两个平面垂直的判定和性质第三课时(a)

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人教课标版高中数学必修2《平面和平面垂直的判定和性质》教学设计

2.3.2平面和平面垂直的判定和性质一、教学目标（一）核心素养（1）通过本节教学，提高学生空间想象能力．（2）通过问题解决，提高等价转化思想渗透的意识．（3）进一步提高学生分析问题、解决问题的能力．（二）学习目标（1）两个平面互相垂直的判定．（2）两个平面互相垂直的性质．（三）学习重点两个平面垂直的判定、性质．（四）学习难点（1）两个平面垂直的判定定理、性质定理运用．（2）正确作出符合题意的空间图形．二、教学设计（一）课前设计1．预习任务（1）读一读：阅读教材第67页到第69页，填空：二面角的定义：平面内的一条直线把平面分为两部分,其中的每一部分都叫做半平面,从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角；以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．（2）平面与平面垂直的定义两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．（3）判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直⎭⎬⎫l⊥αl⊂β⇒α⊥β性质定理如果两个平面互相垂直，则在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面⎭⎬⎫α⊥βα∩β＝al⊥al⊂β⇒l⊥α1．直线a⊥直线b，a⊥平面β，则b与β的位置关系是（）A．b⊥βB．b∥βC．b⊂βD．b⊂β或b∥β【解题过程】由垂直和平行的有关性质可知b⊂β或b∥β，故选D.【答案】D2.设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解题过程】若α⊥β，因为α∩β＝m，b⊂β，b⊥m，所以根据两个平面垂直的性质定理可得b⊥α，又a⊂α，所以a⊥b；反过来，当a∥m时，因为b⊥m，且a，m共面，一定有b⊥a，但不能保证b⊥α，所以不能推出α⊥β.故选A.【答案】A3．设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面（）A．若m⊥n，n∥α，则m⊥α.B．若m∥β，β⊥α，则m⊥α.C．若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥α.D．若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α.【解题过程】A中，由m⊥n，n∥α可得m∥α或m与α相交或m⊂α，错误；B中，由m∥β，β⊥α可得m∥α或m与α相交或m⊂α，错误；C中，由m⊥β，n⊥β可得m∥n，又n⊥α，所以m⊥α，正确；D中，由m⊥n，n⊥β，β⊥α可得m∥α或m与α相交或m⊂α，错误．【答案】C(二)课堂设计1．知识回顾（1）直线和平面垂直的判定定理文字语言图形语言符号语言判定定理如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直⎭⎪⎬⎪⎫l⊥al⊥ba∩b＝Oa⊂αb⊂α⇒l⊥α（2）直线和平面垂直的判定的另外一种判定方法文字语言图形语言符号语言判定方法如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一个平面．ba//，α⊥a．则α⊥b（3）直线和平面垂直的性质定理性质定理如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行⎭⎬⎫a⊥αb⊥α⇒a∥b2．问题探究探究一实例引领，认识平面和平面垂直的概念★●活动①简单类比，引出定义两个平面互相垂直是两个平面相交的特殊情形．教室的墙面与地面、一个正方体中每相邻的两个面、课桌的侧面与地面都是互相垂直的．两个平面互相垂直的概念和平面几何里两条直线互相垂直的概念类似，也是用它们所成的角为直角来定义的．请同学思考两个平面互相垂直的定义.两个平面互相垂直的定义可表述为：如果两个相交平面所成的二面角为直二面角，那么这两个平面互相垂直．那么两个互相垂直的平面画其直观图时，应把直立平面的边画成和水平平面的横边垂直，如下图．平面α和β垂直，记作α⊥β．●活动②实例引领，思维激活实例：如图,检查工件的相邻两个平面是否垂直时,只要用曲尺的一边紧靠在工件的一个面上,另一边在工件的另一个面上转动,观察尺边是否和这个面密合就可以了,这是为什么?曲尺的一边在一面内转动即为形成一个平面,而另一边与此平面垂直,且又紧靠在另一平面上,即垂线在另一平面内．所以我们得到面面垂直的判定定理．如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．）下面我们一起给出分析，证明：已知：AB⊥β，AB∩β＝B，AB⊂α．【解题过程】要证α⊥β，需证α 和β 构成的二面角是直二面角，而要证明一个二面角是直二面角，需找到其一个平面角，并证明这个二面角的平面角是直角．