用向量知识判断三角形的形状

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向量的知识点总结和解三角形

平面向量复习基本知识点结论总结一、向量有关概念：（1）向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。

向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。

（2）零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0，注意零向量的方向是任意的；（3）单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与AB 共线的单位向量是||AB AB ±)；例题已知向量，则与其共线的单位向量为__________.（4）相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；（5）平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量、叫做平行向量，记作：∥，规定零向量和任何向量平行。

提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；③平行向量无传递性！（因为有0)；④三点A B C 、、共线⇔ AB AC 、共线；（6）相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。

的相反向量是－。

例题下列命题：（1）若a b =，则a b =。

（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。

（3）若AB DC =，则ABCD 是平行四边形。

（4）若ABCD 是平行四边形，则AB DC =。

（5）若,a b b c ==，则a c =。

（6）若//,//a b b c ，则//a c 。

其中正确的是_______ 二、向量的表示方法：（1）几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如AB ，注意起点在前，终点在后；（2）符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如，，等；（3）坐标表示法。

三，平面向量的基本定理：如果e 1和e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a ，有且只有一对实数1λ、2λ，使a =1λe 1＋2λe 2。

例题（1）若(1,1),a b ==(1,1),(1,2)c -=-，则c =（）a +（）b ；（2）下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是（）A. 12(0,0),(1,2)e e ==-B. 12(1,2),(5,7)e e =-=C. 12(3,5),(6,10)e e ==D. 1213(2,3),(,)24e e =-=- （3）已知,AD BE 分别是ABC ∆的边,BC AC 上的中线,且,AD a BE b ==,则BC 可用向量,a b 表示为_____（4）已知ABC ∆中，点D 在BC 边上，且−→−−→−=DB CD 2，−→−−→−−→−+=AC s AB r CD ，则s r +的值是___四、实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，它的长度和方向规定如下：()()1,2a a λλ=当λ>0时，λa 的方向与a 的方向相同，当λ<0时，λa 的方向与a 的方向相反，当λ＝0时，0a λ=，注意：λa ≠0。

三角形的四心与平面向量知识点总结

三角形的四心与平面向量知识点总结
三角形的四心与平面向量是一个关于平面几何的较为深奥的概念，它的概念要求学生
具备一定的几何知识，掌握这一概念对于学习几何领域的深入学习是十分有用的。

三角形的四心指的是在特定三角形ABC内构成特殊位置
三个点I（三角形BC边AB中点），J（三角形AC边BC中点），K（三角形AB边AC
中点），四点ABCIK组成的四边形，四边形的面积等于三角形的三分之一，此四边形称为BCIK三角形的四心．
此外，三角形的四心还有一个与平面向量密切相关的概念，在三角形的四心中，任
意三个角的夹角均为60°，在三角形四心ABCIK任意三点构成的三角形内构成平行四边形，平行四边形内两条边构成的三角形含有相同的角，平行四边形内两条边所在平面垂直于BCIK三角形的两条边，BCIK三角形的两条边构成的平面是BCIK三角形的平面向量．
三角形的四心与平面向量让学生熟悉一些它不同于其他几何图形所具有的形态特征，
有助于更深入地了解几何相关的知识，学习者不仅可以学习三角形的四心，还可以将其结
合实际的问题，学习如何用四心确定三角形的面积等相关的实际问题．。

人教版高二数学上向量的三角形不等式归纳

人教版高二数学上向量的三角形不等式归纳向量在高中数学教学中具有较强的实用性，下面是店铺给大家带来的人教版高二数学上向量的三角形不等式归纳，希望对你有帮助。

高二数学向量的三角形不等式1、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣;① 当且仅当a、b反向时，左边取等号;② 当且仅当a、b同向时，右边取等号。

2、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a-b∣≤∣a∣+∣b∣。

① 当且仅当a、b同向时，左边取等号;② 当且仅当a、b反向时，右边取等号。

高中数学学习方法(1)记数学笔记，特别是对概念理解的不同侧面和数学规律，教师在课堂中拓展的课外知识。

记录下来本章你觉得最有价值的思想方法或例题，以及你还存在的未解决的问题，以便今后将其补上。

(2)建立数学纠错本。

把平时容易出现错误的知识或推理记载下来，以防再犯。

争取做到：找错、析错、改错、防错。

达到：能从反面入手深入理解正确东西;能由果朔因把错误原因弄个水落石出、以便对症下药;解答问题完整、推理严密。

(3)熟记一些数学规律和数学小结论，使自己平时的运算技能达到了自动化或半自动化的熟练程度。

(4)经常对知识结构进行梳理，形成板块结构，实行“整体集装”，如表格化，使知识结构一目了然;经常对习题进行类化，由一例到一类，由一类到多类，由多类到统一;使几类问题归纳于同一知识方法。

(5)阅读数学课外书籍与报刊，参加数学学科课外活动与讲座，多做数学课外题，加大自学力度，拓展自己的知识面。

(6)及时复习，强化对基本概念知识体系的理解与记忆，进行适当的反复巩固，消灭前学后忘。

(7)学会从多角度、多层次地进行总结归类。

如：①从数学思想分类②从解题方法归类③从知识应用上分类等，使所学的知识系统化、条理化、专题化、网络化。

(8)经常在做题后进行一定的“反思”，思考一下本题所用的基础知识，数学思想方法是什么，为什么要这样想，是否还有别的想法和解法，本题的分析方法与解法，在解其它问题时，是否也用到过。

三角形“四心”向量形式的充要条件应用知识总结

三角形“四心”向量形式的充要条件应用1．O 是ABC ∆的重心0OC OB OA=++;若O 是ABC ∆的重心，则ABC AOB AOC BOC S 31S S S ∆∆∆∆===故=++;1()3PG PA PB PC =++u u u r u u u r u u u r u u u r ⇔G 为ABC ∆的重心.2．O 是ABC ∆的垂心OA OC OC OB OBOA ⋅=⋅=⋅;若O 是ABC ∆(非直角三角形)的垂心，则C tan B tan A tan S S S AOB AOC BOC ：：：：=∆∆∆故C tan B tan A tan=++3．O 是ABC ∆的外心||||||==(或222OC OB OA ==)若O 是ABC ∆的外心则C 2sin :B 2sin :A 2sin AOB sin AOC sin BOC sin S S S AOB AOC BOC =∠∠∠=∆∆∆：：：：故0OC C 2sin OB B 2sin OAA 2sin =++4．O是内心ABC ∆的充要条件是|CB ||CA |(|BC ||BA |(AC|AB |(=⋅=⋅=⋅引进单位向量，使条件变得更简洁。

如果记CA ,BC ,AB 的单位向量为321e ,e ,e ，则刚才O 是ABC ∆内心的充要条件可以写成 0)e e ()e e ()e e (322131=+⋅=+⋅=+⋅ ，O 是ABC ∆内心的充要条件也可以是0OC c OB b OAa =++ 。

若O 是ABC ∆的内心，则cb a S S S AOB AOC BOC ：：：：=∆∆∆故0OC C sin OB B sin OA A sin 0OC c OB b OA a =++=++或;||||||0AB PC BC PA CA PB P ++=⇔u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r r是ABC ∆的内心;向量()(0)||||AC AB AB AC λλ+≠u u u r u u u ru u ur u u u r 所在直线过ABC ∆的内心(是BAC ∠的角平分线所在直线)；(一)将平面向量与三角形内心结合考查例1．O 是平面上的一定点，A,B,C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足++=λ，[)+∞∈,0λ则P 点的轨迹一定通过ABC ∆的（）（A ）外心（B ）内心（C ）重心（D ）垂心是向量AB u u u r 的单位向量设AB u u u r 与AC u u ur 方向上的单位向量分别为21e e 和，又AP OA OP =-，则原式可化为)(21e e +=λ，由菱形的基本性质知AP 平分BAC ∠，那么在ABC∆中，AP 平分BAC ∠，则知选B.(二)将平面向量与三角形垂心结合考查“垂心定理”例2． H 是△ABC 所在平面内任一点，HA HC HC HB HB HA ⋅=⋅=⋅⇔点H 是△ABC 的垂心. 由AC HB AC HB HA HC HB HC HB HB HA ⊥⇔=⋅⇔=-⋅⇔⋅=⋅00)(, 同理AB HC ⊥，BC HA ⊥.故H 是△ABC 的垂心. （反之亦然（证略））例3.(湖南)P 是△ABC 所在平面上一点，若PA PC PC PB PBPA ⋅=⋅=⋅，则P 是△ABC 的（D）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心解析:由0=⋅-⋅⋅=⋅PC PB PB PA PC PB PB PA 得.即0,0)(=⋅=-⋅CA PB PC PA PB 即则AB PC BC PA CA PB⊥⊥⊥,,同理所以P 为ABC ∆的垂心. 故选D.(三)将平面向量与三角形重心结合考查“重心定理”例4． G 是△ABC 所在平面内一点，GC GB GA ++=0⇔点G 是△ABC 的重心. 证明作图如右，图中GE GC GB =+连结BE 和CE ，则CE=GB ，BE=GC ⇔BGCE 为平行四边形⇒D 是BC 的中点，AD 为BC 边上的中线. 将GE GC GB =+代入GC GB GA ++=0，得EG GA +=0⇒GD GE GA 2-=-=，故G 是△ABC 的重心.（反之亦然（证略））例5． P 是△ABC 所在平面内任一点.G 是△ABC 的重心⇔)(31PC PB PA PG ++=. 证明 CG PC BG PB AG PA PG +=+=+=⇒)()(3PC PB PA CG BG AG PG +++++= ∵G 是△ABC 的重心 ∴GC GB GA ++=0⇒CG BG AG ++=0，即PC PB PA PG ++=3 由此可得)(31PC PB PA PG ++=.（反之亦然（证略））例6 若O 为ABC ∆内一点，0OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r，则O 是ABC ∆ 的（）A ．内心B ．外心C ．垂心D ．重心解析：由0OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r 得OB OC OA +=-u u u r u u u r u u u r ，如图以OB 、OC 为相邻两边构作平行四边形，则OB OC OD +=u u u r u u u r u u u r，由平行四边形性质知12OE OD =u u u r u u u r，2OA OE=，同理可证其它两边上的这个性质，所以是重心，选D 。

【课件】用向量法研究三角形的性质+课件高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册+

证明:
取
,
则
=
所以
又
为基底，并设
+
=
=
−
= (
− )
=
−
+
=
=
− )
=
+
= (
,
=
+
+
)-2(
.
，所以由平面向量基本定理，得
2(t1 1) 1
1
1
t1 , t2

2
2
2(t2 1) 1
所以
=
=
;
-2(
,
,
=
.
;
+
)
又
所以
立
-
=
因此
=
=
+
=
=
+
+
=
= (
−
=
)+
“ tan A OA tan B OB tan C OC 0 ”
【微探究2】
【例2】我们知道“三角形的三条高线相交于一点,这个交点叫做三角
形的垂心”,试证明:三角形的三条高线相交于一点.
解:如图,在△ABC中,AD⊥BC,BE⊥AC,垂足分别为D,E,设AD,BE相交
于一点I,连接CI并延长交AB于一点F,试用向量法证明CF⊥AB.
外接圆的圆心,叫做三角形的外心”,试证明:三角形三边的垂直平分线
相交于一点.
总结：
=
所以
=
+ (
+
−
=
+
)= (
+
),
因为 OD⊥BC,

