最新北师版初中数学九年级下册第10讲一次函数重点知识

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【人教版】九年级数学下册中考知识点梳理：第10讲一次函数

第 10 讲一次函数一、知识清单梳理知识点一：一次函数的观点及其图象、性质（1）观点：一般来说，形如y＝kx＋ b(k≠0)的函数叫做一次函数．特别地，当 b ＝0 1时，称为正比率函数．一次函数的.（2）图象形状：一次函数 y＝ kx＋b 是一条经过点（0,b）和（ -b/k ,0）的直线 . 特别地，有关观点正比率函数 y＝ kx 的图象是一条恒经过点（ 0,0）的直线 .k，b K ＞0，K ＞0，K ＞ 0，b=0k<0，k<0，k<0，符号b＞0b＜0b>0b<0b＝0大概2.一次函数图象的性质经过一、二、三一、三、一、三一、二、二、三、二、四象限四四四图象y 随 x 的增大而增大y 随 x 的增大而减小性质3(1)交点坐标：求一次函数与 x 轴的交点，只需令y=0,解出 x 即可；求与 y 轴的交点，只需令x= 0, 求出 y 即可 . 故一次函数y ＝ kx＋ b(k≠0)的图象与 x轴的交点是.一次函数与b坐标轴交(－k， 0)，与 y 轴的交点是 (0，b)；点坐标(2)正比率函数y＝kx(k ≠ 0)的图象恒过点 (0， 0)．知识点二：确立一次函数的表达式（1）常用方法：待定系数法，其一般步骤为：①设：设函数表达式为 y＝kx ＋b(k≠0)；②代：将已知点的坐标代入函数表达式，解方程或方程组；4.确立一次函③解：求出k 与 b 的值，获得函数表达式．（2）常有种类：数表达式①已知两点确立表达式；②已知两对函数对应值确立表达式；的条件③平移转变型：如已知函数是由y=2x 平移所获得的，且经过点（ 0,1 ），则可设要求函数的分析式为 y=2x+b, 再把点（ 0,1 ）的坐标代入即可 .规律：①一次函数图象平移前后k 不变，或两条直线能够经过平移获得，则可知它们的 k 值同样 .象的平移②若向上平移 h 单位，则 b 值增大 h；若向下平移 h 单位，则 b 值减小 h. 知识点三：一次函数与方程（组）、不等式的关系6.一次函数与方一元一次方程kx+b=0 的根就是一次函数 y=kx+b （ k 、b 是常数， k≠0）的图象与 x轴交点的横坐标 .程7.一次函数与方二元一次方程组的解两个一次函数 y=k 1x+b 和 y=k 2x+b 图象的交点坐标 .y=k 1 x+by=k 2x+b程组重点点拨与对应举例例：当 k＝ 1 时，函数 y＝kx＋ k－1 是正比率函数 ,（1）一次函数 y=kx+b 中， k 确定了倾斜方向和倾斜程度， b 确立了与 y 轴交点的地点 .（2）比较两个一次函数函数值的大小：性质法，借助函数的图象，也能够运用数值代入法 .例：已知函数y=－ 2x＋ b，函数值y随 x 的增大而减小 ( 填“增大”或“减小”)．例：一次函数y＝x ＋2 与x 轴交点的坐标是（ -2,0 ），与 y 轴交点的坐标是（ 0,2）.(1)确立一次函数的表达式需要两组条件，而确立正比率函数的表达式，只需一组条件即可.(2)只需给出一次函数与y 轴交点坐标即可得出 b 的值 ,b 值为其纵坐标，可迅速解题 . 如 :已知一次函数经过点（ 0,2），则可知 b=2.例：将一次函数 y=-2x+4 的图象向下平移 2 个单位长度，所得图象的函数关系式为 y=-2x+2 ．例：（1）已知对于 x 的方程 ax+b=0 的解为 x=1,则函数 y=ax+b 与 x轴的交点坐标为（ 1,0）.（2）一次函数 y=-3x+12 中，当 x ＞4时， y 的值为负数．15.一次函数图（ 1）函数 y=kx+b 的函数值 y ＞ 0 时，自变量 x 的取值范围就是不等式kx+b ＞0 的8. 一次函数与解集（ 2）函数 y=kx+b 的函数值 y ＜ 0 时，自变量 x 的取值范围就是不等式kx+b ＜0 的不等式解集知识点四：一次函数的实质应用（1）设出实质问题中的变量；9. 一般步骤一次函数自己并无最值，但（2）成立一次函数关系式；在实质问题中，自变量的取值（3）利用待定系数法求出一次函数关系式；常常有必定的限制，其图象为（4）确立自变量的取值范围；射线或线段 .波及最值问题的（5）利用一次函数的性质求相应的值，对所求的值进行查验，能否切合实质意义；一般思路：确立函数表达式→ （6）做答 .确立函数增减性→依据自变10.常有题型（1）求一次函数的分析式 .量的取值范围确立最值 .（2）利用一次函数的性质解决方案问题.2。

