协整与误差修正模型
协整和误差修正模型
协整和误差修正模型一、协整理论 1. d 阶单整序列对不平稳时间序列{}t Y 进行d 阶差分如下(d =1,2,…n)：1t t t Y Y Y -∆=- 一阶差分21()t t t t Y Y Y Y -∆=∆∆=∆-∆ 二阶差分……1111()d d d d t t t t Y Y Y Y ----∆=∆∆=∆-∆ d 阶差分若{}t Y 进行d 阶差分后成为平稳序列, 则称{}t Y 为d 阶单整序列。
记为{}~()t Y I d2. 协整定义如果时间序列{}{}{}(1)(2)(),,...,r tttY Y Y 都是d 阶单整序列，即，{}~(),1,2,...,jtY I d j r =，且存在12,,...,rβββ使得(1)(2)()12...~()r t t r t Y Y Y I d b βββ+++-其中b>0, 称序列{}{}{}(1)(2)(),,...,r t tt Y Y Y 存在(d,b) 阶协整关系。
3. 协整的意义若序列{}{}{}(1)(2)(),,...,r t tt Y Y Y 存在协整关系，则它们之间存在长期稳定关系，对它们进行回归，可排除伪回归现象。
4. 协整检验EG 两步法( see p.275)二、误差修正模型 ECM 方法：若{}{},t t X Y 都是1阶单整序列，它们存在协整关系，建立自回归模型 012131t t t t t Y X Y X ββββμ--=++++ (1) 整理得：011t ttt Y X e ββγμ-∆=+∆++ (2) 其中t e 为残差序列, 1t e -为误差修正项。
(1) 或(2) 称为ECM模型，用于短期分析。
它们的Eviews命令分别为：LS Y C X Y(-1) X(-1),或：GENR T=Y-Y(-1)GENR H=X-X(-1)GENR e= residLS T C H e(-1)三、实例根据下表，讨论时间序列的平稳性、协整关系以及它们的误差修正模型。
计量经济学第五章协整与误差修正模型
根据需要对数据进行变换，如对数变换、差 分变换等，以满足模型对数据的要求。
模型参数估计方法选择
01
最小二乘法（OLS ）
适用于满足经典假设的线性回归 模型，通过最小化残差平方和来 估计模型参数。
02
广义最小二乘法（ GLS）
适用于存在异方差性的模型，通 过加权最小二乘法进行参数估计 ，以消除异方差性的影响。
误差修正模型定义
误差修正模型（Error Correction Model，简称ECM）是一种具有特定形式的计 量经济学模型，用于描述变量之间的长期均衡关系和短期动态调整过程。
该模型通过引入误差修正项，将变量的短期波动和长期均衡关系结合起来，从而 更准确地刻画经济现象。
误差修正项解释
误差修正项（Error Correction Term，简称ECT）是误差修正模型中的核 心部分，表示变量之间的长期均衡误差。
长期均衡
协整关系反映了时间序列之间的长期均衡，即使短期内有所偏离，长期内也会恢复到均 衡状态。
线性组合平稳
协整序列的线性组合可以消除非平稳性，得到平稳序列。
协整检验方法
EG两步法
首先通过OLS回归得到残差序列，然 后对残差序列进行单位根检验（如 ADF检验），判断其是否平稳。
Johansen检验
适用于多变量协整关系的检验，通过 构建似然比统计量来判断协整向量的 个数。
计量经济学第五章协 整与误差修正模型
汇报人：XX
目 录
• 协整理论概述 • 误差修正模型介绍 • 协整与误差修正模型关系 • 协整检验方法及应用举例 • 误差修正模型建立与评估 • 案例研究：金融市场波动性分析
01
协整理论概述
协整定义及性质
协整与误差修正模型
协整与误差修正模型有些时间序列，虽然他们本身非平稳，但是其线形组合确实平稳。
这个线形组合反映了变量之间的长期稳定的比例关系，称为协整关系。
第一节协整的定义与协整检验1、协整的定义如果时间序列nt t t y y y ,,21都是d 阶单整，即)(d I ，存在一个向量),(21n αααα =，使得)(~b d I y -'α，这里),,(21nt t t t y y y y =，0≥≥b d ，则称序列nt t t y y y ,,21是),(b d 阶协整的，记为),(~b d CI y t ，α为协整向量。
本部分只是介绍两个时间序列的协整关系，关于三个以上变量的协整关系将在另外一章予以讨论。
关于两个变量t x 和t y 是否协整，Engle 和Granger 于1987年提出了两步检验法，称为EG 检验。
序列t x 和t y 若都是d 阶单整的，用一个变量对另一个变量进行回归，即有t t t u x y ++=βα用αˆ和βˆ表示回归系数的估计值，则模型残差估计值为 tt t x y u βαˆˆˆ--= 若)0(~ˆI u，则t x 和t y 具有协整关系，且)ˆ(β-I 为协整向量，上式即为协整回归方程。
实例待定误差修正模型误差修正模型是由Davidsom 、Hendry 、Srba 和Yeo 于1978年提出的，称为DHSY 模型。
对)1,1(ADL 模型t t t t t x y x y αββββ++++=--131210移项后整理可得t t t t x y x y αββββββ+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--+∆+=∆-12312101)1( 该方程即为ECM ，其中x y 2311βββ-+-是误差修正项，记为ecm 。
模型解释了因变量t y 的短期波动t y ∆是如何被决定的。
一方面，它受到自变量短期波动t x ∆的影响，另一方面，取决于ecm 。
