2019-2020学年广东省揭阳市产业园高一下学期期末数学试卷 (解析版)

2019-2020学年广东省揭阳市产业园高一第二学期期末数学试卷一、选择题（共10小题）.1．sin（﹣）的值是（）A．B．﹣C．D．﹣2．设向量＝（2，4）与向量＝（λ，6）共线，则实数λ＝（）A．3B．4C．5D．63．若函数y＝cos（ωx+）（ω＞0）的最小正周期为2，则ω＝（）A．1B．2C．πD．2π4．下列说法正确的是（）A．终边相同的角一定相等B．﹣831°是第二象限角C．若角α，β的终边关于x轴对称，则α+β＝360°D．若扇形的面积为，半径为2，则扇形的圆心角为5．为了了解某同学的数学学习情况，对他的6次数学测试成绩（满分100分）进行统计，作出的茎叶图如图所示，则下列关于该同学数学成绩的说法正确的是（）A．中位数为83B．众数为85C．平均数为85D．方差为196．向量＝（1，﹣2），＝（2，1），则（）A．∥B．⊥C．与的夹角为60°D．与的夹角为30°7．若cosα＝﹣，α∈（，π），则tanα等于（）A．﹣B．C．D．28．在△ABC中，若||＝3，||＝4，∠BAC＝60°，则•＝（）A．6B．4C．﹣6D．﹣49．在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则＝（）A．﹣B．﹣C．+D．+10．已知sin（+α）＝，则cos（﹣2α）＝（）A．B．C．﹣D．二、多选题（本大题共2个小题，每小题4分，共8分，选对得4分，少选得2分，多选不得分）11．从装有2个红球和2个黑球的口袋中任取2个小球，则下列结论正确的是（）A．“至少一个红球”和“都是红球”是互斥事件B．“恰有一个黑球”和“都是黑球”是互斥事件C．“至少一个黑球”和“都是红球”是对立事件D．“恰有一个红球”和“都是红球”是对立事件12．如图所示的曲线图是2020年1月25日至2020年2月12日陕西省及西安市新冠肺炎累计确诊病例的曲线图，则下列判断正确的是（）A．1月31日陕西省新冠肺炎累计确诊病例中西安市占比超过了B．1月25日至2月12日陕西省及西安市新冠肺炎累计确诊病例都呈递增趋势C．2月2日后到2月10日陕西省新冠肺炎累计确诊病例增加了97例D．2月8日到2月10日西安市新冠肺炎累计确诊病例的增长率大于2月6日到2月8日的增长率三、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上）13．已知向量＝（，1），则||＝．14．已知A（1，2），B（2，3），C（﹣2，5），则△ABC的形状是．15．函数y＝的定义域为．16．若x∈[0，π），则sin x＜的x取值范围为．四、解答题（本大题共6个小题，共86分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知f（α）＝．（1）化简f（α）；（2）若α是第三象限角，且，求f（α）．18．设平面三点A（1，0），B（0，1），C（2，5），（1）试求向量2+的模；（2）若向量与的夹角为θ，求cosθ；（3）求向量在上的投影．19．学校从参加高一年级期中考试的学生中抽出50名学生，并统计了她们的数学成绩（成绩均为整数且满分为150分），数学成绩分组及各组频数如下：[60，75），2；[75，90），3；[90，105），14；[105，120），15；[120，135），12；[135，150），4；样本频率分布表：分组频数频率[60，75）20.04[75，90）30.06[90，105）140.28[105，120）150.30[120，135）A B[135，150）40.08合计C D（1）在给出的样本频率分布表中，求A，B，C，D的值；（2）估计成绩在120分以上（含120分）学生的比例；（3）为了帮助成绩差的学生提高数学成绩，学校决定成立“二帮一”小组，即从成绩在[135，150]的学生中选两位同学，共同帮助成绩在[60，75）中的某一位同学．