Hopf代数的Killing型与伴随表示

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第8章神经网络-Hopfield网络

8.2.2 状态轨迹为极限环
如果在某些参数的情况下，状态N(t)的轨迹是一个圆，或一个环，状态N(t)沿着环重复旋转，永不停止，此时的输出A(t)也出现周期变化，即出现振荡，如图8.4中C的轨迹即是极限环出现的情形。
对于DHNN，轨迹变化可能在两种状态下来回跳动，其极限环为2。如果在r种状态下循环变化，称其极限环为r。
对于CHNN，因为f(·)是连续的，因而，其轨迹也是连续的，如图中B、C所示。
对于不同的连接权值wij和输入Pj(i, j=1, 2, … r)，反馈网络状态轨迹可能出现以下几种情况。
8.2.1 状态轨迹为稳定点
状态轨迹从系统在t0时状态的初值N(t0)开始，经过一定的时间t(t＞0)后，到达N(t0+t)。如果 N(t0+t+Δt)=N(t0+t)，Δt＞0，则状态N(t0+t)称为网络的稳定点，或平衡点。
在人工神经网络中，由于输入、输出激活函数是一个有界函数，虽然状态N(t)是发散的，但其输出A(t) 还是稳定的，而A（t）的稳定反过来又限制了状态的发散。
一般非线性人工神经网络中发散现象是不会发生的，除非神经元的输入输出激活函数是线性的。
目前的人工神经网络是利用第一种情况即稳定的专门轨迹来解决某些问题的。
如果ai=f(ni)中的f(·)为一个连续单调上升的有界函数，这类网络被称为连续型反馈网络。图8.3中所示为一个具有饱和线性激活函数，它满足连续单调上升
的有界函数的条件，常作为连续型的激活函数。
图8.2 DHNN中的激活函数图8.3 CHNN中的激活函数
8.2 状态轨迹
设状态矢量N=[n1, n2, …，nr]，网络的输出矢量为A＝[a1，a2…，as]T ，

【国家自然科学基金】_killing型_基金支持热词逐年推荐_【万方软件创新助手】_20140802

2010年序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26
科研热词推荐指数黑色素瘤 1 阶理想 1 重组免疫毒素 1 表达 1 补体 1 自杀基因系统/治疗应用 1 肾小球系膜细胞 1 细胞培养 1 白蜡吉丁肿腿蜂 1 生物防治 1 流感病毒亚甲型鼠肺适应株(fm1) 1 毒热平注射液 1 栗山天牛 1 标准理想 1 寻找效应 1 堆型艾美耳球虫 1 基因疗法 1 功能反应 1 免疫复合物 1 体外实验 1 t细胞 1 pe40 1 killing型 1 igm 1 fcα /μ 受体 1 (p,q)型lorentz李代数 1
2011年序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
2011年科研热词推荐指数卵巢肿瘤 2 顺铂 1 长臂猿白血病病毒致融性外膜糖蛋白 1 裸鼠 1 肺腺癌 1 细胞周期 1 第一类李拟代数 1 模型,动物 1 李代数 1 幂零性 1 基因重组 1 可解性 1 动脉灌注 1 丙戊酸钠 1 ⅰ型单纯疱疹病毒胸腺嘧啶核苷激酶基因 1 ⅰ型单纯疱疹病毒 1 killing型 1
2009年序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
科研热词 killing型伴随表示腺病毒肺腺癌细胞结肠肿瘤算子李代数端粒,末端转移酶病毒融膜糖蛋白病毒疗法李超代数李代数嗜肿瘤病毒余分裂 hopf代数
推荐指数 3 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
推荐指数 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2014年序号 1 2 3 4 5病毒肺癌癌胚抗原病毒载体疫苗正交设计法树突细胞保存条件乙型肝炎病毒 t淋巴细胞 hsp70热休克蛋白推荐指数 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

根树上一族Hopf代数的构造

关键词： Hopf operad, Hopf P-代数, 初始代数.
I
Construction of a family of Hopf algebras on rooted trees
Abstract
Hopf algebraic theory has important applications in many mathematical ﬁelds, such as algebraic topology, group theory, quantum group and so on. In 1999, Moerdijk constructed a family of Hopf P-algebras through the initial P[ ]-algebra in which P is a given Hopf operad. In particular, Connes-Kreimer Hopf algebra is one of this family of Hopf P-algebras. In 2004, Laan, inspired by Moerdijk, constructed a family of Hopf P-algebras through the initial P[ n]-algebra in which P is a given Hopf operad. This family of Hopf P-algebras contains n-edge-colored Connes-Kreimer Hopf algebras. Based on the research of Moerdijk and Laan, this paper constructs a more extensive family of Hopf P-algebras through the initial P[( !,n)!2⌦]-algebra, and further generalizes the study of Moerdijk and Laan: the conclusion of Laan can be obtained by taking |⌦| = 1, and the conclusion of Moerdijk can be obtained by taken n = 1 and |⌦| = 1. Speciﬁcally, as an application, a family of Hopf algebras on the n-edge dyed root trees with dot decoration are constructed.