如果变量t x 和t y 间存在着长期均衡关系，即有x y α=，式中的ecm 可以改写为x y 2311βββ-+= 可见，ecm 反映了变量在短期波动中偏离它们长期均衡关系的程度，称为均衡误差。
14 协整与误差修正模型
四、预测2004年的人均居民消费CONSP 预测2004年的人均居民消费 年的人均居民消费CONSP
预测2004年的人均国内生产总值 年的人均国内生产总值GDPP （一）预测 年的人均国内生产总值 1. 建立 建立LOGGDPP的ARMA模型 的 模型 2. 运用 运用ARMA模型预测 模型预测GDPP 模型预测 （二） 预测2004年的人均居民消费 预测 年的人均居民消费CONSP 年的人均居民消费 1. 运用误差修正模型（eq_log_ecm）； 运用误差修正模型（ ）； 2. 比较：直接对 比较：直接对consp和gdpp进行 进行OLS回归再预测； 回归再预测； 和 进行 回归再预测 • 根据预测值与实际值的相差程度，比较2种模型预测的效 根据预测值与实际值的相差程度，比较 种模型预测的效 从统计资料中得知， 果（从统计资料中得知，2004年人均居民消费实际值为 年人均居民消费实际值为 2155.1元）。 元
CONSP: Level-None Level-
武汉大学经济学系数量经济学教研室《2010实验教改项目组》编制
CONSP: 1st difference-Trend and Intercept difference-
武汉大学经济学系数量经济学教研室《2010实验教改项目组》编制
CONSP: 1st difference-Intercept difference-
武汉大学经济学系数量经济学教研室《2010实验教改项目组》编制
二、协整检验：Engle-Granger检验 协整检验：Engle-Granger检验
• 第二步：对该式残差序列进行 第二步：对该式残差序列进行ADF检验 检验 • genr e1=resid
第6章协整和误差修正模型
第6章协整和误差修正模型本章介绍含有非平稳变量结构方程或V AR的估计。
在一维模型中，我们已经看到，可以通过差分去掉一个随机趋势，得到的平稳序列，再用Box-Jenkins方法来估计模型。
在多维情况下，并不这样直接处理。
通常，整变量的线性组合是平稳的，这些变量称为协整的。
许多经济模型都有这种关系。
本章主要内容：1．介绍协整的基本概念，及在经济模型中的应用。
非平稳变量之间的均衡关系意味着它们的随机趋势是相联系的。
均衡关系意味着这些变量不能相互独立运动。
随机趋势之间的这种联系保证了这些变量是协整的。
2．考虑了协整变量的动态路径，由于协整变量的趋势是相互联系的，这些变量的动态路径反映了偏离均衡的偏差的联系。
详细分析了变量的变化与偏离均衡的偏差之间的联系。
3．讨论了协整检验的几种方法。
6.1整变量的线性组合考虑一个简单的货币需求模型：1）居民持有实际货币余额，使名义货币需求与价格水平成比例；2）当实际收入及交易次数的增加，居民希望持有更多的货币余额；3）利率是持有货币的机会成本，货币需求与利率负相关。
因而，方程设定形式（采用对数形式）如下：0123t t t t t m p y r e ββββ=++++ （6.1.1） 这里： t m =货币需求， t p =价格水平 t y =实际收入 t r =利率t e =平稳扰动项i β=待估计的参数在货币市场是均衡的条件下，可以得到货币供给、价格水平、实际收入和短期利率的时间序列数据，且要求1231,0,0βββ=><。
当然，在研究中需要检验这些限制。
货币需求的任何偏差{}t e 必须是暂时的。
如果{}t e 有随机趋势，偏离货币市场均衡的偏差不能消失。
所以，这里的关键假设是{}t e 是平稳的。
许多研究者认为，实际GDP 、货币供给、价格水平、利率都是I(1)变量。
每个变量都没有返回到长期水平的趋势。
但（6.1.1）说明：对这些非平稳变量，存在线性组合是平稳的。
第二讲 协整理论与误差修正模型
其残差序列是平稳序列，以它为误差修正项，可建立如下误差修正模型 表7 ECM模型回归结果
中变量的符号与长期均衡关系的符号一致，误差修正系数为负，符合反
向修正机制。回归结果表明，城镇居民人均可支配收入的短期变动对人
均消费支出存在正向影响，本期可支配收入每增加1%，本期人均消费将 增加0.884%；上期可支配收入每增加1%，本期人均消费将增加0.241%；
2．协整理论的重要意义
(1)避免伪回归。 (2) 估计量的“超一致性”。如果一组非平稳时间序列之间存在 协整关系，可以直接建立回归模型，而且，其参数的最小二乘估计量 具有超一致性，即以更快的速度收敛于参数的真实值。 (3) 区分变量之间的长期均衡关系和短期动态关系。 格兰杰和恩
格尔已证明，如果变量之间存在长期均衡关系，则均衡误差将显著影
当N>1时，意味着有N-1个协整参数需要估计。如果某些协整参数已事先 知道，那么计算临界值时，应相应减少N的值。作为一个极端情形，当全 部协整参数都已知时，应在附表8中N=1一栏中查找参数，计算临界值。 当N=1时，所涉及的变量只有一个。所以协整检验退化成为单整检验。 这时实际是做 ADF 检验。由此可见麦金农（ Mackinnon ）协整检验临界值 表实际上是协整检验和单整检验结合在一起，即把ADF 检验和 AEG 检验结 合在一起。所以N = 1对应的是ADF检验。N 2时，对应的是AEG 检验， 即协整检验。
(1)两变量的Engle-Granger检验
表2
双变量协整检验AEG临界值
例2
检验中国城镇居民人均消费性支出与人均可支配收入
（见表3.3与图3.1）时间序列的协整关系。
