()[]k N X k X --=arg )(arg 5.欲使一个FIR 数字滤波器具有线性相位，其单位取样响应应具有什么特)(n h 性？具有线性相位的FIR 数字滤器系统函数的零点在复平面的分布具有什么特点？答： 要使用FIR 具有线性相位，其h （n ）应具有偶对称或奇对称性质，即h(n)=h(N-n-1)或h(n)=-h(N-n-1)。
z变换的定义与收敛域.
2 3 H ( z) 1 1 2z 1 3z 1 非稳定，因果
h[k ] (2
2) 2<|z|<3 非稳定， 非因果
k 1
3
k 1
)u[k ]
h[k ] 2k 1 u[k ] 3k 1 u[k 1]
3) |z|<2 稳定，非因果
h[k ] 2
单位圆 Im(z) Re(z)
单位圆
Im(z) Re(z)
稳定因果系统
非稳定非因果系统
单位圆
Im(z) Re(z)
稳定非因果系统
系统函数
对LTI系统:
y[k]=x [k]*h[k]
由z变换的性质：Y(z)=H(z)X(z) H(z)称为离散LTI系统的系统函数 当的H(z) ROC包含单位圆时
H ( e j ) H ( z ) z e j
k 1
u[k 1] 3
k 1
u[k 1]
留数法求Z反变换
1 k 1 x[k ] X ( z ) z dz c 2j
l
C为X(z) 的ROC中的一闭合曲线
Re s{ X ( z ) z k 1 } z p
l
1 例：X ( z ) (1 az1 ) 2
X ( z ) z k
k 0
N 1
1 zN 1 1 z
z 0
2)右边序列
X ( z)
k N1
k
x[k ]z
k
z R
例：x[k ] ak u[k ]
X ( z) a z
k 0 k
1 1 1 az
z a
3)左边序列
第二章2 Z变换的定义
2. Z 变换的定义及收敛域1. Ｚ变换的定义对于一个序列x(n)，它的Z 变换定义为()()n n X z x n z ∞-=-∞=∑其中Z 为一个复变量，上式定义的Z 变换称为双边Z 变换或标准Z 变换。
序列的Z 变换实质上是以序列x(n)为加权系数的z 的幂级数之和。
如n 的取值范围0到+∞，则序列的单边Z 变换为()()nn X z x n z∞-=-∞=∑序列的单边Z 变换是以序列x(n)为加权系数的z 的负幂项的级数之和。
2．从抽样吸纳后的拉普拉斯变化引出Z 变换 连续信号x(t)冲激抽样信号可表示为：()()()s s s n x nT x t t nT δ∞=-∞=-∑()()s s nx nT t nT δ=-∑对()s s x nT 取拉普拉斯变换，得()()sts s X s x nT e dt ∞--∞=⎰()()sts s nx nT t nT e dt δ∞--∞=-∑⎰()()s s snT sT s n x nT e X e ∞-=-∞==∑令s sT z e =，并将T 归一化为1，()s x nT 简写为()x n 则同样可得到离散信号的 z 变换：()()nn X z x n z∞-=-∞=∑对比： 拉普拉斯变换 Z 变换 对应离散信号,s j σ=+Ω(2f πΩ=是相对连续系统和连续信号的角频率） 则()s s s s sT j T T j T z e e e e σσ+ΩΩ===⋅， 令,s T r e σ=， 2s s T f f ωπ=Ω=是相对于离散系统和离散信号的圆周频率（rad ）， 则j z re ω=。
将j z re ω=代入()()nn X z x n z∞-=-∞=∑可得：()()()j nn X z x n reω∞-=-∞=∑=[()]nj n n x n re ω∞--=-∞∑上式表明，只要()nx n r -满足绝对可和的收敛条件，即()n n x n r ∞-=-∞<∞∑，则x(n)的Z 变换存在。
z变换的收敛域
n=∞
∑ a ，令它的后项与前项的比值等于 ρ ，即
∞ n
an+1 lim =ρ n→∞ a n
ρ <1,级数收敛 。 ρ >1,级数发散 。 ρ =1,不能肯定 。
2) 根值判定法
根等于 ρ 所谓根值判定法，是令正项级数一般项的n次 所谓根值判定法，
lim n an = ρ
n=∞
x(n)zn ∑
∞
已知两序列分别为x u(n)， (n)=例1：已知两序列分别为x1(n)=anu(n)，x2(n)=u(- 1)，分别求它们的z变换， anu(-n-1)，分别求它们的z变换，并确定它们 的收敛域。 的收敛域。 解： X1(z) = ZT(x1(n)) = ∑an zn
n=0 ∞
ρ <1,级数收敛 。 ρ >1,级数发散 。 ρ =1,不能肯定 。
n→∞
下面利用上述判定法讨论几类序列的z变换收敛域问题 下面利用上述判定法讨论几类序列的z
三、几类序列的收敛域
有限长序列（有始有终序列） 1、 有限长序列（有始有终序列） 这类序列只在有限的区间具有非零的有限值 (n1 ≤ n ≤ n2 ) 此 n 时z变换为 X (z) = x(n)zn n ≤n≤n
