2017-2018学年江西省南昌市铁路一中高二(上)期中数学试卷(理科)

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江西省南昌市高二上学期期中数学试卷(理科)

江西省南昌市高二上学期期中数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题： (共12题；共24分)1. （2分）直线x+y-1=0的倾斜角是（）A . 30°B . 120°C . 135°D . 150°2. （2分） (2018高三上·昭通期末) 己知过圆x2+y2=1上一点P，作直线，与直线：3x+4y+15=0交于点A，且l与l1的夹角为，则PA的最大值为（）A . 5B . 4C . 3D . 23. （2分）已知抛物线，过其焦点且斜率为的直线交抛物线于两点，若线段的中点的纵坐标为，则该抛物线的准线方程为（）A .B .C .D .4. （2分）若圆x2+y2﹣6x+6y+14=0关于直线l：ax+4y﹣6=0对称，则直线l的斜率是（）A . 6B .C . -D . -5. （2分）已知直线与直线平行，则实数m的取值为（）A .B .C .D . -26. （2分） (2017高二下·定州开学考) 已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣）2=1和两点A（﹣m，0），B（m，0）（m＞0），若圆C上存在点P，使得∠APB=90°，则m的最大值为（）A . 6B . 5C . 4D . 37. （2分） (2017高一下·扶余期末) 若圆上有且只有两个点到直线的距离等于则半径r的取值范围是（）A .B .C .D .8. （2分） (2016高二上·右玉期中) 已知过点P（2，2）的直线与圆（x﹣1）2+y2=5相切，且与直线ax﹣y+1=0垂直，则a=（）A .B . 1C . 2D .9. （2分） (2017高一上·滑县期末) 设函数f（x）=﹣2x ， g（x）=lg（ax2﹣2x+1），若对任意x1∈R，都存在x2∈R，使f（x1）=g（x2），则实数a的取值范围为（）A . （﹣1，0）B . （0，1）C . （﹣∞，1]D . [1，+∞）10. （2分）圆和圆的位置关系（）A . 相交B . 相切C . 外离D . 内含11. （2分） (2018高三下·滨海模拟) 实数满足不等式组则目标函数的最小值是（）A .B .C .D .12. （2分）如图，梯形ABCD中，AB∥CD，且AB⊥平面α，AB=2BC=2CD=4，点P为α内一动点，且∠APB=∠DPC，则P点的轨迹为（）A . 直线B . 圆C . 椭圆D . 双曲线二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）已知x2+y2+x+y+tanθ=0（﹣＜θ＜）表示圆，则θ的取值范围为________14. （1分） (2019高三上·汕头期末) 设变量满足约束条件：，则的最大值是________15. （1分） (2016高二上·延安期中) 设z=2y﹣x，式中变量x、y满足下列条件：，则z的最大值为________16. （1分） (2018高一上·寻乌期末) 在直角坐标系内，已知是圆上一点，折叠该圆两次使点分别与圆上不相同的两点（异于点）重合，两次的折痕方程分别为和，若圆上存在点，使，其中的坐标分别为，则实数的取值集合为________．三、解答题 (共6题；共60分)17. （10分）已知直线l1：2x+4y﹣1=0，直线l2经过点（1，﹣2），求满足下列条件的直线l2的方程：（1）l1∥l2；（2）l1⊥l2．18. （15分） (2016高二上·鹤岗期中) 已知直线l：kx﹣y﹣3k=0与圆M：x2+y2﹣8x﹣2y+9=0．（1）直线过定点A，求A点坐标；（2）求证：直线l与圆M必相交；（3）当圆M截直线l所得弦长最小时，求k的值．19. （5分） (2018高一下·六安期末) 某研究所计划利用“神舟十号”宇宙飞船进行新产品搭载实验，计划搭载新产品甲，乙，要根据该产品的研制成本、产品重量、搭载实验费用和预计产生收益来决定具体安排，通过调查，有关数据如表：产品甲（件）产品乙（件）研制成本与搭载费用之和（万元/件）200300计划最大资金额3000元产品重量（千克/件）105最大搭载重量110千克预计收益（万元/件）160120试问：如何安排这两种产品的件数进行搭载，才能使总预计收益达到最大，最大收益是多少？20. （10分）已知动圆经过点， .（1）求周长最小的圆的一般方程；（2）求圆心在直线上的圆的标准方程.21. （10分） (2016高二上·镇雄期中) 如图，在平行四边形OABC中，点C（1，3）．（1）求OC所在直线的斜率；（2）过点C作CD⊥AB于点D，求CD所在直线的方程．22. （10分） (2017高一下·穆棱期末) 已知圆C的方程为，直线 . （1）若直线l与圆C相切，求实数t的值；（2）若直线l与圆C相交于M,N两点，且，求实数t的值.参考答案一、选择题： (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共60分) 17-1、17-2、18-1、18-2、18-3、19-1、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、。

南昌市2017-2018学年高二数学上学期期中试题理(1)

2017—2018学年度上学期期中考试试卷高二数学试题（理科）一、选择题（本大题共12题,每小题5分，共计60分）1．双曲线2231y x -=的渐近线方程是（）A ．3y x =±B ．13y x =±C ．yD ．y x=±2．直线⎩⎨⎧+=+=t y t x 221（t 是参数）被圆922=+y x 截得的弦长等于（）A.512 B.5109 C 。

529 D 。

55123.已知椭圆125222=+y ax EMBED Equation.3 )5(>a 的两个焦点为1F 、2F ,且8||21=F F ，弦AB 过点1F ,则△2ABF 的周长为( )A ．10B ．20C ．241D ．4144。

.双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的2倍，且一个顶点的坐标为(0，2)，则双曲线的标准方程为（）A 。

14422=-x y B.14422=-y x C. 18422=-x y D.14822=-y x5。

椭圆2225922=+y x 上一点P 到右准线的距离为25，则P到左焦点的距离为( ) A 。

8 B 。

825 C 。

29D.3166。

已知P 是抛物线x y 42=上一动点，则点P 到直线032:=+-y x l 和y 轴的距离之和的最小值是（ )A.3 B 。

5 C.2D.15-7。

若实数x 、y 满足： 22916144x y +=，则10x y ++的取值范围是（ )A. [5， 15] B 。

[10， 15] C. [15-， 10] D. [15-，35]8.双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的左、右焦点分别为A F F ,21、是双曲线渐近线上的一点，212F F AF ⊥，原点O 到直线1AF 的距离为131OF , 则渐近线的斜率为( ) A.5-5或 B.2-2或 C 。

1-1或 D 。

南昌市高二上学期期中数学试卷(理科)D卷

南昌市高二上学期期中数学试卷（理科）D 卷姓名:________班级:________成绩:________一、选择题： (共 12 题；共 24 分)1. （2 分）若全集 U={1，2，3，4，5，6}，M={1，4}，N={2，3}，则集合（∁UM）∩N 等于（）A . {2，3}B . {2，3，5，6}C . {1，4}D . {1，4，5，6}2. （2 分）在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 A.-= ，则 cosB=（）B.C.D. 3. （2 分） (2017 高一下·滨海期末) 已知 a＞0，b＞0，且（a+1）（b+1）=2，则 a+b 最小值为（）A . 1﹣ B . 2﹣C . ﹣1D . 2 ﹣24. （2 分） (2019 高一下·三水月考) 等差数列的前第 1 页共 11 页项和为，最后项和为，所有项的和为，则项数为（） A. B. C. D.5. （2 分）已知数列，满足，（）,则数列的前项的和为A.B.．C.D.6. （2 分）在中，若，则的外接圆半径是（）A.B. C.D.7. （ 2 分） (2016 高二下 · 阳高开学考 ) 若数列 {an} ， {bn} 的通项公式分别是，，且 an＜bn 对任意 n∈N*恒成立，则实数 a 的取值范围是（）A . [﹣1，）第 2 页共 11 页B . [﹣2，）C . [﹣2，）D . [﹣1，）8. （2 分） (2017·内江模拟) 在正项等比数列{an}中，a1008a1010= A . ﹣2016 B . ﹣2017 C . 2016 D . 2017，则 lga1+lga2+…+lga2017=（）9. （2 分）定义在 R 上的奇函数 f(x)，满足（），且在上单调递减，则 xf(x)>0 的解集为A.或B.或C.或D.或10. （2 分）已知 A. B. C. 或 D. 或中，.则 C=（）。