表3
中国城镇居民人均收入、人均消费（单位：元）
协整分析与误差修正模型
协整分析与误差修正模型1.协整分析协整分析用于找到两个或多个非平稳时间序列之间的长期关系。
当两个变量之间存在协整关系时，它们的线性组合将是平稳的。
协整关系可以解释为变量之间长期的平衡关系，即存在一种平衡机制使得变量保持在一个相对稳定的范围内。
协整分析的步骤如下：1）对非平稳时间序列进行单位根检验，例如ADF检验。
2）如果两个或多个时间序列都是非平稳的，那么可以进行线性组合，得到一个平稳的时间序列，通过单位根检验确定这个线性组合是否是平稳的。
3）如果线性组合是平稳的，那么就可以认为存在协整关系。
协整分析的优点是可以探索多个非平稳时间序列之间的关系，并且提供了具体的数值关系，能够描述长期平衡关系。
但是，协整分析不能提供因果关系，只能提供关联关系。
2.误差修正模型(ECM)误差修正模型是一种用于描述非平稳变量之间长期关系的模型。
它是在协整分析的基础上发展而来的。
误差修正模型的基本思想是，如果两个变量之间存在协整关系，那么它们之间的误差会随着时间的推移逐渐修正，回归到长期平衡关系。
因此，误差修正模型可以用来分析变量之间的动态行为。
基本的误差修正模型可以表示为：△Y_t=α+βX_t-1+γE_t-1+ε_t其中，△表示时间差分，Y_t和X_t分别表示被解释变量和解释变量，E_t表示长期误差修正项，ε_t表示短期误差项。
α、β和γ分别表示模型的截距和参数。
误差修正模型的步骤如下：1）进行协整分析，确定变量之间的协整关系。
2）构建误差修正模型，通过估计模型参数来描述长期关系。
3）进行模型检验，包括参数显著性检验、拟合优度检验等。
4）根据模型结果进行解释和预测。
误差修正模型的优点是能够同时分析长期和短期关系，提供了关于变量之间回归到长期平衡的速度信息。
同时，误差修正模型还可以用于预测和政策分析等方面。
但是，误差修正模型的局限性在于假设模型中的所有变量都是线性关系，不能很好地处理非线性关系。
综上所述，协整分析和误差修正模型是非平稳时间序列分析中常用的方法，它们能够揭示非平稳变量之间的长期关系，并对其动态行为进行建模和分析。
第4讲 协整与误差修正模型
现在的问题是：何原因造成的残差序列自相关？ 首先，模型没问题，因散点图呈线性关系。 其次，遗漏重要解释变量了吗？需要考虑政策变量吗？ 再次，是滞后性吗？需要考虑前期收入对即期消费的影响吗？ 有人做过研究：如用年度数据，发现前期收入比当期收入对消费的 影响都大。 最后，看时序图：
不难看出：x和y有明显共同趋势，需检验是否存在协整关系。 下面我们用EG两步法： 第一步：构建协整回归（见前） 第二步：对e做单位根检验 定义：genr e=y-yf，对e做单位根检验：
第4 讲
一、协整关系
协整与误差修正模型(ECM)
协整模型常用在经济学领域分析相关变量的长期均衡关系，也常 被用来分析金融中的套利等。自从20世纪90年代以来，国际著名杂志 发表了大量的相关文章。 协整分析是基于非平稳序列基础之上，而利用非平稳序列进行回 归，经常出现伪回归。而另一种情况却是更有应用价值的协整关系。
对二者取自然对数后进行单位根检验，发现在10%的水平下都不能拒 绝变量含有单位根。
如果暂时忽略非平稳性，直接设立以下回归方程，即 cont=c+βinct+et
回归后得：cont=−0.167+1.008inct
R2=0.998，且各系数也具有统计显著性。 试问：是不是伪回归呢？
为此，考察：et=cont − c − βinct
1 3 y x 是误差修正项，即（1） 可见（3）即为ECM模型，其中 (1 2 ) 中ecm 。
如果 xt 和 yt 间存在长期均衡关系，即 y ax ，则上述（3）式中 的ecm 正好可以改写成： 1 3
y
(1 2 )
x
可见，短期波动 yt 的影响因素有二：
第二步：做回归 （1）建立回归方程
协整和误差修正模型
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§4 误差修正模型
误差修正模型（Error Correction Model）简称为ECM， 常常作为协整回归模型的补充模型出现。（但协整理论诞生 于误差修正模型之后）。
协整模型度量序列之间的长期均衡关系，而误差修正模 型（ECM）则解释序列之间的短期波动关系 。
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•
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§2 协整的概念
一、协整（Co-intergration）
多数经济或金融时间序列都是非平稳的，例如消费
C和国民收入Y都是单位根过程。为了研究二者之间的关
系，一种方法是对它们进行差分，得到平稳变量，然后
对差分后的变量△C 和△Y进行回归。但这种方法的缺
陷是只揭示了收入增长和消费增长之间的关系，而不是
可以使用的检验方程有：
k
et et1 ieti t i1
（1）
k
et et1a ieti t
（2）
i1
k
2021/5/27et et1at ietit （3）
11
i1
注意：
（1）检验残差序列的平稳性时，检验方程中的常数项 和趋势项也可以加在原协整回归方程中。
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（3）多变量之间的协整关系可能不止一个，对于多 个协整关系检验，需要使用基于向量自回归（VAR）模 型的Johansen检验方法。
ut aX tbY t ~I(0)
其中，
a, b
t
1 b ut
I(0).
