课时分层作业16 空间向量的正交分解及其坐标表示

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学空间向量与立体几何空间向量的正交分解及其坐标表示

合成与分解、波动传播的方向和速度等。
空间向量在计算机图形学中的应用
图形变换
空间向量在计算机图形学中广泛应用于图形的变换，例如平移、旋转和缩放等操作。
光照与阴影
空间向量在光照与阴影的计算中也起着关键作用，例如计算光线方向、反射和折射等。
动画与游戏
空间向量在动画和游戏开发中也经常被使用，例如物体移动、视角转换和角色控制等。
THANK YOU.
2023
《学空间向量与立体几何空间向量的正交分解及其
坐标表示》
目录
• 空间向量与立体几何概述 • 空间向量的正交分解 • 空间向量的坐标表示 • 空间向量与立体几何的应用 • 总结与展望
01
空间向量与立体几何概述
空间向量的定义与性质
空间向量的定义
空间向量是一种具有大小和方向的量，通常用一条有向线段表示，其大小由线段的长度表示，方向由线段的方向表示。
03
空间向量的坐标表示
坐标系的建立
01
建立空间直角坐标系
通过原点和三个互相垂直的单位向量确定空间直角坐标系。
02
坐标系的特点
03
坐标系的单位向量
坐标系具有三个互相垂直的轴，分别为x轴、y轴、z轴，每个轴上的单位长度为1。
x轴上的单位向量为i，y轴上的单位向量为j，z轴上的单位向量为k。
空间向量的坐标表示
空间向量的定义
空间向量是一个有方向和大小的量，可以用一个有序实数组表示。
空间向量的表示方法
在空间直角坐标系中，空间向量可以用三个分量来表示，即 (x,y,z)。
空间向量的模
空间向量的模等于其分量平方和的平方根。
空间向量坐标的运算

