标题-2017-2018学年高中数学三维设计苏教版必修5：课时跟踪检测(十八)--简单的线性规划问题

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【三维设计】高中数学第一部分第一章小专题大智慧阶段质量检测苏教版必修5

【三维设计】高中数学第一部分第一章小专题大智慧阶段质量检测苏教版必修5(时间120分钟，满分160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．将答案填在题中的横线上) 1．已知△ABC 中，a ＝2，b ＝ 3 ，B ＝60°，那么角A ＝________. 解析：由正弦定理得：a sin A ＝bsin B ，sin A ＝a sin Bb ＝2sin60°3＝22，又a <b , ∴A <B ，∴A ＝45°. 答案：45°2．在△ABC 中，已知(a ＋c )(a －c )＝b 2＋bc ，则A ＝________. 解析：a 2－c 2＝b 2＋bc ， ∴b 2＋c 2－a 2＝－bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－bc 2bc ＝－12，∴A ＝120°. 答案：120°3．(2011·上海高考)在相距2千米的A ，B 两点处测量目标点C .若∠CAB ＝75°，∠CBA ＝60°，则A ，C 两点之间的距离是________千米．解析：如图所示，由∠CAB ＝75°，∠CBA ＝60°，可得∠ACB ＝180°－75°－60°＝45，则由正弦定理可得AC sin ∠CBA ＝AB sin ∠ACB ，即得AC ＝AB sin ∠CBAsin ∠ACB ＝2×3222＝ 6.答案： 64．在△ABC 中，A ＝60°，b ＝1，面积为3，则a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C＝________.解析：∵三角形ABC 的面积为3，即12bc sin A ＝ 3.∴12×1×c ×sin60°＝3，∴c ＝4. ∴a ＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝1＋16－2×1×4×12＝13，a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝a sin A ＝13sin60°＝2393.答案：23935．(2011·临沂高二检测)某人向正东方向走了x 千米，他右转150°，然后朝新方向走了3千米，结果他离出发点恰好3千米，那么x 的值是________千米．解析：作出示意图，如图由题意得∠ABC ＝30°，AB ＝x 千米，BC ＝3千米，AC ＝3千米，由余弦定理得(3)2＝x 2＋32－2×3×x cos30°，即x 2－33x ＋6＝0. 解得x ＝23或x ＝ 3. 答案：3或2 36．在△ABC 中，三边长分别为a －2，a ，a ＋2，最大角的正弦值为32，则这个三角形的面积为________．解析：∵三边不等， ∴最大角大于60°.设最大角为α，故α对的边长为a ＋2， ∵sin α＝32，∴α＝120°. 由余弦定理得(a ＋2)2＝(a －2)2＋a 2＋a (a －2)，即a 2＝5a . 解得a ＝5. ∴三边长为3,5,7.∴S ＝12×3×5×sin120°＝1534.答案：15347．(2012·洛阳高二检测)在△ABC 中，b ＝2a ，B ＝2A ，则△ABC 为________三角形．解析：由正弦定理知：sin B ＝2sin A ，又∵B ＝2A ， ∴sin2A ＝2sin A . ∴2cos A ·sin A ＝2sin A . ∴cos A ＝22. ∴A ＝45°，B ＝90°. 故△ABC 为等腰直角三角形．答案：等腰直角8．在△ABC 中，已知b ＝1，sin C ＝35，b cos C ＋c cos B ＝2，则AC ·BC ＝________.解析：由余弦定理推论知cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac.∵b cos C ＋c cos B ＝2，∴a 2＋b 2－c 22a ＋a 2＋c 2－b 22a＝2，∴a ＝2，即|BC |＝2. 又∵b ＝1，∴|AC |＝1.∵sin C ＝35，0°<C <180°，∴cos C ＝45或cos C ＝－45.∴AC ·BC ＝85或AC ·BC ＝－85.答案：85或－859．已知a ，b ，c 为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，向量m ＝(3，－1)，n ＝(cos A ，sin A )．若m ⊥n ，且a cos B ＋b cos A ＝c sin C ，则角B ＝________. 解析：∵m ⊥n ，∴3cos A －sin A ＝0，即tan A ＝3，∴A ＝π3.又∵a cos B ＋b cos A ＝a ·a 2＋c 2－b 22ac ＋b ·b 2＋c 2－a 22bc＝c ＝c sin C ， ∴sin C ＝1，∴C ＝π2.∴B ＝π6.答案：π610．(2011·北京高考)在△ABC 中，若b ＝5，∠B ＝π4，tan A ＝2，则sin A ＝____；a ＝____.解析：因为在△ABC 中，tan A ＝2，所以A 是锐角，且sin A cos A ＝2，sin 2A ＋cos 2A ＝1，联立解得sin A ＝255，再由正弦定理得a sin A ＝bsin B ，代入数据解得a ＝210.答案：25521011.如图所示，在山底测得山顶仰角∠CAB ＝45°，沿倾斜角为30°的斜坡走1 000米至S 点，又测得山顶仰角∠DSB ＝75°，则山高BC 为________米．解析：由题可知，∠SAB ＝45°－30°＝15°，又∠SBD ＝15°，∴∠ABS ＝45°－15°＝30°，AS ＝1 000.由正弦定理可知BS sin15°＝1 000sin30°，∴BS ＝2 000sin15°，∴BD ＝BS ·sin75°＝2 000sin15°cos15°＝ 1 000sin30°＝500，且DC ＝1 000sin30°＝500. ∴BC ＝DC ＋DB ＝1 000米答案：1 00012．在△ABC 中，A ＝60°，最大边与最小边是方程3x 2－27x ＋32＝0的两个实根，那么BC 边的长为________．解析：由已知可设最大边与最小边分别为b ，c ，则b ＋c ＝9，b ·c ＝323.因为A ＝60°，所以BC 既不是最大边也不是最小边，所以BC 2＝b 2＋c 2－2bc cos60°＝b 2＋c 2－bc ＝(b ＋c )2－3bc ＝81－32＝49，即BC ＝7. 答案：713．(2012·江西师大附中月考)在△ABC 中，∠A ＝60°，且角A 的角平分线AD 将BC 分成两段BD 、DC ，且BD ∶DC ＝2∶1，若AD ＝43，则C ＝________.解析：因为AD 是角A 的角平分线，所以AC ∶AB ＝CD ∶DB ＝1∶2，设AC ＝x ，则AB ＝2x .易知3S △ACD ＝S △ABC ，即3×12×43x ×sin30°＝12×2x 2sin60°，解得x ＝6，所以AB ＝12.由余弦定理得BC ＝6 3.又因为AC 2＋BC 2＝AB 2，所以C ＝π2.答案：π214．某人在C 点测得塔AB 在南偏西80°，仰角为45°，沿南偏东40°方向前进10米到O ，测得塔A 仰角为30°，则塔高为________．解析：画出示意图，如图所示，CO ＝10，∠OCD ＝40°，∠BCD ＝80°，∠ACB ＝45°，∠AOB ＝30°，AB ⊥平面BCO ，令AB ＝x ，则BC ＝x ，BO ＝3x ，在△BCO 中，由余弦定理得(3x )2＝x 2＋100－2x ×10×cos(80°＋40°)，整理得x 2－5x －50＝0，解得x ＝10，x ＝－5(舍去)，所以塔高为10米．答案：10米二、解答题(本大题共6小题，共90分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分14分)在△ABC 中，a ＝7，b ＝8，cos C ＝1314，求c 及最大角的余弦值．解：由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝72＋82－2×7×8×1314＝9.∴c ＝3.∵b >a >c ，∴在△ABC 中，B 最大．∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac＝72＋32－822×7×3＝－17. 16．(本小题满分14分)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，cos A ＝45，B＝60°，b ＝ 3. (1)求sin C 的值； (2)求△ABC 的面积．解：(1)∵角A ，B ，C 为三角形内角，且B ＝60°，cos A ＝45.∴C ＝120°－A ，sin A ＝35.∴sin C ＝sin(120°－A ) ＝32cos A ＋12sin A ＝3＋4310. (2)由(1)知sin A ＝35，sin C ＝3＋4310.又∵B ＝60°，b ＝ 3. ∴由正弦定理，得a ＝b sin A sin B ＝65∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×65×3×3＋4310＝36＋9350.17．(本小题满分14分)(2011·辽宁高考)△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a .(1)求b a；(2)若c 2＝b 2＋3a 2，求B .解：(1)由正弦定理得，sin 2A sinB ＋sin B cos 2A ＝2sin A ，即sinB (sin 2A ＋cos 2A )＝2sin A .故sin B ＝2sinA ，所以ba＝ 2.(2)由余弦定理和c 2＝b 2＋3a 2，得cos B ＝＋3a2c.由(1)知b 2＝2a 2，故c 2＝(2＋3)a 2可得cos 2B ＝12，又cos B >0，故cos B ＝22，所以B ＝45°.18．(本小题满分16分)某观测站在城A 南偏西20°方向的C 处，由城A 出发的一条公路，走向是南偏东40°，在C 处测得公路距C 31千米的B 处有一人正沿公路向城A 走去，走了20千米后到达D 处，此时CD 间的距离为21千米，问这人还要走多少千米可到达城A?解：如图所示，设∠ACD ＝α，∠CDB ＝β.在△CBD 中，由余弦定理得cos β＝BD 2＋CD 2－CB 22BD ·CD＝202＋212－3122×20×21＝－17，∴sin β＝437而sin α＝sin(β－60°) ＝sin βcos60°－sin60°cos β ＝437·12＋32·17＝5314. 在△ACD 中，21sin60°＝AD sin α，∴AD ＝21×sin αsin60°＝15(千米)．所以这人再走15千米就可到城A .19．(本小题满分16分)已知a 、b 、c 分别是△ABC 中角A 、B 、C 的对边，且 (sin B ＋sin C ＋sin A )(sin B ＋sin C －sin A )＝185sin B sin C ，边b 和c 是关于x 的方程x2－9x ＋25cos A ＝0的两根(b >c )。

【推荐精选】2018年高中数学课时跟踪检测(一)正弦定理苏教版必修5

课时跟踪检测（一）正弦定理层级一学业水平达标1．在△ABC 中，已知BC ＝12，A ＝60°，B ＝45°，则AC ＝________.解析：由正弦定理得AC sin B ＝BC sin A ，即AC sin 45°＝12sin 60°，所以AC ＝4 6. 答案：4 62．在△ABC 中，若b ＝5，B ＝π4，sin A ＝13，则a ＝______. 解析：由正弦定理得a sin A ＝bsin B ，又b ＝5，B ＝π4，sin A ＝13，所以a 13＝5sin π4，a ＝523. 答案：5233．在△ABC 中，a ＝15，b ＝10，A ＝60°，则sin B ＝________.解析：根据正弦定理a sin A ＝b sin B ，可得15sin 60°＝10sin B ，解得sin B ＝33. 答案：33 4．在△ABC 中，B ＝30°，C ＝120°，则a ∶b ∶c ＝________.解析：A ＝180°－30°－120°＝30°，由正弦定理得：a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ＝1∶1∶ 3. 答案：1∶1∶ 35．在△ABC 中，a ＝b sin A ，则△ABC 一定是________．解析：由题意有a sin A ＝b ＝b sin B，则sin B ＝1，即角B 为直角，故△ABC 是直角三角形．答案：直角三角形6．在△ABC 中，已知c ＝6，A ＝45°，a ＝2，则B ＝________.解析：∵a sin A ＝c sin C， ∴sin C ＝c sin A a ＝6×sin 45°2＝32， ∴C ＝60°或120°，当C ＝60°时，B ＝180°－45°－60°＝75°，当C ＝120°时，B ＝180°－45°－120°＝15°.答案：75°或15°7．已知△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝c ＝6＋2且A ＝75°，则b ＝________.解析：sin A ＝sin 75°＝sin (30°＋45°)＝sin 30°cos 45°＋sin 45°·cos 30°＝2＋64，由a ＝c ＝6＋2，可知，C ＝75°，所以B ＝30°，sin B ＝12，由正弦定理得b ＝a sin A ·sin B ＝2＋62＋64×12＝2. 答案：28．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，若A ＝105°，B ＝45°，b ＝22，则c ＝________.解析：根据三角形内角和定理，C ＝180°－(A ＋B )＝30°.根据正弦定理：c ＝b sin C sin B ＝22sin 30°sin 45°＝2. 答案：29．在△ABC 中，已知b ＝63，c ＝6，C ＝30°，求a .解：由正弦定理得b sin B ＝c sin C，所以sin B ＝b sin C c ＝32，因为b >c ，所以B >C ＝30°.所以B ＝60°或B ＝120°.当B ＝60°时，A ＝90°，则a ＝c sin A sin C＝12. 当B ＝120°时，A ＝30°，则a ＝c ＝6.所以a ＝6或a ＝12.10．在△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，求证：a 2sin 2B ＋b 2sin 2A ＝2ab sin C .证明：因为左边＝4R 2sin 2A ·sin 2B ＋4R 2sin 2B ·sin 2A＝8R 2sin 2A sin B cos B ＋8R 2sin 2B ·sin A cos A＝8R 2sin A sin B (sin A cos B ＋cos A sin B )＝8R 2sin A sin B sin(A ＋B )＝8R 2sin A sin B sin C＝2·(2R sin A )·(2R sin B )·sin C ＝2ab sin C ＝右边，所以等式成立．层级二应试能力达标 1．在△ABC 中，若A ＝60°，a ＝3，则a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C＝________. 解析：利用正弦定理变形，得asin A ＝bsin B ＝csin C ＝a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C，所以a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝3sin 60°＝2. 答案：22．在△ABC 中，已知b ＝4，c ＝8，B ＝30°，则a ＝________.解析：由正弦定理，得sin C ＝c sin B b ＝8sin 30°4＝1. 所以C ＝90°，A ＝180°－90°－30°＝60°.又由正弦定理，得a ＝b sin A sin B ＝4sin 60°sin 30°＝4 3. 答案：4 33．在△ABC 中，a ＝23，b ＝22，B ＝45°，则A 等于______．解析：由正弦定理得，a sin A ＝b sin B ，解得sin A ＝32，又a >b ，所以A ＝60°或120°. 答案：60°或120°4．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对应边分别为x ，b ，c ，若满足b ＝2，B ＝45°的△ABC 恰有两解，则x 的取值范围是________．解析：要使△ABC 恰有两解，x sin 45°<2<x ，解得2<x <2 2. 答案：(2,22)5．若A ＝60°，a ＝23，则a ＋2b ＋3c sin A ＋2sin B ＋3sin C＝______. 解析：由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C 得 a ＋2b ＋3c sin A ＋2sin B ＋3sin C ＝a sin A ＝2332＝4.答案：46．设△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且a cos B －b cos A ＝35c ，则tan A tan B＝________. 解析：已知a cos B －b cos A ＝35c ，由正弦定理，得sin A ·cos B －sin B cos A ＝35sin C ，sin A cos B －cos A sin B ＝35(sin A cos B ＋cos A sin B )，所以2sin A cos B ＝8cos A ·sin B ，即tan A tan B＝4. 答案：47．在△ABC 中，已知a ，b ，c 分别是A ，B ，C 的对边．若B ＝A ＋60°，b ＝2a ，求角A 的大小．解：因为B ＝A ＋60°，所以sin B ＝sin(A ＋60°)＝12sin A ＋32cos A ．① 又b ＝2a ，所以2R sin B ＝4R sin A ，所以sin B ＝2sin A ．②由①②得2sin A ＝12sin A ＋32cos A ，即3sin A ＝3cos A ，所以tan A ＝33.又0°<A <180°，所以A ＝30°.8．已知△ABC 的各边均不相等，设A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a cos A ＝b cos B ，求a ＋b c的取值范围．解：∵a cos A ＝b cos B ，∴sin A cos A ＝sin B cos B ，∴sin 2A ＝sin 2B .∵2A,2B ∈(0,2π)，∴2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π，∴A ＝B 或A ＋B ＝π2. 如果A ＝B ，则a ＝b 不符合题意，∴A ＋B ＝π2. ∴a ＋b c ＝sin A ＋sin B sin C＝sin A ＋sin B ＝sin A ＋cos A＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π4， ∵a ≠b ，C ＝π2，∴A ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2且A ≠π4， ∴a ＋b c∈(1，2)．。