三角形四心向量形式知识总结

三角形“四心”向量形式的充要条件应用1．O 是ABC ∆的重心⇔=++;若O 是ABC ∆的重心，则ABC AOB AOC BOC S 31S S S ∆∆∆∆===故0OC OB OA =++;1()3PG PA PB PC =++ ⇔G 为ABC ∆的重心.2．O 是ABC ∆的垂心⇔⋅=⋅=⋅;若O 是ABC ∆(非直角三角形)的垂心，则C tan B tan A tan S S S A OBA OC BOC ：：：：=∆∆∆故0OC C tan OB B tan OA A tan =++3．O 是ABC ∆的外心⇔|OC ||OB ||OA |==(或222O O O ==)若O 是ABC ∆的外心则C 2sin :B 2sin :A 2sin AOB sin AOC sin BOC sin S S S AOBAOC BOC =∠∠∠=∆∆∆：：：：故C 2sin B 2sin A 2sin =++4．O是内心ABC ∆的充要条件是|CB ||CA |(|BC ||BA |(AC|AB |(=⋅=⋅=⋅引进单位向量，使条件变得更简洁。

如果记CA ,BC,AB 的单位向量为321e ,e ,e ，则刚才O 是ABC ∆内心的充要条件可以写成0)e e (O C )e e (O B )e e (O A 322131=+⋅=+⋅=+⋅ ，O 是ABC ∆内心的充要条件也可以是0OC c OB b OA a =++ 。

若O 是ABC ∆的内心，则c b a S S S A OB A OC BOC ：：：：=∆∆∆故C sin B sin A sin c b a =++=++或;||||||0AB PC BC PA CA PB P ++=⇔是ABC ∆的内心;向量()(0)||||AC AB AB AC λλ+≠所在直线过ABC ∆的内心(是BAC ∠的角平分线所在直线)；(一)将平面向量与三角形内心结合考查例1．O是平面上的一定点，A,B,C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足++=λ，[)+∞∈,0λ则P 点的轨迹一定通过ABC ∆的（）（A ）外心（B ）内心（C ）重心（D ）垂心AB 的单位向量设AB 与AC方向上的单位向量分别为21e e 和，又AP OA OP =-，则原式可化为)(21e e +=λ，由菱形的基本性质知AP 平分BAC ∠，那么在ABC∆中，AP 平分BAC ∠，则知选B.(二)将平面向量与三角形垂心结合考查“垂心定理”例2． H 是△ABC 所在平面内任一点，⋅=⋅=⋅⇔点H 是△ABC 的垂心. 由AC HB AC HB HA HC HB HC HB HB HA ⊥⇔=⋅⇔=-⋅⇔⋅=⋅00)(, 同理AB HC ⊥，⊥.故H 是△ABC 的垂心. （反之亦然（证略））例3.(湖南)P 是△ABC 所在平面上一点，若⋅=⋅=⋅，则P 是△ABC 的（D）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心解析:由0=⋅-⋅⋅=⋅得.即0,0)(=⋅=-⋅即则AB PC BC PA CA PB ⊥⊥⊥,,同理所以P 为ABC ∆的垂心. 故选D.(三)将平面向量与三角形重心结合考查“重心定理”例4． G 是△ABC 所在平面内一点，GC GB GA ++=0⇔点G 是△ABC 的重心. 证明作图如右，图中=+连结BE 和CE ，则CE=GB ，BE=GC ⇔BGCE 为平行四边形⇒D 是BC 的中点，AD 为BC 边上的中线. 将GE GC GB =+代入GC GB GA ++=0，得+=0⇒2-=-=，故G 是△ABC 的重心.（反之亦然（证略））例5． P 是△ABC 所在平面内任一点.G 是△ABC 的重心⇔)(31PC PB PA PG ++=. 证明 +=+=+=⇒)()(3PC PB PA CG BG AG PG +++++= ∵G 是△ABC 的重心 ∴GC GB GA ++=0⇒CG BG AG ++=0，即PC PB PA PG ++=3 由此可得)(31PC PB PA PG ++=.（反之亦然（证略））例6 若O 为ABC ∆内一点，0OA OB OC ++=，则O 是ABC ∆ 的（）A ．内心B ．外心C ．垂心D ．重心解析：由0OA OB OC ++= 得OB OC OA +=- ，如图以OB 、OC 为相邻两边构作平行四边形，则OB OC OD +=，由平行四边形性质知12OE OD =，2OA OE=，同理可证其它两边上的这个性质，所以是重心，选D 。

数学探究：用向量法研究三角形的性质

C
3
A
A
6 5 1 5
综合运用
练 1、O 是平面上一定点，A、B、C 是平面上不共线的三个点，动点 P 满足
OP OA ( AB AC ) [0, ). 则 P 的轨迹一定通过△ABC 的（
| AB | | AC |
B
）．
A．外心
B．内心
C．重心
D．垂心
分析练 2已、知A等B式C 即的A外P接圆(| 的AABB圆| 心| AA为CC |)O，，设两A条E 边| AA上BB的|, A高F的 |交AACC点|，为显H然，
3.PG 1 (PA PB PC)
3
B
4.AP (AB AC), 0, ,则P一定经过三角形重心
G
M
C
E
02
垂心及其向量关系
2
：三角形的垂心是三角形三边上的高
的交点。
锐角三角形的垂心在三角形内；
性质：直角三角形的垂心在直角顶点上；
钝角三角形的垂心在三角形外。
垂心的向量式
H是 ∆ ABC的垂心,则有以下结论：
AC COSC
的两边同乘以
BC
A
变式1.若H为△ABC所在平面内一点，
且
2
2
2
2
2
2
HA BC HB CA HC AB
,则H是∆ ABC
的垂心.
H
B
C
03
外心及其向量关系
3 三角形外心：三角形三边的垂直平分线的交点(或三角形外接圆的圆心)
性质：到三角形三个顶点的距离相等
外心的向量式
7.已知O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，
动点P满足OP OA

