高中数学竞赛均值不等式讲义
均值不等式课件
在极值问题中的应用
总结词
在求解函数的极值时，均值不等式可以为我们提供重 要的解题技巧和方法。
详细描述
在求解函数的极值时，均值不等式可以为我们提供重 要的解题技巧和方法
04
均值不等式的推广
柯西不等式的定义与证明
柯西不等式的定义
$||x|| \cdot ||y|| \geqslant ||x \cdot y||$，其中$x, y$为向量，$||\cdot ||$表示向量的模。
要点一
均值不等式的概念
要点二
均值不等式的形式
均值不等式是数学中的一个重要不等 式，表示两个或多个正数的平均数与 它们的几何平均数之间的关系。
常见的均值不等式包括基本均值不等 式、柯西均值不等式、排序均值不等 式等。
要点三
均值不等式的证明
均值不等式的证明方法有多种，包括 利用导数证明、利用矩阵的迹证明、 利用矩阵的行列式证明等。
中等。
在物理中的应用
02
柯西不等式可以用于量子力学中的不确定关系和力学中的最小
作用量原理等。
在经济学中的应用
03
柯西不等式可以用于金融领域中的投资组合理论和风险评估等
。
柯西不等式的推广
向量形式的推广
对于任意的向量$x_1, x_2, ..., x_n$和$y_1, y_2, ..., y_n$，有$(x_1^2 + x_2^2 + ... + x_n^2) \cdot (y_1^2 + y_2^2 + ... + y_n^2) \geqslant (x_1 y_1 + x_2 y_2 + ... + x_n y_n)^2$
在数列求和中的应用
高中数学公式(均值不等式)
高中数学公式(均值不等式)高中数学公式(均值不等式)公式的数学本质是用简洁的语言准确地描述数学问题。
在高中数学中，均值不等式是一个重要而又常用的工具。
它可以帮助我们证明和解决各种数学问题。
本文将介绍均值不等式的定义、性质和应用。
一、均值不等式的定义均值不等式是数学中一类重要的不等式。
它表述了若干个数的某种“平均值”与这些数之间的大小关系。
常见的均值不等式有算术平均不等式、几何平均不等式和平方平均不等式。
1. 算术平均不等式算术平均不等式是指若干个正数的算术平均值不小于它们的几何平均值。
设有n个正数x₁、x₂、...、xₙ，它们的算术平均值为AM，几何平均值为GM，则有AM ≥ GM。
2. 几何平均不等式几何平均不等式是指若干个正数的几何平均值不大于它们的算术平均值。
设有n个正数x₁、x₂、...、xₙ，它们的算术平均值为AM，几何平均值为GM，则有GM ≤ AM。
3. 平方平均不等式平方平均不等式是指若干个正数的平方平均值不小于它们的算术平均值。
设有n个正数x₁、x₂、...、xₙ，它们的算术平均值为AM，平方平均值为QM，则有QM ≥ AM。
二、均值不等式的性质均值不等式有一些基本性质可以帮助我们进行各种推导。
1. 对称性均值不等式具有对称性，即对数x₁、x₂、...、xₙ的排列顺序不影响不等式的成立。
例如，若AM ≥ GM成立，则交换任意两个数的位置，不等式仍然成立。
2. 反序性均值不等式具有反序性，即改变不等式中的不等号方向，不等式仍然成立。
例如，若AM ≥ GM成立，则取倒数得到1/AM ≤ 1/GM，不等式仍然成立。
3. 结合性均值不等式具有结合性，即若AM₁ ≥ GM₁和AM₂ ≥ GM₂成立，则有AM₁ * AM₂ ≥ GM₁ * GM₂。
这一性质可以帮助我们将不等式进行合并和推导。
三、均值不等式的应用均值不等式具有广泛的应用场景，涉及各个数学领域。
1. 不等式证明均值不等式可以用于证明其他的数学不等式。
高中数学人教版必修5——第十三讲均值不等式(解析版)
高中数学人教版必修5——第十三讲均值不等式(解析版)第十三讲均值不等式(解析版)在高中数学的学习中，均值不等式是一条非常重要的数学定理。
它能够帮助我们找到一组数的平均值与其他特定的数值之间的关系。
本文将详细解析高中数学人教版必修5中的第十三讲——均值不等式。
一、均值不等式的定义和性质均值不等式实际上是按平均值来衡量一组数与其他数值之间的大小关系。
它包含了算术平均值、几何平均值和平方平均值等不同的形式。
算术平均值是最为熟悉的一种形式，它表示一组数相加后除以元素个数得到的结果。
几何平均值是将一组数相乘后开根号得到的结果。
平方平均值是将一组数的平方相加后除以元素个数再开根号得到的结果。
在不等式的关系中，对于正实数来说，有以下几个性质：1. 当所有元素相等时，算术平均值、几何平均值和平方平均值相等。
2. 当所有元素不相等时，算术平均值大于几何平均值，而几何平均值大于平方平均值。
3. 对于正实数来说，算术平均值大于几何平均值，并且它们都大于平方平均值。
二、均值不等式的应用均值不等式在数学问题的解决中具有广泛的应用。
它可以帮助我们证明和推导其他重要的数学关系。
1. 证明与推导在证明和推导方面，均值不等式可以帮助我们解决一些复杂的不等式问题。
通过运用不同形式的均值不等式，我们可以逐步地推导出更为严格的不等式关系。
例如，在求证某个不等式问题时，我们可以使用算术平均值与几何平均值之间的关系来逐步推导出正确的结论。
2. 理解与比较均值不等式还能够帮助我们理解和比较数列的大小关系。
通过对数列的算术平均值、几何平均值和平方平均值的比较，我们可以得出一些关于数列性质的结论。
例如，当一组数的算术平均值大于几何平均值时，就能够说明这组数存在着某种程度的波动和不均匀性。
三、均值不等式的例题解析下面，我们将通过一些例题来具体解析均值不等式的应用。
例题1：已知a、b、c为正实数，证明(a+b)(a+c)(b+c)≥8abc。
解析：我们可以通过均值不等式来证明这个不等式关系。
高中数学均值不等式知识点
高中数学均值不等式知识点一、均值不等式的形式。
1. 基本形式。
- 对于任意的正实数a、b，有(a + b)/(2)≥slant√(ab)，当且仅当a = b时，等号成立。
- 这里(a + b)/(2)叫做a、b的算术平均数，√(ab)叫做a、b的几何平均数。
2. 推广形式（三元均值不等式）- 对于任意的正实数a、b、c，有(a + b + c)/(3)≥slantsqrt[3]{abc}，当且仅当a=b = c时，等号成立。