已知甲同学的成绩为62分，乙同学的成绩为120分，求甲、乙两同学恰好被安排在同一小组的概率．20．某学校为了了解高中生的艺术素养，从学校随机选取男，女同学各50人进行研究，对这100名学生在音乐、美术、戏剧、舞蹈等多个艺术项目进行多方位的素质测评，并把调查结果转化为个人的素养指标x和y，制成如图，其中“*”表示男同学，“+”表示女同学．若0＜x＜0.6，则认定该同学为“初级水平”，若0.6≤x≤0.8，则认定该同学为“中级水平”，若0.8＜x≤1，则认定该同学为“高级水平”；若y≥100，则认定该同学为“具备一定艺术发展潜质”，否则为“不具备明显艺术发展潜质”．（1）从50名女同学的中随机选出一名，求该同学为“初级水平”的概率；（2）从男同学所有“不具备明显艺术发展潜质的中级或高级水平”中任选2名，求选出的2名均为“高级水平”的概率；（3）试比较这100名同学中，男、女生指标y的方差的大小（只需写出结论）．21．已知，s．（1）求sin2α的值；（2）若，，求cosβ的值．22．某同学用“五点法”作函数在一个周期内的图象时，列出下表并填入了部分数据：xωx+φ0π2πA sin（ωx+φ）030（Ⅰ）将表格数据补充完整，并求出f（x）的表达式及单调递增区间；（Ⅱ）当时，求f（x）的最值及对应x的值．参考答案一、单选题（共10小题）.1．sin（﹣）的值是（）A．B．﹣C．D．﹣【分析】由条件利用诱导公式进行化简求值，可得结论．解：sin（﹣）＝﹣sin＝﹣，故选：D．2．设向量＝（2，4）与向量＝（λ，6）共线，则实数λ＝（）A．3B．4C．5D．6【分析】根据与共线即可得出2×6﹣4λ＝0，然后解出λ即可．解：∵与共线，∴2•6﹣4λ＝0，解得λ＝3．故选：A．3．若函数y＝cos（ωx+）（ω＞0）的最小正周期为2，则ω＝（）A．1B．2C．πD．2π【分析】根据余弦函数的周期性求解即可．解：最小正周期＝2，所以ω＝π．故选：C．4．下列说法正确的是（）A．终边相同的角一定相等B．﹣831°是第二象限角C．若角α，β的终边关于x轴对称，则α+β＝360°D．若扇形的面积为，半径为2，则扇形的圆心角为【分析】根据题意，由任意角的概念分析选项，综合即可得答案．解：根据题意，依次分析选项：对于A，终边相同的角不一定相等，如30°和390°，A错误；对于B，﹣831°＝﹣3×360°+249°，为第三象限的角，B错误；对于C，若角α，β的终边关于x轴对称，则α+β＝360°k，（k∈Z），C错误；对于D，设扇形的圆心角为α，若扇形的面积为，半径为2，则S＝αr2＝2α＝，解可得α＝，即扇形的圆心角为；故选：D．5．为了了解某同学的数学学习情况，对他的6次数学测试成绩（满分100分）进行统计，作出的茎叶图如图所示，则下列关于该同学数学成绩的说法正确的是（）A．中位数为83B．众数为85C．平均数为85D．方差为19【分析】根据茎叶图中的数据，计算数据的中位数、众数、平均数和方差即可．解：根据茎叶图中的数据，得中位数是＝84，∴A错误；众数是83，∴B错误；平均数是＝85，∴C正确；方差是[（78﹣85）2+（85﹣85）2+（83﹣85）2×2+（90﹣85）2（91﹣85）2]＝19.7，∴D错误．故选：C．6．向量＝（1，﹣2），＝（2，1），则（）A．∥B．⊥C．与的夹角为60°D．与的夹角为30°【分析】运用数量积的坐标表示，求出两向量的数量积，再由夹角公式，判断两向量的位置关系．解：∵向量＝（1，﹣2），＝（2，1），∴＝1×2+（﹣2）×1＝0，∴夹角的余弦为0，∴⊥．故选：B．7．若cosα＝﹣，α∈（，π），则tanα等于（）A．﹣B．C．D．2【分析】由已知利用平方关系求得sinα，再由商的关系可得tanα．解：∵cosα＝﹣，α∈（，π），∴sin．∴tanα＝．故选：C．8．