人教版初三数学下册中考知识点梳理：第10讲一次函数

第10讲一次函数一、知识清单梳理知识点一：一次函数的概念及其图象、性质关键点拨与对应举例1.一次函数的相关概念（1）概念：一般来说，形如y＝kx＋b(k≠0)的函数叫做一次函数．特别地，当b ＝0时，称为正比例函数．（2）图象形状：一次函数y＝kx＋b是一条经过点（0,b）和（-b/k,0）的直线.特别地，正比例函数y＝kx的图象是一条恒经过点（0,0）的直线.例：当k＝1时，函数y＝kx＋k－1是正比例函数,2.一次函数的性质k，b符号K＞0，b＞0K＞0，b＜0K＞0，b=0k<0，b>0k<0，b<0k<0，b＝0（1）一次函数y=kx+b中，k确定了倾斜方向和倾斜程度，b确定了与y轴交点的位置.（2）比较两个一次函数函数值的大小：性质法，借助函数的图象，也可以运用数值代入法.例：已知函数y=－2x＋b，函数值y随x的增大而减小(填“增大”或“减小”)．大致图象经过象限一、二、三一、三、四一、三一、二、四二、三、四二、四图象性质y随x的增大而增大y随x的增大而减小3.一次函数与坐标轴交点坐标(1)交点坐标：求一次函数与x轴的交点，只需令y=0,解出x即可；求与y轴的交点，只需令x=0,求出y即可.故一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象与x轴的交点是⎝⎛⎭⎪⎫－bk，0，与y轴的交点是(0，b)；(2)正比例函数y＝kx(k≠0)的图象恒过点(0，0)．例：一次函数y＝x＋2与x轴交点的坐标是（-2,0），与y轴交点的坐标是（0,2）.知识点二：确定一次函数的表达式4.确定一次函数表达式的条件（1）常用方法：待定系数法，其一般步骤为：①设：设函数表达式为y＝kx＋b(k≠0)；②代：将已知点的坐标代入函数表达式，解方程或方程组；③解：求出k与b的值，得到函数表达式．（2）常见类型：①已知两点确定表达式；②已知两对函数对应值确定表达式；③平移转化型：如已知函数是由y=2x平移所得到的，且经过点（0,1），则可设要求函数的解析式为y=2x+b,再把点（0,1）的坐标代入即可.(1)确定一次函数的表达式需要两组条件，而确定正比例函数的表达式，只需一组条件即可.(2)只要给出一次函数与y轴交点坐标即可得出b的值,b值为其纵坐标，可快速解题. 如:已知一次函数经过点（0,2），则可知b=2.5.一次函数图象的平移规律：①一次函数图象平移前后k不变，或两条直线可以通过平移得到，则可知它们的k值相同.②若向上平移h单位，则b值增大h；若向下平移h单位，则b值减小h.例：将一次函数y=-2x+4的图象向下平移2个单位长度，所得图象的函数关系式为y=-2x+2．知识点三：一次函数与方程（组）、不等式的关系6.一次函数与方程一元一次方程kx+b=0的根就是一次函数y=kx+b（k、b是常数，k≠0）的图象与x轴交点的横坐标.例：（1）已知关于x的方程ax+b=0的解为x=1,则函数y=ax+b与x轴的交点坐标为（1,0）.（2）一次函数y=-3x+12中，当x ＞4时，y的值为负7.一次函数与方程组二元一次方程组的解⇔两个一次函数y=k1x+b 和y=k2x+b 图象的交点坐标.8.一次函数与不等式（1）函数y=kx+b的函数值y＞0时，自变量x的取值范围就是不等式kx+b＞0的解集y=k2x+by=k1x+b中考数学模拟试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．若分式有意义，则x的取值范围是（）A．x＞3 B．x＜3 C．x≠3D．x=3 【答案】C【解析】试题分析：∵分式13x有意义，∴x﹣3≠0，∴x≠3；故选C．考点：分式有意义的条件．2．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，那么小巷的宽度为( )A．0.7米B．1.5米C．2.2米D．2.4米【答案】C【解析】在直角三角形中利用勾股定理计算出直角边，即可求出小巷宽度.【详解】在Rt△A′BD中，∵∠A′DB=90°，A′D=2米，BD2+A′D2=A′B′2，∴BD2+22=6.25，∴BD2=2.25，∵BD＞0，∴BD=1.5米，∴CD=BC+BD=0.7+1.5=2.2米．故选C．【点睛】本题考查勾股定理的运用，利用梯子长度不变找到斜边是关键.3．如图是某个几何体的展开图，该几何体是（）A．三棱柱B．圆锥C．四棱柱D．圆柱【答案】A【解析】侧面为三个长方形，底边为三角形，故原几何体为三棱柱．【详解】解：观察图形可知，这个几何体是三棱柱．故选A ．【点睛】本题考查的是三棱柱的展开图，对三棱柱有充分的理解是解题的关键．．4．如图，甲圆柱型容器的底面积为30cm 2，高为8cm ，乙圆柱型容器底面积为xcm 2，若将甲容器装满水，然后再将甲容器里的水全部倒入乙容器中（乙容器无水溢出），则乙容器水面高度y （cm ）与x （cm 2）之间的大致图象是（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】根据题意可以写出y 关于x 的函数关系式，然后令x=40求出相应的y 值，即可解答本题．【详解】解：由题意可得， y=308x ⨯=240x，当x=40时，y=6，故选C ．【点睛】本题考查了反比例函数的图象，根据题意列出函数解析式是解决此题的关键． 5．已知一个多边形的内角和是外角和的2倍，则此多边形的边数为 ( ) A ．6 B ．7C ．8D ．9【答案】A【解析】试题分析：根据多边形的外角和是310°，即可求得多边形的内角的度数为720°，依据多边形的内角和公式列方程即可得（n ﹣2）180°=720°，解得：n=1．故选A ．考点：多边形的内角和定理以及多边形的外角和定理6．《语文课程标准》规定：7﹣9年级学生，要求学会制订自己的阅读计划，广泛阅读各种类型的读物，课外阅读总量不少于260万字，每学年阅读两三部名著．那么260万用科学记数法可表示为（） A ．26×105 B ．2.6×102C ．2.6×106D ．260×104【答案】C【解析】科学记数法的表示形式为n a 10⨯的形式，其中1a 10≤<，n 为整数.确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值1>时，n 是正数；当原数的绝对值1<时，n 是负数．【详解】260万=2600000=62.610⨯．故选C ．【点睛】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为n a 10⨯的形式，其中1a 10≤<，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．7．在平面直角坐标系xOy 中，四条抛物线如图所示，其解析式中的二次项系数一定小于1的是（）A ．y 1B ．y 2C ．y 3D ．y 4【答案】A【解析】由图象的点的坐标，根据待定系数法求得解析式即可判定．【详解】由图象可知：抛物线y 1的顶点为（-2，-2），与y 轴的交点为（0，1），根据待定系数法求得y 1=34（x+2）2-2；抛物线y 2的顶点为（0，-1），与x 轴的一个交点为（1，0），根据待定系数法求得y 2=x 2-1；抛物线y 3的顶点为（1，1），与y 轴的交点为（0，2），根据待定系数法求得y 3=（x-1）2+1；抛物线y 4的顶点为（1，-3），与y 轴的交点为（0，-1），根据待定系数法求得y 4=2（x-1）2-3；综上，解析式中的二次项系数一定小于1的是y 1 故选A ．【点睛】本题考查了二次函数的图象，二次函数的性质以及待定系数法求二次函数的解析式，根据点的坐标求得解析式是解题的关键．8．如图，EF 过▱ABCD 对角线的交点O ，交AD 于E ，交BC 于F ，若▱ABCD 的周长为18， 1.5OE =，则四边形EFCD 的周长为( )A ．14B ．13C ．12D ．10【答案】C【解析】∵平行四边形ABCD ， ∴AD ∥BC ，AD=BC ，AO=CO ， ∴∠EAO=∠FCO ， ∵在△AEO 和△CFO 中，AEO CFO AO COAOE COF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△AEO ≌△CFO ， ∴AE=CF ，EO=FO=1.5， ∵C 四边形ABCD =18，∴CD+AD=9，∴C 四边形CDEF =CD+DE+EF+FC=CD+DE+EF+AE=CD+AD+EF=9+3=12. 故选C. 【点睛】本题关键在于利用三角形全等，解题关键是将四边形CDEF 的周长进行转化.9．《九章算术》中的算筹图是竖排的，为看图方便，我们把它改为横排，如图1，图2所示，图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x ，y 的系数与相应的常数项．把图1表示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表述出来，就是3219423x y x y +=⎧⎨+=⎩．类似地，图2所示的算筹图我们可以表述为（）A ．2114327x y x y +=⎧⎨+=⎩B ．2114322x y x y +=⎧⎨+=⎩C ．3219423x y x y +=⎧⎨+=⎩D ．264327x y x y +=⎧⎨+=⎩【答案】A【解析】根据图形，结合题目所给的运算法则列出方程组．【详解】图2所示的算筹图我们可以表述为：2114327x y x y +=⎧⎨+=⎩．故选A．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程组．10．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，半径为4，则这个正六边形的边心距OM的长为（）A．2 B．23C．3D．43【答案】B【解析】分析：连接OC、OB，证出△BOC是等边三角形，根据锐角三角函数的定义求解即可．详解：如图所示，连接OC、OB∵多边形ABCDEF是正六边形，∴∠BOC=60°，∵OC=OB，∴△BOC是等边三角形，∴∠OBM=60°，∴OM=OBsin∠OBM=4×32＝23.故选B.点睛：考查的是正六边形的性质、等边三角形的判定与性质、三角函数；熟练掌握正六边形的性质，由三角函数求出OM是解决问题的关键．二、填空题（本题包括8个小题）11．如图，在△ABC中，DE∥BC，BF平分∠ABC，交DE的延长线于点F，若AD=1，BD=2，BC=4，则EF=________．【答案】2 3【解析】由DE∥BC可得出△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质和平行线的性质解答即可．【详解】∵DE∥BC，∴∠F=∠FBC，∵BF平分∠ABC，∴∠DBF=∠FBC，∴∠F=∠DBF，∴DB=DF，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴AD DEAD DB BC=+，即1124DE=+，解得：DE=43，∵DF=DB=2，∴EF=DF-DE=2-43=23，故答案为2 3 .【点睛】此题考查相似三角形的判定和性质，关键是由DE∥BC可得出△ADE∽△ABC．12．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=45°，CD⊥AB于点D，点P在线段DB上，若AP2-PB2=48，则△PCD的面积为____.【答案】6【解析】根据等角对等边，可得AC=BC，由等腰三角形的“三线合一”可得AD=BD=12AB，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，可得CD=12AB，由AP2-PB2=48 ，利用平方差公式及线段的和差公式将其变形可得CD·PD=12,利用△PCD的面积=12CD·PD可得.【详解】解：∵在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=45°，∴∠B=45°，∴AC=BC，∵CD⊥AB ，∴AD=BD=CD=12AB ， ∵AP 2-PB 2=48 ， ∴(AP+PB)(AP-PB)=48， ∴AB(AD+PD-BD+DP)=48, ∴AB·2PD=48， ∴2CD·2PD=48， ∴CD·PD=12， ∴ △PCD 的面积=12CD·PD=6. 故答案为6. 【点睛】此题考查等腰三角形的性质，直角三角形的性质，解题关键在于利用等腰三角形的“三线合一 13．计算：25＝____．【答案】1【解析】根据算术平方根的定义进行化简25，再根据算术平方根的定义求解即可．【详解】解：∵12=21， ∴25=1，故答案为：1．【点睛】本题考查了算术平方根的定义，先把25化简是解题的关键．14．已知二次函数()2y ax bx c a 0=++≠的图象如图所示，有下列结论：abc 0<①，2a b 0+=②，a b c 0-+=③；24ac b 0->④，4a 2b c 0++>⑤，其中正确的结论序号是______【答案】①②③⑤【解析】由抛物线的开口方向判断a 的符号，由抛物线与y 轴的交点判断c 的符号，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【详解】①由图象可知：抛物线开口方向向下，则a 0<，对称轴直线位于y 轴右侧，则a 、b 异号，即b 0>，抛物线与y 轴交于正半轴，则c 0>，abc 0<，故①正确；②对称轴为bx 12a=-=，b 2a =-，故②正确； ③由抛物线的对称性知，抛物线与x 轴的另一个交点坐标为()1,0-，所以当x 1=-时，y a b c 0=-+=，即a b c 0-+=，故③正确；④抛物线与x 轴有两个不同的交点，则2b 4ac 0->，所以24ac b 0-<，故④错误； ⑤当x 2=时，y 4a 2b c 0=++>，故⑤正确．故答案为①②③⑤．【点睛】本题考查了考查了图象与二次函数系数之间的关系，二次函数2y ax bx c =++系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y 轴的交点、抛物线与x 轴交点的个数确定．15．一名模型赛车手遥控一辆赛车，先前进1m ，然后，原地逆时针方向旋转角a(0°<α<180°)．被称为一次操作．若五次操作后，发现赛车回到出发点，则角α为【答案】7 2°或144°【解析】∵五次操作后，发现赛车回到出发点，∴正好走了一个正五边形，因为原地逆时针方向旋转角a(0°<α<180°)，那么朝左和朝右就是两个不同的结论所以∴角α=（5-2）•180°÷5=108°,则180°-108°=72°或者角α=（5-2）•180°÷5=108°，180°-72°÷2=144° 16．如图，从直径为4cm 的圆形纸片中，剪出一个圆心角为90°的扇形OAB ，且点O 、A 、B 在圆周上，把它围成一个圆锥，则圆锥的底面圆的半径是_____cm ．【答案】22【解析】设圆锥的底面圆的半径为r ，由于∠AOB ＝90°得到AB 为圆形纸片的直径，则OB ＝222AB =，根据弧长公式计算出扇形OAB 的弧AB 的长，然后根据圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长进行计算．【详解】解：设圆锥的底面圆的半径为r ，连结AB ，如图，∵扇形OAB 的圆心角为90°，∴AB为圆形纸片的直径，∴AB＝4cm，∴OB＝2222AB=cm，∴扇形OAB的弧AB的长＝90222180π⋅⋅=π，∴2πr＝2π，∴r＝22（cm）．故答案为22．【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了圆周角定理和弧长公式．17．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点P，若∠P＝40°，则∠ADC＝____°．【答案】115°【解析】根据过C点的切线与AB的延长线交于P点，∠P=40°，可以求得∠OCP和∠OBC的度数，又根据圆内接四边形对角互补，可以求得∠D的度数，本题得以解决．【详解】解：连接OC，如右图所示，由题意可得，∠OCP=90°，∠P=40°，∵OC=OB，∴∠OCB=∠OBC=65°，∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠D+∠ABC=180°，∴∠D=115°，故答案为：115°．【点睛】本题考查切线的性质、圆内接四边形，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．18．如图，在△ABC中，BA＝BC＝4，∠A＝30°，D是AC上一动点，AC的长＝_____；BD+12DC的最小值是_____．【答案】（Ⅰ）AC＝3（Ⅱ）33【解析】（Ⅰ）如图，过B作BE⊥AC于E，根据等腰三角形的性质和解直角三角形即可得到结论；（Ⅱ）如图，作BC的垂直平分线交AC于D，则BD＝CD，此时BD+12DC的值最小，解直角三角形即可得到结论．【详解】解：（Ⅰ）如图，过B作BE⊥AC于E，∵BA＝BC＝4，∴AE＝CE，∵∠A＝30°，∴AE 3＝3∴AC＝2AE＝3（Ⅱ）如图，作BC的垂直平分线交AC于D，则BD＝CD，此时BD+12DC的值最小，∵BF＝CF＝2，∴BD＝CD＝230COS＝433，∴BD+12DC的最小值＝3故答案为：43，23．