证明：设α∩β＝CD，则由AB⊂α知，AB、CD共面．∵AB⊥β，CD⊂β，∴AB⊥CD，垂足为点B．在平面β内过点B作直线BE⊥CD．则∠ABE是二面角α-CD-β的平面角．又AB⊥BE，即二面角α-CD-β是直二面角．∴α⊥β．现在同学们明确了面面垂直的判定定理，请思考：建筑工人在砌墙时，常用一段系有铅锤的线来检查所砌墙面是否和水平面垂直，依据是什么？［学生］依据是两个平面垂直的判定定理，一面经过另一面的一条垂线．［老师］从转化的角度来看，两个平面垂直的判定定理可简述为：线面垂直⇒面面垂直请同学们接着思考如下问题：在所给正方体中，下式是否正确：①平面ADD1A1⊥平面ABCD；②D1A⊥AB；③D1A⊥面ABCD．［学生］①∵AB⊥面ADD1A1，AB⊂面ABCD．∴平面ABCD⊥平面ADD1A1．②∵AB⊥面ADD1A1，D1A⊂面ADD1A1∴AB⊥D1A③∵AA1⊥面ABCD，∴AD1与平面ABCD不垂直．平面ADD1A1⊥面ABCD，平面ADD1A1∩平面ABCD＝AD，A是平面ADD1A1内一点．过点A可以在平面ADD1A1内作无数条直线，而这些直线满足什么条件就可以使之与平面垂直？判定定理解决两个平面如何垂直，性质定理可以解决上述线面垂直．从转化的角度可表述为：面面垂直，则线面垂直．也给了我们以后证明问题的一种思想方法．下面我们一起来完成证明.证明过程如下：已知：α⊥β、α∩β＝a，AB⊂α，AB⊥a于B．【解题过程】：在平面β内作BE⊥a垂足为B，则∠ABE就是二面角α-a-β的平面角．由α⊥β可知，AB⊥BE．又AB⊥a，BE与a是β内两条相交直线，∴AB⊥β．证明的难点在于“作BE⊥a”．为什么要做这一步？主要是由两面垂直的关系，去找其二面角的平面角来决定的.【设计意图】构造二面角的平面角过程可以体现学生的创新精神、转化能力．【答案】见解题过程.探究二层层深化，掌握平面和平面垂直的判定定理和性质定理．●活动①互动交流，初步实践例1 求证：（1）如果一个平面与另一个平面的垂线平行，那么这两个平面互相垂直；（2）如果一个平面与另一个平面的垂面平行，那么这两个平面互相垂直．【知识点】平面和平面垂直的判定.【数学思想】化归思想.【解题过程】（1）已知：l∥α，l⊥β，求证：α⊥β.证明：在平面α内任取一点P．∵l ∥α，∴P ∉l ．P 、l 可确定一平面γ．设α∩γ＝l ′则l ∥l ′．⎪⎭⎪⎬⎫⊂'⊥'⇒⎭⎬⎫'⊥αββl l l l l //⇒α⊥β［该题目难在构造既符合题，又能使问题得证的立体图形．］ (2)已知：α⊥β，β∥γ．求证：α⊥γ证明：过β 内一点P 作直线l ，使l ⊥α则l ⊂β． l 与γ内任一点Q 确定平面δ，设δ∩γ＝l ′，则l ∥l ′． l ′⊥α，因此γ⊥α．【思路点拨】题目较抽象，构造图形，创造条件，使问题转化为可利用已有定理来解决．由此我们又多了两个判断面面垂直的结论. 【答案】见解题过程. ●活动②巩固基础，检查反馈例2 如图，AB 是⊙O 的直径，P A 垂直于⊙O 所在的平面，C 是圆周上异于A 、B 的任意一点，求证：平面P AC ⊥平面PBC ．【知识点】平面和平面垂直的判定【数学思想】化归思想【解题过程】证明：因为AB 是⊙O 的直径，C 是圆周上的点，所以有BC ⊥AC ①．因为P A ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，则P A ⊥BC ②．由①②及AC ∩PA ＝A ，得BC ⊥平面P AC ．因为BC⊂平面PBC，有平面P AC⊥平面PBC．【思路点拨】低一级的垂直关系是判定高一级垂直关系的依据，根据条件，由线线垂直⇒线面垂直⇒面面垂直．通过这个例题展示了空间直线与平面的位置关系的内在联系，垂直关系的判定和性质共同构成了一个完整的知识体系．【答案】见解题过程.例3 如图，P是△ABC所在平面外的一点，且P A⊥平面ABC，平面P AC⊥平面PBC，求证：BC⊥AC．【知识点】平面和平面垂直的判断和性质.【数学思想】转化思想.【解题过程】证明：在平面P AC内作AD⊥PC，交PC于D．因为平面P AC⊥平面PBC于PC，AD⊂平面P AC，且AD⊥PC，所以AD⊥平面PBC．又因为BC⊂平面PBC，于是有AD⊥BC①．另外P A⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以P A ⊥BC．由①②及AC∩PA＝A，可知BC⊥平面P AC．因为AC⊂平面P AC，所以BC⊥AC．【思路点拨】在空间图形中，高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系，通过本题可以看到，面面垂直⇒线面垂直⇒线线垂直．本题是利用直线和平面垂直的定义及判定定理等知识来解答的问题．解答此类问题必须作到：概念清楚、问题理解透彻、相关知识能灵活运用．【答案】见解题过程.例4 P为120°角α-a-β内一点，P到α和β的距离均为10，求点P到棱a的距离．【知识点】二面角的概念，距离.【数学思想】化归思想.