【中考命题研究】2019中考数学 中档题型训练四 三角形、四边形中的相关证明及计算
中考几何压轴--三角形与四边形(19年真题干货)
2019全国中考几何压轴题【2019兰州】某数学课题研究小组针对兰州市住房窗户“如何设计遮阳蓬”这一课题进行了探究，过程如下： 问题提出：如图1是某住户窗户上方安装的遮阳蓬，要求设计的遮阳蓬能最大限度地遮住夏天炎热的阳光，又能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内． 方案设计：如图2，该数学课题研究小组通过调查研究设计了垂直于墙面AC 的遮阳蓬CD ． 数据收集：通过查阅相关资料和实际测量：兰州市一年中，夏至日这一天的正午时刻太阳光线DA 与遮阳蓬CD 的夹角∠ADC 最大（∠ADC ＝77.44°）；冬至日这一天的正午时刻，太阳光线DB 与遮阳蓬CD 的夹角∠BDC 最小（∠BDC ＝30.56°）．窗户的高度AB ＝2m ． 问题解决：根据上述方案及数据，求遮阳蓬CD 的长．（结果精确到0.1m ，参考数据：sin30.56°≈0.51，cos30.56°≈0.86，tan30.56°≈0.59，sin77.44°≈0.98，cos77.44°≈0.22，tan77.44°≈4.49）【2019成都】如图1，在△ABC 中，AB=AC=20，tanB=43，点D 为BC 边上的动点（点D 不与点B ，C 重合）.以点D 为顶点作∠ADE=∠B ，射线DE 交AC 边于点E ，过点A 作AF ⊥AD 交射线DE 于F ，连接CF. （1）求证：△ABD ∽△DCE ；（2）当DE ∥AB 时（如图2），求AE 的长；（3）点D 在BC 边上运动的过程中，是否存在某个位置，使得DE ＝CF ？若存在，求出此时BD 的长；若不存在，请说明理由.【2019天水】如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．（1）概念理解：如图2，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，CB ＝CD ，问四边形ABCD 是垂美四边形吗？请说明理由；（2）性质探究：如图1，四边形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，AC ⊥BD ．试证明：AB 2+CD 2＝AD 2+BC 2； （3）解决问题：如图3，分别以Rt △ACB 的直角边AC 和斜边AB 为边向外作正方形ACFG 和正方形ABDE ，连结CE 、BG 、GE ．已知AC ＝4，AB ＝5，求GE 的长．【2019甘肃】如图，在正方形ABCD 中，点E 是BC 的中点，连接DE ，过点A 作AG ⊥ED 交DE 于点F ，交CD 于点G ．（1）证明：△ADG ≌△DCE ； （2）连接BF ，证明：AB ＝FB ．【2019广州】如图11，等边ABC ∆中，AB=6，点D 在BC 上，BD=4，点E 为边AC 上一动点（不与点C 重合），CDE ∆关于DE 的轴对称图形为FDE ∆.（1）当点F 在AC 上时，求证：DF//AB ；（2）设ACD ∆的面积为S 1，ABF ∆的面积为S 2，记S=S 1-S 2，S 是否存在最大值？若存在，求出S 的最大值；若不存在，请说明理由；（3）当B ，F ，E 三点共线时。
中考数学 中档题突破 专项训练四 三角形、四边形中的证明与计算
(3)点 P，Q 在运动到终点后继续在射线 AB，BC 上运动时，∠QMC 不变．理 由： 同理可得，△ABQ≌△CAP， ∴∠BAQ＝∠ACP. ∵∠QMC 是△APM 的外角， ∴∠QMC＝∠BAQ＋∠APM， ∴∠QMC＝∠ACP＋∠APM＝180°－∠PAC＝120°， 即若点 P，Q 在运动到终点后继续在射线 AB，BC 上运动，∠QMC 的度数 为 120°.
(1)如图 1，连接 AQ，CP.求证：△ABQ≌△CAP； (2)如图 1，当点 P，Q 分别在 AB，BC 边上运动时，AQ，CP 相交于点 M， ∠QMC 的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数； (3)如图 2，当点 P，Q 在 AB，BC 的延长线上运动时，直线 AQ，CP 相交 于 M，∠QMC 的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出它 的度数．
∵△BAC≌△EAF， ∴∠AEF＝∠ABC ＝ 65°， ∴∠FGC＝∠AGE＝180°－ 37°－ 65°＝78°.
2．(2021·南京)如图，AC 与 BD 交于点 O，OA＝OD，∠ABO＝∠DCO，E 为 BC 延长线上一点，过点 E 作 EF∥CD，交 BD 的延长线于点 F.