- 其中(a + b + c)/(3)是a、b、c的算术平均数，sqrt[3]{abc}是a、b、c的几何平均数。
二、均值不等式的证明。
1. 对于(a + b)/(2)≥slant√(ab)(a,b>0)的证明。
- 方法一：作差法。
- 因为((a + b)/(2))^2 - ab=(a^2 + 2ab + b^2)/(4)-ab=(a^2 - 2ab + b^2)/(4)=((a - b)^2)/(4)≥slant0。
- 当且仅当a = b时，((a + b)/(2))^2 - ab = 0，即(a + b)/(2)≥slant√(ab)。
- 方法二：分析法。
- 要证(a + b)/(2)≥slant√(ab)(a,b>0)，只需证((a + b)/(2))^2≥slant ab，即证a^2 + 2ab + b^2≥slant4ab，也就是证a^2 - 2ab + b^2≥slant0，即(a - b)^2≥slant0，显然成立，当且仅当a = b时等号成立。
三、均值不等式的应用。
1. 求最值。
- 类型一：和定积最大。
- 已知a + b = m（m为定值，a>0,b>0），根据均值不等式(a +b)/(2)≥slant√(ab)，可得ab≤slant((a + b)/(2))^2=(m^2)/(4)，当且仅当a = b=(m)/(2)时，ab 取得最大值(m^2)/(4)。
高中数学基础讲义9均值不等式-简单难度-讲义
均值不等式知识讲解一、等号成立条件条件：对于任意实数a b ，，222a b ab +≥，当且仅当a b =时，等号成立． 证明：2222()a b ab a b +-=-，当a b ≠时，2()0a b ->；当a b =时，2()=0a b -．222a b ab ∴+≥，当且仅当a b =时，等号成立．二、均值不等式定义：如果a b ，，是正数，那么2a bab +≥，当且仅当a b =时，有等号成立．此结论又称均值不等式或基本不等式．证明：2222()()()0a b ab a b a b +-=+=-≥，即a b ab +≥2，所以2a bab +≥三、均值不等式的几何解释解释：对于任意正实数a b ，，以AB a b =+的线段为直径做圆，在直线AB 上取点C ，使,AC a CB b ==，过点C 作垂直于直线AB 的弦DD '，连接AD 、DB 、如图已知Rt ACD Rt DCB ∆∆，那么2DC AC BC =⋅，即=CD ab ．这个圆的半径为2a b+，显然2a bab +≥，当且仅当点C 与圆心重合，即a b =时，等号成立．abb aD 'D C B A四、均值不等式的理解1.对于任意两个实数a b ，，2a b+叫做a b ，a b ，的几何平均值．此定理可以叙述为：两个正数的算术平均数不小于他们的几何平均数．2.对于=“”的理解应为a b =是2a b +a b ≠，则2a b+3.注意222a b ab +≥和2a b+>a b R ∈，，后者是+a b R ∈，五、极值定理1.若x y s +=（和为定值），则当x y =时，xy 取得最大值是24s；【证明】x y ，都是正数，2x y +x y s +=，22()24x y s xy +≤=，当且仅当x y =时，xy 取得最大值是24s；2.若=xy p （积为定值），则当x y =时，x y +取得最小值是；【证明】x y ，都是正数，2x y +≥x y =时，等号成立．又=xy p ，x y +≥．【注意】利用极值定理求最大值或最小值是应注意：①注意均值不等式的前提条件：函数式中的各项必须都是正数，在异号时不能运用均值不 等式，在同负时可以先进行转化，再运用均值不等式；②求积xy 最大值时，应看和x y +是否是定值；求和x y +最小值时，看xy 是否为定值． ③通过加减的方法配凑成使用算术平均数与几何平均数定理的形式； ④注意“1”的代换；⑤等号是否成立: 只有具备了不等式中等号成立的条件，才能使函数式取到最大或最小值．否则不能由均值不等式求最值，只能用函数的单调性求最值．运用均值不等式的前提有口诀：一正二定三相等．典型例题一．选择题（共10小题）1．（2018•海拉尔区校级二模）已知正实数x ，y 满足2x +y=1，则xy 的最大值为（ ） A ．18B ．23C ．14D ．25【解答】解：∵正实数x ，y 满足2x +y=1，则1≥2√2xy ，化为：xy ≤18，当且仅当2x=y=12时取等号．∴xy 的最大值为18．故选：A ．2．（2018•延边州模拟）若a ＞0，b ＞0，lga +lgb=lg （a +b ），则a +b 的最小值为（ ） A ．8 B ．6C ．4D ．2【解答】解：由a ＞0，b ＞0，lga +lgb=lg （a +b ）， 则lg （ab ）=lg （a +b ）， 即有ab=a +b ，即1a +1b=1， 则a +b=（a +b ）（1a +1b ）=2+b a +ab≥2+2√b a ⋅ab=4，当且仅当a=b=2时，取得等号．则a +b 的最小值为4． 故选：C ．3．（2018春•聊城期末）已知a 、b 是不相等的正数，x=√a+√b√2，y=√a +b ，则x 、y 的关系是（ ） A ．x ＞y B ．y ＞xC ．x ＞√2yD ．不能确定【解答】解：∵x 2=12（√a +√b ）2=12（a +b +2√ab ），y 2=a +b=12（a +b +a +b ）＞12（a +b +2√ab ）=x 2，又∵x ＞0，y ＞0． ∴y ＞x ．4．（2017秋•莲湖区校级期末）已知a ＞0，b ＞0，a +b=2，则y=1a +4b的最小值是（ ） A ．92B ．72C ．5D ．4【解答】解：∵a ＞0，b ＞0，a +b=2，∴y=1a +4b =12（1a +4b ）（a +b ）=12（1+4+b a +4a b ）≥12（5+2√b a ⋅4a b ）=92，当且仅当b=2a 时等号成立， 故选：A ．5．（2017秋•陆川县校级期末）已知x ，y ＞0，且1x +1y=2，则x +2y 的最小值为（）A．3−2√2B．3−2√22C．3+2√2D．3+2√22【解答】解：由1x +1y=2得，12x+12y=1，∴(x+2y)(12x+12y)=12+yx+x2y+1≥32+2√yx⋅x2y=32+√2，当且仅当x=√2y=1+√22时取等号．