三角形四心的向量性质及应用（详细答案版）

三角形“四心”的向量性质及其应用三角形“四心”的概念介绍(1)重心—三条中线的交点：重心将中线长度分成2：1；(2)外心—三边中垂线的交点(外接圆的圆心)：外心到三角形各顶点的距离相等；(3)垂心—三条高线的交点：高线与对应边垂直；(4)内心—三条内角平分线的交点(内切圆的圆心)：角平分线上的任意点到角两边的距离相等．工具：O 为ABC △内一点，则有：0+⋅+⋅∆∆∆OC S OB S OA S O O CA O BC 证明：作：OA S OA OCB ⋅=∆'，OB S OB OCA ⋅=∆'，S OC OAB =∆'不难得知：AOB COA BOC OC B S S OC OC OB OB S S ∆∆∆∆⋅=⋅=''''即BO C AO B CO A O C B S S S S ∆∆∆∆⋅⋅=''；同理==∆∆''''O B A O A C S S ''O C B BO C AO B CO A S S S S ∆∆∆∆=⋅⋅ 从而：O 为'''C B A ∆的重心，则+'OA +'OB 0'=OC ，得：0=⋅+⋅+⋅∆∆∆OC S OB S OA S O AB O CA O BC .一、三角形的重心的向量表示及应用知识：G 是ABC △的重心⇔)(31AC AB AG +=⇔0=++GC GB GA ⇔)(31OC OB OA OG ++= (O 为该平面上任意一点)变式：已知D E F ，，分别为ABC △的边BC AC AB ，，的中点．则0=++CF BE AD ．二、三角形的外心的向量表示及应用知识：O 是ABC △的外心⇔222||||||OC OB OA OC OB OA ==⇔== 02sin 2sin 2sin =⋅+⋅+⋅⇔OC C OB B OA A略证：C B A S S S O AB O CA O BC 2sin :2sin :2sin ::=∆∆∆，得：02sin 2sin 2sin =⋅+⋅+⋅OC C OB B OA A ;常用结论：O 是ABC △的外心⇒.2|| ;2||22AC AO AC AB AO AB =⋅=⋅ 三、三角形的垂心的向量表示及应用知识：H 是ABC △的垂心⇔HA HC HC HB HB HA ⋅=⋅=⋅⇔222222||||||||||||AB HC CA HB BC HA +=+=+0tan tan tan =⋅+⋅+⋅⇔HC C HB B HA A略证：C B A S S S H AB H CA H BC tan :tan :tan ::=∆∆∆，得：0tan tan tan =⋅+⋅+⋅HC C HB B HA A ；扩展：若O 是ABC △的外心，点H 满足：OC OB OA OH ++=，则H 是ABC △的垂心．证明：如图：BE 为直径，H 为垂心，O 为外心，D 为BC 中点；'有：为平行四边形AHCE EA CH AB EA AB CH EC AH BC EC BC AH ⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⇒⎭⎬⎫⊥⊥⇒⎭⎬⎫⊥⊥////进而得到：,//EC AH 且EC AH =，即：EC AH =；又易知：OC OB OD EC +==2；故：OA OH OC OB AH -=+=，即：OC OB OA OH ++=又：OG OC OB OA ⋅=++3（G 为重心），故：OG OH ⋅=3；故：得到欧拉线：ABC △的外心O ，重心G ，垂心H 三点共线(欧拉线)，且GH OG 21=．证毕．四、三角形的内心的向量表示及应用知识：I 是ABC △的内心⇔⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=⎭⎫⎝⎛-⋅=⎭⎫⎝⎛-⋅=⎭⎫⎝⎛-⋅0||||0||||0||||CB CB CA CA CI BC BC BA BA BI AC AC AB AB AI ⇔⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=⎭⎫⎝⎛+⋅=⎭⎫⎝⎛+⋅=⎭⎫⎝⎛+⋅0||||0||||0||||CA CA BC BC CI BA BA CB CB BI AC AC BA BA AI 0=⋅+⋅+⋅⇔IC c IB b IA a c b a OCc OB b OA a OI ++⋅+⋅+⋅=⇔cb a ACc AB b AI ++⋅+⋅=⇔ 0sin sin sin =⋅+⋅+⋅⇔IC C IB B IA A 注：式子中|||,||,|AB c CA b BC a ===，O 为任一点．略证：C B A c b a S S S IAB ICA IBC sin :sin :sin ::::==∆∆∆，得之．五．欧拉线：ABC △的外心O ，重心G ，垂心H 三点共线(欧拉线)，且GH OG 21=．（前已证）测试题一．选择题1．O 是ABC ∆所在平面上一定点，动点P 满足)(AC AB OA OP ++=λ，[)+∞∈,0λ ，则点P 的轨迹一定通过ABC ∆的( )A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心解析：点P 的轨迹为BC 边的中线（射线），选C2．(03全国理4)O 是ABC ∆所在平面上一定点，动点P 满足AC AB OA OP ++=λ，[)+∞∈,0λ ，则点P 的轨迹一定通过ABC ∆的( )A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心解析：AC AB OA OP ++=λ⇔AC AB AP +=λAC AB +必平分BAC ∠，理由如下：ADACABACACABAB=+==1111,1==，故四边形11DCAB为菱形，对角线AD平分一组对角，ADACAB=+必定平分11ACB∠，即BAC∠，从而ACABAP+=λ也平分BAC∠.故知点P的轨迹为A∠的内角平分线（射线），选 B3．O是ABC∆所在平面上一定点，动点P满足ACABOAOP++=λ，R∈λ，则点P的轨迹一定通过ABC∆的( )A．外心B．内心C．重心D．垂心解析：ACABOAOP++=λ⇔ACABAP+=λ由BCACBCABBCACBCABBCAP+=+=⋅λλ得：0|)|||(=+-=⋅BCBCBCAPλ，得BCAP⊥点P的轨迹为BC边的高线所在直线. 选D4．O是ABC∆所在平面上一定点，动点P满足ACABOAOP+=λ，[)+∞∈,0λ，则点P的轨迹一定通过ABC∆的( )A．外心B．内心C．重心D．垂心解析：由于CACCbBcBAB sin||sinsinsin||=⋅=⋅=，知点P的轨迹为BC边的中线（射线）,选C5．O是ABC∆所在平面上一定点，动点P满足2cos cosOB OC AB ACOPAB B AC Cλ⎛⎫+ ⎪=++⎪⎝⎭，R∈λ，则点P的轨迹一定通过ABC△的( )．A．外心B．内心C．重心D．垂心解析：0||||=+-=+=⋅+BCBCBCACBCABBCACAB知点P的轨迹为BC边的中垂线, 选A6．O是ABC∆所在平面上一定点，动点P满足])21()1()1[(31OCOBOAOPλλλ++-+-=，*R∈λ，则点P的轨迹一定通过ABC△的( )．A．内心B．垂心C．重心D．AB边的中点解析：])21()1()1[(31OCOBOAOPλλλ++-+-=OCOD3)21(3)22(λλ++-=（D为AB边的中点）知CDP,,三点共线（因1321322=++-λλ），故知点P 的轨迹为AB 边的中线所在直线，但是0≠λ，故除去重心. 选D 7．已知O 是ABC ∆的重心，动点P 满足)22121(31OC OB OA OP ++=,则点P 一定为ABC △的( ) A ．AB 边中线的中点 B ．AB 边中线的三等分点(非重心)C ．重心D ．AB 边的中点解析：)22121(31OC OB OA OP ++=OC OD 3231+=（D 为AB 边的中点）进而有：PC DP 2=，故为AB 边中线的三等分点(非重心), 选B8．在ABC △中，动点P 满足：CP AB CB CA ⋅-=222，则P 点轨迹一定通过△ABC 的( )Ａ．外心Ｂ．内心 C ．重心 D ．垂心解析：CP AB CB CA ⋅-=222⇔02))((222=⋅-+-=⋅--CP AB CA CB CA CB CP AB CA CB 进而有：02=⋅PD AB （D 为AB 边的中点），故知点P 的轨迹为AB 边的中垂线, 选A9．已知ABC ∆三个顶点C B A 、、及平面内一点P ，满足0=++PC PB PA ，若实数λ满足：AP AC AB λ=+，则λ的值为( )A ．2B ．23C ．3D ．6 解析：P 为重心，得)(31AC AB AP +=，故AP AC AB ⋅=+3,选C10．设点P 是ABC ∆内一点，用ABC S ∆表示ABC ∆的面积，令ABC PBC S S ∆∆=1λ，ABCPCA S S∆∆=2λ，ABC PAB S S ∆∆=3λ．定义),,()(321λλλ=P f ，若)61,31,21()(),31,31,31()(==Q f G f 则( )A ．点Q 在ABG ∆内B ．点Q 在BCG ∆内C ．点Q 在CAG ∆内D ．以上皆不对解析：G 为重心，画图得知, 选A11．若ABC ∆的外接圆的圆心为O ，半径为1，0=++OC OB OA ，则=⋅OB OA ( )A ．21 B ．0 C ．1 D ．21- 解析：由OC OB OA -=+，平方得知, 选D12．O 是平面上一定点，C B A 、、是平面上不共线的三个点，若222OB BC OA =+222AB OC CA +=+，则O 是ABC ∆的( )A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心解析：由2222CA OB BC OA +=+⇔2222BC CA OB OA -=-BA BC CA OB OA BA BC CA BC CA OB OA OB OA ⋅-=+⋅⇔+-=+-⇔)()())(())(( 0)2()(=⋅=-++⋅⇔OC BA CA BC OB OA BA ，得AB OC ⊥；同理得：AC OB ⊥,BC OA ⊥，故为垂心, 选D 13．(06陕西)已知非零向量AB 与AC 满足0||||=⋅⎭⎫⎝⎛+BC AC AC AB AB 21||||=AC AC AB AB , 则ABC ∆为( ) A ．三边均不相等的三角形 B ．直角三角形 C ．等腰非等边三角形 D ．等边三角形解析：21||||=AC AC AB AB 0||||=⋅⎭⎫⎝⎛+BC AC AC AB AB ：表明A ∠的内平分线也垂直于BC （三线合一），知ABC ∆等腰；21||||=AC AC AB AB ：得到︒=∠60A ；两者结合得到ABC ∆为等边三角形. 选D 14．已知ABC ∆三个顶点C B A 、、，若CA BC CB AB AC AB AB ⋅+⋅+⋅=2，则ABC ∆为( )A ．等腰三角形B ．等腰直角三角形C ．直角三角形D ．既非等腰又非直角三角形解析：CA BC CB AB AC AB AB ⋅+⋅+⋅=2CA BC AB CA BC CB AC AB ⋅+=⋅++⋅=2)( 得到：0=⋅CA BC ，得：︒=∠90C ,选C 二．填空题15．ABC ∆的外接圆的圆心为O ，两条边上的高的交点为H ，)(OC OB OA m OH ++=，则实数m = 1 ．解析：直接用结论16．ABC ∆中，7,3,1===BC AC AB ，O 为重心，则=⋅AC AO27．解析：)9(31)(31)(312+⋅=+⋅=+=⋅AC AB AC AC AB AC AC AB AC AO 利用：CB AC AB =-，两边平方得.23=⋅AC AB 故27)923(31=+=⋅AC AO17．点O 在ABC ∆内部且满足032=++OC OB OA ，则:ABC S ∆=∆AOC S 3 ．解析：法1：利用工具结论易知：AOB COA BOC S S S ∆∆∆=::3:2:1，得:ABC S ∆=∆AOC S 32:6= 法2：0422232=+=+++=++OD OE OC OB OC OA OC OB OA （E 为AC 的中点，D 为BC 的中点）易得：D O E ,,三点共线，且OD EO 2=，从而得到：ABC ADC AOC S S S ∆∆∆==3132. 法3：作：OA OA ='，OB OB 2'=，OC OC 3'=则+'OA +'OB 0'=OC ，则O 为'''C B A ∆的重心，则：''''''O B A O A C O C B S S S ∆∆∆==.设为S又⎪⎩⎪⎨⎧======∆∆∆∆∆∆SS SS S S S S S AOB OB A COA OA C BOC OC B 236'''''' 从而得：331:13:)236(:==++=∆∆S S S S S S COA ABC ． 18．点O 在ABC ∆内部且满足AC AB AO 5152+=，则:ABC S ∆=∆AOB S 5 ．解析：法1：AC AB AO 5152+=，用O 拆开得：022=+⋅+⋅OC OB OA ， 'A 'B 'C O)(A BC利用工具结论易知：AO B CO A BO C S S S ∆∆∆=::1:2:2，则:ABC S ∆51:5==∆AO B S 法2：AC AD AC AB AO 51545152+=+=，（D 为AB 边的中点），得到：C O D ,,共线，且OD CO 4=，则:ABC S ∆5:==∆OD CD S AO B . 法3：同上题中法3，此处略.19．已知ABC ∆中，6,5===BC AC AB ，I 为ABC ∆的内心，且BC AB AI μλ+=，则=+μλ1615. 解析：法1：由BC AB BC AB AB AC AB c b a AC c AB b AI ⋅+⋅=+⋅+⋅=++⋅+⋅=++⋅+⋅=165161016)(5555655法2：如图，线长易知，角平分线分线段成比例，得：3:5:=ID AI ，故)21(8585BC AB AD AI ⋅+⋅=⋅=AB +⋅=1658520．已知ABC ∆中，1,1,2-=⋅==AC AB AC AB ，O 为ABC ∆的外心，且BC y AB x AO +=，则=+y x 27．解析：法1：由BC y AB x AO +=AC y AB y x +-=)(，由AC AB y AB y x ABBC y AB y x AB AO AB ⋅+-=⇒+-⋅=⋅22)(2))((，得：y y x --=)(42；同理22)(2))((AC y AC AB y x ACBC y AB y x AC AO AC +⋅-=⇒+-⋅=⋅，得：y y x +--=)(21；易得：34,613==y x ，得27=+y x . 法2：以},{AC AB 为基底，表示：CO BO AO ,,，利用222CO BO AO ==，得之BC y AB x AO +=AC y AB y x +-=)(，y y x y y x AO )(2)(4222--+-=； AC y AB y x AB AO BO +--=-=)1(，y y x y y x BO )1(2)1(4222---+--=； AC y AB y x AC AO CO )1()(-+-=-=，)1)((2)1()(4222----+-=y y x y y x CO ；由22BO AO =0254=--⇒⇒y x 移项做差；由22CO AO =0142=+-⇒⇒y x 移项做差；联立方程解得：34,613==y x ，得27=+y x .BCA MNG21．已知O 为锐角ABC ∆的外心，︒=∠30A ，若AO m B C AC C B AB 2sin cos sin cos =⋅+⋅，则=m 21．解析：由AO m AB B CAC C B AB AB 2)sin cos sin cos (⋅=⋅+⋅⋅ 得：22||sin cos cos ||||sin cos ||AB m B CA AC ABC B AB =⋅⋅⋅+⋅得：C m C A B mc BCA b c CB c sin cos cos cos sin cos cos sin cos 22⋅=+⇒=⋅⋅⋅+⋅得到：C A C A C A C A B C m sin sin cos cos )cos(cos cos cos sin =++-=+=⋅ 得：.2130sin sin =︒==A m 22．在ABC∆中，1,==⊥AD BC AB AD ，则⋅AD AC解析：.33)(2===⋅=⋅+=⋅AD AD AD BC AD BC AB AD AC 三．解答题23．如图，已知点G 是ABC ∆的重心，过G 作直线与AC AB ,两边分别交于N M ,两点，且AM xAB = ，AN yAC = ，求证：113x y+=．解：由N G M ,,三点共线，得：AN t AM t AG ⋅+⋅-=)1(AC ty AB x t ⋅+⋅-=)1(--------①又G 是ABC ∆的重心得：AC AB AG ⋅+⋅=3131 ---------② 由①②得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-3131)1(ty x t ，消去t 得：113x y +=.24．设O 在ABC ∆的内部，若有正实数321,,λλλ满足：0321=⋅+⋅+⋅OC OB OA λλλ，求证：AO B CO A BO C S S S ∆∆∆=::::321λλλ．证明：作：OA OA ⋅=1'λ，OB OB ⋅=2'λ，OC OC ⋅=3'λ 则+'OA +'OB 0'=OC ，则O 为'''C B A ∆的重心，则：''''''O B A O A C O C B S S S ∆∆∆==.设为S又⎪⎩⎪⎨⎧=⋅==⋅==⋅=∆∆∆∆∆∆SS SS S S S S S AOB OB A COA OA C BOC OC B 2!''13''32''λλλλλλ 从而得：AOB COA BOC S S S SSS∆∆∆==::::::211332321λλλλλλλλλ25．已知向量1OP ，2OP ，3OP 满足条件1OP +2OP +3OP =0，|1OP |=|2OP |=|3OP |=1，求证：321P P P ∆为正三角形．证明：由1OP +2OP +3OP =0⇒1OP +2OP =3OP -平方得：1212112121-=⋅⇒=⋅++OP OP OP OP'A 'B 'C OABC从而得：3||21====P P同理可得：3||||1332==P P P P ，即321P P P ∆为正三角形． 26．在ABC ∆中，︒===60,5,2A AC AB ，求从顶点B A ,出发的两条中线BE AD ,的夹角的余弦值．解：设b AB a AC ==,，则,560cos 25,4,2522=︒⨯⨯=⋅==b a b a且b a BE b a AD -=+=21),(21；则,3)8525(41)2(41)21()(2122=--=-⋅-=-⋅+=⋅b b a a b a b a BE AD2394102521|)(|21||=++==+=b a AD22116202521|)2(|21||=+-==-=b a BE 故：.919149142212393||||,cos ==⋅=>=<BE AD BEAD BE AD27．已知H 是ABC △的垂心，且||||BC AH =，试求∠A 的度数．解：设ABC △的外接圆半径为R ，点O 是ABC △的外心。