2021_2022学年高中数学课时分层作业16空间向量的正交分解及其坐标表示(含解析)新人教A版选修

课时分层作业(十六) 空间向量的正交分解及其坐标表示(建议用时：60分钟)[根底达标练]一、选择题 1．给出以下命题：①假设{a ，b ，c }可以作为空间的一个基底，d 与c 共线，d ≠0，那么{a ，b ，d }也可以作为空间的一个基底；②向量a ∥b ，那么a ，b 与任何向量都不能构成空间的一个基底；③A ，B ，M ，N 是空间四点，假设BA →，BM →，BN →不能构成空间的一个基底，那么A ，B ，M ，N 四点共面；④{a ，b ，c }是空间的一个基底，假设m ＝a ＋c ，那么{a ，b ，m }也是空间的一个基底．其中正确命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4D [根据基底的概念，知空间中任何三个不共面的向量都可作为空间的一个基底．显然②正确．③中由BA →，BM →，BN →不能构成空间的一个基底，知BA →，BM →，BN →共面．又BA →，BM →，BN →过一样点B ，知A ，B ，M ，N 四点共面．所以③正确．下面证明①④正确：①假设d 与a ，b 共面，那么存在实数λ，μ，使得d ＝λa ＋μb ，∵d 与c 共线，c ≠0，∴存在实数k ，使得d ＝k c .∵d ≠0，∴k ≠0，从而c ＝λk a ＋μkb ，∴c 与a ，b 共面，与条件矛盾，∴d 与a ，b 不共面．同理可证④也是正确的．于是①②③④四个命题都正确，应选D.]2．在平行六面体ABCD A 1B 1C 1D 1中，M 是上底面对角线AC 与BD 的交点，假设A 1B 1→＝a ，A 1D 1→＝b ，A 1A →＝c ，那么B 1M →可表示为( )A.12a ＋12b ＋c B.12a －12b ＋c C ．－12a －12b ＋cD ．－12a ＋12b ＋cD [由于B 1M →＝B 1B →＋BM →＝B 1B →＋12(BA →＋BC →)＝－12a ＋12b ＋c ，应选D.]3．正方体ABCD A ′B ′C ′D ′中，O 1，O 2，O 3分别是AC ，AB ′，AD ′的中点，以{AO →1，AO→2，AO →3}为基底，AC ′→＝xAO →1＋yAO 2→＋zAO →3，那么x ，y ，z 的值是( )A ．x ＝y ＝z ＝1B ．x ＝y ＝z ＝12C ．x ＝y ＝z ＝22D ．x ＝y ＝z ＝2A [AC ′→＝AA ′→＋AD →＋AB →＝12(AB →＋AD →)＋12(AA ′→＋AD →)＋12(AA ′→＋AB →) ＝12AC →＋12AD ′→＋12AB ′→＝AO 1→＋AO 3→＋AO 2→，由空间向量的根本定理，得x ＝y ＝z ＝1.]4．点O ，A ，B ，C 为空间不共面的四点，且向量a ＝OA →＋OB →＋OC →，向量b ＝OA →＋OB →－OC →，那么与a ，b 不能构成空间基底的向量是( )A.OA →B.OB →C.OC →D.OA →或OB →C [因为a －b ＝2OC →，所以a ，b 与OC →共面，不能构成空间的一个基底．]5．如图，在空间直角坐标系中，正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为1，B 1E ＝14A 1B 1，那么BE →等于( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14，－1B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0，1 C.⎝⎛⎭⎪⎫0，－14，1D.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0，－1 C [由题图知B (1，1，0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，34，1，所以BE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－14，1.]二、填空题6．空间的一个基底{a ，b ，c }，m ＝a －b ＋c ，n ＝x a ＋y b ＋c ，假设m 与n 共线，那么x＝________，y ＝________．1 －1 [因为m 与n 共线，所以存在实数λ，使m ＝λn ，即a －b ＋c ＝λx a ＋λy b ＋λc ，于是有⎩⎪⎨⎪⎧1＝λx ，－1＝λy ，1＝λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－1.]7．如图，在平行六面体ABCD A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 和BD 的交点，假设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，那么B 1M →＝________．－12a ＋12b －c [B 1M →＝AM →－AB 1→ ＝12(AB →＋AD →)－(AB →＋AA 1→)＝－12AB →＋12AD →－AA 1→＝－12a ＋12b －c .] 8．PA 垂直于正方形ABCD 所在的平面，建立如下图的空间直角坐标系，M ，N 分别是AB ，PC 的中点，并且PA ＝AD ＝1，那么MN →的坐标为________．⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，12 [∵PA ＝AD ＝AB ＝1，且PA ⊥平面ABCD ，AD ⊥AB ， ∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，0，P (0，0，1)，C (－1，1，0)，那么N ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12，12. ∴MN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，12.]三、解答题9．如图，在平行六面体ABCD A 1B 1C 1D 1中，MA →＝－13AC →，ND →＝13A 1D →，设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，试用a ，b ，c 表示MN →.[解] 连接AN ，那么MN →＝MA →＋AN →.由可得四边形ABCD 是平行四边形，从而可得 AC →＝AB →＋AD →＝a ＋b ， MA →＝－13AC →＝－13(a ＋b )，又A 1D →＝AD →－AA 1→＝b －c ，故AN →＝AD →＋DN →＝AD →－ND →＝AD →－13A 1D →＝b －13(b －c )，所以MN →＝MA →＋AN →＝－13(a ＋b )＋b －13(b －c )＝13(－a ＋b ＋c )． 10．如图，在正四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的正方形，O 是AC 与BD 的交点，PO ＝1，M 是PC 的中点．设AB →＝a ，AD →＝b ，AP →＝c .(1)用向量a ，b ，c 表示BM →.(2)在如图的空间直角坐标系中，求BM →的坐标．[解] (1)∵BM →＝BC →＋CM →，BC →＝AD →，CM →＝12CP →，CP →＝AP →－AC →，AC →＝AB →＋AD →，∴BM →＝AD →＋12(AP →－AC →)＝AD →＋12AP →－12(AB →＋AD →)＝－12AB →＋12AD →＋12AP →＝－12a ＋12b ＋12c .(2)a ＝AB →＝(1，0，0)，b ＝AD →＝(0，1，0)．∵A (0，0，0)，O ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，0，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，1，∴c ＝AP →＝OP →－OA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，1，∴BM →＝－12a ＋12b ＋12c ＝－12(1，0，0)＋12(0，1，0)＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，34，12.[能力提升练]1．M ，A ，B ，C 四点互不重合且任意三点不共线，那么以下式子中能使向量MA →，MB →，MC →成为空间的一个基底的是( )A.OM →＝13OA ＋13OB ＋13OCB.MA →＝MB →＋MC →C.OM →＝OA →＋OB →＋OC →D.MA →＝2MB →－MC →C [对于选项A ，由OM →＝xOA →＋yOB →＋zOC →(x ＋y ＋z ＝1)⇒M ，A ，B ，C 四点共面，知MA →，MB →，MC →共面；对于选项B ，D ，易知MA →，MB →，MC →共面，应选C.]2．在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，向量a 在基底{AB →，AD →，AA 1→}下的坐标为(2，1，－3)，那么向量a 在基底{DA →，DC →，DD 1→}下的坐标为( )A ．(2，1，－3)B ．(－1，2，－3)C ．(1，－8，9)D ．(－1，8，－9)B [∵a ＝2AB →＋AD →－3AA 1→＝2DC →－DA →－3DD 1→＝－DA →＋2DC →－3DD 1，∴向量a 在基底{DA →，DC →，DD 1→}下的坐标为(－1，2，－3)，应选B.]3．在空间四边形ABCD 中，AB →＝a －2c ，CD →＝5a －5b ＋8c ，对角线AC ，BD 的中点分别是E ，F ，那么EF →＝________．3a －52b ＋3c [EF →＝12(ED →＋EB →)＝14(AD →＋CD →)＋14(AB →＋CB →)＝14AB →＋14BD →＋14CD →＋14AB →＋14CD →＋14DB →＝12(AB →＋CD →)＝3a －52b ＋3c .]4．向量p 在基底{a ，b ，c }下的坐标为(2，1，－1)，那么p 在基底{2a ，b ，－c }下的坐标为________；在基底{a ＋b ，a －b ，c }下的坐标为__________．(1，1，1) ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，－1 [由题意知p ＝2a ＋b －c ，那么向量p 在基底{2a ，b ，－c }下的坐标为(1，1，1)，设向量p 在基底{a ＋b ，a －b ，c }下的坐标为(x ，y ，z )，那么p ＝x (a ＋b )＋y (a －b )＋z c ＝(x ＋y )a ＋(x －y )b ＋z c ，又∵p ＝2a ＋b －c ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2x －y ＝1z ＝－1，解得x ＝32，y ＝12，z ＝－1；∴p 在基底{a ＋b ，a －b ，c }下的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，－1.]5．{e 1，e 2，e 3}为空间的一个基底，且OP →＝2e 1－e 2＋3e 3，OA →＝e 1＋2e 2－e 3，OB →＝－3e 1＋e 2＋2e 3，OC →＝e 1＋e 2－e 3.(1)判断P ，A ，B ，C 四点是否共面．(2)能否以{OA →，OB →，OC →}作为空间的一个基底？假设能，试以这一基底表示OP →；假设不能，请说明理由．[解] (1)假设P ，A ，B ，C 四点共面，那么存在实数x ，y ，z ，使OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，且x ＋y ＋z ＝1，即2e 1－e 2＋3e 3＝x (e 1＋2e 2－e 3)＋y (－3e 1＋e 2＋2e 3)＋z (e 1＋e 2－e 3)．比拟对应的系数，得到关于x ，y ，z 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋z ＝22x ＋y ＋z ＝－1－x ＋2y －z ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝17y ＝－5z ＝－30，与x ＋y ＋z ＝1矛盾，故P ，A ，B ，C 四点不共面．(2)假设OA ，OB →，OC →共面，那么存在实数m ，n ，使OA →＝mOB →＋nOC →，同(1)可证，OA →，OB →，OC →不共面，因此{OA →，OB →，OC →}可以作为空间的一个基底，令OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，由e 1＋2e 2－e 3＝a ，－3e 1＋e 2＋2e 3＝b ，e 1＋e 2－e 3＝c ，得⎩⎪⎨⎪⎧e 1＝3a －b －5c e 2＝a －c e 3＝4a －b －7c，所以OP →＝2e 1－e 2＋3e 3＝2(3a －b －5c )－(a －c )＋3(4a －b －7c )＝17a －5b －30c ＝17OA →－5OB →－30OC →.。

课件16：3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示

2．若A→B＝(a，b，c)，则B→A的坐标是多少？ [提示] B→A＝(－a，－b，－c)．
例 3 如图，在直三棱柱 ABC-A1B1C1 的底面△ABC 中， CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱 AA1＝2，M，N 分别为 A1B1，A1A 的中点，试建立恰当的坐标系求向量B→N， B→A1，A→1B的坐标．
课堂小结 1．基底中不能有零向量．因零向量与任意一个非零向量都为共线向量，与任意两个非零向量都共面，所以三个向量为基底隐含着三个向量一定为非零向量． 2．空间几何体中，要得到有关点的坐标时，先建立适当的坐标系，一般选择两两垂直的三条线段所在直线为坐标轴，然后选择基向量，根据已知条件和图形关系将所求向量用基向量表示，即得所求向量的坐标．
空间向
量的坐 {x，y，z}，使得 p＝xe1＋ye2＋ze3，则把 x，
标表示
y，z 称作向量 p 在单位正交基底 e1，e2，e3 下的坐标，记作__p_＝__(x_，__y_，__z_)__
合作探究
类型1 基底的判断
例 1 设 x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间的一个
1＝μ， ∴1＝λ，
0＝λ＋μ，
此方程组无解．
即不存在实数 λ，μ，使得 a＋b＝λ(b＋c)＋μ(c＋a)，
∴a＋b，b＋c，c＋a 不共面．
故{a＋b，b＋c，c＋a}能作为空间的一个基底．
类型2 用基底表示向量例 2 如图，四棱锥 P-OABC 的底面为一矩形，PO⊥平面 OABC，设O→A＝a，O→C＝b，O→P＝c，E，F 分别是 PC， PB 的中点，试用 a，b，c 表示：B→F，B→E，A→E，E→F．
3．三棱锥 P-ABC 中，∠ABC 为直角，PB⊥平面 ABC， AB＝BC＝PB＝1，M 为 PC 的中点，N 为 AC 的中点，以{B→A，B→C，B→P}为基底，则M→N的坐标为________．

