【配套K12】高中数学第2章数列 2.2 等差数列第4课时等差数列前n项和公式的应用同步练习

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高中数学第二章数列2.2.2等差数列的前n项和(第2课时)等差数列前n项和的性质bb高二数学

题型一等差数列(děnɡ chā shù liè)前n项和的性质
的应用例1 (1)等差数列(děnɡ chā shù liè){an}的前m项和为30，前2m项和为100，求数列{an}的前3m 项的和S3m；
解方法(fāngfǎ)一在等差数列中，
∵Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列， ∴30，70，S3m－100成等差数列. ∴2×70＝30＋(S3m－100)，∴S3m＝210.
当 d<0 时，Sn 有_最__大__值.当 n 取最接近对称轴的自然数时，Sn 取到最值.
12/9/2021
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思考(sīkǎo)辨析判断正误
SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU
1.等差数列的前n项和一定是常数(chángshù)项为0的关于n的二次函数.( 2.等差数列{an}的前n项和Sn＝An2＋bn.即{an}的公差为2A.( )
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跟踪训练1 一个(yī ɡè)等差数列的前10项和为100，前100项和为10，求前110项之和.
解设Sn＝an2＋bn. ∵S10＝100，S100＝10，
∴102a＋10b＝100， 1002a＋100b＝10，
解得ab＝＝1－110111.010，
∴Sn＝－11010n2＋11101n.
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反思(fǎn sī)感悟 (1)等差数列前n项和Sn最大(小)值的情形： ①若a1>0，d<0，则Sn存在最大值，即所有非负项之和. ②若a1<0，d>0，则Sn存在最小值，即所有非正项之和. (2)求等差数列前n项和Sn最值的方法 ①寻找正、负项的分界点，可利用等差数列性质或利用

【配套K12】高中数学第二章数列2.2等差数列名师导航学案

2.2 等差数列知识梳理1.等差数列的定义一般地,如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫等差数列,这个常数叫等差数列的公差,通常用字母d 表示,定义的表达式为a n+1-a n =d(n∈N +).2.等差数列的通项公式如果等差数列{a n }的首项为a 1,公差为d,那么它的通项公式为a n =a 1+(n-1)d.3.等差中项若三个数a 、A 、b 成等差数列,则A 叫做a 、b 的等差中项,且A=2b a +. 4.等差数列前n 项和公式S n =2)(1n a a n +或na 1+2)1(d n n -. 5.等差数列的单调性等差数列{a n }的公差为d,若d ＞0,则数列为递增数列,且当a 1＜0时,前n 项和S n 有最小值;若d ＜0,则数列为递减数列,且当a 1＞0时,前n 项和S n 有最大值.6.等差数列的常用性质已知数列{a n }是等差数列,首项为a 1,公差为d.(1)若m+n=p+q,则a m +a n =a p +a q ;推论:若m+n=2p,则a m +a n =2a p .(2)等差数列中连续m 项的和组成的新数列是等差数列,公差等于m 2d,即S m ,S 2m -S m ,S 3m -S 2m ,…为等差数列,则有S 3m =3(S 2m -S m ).(3)从等差数列中抽取等距离的项组成的数列是一个等差数列.如a 1,a 4,a 7,a 10,…(下标成等差数列).知识导学等差数列是一种特殊的数列,所以学习前先对上节有关数列的概念、性质进行回顾,同时复习前面学习过的一次函数的形式与图象,并且思考一次函数与等差数列的区别.本节内容的重点是等差数列的定义和等差数列的通项公式及前n 项和公式,要能够运用公式解决简单问题,在实际解题中注意有关技巧的运用.在理解定义时,要重视两点:一是“从第二项起”,二是“同一常数”,同时要对a,d 的取值对单调性的影响加以分析,以加深对概念的理解和知识的巩固.疑难突破1.如何去判断或证明一个数列为等差数列呢?剖析:判断一个数列是否为等差数列,最基本也最常用的就是看这个数列是否符合等差数列的定义.一般有以下五种方法:(1)定义法:a n+1-a n =d(常数)(n∈N +)⇔{a n }是等差数列;(2)递推法:2a n+1=a n +a n+2(n∈N +)⇔{a n }是等差数列;(3)性质法:利用性质来判断;(4)通项法:a n =pn+q(p 、q 为常数)⇔{a n }是等差数列;(5)求和法:S n =An 2+Bn(A 、B 为常数,S n 为{a n }的前n 项和)⇔{a n }是等差数列.其中(4)(5)两种方法主要应用于选择、填空题中,在解答题中判断一个数列是否是等差数列,一般用(1)(2)(3)这三种方法,而方法(3)还经常与(1)(2)混合运用.证明数列{a n }是等差数列有两种基本方法:(1)利用等差数列的定义,证明a n+1-a n (n≥1)为常数;(2)利用等差中项的性质,即证明2a n =a n-1+a n+1(n≥2).2.如何求等差数列前n 项和的最值?剖析:可从以下两个方面思考:(1)利用前n 项和公式,转化为一元二次函数的最值问题.S n =na 1+n d a n d d n n )2(22)1(12-+=-,当d≠0时,此式可看作二次项系数为2d ,一次项系数为a 1-2d ,常数项为0的二次函数,其图象为抛物线y=2d x 2+(a 1-2d )x 上的点集,坐标为(n,S n )(n∈N +),因此,由二次函数的性质立即可以得出结论:当d ＞0时,S n 有最小值;当d ＜0时,S n 有最大值.(2)结合数列的特征,运用函数单调性的思路.当d ＞0时,则数列为递增数列,且当a 1＜0时,一定会出现某一项,在此之前的项都是非正数,而后面的项都是正数,前n 项和S n 有最小值;当d ＜0时,则数列为递减数列,且当a 1＞0时,一定会出现某一项,在此之前的项都是非负数,而后面的项都是负数,前n 项和S n 有最大值.显然最值问题很容易判断.第二种思路运算量小.。

高中数学第二章数列2.2.2等差数列的性质课件2新人教A版必修 (2)

巧
传
播
陷阱规避
陷阱一陷阱二陷阱三
【易错典例】
已知数列{an } 满足 a1 1， an 3n1 an1(n 2) ，求 a1 ， a2 ；
等差数列
2
概念
性质
典题剖析
题型一：等差数列的简单判定
例 1．（1）求等差数列 8、5、2… …的第 20 项
（2） 401是不是等差数列 5、 9、 13… …的项？如果是，是第几项？
题型二：等差中项的应用
例2：在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c使这五个数成等差数列，求此数列．
题型三：等差数列的推理与证明
例 3．已知数列{an} 的通项公式 an pn q ，其中 p 、q 为常数，这个数列是等差数列吗？若是，首项和公差分别是多少？
技巧传播
1．判断一个数列{an}是否是等差数列，关键是
2．三个数成等差数列可设为：a－d，a，a＋d 或 a，a＋d，a＋2d；
第二章数列
等差数列的性质
等差数列
等差数列的定义
定义
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“ d ”表示）注意：
注意事项
等差数列的通项
推导
累加法
等差中项
等差中项：如果 a ，G ， b 成等差数列，那么G 叫做a ，b 的等差中项性质：G a b