【解题过程】如图，过点P 作P A ⊥α于A ，PB ⊥β于B ，设相交直线P A 、PB 确定的平面为γ，a ∩γ＝O ，则α∩γ＝OA ，β∩γ＝OB 连结PO ，则AP =BP =10∵P A ⊥α，PB ⊥β，∴a ⊥γ，而PO ⊂平面γ，∴a ⊥PO ， ∴PO 的长即为点P 到直线a 的距离．又∵a ⊥γ，γ⊂OA ，γ⊂OB∴∠AOB 是二面角α-a -β的平面角，即∠AOB =120°．而四边形AOBP 为一圆内接四边形，且PO 为该四边形的外接圆直径． ∵四边形AOBP 的外接圆半径等于由A 、B 、O 、P 中任意三点确定的三角形的外接圆半径，因此求PO 的长可利用△APB ．在△APB 中，AP =BP =10，∠APB =60°，∴AB =10．由正弦定理：332060sin 2=︒==AB R PO ．【思路点拨】(1)该题寻找120°的二面角的平面角，所采取的方法即为垂面法，由此可见，若题目可找到与棱垂直的平面，用“垂面法”确定二面角的平面角也是一种可取的方法．（2）充分借助于四边形P AOB 为一圆内接四边形，∵P A ⊥OA ，PB ⊥OB ，∵PO 即为其外接圆直径，然后借助于四边形的外接圆直径等于其中任一三角形的外接圆直径进行转移，由正弦定理帮助解决了问题．【答案】.3320活动③ 强化提升，灵活应用例5.过点S 引三条不共面的直线SA 、SB 、SC ，如图，∠BSC =90°，∠ASC =∠ASB =60°，若截取SA =SB =SC =a .(1)求证：平面ABC ⊥平面BSC ； (2)求S 到平面ABC 的距离．【知识点】面面垂直的证明，距离. 【数学思想】化归思想【解题过程】(1)证明：∵SA =SB =SC =a ，又∠ASC =∠ASB =60°，∴△ASB 和△ASC 都是等边三角形，∴AB =AC =a ，取BC 的中点H ，连结AH ，∴AH ⊥BC ．在Rt △BSC 中，BS =CS =a ， ∴SH ⊥BC ，a BC 2=，∴2)22(222222a a a CH AC AH =-=-=，∴222a SH =．在△SHA 中，∴222a AH =，222a SH =，22a SA =， ∴222HA SH SA +=，∴AH ⊥SH ，∴AH ⊥平面SBC ．∵AH ⊂平面ABC ，∴平面ABC ⊥平面BSC ．或：∵SA =AC =AB ，∴顶点A 在平面BSC 内的射影H 为△BSC 的外心，又△BSC 为Rt △，∴H 在斜边BC 上，又△BSC 为等腰直角三角形，∴H 为BC 的中点，∴AH ⊥平面BSC ． ∵AH ⊂平面ABC ，∴平面ABC ⊥平面BSC ．(2)由前所证：SH ⊥AH ，SH ⊥BC ，∴SH ⊥平面ABC ，∴SH 的长即为点S 到平面ABC 的距离，a BC SH 222==，∴点S到平面ABC的距离为a22．【思路点拨】（1）要证明平面ABC⊥平面BSC，根据面面垂直的判定定理，须在平面ABC或平面BSC内找到一条与另一个平面垂直的直线；（2）外心为三角形外接圆的圆心，即三条中垂线的交点.【答案】（1）见解题过程；（2）a22．同类训练如图，在三棱台ABC－DEF中，CF⊥平面DEF，AB⊥B C.(1)设平面ACE∩平面DEF＝a，求证：DF∥a；(2)若EF＝CF＝2BC，试问在线段BE上是否存在点G，使得平面DFG⊥平面CDE？若存在，请确定G点的位置；若不存在，请说明理由．【知识点】线面平行的判定，面面垂直的证明.【解题过程】(1)证明：在三棱台ABC－DEF中，AC∥DF，AC⊂平面ACE，DF 平面ACE，∴DF∥平面ACE.又∵DF⊂平面DEF，平面ACE∩平面DEF＝a，∴DF∥a.(2)线段BE上存在点G，且BG＝13BE，使得平面DFG⊥平面CDE.证明如下：取CE的中点O，连接FO并延长交BE于点G，连接GD、GF，∵CF＝EF，∴GF⊥CE.在三棱台ABC－DEF中，AB⊥BC⇒DE⊥EF.由CF⊥平面DEF⇒CF⊥DE.又CF ∩EF ＝F ，∴DE ⊥平面BEF ，∴DE ⊥GF .GF CE GF DE GF CDE CE DE E ⎫⎪⇒⎬⎪⎭⊥⊥⊥平面＝.又GF ⊂平面DFG ，∴平面DFG ⊥平面CDE .此时，如平面图所示，∵O 为CE 的中点，EF ＝CF ＝2BC ，由平面几何知识易证△HOC ≌△FOE ，∴HB ＝BC ＝12EF .由△HGB ∽△FGE 可知12BG GE =，即13BG BE =. 【思路点拨】“探索性问题”的规律方法：一般是先探求点的位置，多为线段的中点或某个三等分点，然后给出符合要求的证明．【答案】（1）见解题过程；（2）线段BE 上存在点G ，且13BG BE =，使得平面DFG ⊥平面CDE .3. 课堂总结知识梳理（1）证明面面垂直的方法（2）重难点归纳空间中直线与直线垂直、直线与平面垂直、平面与平面垂直三者之间可以相互转化，每一种垂直的判定都是从某种垂直开始转向另一种垂直最终达到目的，其转化关系为在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的直线图中不存在，则可通过作辅助线来解决．（三）课后作业基础型自主突破一、选择题1．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点A∈α，A∉l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是（）A．