中科院课程

主要参考书： 1. J.柯歇尔，邹异明，《辛几何引论》，科学出版社，北京，1999。 2. Kobayashi, S. and Nomizu, K. ， Foundations of Differential
Geometry, Vol.1,2， Interscience Publishers， New York， 1969. 撰写人：肖良(中国科学院研究生院) 撰写日期： 2001 年 10 日
同构定理；共轭定理。第五章存在定理
通用包络代数；PBW 定理；生成元与定理关系。第六章表示理论
有限维表示；基础表示与初等表示；旋表示；表示的 Freudeuthal 公式；特征标理论；Weyl 公式；Kostant 公式和 Steinberg 公式。第七章李群与李代数
指数映射；伴随表示；李群与李代数。
本课程为数学学科各专业博士、硕士研究生的学科基础课。同时也可作为物理学、力学等专业研究生的选修课。微分流形己成为现代数学研究的基本对象。本课程讲授微分流形与李群的基本知识。通过本课程的学习，希望学生能初步掌握微分流形的基本概念、方法和技巧。为进一步学习微分几何、微分拓扑、几何分析等相关课程打下坚实基础。内容提要: 第一章欧氏空间
单纯同调群；奇异同调群；一般系数同调群；长正合同调列； Mayer-Vietoris 序列；球面同调群及几何应用；Lefschetz 不动点定理； CW 复形及其同调群。第四章上同调与对偶定理
上同调群；正合上同调列；上同调环；Poincare 对偶定理； Alexander 对偶定理；Lefschetz 对偶定理。
主要参考书： 1．Maunder, C.R.F.，Algebraic Topology，Cambridge University Press，

余拟三角hopf代数的一点注记

余拟三角hopf代数的一点注记余拟三角Hopf代数是一种重要的代数结构，在数学中有着广泛的应用。

它是由美国数学家西德尼·杨所提出的，被认为是Hopf代数的扩展。

该代数结构的研究涉及到多个领域，如代数学、物理学、几何学等。

余拟三角Hopf代数的定义比较复杂，但其基本思想是将代数结构中的乘法、幺元、反射等概念推广到三维空间中。

与传统的Hopf代数不同的是，余拟三角Hopf代数包含了一个三维的三角结构，在该结构的基础上构建了幺元、反射和乘法等运算。

这种代数结构的本质是将三维与两维的代数结构融为一体。

在物理学中，余拟三角Hopf代数被广泛应用于对称性破缺和量子反常等方面。

在几何学中，该代数结构可以用于描述多面体与高维几何体的对称性和组合拓扑等问题。

此外，在数学的其他领域中，余拟三角Hopf代数也有着广泛的研究价值。

总之，余拟三角Hopf代数是一种极为重要的数学结构，其具有许多深刻的数学和物理学意义，其深入研究有助于推动数学和物理学等领域的发展。

第五章霍普菲尔德(Hopfield)神经网络

Hopfield模型属于反馈型神经网络，从计算的角度上讲，它具有很强的计算能力。这样的系统着重关心的是系统的稳定性问题。稳定性是这类具有联想记忆功能神经网络模型的核心，学习记忆的过程就是系统向稳定状态发展的过程。 Hopfield网络可用于解决联想记忆和约束优化问题的求解。
反馈网络(Recurrent Network),又称自联想记忆网络,如下图所示:
x1
x2
x3
y1
y2
y3
图 3 离散 Hopfield 网络
考虑DHNN的节点状态,用yj(t)表示第j个神经元,即节点j在时刻t的状态,则节点的下一个时刻t+1的状态可以求出如下:
1, u j (t) 0 y j (t 1) f[u j (t)] 0, u j (t) 0 u j (t) w i, j y i (t) x j θ j
在不考虑外部输入时,则有
j 1,2,..., n
n y j (t 1) f w i, j yi (t) θ j i 1
•通常网络从某一初始状态开始经过多次更新后才可能达到某一稳态。使用异步状态更新策略有以下优点：（1）算法实现容易，每个神经元节点有自己的状态更新时刻．不需要同步机制；（2）以串行方式更新网络的状态可以限制网络的输出状态，避免不同稳态以等概率出现。一旦给出HNN的权值和神经元的阈值，网络的状态转移序列就确定了。
5.2 离散Hopfield网络
• Hopfield最早提出的网络是神经元的输出为 0-1二值的NN,所以,也称离散的HNN (简称为 DHNN).
–下面分别讨论DHNN的
• • • • 结构动力学稳定性(网络收敛性) 联想存储中的应用记忆容量问题

【国家自然科学基金】_hopf π-代数_期刊发文热词逐年推荐_20140730

2011年序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52
53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78
π -l-rsmash余积 β -特征代数 yettr-drinfeld模 yetter-drinfel'd hopf代数 virasoro代数 smash积 smash余积 schurian箭图 q-形变heisenberg-virasoro代数 ore-扩张 maschke′s定理 maschke's定理 lazy上循环 lazy2-余循环 l-r弱smash积 killing型 hopf箭图 hopf流形 hopf ore扩张 hopf ore-扩张 hopf grothendieck群 drinfeld偶 drinfeld double cleft扩张 1-余循环
2008年序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38
科研热词弱hopf代数 hopf代数弱双代数 r-smash积高阶问题量子serre关系红细胞活塞理论投影法扭曲smash余积余代数弱左h-模代数弱反积弱smash积弱galois扩张广义扭曲积广义l-r smash-积广义l-r smash-余积平凡扩张复杂度双模代数单模分类几乎可裂序列余代数伴随表示代数判据二面体群临界流速 smash积 pointed hopf代数 killing型 hopf分岔 hopf分叉 hopf ore扩张 hamilton变分原理 galerkin方法 crossed积代数 bifrobenius代数

半单李代数的分类

半单李代数的分类全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：半单李代数是数学中的重要概念，它是李代数的一种特殊形式，具有一些特定的性质和结构。