故选：D．6．（2018春•昌吉市期末）当x＞0，y＞0，1x+9y=1时，x+y的最小值为（）A．10B．12 C．14D．16【解答】解：∵x＞0，y＞0，1x +9y=1，∴x+y=（x+y）(1x+9y)=10+yx+9xy≥10+2√y x⋅9x y=16，当且仅当y=3x=12时取等号．∴x+y的最小值为16．故选：D．7．（2018春•沙坪坝区校级期末）实数a，b均为正数，且a+b=2，则1a+2b的最小值为（）A．3B．3+2√2C．4D．32+√2【解答】解：∵a+b=2，∴1a +2b =12（1a +2b ）（a +b ）=12（1+2a b +b a +2）=12（2a b +b a +3）， ∵2a b +b a ≥2√2，当2a b =ba ，即a=2√2﹣2时，等号成立， ∴1a +2b 的最小值为32+√2 故选：D ．8．（2018春•南关区校级期末）若正数x ，y 满足x +3y=5xy ，则3x +4y 的最小值是（ ） A ．245B ．285C ．6D ．5【解答】解：∵正数x ，y 满足x +3y=5xy ，∴x+3y 5xy =1，即15y +35x=1，∴3x +4y=（3x +4y ）（15y +35x ）=135+3x 5y +12y 5x ≥135+2√3x 5y ⋅12y 5x =5当且仅当3x 5y =12y 5x 即x=1且y=12时取等号，∴3x +4y 的最小值为：5 故选：D ．9．（2017秋•武邑县校级期末）若x ，y 是正数，且1x +4y =1，则xy 有（ ）A ．最大值16B ．最小值116C ．最小值16D ．最大值116【解答】解：由于x ，y 是正数，且1x +4y =1，∴1x +4y =1≥2√4xy =4√1xy ，∴1xy ≤116，∴xy ≥16，当且仅当 1x =4y =12时，等号成立，∴xy 有最小值为 16， 故选：C ．10．（2017•红桥区模拟）已知x ＞﹣2，则x +1x+2的最小值为（ ） A ．﹣12B ．﹣1C ．2D ．0【解答】解：∵x ＞﹣2，则x +1x+2=x +2+1x+2﹣2≥2√(x +2)⋅1x+2﹣2=0，当且仅当x=﹣1时取等号． ∴x +1x+2的最小值为0．故选：D ．二．填空题（共4小题）11．（2018•金山区二模）函数y =x +9x ，x ∈（0，+∞）的最小值是 6 ． 【解答】解：∵x ＞0，∴函数y =x +9x ≥2√x ⋅9x =6，当且仅当x=3时取等号． ∴函数y =x +9x (x ＞0)的最小值是6．故答案为：6．12．（2017秋•杨浦区校级期末）若正数a 、b 满足log a （4b ）=﹣1，则a +b 的最小值为 1 ．【解答】解：根据题意，若正数a 、b 满足log a （4b ）=﹣1，则有a=14b ，即ab=14，则a +b ≥2√ab =1，即a +b 的最小值为1； 故答案为：1．13．（2018春•秦淮区校级期中）已知正实数x ，y 满足xy=3，则x +y 的最小值是 2√3 ．【解答】解：正实数 x ，y 满足 xy=3， 则 x +y ≥2√xy =2√3，当且仅当x=y=√3时，上式取得等号， 则x +y 的最小值为2√3， 故答案为：2√3．14．（2017春•宿迁期末）已知正实数x ，y 满足2x +y=1，则xy 的最大值为 18． 【解答】解：根据题意，正实数x ，y 满足2x +y=1，则xy=12（2x ）y ≤12[2x+y 2]2=12×14=18，当且仅当2x=y=12，时等号成立，即xy 的最大值为18；故答案为：18．三．解答题（共1小题）15．（2010•南通模拟）某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m 3，深为3m ，如果池底每1m 2的造价为150元，池壁每1m 2的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？【解答】解：设水池底面一边的长度为xm ，水池的总造价为y 元，则底面积为48003=1600m 2，池底的造价为1600×150=240000元， 则y=240000+720（x +1600x）≥240000+720×2√x ⋅1600x =240000+720×2×40=297600，当且仅当x=1600x，即x=40时，y 有最小值297600（元）答：当水池的底面是边长为40m 的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价是297600元．。
高一数学辅导讲义11---均值不等式
高一数学辅导讲义----均值不等式【高考导航】历年来高考以选择题或填空题的形式考查利用均值不等式求最值的问题．利用均值不等式求最值的前提是“一正二定三相等”．需通过变形技巧，得到“和”或“积”为定值的情形．均值不等式作为求最值的工具，渗透在许多方面，应用非常广泛【知识要点】1、主要公式：（1）重要不等式若a b R ∈、,则222a b ab +≥22(2||2)a b ab ab +≥≥或（当且仅当a b =时取等号）。
（2）均值不等式如果a b 、都是正数，那么 2a b +≥（当仅当a b =时取等号）。
（其中2a b +叫做a b 、a b 、的几何平均数） （3）变形：①ab ≤222a b +，②ab ≤2()2a b +；222a b +≥2()2a b + 2、最值定理：若,,,,x y R x y S xy P +∈+==则：①如果P 是定值, 那么当x y =时，S 的值最小；②如果S 是定值, 那么当x y =时，P 的值最大.注意：使用均值不等式求最值时要注意以下几点：①前提：“一正、二定、三相等”，如果没有满足前提，则应根据题目创设条件；还要注意选择恰当的公式；②“和定积最大，积定和最小”，可用来求最值；③均值不等式具有放缩功能，如果有多处用到，请注意每处取等的条件是否一致。
【思维方法】1、用均值不等式求函数最值时，关键在于将函数变形为两项的和或积，使这两项的和或积或平方和为定值，然后用公式求出最值；2、利用均值不等式求最值时一定要注意使用条件：一正二定三相等，三者缺一不可。