AB∥mB．AC⊥mC．AB∥βD．AC⊥β【知识点】线面平行的判定，面面垂直的证明.【解题过程】如图所示，AB∥l∥m；AC⊥l，m∥l⇒AC⊥m；AB∥l⇒AB∥β，只有D不一定成立，故选D.【思路点拨】由题意，画出满足条件的图形，依据面面垂直的性质以及线面平行的性质等知识解答.【答案】D.2．设a是空间中的一条直线，α是空间中的一个平面，则下列说法正确的是（）A．过a一定存在平面β，使得β∥αB．过a一定存在平面β，使得β⊥αC．在平面α内一定不存在直线b，使得a⊥bD．在平面α内一定不存在直线b，使得a∥b【知识点】线面平行的判定，面面垂直的证明.【解题过程】当a与α相交时，不存在过a的平面β，使得β∥α，故A错误；直线a与其在平面α内的投影所确定的平面β满足β⊥α，故选B；平面α内的直线b只要垂直于直线a在平面α内的投影，则就必然垂直于直线a，故C错误；当a与α平行时，在平面α内存在直线b，使得a∥b，故D错误．【思路点拨】A.根据面面平行的定义和性质判断；B.利用面面垂直的性质和定义判断；C.根据线面垂直的性质判断；D.根据线面平行的性质判断.【答案】B．3.设直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，（）A．若m∥α，则l∥m B．若α∥β，则l⊥mC．若l⊥m，则α∥β D．若α⊥β，则l∥m【知识点】线面平行的判定，面面垂直的证明.【解题过程】A中直线l与m互相垂直，不正确；B中根据两个平面平行的性质知是正确的；C中的α与β也可能相交；D中l与m也可能异面，也可能相交，故选B.【思路点拨】通过线面平行的性质定理和线面垂直的性质定理即可判断A；由一直线垂直于两个平行平面中的一个，也垂直于另一个，结合线面垂直的性质定理即可判断B；举反例，由线面垂直的性质定理即可判断C；举反例，结合线面垂直和面面垂直的性质定理即可判断D.【答案】B.4．设a、b是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则能得出a⊥b的是() A．a⊥α，b∥β，α⊥βB．a⊥α，b⊥β，α∥βC．a⊂α，b⊥β，α∥βD．a⊂α，b∥β，α⊥β【知识点】线面平行的判定，面面垂直的证明.【解题过程】A中，两直线可以平行、相交或异面，故不正确；B中，两直线平行，故不正确；C中，由α∥β，a⊂α可得a∥β，又b⊥β，得a⊥b，故正确；D 中，两直线可以平行，相交或异面，故不正确．【思路点拨】通过线面垂直的性质定理判断A；通过面面平行的性质和线面垂直的性质判断B；通过面面平行的性质和线面垂直的定义判断C；由线面平行的性质和面面垂直的性质判断D.【答案】C.5.如图，在四面体D－ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列正确的是（）A ．平面ABC ⊥平面ABDB ．平面ABD ⊥平面BDCC ．平面ABC ⊥平面BDE ，且平面ADC ⊥平面BDED ．平面ABC ⊥平面ADC ，且平面ADC ⊥平面BDE【知识点】面面垂直的判定.【解题过程】因为AB ＝CB ，且E 是AC 的中点，所以BE ⊥AC ，同理有DE ⊥AC ，于是AC ⊥平面BDE .因为AC ⊂平面ABC ，所以平面ABC ⊥平面BDE .又由于AC ⊂平面ACD ，所以平面ACD ⊥平面BDE ，所以选C.【思路点拨】缺少【答案】C.6.在平面几何里，有勾股定理：“设△ABC 的两边AB 、AC 互相垂直，则AB 2＋AC 2＝BC 2．”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出正确结论是：“设三棱锥A -BCD 的三个侧面ABC 、ACD 、ADB 两两相互垂直”，则______．【解题过程】此题是突破以往高考命题模式的又一典范，丰富的想象和联想是增强创新意识的利器，本题如果能联想构造一长方体，用一平面去截长方体易得满足条件的棱锥A -BCD ，进而易证结论：“2222ABC ACD ADB BCD SS S S ++=．” 【答案】2222ABC ACD ADB BCD S S S S ++=．7.如图，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，且底面各边都相等，M 是PC 上的一动点，当点M 满足________时，平面MBD ⊥平面PCD (只要填写一个你认为正确的条件即可)．【知识点】线面平行的判定，面面垂直的证明.【解题过程】∵PC在底面ABCD上的射影为AC，且AC⊥BD，∴BD⊥P C.∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，即有PC⊥平面MBD，而PC⊂平面PCD，∴平面MBD ⊥平面PC D.【答案】DM⊥PC(或BM⊥PC)8.如图所示，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，AD ＝DE＝2AB，F为CD的中点．求证：(1)AF∥平面BCE；(2)平面BCE⊥平面CDE.【知识点】线面平行的判定，面面垂直的证明。