在数学领域中，半单李代数的分类是一个重要问题，它对理解和研究李代数及其应用具有重要意义。

我们来了解一下半单李代数的定义。

半单李代数是指没有非平凡可约理想的李代数，即不存在一个真李子代数使得其同时是零理想和非平凡李子代数。

简单来说，半单李代数是一种没有多余结构和性质的李代数，具有简单和基础的特征。

对于半单李代数的分类问题，数学家们进行了大量的研究和讨论。

其中最著名的结果之一是Cartan-Killing分解定理，它指出任意半单李代数可以分解为一个半单理想和一个交换理想的直和。

这个定理为半单李代数的分类提供了一个重要的框架和理论基础。

根据Cartan-Killing分解定理，我们可以将半单李代数分为两类：简单李代数和半单非交换李代数。

简单李代数是指不能再分解为更小的非平凡理想的半单李代数，它具有最简单的结构和性质。

而半单非交换李代数则是指可以分解为一个半单理想和一个非交换理想的半单李代数，它的结构和性质相对复杂一些。

在对半单李代数进行分类时，数学家们主要关注两个方面：一是结构的分类，即根据李代数的性质和关系将其分类为不同的类型；二是表示的分类，即根据李代数的表示理论将其分类为不同的类型。

这两个方面相互联系，共同构成了对半单李代数分类的完整框架。

在结构的分类中，简单李代数是最基本的类型。

简单李代数可以进一步分为有限维简单李代数和无限维简单李代数两种。

有限维简单李代数是指其维度是有限的，例如有限维的李代数，并且满足某些附加条件。

无限维简单李代数则是指其维度是无限的，例如无限维的李代数，并且也满足某些附加条件。

表示的分类是通过研究李代数的表示理论来对其进行分类。

表示论是数学中的一个重要分支，它研究李代数的线性表示，从而揭示出李代数的一些基本性质和结构。

通过表示论，我们可以将不同的半单李代数归类为同一个表示类，从而揭示出它们之间的联系和关系。

【国家自然科学基金】_半单_基金支持热词逐年推荐_【万方软件创新助手】_20140731

2013年序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
科研热词推荐指数半单hopf代数 6 特征标 4 半可解性 4 drinfeld偶 4 radford双积 2 理想 1 滤子 1 正规子hopf代数 1 广义yetter-drinfeld模 1 子代数 1 半单范畴 1 余积分 1 余理想 1 乘子hopf代数 1 yetter-drinfeld模 1 ore扩张 1 bci-代数 1
推荐指数 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2009年序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
科研热词阿贝尔范畴阶数部分子分布函数范畴局部化群的r-根群的r-半单素正规子群横向极化核子自旋结构半单范畴半单nelson代数三角范畴 de morgan代数
推荐指数 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2010年序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34
科研热词半单的限制李三系群的遗传根性群的强半单根性素模糊理想等距变换群特征标正特征域次理想模糊理想根类的并根类的交李群扭序模糊点幂零的导出hall代数对偶完全素模糊理想可解的半单李代数半单序半群半单hopf代数例外序列余拟三角hopf代数余扭余分裂 p-映射 p-幂零 n-李代数 malcev代数 kaplansky第六猜想 hopf代数 ar箭图
推荐指数 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

具有扩散的三种群食物链模型的Hopf分支

具有扩散的三种群食物链模型的Hopf分支李瑜;李艳玲【摘要】研究了一类在Neumann边界条件下,具有扩散现象和群体防卫能力的三种群食物链模型的Hopf分支,以捕食者的死亡率为分支参数,利用Hurwitz判据讨论了系统正常数平衡解的稳定性,并通过理论分析给出了Hopf分支产生的条件,又利用规范形理论和中心流形定理得到了空间非齐次情形下Hopf分支的方向和分支周期解的稳定性.%The Hopf bifurcation of a class of deterministic model, which is three species food chain with diffusion phe-nomenon and group defense ability subject to Neumann boundary condition, is investigated. By treating the death rate of predator as bifurcation parameter, the stability of the positive constant equilibrium solution is discussed by use of Hurwitz criterion. Then, the conditions which can raise the Hopf bifurcation are given through the theoretical analysis. And also, the normal form method and center manifold theorem are used to study the Hopf bifurcation direction and stability of bifur-cating periodic solutions of the spatial nonhomogeneous.【期刊名称】《计算机工程与应用》【年(卷),期】2016(052)003【总页数】6页(P1-6)【关键词】食物链模型;Hopf分支;扩散【作者】李瑜;李艳玲【作者单位】陕西师范大学数学与信息科学学院,西安 710062;陕西师范大学数学与信息科学学院,西安 710062【正文语种】中文【中图分类】O175.26目前，关于简单食物链模型的研究已有诸多成果[1-5]。

killing form 共轭作用

killing form 共轭作用Killing form 共轭作用在数学中，Killing form 是一种运算，用于描述李代数的性质。

Killing form 的概念由挪威数学家埃利·卡尔·赫尔维茨（Elie Cartan）于20世纪初引入，并被广泛应用于李代数的研究中。

Killing form 的定义如下：对于一个有限维李代数L，其Killing form 是一个二元运算，记作 B(X, Y)，其中 X 和 Y 是 L 的任意两个元素。

Killing form 的计算公式为 B(X, Y) = tr(ad(X) * ad(Y))，其中 ad(X) 表示 X 在 L 上的伴随算子，tr 表示对一个线性算子的迹运算。

Killing form 具有一些重要的性质。

首先，Killing form 是一个对称双线性型，即对于任意的X、Y 和Z，有B(X, Y) = B(Y, X) 和B(X, [Y, Z]) = B([X, Y], Z)。