高中数学第二章数列2.2等差数列2.2.1等差数列的概念及通项公式课件新人教A版必修5

探究三
探究四
典型例题1
(1)在等差数列{an}中,已知a5=10,a12=31,求通项公式an; (2)已知数列{an}为等差数列, a3=
5 7 ,a7=- ,求a15的值. 4 4
思路分析:设出首项与公差,列出方程组,并求出首项与公差,再写出通项公式.
探究一
探究二
探究三
探究四
解 :(1)设等差数列 {an}的公差为 d, ��1 + 4�� = 10, ∵a5=10,a12=31,则解得 ��1 = -2, ��1 + 11�� = 31, �� = 3. 因此这个等差数列的首项是-2,公差是 3. ∴an=-2+3(n-1)=3n-5. (2)设等差数列 {an}的公差为 d,首项为 a1, 由 ��3 = ��7 =
5 , 4 得 7 4
��1 + 2�� = ��1 + 6�� =
31 4
5 , 4 解得 7 - , 4
11 ��1 = , 4 3 �� = - . 4
∴a15=a1+(15-1)d
= +14× 11 4 3 4
=- .
探究一
探究二
探究三
探究四
1
2
3
名师点拨
对等差数列定义的理解: (1)等差数列定义中的关键词是:“从第2项起”与“同一个常数”.
①如果一个数列,不是从第2项起,而是从第3项或第4项起,每一项与前一项的差
是同一个常数,那么此数列不是等差数列.
②如果一个数列,从第2项起,每一项与前一项的差,尽管是常数,但这个数列也不

(新课标)高中数学第2章数列 2.2 等差数列第4课时等差数列前n项和公式的应用课时作业新

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和公式的应用课时作业新人教B版必修5基础巩固一、选择题1．四个数成等差数列，S4＝32,a2︰a3＝1︰3，则公差d等于错误!（ A ）A．8 B．16C．4 D．0[解析］∵a2︰a3＝1︰3，∴错误!＝错误!，∴d＝－2a1，又S4＝4a1＋错误!d＝－8a1＝32，∴a1＝－4，∴d＝8.2．（2015·新课标Ⅱ文，5）设S n是等差数列{a n}的前n项和，若a1＋a3＋a5＝3，则S5＝导学号 27542381（ A )A．5 B．7C．9 D．11［解析］解法一：利用等差数列的性质进行求解．∵a1＋a5＝2a3，∴a1＋a3＋a5＝3a3＝3，∴a3＝1，∴S5＝错误!＝5a3＝5.故选A．解法二：利用等差数列的通项公式和前n项和公式进行整体运算．∵a1＋a3＋a5＝a1＋（a1＋2d)＋(a1＋4d)＝3a1＋6d＝3，∴a1＋2d＝1，∴S5＝5a1＋错误!d＝5(a1＋2d)＝5，故选A．3．等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a m－1＋a m＋1－a错误!＝0，S2m－1＝38,则m＝错误!( C ) A．38 B．20C．10 D．9[解析］由等差数列的性质，得a m－1＋a m＋1＝2a m，∴2a m＝a错误!，由题意,得a m≠0,∴a m＝2。