两个平面垂直的判定和性质

C A D B
α
l
所以 BD⊥α，BD⊥BC，所以△CBD是 ⊥ ， ⊥ ，所以△ 是直角三角形，直角三角形，在直角△ 在直角△BAC中，BC= 3 + 4 = 5 中
2 2
在直角△CBD中，CD= 52 + 122 = 13 在直角△ 中所以CD的长为所以的长为13cm. 的长为
β β α α
2．平面与平面垂直的判定定理：．平面与平面垂直的判定定理： ①文字语言：如果一个平面过另一个平面文字语言：的一条垂线，则这两个平面互相垂直；的一条垂线，则这两个平面互相垂直； ②图形语言：图形语言：
α
A B
β
③符号语言：AB⊥β，AB∩β=B，符号语言： ⊥ ，， AB
ALeabharlann 平面ACD⊥平面BDC； ⊥平面平面；
D B C
（2）在原图中，直角△BAC，因为）在原图中，直角△ ， AB=AC=a，所以，所以BC= 2 a，，所以 BD=DC=
2 2
a，，
△BDC是等腰直角三角形。是等腰直角三角形。是等腰直角三角形所以BC= 所以BC= 2 BD= a A 是等腰直角三角形。 △BDC是等腰直角三角形。是等腰直角三角形所以AB=AC=BC，，所以因此∠ 因此∠BAC=60°. °
B D C
练习题 1．下列命题中正确的是（ C ）．下列命题中正确的是（分别过两条互相垂直的直线，（A）平面和β分别过两条互相垂直的直线，）平面α和分别过两条互相垂直的直线则α⊥β ⊥ 内的一条直线垂直于平面β内（B）若平面内的一条直线垂直于平面内）若平面α内的一条直线垂直于平面的两条平行直线，的两条平行直线，则α⊥β ⊥ 内的一条直线垂直于平面β内（C）若平面内的一条直线垂直于平面内）若平面α内的一条直线垂直于平面的两条相交直线，的两条相交直线，则α⊥β ⊥ 内的一条直线垂直于平面β内（D）若平面内的一条直线垂直于平面内）若平面α内的一条直线垂直于平面的无数条直线，的无数条直线，则α⊥β ⊥

2.3直线平面垂直的判定及其性质

二面角的平面角
以二面角的棱上任意一点为顶点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.
平面角
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注意：二面角的平面角必须满足：
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二面角的取值范围
0度角
180度角
00~1800
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例1.在正方体中，找出二面角C1-AB-C的平面角，并指出大小.
答：底面四边形ABCD对角线相互垂直．
探究
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小结
思想方法
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前面讨论了直线与平面垂直的问题，那么直线与平面不垂直时情况怎么样呢？
问题提出
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直线与平面所成的角
第2课时
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线面角相关概念
α
P
l
A
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1.斜线与平面所成的角是指斜线和它在平面上的射影所成的角
第44页/共82页
例2 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求二面角B1-AC-B的正切值.
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例3 如图所示，河堤斜面与水平面所成二面角为300，堤面上有一条直道CD，它与堤角的水平线AB的夹角为450 ，沿这条直道从堤脚C向上行走10m到达E处，此时人升高了多少m？
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小结
直线与平面垂直的性质定理可简述为
“线面垂直，则线线平行”
思想方法
线面垂直的性质定理不但提供了用线面垂直来证明线线平行的方法，也提供了作平行线的一种方法.
“线面垂直，则线线垂直”
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作业
P71练习1，2P73习题2.3 A组，5，6. B组1，2

2.3直线平面垂直的判定及其性质-线面垂直和面面垂直的性质定理3

一条直线与平面垂直，所以直线 a应与直线 b重合 a
a P a p a a c P

C
c

例1；已知平面、，，直线a满足a ， a ，试判断直线 a与的位置关系 .
解；在内作垂直于与交线的直线 b 因为，所以 b，因为 a , 所以 a // b ,又因为 a ,所以 a // , 即直线 a与平面平行
C A D E B F
1 2 2 2 6 4 8 268 68 2 CD 2 17
本讲到此结束，请同学们课后再做好复习. 谢谢！
再见！
王新敞特级教师源头学子小屋
wxckt@
新疆奎屯
· 2007·
王新敞
奎屯
新疆
复习内容直线和平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。(线不在多重在相交)
l m， ln ．已知： m ， mn B ， n ，
求证： l ．
l P g B m
l′
α
n
1.直线与平面垂直的性质定理
如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。已知： a , b 求证： a // b b b a 证明：
α A β O B A B
讲授新课
2.两个平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。条件： A B , A B ( 如图 )
结论：

a D A

B C
E
讲授新课
3.两个平面垂直的性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。

两个平面垂直的判定和性质(新编201912)

新课讲授
两个平面垂直的性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直
于它们交线的直线垂直于另一个平面。
已知：α ⊥ β, α β, AB ⊂α, AB ⊥α 于B。
求证：AB .

E

BA
C
证明：在平面内作BE⊥CD，垂足为B。
则∠ABE就是二面角 CD 的平面角。由α ⊥β可知AB⊥BE。
例1、如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的ห้องสมุดไป่ตู้线，在第一个平面内
已知： , P , P a, a
求证：a .
证明：设 c .过点P在平面α 内作直线b⊥c, 根据上面的定理有b⊥β.
因为经过一点只能有一条直线与平面β垂直, 所以直线a应与直线b重合.
又AB⊥CD，BE与CD是内两条相交
直线，
AB .