标题-2017-2018学年高中数学三维设计苏教版必修5：第一章 1.2 余弦定理

余弦定理第一课时余弦定理[新知初探]1．余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍．即a2＝b2＋c2－2bc cos A，b2＝a2＋c2－2ac cos_B，c2＝a2＋b2－2ab cos_C.[点睛]注意公式中边角的对应，注意公式中加减号．2．余弦定理的变形：cos A＝b2＋c2－a22bc，cos B＝c2＋a2－b22ac，cos C＝a2＋b2－c22ab.[小试身手]1．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝2，c＝3，B＝60°.则b＝________.解析：由余弦定理可得b2＝a2＋c2－2ac cos B＝4＋9－2×2×3×12＝7，所以b＝7.预习课本P13～16，思考并完成以下问题答案：72．在△ABC中，若a＝b＝1，c＝3，则角C＝________.解析：由cos C＝a2＋b2－c22ab得cos C＝－12，所以C＝2π3.答案：2π33．在△ABC中，已知23ab sin C＝a2＋b2－c2，则C＝________.解析：由23ab sin C＝a2＋b2－c2得23sin C＝a2＋b2－c2ab，由余弦定理cos C＝a2＋b2－c22ab，所以3sin C＝cos C，即tan C＝33，在△ABC中，0<C<π，所以C＝π6.答案：π64．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c＝2a，b＝4，cos B＝1 4.则边c的长度为________．解析：由余弦定理b2＝a2＋c2－2ac cos B得16＝a2＋4a2－4a2×14，所以a＝2，c＝4.答案：4[典例]在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝7，b＝5，c＝3，求△ABC的内角中最大的角．[解]∵a>b>c，∴A最大．cos A＝b2＋c2－a22bc＝52＋32－722×5×3＝－12.又∵0°<A<180°，∴A＝120°.[活学活用]1．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝1，b＝7，c＝3，则B＝________.解析：由余弦定理得cos B＝a2＋c2－b22ac＝1＋3－72×1×3＝－32.又∵0°<B<180°，∴B＝150°.答案：150°2．在△ABC中，已知a∶b∶c＝2∶6∶(3＋1)，则A＝________. 解析：∵a∶b∶c＝2∶6∶(3＋1)，令a＝2k，b＝6k，c＝(3＋1)k(k>0)．由余弦定理的变形得，cos A＝b2＋c2－a22bc＝6k2＋(3＋1)2k2－4k22×6k×(3＋1)k＝22.∴A＝45°.答案：45°[典例][解]法一：由余弦定理知b2＝a2＋c2－2ac cos B．∴2＝3＋c2－23·22c. 即c2－6c＋1＝0.解得c＝6＋22或c＝6－22，当c＝6＋22时，由余弦定理得cos A＝b2＋c2－a22bc＝2＋⎝⎛⎭⎪⎫6＋222－32×2×6＋22＝12.∵0°<A<180°，∴A＝60°，∴C＝75°.当c＝6－22时，由余弦定理得cos A＝b2＋c2－a22bc＝2＋⎝⎛⎭⎪⎫6－222－32×2×6－22＝－12.∵0°<A <180°，∴A ＝120°，C ＝15°. 故c ＝6＋22，A ＝60°，C ＝75° 或c ＝6－22，A ＝120°，C ＝15°. 法二：由正弦定理a sin A ＝b sin B得， sin A ＝a sin B b ＝3·sin 45°2＝32.又∵a >b ，∴A >B ，∴A ＝60°或120°. 当A ＝60°时，得C ＝75°. 由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝3＋2－2×6×6－24＝2＋3， ∴c ＝2＋3＝6＋22. 或用正弦定理求边c ，由c sin C ＝bsin B 得c ＝b sin C sin B ＝2·sin 75°sin 45°＝2×6＋2422＝6＋22.当A ＝120°时，得C ＝15°，同理可求c ＝6－22，故A ＝60°，C ＝75°，c ＝6＋22，或A ＝120°，C ＝15°，c ＝6－22.[活学活用]1．在△ABC 中，已知a ＝8，b ＝7，B ＝60°，则c ＝________. 解析：由余弦定理，有b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，即72＝82＋c 2－16c cos 60°.即c 2－8c ＋15＝0. 解得c ＝3或c ＝5. 答案：3或52．在△ABC 中，B ＝π4，AB ＝2，BC ＝3，则sin A ＝________.解析：由余弦定理可得AC 2＝9＋2－2×3×2×22＝5，所以AC ＝ 5.再由正弦定理得AC sin B ＝BC sin A，所以sin A ＝BC ·sin B AC ＝3×225＝31010.答案：31010题点一：利用余弦定理实现角化边1．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，已知b cos C ＋c cos B ＝2b ，则ab ＝________.解析：由余弦定理得b cos C ＋c cos B ＝b ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·a 2＋c 2－b 22ac ＝2a 22a ＝a ，所以a ＝2b ，即ab＝2. 答案：2题点二：利用余弦定理实现边化角2．在△ABC 中，若lg(a ＋c )＋lg(a －c )＝lg b －lg 1b ＋c ，则A ＝________.解析：由题意可知lg(a ＋c )(a －c )＝lg b (b ＋c )，所以(a ＋c )(a －c )＝b (b ＋c )．即b 2＋c 2－a 2＝－bc . 所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－12.又0°<A <180°，所以A ＝120°. 答案：120°层级一学业水平达标1．在△ABC 中，若a 2－c 2＋b 2＝3ab ，则C ＝________.解析：由a 2－c 2＋b 2＝3ab ，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝3ab 2ab ＝32，所以C ＝30°.答案：30°2．在△ABC 中，若b ＝1，c ＝3，C ＝2π3，则a ＝________. 解析：由余弦定理 c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 得， 3＝a 2＋1－2a ×1×cos 2π3，即a 2＋a －2＝0.解得a ＝1或a ＝－2(舍去)． ∴a ＝1. 答案：13．在△ABC 中，若a ＝2，b ＋c ＝7，cos B ＝－14，则b ＝________.解析：在△ABC 中，由b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B 及b ＋c ＝7知，b 2＝4＋(7－b )2－2×2×(7－b )×⎝⎛⎭⎫－14，整理得15b －60＝0，所以b ＝4. 答案：44．在△ABC 中，a ＝7，b ＝43，c ＝13，则△ABC 的最小角的大小为________．解析：∵a >b >c ，∴C 为最小角，由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝72＋(43)2－(13)22×7×43＝32，∴C ＝π6. 答案：π65．已知在△ABC 中，b 2＝ac 且c ＝2a ，则cos B ＝________.解析：∵b 2＝ac ，c ＝2a ，∴b 2＝2a 2，∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋4a 2－2a 24a 2＝34.答案：346．若△ABC 的三个内角满足sin A ∶sin B ∶sin C ＝5∶11∶13，则△ABC 的形状是________．解析：在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝5∶11∶13， ∴a ∶b ∶c ＝5∶11∶13，故令a ＝5k ，b ＝11k ，c ＝13k (k >0)，由余弦定理可得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝25k 2＋121k 2－169k 22×5×11k 2＝－23110<0，又因为C ∈(0，π)，所以，C ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，所以△ABC 为钝角三角形．答案：钝角三角形7．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若(3b －c )cos A ＝a cos C ，则cos A ＝________.解析：由已知得3b cos A ＝a cos C ＋c cos A ＝a ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·b 2＋c 2－a 22bc ＝b .∴cos A ＝b 3b ＝33. 答案：338．在△ABC 中，下列结论：①若a 2>b 2＋c 2，则△ABC 为钝角三角形； ②若a 2＝b 2＋c 2＋bc ，则A 为120°； ③若a 2＋b 2>c 2，则△ABC 为锐角三角形．其中正确的为________(填序号)．解析：①中，a 2>b 2＋c 2可推出cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc<0，即A 为钝角，所以△ABC 为钝角三角形；②中，由a 2＝b 2＋c 2＋bc 知，cos A ＝－bc 2bc ＝－12，∴A 为120°；③中a 2＋b 2>c 2可推出C 为锐角，但△ABC 不一定为锐角三角形；所以①②正确，③错误．答案：①②9．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为A ，B ，C 的对边，B ＝2π3，b ＝13，a ＋c ＝4，求边长a .解：由余弦定理得，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－2ac cos 2π3＝a 2＋c 2＋ac ＝(a ＋c )2－ac .又因为a ＋c ＝4，b ＝13，所以ac ＝3，联立⎩⎪⎨⎪⎧a ＋c ＝4，ac ＝3，解得a ＝1，c ＝3，或a ＝3，c ＝1.所以a 等于1或3.10．在△ABC 中，已知a ＝5，b ＝3，角C 的余弦值是方程5x 2＋7x －6＝0的根，求第三边长c .解：5x 2＋7x －6＝0可化为(5x －3)(x ＋2)＝0. ∴x 1＝35，x 2＝－2(舍去)．∴cos C ＝35.根据余弦定理，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝52＋32－2×5×3×35＝16.∴c ＝4，即第三边长为4.层级二应试能力达标1．已知a ，b ，c 为△ABC 的三边长，若满足(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝3ab ，则角C 的大小为________．解析：∵(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝3ab ，∴a 2＋b 2－c 2＝ab ，即a 2＋b 2－c 22ab ＝12，∴cos C ＝12，∴C ＝60°.答案：60°2．在△ABC 中，边a ，b 的长是方程x 2－5x ＋2＝0的两个根，C ＝60°，则边c 的长为________．解析：由题意，得a ＋b ＝5，ab ＝2.由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝a 2＋b 2－ab ＝(a ＋b )2－3ab ＝52－3×2＝19，∴c ＝19.答案：193．边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是________．解析：设边长为7的边所对角为θ，根据大边对大角，可得cos θ＝52＋82－722×5×8＝12，θ＝60°，∴180°－60°＝120°， ∴最大角与最小角之和为120°. 答案：120°4．在△ABC 中，AB ＝3，BC ＝13，AC ＝4，则AC 边上的高为________．解析：由余弦定理，可得cos A ＝AC 2＋AB 2－BC 22AC ·AB ＝42＋32－(13)22×3×4＝12，所以sin A ＝32.则AC 边上的高h ＝AB sin A ＝3×32＝332. 答案：3325．若△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边a ，b ，c 满足(a ＋b )2－c 2＝4，且C ＝60°，则ab 的值为________．解析：依题意得⎩⎪⎨⎪⎧(a ＋b )2－c 2＝4，a 2＋b 2－c 2＝2ab cos 60°＝ab ，两式相减得ab ＝43. 答案：436．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c .若b ＋c ＝2a,3sin A ＝5sin B ，则角C ＝________.解析：由3sin A ＝5sin B 可得3a ＝5b ，又b ＋c ＝2a ，所以可令a ＝5t (t >0)，则b ＝3t ，c ＝7t ，可得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝(5t )2＋(3t )2－(7t )22×5t ×3t＝－12，故C ＝2π3.答案：2π37．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知c ＝2，a cos B －b cos A ＝72.(1)求b cos A 的值；(2)若a ＝4，求△ABC 的面积．解：(1)∵a cos B －b cos A ＝72，根据余弦定理得，a ·a 2＋c 2－b 22ac －b ·b 2＋c 2－a 22bc ＝72，∴2a 2－2b 2＝7c ，又∵c ＝2，∴a 2－b 2＝7， ∴b cos A ＝b 2＋c 2－a 22c ＝－34.(2)由a cos B －b cos A ＝72及b cos A ＝－34，得a cos B ＝114.又∵a ＝4，∴cos B ＝1116，∴sin B ＝1－cos 2B ＝31516， ∴S △ABC ＝12ac sin B ＝3154.8．在△ABC 中，BC ＝5，AC ＝3，sin C ＝2sin A . (1)求边AB 的长； (2)求sin ⎝⎛⎭⎫2A －π4的值．解：(1)在△ABC 中，根据正弦定理，得AB sin C ＝BCsin A，即AB ＝sin C ·BCsin A ＝2BC ＝2 5.(2)在△ABC 中，根据余弦定理，得 cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝255.