根据级数的理论， 根据级数的理论，级数收敛的充要条件是满 足绝对可和条件， 足绝对可和条件，即要求
n=∞
∑| x(n)z
∞
n
|< ∞
可以用两种方法求级数的收敛域——比值判定 可以用两种方法求级数的收敛域——比值判定 —— 法和根值判定法。 法和根值判定法。
二、两种正项级数收敛性的判别方法
1）比值判定法
n
X (z) =
Z变换的定义与收敛域
1
n 0
1 1 az 1
当 az
1时
j Im[ z ]
Roc :
za
0
零点：z 0
极点：z a
a
Re[ z ]
例3 ：求x(n) a u( n 1)的z变换及其收敛域
n
解：X(z)= x(n ) z n = a n u( n 1) z n
当 a 1时，无公共收敛域，X( z )不存在
az 1 z (1 a ) 当 a 1时，X ( z ) 1 1 az 1 az (1 az )( z a )
2
Roc : a < z 1/ a
j Im[ z ]
零点：z 0,
极点：z a, a 1
0
a
Re[ z ] 1/ a
j Im[ z ]
j Im[ z ]
a
b
Re[ z ]
a
b Re[ z ]
0
0
c
c
j Im[ z ]
j Im[ z ]
a
a
0
b Re[ z ]
b
Re[ z ]
0
c
c
n n
= a n z n = a n z n
n 1 n 1
当 a 1 z 1时
j Im[ z ]
a 1 z 1 1 1 1 a z 1 az
Roc :
za
极点：z a
0
a
Re[ z ]
零点：z 0
给定z变换X(z)不能唯一地确定一个序列，
Z变换的定义与收敛域
c)零点、极点和增益常数表示
H ( z ) = kz
( N M )
( z z (1))( z z (2) ( z z ( M )) ( z p(1))( z p (2)) ( z p ( N ))
L
d) 2阶因子表示
H ( z) = ∏
k =1
b0 k + b1k z 1 + b2 k z 2 1 2 a0 k + a1k z + a2 k z
单位圆 Im(z) Re(z)
单位圆
Im(z) Re(z)
稳定因果系统
非稳定非因果系统
单位圆
Im(z) Re(z)
稳定非因果系统
系统函数
对LTI系统:
y[k]=x [k]*h[k]
由z变换的性质：Y(z)=H(z)X(z) H(z)称为离散LTI系统的系统函数 当的H(z) ROC包含单位圆时
H ( e j ) = H ( z ) z = e j
(1) m! 1 = (m 1)! ( z a) 2+ m 1
m 1
= ma ( m +1) = (k + 1) a k
z =0
k
x[k ] = (k + 1)a u[k 1]
系统的稳定性和H(z) 系统的稳定性和
LTI系统稳定的充要条件：
∑ k = ∞
∞
h[k ] < ∞
H(z)的收敛域包含单位圆
留数法求Z反变换 留数法求 反变换
1 k 1 x[k ] = ∫c X ( z ) z dz 2πj
l
C为X(z) 的ROC中的一闭合曲线
= ∑ Re s{ X ( z ) z k 1 } z = p
§8.3 Z变换的收敛域
值,此时z变换为 X z x nz n，由于n1、 n2是有限整数，
z变换式为有限项级数。由该级数可以看出：
(1)当n10, n2 0时, X(z)除z= 、 z= 0外在z 平面上处处收敛， 即收敛域为0<|z|<。 (2)当n10, n2 0时, X(z)除z= 外在z 平面上处处收敛， 即收敛域为|z|<。 (3)当n10, n2>0时, X(z)除z= 0外在z 平面上处处收敛， 即收敛域为|z|>0。
1 1 若该序列收敛，则要求 3z 1 即收敛域为：z 3 1 半径为 的圆外 3
j Im( z )
1
3
0
Re(z )
返回
例8-3-3
0 求信号x( n) 1 n 2
n
n0 的z变换的收敛域。 n0
n n n
X (z)
x ( n) z
n
即： z lim n xn Rx1 则级数收敛，Rx1为收敛半径。 可见，右边序列的收敛域是半径为Rx1的圆外部分。
(1)当n10时,收敛域包括z= 点，则|z|> Rx1 。(因果序列为特例)
(2)当n10,时,收敛域不包括z= 点，则Rx1<|z|<。
如因果序列：x( n) a n un 当
z b 1
z z b 1
若 0b1
1 b b
1 则ROC : b z b
例8-3-4
返回
四．总结
★x(n)的收敛域（ROC）为 z 平面以原点为中心
的圆环；
★ ROC内不包含任何极点（以极点为边界）；
★有限长序列的ROC为整个 z 平面
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列 x(n)