用向量法研究三角形的性质(课件)2022-2023学年高一下学期数学(人教A版2019 必修第二册)

1 S△OAB S△OAC S△OBC 3 S△ABC
探究总结
三角形“重心”的性质
结论1 三角形的三条中线必交于一点，该点即三角形的重心，重心将每条中线分成2:1两条线段（三角形的重心是中线的三等分点。）.
结论2 O为△ABC的重心 OA + OB OC 0
PA PB PC 3PO
用向量探究证明平面几何问题的一般方法
形到向量
向量运算
向量到形
基底向
坐标法
量
法
学以致用
1. P 是 △ABC 所在平面内与 A 不重合的一点，满足
A B A C 3 A，PP 是△ABC 的( A )
A.重心
B.内心
C.垂心
D.外心
学以致用
2.已知 A,B,C 是不在同一条直线上的三点，O 是平面 ABC 内一
课后作业
1.思考探究一得到结论1，如果点D是△ABC 中BC 边上的三等分点， AD与AB和AC之间的关系式是什么？如果点D是BC边上的n 等分点呢？
2.用向量法探究三角形的其它性质，每位学生给出三角形内心、垂心、外心的向量表示.
3.分组探究，形成报告，选题：从以下几个课题中选择一个进行探究：（1）探究三角形“角平分线”的性质（2）探究三角形“高线”的性质（3）探究三角形“中垂线”的性质（4）探究三角形“四心”的向量表示的关系建议如下步骤完成：（1）六人为一组，确定一人为组长；（2）小组集体讨论探究方案，确定研究思路；（3）小组各自开展探究，并以专题作业形式撰写研究报告（报告形式可以参考课本）；（4）小组内进行交流讨论，完善研究成果，并形成一份小组研究报告，全班进行成果交流，评价.
A

向量法证明三角形角平分线定理

向量法证明三角形角平分线定理好呀，今天咱们就来聊聊三角形的角平分线定理，听起来是不是有点枯燥？但别急，让我们用点轻松的方式来搞定它，保证你听完后笑嘻嘻的，心里还多了点数学的小知识。

先说说什么是三角形的角平分线吧。

想象一下，你的朋友在一个三角形的角落里做了一个小小的划分，把角分成了两个相等的部分。

这条划分线就是角平分线。

它把角一分为二，就像把一个好吃的蛋糕切成两块，大家都能分到一份。

听起来挺简单的，对吧？不过，这条线可不止是好看那么简单，它还有一些神奇的性质。

让我们用向量的方式来证明这个角平分线定理。

你得明白向量是什么，简单来说，就是一种有大小和方向的“箭头”。

想象一下你在海边，风向不断改变，你可以用向量来描述这个风的力量和方向。

比如说，我们的三角形ABC，有点像三位小伙伴在广场上聚会，A、B、C分别是三个角，而我们要证明的是从A出发的角平分线交BC于D，这个D的位置有多神奇。

现在，咱们就把这个三角形用向量表示出来。

设向量AB和AC分别是小伙伴A指向B和C的方向。

可以用A的坐标来定义它，比如A是(0,0)，B是(1,0)，C则可以是(0,1)。

这时候，向量AB和向量AC就可以表示成小数和方向的组合，听上去是不是有点像魔法？其实就是简单的几何变化。

咱们的目标是找到D的坐标。

这里有个巧妙的地方，角平分线定理告诉我们，AD与BD、CD的比值是AB与AC的比值，哦耶，这就像是在说“分享蛋糕”的原则。

把这些向量加起来，就能找到D的确切位置。

想象一下，AD这条线把D的前面也分成了两部分，就像是好朋友一起分享零食，谁都不能少。

然后，我们可以通过简单的计算来找到这个D的位置。

比如说，你可以用向量的加法，把AB的长度和AC的长度作为比例。

这样一来，D的坐标就能轻松搞定。

让我们来用公式把这一切写下来，看到这个公式，你可能会觉得一头雾水，但别担心，公式背后其实藏着的是我们之前聊过的分享原则。

嘿，这里要提醒一下哦，数学可不止是死板的公式和定理，它其实是生活中的一部分。

三角形垂心向量结论及推导_概述说明以及解释

三角形垂心向量结论及推导概述说明以及解释1. 引言1.1 概述在几何学中，三角形是最基本的图形之一，而三角形垂心则是与三角形密切相关的一个概念。

垂心是指三角形内部的一个点，它到三条边的距离都相等，也就是说，垂心到每条边都垂直。

研究三角形垂心有助于我们深入理解三角形的性质和特点，并且在解决一些实际问题时具有重要应用价值。

1.2 目的本文旨在详细介绍和推导三角形垂心向量的结论及其应用。

通过对垂心概念、向量表示与计算等内容进行阐述和推导，我们可以全面了解和掌握垂心向量在几何学中的重要地位和作用。

1.3 结构本文共分为五个主要部分。

首先，在引言部分，我们将对文章进行概述并明确目标。

然后，在第二部分中，我们将详细介绍并定义三角形垂心的概念，并阐述其一些基本性质和特点。

接下来，在第三部分中，我们将介绍向量的定义以及常见运算规则，并推导出垂心向量的表示和计算方法。

在第四部分中，我们将总结垂心向量的结论，并举例说明其在实际问题中的应用场景，同时给出解决实际问题时的具体求解方法。

最后，在第五部分中，我们将对全文进行总结，并展望未来的研究方向。

通过以上安排，本文将全面、系统地介绍和探讨三角形垂心向量的相关知识，为读者提供一个清晰明了的学习和参考指南。

2. 三角形垂心概念：2.1 定义：三角形的垂心是一个重要的几何中心点，定义为通过三角形三条高线的交点。

高线是从三角形的一个顶点到对应边所作的垂线。

具体来说，对于三角形ABC，若AD、BE和CF分别是BC、CA和AB上的高线，则它们相交于一个点H，称为三角形ABC的垂心。

2.2 性质：垂心具有以下性质：- 垂心到各边距离之积最小：对于任意一点P在平面上，PA * BC + PB * CA + PC * AB 的值最小当且仅当P为三角形ABC的垂心H；- 垂足共线定理：若D、E和F分别为三角形ABC三个顶点A、B和C所做的高线上的垂足，则这些垂足D、E和F共线；- 和内切圆关系紧密：垂心与内切圆有关系，在特殊情况下可以证明，内切圆关于垂心对称；- 在等边三角形中居中：在等边三角形中，垂心恰好位于重心和外接圆圆心连线上。

三角形的形状判断(含解析)

