用估算法巧解高考选择题

提升训练5估算法

提升训练5估算法1.(2016浙江选考10月,6)某探险者在野外攀岩时,踩落一小石块,约5 s后听到石头直接落到崖底的声音,探险者离崖底的高度最接近的是()A.25 mB.50 mC.110 mD.150 m2.(2015浙江选考10月,4)小李乘坐高铁,当他所在的车厢刚要进隧道时,看到车厢内显示屏上的示数为216 km/h,他立即观察手表秒针走动,经过20 s车厢出了隧道,则该隧道的长度约为()A.600 mB.1 200 mC.2 160 mD.4 320 m3.(2016浙江模拟4月,7)某同学在实验室做了如图所示的实验,铁质小球被电磁铁吸附,断开电磁铁的电源,小球自由下落,已知小球的直径为0.5 cm,该同学从计时器上读出小球通过光电门的时间为1.00×10-3 s,g取10 m/s2,则小球开始下落的位置距光电门的距离约为()A.1 mB.1.25 mC.0.4 mD.1.5 m4.在平直公路上以一定速率(约为5 m/s)行驶的自行车所受阻力为车和人总重力的,则骑车人的功率最接近于(车和人的总质量约为100 kg)()A.0.1 kWB.1×103 kWC.1 kWD.10 kW5.2014年9月22日,林清峰代表中国举重队出战韩国仁川亚运会男子举重项目男子69公斤级的比赛,并且拿到了金牌。

比赛中,林清峰第二次试举,他成功举起187公斤杠铃,历时约3 s,则林清峰在举起杠铃过程中的平均功率是()A.一百瓦左右B.一千瓦左右C.几千瓦D.几十千瓦6.建筑工人正在高楼上砌砖(如图),手滑不慎使砖块掉落,发现2 s后砖块落到地上断成两块,则估计此楼高度约为(不计空气阻力)()A.5 mB.10 mC.20 mD.40 m7.(2016—2017学年浙江杭州五县高三上期中,3)用如图所示的方法可以测出一个人的反应时间。

甲同学用手握住直尺顶端刻度为零的地方,乙同学在直尺下端刻度为a的地方做捏住尺子的准备,但手没有碰到尺子。

2019高考数学 30分钟拿下选择、填空题专题04 估算法理

专题04 估算法方法探究估算法一般包括范围估算，极端值估算和推理估算，是一种快速解决数学问题的方法，也是一种高效率得出正确结论的捷径.对于高考数学某些问题，当我们没有合适的解题思路或正面解析比较麻烦，特别又是针对选择题时，不必进行准确的计算，我们可以通过适当地放大或缩小部分数据估算出答案的大概范围或者近似值，也可以通过对其数值特点和取值界限作出适当的估计，便能作出正确的判断，这就是估算法．当然，这有时也适合用在填空题中，比如比较大小时.估算法往往可以减少运算量，但是加强了思维的层次，所以我们要学会灵活运用.而对于选择题，实在没思路时，又不需要解题过程，我们用这种方法还是能很大程度上提高我们的得分率的，比如，求某个图形的面积或体积，当选项差距比较大时，我们只需通过计算一部分比较好计算或自己熟练掌握的，就可以通过比较各选项得出正确结论. 经典示例【例1】（范围估算）已知1335a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，1243b -⎛⎫=⎪⎝⎭，3ln5c =，则这三个数从大到小的顺序是______．【答案】a b c >>【方法点睛】本题主要考查对数函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题，属于难题.解答比较大小问题时，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间()()(),0,0,1,1,-∞+∞）；二是利用函数的单调性直接解答.数值比较多的比较大小问题也可以两种方法综合应用.【备考警示】本题属于高考的常考题型，而这种用估算范围的方法进行比较，也是我们常用的快捷方法，需要大家熟练掌握.【例2】（极端值估算）函数()21010x x f x x--=的图象大致为A．B．C．D．【答案】B【名师点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；（2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）从函数的特征点，排除不合要求的图象.【备考警示】当函数在某一点处没有定义或趋于无限时，可估算一下函数值的范围，从而得出函数图象的大致范围，此类问题属于常见题型，需要熟练掌握.【例3】（数值估算）已知实数,x y满足条件2xyy x≤⎧⎪≥⎨⎪-≤⎩，则目标函数z x y=+从最小值连续变化到1时，所有满足条件的点(),x y构成的平面区域的面积为A．74B．94C．92D．1【答案】A23方法二：四边形ABCO 的面积是△OAD 去掉一个小直角三角形，阴影部分面积比1大，比S △OAD ＝12×2×2＝2小，故选C 项．【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.【备考警示】特别是像这种求面积需要求几部分的和的时候，如果某一部分不好求或求不出，可以大致估算一下选出正确答案.【例4】（推理估算）已知三棱锥S ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，△ABC 是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且SC =2.则此棱锥的体积是A ．BCD【答案】A【解析】方法一：易得△ABC的面积为4，而三棱锥的高一定小于球的直径2，4【备考警示】方法一明显要比方法二简单快捷的多.熟练掌握此类方法也是很有必要的. 拓展变式1．已知0.30.3 1.20.3, 1.2,log 0.3a b c ===，则,,a b c 的大小关系为 A ．c a b <， 1.2log 0.30c =<，所以c a b <<，故选A ．【名师点睛】该题考查的是有关指数幂和对数值的比较大小的问题，在解题的过程中，注意应用指数函数和对数函数的单调性，确定其对应值的范围，借助于中介值来完成任务.2．如图，把周长为1的圆的圆心C 放在y 轴上，点()0,1A 在圆上，一动点M 从A 开始逆时针绕圆运动一周，记弧AM x =，直线AM 与x 轴交于点(),0N t ，则函数()t f x =的图象大致为A ．B ．5C ．D ．【答案】D3．如图，在多面体ABCDFE 中，已知面ABCD 是边长为3的正方形，EF ∥AB ，EF =23，EF 与面ABCD 的距离为2，则该多面体的体积为A ．29 B ．5 C ．6D ．215 【答案】D【解析】依题意可计算11332633E ABCD ABCD V S h -=⋅=⨯⨯⨯=四边形，而E A B C D A B C DF E V V ->多面体＝6，观察各选项可知选D.【名师点睛】本题当然也可以通过分割或补形的方法转化成常规几何体进行计算可得，但远不如上述方法来的简单. 终极押题一、选择题1．设集合2{|ln(6)}A x y x x ==+-, {2,0,4}B =,则A B =A ．{2,0,4}B ．{2,0}C ．{2,0,1}D ．{2,1}【答案】B62．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若999S =，717a =，则数列{}n a 的公差为 A ．1 B ．2 C ．3D ．4【答案】C【解析】依题意，9559999911S a a =⇒=⇒=，而717a =，故数列{}n a 的公差为75375a a -=-，故选C ．3．已知复数z 满足10(1i)42i 1z +=--，则在复平面内复数z 对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限【答案】B 【解析】由10(1i)42i 1z +=--可得1045i (2i 1)(1i)1i z =-=-+-++，在复平面内复数z 对应的点为(5,1)-，位于第二象限．故选B ．4．在平面直角坐标系xOy 中，已知点(2,3),(3,5),(1,2)A B C -，则向量CA 与CB 的夹角的余弦值为 ABCD【答案】B【解析】依题意，(3,1),(4,3)CA CB ==，故,CA CB的夹角的余弦值为cos ,10||||CA CB CA CB CA CB ⋅===，故选B ．5．某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与19秒之间，将测试结果按如下方式分成六组：第一组，成绩大于等于13秒且小于14秒；第二组，成绩大于等于14秒且小于15秒；……；第六组，成绩大于等于18秒且小于等于19秒．下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．设成绩小于17秒的学生人数占全班总人数的百分比为x ，成绩大于等于15秒且小于17秒的学生人数为y ，则从频率分布直方图中可以分析出x 和y 分别为A．0.9，45 B．0.9，35C．0.1，35 D．0.1，45【答案】BA．9 B．18C．27 D．36C【答案】787．古代数学名著《张丘建算经》中有如下问题：“今有仓，东西袤一丈二尺，南北广七尺，南壁高九尺，北壁高八尺，问受粟几何？”该问题实际描述的是：有一粮仓的三视图如图所示（单位：尺），问能储存多少粟米？已知1斛米的体积约为62.1立方尺，估算粮仓可以储存的粟米约有（四舍五入取整数）A ．410斛B ．420斛C ．430斛D ．441斛【答案】D【解析】由三视图得，粮仓的形状是一个如图所示的放倒的直四棱柱，其体积为(714127289=⨯⨯+=V 立方尺），又44162.1714≈，所以粮仓可以储存的粟米约为441斛，故选D ．8．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过点2F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于B ，C 两点，若160BFC ∠=︒，则该双曲线的离心率为 ABCD ．2【答案】C【解析】不妨设点B 在x 轴的上方，易得点B 的坐标为2(,)b c a，由160BFC ∠=︒可得2tan 3023b ac =︒=220e -=，结合1e >，解得e =C ． 9．已知函数()sin()f x x ωϕ=+(0, 0π2ωϕ><<)，12()()10f f x x ==,，若12min –||x x 12=，且(3)f=ωϕ+=A．5π3B．4π3C．2π3D．π3【答案】B10．某公园经常会在周末举办丰富多彩的娱乐活动，如“砸金蛋”（游玩者每次砸碎一颗金蛋，如果有奖品，则“中奖”）.某校甲、乙、丙、丁四位同学相约来到该公园，每人均获得砸一颗金蛋的机会.游戏开始前，甲、乙、丙、丁四位同学对游戏中奖结果进行了预测，预测结果如下：甲说：“我或乙能中奖”；乙说：“丁能中奖”；丙说：“我或乙能中奖”；丁说：“甲不能中奖”.游戏结束后，这四位同学中只有一位同学中奖，且只有一位同学的预测结果是正确的，则中奖的同学是A．甲B．乙C．丙D．丁【答案】A【解析】由题意可知，若甲中奖，仅有甲预测正确，符合题意；若乙中奖，则甲、丙、丁均预测正确，不符合题意；若丙中奖，则丙、丁预测正确，不符合题意；若丁中奖，则乙、丁预测正确，不符合题意.故选A．11．已知正三棱锥的外接球的半径为1，若正三棱锥的高为32，则该正三棱锥的侧面积为A．16B．16C．3D．3【答案】B9112．已知(0,)x ∀∈+∞，|lg |x x m +≥恒成立，则实数m 的取值范围为A ．(,lge]-∞B ．(,lge lg(lge)]-∞-C ．(1,1]-D ．(,1]-∞【答案】B【解析】当1x ≥时，|lg |x x m +≥可化为lg x x m +≥，则min (lg )1m x x ≤+=；当01x <<时，|lg |x x m +≥可化为lg x x m -+≥，即lg 0x x m -+≤恒成立，令()lg f x x x m =-+，01x <<，则lge()1f x x'=-+，易知当lg e x =时，函数()f x 有极大值，也是最大值，故max ()(lge)lge lg(lge)0f x f m ==-+≤，即lg e m ≤-lg(lg e). 因为elg e lg(lg e)lg lg(e ln10)lg101lg e-==⋅<=，所以实数m 的取值范围为(,lge lg(lge)]-∞-，故选B ．二、填空题13．261(2)x x-的展开式中的常数项为 .（用数字作答）【答案】60【解析】由2661231661C (2)()2(1)C r r r r r r rr T x x x---+=⋅⋅-=-.令12304r r -=⇒=，则常数项为644462(1)C 41560--=⨯=.1114．已知()()=f x xg x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()2x g x a ＝－，则不等式1()3g x ≤－的解集是 .【答案】],3-∞（15．已知实数,x y 满足约束条件2,1,10,x y y x x +≥⎧⎪≤+⎨⎪-≤⎩则32x y x y ++的取值范围为 . 【答案】4[,2]3【解析】依题意，136353532222y y x y x x y y y x y x x x+⋅+⋅-+===-++++.作出约束条件所表示的平面区域如下图阴影部分所示（含边界）.y x表示平面区域内的点(,)x y 与定点(0,0)连线的斜率，观察可知，13y x ≤≤，则325y x ≤+≤，所以55132y x ≤≤+，所以453232y x≤-≤+，故32x y x y ++的取值范围为4[,2]3.16．已知第一象限内的点M 与第四象限内的点N 在焦点为F 的抛物线2:2(0)C y px p =>上，若,,M F N 三点共线，且2+3tan 0OMN S MON ∠=△（O 为坐标原点），则抛物线C 的方程为_______________.【答案】24y x =12你用了几分钟？有哪些问题？。