于是sin A ＝1－cos 2A ＝55. 从而sin 2A ＝2sin A cos A ＝45，cos 2A ＝cos 2A －sin 2A ＝35.故sin ⎝⎛⎭⎫2A －π4＝sin 2A cos π4－cos 2A sin π4＝210.第二课时余弦定理的应用(习题课)[典例] 地平面上有一旗杆OP ，为了测量它的高度，在地平面上取一基线AB ＝40 m ，在A 处测得P 点的仰角∠OAP ＝30°，在B 处测得P 点的仰角∠OBP ＝45°，又测得∠AOB ＝60°，求旗杆的高度(精确到0.1 m)[解] 如图所示，设OP ＝x m ，在△AOP 中，∵∠POA ＝90°，∠OAP ＝30°，∴AO ＝3x . 在△BOP 中，∵∠POB ＝90°，∠OBP ＝45°，∴BO ＝x . 在△AOB 中，∠AOB ＝60°，AB ＝40， ∴AB 2＝AO 2＋BO 2－2AO ·BO cos ∠AOB ，即1 600＝3x 2＋x 2－23x ×x ×12，∴x 2＝1 6004－3，∴x ＝40 4＋313≈26.6(m)．因此旗杆高约为26.6 m.[活学活用]1．海上一观测站测得方位角240°的方向上有一艘停止待修的商船，在商船的正东方有一艘海盗船正向它靠近，速度为每小时90海里．此时海盗船距观测站107海里，20分钟后测得海盗船距观测站20海里，再过________分钟，海盗船到达商船．解析：如图，设开始时观测站、商船、海盗船分别位于A ，B ，C 处，20分钟后，海盗船到达D 处，在△ADC 中，AC ＝107，AD ＝20，CD ＝30，由余弦定理得cos ∠ADC ＝AD 2＋CD 2－AC 22AD ·CD ＝400＋900－7002×20×30＝12.∴∠ADC ＝60°.在△ABD 中，由已知得∠ABD ＝30°， ∠BAD ＝60°－30°＝30°， ∴BD ＝AD ＝20，2090×60＝403(分钟)．答案：4032．如图所示，位于东海某岛的雷达观测站A ，发现其北偏东45°，与观测站A 距离202海里的B 处有一货船正匀速直线行驶，半小时后，又测得该货船位于观测站A 东偏北θ(0°<θ<45°)的C 处，且cos θ＝45.已知A ，C 两处的距离为10海里，则该货船的船速为________海里/小时．解析：因为 cos θ＝45，0°<θ<45°，所以sin θ＝35，cos(45°－θ)＝22×45＋22×35＝7210，在△ABC 中，BC 2＝800＋100－2×202×10×7210＝340，所以BC ＝285，该货船的船速为485海里/小时．答案：485[典例] 在△ABC 中，BC ＝5，AC ＝4，cos ∠CAD ＝3132，且AD ＝BD ，求△ABC 的面积．[解] 设CD ＝x ，则AD ＝BD ＝5－x ，在△CAD 中，由余弦定理，得 cos ∠CAD ＝(5－x )2＋42－x 22×4×(5－x )＝3132.解得x ＝1.在△CAD 中，由正弦定理，得AD sin C ＝CDsin ∠CAD， ∴sin C ＝ADCD·1－cos 2∠CAD ＝41－⎝⎛⎭⎫31322＝378，∴S △CAB ＝12AC ·BC ·sin C＝12×4×5×378＝1574. 故三角形ABC 的面积为1574.已知梯形ABCD 的上底AD 长为1 cm ，下底BC 长为4 cm ，对角线AC 长为4 cm ，BD 长为3 cm ，求cos ∠DBC 及梯形ABCD 的面积．解：过D 作DE ∥AC 交BC 的延长线于E ，则在△DBE 中，DE ＝AC＝4，BE ＝5，所以，由余弦定理得 cos ∠DBC ＝32＋52－422×3×5＝35.因为0°<∠DBC <180°，所以sin ∠DBC ＝45，sin ∠ADB ＝45，S 梯形ABCD ＝S △ABD ＋S △DBC ＝12AD ·BD ·sin ∠ADB ＋12DB ·BC ·sin ∠DBC ＝6.[典例] 设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sin 2(B ＋C )>sin 2B ＋sin 2C ，则△ABC 的形状为________．[解析] 由题意得sin 2A >sin 2B ＋sin 2C ，再由正弦定理得a 2>b 2＋c 2，即b 2＋c 2－a 2<0. ∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc <0，∴A 为钝角，即三角形为钝角三角形．[答案] 钝角三角形[一题多变]1．[变条件]本例的条件变为：若2sin A cos B ＝sin C ，则△ABC 的形状为________．解析：法一：由已知得2sin A cos B ＝sin C ＝sin (A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ，即sin (A －B )＝0，因为－π<A －B <π，所以A ＝B ，即△ABC 是等腰三角形．法二：由正弦定理得2a cos B ＝c ，再由余弦定理得 2a ·a 2＋c 2－b 22ac ＝c ⇒a 2＝b 2⇒a ＝b .即△ABC 是等腰三角形．答案：等腰三角形2．[变条件]本例的条件变为：若2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C ．且sin B ＋sin C ＝1，试判断△ABC 的形状．解：由已知，根据正弦定理得2a 2＝(2b ＋c )b ＋(2c ＋b )c ，即a 2＝b 2＋c 2＋bc ，所以cos A ＝－12，sin A ＝32，则sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ＋sin B sin C . 又sin B ＋sin C ＝1，所以sin B sin C ＝14，所以sin B ＝sin C ＝12.因为0b >c ，a 20，所以A 为锐角，又因为a >b >c ，所以A 为最大角，所以角A 的取值范围是⎝⎛⎭⎫π3，π2.答案：⎝⎛⎭⎫π3，π2 2．在△ABC 中，abc a 2＋b 2＋c 2⎝⎛⎭⎫cos A a＋cos B b ＋cos C c ＝________. 解析：原式＝abca 2＋b 2＋c 2·bc cos A ＋ac cos B ＋ab cos C abc ＝bc ×b 2＋c 2－a 22bc ＋ac ×a 2＋c 2－b 22ac ＋ab ×a 2＋b 2－c 22ab a 2＋b 2＋c 2＝12. 答案：123．已知A ，B 两地的距离为10 km ，B ，C 两地的距离为20 km ，经测量，∠ABC ＝120°，则A ，C 两地的距离为______ km.解析：AC 2＝102＋202－2×10×20×cos 120°， ∴AC ＝107. 答案：1074．在△ABC 中，sin 2A ≤sin 2B ＋sin 2C －sin B sin C ，则A 的取值范围是________．解析：由题意，根据正弦定理，得a 2≤b 2＋c 2－bc ⇒b 2＋c 2－a 2≥bc ⇒b 2＋c 2－a 2bc≥1⇒cosA ≥12⇒0<A ≤π3.答案：⎝⎛⎦⎤0，π3 5．在△ABC 中，D 为BC 边上一点，BC ＝3BD ，AD ＝2，∠ADB ＝135°，若AC ＝2AB ，则BD ＝________.解析：用余弦定理求得：AB 2＝ BD 2＋AD 2－2AD ·BD cos 135°， AC 2＝CD 2＋AD 2－2AD ·CD cos 45°，即AB 2＝BD 2＋2＋2BD ， ① AC 2＝CD 2＋2－2CD ， ②又BC ＝3BD ，∴CD ＝2BD . ∴AC 2＝4BD 2＋2－4BD .③又AC ＝2AB ，∴由③得2AB 2＝4BD 2＋2－4BD . ④④－2×①得，BD 2－4BD －1＝0. ∴BD ＝2＋ 5. 答案：2＋ 56．如图，一条河的两岸平行，河的宽度d ＝0.6 km ，一艘客船从码头A 出发匀速驶往河对岸的码头B .已知AB ＝1 km ，水的流速为2 km/h ，若客船从码头A 驶到码头B 所用的最短时间为6 min ，则客船在静水中的速度为________ km/h.解析：设AB 与河岸线所成的角为θ，客船在静水中的速度为v km/h ，由题意知，sin θ＝0.61＝35，从而cos θ＝45，所以由余弦定理得⎝⎛⎭⎫110v 2＝⎝⎛⎭⎫110×22＋12－2×110×2×1×45，解得v ＝6 2.答案：6 27．在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝6，BC ＝1＋3，AD 为边BC 上的高，则AD 的长是________．解析：∵cos B ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC ＝12，∴B ＝60°.∴AD ＝AB sin B ＝ 3. 答案： 38．甲船在岛A 的正南B 处，以每小时4千米的速度向正北航行，AB ＝10千米，同时乙船自岛A 出发以每小时6千米的速度向北偏东60°的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间为________小时．解析：如图，设t 小时后甲行驶到D 处，则AD ＝10－4t ，乙行驶到C 处，则AC ＝6t .∵∠BAC ＝120°，∴DC 2＝AD 2＋AC 2－2AD ·AC ·cos 120°＝(10－4t )2＋(6t )2－2×(10－4t )×6t ×cos 120°＝28t 2－20t ＋100.当t ＝514时，DC 2最小，DC 最小，此时它们所航行的时间为514小时．答案：5149．要测量电视塔AB 的高度，在C 点测得塔顶A 的仰角是45°，在D 点测得塔顶A 的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD ＝120°，CD ＝40 m ，求电视塔的高度．解：如图，设电视塔AB 高为x m ，则在Rt △ABC 中，由∠ACB ＝45°得在Rt △ADB 中，∠ADB ＝30°，则BD ＝3x .在△BDC 中，由余弦定理得， BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD ·cos 120°，即(3x )2＝x 2＋402－2·x ·40·cos 120°，解得x ＝40，所以电视塔高为40米．10．在△ABC 中，已知cos 2A 2＝b ＋c 2c (a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边)，判断△ABC的形状．解：在△ABC 中，由已知cos 2A 2＝b ＋c 2c 得1＋cos A 2＝b ＋c2c ，∴cos A ＝bc .根据余弦定理得b 2＋c 2－a 22bc ＝bc ，∴b 2＋c 2－a 2＝2b 2，即a 2＋b 2＝c 2. ∴△ABC 是直角三角形．层级二应试能力达标1．在△ABC 中，若CB ＝7，AC ＝8，AB ＝9，则AB 边的中线长________．解析：如图所示，在△ABC 中，cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22×AB ×AC＝81＋64－492×9×8＝23， ∴CD 2＝AD 2＋AC 2－2×AD ×AC cos A ＝⎝⎛⎭⎫922＋82－2×92×8×23＝1454. ∴中线CD 的长为1452. 答案：14522．在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，且AC ＝2AB ＝2AD ＝4，则BD ＝________. 解析：如图所示，设BD ＝DC ＝x ，因为∠ADB ＋∠ADC ＝180°，所以cos ∠ADB ＝－cos ∠ADC ，又AC ＝2AD ＝2AB ＝4，由余弦定理得x 2＋4－42×2x ＝－4＋x 2－162×2x，解得x ＝6(x ＝－6舍去)．即BD ＝ 6.3．江岸边有一炮台高30 m ，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距________m.解析：如图，OM ＝AO tan 45°＝30(m)，ON ＝AO tan 30°＝33×30＝103(m)，在△MON 中，由余弦定理得，MN ＝900＋300－2×30×103×32＝300＝103(m)．答案：10 34．在△ABC 中，若B ＝60°，b 2＝ac ，则△ABC 的形状是________．解析：∵b 2＝ac ，B ＝60°，由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得a 2＋c 2－ac ＝ac ，即(a －c )2＝0，∴a ＝c ，又B ＝60°，∴△ABC 为等边三角形．答案：等边三角形5．如果将直角三角形的三边增加同样的长度，则新三角形的形状是________．解析：a 2＋b 2＝c 2，三边都增加x ，则(a ＋x )2＋(b ＋x )2－(c ＋x )2＝a 2＋b 2＋2x 2＋2(a ＋b )x －c 2－2cx －x 2＝2(a ＋b －c )x ＋x 2>0，所以新三角形中最大边所对的角是锐角，所以新三角形是锐角三角形．答案：锐角三角形6．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积是________．解析：由c 2＝(a －b )2＋6可得a 2＋b 2－c 2＝2ab －6. ① 由余弦定理及C ＝π3可得a 2＋b 2－c 2＝ab .②所以由①②得2ab －6＝ab ，即ab ＝6. 所以S △ABC ＝12ab sin π3＝12×6×32＝332.答案：3327.如图所示，在△ABC 中，已知BC ＝15，AB ∶AC ＝7∶8，sin B ＝437，求BC 边上的高AD 的长．解：在△ABC 中，由已知设AB ＝7x ，AC ＝8x ，由正弦定理，得7x sin C ＝8xsin B，∴sin C ＝7x sin B 8x ＝78×437＝32. ∴C ＝60°(C ＝120°舍去，由8x >7x ，知B 也为钝角，不符合要求)．由余弦定理得(7x )2＝(8x )2＋152－2×8x ×15cos 60°， ∴x 2－8x ＋15＝0.∴x ＝3或x ＝5，∴AB ＝21或AB ＝35. 在△ABD 中，AD ＝AB sin B ＝437AB ， ∴AD ＝123或AD ＝20 3.8．已知圆内接四边形ABCD 的边长AB ＝2，BC ＝6，CD ＝DA ＝4，求四边形ABCD 的面积S .解：如图，连结BD ，则S ＝S △ABD ＋S △CBD ＝12AB ·AD sin A ＋12BC ·CD sin C .∵A ＋C ＝180°，∴sin A ＝sin C ， ∴S ＝12sin A (AB ·AD ＋BC ·CD )＝16sin A .在△ABD 中，由余弦定理，得BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD cos A ＝20－16cos A ，在△CDB 中，由余弦定理，得BD 2＝CD 2＋BC 2－2CD ·BC cos C ＝52－48cos C ， ∴20－16cos A ＝52－48cos C .又cos C ＝－cos A ，∴cos A ＝－12，∴A ＝120°，∴S ＝16sin A ＝8 3.。