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二、恩格尔-格兰杰两步估计法
假设被检验的所有时间是单整阶数为1的序列，这种 假设不失一般性，因为当时间序列的单整阶数不为1时可 以通过差分变为阶数相同的I(1)时间序列。
协整与误差修正模型
变量选择是合理的，随机误差项一定是“白噪声”（即均 值为0，方差不变的稳定随机序列），模型参数有合理的经 济解释。
这也解释了尽管这两时间序列是非稳定的，但却可以用 经典的回归分析方法建立回归模型的原因。
• 从这里，我们已经初步认识到：检验变 量之间的协整关系，在建立计量经济学模 型中是非常重要的。 而且，从变量之间是否具有协整关系 出发选择模型的变量，其数据基础是牢固 的，其统计性质是优良的。
Yt 1X t vt
式中，vt=t-t-1。
实际情况往往并非如此
如果t-1期末，发生了上述第二种情况，即Y的值小于其 均衡值，则Y的变化往往会比第一种情形下Y的变化Yt 大一些； 反之，如果Y的值大于其均衡值，则Y的变化往往会小 于第一种情形下的Yt 。 可见，如果Yt=0+1Xt+t 正确地提示了X与Y间的长 期稳定的“均衡关系”，则意味着Y对其均衡点的偏离从 本质上说是“临时性”的。 因此，一个重要的假设就是:随机扰动项t 必须是平 稳序列。 显然，如果t有随机性趋势（上升或下降），则会导 致Y对其均衡点的任何偏离都会被长期累积下来而不能被 消除。
检验程序：
对于多变量的协整检验过程，基本与双变量情形相同， 即需检验变量是否具有同阶单整性，以及是否存在稳定的线 性组合。 在检验是否存在稳定的线性组合时，需通过设置一个变 量为被解释变量，其他变量为解释变量，进行OLS估计并检 验残差序列是否平稳。 如果不平稳，则需更换被解释变量，进行同样的OLS估 计及相应的残差项检验。 当所有的变量都被作为被解释变量检验之后，仍不能得 到平稳的残差项序列，则认为这些变量间不存在（d,d）阶 协整。
同样地，检验残差项是否平稳的DF与ADF检验临界值 要比通常的DF与ADF检验临界值小，而且该临界值还受 到所检验的变量个数的影响。
计量经济学第五章 协整与误差修正模型
思考
当变量个数大于等于3时，协整方程可能 能否有多个？当变量个数为2呢？
2 协整关系的经济含义
当很多变量都含有单位根时，除非有一种机制把 这些变量联系在一起，否则这些变量会不受约束 的各自漫游。 问题是存在这种机制吗？经济学理论经常表明变 量间存在某种长期均衡关系。 如果情况确实如此，那么各变量对这种长期均衡 关系的偏离不会持久。 因此，经济学理论所表明的长期均衡关系往往暗 示了一种把各变量联系在一起的内在机制。这种 机制就是变量间的协整关系。
一、时间序列的单整性
如果一个时间序列yt，去除确定性成分以后， 经过d阶差分后成为平稳序列，则称该时间 序列为d阶单整序列——yt~I（d）。
时间序列单整性的性质：
1. yt ~ I ( d ) a byt ~ I (d ) a, b 0
2. yt ~ I (d ), xt ~ I (c), d c ayt bxt ~ I (d ) 3. yt ~ I (d ), xt ~ I (d ) ayt bxt ~ I (d * ), d * d
考虑时间序列模型(自回归分布滞后模型)
yt 0 xt 1 xt 1 2 yt 1 t 两边减去yt 1后，可以变型为 yt 0 xt （ 0 1）xt 1 （ 2 1 ）yt 1 t
0 1 0 xt （ 2 1 ） [ yt 1 xt 1 ] t （ 1 2）（ 1 2） 0 xt （yt 1 0 1 xt 1） t
EG两步法的具体检验步骤： xt , yt ~ I (1)
第三章(3-5节)协整与误差修正模型
第三节协整理论——时间序列模型的协整关系一、问题来源来源：伪回归（虚假回归）现象MC（蒙特卡罗）的模拟结果发现：利用2个相互独立的非平稳序列、或者2个都包含时间趋势但彼此无关的序列，可能建立显著的回归模型；称这种现象为“伪回归”现象，所建立的模型是伪回归模型。
伪回归现象意味着传统统计检验方法失去意义，需要重新讨论对非平稳序列能否直接建立回归模型的问题。
二、平稳性（一）平稳时间序列定义：μ=)(t y E)(),(s r y y COV s t t =- （序列的相关性只与间隔有关，与时刻无关） 推论：)0()(r y D t = = 常数图形特征：（1）在均值周围波动，频繁穿越均值；（2）波动幅度大致相同；-2-112240260340360DJ PY图1 日元兑美元差分序列 图2上证综指收益率平稳时间序列的含义：任何外来冲击（或振动）对序列变动轨迹的影响是短暂的，t时刻的振动影响在t+1期会减弱，t+2期会更弱，随着时间推移这种影响会逐渐消失，序列将恢复到其平均水平（称外来冲击影响具有“短记忆”特征）。
但是，对于非平稳时间序列，振动的影响会无限地持续下去，t时刻的振动影响不会在以后的时期中衰减，所以序列也难以恢复到一个稳定状态，外来冲击影响有长记忆性。
（二）常见平稳序列1．白噪声过程（white noise ）0)(=t y E 2)(σ=t y D 0),(=-s t t y y COV记成： y t ~ i.i.d (0, σ2)古典回归模型中的随机误差项即为白噪声序列。