高考数学中的估算技巧

高考数学中的估算技巧高考数学中的估算不仅是一种应试技巧，更是一种实用的生活技能。

在快节奏的现代社会，估算技巧可以使我们更快捷地解决生活中的实际问题，更好地掌握数字、量化和概率思维。

下面我们将探讨高考数学中的估算技巧。

1. 联想法联想法是一种常用的估算方法，通过对比找出数量差异，从而对目标数量进行估算。

例如，考虑以下问题：如果把全国现有的汽车都排成一列，其长度将占据多少公里？显然，要回答这个问题需要了解全国汽车数量的具体数据，但是我们可以通过联想找到方法。

我们可以估计一辆汽车长度约为4米，因此，每100辆车的长度为400米，即每1000辆车的长度为4000米。

再算一下全国有多少辆车：2019年底，全国汽车保有量为2.7亿辆，换算成1000辆车为一组，可得：2.7×10^8÷10^3 = 2.7×10^5因此，全国现有的汽车排成的所占长度大约为：2.7×10^5×4000 = 1.08×10^9米也就是说，全国现有的汽车排成一列，其长度将占据大约1080公里的距离。

这一估算方法也可以应用于其他问题，例如大型海面动物的数量，较远距离的天文数据等等。

2. 余数法余数法是另一种常用的估算方法。

在一些数学题目中，我们不需要求出具体的结果，而只需要得到一个范围限制，这时我们应该充分利用余数法。

例如，考虑以下问题：96除以7的余数是多少？如果将96÷7做除法，可以得到：96 ÷ 7 = 13 余 5这就是96除以7的余数。

但是，如果我们只需要知道余数大小的范围（而不是具体的余数），我们可以利用余数的特性做到快速估算。

因为7的倍数都是以7为周期的，所以只需要不断加7，直到达到目标数值的位置，这个加的次数就是余数。

换言之，我们只需要检查目标值与一个以7为底的数的差是否在7以内即可。

在这个例子中，96与77的差为19，即在7的范围之内，因此96除以7的余数必定是在0~6之间。

高中化学解题方法估算法

高中化学解题方法估算法高中化学解题方法估算就是不算，估算法是通过推理、猜测得出答案的一种方法。

例题：在100 mL 0.10 mol·L-1的AgNO3(aq)中，加入100 mL 溶有2.08 g BaCl2的溶液，A.最终得到白色沉淀和无色溶液B.最终得到的白色沉淀是等物质的量的两种化合物的混合物C.混合过程中，逸出无色气体D.在最终得到的溶液中，c(Cu2+)=0.01 mol·L-1解析：本题有以下两种解法。

方法1(计算法)：n(Ag+)=0.100 L*0.10 mol·L-1=0.010 moln(Ba2+)=n(BaCl2)==0.0100 moln(Cl-)=2n(BaCl2)=0.0200 mol=0.0100 mol首先Cl-与Ag+发生反应生成白色AgCl沉淀：Ag++Cl-mol 0.010 mol 0.010 mol反应后剩余Cl-：0.0200 mol-0.010 mol=0.010 mol。

其次Ba2+与SO发生反应生成白色BaSO4沉淀：mol 0.010 mol 0.010 mol生成BaSO4 0.010 mol。

反应后溶液中含Cu2+，其浓度为：与备选项对照，可知答案。

方法2(估算法)：最后Cu2+留在溶液中，溶液浅蓝色，A项不可选。

由CuSO4·5H2O的质量是3位有效数字，及溶液的体积也是3位有效数字可推知c(Cu2+)应为3位有效数字，D项不可选。

由于溶液混合时，只发生Ag+与Cl-、Ba2+与SO关系式法关系式法是根据化学方程式计算的巧用，其解题的核心思想是化学反应中质量守恒，各反应物与生成物之间存在着最基本的比例(数量)关系。

例题：某种H2和CO的混合气体，其密度为相同条件下再通入过量O2，最后容器中固体质量增加了()D.6.4g[解析]固体增加的质量即为H2的质量。

固体增加的质量即为CO的质量。

所以，最后容器中固体质量增加了3.2g，应选A。

2019高考数学 30分钟拿下选择、填空题专题04 估算法文

专题04 估算法方法探究估算法一般包括范围估算，极端值估算和推理估算，是一种快速解决数学问题的方法，也是一种高效率得出正确结论的捷径.对于高考数学某些问题，当我们没有合适的解题思路或正面解析比较麻烦，特别又是针对选择题时，不必进行准确的计算，我们可以通过适当地放大或缩小部分数据估算出答案的大概范围或者近似值，也可以通过对其数值特点和取值界限作出适当的估计，便能作出正确的判断，这就是估算法．当然，这有时也适合用在填空题中，比如比较大小时.估算法往往可以减少运算量，但是加强了思维的层次，所以我们要学会灵活运用.而对于选择题，实在没思路时，又不需要解题过程，我们用这种方法还是能很大程度上提高我们的得分率的，比如，求某个图形的面积或体积，当选项差距比较大时，我们只需通过计算一部分比较好计算或自己熟练掌握的，就可以通过比较各选项得出正确结论. 经典示例【例1】（范围估算）______．【答案】a b c >>【方法点睛】本题主要考查对数函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题，属于难题.解答比较大小问题时，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间()()(),0,0,1,1,-∞+∞）；二是利用函数的单调性直接解答.数值比较多的比较大小问题也可以两种方法综合应用.【备考警示】本题属于高考的常考题型，而这种用估算范围的方法进行比较，也是我们常用的快捷方法，需要大家熟练掌握.【例2】（极端值估算）函数()21010x x f x x--=的图象大致为A．B．C．D．【答案】B【名师点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；（2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）从函数的特征点，排除不合要求的图象.【备考警示】当函数在某一点处没有定义或趋于无限时，可估算一下函数值的范围，从而得出函数图象的大致范围，此类问题属于常见题型，需要熟练掌握.【例3】（数值估算）已知实数,x y满足条件2xyy x≤⎧⎪≥⎨⎪-≤⎩，则目标函数z x y=+从最小值连续变化到1时，所有满足条件的点(),x y构成的平面区域的面积为ABC D．1【答案】A23【解析】画出002x y y x ≤⎧⎪≥⎨⎪-≤⎩表示的可行域，如图，平移直线y x z =-+，从经过点A ，到与直线BC 重合，目标函数z x y =+从最小值连续变化到1，满足条件的点(),x y 构成的平面区域的面积为四边形ABCO.A ．方法二：四边形ABCO 的面积是△OAD 去掉一个小直角三角形，阴影部分面积比1大，比S △OAD ＝12×2×2＝2小，故选C 项．【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.【备考警示】特别是像这种求面积需要求几部分的和的时候，如果某一部分不好求或求不出，可以大致估算一下选出正确答案.【例4】（推理估算）已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，△ABC 是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且SC =2.则此棱锥的体积是ABCD【答案】A【解析】方法一：易得△ABC的面积为4，而三棱锥的高一定小于球的直径2，4所以12346V <⨯=，观察选项可排除B ，C ，D ，故选A.【备考警示】方法一明显要比方法二简单快捷的多.熟练掌握此类方法也是很有必要的. 拓展变式1．已知0.30.3 1.20.3, 1.2,log 0.3a b c ===，则,,a b c 的大小关系为 A ．c a b <， 1.2log 0.30c =<，所以c a b <<，故选A ．【名师点睛】该题考查的是有关指数幂和对数值的比较大小的问题，在解题的过程中，注意应用指数函数和对数函数的单调性，确定其对应值的范围，借助于中介值来完成任务.2．如图，把周长为1的圆的圆心C 放在y 轴上，点()0,1A 在圆上，一动点M 从A 开始逆时针绕圆运动一周，记弧AM x =，直线AM 与x 轴交于点(),0N t ，则函数()t f x =的图象大致为A ．B ．5C ．D ．【答案】D3．如图，在多面体ABCDFE 中，已知面ABCD 是边长为3的正方形，EF ∥AB ，EF =23，EF 与面ABCD 的距离为2，则该多面体的体积为A ．29 B ．5 C ．6D ．215 【答案】D【解析】依题意可计算11332633E ABCD ABCD V S h -=⋅=⨯⨯⨯=四边形，而E A B C D A B C DF E V V ->多面体＝6，观察各选项可知选D.【名师点睛】本题当然也可以通过分割或补形的方法转化成常规几何体进行计算可得，但远不如上述方法来的简单. 终极押题一、选择题1．设集合2{|ln(6)}A x y x x ==+-, {2,0,4}B =,则A B =A ．{2,0,4}B ．{2,0}C ．{2,0,1}D ．{2,1}【答案】B6【解析】由题意，知260x x +->即(2)(3)0x x +-<，解得23x -<<，所以{|23}A x x =-<<,又{2,0,4}B =,所以{2,0}A B =.故选B.2．已知复数z 满足10(1i)42i 1z +=--，则在复平面内复数z 对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限【答案】B3．在平面直角坐标系xOy 中，已知点(2,3),(3,5),(1,2)A B C -，则向量CA 与CB 的夹角的余弦值为 ABCD【答案】B【解析】依题意，(3,1),(4,3)CA CB ==，故,CA CB 的夹角的余弦值为cos ,||||CA CB CA CB CA CB ⋅===B ．4．某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与19秒之间，将测试结果按如下方式分成六组：第一组，成绩大于等于13秒且小于14秒；第二组，成绩大于等于14秒且小于15秒；……；第六组，成绩大于等于18秒且小于等于19秒．下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．设成绩小于17秒的学生人数占全班总人数的百分比为x ，成绩大于等于15秒且小于17秒的学生人数为y ，则从频率分布直方图中可以分析出x 和y 分别为7A ．0.9，45B ．0.9，35C ．0.1，35D ．0.1，45【答案】B5．在ABC △中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，若3sin 2sin A B =，43b c =，则cos B = A．4B ．34CD ．1116【答案】D【解析】因为3sin 2sin A B =，所以由正弦定理得32a b =，又因为43b c =，所以643a b c ==，令2,3,4a m b m c m ===，所以由余弦定理得222416911cos 22416m m m B m m +-==⨯⨯，故选D. 6．执行下面的程序框图，输出的结果为A ．9B ．18C ．27D ．36【答案】C87．古代数学名著《张丘建算经》中有如下问题：“今有仓，东西袤一丈二尺，南北广七尺，南壁高九尺，北壁高八尺，问受粟几何？”该问题实际描述的是：有一粮仓的三视图如图所示（单位：尺），问能储存多少粟米？已知1斛米的体积约为62.1立方尺，估算粮仓可以储存的粟米约有（四舍五入取整数）A ．410斛B ．420斛C ．430斛D ．441斛【答案】D【解析】由三视图得，粮仓的形状是一个如图所示的放倒的直四棱柱，其体积为(714127289=⨯⨯+=V 立方尺），又44162.1714≈，所以粮仓可以储存的粟米约为441斛，故选D ．8．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过点2F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于B ，C 两点，若160BFC ∠=︒，则该双曲线的离心率为9ABCD ．2【答案】C9．已知函数()sin()f x x ωϕ=+(0, 0π2ωϕ><<)，12()()10f f x x ==,，若12min –||x x 12=，且(3)f =ωϕ+= A ．5π3B ．4π3 C ．2π3D ．π3【答案】B【解析】设f (x )的最小正周期为T ，由f (x 1)=1，f (x 2)=0，|x 1–x 2|min =12，得12π2π422T T ω=⇒=⇒==,由f (3) =sin 3π()ϕ+=sin ϕ=又0π2ϕ<<，∴π3ϕ=，则ωϕ+=4π3，故选B ．10．某公园经常会在周末举办丰富多彩的娱乐活动，如“砸金蛋”（游玩者每次砸碎一颗金蛋，如果有奖品，则“中奖”）.某校甲、乙、丙、丁四位同学相约来到该公园，每人均获得砸一颗金蛋的机会.游戏开始前，甲、乙、丙、丁四位同学对游戏中奖结果进行了预测，预测结果如下：甲说：“我或乙能中奖”；乙说：“丁能中奖”；丙说：“我或乙能中奖”；丁说：“甲不能中奖”.游戏结束后，这四位同学中只有一位同学中奖，且只有一位同学的预测结果是正确的，则中奖的同学是 A ．甲 B ．乙 C ．丙D ．丁10【答案】A11．已知正三棱锥的外接球的半径为1，若正三棱锥的高为32，则该正三棱锥的侧面积为 ABC．3D．3【答案】B【解析】如图，V ABC -是符合题意的正三棱锥，H 为V 在底面内的射影，O 为球心，设底面边长为a，则223323BH BD a a ==⨯，由222BO BH OH =+可得2231()(1)32a =+-，解得32a =，设AC 的中点为D ，由222VD VH DH =+可得2223()2VD =+，解得VD =是该三棱锥的侧面积为13322S =⨯⨯=．故选B ．12．已知(0,)x ∀∈+∞，|lg |x x m +≥恒成立，则实数m 的取值范围为A ．(,lge]-∞B ．(,lge lg(lge)]-∞-C ．(1,1]-D ．(,1]-∞【答案】B11二、填空题13．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若999S =，717a =，则数列{}n a 的公差为 .【答案】3【解析】依题意，9559999911S a a =⇒=⇒=，而717a =，故数列{}n a 的公差为75375a a -=-． 14．已知()()=f x xg x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()2x g x a ＝－，则不等式1()3g x ≤－的解集是 .【答案】],3-∞（【解析】由()()=f x xg x 是定义在R 上的偶函数得()=y g x 为奇函数，当=0x 时，()002=0g a ＝－，所以=1a ，则令()21=3x g x ＝－得=2x ，所以()2=3g ，所以1()3g x ≤－等价于()1()2g x g ≤－，又当0x ≥时，()21xg x ＝－为增函数，所以当x ∈R 时，()y g x =为增函数，所以12x ≤－，解得3x ≤，所以不等式的解集为],3-∞（. 15．已知实数,x y 满足约束条件2,1,10,x y y x x +≥⎧⎪≤+⎨⎪-≤⎩则32x y x y ++的取值范围为 . 【答案】4[,2]3【解析】依题意，136353532222y y x y x x y y y x y x x x +⋅+⋅-+===-++++.作出约束条件所表示的平面区域如下图阴影部分所示（含边界）.12y x 表示平面区域内的点(,)x y 与定点(0,0)连线的斜率，观察可知，13y x ≤≤，则325y x≤+≤，所以55132y x ≤≤+，所以453232y x≤-≤+，故32x y x y ++的取值范围为4[,2]3. 16．已知第一象限内的点M 与第四象限内的点N 在焦点为F 的抛物线2:2(0)C y px p =>上，若,,M F N 三点共线，且2+3tan 0OMN S MON ∠=△（O 为坐标原点），则抛物线C 的方程为_______________.【答案】24y x =你用了几分钟？有哪些问题？13。

