海南省(天一大联考)2019-2020学年高三年级第二次模拟考试数学试题
海南省天一大联考2020届高三年级第四次模拟数学试题
0.0490
16
0.0470
0.0520
0.0580
0.0600
0.0630
18
0.0590
0.0650
0.0720
0.0760
0.0790
20
0.0720
0.0800
0.0880
0.0920
0.0970
22
0.0860
0.0960
0.1060
0.1110
0.1160
24
0.1020
0.1140
0.1250
f
(x) =
x3 ， a
=
f
log2
3 4
，
b
=
f
log4
4 5
，
c
=
f
log2
2 3
，则
a
，
b
，
c
的大小关系为
（）
A. c < b < a
B. a < b < c
C. c < a < b
D. a < c < b
8.已知双曲线
C
：
x2 a2
−
y2 b2
= 1( a
> 0,b
> 0) 的左、右焦点分别为 F1 ， F2 ，点 M
B. 10 个季度中，汽车产能利用率的中位数为 78.75% C. 2018 年 4 个季度的汽车产能利用率的平均数为 79.9%
D. 与上一季度相比，汽车产能利用率变化最大的是 2019 年第 4 季度
10.对于
2x
−
1 x2
6
的展开式，下列说法正确的是（
海南省天一大联考2020届高三年级第四次模拟数学试题(解析版)
所以 ，所以 .故选：C
【点睛】本题主要考查了利用幂函数的单调性比较大小，属于中档题.
8.已知双曲线 ： 的左、右焦点分别为 ， ，点 为 的右支上一点，且 ， ，则双曲线 的离心率的最小值为（）
A. B. C. 3D.
【答案】B
【分析】
设 ， ， ，由 ，得出 ，由双曲线的定义以及离心率公式得出 ，最后余弦函数的性质得出双曲线 的离心率的最小值.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合 ， ，则图中阴影部分表示的集合为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】
由题意可得阴影部分表示 ，求出集合 后计算 可得答案.
【详解】解：由题意可得阴影部分表示 ,
【详解】设 ， ，
因为 ，且 ，所以 ，则
所以
所以 .
因为 ，所以当 时， 取得最大值
所以 ，所以双曲线 的离心率的最小值为 .
故选：B
【点睛】本题主要考查了双曲线的性质和离心率，涉及了三角函数的性质，属于中档题.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
4.已知向量 ， ， ，则实数 的值为（）
A. 1B. C. D. -1
【答案】C
【分析】求出向量 的坐标，由 ，根据向量数量积的坐标表示，即求实数 的值.
【详解】 .
，
解得 .故选： .
【点睛】本题考查向量的坐标运算及数量积的坐标表示，属于基础题.
天一大联考2020年海南省高三年级第三次模拟考试数学试题(含解析)
天一大联考2019-2020学年海南省高三年级第三次模拟考试数学考生注意：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2|60A x x x =--<，{}2|4B x x =…，则A B =I （ ） A ．()2,3B ．(2,3]C ． [2,3)D ．[2,3]2.已知复数z 满足()121 i z i -=+，则z =（ ）ABCD3.函数3sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象的一条对称轴方程为（ ） A ．6x π=B ．2x π=C ．23x π=D ．56x π=4.已知函数，(2),0,()2,0x k x x f x k x +⎧=⎨+>⎩„，则“1k <”是“()f x 单调递增”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5.《九章算术》中有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺。
问日织几何？”其意思为：“有一女子很会织布，每天织的布都是前一天的2倍，5天共织布5尺。
问：每天分别织多少布？”则上述问题中，该女子第3天织布的尺数为（ ） A ．2031B ．1031C ．516D ．156.函数2()1sin 1xf x x e ⎛⎫=-⎪+⎝⎭的图象的大致形状是（ ） A ． B ．C ．D ．7.2020年初，新型冠状病毒（19COVID -）引起的肺炎疫情爆发以来，各地医疗机构采取了各种针对性的治疗方法，取得了不错的成效，某地开始使用中西医结合方法后，每周治愈的患者人数如下表所示：由表格可得y 关于x 的二次回归方程为$26y x a =+，则此回归模型第4周的残差（实际值与预报值之差）为（ ） A ．5B ．4C ．1D ．08.已知双曲线22221(0,0)x y a b ba -=>>的左、右焦点分别为1(-, 0)F c ，2(, 0)(0)F c c >，点P 在双曲线上，且2PF 垂直于x 轴。
天一大联考2019-2020学年海南省高三年级第一次模拟考试数学试题(解析版)
得到曲线 2 的解析式为 = cos2 ⋅ 2 = cos .
故选：B.
【分析】由三角函数平移和伸缩的性质，以及运用诱导公式化简，便可得出答案.
5.【答案】 A
【考点】一元二次不等式的解法
5
【解析】【解答】原不等式等价于 2 + 1 > 3 + 5 ≥ 0 ，解得 − 3 ≤ < −1 或 > 4 .
（1）若 = 30∘ ， = 75∘ ， √3 + √2 = 5 ，求 , 的长；
（2）若 + > 90∘ ，求证： < .
19.如图（1），在平面五边形 中，已知四边形 为正方形， 为正三角形.沿着 将
四边形 折起得到四棱锥 − ，使得平面 ⊥ 平面 ，设 在线段 上且满
“ 1 = 2 ”的（
）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
4.将函数 = sin2 的图象向左平移
4
C. 充要条件
个单位长度后得到曲线 1 ，再将 1 上所有点的横坐标伸长到
原来的 2 倍得到曲线 2 ，则 2 的解析式为（
A. = sin
B. = cos
1
1
5
知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
海南省天一大联考 2020 届高三数学第一次模拟考试试卷
一、单选题
1.已知集合 = { ∈ ∗ |0 ≤ < 2} ，则集合 的子集的个数为（
A. 2
B. 3
1−
2.1+2 +
A.
6−2
天一大联考2019-2020学年海南省高三年级第三次模拟考试数学试题
天一大联考2019-2020学年海南省高三年级第三次模拟考试数学考生注意：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2|60A x x x =--<，{}2|4B x x =…，则A B =I （ ） A ．()2,3B ．(2,3]C ． [2,3)D ．[2,3]2.已知复数z 满足()121 i z i -=+，则z =（ ）ABCD3.函数3sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象的一条对称轴方程为（ ） A ．6x π=B ．2x π=C ．23x π=D ．56x π=4.已知函数，(2),0,()2,0x k x x f x k x +⎧=⎨+>⎩„，则“1k <”是“()f x 单调递增”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5.《九章算术》中有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺。
问日织几何？”其意思为：“有一女子很会织布，每天织的布都是前一天的2倍，5天共织布5尺。
问：每天分别织多少布？”则上述问题中，该女子第3天织布的尺数为（ ） A ．2031B ．1031C ．516D ．156.函数2()1sin 1xf x x e ⎛⎫=-⎪+⎝⎭的图象的大致形状是（ ） A ． B ．C ．D ．7.2020年初，新型冠状病毒（19COVID -）引起的肺炎疫情爆发以来，各地医疗机构采取了各种针对性的治疗方法，取得了不错的成效，某地开始使用中西医结合方法后，每周治愈的患者人数如下表所示：由表格可得y 关于x 的二次回归方程为$26y x a =+，则此回归模型第4周的残差（实际值与预报值之差）为（ ） A ．5B ．4C ．1D ．08.已知双曲线22221(0,0)x y a b ba -=>>的左、右焦点分别为1(-, 0)F c ，2(, 0)(0)F c c >，点P 在双曲线上，且2PF 垂直于x 轴。
天一大联考2019-2020学年海南高三第三次模拟考试(含答案)
天一大联考2019-2020学年海南省高三年级第三次模拟考试数学·答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．本题考查不等式的解法和集合的运算．A= j 川－2<x<3f,B ＝问Ix 运－2或x�2f ,AnB= [2,3).1.【答案］【命题意图］【解析】2.【答案】【命题意图】cB本题考查复数的概念和基本运算．由l -2i=z (l ＋明z ＝�＝＼＼=m口）＝－÷去i ，所以l z l 计才f ＋（去f ＝于【解析】3.【答案］【命题意图］D 本题考查三角函数的图象与性质．令2x －旦＝何＋主（kEZ），得x＝缸＋旦，取k=l，得x＝�.2 3D本题考查函数的单调性和充分必要条件的判断若f(x ）单调递增，则k>O且k (O +2）运20刊，解得O<k�l，因为“k<l ”与“O<h三1”没有包含的关系，所以充分性和必要性都不成立．5.【答案】【命题意图】【解析］4.【答案］【命题意图】【解析】 A本题考查等比数列的概念和性质．α( 1 -25)设第n天织布的尺数为吼，则j a n f 是公比为2的等比数列．所以α1＋向＋…＋α＝ 1 1 L. 5 1 -2 【解析】? 20 得α＝一，所以向＝α1×2:l ＝一．1 31’� 1 316.【答案】【命题意图】c本题考查函数的图象．数函故数函奇为z g 数函2一山e 一＋q h －ea 2一山z g mm川2一山M g 令【解析］J(x ）是偶函数，排除A,B；当0<x ＜τ时，s i n x >0,e x > 1，所以g(x)>OJ(x) >0，故选c .7.【答案】【命题意图】A本题考查回归分析的应用．设t =x 2，则t ＝上（1 + 4 + 9 + 16 + 25) = 11，户上（2+ 17 +36 +93 + 142) =58，α＝58 -6×11=-8,5【解析］所以y =6x 2 -8.x =4，得e 4=y 4 -y 4 =93 -6×42+8=5. 本题考查双曲线的几何性质，直线与双曲线的位置关系．一1一8.【答案】【命题意图】B3 IPF2I 3［解析］根据题意知IF1F2I＝纭，直线PF，的斜率为4，则tanLPF1F2＝面孟1=4，则有IPF2I =2c，则｜I 2 5PF, I= ,j I P F2 I 2 + I F J2 I二c则2a= I PF, I一IPF2I二c，则双曲线的离心率e二二2.又因为L.PF1F2的·y 2’。
天一大联考齐鲁名校联盟2024-2025学年高三上学期第二次联考(10月)数学试题