【考点训练】三角形的形状判断-2(扫描二维码可查看试题解析)一、选择题（共20小题）1．（2014•静安区校级模拟）若，则△ABC为（）A ．等腰三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．不能判断2．（2014秋•郑州期末）若△ABC 的三个内角A、B、C满足6sinA=4sinB=3sinC，则△ABC（）A ．一定是锐角三角形B ．一定是直角三角形C ．一定是钝角三角形D ．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形3．（2014秋•祁县校级期末）A为三角形ABC的一个内角，若sinA+cosA=，则这个三角形的形状为（）A ．锐角三角形B．钝角三角形C ．等腰直角三角形D．等腰三角形4．（2014•天津学业考试）在△ABC中，sinA•sinB＜cosA•cosB，则这个三角形的形状是（）A ．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．等腰三角形5．（2014春•禅城区期末）已知：在△ABC中，，则此三角形为（）A ．直角三角形B．等腰直角三角形C ．等腰三角形D．等腰或直角三角形6．（2014•南康市校级模拟）已知△ABC满足，则△ABC是（）A ．等边三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．钝角三角形7．（2014•马鞍山二模）已知非零向量与满足且=．则△ABC为（）A ．等边三角形B．直角三角形C ．等腰非等边三角形D．三边均不相等的三角形8．（2014•蓟县校级二模）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，且2c2=2a2+2b2+ab，则△ABC是（）A ．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等边三角形9．（2014•黄冈模拟）已知在△ABC中，向量与满足（+）•=0，且•=，则△ABC为（）A ．三边均不相等的三角形B．直角三角形C ．等腰非等边三角形D．等边三角形10．（2014•奉贤区二模）三角形ABC中，设=，=，若•（+）＜0，则三角形ABC的形状是（）A ．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．无法确定11．（2015•温江区校级模拟）已知向量，则△ABC的形状为（）A ．直角三角形B．等腰三角形C．锐角三角形D．钝角三角形12．（2014秋•景洪市校级期末）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且，则△ABC的形状为（）A ．等边三角形B．等腰直角三角形C ．等腰或直角三角形D．直角三角形13．（2014•咸阳三模）△ABC的三个内角A、B、C成等差数列，，则△ABC一定是（）A ．直角三角形B．等边三角形C ．非等边锐角三角形D．钝角三角形14．（2014•奎文区校级模拟）在△ABC中，P是BC边中点，角A、B、C的对边分别是a、b、c，若，则△ABC的形状是（）A．等边三角形B．钝角三角形C．直角三角形D ．等腰三角形但不是等边三角形15．（2014秋•正定县校级期末）在△ABC中，tanA•sin2B=tanB•sin2A，那么△ABC一定是（）A锐角三角形B直角三角形．．C ．等腰三角形D．等腰三角形或直角三角形16．（2014•漳州四模）在△ABC中的内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，若b=2ccosA，c=2bcosA则△ABC的形状为（）A ．直角三角形B．锐角三角形C ．等边三角形D．等腰直角三角形17．（2014•云南模拟）在△ABC中，若tanAtanB＞1，则△ABC是（）A ．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．无法确定18．（2013秋•金台区校级期末）双曲线=1和椭圆=1（a＞0，m＞b＞0）的离心率互为倒数，那么以a，b，m为边长的三角形是（）A ．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．等腰三角形19．（2014•红桥区二模）在△ABC中，“”是“△ABC为钝角三角形”的（）A ．充分不必要条件B．必要不充分条件C ．充要条件D．既不充分又不必要条件20．（2014秋•德州期末）在△ABC中，若acosA=bcosB，则△ABC的形状是（）A ．等腰三角形B．直角三角形C ．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形二、填空题（共10小题）（除非特别说明，请填准确值）21．（2014春•沭阳县期中）在△ABC中，已知sinA=2sinBcosc，则△ABC的形状为．22．（2014秋•思明区校级期中）在△ABC中，若a=9，b=10，c=12，则△ABC的形状是．23．（2013•文峰区校级一模）已知△ABC中，AB=，BC=1，tanC=，则AC等于．24．（2013春•广陵区校级期中）在△ABC中，若2cosBsinA=sinC，则△ABC的形状一定是三角形．25．（2014秋•潞西市校级期末）在△ABC中，已知c=2acosB，则△ABC的形状为．26．（2014春•常熟市校级期中）在△ABC中，若，则△ABC的形状是．27．（2014春•石家庄期末）在△ABC中，若sin2A+sin2B＜sin2C，则该△ABC是三角形（请你确定其是锐角三角形、直角三角形还是钝角三角形）．28．（2013春•遵义期中）△ABC中，b=a，B=2A，则△ABC为三角形．29．（2013秋•沧浪区校级期末）若△ABC的三个内角满足sinA：sinB：sinC=5：11：13，则△ABC为（填锐角三角形、直角三角形、钝角三角形．）30．（2014春•宜昌期中）在△ABC中，sinA=2cosBsinC，则三角形为三角形．【考点训练】三角形的形状判断-2参考答案与试题解析一、选择题（共20小题）1．（2014•静安区校级模拟）若，则△ABC为（）A ．等腰三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．不能判断考点：三角形的形状判断．专题：计算题．分析：利用平方差公式，由，推出AB=AC，即可得出△ABC为等腰三角形．解答：解：由，得：，∴故AB=AC，△ABC为等腰三角形，故选A．点评：本小题主要考查向量的数量积、向量的模、向量在几何中的应用等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．2．（2014秋•郑州期末）若△ABC 的三个内角A、B、C满足6sinA=4sinB=3sinC，则△ABC （）A ．一定是锐角三角形B ．一定是直角三角形C ．一定是钝角三角形D ．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形考点：三角形的形状判断．专题：计算题；解三角形．分析：根据题意，结合正弦定理可得a：b：c=4：6：8，再由余弦定理算出最大角C的余弦等于﹣，从而得到△ABC是钝角三角形，得到本题答案．解答：解：∵角A、B、C满足6sinA=4sinB=3sinC，∴根据正弦定理，得6a=4b=3c，整理得a：b：c=4：6：8设a=4x，b=6x，c=8x，由余弦定理得：cosC===﹣∵C是三角形内角，得C∈（0，π），∴由cosC=﹣＜0，得C为钝角因此，△ABC是钝角三角形故选：C点评：本题给出三角形个角正弦的比值，判断三角形的形状，着重考查了利用正、余弦定理解三角形的知识，属于基础题．3．（2014秋•祁县校级期末）A为三角形ABC的一个内角，若sinA+cosA=，则这个三角形的形状为（）A ．锐角三角形B．钝角三角形C ．等腰直角三角形D．等腰三角形考点：三角形的形状判断．专题：计算题；解三角形．分析：将已知式平方并利用sin2A+cos2A=1，算出sinAcosA=﹣＜0，结合A∈（0，π）得到A为钝角，由此可得△ABC是钝角三角形．解答：解：∵sinA+cosA=，∴两边平方得（sinA+cosA）2=，即sin2A+2sinAcosA+cos2A=，∵sin2A+cos2A=1，∴1+2sinAcosA=，解得sinAcosA=（﹣1）=﹣＜0，∵A∈（0，π）且sinAcosA＜0，∴A∈（，π），可得△ABC是钝角三角形故选：B点评：本题给出三角形的内角A的正弦、余弦的和，判断三角形的形状．着重考查了同角三角函数的基本关系、三角形的形状判断等知识，属于基础题．4．（2014•天津学业考试）在△ABC中，sinA•sinB＜cosA•cosB，则这个三角形的形状是（）A ．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．等腰三角形考点：三角形的形状判断；两角和与差的余弦函数．专题：计算题．分析：对不等式变形，利用两角和的余弦函数，求出A+B的范围，即可判断三角形的形状．解答：解：因为在△ABC中，sinA•sinB＜cosA•cosB，所以cos（A+B）＞0，所以A+B∈（0，），C＞，所以三角形是钝角三角形．故选B．点评：本题考查三角形的形状的判定，两角和的余弦函数的应用，注意角的范围是解题的关键．5．（2014春•禅城区期末）已知：在△ABC中，，则此三角形为（）A ．直角三角形B．等腰直角三角形C ．等腰三角形D．等腰或直角三角形考点：三角形的形状判断．专题：计算题．分析：由条件可得sinCcosB=cosCsinB，故sin（C﹣B）=0，再由﹣π＜C﹣B＜π，可得C﹣B=0，从而得到此三角形为等腰三角形．解答：解：在△ABC中，，则ccosB=bcosC，由正弦定理可得sinCcosB=cosCsinB，∴sin（C﹣B）=0，又﹣π＜C﹣B＜π，∴C﹣B=0，故此三角形为等腰三角形，故选C．点评：本题考查正弦定理，两角差的正弦公式，得到sin（C﹣B）=0及﹣π＜C﹣B＜π，是解题的关键．6．（2014•南康市校级模拟）已知△ABC满足，则△ABC 是（）A ．等边三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．钝角三角形考点：三角形的形状判断．专题：计算题；平面向量及应用．分析：根据向量的加减运算法则，将已知化简得=+•，得•=0．结合向量数量积的运算性质，可得CA⊥CB，得△ABC是直角三角形．解答：解：∵△ABC中，，∴=（﹣）+•=•+•即=+•，得•=0∴⊥即CA⊥CB，可得△ABC是直角三角形故选：C点评：本题给出三角形ABC中的向量等式，判断三角形的形状，着重考查了向量的加减法则、数量积的定义与运算性质等知识，属于基础题．7．（2014•马鞍山二模）已知非零向量与满足且=．则△ABC为（）A ．等边三角形B．直角三角形C ．等腰非等边三角形D．三边均不相等的三角形考点：三角形的形状判断．专题：计算题．分析：通过向量的数量积为0，判断三角形是等腰三角形，通过=求出等腰三角形的顶角，然后判断三角形的形状．解答：解：因为，所以∠BAC的平分线与BC垂直，三角形是等腰三角形．又因为，所以∠BAC=60°，所以三角形是正三角形．故选A．点评：本题考查向量的数量积的应用，考查三角形的判断，注意单位向量的应用，考查计算能力．8．（2014•蓟县校级二模）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，且2c2=2a2+2b2+ab，则△ABC是（）A ．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等边三角形考点：三角形的形状判断．专题：计算题．分析：整理题设等式，代入余弦定理中求得cosC的值，小于0判断出C为钝角，进而可推断出三角形为钝角三角形．解答：解：∵2c2=2a2+2b2+ab，∴a2+b2﹣c2=﹣ab，∴cosC==﹣＜0．则△ABC是钝角三角形．故选A点评：本题主要考查了三角形形状的判断，余弦定理的应用．一般是通过已知条件，通过求角的正弦值或余弦值求得问题的答案．9．（2014•黄冈模拟）已知在△ABC中，向量与满足（+）•=0，且•=，则△ABC为（）A ．三边均不相等的三角形B．直角三角形C ．等腰非等边三角形D．等边三角形考点：三角形的形状判断．专题：计算题．分析：设，由=0，可得AD⊥BC，再根据边形AEDF是菱形推出∠EAD=∠DAC，再由第二个条件可得∠BAC=60°，由△ABH≌△AHC，得到AB=AC，得到△ABC是等边三角形．解答：解：设，则原式化为=0，即=0，∴AD⊥BC．∵四边形AEDF是菱形，|•=||•||•cos∠BAC=，∴cos∠BAC=，∴∠BAC=60°，∴∠BAD=∠DAC=30°，∴△ABH≌△AHC，∴AB=AC．∴△ABC是等边三角形．点评：本题考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，三角形形状的判断，属于中档题．10．（2014•奉贤区二模）三角形ABC中，设=，=，若•（+）＜0，则三角形ABC的形状是（）A ．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．无法确定考点：三角形的形状判断．专题：计算题；解三角形．分析：依题意，可知+=；利用向量的数量积即可判断三角形ABC的形状．解答：解：∵=，=，∴+=+=；∵•（+）＜0，∴•＜0，即||•||•cos∠BAC＜0，∵||•||＞0，∴cos∠BAC＜0，即∠BAC＞90°．∴三角形三角形．故选B．点评：本题考查三角形的形状判断，+=的应用是关键，考查转化思想与运算能力，属于中档题．11．（2015•温江区校级模拟）已知向量，则△ABC的形状为（）A ．直角三角形B．等腰三角形C．锐角三角形D．钝角三角形考点：三角形的形状判断；数量积表示两个向量的夹角．专题：平面向量及应用．分析：由数量积的坐标运算可得＞0，而向量的夹角=π﹣B，进而可得B为钝角，可得答案．解答：解：由题意可得：=（cos120°，（cos30°，sin45°）=（，）•（，）==＞0，又向量的夹角=π﹣B，故cos（π﹣B）＞0，即cosB＜0，故B为钝角，故△ABC为钝角三角形故选D点评：本题为三角形性质的判断，由向量的数量积说明角的范围是解决问题的关键，属中档题．12．（2014秋•景洪市校级期末）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且，则△ABC的形状为（）A ．等边三角形B．等腰直角三角形C ．等腰或直角三角形D．直角三角形考点：三角形的形状判断．专题：计算题．