高中数学第二章数列2.2等差数列新人教A版必修4

学习资料专题2.2 等差数列第一课时等差数列的概念及通项公式[新知初探]1．等差数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d 表示．[点睛] (1)“从第2项起”是指第1项前面没有项，无法与后续条件中“与前一项的差”相吻合．(2)“每一项与它的前一项的差”这一运算要求是指“相邻且后项减去前项”，强调了：①作差的顺序；②这两项必须相邻．(3)定义中的“同一常数”是指全部的后项减去前一项都等于同一个常数，否则这个数列不能称为等差数列．2．等差中项如果三个数a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．这三个数满足的关系式是A ＝a ＋b2.3．等差数列的通项公式已知等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d .[点睛] 由等差数列的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d 可得a n ＝dn ＋(a 1－d )，如果设p ＝d ，q ＝a 1－d ，那么a n ＝pn ＋q ，其中p ，q 是常数．当p ≠0时，a n 是关于n 的一次函数；当p＝0时，a n ＝q ，等差数列为常数列．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列( )(2)等差数列{a n }的单调性与公差d 有关( )(3)根据等差数列的通项公式，可以求出数列中的任意一项( ) (4)若三个数a ，b ，c 满足2b ＝a ＋c ，则a ，b ，c 一定是等差数列( )解析：(1)错误．若这些常数都相等，则这个数列是等差数列；若这些常数不全相等，则这个数列就不是等差数列．(2)正确．当d >0时为递增数列；d ＝0时为常数列；d <0时为递减数列． (3)正确．只需将项数n 代入即可求出数列中的任意一项．(4)正确．若a ，b ，c 满足2b ＝a ＋c ，即b －a ＝c －b ，故a ，b ，c 为等差数列．答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)√2．等差数列{a n }中，a 1＝1，d ＝3，a n ＝298，则n 的值等于( ) A ．98 B ．100 C ．99D ．101解析：选B a n ＝a 1＋(n －1)d ＝3n －2，令a n ＝298，即3n －2＝298⇒n ＝100. 3．在等差数列{a n }中，若a 1·a 3＝8，a 2＝3，则公差d ＝( ) A ．1 B ．－1 C ．±1D ．±2解析：选C 由已知得，⎩⎪⎨⎪⎧a 1a 1＋2d ＝8，a 1＋d ＝3，解得d ＝±1.4．若log 32，log 3(2x－1)，log 3(2x＋11)成等差数列．则x 的值为________．解析：由log 3(2x＋11)－log 3(2x－1)＝log 3(2x－1)－log 32，得：(2x )2－4·2x－21＝0，∴2x＝7，∴x ＝log 27.答案：log 27[典例] 在等差数列{a n }中， (1)已知a 5＝－1，a 8＝2，求a 1与d ； (2)已知a 1＋a 6＝12，a 4＝7，求a 9. [解] (1)∵a 5＝－1，a 8＝2， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋4d ＝－1，a 1＋7d ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－5，d ＝1.(2)设数列{a n }的公差为d .由已知得，⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1＋5d ＝12，a 1＋3d ＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2.∴a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1， ∴a 9＝2×9－1＝17.[活学活用]1．2 016是等差数列4,6,8，…的( ) A ．第1 006项 B ．第1 007项 C ．第1 008项D ．第1 009项解析：选B ∵此等差数列的公差d ＝2，∴a n ＝4＋(n －1)×2，a n ＝2n ＋2，即2 016＝2n ＋2，∴n ＝1 007.2．已知等差数列{a n }中，a 15＝33，a 61＝217，试判断153是不是这个数列的项，如果是，是第几项？解：设首项为a 1，公差为d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d ，由已知⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋－d ＝33，a 1＋－d ＝217，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－23，d ＝4.所以a n ＝－23＋(n －1)×4＝4n －27，令a n ＝153，即4n －27＝153，解得n ＝45∈N *，所以153是所给数列的第45项.[典例] 已知等差数列{a n }，满足a 2＋a 3＋a 4＝18，a 2a 3a 4＝66.求数列{a n }的通项公式． [解] 在等差数列{a n }中，∵ a 2＋a 3＋a 4＝18，∴3a 3＝18，a 3＝6. ∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a 4＝12，a 2·a 4＝11，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝11，a 4＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝1，a 4＝11.当⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝11，a 4＝1时，a 1＝16，d ＝－5.a n ＝a 1＋(n －1)d ＝16＋(n －1)·(－5)＝－5n ＋21.当⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝1，a 4＝11时，a 1＝－4，d ＝5.a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－4＋(n －1)·5＝5n －9.[活学活用]1．已知数列8，a,2，b ，c 是等差数列，则a ，b ，c 的值分别为________，________，________.解析：因为8，a,2，b ，c 是等差数列，所以⎩⎪⎨⎪⎧8＋2＝2a ，a ＋b ＝2×2，2＋c ＝2b .解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝－1，c ＝－4.答案：5 －1 －42．已知数列{a n }中，a 3＝2，a 7＝1，且数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ＋1为等差数列，则a 5＝________. 解析：由数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ＋1为等差数列，则有1a 3＋1＋1a 7＋1＝2a 5＋1，可解得a 5＝75.答案：75[典例] 已知数列{a n }满足a 1＝4，a n ＝4－4a n －1(n >1)，记b n ＝1a n －2.求证：数列{b n }是等差数列．证明：[法一定义法] ∵b n ＋1＝1a n ＋1－2＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫4－4a n －2＝a n a n －，∴b n ＋1－b n ＝a n a n －－1a n －2＝a n －2a n －＝12，为常数(n ∈N *)．又b 1＝1a 1－2＝12， ∴数列{b n }是首项为12，公差为12的等差数列．[法二等差中项法] ∵b n ＝1a n －2， ∴b n ＋1＝1a n ＋1－2＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫4－4a n －2＝a n a n －.∴b n ＋2＝a n ＋1a n ＋1－＝4－4a n2⎝ ⎛⎭⎪⎫4－4a n －2＝a n －1a n －2.∴b n ＋b n ＋2－2b n ＋1＝1a n －2＋a n －1a n －2－2×a n a n －＝0.∴b n ＋b n ＋2＝2b n ＋1(n ∈N *)， ∴数列{b n }是等差数列．[活学活用]已知1a ，1b ，1c成等差数列，并且a ＋c ，a －c ，a ＋c －2b 均为正数，求证：lg(a ＋c )，lg(a－c )，lg(a ＋c －2b )也成等差数列．解：∵1a ，1b ，1c 成等差数列，∴2b ＝1a ＋1c，∴2b ＝a ＋c ac，即2ac ＝b (a ＋c )．(a ＋c )(a ＋c －2b )＝(a ＋c )2－2b (a ＋c )＝(a ＋c )2－2×2ac ＝a 2＋c 2＋2ac －4ac ＝(a －c )2.∵a ＋c ，a ＋c －2b ，a －c 均为正数，上式左右两边同时取对数得，lg[(a ＋c )(a ＋c －2b )]＝lg(a －c )2，即lg(a ＋c )＋lg(a ＋c －2b )＝2lg(a －c )，∴lg(a ＋c )，lg(a －c )，lg(a ＋c －2b )成等差数列．层级一学业水平达标1．