“天一大联考·齐鲁名校联盟”2024—2025学年高三年级第二次联考数学一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.1.已知集合{}1,2,3,4,5,6U =，{}13,5A =,，{}1,2,3B =，则()U A B =ð（）A.{}2,4,5,6 B.{}4,6 C.{}2,4,6 D.{}2,5,62.已知0,0m n >>，且3m n +=，则21m n +++的最大值为（）A.8B.23C.22D.572+3.函数)()(e e x x f x x -=-的图象大致为（）A. B. C. D.4.一块扇形薄铁板的半径是30，圆心角是120 ，把这块铁板截去一个半径为15的小扇形后，剩余铁板恰好可作为一个圆台的侧面，则该圆台的体积为（）A.17502π9B.1750π9C.17502π3D.17502π5.设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则“数列{}n S 为递增数列”是“321a a a >>”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件6.函数221,2()2,2x x f x x x ⎧-<-=⎨-≥-⎩的最小值为（）A .4- B.2- C.3D.57.已知数列{}n a 满足：11a =，点()1,n n n a a ++在函数1y kx =+的图象上，其中k 为常数()0k ≠，且124,,a a a 成等比数列，则k 的值为（）A.2B.3C.4D.58.已知定义在R 上的函数()f x 满足()1(1)f x f x =--，若函数442x xy =+与函数()y f x =的图象的交点为112220252025(),),(,),,(,x y x y x y ，则20251)(i i i x y =+=∑（）A.0B.20252C.2025D.60752二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.9.下列说法正确的是（）A.若,a b c >∈R ，则22ac bc >B.若22,a b c cc >∈R ，则a b >C.若a b >，则22a b >D.函数2sin sin y x x=+的最小值为2210.如图，有一列曲线012,,, P P P ，已知0P 所围成的图形是面积为1的等边三角形，1(0,1,2,3,)k P k += 是对k P 进行如下操作得到的：将k P 的每条边三等分，以每边中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉，记k S 为曲线k P 所围成图形的面积，则（）A.3P 的边数为128B.24027S =C.n P 的边数为34n⨯ D.834()559nn S =-⋅11.已知函数()32,f x x ax a =-+∈R ，则（）A.()f x 的图象关于点()0,2对称B.(),a f x ∃∈R 仅有一个极值点C.当1a =时，()f x 图象的一条切线方程为240x y -+=D.当3a <时，()f x 有唯一的零点三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知集合*2{13,{|(2)20}|}A x x B x ax a x =∈≤<=-++=N ，若“x B ∈”是“x A ∈”的充分不必要条件，则实数a 的所有取值组成的集合是______.13.蜜蜂被举为“天才的建筑师”，蜂巢结构是一种在一定条件下建筑用材最少的结构.如图是一个蜂房的立体模型，底面ABCDEF 是正六边形，棱,,,,,AG BH CI DJ EK FL 均垂直于底面ABCDEF ，上顶由三个全等的菱形,,PGHI PIJK PKLG 构成，10928GPI IPK KPG θ'∠=∠=∠=≈ ，设1BC =，则上顶的面积为______.（参考数据：1cos ,tan232θθ=-=）14.已知函数()ln f x x x =，则()f x 的最小值为______；设函数()()2g x x af x =-，若()g x 在()0,∞+上单调递增，则实数a 的取值范围是______.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知数列{}n a 满足()2*112,1n n n a a a a n +==-+∈N.（1）比较20242026,a a 的大小，并写出过程；（2）设数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，证明：1n S <.16.已知函数()f x 与其导函数()f x '的定义域均为R ，且()f x 为奇函数，当0x >时，()()()2,10f x f x f ->='.（1）判断()y f x '=的奇偶性；（2）解不等式()0f x >.17.如图，在四棱锥P ABCD -中，侧棱PA ⊥底面,ABCD AB BC ⊥，且2,2,5PA AB BC AD CD =====.（1）证明：BD ⊥平面PAC ；（2）求平面PBC 与平面PAD 夹角的正弦值.18.设函数()ln(1)(0)f x x k x k =+-≠.（1）讨论()f x 的单调区间.（2）已知直线l 是曲线()y f x =在点(,())(2)t f t t >处的切线.（i ）求直线l 的方程；（ii ）判断直线l 是否经过点(2,2).19.设数阵111202122x x X x x ⎛⎫=⎪⎝⎭，其中{}11122122,,,1,2,3,4,5,6x x x x ∈.设{}{}12,,,1,2,3,4,5,6k B n n n =⊆ ，其中*12,k n n n k <<<∈N 且6k ≤.定义变换t M 为“对于数阵的每一列，若其中有t 或t -，则将这一列中所有数均保持不变；若其中没有t 且没有t -，则这一列中每个数都乘以()121,,,k t n n n -= ”，()0B M X 表示“将0X 经过1n M 变换得到1X ，再将1X 经过2n M 变换得到2,X ，以此类推，最后将1k X -经过k n M 变换得到k X ”.记数阵k X 中四个数的和为()0B T X .（1）若{}021,2,534X B ⎛⎫==⎪⎝⎭，写出0X 经过2M 变换后得到的数阵1X ，并求()0B T X 的值；（2）若{}012321,,,34X B n n n ⎛⎫== ⎪⎝⎭，求所有()0B T X 取值的和；（3）对任意确定的一个数阵0X ，证明：所有()0B T X 取值的和不大于8-；（4）如果01336X ⎛⎫=⎪⎝⎭，其他条件不变，你研究（1）后得出什么结论？“天一大联考·齐鲁名校联盟”2024—2025学年高三年级第二次联考数学一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知集合{}1,2,3,4,5,6U =，{}13,5A =,，{}1,2,3B =，则()U A B =ð（）A.{}2,4,5,6 B.{}4,6 C.{}2,4,6 D.{}2,5,6【答案】A 【解析】【分析】由集合的交集运算、补集运算即可求解.【详解】由题意集合{}1,2,3,4,5,6U=，{}13,5A =,，{}1,2,3B =，则{}1,3A B = ，(){}2,4,5,6U A B = ð.故选：A.2.已知0,0mn >>，且3m n +=，则21m n +++的最大值为（）A.8B.23C.22D.572+【答案】B 【解析】【分析】根据给定条件，利用配凑法及基本不等式求出最大值.【详解】由0,0mn >>，3m n +=，得6(2)(1)2(2)(1)m n m n =+++≥++，当且仅当213m n +=+=，即1,2m n ==时取等号，因此221(21)62(2)(1)23m n m n m n +++=+++=+++≤，所以21m n +++的最大值为23.故选：B3.函数)()(e e x x f x x -=-的图象大致为（）A. B. C. D.【答案】B 【解析】【分析】利用函数()f x 奇偶性排除两个选项，再利用0x >时，函数值的正负判断即可.【详解】函数)()(e e x x f x x -=-的定义域为R ，()()(e )e x x f x x f x -=-=--，因此函数()f x 是偶函数，其图象关于y 轴对称，排除AC ；当0x >时，0e e 1x x -<<<，则()0f x <，排除D ，选项B 符合题意.故选：B4.一块扇形薄铁板的半径是30，圆心角是120 ，把这块铁板截去一个半径为15的小扇形后，剩余铁板恰好可作为一个圆台的侧面，则该圆台的体积为（）A.2π9B.1750π9C.2π3D.17502π【答案】C 【解析】【分析】根据给定条件，求出原扇形及截去的小扇形围成的圆锥体积，再利用圆台的定义求出圆台体积.【详解】半径为30，圆心角为120 的扇形围成圆锥的底面圆半径r ，则2π2π303r =⋅，解得10r =，该圆锥的高h=2211ππ10π333V r h ==⋅⋅=，截去半径为15的小扇形围成圆锥的底面圆半径0r，则02π2π153r =⋅，解得05r =，该圆锥的高0h==2200011ππ5π333V r h ==⋅⋅=，所以该圆台的体积为0π27π31π33VV -=-=.故选：C5.设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则“数列{}n S 为递增数列”是“321a a a >>”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】D 【解析】【分析】由321a a a >>可得10,01a q <<<或10,1a q >>，由{}n S 递增得出0n a >恒成立，再由充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】令等比数列{}n a 的公比为q ，由321a a a >>，得1112a a a q q >>，则10,01a q <<<或10,1a q >>，由数列{}n S 为递增数列，得110n n n a S S ++=->，即N n *∀∈，10n a q >，因此10,0a q >>，所以“数列{}n S 为递增数列”是“321a a a >>”的既不充分也不必要条件.故选：D6.函数221,2()2,2x x f x x x ⎧-<-=⎨-≥-⎩的最小值为（）A.4- B.2- C.3 D.5【答案】B 【解析】【分析】根据给定条件，分段探讨函数()f x 的单调性，进而求出最小值.【详解】当2x <-时，函数()21x f x =-在(,2)-∞-上单调递增，31()4f x -<<-；当2x ≤-时，函数2()2f x x =-在[2,0]-上单调递减，在[0,)+∞上单调递增，()(0)2f x f ≥=-，所以当0x =时，min ()2f x =-.故选：B7.已知数列{}n a 满足：11a =，点()1,n n n a a ++在函数1y kx =+的图象上，其中k 为常数()0k ≠，且124,,a a a 成等比数列，则k 的值为（）A.2B.3C.4D.5【答案】A 【解析】【分析】根据递推公式求出2a ，4a ，再根据124,,a a a 成等比数列，可求k 的值.【详解】因为点()1,n n n a a ++在函数1y kx =+的图象上，所以11n n a a kn ++=+⇒11n n kn a a +=+-，所以11a =，211k ka a =+-=，32211a k k a =+-=+，43312k k a a =+-=，因为124,,a a a 成等比数列，所以212k k =⨯⇒2k =或0k =（舍去）.故选：A8.已知定义在R 上的函数()f x 满足()1(1)f x f x =--，若函数442x x y =+与函数()y f x =的图象的交点为112220252025(),),(,),,(,x y x y x y ，则20251)(i i i x y =+=∑（）A.0B.20252C.2025D.60752【答案】C 【解析】【分析】根据给定条件，求出函数()f x 及442x xy =+的图象的对称中心，再结合中心对称图形的性质计算即得.【详解】依题意，由()1(1)f x f x =--，得()(1)1f x f x +-=，则函数()y f x =的图象关于点11(,)22对称，令4()42xxg x =+，则114444()(1)1424242424x x x x x x x g x g x --+-=+=+=++++⋅，因此函数()y g x =的图象关于点11(,)22对称，显然函数()y f x =与()y g x =的图象对称中心相同，则函数()y f x =与()y g x =的图象的交点关于点11(,22对称，不妨令点(,)i i x y 与20262026(,)(1,2,3,,2025)i i x y i --= 关于点11(,)22对称，则202620261,1i i i i x x y y --+=+=，20262026()()2i i i i x y x y --+++=，所以202512(202520252)i i i x y =+=⨯=∑.故选：C 【点睛】结论点睛：函数()y f x =的定义域为D ，x D ∀∈，①存在常数a ，b 使得()(2)2()()2f x f a x b f a x f a x b +-=⇔++-=，则函数()y f x =图象关于点(,)a b 对称.②存在常数a 使得()(2)()()f x f a x f a x f a x =-⇔+=-，则函数()y f x =图象关于直线x a =对称.二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.若,a b c >∈R ，则22ac bc >B.若22,a bc c c>∈R ，则a b >C.若ab >，则22a b > D.函数2sin sin y x x=+的最小值为【答案】BC 【解析】【分析】对A 举反例即可；对B 根据不等式性质即可判断；对C ，利用指数函数单调性即可判断；对D 举反例即可.【详解】对A ，当0c=时，22ac bc =，故A 错误；对B ，当22a b c c >，则20c >，则a b >，故B 正确；对C ，根据指数函数2x y =在R 上单调递增，且a b >，则22a b >，故C 正确；对D ，当sin 1x =-时，2sin 3sin y x x=+=-<D 错误.