X (z) x(n)zn n1 n
nn1
lim n x(n)zn 1
n
lim n
n
x(n)
Rx1
z
z Rx1
其中 R为x1 收敛半径.可见,右边序列的收敛域是半径
Rx的1 圆外部分。
X (z) x(n)zn nn1
(1) n1<0
与拉氏变换的情况类似，对于单边变换，序列与变换 式惟一对应，同时也有唯一的收敛域。而在双边变换 时，不同的序列在不同的收敛域条件下可能映射为同 一个变换式。下面举例说明以上情况。
例1：已知两序列分别为x1(n)=anu(n)， x2(n)=-anu(-n-1)，分别求它们的z变换，并确
定它们的收敛域。
a z b
2z(z a b)
X(z)
2
(z a)(z b)
a z b
jIm(z)
a
b
Re(z)
思考题
• 1. 不同的序列可以得到相同的z变换式吗？ • 2. 判别正项级数的收敛性的方法有哪些？ • 3. 序列的形式与双边z变换收敛域的关系？
由例1的结果可直接得到：
X1(z)
x1[n]z n
n
z
z a
( z a)
X2 (z)
x2[n]zn
n
z zb
( z b)
因为b>a, 这样得到
X (z) X1(z) X2(z) z
z
a
z
z
b
2z(z a (z a)(z
b) 2 b)
| x(n)zn |
n
可以用两种方法求级数的收敛域——比值判定法 和根值判定法。
二、两种正项级数收敛性的判别方法
1）比值判定法
所谓比值判定法就是说若有一个正项级数 ，
令它的 后an项与前项的比值等于 ，即
n
lim an1
n an
1,级数收敛。 1,级数发散。 1,不能肯定。
n n2 z Rx2
(1)n1=-∞
n2>0
Rx2
0 z Rx2
(2)n1=-∞
Rx2
n2<0
z Rx2
4、双边序列：只在 n区间内，有非零的有
限值的序列
x(n)
X (z) x(n)zn
n
n
1
X (z) x(n)z n x(n)z n
变换为
n2
X (z) x(n)zn
n1 n n2
(n1 n 此n2时) z
nn1
当 n 1 0, n时2，0 收敛
x [n]
域为 0 z
n
X
n1
n2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
当n 1 0, n时2，0
收敛域为 z 0
X
当 n 1 0, n时2 ，0
收敛域为 z
2、右边序列:只在 n 区n间1 内，有非零的有限值的序
mn
nm
X (z) x(m)zm x(n)zn
mn2
n n2
lim n x(n)zn 1 lim n x(n) z 1
n
n
1
z
lim n
x(n)
Rx2
n
可见，左边序列的收敛域是半径为Rx2的圆内部分。
n2
X (z) x(n)zn n
n2=∞
Rx1 z
n1 n
z Rx1
(2) n1>0 n2=∞
z Rx1
因果序列是一种特殊的右边序列，收敛域为 z Rx1
3、左边序列：只在 n 区n间2 内，有非零的有限值的
序列 x(n) n2
X (z) x(n)zn n n2
n
n
n0
圆内收敛
圆外收敛
Rx2 Rx1
j Im[ z]
Rx2 Rx1
Rx2 Rx1
有环状收敛域 没有收敛域
Re[ z]
例2：求序列x[n]=anu[n]-bnu[-n-1]的z变 换,并确定收敛域（b>a, b>0, a>0）。
解： x[n] anu[n] bnu[n 1] x1[n] x2[n]
n1
n0
1
z
1
1 a1z z a
za
za
由上可知，不同的x(n)的z变换，由于收敛域不同， 可能对应于相同的z 变换，故在确定z变换时，必须指明 收敛域。在收敛域内，z变换及它的各阶导数是连续函数。 也就是说，z变换函数是收敛域内每一点上的解析函数。
根据级数的理论，级数收敛的充要条件是满足 绝对可和条件，即要求
2) 根值判定法
所谓根值判定法，是令正项级数一般项的n次根
等于
lim n
n
an
1,级数收敛。
1,级数发散。
1,不能肯定。
下面利用上述判定法讨论几类序列的z变换收敛域问题
三、几类序列的收敛域
1、 有限长序列（有始有终序列）
这类序列只在有限的区间具有非零的有限值
解： X1(z) ZT (x1(n)) an zn n0 如果|z|>a, 则上面的级数收敛，这样得到
X1(z)
an zn
n0
1 1 az1
z za
1
X 2 (z) ZT (x2 (n)) (an )zn
n
an zn 1 (a1z)n
§ 7.3 z变换的收敛域
• 主要内容
•收敛域的定义 •两种正项级数收敛性的判别方法 •几种常见序列的z变换收敛域问题
• 重点：几种常见序列的z变换收敛域问题
一、收敛域的定义
对于任意给定的序列x(n)，能使 X (z) x(n)zn n
收敛的所有z 值之集合为收敛域。（Region of convergence简称ROC）