专题04 估算法(解析版)-高考数学选择、填空题(新高考专用)

专题04 估算法方法探究估算法一般包括范围估算，极端值估算和推理估算，是一种快速解决数学问题的方法，也是一种高效率得出正确结论的捷径.对于高考数学某些问题，当我们没有合适的解题思路或正面解析比较麻烦，特别又是针对选择题时，不必进行准确的计算，我们可以通过适当地放大或缩小部分数据估算出答案的大概范围或者近似值，也可以通过对其数值特点和取值界限作出适当的估计，便能作出正确的判断，这就是估算法．当然，这有时也适合用在填空题中，比如比较大小时.估算法往往可以减少运算量，但是加强了思维的层次，所以我们要学会灵活运用.而对于选择题，实在没思路时，又不需要解题过程，我们用这种方法还是能很大程度上提高我们的得分率的，比如，求某个图形的面积或体积，当选项差距比较大时，我们只需通过计算一部分比较好计算或自己熟练掌握的，就可以通过比较各选项得出正确结论.经典示例【例1】（范围估算）已知1335a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，1243b -⎛⎫=⎪⎝⎭，3ln5c =，则这三个数从大到小的顺序是______．【答案】a b c >> 【解析】()110323343=1,0,1,ln 05535a b c --⎛⎫⎛⎫⎛⎫=>=∈=< ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则这三个数从大到小的顺序是a b c >>，故答案为a b c >>.【方法点睛】本题主要考查对数函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题，属于难题.解答比较大小问题时，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间()()(),0,0,1,1,-∞+∞）；二是利用函数的单调性直接解答.数值比较多的比较大小问题也可以两种方法综合应用.【备考警示】本题属于高考的常考题型，而这种用估算范围的方法进行比较，也是我们常用的快捷方法，需要大家熟练掌握.【例2】（极端值估算）函数()21010x xf x x --=的图象大致为A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】易知f （x ）的定义域为(,0)(0,)-∞+∞，且f （﹣x ）=21010x xx --=﹣f （x ），∴f （x ）是奇函数，图象关于原点对称，排除A ；又当x ＞0时，10x ＞1＞10-x ，∴f （x ）＞0，排除D ，当x →+∞时，f （x ）→+∞，排除C.故选B ．【名师点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；（2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）从函数的特征点，排除不合要求的图象.【备考警示】当函数在某一点处没有定义或趋于无限时，可估算一下函数值的范围，从而得出函数图象的大致范围，此类问题属于常见题型，需要熟练掌握.【例3】（数值估算）某学校为了解传统教学和教改实验的课堂教学情况，选取20．人平均分成同样水平的两组（甲组采用教改实验教学，乙组采用传统教学），一学期以后根据他们的期末成绩绘制茎叶图，如图所示，则A ．x x >甲乙，22s s >甲乙B ．x x >甲乙，22s s <甲乙C ．x x <甲乙，22s s >甲乙D ．x x <甲乙，22s s <甲乙【答案】B【解析】观察茎叶图中的数据知，甲组数据主要集中在125~144之间，且成单峰分布，比较集中些；乙组数据主要分布在113~142之间，相对分散些；由此知平均数x x >乙甲，方差22s s <甲乙．故选：B ．【备考警示】观察茎叶图中的数据，根据甲、乙两组数据的分布特征可以估算它们的平均数和方差的大小．【例4】（推理估算）已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，△ABC 是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且SC =2.则此棱锥的体积是A BC D 【答案】A【解析】方法一：易得△ABC 的面积为4，而三棱锥的高一定小于球的直径2，所以123V <=B ，C ，D ，故选A.方法二：易得△ABC O 的半径R =1，所以点O 到平面ABC 的距离为为球O 的直径，可得点S 到平面ABC ，故此棱锥的体积【备考警示】方法一明显要比方法二简单快捷的多.熟练掌握此类方法也是很有必要的.拓展变式1．已知0.30.31.20.3, 1.2,log 0.3a b c ===，则,,a b c 的大小关系为A ．c a b <， 1.2log 0.30c =<，所以c a b <<，故选A ．【名师点睛】该题考查的是有关指数幂和对数值的比较大小的问题，在解题的过程中，注意应用指数函数和对数函数的单调性，确定其对应值的范围，借助于中介值来完成任务.2．如图，把周长为1的圆的圆心C 放在y 轴上，点()0,1A 在圆上，一动点M 从A 开始逆时针绕圆运动一周，记弧AM x =，直线AM 与x 轴交于点(),0N t ，则函数()t f x =的图象大致为A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】当x 从102→时,t 从0-∞→,并且单调递增;当x 从112→时,t 从0→+∞,并且单调递增,所以排除A,B,C 选项,故选D ．3．如图，在多面体ABCDFE 中，已知面ABCD 是边长为3的正方形，EF ∥AB ，EF =23，EF 与面ABCD 的距离为2，则该多面体的体积为A ．29 B ．5 C ．6D ．215 【答案】D【解析】依题意可计算11332633E ABCD ABCD V S h -=⋅=⨯⨯⨯=四边形，而E ABCD ABCDFE V V ->多面体＝6，观察各选项可知选D.【名师点睛】本题当然也可以通过分割或补形的方法转化成常规几何体进行计算可得，但远不如上述方法来的简单.终极押题一、选择题 1．()()444i ii -+=（）A ．815i -B ．15iC ．815i +D ．15i -【答案】A 【分析】由41i =，结合复数代数形式的乘法运算，即可化简复数. 【详解】()()()()444144815ii i i i i -+=-+=-.故选：A ．2．已知A ，B 都是R 的子集，且A B ⊆，则()R BA =（）A ．AB ．BC ．∅D ．R【答案】D 【分析】利用Venn 图画出集合A 、B 、R 之间的关系，再得出结论. 【详解】Venn 图如图所示，易知R B A R ⋃=（）．故选：D ．3．已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，且22224810640a a d a a ++=+，则该数列{}n a 的前13项的和为（）A ．652B ．65C ．130D ．150【答案】A 【分析】利用等差数列的通项与求和公式即可求得结果. 【详解】∵22224681040a a d a a ++=+，∴()()()()2222559940a d a d d a d a d -+++=-++，即()()()22959595959520,420,5a a d a a a a d a a d a a -=+-=+=+=，∴()()121311359131365222a a a a a a a +++=+=+=，故选：A4．若函数()sin()2cos f x x x ϕ=++，则常数ϕ的一个可能取值为（）A ．6π-B ．3π-C ．3π D ．6π 【答案】D 【分析】利用两角和的正弦公式和辅助角公式，将函数转化为())f x x α=+，再根据函数()f x =.【详解】()sin()2cos f x x x ϕ=++sin cos cos sin 2cos x x x ϕϕ=++()sin cos sin 2cos x x ϕϕ=++)x α=+，因为函数()sin()2cos f x x x ϕ=++，且x ∈R=化简得1sin 2ϕ=，故选：D.5．刘徽(约公元225年-295年)，魏晋时期伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基人之一.他在割圆术中提出的“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”，这可视为中国古代极限观念的佳作.割圆术的核心思想是将一个圆的内接正n 边形等分成n 个等腰三角形(如图所示)，当n 变得很大时，这n 个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积.运用割圆术的思想，估计sin 4︒的值为（）A．0.0524B．0.0628C．0.0785D．0.0698【答案】D【分析】首先将一个单位圆平均分成90个扇形，则每个扇形的圆心角度数均为4︒，再根据90个扇形对应的等腰三角形的面积和近似于单位圆的面积，即可得到答案.【详解】将一个单位圆平均分成90个扇形，则每个扇形的圆心角度数均为4︒，因为这90个扇形对应的等腰三角形的面积和近似于单位圆的面积，所以19011sin445sin4π2⨯⨯⨯⨯︒=︒≈，所以πsin40.069845︒≈≈，故选：D.6．函数的图象大致为（）A．B．C ．D ．【答案】B 【分析】判断函数的奇偶性，再判断函数值的正负，从而排除错误选项，得正确选项．【详解】因为()sin x xx xy f x e e--==+ 所以()()sin sin x xx x x x x xf x e e e e------+-==++ 得()()f x f x =--，所以sin x xx xy e e--=+为奇函数排除C;在[0,)+∞，设()sin g x x x =-，()1cos 0g x '=-≥，()g x 单调递增，因此()(0)0g x g ≥=，故sin 0x xx xy e e--=≥+在[0,)+∞上恒成立，排除AD 故选：B. 【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.7．过正方体1111ABCD A B C D -顶点A 作平面α，使//α平面11A B CD ，11A D 和11D C 的中点分别为E 和F ，则直线EF 与平面α所成角的正弦值为（）A ．12B．2C．3D．3【答案】A 【分析】根据直线平行及平面平行，问题转化为求11A C 与平面11A B CD 所成的角，根据线面角定义求解即可.