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．三、解答题（本题包括8个小题）19．某中学举行室内健身操比赛，为奖励优胜班级，购买了一些篮球和足球，篮球单价是足球单价的1.5倍，购买篮球用了2250元，购买足球用了2400元，购买的篮球比足球少15个，求篮球、足球的单价．【答案】足球单价是60元，篮球单价是90元．【解析】设足球的单价分别为x元，篮球单价是1.5x元，列出分式方程解答即可．【详解】解：足球的单价分别为x元，篮球单价是1.5x元，可得：24002250151.5x x-=，解得：x=60，经检验x=60是原方程的解，且符合题意，1.5x=1.5×60=90，答：足球单价是60元，篮球单价是90元．【点睛】本题考查分式方程的应用，利用题目等量关系准确列方程求解是关键，注意分式方程结果要检验．20．如图，有长为14m的篱笆，现一面利用墙(墙的最大可用长度a为10m)围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为xm，面积为Sm1．求S与x的函数关系式及x值的取值范围；要围成面积为45m1的花圃，AB的长是多少米？当AB的长是多少米时，围成的花圃的面积最大？【答案】（1）S=﹣3x1+14x，143≤x< 8；（1）5m；（3）46.67m1【解析】（1）设花圃宽AB为xm，则长为（14-3x），利用长方形的面积公式，可求出S与x关系式，根据墙的最大长度求出x的取值范围；（1）根据（1）所求的关系式把S=2代入即可求出x，即AB；（3）根据二次函数的性质及x的取值范围求出即可.【详解】解：（1）根据题意，得S＝x（14﹣3x），即所求的函数解析式为：S＝﹣3x1+14x，又∵0＜14﹣3x≤10，∴1483x ≤＜；（1）根据题意，设花圃宽AB 为xm ，则长为（14-3x ），∴﹣3x 1+14x ＝2．整理，得x 1﹣8x+15＝0，解得x ＝3或5，当x ＝3时，长＝14﹣9＝15＞10不成立，当x ＝5时，长＝14﹣15＝9＜10成立，∴AB 长为5m ；（3）S ＝14x ﹣3x 1＝﹣3（x ﹣4）1+48∵墙的最大可用长度为10m ，0≤14﹣3x≤10，∴1483x ≤＜， ∵对称轴x ＝4，开口向下， ∴当x ＝143m ，有最大面积的花圃．【点睛】二次函数在实际生活中的应用是本题的考点，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程是解题的关键.21．如图①，在正方形ABCD 的外侧，作两个等边三角形ABE 和ADF ，连结ED 与FC 交于点M ，则图中ADE ≌DFC △，可知ED FC =，求得DMC ∠=______．如图②，在矩形()ABCD AB BC >的外侧，作两个等边三角形ABE 和ADF ，连结ED 与FC 交于点M ．()1求证：ED FC =．()2若20ADE ∠=，求DMC ∠的度数．【答案】阅读发现：90°；（1）证明见解析；（2）100°【解析】阅读发现：只要证明15DFC DCF ADE AED ∠=∠=∠=∠=，即可证明．拓展应用：()1欲证明ED FC =，只要证明ADE ≌DFC △即可．()2根据DMC FDM DFC FDA ADE DFC ∠=∠+∠=∠+∠+∠即可计算．【详解】解：如图①中，四边形ABCD 是正方形，AD AB CD ∴==，90ADC ∠=， ADE ≌DFC △，DF CD AE AD ∴===，6090150FDC ∠=+=，15DFC DCF ADE AED ∴∠=∠=∠=∠=，601575FDE ∴∠=+=，90MFD FDM ∴∠+∠=，90FMD ∴∠=，故答案为90()1ABE 为等边三角形，60EAB ∴∠=，EA AB =． ADF 为等边三角形，60FDA ∴∠=，AD FD =．四边形ABCD 为矩形，90BAD ADC ∴∠=∠=，DC AB =．EA DC ∴=．150EAD EAB BAD ∠=∠+∠=，150CDF FDA ADC ∠=∠+∠=，EAD CDF ∴∠=∠．在EAD 和CDF 中，AE CD EAD FDC AD DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，EAD ∴≌CDF ．ED FC ∴=；()2EAD ≌CDF ，20ADE DFC ∴∠=∠=，602020100DMC FDM DFC FDA ADE DFC∴∠=∠+∠=∠+∠+∠=++=．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、正方形的性质、矩形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形，利用全等三角形的寻找解决问题，属于中考常考题型．22．甲、乙两人分别站在相距6米的A、B两点练习打羽毛球，已知羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分，甲在离地面1米的C处发出一球，乙在离地面1.5米的D处成功击球，球飞行过程中的最高点H与甲的水平距离AE为4米，现以A为原点，直线AB为x轴，建立平面直角坐标系（如图所示）．求羽毛球飞行的路线所在的抛物线的表达式及飞行的最高高度．【答案】53米.【解析】先求抛物线对称轴，再根据待定系数法求抛物线解析式，再求函数最大值. 【详解】由题意得：C（0，1），D（6，1.5），抛物线的对称轴为直线x=4，设抛物线的表达式为：y=ax2+bx+1（a≠0），则据题意得：421.53661baa b⎧-=⎪⎨⎪=++⎩，解得：12413ab⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴羽毛球飞行的路线所在的抛物线的表达式为：y=﹣124x2+13x+1，∵y=﹣124（x﹣4）2+53，∴飞行的最高高度为：53米．【点睛】本题考核知识点：二次函数的应用. 解题关键点：熟记二次函数的基本性质.23．如图，AB为半圆O的直径，AC是⊙O的一条弦，D为BC的中点，作DE⊥AC，交AB的延长线于点F，连接DA．求证：EF为半圆O的切线；若DA＝DF＝3（结果保留根号和π）【答案】（1）证明见解析（22736π【解析】（1）直接利用切线的判定方法结合圆心角定理分析得出OD⊥EF，即可得出答案；（2）直接利用得出S△ACD＝S△COD，再利用S阴影＝S△AED﹣S扇形COD，求出答案．【详解】（1）证明：连接OD，∵D为弧BC的中点，∴∠CAD＝∠BAD，∵OA＝OD，∴∠BAD＝∠ADO，∴∠CAD＝∠ADO，∵DE⊥AC，∴∠E＝90°，∴∠CAD+∠EDA＝90°，即∠ADO+∠EDA＝90°，∴OD⊥EF，∴EF为半圆O的切线；（2）解：连接OC与CD，∵DA＝DF，∴∠BAD＝∠F，∴∠BAD＝∠F＝∠CAD，又∵∠BAD+∠CAD+∠F＝90°，∴∠F＝30°，∠BAC＝60°，∵OC＝OA，∴△AOC为等边三角形，∴∠AOC＝60°，∠COB＝120°，∵OD⊥EF，∠F＝30°，∴∠DOF＝60°，在Rt△ODF中，DF＝3∴OD＝DF•tan30°＝6，在Rt △AED 中，DA ＝63，∠CAD ＝30°，∴DE ＝DA•sin30°＝33，EA ＝DA•cos30°＝9，∵∠COD ＝180°﹣∠AOC ﹣∠DOF ＝60°，由CO ＝DO ，∴△COD 是等边三角形，∴∠OCD ＝60°，∴∠DCO ＝∠AOC ＝60°，∴CD ∥AB ，故S △ACD ＝S △COD ，∴S 阴影＝S △AED ﹣S 扇形COD ＝216093362360π⨯⨯-⨯＝27362π-．【点睛】此题主要考查了切线的判定，圆周角定理，等边三角形的判定与性质，解直角三角形及扇形面积求法等知识，得出S △ACD ＝S △COD 是解题关键．24．某商场同时购进甲、乙两种商品共100件，其进价和售价如下表：商品名称甲乙进价(元/件)40 90 售价(元/件) 60 120设其中甲种商品购进x 件，商场售完这100件商品的总利润为y 元．写出y 关于x 的函数关系式；该商场计划最多投入8000元用于购买这两种商品，①至少要购进多少件甲商品？②若销售完这些商品，则商场可获得的最大利润是多少元？【答案】 (Ⅰ)103000y x =-+；(Ⅱ)①至少要购进20件甲商品；②售完这些商品，则商场可获得的最大利润是2800元．【解析】(Ⅰ)根据总利润=（甲的售价-甲的进价）×甲的进货数量+（乙的售价-乙的进价）×乙的进货数量列关系式并化简即可得答案；(Ⅱ)①根据总成本最多投入8000元列不等式即可求出x 的范围，即可得答案；②根据一次函数的增减性确定其最大值即可.【详解】(Ⅰ)根据题意得：()()()604012090100103000y x x x =-+--=-+则y 与x 的函数关系式为103000y x =-+．(Ⅱ)()40901008000x x +-≤，解得20x ≥．∴至少要购进20件甲商品．103000y x =-+，∵100-<，∴y 随着x 的增大而减小∴当20x 时，y 有最大值，102030002800y =-⨯+=最大．∴若售完这些商品，则商场可获得的最大利润是2800元．【点睛】本题考查一次函数的实际应用及一元一次不等式的应用，熟练掌握一次函数的性质是解题关键. 25．观察下列等式：22﹣2×1＝12+1①32﹣2×2＝22+1②42﹣2×3＝32+1③…第④个等式为；根据上面等式的规律，猜想第n 个等式（用含n 的式子表示，n 是正整数），并说明你猜想的等式正确性．【答案】（1）52﹣2×4＝42+1；（2）（n+1）2﹣2n ＝n 2+1，证明详见解析．【解析】（1）根据①②③的规律即可得出第④个等式；（2）第n 个等式为（n+1）2﹣2n ＝n 2+1，把等式左边的完全平方公式展开后再合并同类项即可得出右边．【详解】（1）∵22﹣2×1＝12+1① 32﹣2×2＝22+1②42﹣2×3＝32+1③∴第④个等式为52﹣2×4＝42+1，故答案为：52﹣2×4＝42+1，（2）第n 个等式为（n+1）2﹣2n ＝n 2+1．（n+1）2﹣2n ＝n 2+2n+1﹣2n ＝n 2+1．【点睛】本题主要考查了整式的运算，熟练掌握完全平方公式是解答本题的关键．26．如图，在平面直角坐标系中，一次函数()10y kx b k =+≠与反比例函数()20m y m x=≠的图像交于点()3,1A 和点B ，且经过点()0,2C -.求反比例函数和一次函数的表达式；求当12y y >时自变量x 的取值范围.【答案】 (1) 3y x=，2y x =-；（2）10x -<<或3x >. 【解析】（1）把点A 坐标代入()m y m 0x=≠可求出m 的值即可得反比例函数解析式；把点A 、点C 代入()1y kx b k 0=+≠可求出k 、b 的值，即可得一次函数解析式；（2）联立一次函数和反比例函数解析式可求出点B 的坐标，根据图象，求出一次函数图象在反比例函数图象的上方时，x 的取值范围即可．【详解】（1）把()A 3,1代入()m y m 0x =≠得m 3=. ∴反比例函数的表达式为3y x= 把()A 3,1和()B 0,2-代入y kx b =+得132k b b =+⎧⎨-=⎩，解得12k b =⎧⎨=-⎩∴一次函数的表达式为y x 2=-.（2）由3x 2y y x ⎧=⎪⎨⎪=-⎩得()B 1,3--∴当1x 0-<<或x 3>时，12y y >.【点睛】本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，解决问题的关键是掌握待定系数法求函数解析式．求反比例函数与一次函数的交点坐标时，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解，则两者有交点，若方程组无解，则两者无交点．中考数学模拟试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．某工程队开挖一条480米的隧道，开工后，每天比原计划多挖20米，结果提前4天完成任务，若设原计划每天挖x 米，那么求x 时所列方程正确的是（）A ．480480420x x -=-B ．480480204x x -=+ C ．480480420x x -=+ D ．480480204x x -=- 【答案】C 【解析】本题的关键描述语是：“提前1天完成任务”；等量关系为：原计划用时−实际用时＝1．【详解】解：原计划用时为：480x ，实际用时为：48020x +．所列方程为：480480420x x -=+，故选C ．【点睛】本题考查列分式方程，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键． 2．已知⊙O 的半径为5，若OP=6，则点P 与⊙O 的位置关系是（）A ．点P 在⊙O 内B ．点P 在⊙O 外C ．点P 在⊙O 上D ．无法判断【答案】B【解析】比较OP 与半径的大小即可判断.【详解】r 5=，d OP 6==，d r ∴>，∴点P 在O 外，故选B ．【点睛】本题考查点与圆的位置关系，记住：点与圆的位置关系有3种.设O 的半径为r ，点P 到圆心的距离OP d =，则有：①点P 在圆外d r ⇔>；②点P 在圆上d r ⇔=；①点P 在圆内d r ⇔<. 3．如图所示的几何体，它的左视图是（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】分析：根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．详解：从左边看是等长的上下两个矩形，上边的矩形小，下边的矩形大，两矩形的公共边是虚线，故选D．点睛：本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图．4．某中学为了创建“最美校园图书屋”，新购买了一批图书，其中科普类图书平均每本书的价格是文学类图书平均每本书价格的1.2倍．已知学校用12000元购买文学类图书的本数比用这些钱购买科普类图书的本数多100本，那么学校购买文学类图书平均每本书的价格是多少元？设学校购买文学类图书平均每本书的价格是x元，则下面所列方程中正确的是（）A．1200012000100 1.2x x=+B．12000120001001.2x x=+C．1200012000100 1.2x x=-D．12000120001001.2x x=-【答案】B【解析】首先设文学类图书平均每本的价格为x元，则科普类图书平均每本的价格为1.2x元，根据题意可得等量关系：学校用12000元购买文学类图书的本数比用这些钱购买科普类图书的本数多100本，根据等量关系列出方程，【详解】设学校购买文学类图书平均每本书的价格是x元，可得：12000120001001.2x x=+故选B．【点睛】此题主要考查了分式方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．5．△ABC在正方形网格中的位置如图所示，则cosB的值为( )A 5B．25C．12D．2【答案】A【解析】解：在直角△ABD中，BD=2，AD=4，则22222425BD AD+=+=则cosB=525BDAB==．故选A．6．如图钓鱼竿AC长6m，露在水面上的鱼线BC长32m，钓者想看看鱼钓上的情况，把鱼竿AC逆时针转动15°到AC′的位置，此时露在水面上的鱼线B'C'长度是（）A．3m B．33m C．23m D．4m【答案】B【解析】因为三角形ABC和三角形AB′C′均为直角三角形，且BC、B′C′都是我们所要求角的对边，所以根据正弦来解题，求出∠CAB，进而得出∠C′AB′的度数，然后可以求出鱼线B'C'长度．【详解】解：∵sin∠CAB＝32262 BCAC==∴∠CAB＝45°．∵∠C′AC＝15°，∴∠C′AB′＝60°．∴sin60°＝''3 62B C=，解得：B′C′＝33．故选：B．【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，解本题的关键是把实际问题转化为数学问题．7．如图所示，在长为8cm，宽为6cm的矩形中，截去一个矩形（图中阴影部分），如果剩下的矩形与原矩形相似，那么剩下矩形的面积是（）A．28cm2B．27cm2C．21cm2D．20cm2【答案】B【解析】根据题意，剩下矩形与原矩形相似，利用相似形的对应边的比相等可得．【详解】解：依题意，在矩形ABDC 中截取矩形ABFE ，则矩形ABDC ∽矩形FDCE ，则 AB BD DF DC= 设DF=xcm ，得到：68=x 6 解得：x=4.5，则剩下的矩形面积是：4.5×6=17cm 1．【点睛】本题就是考查相似形的对应边的比相等，分清矩形的对应边是解决本题的关键．8．根据下表中的二次函数2y ax bx c =++的自变量x 与函数y 的对应值，可判断该二次函数的图象与x 轴（）．x… 1- 01 2 … y… 1- 74- 2- 74- …A ．只有一个交点B ．有两个交点，且它们分别在y 轴两侧C ．有两个交点，且它们均在y 轴同侧D ．无交点【答案】B 【解析】根据表中数据可得抛物线的对称轴为x=1，抛物线的开口方向向上，再根据抛物线的对称性即可作出判断.【详解】解：由题意得抛物线的对称轴为x=1，抛物线的开口方向向上则该二次函数的图像与x 轴有两个交点，且它们分别在y 轴两侧故选B.【点睛】本题考查二次函数的性质，属于基础应用题，只需学生熟练掌握抛物线的对称性，即可完成.9．点A （m ﹣4，1﹣2m ）在第四象限，则m 的取值范围是（）。