如均值不等式法无效，一般可改用单调性法求解。
【基础自测】1.已知0,x ≠当x 为何值时，2281x x +有最小值？最小值为多少？ 2、若,a b R ∈，且0ab >，则下列不等式中，恒成立的是 （ ）A 、222a b ab +>B 、a b +≥、11a b +>、2b a a b +≥ 3、下列函数中，最小值为22的是（ ）A 、x x y 2+=B 、)0(sin 2sin π<<+=x x x yC 、x x e e y -+=2D 、2log 2log 2x x y +=【应用举例】 例1、已知0,x >则423x x --是否存在最大最小值？若存在，则求出其最值。
高中数学均值不等式讲解
高中数学均值不等式讲解一、教学任务及对象1、教学任务本次教学任务是以“高中数学均值不等式”为主题，对高中学生进行系统的讲解与训练。
均值不等式是高中数学中的一个重要内容，它不仅在数学理论中占有重要地位，而且在实际应用中也具有广泛价值。
通过本节课的学习，使学生掌握均值不等式的概念、性质和应用，培养他们的逻辑思维能力和解决实际问题的能力。
2、教学对象教学对象为高中学生，他们已经具备了一定的数学基础和逻辑思维能力。
在这个阶段，学生们的思维逐渐从具体形象向抽象逻辑转变，他们对于数学问题的理解和解决能力也在不断提高。
因此，针对这个阶段的学生，教学过程中应注重启发式教学，引导学生主动探究、发现和解决问题，提高他们的数学素养。
二、教学目标1、知识与技能（1）理解并掌握均值不等式的定义，包括算术平均数和几何平均数；（2）掌握均值不等式的证明方法，并能够灵活运用；（3）学会运用均值不等式解决实际问题，如求最大（小）值、证明不等式等；（4）通过均值不等式的学习，提高学生的运算能力和解决问题的能力。
2、过程与方法（1）通过问题导入，引导学生自主探究均值不等式的概念，培养学生的自主学习能力；（2）采用比较、分析、归纳等教学方法，帮助学生掌握均值不等式的证明方法和应用，提高他们的逻辑思维能力；（3）设置典型例题，让学生在实践中掌握均值不等式的应用，培养他们分析问题和解决问题的能力；（4）鼓励学生进行合作学习，互相讨论，共享学习成果，提高他们的沟通能力和团队协作能力。
3、情感，态度与价值观（1）培养学生对数学的兴趣，激发他们学习数学的热情，使他们形成积极向上的学习态度；（2）通过均值不等式的学习，让学生认识到数学在生活中的广泛应用和价值，增强他们学习数学的信心；（3）教育学生尊重事实，遵循逻辑，树立正确的价值观，培养他们严谨、踏实的学术作风；（4）培养学生勇于探索、敢于创新的精神，使他们具备面对挑战、克服困难的勇气和信心；（5）通过小组合作，培养学生团结协作、互助互爱的良好品质，提高他们的集体荣誉感和社会责任感。
均值不等式讲义
一元二次不等式讲义
一目标：
1．利用均值定理求极值.
2.了解均值不等式在证明不等式中的简单应用
3.ab b
a a
b b a ≥+≥+2222和成立的条件是不同的：前者只要求a,b 都是实
数，而后者要求a,b 都是正数 “当且仅当”的含义是等价
二、例题讲解
（1)已知x ≠0，当x 取什么值时，x 2+
281x 的值最小，最小值是多少？
（2）已知x>1,求y=x+
11-x 的最小值
（3）已知x ∈R ，求y=
1222++x x 的最小值
（4）已知x>1,求y=x+
x 1+1
162+x x 的最小值
（5）求y=x 21x -的最大值
（6）要建一个底面积为12m 2，深为3m 的长方体无盖水池，如果底面造价每平方米600元，侧面造价每平方米400元，问怎样设计使总造价最低，最低总造价是多少元？
（7）一段长为Lm 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，问这个矩形的长和宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？
（8）、若+
∈R c b a ,,，则c b a a c c b b a ++≥++2
22
（9）、已知a ,b ,c ,d 都是正数，求证：abcd bd ac cd ab 4))((≥++。
高中数学 均值不等式
高中数学均值不等式均值不等式是数学中非常重要的知识点之一，它被广泛应用于概率、优化、统计、数值分析等领域，特别是高中数学教学中，均值不等式的概念更是无处不在。
那么，什么是均值不等式呢？均值不等式是一种表示数列的性质的不等式，其语句是：若n 次和（x1+x2+x3+…+xn）与n个数（x1、x2、x3、…、xn）间有对应关系，则有x1+x2+x3+…+xn≥n×[(x1+x2+x3+…+xn)/n]。
其中n 次和表示指数列中n项的累计和，[(x1+x2+x3+…+xn)/n]表示的是数列的算术平均数，也就是所有数字的均值，而n×[(x1+x2+x3+…+xn)/n]表示的就是n个数的均值的累计和。
二、均值不等式的应用均值不等式的定义表明，n个数的累计和大于等于这些数的均值的累计和，因此均值不等式可以用于优化问题。
假如有n种物品，它们的数量分别为x1，x2，x3，…，xn，因此他们的累计和可以用x1+x2+x3+…+xn表示，另外当要求这n种物品的总价值最大时，可以使用均值不等式，把总价值看作数列的和，并把n种物品的平均价格想象成数列的均值，就可以得到累计价值的最优解。
三、均值不等式的证明均值不等式的证明也是高中数学中的重要内容，通常采用抽象数学的方法来证明均值不等式。
假设有一个数列，它的和为s，其均值为m，此时，均值不等式可以表示为：s≥nm，即s≥nm。
为了证明均值不等式，可以将s分割成一系列数字k1、k2、…、kn，其中，满足k1+k2+…+kn=s，即k1+k2+…+kn=s，因此有：(k1+k2+…+kn)/n≥k1。
两边同时乘以n，即可得出s≥nm，从而证明了均值不等式的正确性。
四、均值不等式的总结从上面的讨论中可以得知，均值不等式是一种表示数列的性质的不等式。
它可以用于优化问题，并且可以用抽象数学的方法进行证明。
高中数学中，均值不等式是一个重要的概念，它通常出现在高考和校考数学题目中，因此考生们在学习数学时需要给予重视，以便能够熟练运用均值不等式，在考试中取得优异的成绩。