在△ABC中，若||＝3，||＝4，∠BAC＝60°，则•＝（）A．6B．4C．﹣6D．﹣4【分析】由向量数量积的定义可知，•＝||||cos120°，代入即可求解解：∵||＝3，||＝4，∠BAC＝60°，∴＝120°由向量数量积的定义可知，•＝||||cos120°＝3×4×＝﹣6故选C9．在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则＝（）A．﹣B．﹣C．+D．+【分析】运用向量的加减运算和向量中点的表示，计算可得所求向量．解：在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，＝﹣＝﹣＝﹣×（+）＝﹣，故选：A．10．已知sin（+α）＝，则cos（﹣2α）＝（）A．B．C．﹣D．【分析】利用诱导公式，求得cos（﹣α）的值，再利用二倍角的余弦公式，求得cos （﹣2α）的值．解：∵sin（+α）＝＝cos（﹣α），则cos（﹣2α）＝2﹣1＝﹣1＝﹣，故选：C．二、多选题（本大题共2个小题，每小题4分，共8分，选对得4分，少选得2分，多选不得分）11．从装有2个红球和2个黑球的口袋中任取2个小球，则下列结论正确的是（）A．“至少一个红球”和“都是红球”是互斥事件B．“恰有一个黑球”和“都是黑球”是互斥事件C．“至少一个黑球”和“都是红球”是对立事件D．“恰有一个红球”和“都是红球”是对立事件【分析】利用对立事件、互斥事件的定义直接求解．解：从装有2个红球和2个黑球的口袋中任取2个小球，对于A，“至少一个红球”和“都是红球”能同时发生，不是互斥事件，故A错误；对于B，“恰有一个黑球”和“都是黑球”不能同时发生，是互斥事件，故B正确；对于C，“至少一个黑球”和“都是红球”既不能同时发生，也不能同时不发生，是对立事件，故C正确；对于D，“恰有一个红球”和“都是红球”不能同时发生，能同时不发生，是互斥而不对立事件，故D错误．故选：BC．12．如图所示的曲线图是2020年1月25日至2020年2月12日陕西省及西安市新冠肺炎累计确诊病例的曲线图，则下列判断正确的是（）A．1月31日陕西省新冠肺炎累计确诊病例中西安市占比超过了B．1月25日至2月12日陕西省及西安市新冠肺炎累计确诊病例都呈递增趋势C．2月2日后到2月10日陕西省新冠肺炎累计确诊病例增加了97例D．2月8日到2月10日西安市新冠肺炎累计确诊病例的增长率大于2月6日到2月8日的增长率【分析】正确理解图象带来的信息逐一进行判断即可．解：对于A：1月31日陕西省新冠肺炎累计确诊病例中西安市占比为＞，故A正确，对于B：1月25日至2月12日陕西省及西安市新冠肺炎累计确诊病例都呈递增趋势，故B正确，对于C：2月2日后到2月10日陕西省新冠肺炎累计确诊病例增加了213﹣116＝97例，故C正确，对于D：2月8日到2月10日西安市新冠肺炎累计确诊病例的增长率小于2月6日到2月8日的增长率，故D错误，故选：ABC．三、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上）13．已知向量＝（，1），则||＝2．【分析】直接根据模长的定义求解即可．解：因为向量＝（，1），所以：||＝＝2；故答案为：2．14．已知A（1，2），B（2，3），C（﹣2，5），则△ABC的形状是直角三角形．【分析】①画坐标②观察形状AB⊥AC③证明AB⊥AC解：如图＝（﹣3，3），＝（1，1）；•＝0所以⊥．△ABC为直角三角形；故答案为直角三角形．15．函数y＝的定义域为{x|﹣+2kπ≤x≤+2kπ，k∈Z}．【分析】由函数的解析式知，令被开方式2cos x﹣1≥0即可解出函数的定义域．解：∵，∴2cos x﹣1≥0，﹣+2kπ≤x≤+2kπ，k∈Z函数的定义域为{x|﹣+2kπ≤x＜≤+2kπ，k∈Z}故答案为：{x|﹣+2kπ≤x≤+2kπ，k∈Z}．16．