【详解】连接111,AC B C ，取1B C 中点G ，连接11,A G C G ，如图，//α平面11A B CD ，11//EF A C ,∴直线EF 与平面α所成角即为11A C 与平面11A B CD 所成的角，1111,,C G B C CD C G B CCD C ⊥⊥=,1C G ∴⊥平面11A B CD ，11C A G ∴∠即为11A C 与平面11A B CD 所成的角，设正方体棱长为2，111111sin 2C G C AG AC ∴∠===, 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题求解，利用线线平行，线面平行，将直线EF 与平面α所成角转化为11A C 与平面11A B CD 所成的角是解题的关键，属于中档题.8．设12,F F 分别为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左､右焦点，圆1F 与双曲线的渐近线相切，过2F 与圆1F 相切的直线与双曲线的一条渐近线垂直，则双曲线的两条渐近线所成的锐角α的正切值为（）A ．815BC ．43D ．1【答案】C 【分析】采用数形结合，根据1cos AOF ∠=2cos COF ∠，可得2ba=，然后根据到角公式简单计算可得结果. 【详解】根据题意作出图形，如图一条渐近线l 的方程为by x a=-，即0bx ay += 点()1,0F c -到l的距离为1AF b ==所以OA a === 由题知：11cos OA aAOF OF c∠== 又2BF 与圆1F 相切，且2BF l ⊥，所以可知C 为2BF 的中点故2bOC =，则22cos 2OC b COF OF c ∠== 又1cos AOF ∠=2cos COF ∠，所以2a bc c= 所以2(2)42,tan 12(2)3b a α--===+⨯-，故选：C. 二、多选题9．下列命题中，为真命题的是（） A ．x R ∀∈，120x -> B ．x R ∃∈，使212x x +<C ．0xy ∀>，有x y +≥D ．x ∃、y R ∈，使()sin sin sin x y x y +=+【答案】AD 【分析】利用指数函数的值域可判断A 选项的正误；利用二次函数的值域可判断B 选项的正误；取0x <、0y <可判断C 选项的正误；取0x y ==可判断D 选项的正误. 【详解】对于A 选项，x R ∀∈，120x ->，A 选项中的命题正确；对于B 选项，()221210x x x +-=-≥，则212x x +≥，B 选项错误；对于C 选项，当0x <、0y <时，0x y +<<C 选项错误；对于D 选项，取0x y ==，则()sin sin00sin0sin0sin sin x y x y +===+=+，D 选项正确. 故选：AD.10．已知等比数列{}n a 的公比为q ，且51a =，则下列选项正确的是（） A ．372a a +≥ B ．462a a +≥ C ．76210a a -+≥ D ．34210a a --≥【答案】AC 【分析】由等比数列的通项公式可得321a q =，41a q=，6a q =，27a q =，再代入四个选项，结合基本不等式和一元二次不等式的性质得到答案. 【详解】因为等比数列{}n a 的公比为q ，且51a = 所以321a q =，41a q=，6a q =，27a q =，因为237212a a q q+=+≥，故A 正确；因为461a a q q+=+，当0q <时式子为负数，故B 错误；因为()2276212110a a q q q -+=-+=-≥，故C 正确；因为234212121112a a q q q ⎛⎫--=--=-- ⎪⎝⎭，存在q 使得34210a a --<，故D 错误.故选：AC.11．袋子中有2个黑球，1个白球，现从袋子中有放回地随机取球4次，取到白球记0分，黑球记1分，记4次取球的总分数为X ，则（） A ．2~4,3X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．8(2)81P X ==C ．X 的期望8()3E X = D ．X 的方差8()9D X =【答案】ACD 【分析】分别计算概率，计算期望与方差. 【详解】从袋子中有放回地随机取球4次，则每次取球互不影响，并且每次取到的黑球概率相等，又取到黑球记1分，取4次球的总分数，即为取到黑球的个数，所以随机变量X 服从二项分布2~4,3X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故A 正确；2X =，记其概率为22242124(2)3381P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 错误；因为2~4,3X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以X 的期望28()433E X =⨯=，故C 正确；因为2~4,3X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以X 的方差218()4339D X =⨯⨯=，故D 正确．故选：ACD ．12．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线()220y px p =>的焦点为F ，准线为l ，l 与x 轴交于点C ，若点A 在l 上，点B 为抛物线上第一象限内一点，直线BF 与抛物线交于另一点D ，ABF 是正三角形，且四边形ABFC ） A ．l 的方程为32x =-B ．2DF =C ．CD BD ⊥ D ．ODF △【答案】ABD 【分析】根据题干条件及抛物线定义，可求得p 的值，即可求得抛物线方程及准线方程，联立直线BD 的方程与抛物线方程，即可求得B 、D 坐标，即可求得DF ，利用向量法可检验CD BD ⊥是否垂直，计算化简，即可得答案. 【详解】如图，因为ABF 为正三角形，所以BA BF =，则由抛物线的定义可知BA l ，又60BAF ∠=︒，所以30CAF ∠=︒．因为FC p =，所以AC =，2AF AB p ==，又四边形ABFC ()122p p +=，所以3p =，所以3,02F ⎛⎫⎪⎝⎭，l 的方程为32x =-，故A 正确．易知直线BD 的方程为32y x ⎫=-⎪⎭，代入抛物线的方程26y x =，得242090x x -+=，解得12x =或92x =，则92B ⎛ ⎝，1,2D ⎛ ⎝，所以13222DF =+=，故B 正确．又3,02C ⎛⎫-⎪⎝⎭，所以(2,CD =，又(4,BD =--，所以40BD CD ⋅=≠，所以BD ，CD 不垂直，故C 错误．ODF △的面积113=222D S OF y ⋅⋅=⨯=D 正确. 故答案为：ABD . 【点睛】解题的关键是根据正三角形及四边形ABFC 的面积，求得p 值，再联立方程，求得B 、D 坐标，进行分析和判断，在已知坐标情况下，证明垂直时可用向量法，可简化计算和分析，属中档题. 三、填空题13．已知点()()()()1,1,1,2,2,1,3,4A B C D ---，则向量AB 与CD 的夹角余弦值为___________.【分析】由点()()()()1,1,1,2,2,1,3,4A B C D ---，分别求得向量AB 与CD 的坐标及模，代入夹角公式求解.因为点()()()()1,1,1,2,2,1,3,4A B C D ---，所以向量()2,1,5AB AB ==,()5,5,52CD CD ==所以向量AB 与CD 的夹角余弦值为:cos ,5AB CD AB CD AB CD⋅===⋅14．若函数()f x 称为“准奇函数”，则必存在常数,a b ，使得对定义域内的任意x 值，均有()()22f x f a x b +-=，请写出一个2,2a b ==的“准奇函数”(填写解析式)：___________.【答案】()232x f x x -=-(答案不唯一) 【分析】所有关于点()2,2中心对称的函数均满足题意【详解】解析：由()()2 2f x f a x b +-=，知“准奇函数”()f x 的图象关于点(),a b 对称，若2,2a b ==，即()f x 图像关于点()2,2对称，如1y x=向右平移两个单位，向上平移两个单位，得到()123222x f x x x -=+=--，故其图象就关于点()2,2对称. 故答案为：()232x f x x -=-(答案不唯一). 15．十二生肖(鼠､牛､虎､免､龙､蛇､马､羊､猴､鸡､狗､猪)，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应着一种生肖.现有十二生肖的吉祥物各1个，从中选出含牛吉样物在内的5个吉祥物分给甲､乙､丙3个人，每人至少分得1个吉祥物，则不同的分法种数为___________. 【答案】49500 【分析】分三步进行.第一步：从12个吉样物中选出含牛吉祥物在内的5个吉祥物，第二步：将5个吉样物分成三组，按3，1，1和2，2，1分组，第三步：将分好的三组分配给甲､乙､丙3人，最后两页分步计数原【详解】根据题意，分三步进行.第一步：从12个吉样物中选出含牛吉祥物在内的5个吉祥物，有411330C =种选法；第二步：将5个吉样物分成三组，若分为3，1，1的三组，有3510C =种外组方法，若分为2，2，1的三组，有22532215C C A =种分组方法，则共有101525+=种分组方法；第三步：将分好的三组分配给甲､乙､丙3人，有336A =种情况，则共有33025649500⨯⨯=种分法. 【点睛】方法点睛：分组分配问题：（1）对于部分平均分组问题要注意作除法，如本题中将5个吉祥物分为2，2，1的三组；（2）对于不定向分配问题，一般先分组后分配，如本题分好三组后再分配给甲､乙､丙3个人，故计算结果时要注意乘33A .16．如图，在梯形ABCD 中，AB BC ⊥，//AD BC ，1AB =，1BC =，2AD =.取AD 的中点E ，将ABE △沿BE 折起，使二面角A BE C --为120︒，则四棱锥A BCDE -的体积为___________.【答案】12【分析】取BE 的中点H ，连接AH ，CH ，可得AHC ∠为二面角A BE C --的平面角，过点A 作CH 的垂线，交CH 的延长线于点K ，利用锐角三角函数求出AK ，最后根据13A BCDE BCDEV AK S -=⋅⋅计算可【详解】解：梯形ABCD 的面积(12)1322S +⨯==，111122ABE S =⨯⨯=△，所以31122BCDES =-=，如图，取BE 的中点H ，连接AH ，CH ，∴AH BE ⊥，CH BE ⊥，∴AHC ∠为二面角A BE C --的平面角，∴120AHC ∠=︒，过点A 作CH 的垂线，交CH 的延长线于点K ，则⊥AK面BCDE ，因为222BE AB AE =+=，所以22AH =，所以236sin 602AK AH =⋅︒=⨯=所以1166133A BCDE BCDEV AK S -=⋅⋅=⨯⨯=. 故答案为：612.你用了几分钟？有哪些问题？。