其次，Killing form 是非退化的，即存在一个非零的X，使得对于任意的Y，有B(X, Y) ≠ 0。

最后，Killing form 是李代数的一个不变量，即对于同构的李代数，它们的 Killing form 是相等的。

Killing form 的共轭作用指的是利用Killing form 对李代数的元素进行运算。

具体来说，对于一个有限维李代数L，其Killing form 的共轭作用可以定义为一个线性算子ad*(X) = ad(X)#，其中# 表示 Killing form 的共轭运算。

ad*(X) 的作用是将 L 的元素映射到一个新的元素上，这个元素与 X 的共轭作用相关。

Killing form 的共轭作用在李代数的研究中起着重要的作用。

它可以用来研究李代数的结构和性质，特别是李代数的半单性质。

半单李代数是指没有非平凡的理想且Killing form 是非退化的李代数。

hopfield

• Net->Units = N; //得到指向Net结构体中的units值 • Net->Output = (INT*) calloc(N, sizeof(INT)); //功能: 分配主存储器,分配内存的大小为nelem*elsize，并将其初始化，分配N个长度为 INT的数组。 • Net->Threshold = (INT*) calloc(N, sizeof(INT)); //为阈值分配N个长度为INT的数组。 • Net->Weight = (INT**) calloc(N, sizeof(INT*)); //为权值分配N个指针长度，指针指向INT类型 • 这里的INT**，我们小组成员进行过详细的讨论和网上资料查询，但都不是很清楚它的含义，希望知道的同学可以和我们交流交流，不甚感激 • for (i=0; i<N; i++) { • Net->Threshold[i] = 0;//阈值初始化 • Net->Weight[i] = (INT*) calloc(N, sizeof(INT)) ; //为权值数组赋值，每个元素存放阈值的值的地址
小结
• 本次实验是从未研究过的hopfield神经网络，难度比较大，在研究的过程中碰到了诸多问题:如理论知识的理解，这是基础，也是难点，由于涉及到积分的运算，不得不翻阅高数的书籍，但还是有很多地方不是很清楚，但是有一点可以肯定：这是一个验证下的推理，为了得到一个结论：hopfield 神经网络的最重要的特性—稳定性，一再强调这个特点是因为说到底hopfield 的应用就是讲稳定性的应用。其次代码也有难度，c语言是大一时学的，现在很多最基本的知识都忘记了，所以又得重新回顾。通过小组成员的讨论，终于大致了解了hopfield的算法，但是真正要了解更多，必须通过更深入的学习，这次的探索也让我们对人工智能有了进一步的了解，这的确是一门深奥的科学！

关于拟三角Hopf代数的Cylinder余代数和Cylinder余积(英)