若x∈[0，π），则sin x＜的x取值范围为[0，）∪（，π）．【分析】先令sin x＝，解得x＝或x＝，再根据三角函数线得出不等式sin x ＜的解集为[0，）∪（，π）．解：当x∈[0，π）时，令sin x＝得，x＝或x＝，如右图，要使sin x＜，由图可知，x∈[0，）∪（，π），故答案为：[0，）∪（，π）．四、解答题（本大题共6个小题，共86分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知f（α）＝．（1）化简f（α）；（2）若α是第三象限角，且，求f（α）．【分析】（1）由三角函数的恒等变换得：利用“奇变偶不变，符合看象限”，化简得f （x）＝﹣cosα．（2）由三角化简求值得：由诱导公式可得，所以，得解．解：（1）由题意得．故f（x）＝﹣cosα．（2）因为，所以．又α为第三象限角，所以，所以，故答案为：．18．设平面三点A（1，0），B（0，1），C（2，5），（1）试求向量2+的模；（2）若向量与的夹角为θ，求cosθ；（3）求向量在上的投影．【分析】（1）通过向量的坐标运算求出向量2+，然后求解向量的模；（2）求出向量与的坐标，然后利用向量的数量积求解cosθ；（3）求出向量在，利用向量的坐标运算求解即可．解：（1）因为A（1，0），B（0，1），C（2，5），所以＝（0，1）﹣（1，0）＝（﹣1，1），＝（2，5）﹣（1，0）＝（1，5），所以2+＝2（﹣1，1）+（1，5）＝（﹣1，7），所以|2+|＝＝5．（2）由（1）知＝（﹣1，1），＝（1，5），所以cos θ＝＝．（3）由（2）知向量与的夹角的余弦为cos θ＝，且||＝．所以向量在上在上的投影为||cos θ＝×＝．19．学校从参加高一年级期中考试的学生中抽出50名学生，并统计了她们的数学成绩（成绩均为整数且满分为150分），数学成绩分组及各组频数如下：[60，75），2；[75，90），3；[90，105），14；[105，120），15；[120，135），12；[135，150），4；样本频率分布表：分组频数频率[60，75）20.04[75，90）30.06[90，105）140.28[105，120）150.30[120，135）A B[135，150）40.08合计C D（1）在给出的样本频率分布表中，求A，B，C，D的值；（2）估计成绩在120分以上（含120分）学生的比例；（3）为了帮助成绩差的学生提高数学成绩，学校决定成立“二帮一”小组，即从成绩在[135，150]的学生中选两位同学，共同帮助成绩在[60，75）中的某一位同学．已知甲同学的成绩为62分，乙同学的成绩为120分，求甲、乙两同学恰好被安排在同一小组的概率．【分析】（1）由样本频率分布表，能求出A，B，C，D的值．（2）由频率分布表能估计成绩在120分以上（含120分）的学生比例．（3）成绩在[60，75）内有2人，记为甲、A，成绩在[135，150]内有4人，记为乙，B，C，D，由此利用列举法能求出甲、乙同学恰好被安排在同一小组的概率．解：（1）由样本频率分布表，得：C＝50，A＝50﹣2﹣3﹣14﹣15﹣4＝12，B＝＝0.24，D＝1．（2）估计成绩在120分以上（含120分）的学生比例为：0.24+0.08＝0.32．（3）成绩在[60，75）内有2人，记为甲、A，成绩在[135，150]内有4人，记为乙，B，C，D，则“二帮一”小组有以下12种分组办法：甲乙B，甲乙C，甲乙D，甲BC，甲BD，甲CD，A乙B，A乙C，A乙D，ABC，ABD，ACD，其中甲、乙两同学被分在同一小组有3种办法：甲乙B，甲乙C，甲乙D，∴甲、乙同学恰好被安排在同一小组的概率为P＝＝．20．某学校为了了解高中生的艺术素养，从学校随机选取男，女同学各50人进行研究，对这100名学生在音乐、美术、戏剧、舞蹈等多个艺术项目进行多方位的素质测评，并把调查结果转化为个人的素养指标x和y，制成如图，其中“*”表示男同学，“+”表示女同学．