巧用估算速解高考题

巧用估算速解高考题【摘要】利用物理知识对一些选择题进行估算，以快速获得答案，提高解题效率，同时也获得活用物理知识的思想方法。

【关键词】物理估算题特点估算方法1945年8月7日，美国在日本广岛投下了第一颗原子弹。

第二天，日本原子科学家西名吉屋来到广岛，看到在距离爆炸地点200m的半径内，所有房顶上的瓦都被烧融了0.1mm，这一事实使他估算出原子弹爆炸时当地的温度。

由于爆炸时炫目的光线使一切东西褪色而且烧坏，在木板墙上留下了人体和各种物件的影子，根据这一点他又估算出炸弹爆炸时的高度，误差竟然小于3%。

可见，估算不仅仅是一种近似计算方法，也是解决实际问题、进行科学研究的重要手段，是培养能力提高素质的重要途径。

在近几年高考试题中物理估算题频频出现。

由于它题型新颖、条件隐蔽、应用性强，往往使考生束手无策，失分率很高。

并且高考中的估算题都是6分的选择题，要求考生在两三分钟内完成，因此需要掌握一定的方法和技巧。

如果不懂得这点，而按计算题的办法列式计算，运算过程繁杂，将花费许多时间，影响其他题的解答。

下面就物理估算题的特点和解题技巧，谈谈笔者的管见。

一、估算题的特点估算题尽管题目多种多样，但都有以下几个特点。

1．对所求问题的答案通常不要求精确（只取1位或2位有效数字）。

2．估算题往往已知条件“不全”，需要学生自己寻找突破口，挖掘隐含条件，利用物理量的典型值及物理常数去估算，或者根据生活经验得出估算结果。

3．估算题很贴近生活，联系实际，脱离课堂教学的解题模式，无公式可套，很难建立解决问题的思路。

二、估算题的解题技巧根据估算题的特点，可以总结出以下5条解题要领。

1．建立合理的理想化模型。

主要是突出主体因素，忽略次要因素，将研究对象设定为一个理想化的模型。

这是解答估算题的关键。

2．挖掘隐含的题设条件。

有些估算题往往文句简洁，显性已知条件少或已知条件比较隐蔽，乍一看题，好像缺条件。

需要经过审题、思考，挖掘出隐蔽的已知条件，将生活中的语言转化为物理条件。

巧用估算速解高考题

巧用估算速解高考题作者：谢树强来源：《广西教育·B版》2014年第06期【摘要】利用物理知识对一些选择题进行估算，以快速获得答案，提高解题效率，同时也获得活用物理知识的思想方法。

【关键词】物理估算题特点估算方法【中图分类号】G【文献标识码】A【文章编号】0450-9889（2014）06B-0107-021945年8月7日，美国在日本广岛投下了第一颗原子弹。

第二天，日本原子科学家西名吉屋来到广岛，看到在距离爆炸地点200m的半径内，所有房顶上的瓦都被烧融了0.1mm，这一事实使他估算出原子弹爆炸时当地的温度。

由于爆炸时炫目的光线使一切东西褪色而且烧坏，在木板墙上留下了人体和各种物件的影子，根据这一点他又估算出炸弹爆炸时的高度，误差竟然小于3%。

可见，估算不仅仅是一种近似计算方法，也是解决实际问题、进行科学研究的重要手段，是培养能力提高素质的重要途径。

在近几年高考试题中物理估算题频频出现。

由于它题型新颖、条件隐蔽、应用性强，往往使考生束手无策，失分率很高。

并且高考中的估算题都是6分的选择题，要求考生在两三分钟内完成，因此需要掌握一定的方法和技巧。

如果不懂得这点，而按计算题的办法列式计算，运算过程繁杂，将花费许多时间，影响其他题的解答。

下面就物理估算题的特点和解题技巧，谈谈笔者的管见。

一、估算题的特点估算题尽管题目多种多样，但都有以下几个特点。

1．对所求问题的答案通常不要求精确（只取1位或2位有效数字）。

2．估算题往往已知条件“不全”，需要学生自己寻找突破口，挖掘隐含条件，利用物理量的典型值及物理常数去估算，或者根据生活经验得出估算结果。

3．估算题很贴近生活，联系实际，脱离课堂教学的解题模式，无公式可套，很难建立解决问题的思路。

二、估算题的解题技巧根据估算题的特点，可以总结出以下5条解题要领。

1．建立合理的理想化模型。

主要是突出主体因素，忽略次要因素，将研究对象设定为一个理想化的模型。

这是解答估算题的关键。

解题-例谈估算法在高考试题中的运用-黄建

例谈估算法在高考试题中的应用福安一中曾波普通高中《数学课程标准》有这样一句话“熟练掌握一些基本技能，对学好数学是非常重要的．在高中数学课程教学中，要重视运算、作图、推理、处理数据以及科学计算器的使用等基本技能训练．但应注意避免过于繁杂的技巧性过强的运算．” 估算和精算是两种基本运算思想，但它们在实际教学中受到的待遇是不一样的.很多老师很重视精算的教育，因为精算体现了数学的严谨性.而实际上估算作为一项基本技能，使用它可以避免过于繁杂和技巧性强的运算．具体到笔者任教地区，近些年来由于初中课改要求，中考允许使用计算器，所以很多初中教师默许甚至鼓励学生在日常学习时面对计算尽量使用计算器.有很大部分学生由于初中以来做题都坚持一“机”在手，升入高中后，面对限制计算器使用的日子无可是从，直接影响是解题速度变慢，间接影响的到学习数学的兴趣，进而影响到本地区高考成绩.基于此，在教学中有意识的渗透估算思想就显得更加重要.什么是估算呢？估算带有相当的直觉和猜想成分，但又不同于一般意义上的直觉和猜想．估算，实质上是一种快速的近似计算.它的基本特点是对数或式作适当扩大或缩小，从而对运算结果确定出一个范围，或作出一个估计.更本质地看，估算应该是一种数学意识，是在蜂拥而来的众多信息面前，迅速捕捉一批有用或关键信息的那种数学素质，它往往可以跳过繁冗的逻辑推理过程，直接给出结果，或将解题的关键“一眼看穿”.在中学阶段，估算主要用于解答选择题、填空题．但在解答题等需要严谨书写过程的大题的思考过程中，估算的意识也为学生快速寻找到解题的突破口提供了相当重要的作用.估算意识应用得好，估算能力较强的学生，对解答题等的分析具有一眼洞穿的能力．常见的估算法主要有：一、特值估算；二、近似值估算；三、极端估算四、辅助解题估算．至于一些参考文献提到的猜想和直觉估算或者用表象估算解题方法等估算方法需要学生有很强的数学素质，故本文不作为基本的估算方法介绍.下面结合一些高考题谈谈常见估算法的运用.一、特例估算特例估算广泛应用于选择题中.特例估算要求根据题意和备选答案，找准备选答案之间的区别和联系后，有目的地在备选答案中选取一些特殊值、特殊图形、特殊函数、特殊数列或特殊点等进行检验的方法．例1 （05天津）设集合{}419,,0,3x A x x x R B x x R A B x ⎧⎫=-≥∈=≥∈=⎨⎬+⎩⎭ ,则( ) (A) (]3,2-- (B) (]53,20,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦(C) (]5,3,2⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭ (D) ()5,3,2⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭【分析】本题可以直接通过解不等式得到答案，这也是很多教师讲评时使用的方法.但这道题至少应该提到通过特殊化方法和估算求解的方法．首先由集合B 可知，3x ≠-，因而排除C 选项，再由2x B =-∉，又可排除A 、B 选项，于是选D. 例2 (05全国)如果128,,...a a a 为各项都大于零的等差数列，公差0d ≠，则( )．A.1845a a a a >B.1845a a a a <C.1845a a a a +>+D.1845a a a a =【分析】本题常规解法是令817a a d =+，413a a d =+，514a a d =+，然后依照选择项计算.实际上更应该注意特例估算的方法：选取一个符合题意的数列如{}:,n n a a n n N +=∈，此时显然有1845a a a a <且其余选项均是错误的.故选B.二、近似值估算近似估算也是常见的估算方法.它是通过对数学问题的洞察，采用行之有效的方法，对问题中的数据进行适当的放大或缩小，实施必要的近似处理的方法得到一个近似值或者近似值所在的范围．近似值或近似范围的精确度与所采用的放大缩小方法紧密相关.例3 （03上海）方程3lg 18x x +=的根x ≈____.(结果精确到0.1)【分析】若本题单纯采用数形结合去估算的话，一般只能得到一个大致范围，而不容易得到一个近似精确值.实际上我们令3()lg 18f x x x =+-，易知当0x >时()f x 为增函数.由于(2.5)0f <，(2.7)0f >，所以方程3lg 18x x +=的根()2.5,2.7x ∈，故x ≈2.6例4（04湖南）农民收入由工资性收入和其他收入两部分构成。

方法17 估算求解法-高考物理选择题技法

方法17 估算求解法，简化运算物理估算题，一般是指依据一定的物理概念和规律，运用物理方法和近似计算方法，对所求物理量的数量级或物理量的取值范围，进行大致的、合理的推算。

物理估算是一种重要的方法，有的物理问题，在符合精确度的前提下可以用近似的方法便捷处理；有的物理问题，由于本身条件的特殊性，不需要也不可能进行精确计算。

在这些情况下，估算就很实用。

其特点是在“理”不在“数”，它要求考生在分析和解决问题时，要善于抓住问题的本质特征和影响结果的主要因素，忽略次要因素，从而使问题简捷地解决，迅速获得合理的结果。

(1)估算时经常用到的近似数学关系： ①角度θ很小时，弦长近似等于弧长。

②θ很小时，sin θ≈θ，tan θ≈θ，cos θ≈1。

③a ≫b 时，a ＋b ≈a ，1a ＋1b ≈1b。

(2)估算时经常用到的一些物理常识数据：解题所需数据，通常可从日常生活、生产实际、熟知的基本常数、常用关系等方面获取，如成人体重约600 N ，汽车速度约10～20 m/s ，重力加速度约为10 m/s 2……（3）分式上下同放同缩、乘积一放一缩例题1：我国新一代高速列车牵引功率达9 000 kW,运行的平均速度约为300 km/h,则新一代高速列车沿全长约1 300 km 的京沪线从北京到上海,在动力上耗电约为( )A.3.9×104 kW·hB.2.7×106 kW·hC.2.7×104 kW·hD.3.9×106 kW·h例题2：(2018高考题)2018年2月，我国500m 口径射电望远镜（天眼）发现毫秒脉冲星“J0318+0253”，其自转周期T=5.19ms 。

假设星体为质量均匀分布的球体，已知万有引力常量为6.67×10﹣11N•m 2/kg 2．以周期T 稳定自转的星体的密度最小值约为（）A ．5×104kg/m 3B ．5×1012kg/m 3C ．5×1015kg/m 3D ．5×1018kg/m 3例题3：(2018高考题)用波长为300nm 的光照射锌板，电子逸出锌板表面的最大初动能为1.28×10﹣19J ，已知普朗克常量为6.63×10﹣34J•s，真空中的光速为3.00×108m•s ﹣1，能使锌产生光电效应的单色光的最低频率约为（）A ．1×1014Hz B ．8×1014Hz C ．2×1015Hz D ．8×1015Hz例题4：(2019高考题)太阳内部核反应的主要模式之一是质子-质子循坏，循环的结果可表示为4H 11→He+224e+210v ，已知H 11和He 24的质量分别为m P=1.0078u 和m α=4.0026u ，1u=931MeV/c2，c 为光速。