264Vol.26,No.4 200611JOURNAL OF MATHEMATICAL RESEARCH AND EXPOSITION Nov.,2006 Article ID:1000-341X(2006)04-0635-14Document code:ACylinder Coalgebras and Cylinder Coproducts forQuasitriangular Hopf AlgebrasZHANG Liang-yun1,2,LI Fang3(1.Dept.of Math.,Nanjing Agricultural University,Jiangsu210095,China;2.Dept.of Math.,Nanjing University,Jiangsu210008,China;3.Dept.of Math.,Zhejiang University,Hangzhou310027,China)(E-mail:zlyun8@)Abstract:This paper introduces the concepts of cylinder coalgebras and cylinder coproductsfor quasitriangular bialgebras,and points out that there exists an anti-coalgebra isomorphism(H,∆)is the cylinder coproduct,and(H,˜∆)is the braided coproductgiven by Kass.For anyﬁnite dimensional Hopf algebra H,the Drinfel’d double(D(H),Received date:2005-03-04Foundation item:the National Natural Science Foundation of China(10571153),and Postdoctoral Science Foundation of China(2005037713).636Journal of Mathematical Research and Exposition Vol.26∆f=(f⊗f)∆andεf=ε,and that there exists an anti-coalgebra isomorphism(H,∆) is a cylinder coproduct and(H,˜∆)is a braided coproduct.For anyﬁnite dimensional Hopf algebra H,the cylinder coproduct(D(H),No.4ZHANG Liang-yun,et al:Cylinder coalgebras and cylinder coproducts637(1⊗1+1⊗g+g⊗1−g⊗g).2Let C=k{x,y}be a coalgebra.Deﬁne its comultiplication and counit as follows:∆(x)=x⊗x,ε(x)=1,∆(y)=x⊗y+y⊗x,ε(y)=0,then for any non-zero linear map f:C→H with f(y)=0,(C,f)are not cylinder coalgebras. Proof(1)Assume that f:C→H is a coalgebra map.Then,by Deﬁnition2.1,for any c∈C,ΣR′′i f(c1)r′i⊗R′i r′′i f(c2)=Σf(c1)⊗f(c2).It follows from Im f⊆Z(H)or R∈Z(H⊗1H)thatΣ(R′′i r′i⊗R′i r′′i)(f(c1)⊗f(c2))=Σf(c1)⊗f(c2).SoΣR′′i r′i⊗R′i r′′i=1⊗1,that is,R−1=τR,(H,R)is triangular.Conversely,it is straightforward.(2)It follows from Deﬁnition2.1that f:C→H is a cylinder homomorphism if and only if f is a coalgebra map.638Journal of Mathematical Research and Exposition Vol.26No.4ZHANG Liang-yun,et al:Cylinder coalgebras and cylinder coproducts639640Journal of Mathematical Research and Exposition Vol.26No.4ZHANG Liang-yun,et al:Cylinder coalgebras and cylinder coproducts641642Journal of Mathematical Research and Exposition Vol.26No.4ZHANG Liang-yun,et al:Cylinder coalgebras and cylinder coproducts643644Journal of Mathematical Research and Exposition Vol.26∆:H→H⊗H,h→Σ¯R′′i h1ℜ′i⊗ℜ′′i¯R′i h2,where R−1=Σ¯R′i⊗¯R′′i,andℜ=Σℜ′i⊗ℜ′′i.This coproduct is called a cylinder coproduct,and denoted by(H,∆R(c)=ΣR′i·c1⊗c2·R′′i,then,by[8],(C,∆R is called the twisted coproduct,and(C,∆,ε)given in Deﬁnition3.2is a coalgebra.Proof Let R−1=Σ˜R′i⊗˜R′′i andℜ=Σℜ′i⊗ℜ′′i.According toΣε(˜R′i)˜R′′i=1=Σ˜R′iε(˜R′′i)andΣε(ℜ′i)ℜ′′i=1=Σℜ′iε(ℜ′′i),then,for any h∈H,(I⊗ε)∆(h),that is,εis a counit.By(Q2)and(Q3),one easily obtain the following equalities:Σ∆(ℜ′i)⊗ℜ′′i=Σℜ′i⊗R′i⊗R′′iℜ′′i−(C);Σℜ′i⊗∆(ℜ′′i)=Σℜ′i R′i⊗ℜ′′i⊗R′′i−(D)(∆⊗I)R−1=Σ˜R′i⊗˜r′i⊗˜r′′i˜R′′i−(E);(I⊗∆)R−1=Σ˜R′i˜r′i⊗˜R′′i⊗˜r′′i−(F) Thus,by(C)–(F)and Lemma3.1,for any h∈H,we have(I⊗∆(h)=Σ(I⊗∆⊗I)∆⊗I)(¯R′′i h1ℜ′i⊗ℜ′′i¯R′i h2)=Σ˘R′′i(¯R′′i h1ℜ′i)1r′i⊗r′′i˘R′i(¯R′′i h1ℜ′i)2⊗ℜ′′i¯R′i h2=Σ˘R′′i¯R′′i1h1ℜ′i1r′i⊗r′′i˘R′i¯R′′i2h2ℜ′i2⊗ℜ′′i¯R′i h3(F)=Σ˘R′′i¯R′′i h1ℜ′i1r′i⊗r′′i˘R′i˜R′′i h2ℜ′i2⊗ℜ′′i¯R′i˜R′i h3(C)=Σ˘R′′i¯R′′i h1ℜ′i r′i⊗r′′i˘R′i˜R′′i h2R′i⊗R′′iℜ′′i¯R′i˜R′i h3=Σ˘R′′i˜R′′i h1ℜ′i r′i⊗r′′i˘R′i¯R′′i h2R′i⊗R′′iℜ′′i˜R′i¯R′i h3=Σ¯R′′i˘R′′i h1ℜ′i r′i⊗r′′i˜R′′i˘R′i h2R′i⊗R′′iℜ′′i˜R′i¯R′i h3,(by Lemma3.1)that is,(∆=(I⊗∆.So(H,∆H)→(L,∆)is a cylinder homomorphism if and only if∆). Proof Assume that f is a cylinder homomorphism.Then,by(C2),for any c∈C,∆f=(f⊗f)∆andεf=ε,then for any c∈C,Σ¯R′′i f(c)1ℜ′i⊗ℜ′′i¯R′i f(c)2=Σf(c1)⊗f(c2).Hence we can concludeΣ¯R′′i f(c)1ℜ′i R′i⊗R′′iℜ′′i¯R′i f(c)2=Σf(c1)R′i⊗R′′i f(c2)Σ¯R′′i f(c)1⊗¯R′i f(c)2=Σf(c1)R′i⊗R′′i f(c2).SoΣf(c)1⊗f(c)2=Σr′′i f(c1)R′i⊗r′i R′′i f(c2).Example3.5Let H be aﬁnite dimensional Hopf algebra with antipode S.Then,by[1],the multiplication and comultiplication of the Drinfel’d double D(H)=H∗COP⊲⊳H are given as follows:for f,f′∈H∗,h,h′∈H,(f⊲⊳h)(f′⊲⊳h′)=Σf(h1։f′2)⊲⊳(h2ևf′1)h′∆D(H)(f⊲⊳h)=Σ(f2⊲⊳h1)⊗(f1⊲⊳h2).By Theorem10.3.6in[1],the Drinfel’d double D(H)is a quasitriangular Hopf algebra with antipodeS D(H)=ΣS(h2)⇀S(f1)⊗f2⇀S(h1).(1)(D(H),∆D(H)(f⊲⊳h)=Σh∗i f3⊲⊳h1ℓi⊗S(ℓ∗i)(S(h i2։f2)⊲⊳(S(h i1)ևf1)h2,where{h∗i,h i}and{ℓ∗i,ℓi}are two dual bases of H.(2)Letγ:H→D(H),h→ε⊲⊳h.Then(H,γ)is not a cylinder coalgebra for(D(H),R), where R=ΣεH⊲⊳h i⊗h∗i⊲⊳1H.Proof(1)By the above discussion,we know R−1=ΣS(R′i)⊗R′′i andℜ=ΣR′i⊗S(R′′i). According to[1],R=ΣεH⊲⊳h i⊗h∗i⊲⊳1H,it is easy to show R−1=ΣεH⊲⊳S(h i)⊗h∗i⊲⊳1H andℜ=ΣεH⊲⊳h i⊗S(h∗i)⊲⊳1H.Thus,by Deﬁnition3.2,we get easily∆D(H)),h→ε⊲⊳h is not a coalgebra map,so,by Proposition3.4,γis not a cylinder homomorphism for(D(H),R).•(Braided coproducts)Let(H,R)be a triangular Hopf algebra,and“⇀”denote a quantum adjoint action on H:g⇀h=Σg1hS(g2).Then H has the second coalgebra structure˜∆(h)=Σh1S(R′′i)⊗R′i⇀h2.which is called the braided coproduct of H(see Theorem7.4.2given in[9]).Proposition3.6Let(H,R)be a triangular Hopf algebra,and(H,∆)f∼=(H,˜∆),where the map f:(H,∆(h)=Σ(f⊗f)(¯R′′i h1ℜ′i⊗ℜ′′i¯R′i h2)=ΣS(ℜ′i)S(h1)S(¯R′′i)⊗S(h2)S(¯R′i)S(ℜ′′i) =ΣS(ℜ′i)S(h1)S(R′i)⊗S(h2)S(R′′i)S(ℜ′′i)(R−1=τR)=ΣS(ℜ′i)S(h1)R′i⊗S(h2)R′′i S(ℜ′′i)((S⊗S)R=R in[1])=ΣS(r′i)S(h1)R′i⊗S(h2)R′′i S2(r′′i)(ℜ=(I⊗S)R)=Σr′i S(h1)R′i⊗S(h2)R′′i S(r′′i)andτ˜∆f(h)=Στ(S(h2)S(R′′i)⊗R′i⇀S(h1))=ΣR′i⇀S(h1)⊗S(h2)S(R′′i)=ΣR′i1S(h1)S(R′i2)⊗S(h2)S(R′′i)(Q2)=ΣR′i S(h1)S(r′i)⊗S(h2)S(R′′i r′′i)=ΣR′i S(h1)r′i⊗S(h2)r′′i S(R′′i),∆=τ˜∆f.It is obvious thatεf=εand hence f is an anti-coalgebra map. References:[1]MONTGOMERY S.Hopf Algebras and Their Actions on Rings[M].CBMS,Lect.Notes82:1,1993.[2]DIECK T,OLDENBURG R H.Quantum groups and cylinder braiding[J].Forum Math.,1998,10:619-639.[3]TAKEUCHI M.The cylinder product and cylinder matrices[J].J.Algebra,1999,222:485–499.[4]DˇASCˇALESCU S,RAIANU S,ZHANG Yin-huo.Finite Hopf-Galois coextensions,crossed coproducts,andduality[J].J.Algebra,1995,178:400–413.[5]KAFFMAN L H,RADFORD D E.A necessary and suﬃcient condition for aﬁnite-dimensional Drinfel’ddouble to be a ribbon Hopf algebra[J].J.Algebra,1993,159:98–114.[6]MILITARU G.A class of non-symmetric solutions for the integrability condition of the Knizhnik-Zamolodchikovequation:a Hopf algebra approach[J].Comm.Algebra,1999,27:2393–2407.[7]ZHANG Liang-yun,TONG Wen-ting.Quantum Yang-Baxter H-module algebras and their braided products[J].Comm.Algebra,2003,31:2471–2495.[8]ZHANG Liang-yun,ZHU Jia-gui,TONG Wen-ting.Relative Yetter-Drinfel’d modules and twisted Hopfmodules as well as their fundamental structure theorems[J].Acta Math.Sinica,2003,46:1143–1152.(in Chinese)[9]MAJID S.Foundations of Quantum Group Theory[M].Cambridge University Press,Cambridge,1995.Hopf Cylinder Cylinder1,2,3(1.210095;2.210008;3.310027):cylinder cylinder(H,∆)cylinder(H,˜∆)Hopf H,Drinfel’d(D(H),。