故选：BC.10.如图，有一列曲线012,,,P P P ，已知0P 所围成的图形是面积为1的等边三角形，1(0,1,2,3,)k P k += 是对k P 进行如下操作得到的：将k P 的每条边三等分，以每边中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉，记k S 为曲线kP 所围成图形的面积，则（）A.3P 的边数为128 B.24027S =C.n P 的边数为34n⨯ D.834()559n n S =-⋅【答案】BCD 【解析】【分析】根据给定信息，归纳可得n P 的边数判断AC ；依次计算归纳得n P 所围图形的面积判断BD.【详解】依题意，令0P 图形的边长为a ，2314a =，边数是3；根据图形规律，1P 图形边长为3a，边数为0P 边数的4倍，即34⨯；2P 图形边长为23a，边数为234⨯；依此类推，n P 图形边长为3n a ，边数为34n ⨯，C 正确；3P 的边数为334192⨯=，A 错误；由图形规律知曲线n P 所围图形的面积n S 等于曲线1n P -所围面积加上每一条边增加的小等边三角形的面积，而每一个边增加的小等边三角形面积为23()43n a ⨯，则1213(34)()43n nn n a SS --=+⨯⨯，整理得1114()39n n n S S ---=⨯，数列1{}nn S S --是等比数列，1P 图形的面积213413()433a S =+⨯⨯=，121321144[1(]4183499()433559()9()()1n n n n n S S S S S S S S ---=+⨯-=+-+--⨯++=- ，D 正确；2831640558127S =-⨯=，B 正确.故选：BCD 11.已知函数()32,f x x ax a =-+∈R ，则（）A.()f x 的图象关于点()0,2对称B.(),a f x ∃∈R 仅有一个极值点C.当1a=时，()f x 图象的一条切线方程为240x y -+= D.当3a <时，()f x 有唯一的零点【答案】ACD 【解析】【分析】根据函数的奇偶性判断A ，根据三次函数的性质判断B ，根据导数的意义求切线判断C ，利用极值点的符号判断D.【详解】对A ：设()3g x x ax =-，则函数()g x 为奇函数，图象关于原点()0,0对称，将()3g x x ax =-的图象向上平移2个单位，得函数()32f x x ax =-+的图象，故函数()f x 的图象关于点()0,2对称，A 正确；对B ：由三次函数的性质可知，函数()f x 要么有2个极值点，要么没有极值点，所以B 错误；对C ：当1a=时，()32f x x x =-+，()231f x x '=-.由()2f x '=⇒2312x -=⇒1x =或1x =-.若1x =，则2y =，所以()f x 在1x =处的切线方程为：即2y x =；若1x =-，则2y =，所以()f x 在1x =-处的切线方程为：()221y x -=+即240x y -+=.故C 正确；对D ：因为()23f x x a '=-，若0a ≤，则()0f x '≥在(),-∞+∞上恒成立，则()f x 在(),-∞+∞上单调递增，由三次函数的性质可知，此时函数()f x 只有一个零点；若0a >，由()0f x '<⇒3333x -<<，由()0f x '>⇒33x <-或33x >.所以函数()f x 在3,3⎛-∞-⎝⎭和3,3⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，在,33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减，要使函数()f x 只有1个零点，须有03f ⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭（因为()02f =，所以03f ⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭不成立），即3332033a ⎛⎫-⋅+> ⎪ ⎪⎝⎭⇒3a <，得0<<3a .综上可知：当3a <时，函数()f x 有唯一的零点，故D 正确.故选：ACD 【点睛】方法点睛：本题可以结合三次函数的图象和性质进行分析.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知集合*2{13,{|(2)20}|}A x x B x ax a x =∈≤<=-++=N ，若“x B ∈”是“x A ∈”的充分不必要条件，则实数a 的所有取值组成的集合是______.【答案】{0,2}【解析】【分析】用列举法表示集合A ，利用充分不必要条件的定义，借助集合的包含关系分类求解即得.【详解】依题意，{1,2}A =，{|(2)(1)0}B x ax x =--=，显然B ≠∅，由“x B ∈”是“x A ∈”的充分不必要条件，得BA ，当0a=时，{1}B =，符合题意，当0a ≠时，方程2(2)20ax a x -++=的根为1和2a，显然22a ≠，否则B A =，不符合题意，因此21a=，解得2a =，此时{1}B =，符合题意，所以实数a 的所有取值组成的集合是{0,2}.故答案为：{0,2}13.蜜蜂被举为“天才的建筑师”，蜂巢结构是一种在一定条件下建筑用材最少的结构.如图是一个蜂房的立体模型，底面ABCDEF 是正六边形，棱,,,,,AG BH CI DJ EK FL 均垂直于底面ABCDEF ，上顶由三个全等的菱形,,PGHI PIJK PKLG 构成，10928GPI IPK KPG θ'∠=∠=∠=≈ ，设1BC =，则上顶的面积为______.（参考数据：1cos ,tan 232θθ=-=）【答案】924【解析】【分析】根据蜂房的结构特征，即可根据锐角三角函数以及三角形面积公式求解.【详解】依题意，由10928GPIIPK KPG θ'∠=∠=∠=≈ ，得10928GHI θ'∠=≈ ，在菱形PGHI 中，连接G I 并取其中点O，连接OH ，则2224tan2GOOH GO GI θ===，由正六边形ABCDEF 的边长1BC =，得2sin 603AC AB == ，由蜂巢结构特征知，AG CI =，又,AG CI都垂直于平面ABCDEF ，则//AG CI ，于是四边形ACIG 是平行四边形，有=3GI AC =，则26=44OH GI =，因此一个菱形的面积为1632223244GHISGI OH =⋅⋅=⨯=，所以上顶的面积为3292344⨯=.故答案为：92414.已知函数()ln f x x x =，则()f x 的最小值为______；设函数()()2g x x af x =-，若()g x 在()0,∞+上单调递增，则实数a 的取值范围是______.【答案】①.1e-②.[]0,2【解析】【分析】空1，直接求导利用()f x 的单调性去求其最小值即可；空2，利用导数与单调性的关系建立不等式，利用不等式的恒成立解决参数范围即可.【详解】由题可知()ln f x x x =定义域为()0,∞+()ln 1f x x ='-显然，当10,e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，′<0，()f x 单调递减；当1,+e x ∞⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，′>0，()f x 单调递增；所以()f x 的最小值为11e e f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；由题可知，()()22ln g x x af x x ax x=-=-所以()2ln g x x a x a =--'由题可知()2ln 0g x x a x a '=--≥恒成立，当0a <，显然当0x →时，()g x ∞'→-，故不成立；当0a=时，()2g x x '=，因为∈0,+∞，所以()20g x x '=>，故成立；当0a >时，由2ln 0x a x a --≥恒成立，得21ln xax +≥恒成立，即max 21ln x a x +⎛⎫≥ ⎪⎝⎭不妨令()1ln x h x x +=，所以()2ln xh x x -='所以显然当∈0,1时，ℎ′>0，ℎ单调递增；当()1,+x ∞∈时，ℎ′<0，ℎ单调递减；所以()()max 11h x h ==，即2102a a ≥⇒<≤综上所述：[]0,2a ∈故答案为：1e-；0,2【点睛】关键点点睛，当不等式化简时，不要在不等式两边去随意乘或者除以一个未知数，要保证知道其正或负，再去作乘除计算.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知数列{}n a 满足()2*112,1n n n a a a a n +==-+∈N .（1）比较20242026,a a 的大小，并写出过程；（2）设数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，证明：1n S <.【答案】（1）20242026a a <（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）证明数列的单调性，可比较给出的两项的大小.（2）先根据统计得到111111n n n a a a +=---，再求n S 进行判断即可.【小问1详解】因为211n n n a a a +=-+⇒()2212110n n n n n a a a a a +-=-+=-≥，所以1n n a a +≥.若1n n a a +=，则211n n n n a a a a +=-+=⇒1n a =，这与12a =矛盾.所以1n n a a +>.故20242026a a <.【小问2详解】由211n n n a a a +=-+⇒()2111n nn n n a a a a a +-=-=-，所以()11111111n n n n n a a a a a +==----⇒111111n n n a a a +=---.所以11111111nnn i i i i i S a a a ==+⎛⎫==- ⎪--⎝⎭∑∑1111111111n n a a a ++=-=----.由（1）可知：12n a +>，所以1n S <.16.已知函数()f x 与其导函数()f x '的定义域均为R ，且()f x 为奇函数，当0x >时，()()()2,10f x f x f ->='.（1）判断()y f x '=的奇偶性；（2）解不等式()0f x >.【答案】（1）偶函数，理由见解析（2）(1,0)(1,)-+∞ 【解析】【分析】（1）对()()f x f x -=-两边同时求导即可证明；（2）构造函数2()()ex f x h x =，求导得到其单调性即可得到()f x 在(1,)+∞上大于零，在(0,1)上小于零，再根据其为奇函数即可得到答案.【小问1详解】因为()f x 为奇函数，定义域为R ，所以()()f x f x -=-，两边同时求导可得()()f x f x ''--=-，即()()f x f x ''-=，所以()y f x '=为偶函数.【小问2详解】因为当0x >时，()2()f x f x '->，所以()2()f x f x '>.构造函数2()()e x f x h x =，则2()2()()e xf x f x h x '-'=，所以当0x >时，()0,()h x h x >'在(0,)+∞上单调递增，又因为(1)0f =，所以(1)0,()h h x =在(1,)+∞上大于零，在(0,1)上小于零，又因为2e 0x>，所以()f x 在(1,)+∞上大于零，在(0,1)上小于零，因为()f x 是定义域为R 的奇函数，所以(0)0,()f f x =在(,1)∞--上小于零，在(1,0)-上大于零，综上所述，()0f x >的解集为(1,0)(1,)-+∞ .17.如图，在四棱锥P ABCD -中，侧棱PA ⊥底面,ABCD AB BC ⊥，且2,2,5PA AB BC AD CD =====.（1）证明：BD ⊥平面PAC ；（2）求平面PBC与平面PAD 夹角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）105【解析】【分析】（1）首先证明AC BD ⊥，再利用线面垂直的性质得PA BD ⊥，最后线面垂直的判定即可证明；（2）建立合适的空间直角坐标系，求出相关平面的法向量，最后根据面面角的空间向量求法即可得到答案.【小问1详解】记AC BD O = ，如图.因为,AB BC AD CD ==，BD BD =，所以ABD CBD ≅ ，所以ADOCDO ∠=∠，由等腰三角形三线合一知90AOD COD ︒∠=∠=，即AC BD ⊥，又PA ⊥底面,ABCD BD ⊂平面ABCD ，所以PA BD ⊥，因为AC PA A ⋂=，且AC ⊂平面,PAC PA ⊂平面PAC ，所以BD ⊥平面PAC .