(1)求证：△AOB≌△DOC；
5．( 2021·北京)如图，在△ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝α，M 为 BC 的 中点，点 D 在 MC 上，以点 A 为中心，将线段 AD 顺时针旋转 α 得到线 段 AE，连接 BE，DE. (1)比较∠BAE 与∠CAD 的大小；用 等式表示线段 BE，BM，MD 之间的 数量关系，并证明； (2)过点 M 作 AB 的垂线，交 DE 于 点 N，用等式表示线段 NE 与 ND 的 数量关系，并证明．
2019年中考数学题型专项训练(九)四边形的有关证明与计算
题型专项(九) 四边形的有关证明与计算四边形的有关计算与证明是历年中考的必考内容之一，通常结合三角形等知识综合考查，以计算题、证明题的形式出现，解答此类问题除熟练掌握四边形的性质和判定定理外，还须综合三角形等知识解题.2018年云南T23，昆明T23均为压轴题，结合三角形相似进行考查，难度一般比较大，复习时应予以重视．【例1】 (2018·曲靖陆良县模拟)如图，在矩形ABCD 中，AB ＝8，BC ＝6，过对角线BD 中点O 的直线分别交AB ，CD 边于点E ，F.(1)求证：四边形BEDF 是平行四边形； (2)当四边形BEDF 是菱形时，求EF 的长．【思路点拨】 (1)根据矩形ABCD 的性质，判定△BOE ≌△DOF ，得出四边形BEDF 的对角线互相平分，进而得出结论；(2)在Rt △ADE 中，由勾股定理得出方程，解方程求出BE ，由勾股定理求出BD ，得出OB ，再由勾股定理求出EO ，即可得出EF 的长．【自主解答】 解：(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形，点O 是BD 的中点， ∴AB ∥DC ，OB ＝OD.∴∠OBE ＝∠ODF. 在△BOE 和△DOF 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠OBE ＝∠ODF ，OB ＝OD ，∠BOE ＝∠DOF ，∴△BOE ≌△DOF(ASA)． ∴OE ＝OF.又∵OB ＝OD ，∴四边形BEDF 是平行四边形．(2)当四边形BEDF 是菱形时，BD ⊥EF ， 设BE ＝x ，则 DE ＝x ，AE ＝8－x.在Rt △ADE 中，DE 2＝AD 2＋AE 2， ∴x 2＝62＋(8－x)2，解得x ＝254.∴BE ＝254. ∵BD ＝AD 2＋AB 2＝10，∴OB ＝12BD ＝5.∵BD ⊥EF ，∴EO ＝BE 2－OB 2＝154.∴EF ＝2EO ＝152.【例2】 (2018·昆明T23·12分)如图1，在矩形ABCD 中，P 为CD 边上一点(DP<CP)，∠APB ＝90°.将△ADP 沿AP 翻折得到△AD ′P ，PD ′的延长线交边AB 于点M ，过点B 作BN ∥MP 交DC 于点N.(1)求证：AD 2＝DP ·PC ；(2)请判断四边形PMBN 的形状，并说明理由；(3)如图2，连接AC ，分别交PM ，PB 于点E ，F.若DP AD ＝12，求EFAE的值．【思路点拨】 (1)根据矩形的性质，易证△APD ∽△PBC ，得AD PC ＝PDBC，再结合AD ＝BC ，易证得结果；(2)先证明两组对边分别平行，得到四边形PMBN 是平行四边形，再由等腰三角形的判定，得到平行四边形的一组邻边相等， 即可证得菱形；(3)由平行线分线段成比例，易证△AFB ∽△CFP ，△AEM ∽△CEP ，再结合(1)中的结论，得到相关边之间的比例关系，再一步步转化到我们要求的线段的比；也可通过过F 点作PM 的平行线，根据平行线分线段成比例及相似三角形的性质转化线段，得到线段的比．解：(1)证明：在矩形ABCD 中， AD ＝BC ，∠C ＝∠D ＝90°. ∴∠DAP ＋∠APD ＝90°.∵∠APB ＝90°，∴∠CPB ＋∠APD ＝90°. ∴∠DAP ＝∠CPB.1分∴△ADP ∽△PCB.∴AD PC ＝DPCB.2分∴AD ·CB ＝DP ·PC.∵AD ＝BC ，∴AD 2＝DP ·PC.3分. ) (2)四边形PMBN 为菱形，理由如下：4分 在矩形ABCD 中，CD ∥AB. ∵BN ∥PM.∴四边形PMBN 为平行四边形.5分 ∵△ADP 沿AP 翻折得到△AD ′P. ∴∠APD ＝∠APM.