2．自回归过程（Auto regression —AR 过程）1t t t y y ρε-=+ ||1ρ<,εt ~ i.i.d (0, σ2)（三）常见非平稳序列1．趋势平稳过程（trend stationary）（又称为：退势平稳过程，确定趋势过程）。
y t =α + βt + εt , εt~i.i.d(0, σ2)性质：（1）E (y t )=α + βt ， D (y t ) = σ2 , COV(y t ，y t-s ) = 0（2）图形：围绕趋势线等幅波动，外来冲击影响短暂；（3）可以扩展成带趋势的AR 过程：1t t t y t y αβρε-=+++ ||1ρ<特点：由于存在长期趋势使得均值不是常数，所以是非平稳序列；但是序列始终围绕着趋势线波动，外来冲击是短记忆的，所以又具备平稳序列的特征。
第八章 协整与误差校正模型
协整的概念 问题：估计出来的货币需求函数是否揭示了货币需求的
长期均衡关系？
（1）如果上述货币需求函数是适当的，那么货币需求 对长期均衡关系的偏离将是暂时的，扰动项序列是平稳 序列，估计出来的货币需求函数就揭示了货币需求的长 期均衡关系。 （2）如果扰动项序列有随机趋势而呈现非平稳现象， 那么模型中的误差会逐步积聚，使得货币需求对长期均 衡关系的偏离在长时期内不会消失。 上述货币需求模型是否具有实际价值，关键在于扰 动项序列是否平稳。
0.4
-0.5
0.0
0.5
1.0
图8.1 两个I（1）非相关序列线性相关系数分布
伪回归
Phillips（1986）对“伪回归”的理论解释
x v t t 1 t 模型： x
y y u t t 1 t
t
2 0 1 vt ~ iid , ut 0 0
ˆ 确定发散，且须除以 T 说明： 估计量
P 有确定分布的随机变量，即 ˆT
1 2
可得到一个具
伪回归
（ 2）
模型残差平方和满足：
L 2 ˆ ˆ ˆ T u T ( y x ) H t t T T t 1 2 2 2
2
其中， H [ W ( r )] dr W ( r ) dr W ( r ) W ( r ) dr h 1 1 1 2
依照经典理论，一国或一地区的货币需求量主要取决 于规模变量和机会成本变量，即实际收入、价格水平 以及利率。以对数形式的计量经济模型将货币需求函 数描述出来，形式为：
l n M l n P l n Y ru t 0 1 t 2 t 3 t t
协整和误差修正模型
在式(5.4.3)两端减去 yt-1，在右边加减 2xt-1 得到 ：
yt 0 (1 1) yt1 2xt (2 3 )xt1 ut
(5.4.7)
利用 2 + 3 = k1 (1 - 1)， 0 = k0 (1 - 1)，式
(5.4.7)又可改写成
yt (1 1)( yt1 k0 k1xt1) 2xt ut
(5.4.8)
令 = 1-1，则式(5.4.8) 可写成
yt ( yt1 k0 k1xt1) 2xt ut
(5.4.9) 上式称为误差修正模型 (error correction model，
简记ECM)。当长期平衡关系是 y* = k0 + k1x* 时，误 差修正项是如 (yt - k0- k1xt) 的形式，它反映了 yt 关于 xt 在第 t 时点的短期偏离。一般地，由于式(5.4.3)中
| 1|<1 ，所以误差项的系数 = ( 1-1) < 0，通常称
为调整系数，表示在 t-1 期 yt-1 关于 k0 + k1xt-1 之间
利用ADF的协整检验方法来判断残差序列是否平稳， 如果残差序列是平稳的，则回归方程的设定是合理的， 说明回归方程的因变量和解释变量之间存在稳定的均衡 关系。反之，说明回归方程的因变量和解释变量之间不 存在稳定均衡的关系，即便参数估计的结果很理想，这 样的一个回归也是没有意义的，模型本身的设定出现了 问题，这样的回归是一个伪回归。
y1t 2 y2t 3 y3t k ykt ut
模型估计的残差为Biblioteka uˆt y1t ˆ2 y2t ˆ3 y3t ˆk ykt
（2）检验残差序列ût是否平稳，也就是判断序列 ût是否含有单位根。通常用ADF检验来判断残差序列 ût是否是平稳的。
时间序列分析：方法与应用(第二版)两序列的协整和误差修正模型
Yt
0 1Yt 1 ...... kYt k t
H 01 ： 1 = … = k = 0
9
2. 第二个条件的检验 原假设：Y不是引起X变化的原因
无限制条件模型（UR）
Xt
0 1 X t 1 ...... k X t k
1Yt 1 ...... kY t k t
有限制条件模型（R）
Xt
0 1 X t 1 ...... k X t k t
x t+ t
+
、 的一致估计量 ˆ 、ˆ ，
构造一个线性组合，亦即计算残差
ˆ y x
t
t
t
第二步：残差序列单位根检验
残差序列 t 进行单位根检验
若
t ~ I（0）
表明两个序列是协整的，则（1，-b）为协整向量。 若残差序列存在单位根，则两个序列不是协整的。
例4.4
三、误差修正模型（ECM）
基于协整关系建立的误差修正模型（Error Correction
x 、 t 和、 yt 虽然是单位根过程，但它们存在一个线性组合
是平稳的。这是因为它们具有公共的I（1）因子 wt 。
16
（二）协整的含义及检验
1.概念
协整过程（co-integrated process）也有译为同积过程，
是一种特殊的向量单位根过程。
设{yt ，t = 1，2，......}为一n 维的向量单位根过程，它