初中数学九年级下册《第10讲一次函数》知识点归纳

第10讲一次函数知识点一：一次函数的概念及其图象、性质关键点拨与对应举例1.一次函数的相关概念（1）概念：一般来说，形如y＝kx＋b(k≠0)的函数叫做一次函数．特别地，当b＝0时，称为正比例函数．（2）图象形状：一次函数y＝kx＋b是一条经过点（0,b）和（-b/k,0）的直线.特别地，正比例函数y＝kx的图象是一条恒经过点（0,0）的直线.例：当k＝1时，函数y＝kx＋k－1是正比例函数,2.一次函数的性质k，b符号K＞0，b＞0K＞0，b＜0K＞0，b=0k<0，b>0k<0，b<0k<0，b＝0（1）一次函数y=kx+b中，k确定了倾斜方向和倾斜程度，b确定了与y轴交点的位置.（2）比较两个一次函数函数值的大小：性质法，借助函数的图象，也可以运用数值代入法.例：已知函数y=－2x＋b，函数值y随x的增大而减小(填“增大”或“减小”)．大致图象经过象限一、二、三一、三、四一、三一、二、四二、三、四二、四图象性质y随x的增大而增大y随x的增大而减小3.一次函数与坐标轴交点坐标(1)交点坐标：求一次函数与x轴的交点，只需令y=0,解出x即可；求与y轴的交点，只需令x=0,求出y即可.故一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象与x轴的交点是()－bk，0，与y轴的交点是(0，b)；(2)正比例函数y＝kx(k≠0)的图象恒过点(0，0)．例：一次函数y＝x＋2与x轴交点的坐标是（-2,0），与y轴交点的坐标是（0,2）.知识点二：确定一次函数的表达式4.确定一次函数表达式的条件（1）常用方法：待定系数法，其一般步骤为：①设：设函数表达式为y＝kx＋b(k≠0)；②代：将已知点的坐标代入函数表达式，解方程或方程组；③解：求出k与b的值，得到函数表达式．（2）常见类型：①已知两点确定表达式；②已知两对函数对应值确定表达式；③平移转化型：如已知函数是由y=2x平移所得到的，且经过点（0,1），则可设要求函数的解析式为y=2x+b,再把点（0,1）的坐标代入即可.(1)确定一次函数的表达式需要两组条件，而确定正比例函数的表达式，只需一组条件即可.(2)只要给出一次函数与y轴交点坐标即可得出b的值,b值为其纵坐标，可快速解题. 如:已知一次函数经过点（0,2），则可知b=2.数学选择题解题技巧1、排除法。

一次函数知识点总结

一次函数知识点总结一次函数是数学中非常重要的一个概念，在我们的日常生活和学习中都有着广泛的应用。

接下来，就让我们一起来详细了解一下一次函数的相关知识点。

一、一次函数的定义一般地，形如 y ＝ kx ＋ b（k，b 是常数，k ≠ 0）的函数，叫做一次函数。

当 b ＝ 0 时，即 y ＝ kx（k 为常数，k ≠ 0），这时称 y 是 x的正比例函数，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数。

理解一次函数的定义需要注意以下几点：1、 k 和 b 是常数，且k ≠ 0。

如果 k ＝ 0，那么函数就变成了 y ＝ b，这是一个常数函数，不是一次函数。

2、自变量 x 的次数是 1，不能有 x 的平方、立方等更高次项。

二、一次函数的图像一次函数 y ＝ kx ＋ b 的图像是一条直线。

当 k ＞ 0 时，直线从左到右上升，y 随 x 的增大而增大；当 k ＜ 0 时，直线从左到右下降，y 随 x 的增大而减小。

b 的值决定了直线与 y 轴的交点坐标。

当 x ＝ 0 时，y ＝ b，所以直线与 y 轴的交点坐标为（0，b）。

例如，函数 y ＝ 2x ＋ 1，k ＝ 2 ＞ 0，直线上升，b ＝ 1，与 y 轴交于点（0，1）。

三、一次函数的性质1、增减性正如前面所说，k 的正负决定了函数的增减性。

2、对称性一次函数的图像是一条直线，所以它关于直线 x ＝ b ／（2k) 对称。

3、与坐标轴的交点与 x 轴的交点：令 y ＝ 0，解得 x ＝ b ／ k，所以与 x 轴的交点坐标为（b ／ k，0）。

与 y 轴的交点：前面已经提到，为（0，b）。

四、一次函数的解析式的确定要确定一个一次函数的解析式，通常需要两个条件，然后将这两个条件代入解析式中，得到一个方程组，解这个方程组就能求出 k 和 b的值。

常见的条件有：1、已知两点的坐标。

2、已知一个点的坐标和函数的图像经过的另一个特殊位置（如与x 轴或 y 轴的交点）。

中考专题--建立一次函数模型解决实际问题(课件)-2023-2024学年北师大版数学九年级下册

当x 80时，y 880 2560 1920, 此时方案为：把甲仓库80吨全部运往A港口，再从乙仓库运送20吨到A港口，乙仓库剩下的50吨全部运往B港口。
牛刀小试：为增强公民的节约意识，合理利用天然气资源，某市自1月1日起对市区民用管道天然气价格进行调整，实行阶梯式气价，调整后的收费价格如表所示：
（1由）若题某意“外得卖，小当哥”04月份x送餐506000时单，，求y他这20个0月0 的工6x资;总额；
当500 x 800时，y 2000 500 6 (x 500)8 1000 8x;
当x 800时，y 2000 500 6 （800 - 500）8 （x 800）10 10 x 600.
（1）若某“外卖小哥”4月份送餐600单，求他这个月的工资总额；
由题意可知，当y 8000时，x 800, 则8000 10x 600,
解得x 860.
答：他本月送餐送了860单.
例：为保障我国海外维和部队官兵的生活，现需通过A港口、 B港口分别运送100吨和50吨生活物资。已知该物资在甲仓库存有80吨，乙仓库存有70吨，若从甲、乙两仓库运送物资到港口的费用（元/吨）如表所示：
港口
运费（元/吨）
甲库
乙库
（1）若某“外卖小哥”4月A港份送餐600单1，4 求他这个月的2工0资总额；
B港
10
8
（1）设从甲仓库运送到A港口的物资为x吨，求总运费y（元）与x（吨）之间的函数关系式，并写出x的取值范围；（2）求出最低费用，并说明费用最低时的调配方案。
（1）设从甲仓库运送到A港口的物资为x吨，求总运费y（元）
（1）若甲用户3月份的用气量为60m3，则应缴费多少元；（2）若调价后每月支出的燃气费为y（元），每月的用气量为x（m3），y与x之间的关系如图所示，求a的值及y与x之间的函数关系式；

新北师版初中数学九年级下册中考知识点梳理第10讲一次函数

③解：求出k与b的值，得到函数表达式．
（2）常见类型：
①已知两点确定表达式；②已知两对函数对应值确定表达式；
③平移转化型：如已知函数是由y=2x平移所得到的，且经过点（0,1），则可设要求函数的解析式为y=2x+b,再把点（0,1）的坐标代入即可.
(1)确定一次函数的表达式需要两组条件，而确定正比例函数y轴交点坐标即可得出b的值,b值为其纵坐标，可快速解题.如:已知一次函数经过点（0,2），则可知b=2.
5.一次函数图象的平移
规律：①一次函数图象平移前后k不变，或两条直线可以通过平移得到，则可知它们的k值相同.
②若向上平移h单位，则b值增大h；若向下平移h单位，则b值减小h.
(2)正比例函数y＝kx(k≠0)的图象恒过点(0，0)．
例：
一次函数y＝x＋2与x轴交点的坐标是（-2,0），与y轴交点的坐标是（0,2）.
知识点二：确定一次函数的表达式
4.确定一次函数表达式的条件
（1）常用方法：待定系数法，其一般步骤为：
①设：设函数表达式为y＝kx＋b(k≠0)；
②代：将已知点的坐标代入函数表达式，解方程或方程组；
例：当k＝1时，函数y＝kx＋k－1是正比例函数,
2.一次函数的性质
k，b
符号
K＞0，
b＞0
K＞0，
b＜0
K＞0，b=0
k<0，
b>0
k<0，
b<0
k<0，
b＝0
（1）一次函数y=kx+b中，k确定了倾斜方向和倾斜程度，b确定了与y轴交点的位置.
（2）比较两个一次函数函数值的大小：性质法，借助函数的图象，也可以运用数值代入法.
10.常见题型