高二数学均值不等式知识精讲 人教版
高二数学均值不等式知识精讲 人教版一. 本周教学内容：均值不等式二. 重点、难点： 1. 均值不等式：ab ba ≥+2（0>a 且0>b ） 当且仅当b a =时，“=”成立 2. 均值不等式的推广（换元）ab b a 222≥+ 22442b a b a ≥+ ab b a 121122≥+ 3. 均值不等式的引申2211222b a b a abba +≤+≤≤+（a 、b 均正） ↓ ↓ ↓ ↓ 调和平均数 算术平均数 几何平均数 平方平均数 （当且仅当b a =时，以“=”均成立） 4. 均值不等式的应用 x 、∈y （0，∞+）（1）S y x =+为定值时，x 、y 有最大值42S ，当且仅当2Sy x ==时，取最大值（2）x 、y =P 为定值时，y x +有最小值P 2，当且仅当P y x ==时，取最小值[例1] 对于3的证明：（1）ab ababb a ab ba =≤+=+222112 （2）2222)()(222222222ba ab b a b a b a b a +=++≥+++=+ [例2] 已知xa x f =)(（0>a 且1≠a ），任取α、R ∈β，求证：≥+2)()(βαf f)2(βα+f 。
证明：)(21)]()([21βαβαa a f f +=+ 2)2(βαβα+=+a f2)(21βαβαβα+=⋅≥+a a a a a[例3] a 、b 、∈c （0，∞+），求证)(2222222c b a a c c b b a ++≥+++++。
证明：)(2222b a b a +≥+ 同理22c b +)(22c b +≥ )(2222a c a c +≥+ ∴ )(2222222c b a a c c b b a ++≥+++++ [例4] )2,0(πα∈，)cos (sin 21αα+=a ，α2sin 21=b ，αααcos sin 2sin +=c ，求证：c b a ≥≥。
高中数学第三章不等式3-2均值不等式名师讲义新人教B版必修5
高中数学第三章不等式3-2均值不等式名师讲义新人教B版必修5如果a，b∈R＋，那么≥.当且仅当a＝b时，等号成立，以上结论通常称为均值不等式．对任意两个正实数a，b，数称为a，b的算术平均值(平均数)，数称为a，b的几何平均值(平均数)．均值定理可叙述为：两个正实数的算术平均值大于或等于它的几何平均值．[点睛] (1)“a＝b”是≥的等号成立的条件．若a≠b，则≠，即＞.(2)均值不等式≥与a2＋b2≥2ab成立的条件不同，前者a＞0，b ＞0，后者a∈R，b∈R.2．利用均值不等式求最值(1)两个正数的积为常数时，它们的和有最小值；(2)两个正数的和为常数时，它们的积有最大值．1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)对任意a，b∈R，a2＋b2≥2ab，a＋b≥2均成立( )(2)若a≠0，则a＋≥2＝4( )(3)若a>0，b>0，则ab≤2()解析：(1)错误．任意a，b∈R，有a2＋b2≥2ab成立，当a，b都为正数时，不等式a＋b≥2成立．(2)错误．只有当a>0时，根据均值不等式，才有不等式a＋≥2＝4成立．(3)正确．因为≤，所以ab≤2.答案：(1)×(2)×(3)√2．已知f(x)＝x＋－2(x＞0)，则f(x)有( )A．最大值为0 B．最小值为0C．最小值为－2 D．最小值为2答案：B3．对于任意实数a，b，下列不等式一定成立的是( )A．a＋b≥2 B.≥abC．a2＋b2≥2ab D.＋≥2答案：C4．已知0＜x＜1，则函数y＝x(1－x)的最大值是________．答案：14[典例] m，n之间的大小关系是( )A．m>nB．m<nC．m＝n D．不确定(2)若a>b>1，P＝，Q＝(lg a＋lg b)，R＝lg ，则P，Q，R的大小关系是________．[解析] (1)因为a>2，所以a－2>0，又因为m＝a＋＝(a－2)＋＋2，所以m≥2＋2＝4，由b≠0，得b2≠0，所以2－b2<2，n＝22－b2<4，综上可知m>n.。
高中数学竞赛讲义09：不等式
高中数学竞赛讲义（九）──不等式一、基础知识不等式的基本性质：（1）a>b a-b>0；（2）a>b, b>c a>c；（3）a>b a+c>b+c；（4）a>b, c>0ac>bc；（5）a>b, c<0ac<bc; （6）a>b>0, c>d>0ac>bd;（7）a>b>0, n∈N+a n>b n; （8）a>b>0, n∈N+;（9）a>0, |x|<a-a<x<a, |x|>a x>a或x<-a;（10）a, b∈R，则|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|;（11）a, b∈R，则(a-b)2≥0a2+b2≥2ab;（12）x, y, z∈R+，则x+y≥2, x+y+z前五条是显然的，以下从第六条开始给出证明。
（6）因为a>b>0, c>d>0，所以ac>bc, bc>bd，所以ac>bd；重复利用性质（6），可得性质（7）；再证性质（8），用反证法，若，由性质（7）得，即a≤b，与a>b矛盾，所以假设不成立，所以；由绝对值的意义知（9）成立；-|a|≤a≤|a|, -|b|≤b≤|b|，所以-(|a|+|b|)≤a+b≤|a|+|b|，所以|a+b|≤|a|+|b|；下面再证（10）的左边，因为|a|=|a+b-b|≤|a+b|+|b|，所以|a|-|b|≤|a+b|，所以（10）成立；（11）显然成立；下证（12），因为x+y-2≥0，所以x+y≥，当且仅当x=y时，等号成立，再证另一不等式，令，因为x3+b3+c3-3abc =(a+b)3+c3-3a2b-3ab2-3abc=(a+b)3+c3-3ab(a+b+c)=(a+b+c)[(a+b)2-(a+b)c+c2]-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)=(a+b+c)[(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2] ≥0，所以a3+b3+c3≥3abc，即x+y+z≥，等号当且仅当x=y=z时成立。