江西省南昌市2017-2018学年高二下学期期中数学试卷(理科) Word版含解析

江西省南昌市2017-2018学年高二下学期期中数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共60分）1．（5分）下列说法正确的是（）A．三点确定一个平面B．四边形一定是平面图形C．梯形一定是平面图形D．两条直线没有公共点，则这两条直线平行2．（5分）一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为π，则球的表面积为（）A．B．8πC．D．4π3．（5分）用斜二测画法作一个边长为2的正方形，则其直观图的面积为（）A．B．2C．4D．4．（5分）如图，空间四边形OABC中，=，=，=，点M在线段OA上，且OM=2MA，点N为BC的中点，则=（）A．﹣++B．﹣+C．+﹣D．+﹣5．（5分）某几何体三视图如图（单位；cm），则该几何体的体积是（）A．1500cm3B．1025cm3C．625cm3D．1200cm36．（5分）已知正四面体ABCD中，E是AB的中点，则异面直线CE与BD所成角的余弦值为（）A．B．C．D．7．（5分）下列结论正确的是（）A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥B．以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥C．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该棱锥可能是正六棱锥D．圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线8．（5分）已知=（1，5，﹣2），=（3，1，z），若⊥，=（x﹣1，y，﹣3），且BP⊥平面ABC，则实数x、y、z分别为（）A．，﹣，4 B．，﹣，4 C．，﹣2，4 D．4，，﹣159．（5分）已知两条不重合的直线m、n和两个不重合的平面α、β，有下列：①若m⊥n，m⊥α，则n∥α；②若m⊥α，n⊥β，m∥n，则α∥β；③若m、n是两条异面直线，m⊂α，n⊂β，m∥β，n∥α，则α∥β；④若α⊥β，α∩β=m，n⊂β，n⊥m，则n⊥α．其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．410．（5分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则BC1与平面BB1D1D 所成角的正弦值为（）A．B．C．D．11．（5分）已知正四棱锥S﹣ABCD中，SA=2，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为（）A．1B．C．2D．312．（5分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，点M在AB上，且AM=，点P是平面ABCD上的动点，且动点P到直线A1D1的距离与动点P到点M的距离的平方差为1，则动点的轨迹是（）A．圆B．抛物线C．双曲线D．直线二、填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）若将锐角A为60°，边长为a的菱形ABCD沿对角线BD折成60°的二面角，则A与C之间的距离为．14．（5分）将圆心角为120°，面积为3π的扇形，作为圆锥的侧面，则圆锥的体积为．15．（5分）如图，直三棱柱ABCD﹣A1B1C1中，AB=1，BC=2，AC=，AA1=3，M为线段BB1上的一动点，则当AM+MC1最小时，点C到平面AMC1的距离为．16．（5分）在体积一定的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是棱CC1的中点，F是侧面BCC1B1内的动点，且A1F∥平面D1AE，记A1F与平面BCC1B1所成的角为θ，下列说法中正确的是．①点F的轨迹是一条线段；②三棱锥F﹣AD1E的体积为定值；③A1F与D1E不可能平行；④A1F与CC1是异面直线；⑤tanθ的最大值为3．三、解答题17．（10分）如图所示，P为平行四边形ABCD所在平面外一点，M、N分别为AB、PC的中点，平面PAD∩平面PBC=l．（1）判断BC与l的位置关系，并证明你的结论；（2）判断MN与平面PAD的位置关系，并证明你的结论．18．（12分）已知几何体A﹣BCED的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形，正视图为直角梯形，已知几何体A﹣BCED的体积为16．（1）求实数a的值；（2）将直角三角形△ABD绕斜边AD旋转一周，求该旋转体的表面积．19．（12分）如图所示，已知四棱锥的侧棱PD⊥平面ABCD，且底面ABCD是直角梯形，AD⊥CD，AB∥CD，AB=AD=CD=2，点M是侧棱PC的中点．（1）求证：BC⊥平面BDP；（2）若tan∠PCD=，求三棱锥M﹣BDP的体积．20．（12分）如图所示，正四棱锥P﹣ABCD被过棱锥高上O′点且平行底面的平面A′B′C′D′所截，得到正四棱台OO′和较小的棱锥PO′，其中O′分PO为=，侧棱PA长为15cm，小棱锥底面边长A′B′为6cm．（1）求截得棱台的体积．（2）求棱锥P﹣ABCD的内切球的表面积．21．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC上的点，PA=PD=2，BC=AD=1，CD=．（Ⅰ）求证：平面PQB⊥平面PAD；（Ⅱ）若M为棱PC的中点，求异面直线AP与BM所成角的余弦值；（Ⅲ）若二面角M﹣BQ﹣C大小为30°，求QM的长．22．（12分）等边三角形ABC的边长为3，点D、E分别是边AB、AC上的点，且满足（如图1）．将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使二面角A1﹣DE﹣B成直二面角，连结A1B、A1C （如图2）．（1）求证：A1D丄平面BCED；（2）在线段BC上是否存在点P，使直线PA1与平面A1BD所成的角为60°？若存在，求出PB的长；若不存在，请说明理由．江西省南昌市2014-2015学年高二下学期期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共60分）1．（5分）下列说法正确的是（）A．三点确定一个平面B．四边形一定是平面图形C．梯形一定是平面图形D．两条直线没有公共点，则这两条直线平行考点：的真假判断与应用．专题：简易逻辑．分析：A，根据公理2以及推论判断AB，四边形有两种：空间四边形和平面四边形；C，梯形中因为有一组对边平等，故梯形是平面图形．D，利用平行线的定义、判定与性质，即可确定D解答：解：对于A、根据公理2知，必须是不共线的三点确定一个平面，故A不对；对于B，∵四边形有两种：空间四边形和平面四边形，∴四边形不一定是平面图形，故B不成立；对于C，梯形中因为有一组对边平等，∴梯形是平面图形，故C成立．对于D，根据异面直线的定义：既不平行也不相交的直线为异面直线，可以判断当两直线没有公共点时可能平行也可能异面．故选：C．点评：本题主要考查了确定平面的依据，注意利用公理2的以及推论的作用和条件，可以利用符合题意的几何体来判断，考查了空间想象能力．2．（5分）一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为π，则球的表面积为（）A．B．8πC．D．4π考点：球的体积和表面积；球面距离及相关计算．专题：计算题．分析：求出截面圆的半径，利用勾股定理求球的半径，然后求出球的表面积．解答：解：球的截面圆的半径为：π=πr2，r=1球的半径为：R=所以球的表面积：4πR2=4π×=8π故选B．点评：本题考查球的体积和表面积，考查计算能力，逻辑思维能力，是基础题．3．（5分）用斜二测画法作一个边长为2的正方形，则其直观图的面积为（）A．B．2C．4D．考点：斜二测法画直观图．专题：规律型．分析：根据斜二测画法的原则得到直观图的对应边长关系，即可求出相应的面积．解答：解：根据斜二测画法的原则可知OC=2，OA=1，∴对应直观图的面积为，故选：D．点评：本题主要考查利用斜二测画法画空间图形的直观图，利用斜二测画法的原则是解决本题的关键，比较基础．4．（5分）如图，空间四边形OABC中，=，=，=，点M在线段OA上，且OM=2MA，点N为BC的中点，则=（）A．﹣++B．﹣+C．+﹣D．+﹣考点：空间向量的加减法．专题：空间向量及应用．分析：由题意，把，，三个向量看作是基向量，由图形根据向量的线性运算，将用三个基向量表示出来，即可得到答案，选出正确选项．解答：解：=，=+﹣+，=++﹣，=﹣++，∵=，=，=，∴=﹣++，故选：A．点评：本题考点是空间向量基本定理，考查了用向量表示几何的量，向量的线性运算，解题的关键是根据图形把所研究的向量用三个基向量表示出来，本题是向量的基础题．5．（5分）某几何体三视图如图（单位；cm），则该几何体的体积是（）A．1500cm3B．1025cm3C．625cm3D．1200cm3考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：根据几何体的三视图，得出该几何体是底面为矩形的直四棱锥，结合图中数据求出它的体积．解答：解：根据几何体的三视图，得；该几何体是底面为矩形，高为15cm的直四棱锥；且底面矩形的长为20cm，宽为15cm，如图所示；∴该四棱锥的体积为×20×15×15=1500cm2．故选：A．点评：本题考查了空间几何体的三视图的应用问题，也考查了空间想象能力与数据的计算能力，是基础题目．6．（5分）已知正四面体ABCD中，E是AB的中点，则异面直线CE与BD所成角的余弦值为（）A．B．C．D．考点：异面直线及其所成的角．专题：空间角．分析：由E为AB的中点，可取AD中点F，连接EF，则∠CEF为异面直线CE与BD所成角，设出正四面体的棱长，求出△CEF的三边长，然后利用余弦定理求解异面直线CE与BD所成角的余弦值．解答：解：如图，取AD中点F，连接EF，CF，∵E为AB的中点，∴EF∥DB，则∠CEF为异面直线BD与CE所成的角，∵ABCD为正四面体，E，F分别为AB，AD的中点，∴CE=CF．设正四面体的棱长为2a，则EF=a，CE=CF=．在△CEF中，由余弦定理得：=．故选：B．点评：本题考查异面直线及其所成的角，关键是找角，考查了余弦定理的应用，是中档题．7．（5分）下列结论正确的是（）A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥B．以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥C．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该棱锥可能是正六棱锥D．圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线考点：简单组合体的结构特征．专题：数形结合．分析：通过简单几何体和直观图说明A和B错误，根据正六棱锥的过中心和定点的截面知C错误，由圆锥的母线进行判断知D正确．解答：解：A、如图（1）所示，由两个结构相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体，各面都是三角形，但它不是棱锥，故A错误；B、如图（2）（3）所示，若△ABC不是直角三角形，或是直角三角形但旋转轴不是直角边，所得的几何体都不是圆锥，故B错误；C、若六棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边形．由过中心和定点的截面知，若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长，故C错误；D、根据圆锥母线的定义知，故D正确．故选D．点评：本题考查了简单几何体的结构特征的应用，结合柱体、椎体和台体的结构特征，以及几何体的直观图进行判断，考查了空间想象能力．8．（5分）已知=（1，5，﹣2），=（3，1，z），若⊥，=（x﹣1，y，﹣3），且BP⊥平面ABC，则实数x、y、z分别为（）A．，﹣，4 B．，﹣，4 C．，﹣2，4 D．4，，﹣15考点：向量语言表述线线的垂直、平行关系．专题：空间向量及应用．分析：利用数量积与垂直的关系、线面垂直的性质定理即可得出．解答：解：∵⊥，∴=3+5﹣2Z=0，解得z=4．∴．∵BP⊥平面ABC，∴，．∴化为，解得．∴，，z=4．故选：B．点评：本题考查了数量积与垂直的关系、线面垂直的性质定理，属于中档题．9．（5分）已知两条不重合的直线m、n和两个不重合的平面α、β，有下列：①若m⊥n，m⊥α，则n∥α；②若m⊥α，n⊥β，m∥n，则α∥β；③若m、n是两条异面直线，m⊂α，n⊂β，m∥β，n∥α，则α∥β；④若α⊥β，α∩β=m，n⊂β，n⊥m，则n⊥α．其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．4考点：平面与平面之间的位置关系．专题：证明题．分析：①直线与平面的位置关系有三种：平行，相交，在平面内，此中n可能在平面α内，故①错误；②利用“垂直于同一条直线的两平面平行即可判断②正确；③利用线面垂直的判定定理，先证明平面β内有两条相交直线与平面α平行，再由面面平行的判定定理证明两面平行，③正确；④若两平面垂直，则在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面，由此性质定理即可判断④正确解答：解：①若m⊥n，m⊥α，则n可能在平面α内，故①错误②∵m⊥α，m∥n，∴n⊥α，又∵n⊥β，∴α∥β，故②正确③过直线m作平面γ交平面β与直线c，∵m、n是两条异面直线，∴设n∩c=O，∵m∥β，m⊂γ，γ∩β=c∴m∥c，∵m⊂α，c⊄α，∴c∥α，∵n⊂β，c⊂β，n∩c=O，c∥α，n∥α∴α∥β；故③正确④由面面垂直的性质定理：∵α⊥β，α∩β=m，n⊂β，n⊥m，∴n⊥α．故④正确故正确有三个，故选C点评：本题综合考查了直线与平面的位置关系，面面平行的判定定理及结论，面面垂直的性质定理等基础知识10．（5分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则BC1与平面BB1D1D 所成角的正弦值为（）A．B．C．D．考点：直线与平面所成的角．专题：计算题．分析：由题意，由于图形中已经出现了两两垂直的三条直线所以可以利用空间向量的方法求解直线与平面所成的夹角．解答：解：以D点为坐标原点，以DA、DC、DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系（图略），则A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），C1（0，2，1）∴=（﹣2，0，1），=（﹣2，2，0），且为平面BB1D1D的一个法向量．∴cos＜，＞═=．∴BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为故答案为D．点评：此题重点考查了利用空间向量，抓住直线与平面所成的角与该直线的方向向量与平面的法向量的夹角之间的关系这一利用向量方法解决了抽象的立体几何问题．11．（5分）已知正四棱锥S﹣ABCD中，SA=2，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为（）A．1B．C．2D．3考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题；压轴题．分析：设出底面边长，求出正四棱锥的高，写出体积表达式，利用求导求得最大值时，高的值．解答：解：设底面边长为a，则高h==，所以体积V=a2h=，设y=12a4﹣a6，则y′=48a3﹣3a5，当y取最值时，y′=48a3﹣3a5=0，解得a=0或a=4时，当a=4时，体积最大，此时h==2，故选C．点评：本试题主要考查椎体的体积，考查高次函数的最值问题的求法．是中档题．12．（5分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，点M在AB上，且AM=，点P是平面ABCD上的动点，且动点P到直线A1D1的距离与动点P到点M的距离的平方差为1，则动点的轨迹是（）A．圆B．抛物线C．双曲线D．直线考点：轨迹方程；抛物线的定义．专题：计算题．分析：作PQ⊥AD，作QR⊥D1A1，PR即为点P到直线A1D1的距离，由勾股定理得PR2﹣PQ2=RQ2=1，又已知PR2﹣PM2=1，PM=PQ，即P到点M的距离等于P到AD的距离．解答：解：如图所示：正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，作PQ⊥AD，Q为垂足，则PQ⊥面ADD1A1，过点Q作QR⊥D1A1，则D1A1⊥面PQR，PR即为点P到直线A1D1的距离，由题意可得PR2﹣PQ2=RQ2=1．又已知PR2﹣PM2=1，∴PM=PQ，即P到点M的距离等于P到AD的距离，根据抛物线的定义可得，点P的轨迹是抛物线，故选B．点评：本题考查抛物线的定义，求点的轨迹方程的方法，体现了数形结合的数学思想，得到PM=PQ是解题的关键．二、填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）若将锐角A为60°，边长为a的菱形ABCD沿对角线BD折成60°的二面角，则A与C之间的距离为a．考点：点、线、面间的距离计算．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：取BD的中点E，连接AE，CE，则AE⊥BD，CE⊥BD，故∠AEC是二面角A﹣BD﹣C的平面角，判定△AEC是等边三角形，即可得到结论．解答：解：由题意，取BD的中点E，连接AE，CE，则AE⊥BD，CE⊥BD∴∠AEC是二面角A﹣BD﹣C的平面角∴∠AEC=60°，∵菱形ABCD中，锐角A为60°，边长为a，∴AE=CE= a∴△AEC是等边三角形∴A与C之间的距离为a，故答案为：a．点评：本题考查面面角，考查学生的计算能力，属于基础题．14．（5分）将圆心角为120°，面积为3π的扇形，作为圆锥的侧面，则圆锥的体积为．考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．专题：计算题．分析：设出圆锥的母线与底面半径，根据所给的圆锥的侧面积和圆心角，求出圆锥的母线长与底面半径，利用体积公式做出结果．解答：解：设圆锥的母线为l，底面半径为r，∵3π=πl2∴l=3，∴120°=×360°，∴r=1，∴圆锥的高是=2∴圆锥的体积是×π×12×2=．故答案为：．点评：本题考查圆锥的体积，解题时注意圆锥的展开图与圆锥的各个量之间的关系，做好关系的对应，本题是一个易错题．15．（5分）如图，直三棱柱ABCD﹣A1B1C1中，AB=1，BC=2，AC=，AA1=3，M为线段BB1上的一动点，则当AM+MC1最小时，点C到平面AMC1的距离为．考点：点、线、面间的距离计算．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：先将直三棱柱ABC﹣A1B1C1沿棱BB1展开成平面连接AC1，与BB1的交点即为满足AM+MC1最小时的点M，由此可以求得△AMC1的三边长，再由余弦定理求出其中一角，由面积公式求出面积解答：解：将直三棱柱ABC﹣A1B1C1沿棱BB1展开成平面连接AC1，与BB1的交点即为满足AM+MC1最小时的点M，由于AB=1，BC=2，AA1=3，再结合棱柱的性质，可得BM=AA1=1，故B1M=2由图形及棱柱的性质，可得AM=，AC1=，MC1=2，cos∠AMC1==﹣．故sin∠AMC1=，△AMC1的面积为=，设点C到平面AMC1的距离为h，则由等体积可得，∴h=．故答案为：．点评：本题考查棱柱的特征，求解本题的关键是根据棱柱的结构特征及其棱长等求出三角形的边长，再由面积公式求面积，本题代数与几何相结合，综合性强，解题时要注意运算准确，正确认识图形中的位置关系．16．（5分）在体积一定的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是棱CC1的中点，F是侧面BCC1B1内的动点，且A1F∥平面D1AE，记A1F与平面BCC1B1所成的角为θ，下列说法中正确的是①②④．①点F的轨迹是一条线段；②三棱锥F﹣AD1E的体积为定值；③A1F与D1E不可能平行；④A1F与CC1是异面直线；⑤tanθ的最大值为3．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；棱柱的结构特征．专题：空间位置关系与距离．分析：找出F所在平面上的轨迹，然后判断①的正误；利用体积是否变化判断②的正误；找出F的特殊位置判断④大致为；求出tanθ的最大值，判断⑤的正误；解答：解：对于①，取BC 的中点G，BB1，B1C1的中点NM，连结MN，EG，则F在MN上，满足F是侧面BCC1B1内的动点，且A1F∥平面D1AE，所以①正确；对于②，因为MN∥EG，则F到平面AD1E的距离是定值，三棱锥F﹣AD1E的体积为定值，所以②正确；对于③，当F在N时，A1F与D1E平行，所以③不正确；对于④，A1F与CC1是异面直线；满足异面直线的定义，所以④正确；对于⑤，A1F与平面BCC1B1所成的角为θ，tanθ==2，所以⑤不正确；故答案为：①②④．点评：本题考查棱柱的几何特征，直线与平面所成角，几何体的体积的求法，直线与平面平行的判断，考查逻辑推理以及计算能力．三、解答题17．（10分）如图所示，P为平行四边形ABCD所在平面外一点，M、N分别为AB、PC的中点，平面PAD∩平面PBC=l．（1）判断BC与l的位置关系，并证明你的结论；（2）判断MN与平面PAD的位置关系，并证明你的结论．考点：空间中直线与平面之间的位置关系；空间中直线与直线之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）由AD∥BC，可得BC∥平面PAD，再利用线面平行的性质可得BC∥l；（2）取CD的中点Q，连接MQ、NQ，可证平面MNQ∥平面PAD，再由面面平行的性质得线面平行．解答：解：（1）结论：BC∥l．证明：∵AD∥BC，BC⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，∴BC∥平面PAD．又∵BC⊂平面PBC，平面PAD∩平面PBC=l，∴BC∥l．（2）结论：MN∥平面PAD．证明：取CD的中点Q，连结NQ，MQ，则NQ∥PD，MQ∥AD，又∵NQ∩MQ=Q，PD∩AD=D，∴平面MNQ∥平面PAD．又∵MN⊂平面MNQ，∴MN∥平面PAD．点评：本题考查了线面平行的判定与性质，考查了面面平行的判定与性质，体现了线线、线面、面面平行关系的相互转化，要熟记相关定理的条件．18．（12分）已知几何体A﹣BCED的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形，正视图为直角梯形，已知几何体A﹣BCED的体积为16．（1）求实数a的值；（2）将直角三角形△ABD绕斜边AD旋转一周，求该旋转体的表面积．考点：由三视图求面积、体积；旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：（1）由该几何体的三视图知AC⊥面BCED，且EC=BC=AC=4，BD=a，利用几何体A﹣BCED的体积为16，求实数a的值；（2）过B作AD的垂线BH，垂足为H，得，求出圆锥底面周长为，两个圆锥的母线长分别为和2，即可求该旋转体的表面积．解答：解：（1）由该几何体的三视图知AC⊥面BCED，且EC=BC=AC=4，BD=a，体积V==16，解得a=2；（2）在RT△ABD中，，BD=2，AD=6，过B作AD的垂线BH，垂足为H，得，该旋转体由两个同底的圆锥构成，圆锥底面半径为，所以圆锥底面周长为，两个圆锥的母线长分别为和2，故该旋转体的表面积为．点评：本题考查了圆锥的侧面积公式、积体公式和解三角形等知识，属于基础题．19．（12分）如图所示，已知四棱锥的侧棱PD⊥平面ABCD，且底面ABCD是直角梯形，AD⊥CD，AB∥CD，AB=AD=CD=2，点M是侧棱PC的中点．（1）求证：BC⊥平面BDP；（2）若tan∠PCD=，求三棱锥M﹣BDP的体积．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）由AB⊥AD，AB=AD=2，可得BD=2，又AD=2，CD=4，AB=2，可得BC=2，利用勾股定理的逆定理可得BD⊥BC．由PD⊥平面ABCD，利用线面垂直的性质定理可得PD⊥BC．利用线面垂直的判定定理即可证明．（2）如图，过M作MG⊥DC交DC于点G．由PD⊥DC，M是PC中点，知MG是△DCP 的中位线，又PD⊥平面ABCD，可得MG⊥平面BDC．又tan∠PCD=，得PD=2，MG=PD=1．利用V M﹣BDP=V P﹣BCD﹣V M﹣BCD，即可得出．解答：（1）证明：∵AB⊥AD，AB=AD=2，∴BD==2，又AD=2，CD=4，AB=2，则BC=2，∴BD2+BC2=16=DC2，∴BD⊥BC．∵PD⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，∴PD⊥BC．又BD∩PD=D，∴BC⊥平面BDP．（2）解：如图，过M作MG⊥DC交DC于点G．由PD⊥DC，M是PC中点，知MG是△DCP的中位线，∴MG∥PD，MG=PD，又PD⊥平面ABCD，∴MG⊥平面BDC．又tan∠PCD=，得PD=2，MG=PD=1．∴V M﹣BDP=V P﹣BCD﹣V M﹣BCD=××2×2×2﹣××2×2×1=．点评：本题考查了线面垂直的判定与性质定理、勾股定理及其逆定理、三角形中位线定理、三棱锥的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．（12分）如图所示，正四棱锥P﹣ABCD被过棱锥高上O′点且平行底面的平面A′B′C′D′所截，得到正四棱台OO′和较小的棱锥PO′，其中O′分PO为=，侧棱PA长为15cm，小棱锥底面边长A′B′为6cm．（1）求截得棱台的体积．（2）求棱锥P﹣ABCD的内切球的表面积．考点：球的体积和表面积；棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：（1）计算出棱台的上、下底的边长，高，可得截得棱台的体积；（2）由等体积计算棱锥P﹣ABCD的内切球的半径，即可求出棱锥P﹣ABCD的内切球的表面积．解答：解：（1）由A′B′∥AB得，∴=，∴PA′=5，AB=18，∵PO==3∴OO′=PO=2，∴V台=（36+182+）•2=312（cm3）…（6分）（2）作轴截面图如下，设球心为E，半径为R，由PH=PQ=12，HQ=AB=18，PO==3，则∵S△PHQ=（PH+PQ+HQ）R，∴=（12+12+18）R，∴R=，∴棱锥P﹣ABCD的内切球的表面积为4πR2=π（cm2）…（12分）点评：本题考查棱台的体积，考查棱锥P﹣ABCD的内切球的表面积，考查学生的计算能力，求出棱锥P﹣ABCD的内切球的半径是关键，属于中档题．21．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC上的点，PA=PD=2，BC=AD=1，CD=．（Ⅰ）求证：平面PQB⊥平面PAD；（Ⅱ）若M为棱PC的中点，求异面直线AP与BM所成角的余弦值；（Ⅲ）若二面角M﹣BQ﹣C大小为30°，求QM的长．考点：异面直线及其所成的角；平面与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）由题意易证QB⊥AD，由面面垂直的性质可得BQ⊥平面PAD，可得结论；（Ⅱ）易证PQ⊥平面ABCD，以Q为原点建立空间直角坐标系，则可得相关点的坐标，可得向量和的坐标，可得夹角的余弦值，由反三角函数可得答案；（Ⅲ）可得平面BQC的法向量为，又可求得平面MBQ法向量为，结合题意可得λ的方程，解方程可得λ，可得所求．解答：解：（Ⅰ）∵AD∥BC，BC=AD，Q为AD的中点，∴四边形B CDQ为平行四边形，∴CD∥BQ又∵∠ADC=90°，∴∠AQB=90°即QB⊥AD．又∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，∴BQ⊥平面PAD．∵BQ⊂平面PQB，∴平面PQB⊥平面PAD．（Ⅱ）∵PA=PD，Q为AD的中点，∴PQ⊥AD．∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，∴PQ⊥平面ABCD．如图，以Q为原点建立空间直角坐标系．则Q（0，0，0），A（1，0，0），，，∵M是PC中点，∴，∴设异面直线AP与BM所成角为θ则cosθ==，∴异面直线AP与BM所成角的余弦值为；（Ⅲ）由（Ⅱ）知平面BQC的法向量为，由，且0≤λ≤1，得，又，∴平面MBQ法向量为．∵二面角M﹣BQ﹣C为30°，∴，∴．∴|QM|=点评：本题考查空间角，涉及平面与平面垂直的判定，建立空间直角坐标系是解决问题的关键，属中档题．22．（12分）等边三角形ABC的边长为3，点D、E分别是边AB、AC上的点，且满足（如图1）．将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使二面角A1﹣DE﹣B成直二面角，连结A1B、A1C （如图2）．（1）求证：A1D丄平面BCED；（2）在线段BC上是否存在点P，使直线PA1与平面A1BD所成的角为60°？若存在，求出PB的长；若不存在，请说明理由．考点：用空间向量求直线与平面的夹角；直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角．专题：计算题；空间角；空间向量及应用．分析：（1）等边△ABC中，根据得到AD=1且AE=2，由余弦定理算出DE=，从而得到AD2+DE2=AE2，所以AD⊥DE．结合题意得平面A1DE⊥平面BCDE，利用面面垂直的性质定理，可证出A1D丄平面BCED；（2）作PH⊥BD于点H，连接A1H、A1P，由A1D丄平面BCED得A1D丄PH，所以PH⊥平面A1BD，可得∠PA1H是直线PA1与平面A1BD所成的角，即∠PA1H=60°．设PB=x（0≤x≤3），分别在Rt△BA1H、Rt△PA1H和Rt△DA1H中利用三角函数定义和勾股定理，建立等量关系得12+（2﹣x）2=（x）2，解之得x=，从而得到在BC上存在点P且当PB=时，直线PA1与平面A1BD所成的角为60°．解答：解：（1）∵正△ABC的边长为3，且==∴AD=1，AE=2，△A DE中，∠DAE=60°，由余弦定理，得DE==∵AD2+DE2=4=AE2，∴AD⊥DE．折叠后，仍有A1D⊥DE∵二面角A1﹣DE﹣B成直二面角，∴平面A1D E⊥平面BCDE又∵平面A1DE∩平面BCDE=DE，A1D⊂平面A1DE，A1D⊥DE∴A1D丄平面BCED；（2）假设在线段BC上存在点P，使直线PA1与平面A1BD所成的角为60°如图，作PH⊥BD于点H，连接A1H、A1P由（1）得A1D丄平面BCE D，而PH⊂平面BCED所以A1D丄PH∵A1D、BD是平面A1BD内的相交直线，∴PH⊥平面A1BD由此可得∠PA1H是直线PA1与平面A1BD所成的角，即∠PA1H=60°设PB=x（0≤x≤3），则BH=PBcos60°=，PH=PBsin60°=x在Rt△PA1H中，∠PA1H=60°，所以A1H=，在Rt△DA1H中，A1D=1，DH=2﹣x由A1D2+DH2=A1H2，得12+（2﹣x）2=（x）2解之得x=，满足0≤x≤3符合题意所以在线段BC上存在点P，使直线PA1与平面A1BD所成的角为60°，此时PB=．点评：本题给出平面翻折问题，求证直线与平面垂直并探索了直线与平面所成角的问题，着重考查了线面垂直、面面垂直的判定与性质和直线与平面所成角的求法等知识，属于中档题．。