已知等差数列{a n }的通项公式为a n ＝3－2n ，则它的公差为( ) A ．2 B ．3 C ．－2D ．－3解析：选C ∵a n ＝3－2n ＝1＋(n －1)×(－2)，∴d ＝－2，故选C. 2．若等差数列{a n }中，已知a 1＝13，a 2＋a 5＝4，a n ＝35，则n ＝( )A ．50B ．51C ．52D ．53解析：选D 依题意，a 2＋a 5＝a 1＋d ＋a 1＋4d ＝4，代入a 1＝13，得d ＝23.所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝13＋(n －1)×23＝23n －13，令a n ＝35，解得n ＝53.3．设x 是a 与b 的等差中项，x 2是a 2与－b 2的等差中项，则a ，b 的关系是( ) A ．a ＝－b B ．a ＝3b C ．a ＝－b 或a ＝3bD ．a ＝b ＝0解析：选C 由等差中项的定义知：x ＝a ＋b2，x 2＝a 2－b 22，∴a 2－b 22＝⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22，即a 2－2ab －3b 2＝0. 故a ＝－b 或a ＝3b .4．数列{a n }中，a 1＝2,2a n ＋1＝2a n ＋1，则a 2 015的值是( ) A ．1 006B ．1 007C ．1 008D ．1 009解析：选D 由2a n ＋1＝2a n ＋1，得a n ＋1－a n ＝12，所以{a n }是等差数列，首项a 1＝2，公差d ＝12，所以a n ＝2＋12(n －1)＝n ＋32，所以a 2 015＝2 015＋32＝1 009.5．等差数列{a n }的首项为70，公差为－9，则这个数列中绝对值最小的一项为( ) A ．a 8 B ．a 9 C ．a 10D ．a 11解析：选B |a n |＝|70＋(n －1)×(－9)|＝|79－9n |＝9⎪⎪⎪⎪⎪⎪879－n ，∴n ＝9时，|a n |最小．6．在等差数列{a n }中，a 3＝7，a 5＝a 2＋6，则a 6＝________. 解析：设等差数列{a n }的公差为d ，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝7，a 1＋4d ＝a 1＋d ＋6.解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，d ＝2.∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝3＋(n －1)×2＝2n ＋1. ∴a 6＝2×6＋1＝13. 答案：137．已知{a n }为等差数列，且a 7－2a 4＝－1，a 3＝0，则公差d ＝________. 解析：根据题意得：a 7－2a 4＝a 1＋6d －2(a 1＋3d )＝－a 1＝－1，∴a 1＝1.又a 3＝a 1＋2d ＝1＋2d ＝0， ∴d ＝－12.答案：－128．已知数列{a n }满足：a 2n ＋1＝a 2n ＋4，且a 1＝1，a n >0，则a n ＝________. 解析：根据已知条件a 2n ＋1＝a 2n ＋4，即a 2n ＋1－a 2n ＝4. ∴数列{a 2n }是公差为4的等差数列，则a 2n ＝a 21＋(n －1)×4＝4n －3. ∵a n >0，∴a n ＝4n －3. 答案：4n －39．已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝2a na n ＋2，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是否为等差数列？说明理由．解：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列，理由如下：因为a 1＝2，a n ＋1＝2a na n ＋2，所以1a n ＋1＝a n ＋22a n ＝12＋1a n，所以1a n ＋1－1a n ＝12(常数)．所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1a 1＝12为首项，公差为12的等差数列．10．若1b ＋c ，1a ＋c ，1a ＋b是等差数列，求证：a 2，b 2，c 2成等差数列．证明：由已知得1b ＋c ＋1a ＋b ＝2a ＋c ，通分有2b ＋a ＋c b ＋c a ＋b ＝2a ＋c. 进一步变形有2(b ＋c )(a ＋b )＝(2b ＋a ＋c )(a ＋c )，整理，得a 2＋c 2＝2b 2，所以a 2，b 2，c 2成等差数列．层级二应试能力达标1．若数列{a n }为等差数列，a p ＝q ，a q ＝p (p ≠q )，则a p ＋q 为( ) A ．p ＋q B ．0 C ．－(p ＋q )D.p ＋q2解析：选B ∵a p ＝a 1＋(p －1)d ，a q ＝a 1＋(q －1)d ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋p －d ＝q ， ①a 1＋q －d ＝p . ②①－②，得(p －q )d ＝q －p . ∵p ≠q ，∴d ＝－1.代入①，有a 1＋(p －1)×(－1)＝q ，∴a 1＝p ＋q －1. ∴a p ＋q ＝a 1＋(p ＋q －1)d ＝p ＋q －1＋(p ＋q －1)×(－1)＝0.2．已知x ≠y ，且两个数列x ，a 1，a 2，…，a m ，y 与x ，b 1，b 2，…，b n ，y 各自都成等差数列，则a 2－a 1b 2－b 1等于( )A.m nB.m ＋1n ＋1 C.n mD.n ＋1m ＋1解析：选D 设这两个等差数列公差分别是d 1，d 2，则a 2－a 1＝d 1，b 2－b 1＝d 2.第一个数列共(m ＋2)项，∴d 1＝y －x m ＋1；第二个数列共(n ＋2)项，∴d 2＝y －x n ＋1.这样可求出a 2－a 1b 2－b 1＝d 1d 2＝n ＋1m ＋1. 3．已知数列{a n }，对任意的n ∈N *，点P n (n ，a n )都在直线y ＝2x ＋1上，则{a n }为( ) A ．公差为2的等差数列 B ．公差为1的等差数列 C ．公差为－2的等差数列D ．非等差数列解析：选A 由题意知a n ＝2n ＋1，∴a n ＋1－a n ＝2，应选A.4．如果a 1，a 2，…，a 8为各项都大于零的等差数列，且公差d ≠0，则( ) A ．a 3a 6>a 4a 5 B ．a 3a 6<a 4a 5 C ．a 3＋a 6>a 4＋a 5D ．a 3a 6＝a 4a 5解析：选B 由通项公式，得a 3＝a 1＋2d ，a 6＝a 1＋5d ，那么a 3＋a 6＝2a 1＋7d ，a 3a 6＝(a 1＋2d )(a 1＋5d )＝a 21＋7a 1d ＋10d 2，同理a 4＋a 5＝2a 1＋7d ，a 4a 5＝a 21＋7a 1d ＋12d 2，显然a 3a 6－a 4a 5＝－2d 2<0，故选B.5．数列{a n }是首项为2，公差为3的等差数列，数列{b n }是首项为－2，公差为4的等差数列．若a n ＝b n ，则n 的值为________．解析：a n ＝2＋(n －1)×3＝3n －1，b n ＝－2＋(n －1)×4＝4n －6，令a n ＝b n ，得3n －1＝4n －6，∴n ＝5. 答案：56．在数列{a n }中，a 1＝3，且对于任意大于1的正整数n ，点(a n ， a n －1)都在直线x －y －3＝0上，则a n ＝________.解析：由题意得a n －a n －1＝3，所以数列{a n }是首项为3，公差为3的等差数列，所以a n ＝3n ，a n ＝3n 2.答案：3n 27．已知数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＝2a n －1＋2n(n ≥2，且∈N *)． (1)求a 2，a 3；(2)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 是等差数列；(3)求数列{a n }的通项公式a n .解：(1)a 2＝2a 1＋22＝6，a 3＝2a 2＋23＝20. (2)证明：∵a n ＝2a n －1＋2n(n ≥2，且n ∈N *)， ∴a n 2n ＝a n －12n －1＋1(n ≥2，且n ∈N *)，即a n 2n －a n －12n －1＝1(n ≥2，且n ∈N *)， ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 是首项为a 121＝12，公差d ＝1的等差数列．(3)由(2)，得a n 2n ＝12＋(n －1)×1＝n －12，∴a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n －12·2n.8．数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝(λ－3)a n ＋2n(n ∈N *)． (1)当a 2＝－1时，求λ及a 3的值；(2)是否存在λ的值，使数列{a n }为等差数列？若存在求其通项公式；若不存在说明理由．解：(1)∵a 1＝2，a 2＝－1，a 2＝(λ－3)a 1＋2，∴λ＝32.∴a 3＝－32a 2＋22，∴a 3＝112.(2)∵a 1＝2，a n ＋1＝(λ－3)a n ＋2n， ∴a 2＝(λ－3)a 1＋2＝2λ－4.a 3＝(λ－3)a 2＋4＝2λ2－10λ＋16.若数列{a n }为等差数列，则a 1＋a 3＝2a 2. 即λ2－7λ＋13＝0.∵Δ＝49－4×13<0，∴方程无实数解．∴λ值不存在．