16空间向量的正交分解及其坐标表示

ur
p，r 存在r 唯一r的有序实数组{x，y，z}，
使 p xa yb zc.
a,b, c 叫做空间的一个基底；
空间向量的正交分解及其坐标表示
目标解读
知识与技能：理解空间向量的标准正交分解的意义，会进行向量的标准正交分解，会正确写出向量的坐标过程与方法：通过数形结合及类比思想方法，探究空间向量的标准正交分解；态度价值观：在空间向量的正交分解及坐标表示学习中，感受正交分解的实际应用价值
（e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。）
平r面向量r的正交r 分解及坐标表示 y
ar xi r y j r
i (1, 0), j (0,1), 0 (0, 0).
r i
a (x, y)
o
r j
r a
x
空间向量基本定理：
rrr
如果三个向量
ur
a,
b,
c
不共面，那么对空间任
一向量
▪
让生命在积极的探索中得到提升！
小结
课堂小结：
1、空间向量的基本定理； 2、空间向量的坐标运算及应用.
课后作业： 1、课本P97页练习第3题
kr
j
都叫坐标轴．我们称建立了一个空间
直角坐r标r系rO xyz ,点 O 叫原点，
r i
O
y
向量 i, j, k 都叫坐标向量．通过每
两个坐标轴的平面叫坐标平面，
x
分别称为 xOy平面，yOz 平面，
zOx 平面；
（3）作空间直角坐标系 O xyz 时，一般使
xOy 135o(或45o), yOz 90o
讨论交流（乐于分享善于沟通）
1、讨论目标：理解空间向量的正交分解 2、讨论方法：

3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示

a,b, c都叫做基向量
空间任何三个不共面的向量都可构成空间的一个基底
c 共面
推论：设点O、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的有序实数组 x、y、 z ，使
OP xOA yOB zOC
O
PC APBFra bibliotekP红对勾 5．若向量M→A，M→B，M→C的起点与终点互不重合且无三点共线，则下列关系(O 是空间任一点)中，能使向量M→A，M→B，M→C 成为空间的一个基底的是( C )
[分析] 若向量 a 可以用基向量 e1、 e2、e3 表示为 a＝xe1＋ye2＋ze3，则(x，y， z)就是 a 在基底{e1，e2，e3}下的坐标．
[＝ AA＝解＝AA＝→→→→[＝AA＝解→→解GFGFGFA(：A(→→＝A(＝析＝ 12＝1→＝析＝12DD，D，，AA]＋ A＋A→A→]＋A→→A1→1ABB(→A1B12,112,′′＋12,1＋1(′＋1A)A(1A))A1)→．＋A→．→＋)ABB．＋A→→)→BAE→→′A′G→G′G＝EAAAE＝＝＝ ′＝＝′＝＝′＝A→→→→AA→AD→D((DA→→AD(0→0BB0DB′＋′,D,′＋,1＋1＋1＋＋，，D＋＋，→＋121212DE→AD12A12D→→→DA12D→E＝))DDE)→D，→′，′→，＝′＝＝＝A＝→FFAFD→(A(＝→＝(1D1＝＋1D，，，＋AA＋12A12A→A→12，DA→1212，12′′，D′→DD0D→ 0＋)′＋D→0＋，)′)，′A，A→→A→DDD＋＋＋12112AAA→→A→BBBB, AD, AA
∴∴∴ zxxxxz＝＋－ xxz＝＋－＝＋－3yy3yy3.＝＝ yy.＝＝.＝＝121212，，，，，，

课时作业2：3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示

3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示一、基础达标1．下列命题中正确的是( )A ．若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥cB ．任意两个相等的非零向量的始点与终点是一个平行四边形的四个顶点C ．向量a 与b 不共线，则a 与b 都是非零向量D ．有相同起点的两个非零向量不平行答案 C解析由于零向量与任一向量都共线，当b 为零向量时，a 与c 不一定共线，所以A 不正确；两个相等的非零向量可以在同一直线上，此时构不成四边形，所以B 不正确；向量的平行只要求方向相同或相反，与起点是否相同无关，所以D 不正确；C 正确。