高中数学讲义微专题45 均值不等式
微专题45 利用均值不等式求最值一、基础知识：1、高中阶段涉及的几个平均数：设()01,2,,i a i n >=（1）调和平均数：12111n nnH a a a =+++（2）几何平均数：2n n G a =（3）代数平均数：12nn a a a A n+++=（4）平方平均数：2nn a Q n++=2、均值不等式：n n n n H G A Q ≤≤≤，等号成立的条件均为：12n a a a ===特别的，当2n =时，22G A ≤⇒2a b+≤即基本不等式 3、基本不等式的几个变形：（1）),0a b a b +≥>：多用在求和式的最小值且涉及求和的项存在乘积为定值的情况（2）22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭：多用在求乘积式的最大值且涉及乘积的项存在和为定值的情况（3）222a b ab +≥，本公式虽然可由基本不等式推出，但本身化成完全平方式也可证明，要注意此不等式的适用范围,a b R ∈4、利用均值不等式求最值遵循的原则：“一正二定三等”（1）正：使用均值不等式所涉及的项必须为正数，如果有负数则考虑变形或使用其它方法 （2）定：使用均值不等式求最值时，变形后的一侧不能还含有核心变量，例如：当0,x >求23y x x=+的最小值。
此时若直接使用均值不等式，则23y x x=+≥x ，则无法找到最值。
① 求和的式子→乘积为定值。
例如：上式中24y x x =+为了乘积消掉x ，则要将3x拆为两个2x，则22422y x x x x x =+=++≥=② 乘积的式子→和为定值，例如302x <<，求()()32f x x x =-的最大值。
则考虑变积为和后保证x 能够消掉，所以()()()2112329322322228x x f x x x x x +-⎛⎫=-=⋅-≤= ⎪⎝⎭（3）等：若能利用均值不等式求得最值，则要保证等号成立，要注意以下两点：① 若求最值的过程中多次使用均值不等式，则均值不等式等号成立的条件必须能够同时成立（彼此不冲突）② 若涉及的变量有初始范围要求，则使用均值不等式后要解出等号成立时变量的值，并验证是否符合初始范围。
高中数学竞赛均值不等式讲义
⾼中数学竞赛均值不等式讲义均值不等式1.均值不等式知识点1: ⼆元均值不等式可以推⼴到n 元，即：设,,,123a a a a n 为n 个⾮负实数，则12na a a n+++≥123a a a a n ====）.如何证明?知识点2: 设,,,123a a a a n 为n 个⾮负实数,n Q, 12nn a a a A n+++=,n G =, 12111n nnH a a a =++,则n n n n Q A G H ≥≥≥(等号成⽴当且仅当123a a a a n ====) 更⼀般的平均值的定义: 设正数(1,2,3...)i a i n =,则α的幂平均值=11()ni i a nαα=∑,特别的,我们有:lim ()n f G αα→=，11()()ni i a f nααα==∑为关于α的增函数.知识点3:重要结论 (1)222,,,.a b c R a b c ab bc ac ∈++≥++(2) ()2,,,3().a b c R a b c ab bc ac ∈++≥++ (3) 2222,,,3()().a b c R a b c a b c ∈++≥++ (4) 2,,,()3().a b c R ab bc ca abc a b c ∈++≥++ (5),,,()()()()().a b c R a b b c a c abc a b c ab cb ac ∈++++=++++(6) 222;2a a a b b a b b-≥-+≥(a,b,c>0)(7) 2222221()()3a b b c c a a b c a b c ++≤++++(a,b,c>0)(8)正实数(1,2,3...)i a i n =,则2111n ni i i ia n a ==?≥∑∑(当且仅当12...n a a a ===); (9) 222222222222()()()()()a b b c c a ab bc ca a b c a bc b ca c ab ++++=++++知识点4:加权平均值不等式已知12+...1(0,1,2.,,,)n i w w w w i n +=>=，则对任意正实数12112212........n w w w n n n w a w a w a a a a +++≥.均值不等式的使⽤前要注意两个⽅⾯,⼀个是观察题⽬中不等式证明⽅向,另外⼀个是取等条件，根据这些信息,相应去选择均值不等式的技巧、模型，不断尝试，最终解决问题。
高三数学 总复习《均值不等式》课件
解析 :Q ax by 3,
x loga 3, y logb 3,
11 1 1 x y loga 3 logb 3 log3a log3b log3ab
≤log3 (a
2
b)2
log 3 3
1.
3.(2009g重庆卷)已知a 0, b 0,则 1 1 2 ab的 ab
2 x
的最小值为________.
答案 : 2 2
解析 :Q x 0,x 2≥2 2,当且仅当x 2时,等号成立. x
2.(2009g天津卷)设x, y R, a 1, b 1, 若ax by 3,
a b 2 3,则 1 1 的最大值为
xy
A.2
B. 3
2
C.1
D. 1
2
答案:C
变式1:(1)已知0<x< 1 ,求函数y=x(1-3x)的最大值; 3
(2)求函数y=x+ 1 的值域. x
解 : 1 解法一 :Q 0 x 1 ,1 3x 0.
3
y x 1 3x 1 g3x(1 3x)≤ 1 ( 1 )2 1 ,
3
3 2 12
当且仅当3x 1 3x,即x 1 时, 等号成立. 6
成等比数列,则xy
A.有最大值e
B.有最大值 e
C.有最小值e
D.有最小值 e
答案:C
解析 :由题设知, (1)2 1 lnxglny 44
1 lnxglny≤(lnx lny )2 lnxy ,lnxy≥1,xy≥e.