2017-2018学年江西省南昌市实验中学高二数学上期中(理)试题(含答案)

2017-2018上学年期中卷高二数学（理）第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线340x -=的倾斜角是（）A ．030 B ．060 C ．0120 D ．01502.已知方程22220x y x y a +-++=表示圆，则实数a 的取值范围是（） A ．(2,)+∞ B ．(2,)-+∞ C ．(,2)-∞ D ．(,1)-∞3.椭圆2212x y +=的离心率是（）A ．14 B C ．12 D 4.直线l 过点(1,0)且与直线240x y -+=平行，则l 的方程是（）A ．210x y --=B ．210x y -+= C. 220x y +-= D ．210x y +-=5.圆22:4210A x y x y ++++=与圆2:2610B x y x y +--+=的位置关系是（） A ．相交 B ．内切 C.外切 D ．内含6.直线12,l l 的斜率是方程2310x x --=的两根，则1l 与2l 的位置关系是（） A ．平行 B ．重合 C. 相交但不垂直 D ．垂直 7.直线40x y -+=被圆224460x y x y ++-+=截得的弦长等于（）A ．4B ．8 C. D ．8.方程221x y +=（0xy <）的曲线形状是（）9.设斜率为2的直线l过抛物线2y ax=（0a≠）的焦点F，且和y轴交于点A，若O A F∆（O为坐标原点）的面积为4，则抛物线方程为（）A．24y x=±B．28y x=± C. 24y x=D．28y x=10.过圆221x y+=上一点作切线与x轴，y轴的正半轴交于,A B两点，则AB的最小值为（）ABC.2 D．311.若曲线22141x yk k+=+-表示双曲线，则k的取值范围是（）A．[4,1)-B．(,4)(1,)-∞-+∞C. (4,1)-D．(,4][1,)-∞+∞12.直线1:2l y x=与直线2:0l ax by c++=（0abc≠）相互垂直，当,,a b c成等差数列时，直线12,l l与y轴围成的三角形的面积S=（）A．920B．910C.95D．23第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.圆221:230C x y x+--=，圆222:4230C x y x y+-++=的公共弦方程是．14.点(2,1)M关于直线10x y++=的对称点的坐标是．15.实数,x y满足条件241x yx yy+≤⎧⎪+≥⎨⎪≥⎩，则35x y+的最大值为．16.已知12,F F分别为双曲线22221x ya b-=（0,0a b>>）的左、右焦点，过2F与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线于点P ，若123PF PF =，则双曲线的离心率为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知ABC ∆的三个顶点(4,6)A -，(4,0)B -，(1,4)C -，求：（1）AC 边上的高BD 所在直线的方程；（2）BC 的垂直平分线EF 所在直线的方程；（3）AB 边的中线的方程.18. 已知圆C 过(2,6)P ，(2,2)Q -两点，且圆心C 在直线30x y +=上. （1）求圆C 的方程；（2）若直线l 过点(0,5)P 且被圆C 截得的线段长为l 的方程.19. 已知双曲线221916x y -=. （1）求焦点12,F F 的坐标；并求出焦点2F 到渐的线的距离；（2）若P 为双曲线上的点且01230F PF ∠=，求12F PF ∆的面积S . 20. 已知椭圆2222:1x y C a b+=（0a b >>），若椭圆C 上的一动点到右焦点的最短距离为2ax c=的距离等于短半轴的长，已知(4,0)P ，过P 的直线与椭圆交于,M N 两点. （1）求椭圆C 的方程；（2）求OM ON ∙的取值范围.21. 已知直线:l x m =（2m <-）与x 轴交于A 点，动圆M 与直线l 相切，并且与圆22:4O x y +=相外切.（1）求动圆的圆心M 的轨迹C 的方程；（2）若过原点且倾斜角为3π的直线与曲线C 交于,M N 两点，问是否存在以MN 为直径的圆经过点A ？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由.22.已知与曲线22:2210C x y x y +--+=相切的直线I ，与x 轴，y 轴交于,A B 两点，O为原点，OA a =，OB b =，（2,2a b >>）. （1）求证:：I 与C 相切的条件是：(2)(2)2a b --=. （2）求线段AB 中点的轨迹方程；（3）求三角形AOB 面积的最小值.试卷答案一、选择题1-5:CCBAC 6-10: DBCBC 11、12：CA 二、填空题13. 30x y --= 14. (2,3)-- 15. 1216. 三、解答题故所求的直线方程为：7x+y+3=0（-1≤x ≤0） 18.解：（1）设圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=，根据题意有2602283022D E F D E F D E ⎧⎪++=⎪-++=-⎨⎪⎪--=⎩，计算得出41224D E F =⎧⎪=-⎨⎪=⎩，故所求圆的方程为22412240x y x y ++-+=.（2）如图所示，AB =，设D 是线段AB 的中点，则CD AB ⊥，∴AD =4AC =. 在Rt ACD ∆中，可得2CD =. 当直线l 的斜率不存在时，满足题意，此时方程为0x =.当直线l 的斜率存在时，设所求直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为：5y kx -=，即50kx y -+=，由点C 到直线AB 的距离公式：2=，得34k =，此时直线l 的方程为34200x y -+=. ∴所求直线l 的方程为0x =或34200x y -+=19. 解:(1)根据题意得:,,,焦点,的坐标:,;焦点到渐近线:的距离:; (2)设,由题知:由(1)(2)得所以所以.20.解：由题意椭圆C上的一动点到右焦点的最短距离为2ax c=的距离等于短半轴的长，已知点(4,0)P，知22a c a c bc⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，解得2a b =⎧⎪⎨=⎪⎩故椭圆C 的方程22142x y +=. （2）由题意知直线MN 的斜率存在，设直线MN 的方程为(4)y k x =-.由22(4)142y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得2222(21)163240k x k x k +-+-=①设点11(,)M x y ，22(,)N x y ，22222(16)4(21)(324)16960k k k k ∆=--+-=-> 21222122162132421k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩221212212(4)(4)21k y y k x x k =--=+212122244426222121k OM ON x x y y k k -∙=+==-++ ∵2106k ≤<即5[4,)2OM ON ∙∈- .21.（1）设动圆圆心为(,)M x y ，则2()O M x m =+-，化简得222(2)(2)y m x m =-+-（2m <-），这就是动圆圆心的轨迹C 的方程.（2）直线MN 的方程为y x =，代入曲线C 的方程得2232(2)(2)0x m x m ----=显然216(2)0m ∆=->.设11(,)M x y ，22(,)N x y ，则12(2)x x m +=-， 221)2(m x x --=，而1212123y y x x x x =∙=若以MN 为直径的圆过点A ，则AM AN ⊥， ∴1AM AN k k ∙=-由此得212124()0x x m x x m -++=∴22(2)(2)0m m m m ---∙-+=，即212160m m +-=. 解得162m =--，262m =-+（舍）.故当62m =--时，以MN 为直径的圆恰好过点A 22. (1)圆的圆心为，半径为1.可以看作是的内切圆。

江西省南昌市实验中学2017-2018学年高二上学期期中数

2017-2018上学年期中卷高二数学（理）第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线340x +-=的倾斜角是（）A ．030 B ．060 C ．0120 D ．01502.已知方程22220x y x y a +-++=表示圆，则实数a 的取值范围是（） A ．(2,)+∞ B ．(2,)-+∞ C ．(,2)-∞ D ．(,1)-∞3.椭圆2212xy+=的离心率是（）A ．14B ．2C ．12D 24.直线l 过点(1,0)且与直线240x y -+=平行，则l 的方程是（）A ．210x y --=B ．210x y -+= C. 220x y +-= D ．210x y +-=5.圆22:4210A x y x y ++++=与圆2:2610B x y x y +--+=的位置关系是（） A ．相交 B ．内切 C.外切 D ．内含6.直线12,l l 的斜率是方程2310x x --=的两根，则1l 与2l 的位置关系是（） A ．平行 B ．重合 C. 相交但不垂直 D ．垂直 7.直线40x y -+=被圆224460x y x y ++-+=截得的弦长等于（）A ．4B ．8 C. ．8.方程221x y +=（0x y <）的曲线形状是（）9.设斜率为2的直线l过抛物线2y a x=（0a≠）的焦点F，且和y轴交于点A，若OAF∆（O为坐标原点）的面积为4，则抛物线方程为（）A．24y x=± B．28y x=± C. 24y x= D．28y x=10.过圆221x y+=上一点作切线与x轴，y轴的正半轴交于,A B两点，则A B的最小值为（）AC.2 D．311.若曲线22141x yk k+=+-表示双曲线，则k的取值范围是（）A．[4,1)- B．(,4)(1,)-∞-+∞ C. (4,1)- D．(,4][1,)-∞+∞12.直线1:2l y x=与直线2:0l a x b y c++=（0a b c≠）相互垂直，当,,a b c成等差数列时，直线12,l l与y轴围成的三角形的面积S=（）A．920B．910C.95D．23第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.圆221:230C x y x+--=，圆222:4230C x y x y+-++=的公共弦方程是．14.点(2,1)M关于直线10x y++=的对称点的坐标是．15.实数,x y满足条件241x yx yy+≤⎧⎪+≥⎨⎪≥⎩，则35x y+的最大值为．16.已知12,F F分别为双曲线22221x ya b-=（0,0a b>>）的左、右焦点，过2F与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线于点P，若123P F P F=，则双曲线的离心率为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知A B C ∆的三个顶点(4,6)A -，(4,0)B -，(1,4)C -，求：（1）A C 边上的高B D 所在直线的方程；（2）B C 的垂直平分线E F 所在直线的方程；（3）A B 边的中线的方程.18. 已知圆C 过(2,6)P ，(2,2)Q -两点，且圆心C 在直线30x y +=上. （1）求圆C 的方程；（2）若直线l 过点(0,5)P 且被圆C 截得的线段长为l 的方程.19. 已知双曲线221916xy-=.（1）求焦点12,F F 的坐标；并求出焦点2F 到渐的线的距离；（2）若P 为双曲线上的点且01230F P F ∠=，求12F P F ∆的面积S .20. 已知椭圆2222:1x y C ab+=（0a b >>），若椭圆C 上的一动点到右焦点的最短距离为2-a x c=的距离等于短半轴的长，已知(4,0)P ，过P 的直线与椭圆交于,M N 两点.（1）求椭圆C 的方程；（2）求O M O N ∙的取值范围.21. 已知直线:l x m =（2m <-）与x 轴交于A 点，动圆M 与直线l 相切，并且与圆22:4O x y+=相外切.（1）求动圆的圆心M 的轨迹C 的方程；（2）若过原点且倾斜角为3π的直线与曲线C 交于,M N 两点，问是否存在以M N 为直径的圆经过点A ？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由.22.已知与曲线22:2210C x y x y +--+=相切的直线I ，与x 轴，y 轴交于,A B 两点，O 为原点，O A a =，O B b =，（2,2a b >>）.（1）求证:：I与C相切的条件是：(2)(2)2--=.a b（2）求线段A B中点的轨迹方程；（3）求三角形A O B面积的最小值.试卷答案一、选择题1-5:CCBAC 6-10: DBCBC 11、12：CA 二、填空题13. 30x y --= 14. (2,3)--三、解答题故所求的直线方程为：7x+y+3=0（-1≤x ≤0） 18.解：（1）设圆的方程为220x y D x E y F ++++=，根据题意有2602283022D E F D E F D E ⎧⎪++=⎪-++=-⎨⎪⎪--=⎩，计算得出41224D E F =⎧⎪=-⎨⎪=⎩，故所求圆的方程为22412240x y x y ++-+=.（2）如图所示，A B =D 是线段A B 的中点，则C D A B ⊥，∴A D =4A C =. 在R t A C D ∆中，可得2C D =. 当直线l 的斜率不存在时，满足题意，此时方程为0x =.当直线l 的斜率存在时，设所求直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为：5y k x -=，即50kx y -+=，由点C 到直线A B 的距离公式：2=，得34k =，此时直线l 的方程为34200x y -+=.∴所求直线l 的方程为0x =或34200x y -+=19. 解:(1)根据题意得:,,,焦点,的坐标:,;焦点到渐近线:的距离:;(2)设,由题知:由(1)(2)得所以所以 .20.解：由题意椭圆C上的一动点到右焦点的最短距离为2-a x c=的距离等于短半轴的长，已知点(4,0)P，知22a c a c b c⎧-=-⎪⎨-=⎪⎩，解得2a b =⎧⎪⎨=⎪⎩故椭圆C 的方程22142xy+=.（2）由题意知直线M N 的斜率存在，设直线M N 的方程为(4)y k x =-.由22(4)142y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得2222(21)163240k x k x k +-+-=①设点11(,)M x y ，22(,)N x y ，22222(16)4(21)(324)16960k kkk∆=--+-=->21222122162132421k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩221212212(4)(4)21k y y k x x k =--=+212122244426222121k O M O N x x y y kk-∙=+==-++∵2106k ≤<即5[4,)2O M O N ∙∈-.21.（1）设动圆圆心为(,)M x y ，则2()O M x m =+-，化简得222(2)(2)y m x m =-+-（2m <-），这就是动圆圆心的轨迹C 的方程.（2）直线M N 的方程为y x =，代入曲线C 的方程得2232(2)(2)0x m x m ----= 显然216(2)0m ∆=->.设11(,)M x y ，22(,)N x y ，则12(2)x x m +=-， 221)2(m x x --=，而1212123y y x x x x =∙=若以M N 为直径的圆过点A ，则A M A N ⊥， ∴1A M A N k k ∙=-由此得212124()0x x m x x m -++=∴22(2)(2)0m m m m ---∙-+=，即212160m m +-=.解得162m =--，262m =-+（舍）.故当62m =--时，以M N 为直径的圆恰好过点A 22. (1)圆的圆心为，半径为1.可以看作是的内切圆。

【精品】2018学年江西省南昌十中高二上学期期中数学试卷和解析(理科)

2018学年江西省南昌十中高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12题，每小题5分，共计60分）1．（5分）双曲线y2﹣3x2=1的渐近线方程是（）A．y=±3x B．C．D．2．（5分）（普通班做）直线（t是参数）被圆x2+y2=9截得的弦长等于（）A．B．C．D．3．（5分）已知椭圆+=1（a＞5）的两个焦点为F1、F2，且|F1F2|=8．弦AB过点F1，则△ABF2的周长为（）A．10B．20C．2D．44．（5分）双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的倍，且一个顶点的坐标为（0，2），则双曲线的标准方程为（）A．﹣=1B．﹣=1C．﹣=1D．﹣=15．（5分）椭圆9x2+25y2=225上一点P到右准线的距离为，则P到左焦点的距离为（）A．8B．C．D．6．（5分）已知P是抛物线y2=4x上一动点，则点P到直线l：2x﹣y+3=0和y轴的距离之和的最小值是（）A．B．C．2D．﹣17．（5分）若实数x、y满足：9x2+16y2=144，则x+y+10的取值范围是（）A．[5，15]B．[10，15]C．[﹣15，10]D．[﹣15，35]8．（5分）设双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，A是双曲线渐近线上的一点，AF2⊥F1F2，原点O到直线AF1的距离为，则渐近线的斜率为（）A．B．C．1或﹣1D．9．（5分）已知点P为双曲线=1右支上一点，点F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，M为△PF 1F2的内心，若=+8，则△MF1F2的面积为（）A．B．10C．8D．610．（5分）已知双曲线的右焦点为F，若过点F的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线斜率的取值范围是（）A．B．C．D．11．（5分）过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F且倾斜角为60°的直线l与抛物线在第一、四象限分别交于A、B两点，则的值等于（）A．5B．4C．3D．212．（5分）已知F1（﹣c，0），F2（c，0）是椭圆=1（a＞b＞0）的左右两个焦点，P为椭圆上的一点，且，则椭圆的离心率的取值范围为（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共4题，每小题5分，共计20分）13．（5分）抛物线y=4x2的焦点坐标是．14．（5分）椭圆C：（a＞b＞0）的左焦点为F，若F关于直线+y=0的对称点A是椭圆C上的点，则椭圆C的离心率为．15．（5分）已知椭圆：+=1，左右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交椭圆于A，B两点，若AF2+BF2的最大值为5，则椭圆方程为．16．（5分）我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”，已知F1，F2是一对相关曲线的焦点，P是它们在第一象限的交点，当∠F1PF2=60°，则这一对相关曲线中椭圆的离心率是．三、简答题（本大题共6小题，17题10分，18-22题，每题12分）17．（10分）已知椭圆C：=1，直线l：（t为参数）．（Ⅰ）写出椭圆C的参数方程及直线l的普通方程；。