∴不存在λ的值使{a n }成等差数列．第二课时等差数列的性质[新知初探]1．等差数列通项公式的推广2.若{a n}是公差为d的等差数列，正整数m，n，p，q满足m＋n＝p＋q，则a m＋a n＝a p＋a q.(1)特别地，当m＋n＝2k(m，n，k∈N*)时，a m＋a n＝2a k.(2)对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和，即a1＋a n ＝a2＋a n－1＝…＝a k＋a n－k＋1＝….(3)若{a n}是公差为d的等差数列，则①{c＋a n}(c为任一常数)是公差为d的等差数列；②{ca n}(c为任一常数)是公差为cd的等差数列；③{a n＋a n＋k}(k为常数，k∈N*)是公差为2d的等差数列．(4)若{a n}，{b n}分别是公差为d1，d2的等差数列，则数列{pa n＋qb n}(p，q是常数)是公差为pd1＋qd2的等差数列．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若{a n}是等差数列，则{|a n|}也是等差数列( )(2)若{|a n|}是等差数列，则{a n}也是等差数列( )(3)若{a n}是等差数列，则对任意n∈N*都有2a n＋1＝a n＋a n＋2( )(4)数列{a n}的通项公式为a n＝3n＋5，则数列{a n}的公差与函数y＝3x＋5的图象的斜率相等( )解析：(1)错误．如－2，－1,0,1,2是等差数列，但其绝对值就不是等差数列．(2)错误．如数列－1,2，－3,4，－5其绝对值为等差数列，但其本身不是等差数列．(3)正确．根据等差数列的通项可判定对任意n∈N*，都有2a n＋1＝a n＋a n＋2成立．(4)正确．因为a n＝3n＋5的公差d＝3，而直线y＝3x＋5的斜率也是3.答案：(1)×(2)×(3)√(4)√2．在等差数列{a n}中，若a5＝6，a8＝15，则a14等于( )A．32 B．33C．－33 D．29解析：选B ∵数列{a n }是等差数列， ∴a 5，a 8，a 11，a 14也成等差数列且公差为9， ∴a 14＝6＋9×3＝33.3．在等差数列{a n }中，已知a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝450，则a 2＋a 8＝( ) A ．90 B ．270 C ．180D ．360解析：选C 因为a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝5a 5＝450，所以a 5＝90，所以a 2＋a 8＝2a 5＝2×90＝180.4．在等差数列{a n }中，已知a 2＋2a 8＋a 14＝120，则2a 9－a 10的值为________．解析：∵a 2＋a 14＝2a 8，∴a 2＋2a 8＋a 14＝4a 8＝120，∴a 8＝30.∴2a 9－a 10＝(a 8＋a 10)－a 10＝a 8＝30.答案：30[典例] (1)已知等差数列{a n }中，a 2＋a 4＝6，则a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝( ) A ．30 B ．15 C ．5 6D ．10 6(2)设{a n }，{b n }都是等差数列，且a 1＝25，b 1＝75，a 2＋b 2＝100，则a 37＋b 37＝( ) A ．0 B ．37 C ．100D ．－37[解析] (1)∵数列{a n }为等差数列，∴a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝(a 1＋a 5)＋(a 2＋a 4)＋a 3＝52(a 2＋a 4)＝52×6＝15.(2)设c n ＝a n ＋b n ，由于{a n }，{b n }都是等差数列，则{c n }也是等差数列，且c 1＝a 1＋b 1＝25＋75＝100，c 2＝a 2＋b 2＝100，∴{c n }的公差d ＝c 2－c 1＝0. ∴c 37＝100，即a 37＋b 37＝100. [答案] (1)B (2)C[活学活用]1．已知{a n }为等差数列，若a 1＋a 5＋a 9＝π，则cos(a 2＋a 8)的值为( ) A ．－12B ．－32C.12D.32解析：选A a 1＋a 5＋a 9＝3a 5＝π，所以a 5＝π3，而a 2＋a 8＝2a 5＝2π3，所以cos(a 2＋a 8)＝cos 2π3＝－12，故选A.2．在等差数列{a n }中，已知a 3＋a 8＝10，则3a 5＋a 7＝( ) A ．10 B ．18 C ．20D ．28解析：选C 由等差数列的性质得：3a 5＋a 7＝2a 5＋(a 5＋a 7)＝2a 5＋(2a 6)＝2(a 5＋a 6)＝2(a 3＋a 8)＝20，故选C.[典例] (1)三个数成等差数列，其和为9，前两项之积为后一项的6倍，求这三个数． (2)四个数成递增等差数列，中间两项的和为2，首末两项的积为－8，求这四个数． [解] (1)设这三个数依次为a －d ，a ，a ＋d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a －d ＋a ＋a ＋d ＝9，a －d a ＝a ＋d ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，d ＝－1.∴这三个数为4,3,2.(2)法一：设这四个数为a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d (公差为2d )，依题意，2a ＝2，且(a －3d )(a ＋3d )＝－8，即a ＝1，a 2－9d 2＝－8， ∴d 2＝1，∴d ＝1或d ＝－1.又四个数成递增等差数列，所以d ＞0， ∴d ＝1，故所求的四个数为－2,0,2,4.法二：若设这四个数为a ，a ＋d ，a ＋2d ，a ＋3d (公差为d )，依题意，2a ＋3d ＝2，且a (a ＋3d )＝－8，把a ＝1－32d 代入a (a ＋3d )＝－8，得⎝ ⎛⎭⎪⎫1－32d ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋32d ＝－8，即1－94d 2＝－8，化简得d 2＝4，所以d ＝2或－2.又四个数成递增等差数列，所以d ＞0，所以d ＝2，a ＝－2.故所求的四个数为－2,0,2,4.[活学活用]已知成等差数列的四个数，四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40，求这个等差数列．解：设这四个数依次为a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d (公差为2d )．由题设知⎩⎪⎨⎪⎧a －3d ＋a －d ＋a ＋d ＋a ＋3d ＝26，a －da ＋d ＝40，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝132，d ＝32或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝132，d ＝－32.∴这个数列为2,5,8,11或11,8,5,2.[典例] 某公司经销一种数码产品，第一年可获利200万元，从第二年起由于市场竞争方面的原因，其利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律，如果公司不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？[解] 设从第一年起，第n年的利润为a n万元，则a1＝200，a n＋1－a n＝－20(n∈N*)，∴每年的利润构成一个等差数列{a n}，从而a n＝a1＋(n－1)d＝200＋(n－1)×(－20)＝220－20n.若a n<0，则该公司经销这一产品将亏损．∴由a n＝220－20n<0，得n>11，即从第12年起，该公司经销此产品将亏损．[活学活用]某市出租车的计价标准为1.2元/km，起步价为10元，即最初的4 km(不含4 km)计费10元．如果某人乘坐该市的出租车去往14 km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，需要支付车费________元．解析：根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4 km时，每增加1 km，乘客需要支付1.2元．所以可以建立一个等差数列{a n}来计算车费．令a1＝11.2，表示4 km处的车费，公差d＝1.2，那么当出租车行至14 km处时，n＝11，此时需要支付车费a11＝11.2＋(11－1)×1.2＝23.2(元)．答案：23.2层级一学业水平达标1．在等差数列{a n}中，已知a4＋a8＝16，则a2＋a10＝( )A ．12B ．16C ．20D ．24解析：选B 因为数列{a n }是等差数列，所以a 2＋a 10＝a 4＋a 8＝16. 2．在等差数列{a n }中，a 1＋a 9＝10，则a 5的值为( ) A ．5 B ．6 C ．8D ．10解析：选A 由等差数列的性质，得a 1＋a 9＝2a 5，又∵a 1＋a 9＝10，即2a 5＝10， ∴a 5＝5.3．下列说法中正确的是( )A ．若a ，b ，c 成等差数列，则a 2，b 2，c 2成等差数列B ．若a ，b ，c 成等差数列，则log 2a ，log 2b ，log 2c 成等差数列C ．若a ，b ，c 成等差数列，则a ＋2，b ＋2，c ＋2成等差数列D ．