ED

BA
C
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谓搭配不当；B句“掀起了……”后面缺少了中心词“高潮”，造成动宾搭配不当；C句歧义，“有人认为…… 化有利于”和“有人认为”这种认识“有利于”两个意思间杂，不清楚。考点：病句判断点评：本题不难，常见病句容易判断，平时学习中对病句的判断训练比较多，学生具备一定的能力。把句子写正确是非常重要的，句子通顺才能正确表达意思，传递信息，进行正常的交流。 129．下面这段文字有三句话，各有一处语病，请加以修改。(3分) ①了给百姓创立更为优良的就医环境，卫生部准备在全国推广“先诊疗后结算”的服务模式。②所谓“先诊疗后结算”，是指患者在门诊诊疗时，先缴纳押金，统一待本次所有诊疗结束后再去结账。③实施“先诊疗后结算”的服务模式，患者就诊时间可节省大约20％以上。结果①

两个平面垂直的判定和性质

解法二：∵VC⊥面ABC，AC 面ABＣ，
VC AC.
又AB是⊙O的直径，即有AC⊥BC，由此AC⊥面VBC，而D、E是VA、VC中点，DE//AC，故DE⊥面VBC。此法比解法一简单明了，走的弯路较少。
转化关系：线垂直于面线垂直于面内的线；线垂直于面与此线平行的线也垂直于平面
新课讲授
两个平面垂直的性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直
于它们交线的直线垂直于另一个平面。
已知：α ⊥ β, α β, AB ⊂α, AB ⊥α 于B。
求证：AB .

E

BA
C
证明：在平面内作BE⊥CD，垂足为B。
则∠ABE就是二面角 CD 的平面角。由α ⊥β可知AB⊥BE。
又AB⊥CD，BE与CD是内两条相交
直线，
AB ห้องสมุดไป่ตู้ .

ED

BA
C
例1、如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内
已知： , P , P a, a
求证：a .
证明：设 c .过点P在平面α 内作直线b⊥c, 根据上面的定理有b⊥β.
两个平面垂直的判定和性质(3)
教学目的 1、使学生掌握两个平面垂直的性质定理及它
们的证明，并会进行灵活的应用。 2、掌握线面垂直、面面垂直之间的相互转化
在解题中的应用。
重点难点分析重点：两个平面垂直的判定和性质的应用。难点：两个平面垂直的性质定理及推论的形成及推理。
复习与回顾两个平面垂直的判定方法
当面面垂直时，作辅助线一般在一个平面内作交线的垂线。

两个平面垂直 PPT

重要提示
1．两个平面垂直的性质定理，即：“如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于
另一个平面”是作点到平面距离的依据，要过平面外
一点P作平面的垂线，通常是先作(找)一个过点P并且和垂直的平面，设 =l，在内作直线al，则 a．
2．三种垂直关系的证明 (1)线线垂直的证明 ①利用“两条平行直线中的一条和第三条直线垂直，那么另一条也和第三条直线垂直”；
【知识方法总结】
1. 证面面垂直一般先从现有的直线中找平面的垂线；否则用作辅助线解决之，要过平面外一点P作平面
的垂线，通常是先作(找)一个过点P并且和垂直的平面，设 =l，在内作直线al，则a．
2.注意线线垂直、线面垂直、面面垂直之间的转化条件和转化应用。
能力·思维·方法
1. 四棱锥P-ABCD的底面是边长为2的菱形，且∠ABC =60°，PC⊥平面ABCD，PC=2，E是PA (1)求证：平面EBD⊥平面AC； (2)求二面角A-EB-D
【解题回顾】两个平面互相垂直是两平面相交的特殊情况，判定两平面垂直时，可用定义证明这两个平面相交所成的二面角是直二面角，或在一个平面内找一条直线，再证明此直线垂直于另一个平面.
2.如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，PA=
AD=a，M、N分别是AB，PC的中点.
(1)求平面PCD与平面ABCD所成的二面角的大小； (2)求证：平面MND⊥平面PCD.
大家有疑问的，可以询问和交流
可以互相讨论下，但要小声点
9
【典例剖析】
例1．如果，， =a，那么a．
Байду номын сангаас
a
n
m
B A
P
【典例剖析】

两个平面垂直的判定和性质练习3

两个平面垂直的判定和性质练习3
1. 选择题
（1）不能确信两个平面一定垂直的情形是
（）
（A）两个平面相交, 所成二面角是直二面角.
（B）一个平面通过另一个平面的一条垂线.
（C）一个平面垂直于另一个平面内的一条直线.
（D）平面内的直线a与平面内的直线b是垂直的.
（2）下列命题正确的是（）
（A）平面内的一条直线和平面内的许多条直线垂直, 则平面⊥平面.
（B）过平面外一点P有且只有一个平面和平面垂直.
（C）直线l∥平面, l⊥平面, 则⊥
（D）垂直于同一平面的两个平面平行.
2. 填空题
（1）过平面外一条直线的平面和平面都垂直, 则平面的个数能够是.
（2）平面平面, ∩=l, 点P∈, 点Q∈l, 那么PQ⊥l是PQ ⊥的条件.
（3）平面⊥平面, a, b, 且b∥, a⊥b, 则a和的位置关系是.
3．在矩形ABCD中, AB= , BC=2, E为BC中点, 把⊿ABE和⊿CDE分不沿AE、DE折起使B与C重合于点P, （1）求证：平面PDE⊥平面PAD；（2）求二面角P-AD-E的大小.
4. 试证垂直于同一平面的两个平面的交线垂直于那个平面.
5. 如图, 在正三棱柱ABC-A1B1C1中（正三棱柱室底面为正三角形, 侧棱与底面垂直的三棱柱）, E ∈BB1, 且BE=EB1, 求证: 截面A1EC⊥侧面AC1.。