hopf 代数

hopf 代数
Hopf代数是数学中的一个分支，它是一类具有结合法则，单位元和逆元的代数结构。

它在不同的数学领域中都有广泛的应用，比如在物理学中用于描述对称性，代数几何中用于描述变换群等。

Hopf代数最初是由德国数学家Heinz Hopf于1948年提出的，它是一类具有两个结构的代数结构，即乘法和“共轭”乘法。

其中乘法结构是H形的，而共轭结构则使得Hopf代数具有一种可逆性质，也就是说它可以将代数结构和拓扑结构相联系。

因此，Hopf代数也经常被称为“拓扑代数”。

Hopf代数的一些基本性质包括：
1. Hopf代数中的乘法结构满足结合法则，而且还满足分配律和单位元等性质。

2. Hopf代数还具有一种双射结构，它将代数结构和拓扑结构相联系，这种结构可以帮助我们研究Hopf代数的一些特性。

3. Hopf代数还具有一种共轭结构，也就是说它可以将代数中的元素按一定规律进行共轭，这个共轭结构可以用来定义Hopf代数的双向逆
元素。

由于Hopf代数具有这些基本性质，在实际应用中它们被广泛应用于物理学、数学和计算机科学等领域中。

例如，在代数拓扑学中，Hopf 代数被用来描述一些抽象的几何结构，例如光滑曲线和光滑流形等；在量子场论中，Hopf代数被用来描述粒子系统的对称性；在计算机科学中，Hopf代数被用来描述卡通式图像的构造过程等等。