∵CD ∥AB ，∴∠APD ＝∠PAM. ∴∠APM ＝∠PAM.6分∵∠APB ＝90°，∴∠PAM ＋∠PBA ＝90°， ∠APM ＋∠BPM ＝90°.∵∠APM ＝∠PAM ，∴∠PBA ＝∠BPM. ∴PM ＝MB.∵四边形PMBN 为平行四边形， ∴四边形PMBN 为菱形.7分 (3)解法一： ∵∠APM ＝∠PAM.∴PM ＝AM ，∵PM ＝MB ，∴AM ＝MB. ∵四边形ABCD 为矩形， ∴CD ∥AB 且CD ＝AB.设DP ＝a ，则AD ＝2DP ＝2a ，由AD 2＝DP ·PC 得PC ＝4a ， ∴DC ＝AB ＝5a.∴MA ＝MB ＝5a2.8分∵CD ∥AB ，∴∠ABF ＝∠CPF ， ∠BAF ＝∠PCF ，∴△BFA ∽△PFC.∴AF CF ＝AB CP ＝5a 4a ＝54.∴AF AC ＝59.9分 同理△MEA ∽△PEC. ∴AE CE ＝AM CP ＝5a24a ＝58. ∴AE AC ＝513.10分 ∴EF AC ＝AF AC －AE AC ＝59－513＝20117.11分 ∵EF AC ∶AE AC ＝EF AE， ∴EF AE ＝20117∶513＝49.12分 解法二：过点F 作FG ∥PM 交MB 于点G.Ｋ ∵∠APM ＝∠PAM.∴PM ＝AM ， ∵PM ＝MB ，∴AM ＝MB. ∵四边形ABCD 为矩形， ∴CD ∥AB 且CD ＝AB.设DP ＝a ，则AD ＝2DP ＝2a ，由AD 2＝DP ·PC 得PC ＝4a ， ∴DC ＝AB ＝5a ， ∴MA ＝MB ＝5a2.8分∵CD ∥AB ，∴∠CPF ＝∠ABF ，∠PCF ＝∠BAF ， ∴△PFC ∽△BFA. ∴PF BF ＝CP AB ＝4a 5a ＝45.9分 ∵FG ∥PM ， ∴MG BG ＝PF BF ＝45.10分 ∴MG MB ＝49. ∵AM ＝MB ，∴MG AM ＝49.11分∵FG ∥PM ，∴EF AE ＝MG AM ＝49.12分1．(2018·玉溪红塔区模拟)如图，在△AEC 中，AC ＝CE ，CB 是AE 边上的中线，四边形BECD 是平行四边形，BD 与AC 交于点O ，连接AD.(1)求证：四边形ABCD 是矩形；(2)若AB ＝1，tan ∠BCE ＝12，求AC 的长．解：(1)证明：∵AC ＝CE ，CB 是AE 边上的中线， ∴AB ＝BE ，CB ⊥AE.∵∠ABC ＝∠CBE ＝90°， 四边形BECD 是平行四边形， ∴BE ∥DC 且BE ＝DC. ∴AB ＝DC 且AB ∥DC.∴四边形ABCD 为平行四边形． 又∵∠ABC ＝90°， ∴四边形ABCD 是矩形． (2)由(1)知AB ＝BE ＝1， ∵tan ∠BCE ＝BE BC ＝12，∴BC ＝2.在Rt △ABC 中，由勾股定理，得AC ＝AB 2＋BC 2＝12＋22＝ 5.2．(2018·昆明盘龙区二模)如图，已知AB ＝AE ＝CD ，AD ＝EC ，CE ⊥AE ，垂足为E. (1)求证：△DCA ≌△EAC ；(2)若AB ∥CD ，只需再添加一个条件，即________，可使四边形ABCD 为正方形，请加以证明．解：(1)证明：在△DCA 和△EAC 中， ⎩⎪⎨⎪⎧CD ＝AE ，AD ＝CE ，AC ＝CA ，∴△DCA ≌△EAC(SSS)．(2)添加AB ＝AD(答案不唯一)． 证明：∵AB ＝DC ，AB ∥CD ， ∴四边形ABCD 是平行四边形． ∵CE ⊥AE ，∴∠E ＝90°. 由(1)得△DCA ≌△EAC ， ∴∠D ＝∠E ＝90°. ∴四边形ABCD 为矩形．又∵AB ＝AD ，∴四边形ABCD 为正方形．3．(2018·曲靖罗平县一模)如图，在四边形ABCD 中，AD∥BC，∠BDC＝90°，E 为BC 上一点，∠BDE＝∠DBC. (1)求证：DE ＝EC ；(2)若AD ＝12BC ，试判断四边形ABED 的形状，并说明理由．解：(1)证明：∵∠BDC＝90°，∠BDE＝∠DBC， ∴∠EDC＝∠BDC－∠BDE＝90°－∠BDE. 又∵∠C＝90°－∠DBC， ∴∠EDC＝∠C.∴DE＝EC. (2)四边形ABED 是菱形．理由：∵∠BDE＝∠DBC.∴BE＝DE. ∵DE＝EC ，∴DE＝BE ＝EC ＝12BC.∵AD＝12BC ，∴AD＝BE.∵AD∥BC，∴四边形ABED 是平行四边形． 又∵BE＝DE ，∴四边形ABED 是菱形．4．(2018·昆明一中模拟)如图，在菱形ABCD 中，G 是BD 上一点，连接CG 并延长交BA 的延长线于点F ，交AD 于点E.