【小初高学习】专题04 估算法-2019年高考数学(文)30分钟拿下选择、填空题

专题04 估算法方法探究估算法一般包括范围估算，极端值估算和推理估算，是一种快速解决数学问题的方法，也是一种高效率得出正确结论的捷径.对于高考数学某些问题，当我们没有合适的解题思路或正面解析比较麻烦，特别又是针对选择题时，不必进行准确的计算，我们可以通过适当地放大或缩小部分数据估算出答案的大概范围或者近似值，也可以通过对其数值特点和取值界限作出适当的估计，便能作出正确的判断，这就是估算法．当然，这有时也适合用在填空题中，比如比较大小时.估算法往往可以减少运算量，但是加强了思维的层次，所以我们要学会灵活运用.而对于选择题，实在没思路时，又不需要解题过程，我们用这种方法还是能很大程度上提高我们的得分率的，比如，求某个图形的面积或体积，当选项差距比较大时，我们只需通过计算一部分比较好计算或自己熟练掌握的，就可以通过比较各选项得出正确结论. 经典示例【例1】（范围估算）已知1335a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，1243b -⎛⎫=⎪⎝⎭，3ln5c =，则这三个数从大到小的顺序是______．【答案】a b c >>【方法点睛】本题主要考查对数函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题，属于难题.解答比较大小问题时，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间()()(),0,0,1,1,-∞+∞）；二是利用函数的单调性直接解答.数值比较多的比较大小问题也可以两种方法综合应用.【备考警示】本题属于高考的常考题型，而这种用估算范围的方法进行比较，也是我们常用的快捷方法，需要大家熟练掌握.【例2】（极端值估算）函数()21010x x f x x--=的图象大致为A．B．C．D．【答案】B【名师点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；（2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）从函数的特征点，排除不合要求的图象.【备考警示】当函数在某一点处没有定义或趋于无限时，可估算一下函数值的范围，从而得出函数图象的大致范围，此类问题属于常见题型，需要熟练掌握.【例3】（数值估算）已知实数,x y满足条件2xyy x≤⎧⎪≥⎨⎪-≤⎩，则目标函数z x y=+从最小值连续变化到1时，所有满足条件的点(),x y构成的平面区域的面积为A．74B．94C．92D．1【答案】A【解析】画出002x y y x ≤⎧⎪≥⎨⎪-≤⎩表示的可行域，如图，平移直线y x z =-+，从经过点A ，到与直线BC 重合，目标函数z x y =+从最小值连续变化到1，满足条件的点(),x y 构成的平面区域的面积为四边形ABCO.方法一：直接计算出面积为17244AOD BCD ABCO S S S =-=-=△△四边形，故选A ．方法二：四边形ABCO 的面积是△OAD 去掉一个小直角三角形，阴影部分面积比1大，比S △OAD ＝12×2×2＝2小，故选C 项．【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.【备考警示】特别是像这种求面积需要求几部分的和的时候，如果某一部分不好求或求不出，可以大致估算一下选出正确答案.【例4】（推理估算）已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，△ABC 是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且SC =2.则此棱锥的体积是A ．26 B ．36 C ．23D ．22【答案】A【解析】方法一：易得△ABC 的面积为34，而三棱锥的高一定小于球的直径2，所以1332346V <⨯⨯=，观察选项可排除B ，C ，D ，故选A.【备考警示】方法一明显要比方法二简单快捷的多.熟练掌握此类方法也是很有必要的. 拓展变式1．已知0.30.3 1.20.3, 1.2,log 0.3a b c ===，则,,a b c 的大小关系为 A ．c a b <， 1.2log 0.30c =<，所以c a b <<，故选A ．【名师点睛】该题考查的是有关指数幂和对数值的比较大小的问题，在解题的过程中，注意应用指数函数和对数函数的单调性，确定其对应值的范围，借助于中介值来完成任务.2．如图，把周长为1的圆的圆心C 放在y 轴上，点()0,1A 在圆上，一动点M 从A 开始逆时针绕圆运动一周，记弧AM x =，直线AM 与x 轴交于点(),0N t ，则函数()t f x =的图象大致为A ．B ．C ．D ．【答案】D3．如图，在多面体ABCDFE 中，已知面ABCD 是边长为3的正方形，EF ∥AB ，EF =23，EF 与面ABCD 的距离为2，则该多面体的体积为A ．29 B ．5 C ．6D ．215 【答案】D【解析】依题意可计算11332633E ABCD ABCD V S h -=⋅=⨯⨯⨯=四边形，而E A B C D A B C DF E V V ->多面体＝6，观察各选项可知选D.【名师点睛】本题当然也可以通过分割或补形的方法转化成常规几何体进行计算可得，但远不如上述方法来的简单. 终极押题一、选择题1．设集合2{|ln(6)}A x y x x ==+-, {2,0,4}B =,则A B =A ．{2,0,4}B ．{2,0}C ．{2,0,1}D ．{2,1}【答案】B【解析】由题意，知260x x +->即(2)(3)0x x +-<，解得23x -<<，所以{|23}A x x =-<<,又{2,0,4}B =,所以{2,0}A B =.故选B.2．已知复数z 满足10(1i)42i 1z +=--，则在复平面内复数z 对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限【答案】B3．在平面直角坐标系xOy 中，已知点(2,3),(3,5),(1,2)A B C -，则向量CA 与CB 的夹角的余弦值为 A ．1010B ．31010 C ．55D ．255【答案】B【解析】依题意，(3,1),(4,3)CA CB ==，故,CA CB 的夹角的余弦值为3413310cos ,10||||105CA CB CA CB CA CB ⋅⨯+⨯===⨯，故选B ．4．某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与19秒之间，将测试结果按如下方式分成六组：第一组，成绩大于等于13秒且小于14秒；第二组，成绩大于等于14秒且小于15秒；……；第六组，成绩大于等于18秒且小于等于19秒．下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．设成绩小于17秒的学生人数占全班总人数的百分比为x ，成绩大于等于15秒且小于17秒的学生人数为y ，则从频率分布直方图中可以分析出x 和y 分别为A ．0.9，45B ．0.9，35C ．0.1，35D ．0.1，45【答案】B5．在ABC △中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，若3sin 2sin A B =，43b c =，则cos B = A ．154B ．34C ．31516D ．1116【答案】D【解析】因为3sin 2sin A B =，所以由正弦定理得32a b =，又因为43b c =，所以643a b c ==，令2,3,4a m b m c m ===，所以由余弦定理得222416911cos 22416m m m B m m +-==⨯⨯，故选D. 6．执行下面的程序框图，输出的结果为A ．9B ．18C ．27D ．36【答案】C7．古代数学名著《张丘建算经》中有如下问题：“今有仓，东西袤一丈二尺，南北广七尺，南壁高九尺，北壁高八尺，问受粟几何？”该问题实际描述的是：有一粮仓的三视图如图所示（单位：尺），问能储存多少粟米？已知1斛米的体积约为62.1立方尺，估算粮仓可以储存的粟米约有（四舍五入取整数）A ．410斛B ．420斛C ．430斛D ．441斛【答案】D【解析】由三视图得，粮仓的形状是一个如图所示的放倒的直四棱柱，其体积为(714127289=⨯⨯+=V 立方尺），又44162.1714≈，所以粮仓可以储存的粟米约为441斛，故选D ．8．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过点2F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于B ，C 两点，若160BFC ∠=︒，则该双曲线的离心率为A ．2B ．5C ．3D ．2【答案】C9．已知函数()sin()f x x ωϕ=+(0, 0π2ωϕ><<)，12()()10f f x x ==,，若12min –||x x 12=，且3(3)2f =-，则ωϕ+= A ．5π3B ．4π3 C ．2π3D ．π3【答案】B【解析】设f (x )的最小正周期为T ，由f (x 1)=1，f (x 2)=0，|x 1–x 2|min =12，得12π2π422T T ω=⇒=⇒==,由f (3) =32-，得sin 3π()ϕ+=32-，即3sin 2ϕ=.又0π2ϕ<<，∴π3ϕ=，则ωϕ+=4π3，故选B ．10．某公园经常会在周末举办丰富多彩的娱乐活动，如“砸金蛋”（游玩者每次砸碎一颗金蛋，如果有奖品，则“中奖”）.某校甲、乙、丙、丁四位同学相约来到该公园，每人均获得砸一颗金蛋的机会.游戏开始前，甲、乙、丙、丁四位同学对游戏中奖结果进行了预测，预测结果如下：甲说：“我或乙能中奖”；乙说：“丁能中奖”；丙说：“我或乙能中奖”；丁说：“甲不能中奖”.游戏结束后，这四位同学中只有一位同学中奖，且只有一位同学的预测结果是正确的，则中奖的同学是 A ．甲 B ．乙 C ．丙D ．丁【答案】A11．已知正三棱锥的外接球的半径为1，若正三棱锥的高为32，则该正三棱锥的侧面积为 A ．253916B ．93916C ．823πD ．1323π【答案】B【解析】如图，V ABC -是符合题意的正三棱锥，H 为V 在底面内的射影，O 为球心，设底面边长为a ，则22333323BH BD a a ==⨯=，由222BO BH OH =+可得22331()(1)32a =+-，解得32a =，设AC 的中点为D ，由222VD VH DH =+可得22233()()24VD =+，解得394VD =，于是该三棱锥的侧面积为1339939322416S =⨯⨯⨯=．故选B ．12．已知(0,)x ∀∈+∞，|lg |x x m +≥恒成立，则实数m 的取值范围为A ．(,lge]-∞B ．(,lge lg(lge)]-∞-C ．(1,1]-D ．(,1]-∞【答案】B二、填空题13．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若999S =，717a =，则数列{}n a 的公差为 .【答案】3【解析】依题意，9559999911S a a =⇒=⇒=，而717a =，故数列{}n a 的公差为75375a a -=-． 14．已知()()=f x xg x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()2x g x a ＝－，则不等式1()3g x ≤－的解集是 .【答案】],3-∞（【解析】由()()=f x xg x 是定义在R 上的偶函数得()=y g x 为奇函数，当=0x 时，()002=0g a ＝－，所以=1a ，则令()21=3x g x ＝－得=2x ，所以()2=3g ，所以1()3g x ≤－等价于()1()2g x g ≤－，又当0x ≥时，()21xg x ＝－为增函数，所以当x ∈R 时，()y g x =为增函数，所以12x ≤－，解得3x ≤，所以不等式的解集为],3-∞（. 15．已知实数,x y 满足约束条件2,1,10,x y y x x +≥⎧⎪≤+⎨⎪-≤⎩则32x y x y ++的取值范围为 . 【答案】4[,2]3【解析】依题意，136353532222y y x y x x y y y x y x x x +⋅+⋅-+===-++++.作出约束条件所表示的平面区域如下图阴影部分所示（含边界）.y x 表示平面区域内的点(,)x y 与定点(0,0)连线的斜率，观察可知，13y x ≤≤，则325y x≤+≤，所以55132y x ≤≤+，所以453232y x≤-≤+，故32x y x y ++的取值范围为4[,2]3. 16．已知第一象限内的点M 与第四象限内的点N 在焦点为F 的抛物线2:2(0)C y px p =>上，若,,M F N 三点共线，且2+3tan 0OMN S MON ∠=△（O 为坐标原点），则抛物线C 的方程为_______________.【答案】24y x =你用了几分钟？有哪些问题？。