【推荐K12】2018年高中数学课时跟踪检测三余弦定理苏教版必修5

课时跟踪检测（三）余弦定理层级一学业水平达标1．在△ABC 中，若a 2－c 2＋b 2＝3ab ，则C ＝________.解析：由a 2－c 2＋b 2＝3ab ，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝3ab 2ab ＝32，所以C ＝30°.答案：30°2．在△ABC 中，若b ＝1，c ＝3，C ＝2π3，则a ＝________.解析：由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 得，3＝a 2＋1－2a ×1×cos 2π3，即a 2＋a －2＝0.解得a ＝1或a ＝－2(舍去)． ∴a ＝1. 答案：13．在△ABC 中，若a ＝2，b ＋c ＝7，cos B ＝－14，则b ＝________.解析：在△ABC 中，由b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B 及b ＋c ＝7知，b 2＝4＋(7－b )2－2×2×(7－b )×⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，整理得15b －60＝0，所以b ＝4. 答案：44．在△ABC 中，a ＝7，b ＝43，c ＝13，则△ABC 的最小角的大小为________．解析：∵a >b >c ，∴C 为最小角，由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝72＋32－1322×7×43＝32，∴C ＝π6. 答案：π65．已知在△ABC 中，b 2＝ac 且c ＝2a ，则cos B ＝________.解析：∵b 2＝ac ，c ＝2a ，∴b 2＝2a 2，∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋4a 2－2a 24a 2＝34. 答案：346．若△ABC 的三个内角满足sin A ∶sin B ∶sin C ＝5∶11∶13，则△ABC 的形状是________．解析：在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝5∶11∶13，∴a ∶b ∶c ＝5∶11∶13，故令a ＝5k ，b ＝11k ，c ＝13k (k >0)，由余弦定理可得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝25k 2＋121k 2－169k 22×5×11k 2＝－23110<0，又因为C ∈(0，π)，所以，C ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以△ABC 为钝角三角形．答案：钝角三角形7．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若(3b －c )cos A ＝a cos C ，则cos A ＝________.解析：由已知得3b cos A ＝a cos C ＋c cos A＝a ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·b 2＋c 2－a 22bc＝b .∴cos A ＝b3b＝33. 答案：338．在△ABC 中，下列结论：①若a 2>b 2＋c 2，则△ABC 为钝角三角形； ②若a 2＝b 2＋c 2＋bc ，则A 为120°； ③若a 2＋b 2>c 2，则△ABC 为锐角三角形．其中正确的为________(填序号)．解析：①中，a 2>b 2＋c 2可推出cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc<0，即A 为钝角，所以△ABC 为钝角三角形；②中，由a 2＝b 2＋c 2＋bc 知，cos A ＝－bc 2bc ＝－12，∴A 为120°；③中a 2＋b 2>c 2可推出C 为锐角，但△ABC 不一定为锐角三角形；所以①②正确，③错误．答案：①②9．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为A ，B ，C 的对边，B ＝2π3，b ＝13，a ＋c ＝4，求边长a .解：由余弦定理得，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－2ac cos 2π3＝a 2＋c 2＋ac ＝(a ＋c )2－ac .又因为a ＋c ＝4，b ＝13，所以ac ＝3，联立⎩⎪⎨⎪⎧a ＋c ＝4，ac ＝3，解得a ＝1，c ＝3，或a ＝3，c ＝1.所以a 等于1或3.10．在△ABC 中，已知a ＝5，b ＝3，角C 的余弦值是方程5x 2＋7x －6＝0的根，求第三边长c .解：5x 2＋7x －6＝0可化为(5x －3)(x ＋2)＝0. ∴x 1＝35，x 2＝－2(舍去)．∴cos C ＝35.根据余弦定理，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝52＋32－2×5×3×35＝16.∴c ＝4，即第三边长为4.层级二应试能力达标1．已知a ，b ，c 为△ABC 的三边长，若满足(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝3ab ，则角C 的大小为________．解析：∵(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝3ab ，∴a 2＋b 2－c 2＝ab ，即a 2＋b 2－c 22ab ＝12，∴cos C ＝12，∴C ＝60°.答案：60°2．在△ABC 中，边a ，b 的长是方程x 2－5x ＋2＝0的两个根，C ＝60°，则边c 的长为________．解析：由题意，得a ＋b ＝5，ab ＝2.由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝a 2＋b 2－ab ＝(a ＋b )2－3ab ＝52－3×2＝19，∴c ＝19.答案：193．边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是________．解析：设边长为7的边所对角为θ，根据大边对大角，可得cos θ＝52＋82－722×5×8＝12，θ＝60°，∴180°－60°＝120°， ∴最大角与最小角之和为120°. 答案：120°4．在△ABC 中，AB ＝3，BC ＝13，AC ＝4，则AC 边上的高为________．解析：由余弦定理，可得cos A ＝AC 2＋AB 2－BC 22AC ·AB ＝42＋32－1322×3×4＝12，所以sin A ＝32.则AC 边上的高h ＝AB sin A ＝3×32＝332. 答案：3325．若△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边a ，b ，c 满足(a ＋b )2－c 2＝4，且C ＝60°，则ab 的值为________．解析：依题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b 2－c 2＝4，a 2＋b 2－c 2＝2ab cos 60°＝ab ，两式相减得ab ＝43.答案：436．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c .若b ＋c ＝2a,3sin A ＝5sin B ，则角C ＝________.解析：由3sin A ＝5sin B 可得3a ＝5b ，又b ＋c ＝2a ，所以可令a ＝5t (t >0)，则b ＝3t ，c ＝7t ，可得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝t2＋t 2－t22×5t ×3t＝－12，故C ＝2π3.答案：2π37．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知c ＝2，a cos B －b cos A ＝72.(1)求b cos A 的值；(2)若a ＝4，求△ABC 的面积．解：(1)∵a cos B －b cos A ＝72，根据余弦定理得，a ·a 2＋c 2－b 22ac －b ·b 2＋c 2－a 22bc ＝72，∴2a 2－2b 2＝7c ，又∵c ＝2，∴a 2－b 2＝7，∴b cos A ＝b 2＋c 2－a 22c ＝－34.(2)由a cos B －b cos A ＝72及b cos A ＝－34，得a cos B ＝114.又∵a ＝4，∴cos B ＝1116，∴sin B ＝1－cos 2B ＝31516，∴S △ABC ＝12ac sin B ＝3154.8．在△ABC 中，BC ＝5，AC ＝3，sin C ＝2sin A . (1)求边AB 的长；(2)求sin ⎝⎛⎭⎪⎫2A －π4的值．解：(1)在△ABC 中，根据正弦定理，得AB sin C ＝BCsin A ，即AB ＝sin C ·BCsin A＝2BC ＝2 5. (2)在△ABC 中，根据余弦定理，得cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝255.于是sin A ＝1－cos 2A ＝55. 从而sin 2A ＝2sin A cos A ＝45，cos 2A ＝cos 2A －sin 2A ＝35.故sin ⎝⎛⎭⎪⎫2A －π4＝sin 2A cos π4－cos 2A sin π4＝210.。

高中数学课时跟踪检测(五)正弦定理、余弦定理的应用苏教版必修5-苏教版高二必修5数学试题

课时跟踪检测（五）正弦定理、余弦定理的应用层级一学业水平达标1．若水平面上点B 在点A 南偏东30°方向上，在点A 处测得点B 的方位角是( ) A ．60° B ．120° C ．150°D ．210°解析：选C 方位角是指从正北方向顺时针旋转到达目标方向的水平角．如图所示，点B 的方位角是180°－30°＝150°.故选C.2．A ，B 两点在河的两岸，为测量两点之间的距离，测量者在A 的同侧，在河岸边选定一点C ，测出A ，C 两点间的距离是100 m ，∠BAC ＝60°，∠ACB ＝30°，则A ，B 两点间的距离是( )A ．40 mB ．50 mC ．60 mD ．70 m解析：选B 由已知得到示意图如图，已知AC ＝100 m ，∠BAC ＝60°，∠ACB ＝30°，所以∠ABC ＝90°，所以AB ＝12AC ＝50 m ，故选B.3.如图，D ，C ，B 三点在地面同一直线上，从地面上C ，D 两点望山顶A ，测得它们的仰角分别为45°和30°，已知CD ＝200 m ，点C 位于BD 上，则山高AB 等于( )A ．100 2 mB ．50(3＋1)mC ．100(3＋1)mD ．200 m解析：选C 设AB ＝x m ，在Rt △ACB 中，∠ACB ＝45°， ∴BC ＝AB ＝x m.在Rt △ABD 中，∠D ＝30°，BD ＝3x ，∵BD －BC ＝CD ，∴3x －x ＝200，解得x ＝100(3＋1)．4．一船沿北偏西45°方向航行，看见正东方向有两个灯塔A ，B ，AB ＝10 n mile ，航行12h 后，看见一灯塔在其南偏东60°方向上，另一灯塔在其南偏东75°方向上，则这艘船的速度是( )A ．5 n mile/hB ．5 2 n mile/hC ．10 n mile/hD ．10 2 n mile/h解析：选 D 如图所示，由题意知∠COA ＝135°，∠ACO ＝∠ACB ＝∠ABC ＝15°，∠OAC ＝30°，AB ＝10，∴AC ＝10.在△AOC 中，由正弦定理可得10sin 135°＝OCsin 30°，∴OC ＝52，∴v ＝5212＝102，∴这艘船的速度是10 2 n mile/h ，故选D.5.如图所示，位于A 处的信息中心获悉：在其正东方向相距40 n mile 的B 处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°方向上且相距20 n mile 的C 处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向即沿直线CB 前往B 处救援，则cos θ等于( )A.219 B.2114 C.32114D.2128解析：选B 如图所示，在△ABC 中，∠CAB ＝90°＋30°＝120°，AC ＝20 n mile ，AB ＝40 n mile.由余弦定理，得BC 2＝202＋402－2×20×40×cos 120°＝2 800，所以BC ＝207 n mile.过C 作CD ⊥AB 交BA 的延长线于D . 在△ACD 中，∠ACD ＝30°，AC ＝20 n mile ，所以CD ＝10 3 n mile. 所以cos θ＝cos ∠DCB ＝CD CB ＝103207＝2114. 6．一船以22 6 km/h 的速度向正北航行，在A 处看灯塔S 在船的北偏东45°，1小时30分后航行到B 处，在B 处看灯塔S 在船的南偏东15°，则灯塔S 与B 之间的距离为________km.解析：如图，∠ASB ＝180°－15°－45°＝120°，AB ＝226×32＝336，由正弦定理，得336sin 120°＝SBsin 45°，∴SB ＝66(km)．答案：667.一角槽的横断面如图所示，四边形ABED 是矩形，已知∠DAC ＝50°，∠CBE ＝70°，AC ＝90，BC ＝150，则DE ＝________.解析：由题意知∠ACB ＝120°，在△ACB 中，由余弦定理，得AB 2＝AC2＋BC 2－2AC ·BC ·cos∠ACB ＝902＋1502－2×90×150×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝44 100.∴AB ＝210，DE ＝210. 答案：2108．线段AB 外有一点C ，∠ABC ＝60°，AB ＝200 km ，汽车以80 km/h 的速度由A 向B 行驶，同时摩托车以50 km/h 的速度由B 向C 行驶，则运动开始________ h 后，两车的距离最小．解析：如图所示，设t h 后，汽车由A 行驶到D ，摩托车由B 行驶到E ，则AD ＝80t ，BE ＝50t .因为AB ＝200，所以BD ＝200－80t ，问题就是求DE 最小时t 的值．由余弦定理：DE 2＝BD 2＋BE 2－2BD ·BE cos 60°＝(200－80t )2＋2 500t 2－(200－80t )·50t ＝12 900t 2－42 000t ＋40 000.当t ＝7043时，DE 最小．答案：70439．某海上养殖基地A ，接到气象部门预报，位于基地南偏东60°相距20(3＋1)n mile 的海面上有一台风中心，影响半径为20 n mile ，正以10 2 n mile/h 的速度沿某一方向匀速直线前进，预计台风中心将从基地东北方向刮过且(3＋1)h 后开始持续影响基地2 h ．求台风移动的方向．解：如图所示，设预报时台风中心为B ，开始影响基地时台风中心为C ，基地刚好不受影响时台风中心为D ，则B ，C ，D 在一直线上，且AD ＝20，AC ＝20.由题意AB ＝20(3＋1)，DC ＝202，BC ＝(3＋1)·102＝10(6＋2)．在△ADC 中，因为DC 2＝AD 2＋AC 2，所以∠DAC ＝90°，∠ADC ＝45°. 在△ABC 中，由余弦定理得cos ∠BAC ＝AC 2＋AB 2－BC 22AC ·AB ＝32.所以∠BAC ＝30°，又因为B 位于A 南偏东60°， 60°＋30°＋90°＝180°，所以点D 位于A 的正北方向，又因为∠ADC ＝45°，所以台风移动的方向为北偏西45°.10.如图，测量人员沿直线MNP 的方向测量，测得塔顶A 的仰角分别是∠AMB ＝30°，∠ANB ＝45°，∠APB ＝60°，且MN ＝PN ＝500 m ，求塔高AB .解：设AB ＝x ，∵AB 垂直于地面， ∴△ABM ，△ABN ，△ABP 均为直角三角形． ∴BM ＝x tan 30°＝3x ，BN ＝xtan 45°＝x .BP ＝xtan 60°＝33x .在△MNB 中，由余弦定理BM 2＝MN 2＋BN 2－2MN ·BN ·cos∠MNB ，在△PNB 中，由余弦定理BP 2＝NP 2＋BN 2－2NP ·BN ·cos∠PNB ，又∵∠MNB 与∠PNB 互补，MN ＝NP ＝500， ∴3x 2＝250 000＋x 2－2×500x ·cos∠MNB ，① 13x 2＝250 000＋x 2－2×500x ·cos∠PNB ，② ①＋②，得103x 2＝500 000＋2x 2，∴x ＝2506或x ＝－2506(舍去)．所以塔高为250 6 m.层级二应试能力达标1．若点A 在点C 的北偏东30°方向上，点B 在点C 的南偏东60°方向上，且AC ＝BC ，则点A 在点B 的( )A ．北偏东15°方向上B ．北偏西15°方向上C ．北偏东10°方向上D ．北偏西10°方向上解析：选B 如图所示，∠ACB ＝90°.又 ∵AC ＝BC ， ∴∠CBA ＝45°.∵β＝30°，∴α＝90°－45°－30°＝15°.∴点A 在点B 的北偏西15°方向上．2.如图所示为起重机装置示意图．支杆BC ＝10 m ，吊杆AC ＝15 m ，吊索AB ＝519 m ，起吊的货物与岸的距离AD 为( )A ．30 m B.1532m C ．15 3 mD ．45 m解析：选B 在△ABC 中，AC ＝15 m ，AB ＝519 m ，BC ＝10 m ，由余弦定理得cos ∠ACB ＝AC 2＋BC 2－AB 22×AC ×BC＝152＋102－(519)22×15×10＝－12，∴sin ∠ACB ＝32.又∠ACB ＋∠ACD ＝180°， ∴sin ∠ACD ＝sin ∠ACB ＝32. 在Rt △ADC 中，AD ＝AC ·sin∠ACD ＝15×32＝1532m. 3．某海轮以30 n mile/h 的速度航行，在点A 测得海面上油井P 在其南偏东60°方向上；海轮向北航行40 min 后到达点B ，测得油井P 在其南偏东30°方向上；海轮改为北偏东60°的航向再行驶80 min 到达点C ，则P ，C 两点的距离为( )A ．207 n mileB.2077n mile C ．20 3 n mile D.2033n mile 解析：选A 如图，过点P 作AB 的垂线，垂足为点E . 由题意得∠APB ＝∠ABP ＝30°， ∴AP ＝AB ＝30×4060＝20(n mile)．在Rt △PAE 中，PE ＝AP sin 60°＝103(n mile)；在Rt △PBE 中，PB ＝PEsin 30°＝203(n mile)．由已知可得∠PBC ＝90°，BC ＝30×8060＝40(n mile)，∴在Rt △PBC 中，PC ＝PB 2＋BC 2＝(203)2＋402＝207(n mile)．4．一船向正北航行，看见正西方向有相距10 n mile 的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行12 h 后，看见一灯塔在船的南偏西60°方向，另一灯塔在船的南偏西75°方向，则这只船的速度是________ n mile/h.解析：如图，依题意有∠BAC ＝60°，∠BAD ＝75°，所以∠CAD ＝∠CDA ＝15°，从而CD ＝CA ＝10，在直角三角形ABC 中，可得AB ＝5，于是这只船的速度是50.5＝10 n mile/h.答案：105.如图所示，在山底A 处测得山顶B 的仰角∠CAB ＝45°，沿倾斜角为30°的山坡向山顶走1 000 m 到达S 点，又测得山顶仰角∠DSB ＝75°，则山高BC 为________ m.解析：∵∠SAB ＝45°－30°＝15°，∠SBA ＝∠ABC －∠SBC ＝45°－(90°－75°)＝30°，在△ABS 中，AB ＝AS ·sin 135°sin 30°＝1 000×2212＝1 0002，∴BC ＝AB ·sin 45°＝1 0002×22＝1 000(m)．答案：1 0006．如图，从气球A 上测得其正前下方的河流两岸B ，C 的俯角分别为75°，30°，此时气球的高度AD 是60 m ，则河流的宽度BC 是________ m.解析：由题意知，在Rt △ADC 中，∠C ＝30°，AD ＝60 m ，∴AC ＝120 m ．在△ABC 中，∠BAC ＝75°－30°＝45°，∠ABC ＝180°－75°＝105°，由正弦定理，得BC ＝AC sin ∠BACsin ∠ABC＝120×226＋24＝120(3－1)(m)．答案：120(3－1)7.在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇发现在北偏东45°方向，相距12 n mile 的水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时10 n mile 的速度沿南偏东75°方向前进，若红方侦察艇以每小时14 n mile 的速度，沿北偏东45°＋α方向拦截蓝方的小艇，若要在最短的时间内拦截住，求红方侦察艇所需的时间和角α的正弦值．解：如图，设红方侦察艇经过x 小时后在C 处追上蓝方的小艇，则AC ＝14x ，BC ＝10x ， ∠ABC ＝120°.根据余弦定理得 (14x )2＝122＋(10x )2－240x cos 120°，解得x ＝2.故AC ＝28，BC ＝20. 根据正弦定理得BC sin α＝ACsin 120°，解得sin α＝20sin 120°28＝5314.所以红方侦察艇所需要的时间为2小时，角α的正弦值为5314.8．已知圆内接四边形ABCD 的边长分别为AB ＝2，BC ＝6，CD ＝DA ＝4，求四边形ABCD 的面积．解：如图所示，连接BD ，则四边形ABCD 的面积为：S ＝S △ABD ＋S △BCD ＝12AB ·AD ·sin A ＋12BC ·CD sin C .因为A ＋C ＝180°，所以sin A ＝sin C ，所以S ＝12(AB ·AD ＋BC ·CD )·sin A＝12(2×4＋6×4)sin A＝16sin A .在△ABD 中，由余弦定理，得BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD cos A＝22＋42－2×2×4cos A ＝20－16cos A . 在△CDB 中，BD 2＝CB 2＋CD 2－2CB ·CD cos C ＝62＋42－2×6×4cos C ＝52－48cos C .所以20－16cos A ＝52－48cos C . 因为cos C ＝－cos A ，所以64cos A ＝－32，所以cos A ＝－12，所以A ＝120°，所以S ＝16sin 120°＝8 3.。