(1)求证：△ADG≌△CDG；(2)求证：AG 2＝GE·GF.解：(1)∵四边形ABCD 是菱形， ∴AB∥CD，AD ＝CD ， ∠ADB＝∠CDB. ∴∠F＝∠FCD.在△ADG 和△CDG 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝CD ，∠ADG＝∠CDG，DG ＝DG ，∴△ADG≌△CDG(SAS)． (2)∵△ADG≌△CDG， ∴∠EAG＝∠GCD＝∠F. ∵∠AGE＝∠AGE， ∴△AEG∽△FAG. ∴AG FG ＝EG AG. ∴AG 2＝GE·GF.5．(2017·曲靖市罗平县一模)如图，正方形ABCD 的边长为6，E ，F 分别是AB ，BC 边上的点，且∠EDF＝45°，将△DAE 绕点D 逆时针旋转90°，得到△DCM. (1)求证：EF ＝FM ；(2)当AE ＝2时，求EF 的长．解：(1)证明：∵△DAE 逆时针旋转90°得到△DCM， ∴∠FCM＝∠FCD＋∠DCM＝180°. ∴F，C ，M 三点共线． ∴DE＝DM ，∠EDM＝90°. ∴∠EDF＋∠FDM＝90°.∵∠EDF＝45°，∴∠FDM＝∠EDF＝45°. 在△DEF 和△DMF 中，⎩⎪⎨⎪⎧DE ＝DM ，∠EDF＝∠MDF，DF ＝DF ，∴△DEF≌△DMF(SAS)．∴EF＝MF.(2)设EF ＝MF ＝x.∵AE＝CM ＝2，且BC ＝6， ∴BM＝BC ＋CM ＝6＋2＝8.∴BF＝BM －MF ＝BM －EF ＝8－x. ∵EB＝AB －AE ＝6－2＝4，在Rt△EBF 中，由勾股定理，得EB 2＋BF 2＝EF 2，即42＋(8－x)2＝x 2，解得x ＝5. ∴EF＝5.6．(2018·云南考试说明)如图，在四边形ABCD 中，已知AB∥CD，AB≠CD，BD ＝AC. (1)求证：AD ＝BC ；(2)若E ，F ，G ，H 分别为AB ，CD ，AC ，BD 的中点，求证：线段EF 与线段GH 互相垂直平分．证明：(1)过点B 作BM∥AC，交DC 的延长线于点M ，则∠ACD＝∠BMD. ∵AB∥CD，BM∥AC，∴四边形ABMC 是平行四边形． ∴AC＝BM.∵BD＝AC ，∴BM＝BD. ∴∠BDM＝∠BMD. ∴∠BDC＝∠ACD.在△BDC 和△ACD 中，⎩⎪⎨⎪⎧BD ＝AC ，∠BDC＝∠ACD，DC ＝CD ，∴△BDC≌△ACD(SAS)． ∴BC＝AD.(2)连接EG ，GF ，FH ，HE.∵E，H 分别是AB ，BD 的中点， ∴EH＝12AD.同理FG ＝12AD ，EG ＝12BC ，FH ＝12BC.∵BC＝AD ，∴EG＝FG ＝FH ＝EH. ∴四边形EHFG 为菱形．∴线段EF 与GH 互相垂直平分．7．(2017·昆明市五华区一模)(1)如图1所示，平行四边形纸片ABCD 中，AD ＝5，S ▱ABCD ＝15，过点A 作AE⊥BC，垂足为E ，沿AE 剪下△ABE，将它平移至△DCE′的位置，拼成四边形AEE′D，则四边形AEE′D 是矩形； (2)如图2所示，在(1)中的四边形纸片AEE′D 中，在EE′上取一点F ，使EF ＝4，剪下△AEF，将它平移至△DE′F′的位置，拼成四边形AFF′D. ①求证：四边形AFF′D 是菱形； ②求四边形AFF′D 两条对角线的长．图1 图2解：①证明：∵纸片▱ABCD 中，AD ＝5，S ▱ABCD ＝15， ∴AE＝3.∵△AEF 平移至△DE′F′， ∴AF∥DF′，AF ＝DF′.∴四边形AFF′D 是平行四边形． 在Rt△AEF 中，由勾股定理，得AF ＝AE 2＋EF 2＝32＋42＝5. ∴AF＝AD ＝5.∴四边形AFF′D 是菱形． ②连接AF′，DF. 在Rt△DE′F 中，E′F＝FF′－E′F′＝5－4＝1，DE′＝3， ∴DF＝E′D 2＋E′F 2＝32＋12＝10. 在Rt△AEF′中，EF′＝EF ＋FF′＝4＋5＝9，AE ＝3，∴AF′＝AE 2＋F′E 2＝32＋92＝310.8．(2018·云南)如图，在▱ABCD 中，点E 是CD 的中点，点F 是BC 边上的点，AF ＝AD ＋FC ，▱ABCD 的面积为S ，由A ，E ，F 三点确定的圆的周长为l.(1)若△ABE 的面积为30，直接写出S 的值； (2)求证：AE 平分∠DAF；(3)若AE ＝BE ，AB ＝4，AD ＝5，求l 的值．