2017-2018年江西省南昌二中高二(上)期中数学试卷(理科)与参考答案

2017-2018年江西省南昌二中高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）点P（﹣1，1）在极坐标系中的坐标为（）A．B．C．D．2．（5分）抛物线x2=﹣4y的准线方程是（）A．x=B．x=1 C．y=1 D．y=23．（5分）直线ax+2y﹣1=0与直线2x+ay+2=0平行．则实数a的值为（）A．0 B．2 C．﹣2 D．2或﹣24．（5分）圆C1：x2+y2+2x﹣2y﹣2=0与圆C2：x2+y2﹣6x﹣8y=0的位置关系是（）A．相离B．相交C．相切D．内含5．（5分）以抛物线y2=8x的焦点为圆心，半径为1的圆的方程为（）A．x2+y2﹣4x+3=0 B．x2+y2﹣4y+3=0 C．x2+y2﹣4x﹣3=0 D．x2+y2﹣4﹣3=06．（5分）若双曲线C1以椭圆C2：+=1的焦点为顶点，以椭圆C2长轴的端点为焦点，则双曲线C1的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1C．﹣=1 D．﹣=17．（5分）椭圆=1上一点P与椭圆的两个焦点F1，F2的连线互相垂直，则△PF1F2的面积为（）A．20 B．22 C．24 D．288．（5分）若直线y=x+b与曲线y=2﹣有两个不同的公共点，则实数b的取值范围是（）A．[﹣2，﹣2]B．（﹣2，﹣2]C．（﹣2，2） D．[2，2）9．（5分）一动圆与两圆x2+y2=1和x2+y2﹣8x+12=0都外切，则动圆圆心轨迹为（）A．圆B．椭圆C．双曲线的一支D．抛物线10．（5分）A、B分别是椭圆+=1的左顶点和上顶点，C是该椭圆上的动点，则△ABC面积的最大值为（）A．﹣ B．+C．+2 D．2+11．（5分）已知直线l：y=2x+3被椭圆截得的弦长为7，则下列直线中被椭圆C截得的弦长一定为7的有（）①y=2x﹣3②y=2x+1③y=﹣2x﹣3④y=﹣2x+3．A．1条 B．2条 C．3条 D．4条12．（5分）如图，已知抛物线y2=4x的焦点为F，直线l过F且依次交抛物线及圆（x﹣1）2+y2=于点A，B，C，D四点，则|AB|+4|CD|的最小值为（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上）13．（5分）直线（t为参数）的斜率为．14．（5分）已知直线x﹣2y+2=0经过椭圆的一个顶点和一个焦点，那么这个椭圆的方程为，离心率为．15．（5分）已知直线l1：4x﹣3y+6=0和直线l2：x=﹣1，抛物线y2=4x上一动点P 到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是．16．（5分）已知F1，F2是双曲线的左、右焦点，点M在双曲线的右支上，O是坐标原点，△OMF2是以M为顶点的等腰三角形，其面积是，则双曲线C的离心率是．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）（Ⅰ）抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上一点P（m，1）到焦点的距离为4，求抛物线的标准方程；（Ⅱ）双曲线C：的左、右焦点分别为F1、F2，是双曲线右支上一点，且|MF1|﹣|MF2|=6，求双曲线C的标准方程．18．（12分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x 轴正半轴为极轴）中．圆C的极坐标方程为ρ2﹣6ρcosθ+5=0，圆C与直线l交于A、B两点，P点的直角坐标为（1，1）．（I）将直线l的参数方程化为普通方程，圆C的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）求|PA|+|PB|的值．19．（12分）已知抛物线的方程为y2=4x，过点M（2，1）作直线l交抛物线于A、B两点，且M为线段AB的中点．（Ⅰ）求直线l的方程；（Ⅱ）求线段AB的长度．20．（12分）已知圆C的圆心在直线x﹣y﹣1=0上，且与直线4x+3y﹣1=0相切，被直线3x+4y﹣5=0截得的弦长为．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）若x，y满足圆C的方程，求x2+y2+4x+4y的取值范围．21．（12分）椭圆与直线x +y=2相交于P 、Q 两点，且OP⊥OQ ，其中O 为坐标原点．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若椭圆的离心率e 满足，求椭圆长轴长的取值范围． 22．（12分）如图，椭圆C 1：=1（a ＞b ＞0）的左右焦点分别为的F 1、F 2，离心率为；过抛物线C 2：x 2=4by 焦点F 的直线交抛物线于M 、N 两点，当|MF |=时，M 点在x 轴上的射影为F 1．连结NO ，MO 并延长分别交C 1于A 、B 两点，连接AB ；△OMN 与△OAB 的面积分别记为S △OMN ，S △OAB ，设λ=．（Ⅰ）求椭圆C 1和抛物线C 2的方程；（Ⅱ）求λ的取值范围．2017-2018年江西省南昌二中高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）点P（﹣1，1）在极坐标系中的坐标为（）A．B．C．D．【解答】解：∵P（﹣1，1），∴=，tanθ=﹣1，且θ在第二象限，∴θ=．∴点P（﹣1，1）在极坐标系中的坐标为（，）．故选：A．2．（5分）抛物线x2=﹣4y的准线方程是（）A．x=B．x=1 C．y=1 D．y=2【解答】解：如图，由x2=﹣4y，得2p=4，则p=2，∴，则抛物线线x2=﹣4y的准线方程是y=．故选：C．3．（5分）直线ax+2y﹣1=0与直线2x+ay+2=0平行．则实数a的值为（）A．0 B．2 C．﹣2 D．2或﹣2【解答】解：由a2﹣4=0，解得a=±2，经过验证：a=±2都满足条件．故选：D．4．（5分）圆C1：x2+y2+2x﹣2y﹣2=0与圆C2：x2+y2﹣6x﹣8y=0的位置关系是（）A．相离B．相交C．相切D．内含【解答】解：圆C1：x2+y2+2x﹣2y﹣2=0化成标准形式是（x+1）2+（y﹣1）2=4，圆心为C1（﹣1，1），半径r1=2；同理可得圆x2+y2﹣6x﹣8y=0的圆心为C2（3，4），半径r2=5；∴两圆的圆心距为|C1C2|==5，∴r2﹣r1＜|C1C2|＜r2+r1，∴两圆的位置关系是相交．故选：B．5．（5分）以抛物线y2=8x的焦点为圆心，半径为1的圆的方程为（）A．x2+y2﹣4x+3=0 B．x2+y2﹣4y+3=0 C．x2+y2﹣4x﹣3=0 D．x2+y2﹣4﹣3=0【解答】解：根据题意，抛物线y2=8x的焦点为（2，0），则以抛物线y2=8x的焦点为圆心，半径为1的圆的方程为（x﹣2）2+y2=1，变形可得：x2+y2﹣4x+3=0，故选：A．6．（5分）若双曲线C1以椭圆C2：+=1的焦点为顶点，以椭圆C2长轴的端点为焦点，则双曲线C1的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1C．﹣=1 D．﹣=1【解答】解：根据题意，椭圆C2：+=1的焦点坐标为（0，±3），长轴的端点坐标为（0，±5），若双曲线C1以椭圆C2的焦点为顶点，以椭圆C2长轴的端点为焦点，则双曲线C1的焦点为（0，±5），顶点为（0，±3），则双曲线中c=5，a=3，则b2=c2﹣a2=16，则双曲线的方程为：﹣=1，故选：B．7．（5分）椭圆=1上一点P与椭圆的两个焦点F1，F2的连线互相垂直，则△PF1F2的面积为（）A．20 B．22 C．24 D．28【解答】解：由题意得a=7，b=2，∴c=5，两个焦点F1 （﹣5，0），F2（5，0），设点P（m，n），则由题意得=﹣1，+=1，n2=，n=±，则△PF1F2的面积为×2c×|n|=×10×=24，故选：C．8．（5分）若直线y=x+b与曲线y=2﹣有两个不同的公共点，则实数b的取值范围是（）A．[﹣2，﹣2]B．（﹣2，﹣2]C．（﹣2，2） D．[2，2）【解答】解：曲线方程变形为（x﹣2）2+（y﹣2）2=4，表示圆心A为（2，2），半径为2的下半圆，根据题意画出图形，如图所示：，当直线y=x+b过B（4，2）时，将B坐标代入直线方程得：2=4+b，即b=﹣2；当直线y=x+b与半圆相切时，圆心A到直线的距离d=r，即=2，即b=2，（舍）或b=﹣2解得：b=﹣2，则直线与曲线有两个公共点时b的范围为：﹣2＜b≤﹣2．故选：B．9．（5分）一动圆与两圆x2+y2=1和x2+y2﹣8x+12=0都外切，则动圆圆心轨迹为（）A．圆B．椭圆C．双曲线的一支D．抛物线【解答】解：设动圆的圆心为P，半径为r，而圆x2+y2=1的圆心为O（0，0），半径为1；圆x2+y2﹣8x+12=0的圆心为F（4，0），半径为2．依题意得|PF|=2+r|，|PO|=1+r，则|PF|﹣|PO|=（2+r）﹣（1+r）=1＜|FO|，所以点P的轨迹是双曲线的一支．故选：C．10．（5分）A、B分别是椭圆+=1的左顶点和上顶点，C是该椭圆上的动点，则△ABC面积的最大值为（）A．﹣ B．+C．+2 D．2+【解答】解：∵A、B分别是椭圆+=1的左顶点和上顶点，∴A（﹣2，0），B（0，），|AB|==，直线AB的方程为：，即，∵C是该椭圆上的动点，∴设C（2cosθ，），则点C到直线AB的距离：d==，∴当sin（）=1时，d max=，）∴△ABC面积的最大值为（S△ABCmax===．故选：B．11．（5分）已知直线l：y=2x+3被椭圆截得的弦长为7，则下列直线中被椭圆C截得的弦长一定为7的有（）①y=2x﹣3②y=2x+1③y=﹣2x﹣3④y=﹣2x+3．A．1条 B．2条 C．3条 D．4条【解答】解：由于直线l：y=2x+3被椭圆截得的弦长为7，根据对称性可得：y=2x﹣3，y=﹣2x﹣3，y=﹣2x+3．满足条件．而直线y=2x+1被椭圆C截得的弦长大于7．综上可得：下列直线中被椭圆C截得的弦长一定为7的有①③④．故选：C．12．（5分）如图，已知抛物线y2=4x的焦点为F，直线l过F且依次交抛物线及圆（x﹣1）2+y2=于点A，B，C，D四点，则|AB|+4|CD|的最小值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵y2=4x，焦点F（1，0），准线l0：x=﹣1，由圆：（x﹣1）2+y2=圆心（1，0），半径为；由抛物线的定义得：|AF|=x A+1，又∵|AF|=|AB|+，∴|AB|=x A+同理：|CD|=x D+，当AB⊥x轴时，则x D=x A=1，∴|AB|+4|CD|=．当AB的斜率存在且不为0，设AB：y=k（x﹣1）时，代入抛物线方程，得：k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0，∴x A x D=1，x A+x D=，∴|AB|+4|CD|=（x A+）+4（x D+）=+x A+4x D≥+2=．当且仅当x A=4x D，即x A=2，x D=时取等号，综上所述|AB|+4|CD|的最小值为，故选：C．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上）13．（5分）直线（t为参数）的斜率为﹣．【解答】解：把直线（t为参数）化为普通方程是：=，即y+1=﹣（x﹣1）；所以直线的斜率为：﹣．故答案为：﹣．14．（5分）已知直线x﹣2y+2=0经过椭圆的一个顶点和一个焦点，那么这个椭圆的方程为，离心率为．【解答】解：直线x﹣2y+2=0 与x轴的交点为A（﹣2，0），与y轴的交点B（0，1），故椭圆的一个焦点为F（﹣2，0），短轴的一个顶点为F（0，1），故在椭圆中，c=2，b=1，∴a=，故这个椭圆的方程为，故答案为．15．（5分）已知直线l1：4x﹣3y+6=0和直线l2：x=﹣1，抛物线y2=4x上一动点P 到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是2．【解答】解：设抛物线上的一点P的坐标为（a2，2a），则P到直线l2：x=﹣1的距离d2=a2+1；P到直线l1：4x﹣3y+6=0的距离d1=，则d1+d2=+a2+1=，当a=时，P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值为2故答案为216．（5分）已知F1，F2是双曲线的左、右焦点，点M在双曲线的右支上，O是坐标原点，△OMF2是以M为顶点的等腰三角形，其面积是，则双曲线C的离心率是1+．【解答】解：设F2（c，0），△OMF2是以M为顶点的等腰三角形，其面积是，可得M的横坐标为c，则△OMF2为•c•|y M|=，可得y M=±c，将M的坐标（c，±c）代入双曲线的方程可得，﹣=1，由b2=c2﹣a2，e=，可得e2﹣=4，化为e4﹣8e2+4=0，解得e2=4±2，由e＞1，可得e=1+．故答案为：1+．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）（Ⅰ）抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上一点P（m，1）到焦点的距离为4，求抛物线的标准方程；（Ⅱ）双曲线C：的左、右焦点分别为F1、F2，是双曲线右支上一点，且|MF1|﹣|MF2|=6，求双曲线C的标准方程．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，且点P（m，1）在抛物线上，可设抛物线方程为x2=2py（p＞0），由抛物线的定义可知，P（m，1）到准线的距离为4，所以，解得p=6，所以抛物线的标准方程为x2=12y；（Ⅱ）由双曲线定义及|MF1|﹣|MF2|=6可知2a=6，所以a=3，又因为是双曲线上的点，所以，解得b=4，所以，双曲线C的标准方程为．18．（12分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x 轴正半轴为极轴）中．圆C的极坐标方程为ρ2﹣6ρcosθ+5=0，圆C与直线l交于A、B两点，P点的直角坐标为（1，1）．（I）将直线l的参数方程化为普通方程，圆C的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）求|PA|+|PB|的值．【解答】解：（Ⅰ）由直线l的参数方程为（t为参数），可得：直线l的普通方程为：x+y=2，即x+y﹣2=0由ρ2﹣6ρcosθ+5=0，得x2+y2﹣6x+5=0，即（x﹣3）2+y2=4；（Ⅱ）将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得（﹣3）2+（）2=4．即t2﹣3t+1=0，由于△=（﹣3）2﹣4=14＞0，故可设t1，t2是上述方程的两实根，所以t1+t2=3，t1•t2=1，又直线l过点P（1，1），故由上式及t的几何意义得：|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=t1+t2=3．19．（12分）已知抛物线的方程为y2=4x，过点M（2，1）作直线l交抛物线于A、B两点，且M为线段AB的中点．（Ⅰ）求直线l的方程；（Ⅱ）求线段AB的长度．【解答】解：（Ⅰ）设A（x1，y1），B（x2，y2），因为A、B在抛物线上，所以有，相减得（y1﹣y2）（y1+y2）=4（x1﹣x2），所以，因为M（2，1）为线段AB的中点，所以x1+x2=4，y1+y2=2，所以k AB=2，又因为直线l过点M（2，1），所以直线l的方程为y﹣1=2（x﹣2），即2x﹣y﹣3=0；（Ⅱ）由得，4x2﹣16x+9=0，所以x1+x2=4，，所以，所以线段AB的长度为．20．（12分）已知圆C的圆心在直线x﹣y﹣1=0上，且与直线4x+3y﹣1=0相切，被直线3x+4y﹣5=0截得的弦长为．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）若x，y满足圆C的方程，求x2+y2+4x+4y的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）设圆C的圆心为（a，a﹣1），半径为R，则有：，解得，所以圆C的方程为：（x﹣2）2+（y﹣1）2=4．…（6分）（Ⅱ）∵x2+y2+4x+4y=（x+2）2+（y+2）2﹣8，设（x+2）2+（y+2）2=r2（r＞0），则该圆与圆C有公共点，∴r∈[3，7]，则r2﹣8∈[1，41]，从而x2+y2+4x+4y的取值范围为[1，41]．…（12分）21．（12分）椭圆与直线x+y=2相交于P、Q两点，且OP⊥OQ，其中O为坐标原点．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若椭圆的离心率e满足，求椭圆长轴长的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由联立得，（a2+b2）x2﹣4a2x+a2（4﹣b2）=0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，，由OP⊥OQ，得x1x2+y1y2=0，∴x1x2+（2﹣x1）（2﹣x2）=0，化简得x1x2﹣（x1+x2）+2=0，所以，化简得；（Ⅱ）根据题意，，由，得，所以，又由（Ⅰ）知，所以，因此，，解得5≤a 2≤8，所以，∴，即椭圆的长轴长的取值范围为．22．（12分）如图，椭圆C 1：=1（a ＞b ＞0）的左右焦点分别为的F 1、F 2，离心率为；过抛物线C 2：x 2=4by 焦点F 的直线交抛物线于M 、N 两点，当|MF |=时，M 点在x 轴上的射影为F 1．连结NO ，MO 并延长分别交C 1于A 、B 两点，连接AB ；△OMN 与△OAB 的面积分别记为S △OMN ，S △OAB ，设λ=．（Ⅰ）求椭圆C 1和抛物线C 2的方程；（Ⅱ）求λ的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由抛物线定义可得，代入x 2=4by 有，即c 2=7b ﹣4b 2①又得到c2=3b2代入①，解得，所以C1的方程为，C2的方程为x2=4y；（Ⅱ）设直线MN的方程为y=kx+1，M（x1，y1），N（x2，y2）．由，得到x2﹣4kx﹣4=0，则x1x2=﹣4，设k ON=m，k OM=m'，则，所以，②设直线ON的方程为y=mx（m＞0），由，解得x N=4m，所以，由②可知，用代替m，可得，由，可得，所以，用代替m，可得，所以，，=，（m=1时等号成立）所以λ的取值范围为[2，+∞）．。