2．O 、A 、B 、C 为空间四点，且向量OA →，OB →，OC →不能构成空间的一个基底，则( )A.OA→、OB →、OC →共线 B.OA→、OB →共线 C.OB →、OC →共线D ．O 、A 、B 、C 四点共面答案 D解析由OA →、OB →、OC →不能构成基底知OA →、OB →、OC →三向量共面，所以O 、A 、B 、C 四点共面．3．已知{a ，b ，c }是空间的一个基底，则可以与向量p ＝a ＋b ，q ＝a －b 构成基底的向量是( )A ．aB ．bC ．a ＋2bD ．a ＋2c答案 D解析能与p ，q 构成基底，则与p ，q 不共面． ∵a ＝p ＋q 2，b ＝p －q 2，a ＋2b ＝32p －12q.∴A 、B 、C 都不合题意．因为{a ，b ，c }为基底， ∴a ＋2c 与p ，q 不共面，可构成基底． 4．在空间直角坐标系Oxyz 中，下列说法正确的是( )A ．向量AB →与点B 的坐标相同B ．向量AB→与点A 的坐标相同C ．向量AB→与向量OB →的坐标相同D ．向量AB →与向量OB →－OA →的坐标相同答案 D解析 ∵AB→＝OB →－OA →，∴AB →与OB →－OA →的坐标相同．5．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，AM →＝12MC 1→，点N 为B 1B 的中点，则|MN |＝( )A.216a B.66a C.156aD.153a答案 A解析 MN →＝AN →－AM →＝AN →－13AC 1→ ＝AB →＋BN →－13(AB →＋AD →＋AA 1→) ＝23AB →＋16AA 1→－13AD →，∴|MN →|＝49|AB →|2＋136|AA 1→|2＋19|AD →|2＝216a .6．已知空间四边形OABC 中，点M 在线段OA 上，且OM ＝2MA ，点N 为BC中点，设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，则MN →等于( )A.12a ＋12b －23c B ．－23a ＋12b ＋12c C.12a －23b ＋12cD.23a ＋23b －12c答案 B解析 MN →＝ON →－OM →＝12(OB →＋OC →)－23OA → ＝12b ＋12c －23a .7．已知E ，F ，G ，H 分别是空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，用向量法证明：E ，F ，G ，H 四点共面．证明 ∵E ，F ，G ，H 分别是空间四边形ABCD 的边的中点，∴FG→＝EH →＝12BD →.∴EG →＝EF →＋FG →＝EF →＋EH →，∴E ，F ，G ，H 四点共面．二、能力提升8．在以下三个命题中，真命题的个数是( )①三个非零向量a ，b ，c 不能构成空间的一个基底，则a ，b ，c 共面； ②若两个非零向量a ，b 与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则a 、b 共线；③若a ，b 是两个不共线的向量，而c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R 且λμ≠0)，则{a ，b ，c }构成空间的一个基底． A ．0B ．1C ．2D ．3答案 C解析 ①正确．基底的向量必须不共面；②正确；③不对，a ，b 不共线．当c ＝λa ＋μb 时，a ，b ，c 共面，故只有①②正确．9．如图所示，在正方体ABCD －A1B 1C 1D 1中，下列各式中运算结果为向量AC 1→的是( )①(AB →＋BC →)＋CC 1→； ②(AA 1→＋A 1D 1→)＋D 1C 1→； ③(AB →＋BB 1→)＋B 1C 1→； ④(AA 1→＋A 1B 1→)＋B 1C 1→. A ．①③ B ．②④ C ．③④D ．①②③④答案 D解析 ①(AB →＋BC →)＋CC 1→＝AC →＋CC 1→＝AC 1→； ②(AA 1→＋A 1D 1→)＋D 1C 1→＝AD 1→＋D 1C 1→＝AC 1→； ③(AB →＋BB 1→)＋B 1C 1→＝AB 1→＋B 1C 1→＝AC 1→； ④(AA 1→＋A 1B 1→)＋B 1C 1→＝AB 1→＋B 1C 1→＝AC 1→.10．已知A ，B ，C 三点共线，则对空间任一点O ，存在三个不为0的实数λ，m ，n ，使λOA →＋mOB →＋nOC →＝0，那么λ＋m ＋n 的值为________．答案 0解析 ∵A ，B ，C 三点共线，∴存在唯一实数k 使AB →＝kAC →，即OB→－OA →＝k (OC →－OA →)， ∴(k －1)OA→＋OB →－kOC →＝0.又λOA→＋mOB →－nOC →＝0，令λ＝k －1，m ＝1，n ＝－k ，则λ＋m ＋n ＝0.11．如图所示，在平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，AB →＝a ，AD →＝b ，AA ′→＝c ，P 是CA ′的中点，M 是CD ′的中点，N 是C ′D ′的中点，点Q 在CA ′上，且CQ ∶QA ′＝4∶1，用基底{a ，b ，c }表示以下向量：(1)AP→；(2)AM →；(3)AN →；(4)AQ →.解连接AC ，AD ′，AC ′.(1)AP →＝12(AC →＋AA ′→)＝12(AB →＋AD →＋AA ′→) ＝12(a ＋b ＋c )．(2)AM →＝12(AC →＋AD ′→)＝12(AB →＋2AD →＋AA ′→) ＝12(a ＋2b ＋c )．(3)AN →＝12(AC ′→＋AD ′→)＝12[(AB →＋AD →＋AA ′→)＋(AD →＋AA ′→)] ＝12(AB →＋2AD →＋2AA ′→) ＝12a ＋b ＋c .(4)AQ→＝AC →＋CQ → ＝AC →＋45(AA ′→－AC→)＝15AC →＋45AA ′→ ＝15AB →＋15AD →＋45AA ′→ ＝15a ＋15b ＋45c .12．平行六面体OABC －O ′A ′B ′C ′，且OA →＝a ，OC →＝b ，OO ′→＝c .(1)用a ，b ，c 表示向量AC ′→；(2)设G ，H 分别是侧面BB ′C ′C 和O ′A ′B ′C ′的中心，用a ，b ，c 表示GH →.解 (1)AC ′→＝AC →＋CC ′→＝OC →－OA →＋OO ′→＝b ＋c －a . (2)GH→＝GO →＋OH →＝－OG →＋OH →＝－12(OB →＋OC ′→)＋12(OB ′→＋OO ′→)＝－12(a ＋b ＋c ＋b )＋12(a ＋b ＋c ＋c )＝12(c －b )．三、探究与创新13. 如图所示，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别在B 1B 和D 1D 上，且BE ＝13BB 1，DF ＝23DD 1. (1)证明：A 、E 、C 1、F 四点共面；(2)若EF →＝xAB →＋yAD →＋zAA 1→，求x ＋y ＋z . (1)证明因为AC 1→＝AB →＋AD →＋AA 1→ ＝AB →＋AD →＋13AA 1→＋23AA 1→ ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →＋13AA 1→＋(AD →＋23AA 1→) ＝AB→＋BE →＋AD →＋DF →＝AE →＋AF →，所以A 、E 、C 1、F 四点共面．(2)解因为EF →＝AF →－AE →＝AD→＋DF →－(AB →＋BE →) ＝AD →＋23DD 1→－AB →－13BB 1→ ＝－AB →＋AD →＋13AA 1→.所以x ＝－1，y ＝1，z ＝13. 所以x ＋y ＋z ＝13.。

高中数学同步教学空间向量的正交分解及其坐标表示

)
答案(1)× (2)√ (3)√ (4)√
课前篇自主预习
2.空间向量的正交分解及其坐标表示
(1)单位正交基底
三个有公共起点的两两垂直的单位向量e1,e2,e3称为单位正交基
底.
(2)空间直角坐标系
以e1,e2,e3的公共起点O为原点,分别以e1,e2,e3的方向为x轴、y轴、
z轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz.
探究二
探究三
当堂检测
反思感悟基底判断的基本思路及方法
(1)基本思路:判断三个空间向量是否共面,若共面,则不能构成基
底;若不共面,则能构成基底.
(2)方法:①如果向量中存在零向量,则不能作为基底;如果存在一
个向量可以用另外的向量线性表示,则不能构成基底.
②假设a=λb+μc,运用空间向量基本定理,建立λ,μ的方程组,若有
解,则共面,不能作为基底;若无解,则不共面,能作为基底.
课堂篇探究学习
探究一
探究二
探究三
当堂检测
变式训练1若{a,b,c}是空间的一个基底,试判断{a+b,b+c,c+a}能
否作为空间的一个基底.
解假设a+b,b+c,c+a共面,则存在实数λ,μ,使得
a+b=λ(b+c)+μ(c+a),即a+b=μa+λb+(λ+μ)c.
作为空间一个基底的向量组有(
)
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
(2)已知{e1,e2,e3}是空间的一个基底,且
=e1+2e2-e3,=-3e1+e2+2e3,=e1+e2-e3,试判断{, , }能

高考数学知识点之空间向量的正交分解及坐标

高考数学知识点之空间向量的正交分解及坐标高考数学知识点之空间向量的正交分解及坐标空间中具有大小和方向的量叫做空间向量。

向量的大小叫做向量的长度或模。

下面小编给大家介绍空间向量的正交分解及坐标，赶紧来看看吧!高考数学知识点之空间向量的.正交分解及坐标空间向量的正交分解的定义：对空间的任意向量，均可分解为不共面的三个向量，使，如果两两垂直，这种分解就是空间向量的正交分解。