解：(1)60.(2)证明：延长AE 与BC 的延长线交于点H. ∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD∥BC.∴∠ADE＝∠HCE，∠DAE＝∠CHE. ∵点E 为CD 的中点，∴CE＝ED. ∴△ADE≌△HCE(AAS)．∴AD＝HC ，AE ＝HE.∴AD＋FC ＝HC ＋FC. 由AF ＝AD ＋FC 和FH ＝HC ＋FC ，得AF ＝FH. ∴∠FAE＝∠CHE. 又∵∠DAE＝∠CHE，∴∠DAE＝∠FAE.∴AE 平分∠DAF. (3)连接EF.∵AE＝BE ，AE ＝HE ， ∴AE＝BE ＝HE.∴∠BAE＝∠ABE，∠HBE＝∠BHE. ∵∠DAE＝∠CHE，∴∠BAE＋∠DAE＝∠ABE＋∠HBE，即∠DAB＝∠CBA. 由四边形ABCD 是平行四边形得∠DAB＋∠CBA＝180°. ∴∠CBA＝90°.∴AF 2＝AB 2＋BF 2＝16＋(5－FC)2＝(FC ＋CH)2＝(FC ＋5)2，解得FC ＝45.∴AF＝FC ＋CH ＝45＋5＝295.∵AE＝HE ，AF ＝FH ，∴FE⊥AH.∴AF 是△AEF 的外接圆的直径． ∴△AEF 的外接圆的周长l ＝29π5.。
【配套K12】中考数学 中档题型训练四 三角形、四边形中的相关证明及计算(无答案)
三角形、四边形中的相关证明及计算纵观近5年贵阳中考题，三角形常与旋转、折叠、平移等知识点结合起来考查；四边形中要特别关注平行四边形、矩形、菱形和正方形的性质和判定，以及运用其性质解决有关计算的问题．三角形的有关计算及证明【例1】(2014重庆B卷中考)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E为AC边的中点，过点A作AD⊥AB 交BE的延长线于点D.CG平分∠ACB交BD于点G，F为AB边上一点，连接CF，且∠ACF＝∠CBG.求证：(1)AF＝CG；(2)CF＝2DE.【解析】(1)要证明AF＝CG，可以利用“ASA”证明△ACF≌△CBG来得到；(2)要证明CF＝2DE，由(1)得CF＝BG，则只要证明BG＝2DE，又利用△AED≌△CEG可得DG＝2DE，再证明DG＝BG即可．【学生解答】1．(2014长沙中考)如图，四边形ABCD是矩形，把矩形沿对角线AC折叠，点B落在点E处，CE与AD相交于点O.(1)求证：△AOE≌△COD；(2)若∠OCD＝30°，AB＝3，求△AOC的面积．2．(2015厦门中考)如图，在△ABC中，AB＝AC，点E，F分别是边AB，AC的中点，点D在边BC上．若DE＝DF，AD＝2，BC＝6，求四边形AEDF的周长．3．如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E，F为BC中点，BE与DF、DC分别交于点G、H，∠ABE＝∠CBE.(1)线段BH与AC相等吗？若相等给予证明，若不相等请说明理由；(2)求证：BG2－GE2＝EA2.4．(2014重庆A卷中考)如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AD⊥BC，垂足是D，AE平分∠BAD，交BC 于点E.在△ABC外有一点F，使FA⊥AE，FC⊥BC.(1)求证：BE＝CF；(2)在AB上取一点M，使BM＝2DE，连接MC，交AD于点N，连接ME.求证：①ME⊥BC；②DE＝DN.四边形的有关计算及证明【例2】(2014邵阳中考)准备一张矩形纸片，按如图所示操作：将△ABE沿BE翻折，使点A落在对角线BD上的M点；将△CDF沿DF翻折，使点C落在对角线BD上的N点．(1)求证：四边形BFDE是平行四边形；(2)若四边形BFDE是菱形，AB＝2，求菱形BFDE的面积．【解析】(1)由矩形及翻折的性质可证得△EDM≌△FBN，从而证出四边形BFDE是平行四边形；(2)由菱形及矩形的性质得出∠ABE＝∠DBE＝∠DBC＝30°，利用锐角三角函数可求出AE、BE，进而求出AD、DE，即可求出菱形BFDE的面积．【学生解答】5．(2015鄂州中考)如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，连接BE，CE.(1)求证：BE＝CE.(2)求∠BEC的度数．6．(2015宿迁中考)如图，四边形ABCD中，∠A＝∠ABC＝90°，AD＝1，BC＝3，E是边CD的中点，连接BE 并延长与AD的延长线相交于点F.