若a ，b ，c 成等差数列，则2a,2b,2c 成等差数列解析：选C 因为a ，b ，c 成等差数列，则2b ＝a ＋c ，所以2b ＋4＝a ＋c ＋4，即2(b ＋2)＝(a ＋2)＋(c ＋2)，所以a ＋2，b ＋2，c ＋2成等差数列．4．在等差数列{a n }中，a 1＝2，a 3＋a 5＝10，则a 7＝( ) A ．5 B ．8 C ．10D ．14解析：选B 由等差数列的性质可得a 1＋a 7＝a 3＋a 5＝10，又a 1＝2，所以a 7＝8. 5．等差数列{a n }中， a 2＋a 5＋a 8＝9，那么方程x 2＋(a 4＋a 6)x ＋10＝0的根的情况( ) A ．没有实根 B ．两个相等实根 C ．两个不等实根D ．无法判断解析：选A 由a 2＋a 5＋a 8＝9得a 5＝3，∴a 4＋a 6＝6，方程转化为x 2＋6x ＋10＝0.因为Δ<0，所以方程没有实根．6．若三个数成等差数列，它们的和为9，平方和为59，则这三个数的积为________．解析：设这三个数为a －d ，a ，a ＋d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a －d ＋a ＋a ＋d ＝9，a －d 2＋a 2＋a ＋d 2＝59.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，d ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，d ＝－4.∴这三个数为－1,3,7或7,3，－1.∴它们的积为－21.答案：－217．若a，b，c成等差数列，则二次函数y＝ax2－2bx＋c的图象与x轴的交点的个数为________．解析：∵a，b，c成等差数列，∴2b＝a＋c，∴Δ＝4b2－4ac＝(a＋c)2－4ac＝(a－c)2≥0.∴二次函数y＝ax2－2bx＋c的图象与x轴的交点个数为1或2.答案：1或28．已知等差数列{a n}满足a m－1＋a m＋1－a2m－1＝0，且m>1，则a1＋a2m－1＝________.解析：因为数列{a n}为等差数列，则a m－1＋a m＋1＝2a m，则a m－1＋a m＋1－a2m－1＝0可化为2a m－a2m－1＝0，解得a m＝1，所以a1＋a2m－1＝2a m＝2.答案：29．在等差数列{a n}中，若a1＋a2＋…＋a5＝30，a6＋a7＋…＋a10＝80，求a11＋a12＋…＋a15.解：法一：由等差数列的性质得a1＋a11＝2a6，a2＋a12＝2a7，…，a5＋a15＝2a10.∴(a1＋a2＋…＋a5)＋(a11＋a12＋…＋a15)＝2(a6＋a7＋…＋a10)．∴a11＋a12＋…＋a15＝2(a6＋a7＋…＋a10)－(a1＋a2＋…＋a5)＝2×80－30＝130.法二：∵数列{a n}是等差数列，∴a1＋a2＋…＋a5，a6＋a7＋…＋a10，a11＋a12＋…＋a15也成等差数列，即30,80，a11＋a12＋…＋a15成等差数列．∴30＋(a11＋a12＋…＋a15)＝2×80，∴a11＋a12＋…＋a15＝130.10．有一批影碟机原销售价为每台800元，在甲、乙两家家电商场均有销售．甲商场用如下的方法促销：买一台单价为780元，买两台单价都为760元，依次类推，每多买一台则所买各台单价均再减少20元，但每台最低价不能低于440元；乙商场一律都按原价的75%销售．某单位购买一批此类影碟机，问去哪家商场买花费较少．解：设单位需购买影碟机n台，在甲商场购买每台售价不低于440元，售价依台数n 成等差数列．设该数列为{a n}．a n＝780＋(n－1)(－20)＝800－20n，解不等式a n≥440，即800－20n≥440，得n≤18.当购买台数小于等于18台时，每台售价为(800－20n)元，当台数大于18台时，每台售价为440元．到乙商场购买，每台售价为800×75%＝600元．作差：(800－20n)n－600n＝20n(10－n)，当n<10时，600n<(800－20n)n，当n＝10时，600n＝(800－20n)n，当10<n ≤18时，(800－20n )n <600n ，当n >18时，440n <600n .即当购买少于10台时到乙商场花费较少，当购买10台时到两商场购买花费相同，当购买多于10台时到甲商场购买花费较少．层级二应试能力达标1．已知等差数列{a n }：1,0，－1，－2，…；等差数列{b n }：0,20,40,60，…，则数列{a n ＋b n }是( )A ．公差为－1的等差数列B ．公差为20的等差数列C ．公差为－20的等差数列D ．公差为19的等差数列解析：选D (a 2＋b 2)－(a 1＋b 1)＝(a 2－a 1)＋(b 2－b 1)＝－1＋20＝19.2．已知数列{a n }为等差数列且a 1＋a 7＋a 13＝4π，则tan(a 2＋a 12)的值为( ) A. 3 B ．± 3 C ．－33D ．－ 3解析：选D 由等差数列的性质得a 1＋a 7＋a 13＝3a 7＝4π，∴a 7＝4π3.∴tan(a 2＋a 12)＝tan(2a 7)＝tan 8π3＝tan 2π3＝－ 3.3．若方程(x 2－2x ＋m )(x 2－2x ＋n )＝0的四个根组成一个首项为14的等差数列，则|m －n |＝( )A ．1 B.34 C.12D.38解析：选C 设方程的四个根a 1，a 2，a 3，a 4依次成等差数列，则a 1＋a 4＝a 2＋a 3＝2，再设此等差数列的公差为d ，则2a 1＋3d ＝2， ∵a 1＝14，∴d ＝12，∴a 2＝14＋12＝34，a 3＝14＋1＝54，a 4＝14＋32＝74，∴|m －n |＝|a 1a 4－a 2a 3|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪14×74－34×54＝12. 4．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为( )A ．1升 B.6766升 C.4744升 D.3733升解析：选B 设所构成的等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝3，a 7＋a 8＋a 9＝4，即⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋6d ＝3，3a 1＋21d ＝4.解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1322，d ＝766，则a 5＝a 1＋4d ＝6766，故第5节的容积为6766升．5．已知{a n }为等差数列，且a 6＝4，则a 4a 7的最大值为________．解析：设等差数列的公差为d ，则a 4a 7＝(a 6－2d )(a 6＋d )＝(4－2d )(4＋d )＝－2(d ＋1)2＋18，即a 4a 7的最大值为18.答案：186．已知数列{a n }满足a 1＝1，若点⎝ ⎛⎭⎪⎫a n n ，a n ＋1n ＋1在直线x －y ＋1＝0上，则a n ＝________.解析：由题设可得a n n －a n ＋1n ＋1＋1＝0，即a n ＋1n ＋1－a nn ＝1，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是以1为公差的等差数列，且首项为1，故通项公式a nn＝n ，所以a n ＝n 2.答案：n 27．数列{a n }为等差数列，b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a n ，又已知b 1＋b 2＋b 3＝218，b 1b 2b 3＝18，求数列{a n }的通项公式．解：∵b 1＋b 2＋b 3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12a 3＝218，b 1b 2b 3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a 1＋a 2＋a 3＝18，∴a 1＋a 2＋a 3＝3.∵a 1，a 2，a 3成等差数列，∴a 2＝1，故可设a 1＝1－d ，a 3＝1＋d ，由⎝ ⎛⎭⎪⎫121－d ＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫121＋d ＝218，得2d ＋2－d＝174，解得d ＝2或d ＝－2.当d ＝2时，a 1＝1－d ＝－1，a n ＝－1＋2(n －1)＝2n －3；当d ＝－2时，a 1＝1－d ＝3，a n ＝3－2(n －1)＝－2n ＋5.8．下表是一个“等差数阵”：ij (1)写出a 45的值；(2)写出a ij 的计算公式，以及2 017这个数在“等差数阵”中所在的一个位置．解：通过每行、每列都是等差数列求解． (1)a 45表示数阵中第4行第5列的数．先看第1行，由题意4,7，…，a 15，…成等差数列，公差d ＝7－4＝3，则a 15＝4＋(5－1)×3＝16. 再看第2行，同理可得a 25＝27.最后看第5列，由题意a 15，a 25，…，a 45成等差数列，所以a 45＝a 15＋3d ＝16＋3×(27－16)＝49.(2)该“等差数阵“的第1行是首项为4，公差为3的等差数列a 1j ＝4＋3(j －1)；第2行是首项为7，公差为5的等差数列a 2j ＝7＋5(j －1)； …第i 行是首项为4＋3(i －1)，公差为2i ＋1的等差数列， ∴a ij ＝4＋3(i －1)＋(2i ＋1)(j －1) ＝2ij ＋i ＋j ＝i (2j ＋1)＋j .要求2 017在该“等差数阵”中的位置，也就是要找正整数i ，j ，使得i (2j ＋1)＋j ＝2 017，∴j ＝2 017－i 2i ＋1.又∵j ∈N *，∴当i ＝1时，得j ＝672.∴2 017在“等差数阵”中的一个位置是第1行第672列．。