空间向量的坐标表示：在空间直角坐标系O—xyz中，对空间任一点A，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使,初中学习方法，有序实数组(x，y，z)叫作向量A 在空间直角坐标系O—xyz中的坐标，记作A(x，y，z)，x叫横坐标，y叫纵坐标，z叫竖坐标。

空间向量基本定理：如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使。

若三向量不共面，我们把叫做空间的一个基底，叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。

推论：设O，A，B，C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的三个有序实数x，y，z，使。

基底在向量中的应用：(l)用基底表示出相关向量来解决向量问题是常用的方法之一.(2)在空间中选择基底主要有以下几个特点：①不共面;②有公共起点;③其长度及两两夹角已知.(3)用基底表示向量，就是利用向量的加法和减法对有关向量进行分解。

用已知向量表示未知向量：用已知向量表示未知向量，一定要结合图像，可从以下角度如手：(1)要用基向量意识，把有关向量尽量统一到基向量上来;(2)把要表示的向量标在封闭的图形中，表示为其它向量的和或差的形式，进而寻找这些向量与基向量的关系;(3)用基向量表示一个向量时，如果此向量的起点是从基底的公共点出发的，一般考虑用加法，否则用减法，如果此向量与一个易求向量共线，可用数乘。

空间向量的正交分解及其坐标表示课件

z
以 i, j, k 为单位正交基底
z
建立空间直角坐标系O—xyz
p P(x, y, z)
i, j,k 为基底 ( x, y, z)
p xi y j zk
k
O
i
j
x
y y 记 p (x, y, z)
x
OP ( x, y, z) P( x, y, z)
若A(x1,y1,z1) , B(x2,y2,z2), 则 AB = OB - OA=(x2-x1 , y2-y1 , z2-z1)
反过来,如果已知 OP xOA yOB ,且 x y 1 , 那么 A 、B 、P 三点共线吗?
学习共面
二.共面向量:
1.共面向量:平行于同一平面的向量,叫做共面向量.
a
O
A
a
注意：空间任意两个向量是共面的，但空间任意三个向量就不一定共面的了。
2.共面向量定理:如果两个向量 a 、b 不共线,则向
使 AP xa yb .
O
∴点 P 在平面上 ∴ 唯一有序实数对(x, y), 使 AP xa yb ①
⑵∵已知点 B 、C 在平面内且 AB a , AC b
∴点 P 在平面上是存在唯一有序实数对(x, y), 使 AP xAB yAC ②
⑶∵已知点 B 、C 在平面内且 AB a , AC b ,对于空间任意一点 O ∴点 P 在平面上
3.中点坐标公式
x1 x2 y1 y2 z1z2 x12 y12 z12 x22 y22 z22
已知 A( x1 , y1 , z1 ) , B( x2 , y2 , z2 )
则线段 AB 的中点坐标为 ( x1 x2 , y1 y2 , z1 z2 )

空间向量的正交分解及其坐标表示

[思路点拨] 结合已知和所求，画出图形，联想相关的运算法则和公式等，再对照目标及基底，将所求向量反复分拆，直到全部可以用基底表示为止．
[精解详析] 连接 BO，则 BF ＝12 BP ＝12(BO＋OP )＝12 ( BA＋ AO＋OP )＝12(c－b－a)＝－12a－12b＋12c.
BE ＝ BC ＋CE ＝－a＋12CP ＝－a＋12(CO＋OP )＝－a－12b＋12c.
∵{e1，e2，e3}是空间的一个基底， ∴e1，e2，e3 不共面，
∴－ x＋3xy＝＋2y＝，1， 2x－y＝－1.
此方程组无解，
即不存在实数 x,y 使OA＝xOB＋yOC .
∴OA，OB，OC 不共面．
故{OA，OB，OC }能作为空间的一个基底.
[例 2] 四棱锥 P－OABC 的底面为一矩形，PO⊥平面 OABC.设OA＝a，OC ＝b，OP ＝c，E,F 分别是 PC 和 PB 的中点，试用 a，b，c 表示BF ,BE , AE , EF .
空间向量的正交分解及其坐标表示
1．空间向量基任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得 p＝xa＋yb ＋zc，其中{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c 都叫
做基向量．
2．空间向量的正交分解及其坐标表示
(1)单位正交基底三个有公共起点O的两两垂直的单位向量e1，e2， e3称为单位正交基底．
xe1＋ye2＋ze3 .把 x，y，z 称作向量p在单位正交基底e1，
e2，e3下的坐标，记作
p＝(x，y，．z)
1.空间任意三个不共面的向量都可以作为空间向量的一个基底．
2. 0与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以三个向量不共面，就隐含着它们都不是0.