(1)求证：四边形BDFC是平行四边形；(2)若△BCD是等腰三角形，求四边形BDFC的面积．7．(2015荆州中考)如图(1)，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PA＝PE，PE交CD于F，(1)证明：PC＝PE；(2)求∠CPE的度数；(3)如图(2)，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC＝120°时，连接CE，试探究线段AP与线段CE的数量关系，并说明理由．倚窗远眺，目光目光尽处必有一座山，那影影绰绰的黛绿色的影，是春天的颜色。
【怀化专版】2019年中考数学总复习第二编中档题型突破专项训练篇 四三角形四边形中的相关证明及计算试题
三角形的有关计算及证明【例1】如图、在△ABC中、∠ACB＝90°、AC＝BC、E为AC边的中点、过点A作AD⊥AB交BE的延长线于点D.CG平分∠ACB交BD于点G、F为AB边上一点、连接CF、且∠ACF＝∠CBG.求证：(1)AF＝CG；(2)CF＝2DE.【解析】(1)要证明AF＝CG、可以利用“ASA”证明△ACF≌△CBG来得到；(2)要证明CF＝2DE、由(1)得CF＝BG、则只要证明BG＝2DE、又利用△AED≌△CEG可得DG＝2DE、再证明DG＝BG即可．【学生解答】证明：(1)∵∠ACB＝90°、CG平分∠ACB、AC＝BC.∴∠BCG＝∠CAB＝45°.又∵∠ACF＝∠CBG、AC＝BC、∴△ACF≌△CBG(ASA)、∴CF＝BG、AF＝CG；(2)延长CG交AB于点H.∵AC＝BC、CG平分∠ACB、∴CH⊥AB、H为AB中点．又∵AD⊥AB、∴CH∥AD、又∵H为AB的中点、∴G为BD中点、∴BG＝DG、∠D＝∠EGC.∵E为AC中点、∴AE＝EC.又∵∠AED＝∠CEG、∴△AED≌△CEG(AAS)、∴DE＝EG、∴DG＝2DE、∴BG＝DG ＝2DE.由(1)得CF＝BG、∴CF＝2DE.1．(2016宁夏中考)在等边△ABC中、点D、E分别在边BC、AC上、若CD＝2、过点D作DE∥AB、过点E作EF⊥DE、交BC的延长线于点F、求EF的长．解：∵△ABC是等边三角形、∴∠A＝∠B＝∠ACB＝60°.∵DE∥AB、∴∠EDC＝∠B＝60°、∠DEC＝∠A＝60°、∴△EDC是等边三角形、∴DE＝DC＝2.∵EF⊥DE、∴∠DEF＝90°.Rt△DEF中、EF＝DE·tan 60°＝2 3.2．(2016龙岩中考)已知△ABC是等腰三角形、AB＝AC.(1)特殊情形：如图1、当DE∥BC时、有DB__＝__EC；(选填“>”“<”或“＝”)(2)发现探究：若将图1中的△ADE绕点A顺时针旋转α(0°<α<180°)到图2位置、则(1)中的结论还成立吗？若成立、请给予证明；若不成立、请说明理由．(3)拓展运用：如图3、P是等腰直角三角形ABC内一点、∠ACB＝90°、且PB＝1、PC＝2、PA＝3、求∠BPC 的度数．解：(2)成立．证明：由①易知AD＝AE、∴由旋转性质可知∠DAB＝∠EAC.又AB＝AC、∴△DAB≌△EAC、∴DB＝CE；(3)如图、将△CPB绕点C旋转90°到△CEA、连接PE、则△CPB≌△CEA、∴CE＝CP＝2、AE＝BP＝1、∠PCE ＝90°、∴∠CEP＝∠CPE＝45°.在Rt△PCE中、PE＝22、在△PEA中、PE2＝(22)2＝8、AE2＝12＝1、PA2＝32＝9.∵PE 2＋AE 2＝AP 2、∴△PEA 是直角三角形且∠PEA＝90°、∴∠CEA ＝135°.又∵△CPB≌△CEA、∴∠BPC ＝∠CEA ＝135°.3．如图、在△ABC 中、∠BAC ＝90°、AB ＝AC 、AD ⊥BC、垂足是点D 、AE 平分∠BAD、交BC 于点E.在△ABC 外有一点F 、使FA⊥AE 、FC ⊥BC.(1)求证：BE ＝CF ；(2)在AB 上取一点M 、使BM ＝2DE 、连接MC 、交AD 于点N 、连接ME. 求证：①ME⊥BC；②DE ＝DN.证明：(1)∵∠BAC＝90°、AB ＝AC 、∴∠B ＝∠ACB＝45°.∵FC ⊥BC 、∴∠BCF ＝90°.∴∠ACF＝90°－45°＝45°、∴∠B ＝∠ACF.∵∠BAC ＝90°、FA ⊥AE 、∴∠BAE ＋∠CAE＝90°、∠CAF ＋∠CAE＝90°、∴∠BAE ＝∠CAF.在△ABE 和△ACF 中、⎩⎪⎨⎪⎧∠BAE ＝∠CAF，AB ＝AC ，∠B ＝∠ACF，∴△ABE ≌△ACF(ASA )．