江西省南昌市高二数学上学期期中试题理-人教版高二全册数学试题

2017—2018学年度上学期期中考试高二数学（理）试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.点(1,1)P -在极坐标系中的坐标为（）A. 3)4π B. 3)4π-C. 3(2,)4πD. 3(2,)4π-2.抛物线24x y =-的准线方程为（） A. 116x =B. 116x =-C. 1y =D. 1y =-3.直线210ax y +-=与直线220x ay ++=平行，则实数a 的值为（） A. 0B. 2C. 2-D. 2或2-4.圆221:2220C x y x y ++--=与圆222:680C x y x y +--=的位置关系是（） A. 相离B. 相交C. 相切D. 内含5.以抛物线28y x =的焦点为圆心，半径为1的圆的方程为（） A. 22430x y x +-+= B. 22430x y y +-+= C. 22430x y x +--=D. 22430x y y +--=6. 若双曲线1C 以椭圆222:11625x y C +=的焦点为顶点，以椭圆2C 长轴的端点为焦点，则双曲线1C 的方程为（）A. 221916x y -=B. 221916y x -= C . 2211625x y -= D. 2211625y x -= 7. 椭圆2214924x y 上一点P 与椭圆的两个焦点1F 、2F 的连线互相垂直，则12PF F ∆的面积为（） A. 20B. 22C. 24D. 288. 若直线y x b =+与曲线2y =有两个不同的公共点，则实数b 的取值范围是（） A ．[22,2]--B ．(22,2]--C ．(22,22)-D ．[2,22)9. 一动圆与两圆221x y +=和228120x y y +-+=都外切，则动圆圆心的轨迹是( ) A. 圆B. 椭圆C. 双曲线D. 双曲线一支10. A 、B 分别是椭圆22143x y +=的左顶点和上顶点，C 是该椭圆上的动点，则ABC ∆ 面积的最大值为（） 6363623D. 26311. 已知直线:l 23y x =+被椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>截得的弦长为2017，则下列直线中被椭圆C 截得的弦长一定为2017的有（）①23y x =- ②21y x =+ ③23y x =-- ④ 23y x =-+ A. 1条B. 2条C. 3条D. 4条12. 如图，已知抛物线24y x =的焦点为F ，直线l 过F 且依次交抛物线及圆221(1)4x y -+=于点,,,A B C D 四点，则||4||AB CD +的最小值为（） A. 172 B. 152C. 132D. 112二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上）13. 直线1413x ty t =+⎧⎨=--⎩（t 为参数）的斜率为；14. 已知直线220x y -+=经过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的一个顶点和一个焦点，那么这个椭圆的方程为； 15. 已知直线1l ：4360xy 和直线2l ：1x，抛物线24y x 上一动点P 到直线1l 和直线2l 的距离之和的最小值为；16. 已知12,F F 是双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点，点M 在双曲线的右支上，O 是坐标原点，2OMF ∆是以M 为顶点的等腰三角形，2，则双曲线C 的离心率是 .三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.（本小题满分10分）（Ⅰ）抛物线的顶点在原点，焦点在y 轴上，抛物线上一点(,1)P m 到焦点的距离为4，求抛物线的标准方程；（Ⅱ）双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F，M 是双曲线右支上一点，且12||||6MF MF -=，求双曲线C 的标准方程.18 .（本小题满分12分）在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为1212x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，圆C 的极坐标方程为05cos 62=+-θρρ，圆C 与直线l 交于A ，B 两点，P 点的直角坐标为(1,1)．（Ⅰ）将直线l 的参数方程化为普通方程，圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）求PB PA +的值．19 .（本小题满分12分）已知抛物线的方程为24y x =，过点(2,1)M 作直线l 交抛物线于A 、B 两点，且M 为线段AB 的中点.（Ⅰ）求直线l 的方程；（Ⅱ）求线段AB 的长度.20 .（本小题满分12分）已知圆C 的圆心在直线10x y --=上，且与直线4310x y +-=相切，被直线3450x y +-=（Ⅰ）求圆C 的方程；（Ⅱ）若x ，y 满足圆C 的方程，求2244x y x y +++的取值范围.21．(本小题满分12分)椭圆22221(0)x y a b a b+=>>与直线2x y +=相交于P 、Q 两点，且OP OQ ⊥，其中O为坐标原点．（Ⅰ）求2211a b+的值；（Ⅱ）若椭圆的离心率e满足33e ≤≤，求椭圆长轴长的取值范围．22.(本小题满分12分)如图，椭圆22122:1x y C a b +=(0)a b >>的左右焦点分别为的1F 、2F线22:4C x by =焦点F 的直线交抛物线于M 、N 两点，当7||4MF =时，M 点在x 轴上的射影为1F 。

【精选】2020学年江西省南昌市铁路一中高二上学期期中数学试卷和解析(理科)

2018学年江西省南昌市铁路一中高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知直线ax+2y+2=0与3x﹣y﹣2=0平行，则系数a=（）A．﹣3 B．﹣6 C．D．2．（5分）圆x2+y2=1和圆x2+y2﹣6y+5=0的位置关系是（）A．外切B．内切C．外离D．内含3．（5分）抛物线y=﹣8x2的准线方程是（）A．y=B．y=2 C．x=D．y=﹣24．（5分）变量x，y满足约束条件，若z=2x﹣y的最大值为2，则实数m等于（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．25．（5分）双曲线=1的离心率e∈（1，2），则k的取值范围是（）A．（﹣10，0）B．（﹣12，0）C．（﹣3，0）D．（﹣60，﹣12）6．（5分）已知双曲线（b＞0），以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径的圆与双曲线的两条渐近线相交于A、B、C、D四点，四边形ABCD的面积为2b，则双曲线方程为（）A．B．C．D．7．（5分）在同一坐标系中，方程a2x2+b2y2=1与ax+by2=0（a＞b＞0）的曲线大致是（）A． B． C． D．8．（5分）直线（t为参数）的倾斜角α等于（）A．40°B．50°C．45°D．135°9．（5分）F1，F2分别为椭圆x2+2y2=1的左右焦点，点P在椭圆上，线段PF2与y轴的交点为M，且，则点M到坐标原点O的距离为（）A．2 B．C．D．110．（5分）椭圆4x2+9y2=144内有一点P（3，2）过点P的弦恰好以P为中点，那么这弦所在直线的方程为（）A．3x+2y﹣12=0B．2x+3y﹣12=0 C．4x+9y﹣144=0 D．9x+4y﹣144=011．（5分）已知平面上两点M（﹣5，0）和N（5，0），若直线上存在点P使|PM|﹣|PN|=6，则称该直线为“单曲型直线”，下列直线中是“单曲型直线”的是（）①y=x+1；②y=2；③y=x；④y=2x+1．A．①③B．①②C．②③D．③④12．（5分）已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为（）A．16 B．14 C．12 D．10二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）在极坐标系中，直线ρcosθ﹣ρsinθ﹣1=0与圆ρ=2cosθ交于A，B两点，则|AB|=．14．（5分）在平面直角坐标系xOy中，点B与点A（﹣1，1）关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于，则动点P的轨迹方程为．15．（5分）已知圆C的圆心与点M（1，﹣1）关于直线x﹣y+1=0对称，并且圆C与x﹣y+1=0相切，则圆C的方程为．16．（5分）在平面直角坐标系xOy中，双曲线=1（a＞0，b＞0）的右支与焦点为F的抛物线x2=2py（p＞0）交于A，B两点，若|AF|+|BF|=4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（本题共6小题，其中17题10分，18-22题每小题10分，共70分）17．（10分）已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的离心率为，F1、F2是它的两个焦点，P为双曲线C上一点，且．若△PF1F2的面积为9，求双曲线的标准方程．18．（12分）在平面直角坐标系中，已知一个椭圆的中心在原点，左焦点为，且过D（2，0）．（1）求该椭圆的标准方程；（2）已知点A（1，0），若P是椭圆上的动点，求线段PA中点M的轨迹方程．19．（12分）在直角坐标系xOy中，圆C的方程为（x+6）2+y2=25．（Ⅰ）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；（Ⅱ）直线l的参数方程是（t为参数），l与C交于A，B两点，|AB|=8，求l的斜率．20．（12分）在直角坐标系xOy中，曲线C1：（t为参数，t≠0），其中0≤α≤π，在以O 为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=2sinθ，C3：ρ=2cosθ．（1）求C2与C3交点的直角坐标；（2）若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值．21．（12分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，A（a，0），B（0，b），O（0，0），△OAB的面积为4．（1）求椭圆C的方程；（2）P是椭圆C上一点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N．求证：|AN|•|BM|为定值．22．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C：y2=2px（p＞0），在此抛物线上一点N（2，m）到焦点的距离是3．（1）求此抛物线的方程；（2）抛物线C的准线与x轴交于M点，过M点斜率为k的直线l与抛物线C交于A、B两点．是否存在这样的k，使得抛物线C上总存在点Q（x0，y0）满足QA⊥QB，若存在，求k的取值范围；若不存在，说明理由．2018学年江西省南昌市铁路一中高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知直线ax+2y+2=0与3x﹣y﹣2=0平行，则系数a=（）A．﹣3 B．﹣6 C．D．【解答】解：∵直线ax+2y+2=0与直线3x﹣y﹣2=0平行，∴它们的斜率相等，∴﹣=3∴a=﹣6故选：B．2．（5分）圆x2+y2=1和圆x2+y2﹣6y+5=0的位置关系是（）A．外切B．内切C．外离D．内含【解答】解：圆x2+y2﹣6y+5=0 的标准方程为：x2+（y﹣3）2=4，所以其表示以（0，3）为圆心，以2为半径的圆，所以两圆的圆心距为3，正好等于两圆的半径之和，所以两圆相外切，故选：A．3．（5分）抛物线y=﹣8x2的准线方程是（）A．y=B．y=2 C．x=D．y=﹣2【解答】解：整理抛物线方程得x2=﹣y，∴p=∵抛物线方程开口向下，∴准线方程是y=，故选：A．4．（5分）变量x，y满足约束条件，若z=2x﹣y的最大值为2，则实数m等于（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（），化目标函数z=2x﹣y为y=2x﹣z，由图可知，当直线过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为，解得：m=1．故选：C．5．（5分）双曲线=1的离心率e∈（1，2），则k的取值范围是（）A．（﹣10，0）B．（﹣12，0）C．（﹣3，0）D．（﹣60，﹣12）【解答】解：由于双曲线=1的离心率e∈（1，2），则a=2，b=，c=，则1＜e=＜2，解得﹣12＜k＜0．故选：B．6．（5分）已知双曲线（b＞0），以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径的圆与双曲线的两条渐近线相交于A、B、C、D四点，四边形ABCD的面积为2b，则双曲线方程为（）A．B．C．D．【解答】解：以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆的方程为x2+y2=4，双曲线的两条渐近线方程为y=±x，设A（x，x），x＞0，∵四边形ABCD的面积为2b，∴由对称性可得2x•bx=2b，∴x=±1，将A（1，）代入x2+y2=4，可得1+=4，∴b2=12，∴双曲线的方程为﹣=1，故选：D．7．（5分）在同一坐标系中，方程a2x2+b2y2=1与ax+by2=0（a＞b＞0）的曲线大致是（）A． B． C． D．【解答】解：由a＞b＞0，椭圆a2x2+b2y2=1，即+=1，焦点在y轴上；抛物线ax+by2=0，即y2=﹣x，焦点在x轴的负半轴上；分析可得，D符合，故选：D．8．（5分）直线（t为参数）的倾斜角α等于（）A．40°B．50°C．45°D．135°【解答】解：∵直线（t为参数），∴直线（t为参数），消去参数，得直线的普通方程为x+y﹣1=0．∴直线的斜率为k=﹣1，∴直线的倾斜角α=135°．故选：D．9．（5分）F1，F2分别为椭圆x2+2y2=1的左右焦点，点P在椭圆上，线段PF2与y轴的交点为M，且，则点M到坐标原点O的距离为（）A．2 B．C．D．1【解答】解：F1、F2分别是椭圆x2+2y2=1的左、右焦点，点P在椭圆上，线段PF2与y轴的交点为M，且，如图：x2+2y2=1，可得a=1，b=，c=，可知OM∥F1P，|F1P|==，则点M到坐标原点O的距离是：．故选：B．10．（5分）椭圆4x2+9y2=144内有一点P（3，2）过点P的弦恰好以P为中点，那么这弦所在直线的方程为（）A．3x+2y﹣12=0B．2x+3y﹣12=0 C．4x+9y﹣144=0 D．9x+4y﹣144=0【解答】解：设弦的端点为A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=6，y1+y2=4，把A、B坐标代入椭圆方程得，，，两式相减得，4（﹣）+9（﹣y22）=0，即4（x1+x2）（x1﹣x2）+9（y1+y2）（y1﹣y2）=0，所以=﹣=﹣=﹣，即k AB=﹣，所以这弦所在直线方程为：y﹣2=﹣（x﹣3），即2x+3y﹣12=0．故选：B．11．（5分）已知平面上两点M（﹣5，0）和N（5，0），若直线上存在点P使|PM|﹣|PN|=6，则称该直线为“单曲型直线”，下列直线中是“单曲型直线”的是（）①y=x+1；②y=2；③y=x；④y=2x+1．A．①③B．①②C．②③D．③④【解答】解：∵点M（﹣5，0），N（5，0），点P使|PM|﹣|PN|=6，∴点P的轨迹是以M、N为焦点，2a=6的双曲线可得b2=c2﹣a2=52﹣32=16，双曲线的方程为∵双曲线的渐近线方程为y=±x∴直线y=x与双曲线没有公共点，直线y=2x+1经过点（0，1）斜率k＞，与双曲线也没有公共点而直线y=x+1、与直线y=2都与双曲线有交点因此，在y=x+1与y=2上存在点P使|PM|﹣|PN|=6，满足B型直线的条件只有①②正确故选：B．12．（5分）已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为（）A．16 B．14 C．12 D．10【解答】解：如图，l1⊥l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，要使|AB|+|DE|最小，则A与D，B，E关于x轴对称，即直线DE的斜率为1，又直线l2过点（1，0），则直线l2的方程为y=x﹣1，联立方程组，则y2﹣4y﹣4=0，∴y1+y2=4，y1y2=﹣4，∴|DE|=•|y1﹣y2|=×=8，∴|AB|+|DE|的最小值为2|DE|=16，方法二：设直线l1的倾斜角为θ，则l2的倾斜角为+θ，根据焦点弦长公式可得|AB|==|DE|===∴|AB|+|DE|=+==，∵0＜sin22θ≤1，∴当θ=45°时，|AB|+|DE|的最小，最小为16，故选：A．二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）在极坐标系中，直线ρcosθ﹣ρsinθ﹣1=0与圆ρ=2cosθ交于A，B两点，则|AB|=2．【解答】解：直线ρcosθ﹣ρsinθ﹣1=0化为y直线x﹣y﹣1=0．圆ρ=2cosθ化为ρ2=2ρcosθ，∴x2+y2=2x，配方为（x﹣1）2+y2=1，可得圆心C（1，0），半径r=1．则圆心C在直线上，∴|AB|=2．故答案为：2．14．（5分）在平面直角坐标系xOy中，点B与点A（﹣1，1）关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于，则动点P的轨迹方程为x2﹣3y2=﹣2（x≠±1）．．【解答】解：根据题意，设P（x，y），由于点B与点A（﹣1，1）关于原点O对称，则B（1，﹣1），直线AP与BP的斜率存在，则x≠±1，又由直线AP与BP的斜率之积等于，即×=，变形可得：x2﹣3y2=﹣2，又由x≠±1，则动点P的轨迹方程为x2﹣3y2=﹣2且x≠±1，故答案为：x2﹣3y2=﹣2（x≠±1）．15．（5分）已知圆C的圆心与点M（1，﹣1）关于直线x﹣y+1=0对称，并且圆C与x﹣y+1=0相切，则圆C的方程为x2+y2=．【解答】解：∵圆C的圆心C（a，b）与点M（1，﹣1）关于直线x﹣y+1=0对称，∴，解得∴圆C的圆心C的坐标为（﹣2，2），圆C与x﹣y+1=0相切，半径r=，所求圆C的方程为（x+2）2+（y﹣2）2=．故答案为：（x+2）2+（y﹣2）2=．16．（5分）在平面直角坐标系xOy中，双曲线=1（a＞0，b＞0）的右支与焦点为F的抛物线x2=2py（p＞0）交于A，B两点，若|AF|+|BF|=4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为y=±x．【解答】解：把x2=2py（p＞0）代入双曲线=1（a＞0，b＞0），可得：a2y2﹣2pb2y+a2b2=0，∴y A+y B=，∵|AF|+|BF|=4|OF|，∴y A+y B+2×=4×，∴=p，∴=．∴该双曲线的渐近线方程为：y=±x．故答案为：y=±x．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（本题共6小题，其中17题10分，18-22题每小题10分，共70分）17．（10分）已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的离心率为，F1、F2是它的两个焦点，P为双曲线C上一点，且．若△PF1F2的面积为9，求双曲线的标准方程．【解答】解：双曲线=1（a＞0，b＞0）．若△PF1F2的面积为9，t1t2=9，…①设|PF1|=t1，|PF2|=t2，则由双曲线的定义可得：|t1﹣t2|=2a，…②在△F1PF2中∠F1PF2=90°，所以t12+t22=4c2…③，由①②③得4a2=4c2﹣16，双曲线=1（a＞0，b＞0）的离心率为，可得，解得a2=36，c2=45，∴b2=9所以双曲线方程为：．故答案为：．18．（12分）在平面直角坐标系中，已知一个椭圆的中心在原点，左焦点为，且过D（2，0）．（1）求该椭圆的标准方程；（2）已知点A（1，0），若P是椭圆上的动点，求线段PA中点M的轨迹方程．【解答】解：（1）由已知得椭圆的半长轴a=2，半焦距c=，则半短轴b==1．又椭圆的焦点在x轴上，∴椭圆的标准方程为．（2）设线段PA的中点为M（x，y），点P的坐标是（x0，y0），点A（1，0），由，即，∵点P在椭圆上，得+（2y）2=1，∴线段PA中点M的轨迹方程是（x﹣）2+4y2=1．19．（12分）在直角坐标系xOy中，圆C的方程为（x+6）2+y2=25．（Ⅰ）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；（Ⅱ）直线l的参数方程是（t为参数），l与C交于A，B两点，|AB|=8，求l的斜率．【解答】解：（Ⅰ）在直角坐标系xOy中，圆C的方程为（x+6）2+y2=25．根据：x2+y2=ρ2，x=ρcosθ，y=ρsinθ，圆C的方程转化为：ρ2+12ρcosθ+11=0．（Ⅱ）直线l的参数方程是（t为参数），转化为直角坐标方程为：，直线l与圆C交于A，B两点，且|AB|=8，所以：圆心C（﹣6，0）到直线l的距离为．利用点到直线的距离d=，解得：k=，所以直线的斜率为：k=．20．（12分）在直角坐标系xOy中，曲线C1：（t为参数，t≠0），其中0≤α≤π，在以O 为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=2sinθ，C3：ρ=2cosθ．（1）求C2与C3交点的直角坐标；（2）若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值．【解答】解：（I）由曲线C2：ρ=2sinθ，化为ρ2=2ρsinθ，∴x2+y2=2y．同理由C3：ρ=2cosθ．可得直角坐标方程：，联立，解得，，∴C2与C3交点的直角坐标为（0，0），．（2）曲线C1：（t为参数，t≠0），化为普通方程：y=xtanα，其中0≤α≤π，α≠；α=时，为x=0（y≠0）．其极坐标方程为：θ=α（ρ∈R，ρ≠0），∵A，B都在C1上，∴A（2sinα，α），B．∴|AB|==4，当时，|AB|取得最大值4．21．（12分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，A（a，0），B（0，b），O（0，0），△OAB的面积为4．（1）求椭圆C的方程；（2）P是椭圆C上一点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N．求证：|AN|•|BM|为定值．【解答】解：（1）由题意可得e==，又△OAB的面积为4，可得ab=4，即ab=8，且a2﹣b2=c2，解得a=4，b=2，c=2，可得椭圆C的方程：；（2）证法一：设椭圆上点P（x0，y0），可得x02+4y02=16，直线PA：y=（x﹣4），令x=0，可得y=﹣，则|BM|=|2+|；直线PB：y=x+2，令y=0，可得x=﹣，则|AN|=|4+|．可得|AN|•|BM|=|4+|•|2+|，|AN|•|BM|=|4+|•|2+|=丨丨=丨丨=丨丨=16，即有|AN|•|BM|为定值16．证法二：设P（4cosθ，2sinθ），（0≤θ＜2π），直线PA：y=（x﹣4），令x=0，可得y=﹣，则|BM|=2||；直线PB：y=x+2，令y=0，可得x=﹣，则|AN|=4||．即有|AN|•|BM|=2||•4||，=8||，=8||=16．则|AN|•|BM|为定值16．22．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C：y2=2px（p＞0），在此抛物线上一点N（2，m）到焦点的距离是3．（1）求此抛物线的方程；（2）抛物线C的准线与x轴交于M点，过M点斜率为k的直线l与抛物线C交于A、B两点．是否存在这样的k，使得抛物线C上总存在点Q（x0，y0）满足QA⊥QB，若存在，求k的取值范围；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）∵抛物线C：y2=2px（p＞0），在此抛物线上一点M（2，m）到焦点的距离是3．∴抛物线准线方程是x=﹣，…（1分）2+=3，解得p=2…（3分）∴抛物线的方程是y2=4x．…（4分）（2）设Q（x0，y0），A（x1，y1），B（x2，y2）由，得ky2﹣4y+4k=0，…（6分）由，得﹣1＜k＜1且k≠0…（8分），y1y2=4，…（9分）==，同理，由QA⊥QB，得•=﹣1，即：=﹣16，…（11分）∴y0+20=0，…（12分），解得﹣，且k≠0，由﹣1＜k＜1且k≠0，得k的取值范围为[﹣，0）∪（0，]．…（14分）赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.E2.如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD于P，设⊙O的半径是2。