高一数学苏教版必修5教师用书：第2章 2.2 等差数列 2.2.1 等差数列的概念 2.2.2 等差数列的通项公式

2.2 等差数列2.2.1 等差数列的概念2.2.2 等差数列的通项公式第1课时等差数列的概念及通项公式1．理解等差数列的概念，能在具体问题情境中，发现数列的等差关系．(重点)2．会推导等差数列的通项公式，并能应用该公式解决简单的等差数列问题．(重点)3．等差数列的证明及其应用．(难点)[基础·初探]教材整理1 等差数列的概念阅读教材P35“思考”以上内容，完成下列问题．如果一个数列从第二项起，每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用d表示．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)一个数列的每一项与它的前一项的差都等于常数，这个数列就叫等差数列．()(2)一个数列的每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，这个数列就叫等差数列．()(3)一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于常数，这个数列就叫等差数列．()(4)一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，这个数列就叫等差数列．()【★答案☆】(1)×(2)×(3)×(4)√教材整理2 等差数列的通项公式阅读教材P37～P38例1的有关内容，完成下列问题．对于等差数列{a n}的第n项a n，有a n＝a1＋(n－1)d＝a m＋(n－m)d.1．若{a n}是等差数列，且a1＝1，公差d＝3，则a n＝. 【解析】∵a1＝1，d＝3，∴a n＝1＋(n－1)×3＝3n－2.【★答案☆】3n－22．若{a n}是等差数列，且a1＝2，d＝1，若a n＝7，则n＝. 【解析】∵a1＝2，d＝1，∴a n＝2＋(n－1)×1＝n＋1.由a n＝7，即n＋1＝7，得n＝6.【★答案☆】6[小组合作型]判断下列数列是否为等差数列．(1)在数列{a n}中，a n＝3n＋2；(2)在数列{a n}中，a n＝n2＋n.－a n―→代数运算―→利用等差数列定义判断【精彩点拨】作差a n＋1【自主解答】(1)a n－a n＝3(n＋1)＋2－(3n＋2)＝3(n∈N*)．由n的任意＋1性知，这个数列为等差数列．(2)a n＋1－a n＝(n＋1)2＋(n＋1)－(n2＋n)＝2n＋2，不是常数，所以这个数列不是等差数列．1．定义法是判定(或证明)数列{a n}是等差数列的基本方法，其步骤为：(1)作差a n＋1－a n；(2)对差式进行变形；(3)当a n＋1－a n是一个与n无关的常数时，数列{a n}是等差数列；当a n＋1－a n 不是常数，是与n有关的代数式时，数列{a n}不是等差数列．2．应注意等差数列的公差d是一个定值，它不随n的改变而改变．[再练一题]1．已知数列{a n}的通项公式a n＝pn2＋qn(p，q∈R，且p，q为常数)，记b n －a n.求证：对任意实数p和q，数列{b n}是等差数列．＝a n＋1－a n＝2pn＋p＋q，【证明】∵a n＋1－a n＋1＝2p(n＋1)＋p＋q，∴a n＋2∴b n－b n＝(a n＋2－a n＋1)－(a n＋1－a n)＋1＝2p为一个常数，故数列{b n}是等差数列.等差数列的通项公式已知数列{a n}是等差数列，且a5＝10，a12＝31.【导学号：92862034】(1)求{a n}的通项公式；(2)若a n＝13，求n的值．【精彩点拨】建立首项a1和d的方程组求a n；由a n＝13解方程得n.【自主解答】(1)设{a n}的首项为a1，公差为d，则由题意可知⎩⎨⎧ a 1＋4d ＝10，a 1＋11d ＝31，解得⎩⎨⎧a 1＝－2，d ＝3，∴a n ＝－2＋(n －1)×3＝3n －5.(2)由a n ＝13，得3n －5＝13，解得n ＝6.1．从方程的观点看等差数列的通项公式，a n ＝a 1＋(n －1)d 中包含了四个量，已知其中的三个量，可以求得另一个量，即“知三求一”．2．已知数列的其中两项，求公差d ，或已知一项、公差和其中一项的序号，求序号的对应项时，通常应用变形a n ＝a m ＋(n －m )d .[再练一题]2．已知递减等差数列{a n }前三项的和为18，前三项的积为66.求该数列的通项公式，并判断－34是该数列的项吗？【解】依题意得⎩⎨⎧a 1＋a 2＋a 3＝18，a 1a 2a 3＝66，∴⎩⎨⎧3a 1＋3d ＝18，a 1·(a 1＋d )·(a 1＋2d )＝66，解得⎩⎨⎧a 1＝11，d ＝－5或⎩⎨⎧a 1＝1，d ＝5.∵数列{a n }是递减等差数列， ∴d <0.故取a 1＝11，d ＝－5. ∴a n ＝11＋(n －1)·(－5)＝－5n ＋16，即等差数列{a n }的通项公式为 a n ＝－5n ＋16.令a n ＝－34，即－5n ＋16＝－34，得n ＝10. ∴－34是数列{a n }的第10项．[探究共研型]【提示】由a n ＋1＝a n ＋1可知a n ＋1－a n ＝1. ∴{a n }是首项a 1＝1，公差d ＝1的等差数列． ∴a n ＝1＋(n －1)×1＝n ，∴a n ＝n 2，∴a 5＝52＝25.探究2 某剧场有20排座位，第一排有20个座位，从第2排起，后一排都比前一排多2个座位，则第15排有多少个座位？【提示】设第n排有a n个座位，由题意可知a n－a n－1＝2(n≥2)．又a1＝20，∴a n＝20＋(n－1)×2＝2n＋18.∴a15＝2×15＋18＝48.即第15排有48个座位．某公司经销一种数码产品，第1年可获利200万元．从第2年起，由于市场竞争等方面的原因，其利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律，如果公司不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？【精彩点拨】分析题意，明确题中每年获利构成等差数列，把实际问题转化为等差数列问题，利用等差数列的知识解决即可．【自主解答】由题设可知第1年获利200万元，第2年获利180万元，第3年获利160万元，……，每年获利构成等差数列{a n}，且当a n<0时，该公司会出现亏损．设从第1年起，第n年的利润为a n，则a n－a n－1＝－20，n≥2，n∈N*.所以每年的利润可构成一个等差数列{a n}，且首项a1＝200，公差d＝－20.所以a n＝a1＋(n－1)d＝220－20n.若a n<0，则该公司经销这一产品将亏损，所以由a n＝220－20n<0，得n>11，即从第12年起，该公司经销此产品将亏损．1．在实际问题中，若涉及到一组与顺序有关的数的问题，可考虑利用数列方法解决，若这组数依次成直线上升或下降，则可考虑利用等差数列方法解决．2．在利用数列方法解决实际问题时，一定要分清首项、项数等关键问题．[再练一题]3．甲虫是行动较快的昆虫之一，下表记录了某种类型的甲虫的爬行速度：吗？(2)利用建立的模型计算，甲虫1 min能爬多远？它爬行49 cm需要多长时间？【解】(1)由题目表中数据可知，该数列从第2项起，每一项与前一项的差都是常数9.8，所以是一个等差数列模型．因为a1＝9.8，d＝9.8，所以甲虫的爬行距离s与时间t的关系是s＝9.8t.(2)当t＝1 min＝60 s时，s＝9.8t＝9.8×60＝588 cm.当s＝49 cm时，t＝s9.8＝499.8＝5 s.1．下列数列中是等差数列的为(填序号)．①6,6,6,6,6；②－2，－1,0,1,2；③5,8,11,14；④0,1,3,6,10. 【解析】①②③是等差数列，④不是等差数列．【★答案☆】①②③2．若数列1，a,9是等差数列，则a的值为．【解析】由1，a,9成等差数列可知，a－1＝9－a，∴2a＝1＋9，∴a＝5.【★答案☆】 53．若数列{a n}满足a1＝1，a n＋1＝a n＋2，则a n＝. 【解析】由a n＋1＝a n＋2，得a n＋1－a n＝2，∴{a n}是首项a1＝1，d＝2的等差数列，∴a n＝1＋(n－1)×2＝2n－1.【★答案☆】2n－14．设数列{a n}的公差为d，则数列a3，a6，a9，…，a3n是数列，其公差为.【导学号：92862035】【解析】a3n－a3(n－1)＝3d.【★答案☆】等差3d5．梯子的最高一级宽33 cm，最低一级宽110 cm，中间还有10级，各级的宽度成等差数列，计算中间各级的宽度．【解】用{a n}表示梯子自上而下各级宽度所成的等差数列，由已知，得a1＝33，a12＝110，n＝12.由通项公式，得a12＝a1＋(12－1)d，即110＝33＋11d，解得d＝7.因此，a2＝33＋7＝40，a3＝40＋7＝47，a4＝54，a5＝61，a6＝68，a7＝75，a8＝82，a9＝89，a10＝96，a11＝103.所以梯子中间各级的宽度从上到下依次是40 cm,47 cm,54 cm,61 cm,68 cm,75 cm,82 cm,89 cm,96 cm,103 cm.。