一次函数知识点总结九年级

一次函数知识点总结九年级在数学学科中，一次函数是初中九年级的重要内容之一。

它是一种特殊的代数函数，具有形如y = ax + b的标准形式，其中a和b都是实数常数，且a不等于零。

一次函数的研究对于学生理解和掌握函数的性质和应用具有重要意义。

本文将对一次函数的知识点进行总结和归纳，帮助九年级学生更好地理解和运用一次函数。

一、函数的概念和特性函数是一种特殊的关系，它将一个自变量的值映射到唯一对应的因变量的值。

一次函数是函数中最简单的一种形式，其图像为一条直线。

一次函数具有以下特点：1. 函数图像为直线，斜率为a，反映了函数的变化趋势；2. 函数图像通过平面直角坐标系的原点，截距为b，表示函数图像与y轴的交点。

二、一次函数的图像1. 斜率的含义斜率是一次函数的重要指标，表示函数图像在平面坐标系中的斜率。

斜率等于函数图像上任意两点之间纵坐标的变化量与横坐标的变化量之比。

当斜率为正数时，函数图像是上升的；当斜率为负数时，函数图像是下降的；当斜率为零时，函数图像是水平的；当斜率不存在时，函数图像是垂直的。

2. 截距的意义截距指的是一次函数图像与y轴的交点坐标。

截距用数字表示函数图像在y轴上的位置，可以是正数、负数或零。

当截距为正数时，函数图像在y轴上方；当截距为负数时，函数图像在y轴下方；当截距为零时，函数图像通过y轴原点。

三、一次函数的变换一次函数可以通过平移、伸缩和翻转等变换，来得到新的函数图像。

其中，平移是将函数图像沿着坐标轴的方向上下左右移动；伸缩是通过改变斜率和截距的值，改变函数图像的陡峭程度和位置；翻转是将函数图像关于某一直线进行对称。

四、一次函数的应用一次函数是数学中的基础，广泛应用于各个领域。

以下是一次函数在实际问题中的应用：1. 距离、速度和时间的关系通过一次函数可以描述物体在匀速直线运动时，距离、速度和时间的变化关系。

利用函数关系，可以求解运动过程中产生的各种问题，如求解加速度、运动时间等。

九年级一次函数知识点总结

九年级一次函数知识点总结一次函数是数学中的一个重要概念，它在数学和实际生活中都具有广泛的应用。

在九年级的数学课程中，学生首次接触到一次函数的相关知识，掌握这些知识将为他们日后的学习奠定坚实的基础。

本文将对九年级一次函数的知识点进行总结。

1. 一次函数的概念和表示方法一次函数，也称为线性函数，是形如y = kx + b（k和b为常数）的函数。

其中k表示直线的斜率，b表示直线与y轴的截距。

一次函数可以用函数图象、函数表格和函数关系式等多种方式表示。

2. 斜率的意义和计算方法斜率是一次函数中一个重要的性质，它代表了直线的倾斜程度。

斜率的计算方法为k = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁)，其中（x₁，y₁）和（x₂，y₂）为直线上的两个点。