【小问2详解】取PC 的中点M，连接OM ，则//OM PA ，所以OM ⊥平面ABCD ，所以,,OC OD OM 三条直线两两互相垂直，以,,OC OD OM 所在的直线分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz ，由题意及（1）知1,2OAOD ==，则(1,0,0),(0,1,0),(1,0,0),(0,2,0),(1,0,2)A B C D P ---，所以(1,2,2),(1,2,0),(1,1,2),(1,1,0)PD AD PB BC =-==--=，设平面PAD 的法向量为()111,,m x y z =，同理设平面PBC的法向量为()222,,n x y z =，则2222220n PB x y z n BC x y ⎧⋅=--=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，可取(1,1,1)n =- .所以15cos ,553m n m n m n ⋅===-⋅⨯，所以平面PBC 与平面PAD 夹角的余弦值为155，所以平面PBC 与平面PAD 夹角的正弦值为105.【点睛】18.设函数()ln(1)(0)f x x k x k =+-≠.（1）讨论()f x 的单调区间.（2）已知直线l 是曲线()y f x =在点(,())(2)t f t t >处的切线.（i ）求直线l 的方程；（ii ）判断直线l 是否经过点(2,2).【答案】（1）答案见解析；（2）（i ）(1)ln(1)11k kty x k t t t =++----；（ii ）不经过.【解析】【分析】（1）求出函数()f x 的导数，再按0k <和0k >分类求出()f x 的单调区间.（2）（i ）由（1）结合导数的几何意义求出切线l 的方程；（ii ）令2x =，求出y 的值并判断与2的大小.【小问1详解】函数()ln(1)f x x k x =+-的定义域为(1,)+∞，求导得(1)()111kx k f x x x --'=+=--，当0k <时，11k ->，由()0f x '<，得11x k <<-；由()0f x '>，得1x k >-，函数()f x 在(1,1)k -上单调递减，在(1,)k -+∞上单调递增，当0k>时，11k -<，则恒有()0f x '>，函数()f x 在(1,)+∞上单调递增，所以当0k <时，函数()f x 的单调递减区间是(1,1)k -，单调递增区间是(1,)k -+∞；当0k>时，函数()f x 的单调递增区间是(1,)+∞，无递减区间.【小问2详解】（i ）由（1）知，()11kf t t '=+-，而()ln(1)f t t k t =+-，则直线l 的方程为ln(1)](1))1[(y kt k t x t t +--=+--，即(1ln(1)11k kt y x k t t t =++----.（ii ）由（i ）知，直线l 的方程为(1)ln(1)11kkt y x k t t t =++----，当2x =时，22(1)ln(1)2[ln(1)]111k ktt y k t k t t t t -=++--=++----，令21()ln(1)1ln(1)11t g t t t t t -=+-=-+---，而2t >，求导得22112()0(1)1(1)t g t t t t -'=-+=>---，函数()g t 在(2,)+∞上单调递增，因此()(2)0g t g >=，即2t ∀>，()0g t ≠，而0k ≠，于是22[ln(1)]21tk t t -++-≠-，所以直线l 不经过点(2,2).19.设数阵111202122x x X x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，其中{}11122122,,,1,2,3,4,5,6x x x x ∈.设{}{}12,,,1,2,3,4,5,6k B n n n =⊆ ，其中*12,k n n n k <<<∈N 且6k ≤.定义变换t M 为“对于数阵的每一列，若其中有t 或t -，则将这一列中所有数均保持不变；若其中没有t 且没有t -，则这一列中每个数都乘以()121,,,k t n n n -= ”，()0B M X 表示“将0X 经过1n M 变换得到1X ，再将1X 经过2n M 变换得到2,X ，以此类推，最后将1k X -经过k n M 变换得到k X ”.记数阵k X 中四个数的和为()0B T X .（1）若{}021,2,534X B ⎛⎫== ⎪⎝⎭，写出0X 经过2M 变换后得到的数阵1X ，并求()0B T X 的值；（2）若{}012321,,,34X B n n n ⎛⎫== ⎪⎝⎭，求所有()0B T X 取值的和；（3）对任意确定的一个数阵0X ，证明：所有()0B T X 取值的和不大于8-；（4）如果01336X ⎛⎫= ⎪⎝⎭，其他条件不变，你研究（1）后得出什么结论？【答案】（1）0（2）40（3）证明见解析（4）()013BTX =【解析】【分析】（1）先写出12134X -⎛⎫= ⎪-⎝⎭，再计算得22134X -⎛⎫= ⎪-⎝⎭，最后相加即可；（2）分{1,2,3,4}B ⊆和{}32,3,B n =或{}331,4,,{5,6}B n n =∈以及{}11,5,6,{1,2,3,4}B n n =∈讨论即可；（3）分若1121x x ≠和1121x x =两大类讨论即可；（4）直接代入计算得11336X --⎛⎫= ⎪--⎝⎭，21336X ⎛⎫= ⎪⎝⎭即可得到答案.【小问1详解】因为021,{2,5}34X B ⎛⎫== ⎪⎝⎭，0X 经过2M 变换后得到数阵12134X -⎛⎫= ⎪-⎝⎭，1X 经过5M变换后得到数阵22134X -⎛⎫= ⎪-⎝⎭，所以()021340B T X =-+-+=.【小问2详解】若{1,2,3,4}B ⊆，则32134X -⎛⎫= ⎪-⎝⎭或32134X -⎛⎫= ⎪-⎝⎭，可得()00,4B T X =种情况；若{}32,3,B n =或{}331,4,,{5,6}B n n =∈，则32134X --⎛⎫= ⎪--⎝⎭，可得()010,4B T X =-种情况；若{}123,,B n n n =，从{1,4}和{2,3}中各取出一个元素a ，b ，12min{,},max{,},{5,6}n a b n a b n ==∈，则32134X ⎛⎫= ⎪⎝⎭，可得()010,8BT X =种情况；若{}11,5,6,{1,2,3,4}B n n =∈，则32134X -⎛⎫= ⎪-⎝⎭或32134X -⎛⎫= ⎪-⎝⎭，可得()00,4B T X =种情况.综上，所有()0BT X 取值的和为404(10)8104040⨯+⨯-+⨯+⨯=.【小问3详解】若1121x x ≠，在{1,2,3,4,5,6}的所有非空子集中，①含有11x且不含21x 的子集共42个，其中含有奇数个元素的集合有8个，经过变换后第一列均仍为1121,x x ，其中含有偶数个元素的集合有8个，经过变换后第一列均变为1121,x x --；②含有21x 且不含11x 的子集共42个，其中含有奇数个元素的集合有8个，经过变换后第一列均仍为1121,x x ，其中含有偶数个元素的集合有8个，经过变换后第一列均变为1121,x x --；③同时含有11x和21x 的子集共42个，其中含有奇数个元素的集合有8个，经过变换后第一列均变为1121,x x --，其中含有偶数个元素的集合有8个，经过变换后第一列均仍为1121,x x ；④不含11x也不含21x 的子集共421-个，其中含有奇数个元素的集合有8个，经过变换后第一列均变为1121,x x --，其中含有偶数个元素的集合有7个，经过变换后第一列均仍为1121,x x .若1121x x =，在{1,2,3,4,5,6}的所有非空子集中，①含有11x的子集共52个，其中含有奇数个元素的集合有16个，经过变换后第一列均仍为1121,x x ，其中含有偶数个元素的集合有16个，经过变换后第一列均变为1121,x x --；②不含11x的子集共521-个，其中含有奇数个元素的集合有16个，经过变换后第一列均变为1121,x x --，其中含有偶数个元素的集合有15个，经过变换后第一列均仍为1121,x x ；综上，经过变换后，所有k X 的第一列数的和为()()()112111211121(88881616)(88871615)2x x x x x x +++++--+++++++=--同理，经过变换后所有k X 的第二列数的和为()12222x x --.所以所有()0BT X 取值的和为()112112222x x x x ----，又因为11122122,,,{1,2,3,4,5,6}x x x x ∈，所以所有()0B T X 取值的和不超过8-.【小问4详解】如果01336X ⎛⎫= ⎪⎝⎭，其他条件不变，0X 经过2M 变换后得到数阵11336X --⎛⎫= ⎪--⎝⎭，1X 经过5M 变换后得到数阵21336X ⎛⎫=⎪⎝⎭，则（1）中()013B T X =.【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是利用分类讨论的思想，分1121x x ≠和1121x x =讨论即可.。
天一大联考2019-2020学年海南省高三年级第一次模拟考试数学试题(解析版)
海南省天一大联考2020届高三数学第一次模拟考试试卷一、单选题1.已知集合A={x∈N∗|0≤x<2}，则集合A的子集的个数为（）A. 2B. 3C. 4D. 82.1−i 1+2i +6−2i5=（）A. 1−3i5 B. −1−3i5C. 1+iD. 1−i3.祖暅原理“幂势既同，则积不容异”中的“幂”指面积，“势”即是高，意思是：若两个等高的几何体在所有等高处的水平截面的面积恒等，则这两几何体的体积相等.设夹在两个平行平面之间的几何体的体积分别为V1,V2，它们被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面面积分别为S1,S2，则“ S1=S2恒成立”是“ V1=V2”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.将函数y=sin2x的图象向左平移π4个单位长度后得到曲线C1，再将C1上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得到曲线C2，则C2的解析式为（）A. y=sinxB. y=cosxC. y=sin4xD. y=cos4x5.不等式(x2+1)12>(3x+5)12的解集为（）A. [−53,−1)∪(4,+∞) B. (−1,4) C. (4,+∞) D. (−∞,−1)∪(4,+∞)6.已知a,b是不同的直线，α,β是不同的平面，给出以下四个命题：①若a//α，b//β，a//b，则α//β；②若a//α，b//β，α//β，则a//b；③若a⊥α，b⊥β，a⃗⊥b⃗⃗，则α⊥β；④若a⊥α，b⊥β，α⊥β，则a⃗⊥b⃗⃗.其中真命题的序号是（）A. ①②B. ③④C. ②③D. ③7.函数y=x4−x2+1的图象大致为（）A. B.C. D.8.如图所示，矩形ABCD 的边AB 靠在墙PQ 上，另外三边是由篱笆围成的.若该矩形的面积为4，则围成矩形ABCD 所需要篱笆的（ ）A. 最小长度为8B. 最小长度为 4√2C. 最大长度为8D. 最大长度为 4√2 9.若 a =log 13380 ， b =2√22 ， c =2log 210 ，则 a,b,c 的大小关系为（ ）A. a <b <cB. a <c <bC. b <a <cD. c <a <b10.如图为函数 y =sin(2x −π3) 的图象， P,R,S 为图象与 x 轴的三个交点， Q 为函数图象在 y 轴右侧部分上的第一个最大值点，则 (QP⃗⃗⃗⃗⃗⃗+QR ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)⋅(QR ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+QS ⃗⃗⃗⃗⃗⃗) 的值为（ ）A. π−2B. π+4C. π2−2D. π2+411.已知 a >1 ，若存在 x ∈[1,+∞) ，使不等式 3xlna <(x +1)lna a 成立，则 a 的取值范围是（ ） A. (1,+∞) B. (54,+∞) C. (32,+∞) D. (2,+∞)12.已知函数 f(x)={23x 2+bx +c,x ≤0,f(x −2),x >0,g(x)=2x −1 .若 f(−1)=f(−3) ， f(0)=2 ，则函数 y =f[g(x)] 在 (−∞,2n](n ∈N) 上的零点之和为（ ）A. 2n +2B. 2n 2+n −1C. 2n 2+3n +1D. n 2+4n +1二、填空题13.