4
2
4
解读高考第二关 热点关
题型一 利用均值不等式求最值
例1已知x 0, y 0,且 1 9 1, 求x y的最小值. xy
均值不等式课件
切比雪夫不等式
切比雪夫不等式在概率论 和统计学中有着广泛的应 用，与均值不等式有密切 关系。
均值不等式在实际问题中的灵活应用
投资组合问题
利用均值不等式可以确定 最优投资组合的比例，实 现投资收益的最大化。
资源分配问题
在资源有限的情况下，利 用均值不等式可以确定各 种资源的分配比例，以实 现整体效益的最大化。
在投资组合理论中，均值不等式被用于资本 资产定价模型(CAPM)中，来计算特定资产 的风险溢价。该模型用于确定在特定风险水
平下，投资者应获得的预期回报。
在生产决策中的应用
要点一
生产能力规划
在生产决策中，均值不等式可以用来确定在满足一定生产 需求的同时，如何分配生产能力以最小化生产成本。例如 ，在一定时间范围内，制造商可以使用均值不等式来确定 各种产品的生产量，以最小化总生产成本。
均值不等式的推广
将均值不等式推广到更广泛的领域，如柯西不等式、范德蒙公式等 。
均值不等式的条件分析
对均值不等式的条件进行深入探讨，分析其在不同条件下的应用和 局限性。
均值不等式的推广形式
01
02
03
柯西不等式
柯西不等式是均值不等式 的推广之一，它允许在某 些条件下取等号。
范德蒙公式
范德蒙公式是柯西不等式 的推广，它给出了一些序 列的平方和与平均值之间 的关系。
均值不等式课件
汇报人： 日期:
• 均值不等式的定义与性质 • 均值不等式的应用 • 均值不等式的拓展 • 均值不等式的实际应用 • 均值不等式的进一步研究
01
均值不等式的定义与性质
均值不等式的定义
均值不等式的定义
对于任意实数a和b，总有$(a+b)/2 \geq \sqrt{ab}$，当且 仅当a=b时等号成立。
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均值不等式1.均值不等式知识点1: 二元均值不等式可以推广到n 元，即： 设,,,123a a a a nL 为n 个非负实数，则12n a a a n+++≥L 123a a a a n ====L ）.如何证明?知识点2: 设,,,123a a a a nL 为n 个非负实数,n Q , 12nn a a a A n+++=L L,n G =, 12111n nnH a a a =++L L ,则n n n n Q A G H ≥≥≥(等号成立当且仅当123a a a a n ====L ) 更一般的平均值的定义: 设正数(1,2,3...)i a i n =,则α的幂平均值=11()ni i a nαα=∑,特别的,我们有:lim ()n f G αα→=，11()()ni i a f nααα==∑为关于α的增函数.知识点3:重要结论 (1)222,,,.a b c R a b c ab bc ac ∈++≥++(2) ()2,,,3().a b c R a b c ab bc ac ∈++≥++ (3) 2222,,,3()().a b c R a b c a b c ∈++≥++ (4) 2,,,()3().a b c R ab bc ca abc a b c ∈++≥++(5),,,()()()()().a b c R a b b c a c abc a b c ab cb ac ∈++++=++++(6) 222;2a a a b b a b b-≥-+≥(a,b,c>0)(7) 2222221()()3a b b c c a a b c a b c ++≤++++(a,b,c>0)(8)正实数(1,2,3...)i a i n =,则2111n ni i i ia n a ==⋅≥∑∑(当且仅当12...n a a a ===); (9) 222222222222()()()()()a b b c c a ab bc ca a b c a bc b ca c ab ++++=++++知识点4:加权平均值不等式已知12+...1(0,1,2.,,,)n i w w w w i n +=>=，则对任意正实数12112212........n w w w n n n w a w a w a a a a +++≥.均值不等式的使用前要注意两个方面,一个是观察题目中不等式证明方向,另外一个是取等条件，根据这些信息,相应去选择均值不等式的技巧、模型 ，不断尝试，最终解决问题 。
二、习题训练1． 设正实数,,a b c 满足2221a b c ++=，求证：22213a bc abc abc ++≤2.已知正实数,,a b c ,证明: 2222111()a b c ab c+++++≥ 3.已知正实数,,a b c ,求证: 1111000()()()27a b c a b c +++≥4.已知12,,...,0n x x x >,且123...1n x x x x =,证明:1(1)2nnii x =+≥∏改编: 已知12,,...,0n x x x >,且123...1n x x x x =,证明:1()(1)(0)nnii a x a a =+≥+>∏5.已知,,0x y z >,2221112111x y z ++=+++,求证: xyz ≤6. 已知,,0x y z >,3x y z ++=,求证: 33333312()888927x y z xy yz xz y z x ++≥++++++ 7.已知正实数,,a b c ，满足222,,a bc b ca c ab >>>，求222()()()abc a bc b ca c ab ---最大值 8. 已知正实数,,a b c ,证明:222a b c ≥+9.已知正数,,,a b c d 满足1abcd =，证明：211(1)a ≥+∑类似题: 已知正数,,,a b c d 满足1abcd =，证明：211(31)a ≥-∑10.已知正数,,a b c 满足1a b c ++=,求证: 2222a b b c c ab c c a a b+++++≥+++11.设大于等于2的正整数n,正实数12,,...,n x x x 满足：11ni i x ==∑，证明：11112n i j i i j n i n x x x =≤<≤⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭∑∑(16走向IMO57)12.设,1,2,...,,i x R i n n N ++∈=∈，求证： 111112(1)(1)1(1)22n n n n i n i i in x x n n i n n n n ix x x x --==≥+---++∑∑. 13.设正整数3,n ≥正实数23,,....,n a a a 满足234.....1n a a a a =，证明：23423423(1)(1)(1)(1).......(1)....nn n n n na a a a a a a ⎛⎫-++++> ⎪+++⎝⎭(52届IMO 预选题90)14.已知 0(1,2,..,,2)i a i n n >=≥,且11ni i a =<∑,证明:11111(1)1()(1)n niii i nn ni i i i a a n a a ==+==-≤-∑∏∑∏g 15. 非负实数12,,..,0,n a a a ≥12...1,n a a a +++=求01121.....n a a a a a a +++最大值16.对于正整数n,已知n 个12,,....,n x x x 的乘积为1，证明：1ni x =≥∑（2017年IMO71）17.设4n ≥，123....1n x x x x ++++=，12,,...,0n x x x ≥，求12323412.....n x x x x x x x x x +++的最大值(17IMO114)18.已知0(1,2,..,),2i x i n n ≥=≥，求最小的C ，使得42211()()ni i j i j i i j nC x x x x x =≤<≤⋅≥+∑∑19.设非负实数1236,,,..,x x x x 满足:611,i i x ==∑ 1352461540x x x x x x +≥, 若{}123234345456612max ,px x x x x x x x x x x x x x x q++++=(,)1p q =,(,)1,,p q p q N +=∈, 计算p q +。