b
xt
~I（1）。
13
2）两个零阶单整序列的线性组合
若两个序列是平稳序列，如 xt ~ I（0）， yt~ I（0），
则其线性组合也是平稳的，有a xt+ b yt~ I（0）；
计量经济学8.3时间序列的协整和误差修正模型
首先用OLS对变量进行回归，然后对回归残差进行单 位根检验。如果残差是平稳的，则变量之间存在协 整关系。
Johansen检验
这是一种基于VAR模型的协整检验方法，适用于多 变量系统。通过检验特征根和特征向量的性质来判 断协整关系的存在性和个数。
其他检验方法
如基于残差的DF、ADF检验、PP检验等，这些方法 在特定情况下可能具有更好的适用性。
按时间顺序排列的一组数据，反映现象随时间变化的情况。
时间序列特点
动态性、时序性、规律性、随机性。
平稳性与非平稳性
平稳性
时间序列的统计特性不随时间变化而 变化。
非平稳性
时间序列的统计特性随时间变化而变 化，包括趋势性变化、周期性变化和 随机性变化。
趋势性与周期性
趋势性
时间序列在长期内呈现出的持续上升或下降的变化趋势。
误差修正模型
详细阐述了误差修正模型的构建 方法、优缺点以及适用范围，包 括ECM、VECM等模型。
实证分析与应用
通过多个案例，深入探讨了协整 和误差修正模型在实证分析中的 应用，包括政策评估、金融市场 分析等。
前沿动态介绍
非线性协整理论
随着计量经济学的发展，非线性协整理论逐 渐受到关注，其能够更好地刻画经济变量之 间的长期均衡关系。
系，则建立误差修正模型，并引入误差修正项。 • 实证结果：通过估计ECM模型参数，发现经济增长与通货膨胀之间存在长期
均衡关系。在短期内，经济增长率的波动会受到通货膨胀率的影响，并通过误 差修正项进行调整。此外，还发现其他控制变量如货币政策、财政政策等对经 济增长和通货膨胀也有显著影响。
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时间序列数据预处理技术
工具变量法（IV）
在存在内生性问题的情况下，使用工具 变量来估计模型参数。需要找到与误差 项无关但与解释变量相关的工具变量。
时间序列的协整和误差修正模型
时间序列的协整和误差修正模型时间序列分析中，协整和误差修正模型是两个重要的概念。
协整是指两个或多个时间序列之间的长期关系，而误差修正模型是一种用来修正时间序列中的误差的模型。
协整是经济学家提出的一个概念，用来解决时间序列数据存在的非平稳性的问题。
在实际应用中，有很多时间序列数据是非平稳的，即其均值和方差不随时间变化而保持不变。
然而，这些非平稳的时间序列之间可能存在长期的关系，也就是说它们会随着时间变化而趋于稳定。
这种关系可以通过协整分析来检验和建模。
协整模型的一种常见形式是误差修正模型（Error Correction Model，ECM）。
误差修正模型是建立在协整模型的基础上的，它可以用来描述时间序列数据之间的长期关系，并且考虑了这些时间序列数据之间的短期变动。
在误差修正模型中，如果两个时间序列之间存在协整关系，那么它们之间的生成误差（随机扰动）会导致它们之间的偏离程度逐渐回归到长期均衡的水平。
因此，误差修正模型是通过引入误差修正项来解决协整关系中存在的短期波动的问题。
误差修正模型的基本思想是，当两个时间序列之间存在协整关系时，如果它们之间的误差超过一定的阈值，那么它们之间的误差就会被修正回长期均衡的水平。
这种修正过程可以通过引入一个误差修正项来实现，从而使得模型具备误差修正的能力。
总之，协整和误差修正模型是对时间序列数据进行建模和分析的重要工具。
协整可以用来检验和描述时间序列之间的长期关系，而误差修正模型则是在协整的基础上引入修正项，用来处理时间序列之间的短期波动。
这些方法在经济学和金融学等领域中具有广泛的应用价值。
协整和误差修正模型是时间序列分析中非常重要的概念。
协整是指两个或多个非平稳时间序列之间存在的长期关系，而误差修正模型则是通过引入误差修正项来描述时间序列的短期波动。
在实际应用中，许多经济和金融时间序列是非平稳的，即它们的均值和方差会随时间变化而发生变动。
这种非平稳性可能会导致误导性的统计结果，因为传统的统计方法要求时间序列数据是平稳的。
协整分析与误差修正模型
• MacKinnon(1991)通过模拟试验给出了协整检 验的临界值，表6.1.1是双变量情形下不同样本
容量的临界值。
样本容量 25 50 100 ∝
表 6.1.1 双变量协整ADF 检验临界值
显著性水平
Байду номын сангаас
0.01
0.05
同样地，检验残差项是否平稳的DF与ADF检验临界值 要比通常的DF与ADF检验临界值小，而且该临界值还受 到所检验的变量个数的影响。
表6.1.2给出了MacKinnon(1991)通过模拟试验得到的不 同变量协整检验的临界值。
样本 容量 25 50 100 ∝
表 6.1.2 多变量协整检验 ADF 临界值
第六章 协整与误差修正模型
一、长期均衡关系与协整 二、协整检验 三、误差修正模型
一、长期均衡关系与协整
问题的提出
• 经典回归模型（classical regression model）是建立在稳定 数据变量基础上的，对于非稳定变量，不能使用经典回归 模型，否则会出现虚假回归等诸多问题。
• 由于许多经济变量是非稳定的，这就给经典的回归分析方 法带来了很大限制。
(**)