江西省南昌市第二中学2017-2018学年高二上学期期中考数学(理)试题(解析版)

南昌二中2017—2018学年度上学期期中考试高二数学（理）试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 点(1,1)P -在极坐标系中的坐标为（） A. 3(2,)4π B. 3(2,)4π-C. 3(2,)4π D. 3(2,)4π-【答案】A 【解析】由题意得||=2OP ρ=，又点()1,1P -在第二象限内，故极角34πθ=．所以点()1,1P -在极坐标系中的坐标为32,4π⎛⎫⎪⎝⎭．选A ． 2. 抛物线24x y =-的准线方程为（） A. 116x =B. 116x =-C. 1y =D. 1y =-【答案】C 【解析】如图，由24x y =-，得24p =，则2,12p p =∴=，则抛物线24x y =-的准线方程为12py ==，故选C. 3. 直线210ax y +-=与直线220x ay ++=平行，则实数a 的值为（） A. 0 B. 2C. 2-D. 2或2-【答案】D 【解析】有两直线平行可得24a =，解得2a =±．选D ．4. 圆221:2220C x y x y ++--=与圆222:680C x y x y +--=的位置关系是（）A. 相离B. 相交C. 相切D. 内含【答案】B 【解析】【分析】圆1C 的标准方程即为22(1)(1)4x y ++-=，圆心为（-1,1），半径为2；圆2C 的标准方程即为22(3)(4)25x y -+-=，圆心为（3,4），半径为5.因为125C C ==所以1237C C <<，因此两圆相交．选B ．【详解】请在此输入详解！5. 以抛物线28y x =的焦点为圆心，半径为1的圆的方程为（） A. 22430x y x +-+= B. 22430x y y +-+= C. 22430x y x +--= D. 22430x y y +--=【答案】A 【解析】由题意得抛物线28y x =的焦点坐标为（2,0）．故所求圆的方程为22(2)1x y -+=，即22430x y x +-+=．选A ．6. 若双曲线1C 以椭圆222:11625x y C +=的焦点为顶点，以椭圆2C 长轴的端点为焦点，则双曲线1C 的方程为（）A. 221916x y -=B. 221916y x -=C. 2211625x y -=D. 2211625y x -=【答案】B 【解析】椭圆2251162x y +=的焦点在y 轴上，5,4,3a b c ==∴==，∴该椭圆的焦点为()()0,3,0,3,-∴以椭圆2251162x y +=的焦点为焦点，短半轴长为实轴长的双曲线焦点也y 轴上，且有：3,5a c ==，则4b ==，∴该双曲线的标准方程为221916y x -=，故选B. 7. 椭圆2214924x y +=上一点P 与椭圆的两个焦点1F 、2F 的连线互相垂直，则12PF F ∆的面积为（）A. 20B. 22C. 24D. 28【答案】C 【解析】椭圆224924x y +=1的焦点坐标为()15,0F -、()25,0,7F a =．由椭圆的定义得1214PF PF +=，所以221212||2196PF PF PF PF ++=，因为12PF PF ⊥ ，所以22221212||||10100PF PF F F +===，所以1248PF PF =，所以12121242PF F S PF PF ∆==．选C ．点睛：(1)椭圆上一点与两焦点构成的三角形，称为椭圆的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、12||||2PF PF a +=，得到,a c 的关系．(2)对12F PF ∆的处理方法：①定义式的平方，即2212()(2)PF PF a +=；②余弦定理，即2221212(2)||2cos c PF PF PF PF θ=+-；③面积公式，即12121sin 2PF F S PF PF θ∆=．其中12F PF θ=∠．8. 若直线y x b =+与曲线2y =b 的取值范围是( )A. 2⎡⎤--⎣⎦B. (2⎤--⎦C. (-D. 2,⎡⎣【答案】B 【解析】【分析】由2y =()()22224x y -+-=，且22y =，即2y =()2,2为圆心，2为半径的圆位于直线2y =下方的部分，直线y x b =+表示斜率为1的直线系，如图所示，考查满足题意的临界条件：当直线经过点()4,2A时：24,2b b =+∴=-，当直线与圆相切时，圆心()2,2到直线0x y b -+=的距离等于半径2，即：2222b-+=，解得：22b =±，直线经过点B 时，22b =-，结合题中的临界条件可知：实数b 的取值范围是(22,2⎤--⎦. 本题选择B 选项.【详解】9. 一动圆与两圆x 2+y 2＝1和x 2+y 2﹣8x +12＝0都外切，则动圆圆心轨迹为（） A. 圆B. 椭圆C. 双曲线的一支D. 抛物线【答案】C 【解析】【分析】设动圆圆心(,)M x y ，与两圆x 2+y 2＝1和x 2+y 2﹣8x +12＝0都外切，列出几何关系式，化简，再根据圆锥曲线的定义，可得到动圆圆心轨迹.【详解】设动圆圆心(,)M x y ，半径为r ，圆x 2+y 2＝1的圆心为(0,0)O ，半径为1，圆x 2+y 2﹣8x +12＝0，得22(4)4x y -+=，则圆心(4,0)C ，半径为2，根据圆与圆相切，则||1MO r =+，||2MC r =+，两式相减得||||1MC MO -=，根据定义可得动圆圆心轨迹为双曲线的一支. 故选：C【点睛】本题考查了两圆的位置关系，圆锥曲线的定义，属于基础题.10. A 、B 分别是椭圆22143x y +=的左顶点和上顶点，C 是该椭圆上的动点，则ABC ∆ 面积的最大值为（）A.-B.C.D.【答案】B 【解析】由题意得点A 、B的坐标分别为(-， ∴||AB =AB20y -+=．设与直线AB20y m -+=，由2220143y m x y -+=⎨+=⎪⎩消去y整理得226120x m ++-=，∵直线与椭圆相切，∴22)24(12)0m ∆=--=，解得m =-m =（舍去）．20y --=．∴该切线与直线AB间的距离d ==由题意得当点C 为切点时，ABC ∆的面积最大，且最大面积为12=B ．点睛：本题考查了数形结合的思想方法，由于||AB 是定值，故当三角形的高最大时，面积才最大，由此作为解题的突破点，并结合图形进行分析，发现当点C 为与AB 平行且与椭圆相切的直线的切点时满足题意，然后根据判别式求得切线方程，并利用两平行线间的距离求得三角形的高即可．11. 已知直线:l 23y x =+被椭圆2222:1(0)x yC a b a b+=>>截得的弦长为2017，则下列直线中被椭圆C 截得的弦长一定为2017的有（）①23y x =- ②21y x =+ ③23y x =-- ④ 23y x =-+ A. 1条 B. 2条C. 3条D. 4条【答案】C 【解析】由于直线:23l y x =+被椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>截得的弦长为2017，23,23,23y x y x y x =-=--=-+与直线23y x =+，分别关于原点、x 轴、y 轴对称，根据椭圆的对称性可得：23,23,23y x y x y x =-=--=-+，:23l y x =+被椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>截得的弦长也为2017，，而直线21y x =+被椭圆C 截得弦长大于2017，综上可得被椭圆C 截得弦长一定为2017的有①③④，故选C.12. 如图，已知抛物线24y x =的焦点为F ，直线l 过F 且依次交抛物线及圆()22114x y -+=于点A,B,C,D 四点，则|AB|+4|CD|的最小值为（）A.172B.152C.132D.112【答案】C 【解析】由题意得()1,0F ，即为圆的圆心，准线方程为1x =-．由抛物线的定义得||1A AF x =+，又1||||2AF AB =+，所以1||2A AB x =+．同理1||2D CD x =+． ①当直线l 与x 轴垂直时，则有1A D x x ==， ∴331544222AB CD +=+⨯=． ②当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 方程为(1)y k x =-，由2(1)4y k x y x=-⎧⎨=⎩消去y 整理得2222(24)0k x k x k -++=， ∴22241,A D A D k x x x x k+⋅=+=，∴551344222A D AB CD x x +=++≥=，当且仅当4A D x x =时等号成立．综上可得1342AB CD +≥．选C ．点睛：（1）与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关．利用定义可将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，可以使运算化繁为简．“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径．（2）圆锥曲线中的最值问题，可利用基本不等式求解，但要注意不等式成立的条件．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上）13. 直线1413x ty t =+⎧⎨=--⎩（t 为参数）的斜率为______.【答案】34- 【解析】直线l 的参数方程为14(13x t t y t=+⎧⎨=-⎩为参数）∴消去参数t 得()3114y x -=--，则直线l 的斜率为34-，故答案为34-. 14. 已知直线220x y -+=经过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的一个顶点和一个焦点，那么这个椭圆的方程为__________________.【答案】22154x y +=【解析】【详解】直线x －2y ＋2＝0与坐标轴的交点为(－2，0)，(0,1)，依题意得，c ＝2，b ＝1⇒a22154x y +=15. 直线1:4360l x y -+=和直线2:1l x =-，抛物线24y x =上一动点P 到直线1l 和直线2l 的距离之和的最小值是_____________. 【答案】2 【解析】试题分析：设抛物线24y x =上的动点P 的坐标为2,4t t ⎛⎫⎪⎝⎭，它到到直线1l 和2l 的距离之和为d ，则2243614451t t t d ⨯-++=+22223636115454t t t t t t -+-+=++=++=293112055t t -+，当23t =时，min 9432112209535d =⨯-⨯+=. 考点：直线与抛物线的位置关系及二次函数的最值.16. 已知12,F F 是双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点，点M 在双曲线的右支上，O 是坐标原点，2OMF ∆是以M2，则双曲线C 的离心率是______________.1 【解析】2OMF 为等腰三角形，2OM OF c ∴==，又112,OF c F MF =∴∆为直角三角形，设12,FM m F M n ==，则22222112244m n amn c m n c -=⎧⎪⎪⨯=⎨⎪+=⎪⎩，可得22244c a -=，2222c e a ===，1c e a ===，1.【方法点睛】本题主要考查双曲线的定义及离心率，属于难题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出,a c ，从而求出e ;②构造,a c 的齐次式，求出e ;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解;④根据圆锥曲线的统一定义求解．本题中，根据题设条件结合双曲线的定义以及勾股定理找出,a c 之间的关系，求出离心率e ．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. （Ⅰ）抛物线的顶点在原点，焦点在y 轴上，抛物线上一点(),1P m 到焦点的距离为4，求抛物线的标准方程；（Ⅱ）双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ， (M 是双曲线右支上一点，且126MF MF -=，求双曲线C 的标准方程.【答案】(1) 212x y =;(2) 221916x y -=.【解析】试题分析：（Ⅰ）由题意设抛物线方程为22(0)x py p =>，根据定义可得32p-=-，求得p 即可得到方程；（Ⅱ）由题意得126MF MF -=可知26a =，故3a =，又(M 在双曲线上，代入坐标可得4b =，从而得到曲线方程．试题解析：（Ⅰ）因为(),1P m 在抛物线上，可设抛物线方程为22(0)x py p =>，由抛物线的定义可知，(),1P m 到准线2py =-的距离为4，所以32p-=-，解得6p =，所以抛物线的标准方程为212x y =；（Ⅱ）由双曲线定义及126MF MF -=可知26a =，所以3a =，又因为(M 是双曲线上的点，所以2236481a b -=，解得4b =，所以双曲线C 的标准方程为221916x y -=.18. 在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为2121x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，圆C 的极坐标方程为26cos 50ρρθ-+=，圆C 与直线l 交于A ，B 两点，P 点的直角坐标为(1,1)．（Ⅰ）将直线l 的参数方程化为普通方程，圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）求PA PB +的值．【答案】(1) 20x y +-=,()2234x y -+=;(2) 32【解析】试题分析：（Ⅰ）将参数方程消去参数t 可得直线的普通方程为20x y +-=，把222x y ρ=+，cos x ρθ=代入圆的极坐标方程可得圆的直角坐标方程()2234x y -+=．（Ⅱ）利用参数方程中参数的几何意义求解．把参数方程代入圆的方程整理得23210t t -+=，设1t ，2t 是该方程的两根，则121232PA PB t t t t +=+=+=．试题解析：（Ⅰ）由2121x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩消去参数t 得20x y +-=，即直线l 的普通方程为20x y +-=．把222x y ρ=+，cos x ρθ=，代入26cos 50ρρθ-+=，整理得22650x y x +-+=故圆C 的直角坐标方程22650x y x +-+=，即()2234x y -+=．（Ⅱ）把112x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数）代入()2234x y -+=，化简得：210t -+=，184140∆=-=>，设1t ，2t 是该方程的两根．则12121t t t t +==．所以120,0t t >>,又直线l 过()1,1P ，所以1212PA PB t t t t +=+=+=19. 已知抛物线的方程为24y x =，过点(2,1)M 作直线l 交抛物线于A 、B 两点，且M 为线段AB 的中点. （Ⅰ）求直线l 的方程；（Ⅱ）求线段AB 的长度.【答案】(1) 230x y --=;(2)【解析】试题分析：（Ⅰ）用“点差法”可求得直线AB 的斜率，再用点斜式得到直线方程．（Ⅱ）把直线方程代入抛物线方程得241690x x -+=，从而124x x +=，1294x x =，再利用弦长公式求解．试题解析：（Ⅰ）设()11,A x y ，()22,B x y ，因为A 、B 在抛物线上，所以有21122244y x y x ⎧=⎨=⎩①②， ①-②得()()()1212124y y y y x x -+=-，所以1212124AB y y k x x y y -==-+，因为()2,1M 为线段AB 的中点，所以124x x +=，122y y +=，所以2AB k =，又因直线l 过点()2,1M ，所以直线l 的方程为()122y x -=-，即230x y --=；（Ⅱ）由22304x y y x--=⎧⎨=⎩消去y 整理得241690x x -+=，显然0∆> 又124x x +=，1294x x =，所以12AB x =-==所以线段AB 20. 已知圆C 的圆心在直线10x y --=上，且与直线4310x y +-=相切，被直线3450x y +-=截得的弦长为（Ⅰ）求圆C 的方程；（Ⅱ）若x ，y 满足圆C 的方程，求2244x y x y +++的取值范围. 【答案】(1) 22(2)(1)4x y -+-=;(2) [1,41].【解析】试题分析：（Ⅰ）设圆C 的圆心为(),1a a -，半径为R ，根据条件得到关于a R ，的方程组，求得a R ，可得圆的方程；（Ⅱ）由于()()222244228x y x y x y +++=+++-，故可将求范围的问题转化为两圆有公共点的问题处理，可得所求范围[]1,41．试题解析：（Ⅰ）设圆C 的圆心为(),1a a -，半径为R ，则有：222R R ⎧=⎪⎪⎪⎨⎪+=⎪⎪⎩，解得22a R =⎧⎨=⎩，所以圆C 的方程为()()22214x y -+-=.（Ⅱ） ()()222244228x y x y x y +++=+++-，故2244x y x y +++表示圆上的点与（-2，-2）距离的平方减去8．设()()22222x y d +++=，又点（-2，-2）圆C 外，则圆心（2,1）到点（-2，-2）的距离为5，所以37d ≤≤，所以 21841d ≤-≤．所以2244x y x y +++的取值范围为[]1,41. 点睛：与圆有关的最值问题，常用代数式的几何意义求解，常见的有以下几种类型：（1）形如y b x aμ=－－形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；（2）形如t ax by ＝＋形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；（3）形如22()()x a y b －＋－形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．21. 椭圆22221(0)x y a b a b+=>>与直线2x y +=相交于P 、Q 两点，且OP OQ ⊥，其中O 为坐标原点．（Ⅰ）求2211a b+的值；（Ⅱ）若椭圆的离心率e e ≤≤，求椭圆长轴长的取值范围．【答案】(1)221112a b +=;(2) . 【解析】试题分析：（Ⅰ）将直线方程代入椭圆方程消去y 整理得()()222222440a bx a x a b +-+-=，设()11,P x y ，()22,Q x y ，由OP OQ ⊥，得到()()12121212220x x y y x x x x +=+--=，将212224a x x a b +=+，()2212224a b x x a b -=+代入上式整理可得结论；（Ⅱ）e ≤≤，得2212133b a ≤-≤，由（Ⅰ）知22222a b a =-，代入上式整理得258a ≤≤a ≤≤ 试题解析：（Ⅰ）由222212x y a b y x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩消去y 整理得()()222222440a b x a x a b +-+-=，设()11,P x y ，()22,Q x y ，则212224a x x a b +=+，()2212224a b x x a b-=+，由OP OQ ⊥，得()()12121212220x x y y x x x x +=+--=，化简得()121220x x x x -++=，所以()22222224420a b a a b a b--+=++，化简得221112a b +=；（Ⅱ）222221c b e a a==-，e ≤≤，得2212133b a ≤-≤，所以221233b a ≤≤，又由（Ⅰ）知22222a b a =-，所以22222b a a =-，因此2122323a ≤≤-，解得258a ≤≤，所以522a ≤≤，所以25242a ≤≤ 即椭圆的长轴长的取值范围为25,42⎡⎤⎣⎦．22. 如图，椭圆1C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左右焦点分别为12,F F ，离心率为32，过抛物线2C ：24x by =焦点F 的直线交抛物线于,M N 两点，当7||4MF =时，M 点在x 轴上的射影为1F ，连接,)NO MO 并延长分别交1C 于,A B 两点，连接AB ，OMN ∆与OAB ∆的面积分别记为OMN S ∆，OAB S ∆，设λ=OMN OABS S ∆∆.（1）求椭圆1C 和抛物线2C 的方程；（2）求λ的取值范围.【答案】（I ） 2214x y +=，24x y =；（II ） [)2,+∞．【解析】试题分析：（Ⅰ ）由题意得得7,4M c b ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，根据点M 在抛物线上得2744c b b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，又由3c a = 223c b =，可得277b b =，解得1b =，从而得32c a ==，，可得曲线方程．（Ⅱ ）设ON k m =，'OM k m =，分析可得1'4m m =-，先设出直线ON 的方程为y mx = (0)m >，由24y mx x y=⎧⎨=⎩，解得4N x m =，从而可求得4ON =,,OM OA OB ,故可将=OMN OAB ON OM S S OA OBλ∆∆⋅=⋅化为m 的代数式，用基本不等式求解可得结果．试题解析：（Ⅰ）由抛物线定义可得7,4M c b ⎛⎫-- ⎪⎝⎭， ∵点M抛物线24x by =上， ∴2744c b b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即2274c b b =- ①又由c a =，得 223c b = 将上式代入①，得277b b =解得1,b =∴c =2a ∴=，所以曲线1C 的方程为2214x y +=，曲线2C 的方程为24x y =．（Ⅱ）设直线MN 的方程为1y kx =+，由214y kx x y=+⎧⎨=⎩消去y 整理得2440x kx --=，设11,)Mx y （，()2,2N x y . 则124x x =-，设ON k m =，'OM k m =，则21122111'164y y mm x x x x =⋅==-，所以1'4m m=-， ② 设直线ON 的方程为y mx = (0)m >，由24y mx x y=⎧⎨=⎩，解得4N x m =，所以4N ON ==由②可知，用14m-代替m ，可得M OM == 由2214y mx x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得A x =，所以A OA == 用14m -代替m，可得B OB ==所以=OMN OAB ON OM S S OA OB λ∆∆⋅==⋅==1222m m=+≥，当且仅当1m =时等号成立．所以λ的取值范围为[)2,+∞.点睛：解决圆锥曲线的最值与范围问题时，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值．常从以下几个方面考虑：①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用隐含或已知不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；③利用基本不等式求出参数的取值范围；④利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．。