总之，Hopf代数在数学和物理学中都有着广泛的应用，其拓扑结构和代数结构的相互作用使得它在不同领域中都具有重要的地位。

它的研究不仅可以推动数学领域的发展，还可以促进各领域之间的交叉研究和合作。

Hopf群余代数的结构定理

Hopf群余代数的结构定理董丽红;王圣祥;王栓宏【摘要】设π是一个带有单位元1的群,H是一个Hopf π-余代数,A是一个右π-H-余模代数.首先,引入双边相对(A,H)-Hopf π-余模的概念,进而得到了HomHA(M,N)(X)H和HOMA(M,N)作为右Hopfπ-H-余模是同构的结论,其中HomHA(M,N)表示右A-模和右H-余模同态作成的空间,HOMA(M,N)表示右A-模同态构成空间HomA(M,N)的有理空间.其次,得到了双边相对(A,H)-Hopf π-余模的自同态代数的结构定理,即EndHA(M) #H和ENDA(M,N)作为右Hopfπ-H-余模和代数是同构的.【期刊名称】《东南大学学报（英文版）》【年(卷),期】2013(029)001【总页数】3页(P103-105)【关键词】Hopf群余代数;Hopf群余模余代数;双边相对Hopf群余模【作者】董丽红;王圣祥;王栓宏【作者单位】东南大学数学系,南京211189【正文语种】中文【中图分类】O153.3Let H be a Hopf algebra and A a right H-comodule algebra. Let H denote the category of two-sided (A,H)-Hopf modules[1-2]. For any M∈H,Ulbrich[2] showed the following result:#H≅ENDA(M)as right H-comodule algebras, where ENDA(M) denotes the rational space of a space EndA(M) of right A-module morphisms and En(M) denotes the space of right A-module right H-comodule morphisms.As a generalization of a Hopf algebra, Turaev[3] introduced and studied the notions of Hopf π-coalgebras. Further study is referred to Virelizier[4] and Wang[5-7]. It is now very natural to ask whether we can extend the main result in Ref.[2] to the setting of Hopf π-coalgebras. This is the motivation of this paper.1 PreliminariesIn this section we recall some basic definitions and results about Hopf π-coalgebras introduced by Turaev[3]. Throughout this paper, let k be a field. The reader is referred to Sweedler[8] about Hopf algebras.1.1 Semi-Hopf π-coalgebraRecall from Turaev[3] that a π-coalgebra is a family of k-spacesC={Cα}α∈π together with a family of k-linear mapsΔ={Δα,β:Cαβ→Cα⊗Cβ}α,β∈π and a k-linear map ε:C1→k, such that Δ is coassociative in the sense that,(Δα,β⊗idCγ)Δαβ,γ=(idCα⊗Δβ,γ)Δα,βγ ∀α,β,γ∈π(idCα⊗ε)Δα,1=idCα=(ε⊗idCα)Δ1,α ∀α∈πA semi-Hopf π-coalgebra is a π-coalgebra H=({Hα},Δ,ε) such that each Hα i s an algebra with multiplication mα and unit element 1α∈Hα; and for all α,β∈π, Δα,β and ε: H1→k are algebra maps.1.2 Right π-H-comodule algebraLet C be a π-coalgebra and M a k-vector space. Recall from Wang[5] that a right π-C-comodulelike object is a co uple M=(M,ρM={}α∈π), where for any α∈π, :M→M⊗Cα is a k-linear morphism, which is denoted by(m)=m[0,0]⊗m[1,α], such that 1) (⊗idCβ)=(idM⊗Δα,β), for any α,β∈π; 2) (idM⊗ε)=idM.Let H be a semi-Hopf π-coalgebra and A an algebra. A is called a right π-H-comodu le algebra if the following conditions hold: 1) A is a right π-H-comodulelike object; 2) (ab)=(a)(b); (3) (1A)=1A⊗1α.1.3 Relative Hopf π-comoduleLet H be a semi-Hopf π-coalgebra and A a right π-H-comodule algebra. If the k-space M is a right π-H-comodulelike object, and M is a left A-module such that, for any a∈A, m∈M,⊗a[1,α]m[1,α]then M is called a left-right relative (A,H)-Hopf π-comodule.Similarly, we can define a right relative (A,H)-Hopf π-comodule. Let A be a right π-H-comodule algebra. Then A is called a left-right (or right) relative (A,H)-Hopf π-comodule with a left (or right) A-module structure given by its multiplication. The category of a left-right (or right) relative (A,H)-Hopf π-comodule is denoted by AMH (or ).2 Structure Theorem of Endomorphism Algebras of Two-Sided Relative (A,H)-Hopfπ-ComoduleIn this section, we always assume that H is a semi-Hopf π-coalgebra and each component Hα is projective, and A is a right π-H-comodule algebra.Definition 1 The k-vector space M is called a two-sided relative (A,H)-Hopf π-comodule if 1) M is a left π-H-and right A bimodule; 2) M is a right relative (A,H)-Hopf π-comodule; and 3) M is a left-right Hopf π-H-comodule.In what follows, H is called the category of two-sided relative (A,H)-Hopf π-comod ules. The morphisms in this category are left π-H-module, right A-module and right π-H-comodule maps.Example 1 Let M∈. Then the tensor product {Hα⊗M}α∈π is a two-sided relative (A,H)-Hopf π-comodule whose actions and coactions are given by g→(h⊗m)=gh⊗m,(h⊗m)←a=h⊗m ·a∀g,h∈Hα;a∈A;m∈Mρ(h⊗m)=h(1,a)⊗m[0,0]⊗h(2,β)m(1,β)∀h∈Hαβ,m∈MIn particular,H⊗A={Hα⊗A}α∈π is a two-sided relative (A,H)-Hopf π-comodule.Let M,N∈. Define ρβ(f)∈HomA(M,N⊗Hβ) byρβ(f)(m)=f(m[0,0])[0,0]⊗f(m[0,0])[1,β]Sβ-1(m[1,β-1])(1)for any f∈HomA(M,N), m∈M, where N⊗Hβ is a right A-module via(n⊗h) ·a=n ·a⊗h for any n∈N, h∈Hβ,a∈A. Then, it is easy to see that ρβ(f) is a right A-module map.A right A-linear f:M→N is called rational if there exists an elementf[0,0]⊗f[1,β]∈HomA(M,N)⊗Hβ such thatf[0,0](m)⊗f[1,β]=f(m[0,0])[0,0]⊗f(m[0,0])[1,β]Sβ-1(m[1,β-1])(2)for any m∈M. DefineHomA(M,N)={f∈HomA(M,N)|f is rational}Since each Hβ is projective, HomA(M,N) may be viewed as a submodule of HomA(M,N⊗Hβ). And by Eqs.(1) and (2), for any f∈HomA(M,N), we k now thatρβ(f)=f[0,0]⊗f[1,β]Remark Let M,N∈. Then we can obtain that Eq.(2) is equivalent toρβ(f)=f[0,0](m[0,0])⊗f[1,β]m[1,β]for any m∈M and f∈HomA(M,N).As described above, we can easily obtain the following lemmas.Lemma 1 Let M,N∈. Then the following conclusions hold.1) ρ(f)={ρβ(f)∈HomA(M,N)|⊗Hβ}β∈π for any f∈HomA(M,N), andHomA(M,N) is a right π-H-comodulelike object;2) ENDA(M,N) is a right π-H-comodule algebra;3) HomA(M,N)coH=Ho(M,N). In particular, Hom(M,N)coH=HomH(M,N). Lemma 2 Let M,N∈H. Then HOMA(M,N) is a right Hopf π-H-comodule, where the module action is defined by (f←h)(m)=f(h ·m).(h→f)(m)=h(1,α) ·f(Sα-1(h(2,α-1)) ·m)(3)for any h∈H1, f∈En(M). Then1) En(M) is a left H1-module algebra via action “→” as in Eq.(3).2) There exists an alge bra map φ:En(M)#H→ENDA(M), f#h|→ f←h, wheref∈En(M) and h∈Hα.Now we can obtain the main result of this paper.Theorem 1 Let N∈. Then the following assertions hold.1) There exists an isomorphism of right relative (A,H)-Hopf π-comodules, N≅HOMA(A,N)where HOMA(A,N) is a right A-module via f ·a(b)=f(ab).2) Moreover, assume that M∈H. ThenHo(M,N)⊗H→HOMA(M,N) g⊗h|→ g←his an isomorphism of right Hopf π-H-comodules, where g∈HOMA(A,N) and h∈Hα. Furthermore,#H→ENDA(M) g#h|→g←his an isomorphism of right Hopf π-H comodules and algebras.Proof We have a well-defined mapφ:N→HOMA(A,N) φ(n)(a)=n ·asince ρβ(φ(n))(a)=φ(n[0,0])(a)⊗n[1,β] for any n∈N and a∈A. It is easy to show that φ:HOMA(A,N)→N, f|→ f(1A) is the inverse of φ.In a similar way to Lemma 2, we know that HOMA(A,N) is a right relative (A,H)-Hopf π-comodule. It is easy to prove that φ is a right relative (A,H)-Hopf π-comodule map.The conclusion follows from Theorem 2.7 in Ref.[4] and 3) of Lemma 1, Lemma 2 and Lemma 3, which completes our proof.By Theorem 1, we have the following remark.Remark 1) By 1) of Theorem 1, A≅ENDA(A), which is an isomorphism of right π-H-comodule algebras. In particular, H≅ENDH(H), which is anisomorphism of algebras.2) Let N∈. By 1) of Theorem 1, we have N≅HOMH(H,N) as right Hopf π-H-comodules.3) Let M∈. Then, by Example 1 and 2) of Theorem 1, there exists an isomorphism of right Hopf π-H-comodules and algebras(H⊗M)#H≅ENDA(H⊗M)i.e., for any a∈π, En(Hα⊗M)#H≅ENDA(Hα⊗M). In particular,En(H⊗A)#H≅ENDA(H⊗A) is an isomorphism of the algebras. References[1]Doi Y. On the structure of relative Hopf module[J]. CommAlgebra, 1983, 11(3): 243-255.[2]Ulbrich L H. Smash products and comodules of linear maps[J]. TsukubaJMath, 1990, 14(2): 371-378.[3]Turaev V. Homotopyquantumfieldtheory[M]. 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“hopf分支”文件汇编