高考数学巧算估算法

数学巧算估算估算法的优点在于它的粗略、简捷、实用。

一、运用特殊例子进行估算.有些问题可以依题意取几个特殊值、特殊点、特殊位置、特殊关系、特殊图形、特殊函数进行估算. 问题1 (04,四川吉林云南贵州黑龙江)已知集合2{4}M x x =<,2{230}N x x x =--<,则集合M N = A,{2}x x <- B,{3}x x > C,{12}x x -<< D,{23}x x << 问题2(04,广东)如右图,定圆半径为a ,圆心为(,)b c ,则直线0ax by c ++=与直线10x y -+=的交点在A,第一象限 B,第二象限C,第三象限 D,第四象限问题3(04,天津)函数2sin(2),6y x π=-([0,])x π∈为增函数的区间是A,[0,]3πB,7[,]1212ππC,5[,]36ππD,5[,]6ππ问题4(04,山东山西河南河北安徽江西)已知正四面体ABCD 的表面积为S,其四个面的中心分别为E,F,G ,H.设四面体EFGH 的表面积为T,则T S等于A,19B,49C,14D,13问题5关于函数21()lg (0,)x f x x x R x+=≠∈有下列命题：+①函数()y f x =的图象关于y 轴对称： ②当时x>0，f(x)是增函数，当x<0时，f(x)是减函数； ③函数f(x)的最小值是lg2 ④当x>1时,f(x)没有反函数。

其中正确的命题的序号二运用数形结合进行估算有些问题可以用”以形辅数”或”以数辅形”的方法进行估算.问题6 (04,山东山西河南河北安徽江西)由动点P 向圆221x y +=引两条切线,PA PB ,APB ∠=060,则动点P 的轨迹方程为 .问题7(99,”希望杯”高二,改)方程lg sin x x =的根的个数是 A,1 B,2 C,3 D,4 三运用极限思想进行估算有些问题可以用极限思想,考察结果的趋向情况进行估算. 问题8(04,天津)不等式12x x-≥的解集为 A,[1,0)- B,[1,)-+∞ C,(,1]-∞-D,(,1](0,)-∞-+∞问题9 (03,新课程卷)设函数1221,0(),0x x f x x x -⎧-≤⎪=⎨⎪>⎩,若0()1f x >,则0x 的取值范围是A,(1,1)- B,(1,)-+∞ C,(,2)(0,)-∞-+∞ D,(,1)(1,)-∞-+∞四运用平衡原理进行估算我们有如下两个熟知的事实:(1) 设,x y R +∈, xy p =(定值),则当x y =时,x y +有最小值;(2) 设,x y R +∈,x y s +=(定值), 则当x y =时,xy 有最大值214s .我们把它们总结为如下平衡原理:设,x y R +∈,在轮换对称条件下, 轮换对称式(,)l x y 的最小值或最大值在平衡时(即x y =时)取到. 因上面两个事实可作多元推广, 故平衡原理也可作多元推广.问题10 (01,北京春)若实数,a b 满足2a b +=,则33a b+的最小值是（） A,18 B,6C, D, 问题11 (99,全国)若正数,a b 满足3ab a b =++,则ab 的取值范围是 .问题12若x>0，y>0，且y x +≤y x a +成立，则a 的最小值是（） A ． 22 B ． 2 C ． 2D ． 22问题13若a>b>c ，则使不等式cb ba -+-11≥ca n -成立的n 的最大值为______ ．在通性通法的大前提下,学会一点特技,是很有必要的.况且估算法是培养数学直觉的一种很好的途径, 培养创新能力,注意估算法的培养是有一定的意义的.。

方法04 估算法-选择、填空题方法练(理)

选择填空题专项练习4：估算法估算法一般包括范围估算，极端值估算和推理估算，是一种快速解决数学问题的方法，也是一种高效率得出正确结论的捷径.对于高考数学某些问题，当我们没有合适的解题思路或正面解析比较麻烦，特别又是针对选择题时，不必进行准确的计算，我们可以通过适当地放大或缩小部分数据估算出答案的大概范围或者近似值，也可以通过对其数值特点和取值界限作出适当的估计，便能作出正确的判断，这就是估算法．当然，这有时也适合用在填空题中，比如比较大小时.估算法往往可以减少运算量，但是加强了思维的层次，所以我们要学会灵活运用.而对于选择题，实在没思路时，又不需要解题过程，我们用这种方法还是能很大程度上提高我们的得分率的，比如，求某个图形的面积或体积，当选项差距比较大时，我们只需通过计算一部分比较好计算或自己熟练掌握的，就可以通过比较各选项得出正确结论. 一、选择题1．已知0.30.31.20.3, 1.2,log 0.3a b c ===，则,,a b c 的大小关系为A ．c a b <， 1.2log 0.30c =<，所以c a b <<，故选A ．2．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若999S =，717a =，则数列{}n a 的公差为 A ．1 B ．2 C ．3D ．4【答案】C【解析】依题意，9559999911S a a =⇒=⇒=，而717a =，故数列{}n a 的公差为75375a a -=-，故选C ．3．已知复数z 满足10(1i)42i 1z +=--，则在复平面内复数z 对应的点位于 A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【解析】由10(1i)42i 1z +=--可得1045i (2i 1)(1i)1i z =-=-+-++，在复平面内复数z 对应的点为(5,1)-，位于第二象限．故选B ．4．在平面直角坐标系xOy 中，已知点(2,3),(3,5),(1,2)A B C -，则向量CA 与CB 的夹角的余弦值为 A ．1010B ．31010 C ．55D ．255【答案】B【解析】依题意，(3,1),(4,3)CA CB ==，故,CA CB 的夹角的余弦值为310cos ,||||105CA CB CA CB CA CB ⋅===⨯，故选B ．5. 函数()21010x xf x x --=的图象大致为A ．B ．C ．D ．【答案】B6. 已知实数,x y 满足条件002x y y x ≤⎧⎪≥⎨⎪-≤⎩，则目标函数z x y =+从最小值连续变化到1时，所有满足条件的点(),x y 构成的平面区域的面积为A ．74 B ．94C ．92D ．1【答案】A【解析】四边形ABCO 的面积是△OAD 去掉一个小直角三角形，阴影部分面积比1大，比S △OAD ＝12×2×2＝2小，故选C 项．7. 已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，△ABC 是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且SC =2.则此棱锥的体积是 A ．26 B ．36 C ．23D ．22【答案】A【解析】易得△ABC 的面积为3，而三棱锥的高一定小于球的直径2，13323V <⨯⨯=,可排除BCD ，故选A8．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过点2F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于B ，C 两点，若160BFC ∠=︒，则该双曲线的离心率为 A ．2 B ．5 C 3D ．2【答案】C【解析】不妨设点B 在x 轴的上方，易得点B 的坐标为2(,)bc a，由160BFC ∠=︒可得23tan 3023b ac =︒=23230e e -=，结合1e >，解得3e =C ． 9．已知函数()sin()f x x ωϕ=+(0, 0π2ωϕ><<)，12()()10f f x x ==,，若12min –||x x 12=，且3(3)f =-，则ωϕ+= A ．5π3B ．4π3C ．2π3D ．π3【答案】B10．如图，在多面体ABCDFE 中，已知面ABCD 是边长为3的正方形，EF ∥AB ，EF =23，EF 与面ABCD 的距离为2，则该多面体的体积为A ．29 B ．5 C ．6D ．215 【答案】D【解析】依题意可计算11332633E ABCD ABCD V S h -=⋅=⨯⨯⨯=四边形，而E ABCD ABCDFE V V ->多面体＝6，观察各选项可知选D.11．已知(0,)x ∀∈+∞，|lg |x x m +≥恒成立，则实数m 的取值范围为A ．(,lg e]-∞B ．(,lg e lg(lg e)]-∞-C ．(1,1]-D ．(,1]-∞【答案】B【解析】当1x ≥时，|lg |x x m +≥可化为lg x x m +≥，则min (lg )1m x x ≤+=；当01x <<时，|lg |x x m +≥可化为lg x x m -+≥，即lg 0x x m -+≤恒成立，令()lg f x x x m =-+，01x <<，则lg e()1f x x'=-+，易知当lg e x =时，函数()f x 有极大值，也是最大值，故max ()(lg e)lg e lg(lg e)0f x f m ==-+≤，即lge m ≤-lg(lg e).因为elg e lg(lg e)lg lg(e ln10)lg101lg e-==⋅<=，所以实数m 的取值范围为(,lg e lg(lg e)]-∞-，故选B ．二、填空题12．261(2)x x-的展开式中的常数项为 .（用数字作答）【答案】60【解析】由2661231661C (2)()2(1)C rrr r r r rr T x xx---+=⋅⋅-=-.令12304r r -=⇒=，则常数项为644462(1)C 41560--=⨯=.13．已知()()=fx xg x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()2xg x a ＝－，则不等式1()3g x ≤－的解集是 .【答案】],3-∞（14．已知实数,x y 满足约束条件2,1,10,x y y x x +≥⎧⎪≤+⎨⎪-≤⎩则32x y x y ++的取值范围为 .【答案】4[,2]3【解析】依题意，136353532222y yx y x x y y y x y x x x +⋅+⋅-+===-++++.作出约束条件所表示的平面区域如下图阴影部分所示（含边界）.y x 表示平面区域内的点(,)x y 与定点(0,0)连线的斜率，观察可知，13y x≤≤，则325y x ≤+≤，所以55132y x ≤≤+，所以453232y x≤-≤+，故32x y x y ++的取值范围为4[,2]3.15. 已知1335a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，1243b -⎛⎫=⎪⎝⎭，3ln5c =，则这三个数从大到小的顺序是______．>>【答案】a b c。

