河南省平顶山市2016届高三第二次调研考试数学(文)试题

平顶山市2016届高三年级第二次调研考试高三文科数学注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上．2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案的标号，写在本试卷上无效． 3．回答第Ⅱ卷时，将答案答在答题卡上，写在本试卷上无效。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设集合A ＝{0，1}，集合B ＝{x ｜x ＞a}，若A ∩B ＝φ，则实数a 的范围是 A ．a ≤1 B ．a ≥1 C ．a ≥0 D ．a ≤0 2．复数z 满足z ·i ＝3－i ，则在复平面内，复数z 对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3．关于函数f （x ）＝3log ()x －和g （x ）＝3x－，下列说法中正确的是A ．都是奇函数B ．都是偶函数C ．函数f （x ）的值域为RD ．函数g （x ）的值域为R 4．如右图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是A ．16 B ．2524 C ．34 D ．11125．等差数列{n a }的公差为3，若a 2，a 4，a 6成等比数列，则{n a }的前2n 项2n S ＝A ．3n （2n －1）B ．3n （2n ＋1）C ．3(1)2n n ＋ D ．3(1)2n n －6．4sin40°－tan40°的值为A B C D ． 1 7．设α，β是两个不同的平面，l ，m 是两条不同的直线，且l ⊂α，m ⊂β．下列命题正确的是 A ．若l ∥β，则α∥β． B ．若α⊥β，则l ⊥m ． C ．若l ⊥β，则α⊥β． D ．若α∥β，则l ∥m ．8．在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩（单位：分钟）如下图所示：若将运动员按成绩由好到差编为1～35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139，151]上的运动员人数为A ．3B ．4C ．5D ． 69．已知点E （－2p ，0），动点A ，B 均在抛物线C ：22y px ＝（p ＞0）上，若EA uu r ·EB uur 的最小值为A ．－22pB ．－2pC ．0D ．2p10．函数y ＝a ＋sinbx （b ＞0且b ≠1）的图象如图所示，那么函数y ＝log ()b x a －的图象可能是11．已知双曲线2222x y a b－＝1（a ＞0，b ＞0）的一个焦点为F （2，0），且双曲线的渐近线与圆22(2)3x y －＋＝相切，则双曲线的方程为A ．221913x y －＝B ．221139x y －＝C ．2213x y －＝ D ．2213y x －＝ 12．设函数f （x ）＝3,2,1x x b x x ⎧⎨⎩－＜1 ≥，若f （f （56））＝4，则b 等于A ．1B ．12C ．34D ．78第Ⅱ卷（非选择题，共90分）本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第2l 题为必考题，每个试题考生都必答．第22题～24题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知平面向量a 与b 的夹角为6π，｜ab ｜＝1，则｜a －b ｜＝________． 14．满足的约束条件101030x y x y x y ⎧⎪⎨⎪⎩＋－≥－－≤－3＋≥，则z ＝x ＋2y 的最大值为_____________．15．如果a ，b 满足ab ＝a ＋b ＋3，那么ab 的取值范围是______________16．椭圆2222x y a b＋＝1（a ＞b ＞0）的右焦点F （c ，0）关于直线y ＝b c x 的对称点M 在椭圆上，则椭圆的离心率是____________．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝4，BC ＝3，点D 在线 段AC 上，且AD ＝4DC ． （Ⅰ）求BD 的长；（Ⅱ）求sin ∠CBD 的值． 18．（本小题满分12分）我市为了了解本市高中学生的汉字书写水平，在全市范围内随机抽取了近千名学生参加汉字听写考试，将所得数据进行分组，分组区间为：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，并绘制出频率分布直方图，如图所示．（Ⅰ）求频率分布直方图中的a 值；从该市随机选取一名学生，试估计这名学生参加考试 的成绩低于90分的概率；（Ⅱ）设A ，B ，C 三名学生的考试成绩在区间[80，90）内，M ，N 两名学生的考试成绩在区间[60，70）内，现从这5名学生中任选两人参加座谈会，求学生M ，N 至少有一人被选中的概率；（Ⅲ）试估计样本的中位数落在哪个分组区间内（只需写出结论）．（注：将频率视为相应的概率）19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥S —ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形， 侧面SBC 是正三角形，点E 是SB 的中点，且AE ⊥平面SBC ． （Ⅰ）证明SD ∥平面ACE ；（Ⅱ）若AB ⊥AS ，BC ＝2，求点S 到平面ABC 的距离． 20．（本小题满分12分）已知圆C 的圆心为C （m ，0），m ＜3C 与离心率e ＞12的椭圆E ：2222x y a b＋＝1（a ＞b＞0）的其中一个公共点为A (3，1)，F 1、F 2分别是椭圆的左、右焦点．（Ⅰ）求圆C 的标准方程；（Ⅱ）若点P 的坐标为（4，4），试探究直线PF 1与圆C 能否相切，若能，求出椭圆E 和直线PF 1的方程；若不能，请说明理由． 2l ．