• 然而，如果Z与W，X与Y间分别存在长期均衡关系： Zt 0 1Wt v1t X t 0 1Yt v2t
则非均衡误差项v1t、v2t一定是稳定序列I(0)。于是它 们的任意线性组合也是稳定的。例如
vt v1t v2t Zt 0 0 1Wt X t 1Yt
一定是I(0)序列。
例如：前面提到的中国CPC和GDPPC，它们各自都是2阶 单整，并且将会看到，它们是(2,2)阶协整，说明它们之间 存在着一个长期稳定的比例关系，从计量经济学模型的意 义上讲，建立如下居民人均消费函数模型
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协整与误差修正模型在处理时间序列数据时，我们还得考虑序列的平稳性。
如果一个时间序列的均值或自协方差函数随时间而改变，那么该序列就是非平稳的。
对于非平稳的数据，采用传统的估计方法，可能会导致错误的推断，即伪回归。
若非平稳序列经过一阶差分变为平稳序列，那么该序列就为一阶单整序列。
对一组非平稳但具有同阶的序列而言，若它们的线性组合为平稳序列，则称该组合序列具有协整关系。
对具有协整关系的序列，我们算出误差修正项，并将误差修正项的滞后一期看做一个解释变量，连同其他反映短期波动关系的变量一起。
建立误差修正模型。
建立误差修正模型的步骤如下：首先，对单个序列进行单根检验，进行单根检验有两种：ADF （Augument Dickey-Fuller ）和DF(Dickey-Fuller)检验法。
若序列都是同阶单整，我们就可以对其进行协整分析。
在此我们只介绍单个方程的检验方法。
对于多向量的检验参见Johensen 协整检验。
我们可以先求出误差项，再建立误差修正模型，也可以先求出向量误差修正模型，然后算出误差修正项。
补充一点的是，误差修正模型反映的是变量短期的相互关系，而误差修正项反映出变量长期的关系。
下面我们给出案例分析。
案例分析在此，我们考虑从1978年到2002年城镇居民的人均可支配收入income 与人均消费水平consume 的关系，数据来自于《中国统计年鉴》，如表8.1所示。
根据相对收入假设理论，在一定时期，人们的当期的消费水平不仅与当期的可支配收入、而且受前期的消费水平的影响，具有一定的消费惯性，这就是消费的棘轮效应。
从这个理论出发，我们可以建立如下（8.1）式的模型。
同时根据生命周期假设理论，消费者的消费不仅与当期收入有关，同时也受过去各项的收入以及对将来预期收入的限制和影响。
从我们下面的数据分析中，我们可以把相对收入假设理论与生命周期假设理论联系起来，推出如下的结果：当期的消费水平不仅与当期的可支配收入有关，而且还与前期的可支配收入、前两期的消费水平有关。
在此先对人均可支配收入和人均消费水平取对数，同时给出如下的模型t t t lincome lconsume lconsume 2110∂+∂+∂=- t=1,2,…,n （8.1） 如果当期的人均消费水平与当期的人均可支配收入及前期的人均消费水平均为一阶单整序列，而它们的线性组合为平稳序列，那么我们可以求出误差修正序列，并建立误差修正模型，如下：t ecm lconsume lincome lconsume t t t t 4131210βββββ++∇+∇+=∇-- t=1,2,…,n (8.2)t ecm = 12110--∂-∂-∂-t t t lincome lconsume lconsume t=1,2,…,n (8.3)从（8.2）式我们可以推出如下的方程：tlincome lincome lconsume lconsume lconsume t t t t t 4030123222131131)()()1(ββββββββββ+∂-+∂--+∂--++=---（8.4）在（8.2）中lconsume ∇、 lincome ∇分别为变量对数滞后一期的值，)1(-ecm 为误差修正项，如（8.3）式所示。
（8.2）式为含有常数项和趋势项的形式，我们省略了只含趋势项或常数项及二项均无的形式。
表8.1year 城镇人均可支配收入（元）城镇居民人均消费额（元）year城镇人均可支配收入（元）城镇居民人均消费额（元）1978343.4116.0619911700.6619.79 1979405134.5119922026.6659.21 1980477.6162.2119932577.4769.65 1981500.4190.8119943496.21016.81 1982535.3220.23199542831310.36 1983564.6248.2919964838.91572.08 1984652.1273.819975160.31617.15 1985739.1317.4219985425.11590.33 1986900.9356.95199958541577.42 19871002.1398.29200062801670.13 19881180.2476.6620016859.61741.09 19891373.9535.3720027702.81834.31 19901510.2584.63分析步骤：1、单位根检验。
我们先介绍ADF检验。
在检验过程中，若ADF检验值的绝对值大于临界值的绝对值，则认为被检验的序列为平稳序列。
在此我们先以对lincome的检验为例，在主菜单中选择Quick/Series Statistics/Unit Root Test，屏幕提示用户输入待检验序列名，输入lincome，单击OK进入单位根检验定义的对话框，如图8.1。