3. 直线与坐标轴的交点在一次函数中，直线与坐标轴的交点具有重要意义。

当直线与x轴相交时，y的值为0，此时可以求解直线与x轴的交点。

同样地，当直线与y轴相交时，x的值为0，此时我们可以求解直线与y轴的交点。

4. 函数图象的性质一次函数的函数图象通常是一条直线，它具有一些重要的性质。

例如，当斜率k为正数时，直线呈正斜率；当斜率k为负数时，直线呈负斜率；当斜率k为0时，直线为水平线；当直线与y轴平行时，斜率无穷大。

这些性质可以帮助我们理解函数图象的特点。

5. 函数的增减性和单调性在一次函数中，函数的增减性和单调性可以通过斜率的正负性来判断。

当斜率k大于0时，函数增大；当斜率k小于0时，函数减小；当斜率k等于0时，函数不增不减。

函数的单调性表示函数在某个区间内是递增的还是递减的，可以通过斜率来确定函数的单调性。

6. 函数的最值和定义域一次函数在定义域内可能存在最大值和最小值。

当斜率k大于0时，函数的最小值在定义域的最小值上取得；当斜率k小于0时，函数的最大值在定义域的最小值上取得。

函数的定义域是指函数可以取值的范围，一次函数的定义域通常是整个实数集。

7. 函数关系式的应用一次函数的关系式在实际问题中有着广泛的应用。

一次函数所有知识点初中

一次函数所有知识点初中一、什么是一次函数一次函数，也叫线性函数，是数学中的一种基本函数类型。

它的特点是函数的表达式中只有一次幂，没有二次、三次幂等高次幂。

一次函数的一般形式可以表示为y = kx + b，其中k和b分别是函数的斜率和截距。

一次函数的图像是一条直线，斜率决定了直线的倾斜程度，而截距决定了直线与y轴的交点位置。

二、一次函数的特点和性质1. 斜率：斜率是一次函数最重要的性质之一，它表示了函数图像的倾斜程度。

当斜率为正数时，函数图像向右上方倾斜；当斜率为负数时，函数图像向右下方倾斜；当斜率为零时，函数图像是水平的直线。

2. 截距：截距是一次函数与y轴的交点位置。

当截距为正数时，函数图像在y轴的上方；当截距为负数时，函数图像在y轴的下方；当截距为零时，函数图像经过原点。

3. 函数图像：一次函数的图像是一条直线，通过两个点可以确定一条直线。

当已知两个点的坐标时，可以通过求斜率和截距来确定一次函数的表达式。

4. 增减性：当斜率为正数时，一次函数随着自变量的增大而增大；当斜率为负数时，一次函数随着自变量的增大而减小。

5. 零点：一次函数的零点是函数图像与x轴的交点，即使函数的值为0的点。

可以通过解一元一次方程来求得一次函数的零点。

6. 定义域和值域：一次函数的定义域是所有实数集，值域是所有实数集。

三、一次函数的应用1. 直线运动：一次函数可以描述物体在匀速直线运动中的位置与时间的关系。

斜率表示速度，截距表示初始位置。

2. 成本与收益关系：一次函数可以描述成本与收益之间的关系。

斜率表示单位成本或单位收益，截距表示固定成本或固定收益。

3. 资产折旧：一次函数可以描述资产价值随时间的变化情况。

斜率表示折旧速度，截距表示初始价值。

4. 比例关系：一次函数可以描述两个变量之间的比例关系。

斜率表示比例系数，截距表示零点。

四、总结一次函数是数学中的一种基本函数类型，具有斜率和截距等特点和性质。

它可以用来描述直线运动、成本与收益关系、资产折旧等实际问题。

北师大版数学一次函数考点归纳及例题详解

北师大版数学一次函数考点归纳及例题详解【考点归纳】考点1: 一次困数的概念.相关知识：一次函数是形如旷=心+〃〔&、.为常数,且攵工0〕的函数,特别的当.=0时函数为y = kx〔k w 0〕,叫正比例函数.【例题】】•以下函数中,y是x的正比例函数的是〔〕A. y=2x-lB. y=-C. y=2x2D. y=2x+l32 .自变量为x的函数y=mx+2-m是正比例函数,那么m二该函数的解析式为■3 .一次函数y =伏- l〕x囚+3,那么k=.4 .函数y = 〔〃?-2〕/e一〃? + 〃,当m=, n二时为正比例函数；当m=,n 时为一次函数.考点2: 一次函数图象与系数相关知识：一次函数〕,=攵工+以女工0〕的图象是一条直线,图象位置由攵、b确定, 女＞0直线要经过一、三象限,攵〈.直线必经过二、四象限,.＞.直线与y轴的交点在正半轴上,人＜.直线与y轴的交点在负半轴上.【例题】1 .直线y=x-1的图像经过象限是〔〕A.第一、二、三象限B.第一、二、四象限C.第二、三、四象限D.第一、三、四象限2 . 一次函数y=6x+l的图象不经过〔〕A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3 . 一次函数片-3 x+2的图象不经过第象限.4 . 一次函数y = x+2的图象大致是〔〕5 .关于x的一次函数y=kx+k2+l的图像可能是〔〕6 .一次函数片x+力的图像经过一、二、三象限,那么b的值可以是〔〕.A.-2B.-lC.OD.27 .假设一次函数y = 〔2〃? - l〕x + 3 — 2〃？的图像经过一、二、四象限,贝ij m的取值围是.8 .一次函数的图像如下图,那么.的取值围是〔〕A.f77>0//7<2B. m>0,n>2C. /77<0z/?<2D. m<Q f n>29 .关于x的一次函数〕,=〃a+〃的图象如下图,那么1〃-/〃1-" 可化简为——10 .如果一次函数片=4x+h的图像经过第一、三、四象限,那么b的取值围是__.考点3: 一次函数的增减性相关知识：一次函数y = kx+〃〔4w0〕,当攵>0时,y随x的增大而增大,当kvO 时,y随x 的增大而减小.规律总结：从图象上看只要图象经过一、三象限,y随x的增大而增大,经过二、四象限,y随x的增大而减小.【例题】1 .写出一个具体的 > 随工的增大而减小的一次函数解析式_ ______________________2 .一次函数y=2x+3中,y的值随x值增大而.〔埴“增大〞或“减小〞〕3 .关于x的一次函数y=kx+4k-2化大0〕.假设其图象经过原点,那么k二;假设y随x的增大而减小,那么k的取值围是______ .4 .假设一次函数〕,=〔2-〃?卜一2的函数值y随x的增大而减小,那么〃7的取值围是〔〕A. /??<0B. >0C. m<2D. in > 25 .点工〔-5, a〕, 8〔4, b〕在直线y=3x+2 上,那么.b o〔埴“>〞、或“二〞号〕6 .当实数x的取值使得,口有意义时,函数尸4x+1中y的取值围是〔〕.A. y> -7B. y>9C. y>9D. y<97 .一次函数的图象经过点〔0,1〕,且满足〕,随X增大而增大,那么该一次函数的解析式可以为〔写出一个即可〕.考点4:函数图象经过点的含义相关知识：函数图象上的点是由适合函数解析式的一对x、y的值组成的,因此,假设已知一个点在函数图象上,那么以这个点的横坐标代x,纵坐标代y,方程成立.【例题】1 .直线〕,=履+〃经过点伏,3〕和〔1次〕,那么k的值为〔〕.A. y/3B. ±y/3C. "D. ±V22 .坐标平面上,假设点〔3,.在方程式3y = 2x-9的图形上,那么b值为何？A. -1B. 2C. 3D. 93 . 一次函数产2x-1的图象经过点9, 3〕,那么b.4 .在平面直角坐标系xQv中,点「〔2,.〕在正比例函数,丫 = 1工的图象上,那么点Q 〔a,3a-5〕位于第象限.5 .直线片h-】一定经过点〔〕.A. 〔1, 0〕B. 〔1, k〕C. 〔0, k〕D. 〔0, -1〕7.如下图的坐标平面上,有一条通过点〔-3, - 2〕的直线Zo假设四点〔-2 ,.〕、〔0,初、〔.0〕、.一1〕在J上,那么以下数值的判断,何者正确？〔A. a=3B.Z?> -2C.c< - 3D.d=2考点5:函数图象与方程〔组〕相关知识：两个函数图象的交点坐标就是两个解析式组成的方程组的解.1.点B, C,.的坐标如图,求直线工8与直线的交点坐标.2.如表1给出了直线/I上局部点〔% y〕的坐标值,表2给出了直线L上局部/)的坐标值.那么直线4和直线人交点坐标为X-202y31-13.直线y=x-3与y=2x+2的交点为〔-5,-8〕,那么方程组x-y-3=0C . c c的解是2x-y+ 2 = 04.如图,y =研+ 〃和、=公的图象交于点P,根据图象可得关于X、Y的二元一次方程组ax-y + b = 0 kx- y = 0的解是考点6:图象的平移【例题】1 .在平面直角坐标系中,把直线y二x向左平移一个单位长度后,其直线解析式为A. y=x+lB.y=x-1C.y 二xD. y=x-2x 表12.将直线y = 2x向右平移1个单位后所得图象对应的函数解析式为〔〕A. y = 2x-lB. y = 2x-2C. y = 2x + \D. y = 2x + 23.如图,把RtZiABC 放在直角坐标系,其中/CAB=90° , BO5,点A 、B 的坐标分别为〔1, 0〕、〔4, 0〕,将AABC 沿x 轴向右平移,当点C 落在直线y=2x-6上时,考点7:函数图象与不等式〔组〕相关知识：函数图象上的点是由适合函数解析式的一对x 、y 的值组成的〔x 、y 〕, x 的值是点的横坐标,纵坐标就是与这个X 的值相对应的y 的值,因此,观察x 或y 的值就是看函数图象上点的横、纵坐标的值,比拟函数值的大小就是比拟同一个x 的对应点的纵坐标的大小,也就是函数图象上的点的位置的上下.【例题】1 41.如下图,函数刃=忖和刈=三x + ;的图象相交于〔一1,1〕,〔2,2〕两点.当X >y 2 •J•J时,工的取值围是〔〕A. xv - 1B. —1 <x<2C. x>2D. xv - 1 或 x>22 •点工〔王,凹〕和点8〔七,为〕在同一直线¥ =履+ 8上,且攵<.,假设』,那么乃,为的关系是：〔〕A 、> y 2B 、y l < y 2C 、y } = y 2D 、无法确定.3 .一次函数y = kx+3的图象如下图,那么不等式kx+3Vo 的解集是 O线段BC 扫过的面积为〔〕A. 4B. 8C. 16D. 8>/24 .如图,一次函数y = &+〃〔ZvO〕的图象经过点A.当〕,<3时,/的取值围是.5 .如图5,直线乙：,,=x +1与直线/, y = rnx + n相交于点P 〔.,2〕,那么关于X的不等式X + 1 > nvc + n的解集为.〔图6〕6 .如图6,直线丫 =奴+力经过工〔-］,1〕和8〔-攻,0〕两点,那么不等式0v依+Z?v -x的解集为=.考点8: 一次函数解析式确实定【例题】1 .y+m与x+n成正比例〔m, n为常数〕.〔】〕试说明y是x的一次函数〔2〕当x=3时,y=5,当x=2时,y=2,求y与x之间的函数关系式.2 .Y与X成正比例,Z与X成正比例,当Z=3时,Y=1 ；当X=2/3时,Z=4,那么Y与X的函数关系式为23 .如图,直线/过A、B两点,A 〔0 , -1〕, B 〔1,0 〕,那么直线/的解析式为 .4 .一次函数y=kx+b的图像经过两点B〔2Z-1〕,求这个函数的解析式.5 .一个矩形被直线分成面积为x. y 的两局部,那么y 与x 之间的函数关系只可能是( )6 .设min {x t y}表示xy 两个数中的最小值,例如min {0,2} =0, min {12,8} =8,那么关于x 的函数y=min{2x, x+2}, y 可以表示为()D.尸x+27 .：一次函数y = ^ +〃的图象经过例(0, 2), (1, 3)两点. (I)求幺6的值;(2)假设一次函数y = h+〃的图象与x 轴的交点为4a 0),求a 的值.8 .如图,在平面直角坐标系中,A 、3均在边长为1的正方形网格格点上.⑴求线段回所在直线的函数解析式,并写出当0 « y ?2时后变量x 的取值围;⑵将线段AB 绕点B 逆时针旋转90 ,得到线段8C,请画出线段3C.假设直线BC 的函数解析考点9：与一次函数有关的几何探究问题(动点)【例题】41 .如图6,在平面直角坐标系中,直线/：),= -、x + 4分别交x 轴、y 轴于点4、8,将2x (XV 2) x + 2(x> 2)_ x + 2 (x<2)―2x (x>2)C. y=2x式为),=h+〃,那么),随x 的增大而(埴“增大〞或“减△AO8绕点.顺时针旋转90.后得到△AO&.(1)求直线A8'的解析式；(2)假设直线A3'与直线/相交于点C,求△A8C的面积.2 .在平面直角坐标系中,一次函数的图象与坐标轴围成的三角形,叫做此一次函数的坐标三角形. 例如,图中的一次函数的图象与XV轴分别交于点4民那么△Q48为此函数的坐标三角形.3(1)求函数yn-ix+s的坐标三角形的三条边长；43(2)假设函数(?为常数)的坐标三角形周长为16, 求此三角形面积.43 .如图,直线由是一次函数y = x + l的图象,直线尸8是一次■函数y = -2x + 2的图象.(1)求工、从尸三点的坐标；(6分)(2)求四边形尸.■的面积；(6分)4 .如图,在平面直角坐标系中,一次函数丁 =攵工+5的图象经过点2A (1, 4),点B是一次函数y = %x+5的图象与正比例函数y = QX的图象的交点.(1)求点B的坐标.(2)求aAOB的面积.5.如图,在边长为2的正方形ABCD的一边BC上,一点P从B点运动到C点,设BP=X, 四边形APCD的面积为匕⑴ 写出y与x之间的函数关系式及x的取值围；⑵ 说明是否存在点P,使四边形APCD的面积为1.5?6 .如图,在平面直角坐标系中,过点B (6, 0)的直线AB与直线OATg交于点A (4. 2),功点M沿路爱0-A—C运动.(1)求直线AB的解析式.(2)求△OAC的面积.(3)当AOMC的茴积是AOAC的固积的1时, 4求出这时点M的坐标.7 .如下图,在矩形ABCD中,动点P从点B出发,沿BC, CD, DA运动至点A停止,设点P运动的路程为x, 2XABP的面积为y,如果y关于X的函数图象如下图,那么△ABC的面积是.8 ..如图1,在矩形"NP.中,动点R从点N出发,沿N-P-M方向运动至点〞处停止.设点R运动的路程为x, AMN/?的面积为y,如果),关于x的函数图象如图2所示,那么当x = 9时,点R应运动到〔〕A. N处B. P处C. 0处9.如图1,正方形O48C的边长为2,顶点4、C分别在x、y轴的正半轴上,例是8c 的中点.片o,m〕是线段0c上一动点〔C点除外〕,直线尸M交工8的延长线于点..〔1〕求点.的坐标〔用含m的代数式表示〕；〔2〕当△工尸.是等腰三角形时,求m的值；图1考点10：一次函数图象信息题〔从图像中读取信息.利用信息解题〕思路点拨:：一次函数在实际中的应用是先根据条件求出一次函数的解析式,然后根据一次函数的性质解决相关问题.规律总结：先求一次函数解析式,再利用一次函数的性质,对于图象不是一条线而是由多条线段组成的,要根据函数的自变量的取值围分别求.【例题】1 .一天,亮亮感冒发烧了,早晨他烧得厉害,吃过药后感冒好多了,中午时亮亮的体温基本正常,但是下午他的体温又开始上升,直到半夜亮亮才感觉身上不那么发烫了.图中能基本反映出亮亮这一天〔.〜24时〕体温的变化情况的是〔〕BCD2 .汽车的速度随时间变化的情况如下图:⑴这辆汽车的最高时速是多少？⑵汽车在行驶了多长时间后停了下来,停了多长时间？⑶汽车在第一次匀速行驶时共用了几小时？速度是多少？在这段时间,它走了多远?3 ,有两人分别骑自行车和摩托车沿着相同的路线从甲地到乙地去,以下图反映的是这两个人行驶过程中时间和路程的关系,请根据图象答复以下问题:⑴甲地与乙地相距多少千米？两个人分别用了几小时才到达乙地？谁先到达了乙地?早到多长时间？⑵分别描述在这个过程中自行车和摩托车的行驶状态.⑶求摩托车行驶的平均速度.4 .某污水处理厂的一个净化水池设有2个进水口和】个出水口,三个水口至少翻开一个.每个进水口进水的速度由图甲给出,出水口出水的速度由图乙给出.某一天.点到6点,该水池的蓄水量与时间的函数关系如图丙所示.通过对图象的观察,小亮得出了以下三个论断：(12点到3点只进水不出水；⑵3点到4点不进水只出水,(3)4点到6点不进水也不出水.其中正确的选项是()A. (1)B. (3)C.⑴⑶D.⑴⑵⑶5 .甲、乙两组工人同时开始加工某种零件,乙组在工作中有一次停产更换设备后,乙组的工作效率是原来的2倍.两组各自加工数量y (件)与时间x (时)之间的函数图象如图所示.(1)求甲组加工零件的数量y与时间x之间的函数关系式.(2)求乙组加工岑件总量.的值.(3)甲、乙两组加工出的零件合在一起装箱,每够300件装一箱,零件装箱的时间忽略不计,求经过多长时间恰好装满第1箱？再经过多长时间恰好装满第2箱？6 .小师傅驾车到某地办事,汽车出发前油箱中有油50升,行驶假设干小时后,途中在加油站加油假设干升,油箱中剩余油量y (升)与行驶时间/(小时)之间的关系如下图.(1)请问汽车行驶多少小时后加油,中途加油多少升？(2)求加油前油箱剩余油量y与行驶时间/的函数关系式；(3)加油前后汽车都以70千米/小时的速度匀速行驶,如果加油站距目的地210千米,要到达目的地,问油箱中的油是否移用？请说明理由.7 .小明从家崎自行车出发,沿一条直路到相距2400m的邮局办事,小明出发的同时,他的爸爸以96m/min的速度从邮局沿同一条道路步行回家,小明在邮局停留2min后沿原路以原速返回,设他们出发后经过t min时,小明与家之间的距离为S】m,小明爸爸与家之间的距离为Szm,,图中折线OABD,线段EF分别是表示&、S?与t之间函数关系的图像.(1)求$2与t之间的函数关系式：(2) 小明从家出发,经过多长时间在返回途中追上爸爸？这时他们距离家还有多远?8.鞋子的“鞋码〞和鞋长〔cm〕存在一种换算关系,下表是几组“鞋码〞与鞋长换算的对应数值：［注：“鞋码〞是表示鞋子大小的一种］鞋长16192124(cm)鞋码22283238〔号〕〔1〕设鞋长为X “鞋码〞为匕试判断点〔K y〕在你学过的哪种函数的图象上?〔2〕求X、y之间的函数关系式；〔3〕如果某人穿44号“鞋码〞的鞋,那么他的鞋长是多少？9 .某医药研究所开发一种新药,如果成人按规定的剂量服用,据监测:服药后每毫升血液中含药量y与时间t之间近似满足如下图曲线：⑴分别求出,＜ ?和,之!时/与t之间的函数关系式; 2 2⑵据测定:每毫升血液中含药量不少于4微克时治疗疾病有效,假设某病人一天中第一次服药为7:00,那么服药后几点到几点有效210 .某公交公司的公共汽车和出租车每天从乌鲁木齐市出发往返于乌鲁木齐市和石河子市两地,出租车比公共汽车多往返一趟,如图表示出租车距乌鲁木齐市的路程y 〔单位：千米〕与所用时间x 〔单位：小时〕的函数图象.公共汽车比出租车晚1小时出发,到达石河子市后休息2小时,然后按原路原速返回,结果比出租车最后一次返回乌鲁木齐早1小时.〔1〕请在图中画出公共汽车距乌鲁木齐市的路程y 〔千米〕与所用时间X 〔小时〕的函数图象.〔2〕求两车在途中相遇的次数〔直接写出答案〕〔3〕求两车最后一次相遇时,距乌鲁木齐市的路程.11 .小颖和小亮上山游玩,小颖乘会缆车,小亮步行,两人相约在山顶的缆车终点会合.已知小亮行走到缆车终点的路程是缆车到山顶的线路长的2倍,小颖在小亮出发后50 min 才乘上缆车,缆车的平均速度为180 m/min,设小亮出发x min后行走的路程为y m .图中的折线表示小亮在整个行走过程中y与x的函数关系.⑴小亮行走的总路程是 ___________ cm,他途中休息了min.(2)①当50&x<80时,求y与x的函数关系式；②当小颖到达缆车终点为时,小亮离缆车终点的路程是多少？1 .选择题⑴以下说法中不成立的是(A.在.v = 3x-i 中,y+1与X 成正比例；B.在中,y 与X 成正比例C.在,,= 2.+1)中,y 与x+1成正比例；D.在y=x+3中,y 与x 成正比例 (2)(X ), y1)和(Xs, y 2)是直线y=3x 上的两点,x 1>x 2l 那么y1与y2的大小关系是( )A.yi>Y2 ⑶以下说确的是( ⑸当k>0时,直线厂kx-5不经过的象限是((1)函数y=2x+m-l,当m=时,它是正比例函数.(2)假设一次函数y=bx+2的图象经过点A(-l, 1),贝ijb 二. (3)函数y=5x+l 中y 随x 的增大而;函数y=8x-3中y 随x 的增大而・(4)y-2与x 成正比例,且x=2时,尸4,那么y 与x 的函数关系式是 _________________ ;当尸3时,x=.(5)假设关于x 的函数),= (〃 +IM"'〞是一次函数,那么, n.(6)将直线y=3x 向下平移5个单位,得到直线;将直线y=-¥5向上平移5 个单位,得到直线.(7)假设直线),=-x + a 和直线),=x + 〃的交点坐标为(6,8),那么a+b=3 .设有三个变量x 、y 、z,其中y 是x 的正比例函数,z 是y 的正比例函数,请问z 是x 的正比例函数吗？并说明理由.4 .作出函数y=2x-2的图象,并根据图象解答以下问题: ⑴当x 为何值时,y>0, y = 0, yvO?⑵指出图象与X 轴交点A,与y 轴交于点B 的坐标,并求出aAOB 的面积S.B.yi<y 2C.y!=y 2D.以上都有可能A.正比例函数是一次函数 C.正比例函数不是一次函数 (4)以下函数中,y 是x 的一次函数的是(B.一次函数是正比例函数D.不是正比例函数就不是一次函数)A.y=3x+5B.y=-3x 2C.y= — xD.y=2« A.第一象限 2 .埴空题B.第二象限C.第三象限D.第四象限5 .点燃蜡烛,根据与时间成正比例关系变短,长为21cm的蜡烛,点燃6分钟后,螃烛变短3.6 cm,设蜡烛点燃x分后变短y cm.求：⑴用x表示函数y的解析式；⑵自变量的取值围；⑶此蜡烛几分钟燃烧完？⑷画出此函数的图象.6,函数y=(2m-l)x+l-3m, m为何值时,⑴这个函数是正比例函数？⑵这个函数为一次函数？⑶函数值y随x的增大而减小？⑷这个函数图象与直线y=x+i的交点在x轴上?7.一个正比例函数和一个一次函数的图象交于点P(-2,2),且一次函数的图象与y轴相交于点Q (0, 4)(1)求这两个函数的解析式(2)在同一坐标系,’分别画出这两个函数的图象〔3〕求出A'..的面积8,y-4与x 成正比,且x=6时,y=4⑴求y 与x 的解析式⑵此直线在第一象限上有一动点P 〔x,y 〕, x 轴上有一点C 〔-2. 0〕,这条直线与x 轴交于 A,求三角形PAC 的面积与x 的函数关系式,并写出x 的取值围.一、埴空题1 .在函数y = 431中,自变量工的取值围是 __________ .2 .函数y = ；/中,当x=时,函数的值等于2.3 .一次函数前图象经过点〔-2, 3〕与〔1 ,-】〕,它的解析式是— ——, 4,出租车收费按路程计算,3km 〔包括3km 〕收费8元；超过3km 每增加1km 加收 1元,那么路程x>3km 时,车费y 〔元〕与x 化m 〕之间的函数关系式是==.5 .假设直线〕,=一工+〃和直线,v = x + b 的交点坐标为〔皿.8〕,那么〃+人=.6 .有边长为1的等边三角形卡片假设干,使用这些三角形卡片拼出边长分别是2、3、4、… 的等边三角形〔如图〕.根据图形推断每个等边三角形卡片总数S 与边长n 的关系式.二、选择题7 ,函数是研究〔〕A.常里之间的对应关系的C.变量与常量之间对应关系的 8 .函数y 二］言的自变量x 的取值围是〔〕B.常量与变量之间的对应关系的 D.变量之间的对应关系的A.x>-2B.x > -2C.x4-2D.x < -29 .汽车由A地驶往相距120km的B地,它的平均速度是30km/h,那么汽车距B地路程s 〔km〕与行驶时间t〔h〕的函数关系式及自变量t的取值围是〔〕A.S=120-30t 〔0<t<4〕B.S=120-30t 〔t>0〕C.S=30t 〔0<t<40〕D.S=30t 〔t<4〕10.函数y = 3x+】,当自变量增加m时,相应的函数值增加〔〕A.3m+1B.3mC.mD.3m -11】.无论m为何实数,直线y = x+2〃?与y = -x+4的交点不可能在〔〕A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限12.小明的父亲饭后散步,从家中走20分钟到一个离家900米的报亭看10分钟的报纸后,用15分钟返回家中,以下图形中表示小明父亲离家的距离y〔米〕与时间x 〔分钟〕之间的关系是〔〕三、解做题：14,将函数y = 2x + 3的图象平移,使它经过点〔2, -1〕,求平移后得到的直线的解析式.15.甲市到乙市的包裹邮资为每千克0.9元,每件另加手续费0.2元.求邮寄一件包裹的总邮资y 〔元〕与包裹重量x 〔千克〕之间的函数解析式,并计算一件5千克重的包寰的邮资.17.一天上午8时,小华骑自行车去县城购物,到下午2时返回家,结合图象答复:⑴小华何时第一次休息？⑵小华离家最远的距离时多少？⑶返回时平均速度是多少？⑷请你描述一下小华购物的情况.18 .如图,直线人的解析表达式为〕,=-31+ 3,且乙与x轴交于点.,直线右经过点4 B,直线k 交于点(1)求点.的坐标；(2)求直线的解析表达式；(3)求△AOC的,面积；(4)在直线.上存在异于点.的另一点尸,使得△4.尸与44).的面积相等,请直接写出点夕的坐标.♦ *3 ,19 .直线y = -：x + 6与坐标轴分别交于A、B两点,动点P、Q同时从.点出发,同时到达A点,运动停止.点Q沿线段.A运动,速度为每秒1个单位长度,点P沿路线.=B= A 运动.(1)直接写出A、B两点的坐标；(2)设点Q的运动时间为t (秒),△OPQ的面积为S,求出S与t之间的函数关系式；48(3)当5 = =时,求出点P的坐标,并直接写出以点.、P、Q为顶点的平行四边形的第四个顶点M的坐标.。