分析：利用二倍角的余弦函数公式化简已知等式的左边，整理后表示出cosA，再利用余弦定理表示出cosA，两者相等，整理后得到a2+b2=c2，根据勾股定理的逆定理即可判断出此三角形为直角三角形．解答：解：∵cos2=，∴=，∴cosA=，又根据余弦定理得：cosA=，∴=，∴b2+c2﹣a2=2b2，即a2+b2=c2，∴△ABC为直角三角形．故选D．点评：此题考查了三角形形状的判断，考查二倍角的余弦函数公式，余弦定理，以及勾股定理的逆定理；熟练掌握公式及定理是解本题的关键．13．（2014•咸阳三模）△ABC的三个内角A、B、C成等差数列，，则△ABC一定是（）A ．直角三角形B．等边三角形C ．非等边锐角三角形D．钝角三角形考点：三角形的形状判断．专题：计算题；解三角形．分析：由，结合等腰三角形三线合一的性质，我们易判断△ABC为等腰三角形，又由△ABC的三个内角A、B、C成等差数列，我们易求出B=60°，综合两个结论，即可得到答案．解答：解：∵△ABC的三个内角A、B、C成等差数列，∴2B=A+C．又∵A+B+C=180°，∴B=60°．设D为AC边上的中点，则+=2．又∵，∴．∴即△ABC为等腰三角形，AB=BC，又∵B=60°，故△ABC为等边三角形．故选：B．点评：本题考查的知识点是平面向量的数量积运算和等差数列的性质，其中根据平面向量的数量积运算，判断△ABC为等腰三角形是解答本题的关键．14．（2014•奎文区校级模拟）在△ABC中，P是BC边中点，角A、B、C的对边分别是a、b、c，若，则△ABC的形状是（）A．等边三角形B．钝角三角形C．直角三角形D ．等腰三角形但不是等边三角形考点：三角形的形状判断．专题：计算题；解三角形．分析：将c+a+b=转化为以与为基底的关系，即可得到答案．解答：解：∵=﹣，=﹣，∴c+a+b=c﹣a+b（﹣）=即c+b﹣（a+b）=，∵P是BC边中点，∴=（+），∴c+b﹣（a+b）（+）=，∴c﹣（a+b）=0且b﹣（a+b）=0，∴a=b=c．故选A．点评：本题考查三角形的形状判断，突出考查向量的运算，考查化归思想与分析能力，属于中档题．15．（2014秋•正定县校级期末）在△ABC中，tanA•sin2B=tanB•sin2A，那么△ABC一定是（）A ．锐角三角形B．直角三角形C ．等腰三角形D．等腰三角形或直角三角形考点：三角形的形状判断．专题：综合题．分析：把原式利用同角三角函数间的基本关系变形后，得到sin2A=sin2B，由A和B为三角形的内角，得到2A与2B相等或互补，从而得到A与B相等或互余，即三角形为等腰三角形或直角三角形．解答：解：原式tanA•sin2B=tanB•sin2A，变形为：=，化简得：sinBcosB=sinAcosA，即sin2B=sin2A，即sin2A=sin2B，∵A和B都为三角形的内角，∴2A=2B或2A+2B=π，即A=B或A+B=，则△ABC为等腰三角形或直角三角形．故选D．点评：此题考查了三角形形状的判断，熟练掌握三角函数的恒等变换把原式化为sin2A=sin2B是解本题的关键．16．（2014•漳州四模）在△ABC中的内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，若b=2ccosA，c=2bcosA则△ABC的形状为（）A ．直角三角形B．锐角三角形C ．等边三角形D．等腰直角三角形考点：三角形的形状判断．专题：计算题．分析：通过两个等式推出b=c，然后求出A的大小，即可判断三角形的形状．解答：解：因为在△ABC中的内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，若b=2ccosA，c=2bcosA所以，所以b=c，2bcosA=c，所以cosA=，A=60°，是正三角形．故选C．点评：本题考查三角形的形状的判断，三角函数值的求法，考查计算能力．17．（2014•云南模拟）在△ABC中，若tanAtanB＞1，则△ABC是（）A ．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．无法确定考点：三角形的形状判断．专题：综合题．分析：利用两角和的正切函数公式表示出tan（A+B），根据A与B的范围以及tanAtanB＞1，得到tanA和tanB都大于0，即可得到A与B都为锐角，然后判断出tan（A+B）小于0，得到A+B为钝角即C为锐角，所以得到此三角形为锐角三角形．解答：解：因为A和B都为三角形中的内角，由tanAtanB＞1，得到1﹣tanAtanB＜0，＞0，tanB＞0，即A，B为锐角，所以tan（A+B）=＜0，则A+B∈（，π），即C都为锐角，所以△ABC是锐角三角形．故答案为：锐角三角形点评：此题考查了三角形的形状判断，用的知识有两角和与差的正切函数公式．解本题的思路是：根据tanAtanB＞1和A与B都为三角形的内角得到tanA和tanB都大于0，即A和B都为锐角，进而根据两角和与差的正切函数公式得到tan（A+B）的值为负数，进而得到A+B的范围，判断出C也为锐角．18．（2013秋•金台区校级期末）双曲线=1和椭圆=1（a＞0，m＞b＞0）的离心率互为倒数，那么以a，b，m为边长的三角形是（）A ．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．等腰三角形考点：三角形的形状判断；椭圆的简单性质；双曲线的简单性质．专题：计算题．分析：求出椭圆与双曲线的离心率，利用离心率互为倒数，推出a，b，m的关系，判断三角形的形状．解答：解：双曲线=1和椭圆=1（a＞0，m＞b＞0）的离心率互为倒数，所以，所以b2m2﹣a2b2﹣b4=0即m2=a2+b2，所以以a，b，m为边长的三角形是直角三角形．故选C．点评：本题是中档题，考查椭圆与双曲线基本性质的应用，三角形形状的判断方法，考查计算能力．19．（2014•红桥区二模）在△ABC中，“”是“△ABC为钝角三角形”的（）A ．充分不必要条件B．必要不充分条件C ．充要条件D．既不充分又不必要条件考点：三角形的形状判断．专题：计算题．分析：利用平面向量的数量积运算法则化简已知的不等式，得到两向量的夹角为锐角，从而得到三角形的内角为钝角，即可得到三角形为钝角三角形；反过来，三角形ABC若为钝角三角形，可得B不一定为钝角，故原不等式不一定成立，可得前者是后者的充分不必要条件．解答：解：∵，即||•||cosθ＞0，∴cosθ＞0，且θ∈（0，π），所以两个向量的夹角θ为锐角，又两个向量的夹角θ为三角形的内角B的补角，所以B为钝角，所以△ABC为钝角三角形，反过来，△ABC为钝角三角形，不一定B为钝角，则“”是“△ABC为钝角三角形”的充分条件不必要条件．故选A点评：此题考查了三角形形状的判断，涉及的知识有平面向量的数量积运算，以及充分必要条件的证明，熟练掌握平面向量的数则是解本题的关键．20．（2014秋•德州期末）在△ABC中，若acosA=bcosB，则△ABC的形状是（）A ．等腰三角形B．直角三角形C ．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形考点：三角形的形状判断．专题：计算题．分析：利用正弦定理化简已知的等式，再根据二倍角的正弦函数公式变形后，得到sin2A=sin2B，由A和B都为三角形的内角，可得A=B或A+B=90°，从而得到三角形ABC为等腰三角形或直角三角形．解答：解：由正弦定理asinA=bsinB化简已知的等式得：sinAcosA=sinBcosB，∴sin2A=sin2B，∴sin2A=sin2B，又A和B都为三角形的内角，2A+2B=π，即A=B或A+B=，则△ABC为等腰或直角三角形．故选D点评：此题考查了三角形形状的判断，涉及的知识有正弦定理，二倍角的正弦函数公式，以及正弦函数的图象与性质，其中正弦定理很好得解决了三角形的边角关系，利用正弦定理化简已知的等式是本题的突破点．二、填空题（共10小题）（除非特别说明，请填准确值）21．（2014春•沭阳县期中）在△ABC中，已知sinA=2sinBcosc，则△ABC的形状为等腰三角形．考点：三角形的形状判断．专题：计算题．分析：通过三角形的内角和，以及两角和的正弦函数，化简方程，求出角的关系，即可判断三角形的形状．解答：解：因为sinA=2sinBco（B+C）=2sinBcosC，所以sinBcosC﹣sinCcosB=0，即sin（B﹣C）=0，因为A，B，C是三角形内角，所以B=C．三角形的等腰三角形．故答案为：等腰三角形．点评：本题考查两角和的正弦函数的应用，三角形的判断，考查计算能力．22．（2014秋•思明区校级期中）在△ABC中，若a=9，b=10，c=12，则△ABC的形状是锐角三角形．考点：三角形的形状判断．专题：计算题；解三角形．分析：因为c是最大边，所以C是最大角．根据余弦定理算出cosC是正数，得到角C是锐角，所以其它两角均为锐角，由此得到此三角形为锐角三角形．解答：解：∵c=12是最大边，∴角根据余弦定理，得cosC==＞0∵C∈（0，π），∴角C是锐角，由此可得A、B也是锐角，所以△ABC是锐角三角形故答案为：锐角三角形点评：本题给出三角形的三条边长，判断三角形的形状，着重考查了用余弦定理解三角形和知识，属于基础题．23．（2013•文峰区校级一模）已知△ABC中，AB=，BC=1，tanC=，则AC等于2．考点：三角形的形状判断．专题：解三角形．分析：画出图形，利用已知条件直接求出AC的距离即可．解答：解：由题意AB=，BC=1，知C=60°，B=90°，三角形ABC是直角三角形，所以AC==2．故答案为：2．点评：本题考查三角形形状的判断，勾股定理的应用，考查计算能力．24．（2013春•广陵区校级期中）在△ABC中，若2cosBsinA=sinC，则△ABC的形状一定是等腰三角形．考点：三角形的形状判断．专题：计算题．分析：等式即2cosBsinA=sin（A+B），展开化简可得sin（A﹣B）=0，由﹣π＜A﹣B＜π，得A﹣B=0，故三角形ABC是等腰三角形．解答：解：在△ABC中，若2cosBsinA=sinC，即2cosBsinA=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，∴sinAcosB﹣cosAsinB=0，即sin（A﹣B）=0，∵﹣π＜A﹣B＜π，∴A﹣B=0，故△ABC 为等腰三角形，故答案为：等腰．点评：本题考查两角和正弦公式，诱导公式，根据三角函数的值求角，得到sin（A﹣B）=0，是解题的关键．25．（2014秋•潞西市校级期末）在△ABC中，已知c=2acosB，则△ABC的形状为等腰三角形．考点：三角形的形状判断．专题：计算题．分析：由正弦定理可得sin（A+B）=2sinAcosB，由两角和的正弦公式可求得sin（A﹣B）=0，根据﹣π＜A﹣B＜π，故A﹣B=0，从而得到△ABC的形状为等腰三角形．解答：解：由正弦定理可得sin（A+B）=2sinAcosB，由两角和的正弦公式可得sinAcosB+cosAsinB=2sinAcosB，∴sin（A﹣B）=0，又﹣π＜A﹣B＜π，∴A﹣B=0，故△ABC的形状为等腰三角形，故答案为等腰三角形．点评：本题考查正弦定理的应用，已知三角函数值求角的大小，得到sin（A﹣B）=0，是解题的关键．26．（2014春•常熟市校级期中）在△ABC中，若，则△ABC的形状是等腰或直角三角形．考点：三角形的形状判断．专题：计算题；解三角形．分析：在△ABC中，利用正弦定理将中等号右端的边化为其所对角的正弦，再由二倍角公式即可求得答案．解答：解：在△ABC中，由正弦定理得：=，∴=，∴⇔=，∴sin2A=sin2B，又A，B为三角形的内角，∴2A=2B或2A+2B=π，∴A=B或A+B=．∴△ABC为等腰三角形或直角三角形．故答案为：等腰或直角三角形．点评：本题考查三角形的形状判断，着重考查正弦定理与二倍角公式的应用，属于中档题．27．（2014春•石家庄期末）在△ABC中，若sin2A+sin2B＜sin2C，则该△ABC是钝角三角形（请你确定其是锐角三角形、直角三角形还是钝角三角形）．考点：三角形的形状判断．专题：解三角形．分析：由正弦定理可得a2+b2＜c2，则再由余弦定理可得cosC＜0，故C为钝角，从而得出结论．解答：解：在△ABC中，若sin2A+sin2B＜sin2C，由正弦定理可得a2+b2＜c2，再由余弦定理可得cosC=＜0，故C为钝角，故△ABC是钝角三角形，故答案为钝角．点评：本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，求出cosC＜0，是解题的关键，属于中档题．28．（2013春•遵义期中）△ABC中，b=a，B=2A，则△ABC为等腰直角三角形．考点：三角形的形状判断．专题：计算题；解三角形．分析：利用正弦定理以及二倍角的正弦函数，求出A，然后求出B即可判断三角形的形状．解答：解：因为△ABC中，b=a，B=2A，所以由正弦定理可知：sinB=sinA，即sin2A=sinA，∴cosA=，∵A是三角形内角，∴A=，则B=，C=，∴△ABC为等腰直角三角形．故答案为：等腰直角．点评：本题主要考查了解三角形的应用和三角形形状的判断．解题的关键是利用正弦定理这一桥梁完成了问题的转化．29．（2013秋•沧浪区校级期末）若△ABC的三个内角满足sinA：sinB：sinC=5：11：13，则△ABC为钝角三角形（填锐角三角形、直角三角形、钝角三角形．）考点：三角形的形状判断．专题：计算题．分析：由正弦定理可得，△ABC的三边之比a：b：c=5：11：13，设a=5k，则b=11k，c=13k，由余弦定理可得cosC＜0，故角C为钝角，故△ABC为钝角三角形．解答：解：由正弦定理可得，△ABC的三边之比a：b：c=5：11：13，设a=5k，则b=11k，c=13k，由余弦定理可得cosC==﹣＜0，故角C为钝角，故△ABC形，故答案为：钝角三角形．点评：本题考查正弦定理、余弦定理的应用，求出cosC＜0，是解题的关键．30．（2014春•宜昌期中）在△ABC中，sinA=2cosBsinC，则三角形为等腰三角形．考点：三角形的形状判断．专题：计算题．分析：由三角形的内角和及诱导公式得到sinA=sin（B+C），右边利用两角和与差的正弦函数公式化简，再根据已知的等式，合并化简后，再利用两角和与差的正弦函数公式得到sin（B﹣C）=0，由B与C都为三角形的内角，可得B=C，进而得到三角形为等腰三角形．解答：解：∵A+B+C=π，即A=π﹣（B+C），∴sinA=sin（B+C）osBsinC，又sinA=2cosBsinC，∴sinBcosC+cosBsinC=2cosBsinC，变形得：sinBcosC﹣cosBsinC=0，即sin（B﹣C）=0，又B和C都为三角形内角，∴B=C，则三角形为等腰三角形．故答案为：等腰三角形点评：此题考查了三角形形状的判断，涉及的知识有诱导公式，两角和与差的正弦函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式是解本题的关键，同时注意三角形内角和定理及三角形内角的范围的运用．。