两个平面垂直的判定和性质

两个平面垂直的判定和性质一、内容提要1. 二面角(1) 两个平面平行时，可以用它们的距离来表达这两个平面的位置关系．两个平面相交时，和空间直线所成角的概念类似，要将“空间”转化为“平面”，用平面的角来反映空间两个相交平面的位置关系．(2) 为了能用一个确定的平面的角来表示一个二面角的大小，引进了二面角的平面角这一概念．二面角的平面角的顶点必须在二面角的棱上；二面角的平面角的两边必须既分别在两个半平面内，又必须和二面角的棱垂直．(3) 二面角及它的平面角的画法根据其棱方向的不同，通常有以下三种画法：画二面角的平面角时，其两边应当和表示半平面的平行四边形的一条边平行．2. 两个平面垂直的定义及判定两个平面垂直是以它们相交形成的二面角来定义的．判定两个平面垂直的方法有两种：①根据定义，两个平面相交，它们所形成的二面角是直二面角，通常先作出二面角的平面角，再证明二面角的平面角是直角；②根据判定定理，证明一个平面过另一个平面的一条垂线，即把面面垂直问题化归为线面垂直问题．这个定理可简记为"线面垂直，面面垂直3. 两个平面垂直的性质两个平面互相垂直时有下面两个性质：①在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面；②经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内.1．二面角的概念是平面几何中的角的概念的扩展，学习时可对照平面几何中的角去理解。

平面几何中可以把角理解为是一个旋转量，同样一个二面角也可以看作是一个半平面以其棱为轴旋转而成的2．二面角的平面角，则是用来刻划二面角大小的一个概念。

它和两条异面直线所成的角以及直线和平面所成的角一样，都化归为平面内两条相交直线所成的角来表示。

但必须注意二面角的平面角所在平面应垂直于二面角的棱，二面角的平面角的两条边分别在二面角的两个面内。

而二面角的平面角的大小是由二面角的两个面的相互位置所确定的，与二面角的平面角的顶点在棱a上的位置无关。

3．计算二面角大小的方法（1）作二面角的平面角，并将其放在一个三角形中，解三角形求出二面角的平面角大小，它就是二面角的大小。

两个平面垂直的判定和性质

（1）面 AA1C1C 面 BB1D1D
（2）面 ACFE 面 BB1D1D
（3）面 ACG 面BB1D1D
A1
D1 E B1
C1
F
GDC来自AB例3 P 为ABC 所在平面外一点，PA 面ABC
ABC 90 ，AE PB于 E ，AF PC 于 F ，求证
（1）平面AEF 平面 PBC
例1 如图：C 为以AB 为直径的圆周上一点， PA 面 ABC ，找出图中互相垂直的平面.
P
A

PA 面 ABC
面PAC 面 ABC
面PAB 面 ABC
B BC 面 PAC
C
面ABC 面 PAC
面PBC 面PAC
例2：正方形 ABCD A1B1C1D1中，E、F、G分别是 A1B1, B1C1 和 BB1 的中点，求证：
② 判定定理：线面垂直面面垂直
即 l ,l
课堂练习：
1、如图，正方形ABCD ，PA⊥面ABCD，
则图中有多少对互相垂直的平面？
已知：AB , AB B AB 求证：

A
BE

c
符号语言：
l l

； https:// 女性生理期计算器
；
（4分）答：? ? 17.文中画线的句子使用了什么修辞方法？请结合文章内容，具体分析其表达作用。（3分）雪花簌簌地落着，风安静地睡去，远山近水被夜色围拢而来，婴孩一般安卧在村庄阔大的臂弯里。答：? ? 18.下面对文章的理解分析，不正确的两项是（）（? ） A.文章以“冰窗花”为线索，回顾作者早年的故园生活，着力描写了盛开在冬日窗棂上的冰窗花。 B.

平面与平面垂直的性质教案

平面与平面垂直的性质教案
教学目标：
1. 理解平面与平面垂直的定义。

2. 能够判断两个给定平面是否垂直。

3. 掌握判断平面与平面垂直的性质。

教学步骤：
步骤一：引入话题
教师可以将两本垂直放置的书本放在桌上，并问学生这两本书是不是垂直的。

引导学生思考垂直关系的定义。

步骤二：引入平面与平面垂直的定义
通过上述引入，教师可以引申出平面与平面垂直的定义：两个平面相交且交线为垂直线时，这两个平面称为垂直平面。

步骤三：判断平面与平面是否垂直
教师可以给出一些示例，要求学生根据定义判断两个给定的平面是否垂直。

步骤四：讨论垂直平面的性质
4.1 垂直平面的法线相互垂直
教师可以引导学生思考：如果两个平面是垂直平面，这两个平面的法线是否相互垂直？
4.2 垂直平面的法线在同一平面
教师可以引导学生思考：两个平面是垂直平面，这两个平面的法线是否在同一平面内？
步骤五：实例练习
教师可以给出一些实例让学生判断给定的平面是否垂直，同时让学生根据垂直平面的性质进行论证。