（本小题满分12分）已知函数f （x ）＝lnx －ax ＋b x （a ，b ∈R ），且对任意x ＞0，都有f （x ）＋f （1x）＝0． （Ⅰ）求a ，b 的关系式；（Ⅱ）若f （x ）存在两个极值点x 1，x 2，且x 1＜x 2，求a 的取值范围；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，证明f （22a ）＞0，并指出函数y ＝f （x ）零点的个数（要求说明理由）．请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑． 22．（本小题满分10分）选修4—1;几何证明选讲如图，P 是⊙O 外一点，PA 是切线，A 为切点，割线 PBC 与⊙O 相交于点B ，C ，PC ＝2PA ，D 为PC 的 中点，AD 的延长线交⊙O 于点E ，证明： （Ⅰ）∠EBC ＝∠BCE; （Ⅱ）AD ·DE ＝2PB 2． 23．（本小题满分10分）选修4—4：极坐标与参数方程在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的参数方程为2,2x y t ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩＝－＝（t 为参数），P 点的极坐标为（2，π），曲线C 的极坐标方程为ρcos 2θ＝sin θ． （Ⅰ）试将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，并求曲线C 的焦点坐标； （Ⅱ）设直线l 与曲线C 相交于两点A ，B ，点M 为AB 的中点，求｜PM ｜的值． 24．（本小题满分10分）选修4—5；不等式选讲 设函数f （x ）＝｜2x ＋1｜－｜x －4｜． （Ⅰ）解不等式：f （x ）＞0；（Ⅱ）若f （x ）＋3｜x －4｜≥m 对一切实数x 均成立，求m 的取值范围．平顶山市2016届高三第二次调研考试文科数学答案一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分60分．（1）．B （2）．C （3）．C （4）．D （5）．B （6）．A （7）．C （8）．B （9）．C （10）．C （11）．D （12）．B二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分20分． （13）．1 ；（14）．7； （15）．1ab ≤或9ab ≥； （16）．2． 三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （17）．解：（Ⅰ）因为 90=∠ABC ，4=AB ，3=BC ，所以3cos 5C =，4sin 5C =，5=AC ， …………………3分 又因为DC AD 4=，所以4=AD ，1=DC . ………………… 4分 在BCD ∆中，由余弦定理，得2222cos BD BC CD BC CD C=+-⋅ ………………… 7分223323123155=+-⨯⨯⨯=，所以 5104=BD . ………………… 9分 （Ⅱ）在BCD ∆中，由正弦定理，得sin sin CD BDCBD C=∠，所以154sin 5CBD=∠， ………………… 10分所以sin CDB ∠=………………… 12分（18）．解：（Ⅰ）0.10.030.0250.020.010.015a =----=………1分估计这名学生参加考试的成绩低于90分的概率为1-0.15=0.85 …………………3分（Ⅱ）从这5位学生代表中任选两人的所有选法共10种，分别为：AB ，AC ，AM ，AN ，BC ，BM ，BN ，CM ，CN ，MN ．代表M ，N 至少有一人被选中的选法共7种，分别为： AM ，AN ，BM ，BN ，CM ，CN ，MN ．设“学生代表M ，N 至少有一人被选中”为事件D ，7()=10P D ． …………………10分 答：学生代表M ，N 至少有一人被选中的概率为710． （Ⅲ）样本的中位数落在分组区间[70,80)内．…………………12分（19）．解：（20）．解：（1）由已知可设圆C 的方程为()()2253x m y m -+=<， ………………1分将点A 的坐标代入圆C 的方程，得()2315m -+=，即()234m -=，解得1m =或5m =，3m <Q ，1m ∴=． ………………2分∴圆C 的方程为()2215x y -+=． ………………3分（21）．解：（Ⅰ）（22）．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲（23）．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程解：解：（Ⅰ）把cos ,sin x y ρθρθ==代入2cos sin ρθθ=，可得曲线C 的直角坐标方程为2x y =，它是开口向上的抛物线，焦点坐标为10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭.（Ⅱ）点P 的直角坐标为(2,0)-，它在直线l 上，在直线l 的参数方程中， 设点,,A B M 对应的参数为120,,.t t t 由题意可知1202t t t +=.把直线l 的参数方程代入抛物线的直角坐标方程，得280t -+=.因为2=-48=180∆⨯>（，所以1202t t PM t +===则（24）．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲解：（1）当4x ≥时,()()21450f x x x x =+--=+>,得5x >-,所以4x ≥成立. ………………2分当421<≤-x 时，()214330f x x x x =++-=->,得1x >， 所以14x <<成立. ………………4分当21-<x 时, ()50f x x =-->,得5x <-, 所以5x <-成立. ………………6分综上，原不等式的解集为{}1,5x x x ><-或 ………………7分 （2）()342124f x x x x +-=++-9|)82(12|=--+≥x x ………………9分当时等号成立421≤≤-x 所以9m ≤ ………………10分。