函数f(x)=(2x−1)e x的图象在点(0,f(0))处的切线的倾斜角为________.14.已知向量a=(1,x)，b=(2x,4).若a∥b，则|x|的值为________.15.在四棱锥A1−ABCD中，若BC=2BA=2AD=2DC=4，A1A⊥平面ABCD，A1A=4，则该四棱锥的外接球的体积为________.16.顶角为36∘的等腰三角形称为“黄金三角形”，黄金三角形看起来标准又美观.如图所示，ΔABC是黄金三角形，AB=AC，作∠ABC的平分线交AC于点D，易知ΔBCD也是黄金三角形.若BC=1，则AB=________；借助黄金三角形可计算sin234∘=________.三、解答题(a n−1).17.已知S n是数列{a n}的前n项和，且S n=32（1）求{a n}的通项公式；，求数列{b n}的前n项和T n.（2）设b n=1log3a n log3a n+118.在平面四边形ABCD中，已知AD//BC，∠CBD=∠BDC=α，∠ACD=β.（1）若α=30∘，β=75∘，√3AC+√2CD=5，求AC,CD的长；（2）若α+β>90∘，求证：AB<AD.19.如图（1），在平面五边形EADCB中，已知四边形ABCD为正方形，ΔEAB为正三角形.沿着AB将四边形ABCD折起得到四棱锥E−ABCD，使得平面ABCD⊥平面EAB，设F在线段AD上且满足DF=2AF，G在线段CF上且满足FG=CG，O为ΔECD的重心，如图（2）.（1）求证：GO//平面ABE；（2）求直线CF与平面BCE所成角的正弦值.20.某大型企业生产的某批产品细分为10个等级，为了了解这批产品的等级分布情况，从仓库存放的100000件产品中随机抽取1000件进行检测、分类和统计，并依据以下规则对产品进行打分：1级或2级产品打100分；3级或4级产品打90分；5级、6级、7级或8级产品打70分；其余产品打60分.现在有如下检测统计表：规定：打分不低于90分的为优良级.（1）①试估计该企业库存的100000件产品为优良级的概率；②请估计该企业库存的100000件产品的平均得分.（2）从该企业库存的100000件产品中随机抽取4件，请估计这4件产品的打分之和为350分的概率.21.已知抛物线C:y2=2px(p>0)上横坐标为2的点到焦点的距离为4.（1）求抛物线C的方程；（2）若过A(m,0)(m>4)的直线与圆D:(x−2)2+y2=4切于B点，与抛物线C交于P,Q点，证明：|PQ|>8√2.22.设函数f(x)=e x cosx，g(x)=e2x−2ax.（1）当x∈[0,π3]时，求f(x)的值域；（2）当x∈[0,+∞)时，不等式g(x)≥f′(x)e2x恒成立（f′(x)是f(x)的导函数），求实数a的取值范围.答案解析一、单选题1.【答案】A【考点】子集与真子集【解析】【解答】A={x∈N∗|0≤x<2}={1}，则集合A的子集的个数为2.故选：A.【分析】根据已知条件，求出A={1}，再根据子集的含义得出答案.2.【答案】D【考点】复数代数形式的混合运算【解析】【解答】1−i1+2i +6−2i5=(1−i)(1−2i)5+6−2i5=−1−3i5+6−2i5=1−i.故选：D.【分析】根据复数的除法运算，化简即可.3.【答案】A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】【解答】根据祖暅原理，由“ S1=S2恒成立”可得到“ V1=V2”，反之不一定.解：由祖暅原理知，若S1，S2总相等，则V1，V2相等成立，即充分性成立，若V1，V2相等，则只需要底面积和高相等即可，则S1，S2不一定相等，即必要性不成立，即“ S1=S2恒成立”是“ V1=V2”的充分不必要条件.故选：A.【分析】根据充分条件和必要条件的定义，结合祖暅原理进行判断即可．4.【答案】B【考点】函数解析式的求解及常用方法，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换【解析】【解答】将函数y=sin2x的图象向左平移π4个单位长度后,得到曲线C1，C1的解析式为y=sin[2(x+π4)]=cos2x，再将C1上所有点的横坐标伸长到原来的2倍,得到曲线C2的解析式为y=cos2⋅x2=cosx.故选：B.【分析】由三角函数平移和伸缩的性质，以及运用诱导公式化简，便可得出答案.5.【答案】A【考点】一元二次不等式的解法【解析】【解答】原不等式等价于x2+1>3x+5≥0，解得−53≤x<−1或x>4.即解集为：[−53,−1)∪(4,+∞)故选：A.【分析】利用幂函数y=x12的定义域{x|x>0}和单调递增，列式，解不等式即可得出解集.6.【答案】B【考点】空间中直线与直线之间的位置关系，平面与平面平行的判定，平面与平面垂直的判定【解析】【解答】解：①若a//α，b//β，a//b，则α⊥β或者α//β，也有可能是相交的；故①错误，②若a//α，b//β，α//β，则a//b或者异面，也有可能相交；故②错误，③若a⊥α，b⊥β，a⃗⊥b⃗⃗，则α⊥β；故③正确，④若a⊥α，b⊥β，α⊥β，则a⃗⊥b⃗⃗，故④正确，故选：B.【分析】根据线面和面面平行垂直的性质分别进行判断即可．7.【答案】A【考点】函数的图象【解析】【解答】当x=0时，y=1，排除C，令x2=t≥0，y=t2−t+1≥34，当且仅当t=12，即|x|=√22>12时，y=34，排除BD选项.故选：A.【分析】观察选项中的图象，代入特殊值x=0时，y=1，排除C，根据换元求二次函数最值和对称轴，即可得出正确选项.8.【答案】B【考点】基本不等式在最值问题中的应用【解析】【解答】设BC=a,CD=b，因为矩形的面积为4，所以ab=4，所以围成矩形 ABCD 所需要的篱笆长度为 2a +b =2a +4a ≥2√2a ⋅4a =4√2 ， 当且仅当 2a =4a , 即 a =√2 时，等号成立. 故选：B.【分析】设 BC =a,CD =b ，得到 ab =4 ，所求的篱笆长度为 2a +b ，根据基本不等式，得到最小值.9.【答案】 C【考点】指数函数的单调性与特殊点，对数函数的单调性与特殊点 【解析】【解答】因为 a =log 13380=log 3803 ，2=log 3273<log 3803<log 3813=3 ，所以 2<a <3 ， b =2√22<21=2 ， c =2log 210=10>3 . 即： b >a >c . 故选：C.【分析】通过对数的运算进行化简以及对数单调性，得出 2<a <3 ，根据指数函数单调性得出 b <2 ，利用公式 a log a M =M ，得出 c =10 ，即可比较出 a,b,c 的大小. 10.【答案】 D【考点】数量积的坐标表达式【解析】【解答】设 PR 的中点为 A ， RS 的中点为 B ，则 Q(5π12,1) ， A(2π3,0) ， B(17π12,0) ， 所以 (QP⃗⃗⃗⃗⃗⃗+QR ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)⋅(QR ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+QS ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)=(2QA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)⋅(2QB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)=4QA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅QB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . =4(π4,−1)⋅(π,−1)=π2+4故选：D.【分析】根据题意，由函数 y =sin(2x −π3) 的图象，可得出顶点和最高最低点坐标，求出相应向量坐标，利用向量的数量积，即可求出答案. 11.【答案】 C【考点】函数的最值及其几何意义【解析】【解答】因为 a >1 ，所以 3xlna <(x +1)lna a ⇔3xlna <a(x +1)lna . 即： 3x <a(x +1)⇔a >3xx+1因为存在 x ∈[1,+∞) 使不等式 3xlna <(x +1)lna a 成立， 所以 a >(3xx+1)min =(3−3x+1)min =32 . 即： a 的取值范围是 (32,+∞) . 故选：C.【分析】由题意，利用分离参数法求出 a >3xx+1 ，求函数 3xx+1 的最小值，即可求得 a 的取值范围.12.【答案】 B【考点】函数的周期性，函数的零点【解析】【解答】因为 f(−1)=f(−3) ， f(0)=2 ，所以 {−b43=−2,c =2,解得 b =83 ， c =2 ，所以 f(x)={23x 2+83x +2,x ≤0,f(x −2),x >0.所以 f(x) 在 (−2,+∞) 上是周期为 2 的函数， f(x) 在 R 上的所有零点为 2k −3(k ∈N) ，所以 y =f[g(x)] 在 (−∞,2n](n ∈N) 上的所有零点为 g(x)=2k −3(k ∈N) 的零点且 x ≤2n ， 所以 2x −1=2k −3(k ∈N) 且 x ≤2n ，解得 x =k −1 （ 0≤k ≤2n +1 且 k ∈N ）， 所以函数 y =f[g(x)] 在 (−∞,2n](n ∈N) 上的零点之和为(2n+2)(−1+2n)2=2n 2+n −1 .故选：B.【分析】由 f(−1)=f(−3) ， f(0)=2 ，求出分段函数的解析式，得出函数的周期性为2，将函数 y =f[g(x)] 的零点转化为 g(x)=2k −3 的零点，即可求出零点之和. 二、填空题 13.【答案】π4(45∘)【考点】导数的几何意义，直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系【解析】【解答】由题意得 f ′(x)=2e x +(2x −1)e x =(2x +1)e x ，所以 f ′(0)=1 ， 所以函数 f(x) 的图象在 (0,f(0)) 处的切线的斜率为 1 ，倾斜角为 π4 . 故答案为： π4(45∘) .【分析】求导，求出 f ′(0)=1 ，即可得出切线斜率，根据斜率和倾斜角关系，即可得出答案. 14.【答案】√2【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示【解析】【解答】因为 a ∥b ，所以 1×4−x ⋅2x =0 ，所以 |x|=√2 . 故答案为： √2 .【分析】由两向量共线的公式： x 1y 2−x 2y 1=0 ，代数即可求出结果. 15.【答案】64√2π3 【考点】球的体积和表面积【解析】【解答】由已知可得四边形 ABCD 为一个等腰梯形. 将四棱锥 A 1−ABCD 补成一个正六棱柱 A 1B 1E 1F 1G 1D 1−ABEFCD ，四棱锥 A 1−ABCD 的外接球即为正六棱柱 A 1B 1E 1F 1C 1D 1−ABEFCD 的外接球为， 设正六棱柱的上下底面的中心分别为 O 1,O 2 ，则 O 1O 2 的中点为外接球的球心 O ， 因为 BC =4 ， O 1O 2=A 1A =4 ， 所以外接球的半径 OB =√(BC2)2+(O 1O 22)2=2√2 ，所以该四棱锥的外接球的体积为 4π3×OB 3=64√2π3.故答案为：64√2π3.【分析】通过补形法，将四棱锥 A 1−ABCD 的外接球，转化成正六棱柱 A 1B 1E 1F 1C 1D 1−ABEFCD 的外接球，利用 OB 2=(BC2)2+(O 1O 22)2，求出球的半径，即可求出四棱锥的外接球的体积.16.【答案】√5+12；−√5+14【考点】相似三角形的性质，运用诱导公式化简求值，余弦定理【解析】【解答】由题可得 ∠A =∠ABD =∠DBC =36∘ ， ∠C =∠BDC =72∘ ， 所以 ΔABC~ΔBCD ，得 ABBC =BCCD ，且 AD =BD =BC =1 . 设 AB =AC =x ，则 CD =x −1 ，所以 x1=1x−1 ，可解得 x =√5+12.因为 sin234∘=sin(180∘+54∘)=−sin54∘=−cos36∘ . 在 ΔABC 中，根据余弦定理可得 cos36∘=x 2+x 2−12x 2=√5+14，所以 sin234∘=−√5+14.故答案为： √5+12； −√5+14.【分析】根据题意，得出 ΔABC~ΔBCD ，求出 AB =AC =√5+12，再利用两角和与差公式以及余弦定理求出 cos36∘ ，利用诱导公式，即可求出 sin234∘ . 三、解答题17.【答案】 （1）解：因为 S n =32(a n −1) ， 所以 S n+1=32(a n+1−1) .相减得 S n+1−S n =32(a n+1−a n ) ， 所以 a n+1=32(a n+1−a n ) ， 所以 a n+1=3a n .