数学北师大版一次函数知识点

数学北师大版一次函数知识点
一次函数在数学上也被称为线性函数，其一般形式为y = kx + b，其中k和b为常数，x为自变量，y为因变量。

以下是一次函数的一些重要知识点：
1. 斜率：斜率k表示函数图像的倾斜程度。

斜率为正时，函数图像向上倾斜；斜率为
负时，函数图像向下倾斜；斜率为0时，函数图像水平。

2. 截距：截距b表示函数图像与y轴相交的位置。

当x=0时，函数的值为截距b。

3. 零点：一次函数的零点表示函数图像与x轴相交的点，即使得y=0的x的值。

4. 平行与垂直：两个一次函数平行（或垂直）意味着它们具有相同（或互为倒数的相反）的斜率。

5. 点斜式：点斜式表示一次函数通过给定的点(x1, y1)且具有斜率k的方程为y - y1 = k(x - x1)。

6. 一般式：一般式表示一次函数的一般方程形式为Ax + By + C = 0，其中A、B、C
为常数，A和B不同时为0。

7. 平移与缩放：对一次函数进行平移或缩放可以改变函数的斜率和截距，从而改变函
数图像的位置和形状。

这些知识点是学习一次函数的基础，通过掌握它们可以更好地理解和分析一次函数的
性质和图像。

数学北师大版一次函数知识点

数学北师大版一次函数知识点数学北师大版一次函数知识点1.一次函数：假设两个变量x,y间的关系式可以表示成y=kx+b(k≠0)的形式,那么称y是x的一次函数(x为自变量,y 为因变量)。

特别地,当b=0时,称y是x的正比例函数。

2.正比例函数一般式：y=kx(k≠0)，其图象是经过原点(0,0)的一条直线。

3.正比例函数y=kx(k≠0)的图象是一条经过原点的直线，当k>0时，直线y=kx经过第一、三象限,y随x的增大而增大，当k<0时，直线y=kx经过第二、四象限,y随x 的增大而减小，在一次函数y=kx+b中:当k>0时,y随x的增大而增大;当k<0时,y随x的增大而减小。