南昌铁路一中2017—2018学年度高二上学期数学期末考试试卷及答案(理科)2018年2月

南昌市铁路一中2017-2018学年高二（上）期末数学（理）总分：150分考试时间：120分钟命题人：高二数学备课组 2018.2一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的） 1．已知复数z =2i1i+ (i 为虚数单位)，则z·z =( ) AB ．2C ．1D ．122.观察下列等式：332123+=，33321236++=，33332123410+++=，根据上述规律，得到333333123456+++++=（）A ．219 B ．220 C ．221 D ．222 3 .函数y ＝ln x (x >0)的图象与直线y ＝ex ＋a 相切，则a 等于( ) A ．-2B ．0C ．ln 2D ．2ln 24. 如图，矩形O ′A ′B ′C ′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O ′A ′＝6 cm ，O ′C ′＝2 cm ，则原图形是( )A.正方形B.矩形C.菱形D.梯形5．下列说法中，正确的是( )A ．已知x ∈R ，则“x>ln3”是“x >2”的充分不必要条件B ．已知x R ∈，则3x ≠是2230x x --≠的充分不必要条件 C ．命题“p ∨q”为真命题，则“命题p”和“命题q”均为真命题 D ．已知a,b,m R ∈,命题“若am 2<bm 2，则a<b ”的逆否命题是真命题6．设a R ∈，则1a =“”是1(1)3l ax a y +-=“直线:与直线2(1)l a x -:(23)2a y ++=互相垂直的（）.A 充分不必要条件 .B 必要不充分条件.C 充分必要条件 .D 既不充分也不必要条件7..用反证法证明命题“设R b a ∈,，1||||<+b a ，042≥-b a ，那么02=++b ax x 的两根的绝对值都小于1”时，应假设( ).A 方程02=++b ax x 的两根的绝对值存在一个小于1 .B 方程02=++b ax x 的两根的绝对值至少有一个大于等于1 .C方程02=++b ax x 没有实数根.D 方程02=++b ax x 的两根的绝对值都不小于18.将正方体(如图1所示)截去两个三棱锥，得到如图2所示的几何体，则该几何体的左视图为9.已知双曲线22221x y a b-=(a >0，b >0)的一条渐近线的倾斜角是3π，则该双曲线的离心率为A ．3B C ．2 D 10.平面上动点A(x,y)满足135=+y x ,B(-4,0),C(4,0),则一定有（）A ．10<+AC AB B ．10≥+AC AB C.10>+AC ABD ． 10≤+AC AB 11. 已知函数f （x ）=x 3+ax 2﹣a （a ∈R ），若存在x 0，使f （x ）在x=x 0处取得极值，且f （x 0）=0，则a 的值为A ．-3或0B ．3或0C ．3±D ．3±或0 12．定义在R 上的可导函数()f x 满足)2()(x f x f -=，当()1,x ∈+∞时，()()()10x f x f x '-->恒成立，)0(f a = ，)3(21f b =，)2()12(f c +=，则,,a b c 的大小关系为（）A ． c a b <<B ．b c a <<C ．a c b <<D ．c b a << 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．若f (x )＝xe -，则⎠⎛－11f (x )d x ＝____________.14. 已知函数f (x )＝34(0)x x x ->的零点为0x ，则函数f (x )在0x x =处的切线方程为__________ ．15. 已知命题p ：220R x x ax a ∃∈++≤，，若命题p 为假命题，则实数a 的取值范围是_______________．16. 如果对定义在R 上的函数()f x ，对任意两个不相等的实数12,x x ，都有11221221()()()()x f x x f x x f x x f x +>+，则称函数()f x 为“H 函数”.给出下列函数①31y x x =-++;②32(sin cos )y x x x =--;③1xy e =+;④ln 0()00x x f x x ⎧≠⎪=⎨=⎪⎩.⑤2()(ln )(01)x f x a x x a a a '=+->≠且以上函数是“H 函数”的有__________．三、解答题（共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17. （10分）（1）设命题p:实数x 满足()(3)0x a x a --<,其中0a >,命题q:实数x 满足23x <≤.若a=1，有p 且q 为真，求实数x 的取值范围；（2）已知复数()2113z i i =-++．若21z az b i ++=-，求实数,a b 的值．18. (12分)在极坐标系中，射线:6l πθ=与圆:2C ρ=交于点A ，椭圆D 的方程为22312sin ρθ=+，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系xOy . （1）求点A 的直角坐标和椭圆D 的参数方程；（2）若点 (,)P x y 为椭圆D 上一动点，求523+--=y x Z 的取值范围.19.(12分)某种产品每件成本为6元，每件售价为(611)x x <<元，年销售为u 万件，若已知5858u -与221()4x -成正比，且售价为10元时，年销售为28万件. （1）求年销售利润y 关于售价x 的函数关系式；（2）求售价为多少时，年利润最大，并求出最大年利润。