2017-2018学年高中数学苏教版必修3：课时跟踪检测(十八)几何概型

课时跟踪检测（十八）几何概型[层级一学业水平达标]1．某交通路口的红绿灯闪亮时间如下，红灯28秒，黄灯2秒，绿灯30秒，则赶到路口恰好能通过的概率为________．解析：3028＋2＋30＝12.答案：122．面积为S 的△ABC ，D 是BC 的中点，向△ABC 内部投一点，那么落在△ABD 内的概率为________．解析：这是一个几何概型(如图)．∵D 为BC 的中点，∴S △ABD S △ABC ＝12，即所求事件的概率为12.答案：123．在400毫升自来水中有一个大肠杆菌，今从中随机取出2毫升水样放到显微镜下观察，则发现大肠杆菌的概率为________．解析：大肠杆菌在400毫升自来水中的位置是任意的，且结果有无限个，属于几何概型．设取出2毫升水样中有大肠杆菌为事件A ，则事件A 构成的区域体积是2毫升，全部试验结果构成的区域体积是400毫升，故P (A )＝2400＝0.005. 答案：0.0054. 如图，一颗豆子随机扔到桌面上，则它落在非阴影区域的概率为________．解析：试验发生的范围是整个桌面，其中非阴影部分面积占整个桌面的69＝23，而豆子落在任一点是等可能的，所以豆子落在非阴影区域的概率为23. 答案：235．有一个底面半径为1，高为2的圆柱，点O 为底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P ，求点P 到点O 距离大于1的概率．解：区域D 的体积V ＝π×12×2＝2π，当P 到点O 的距离小于1时，点P 落在以O 为球心，1为半径的半球内，所以满足P 到O 距离大于1的点P 所在区域d 的体积为V 1＝V－V 半球＝2π－23π＝43π.所求的概率为V 1V ＝23.[层级二应试能力达标]1. 如图所示，边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域，在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率为23，则阴影区域的面积为________．解析：由几何概型知，S 阴S 正方形＝23，故S 阴＝23×22＝83.答案：832. 如图，矩形ABCD 中，点E 为边CD 的中点，若在矩形ABCD 内部随机取一个点Q ，则点Q 取自△ABE 内部的概率等于________．解析：△ABE 的面积是矩形ABCD 的面积的一半，由几何概型知，点Q 取自△ABE 内部的概率为12.答案：123．在区间[－2,4]上随机地取一个数x ，若x 满足|x |≤m 的概率为56，则m ＝________.解析：由题意知m ＞0，则由|x |≤m ，得－m ≤x ≤m ，所以满足|x |≤m 的概率为m －－m4－－2＝2m 6＝56，解得m ＝52. 答案：524．有四个游戏盘，如果撒一粒黄豆落在阴影部分，则可中奖，小明希望中奖，他应当选择的游戏盘为________．(填序号)解析：根据几何概型的面积比，①游戏盘的中奖概率为38；②游戏盘的中奖概率为13；③游戏盘的中奖概率为(2r )2－πr 2(2r )2＝4－π4；④游戏盘的中奖概率为r 2πr 2＝1π.故①游戏盘的中奖概率最大．答案：①5．设D 是半径为R 的圆周上的一定点，在圆周上随机取一点C ，连接CD 得一弦，若A 表示“所得弦的长大于圆内接等边三角形的边长”，则P (A )＝________.解析：如图所示，△DPQ 为圆内接正三角形，当C 点位于劣弧PQ 上时；弦DC ＞PD ；∴P (A )＝13.答案：136．一只蚂蚁在三边长分别为3,4,5的三角形内爬行，某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离都超过1的概率为________．解析：由题意，蚂蚁若要距离三角形的三个顶点的距离都超过1，则蚂蚁应在图中阴影部分爬行，故P ＝6－12π6＝1－π12.答案：1－π127．在棱长为a 的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1内任取一点P ，则点P 到点A 的距离小于等于a 的概率为________．解析：点P 到点A 的距离小于等于a 可以看做是随机的，点P 到点A 的距离小于等于a 可视作构成事件的区域，棱长为a 的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1可视做试验的所有结果构成的区域，可用“体积比”公式计算概率．P ＝18×43πa 3a 3＝16π. 答案：16π8. 如图所示，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以OA ，OB 为直径作两个半圆．在扇形OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是________．解析：如图所示，不妨设扇形的半径为2a ，记两块白色区域的面积分别为S 1，S 2，两块阴影部分的面积分别为S 3，S 4，则S 1＋S 2＋S 3＋S 4＝S 扇形OAB＝14π(2a )2＝πa 2①，而S 1＋S 3与S 2＋S 3的和恰好为一个半径为a 的圆的面积，即S 1＋S 3＋S 2＋S 3＝πa 2②.由①－②，得S 3＝S 4.又由图可知S 3＝S 扇形E OD ＋S 扇形C OD －S 正方形OEDC ＝12πa 2－a 2，所以S 阴影＝πa 2－2a 2.故由几何概型概率公式可得所求概率P ＝S 阴影S 扇形OAB＝πa 2－2a 2πa 2＝1－2π. 答案：1－2π9．正方形ABCD 的边长为1，在正方形内(包括边界)任取一点M ，求： (1)△AMB 面积大于或等于14的概率；(2)AM 的长度不小于1的概率．解：(1)如图①，取BC ，AD 的中点E ，F ，连接EF ，当M 在矩形CEFD 内(包括边界)运动时，△AMB 的面积大于或等于14，由几何概型的概率公式，知P ＝S 矩形CEFD S 正方形＝12.(2)如图②，以AB 为半径作弧，M 在阴影部分(包括边界)时，AM 长度大于或等于1，由几何概型的概率公式，知P ＝S 阴影S 正方形ABCD＝1－π4.10．已知|x |≤2，|y |≤2，点P 的坐标为(x ，y )．(1)当x ，y ∈R 时，求P 满足(x －2)2＋(y －2)2≤4的概率； (2)当x ，y ∈Z 时，求P 满足(x －2)2＋(y －2)2≤4的概率．解：(1)如图，点P 所在的区域为正方形ABCD 的内部(含边界)，满足(x －2)2＋(y －2)2≤4的点的区域为以(2,2)为圆心，2为半径的圆面(含边界)．∴所求的概率P 1＝14π×224×4＝π16.(2)满足x ，y ∈Z ，且|x |≤2，|y |≤2的点(x ，y )有25个，满足x ，y ∈Z ，且(x －2)2＋(y －2)2≤4的点(x ，y )有6个，∴所求的概率P 2＝625.。

2017-2018学年高中数学三维设计人教A版浙江专版必修4：课时跟踪检测(十八) 向量数乘运算及其几何意义

课时跟踪检测（十八）向量数乘运算及其几何意义层级一学业水平达标1．若|a |＝5，b 与a 的方向相反，且|b |＝7，则a ＝( ) A ．57bB ．－57bC ．75bD ．－75b解析：选B b 与a 反向，故a ＝λb (λ＜0)，|a |＝－λ|b |，则5＝－λ×7，所以λ＝－57，∴a ＝57b . 2．已知a ＝5e ，b ＝－3e ，c ＝4e ，则2a －3b ＋c ＝( ) A ．5e B ．－5e C ．23eD ．－23e解析：选C 2a －3b ＋c ＝2×5e －3×(－3e )＋4e ＝23e .3．已知AB ＝a ＋5b ，BC ＝－2a ＋8b ，CD ＝3(a －b )，则( ) A ．A ，B ，C 三点共线 B ．A ，B ，D 三点共线 C ．A ，C ，D 三点共线D ．B ，C ，D 三点共线解析：选B BD ＝BC ＋CD ＝－2a ＋8b ＋3(a －b )＝a ＋5b ＝AB ，又∵BD 与AB 有公共点B ，∴A ，B ，D 三点共线．4．在△ABC 中，点P 是AB 上一点，且CP ＝23CA ＋13CB ，又AP ＝t AB ，则t 的值为( )A ．13B ．23C ．12D ．53解析：选A 由题意可得AP ＝CP －CA ＝23CA ＋13CB －CA ＝13(CB －CA )＝13AB ，又AP ＝t AB ，∴t ＝13.5．在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线交DC 于点F ，若AB ＝a ，AD ＝b ，则AF ＝( )A ．13a ＋bB ．12a ＋bC ．a ＋13bD ．a ＋12b解析：选A 由已知条件可知BE ＝3DE ，∴DF ＝13AB ，∴AF ＝AD ＋DF ＝AD ＋13AB ＝13a ＋b .6．若3(x ＋a )＋2(x －2a )－4(x －a ＋b )＝0，则x ＝______. 解析：由已知得3x ＋3a ＋2x －4a －4x ＋4a －4b ＝0， ∴x ＋3a －4b ＝0，∴x ＝4b －3a . 答案：4b －3a7．下列向量中a ，b 共线的有________(填序号)． ①a ＝2e ，b ＝－2e ；②a ＝e 1－e 2，b ＝－2e 1＋2e 2； ③a ＝4e 1－25e 2，b ＝e 1－110e 2；④a ＝e 1＋e 2，b ＝2e 1－2e 2.解析：①中，a ＝－b ；②中，b ＝－2e 1＋2e 2＝－2(e 1－e 2)＝－2a ；③中，a ＝4e 1－25e 2＝4⎝⎛⎭⎫e 1－110e 2＝4b ；④中，当e 1，e 2不共线时，a ≠λb .故填①②③. 答案：①②③8．已知向量a ，b 是两个不共线的向量，且向量ma －3b 与a ＋(2－m )b 共线，则实数m 的值为________．解析：因为向量ma －3b 与a ＋(2－m )b 共线且向量a ，b 是两个不共线的向量，所以存在实数λ，使得ma －3b ＝λ[a ＋(2－m )b ]，即(m －λ)a ＋(mλ－2λ－3)b ＝0，因为a 与b 不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝λ，mλ－2λ－3＝0，解得m ＝－1或m ＝3.答案：－1或3 9．计算：(1)25(a －b )－13(2a ＋4b )＋215(2a ＋13b )； (2)(2m －n )a －mb －(m －n )(a －b )(m ，n 为实数)．解：(1)原式＝⎝⎛⎭⎫25－23＋415a ＋⎝⎛⎭⎫－25－43＋2615b ＝0. (2)原式＝2ma －na －mb －m (a －b )＋n (a －b )＝2ma －na －mb －ma ＋mb ＋na －nb ＝ma －nb .10．已知e 1，e 2是两个非零不共线的向量，a ＝2e 1－e 2，b ＝ke 1＋e 2，若a 与b 是共线向量，求实数k 的值．解：∵a 与b 是共线向量，∴a ＝λb ， ∴2e 1－e 2＝λ(ke 1＋e 2)＝λke 1＋λe 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ λk ＝2，λ＝－1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－2，λ＝－1， ∴k ＝－2.层级二应试能力达标1．设a 是非零向量，λ是非零实数，则下列结论中正确的是( ) A ．a 与λa 的方向相同 B ．a 与－λa 的方向相反 C ．a 与λ2a 的方向相同 D ．|λa |＝λ|a |解析：选C 只有当λ>0时，a 与λa 的方向相同，a 与－λa 的方向相反，且|λa |＝λ|a |.因为λ2>0，所以a 与λ2a 的方向相同．2．已知O 是△ABC 所在平面内一点，D 为边BC 的中点，且2OA ＋OB ＋OC ＝0，则( )A ．AO ＝ODB ．AO ＝2ODC ．AO ＝3ODD ．2AO ＝OD解析：选A ∵在△ABC 中，D 为边BC 的中点，∴OB ＋OC ＝2OD ，∴2(OA ＋OD )＝0，即OA ＋OD ＝0，从而AO ＝OD .3．已知向量a ，b 不共线，若AB ＝λ1a ＋b ，AC ＝a ＋λ2b ，且A ，B ，C 三点共线，则关于实数λ1，λ2一定成立的关系式为( )A ．λ1＝λ2＝1B ．λ1＝λ2＝－1C ．λ1λ2＝1D ．λ1＋λ2＝1解析：选C ∵A ，B ，C 三点共线， ∴AB ＝k AC (k ≠0)． ∴λ1a ＋b ＝k (a ＋λ2b )＝ka ＋kλ2b . 又∵a ，b 不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ1＝k ，1＝kλ2，∴λ1λ2＝1.4．已知平面内有一点P 及一个△ABC ，若PA ＋PB ＋PC ＝AB ，则( ) A ．点P 在△ABC 外部 B ．点P 在线段AB 上 C ．点P 在线段BC 上D ．点P 在线段AC 上解析：选D ∵PA ＋PB ＋PC ＝AB ， ∴PA ＋PB ＋PC －AB ＝0，∴PA ＋PB ＋BA ＋PC ＝0，即PA ＋PA ＋PC ＝0， ∴2PA ＝CP ，∴点P 在线段AC 上．5．设e 1，e 2是两个不共线的向量，若向量ke 1＋2e 2与8e 1＋ke 2方向相反，则k ＝______. 解析：∵ke 1＋2e 2与8e 1＋ke 2共线， ∴ke 1＋2e 2＝λ(8e 1＋ke 2)＝8λe 1＋λke 2. ∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝8λ，2＝λk ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝12，k ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－12，k ＝－4.∵ke 1＋2e 2与8e 1＋ke 2反向， ∴λ＝－12，k ＝－4.答案：－46.如图所示，在▱ABCD 中，AB ＝a ，AD ＝b ，AN ＝3NC ，M 为BC 的中点，则MN ＝________(用a ，b )表示．解析：MN ＝MC ＋CN ＝MC －NC ＝12AD －14AC＝12b －14(a ＋b )＝14b －14a ＝14(b －a )．答案：14(b －a )7．已知：在四边形ABCD 中，AB ＝a ＋2b ，BC ＝－4a －b ，CD ＝－5a －3b ，求证：四边形ABCD 为梯形．证明：如图所示．∵AD ＝AB ＋BC ＋CD ＝(a ＋2b )＋(－4a －b )＋(－5a －3b ) ＝－8a －2b ＝2(－4a －b )， ∴AD ＝2BC .∴AD 与BC 共线，且|AD |＝2|BC |. 又∵这两个向量所在的直线不重合， ∴AD ∥BC ，且AD ＝2BC .∴四边形ABCD 是以AD ，BC 为两条底边的梯形．8.如图，已知△OCB 中，点A 是BC 的中点，D 是将OB 分成2∶1的一个内分点，DC 和OA 交于点E ，设OA ＝a ，OB ＝b .(1)用a ，b 表示向量 OC ，DC ； (2)若OE ＝λOA ，求λ的值．解：(1)由A 是BC 的中点，则有OA ＝12(OB ＋OC )，从而OC ＝2OA －OB ＝2a －b .由D 是将OB 分成2∶1的一个内分点，得OD ＝23OB ，从而DC ＝OC －OD ＝(2a －b )－23b ＝2a －53b .(2)由于C ，E ，D 三点共线，则EC ＝μDC ，又EC ＝OC －OE ＝(2a －b )－λa ＝(2－λ)a －b ，DC ＝2a －53b ，从而(2－λ)a －b ＝μ⎝⎛⎭⎫2a －53b ，又a ，b 不共线，则⎩⎪⎨⎪⎧2－λ＝2μ，1＝53μ，解得λ＝45.。