估算法在高考问题解决中的应用

估算法在高考问题解决中的应用高长春【期刊名称】《高中数理化》【年(卷),期】2019(000)001【总页数】4页(P44-47)【作者】高长春【作者单位】山东省威海市第四中学【正文语种】中文高考试题在考查知识的同时注重考查能力,并把对能力的考查放在首要位置．如何考查能力呢?2018年高考试题中,出现了考查能力的一类经典试题——估算题．估算是一种重要的科学思维方法,是问题解决的一种能力,更是培养科学素养的路径．估算法(包括近似法)是利用物理概念、规律、常数和生活常识对物理量的数值、数量级进行快速计算以及对取值范围合理估测的一种方法．在理论研究中,为了建立恰当的物理模型,首先要估算各参量的大小和各种可能的效应值,以判断选用的近似方法、抽象模型是否适用等．对于物理实验,在实验设计方案和科学测量中,都要粗略估算被测量的取值范围或数量级,以便选择适当的仪器．在生产和日常生活中,也常要对某些物理量进行估算,以利于生产和生活．灵活运用物理知识对具体问题进行合理的估算,是学生具有科学素养和学习潜能的重要体现．下面以几道高考题为例,谈谈如何运用估算法解决高考题．1 生活数据法利用平时积累的物理常识性数据或数量级进行计算．自然界中的物体,在尺度上,大可以大到1026 m(宇宙的引力半径),小可以小到10-15 m(核子的半径),上下可以相差几十个数量级．如普通成年人的身高1.70 m、一个鸡蛋的大小约6 cm．例1 (2018年全国卷Ⅱ) 高空坠物极易对行人造成伤害．若一个50 g的鸡蛋从一居民楼的25层坠下,与地面的撞击时间约为2 ms,则该鸡蛋对地面产生的冲击力约为( ).A 10 N;B 102 N;C 103 N;D 104 N设鸡蛋落地的瞬时速度为v,每层楼的高度大约3 m,由机械能守恒定律得mgh=mv2,解得落地时受到自身的重力和地面的支持力,规定向上为正方向,由动量定理可知(FN-mg)Δt=0-(-mv),解得根据牛顿第三定律可知鸡蛋对地面产生的冲击力约为103 N．选项C正确.要迅速解决此类问题,必须知道生活中常用数据,如一层楼大约3 m高,把鸡蛋看作质点,建立打击模型,选取正方向，进行受力分析，选择动量定理进行计算.在计算落地的瞬时速度时可以这样估算,即还有“室温”可取27 ℃、地球公转周期可取365 d、地球自转周期可取24 h、地球自转半径为6.4×103km、月球绕地球转动周期可取30 d、成人质量约是60 kg、自行车速度大约为5 m·s-1，等等．2 理想模型法实际问题涉及的要素较多,要实现将情境转化为物理问题,就要突出主要因素,舍弃次要因素,将研究的对象、过程、状态进行科学抽象，转化为物理模型,建立理想模型后再应用相关规律进行估算．例2 (2018年全国卷Ⅱ) 2018年2月,我国500 m口径射电望远镜(天眼)发现毫秒脉冲星“J0318+0253”,其自转周期T=5.19 ms,假设星体为质量均匀分布的球体,已知万有引力常量为6.67×10-11 N·m2·kg-2．以周期T稳定自转的星体的密度最小值约为( ).A 5×109 kg·m-3;B 5×1012 kg·m-3;C 5×1015 kg·m-3;D 5×1018 kg·m-3设脉冲星的质量为m0,密度为ρ,由万有引力定律和牛顿第二定律可得又有解得代入数据得星体密度的最小值ρ≈5×1015 kg·m-3,故选项C正确．脉冲星不被瓦解的条件就是其边缘的物体绕其中心做匀速圆周运动,向心力由万有引力提供．解题时要先建立匀速圆周运动模型，再应用牛顿运动定律和万有引力定律列式,最后代入数据进行估算．例3 (2018年全国卷Ⅰ) 2017年,人类第一次直接探测到来自双中子星合并的引力波．根据科学家们复原的过程,在两颗中子星合并前约100 s时,它们相距约400 km,绕两者连线上的某点每秒转动12圈,将两颗中子星都看作质量均匀分布的球体,由这些数据、万有引力常量并利用牛顿力学知识,可以估算出这一时刻两颗中子星( ).A 质量之积;B 质量之和;C 速率之和;D 各自的自转角速度双中子星做匀速圆周运动的频率f=12 Hz(周期由万有引力和牛顿第二定律得且r1+r2=r=40 km.解得m1+m2=(2πf)2r3/G,选项B正确．由v1=ωr1=2πfr1,v2=ωr2=2πfr2,解得v1+v2=2πfr,选项C正确.此题以最新科学发现为情境,建立匀速圆周运动模型,考查考生对天体运动、万有引力定律等知识的理解和应用．3 数学近似法近似与平均本身就是对数据的一种在许可范围内的合理的粗略描述,因此,近似与平均可作为一种估算方法．例4 一光线以很小的入射角i射入一厚度为d、折射率为n的平板玻璃,求出射光线与入射光线之间的距离(θ很小时,sin θ=θ,cos θ=1).图1如图1所示,设光线以很小的入射角i入射到平板玻璃表面上的A点,折射角为r,从平板玻璃另一表面上的B点射出．设AC为入射光线的延长线.由折射定律和几何关系可知,它与出射光线平行．过B点作BD⊥A C,交AC于D点,则BD的长度就是出射光线与入射光线之间的距离,由折射定律得由几何关系得出射光线与入射光线之间的距离BD=ABsin (i-r).当入射角i很小时，sin i=i、sin r=r、sin(i-r)=i-r、cos r=1,由此可得在估算题中,常常用到下列一些数学近似公式:当θ很小时，cos θ≈1、sin θ≈tan θ≈θ (rad);当a≫b时,a+b≈a,1/a+1/b ≈ 1/b; π2≈g等．4 信息挖掘法信息挖掘法是指通过审读试题情境,从文字、图示乃至图象中观察发现隐含信息、隐含条件,建立物理模型,转化成物理公式,再进行估算的方法．例5 (2013年江苏卷) 水平面上,一白球与一静止的灰球碰撞,两球质量相等.碰撞过程的频闪照片如图2所示,据此可推断,碰撞过程中系统损失的动能约占碰撞前动能的( ).图2A 30%;B 50%;C 70%;D 90%从图中可看出,左边的白球间隔大,表示在相等的时间里运动的位移大,即速度大,右边的白球间隔小,表示速度小,可见白球是从左向右运动碰到静止的灰球,碰撞后分开运动.用刻度尺量出左边白球(碰撞前)两段相等时间内的位移大小,约为x1=2.00 cm,再用刻度尺量出右边三段相等时间内灰球和白球(碰撞后)的位移大小,均约为x2=1.70 cm,设照相机闪光一次的时间为t,小球的质量为m,则白球碰撞前的动能为白球碰撞后的动能为由图中对称性可知,灰球动能与碰撞后白球动能相等,则有%,故选项A正确.本题要结合情境和图示,建立物理模型.碰撞前后小球做匀速直线运动,用刻度尺量出其位移,利用求平均速度方法表达碰前、碰后的速度,进而实现问题的解决．这种通过观察测量估算问题的方法,在国外试题中较为常见．5 实验设计法实验设计法是指通过设计实验,对实验方案进行评估,粗略估算被测物理量的取值范围,以便选择适当的仪器的方法,或通过实验设计建立恰当的物理模型,估算待测物理量的方法．例6 (2016年全国卷Ⅰ) 现要组装一个由热敏电阻控制的报警系统,要求热敏电阻的温度达到或超过60 ℃时,系统报警．提供的器材有:热敏电阻,报警器(内阻很小,流过的电流超过Ic时就会报警),电阻箱(最大阻值为999.9 Ω),直流电源(输出电压为U,内阻不计),滑动变阻器R1(最大阻值为1 000 Ω),滑动变阻器R2(最大阻值为2 000 Ω),单刀双掷开关一个,导线若干．在室温下对系统进行调节,已知U约为18 V,Ic约为10 mA;流过报警器的电流超过20 mA时,报警器可能损坏;该热敏电阻的阻值随温度的升高而减小,在60 ℃时阻值为650.0 Ω.(1)完成待调节的报警系统原理电路图的连线．图3(2)在电路中应选用滑动变阻器________(填“R1”或“R2”)．(3)按照下列步骤调节此报警系统:① 电路接通前,需将电阻箱调到一定的阻值,根据实验要求,这一阻值为________Ω;滑动变阻器的滑片应置于________(填“a”或“b”)端附近,不能置于另一端的原因是________．② 将开关向________(填“c”或“d”)端闭合,缓慢移动滑动变阻器的滑片,直至________．(4)保持滑动变阻器滑片的位置不变,将开关向另一端闭合,报警系统即可正常使用．(1)本实验要求能用电阻箱进行校准，故电阻箱应与热敏电阻并联，利用单刀双掷开关进行控制；它们再与报警器和滑动变阻器串联，即可起到报警作用,电路图如图4所示．图4(2)U=18 V,当通过报警器的电流10 mA≤I≤20 mA时,由电路中总电阻代入数据后解得900 Ω≤R≤1 800 Ω,热敏电阻的阻值为650.0 Ω,所以滑动变阻器取值范围为250～1 150 Ω,故滑动变阻器选R2．(3) ①热敏电阻为650.0 Ω时,报警器开始报警,故电阻箱阻值也应为650.0 Ω.为防止通过报警器电流过大,报警器烧坏,应使滑动变阻器的滑片置于b端.若置于a端，电路中电流超过报警器的最大电流，报警器可能烧坏. ②将开关接到c端与电阻箱连接，调节滑动变阻器直至报警器开始报警即可，然后再接入热敏电阻，电路即可正常工作.解答本题需理解电路设计原理、理解等效替代的思想方法,获取题中信息并转化为解题所需条件,理解调节电阻箱和滑动变阻器的意义,再根据设计原理和电路规律进行估算,以便选择合适的滑动变阻器．例7 在“油膜法估测油酸分子的大小”实验中,有下列实验步骤：① 往边长约为40 cm的浅盘里倒入约2 cm深的水.待水面稳定后将适量的痱子粉均匀地撒在水面上．② 用注射器将事先配好的油酸酒精溶液滴1滴在水面上,待薄膜形状稳定．③ 将画有油膜形状的玻璃板平放在坐标纸上,计算出油膜的面积,根据油酸的体积和面积计算出油酸分子直径的大小．④ 用注射器将事先配好的油酸酒精溶液1滴1滴地滴入量筒中,记下量筒内每增加一定体积时的滴数,由此计算出1滴油酸酒精溶液的体积．⑤ 将玻璃板放在浅盘上,然后将油膜的形状用彩笔描绘在玻璃板上．完成下列填空:(1)上述步骤中,正确的顺序是________．(填写步骤前面的数字)(2)将1 cm3的油酸溶于酒精,制成300 cm3的油酸酒精溶液.测得1 cm3的油酸酒精溶液有50滴．现取1滴该油酸酒精溶液滴在水面上,测得所形成的油膜的面积是0.13 m2．由此估算出油酸分子的直径为________m．(结果保留1位有效数字)(1)④ ① ② ⑤③;(2)将油酸分子看作理想的小球体,建立球体模型．则油酸分子直径本题考查油膜法测分子直径的实验原理、操作步骤及处理数据的方法.本题处理数据需要建立球体模型,考查考生的处理数据的能力．总之,估算题与一般的计算题相比,具有情境真实、文字简洁、条件隐蔽、信息丰富、无从下手等特点．《普通高中物理课程标准(2017年版)》指出:应用物理知识解决具体问题应结合具体的实际情境．运用物理知识解决实际问题能力的高低,往往取决于学生将情境与知识相联系的水平．可见,解此类问题首先要缜密审视情境,从字里行间乃至图示、图象中挖掘隐含条件,抓住主要特征和因素,要善于将情境与知识进行联想和想象,建立恰当的物理模型,寻求待求量与题设条件的联系,发现估算的依据,再通过科学处理数据,在合理的范围内对数据大胆取舍,进行科学推理和论证,从而得出结果．《普通高中物理课程标准(2017年版)》指出:发展学生的科学思维能力是重要的教学目标之一．建构模型是一种重要的科学思维方式.质点、点电荷、匀强电场等物理概念和匀变速直线运动等物理过程都是物理模型．教师在教学中要让学生体会建构这些物理模型的思维方法,理解物理模型的适用条件,能通过建构物理模型来研究实际问题．教师引导学生经历物理概念的建构过程和物理规律的形成过程,是发展科学思维的重要途径．而解决估算题的过程,正是建构模型、应用模型的过程,可见应用估算方法解题是培养学生物理学科核心素养的一条有效途径．。

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