∴BE＝CF ；(2)①过点E 作EH⊥AB 于点H 、则△BEH 是等腰直角三角形．∴HE＝BH 、∠BEH ＝45°.∵AE 平分∠BAD、AD ⊥BC 、∴DE ＝HE 、∴DE ＝BH ＝HE.∵BM ＝2DE 、∴HE ＝HM 、∴△HEM 是等腰直角三角形、∴∠MEH ＝45°、∴∠BEM ＝45°＋45°＝90°、∴ME ⊥BC ；②由题意得∠CAE＝45°＋12×45°＝67.5°、∴∠CEA ＝180°－45°－67.5°＝67.5°、∴∠CAE ＝∠CEA＝67.5°、∴AC ＝CE.在Rt △ACM 和Rt △ECM 中、⎩⎪⎨⎪⎧CM ＝CM ，AC ＝CE ，∴Rt △ACM ≌Rt △ECM(HL )、∴∠ACM ＝∠ECM＝12×45°＝22.5°.又∵∠DAE＝12×45°＝22.5°、∴∠DAE ＝∠ECM.∵∠BAC ＝90°、AB ＝AC 、AD ⊥BC 、∴AD ＝CD ＝12BC.在△ADE 和△CDN 中、⎩⎪⎨⎪⎧∠DAE ＝∠ECM，AD ＝CD ，∠ADE ＝∠CDN，∴△ADE ≌△CDN(ASA )、∴DE ＝DN.四边形的有关计算及证明【例2】(2014邵阳中考)准备一张矩形纸片、按如图所示操作：将△ABE 沿BE 翻折、使点A 落在对角线BD 上的M 点；将△CDF 沿DF 翻折、使点C 落在对角线BD 上的N 点．(1)求证：四边形BFDE 是平行四边形；(2)若四边形BFDE 是菱形、AB ＝2、求菱形BFDE 的面积．【解析】(1)由矩形及翻折的性质可证得△EDM≌△FBN、从而证出四边形BFDE 是平行四边形；(2)由菱形及矩形的性质得出∠ABE＝∠DBE＝∠DBC＝30°、利用锐角三角函数可求出AE 、BE 、进而求出AD 、DE 、即可求出菱形BFDE 的面积．【学生解答】解：(1)∵四边形ABCD 是矩形、∴∠A ＝∠C＝90°、AB ＝CD.由翻折得：BM ＝AB 、DN ＝DC 、∠A ＝∠EMB、∠C ＝∠DNF、∴BM ＝DN 、∠EMB ＝∠DNF＝90°、∴BN ＝DM 、∠EMD ＝∠FNB＝90°.∵AD ∥BC 、∴∠EDM ＝∠FBN 、∴△EDM ≌△FBN(ASA )、∴ED ＝BF 、又ED∥BF、∴四边形BFDE 是平行四边形；(2)∵四边形BFDE 是菱形、∴∠EBD ＝∠FBD.∵∠ABE＝∠EBD、∠ABC ＝90°、∴∠ABE ＝13×90°＝30°.在Rt △ABE 中、∵AB ＝2、∴AE ＝233、BE ＝433、∴ED ＝433、∴S 菱形＝ED·AB＝433×2＝833.4．(2016哈尔滨中考)已知：如图、在正方形ABCD 中、点E 在边CD 上、AQ ⊥BE 于点Q 、DP ⊥AQ 于点P.(1)求证：AP ＝BQ ；(2)在不添加任何辅助线的情况下、请直接写出图中四对线段、使每对中较长线段与较短线段长度的差等于PQ 的长．解：(1)∵四边形ABCD 为正方形、∴AB ＝AD 、∠DAB ＝90°、∴∠BAQ ＋∠DAP＝90°.∵DP ⊥AQ 、∴∠APD ＝90°、∴∠ADP ＋∠DAP＝90°、∴∠ADP ＝∠BAQ.∵AQ ⊥BE 、∴∠AQB ＝90°、∴∠AP D ＝∠AQB、∴△DAP ≌△ABQ 、∴AP ＝BQ ；(2)AQ 与AP 、DP 与AP 、AQ 与BQ 、DP 与BQ.5．(2016毕节中考)如图、已知△ABC 中、AB ＝AC 、把△ABC 绕A 点沿顺时针方向旋转得到△ADE、连接BD 、CE 交于点F.(1)求证：△AEC≌△ADB；(2)若AB ＝2、∠BAC ＝45°、当四边形ADFC 是菱形时、求BF 的长．解：(1)由旋转知△ABC≌△ADE 且AB ＝AC 、∴AE ＝AD 、AC ＝AB 、∠BAC ＋∠BAE＝∠DAE＋∠BAE∴∠CAE＝∠DAB、在△AEC 和△ADB 中、⎩⎪⎨⎪⎧AE ＝AD ，∠CAE ＝∠BAD，AC ＝AB ，∴△AEC ≌△ADB(SAS )；(2)∵四边形ADFC 是菱形且∠BAC＝45°、∴∠DBA ＝∠BAC＝45°、而AB ＝AD 、∴∠DBA ＝∠BDA＝45°、∴△ABD 是直角边长为2的等腰直角三角形、∴BD 2＝2AB 2.∴BD ＝2 2.又四边形ADFC 是菱形、∴AD ＝DF ＝FC ＝AC ＝AB ＝2、∴BF ＝BD －DF ＝22－2.6．