【三维设计】高中数学第一部分第三章小专题大智慧阶段质量检测苏教版必修5

【三维设计】高中数学第一部分第三章小专题大智慧阶段质量检测苏教版必修5对应配套检测卷P一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，将答案填在题中的横线上) 1．不等式x 2－3x ＋2<0的解集为________．解析：x 2－3x ＋2<0化为(x －1)(x －2)<0， ∴1<x <2. 答案：{x |1<x <2} 2．不等式x －3x ＋2<0的解集为________．解析：x －3x ＋2<0等价于 (x ＋2)(x －3)<0， ∴－2<x <3. 答案：{x |－2<x <3}3．若关于x 的不等式mx 2＋2x ＋4>0的解集为 {x |－1<x <2}，则m 的值为________．解析：由已知得－1,2是方程mx 2＋2x ＋4＝0的两个根， ∴－1＋2＝－2m.∴m ＝－2. 答案：－24．已知点A (3，－1)，B (－1,2)在直线ax ＋2y －1＝0的同侧，则实数a 的取值范围为________．解析：∵A 、B 在直线ax ＋2y －1＝0的同侧， ∴(3a －2－1)·(－a ＋4－1)>0. 即(3a －3)(a －3)<0. ∴1<a <3. 答案：{a |1<a <3}5．(2012·松原模拟)设x ，y 为正数，则(x ＋y )(1x ＋4y)的最小值为________．解析：∵x >0，y >0∴(x ＋y )(1x ＋4y )＝5＋y x ＋4xy≥5＋2y x ·4x y＝9 当且仅当y x ＝4xy即y ＝2x 时取等号．答案：96．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥3，x －y ≥－1，2x －y ≤3，则目标函数z ＝2x ＋3y 的最小值为________．解析：先画出可行域为如图所示的△ABC ，作出直线2x ＋3y ＝0，向可行域方向平移，先交到可行域点A 处，点A 就是目标函数z ＝2x ＋3y 获得最小值的点．求得点A (2,1)，于是z min ＝2×2＋3×1＝7. 答案：77．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2e x －1，x <2log 3 x 2－1 ，x ≥2，则不等式f (x )>2的解集为________．解析：当x <2时，解2ex －1>2得x >1，∴1<x <2.当x ≥2时，解log 3(x 2－1)>2得x >10. ∴x >10，∴不等式f (x )>2的解集为{x |1<x <2或x > 10}．答案：{x |1<x <2或x > 10}8．已知a >0，b >0，则1a ＋1b＋2ab 的最小值是________．解析：∵a >0，b >0，∴1a ＋1b ＋2ab ≥21ab＋2ab ＝2ab＋2ab ≥22ab·2ab ＝4.(当且仅当a ＝b 时取等号) 答案：49．(2011·广州一测)某校计划招聘男教师x 名，女教师y 名，x 和y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≥5，x －y ≤2，x <6.则该校招聘的教师最多是________名．解析：在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域及直线x ＋y ＝0，平移该直线，因为x ∈N ，y ∈N ，所以当平移到经过该平面区域内的整点(5,5)时，相应直线在y 轴上的截距最大，此时x ＋y 取得最大值，x ＋y 的最大值是10. 答案：1010．(2011·渐江高考)若实数x ，y 满足x 2＋y 2＋xy ＝1，则x ＋y 的最大值是________．解析：由x 2＋y 2＋xy ＝1，得(x ＋y )2－xy ＝1，即xy ＝(x ＋y )2－1≤ x ＋y 24.所以34(x＋y )2≤1，故－233≤x ＋y ≤233.当x ＝y 时“＝”成立，所以x ＋y 的最大值为233.答案：23311．当|x |≤1时，函数f (x )＝ax ＋2a ＋1的值有正也有负，则实数a 的取值范围是________．解析：f (x )＝ax ＋2a ＋1可以看成关于x 的一次函数．在[－1,1]上具有单调性．由已知得(a ＋2a ＋1)(－a ＋2a ＋1)<0， ∴即(3a ＋1)(a ＋1)<0. ∴－1<a <－13.答案：(－1，－13)12．设计用32 m 2的材料制造某种长方体车厢(无盖)，按交通规则厢宽2 m ，则车厢的最大容积是________m 3.解析：设长为b m ，高为a m ，由已知得， 2b ＋2ab ＋4a ＝32.∴b ＝16－2a a ＋1.∴V ＝a ·b ·2＝2·16a －2a 2a ＋1.设t ＝a ＋1，则V ＝2(20－2t －18t)≤2(20－22t ·18t)＝16.答案：1613．(2012·南昌一模)已知a ，b 为正数，且直线2x －(b －3)y ＋6＝0与直线bx ＋ay －5＝0互相垂直，则2a ＋3b 的最小值为________．解析：依题意得2b －a (b －3)＝0，即2a ＋3b ＝1,2a ＋3b ＝(2a ＋3b )(2a ＋3b )＝13＋6(ba＋ab)≥13＋6×2b a ×a b ＝25，当且仅当b a ＝ab，即a ＝b ＝5时取等号，因此2a ＋3b 的最小值为25. 答案：2514．(2011·重庆一诊)定义“*”是一种运算，对于任意的x ，y ，都满足x *y ＝axy ＋b (x ＋y )，其中a ，b 为正实数，已知1] .解析：∵1]6ab )，∴ab ≤23.当且仅当2a ＝3b ，即a ＝1时等号成立，所以当a ＝1时，ab 取最大值23.答案：1二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)． 15．(本小题满分14分)解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧3x －2x －6≤12x 2－x －1>0.解：3x －2x －6≤1等价于3x －2x －6－1≤0，即2 x ＋2x －6≤0.∴－2≤x <6.不等式2x 2－x －1>0等价于 (2x ＋1)(x －1)>0，∴x <－12或x >1.∴原不等式组的解为[－2，－12)∪(1,6)．16．(本小题满分14分)(2012·广州高一期末)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋6， (1)当a ＝5时，解不等式f (x )<0；(2)若不等式f (x )>0的解集为R ，求实数a 的取值范围．解：当a ＝5时，f (x )＝x 2＋5x ＋6，由f (x )<0，得x 2＋5x ＋6<0. 即(x ＋2)(x ＋3)<0. ∴－3<x <－2.(2)若不等式f (x )>0的解集为R ，则有Δ＝a 2－4×6<0，解得－26<a <2 6.所以实数a 的取值范围是(－26，26)17．(本小题满分14分)热心支持教育事业的李先生虽然并不富裕，但每年都要为山区小学捐款．今年打算用2 000元购买单价为50元的桌子和20元的椅子，希望桌椅的数量之和尽可能多，但椅子数不能少于桌子数，且不多于桌子数的1.5倍，问桌子、椅子各买多少才合适？解：设桌子、椅子各买x 张和y 张，则所买桌椅的总数为z ＝x ＋y . 依题意得不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤y ，y ≤1.5x ，50x ＋20y ≤2 000，其中x ，y ∈N *.由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ，50x ＋20y ＝2 000，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2007，y ＝2007.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1.5x ，50x ＋20y ＝2 000，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝25，y ＝752.设点A 的坐标为(2007，2007)，点B 的坐标为(25，752)，则前面的不等式组所表示的平面区域是以A (2007，2007)、B (25，752)、O (0,0)为顶点的△AOB 的边界及其内部(如图中阴影所示)．令z ＝0.得x ＋y ＝0，即y ＝－x .作直线l 0：y ＝－x .由图形可知，把直线l 0平移至过点 B (25，752)时，亦即x ＝25，y ＝752时．z 取最大值．因为x ，y ∈N *，所以x ＝25，y ＝37时，z 取最大值．故买桌子25张，椅子37张较为合适．18．(本小题满分16分)已知二次函数f (x )的二次项系数为a ，且不等式f (x )>2x 的解集为(1,3)．(1)若方程f (x )＋6a ＝0有两个相等的根，求f (x )的解析式； (2)若函数f (x )的最大值不小于8，求实数a 的取值范围．解：设f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，则f (x )>2x ⇔ax 2＋(b －2)x ＋c >0.已知其解集为(1,3)，∴⎩⎪⎨⎪⎧a <0，－b －2a ＝4⇔b ＝2－4a ，c a ＝3⇔c ＝3a ，∴f (x )＝ax 2＋(2－4a )x ＋3a . (1)若f (x )＋6a ＝0有两个相等的根，故ax 2－(4a －2)x ＋9a ＝0， Δ＝4＋16a 2－16a －36a 2＝0，解得a ＝－1或15(舍去正值)，∴a ＝－1即f (x )＝－x 2＋6x －3. (2)由以上可知f (x )＝a (x －2a －1a )2＋－a 2＋4a －1a，∴f (x )max ＝－a 2＋4a －1a≥8得a 2－4a ＋1≥－8a ⇔a 2＋4a ＋1≥0，解得a ≥－2＋3或a ≤－2－ 3. 又∵a <0，∴a 的取值范围是(－∞，－2－3)∪[－2＋3，0)．19．(本小题满分16分)国际上钻石的重量计量单位为克拉．已知某种钻石的价值(美元)与其重量(克拉)的平方成正比，且一颗重为3克拉的该钻石的价值为54 000美元． (1)写出钻石的价值y 关于钻石重量x 的函数关系式；(2)把一颗钻石切割成两颗钻石，若两颗钻石的重量分别为m 克拉和n 克拉，试证明：当m ＝n 时，价值损失的百分率最大．(注：价值损失的百分率＝原有价值－现有价值原有价值×100%；在切割过程中的重量损耗忽略不计)解：(1)由题意可设价值与重量的关系式为：y ＝kx 2. ∵3克拉的价值是54 000美元，∴54 000＝k ·32，解得k ＝6 000. ∴y ＝6 000x 2，所以此钻石的价值与重量的函数关系式为y ＝6 000x 2.(2)若两颗钻石的重量为m 、n 克拉，则原有价值是6 000(m ＋n )2. 现有价值是6 000m 2＋6 000n 2，价值损失的百分率＝6 000 m ＋n 2－6 000m 2－6 000n 26 000 m ＋n 2×100% ＝2mnm ＋n 2×100%≤2× m ＋n22m ＋n 2＝12，当且仅当m ＝n 时取等号．所以当m ＝n 时，价值损失的百分率最大．20．(本小题满分16分)(2012·盐城高一期末)已知不等式x 2－4x ＋3<0的解集是A ， (1)求集合A .(2)函数f (x )＝log 2(a －x )(a ∈R)的定义域为集合B ，若A ⊆B 求a 的取值范围． (3)不等式ax 2－2x －2a >0(a ∈R 且a ≠0)的解集为C ，若A ∩C ≠∅，求a 的取值范围．解析：(1)由x 2－4x ＋3<0得，(x －1)(x －3)<0. ∴1<x <3. ∴A ＝{x |1<x <3}．(2)由f (x )＝log 2(a －x )得，a －x >0，∴x <a . ∴B ＝{x |x <a } 若A ⊆B ，则a ≥3. (3)设g (x )＝ax 2－2x －2a ，①当a >0时，若A ∩C ≠∅，则g (3)>0，则9a －6－2a >0. ∴a >67.②当a <0时，若A ∩C ≠∅，则g (1)>0. ∴a －2－2a >0. ∴a <－2.综上：a 的取值范围是(－∞，－2)∪(67，＋∞).。

标题-2017-2018学年高中化学三维设计江苏专版选修5：课时跟踪检测(十七) 糖类-word文档资料

课时跟踪检测（十七）糖类一、单项选择题1．下列关于糖类化合物的说法中正确的是()A．糖类在一定条件下都可以发生水解反应B．无论是单糖，还是多糖，都能发生银镜反应C．麦芽糖是还原性糖，能发生银镜反应D．糖类物质又称碳水化合物，所有糖类物质的最简式均为CH2O解析：选C A项，只有二糖和多糖在一定条件下可以水解，单糖是最简单的糖类物质，不可以水解，错误；B项，还原性糖可以发生银镜反应，非还原性糖如蔗糖等不可以发生银镜反应，错误；C项正确；D项，糖类物质习惯上可以称为碳水化合物，但是很多糖不符合C m(H2O)n的通式，葡萄糖、果糖的最简式是CH2O，但是二糖、多糖等最简式不是CH2O，错误。

2．下列说法不正确的是()A．蔗糖不是淀粉水解的产物B．蔗糖的水解产物能发生银镜反应C．蔗糖是多羟基的醛类化合物D．蔗糖与麦芽糖互为同分异构体解析：选C淀粉水解生成的产物是麦芽糖；蔗糖的水解产物是葡萄糖和果糖，所以能发生银镜反应。

蔗糖无醛基不能发生银镜反应，不是多羟基的醛类化合物；蔗糖与麦芽糖互为同分异构体。

3．米酒既有酒味又有甜味，其中甜味来源的途径是()A．淀粉→蔗糖→葡萄糖B．淀粉→麦芽糖→葡萄糖C．淀粉→麦芽糖→果糖D．淀粉→蔗糖→果糖解析：选B用米酿酒，米中含有淀粉，在微生物的作用下，首先将淀粉分解为麦芽糖，然后再分解为人的味觉敏感的葡萄糖，从而产生甜味。