2017-2018学年江西省赣州市高二上学期期中数学试题(理科)(解析版)18

高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的）1．（5分）设直线l1：kx﹣y+1=0，l2：x﹣ky+1=0，若l1⊥l2，则k=（）A．﹣1 B．1 C．±1 D．02．（5分）总体由编号为01，02，…，29，30的30个个体组成．利用下面的随机数表选取7个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第6个个体的编号为（）A．08 B．07 C．02 D．013．（5分）已知是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．4．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对边长分别为a，b，c，若a2=3c2﹣b2，则cosC的最小值为（）A．B．C．D．5．（5分）某中学采用系统抽样方法，从该校高一年级全体800名学生中抽50名学生做牙齿健康检查．现将800名学生从1到800进行编号．已知从33～48这16个数中取的数是39，则在第1小组1～16中随机抽到的数是（）A．5 B．7 C．11 D．136．（5分）若样本1+x1，1+x2，1+x3，…，1+x n的平均数是10，方差为2，则对于样本2+x1，2+x2，…，2+x n，下列结论正确的是（）A．平均数为10，方差为2 B．平均数为11，方差为3C．平均数为11，方差为2 D．平均数为12，方差为47．（5分）执行如图所示的程序框图，若输出的S的值为20，则判断框中可以填（）A．k＞7 B．k＞8 C．k＜7 D．k＜88．（5分）已知，为单位向量，且，则在上的投影为（）A．B．C．D．9．（5分）若圆C：x2+y2+2x﹣4y+3=0关于直线2ax+by+6=0对称，则由点（a，b）向圆C所作切线长的最小值是（）A．2 B．3 C．4 D．610．（5分）下列命题中正确的个数有（）①若a∥b，a⊂α，则b∥α．②若a，b为两异面直线，则过不在a，b上的定点A有且仅有一条直线与a，b 相交．③两个不重合的平面α，β，两条异面直线a，b，若a∥α，b∥α，a∥β，b∥β，则α∥β．④若平面EFGH与平行四边形ABCD相交于AB，则CD∥平面EFGH．A．0个B．1个 C．2个 D．3个11．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，已知（a4﹣1）3+2017（a4﹣1）=1，（a2014﹣1）3+2017（a2014﹣1）=﹣1，则下列结论正确的是（）A．S2017=﹣2017，a2014＜a4B．S2017=2017，a2014＞a4C．S2017=﹣2017，a2014＞a4D．S2017=2017，a2014＜a412．（5分）已知x，y满足则的最小值是（）A．B．C．D．6二、填空题（每题5分，共4题，满分20分，请将答案填在答题纸上）13．（5分）已知数列{a n}是递增的等比数列，a1+a4=9，a2a3=8，则数列{a n}的前n项和等于．14．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为AA1中点，Q为CC1的中点，AB=2，则三棱锥B﹣PQD的体积为．15．（5分）三棱锥A﹣BCD，AB=AD=，底面BCD为等边三角形，且平面ABD⊥平面BCD，求三棱锥A﹣BCD外接球的表面积．16．（5分）在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，DC∥AB，AD=CD=1，AB=2，E，F 分别为AB，AC的中点，设以A为圆心，AD为半径的圆弧DE上的动点为P（如图所示），则的取值范围是．三、解答题（17题10分，其它题12分，共70分，写出必要的文字说明）17．（10分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，点O是对角线AC与BD的交点，M是PD的中点，且AB=2，．（1）求证：OM∥平面PAB．（2）求证：平面PBD⊥平面PAC．18．（12分）在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sinC=．（1）若a+b=5，求△ABC面积的最大值；（2）若a=2，2sin2A+sinAsinC=sin2C，求b及c的长．19．（12分）东莞市某高级中学在今年4月份安装了一批空调，关于这批空调的使用年限x（单位：年，x∈N*）和所支出的维护费用y（单位：万元）厂家提供的统计资料如下：（1）请根据以上数据，用最小二乘法原理求出维护费用y关于x的线性回归方程=x+；（2）若规定当维护费用y超过13.1万元时，该批空调必须报废，试根据（1）的结论求该批空调使用年限的最大值．参考公式：用最小二乘法求线性回归方程=x+的系数公式：=，=﹣．20．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足2a n=S n+1（n∈N*）（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n=（2n+1）•a n，求数列{b n}的前n项和T n．21．（12分）如图所示的空间几何体，底面四边形ABCD为正方形，AF⊥AB，AF ∥BE，平面ABEF⊥平面ABCD，DF=，CE=2，BC=2．（1）求二面角E﹣AC﹣D的余弦值；（2）求直线BE与平面DEF所成角的正弦值．22．（12分）已知圆C1：x2+y2+6x=0关于直线l1：y=2x+1对称的圆为C（1）求圆C的方程；（2）过点（﹣1，0）作直线与圆C交于A，B两点，O是坐标原点，是否存在这样的直线，使得在平行四边形OASB中||=|﹣|？若存在，求出所有满足条件的直线的方程；若不存在，请说明理由．高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的）1．（5分）设直线l1：kx﹣y+1=0，l2：x﹣ky+1=0，若l1⊥l2，则k=（）A．﹣1 B．1 C．±1 D．0【分析】根据直线的垂直的关系即可求出．【解答】解：设直线l1：kx﹣y+1=0，l2：x﹣ky+1=0，若l1⊥l2，1×k﹣1×（﹣k）=0，解得k=0，故选：D．【点评】本题考查了直直线和直线垂直，属于基础题．2．（5分）总体由编号为01，02，…，29，30的30个个体组成．利用下面的随机数表选取7个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第6个个体的编号为（）A．08 B．07 C．02 D．01【分析】根据随机数表，依次进行选择即可得到结论．【解答】解：从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字中小于30的编号依次为08，02，14，07，02，01，则第6个个体的编号为01．故选：D．【点评】本题主要考查简单随机抽样的应用，正确理解随机数法是解决本题的关键，比较基础．3．（5分）已知是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．【分析】由三视图可知：该几何体由圆锥的与一个三棱柱组成的．【解答】解：由三视图可知：该几何体由圆锥的与一个三棱柱组成的．∴该几何体的体积V=+=1+．故选：B．【点评】本题考查了圆锥与三棱柱的三视图、体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对边长分别为a，b，c，若a2=3c2﹣b2，则cosC的最小值为（）A．B．C．D．【分析】根据题意，利用余弦定理表示出cosC，将已知等式变形后代入，利用基本不等式变形即可求出cosC的最小值．【解答】解：根据题意，若a2=3c2﹣b2，即a2+b2=3c2，cosC===（+）≥，即cosC的最小值为；故选：A．【点评】此题考查了余弦定理，以及基本不等式的运用，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．5．（5分）某中学采用系统抽样方法，从该校高一年级全体800名学生中抽50名学生做牙齿健康检查．现将800名学生从1到800进行编号．已知从33～48这16个数中取的数是39，则在第1小组1～16中随机抽到的数是（）A．5 B．7 C．11 D．13【分析】根据系统抽样的定义进行求解即可．【解答】解：样本间隔为800÷50=16，∵在从33～48这16个数中取的数是39，∴从33～48这16个数中取的数是第3个数，∴第1小组1～16中随机抽到的数是39﹣2×16=7，故选：B．【点评】本题主要考查系统抽样的应用，比较基础．6．（5分）若样本1+x1，1+x2，1+x3，…，1+x n的平均数是10，方差为2，则对于样本2+x1，2+x2，…，2+x n，下列结论正确的是（）A．平均数为10，方差为2 B．平均数为11，方差为3C．平均数为11，方差为2 D．平均数为12，方差为4【分析】根据平均数和方差的定义和性质进行求解即可．【解答】解：∵样本1+x1，1+x2，1+x3，…，1+x n的平均数是10，方差为2，∴1+x1+1+x2+1+x3+…+1+x n=10n，即x1+x2+x3+…+x n=10n﹣n=9n，方差S2=[（1+x1﹣10）2+（1+x2﹣10）2+…+（1+x n﹣10）2]=[（x1﹣9）2+（x2﹣9）2+…+（x n﹣9）2]=2，则（2+x1+2+x2+…+2+x n）==11，样本2+x1，2+x2，…，2+x n的方差S2=[（2+x1﹣11）2+（2+x2﹣11）2+…+（2+x n ﹣11）2]=[（x1﹣9）2+（x2﹣9）2+…+（x n﹣9）2]=2，故选：C．【点评】本题主要考查样本数据的方差和平均数的计算，根据相应的公式进行计算是解决本题的关键．7．（5分）执行如图所示的程序框图，若输出的S的值为20，则判断框中可以填（）A．k＞7 B．k＞8 C．k＜7 D．k＜8【分析】模拟执行程序框图的运行过程，即可得出程序运行后输出S=20时判断框中可以填的条件．【解答】解：执行如图所示的程序框图，如下；k=1时，a1=2，S=2，满足循环条件；k=2时，a2=0，S=2，满足循环条件；k=3时，a3=2，S=4，满足循环条件；k=4时，a4=6，S=10，满足循环条件；k=5时，a5=2，S=12，满足循环条件；k=6时，a6=﹣4，S=8，满足循环条件；k=7时，a7=2，S=10，满足循环条件；k=8时，a8=10，S=20，不满足循环条件；终止循环，输出S=20，∴判断框中可以填k＜8．故选：D．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，是基础题．8．（5分）已知，为单位向量，且，则在上的投影为（）A．B．C．D．【分析】将条件式两边平方即可计算，再计算||，（），代入投影公式计算．【解答】解：∵，∴+2+=2﹣4+2，即2+2=4﹣4，∴=，∴（）2=+2+=，∴||=，又（）=+=，∴在上的投影为||cos＜＞==．故选：B．【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，属于中档题．9．（5分）若圆C：x2+y2+2x﹣4y+3=0关于直线2ax+by+6=0对称，则由点（a，b）向圆C所作切线长的最小值是（）A．2 B．3 C．4 D．6【分析】由题意可知直线经过圆的圆心，推出a，b的关系，利用（a，b）与圆心的距离，半径，求出切线长的表达式，然后求出最小值．【解答】解：圆C：x2+y2+2x﹣4y+3=0化为（x+1）2+（y﹣2）2=2，圆的圆心坐标为（﹣1，2）半径为．圆C：x2+y2+2x﹣4y+3=0关于直线2ax+by+6=0对称，所以（﹣1，2）在直线上，可得﹣2a+2b+6=0，即a=b+3．点（a，b）与圆心的距离，，所以点（a，b）向圆C所作切线长：==≥4，当且仅当b=﹣1时弦长最小，为4．故选C．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，对称问题，圆的切线方程的应用，考查计算能力．10．（5分）下列命题中正确的个数有（）①若a∥b，a⊂α，则b∥α．②若a，b为两异面直线，则过不在a，b上的定点A有且仅有一条直线与a，b 相交．③两个不重合的平面α，β，两条异面直线a，b，若a∥α，b∥α，a∥β，b∥β，则α∥β．④若平面EFGH与平行四边形ABCD相交于AB，则CD∥平面EFGH．A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【分析】根据空间线面位置关系的定义，性质与判定定理判断．【解答】解：对于①，若b⊂α，则结论错误，故①错误；对于②，设A与a确定的平面为α，b与A确定的平面为β，则A为α，β的公共点，∴α与β有且只有一条经过点A的交线，故②正确；对于③，若α∩β=m，a∥b∥m，则结论不成立，故③错误；对于④，∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB，又平面EFGH∩平面ABCD=AB，∴AB⊂平面EFGH，∴CD∥平面EFGH，故④正确．．故选：C．【点评】本题考查了空间线面位置关系的判断，属于中档题．11．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，已知（a4﹣1）3+2017（a4﹣1）=1，（a2014﹣1）3+2017（a2014﹣1）=﹣1，则下列结论正确的是（）A．S2017=﹣2017，a2014＜a4B．S2017=2017，a2014＞a4C．S2017=﹣2017，a2014＞a4D．S2017=2017，a2014＜a4【分析】（a4﹣1）3+2016（a4﹣1）=1，（a2014﹣1）3+2017（a2014﹣1）=﹣1，设a4﹣1=m＞0，a2014﹣1=n＜0．可得m3+2016m+n3+2016n=0，m+n=a4﹣1+a2014﹣1=0．再利用等差数列的求和公式及其性质即可得出．【解答】解：∵（a4﹣1）3+2016（a4﹣1）=1，（a2014﹣1）3+2017（a2014﹣1）=﹣1∴（a4﹣1）3+2016（a4﹣1）+（a2014﹣1）3+2017（a2014﹣1）=0．设a4﹣1=m＞0，a2014﹣1=n＜0．则m3+2016m+n3+2016n=0，化为（m+n）（m2+n2﹣mn+2016）=0，∵m2+n2﹣mn+2016＞0，∴m+n=a4﹣1+a2014﹣1=0．∴a4+a2014=2=a1+a2017．∴S2017==2017．．又a4﹣1＞0，a2014﹣1＜0．∴a4＞1＞a2014．故选：D．【点评】本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式求和公式及其性质、乘法公式运用，考查了推理能力与计算能力，属于难题．12．（5分）已知x，y满足则的最小值是（）A．B．C．D．6【分析】先化简整理z=++3，设t=，则符合条件的点表示到定点P （0，﹣4）的斜率的范围，根据线性规划求出t的范围，再根据基本不等式求出z的最小值．【解答】解：画出可行域，如图所示：由==+=++3，设t=，则符合条件的点表示到定点P（0，﹣4）的斜率的范围，由C（3，2），B（3，﹣3）k PB==，k PC==2，∴≤t≤2，∴≤≤2∴z=++3≥2+3=2+3，当且仅当x=y+4时，即=时取等号，故z的最小值为2+3，故选：A【点评】本题考查了线性规划和基本不等式的应用，属于中档题二、填空题（每题5分，共4题，满分20分，请将答案填在答题纸上）13．（5分）已知数列{a n}是递增的等比数列，a1+a4=9，a2a3=8，则数列{a n}的前n项和等于2n﹣1．【分析】利用等比数列的性质，求出数列的首项以及公比，即可求解数列{a n}的前n项和．【解答】解：数列{a n}是递增的等比数列，a1+a4=9，a2a3=8，可得a1a4=8，解得a1=1，a4=8，∴8=1×q3，q=2，数列{a n}的前n项和为：=2n﹣1．故答案为：2n﹣1．【点评】本题考查等比数列的性质，数列{a n}的前n项和求法，基本知识的考查．14．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为AA1中点，Q为CC1的中点，AB=2，则三棱锥B﹣PQD的体积为．【分析】由题意画出图形，取PQ中点G，连接BG，DG，可得PQ⊥平面BGD，求出△BDG的面积，代入棱锥体积公式求解．【解答】解：如图，连接PQ，则PQ∥AC，取PQ中点G，连接BG，DG，可得BG⊥PQ，DG⊥PQ，又BG∩DG=G，则PQ⊥平面BGD，在Rt△BPG中，由BP=，PG=，可得BG=，同理可得DG=，则△BDG边BD上的高为，∴，则．故答案为：．【点评】本题考查柱、锥、台体积的求法，考查空间想象能力和思维能力，是中档题．15．（5分）三棱锥A﹣BCD，AB=AD=，底面BCD为等边三角形，且平面ABD⊥平面BCD，求三棱锥A﹣BCD外接球的表面积16π．【分析】利用已知三棱锥A﹣BCD的特点AB=AD，先确定△ABD的外心H，及外接圆的半径，可得三棱锥A﹣BCD的外接球的球心O在CH上，即可解答．【解答】解：∵AB=AD=，∴△ADB是直角三角形，∴底面BAD的外心为斜边DB中点H，∵且平面ABD⊥平面BCD，CH⊥DB，∴CH⊥底面BAD，∴三棱锥A﹣BCD外接球的球心在CH上，三棱锥A﹣BCD外接球的半径为R，则（CH﹣R）2+BH2=OB2∵，BH=，可得R=2三棱锥A﹣BCD外接球的表面S=4πR2=16π故答案为：16π【点评】题考查球内接多面体及其度量，考查空间想象能力，计算能力，解答的关键是确定球心位置，利用已知三棱锥的特点是解决问题关键，属于中档题．16．（5分）在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，DC∥AB，AD=CD=1，AB=2，E，F 分别为AB，AC的中点，设以A为圆心，AD为半径的圆弧DE上的动点为P（如图所示），则的取值范围是[﹣，﹣1] ．【分析】建立平面直角坐标系，由题意可设点P（cosθ，sinθ），θ∈[0，]，表示出、，再利用三角函数的图象与性质求出•的取值范围．【解答】解：建立如图所示直角坐标系，则A（0，0），B（2，0），C（1，1），D（0，1），E（1，0），F（，），由题意，可设点P（cosθ，sinθ），θ∈[0，]；则=（cosθ，sinθ），=（﹣cosθ，﹣sinθ），∴•=c osθ（﹣cosθ）+sinθ（﹣sinθ）=cosθ+sinθ﹣1，=sin（θ+α）﹣1，其中tanα=3；又θ∈[0，]，∴arctan3≤θ+α≤+arctan3；∴sin（﹣arctan3）≤sin（θ+α）≤1sin（﹣arctan3）=cos（arctan3）=∴×≤sin（θ+α）≤∴﹣≤sin（θ+α）﹣1≤﹣1，即的取值范围是[﹣，﹣1]．故答案为：[]．【点评】本题考查了平面向量知识的运用以及平面直角坐标系的应用问题，也考查了三角函数的应用问题，是难题．三、解答题（17题10分，其它题12分，共70分，写出必要的文字说明）17．（10分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，点O是对角线AC与BD的交点，M是PD的中点，且AB=2，．（1）求证：OM∥平面PAB．（2）求证：平面PBD⊥平面PAC．【分析】（1）利用中位线定理可得OM∥PB，故而OM∥平面PAB；（2）由BD⊥AC，BD⊥PA可得BD⊥平面PAC，故而平面PBD⊥平面PAC．【解答】解：（1）∵在△PBD中，O、M分别是BD、PD的中点，∴OM是△PBD的中位线，∴OM∥PB，∵OM⊄平面PBD，PB⊂面PBD，∴OM∥面PBD．（2）∵PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴PA⊥BD，∵底面ABCD是菱形，∴BD⊥AC，∵AC⊂面PAC，PA⊂面PAC，AC∩PA=A，∴BD⊥平面PAC，∵BD⊂平面PBD，∴平面PBD⊥平面PAC．【点评】本题考查了线面平行，面面垂直的判定，属于中档题．18．（12分）在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sinC=．（1）若a+b=5，求△ABC面积的最大值；（2）若a=2，2sin2A+sinAsinC=sin2C，求b及c的长．【分析】（1）利用基本不等式得出ab的最大值，得出面积的最大值；（2）利用正弦定理得出a，c的关系，列方程解出c，使用正弦定理解得sinA，利用余弦定理解出b．【解答】解：（1）∵a+b=5，∴ab≤（）2=．=sinC=≤=．∴S△ABC（2）∵2sin2A+sinAsinC=sin2C，∴2a2+ac=c2．即8+2c=c2，解得c=4．由正弦定理得，即，解得sinA=．∴cosA=．由余弦定理得cosA==．即．解得b=或2．【点评】本题考查了基本不等式，正余弦定理，属于中档题．19．（12分）东莞市某高级中学在今年4月份安装了一批空调，关于这批空调的使用年限x（单位：年，x∈N*）和所支出的维护费用y（单位：万元）厂家提供的统计资料如下：（1）请根据以上数据，用最小二乘法原理求出维护费用y关于x的线性回归方程=x+；（2）若规定当维护费用y超过13.1万元时，该批空调必须报废，试根据（1）的结论求该批空调使用年限的最大值．参考公式：用最小二乘法求线性回归方程=x+的系数公式：=，=﹣．【分析】（1）由题意首先求得样本中心点，然后求解回归方程即可；（2）利用（1）的结论结合题意得到不等式，求解不等式即可求得最终结果．【解答】解：（1）由题意可得：，则：，回归方程为：，（2）当维护费用y超过13.1万元时，即：0.7x+5.4＞13.1，解得：x＞11，则从第12年开始这批空调必须报废，该批空调使用年限的最大值为11年．答：该批空调使用年限的最大值为11年．【点评】本题考查线性回归方程的求解及其应用，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中等题．20．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足2a n=S n+1（n∈N*）（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n=（2n+1）•a n，求数列{b n}的前n项和T n．【分析】（1）当n=1时，2a1=S1+1=a1+1，解得a1．n≥2时，2a n﹣1=S n﹣1+1，可得：a n=2a n﹣1..利用等比数列的通项公式可得a n．（2）b n=（2n+1）•a n=（2n+1）•2n﹣1．利用错位相减法即可得出．【解答】解：（1）当n=1时，2a1=S1+1=a1+1，解得a1=1．n≥2时，2a n﹣1=S n﹣1+1，可得：2a n﹣2a n﹣1=a n，可得a n=2a n﹣1．．数列{a n}是首项为1，公比为2的等比数列，a n=2n﹣1．（2）b n=（2n+1）•a n=（2n+1）•2n﹣1．∴数列{b n}的前n项和T n=3×1+5×2+7×22+…+（2n+1）•2n﹣1．2T n=3×2+5×22+…+（2n﹣1）•2n﹣1+（2n+1）•2n，∴﹣T n=3+2×（2+22+…+2n﹣1）﹣（2n+1）•2n=1+2×﹣（2n+1）•2n，可得：T n=（2n﹣1）•2n+1．【点评】本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式与求和公式、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21．（12分）如图所示的空间几何体，底面四边形ABCD为正方形，AF⊥AB，AF ∥BE，平面ABEF⊥平面ABCD，DF=，CE=2，BC=2．（1）求二面角E﹣AC﹣D的余弦值；（2）求直线BE与平面DEF所成角的正弦值．【分析】（1）连接AC，BD，设AC∩BD=O，证明AC⊥平面BDE即可得知∠DOE 为所求角，在△DOE中利用余弦定理求出cos∠DOE；（2）过B作BP⊥DE交DE于点P，证明BP⊥平面DEF，故而∠BEP为直线BE 与平面DEF所成角．【解答】解：（1）连接AC，BD，设AC∩BD=O，∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，∵AF⊥AB，AF∥BE，∴BE⊥AB，又平面ABEF⊥平面ABCD，平面ABEF∩平面ABCD=AB，∴BE⊥平面ABCD，∴BE⊥AC，又BD∩BE=B，∴AC⊥平面BDE，∴AC⊥OE，∴二面角E﹣AC﹣D的平面角为∠DOE，∵正方形ABCD边长为2，CE=2，∴BE=2，OD=OB=，OE=，DE=2，∴cos∠DOE==﹣．即二面角E﹣AC﹣D的余弦值为﹣．（2）在Rt△DBE中，作BP⊥DE交DE于点P，取DE的中点G，连接OG，FG，则OG BE AF，∴四边形AOGF为平行四边形，∴FG∥AC，由（1）可知AC⊥平面DBE，又BP⊂平面DBE，∴AC⊥BP，∵FG∥AC，∴BP⊥FG，又FG∩DE=G且FG，DE⊂平面DEF，∴BP⊥平面DEF，∴∠BEP为直线BE与平面DEF所成角，∴sin∠BEP===．【点评】本题考查了线面垂直的判定，空间角的计算，属于中档题．22．（12分）已知圆C1：x2+y2+6x=0关于直线l1：y=2x+1对称的圆为C（1）求圆C的方程；（2）过点（﹣1，0）作直线与圆C交于A，B两点，O是坐标原点，是否存在这样的直线，使得在平行四边形OASB中||=|﹣|？若存在，求出所有满足条件的直线的方程；若不存在，请说明理由．【分析】（1）化圆C1的方程为标准方程，求出圆心坐标与半径，然后求出圆心关于直线l1的对称点，则圆C的方程可求；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），由||=|﹣|=，得四边形OASB为矩形，则OA⊥OB，当直线的斜率不存在时，可得直线的方程为x=﹣1，求出A，B的坐标，满足．当直线的斜率存在时，可设直线的方程为y=k（x+1），联立直线方程与圆方程，利用根与系数的关系结合求得k值，则直线方程可求．【解答】解：（1）圆C1：x2+y2+6x=0化为标准方程为（x+3）2+y2=9，设圆C1的圆心C1（﹣3，0）关于直线l1：y=2x+1的对称点为C（a，b），则，且CC 1的中点M（，）在直线l1：y=2x+1上．∴，解得．∴圆C的方程为（x﹣1）2+（y+2）2=9；（2）如图：设A（x1，y1），B（x2，y2）．由||=|﹣|=，得四边形OASB为矩形，∴OA⊥OB，必须使，即x1x2+y1y2=0．①当直线的斜率不存在时，可得直线的方程为x=﹣1，与圆C：（x﹣1）2+（y+2）2=9交于两点A（﹣1，），B（﹣1，）．∵，∴OA⊥OB，∴当直线的斜率不存在时，直线l：x=﹣1满足条件；②当直线的斜率存在时，可设直线的方程为y=k（x+1），设A（x1，y1），B（x2，y2），由，得（1+k2）x2+（2k2+4k﹣2）x+k2+4k﹣4=0，由于点（﹣1，0），在圆C内部，∴△＞0恒成立，∴，，由x1x2+y1y2=0，得，整理得，解得k=1，∴直线方程为y=x+1，∴存在直线x=﹣1和y=x+1，它们与圆C交A，B两点，且||=|﹣|．【点评】本题考查圆的方程的求法，考查直线与圆位置关系的应用，考查数学转化思想方法，是中档题．。

江西省南昌三中2017-2018学年高二上学期期中考试数(理)试卷含答案

南昌三中2017-2018学年度上学期期中考试高二数学(理）试卷命题：胡福英审题:周平一、选择题(共12小题，每小题5分,共60分)1。

直线12:220,:10l x ay a l ax y +--=+-=若12l l ∥，则a =（ )A. 1 B 。

-1 C 。

1或-1 D 。

22.抛物线2xay =的准线方程是2y =，则a 的值为（）A ．8-B ．8C ．18D ．18- 3.抛物线()022>-=p px y 的焦点恰好与椭圆15922=+y x 的一个焦点重合，则=p （ )A.1B.2C.3D.44.双曲线221(0)x ymn m n-=≠离心率为2，有一个焦点与抛物线24y x =的焦点重合，则mn 的值为( ）A.316 B.38 C 。

163D.835。

已知变量x ，y ，满足约束条件，目标函数z=x+2y 的最大值为10,则实数a 的值为（） A 。

2 B.83C 。

4 D. 86.能够使圆014222=++-+y x y x恰有两个点到直线02=++c y x 距离等于1的c 的一个值为（ )A ．2B ．3C ．5D ．537.已知双曲线22221(0,0)y x a b ab-=>>的一条渐近线方程是3y x =，它的一个焦点在抛物线224yx=的准线上，则双曲线的方程为( )A 。

22136108y x -= B 。

221927y x -= C 。

22110836y x -=D.221279y x -= 8．已知F 是双曲线C ：x 2－my 2＝3m （m 〉0)的一个焦点,则点F 到C 的一条渐近线的距离为( )A 。

错误! B ．3 C 。

错误!m D ．3m9、直线3y x =+与曲线2194x x y -=的交点个数为（）A 、2B 、3C 、4D 、1 10.已知F 是双曲线221412x y -=的左焦点,(1,4)A 是双曲线外一点，P 是双曲线右支上的动点，则PF PA +的最小值为（ )A 、9B 、8C 、7D 、6 11.若实数,x y 满足2244xy +=，则22xyx y +-的最大值为( ）A.122-B.12-C.122+D.12+12. 已知F 1、F 2分别是双曲线C ：=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，过点F 1的直线与双曲线C 的左、右两支分别交于P 、Q 两点,｜F 1P|、|F 2P|、｜F 1Q ｜成等差数列，且∠F 1PF 2=120°，则双曲线C 的离心率是( ） A.B 。