4.两点坐标求函数解析式：待定系数法一次函数是初中学生学习函数的开场，也是今后学习其它函数知识的基石。

在学习本章内容时，老师应该多从实际问题出发，引出变量，从详细到抽象的认识事物。

培养学生良好的变化与对应意识，体会数形结合的思想。

在教学过程中，应更加侧重于理解和运用，在解决实际问题的同时，让学习体会到数学的实用价值和乐趣。

学习数学有哪些常见问题思维才能的提升孩子进入初中后学习数学最常见的问题就是根底知识不结实，对于一些根底的知识点没有方法去灵敏的运用。

这是因为相对于小学数学的学习内容，初中数学更多的是对于初一学生抽象才能的运用，可是这同时也使得大局部的初一学生不可以快速的进入到学习的状态。

初中数学公式无法掌握同样的上了初中的学生在学习数学上另一个比拟常见的问题，就是对于初一数学公式记不住，这样在运用上就会非常困难。

而大局部的初一学生对于数学公式都会存在死记硬背的情况，其实这样很不利于初一学生的学习。

初中生在记数学公式的时候，一定要在理解的根底上去记忆。

初中数学一元一次方程知识点1.定义：一元一次方程指只含有一个未知数、未知数的最高次数为1且两边都为整式的等式，叫做一元一次方程。

北师大一次函数知识点

北师大一次函数知识点一、函数定义与性质函数是一种特殊的关系，它将一个集合的元素映射到另一个集合的元素。

一次函数，也称为线性函数，是一种基本的数学函数形式。

它的定义可以写作f(x) = ax + b，其中a和b为常数。

1. 函数定义域与值域函数的定义域是指所有使函数有意义的输入值的集合，常见的一次函数的定义域是实数集。

而值域则是函数在定义域上对应的所有输出值构成的集合。

2. 函数图像一次函数的图像是一条直线，其斜率决定了图像的倾斜程度。

当斜率为正时，图像从左下到右上递增；当斜率为负时，图像从左上到右下递减。

3. 单调性一次函数在定义域上可以是单调递增或单调递减的，这取决于斜率的正负。

当斜率为正时，函数递增；当斜率为负时，函数递减。

4. 零点一次函数的零点是使函数取0值的x值。

它可以通过解一次方程f(x) = 0得到。

二、函数的常用表示形式1. 一般式一般式的一次函数表示为ax + by + c = 0，其中a，b，c为常数，x和y为变量。

通过简单的数学变换，可以将一般式转化为标准式或截距式。

2. 标准式标准式的一次函数表示为y = mx + n，其中m和n为常数，x 和y为变量。

标准式可以直观地反映出函数的斜率和截距，并且常用于求函数的零点和值域。

3. 截距式截距式的一次函数表示为y = kx + b，其中k和b为常数，x和y为变量。

截距式可以很方便地直接读取出函数的截距，即当x等于0时的函数值。

三、一次函数的相关概念1. 斜率一次函数的斜率是描述函数图像倾斜程度的重要指标。

斜率等于直线上任意两点之间纵坐标差与横坐标差的比值。

斜率可以为正、负或零，分别代表不同的倾斜方向和水平情况。

2. 截距一次函数的截距是指函数图像与坐标轴的相交点。

与x轴的相交点称为x截距，与y轴的相交点称为y截距。

通过求解一次方程，可以计算出截距的具体值。

3. 平行和垂直线两个直线平行的条件是它们的斜率相等，而两个直线垂直的条件是它们的斜率的乘积等于-1。

完整版)一次函数知识点梳理

完整版)一次函数知识点梳理一次函数知识点梳理1、正比例函数一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数。

2、正比例函数图象和性质一般地，正比例函数y=kx（k为常数，k≠0）的图象是一条经过原点和（1,k）的直线，我们称它为直线y=kx。

当k>0时，直线y=kx经过第一、三象限，从左向右上升，即随着x的增大，y也增大；当k<0时，直线y=kx经过第二、四象限，从左向右下降，即随着x的增大y反而减小。

3、正比例函数解析式的确定确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式y=kx（k≠0）中的常数k，其基本步骤是：1）设出含有待定系数的函数解析式y=kx（k≠0）；2）把已知条件（自变量与函数的对应值）代入解析式，得到关于系数k的一元一次方程；3）解方程，求出待定系数k；4）将求得的待定系数的值代回解析式。

4、一次函数一般地，形如y=kx＋b（k,b是常数，k≠0），那么y叫做x的一次函数。

当b=0时，y=kx＋b即y=kx，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数。

5、一次函数的图象1）一次函数y=kx＋b（k≠0）的图象是经过（0,b）和另外一点的直线，因此一次函数y=kx＋b的图象也称为直线y=kx＋b。

2）一次函数y=kx＋b的图象的画法。

根据几何知识：经过两点能画出一条直线，并且只能画出一条直线，即两点确定一条直线，所以画一次函数的图象时，只要先描出两点，再连成直线即可。

一般情况下，先选取它与两坐标轴的交点：（0，b），再选取横坐标或纵坐标为1的点。

6、正比例函数与一次函数图象之间的关系一次函数y=kx＋b的图象是一条直线，它可以看作是由直线y=kx平移|b|个单位长度而得到（当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移）。

7、直线y=kx＋b的图象和性质与k、b的关系如下表所示：k | b | 图象经过的象限 | 图象走势 |0 |。

北师大一次函数的知识点

北师大一次函数的知识点一次函数，也叫线性函数，是数学中重要的一个概念。

它的表达形式是y=ax+b，其中a和b是已知的实数，且a≠0。

在北师大的学习中，一次函数是重要的基础知识之一。

下面我们将介绍一次函数的定义、图像、性质以及一些常见的应用。

一、一次函数的定义一次函数是由自变量x和因变量y之间的关系确定的。

它的一般形式可以写成y=ax+b的形式，其中a表示斜率，b表示截距，a和b是常数。

斜率表示函数图像的倾斜程度，截距表示函数图像与y轴的交点。

二、一次函数的图像一次函数的图像是一条直线。

当斜率a为正数时，函数图像呈现上升趋势；当斜率a为负数时，函数图像呈现下降趋势。

斜率的绝对值越大，图像的倾斜程度越大。

截距b表示函数图像与y轴的交点，当b为正数时，图像位于y轴的上方；当b为负数时，图像位于y轴的下方。

三、一次函数的性质1. 斜率和截距的作用：斜率和截距是确定一次函数的两个重要参数。

斜率表示了函数图像的倾斜程度，也可以理解为单位变化量。

截距表示了函数图像与y轴的位置关系。

2. 函数的单调性：当斜率a为正数时，函数是上升的；当斜率a为负数时，函数是下降的。

3. 函数的零点：一次函数的零点是使得函数等于零的x值，即解方程y=ax+b=0得到的x。

零点可以通过解一次方程来求得。

4. 函数的最值：一次函数在定义域内，可以有最大值和最小值。

最大值出现在斜率为负数的情况下，最小值出现在斜率为正数的情况下。

四、一次函数的应用1. 直线运动：一次函数可以用来描述物体的运动，例如匀速直线运动。

在此应用中，x是时间，y是位移，斜率表示速度，截距表示起点的位置。

2. 成本和收益分析：一次函数可以用来分析成本和收益的关系。

例如，在某个公司的生产过程中，成本和产量之间可以用一次函数来描述。

3. 财务分析：一次函数可以应用于财务分析，例如分析销售额和成本的关系，计算利润。

总结：一次函数是北师大数学学习的重要内容之一。

它的图像是一条直线，由斜率和截距决定。

九年级一次函数知识点

九年级一次函数知识点一次函数作为初中阶段数学中的重要内容，属于数学的基础知识点之一。

掌握一次函数的知识对于学好高中数学以及日常生活中的应用都非常重要。

本文将以九年级一次函数知识点为主题，通过探讨一次函数的定义、特点以及应用来帮助读者全面理解这一概念。

一、定义和特点一次函数又被称为线性函数，其定义表达式为f(x) = kx + b，其中k和b为常数。

一次函数的主要特点有两个：变量之间呈一次关系和图像是一条直线。

首先，变量之间呈一次关系意味着一次函数中的变量x和y之间的关系是线性的，即y与x的关系是通过一次运算得到的。

这一特点可以通过函数表、图像和方程来表示。

例如，函数表中的x 和y之间的数值是通过将x带入函数表达式计算得到的；图像是由连接各个点的直线组成的；方程则是变量之间的等式，通过求解可以得到函数中的未知数。

其次，一次函数的图像是一条直线。

这是由于一次函数变量之间的关系是线性的，因此图像呈直线状。

直线的斜率k决定了直线的倾斜度，而常数b则决定了直线与y轴的截距。

二、应用一次函数作为数学的基础知识，在实际生活中有广泛的应用。

以下是一些常见的应用示例：1.速度和距离的关系：在物理学中，速度与距离的关系可以用一次函数来描述。

例如，当一辆车以固定的速度行驶时，车辆行驶到不同距离的时间和速度之间就存在一次函数关系。

2.货币兑换：在国际贸易中，货币的兑换也可以用一次函数来描述。

兑换率是一次函数，根据不同的汇率可以将一种货币兑换为另一种货币。

3.成本和产量的关系：在经济学中，成本和产量之间的关系通常是一次函数。

通过研究一次函数模型，可以帮助企业了解成本与产量之间的关系，从而做出更好的经营决策。

4.直线运动的轨迹：在几何学中，直线运动的轨迹通常是一次函数的图像。

通过对一次函数的研究，我们可以了解直线运动的速度和位置之间的关系。

5.投资回报率：在金融学中，投资回报率通常可以通过一次函数来计算。

通过研究一次函数模型，可以帮助人们评估不同投资方案的回报率，并做出最优的投资决策。

北师大版一次函数知识点

初二函数知识点知识点一、平面直角坐标系1、平面直角坐标系在平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴，就组成了平面直角坐标系。

其中，水平的数轴叫做x 轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做y 轴或纵轴，取向上为正方向；两轴的交点O （即公共的原点）叫做直角坐标系的原点；建立了直角坐标系的平面，叫做坐标平面。

为了便于描述坐标平面内点的位置，把坐标平面被x 轴和y 轴分割而成的四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。

注意：x 轴和y 轴上的点，不属于任何象限。

2、点的坐标的概念点的坐标用（a ，b ）表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间有“，”分开，横、纵坐标的位置不能颠倒。

平面内点的坐标是有序实数对，当b a ≠时，（a ，b ）和（b ，a ）是两个不同点的坐标。

知识点二、不同位置的点的坐标的特征 1、各象限内点的坐标的特征点P(x,y)在第一象限0,0>>⇔y x点P(x,y)在第二象限0,0><⇔y x 点P(x,y)在第三象限0,0<<⇔y x 点P(x,y)在第四象限0,0<>⇔y x 2、坐标轴上的点的特征点P(x,y)在x 轴上0=⇔y ，x 为任意实数点P(x,y)在y 轴上0=⇔x ，y 为任意实数点P(x,y)既在x 轴上，又在y 轴上⇔x ，y 同时为零，即点P 坐标为（0，0） 3、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征点P(x,y)在第一、三象限夹角平分线上⇔x 与y 相等点P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上⇔x 与y 互为相反数 4、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征位于平行于x 轴的直线上的各点的纵坐标相同。

位于平行于y 轴的直线上的各点的横坐标相同。

5、关于x 轴、y 轴或远点对称的点的坐标的特征点P 与点p ’关于x 轴对称⇔横坐标相等，纵坐标互为相反数点P 与点p ’关于y 轴对称⇔纵坐标相等，横坐标互为相反数点P 与点p ’关于原点对称⇔横、纵坐标均互为相反数6、点到坐标轴及原点的距离点P(x,y)到坐标轴及原点的距离：（1）点P(x,y)到x 轴的距离等于y （2）点P(x,y)到y 轴的距离等于x（3）点P(x,y)到原点的距离等于22y x +知识点三、函数及其相关概念1、变量与常量在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量。

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