平面向量专题6 解三角形专题—三角形形状判断-人教A版(2019)高中数学必修(第二册)专题练习

【知识总结】1、设△ABC 中的最大角为C ，若2220a b c +-<，则△ABC 是钝角三角形；若222=0a b c +-，则△ABC 是直角三角形；若2220a b c +->，则△ABC 是锐角三角形；2、若三角形的两边相等或两角相等，则三角形为等腰三角形；3、注意：等腰直角三角形与等腰三角形或直角三角形不一样。

【巩固练习】1、在ABC △中，若222sin sin sin A B C +<，则角C 为（）A ．锐角B ．钝角C ．直角D ．不确定【答案】B2、设△ABC 的内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,若cos cos sin b C c B a A +=,则△ABC的形状为（）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定B 【解析】∵cos cos sin bC c B a A +=，∴由正弦定理得2sin cos sin cos sin B C C B A +=，∴2sin()sin B C A +=，∴2sin sin A A =，∴sin 1A =，∴△ABC 是直角三角形．3、若则为（）A ．等边三角形B ．等腰直角三角形C ．有一个内角为30°的直角三角形D ．有一个内角为30°的等腰三角形【答案】B 【解析】因为，而由正弦定理可知所以，即在三角形ABC 中，可得B=45°同理，由正弦定理可知所以，即在三角形ABC 中，可得C=45°所以三角形ABC 为等腰直角三角形所以选B4、在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，其面积为S ，若222a b ab c +-==，则ABC ∆一定是（）A.等腰三角形B.直角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形【答案】B综上，故选B.5．在ABC ∆中，若sin 2sin cos A C B =，则ABC ∆是（）A.锐角三角形B.钝角三角形C.等腰三角形D.直角三角形【答案】C即22b c =，即b c =，即ABC ∆是等腰三角形，故选：C.6．在ABC △中，若等式222sin sin sin A B C ==成立，则ABC △的形状是（）．A ．等边三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．钝角三角形【答案】A【解析】由正弦定理得222a b c ==，即a b c ==，故三角形为等边三角形.7．已知ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若2sin sin c ba B C+=，则ABC △的形状是A ．等边三角形B ．等腰直角三角形C ．锐角三角形D ．钝角【答案】B8．（2019·四川高一期末（文））已知,,a b c 分别是ABC∆的内角,,A B C 的的对边，若cos cA b<，则ABC ∆的形状为（）A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．等边三角形【答案】Asin sin cos C B A <sin()sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos 0A B B AA B B A B AA B ∴+<∴+<∴<又sin 0A >，cos 0B ∴<，即B 为钝角，故选：A 。

平面向量三角形四心(有详解)

平面向量三角形四心(有详解)平面向量三角形四心(有详解)平面向量是数学中的重要概念，可以用来表示空间中的点、线、面等几何对象。

在平面向量的运算和应用中，三角形是常见的几何形状之一。

本文将介绍平面向量与三角形四心的关系，并详细解析其性质和应用。

1. 三角形的四心概述三角形的四心是指三角形内部的四个特殊点，包括重心、外心、内心和垂心。

这四个点有着各自的特点和性质，对于研究三角形的形状和性质非常重要。

1.1 重心三角形的重心是三条中线的交点，即三角形三个顶点与对应中点的连线交于一点。

重心在三角形中心位置，对称性较强，具有重要的几何意义。

1.2 外心三角形的外心是外接圆的圆心，即三角形三个顶点的垂直平分线的交点。

外心离三角形各顶点的距离相等，是三角形的外接圆的圆心。

1.3 内心三角形的内心是内切圆的圆心，即三角形三条边的角平分线的交点。

内心到三角形三边的距离相等，是三角形的内切圆的圆心。

1.4 垂心三角形的垂心是三条高线的交点，即三角形三个顶点与对边垂线的交点。

垂心所在的直线被称为垂心线，与三角形的三条边垂直。

2. 平面向量与四心关系的性质平面向量与三角形的四心之间具有一些重要的几何性质和关系，下面将分别介绍。

2.1 重心与向量以三角形的重心为原点建立直角坐标系，三角形三个顶点的位置向量相对于重心的位置向量之和为零。

即，三角形三个顶点的位置向量和为零向量。

2.2 外心与向量三角形的三个顶点为A、B、C，以外心O为原点建立直角坐标系。

则三角形顶点A、B、C的位置向量之和等于三倍的外心O的位置向量。

即，OA + OB + OC = 3OO。

2.3 内心与向量设三角形的内心为I，以内心I为原点建立直角坐标系。

则三角形三个顶点的位置向量与对边的位置向量之和分别为倍数的内心I的位置向量。

即，AI + BI = CI = 2II。

2.4 垂心与向量以三角形的垂心为原点建立直角坐标系，三角形三个顶点的位置向量与对边垂线的位置向量之和为零。

以点带面“探究—解决—拓展提高”模式

以点带面：“探究—解决—拓展提高”模式——“向量在判定三角形形状中的应用”教学设计【课例解析】1 教材的地位和作用本节课是在学完人教版《数学（必修4）》第2章平面向量的概念、运算、坐标及应用整章知识后的一节专题解题课．教材一直坚持从数和形两个方面建构和研究平面向量．如向量的几何表示，三角形，平行四边行法则让向量具备形的特征，而向量的坐标表示和坐标运算，又让向量具备数的特征．所以我们在研究向量问题或用向量解决数学、物理问题时，应具备数形结合思想，转化思想．通过本节课的教学让学生感受数形结合在解题中的魅力，体会向量的工具性，达到提高学生运用数形结合思想、转化思想解决问题的能力，并把培养学生的建构意识和合作，探索意识作为教学目标．2 学情分析本节课之前学生已经系统学习了平面向量的知识，对向量已有了充分了解，并在解题过程中进行了运用，本节课从课本一道与三角形有关的习题（人教A版，必修4，132页复习参考题）入手探求其解法并对其进行引申，学生的知识、方法储备充分，完全能达到本解题课的目标要求．【方法阐释】本节课的教学采用心智数学教育方式之“以点带面”教学模式，主要分“创设情景、导入新课，自主探究、合作学习，成果展示、汇报交流，反馈训练、巩固落实，归纳总结、提升拓展”五个教学环节．教师启发引导学生完成怎样解题的四步，引导学生对解题规律进行反思和总结．学生要重视独立思考、大胆尝试、合作学习．教学过程要注重师生、生生间情感交流，鼓励学生大胆尝试，培养他们积极进取的探索和创新精神．【目标定位】1 知识与技能目标熟练掌握向量方法解决几何问题的“三步曲”——形到向量，向量运算，向量和数到形，进一步体会和认识向量在数学中的工具作用．进一步熟悉向量与三角形问题的不同呈现形式及解决策略．通过学生自主探究活动，体验数学发现的过程，提高概括、数学表达等基本数学思维能力；2 过程与方法目标通过课堂自主、合作与探究，实现一切以学生为中心的教育理念．通过概括、思路探究等双边活动过程培养学生发现问题、分析问题和解决问题的能力；进一步在实践中发展学生运用数形结合思想，转化思想的能力．通过对坐标平面内点和向量的类比，培养学生类比推理的能力；借助数学图形解决问题，提高学生用数形结合的思想方法解决问题的能力．经历用向量方法解决平面几何问题的全过程，体会向量是解决几何问题的一种工具，发展了学生解决问题能力和运算能力．3 情感与价值观目标通过师生互动，生生互动的教学活动，启迪学生思维，调动了学生兴趣，激发学生的学习热情和创新意识，感受了数学的人文价值，形成学生的体验性认识，体会了成功的愉悦，提高学习数学的兴趣，形成锲而不舍的钻研精神和合作交流的科学态度．4 教学的重点和难点本节课的教学重点为用向量解决几何问题的方法和形式．本节课的教学难点为用向量解决解析几何问题的思维过程．我的思考：新课程标准强调向量是中学数学重要和基本的概念之一，它是沟通代数，几何，三角函数，的一种工具，有极其丰富的实际背景．因此，在教学过程中，通过不同层次的练习体验和实用的教学手段,突出重点,突破难点．【课堂设计】一、创设情景、导入新课（出示）探究性问题：已知向量=++321321,,OP OP OP OP OP OP 满足条件：0，1===,求证：三角形P 1P 2P 3 是正三角形．教师：这是一道典型的由向量关系判断三角形形状的数学问题．我们通过对其解法的归纳、总结和拓展，我们能对用向量判断三角形形状问题的一般解题方法理解的更深刻．请同学们认真思考，尽可能用多种方法来解答这个问题，并注意对所用解法进行反思、总结．请同学们先弄清题意．学生：本题的条件有两个，分别为=++321OP OP OP 01===结论为：三角形P 1P 2P 3 是正三角形，探求证明方法的关键是两个已知条件的转化以及正三角形的证明方法．两个条件都是关于P 1、P 2、P 3 的对称式，由此可以看到结论一定能被满足．我的思考：启发学生分析问题的关键条件和结论，并设法把它们转化这是设置探究性问题的主要目的．二、自主探究、合作学习（学生独立思考后，小组交流，分小组展示解题方法与过程．）三、成果展示、汇报交流学生1：由两个向量形式的条件，可考虑建立适当的坐标系，借助向量的坐标运算解决问题，用向1===我联想三角函数的坐标形式得到证法一．证明：以O 点为坐标原点， OP 3所在直线为x 轴,过O 垂直OP 3的直线为x 轴，建立坐标系．易知()0,13P ，() 120sin ,120cos 1P ，()240sin ,240cos 2P3===所以：三角形P 1P 2P 3 是正三角形．教师：请各小组同学讨论分析一下这种证明方法，看有没有问题，如有问题有应如何改进．学生2：这种证法确有问题，实际上在证明过程中，P 1、、P 2点的坐标不易求得。