空间向量的正交分解及其坐标表示

空间向量的正交分解及其坐标表示学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题1．在以下三个命题中，真命题的个数是（）①三个非零向量a 、b 、c 不能构成空间的一个基底，则a 、b 、c 共面；②若两个非零向量a 、b 与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则a 、b 共线； ③若a 、b 是两个不共线的向量，且(),,0λμλμλμ=+∈≠R c a b ，则{},,a b c 构成空间的一个基底．A ．0B ．1C ．2D ．32．若{},,a b c 是空间的一个基底，则下列各组中不能构成空间一个基底的是（） A ．,2,3a b c B ．,,+++a b b c c a C ．2,23,39++-a b b c a c D ．,,++a b c b c3．已知向量{},,a b c 是空间的一个基底，向量{},,+-a b a b c 是空间的另一个基底，一向量p 在基底{},,a b c 下的坐标为()1,2,3，则向量p 在基底{},,+-a b a b c 下的坐标为（） A.13,,322⎛⎫⎪⎝⎭ B.31,,322⎛⎫- ⎪⎝⎭ C.133,,22⎛⎫- ⎪⎝⎭ D.13,,322⎛⎫- ⎪⎝⎭4．若向量MA 、MB 、MC 的起点与终点M 、A 、B 、C 互不重合且无三点共线，且满足下列关系（O 是空间任一点），则能使向量MA 、MB 、MC 成为空间一组基底的关系是（） A.111333OM OA OB OC =++B.MA MB MC ≠+C.OM OA OB OC =++D.2MA MB MC =-5．已知空间四边形OABC ，M ，N 分别是OA ，BC 的中点，且OA =a ，OB =b ，OC =c ，用a ，b ，c 表示向量MN 为（）A.111222++a b c B.111222-+a b c C.111222-++a b c D.111222-+-a b c 6．以下四个命题中，正确的是（） A ．若1123OP OA OB =+，则P 、A 、B 三点共线 B ．向量{},,a b c 是空间的一个基底，则{},,+++a b b c c a 构成空间的另一个基底 C ．()⋅⋅=⋅⋅a b c a b cD ．△ABC 是直角三角形的充要条件是0AB AC ⋅= 7．若{}123,,e e e 是空间的一个基底，123=++a e e e ，123=+-b e e e ，1=-c e 23+e e ，12323=++d e e e ，x y z =++d a b c ，则x ，y ，z 的值分别为（）A ．52，1-，12- B ．52，1，12 C ．52-，1，12- D ．52，1，12- 8．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，M 为11A C 的中点，若AB =a ，1AA =c ，BC =b ，则下列向量与BM 相等的是（）A. 1122-++a b c B.1122++a b cC.1122--+a b cD.1122-+a b c二、填空题9．已知四面体ABCD 中，2AB =-a c ，568CD =+-a b c ，AC ，BD 的中点分别为E ，F ，则EF =______.10．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，用AC ，1AB ，1AD 作为基向量，则1AC =__________.11．在平行六面体1111A B C DA B C D -中，若1123AC xAB yBC zC C =++，则x y z ++=__________三、解答题12．如图所示，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，O ，1O 分别为底面ABCD 、底面1111A B C D 的中心，6AB =，14AA =，M 为1B B 的中点，N 在1C C 上，且1:1:3C N NC ＝.（1）以O 为原点，分别以OA ，OB ，1OO 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，求图中各点的坐标．（2）以D 为原点，分别以DA ，DC ，1DD 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，求图中各点的坐标．13．已知PA 垂直于正方形ABCD 所在的平面，M 、N 分别是AB 、PC 的中点，并且1PA AD ==，求MN 、DC 的坐标．14．如图所示，M ，N 分别是四面体OABC 的棱OA ，BC 的中点，P ，Q 是MN 的三等分点，用向量OA ，OB ，OC 表示OP 和OQ .参考答案1．C【解析】①正确，表示基底的向量必须不共面；②正确；③不对，a ，b 不共线．当λμ=+c a b 时，a 、b 、c 共面，故只有①②正确．故选C. 考点：空间向量的基底. 2．C【解析】()()()3232339-++++-=0a b b c a c ，∴()()3932323-=+-+a c a b b c ，即三向量2,23,39++-a b b c a c 共面，故选C. 考点：空间向量的基底表示. 3．B【解析】设p 在基底{},,+-a b a b c 下的坐标为(),,x y z ，则()()()()23x y z x y x y z =++=++-+=++-+p a b c a b a b c a b c ，所以1,2,3x y x y z +=⎧⎪-=⎨⎪=⎩，解得3,21,23,x y z ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎪⎩故p 在基底{},,+-a b a b c 下的坐标为31,,322⎛⎫- ⎪⎝⎭. 考点：空间向量的基底表示. 4．C【解析】A 中，因为1111333++=，所以M 、A 、B 、C 共面，所以向量MA 、MB 、MC 不能成为空间的一组基底；B 中，MA MB MC ≠+，但可能MA MB λ=MC μ+，即M 、A 、B 、C 可能共面，所以向量MA 、MB 、MC 不一定能成为空间的一组基底；D 中，∵2MA MB MC =-，∴M 、A 、B 、C 共面，所以向量MA 、MB 、MC 不能成为空间的一组基底，故选C. 考点：空间向量基本定理. 5．C【解析】如图所示，连接ON ，AN ，则()()1122ON OB OC =+=+b c ，()()11222AN AC AB OC OA OB =+=-+()1112222=-++=-++a b c a b c ，所以()11112222MN ON AN =+=-++a b c . 考点：空间向量的基底表示.6．B【解析】A 中，若1123OP OA OB =+，则P 、A 、B 三点不共线，故A 错； B 中，假设存在实数1k ，2k ，使()()()12112k k k k k +=+++=++c a a b b c a b 2k +c ，则有11221,0,1,k k k k =⎧⎪+=⎨⎪=⎩方程组无解，即向量+a b ，+b c ，+c a 不共面，故B 正确； C 中，cos ,⋅=⋅≤⋅a b a b a b a b ，故C 错；D 中，0AB AC ⋅=⇒△ABC 是直角三角形，但△ABC 是直角三角形，可能是角B 等于90°，则有0BA BC ⋅=，故D 错．考点：空间向量的基底表示. 7．A【解析】()()()123123123x y z x y z =++=++++-+-+d a b c e e e e e e e e e()()()12312323x y z x y z x y z =++++-+-+=++e e e e e e ，由空间向量基本定理，得1,2,3,x y z x y z x y z ++=⎧⎪+-=⎨⎪-+=⎩∴52x =，1y =-，12z =-.考点：空间向量基本定理. 8．A 【解析】()()()1111122B M BB =+=+a b 1122+=-++c a b c .考点：空间向量的基底表示. 9．335+-a b c【解析】如图所示，取BC 的中点G ，连接EG ，FG ，则12E F G FG E C D =-=()()11111568233522222B ACD A B -=+=+-+-=+-ab c a c a b c .考点：空间向量的基底表示. 10．()1112AD AB AC ++ 【解析】()()()11112222AC AA AD AB AA AD AA AB AD AB =++=+++++11AD AB AC =++，所以()11112AC AD AB AC =++. 考点：用向量的线性表达式表示向量. 11．76【解析】如图所示，有()1111AC AB BC CC AB BC C C =++=++-.又因为1123AC xAB yBC zC C =++,所以1,21,31,x y z =⎧⎪=⎨⎪=-⎩解得1,1,21,3x y z ⎧⎪=⎪⎪=⎨⎪⎪=-⎪⎩所以1171236x y z ++=+-= 考点：空间向量的基底表示. 12．详见解析【解析】（1）正方形ABCD 中，6AB =，∴AC BD ==，从而OA OC OB ===OD =∴各点坐标分别为()A ，()B ，()C -，()0,D -，()0,0,0O ，()10,0,4O ，()1A ，()1B ，()1C -，()10,D -，()2M ，()N -．（2）同理，()6,0,0A ，()6,6,0B ，()0,6,0C ，()0,0,0D ，()16,0,4A ，()16,6,4B ，()10,6,4C ，()10,0,4D ，()3,3,0O ，()13,3,4O ，()6,6,2M ，()0,6,3N ．考点：空间中点的坐标表示.13．详见解析【解析】∵PA AD AB ==，且PA ⊥平面ABCD ，AD AB ⊥，∴以,,DA DB DP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系A xyz -，如图所示.设1DA =e ，2AB =e ，3AP =e ．∵()1122MN MA AP PN MA AP PC MA AP PA AD DC =++=++=++++ ()233121311112222=-++--+=-+e e e e e e e ，∴11,0,22MN ⎛⎫=-⎪⎝⎭，()20,1,0DC AB ===e ．考点：空间向量的坐标表示.14．111633OP OA OB OC =++，111366OQ OA OB OC =++ 【解析】()121232O P O M =+=+()1121==2632633ON OA OA OB OC OA OB OC ⎛⎫-+⨯+++ ⎪⎝⎭；==OQ OM MQ +()11111111112323232332OA MN OA ON OM OA ON OA OA ⎛⎫+=+-=+-=+⨯⨯ ⎪⎝⎭()111366OB OC OA OB OC +=++. 考点：用向量的线性表达式表示向量.。