(2016枣庄中考)如图、把△EFP 放置在菱形ABCD 中、使得顶点E 、F 、P 分别在线段AB 、AD 、AC 上、已知EP ＝FP ＝6、EF ＝63、∠BAD ＝60°、且AB>6 3.(1)求∠EPF 的大小；(2)若AP ＝10、求AE ＋AF 的值；(3)若△EFP 的三个顶点E 、F 、P 分别在线段AB 、AD 、AC 上运动、请直接写出AP 长的最大值和最小值． 解：(1)∠EPF＝120°；(2)过P 点作PM⊥AB 于点M 、PN ⊥AD 于点N.∵AC 为菱形ABCD 的对角线、∴∠DAC ＝∠BAC、AM ＝AN 、PM ＝PN.在Rt △PME 和Rt △PNF 中、PM ＝PN 、PE ＝PF 、∴Rt △PME ≌Rt △PNF 、∴ME ＝NF.又∵AP＝10、∠PA M ＝12∠DAB ＝30°、∴AM ＝AN ＝AP cos 30°＝10×32＝53、∴AE ＋AF ＝(AM ＋ME)＋(AN －NF)＝AM ＋AN ＝103；(3)如图、当△EFP的三个顶点E、F、P分别在线段AB、AD、AC上运动时、点P在P1P2之间运动、易知P1O＝P2O＝3、AO＝9、∴AP的最大值为12、AP的最小值为6.。
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三角形、四边形中的相关证明及计算
纵观近5年贵阳中考题，三角形常与旋转、折叠、平移等知识点结合起来考查；四边形中要特别关注平行四边形、矩形、菱形和正方形的性质和判定，以及运用其性质解决有关计算的问题．
三角形的有关计算及证明
【例1】(2017重庆B卷中考)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E为AC边的中点，过点A作AD⊥AB交BE的延长线于点D.CG平分∠ACB交BD于点G，F为AB边上一点，连接CF，且∠ACF＝∠CBG.
求证：(1)AF＝CG；(2)CF＝2DE.
【解析】(1)要证明AF＝CG，可以利用“ASA”证明△ACF≌△CBG来得到；(2)要证明CF＝2DE，由(1)得CF＝BG，则只要证明BG＝2DE，又利用△AED≌△CEG可得DG＝2DE，再证明DG＝BG即可．
【学生解答】
1．(2017长沙中考)如图，四边形ABCD是矩形，把矩形沿对角线AC折叠，点B落在点E处，CE与AD 相交于点O.
(1)求证：△AOE≌△COD；
(2)若∠OCD＝30°，AB＝3，求△AOC的面积．
2．(2018厦门中考)如图，在△ABC中，AB＝AC，点E，F分别是边AB，AC的中点，点D在边BC上．若DE＝DF，AD＝2，BC＝6，求四边形AEDF的周长．
3．如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E，F为BC中点，BE与DF、DC 分别交于点G、H，∠ABE＝∠CBE.
(1)线段BH与AC相等吗？若相等给予证明，若不相等请说明理由；
(2)求证：BG2－GE2＝EA2.
4．(2017重庆A卷中考)如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AD⊥BC，垂足是D，AE平分∠BAD，交BC于点E.在△ABC外有一点F，使FA⊥AE，FC⊥BC.
(1)求证：BE＝CF；
(2)在AB上取一点M，使BM＝2DE，连接MC，交AD于点N，连接ME.
求证：①ME⊥BC；②DE＝DN.
四边形的有关计算及证明
【例2】(2017邵阳中考)准备一张矩形纸片，按如图所示操作：将△ABE沿BE翻折，使点A落在对角线BD上的M点；将△CDF沿DF翻折，使点C落在对角线BD上的N点．
(1)求证：四边形BFDE是平行四边形；
(2)若四边形BFDE是菱形，AB＝2，求菱形BFDE的面积．
【解析】(1)由矩形及翻折的性质可证得△EDM≌△FBN，从而证出四边形BFDE是平行四边形；(2)由菱形及矩形的性质得出∠ABE＝∠DBE＝∠DBC＝30°，利用锐角三角函数可求出AE、BE，进而求出AD、DE，即可求出菱形BFDE的面积．
【学生解答】
5．(2018鄂州中考)如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，连接BE，CE.
(1)求证：BE＝CE.
(2)求∠BEC的度数．
6．(2018宿迁中考)如图，四边形ABCD中，∠A＝∠ABC＝90°，AD＝1，BC＝3，E是边CD的中点，连接BE并延长与AD的延长线相交于点F.。