高中数学人教A版2019课标版必修二公开课平面向量的应用

【解】方法一：（1）∵ A>90°且a>b，∴ 有一解，即这样的三角形是唯一的. （2）∵ asin B＝60× 3 ＝30 3 ，b＝48，
2
∴ b<asin B，无解，即不存在这样的三角形. （3）∵ a＝7，b＝5，A＝80°，∴ a>b，有一解，即这样的三角形是唯一的. （4）∵ bsin A＝16× 2 ＝8 2 ，a＝14，
2．解三角形一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对边 a ， b ， _c_叫做三角形的元素，已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形．
3.余弦定理
余弦定理
余弦定理
公式表达语言叙述
推论
a2＝_b_2_＋__c_2_－__2_b_c_c_o_s _A_， b2＝_a_2＋__c_2_－__2_a_c_c_o_s_B_，
__si_na__A_＝__s_in_b_B__＝__si_nc__C_._ [点睛] 正弦定理的特点 (1)适用范围：正弦定理对任意的三角形都成立． (2)结构形式：分子为三角形的边长，分母为相应边所对角的正
弦的连等式． (3)刻画规律：正弦定理刻画了三角形中边与角的一种数量关
系，可以实现三角形中边角关系的互化．
c2＝_a_2＋__b__2－__2_a_b_c_o_s_C_
三角形中任何一边的平方等于_其__他__两__边__的__平__方__的__ _和__减__去__这__两__边__与__它__们__的__夹__角__的__余__弦__的__积__的__两__倍__
b2＋c2－a2 cos A＝____2_b_c___
2 6，
4
∴ b＝20× 2 6 ＝5 2 +5 6 .

三角形“四心”向量形式的结论及证明(附练习答案)

三角形“四心”向量形式的充要条件应用在学习了《平面向量》一章的基础内容之后，学生们通过课堂例题以及课后习题陆续接触了有关三角形重心、垂心、外心、内心向量形式的充要条件。

现归纳总结如下:一．知识点总结 1)O 是ABC ∆的重心⇔0OC OB OA =++;若O 是ABC ∆的重心，则ABC AOB AOC BOC S 31S S S ∆∆∆∆===故0OC OB OA =++;1()3PG PA PB PC =++⇔G 为ABC ∆的重心.2)O 是ABC ∆的垂心⇔OA OC OC OB OB OA ⋅=⋅=⋅;若O 是ABC ∆(非直角三角形)的垂心,则C tan B tan A tan S S S AOB AOC BOC ：：：：=∆∆∆ 故0OC C tan OB B tan OA A tan =++３)Ｏ是ABC ∆的外心⇔|OC ||OB ||OA |==（或222OC OB OA ==)若O 是ABC ∆的外心则C 2sin :B 2sin :A 2sin AOB sin AOC sin BOC sin S S S AOB AOC BOC =∠∠∠=∆∆∆：：：：故0OC C 2sin OB B 2sin OA A 2sin =++４)O 是内心ABC ∆的充要条件是|CB |CB |CA |CA OC |BC |BC |BA |BA OB ACAC |AB |AB (OA =-⋅=-⋅=-⋅引进单位向量,使条件变得更简洁。

如果记CA ,BC ,AB 的单位向量为321e ,e ,e ,则刚才O 是ABC ∆内心的充要条件可以写成：0)e e (OC )e e (OB )e e (OA 322131=+⋅=+⋅=+⋅ O 是ABC ∆内心的充要条件也可以是0OC c OB b OA a =++ 若O 是ABC ∆的内心，则c b a S S S AOB AOC BOC ：：：：=∆∆∆故 0OC C sin OB B sin OA A sin 0OC c OB b OA a =++=++或; ||||||0AB PC BC PA CA PB P ++=⇔ABC ∆的内心;向量()(0)||||AC AB AB AC λλ+≠所在直线过ABC ∆的内心(是BAC ∠的角平分线所在直线);二．范例(一).将平面向量与三角形内心结合考查例1．O 是平面上的一定点，A ，B,C 是平面上不共线的三个点，动点Ｐ满足AC AB OA OP ++=λ，[)+∞∈,0λ则P 点的轨迹一定通过ABC ∆的（ )（Ａ）外心(B)内心(C)重心（D ）垂心解析:因为是向量AB 的单位向量设AB 与AC 方向上的单位向量分别为21e e 和，又AP OA OP =-，则原式可化为)(21e e AP +=λ，由菱形的基本性质知AP 平分BAC ∠,那么在ABC ∆中,AP 平分BAC ∠,则知选B.点评：这道题给人的印象当然是“新颖、陌生”是什么?没见过!想想，一个非零向量除以它的模不就是单位向量？此题所用的都必须是简单的基本知识,如向量的加减法、向量的基本定理、菱形的基本性质、角平分线的性质等，若十分熟悉,又能迅速地将它们迁移到一起，解这道题一点问题也没有。

三角形中有关内心外心垂心重心的向量的数值关系

三角形中有关内心外心垂心重心的向量的数值关系1. 引言三角形是数学中一个重要的几何形状，具有许多有趣的性质和特征。

在三角形中，内心、外心、垂心和重心是四个与三角形相关的重要点，它们的位置和性质提供了丰富的几何信息。

本文将围绕三角形的内心、外心、垂心和重心展开讨论，并研究它们之间的向量数值关系。

2. 内心内心是一个三角形的最大内切圆的圆心，它与三角形的三条边相切。

记三角形的内心为I，三个顶点为A、B、C，分别到内心的距离记为r。

根据定义，内心到三角形的三条边的距离相等，即IA = IB = IC = r。

那么，我们可以利用向量的知识来研究内心与三角形顶点之间的数值关系。

假设三角形的边向量分别为向量AB、向量BC和向量CA，内心到三角形顶点的向量分别为向量IA、向量IB和向量IC。

根据向量的基本性质，我们可以得到以下关系：1) 向量IA = r * 向量AI，即向量IA与向量AI同方向且长度为r倍关系。

2) 由向量加法的性质，我们可以得到向量IB = 向量AB + 向量AI。

同理，向量IC = 向量BC + 向量BI。

通过这些向量关系，我们可以进一步研究内心与三角形顶点之间的数值关系，并深入探讨内心在三角形内部的位置特性。

3. 外心外心是一个三角形外接圆的圆心，它位于三角形的三条边的垂直平分线的交点处。

记三角形的外心为O，外心到三角形三个顶点的距离分别为R1、R2和R3。

根据定义，外心到三角形的三条边的距离相等，即OA = OB = OC = R。

同样地，我们可以利用向量的知识来研究外心与三角形顶点之间的数值关系。

假设三角形的边向量分别为向量AB、向量BC和向量CA，外心到三角形顶点的向量分别为向量OA、向量OB和向量OC。

根据向量的基本性质，我们可以得到以下关系：1) 向量OA = R * 向量AO，即向量OA与向量AO同方向且长度为R 倍关系。

2) 由向量加法的性质，我们可以得到向量OB = 向量AB + 向量AO。

三角形重心、外心、垂心、内心的向量表示及其性质

三角形“四心”向量形式的充要条件应用知识点总结1．O是的重心;若O是的重心，则故;为的重心.2．O是的垂心;若O是(非直角三角形)的垂心，则故3．O是的外心(或)若O是的外心则故4．O是内心的充要条件是引进单位向量，使条件变得更简洁。

如果记的单位向量为，则刚才O是内心的充要条件可以写成，O是内心的充要条件也可以是。

若O是的内心，则故;是的内心;向量所在直线过的内心(是的角平分线所在直线)；xx 例(一)将平面向量与三角形内心结合考查例1．O是平面上的一定点，A,B,C是平面上不共线的三个点，动点P满足，则P点的轨迹一定通过的（）（A）外心（B）内心（C）重心（D）垂心解析：因为是向量的单位向量设与方向上的单位向量分别为，又，则原式可化为，由菱形的基本性质知AP平分，那么在xx，AP平分，则知选B.(二)将平面向量与三角形垂心结合考查“垂心定理”例2． H是△ABC所在平面内任一点，点H是△ABC的垂心.由,同理，.故H是△ABC的垂心. （反之亦然（证略））例3.(xx)P是△ABC所在平面上一点，若，则P是△ABC的（D ）A．外心B．内心C．重心D．垂心解析:由.即则所以P为的垂心. 故选D.(三)将平面向量与三角形重心结合考查“重心定理”例4． G是△ABC所在平面内一点，=0点G是△ABC的重心.证明作图如右，图中连结BE和CE，则CE=GB，BE=GCBGCE为平行四边形D是BC的中点，AD为BC边上的中线.将代入=0，得=0，故G是△ABC的重心.（反之亦然（证略））例5． P是△ABC所在平面内任一点.G是△ABC的重心.证明∵G是△ABC的重心∴=0=0，即由此可得.（反之亦然（证略））例6 若为内一点，，则是的（）A．内心B．外心C．垂心D．重心解析：由得，如图以OB、OC为相邻两边构作平行四边形，则，由平行四边形性质知，，同理可证其它两边上的这个性质，所以是重心，选D。

(四) 将平面向量与三角形外心结合考查例7若为内一点，，则是的（）A．内心B．外心C．垂心D．重心解析：由向量模的定义知到的三顶点距离相等。