高中数学第二章数列2.2等差数列第一课时等差数列的概念与通项公式练习(含解析)新人教A版必修5

高中数学第二章数列2.2等差数列第一课时等差数列的概念与通项公式练习（含解析）新人教A版必修5第一课时等差数列的概念与通项公式1.已知数列{a n}的通项公式为a n=3n-5,则此数列是( A )(A)公差为3的等差数列(B)公差为-5的等差数列(C)首项为3的等差数列(D)首项为-5的等差数列解析:因为当n≥2时,a n-a n-1=3n-5-[3(n-1)-5]=3,所以此数列是公差为3的等差数列.故选A.2.在等差数列{a n}中,若a3=2,a5=8,则a9等于( C )(A)16 (B)18 (C)20 (D)22解析:设等差数列{a n}的公差为d,因为a3=2,a5=8,所以解得则a9=a1+8d=-4+8×3=20.故选C.3.已知a=,b=,则a,b的等差中项为( A )(A)(B)(C)(D)解析:设a,b的等差中项为x,则有2x=a+b=+=(-)+(+)=2,所以x=,故选A.4.已知x≠y,数列x,a1,a2,y与x,b1,b2,b3,y都是等差数列,则的值是( A )(A)(B)(C)(D)解析:a2-a1=,b2-b1=,则=.故选A.5.已知{a n}为等差数列,首项为,它从第10项开始比1大,那么公差d的取值范围是( D )(A)(,+∞) (B)(-∞,)(C)(,) (D)(,)解析:由题意可得a1=,且根据等差数列的通项公式可得从而解得<d≤.故选D.6.已知等差数列{a n}的公差d≠0,且a3=2a1,则的值为( C )(A)(B)(C)(D)解析:a3=a1+2d=2a1,a1=2d,所以===,故选C.7.《九章算术》是我国古代的数学名著,书中有如下问题:“今有五人分五钱,令上二人所得与下三人等,问各得几何?”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分五钱,甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同,且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列,问五人各得多少钱?”(“钱”是古代一种质量单位),这个问题中,甲所得为( C )(A)钱(B)钱(C)钱(D)钱解析:甲、乙、丙、丁、戊五人依次设为等差数列的a1,a2,a3,a4,a5 , a1+a2=a3+a4+a5= ,即解得甲所得为钱,故选C.8.在数列{a n}中,若=+,a1=8,则数列{a n}的通项公式为( A )(A)a n=2(n+1)2(B)a n=4(n+1)(C)a n=8n2 (D)a n=4n(n+1)解析:因为=+,所以-=,数列是等差数列,由等差数列通项公式得=2+(n-1)·=n+,所以a n=2(n+1)2,选A.9.等差数列{a n}中,a2=-5,a6=11,则公差d= .解析:等差数列{a n}中,a2=-5,a6=11,可得d===4.答案:410.已知{a n}为等差数列,若a1=6,a3+a5=0,则数列{a n}的通项公式为.解析:设数列{a n}的公差为d,由a3+a5=0有2a1+6d=0,又a1=6,所以d=-2,故a n=6-2(n-1)=8-2n. 答案:a n=8-2n11.在△ABC中,若A,B,C的度数成等差数列,且lg a,lg b,lg c也成等差数列,则△ABC的形状一定是.解析:因为三内角A,B,C成等差数列,所以2B=A+C,又A+B+C=180°,所以B=60°,又lg a,lg b,lg c成等差数列,所以2lg b=lg a+lg c,即b2=ac,由余弦定理得b2=a2+c2-2ac·cos B=a2+c2-ac,所以ac=a2+c2-ac,所以a2+c2-2ac=0,所以(a-c)2=0,所以a=c.故△ABC为正三角形.答案:正三角形12.已知数列{a n}满足a1=1,a n+1=,则数列{a n}的通项公式为a n等于.解析:因为a n+1=(+3)2,所以-=3,故数列{}是以=1为首项,以3为公差的等差数列,所以=1+3(n-1)=3n-2,所以a n=(3n-2)2(n∈N*).答案:(3n-2)213.已知数列{a n}是等差数列,且a6=10,a9=19,求a n.解:法一由等差数列的通项公式直接列方程组求解.由已知,得解得故a n=-5+3(n-1)=3n-8.法二利用等差数列的性质公式:a m-a n=(m-n)d求解.因为a9-a6=3d=9,所以d=3.所以a n=a6+(n-6)d=3n-8.法三利用公差的几何意义求解.根据公差的几何意义有=,代入已知数据可得a n=3n-8.14.已知递减等差数列{a n}的前三项和为18,前三项的乘积为66.求数列的通项公式,并判断-34是该数列的项吗?解:法一设等差数列{a n}的前三项分别为a1,a2,a3.依题意得所以解得或因为数列{a n}是递减等差数列,所以d<0.故取a1=11,d=-5,所以a n=11+(n-1)·(-5)=-5n+16,即等差数列{a n}的通项公式为a n=-5n+16.令a n=-34,即-5n+16=-34,得n=10.所以-34是数列{a n}的项,且为第10项.法二设等差数列{a n}的前三项依次为a-d,a,a+d,则解得又因为{a n}是递减等差数列,即d<0.所以取a=6,d=-5.所以{a n}的首项a1=11,公差d=-5.所以通项公式a n=11+(n-1)·(-5),即a n=-5n+16.令a n=-34,解得n=10.即-34是数列{a n}的项,且为第10项.15.已知,,成等差数列,且a+c,a-c,a+c-2b均为正数,求证:lg(a+c),lg(a-c),lg(a+c-2b)也成等差数列.证明:因为,,成等差数列,所以=+,所以=,即2ac=b(a+c).(a+c)(a+c-2b)=(a+c)2-2b(a+c)=(a+c)2-2×2ac=a2+c2+2ac-4ac=(a-c)2.因为a+c,a+c-2b,a-c均为正数,上式左右两边同时取对数得,lg[(a+c)(a+c-2b)]=lg(a-c)2,即lg(a+c)+lg(a+c-2b)=2lg(a-c),所以lg(a+c),lg(a-c),lg(a+c-2b)成等差数列.16.设等差数列{a n}的公差为d.若数列{}为递减数列,则( D )(A)d>0 (B)d<0(C)a1d>0 (D)a1d<0解析:法一a n=a1+(n-1)d,所以=,因为是递减数列,故有==<1=20,所以a1d<0.故选D.法二数列{}为递减数列等价于数列{a1a n}为递减数列,等价于a1a n-a1a n-1<0,即a1(a n-a n-1)<0,即a1d<0.故选D.17.已知数列{a n}是首项为1,公差为d(d∈N*)的等差数列,若81是该数列中的一项,则公差d 不可能是( B )(A)2 (B)3 (C)4 (D)5解析:由题设,a n=1+(n-1)d,81是该数列中的一项,即81=1+(n-1)d,所以n=+1,因为d,n∈N*,所以d是80的因数,故d不可能是3,选B.18.已知两个等差数列5,8,11,…和3,7,11,…都有200项,则它们的公共项的个数为.解析:设两个数列相同的项按原来的前后次序组成的新数列为{a n},则a1=11.因为数列5,8,11,…与3,7,11,…的公差分别为3和4,所以 {a n}的公差d=3×4=12,所以 a n=11+12(n-1)=12n-1.又5,8,11,…与3,7,11,…的第200项分别为602和799,所以 a n=12n-1≤602,即n≤50.25.又n∈N*,所以两数列有50个相同的项.答案:5019.已知数列{a n},{b n}满足a1=2,b1=1,(n≥2, n∈N*).则a1 008+b1 008= .解析:由题意可得a n+b n=a n-1+b n-1+2,所以数列{a n+b n}是以a1+b1=3为首项,2为公差的等差数列,所以a1 008+b1 008=3+2×1 007=2 017.答案:2 01720.已知无穷等差数列{a n}中,首项a1=3,公差d=-5,依次取出序号被4除余3的项组成数列{b n}.(1)求b1和b2;(2)求{b n}的通项公式;(3){b n}中的第503项是数列{a n}中的第几项?解:数列{b n}是数列{a n}的一个子数列,其序号构成以3为首项,4为公差的等差数列.(1)因为a1=3,d=-5,所以a n=3+(n-1)×(-5)=8-5n.数列{a n}中序号被4除余3的项是{a n}中的第3项,第7项,第11项,…,所以b1=a3=-7,b2=a7=-27.(2)设{a n}中的第m项是{b n}中的第n项,即b n=a m,则m=4n-1,所以b n=a m=a4n-1=8-5(4n-1)=13-20n.即{b n}的通项公式为b n=13-20n.(3)由(2)知b503=13-20×503=-10 047,设它是{a n}中的第x项,则-10 047=8-5x,则x=2 011,即{b n}中的第503项是{a n}中的第2 011项.。

高中数学第二章数列 2.2 等差数列 2.2.1 等差数列的概念、等差数列的通项公式教案新人

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2.2。

1 等差数列的概念、等差数列的通项公式2。

2.1 等差数列的概念、等差数列的通项公式（共 1 课时）一、知识与技能1。

了解公差的概念,明确一个数列是等差数列的限定条件,能根据定义判断一个数列是等差数列；2.正确认识使用等差数列的各种表示法，能灵活运用通项公式求等差数列的首项、公差、项数、指定的项。

二、过程与方法1。

通过对等差数列通项公式的推导培养学生的观察力及归纳推理能力；2.通过等差数列变形公式的教学培养学生思维的深刻性和灵活性。

三、情感态度与价值观通过等差数列概念的归纳概括,培养学生的观察、分析资料的能力，积极思维，追求新知的创新意识.教学重点理解等差数列的概念,探索并掌握等差数列的通项公式，会用公式解决一些简单的问题。

教学难点（1)等差数列的性质,等差数列“等差”特点的理解、把握和应用；导入新课师上两节课我们学习了数列的定义以及给出数列和表示数列的几种方法——列举法、通项公式、递推公式、图象法.这些方法从不同的角度反映数列的特点。

下面我们看这样一些数列的例子：(课本P41页的4个例子）(1)0，5,10，15，20,25,…;（2）48,53，58，63，…；(3）18，15。