又 S 1=a 1=32(a 1−1) ，解得 a 1=3 ，所以 {a n } 是以 3 为首项， 3 为公比的等比数列，所以 a n =a 1⋅3n−1=3n ， 即 {a n } 的通项公式为 a n =3n .（2）解：由（1）可得 b n =1log3a n log 3a n+1=1n(n+1)=1n −1n+1 .所以T n=b1+b2+...+b n=(11−12)+(12−13)+...+(1n−1n+1)=1−1n+1=nn+1.【考点】等比数列的通项公式，数列的求和，数列递推式【解析】【分析】（1）根据S n=32(a n−1)，再利用递推公式S n+1−S n=a n+1，证出{a n}为等比数列，且可得出首项和公差，即可求出通项公式；（2）利用对数的运算化简，得出b n=1n(n+1)，再根据裂项相消法求数列{b n}的前n项和T n.18.【答案】（1）解：由已知得∠CBD=∠BDC=30∘，∠ACD=75∘，所以∠ACB=45∘.因为AD∥BC，所以∠ADB=∠CBD=30∘，∠DAC=∠BCA=45∘.所以∠ADC=60∘.在ΔACD中，由正弦定理得ACsin∠ADC=CDsin∠CAD，所以ACsin60∘=CDsin45∘，所以AC=√62CD.又√3AC+√2CD=5，所以AC=√3，CD=√2.（2）解：在ΔACB中，由余弦定理得AB=√AC2+BC2−2AC×BCcos∠ACB.在ΔACD中，由余弦定理得AD=√AC2+DC2−2AC×DCcos∠ACD=√AC2+BC2−2AC×BCcos∠ACD.因为α+β>90∘，∠ACB=180∘−2α−β，所以∠ACB−∠ACD=(180∘−2α−β)−β=180∘−2(α+β)<0，即∠ACB<∠ACD.又0∘<∠ACB<180∘，0∘<∠ACD<180∘，所以cos∠ACB>cos∠ACD，所以AB<AD.【考点】正弦定理，余弦定理【解析】【分析】（1）根据题意，得出∠ACB=45∘，∠ADC=60∘，再利用正弦定理求得AC=√62CD，结合已知条件，即可求出AC,CD的长；（2）利用余弦定理以及三角形的内角和，得出∠ACB<∠ACD，通过判断三角形中边角关系，即可得出结论.19.【答案】（1）证明：如图，取 CD 的中点 P ， AB 的中点 H ，连接 PH,PE,HE . 由已知易得 P,G,H 三点共线， P,O,E 三点共线. 因为 DF =2AF ， FG =CG ，所以 PG =DF 2=DA 3=PH 3.又 O 为 ΔECD 的重心，所以 PO =PE 3，所以 OG ∥HE .因为 OG ⊄ 平面 ABE ， HE ⊂ 平面 ABE ， 所以 OG ∥ 平面 ABE .（2）解：在 ΔEAB 中，因为 H 为 AB 的中点，所以 EH ⊥AB .因为平面 ABCD ⊥ 平面 EAB ，平面 ABCD ∩ 平面 EAB =AB ， EH ⊂ 平面 EAB ， 所以 EH ⊥ 平面 ABCD . 由（1）得， PH ⊥AB .所以 HE,HB,HP 两两垂直，如图，分别以射线 HB,HP,HE 的方向为 x,y,z 轴的正方向建立空间直角坐标系 H −xyz . 设 OB =1 ，因为 PG =PH 3， PO =PE3，所以 OG =HE 3，所以 HE =3 ， AB =2√3 . 所以 C(√3,2√3,0) ， F(−√3,2√33,0) ， B(√3,0,0) ， E(0,0,3) .所以 CF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(−2√3,−4√33,0) ， BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(0,2√3,0) ， BE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(−√3,0,3) . 设平面 BCE 的法向量为 n⃗⃗=(a,b,c) ，则 {BC ⋅n =0,BE ⋅n =0,所以 {b =0,3c −√3a =0. 令 c =1 ，则 a =√3 ，所以可取 n ⃗⃗=(√3,0,1) .设直线 CF 与平面 BCE 所成的角为 α ，则 sinα=|n⃗⃗⋅CF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗||n ⃗⃗||CF⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=√3×√3|+(−4√33)=3√3926.【考点】直线与平面平行的判定，用空间向量求直线与平面的夹角【解析】【分析】（1）取 CD 的中点 P ， AB 的中点 H ，连接 PH,PE,HE ，可知 P,G,H 三点共线， P,O,E 三点共线.，因而可得 O 为 ΔECD 的重心，再利用线面平行的判定，及可证出；（2）根据条件，通过面面垂直的性质，证出 EH ⊥ 平面 ABCD ，建立空间直角坐标系，标点，求 CF⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 及平面 BCE 的法向量为 n⃗⃗ ，通过利用空间向量法求出线面角. 20.【答案】 （1）解：在 1000 件产品中，设任意 1 件产品打分为 100 分、 90 分、 70 分、 60 分， 分别记为事件 A,B,C,D ，由统计表可得，P(A)=10+901000=110 ， P(B)=100+2001000=310 ， P(C)=200+100+100+1001000=12 ， P(D)=70+301000=110 .①估计该企业库存的 100000 件产品为优良级的概率为P(A +B)=P(A)+P(B)=25 .②估计该企业库存的 100000 件产品的平均得分为100×110+90×310+70×12+60×110=78 (分).（2）解：因为 350=2×100+90+60=100+2×90+70 ，所以从该企业库存的 100000 件产品随机抽取 4 件，估计这 4 件产品的打分之和为 350 分的概率为 C 42×(110)2×C 21×310×110+C 41×110×C 32×(310)2×12=36625 . 【考点】众数、中位数、平均数，古典概型及其概率计算公式，概率的应用【解析】【分析】（1）根据统计表，分别求出在 1000 件产品中，分别求出打分为 100 分、 90 分、 70 分、 60 分对应的概率，则优良级的概率即为 100 分、 90 分对应的概率之和；（2）利用平均数公式 x̅=x 1p 1+x 2p 2+⋯x n p n ，即可估计出 100000 件产品的平均得分；（3）由题可知， 4 件产品的打分之和为 350 分，即为 2×100+90+60=350 或者 100+2×90+70=350 ，再根据二项分布以及分类加法原则，求出概率.21.【答案】 （1）解：由已知可得 2+p 2=4 ，解得 p =4 .所以抛物线 C 的方程为 y 2=8x .（2）解：设直线 AB 的方程为 x =ty +m ，因为直线 AB 与圆 D 相切，所以 √1+t 2=2 ，即 t 2=m 2−4m4 .将 x =ty +m 与 y 2=8x 联立消去 x 得 y 2−8ty −8m =0 ，所以 y P +y Q =8t ， y P y Q =−8m .因为 |y P −y Q |=√(8t)2−4(−8m)=4√m 2−2m ，所以 |PQ|=√1+t 2⋅|y P −y Q |=|m−2|2⋅4√m 2−2m =2√m(m −2)3 .因为m>4，g(m)=m(m−2)3单调递增，所以m(m−2)3>4×(4−2)3=32，所以|PQ|>8√2.【考点】直线与圆的位置关系，抛物线的标准方程，直线与圆锥曲线的关系【解析】【分析】（1）通过抛物线的性质，列式求出p，即可得出抛物线C的方程；（2）根据题意，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的AB的距离，联立方程，写出韦达定理，再利用弦长公式求出|PQ|，再通过新函数的单调性，证明出|PQ|>8√2.22.【答案】（1）解：由题可得f′(x)=e x cosx−e x sinx=e x(cosx−sinx).令f′(x)=e x(cosx−sinx)=0，得x=π4∈[0,π3].当x∈(0,π4)时，f′(x)>0，当x∈(π4,π3)时，f′(x)<0，所以f(x)max=f(π4)=√22eπ4，f(x)min=min{f(0),f(π3)}.因为f(π3)=eπ32>e332=e2>1=f(0)，所以f(x)min=1，所以f(x)的值域为[1,√22eπ4].（2）解：由g(x)≥f′(x)e2x 得e2x−2ax≥cosx−sinxe x，即sinx−cosxe x+e2x−2ax≥0.设ℎ(x)=sinx−cosxe x +e2x−2ax，则ℎ′(x)=2cosxe+2e2x−2a.设φ(x)=ℎ′(x)，则φ′(x)=4e3x−2√2sin(x+π4 )e x.当x∈[0,+∞)时，4e3x≥4，2√2sin(x+π4≤2√2)，所以φ′(x)>0.所以φ(x)即ℎ′(x)在[0,+∞)上单调递增，则ℎ′(x)≥ℎ′(0)=4−2a.若a≤2，则ℎ′(x)≥ℎ′(0)=4−2a≥0，所以ℎ(x)在[0,+∞)上单调递增.所以ℎ(x)≥ℎ(0)=0恒成立，符合题意.若a>2，则ℎ′(0)=4−2a<0，必存在正实数x0，满足：当x∈(0,x0)时，ℎ′(x)<0，ℎ(x)单调递减，此时ℎ(x)<ℎ(0)=0，不符合题意. 综上所述，a的取值范围是(−∞,2].【考点】函数恒成立问题，利用导数研究函数的单调性，利用导数求闭区间上函数的最值【解析】【分析】（1）求导，令f′(x)=0，求出极值点x=π4∈[0,π3]，利用导数求出函数f(x)的单调性，即可得出[0,π3]内的最值，即可得出值域；（2）根据题意，构造新函数，将不等式g(x)≥f′(x)e的恒成立问题，转化为在x∈[0,+∞)内ℎ(x)=sinx−cosxe x+e2x−2ax≥0的恒成立问题，求导ℎ′(x)，再二次求导，通过单调性求出最值，即可求出参数a的取值范围.。
天一大联考2019-2020学年海南省高三年级第一次模拟考试数学试题(解析版)
海南省天一大联考2020届高三数学第一次模拟考试试卷一、单选题1.已知集合A={x∈N∗|0≤x<2}，则集合A的子集的个数为（）A. 2B. 3C. 4D. 82.1−i 1+2i +6−2i5=（）A. 1−3i5 B. −1−3i5C. 1+iD. 1−i3.祖暅原理“幂势既同，则积不容异”中的“幂”指面积，“势”即是高，意思是：若两个等高的几何体在所有等高处的水平截面的面积恒等，则这两几何体的体积相等.设夹在两个平行平面之间的几何体的体积分别为V1,V2，它们被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面面积分别为S1,S2，则“ S1=S2恒成立”是“ V1=V2”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.将函数y=sin2x的图象向左平移π4个单位长度后得到曲线C1，再将C1上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得到曲线C2，则C2的解析式为（）A. y=sinxB. y=cosxC. y=sin4xD. y=cos4x5.不等式(x2+1)12>(3x+5)12的解集为（）A. [−53,−1)∪(4,+∞) B. (−1,4) C. (4,+∞) D. (−∞,−1)∪(4,+∞)6.已知a,b是不同的直线，α,β是不同的平面，给出以下四个命题：①若a//α，b//β，a//b，则α//β；②若a//α，b//β，α//β，则a//b；③若a⊥α，b⊥β，a⃗⊥b⃗⃗，则α⊥β；④若a⊥α，b⊥β，α⊥β，则a⃗⊥b⃗⃗.其中真命题的序号是（）A. ①②B. ③④C. ②③D. ③7.函数y=x4−x2+1的图象大致为（）A. B.C. D.8.如图所示，矩形ABCD 的边AB 靠在墙PQ 上，另外三边是由篱笆围成的.若该矩形的面积为4，则围成矩形ABCD 所需要篱笆的（ ）A. 最小长度为8B. 最小长度为 4√2C. 最大长度为8D. 最大长度为 4√2 9.若 a =log 13380 ， b =2√22 ， c =2log 210 ，则 a,b,c 的大小关系为（ ）A. a <b <cB. a <c <bC. b <a <cD. c <a <b10.如图为函数 y =sin(2x −π3) 的图象， P,R,S 为图象与 x 轴的三个交点， Q 为函数图象在 y 轴右侧部分上的第一个最大值点，则 (QP⃗⃗⃗⃗⃗⃗+QR ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)⋅(QR ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+QS ⃗⃗⃗⃗⃗⃗) 的值为（ ）A. π−2B. π+4C. π2−2D. π2+411.