空间向量的正交分解及坐标表示

36
366
变式
分棱别长为为棱2的D正D方ⅱ, D体C?A, BBCCD的- A中ⅱB点C，ⅱD以中uA，uBur ,EuA、uDurF, uA、uAur¢G
为基(1底) uA，uEur表, uAu示Fur ,下uAuGu列r ；向量:
uuur uuur
(2)EF, EG
.
变式
分棱别长为为棱2的D正D方ⅱ, D体C?A, BBCCD的- 中AⅱB点C，ⅱD以中uA，uBur ,EuAu、Dur ,FuA、uAur¢G 为基底u，uur表uu示ur 下uuur列向量: uuur uuur z
空间向量的坐标表示
设er1，er2，er3为有公共起点O的三个两两垂直
( ) 的单位向量我们称它们为单位正交基底，
以er1，er2，er3的公共起点O为原点，分别以er1，er2， er3的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz.那么对于空间任意一个向量pr，
一定可以把它平移，使它的起点与原点O重合，
(1) AE, AF, AG (2) EF, EG
思考：如果在图形中以A为原点建立空
间直角坐标系, 此时,正方体中的
各个顶点和点E、F、G坐标是多
少？问题中的坐标又是多少?
y
注:在空间直角坐标u系r 中,
x
（(21）) 若若得将到A(向xO1u,u量Puyr1,=z1uppr)平,，B(移则x2,，yupr2使的, z2它坐)，的标则起恰uA点是uBur与终= (原点x2 点-Px的1O, y坐重2 -标合y1,；，z2 - z1)
,
r j
,
r k是空间三个两两垂直的向量，
那么，对空间任一个向量pr，存在一个有序

学年高中数学第三章空间向量与立体几何课时作业空间向量的正交分解及其坐标表示含解析新人教A版选修_

课时作业17 空间向量的正交分解及其坐标表示[根底稳固]一、选择题1．设命题p ：a ，b ，c 是三个非零向量，命题q ：{a ，b ，c }为空间的一个基底，那么命题p 是命题q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．假设O ，A ，B ，C 为空间四点，且向量OA →，OB →，OC →不能构成空间的一个基底，那么( )A.OA →，OB →，OC →共线B.OA →，OB →共线C.OB →，OC →共线 D ．O ，A ，B ，C 四点共面3．如下图，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，假设A 1B 1→＝a ，A 1D 1→＝b ，AA 1→＝c ，那么以下向量中与A 1C →相等的向量是( )A ．－a ＋b ＋cB ．a －b ＋cC ．a ＋b ＋cD ．a ＋b －c4．平行六面体OABC －O ′A ′B ′C ′，OA →＝a ，OC →＝c ，OO ′→＝b ，D 是四边行OABC 的对角线的交点，那么( )A.O ′D →＝－a ＋b ＋cB.O ′D →＝－b －12a －12c C.O ′D →＝12a －b －12c D.O ′D →＝12a －b ＋12c 5．设OABC 是四面体，G 1是△ABC 的重心，G 是OG 1上的一点，OG ＝3GG 1，假设OG →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，那么(x ，y ，z )为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，14，14B.⎝ ⎛⎭⎪⎫34，34，34 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，13，13 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，23 二、填空题6．假设向量a ，b ，c 为空间向量的正交基底，那么向量a ，b ，c 的位置关系是________．7．假设向量i ，j ，k 为空间直角坐标系上对应x 轴，y 轴，z 轴正方向的单位向量，且设a ＝2i －j ＋3k ，那么向量a 的坐标为________________________．8．在空间四边形ABCD 中，AC 和BD 为对角线，G 为△ABC 的重心，E 是BD 上的一点，BE＝3ED ，以{AB →，AC →，AD →}为基底，那么GE →＝________________.三、解答题9．假设{a ，b ，c }是空间一个基底，试判断{a ＋b ，b ＋c ，c ＋a }能否作为该空间的一个基底．10．如图，在空间直角坐标系中，有长方体OABC －O ′A ′B ′C ′，且OA ＝6，OC ＝8，OO ′＝5.(1)写出点B ′的坐标，给出OB ′→关于i ，j ，k 的分解式；(2)求OC ′→的坐标．[能力提升]11．如图，空间四边形OABC ，其对角线为OB ，AC ，M ，N 分别是OA ，CB 的中点，点G 在线段MN 上，且MG ＝3GN ，用向量OA →，OB →，OC →表示向量OG →，那么( )A.OG →＝38OA →＋18OB →＋38OC → B.OG →＝78OA →＋38OB →＋38OC → C.OG →＝OA →＋23OB →＋23OC → D.OG →＝18OA →＋38OB →＋38OC → 12．如图在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 和BD 的交点，假设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，那么B 1M →＝________.13．如下图，在正六棱柱ABCDEF －A 1B 1C 1D 1E 1F 1中：(1)化简A 1F 1→－EF →－BA →＋FF 1→＋CD →＋F 1A 1→，并在图中标出化简结果的向量；(2)化简DE →＋E 1F 1→＋FD →＋BB 1→＋A 1E 1→，并在图中标出化简结果的向量．14．在直三棱柱ABO －A 1B 1O 1中，∠AOB ＝π2，AO ＝4，BO ＝2，AA 1＝4，D 为A 1B 1的中点．在如下图的空间直角坐标系中，求DO →，A 1B →的坐标．课时作业17 空间向量的正交分解及其坐标表示1．解析：当三个非零向量a ，b ，c 共面时，a ，b ，c 不能构成空间的一个基底；当{a ，b ，c }为空间的一个基底时，必有a ，b ，c 都是非零向量．故命题p 是命题q 的必要不充分条件．答案：B2．解析：由OA →，OB →，OC →不能构成基底，知OA →，OB →，OC →三向量共面，所以O ，A ，B ，C 四点共面．答案：D3．解析：A 1C →＝A 1C 1→＋C 1C →＝A 1B 1→＋A 1D 1→＋C 1C →＝A 1B 1→＋A 1D 1→－AA 1→＝a ＋b －c .应选D.答案：D4．解析：O ′D →＝O ′O →＋OD →＝－OO ′→＋12(OA →＋OC →)＝12OA →－OO ′→＋12OC →＝12a －b ＋12c .应选D.答案：D5．解析：如图，由OG →＝34OG 1→ ＝34(OA →＋AG 1→)＝34⎣⎢⎡⎦⎥⎤OA →＋13AB →＋AC →。