若0＜x＜0.6，则认定该同学为“初级水平”，若0.6≤x≤0.8，则认定该同学为“中级水平”，若0.8＜x≤1，则认定该同学为“高级水平”；若y≥100，则认定该同学为“具备一定艺术发展潜质”，否则为“不具备明显艺术发展潜质”．（1）从50名女同学的中随机选出一名，求该同学为“初级水平”的概率；（2）从男同学所有“不具备明显艺术发展潜质的中级或高级水平”中任选2名，求选出的2名均为“高级水平”的概率；（3）试比较这100名同学中，男、女生指标y的方差的大小（只需写出结论）．【分析】（1）在50名参加测试的女同学中，指标x＜0.6的有15人，由此能求出从50名女同学中随机选出一名，该名同学为“初级水平”的概率．（2）男同学“不具备明显艺术发展潜质的中级或高级水平”共有6人，其中“中级水平”有3人，分别记为A1，A2，A3．“高级水平”有3人，分别记为B1，B2，B3，利用列举法能求出所选2人均为“高级水平”的概率．（3）由图可知，这100名同学中男同学指标y的方差大于女同学指标y的方差．解：（1）由图知，在50名参加测试的女同学中，指标x＜0.6的有15人，所以，从50名女同学中随机选出一名，该名同学为“初级水平”的概率为p＝＝．（2）男同学“不具备明显艺术发展潜质的中级或高级水平”共有6人，其中“中级水平”有3人，分别记为A1，A2，A3．“高级水平”有3人，分别记为B1，B2，B3，所有可能的结果组成的基本事件有：{A1，A2}，{A1，A3}，{}，{A1，B2}，{A1，B3}，{A2，A3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A2，B3}，{A3，B1}，{A3，B2}，{A3，B3}，{B1，B2}，{B1，B3}，{B2，B3}，共15个，其中两人均为“高级水平”的共有3个，所以，所选2人均为“高级水平”的概率p＝．（3）由图可知，这100名同学中男同学指标y的方差大于女同学指标y的方差．21．已知，s．（1）求sin2α的值；（2）若，，求cosβ的值．【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系求得cosα的值，再利用二倍角公式求得sin2α的值．（2）先求得sin（α﹣β）的值，再利用两角和差的余弦公式求得cosβ＝cos[α﹣（α﹣β）]的值．解：（1）∵，s，∴cosα＝＝，∴sin2α＝2sinαcosα＝．（2）若，，则﹣＜α﹣β＜0，∴sin（α﹣β）＝﹣＝﹣，∴cosβ＝cos[α﹣（α﹣β）]＝cosαcos（α﹣β）+sinαsin（α﹣β）＝•+•（﹣）＝．22．某同学用“五点法”作函数在一个周期内的图象时，列出下表并填入了部分数据：xωx+φ0π2πA sin（ωx+φ）030（Ⅰ）将表格数据补充完整，并求出f（x）的表达式及单调递增区间；（Ⅱ）当时，求f（x）的最值及对应x的值．【分析】（Ⅰ）根据五点对应法进行计算，结合条件即可求出f（x）的表达式及单调递增区间；（Ⅱ）当时，求出角的范围，结合函数的单调性即可求f（x）的最值及对应x的值．解：（Ⅰ）由五点对应法得ω+φ＝，ω+φ＝得ω＝2，φ＝，则f（x）＝3sin（2x+），x﹣ωx+φ0π2πA sin（ωx+φ）030﹣30函数的周期T＝π，由2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z，得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z则单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z，（Ⅱ）当时，﹣≤2x+≤，则当2x+＝，即x＝时，函数取得最大值，最大值为3，当2x+＝﹣，即x＝﹣时，函数取得最小值，最小值为3sin（﹣）＝﹣．。