4．糖元[(C6H10O5)n]是一种相对分子质量比淀粉更大的多糖。

主要存在于肝脏和肌肉中，常常被称为动物淀粉和肝糖。

下列有关糖元的叙述中正确的是()A．糖元与纤维素互为同分异构体，与淀粉互为同系物B．糖元水解的最终产物是葡萄糖C．糖元具有还原性，是还原性糖D．糖元易溶于水，无甜味解析：选B糖元是高分子化合物，因n不同，与纤维素不互为同分异构体；多糖不是还原性糖，不溶于水，无甜味，其水解最终产物是葡萄糖。

5．向淀粉溶液中加入少量稀H2SO4，并加热使之发生水解。

苏教版高中数学必修五培优新方案课时跟踪检测(一) 正弦定理

课时跟踪检测（一）正弦定理层级一学业水平达标1．在△ABC 中，a ＝5，b ＝3，则sin A ∶sin B 的值是( ) A.53 B.35 C.37D.57解析：选A 根据正弦定理得sin A sin B ＝a b ＝53. 2．在△ABC 中，下列关系式中一定成立的是( ) A ．a >b sin A B ．a ＝b sin A C ．a <b sin AD ．a ≥b sin A解析：选D 由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得a ＝b sin Asin B .在△ABC 中，∵0<sin B ≤1， ∴1sin B≥1，a ≥b sin A . 3．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝2，b ＝23，A ＝30°，则角B 等于( )A ．60°或120°B ．30°或150°C ．60°D ．120°解析：选A ∵sin A a ＝sin B b ， ∴sin B ＝b sin A a ＝23sin 30°2＝32， ∴B ＝60°或B ＝120°.故选A.4．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且a ＝3b sin A ，则sin B ＝( ) A. 3 B.33C.63D ．－63解析：选B 由正弦定理得a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，所以sin A ＝3sin B sin A ，故sin B ＝33. 5．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c .根据下列条件解三角形，其中有两解的是( )A ．a ＝30，b ＝50，A ＝36°B ．a ＝50，b ＝30，A ＝36°C ．a ＝30，b ＝60，A ＝30°D ．a ＝30，B ＝20°，A ＝136°解析：选A 对于A ，b sin A <50×35＝30＝a b ，这样的三角形只有一个．对于C ，b sin A ＝60×12＝30＝a ，这样的三角形只有一个．对于D ，∵A ＝136°，∴△ABC 为钝角三角形，∵B ＝20°，A ＝136°，∴C ＝24°，∴这样的三角形是唯一的．6．在△ABC 中，若b ＝5，B ＝π4，sin A ＝13，则a ＝______.解析：由正弦定理得a sin A ＝b sin B ，又b ＝5，B ＝π4，sin A ＝13，所以a 13＝5sin π4，a ＝523.★答案★：5237．在△ABC 中，a ＝15，b ＝10，A ＝60°，则sin B ＝________. 解析：根据正弦定理a sin A ＝b sin B ，可得15sin 60°＝10sin B ，解得sin B ＝33.★答案★：338．已知△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝c ＝6＋2且A ＝75°，则b ＝________.解析：sin A ＝sin 75°＝sin (30°＋45°)＝sin 30°cos 45°＋sin 45°·cos 30°＝2＋64，由a ＝c ＝6＋2，可知，C ＝75°，所以B ＝30°，sin B ＝12，由正弦定理得b ＝asin A ·sin B ＝2＋62＋64×12＝2.★答案★：29．在△ABC 中，已知b ＝63，c ＝6，C ＝30°，求a . 解：由正弦定理得b sin B ＝csin C，所以sin B ＝b sin Cc ＝32，因为b >c ，所以B >C ＝30°. 所以B ＝60°或B ＝120°.当B ＝60°时，A ＝90°，则a ＝c sin A sin C ＝12.当B ＝120°时，A ＝30°，则a ＝c ＝6. 所以a ＝6或a ＝12.10．在△ABC 中，已知a ＝22，A ＝30°，B ＝45°，解三角形．解：∵a sin A ＝b sin B ＝csin C， ∴b ＝a sin B sin A ＝22sin 45°sin 30°＝22×2212＝4.∴C ＝180°－(A ＋B )＝180°－(30°＋45°)＝105°， ∴c ＝a sin C sin A ＝22sin 105°sin 30°＝22sin 75°12＝42sin(30°＋45°) ＝2＋2 3.层级二应试能力达标1．(2017·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知sin B ＋sin A (sin C －cos C )＝0，a ＝2，c ＝2，则C ＝( )A.π12 B.π6 C.π4D.π3解析：选B 因为sin B ＋sin A (sin C －cos C )＝0，所以sin(A ＋C )＋sin A sin C －sin A cos C ＝0，所以sin A cos C ＋cos A sin C ＋sin A sin C －sin A cos C ＝0，整理得sin C (sin A ＋cos A )＝0.因为sin C ≠0，所以sin A ＋cos A ＝0，所以tan A ＝－1，因为A ∈(0，π)，所以A ＝3π4，由正弦定理得sin C ＝c ·sin A a ＝2×222＝12，又0＜C ＜π4，所以C ＝π6.2．已知a ，b ，c 分别是△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，若△ABC 的周长为4(2＋1)，且sin B ＋sin C ＝2sin A ，则a ＝( )A. 2 B ．2 C ．4D ．2 2解析：选C 根据正弦定理，sin B ＋sin C ＝2sin A 可化为b ＋c ＝2a ， ∵△ABC 的周长为4(2＋1)，∴⎩⎨⎧a ＋b ＋c ＝4(2＋1)，b ＋c ＝2a ，解得a ＝4.故选C.3．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(3，－1)，n ＝(cos A ，sin A )，若m ⊥n ，且a cos B ＋b cos A ＝c sin C ，则角A ，B 的大小分别为( )A.π6，π3B.2π3，π6C.π3，π6D.π3，π3解析：选C 因为m ⊥n ，所以3cos A －sin A ＝0，所以tan A ＝3，则A ＝π3.由正弦定理，得sin A cos B ＋sin B ·cos A ＝sin 2C ，所以sin(A ＋B )＝sin 2C ，所以sin C ＝sin 2C . 因为0<C <π，所以sin C ≠0，所以sin C ＝1，所以C ＝π2，B ＝π6.4．在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，A ＝2B ，则ab 的取值范围是________．解析：在锐角三角形ABC 中，A ，B ，C 都为锐角，由题意，知⎩⎪⎨⎪⎧B <90°，2B <90°，180°－3B <90°，所以30°<B <45°.由正弦定理，知a b ＝sin A sin B ＝sin 2B sin B ＝2cos B ∈(2，3)，故ab的取值范围是(2，3)．★答案★：(2，3) 5．若A ＝60°，a ＝23，则a ＋2b ＋3csin A ＋2sin B ＋3sin C＝______.解析：由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C得 a ＋2b ＋3c sin A ＋2sin B ＋3sin C ＝a sin A ＝2332＝4.★答案★：46．设△ABC的三个内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且a cos B－b cos A＝35c，则tan Atan B＝________.解析：已知a cos B－b cos A＝35c，由正弦定理，得sin A cos B－sin B cos A＝35sin C，sin A cosB－cos A sin B＝35(sin A cos B＋cos A sin B)，所以2sin A cos B＝8cos A sin B，即tan Atan B＝4.★答案★：47．在△ABC中，已知a，b，c分别是A，B，C的对边．若B＝A＋60°，b＝2a，求角A 的大小．解：因为B＝A＋60°，所以sin B＝sin(A＋60°)＝12sin A＋32cos A．①又b＝2a，所以2R sin B＝4R sin A，所以sin B＝2sin A．②由①②得2sin A＝12sin A＋32cos A，即3sin A＝3cos A，所以tan A＝3 3.又0°<A<180°，所以A＝30°.8．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a sin C＝3c cos A.(1)求A的大小；(2)若b ＝2，且π4≤B ≤π3，求c 的取值范围．解：(1)由题意得a 3cos A ＝csin C . 由正弦定理，得sin A 3cos A ＝sin Csin C＝1. ∴tan A ＝ 3.∵A ∈(0，π)，∴A ＝π3.(2)∵b ＝2，A ＝π3，∴在△ABC 中，由正弦定理b sin B ＝csin C ，得c ＝b sin C sin B ＝2sin C sin B ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2π3－B sin B＝3cos Bsin B＋1 ＝3tan B＋1. ∵π4≤B ≤π3，∴1≤tan B ≤3，∴2≤c ≤3＋1，即c 的取值范围为[2，3＋1]．。

2017-2018学年高中数学北师大版必修5：课时跟踪检测十

课时跟踪检测（十一）余弦定理层级一学业水平达标1．在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝3，BC ＝7，则∠BAC 的大小为( ) A.2π3B.5π6C.3π4D.π3解析：选A 由余弦定理得cos ∠BAC ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝52＋32－722×5×3＝－12，且∠BAC ∈(0，π)，因此∠BAC ＝2π3，选A. 2．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ，b ，c 满足b 2＝ac ，且c ＝2a ，则cos B ＝( )A.14B.34C.24D.23 解析：选B 由b 2＝ac ，又c ＝2a ，由余弦定理，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋4a 2－a ×2a 2a ·2a ＝34. 3．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a 2＝b 2－c 2＋2ac ，则角B 的大小是( )A ．45°B ．60°C ．90°D ．135°解析：选A 因为a 2＝b 2－c 2＋2ac ，所以a 2＋c 2－b 2＝2ac ，由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝2ac 2ac ＝22，又0°＜B ＜180°，所以B ＝45°.4．在△ABC 中，B ＝60°，b 2＝ac ，则这个三角形是( )A ．不等边三角形B ．等边三角形C ．等腰三角形D ．直角三角形解析：选B 由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2－ac 2ac＝12，则(a －c )2＝0，∴a ＝c ，又B ＝60°，∴△ABC 为等边三角形．5．如果等腰三角形的周长是底边边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为( ) A.518B.34C.32D.78解析：选D 设等腰三角形的底边边长为x ，则两腰长为2x (如图)，由余弦定理得cos A ＝4x 2＋4x 2－x 22·2x ·2x ＝78，故选D. 6．在△ABC 中，若a 4＋b 4＋c 4＝2c 2(a 2＋b 2)，则角C ＝________.解析：∵cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab， ∴cos 2C ＝a 4＋b 4＋c 4－2a 2c 2－2b 2c 2＋2a 2b 24a 2b 2. ∵a 4＋b 4＋c 4＝2c 2(a 2＋b 2)，∴a 4＋b 4＋c 4－2c 2a 2－2c 2b 2＝0，∴cos 2C ＝2a 2b 24a 2b 2＝12，∴cos C ＝±22， ∴C ＝45°或135°.答案：45°或135°7．在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝1，△ABC 的面积为3，则BC 的长为________．解析：S △ABC ＝12AB ·AC sin A ⇒AB ＝4， ∴BC ＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos A ＝13. 答案：138．在△ABC 中，AB ＝2，BC ＝1，cos C ＝34，则BC ―→·CA ―→＝________. 解析：在△ABC 中，由余弦定理得|AB ―→|2＝|CA ―→|2＋|CB ―→|2－2|CA ―→|·|CB ―→|cos C ，即2＝|CA ―→|2＋1－2|CA ―→|×34. ∴|CA ―→|2－32|CA ―→|－1＝0.∴|CA ―→|＝2. ∴BC ―→·CA ―→＝|BC ―→||CA ―→|cos(180°－C )＝－|BC ―→||CA ―→|cos C＝－1×2×34＝－32. 答案：－329．在△ABC 中，A ＋C ＝2B ，a ＋c ＝8，ac ＝15，求b .解：法一：在△ABC 中，由A ＋C ＝2B ，A ＋B ＋C ＝180°，知B ＝60°.a ＋c ＝8，ac ＝15，则a ，c 是方程x 2－8x ＋15＝0的两根．解得a ＝5，c ＝3或a ＝3，c ＝5.由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝9＋25－2×3×5×12＝19. ∴b ＝19.法二：在△ABC 中，∵A ＋C ＝2B ，A ＋B ＋C ＝180°，∴B ＝60°.由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－2ac －2ac cos B＝82－2×15－2×15×12＝19. ∴b ＝19.10．在△ABC 中，已知sin C ＝12，a ＝23，b ＝2，求边c . 解：∵sin C ＝12，且0<C <π， ∴C 为π6或5π6. 当C ＝π6时，cos C ＝32，此时，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝4，即c ＝2.当C ＝5π6时，cos C ＝－32，此时，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝28，即c ＝27.综上，c ＝2或c ＝27.层级二应试能力达标1．若△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边a ，b ，c 满足(a ＋b )2－c 2＝4，且C ＝60°，则ab 的值为( ) A.43B ．8－4 3C ．1 D.23解析：选A 依题意得⎩⎪⎨⎪⎧(a ＋b )2－c 2＝4，a 2＋b 2－c 2＝2ab cos 60°＝ab ，两式相减得ab ＝43.2．在△ABC 中，sin 2A ＝sin 2B ＋sin B sin C ＋sin 2C ，则A 等于( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150° 解析：选C 由正弦定理，得a 2＝b 2＋bc ＋c 2，由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－bc 2bc＝－12，∴A ＝120°. 3．在△ABC 中，已知AB ＝3，AC ＝2，BC ＝10，则AB ―→·AC ―→ 等于( )A ．－32B ．－23 C.23 D.32解析：选D 由向量模的定义和余弦定理可以得出|AB ―→|＝3，|AC ―→|＝2，cos〈AB ―→，AC ―→〉＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝14， ∴AB ―→·AC ―→＝3×2×14＝32. 4．在△ABC 中，AB ＝3，BC ＝13，AC ＝4，则AC 边上的高为( ) A.322B.332C.32 D ．3 3解析：选B 由余弦定理，可得cos A ＝AC 2＋AB 2－BC 22AC ·AB ＝42＋32－(13)22×3×4＝12，所以sin A ＝32.则AC 边上的高h ＝AB sin A ＝3×32＝332，故选B. 5．在不等边三角形中，a 是最大的边，若a 2π3. 又a 20， ∴A <π2，故π3<A <π2. 答案：⎝⎛⎭⎫π3，π26．在△ABC 中，A ＝120°，AB ＝5，BC ＝7，则sin B sin C的值为________．解析：由余弦定理可得49＝AC 2＋25－2×5×AC ×cos 120°，整理得：AC 2＋5·AC －24＝0，解得AC ＝3或AC ＝－8(舍去)，再由正弦定理可得sin B sin C ＝AC AB ＝35. 答案：357．(全国卷Ⅰ)已知a ，b ，c 分别为△ABC 内角A ，B ，C 的对边，sin 2B ＝2sin A sin C .(1)若a ＝b ，求cos B ；(2)设B ＝90°，且a ＝2，求△ABC 的面积．解：(1)由题设及正弦定理可得b 2＝2ac .又a ＝b ，可得b ＝2c ，a ＝2c .由余弦定理可得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝14. (2)由(1)知b 2＝2ac .因为B ＝90°，由勾股定理得a 2＋c 2＝b 2，故a 2＋c 2＝2ac ，进而可得c ＝a ＝ 2.所以△ABC 的面积为12×2×2＝1.8．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c ，且b ＝3，c ＝1，A ＝2B .(1)求a 的值；(2)求sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4的值．解：(1)因为A ＝2B ，所以sin A ＝sin 2B ＝2sin B cos B .由正、余弦定理得a ＝2b ·a 2＋c 2－b 22ac. 因为b ＝3，c ＝1，所以a 2＝12，a ＝2 3.(2)由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝9＋1－126＝－13. 由于0<A <π，所以sin A ＝1－cos 2A ＝ 1－19＝223. 故sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4＝sin A cos π4＋cos A sin π4＝223×22＋⎝⎛⎭⎫－13×22＝4－26.。