已知 a >1 ，若存在 x ∈[1,+∞) ，使不等式 3xlna <(x +1)lna a 成立，则 a 的取值范围是（ ） A. (1,+∞) B. (54,+∞) C. (32,+∞) D. (2,+∞)12.已知函数 f(x)={23x 2+bx +c,x ≤0,f(x −2),x >0,g(x)=2x −1 .若 f(−1)=f(−3) ， f(0)=2 ，则函数 y =f[g(x)] 在 (−∞,2n](n ∈N) 上的零点之和为（ ）A. 2n +2B. 2n 2+n −1C. 2n 2+3n +1D. n 2+4n +1二、填空题13.函数f(x)=(2x−1)e x的图象在点(0,f(0))处的切线的倾斜角为________.14.已知向量a=(1,x)，b=(2x,4).若a∥b，则|x|的值为________.15.在四棱锥A1−ABCD中，若BC=2BA=2AD=2DC=4，A1A⊥平面ABCD，A1A=4，则该四棱锥的外接球的体积为________.16.顶角为36∘的等腰三角形称为“黄金三角形”，黄金三角形看起来标准又美观.如图所示，ΔABC是黄金三角形，AB=AC，作∠ABC的平分线交AC于点D，易知ΔBCD也是黄金三角形.若BC=1，则AB=________；借助黄金三角形可计算sin234∘=________.三、解答题(a n−1).17.已知S n是数列{a n}的前n项和，且S n=32（1）求{a n}的通项公式；，求数列{b n}的前n项和T n.（2）设b n=1log3a n log3a n+118.在平面四边形ABCD中，已知AD//BC，∠CBD=∠BDC=α，∠ACD=β.（1）若α=30∘，β=75∘，√3AC+√2CD=5，求AC,CD的长；（2）若α+β>90∘，求证：AB<AD.19.如图（1），在平面五边形EADCB中，已知四边形ABCD为正方形，ΔEAB为正三角形.沿着AB将四边形ABCD折起得到四棱锥E−ABCD，使得平面ABCD⊥平面EAB，设F在线段AD上且满足DF=2AF，G在线段CF上且满足FG=CG，O为ΔECD的重心，如图（2）.（1）求证：GO//平面ABE；（2）求直线CF与平面BCE所成角的正弦值.20.某大型企业生产的某批产品细分为10个等级，为了了解这批产品的等级分布情况，从仓库存放的100000件产品中随机抽取1000件进行检测、分类和统计，并依据以下规则对产品进行打分：1级或2级产品打100分；3级或4级产品打90分；5级、6级、7级或8级产品打70分；其余产品打60分.现在有如下检测统计表：规定：打分不低于90分的为优良级.（1）①试估计该企业库存的100000件产品为优良级的概率；②请估计该企业库存的100000件产品的平均得分.（2）从该企业库存的100000件产品中随机抽取4件，请估计这4件产品的打分之和为350分的概率.21.已知抛物线C:y2=2px(p>0)上横坐标为2的点到焦点的距离为4.（1）求抛物线C的方程；（2）若过A(m,0)(m>4)的直线与圆D:(x−2)2+y2=4切于B点，与抛物线C交于P,Q点，证明：|PQ|>8√2.22.设函数f(x)=e x cosx，g(x)=e2x−2ax.（1）当x∈[0,π3]时，求f(x)的值域；（2）当x∈[0,+∞)时，不等式g(x)≥f′(x)e2x恒成立（f′(x)是f(x)的导函数），求实数a的取值范围.答案解析一、单选题1.【答案】A【考点】子集与真子集【解析】【解答】A={x∈N∗|0≤x<2}={1}，则集合A的子集的个数为2.故选：A.【分析】根据已知条件，求出A={1}，再根据子集的含义得出答案.2.【答案】D【考点】复数代数形式的混合运算【解析】【解答】1−i1+2i +6−2i5=(1−i)(1−2i)5+6−2i5=−1−3i5+6−2i5=1−i.故选：D.【分析】根据复数的除法运算，化简即可.3.【答案】A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】【解答】根据祖暅原理，由“ S1=S2恒成立”可得到“ V1=V2”，反之不一定.解：由祖暅原理知，若S1，S2总相等，则V1，V2相等成立，即充分性成立，若V1，V2相等，则只需要底面积和高相等即可，则S1，S2不一定相等，即必要性不成立，即“ S1=S2恒成立”是“ V1=V2”的充分不必要条件.故选：A.【分析】根据充分条件和必要条件的定义，结合祖暅原理进行判断即可．4.【答案】B【考点】函数解析式的求解及常用方法，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换【解析】【解答】将函数y=sin2x的图象向左平移π4个单位长度后,得到曲线C1，C1的解析式为y=sin[2(x+π4)]=cos2x，再将C1上所有点的横坐标伸长到原来的2倍,得到曲线C2的解析式为y=cos2⋅x2=cosx.故选：B.【分析】由三角函数平移和伸缩的性质，以及运用诱导公式化简，便可得出答案.5.【答案】A【考点】一元二次不等式的解法【解析】【解答】原不等式等价于x2+1>3x+5≥0，解得−53≤x<−1或x>4.即解集为：[−53,−1)∪(4,+∞)故选：A.【分析】利用幂函数y=x12的定义域{x|x>0}和单调递增，列式，解不等式即可得出解集.6.【答案】B【考点】空间中直线与直线之间的位置关系，平面与平面平行的判定，平面与平面垂直的判定【解析】【解答】解：①若a//α，b//β，a//b，则α⊥β或者α//β，也有可能是相交的；故①错误，②若a//α，b//β，α//β，则a//b或者异面，也有可能相交；故②错误，③若a⊥α，b⊥β，a⃗⊥b⃗⃗，则α⊥β；故③正确，④若a⊥α，b⊥β，α⊥β，则a⃗⊥b⃗⃗，故④正确，故选：B.【分析】根据线面和面面平行垂直的性质分别进行判断即可．7.【答案】A【考点】函数的图象【解析】【解答】当x=0时，y=1，排除C，令x2=t≥0，y=t2−t+1≥34，当且仅当t=12，即|x|=√22>12时，y=34，排除BD选项.故选：A.【分析】观察选项中的图象，代入特殊值x=0时，y=1，排除C，根据换元求二次函数最值和对称轴，即可得出正确选项.8.【答案】B【考点】基本不等式在最值问题中的应用【解析】【解答】设BC=a,CD=b，因为矩形的面积为4，所以ab=4，所以围成矩形 ABCD 所需要的篱笆长度为 2a +b =2a +4a ≥2√2a ⋅4a =4√2 ， 当且仅当 2a =4a , 即 a =√2 时，等号成立. 故选：B.【分析】设 BC =a,CD =b ，得到 ab =4 ，所求的篱笆长度为 2a +b ，根据基本不等式，得到最小值.9.【答案】 C【考点】指数函数的单调性与特殊点，对数函数的单调性与特殊点 【解析】【解答】因为 a =log 13380=log 3803 ，2=log 3273<log 3803<log 3813=3 ，所以 2<a <3 ， b =2√22<21=2 ， c =2log 210=10>3 . 即： b >a >c . 故选：C.【分析】通过对数的运算进行化简以及对数单调性，得出 2<a <3 ，根据指数函数单调性得出 b <2 ，利用公式 a log a M =M ，得出 c =10 ，即可比较出 a,b,c 的大小. 10.【答案】 D【考点】数量积的坐标表达式【解析】【解答】设 PR 的中点为 A ， RS 的中点为 B ，则 Q(5π12,1) ， A(2π3,0) ， B(17π12,0) ， 所以 (QP⃗⃗⃗⃗⃗⃗+QR ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)⋅(QR ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+QS ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)=(2QA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)⋅(2QB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)=4QA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅QB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . =4(π4,−1)⋅(π,−1)=π2+4故选：D.【分析】根据题意，由函数 y =sin(2x −π3) 的图象，可得出顶点和最高最低点坐标，求出相应向量坐标，利用向量的数量积，即可求出答案. 11.【答案】 C【考点】函数的最值及其几何意义【解析】【解答】因为 a >1 ，所以 3xlna <(x +1)lna a ⇔3xlna <a(x +1)lna . 即： 3x <a(x +1)⇔a >3xx+1因为存在 x ∈[1,+∞) 使不等式 3xlna <(x +1)lna a 成立， 所以 a >(3xx+1)min =(3−3x+1)min =32 . 即： a 的取值范围是 (32,+∞) . 故选：C.【分析】由题意，利用分离参数法求出 a >3xx+1 ，求函数 3xx+1 的最小值，即可求得 a 的取值范围.12.【答案】 B【考点】函数的周期性，函数的零点【解析】【解答】因为 f(−1)=f(−3) ， f(0)=2 ，所以 {−b43=−2,c =2,解得 b =83 ， c =2 ，所以 f(x)={23x 2+83x +2,x ≤0,f(x −2),x >0.所以 f(x) 在 (−2,+∞) 上是周期为 2 的函数， f(x) 在 R 上的所有零点为 2k −3(k ∈N) ，所以 y =f[g(x)] 在 (−∞,2n](n ∈N) 上的所有零点为 g(x)=2k −3(k ∈N) 的零点且 x ≤2n ， 所以 2x −1=2k −3(k ∈N) 且 x ≤2n ，解得 x =k −1 （ 0≤k ≤2n +1 且 k ∈N ）， 所以函数 y =f[g(x)] 在 (−∞,2n](n ∈N) 上的零点之和为(2n+2)(−1+2n)2=2n 2+n −1 .故选：B.【分析】由 f(−1)=f(−3) ， f(0)=2 ，求出分段函数的解析式，得出函数的周期性为2，将函数 y =f[g(x)] 的零点转化为 g(x)=2k −3 的零点，即可求出零点之和. 二、填空题 13.【答案】π4(45∘)【考点】导数的几何意义，直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系【解析】【解答】由题意得 f ′(x)=2e x +(2x −1)e x =(2x +1)e x ，所以 f ′(0)=1 ， 所以函数 f(x) 的图象在 (0,f(0)) 处的切线的斜率为 1 ，倾斜角为 π4 . 故答案为： π4(45∘) .【分析】求导，求出 f ′(0)=1 ，即可得出切线斜率，根据斜率和倾斜角关系，即可得出答案. 14.【答案】√2【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示【解析】【解答】因为 a ∥b ，所以 1×4−x ⋅2x =0 ，所以 |x|=√2 . 故答案为： √2 .【分析】由两向量共线的公式： x 1y 2−x 2y 1=0 ，代数即可求出结果. 15.【答案】64√2π3 【考点】球的体积和表面积【解析】【解答】由已知可得四边形 ABCD 为一个等腰梯形. 将四棱锥 A 1−ABCD 补成一个正六棱柱 A 1B 1E 1F 1G 1D 1−ABEFCD ，四棱锥 A 1−ABCD 的外接球即为正六棱柱 A 1B 1E 1F 1C 1D 1−ABEFCD 的外接球为， 设正六棱柱的上下底面的中心分别为 O 1,O 2 ，则 O 1O 2 的中点为外接球的球心 O ， 因为 BC =4 ， O 1O 2=A 1A =4 ， 所以外接球的半径 OB =√(BC2)2+(O 1O 22)2=2√2 ，所以该四棱锥的外接球的体积为 4π3×OB 3=64√2π3.故答案为：64√2π3.【分析】通过补形法，将四棱锥 A 1−ABCD 的外接球，转化成正六棱柱 A 1B 1E 1F 1C 1D 1−ABEFCD 的外接球，利用 OB 2=(BC2)2+(O 1O 22)2，求出球的半径，即可求出四棱锥的外接球的体积.16.【答案】√5+12；−√5+14【考点】相似三角形的性质，运用诱导公式化简求值，余弦定理【解析】【解答】由题可得 ∠A =∠ABD =∠DBC =36∘ ， ∠C =∠BDC =72∘ ， 所以 ΔABC~ΔBCD ，得 ABBC =BCCD ，且 AD =BD =BC =1 . 设 AB =AC =x ，则 CD =x −1 ，所以 x1=1x−1 ，可解得 x =√5+12.因为 sin234∘=sin(180∘+54∘)=−sin54∘=−cos36∘ . 