“hopf分支”文件汇编目录一、几类生物数学模型的Hopf分支二、时滞微分方程的Hopf分支的时域与频域分析三、时滞生物动力系统的稳定性和Hopf分支研究四、反应扩散捕食系统的Hopf分支和稳态解五、几类生物数学模型的Hopf分支几类生物数学模型的Hopf分支Hopf分支是一种非线性动力学行为，可在许多生物数学模型中找到。

它是一种重要的现象，可在各种不同的生物系统，如神经元、生态系统和流行病模型中找到。

Hopf分支是动态系统的一种类型，它描述了一个稳定状态如何转变为一个周期振荡状态。

具体来说，Hopf分支是指一个稳定状态失去稳定性并转变为一个等幅振荡态的过程。

这个过程是连续的，并且振荡的频率在分支点处为零。

在生物数学模型中，Hopf分支可用于描述许多不同的生物学现象。

例如，它可以描述神经元的发放和抑制，以及生物种群的周期波动。

以下是一些生物数学模型中常见的Hopf分支类型：神经元模型是一种描述神经元放电和抑制的数学模型。

Hopf分支可以描述神经元从静止状态到周期振荡状态的转变。

这种转变被认为是一种神经编码和解码的重要机制。

种群模型是一种描述生物种群动态变化的数学模型。

Hopf分支可以描述种群从稳定状态到周期振荡状态的转变。

这种转变被认为是一种生态平衡的调整机制。

流行病模型是一种描述传染病传播规律的数学模型。

Hopf分支可以描述疾病从稳定状态到周期振荡状态的转变。

这种转变被认为是一种控制传染病传播的重要机制。

Hopf分支在生物数学模型中具有广泛的应用。

它可以描述许多不同的生物学现象，包括神经元发放和抑制、生态平衡调整和传染病传播规律等。

通过建立适当的数学模型，可以更好地理解这些生物学现象的本质和规律，为未来的研究提供重要的参考。

时滞微分方程的Hopf分支的时域与频域分析时滞微分方程的Hopf分支是动力学系统中一类重要的现象，它在电路系统、神经网络、生物系统等领域有着广泛的应用。

Hopf分支是指系统在某些参数变化时，从稳定状态或周期状态偏离出来，进入一种新的持续振荡状态，即产生一个新的稳定极限环。