图8.1对话框由三部分构成。
检验类型（Test Type）中默认项是ADF检验。
Test for unit root In 中可选择的是对原序列、一阶差分序列或是二阶差序列做单位根检验，在此我们保持默认的level,即原序列。
右上方的Include in test equation中，有三个选项，依次为含常数项，含常数项和趋势项，没有常数项且没有趋势。
在右下方的空格里默认为2，但我们一般根据AIC最小来确定滞后期数，本文选定为滞后一期。
检验的顺序为：先选含趋势项和常数项的检验，如果趋势项的T统计量不明显，就再选只含常数项的，如果常数项的T统计量不明显，就选择常数项和趋势项均不包括的一项。
当我们选含趋势项和常数项的检验时，会出现下面的结果，如图8.2所示。
图8.2在检验的结果输出窗口中，左上方为ADF检验值，右上方为1%、5%和１0%的显著水平下的临界值，从图8.1中可以看出ADF统计的检验值为-3.117,其绝对值小于10%的显著水平的临界值–3.2856的绝对值。
同时趋势值的Ｔ统计来看，在５％的水平下显著。
注意，这里的Ｔ统计量不同于我们在做最小二乘时用的Ｔ统计值。
这些T统计检验的临界值在Ｆuller（1976）中给出．从上面的分析我们可以认为该序列为非平稳的序列，且该序列有趋势项和常数项。
在下文中我们会进行一步介绍只含常数项的和常数项与趋势项均不包括的ＡＤＦ检验的过程。
在上面分析的基础上，我们回到图8.1的窗口，检验lincome差分一阶的平稳性。
在图8.1中的Test for unit root In中选差分一阶，同时在Include in test equation 中选取含趋势项和常数项这一项，我们同样根据AIC和SC最小来选择滞后两期。
此时会出现如下图8.3的结果：图8.3从上图中可以看出ADF的绝对值小于5%水平下的临界值的绝对值，大于10%的检验值的绝对值。
但此时趋势项的T检验值不明显。
所以我们回到图8.1的窗口，在Include in test equation中选取含常数项这一项。
其结果如下图8.4所示，结果显示ADF的绝对值为3.4546大于5%水平下的临界值的绝对值，此时常数项的Ｔ检验值为3.34572，大于在显著水平为５％水平下的Ｔ临界值为2.61，所以常数项T检验值很明显。
我们认为lincome序列差分一阶后为平稳的。
值得注意的是，我们在此选择10%为临界值来判断非平稳的情况，而选择5%的临界值来判断平稳的情况，也就是，当ADF检验值的绝对值大于5%水平下的临界的绝对值。
图8.4同时我们也可以用命令来执行单位根检验，格式如下：uroot(lags,options,h) series_name其中，lags指式中滞后的阶数，options中可以选三个c、t和n，其中c代表含趋势项，t代表含趋势项和常数项,n代表不含趋势项也不含常数项。
H表示采用pp检验，series_name即为序列名。
DF检验相当于ADF检验中的不含趋势项的常数项的情况。
我们在此不再叙述。
２、协整检验。
在上面的例子中我们分析出城镇居民可支配收入为一阶单整序列，同时我们采用同样的分析方法，可知城镇居民的人均消费支出也为一阶单整。
由此，可以对序列进行协整估计。
用变量lgdp对变量lm2进行普通最小二乘回归，在主窗口命令行中输入：ls lconsume c lconsume(-1) lincome回车得到回归模型的估计结果，如图8.5所示。
图8.5此时系统会自动生成残差，我们令残差为ecm，命令如下：ecm=resid对残差项进行单位根检验，滞后期为１，结果如表8.2所示，从表中可以看出，残差序列为平稳序列，该协整关系成立。
表8.2 ADF Test Statistic -2.831448 1% Critical Value* -2.67565% Critical Value -1.957410% Critical Value -1.6238３、误差修正模型。
上面的分析可以证明序列lconsume、lincome及lconsme(-1)之间存在协整关系，故可以建立ecm（误差修正模型）。
先分别对序列lconsume、lincome及lconsme(-1)进行一阶差分,然后对误差修正模型进行估计。
在主窗口命令行中输入：ls d(lconsume) c d(lincome) d(lconsume(-1)) ecm(-1)此时的常数项系数不明显，我们去掉常数项后再进行回归，结果如下图8.6所示图8.6从上式可以看出上式中的T检验值均显著，误差修正项的系数为-0.252,这说明长期均衡对短期波动的影响不大。
下面我们短期会给出另一种估计方式。
我们可以直接进行估计，命令为：ls lconsume c lincome lconsume(-1) lconsume(-2) lincome(-1)结果如下图8.7所示：图8.7比较两种估计方法的结果，可知，第二种估计方法的拟合优度要好于第一种的拟合优度。
但第一种方法似乎比第二种方法更能说明经济问题，因为没有差分的模型表现的是长期的均衡关系，而差分后的方程则反映了短期波动的决定情况，其中的误差项反映了长期均衡对短期波动的影响。
注意，我们同样可以根据前面的（8.1）、（8.2）及(8.3)式，把第一种方法通过代数变换，转换成第二种形式，在此我们省略了变换过程。