在 ΔABC 中，根据余弦定理可得 cos36∘=x 2+x 2−12x 2=√5+14，所以 sin234∘=−√5+14.故答案为： √5+12； −√5+14.【分析】根据题意，得出 ΔABC~ΔBCD ，求出 AB =AC =√5+12，再利用两角和与差公式以及余弦定理求出 cos36∘ ，利用诱导公式，即可求出 sin234∘ . 三、解答题17.【答案】 （1）解：因为 S n =32(a n −1) ， 所以 S n+1=32(a n+1−1) .相减得 S n+1−S n =32(a n+1−a n ) ， 所以 a n+1=32(a n+1−a n ) ， 所以 a n+1=3a n .又 S 1=a 1=32(a 1−1) ，解得 a 1=3 ，所以 {a n } 是以 3 为首项， 3 为公比的等比数列，所以 a n =a 1⋅3n−1=3n ， 即 {a n } 的通项公式为 a n =3n .（2）解：由（1）可得 b n =1log3a n log 3a n+1=1n(n+1)=1n −1n+1 .所以T n=b1+b2+...+b n=(11−12)+(12−13)+...+(1n−1n+1)=1−1n+1=nn+1.【考点】等比数列的通项公式，数列的求和，数列递推式【解析】【分析】（1）根据S n=32(a n−1)，再利用递推公式S n+1−S n=a n+1，证出{a n}为等比数列，且可得出首项和公差，即可求出通项公式；（2）利用对数的运算化简，得出b n=1n(n+1)，再根据裂项相消法求数列{b n}的前n项和T n.18.【答案】（1）解：由已知得∠CBD=∠BDC=30∘，∠ACD=75∘，所以∠ACB=45∘.因为AD∥BC，所以∠ADB=∠CBD=30∘，∠DAC=∠BCA=45∘.所以∠ADC=60∘.在ΔACD中，由正弦定理得ACsin∠ADC=CDsin∠CAD，所以ACsin60∘=CDsin45∘，所以AC=√62CD.又√3AC+√2CD=5，所以AC=√3，CD=√2.（2）解：在ΔACB中，由余弦定理得AB=√AC2+BC2−2AC×BCcos∠ACB.在ΔACD中，由余弦定理得AD=√AC2+DC2−2AC×DCcos∠ACD=√AC2+BC2−2AC×BCcos∠ACD.因为α+β>90∘，∠ACB=180∘−2α−β，所以∠ACB−∠ACD=(180∘−2α−β)−β=180∘−2(α+β)<0，即∠ACB<∠ACD.又0∘<∠ACB<180∘，0∘<∠ACD<180∘，所以cos∠ACB>cos∠ACD，所以AB<AD.【考点】正弦定理，余弦定理【解析】【分析】（1）根据题意，得出∠ACB=45∘，∠ADC=60∘，再利用正弦定理求得AC=√62CD，结合已知条件，即可求出AC,CD的长；（2）利用余弦定理以及三角形的内角和，得出∠ACB<∠ACD，通过判断三角形中边角关系，即可得出结论.19.【答案】（1）证明：如图，取 CD 的中点 P ， AB 的中点 H ，连接 PH,PE,HE . 由已知易得 P,G,H 三点共线， P,O,E 三点共线. 因为 DF =2AF ， FG =CG ，所以 PG =DF 2=DA 3=PH 3.又 O 为 ΔECD 的重心，所以 PO =PE 3，所以 OG ∥HE .因为 OG ⊄ 平面 ABE ， HE ⊂ 平面 ABE ， 所以 OG ∥ 平面 ABE .（2）解：在 ΔEAB 中，因为 H 为 AB 的中点，所以 EH ⊥AB .因为平面 ABCD ⊥ 平面 EAB ，平面 ABCD ∩ 平面 EAB =AB ， EH ⊂ 平面 EAB ， 所以 EH ⊥ 平面 ABCD . 由（1）得， PH ⊥AB .所以 HE,HB,HP 两两垂直，如图，分别以射线 HB,HP,HE 的方向为 x,y,z 轴的正方向建立空间直角坐标系 H −xyz . 设 OB =1 ，因为 PG =PH 3， PO =PE3，所以 OG =HE 3，所以 HE =3 ， AB =2√3 . 所以 C(√3,2√3,0) ， F(−√3,2√33,0) ， B(√3,0,0) ， E(0,0,3) .所以 CF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(−2√3,−4√33,0) ， BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(0,2√3,0) ， BE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(−√3,0,3) . 设平面 BCE 的法向量为 n⃗⃗=(a,b,c) ，则 {BC ⋅n =0,BE ⋅n =0,所以 {b =0,3c −√3a =0. 令 c =1 ，则 a =√3 ，所以可取 n ⃗⃗=(√3,0,1) .设直线 CF 与平面 BCE 所成的角为 α ，则 sinα=|n⃗⃗⋅CF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗||n ⃗⃗||CF⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=√3×√3|+(−4√33)=3√3926.【考点】直线与平面平行的判定，用空间向量求直线与平面的夹角【解析】【分析】（1）取 CD 的中点 P ， AB 的中点 H ，连接 PH,PE,HE ，可知 P,G,H 三点共线， P,O,E 三点共线.，因而可得 O 为 ΔECD 的重心，再利用线面平行的判定，及可证出；（2）根据条件，通过面面垂直的性质，证出 EH ⊥ 平面 ABCD ，建立空间直角坐标系，标点，求 CF⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 及平面 BCE 的法向量为 n⃗⃗ ，通过利用空间向量法求出线面角. 20.【答案】 （1）解：在 1000 件产品中，设任意 1 件产品打分为 100 分、 90 分、 70 分、 60 分， 分别记为事件 A,B,C,D ，由统计表可得，P(A)=10+901000=110 ， P(B)=100+2001000=310 ， P(C)=200+100+100+1001000=12 ， P(D)=70+301000=110 .①估计该企业库存的 100000 件产品为优良级的概率为P(A +B)=P(A)+P(B)=25 .②估计该企业库存的 100000 件产品的平均得分为100×110+90×310+70×12+60×110=78 (分).（2）解：因为 350=2×100+90+60=100+2×90+70 ，所以从该企业库存的 100000 件产品随机抽取 4 件，估计这 4 件产品的打分之和为 350 分的概率为 C 42×(110)2×C 21×310×110+C 41×110×C 32×(310)2×12=36625 . 【考点】众数、中位数、平均数，古典概型及其概率计算公式，概率的应用【解析】【分析】（1）根据统计表，分别求出在 1000 件产品中，分别求出打分为 100 分、 90 分、 70 分、 60 分对应的概率，则优良级的概率即为 100 分、 90 分对应的概率之和；（2）利用平均数公式 x̅=x 1p 1+x 2p 2+⋯x n p n ，即可估计出 100000 件产品的平均得分；（3）由题可知， 4 件产品的打分之和为 350 分，即为 2×100+90+60=350 或者 100+2×90+70=350 ，再根据二项分布以及分类加法原则，求出概率.21.【答案】 （1）解：由已知可得 2+p 2=4 ，解得 p =4 .所以抛物线 C 的方程为 y 2=8x .（2）解：设直线 AB 的方程为 x =ty +m ，因为直线 AB 与圆 D 相切，所以 √1+t 2=2 ，即 t 2=m 2−4m4 .将 x =ty +m 与 y 2=8x 联立消去 x 得 y 2−8ty −8m =0 ，所以 y P +y Q =8t ， y P y Q =−8m .因为 |y P −y Q |=√(8t)2−4(−8m)=4√m 2−2m ，所以 |PQ|=√1+t 2⋅|y P −y Q |=|m−2|2⋅4√m 2−2m =2√m(m −2)3 .因为m>4，g(m)=m(m−2)3单调递增，所以m(m−2)3>4×(4−2)3=32，所以|PQ|>8√2.【考点】直线与圆的位置关系，抛物线的标准方程，直线与圆锥曲线的关系【解析】【分析】（1）通过抛物线的性质，列式求出p，即可得出抛物线C的方程；（2）根据题意，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的AB的距离，联立方程，写出韦达定理，再利用弦长公式求出|PQ|，再通过新函数的单调性，证明出|PQ|>8√2.22.【答案】（1）解：由题可得f′(x)=e x cosx−e x sinx=e x(cosx−sinx).令f′(x)=e x(cosx−sinx)=0，得x=π4∈[0,π3].当x∈(0,π4)时，f′(x)>0，当x∈(π4,π3)时，f′(x)<0，所以f(x)max=f(π4)=√22eπ4，f(x)min=min{f(0),f(π3)}.因为f(π3)=eπ32>e332=e2>1=f(0)，所以f(x)min=1，所以f(x)的值域为[1,√22eπ4].（2）解：由g(x)≥f′(x)e2x 得e2x−2ax≥cosx−sinxe x，即sinx−cosxe x+e2x−2ax≥0.设ℎ(x)=sinx−cosxe x +e2x−2ax，则ℎ′(x)=2cosxe+2e2x−2a.设φ(x)=ℎ′(x)，则φ′(x)=4e3x−2√2sin(x+π4 )e x.当x∈[0,+∞)时，4e3x≥4，2√2sin(x+π4≤2√2)，所以φ′(x)>0.所以φ(x)即ℎ′(x)在[0,+∞)上单调递增，则ℎ′(x)≥ℎ′(0)=4−2a.若a≤2，则ℎ′(x)≥ℎ′(0)=4−2a≥0，所以ℎ(x)在[0,+∞)上单调递增.所以ℎ(x)≥ℎ(0)=0恒成立，符合题意.若a>2，则ℎ′(0)=4−2a<0，必存在正实数x0，满足：当x∈(0,x0)时，ℎ′(x)<0，ℎ(x)单调递减，此时ℎ(x)<ℎ(0)=0，不符合题意. 综上所述，a的取值范围是(−∞,2].【考点】函数恒成立问题，利用导数研究函数的单调性，利用导数求闭区间上函数的最值【解析】【分析】（1）求导，令f′(x)=0，求出极值点x=π4∈[0,π3]，利用导数求出函数f(x)的单调性，即可得出[0,π3]内的最值，即可得出值域；（2）根据题意，构造新函数，将不等式g(x)≥f′(x)e的恒成立问题，转化为在x∈[0,+∞)内ℎ(x)=sinx−cosxe x+e2x−2ax≥0的恒成立问题，求导ℎ′(x)，再二次求导，通过单调性求出最值，即可求出参数a的取值范围.。
2020届海南省天一大联考高三下学期第二次模拟数学试题(附带详细解析)
2．已知 ，复数 ， 在复平面内对应的点重合，则（）
A． ， B． ， C． ， D． ，
3．设 ， ， 是空间中三条不同的直线，已知 ，则“ ”是“ ”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4．圆周率 是无理数，小数部分无限不循环，毫无规律，但数学家们发现 可以用一列有规律的数相加得到： .若将上式看作数列 的各项求和，则 的通项公式可以是（）
【详解】
依题知 ，解得 .
故选：A
【点睛】
此题考查复数概念的辨析，根据两个复数相等，利用实部与实部相等，虚部与虚部相等求解方程组.
3．B
【解析】
【分析】
根据空间中直线位置关系判断两个条件的推出关系即可得解.
【详解】
由 且 不一定推出 ，故不满足充分性；
由 且 一定推出 ，故满足必要性.
所以“ ”是“ ”的必要不充分条件.
A． B． C． D．
评卷人
得分
二、多选题
9．某地区一周的最低气温随时间变化的图象如图所示，根据图中的信息，下列有关该地区这一周最低气温的判断，正确的有（）
A．前六天一直保持上升趋势B．相邻两天的差最大为3
C．众数为0D．最大值与最小值的差为7
10．下列选项中描述的多面体，一定存在外接球的有（）
A．侧面都是矩形的三棱柱B．上、下底面是正方形的四棱柱
16．小李在游乐场玩掷沙包击落玩偶的游戏.假设他第一次掷沙包击中玩偶的概率为0.4，第二次掷沙包击中玩偶的概率为0.7，而玩偶被击中一次就落地的概率为0.5，被击中两次必然落地.若小李至多掷两次沙包，则他能将玩偶击落的概率为______.
17．在① ，② 的外接圆半径 ，③ 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答问题.在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， .已知 ， 的面积 ，且______.求边 .（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）