空间向量的正交分解及其坐标表示当堂作业

空间向量的正交分解及其坐标表示当堂作业1．在空间直角坐标系O -xyz 中，下列说法正确的是( ) A ．AB →的坐标与点B 的坐标相同 B ．AB →的坐标与点A 的坐标相同 C ．AB →与OB →的坐标相同 D ．AB →与OB →－OA →的坐标相同解析：因为A 点不一定为坐标原点，所以A ，B ，C 都不对；由于AB →＝OB →－OA →，故D 正确．答案：D2．点A (－1,2,1)在x 轴上的投影点和在xOy 平面上的投影点的坐标分别为( ) A ．(－1,0,1)，(－1,2,0) B ．(－1,0,0)，(－1,2,0) C ．(－1,0,0)，(－1,0,0)D ．(－1,2,0)，(－1,2,0)解析：点A 在x 轴上的投影点的横坐标不变，纵、竖坐标都为0，在xOy 平面上的投影点横、纵坐标不变，竖坐标为0，故应选B ．答案：B3．在三棱锥S -ABC 中，G 为△ABC 的重心，则有( ) A ．SG →＝12(SA →＋SB →＋SC →)B ．SG →＝13(SA →＋SB →＋SC →)C ．SG →＝14(SA →＋SB →＋SC →)D ．SG →＝SA →＋SB →＋SC →解析：SG →＝SA →＋AG →＝SA →＋13(AB →＋AC →)＝SA →＋13(SB →－SA →)＋13(SC →－SA →)＝13(SA →＋SB →＋SC →)．答案：B4．已知空间四点A (4,1,3)，B (2,3,1)，C (3,7，－5)，D (x ，－1,3)共面，则x 的值为( ) A ．4 B ．1 C ．10D ．11解析：AB →＝(－2,2，－2)，AC →＝(－1,6，－8)，AD →＝(x －4，－2,0)，∵A ，B ，C ，D 共面，∴AB →，AC →，AD →共面，∴存在实数λ，μ，使AD →＝λAB →＋μAC →，即(x －4，－2，0)＝(－2λ－μ，2λ＋6μ，－2λ－8μ)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －4＝－2λ－μ，－2＝2λ＋6μ，0＝－2λ－8μ，得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－4，μ＝1，x ＝11.答案：D5．设{e 1，e 2，e 3}是空间向量的一个单位正交基底，a ＝4e 1－8e 2＋3e 3，b ＝－2e 1－3e 2＋7e 3，则a ，b 的坐标分别为________.解析：由于{e 1，e 2，e 3}是空间向量的一个单位正交基底，所以a ＝(4，－8,3)，b ＝(－2，－3,7)．答案：a ＝(4，－8,3)，b ＝(－2，－3,7)6．设{i ，j ，k }是空间向量的单位正交基底，a ＝3i ＋2j －k ，b ＝－2i ＋4j ＋2k ，则向量a 与b 的位置关系是________.解析：∵a ·b ＝－6i 2＋8j 2－2k 2＝－6＋8－2＝0. ∴a ⊥b . 答案：a ⊥b7．若{a ，b ，c }是空间的一个基底，且存在实数x ，y ，z 使得x a ＋y b ＋z c ＝0，则x ，y ，z 满足的条件是________.解析：若x ≠0，则a ＝－y x b －zx c ，即a 与b ，c 共面．由{a ，b ，c }是空间向量的一个基底知a ，b ，c 不共面，故x ＝0，同理y ＝z ＝0.答案：x ＝y ＝z ＝08．设命题p ：{a ，b ，c }为空间的一个基底，命题q ：a ，b ，c 是三个非零向量，则命题p 是q 的________条件．解析：{a ，b ，c }为空间的一个基底，则a ，b ，c 一定不共面，则它们三者中无零向量，反之，若a ，b ，c 是三个非零向量，它们可能共面，此时{a ，b ，c }不可能成为空间的一个基底．答案：充分不必要9．已知{e 1，e 2，e 3}为空间一基底，且OA →＝e 1＋2e 2－e 3，OB →＝－3e 1＋e 2＋2e 3，OC →＝e 1＋e 2－e 3，能否以OA →，OB →，OC →作为空间的一个基底？解：假设OA →，OB →，OC →共面，根据向量共面的充要条件有OA →＝xOB →＋yOC →，即e 1＋2e 2－e 3＝x (－3e 1＋e 2＋2e 3)＋y (e 1＋e 2－e 3) ＝(－3x ＋y )e 1＋(x ＋y )e 2＋(2x －y )e 3. ∴⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋y ＝1，x ＋y ＝2，2x －y ＝－1，此方程组无解．∴OA →，OB →，OC →不共面．∴{OA →，OB →，OC →}可作为空间的一个基底．10．在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，P ，M ，N 分别是CA 1，CD 1，C 1D 1的中点，点Q 在CA 1上，CQ ∶QA 1＝4∶1，试用基底{a ，b ，c }表示以下向量：AP →，AM →，AN →，AQ →.解：AP →＝12(AC →＋AA 1→)＝12(AB →＋AD →＋AA 1→) ＝12a ＋12b ＋12c ， AQ →＝AC →＋CQ → ＝AC →＋45(AA 1→－AC →)＝15AC →＋45AA 1→ ＝15(AB →＋AD →)＋45AA 1→ ＝15a ＋15b ＋45c ， AM →＝12(AC →＋AD 1→)＝12(AB →＋2AD →＋AA 1→)＝12a ＋b ＋12c ， AN →＝12(AC 1→＋AD 1→)＝12[(AB →＋AD →＋AA 1→)＋(AD →＋AA 1→)] ＝12(AB →＋2AD →＋2AA 1→) ＝12a ＋b ＋c .1．如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝4，BC ＝1，AA 1＝3，已知向量a 在基底{AB →，AD →，AA 1→}下的坐标为(2,1，－3)．若分别以DA →，DC →，DD 1→的方向为x 轴，y 轴，z 轴正方向建立空间直角坐标系，则a 的空间直角坐标为( )A ．(2,1，－3)B ．(－1,2，－3)C ．(1，－8,9)D ．(－1,8，－9)解析：a ＝2AB →＋AD →－3AA 1→＝2DC →－DA →－3DD 1→＝8j －i －9k ＝(－1,8，－9)．答案：D2．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 是上底面A 1B 1C 1D 1的中心，则AC 1与CE 的位置关系是( )A ．重合B ．垂直C ．平行D ．无法确定解析：AC 1→＝AB →＋AD →＋AA 1→，CE →＝CC 1→＋C 1E →＝AA 1→－12(AB →＋AD →)．设正方体的棱长为1，于是AC 1→·CE →＝(AB →＋AD →＋AA 1→)·⎝⎛⎭⎫AA 1→－12AB →－12AD →＝0－12－0＋0－0－12＋1－0－0＝0，故AC 1→⊥CE →，即AC 1与CE 垂直．。

课时分层作业16 空间向量的正交分解及其坐标表示

学空间向量与立体几何空间向量的正交分解及其坐标表示

2021_2022学年高中数学课时分层作业16空间向量的正交分解及其坐标表示(含解析)新人教A版选修

课件16：3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示

16空间向量的正交分解及其坐标表示

3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示

课时作业2：3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示

高中数学 同步教学 空间向量的正交分解及其坐标表示

高考数学知识点之空间向量的正交分解及坐标

空间向量的正交分解及其坐标表示 课件

空间向量的正交分解及其坐标表示

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学年高中数学第三章空间向量与立体几何课时作业空间向量的正交分解及其坐标表示含解析新人教A版选修_

空间向量的正交分解及其坐标表示 当堂作业

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