2017_2018学年高中数学课时跟踪检测(三)应用举例新人教B版必修5

课时跟踪检测（三）应用举例层级一学业水平达标1.学校体育馆的人字屋架为等腰三角形，如图，测得AC 的长度为4 m ，∠A ＝30°，则其跨度AB 的长为( )A ．12 mB ．8 mC ．3 3 mD ．4 3 m解析：选D 由题意知，∠A ＝∠B ＝30°，所以∠C ＝180°－30°－30°＝120°，由正弦定理得，AB sin C ＝ACsin B ，即AB ＝AC ²sin C sin B ＝4²sin 120°sin 30°＝4 3.2．一艘船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P 的南偏西75°距塔68 n mile 的M 处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N 处，则这只船的航行速度为( )A.1762n mile/h B ．34 6 n mile/h C.1722n mile/h D ．34 2 n mile/h解析：选A 如图所示，在△PMN 中，PM sin 45°＝MNsin 120°，∴MN ＝68³32＝346，∴v ＝MN 4＝1762 n mile/h.3．若某人在点A 测得金字塔顶端仰角为30°，此人往金字塔方向走了80米到达点B ，测得金字塔顶端的仰角为45°，则金字塔的高度最接近于(忽略人的身高)( )A ．110米B ．112米C ．220米D ．224米解析：选A 如图，设CD 为金字塔，AB ＝80米．设CD ＝h ，则由已知得(80＋h )³33＝h ，h ＝40(3＋1)≈109(米)．从选项来看110最接近，故选A.4．设甲、乙两幢楼相距20 m ，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两幢楼的高分别是( )A ．20 3 m ，4033 mB ．10 3 m,20 3 mC ．10(3－2)m,20 3 mD.1532 m ，2033m解析：选A 由题意，知h 甲＝20tan 60°＝203(m)，h 乙＝20tan 60°－20tan 30°＝4033(m)． 5．海上的A ，B 两个小岛相距10 n mile ，从A 岛望C 岛和B 岛成60°的视角，从B 岛望C 岛和A 岛成75°的视角，则B 岛与C 岛之间的距离是( )A ．10 3 n mile B.1063 n mileC ．5 2 n mileD ．5 6 n mile解析：选D 由题意，做出示意图，如图，在△ABC 中，C ＝180°－60°－75°＝45°，由正弦定理，得BC sin 60°＝10sin 45°，解得BC ＝56(n mile)．6．某人从A 处出发，沿北偏东60°行走3 3 km 到B 处，再沿正东方向行走2 km 到C 处，则A ，C 两地的距离为________km.解析：如图所示，由题意可知AB ＝33，BC ＝2，∠ABC ＝150°. 由余弦定理，得AC 2＝27＋4－2³33³2³cos 150°＝49，AC ＝7.则A ，C 两地的距离为7 km. 答案：77．坡度为45°的斜坡长为100 m ，现在要把坡度改为30°，则坡底要伸长________m. 解析：如图，BD ＝100，∠BDA ＝45°，∠BCA ＝30°，设CD ＝x ，所以(x ＋DA )²tan 30°＝DA ²tan 45°，又DA ＝BD ²cos 45°＝100³22＝502，所以x ＝DA ²tan 45°tan 30°－DA ＝502³133－50 2＝50(6－2)m. 答案：50(6－2)8．一蜘蛛沿东北方向爬行x cm 捕捉到一只小虫，然后向右转105°，爬行10 cm 捕捉到另一只小虫，这时它向右转135°爬行回它的出发点，那么x ＝________cm.解析：如图所示，设蜘蛛原来在O 点，先爬行到A 点，再爬行到B点，易知在△AOB 中，AB ＝10 cm ，∠OAB ＝75°，∠ABO ＝45°，则∠AOB ＝60°，由正弦定理知：x ＝AB ²sin∠ABO sin ∠AOB ＝10³sin 45°sin 60°＝1063(cm)．答案：10639.如图，甲船以每小时302海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于A 1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B 1处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达A 2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B 2处，此时两船相距102海里，求乙船航行的速度．解：如图，连接A 1B 2，在△A 1A 2B 2中，易知∠A 1A 2B 2＝60°，又易求得A 1A 2＝302³13＝102＝A 2B 2，∴△A 1A 2B 2为正三角形，∴A 1B 2＝10 2.在△A 1B 1B 2中，易知∠B 1A 1B 2＝45°， ∴(B 1B 2)2＝400＋200－2³20³102³22＝200， ∴B 1B 2＝102，∴乙船每小时航行302海里．10.如图所示，在地面上共线的三点A ，B ，C 处测得一建筑物的仰角分别为30°，45°，60°，且AB ＝BC ＝60 m ，求建筑物的高度．解：设建筑物的高度为h ，由题图知，PA ＝2h ，PB ＝2h ，PC ＝233h ， ∴在△PBA 和△PBC 中，分别由余弦定理，得cos ∠PBA ＝602＋2h 2－4h22³60³2h ，①cos ∠PBC ＝602＋2h 2－43h22³60³2h .②∵∠PBA ＋∠PBC ＝180°， ∴cos ∠PBA ＋cos ∠PBC ＝0.③由①②③，解得h ＝306或h ＝－306(舍去)，即建筑物的高度为30 6 m.层级二应试能力达标1.如图，从气球A 上测得其正前下方的河流两岸B ，C 的俯角分别为75°，30°，此时气球的高度AD 是60 m ，则河流的宽度BC 是( )A ．240(3－1)mB ．180(2－1)mC ．120(3－1)mD ．30(3＋1)m解析：选C 由题意知，在Rt △ADC 中，∠C ＝30°，AD ＝60 m ，∴AC ＝120 m ．在△ABC 中，∠BAC ＝75°－30°＝45°，∠ABC ＝180°－45°－30°＝105°，由正弦定理，得BC ＝AC sin ∠BACsin ∠ABC ＝120³226＋24＝120(3－1)(m)．2.如图所示为起重机装置示意图．支杆BC ＝10 m ，吊杆AC ＝15 m ，吊索AB ＝519 m ，起吊的货物与岸的距离AD 为( )A ．30 m B.1532 mC ．15 3 mD ．45 m解析：选B 在△ABC 中，AC ＝15 m ，AB ＝519 m ，BC ＝10 m ，由余弦定理得cos ∠ACB ＝AC 2＋BC 2－AB 22³AC ³BC＝152＋102－ 519 22³15³10＝－12，∴sin ∠ACB ＝32.又∠ACB ＋∠ACD ＝180°， ∴sin ∠ACD ＝sin ∠ACB ＝32. 在Rt △ADC 中，AD ＝AC ²sin∠ACD ＝15³32＝1532m. 3.如图所示，要测量底部不能到达的某电视塔AB 的高度，在塔的同一侧选择C ，D 两个观测点，且在C ，D 两点测得塔顶的仰角分别为45°，30°，在水平面上测得∠BCD ＝120°，C ，D 两地相距500 m ，则电视塔AB 的高度是( )A ．100 2 mB ．400 mC ．200 3 mD ．500 m解析：选D 设AB ＝x ，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝45°，∴BC ＝AB ＝x .在Rt △ABD 中，∠ADB ＝30°，∴BD ＝3x .在△BCD 中，∠BCD ＝120°，CD＝500 m ，由余弦定理得(3x )2＝x 2＋5002－2³500x cos 120°，解得x ＝500 m.4.如图所示，位于东海某岛的雷达观测站A ，发现其北偏东45°，与观测站A 距离202海里的B 处有一货船正匀速直线行驶，半小时后，又45.测得该货船位于观测站A 东偏北θ(0°<θ<45°)的C 处，且cos θ＝已知A ，C 两处的距离为10海里，则该货船的船速为( )A ．485 海里/小时B ．385 海里/小时C ．27 海里/小时D ．4 6 海里/小时解析：选A 因为cos θ＝45，0°<θ<45°，所以sin θ＝35，cos(45°－θ)＝22³45＋22³35＝7210，在△ABC 中，BC 2＝(202)2＋102－2³202³10³7210＝340，所以BC ＝285，该货船的船速为28512＝485海里/小时．5.如图所示，客轮以速度2v 由A 至B 再到C 匀速航行，货轮从AC 的中点D 出发，以速度v 沿直线匀速航行，将货物送达客轮．已知AB ⊥BC ，且AB ＝BC ＝50 n mile ，若两船同时起航出发，则两船相遇之处距C 点________n mile(结果精确到小数点后一位)．解析：由题易知两船相遇之处M 位于BC上，如图，设|MC |＝d ，则100±d 2v ＝d 2＋ 252 2±2²d ²252cos 45°v (M 位于BC 延长线上取“＋”，M 位于BC 上取“－”)，所以(100±d )2＝4[d 2＋(252)2±50d ]，即3d 2＝1002－5 000，所以d 2＝5 0003，即d ≈40.8(n mile)．答案：40.86．甲船在A 处观察乙船，乙船在它的北偏东60°方向的B 处，两船相距a n mile ，乙船正向北行驶，若甲船的速度是乙船的3倍，则甲船应沿________方向行驶才能追上乙船；追上时甲船行驶了________n mile.解析：如图所示，设在C 处甲船追上乙船，乙船到C 处用的时间为t ，乙船的速度为v ，则BC ＝tv ，AC ＝3tv ，又B ＝120°，则由正弦定理BC sin ∠CAB ＝ACsin B，得1sin ∠CAB ＝3sin 120°，∴sin ∠CAB ＝12，∴∠CAB ＝30°，∴甲船应沿北偏东30°方向行驶．又∠ACB ＝180°－120°－30°＝30°，∴BC ＝AB ＝a n mile ，∴AC ＝AB 2＋BC 2－2AB ²BC cos 120°＝a 2＋a 2－2a 2²⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝3a (n mile)答案：北偏东30°3a7.如图所示，在社会实践中，小明观察一棵桃树．他在点A 处发现桃树顶端点C 的仰角大小为45°，往正前方走4 m 后，在点B 处发现桃树顶端点C 的仰角大小为75°.(1)求BC 的长；(2)若小明身高为1.70 m ，求这棵桃树顶端点C 离地面的高度(精确到0.01 m ，其中3≈1.732)．解：(1)在△ABC 中，∠CAB ＝45°，∠DBC ＝75°，则∠ACB ＝75°－45°＝30°，AB ＝4，由正弦定理得BC sin 45°＝4sin 30°，解得BC ＝42(m)．即BC 的长为4 2 m. (2)在△CBD 中，∠CDB ＝90°，BC ＝42，所以DC ＝42sin 75°.因为sin 75°＝sin(45°＋30°) ＝sin 45°cos 30°＋cos 45°sin 30°＝6＋24，则DC ＝2＋2 3.所以CE ＝ED ＋DC ＝1.70＋2＋23≈3.70＋3.464 ≈7.16(m )．即这棵桃树顶端点C 离地面的高度为7.16 m.8.在某次地震时，震中A (产生震动的中心位置)的南面有三座东西方向的城市B ，C ，D .已知B ，C 两市相距20 km ，C ，D 相距34 km ，C 市在B ，D 两市之间，如图所示．某时刻C 市感到地表震动，8 s 后B 市感到地表震动，20 s后D 市感到地表震动，已知震波在地表传播的速度为每秒1.5 km.求震中A 到B ，C ，D 三市的距离．解：在△ABC 中，由题意AB －AC ＝1.5³8＝12(km)．在△ACD 中，由题意AD －AC ＝1.5³20＝30(km)．设AC ＝x km ，则AB ＝(12＋x )km ，AD ＝(30＋x )km.在△ABC 中，cos ∠ACB ＝x 2＋400－ 12＋x 22³20³x ＝256－24x 40x ＝32－3x5x.在△ACD 中，cos ∠ACD ＝x 2＋1 156－ 30＋x 268x ＝256－60x 68x ＝64－15x 17x.∵B ，C ，D 在一条直线上，∴64－15x 17x ＝－32－3x 5x ，即64－15x 17＝3x －325.解得x ＝487.∴AB ＝1327 km ，AD ＝2587 km.即震中A 到B ，C ，D 三市的距离分别为1327 km ，487 km ，2587km.。

标题--2017-2018学年高中化学三维设计江苏专版选修5：课时跟踪检测(五) 有机化合物的分类

标题--2017-2018学年高中化学三维设计江苏专版选修5：课时跟踪检测（五）有机化合物的分类C．①③D．⑤⑥解析：选C解答本题可利用验证法，根据同系物的定义，验证各个选项作出解答。

组成和结构相似，分子组成上相差一个或多个CH2原子团的一系列有机化合物互称为同系物，显然①CH3CH2Cl和③CH3CH2CH2Cl互为同系物。

②、④与①、③之间结构不相似，②中含碳碳双键，④中有两个氯原子，故不能称为同系物。

⑤、⑥的分子式相同，不是同系物关系。

4．CH3CH2C≡CH的化学性质主要取决于()A．碳碳单键() B．碳碳双键()C．氢键() D．碳碳叁键(—C≡C—)解析：选D有机化合物的化学性质主要取决于它的官能团。

CH3CH2C≡CH的官能团为—C≡C—。

5．某有机物的分子结构如图所示，分子中含有的含氧官能团有()A．2种B．3种C．4种D．5种解析：选B分子中含醚键、酯基及羟基3种官能团。

二、不定项选择题6．下列物质分类正确的是()A．酯类B．醇类C．烃类D．羧酸类解析：选AD B项，为酚类，错误；C项，为醚类，错误。

7．维生素C的结构简式为，丁香油酚的结构简式为，下列关于两者所含官能团的说法正确的是()A．均含酯基B．均含醇羟基和酚羟基C．均含碳碳双键D．均为芳香化合物解析：选C维生素C中含有的官能团为碳碳双键、羟基(醇)、酯基，无苯环，不是芳香化合物。

丁香油酚含有的官能团为碳碳双键、醚键、羟基(酚)，是芳香化合物。

8．下列各组物质中，一定互为同系物的是()A．C4H10和C18H38B．邻二甲苯和对二甲苯C．C4H8和C3H6D．CH4O和C2H6O解析：选A A项，两者均为烷烃，一定互为同系物，正确；B项，互为同分异构体，错误；C项，不一定均为烯烃，可能为环烷烃，错误；D项，不一定均为醇，可能为醚，错误。

三、非选择题9．在下列有机化合物中：A.B.C．D．CH2===CH—CH2—CH(OH)—CH2CHCOOH2(1)属于烃的是__________(填相应的代号，下同)。