20.设12,,..,n a a a R ∈，满足10nii a==∑，证明：{}{}{}{}1212231min ,,..,min ,min ,....min ,1n n na a a a a a a a a n ≥+++- 21. 已知123,,,.......,0n x x x x ≥,且123....1n x x x x ++++=，求1223341....n x x x x x x x x ++++的最大值.22.设非负实数123,,,..n x x x x 满足1,nii xn ==∑求122311....n n n x x x x x x x x -+++++的最大值。
23.给定集合(){},1,T i j i j n i j =≤<≤，对于任意满足123....1n x x x x ++++=的非负实数123,,,.......,,n x x x x ，求(,)i j i j Tx x ∈∑的最大值.24.已知n N +∈，2,n ≥22212....1n x x x +++=，求证：kmkm nx x≤≤∑25.设12,,..,0,n x x x ≥12....1n x x x +++=，求()i jij i jx x xx <+∑的最大值.26.已知n N +∈，2,n ≥22212....1n x x x +++=，证明: 12231...cos1n n x x x x x x n π-+++≤+27.已知12320172018........0,a a a a a ≥≥≥≥≥≥，且201811ii a==∑，求证：12345620172018135 (20174)a a a a a a a a ++++≤，并且指出等号成立的条件。
28. 已知非负实数22212100.....1a a a +++=,证明: 2221223100112 (25)a a a a a a +++≤29.设非负实数12,,....,n x x x 满足11ni i x ==∑，证明：222122314....27n x x x x x x +++≤29.设非负实数1212,,....,x x x 满足1211ii x==∑，求91231i i i i i S x x x x +++==∑最大值。
30. 设正实数12,,..,0n x x x >，求证：2121122123(..)1111...(1)(1)(1)21...n n n nx x x n x x x x x x x x x x ++++≥-++++ 31.求最大的正实数，使得下述不等式对一切正整数n 及正实数(1,2...,)i a i n =均成立：111+....nk kaλ=≥++∑32.求最大的正实数，使得下述不等式对一切正整数n 及正实数(1,2...,)i a i n =均成立：2111111+()(1)nnkk k k s s a a λ===≥+∑∑∑33.设正整数n(大于等于3)，12,,..,0n t t t >，若212121111)(...)(...)n nn t t t t t t +>++++++（，证明： 对于满足1i j k n ≤<<≤所有的i,j,k ，正实数,,i j k t t t 总能构成三角形的三边长.34.定义12,,..,0n a a a >，用n g 表示几何平均，利用12,,...,n A A A 表示的算术平均为12...(1,2,3...,)kk a a a A k n k+++==，用n G 表示12,,...,n A A A 的几何平均，证明：1nng n G ≤+，并且确定等号成立的条件. 35.求满足以下条件的最小实数()m n ：对于任意的0(1,2)i x i n n >≤≤≥，12...1n x x x =，不等式111nn ri i i i x x ==≤∑∑对于一切()r m n ≥成立. 36.已知123100,,,..,x x x x 为非负实数，且对于1,2,3.,,,,,100i =，有12101110221(,)i i i x x x x x x x ++++≤==，求和10021i i i S x x +==∑的最大值.37.对整数(2)n ≥，试确定最大实数n c ,使得任意正实数12,,..,n a a a 有：2222212121......()()n n n n a a a a a a c a a n n++++++≥+-38.设正整数2,n ≥求常数()C n 的最大值，使得对于所有满足()0,1(1,2,3,..,)i x i n ∈=；1(1)(1)(1)4i j x x i j n --≥≤<≤实数12,,..,n x x x均有11()(2ni i j i i j nx C n x x =≤<≤≥∑∑39.设,,0a b c >，44454690a b c ++=，求333523a b c ++的最大值. 40.求15sin sin 2sin34y x x x =++的最大值. 41.已知21x y +=，0,0x y >>，求11(,)f x y x y=++的最小值 42.求()f x =.43.设,,,0a b c d >44.设1212,,..,0,....1n n x x x x x x >+++=，求12111()ni x x =-∏的最小值. 45.确定最小的自然数k ，使得对于任意的[]0,1α∈及任意n N +∈，恒有31(1)(1)k n a a n -<+46. 0,(1,2,3,...,,2)2i i n n πα⎛⎫∈=≥ ⎪⎝⎭设,且1sin (n i i a a α==∏为正常数），求1cos ni i α=∏的最大值.47.设,,,1a b c d >，满足0a b c d abc abd acd bcd +++++++=，a,b,c,d 为实数，求证：101a >-∑48.设12,,..,0n x x x >，且11(3,,2)1k ni ki ix n n k N k n x +==-≥∈≤≤+∑，求证：1(1)n nki i x n =≥-∏ 49 设12..1n x x x =，且这n 个数都是正实数，记11n x x +=，求证：1111(1)()nnnnn ii ni i ii n xx x===+≥+∑∏∑50.已知123,,0a a a >，求证：12314()3(a a a a ++≥+ 51. 已知123,,,...,0n a a a a >，121 (1)n i ji j n a a a a a n n≤<≤+++-≥∑ 52.已知实数数列{}{}{},,,n n n a b c 满足10ni i i a b ==∑，证明：22222111114()(),n n nn niiii i i i i i i i i a b ca cbc =====≥∑∑∑∑∑53.已知n 是给定的正整数，12,,...,0n a a a >，对于任意的1k n ≤≤，均有123...!k a a a a k ≥； 求证：11212323!(1)!....31+(1)(2)(1)(2)(3)....()n n a a a a a a n a ++++<++++++！ 54.已知n 是大于等于3的正整数，12,,..,0,n x x x ≥证明：224(1)(2)(22)n A B n B A n AC ++-≥+-,其中23111,,,n nni i i i i i A x B x C x ======∑∑∑55.对于两两不相等的实数12,,..,n x x x ，证明：221(1)n nk k j kj k x n x x =≠+≥-∑∏56.已知正实数12,,..,0,n x x x n N +>∈，求证：11211..)nnii i i i a a a e a ==<∑∑（ 57.已知123,,0x x x ≥，证明：22231223311231234()27x x x x x x x x x x x x +++≤++。