步骤六：总结
教师与学生共同总结平面与平面垂直的定义以及判断垂直平面的性质。

步骤七：作业布置
布置一些作业题，让学生通过练习巩固所学知识。

扩展思考：
1. 如何判断三个平面是否两两垂直？
2. 平面与直线是否可以垂直？如何证明？。

【高中数学】直线、平面垂直的判定与性质

【高中数学】直线、平面垂直的判定与性质一、基础知识1．直线与平面垂直(1)直线和平面垂直的定义：直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直.(2)直线与平面垂直的判定定理及性质定理：❶如果一条直线与平面内再多（即无数条）的直线垂直，但这些直线不相交就不能说明这条直线与此平面垂直.．平面与平面垂直的判定定理与性质定理2二、常用结论直线与平面垂直的五个结论(1)若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内的任意直线．(2)若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．(3)垂直于同一条直线的两个平面平行．(4)一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这一条直线与另一个平面也垂直．(5)两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面．考点一直线与平面垂直的判定与性质[典例]如图，在四棱锥PABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．求证：(1)CD⊥AE；(2)PD⊥平面ABE.[证明](1)在四棱锥PABCD中，∵PA⊥底面ABCD，CD⊂底面ABCD，∴PA⊥CD，又∵AC⊥CD，且PA∩AC＝A，∴CD⊥平面PAC.∵AE⊂平面PAC，∴CD⊥AE.(2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA.∵E是PC的中点，∴AE⊥PC.由(1)知AE⊥CD，且PC∩CD＝C，∴AE⊥平面PCD.∵PD⊂平面PCD，∴AE⊥PD.∵PA⊥底面ABCD，AB⊂底面ABCD，∴PA⊥AB.又∵AB⊥AD，且PA∩AD＝A，∴AB⊥平面PAD，∵PD⊂平面PAD，∴AB⊥PD.又∵AB ∩AE ＝A ，∴PD ⊥平面ABE .[解题技法]证明线面垂直的4种方法(1)线面垂直的判定定理：l ⊥a ，l ⊥b ，a ⊂α，b ⊂α，a ∩b ＝P ⇒l ⊥α.(2)面面垂直的性质定理：α⊥β，α∩β＝l ，a ⊂α，a ⊥l ⇒a ⊥β.(3)性质：①a ∥b ，b ⊥α⇒a ⊥α，②α∥β，a ⊥β⇒a ⊥α.(4)α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l ⇒l ⊥γ.(客观题可用)[口诀归纳]线面垂直的关键，定义来证最常见，判定定理也常用，它的意义要记清.平面之内两直线，两线相交于一点，面外还有一直线，垂直两线是条件.[题组训练]1．(2019·安徽知名示范高中联考)如图，在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，AB ＝BC ＝BB 1，AB 1∩A 1B ＝E ，D 为AC 上的点，B 1C ∥平面A 1BD .(1)求证：BD ⊥平面A 1ACC 1；(2)若AB ＝1，且AC ·AD ＝1，求三棱锥A BCB 1的体积．解：(1)证明：如图，连接ED ，∵平面AB 1C ∩平面A 1BD ＝ED ，B 1C ∥平面A 1BD ，∴B 1C ∥ED ，∵E 为AB 1的中点，∴D 为AC 的中点，∵AB ＝BC ，∴BD ⊥AC .∵A 1A ⊥平面ABC ，BD ⊂平面ABC ，∴A 1A ⊥BD .又∵A 1A ，AC 是平面A 1ACC 1内的两条相交直线，∴BD ⊥平面A 1ACC 1.(2)由AB ＝1，得BC ＝BB 1＝1，由(1)知AD ＝12AC ，又AC ·AD ＝1，∴AC 2＝2，∴AC 2＝2＝AB 2＋BC 2，∴AB ⊥BC ，∴S △ABC ＝12AB ·BC ＝12，∴V A BCB 1＝V B 1ABC ＝13S △ABC ·BB 1＝13×12×1＝16.2.如图，S 是Rt △ABC 所在平面外一点，且SA ＝SB ＝SC ，D 为斜边AC的中点．(1)求证：SD⊥平面ABC；(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.证明：(1)如图所示，取AB的中点E，连接SE，DE，在Rt△ABC中，D，E分别为AC，AB的中点．∴DE∥BC，∴DE⊥AB，∵SA＝SB，∴SE⊥AB.又SE∩DE＝E，∴AB⊥平面SDE.又SD⊂平面SDE，∴AB⊥SD.在△SAC中，∵SA＝SC，D为AC的中点，∴SD⊥AC.又AC∩AB＝A，∴SD⊥平面ABC.(2)∵AB＝BC，∴BD⊥AC，由(1)可知，SD⊥平面ABC，又BD⊂平面ABC，∴SD⊥BD，又SD∩AC＝D，∴BD⊥平面SAC.考点二面面垂直的判定与性质[典例](2018·江苏高考)在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，AA1＝AB，AB1⊥B1C1.求证：(1)AB∥平面A1B1C；(2)平面ABB1A1⊥平面A1BC.[证明](1)在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，AB∥A1B1.因为AB⊄平面A1B1C，A1B1⊂平面A1B1C，所以AB∥平面A1B1C.(2)在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，四边形ABB1A1为平行四边形．又因为AA1＝AB，所以四边形ABB1A1为菱形，因此AB1⊥A1B.因为AB1⊥B1C1，BC∥B1C1，所以AB1⊥BC.因为A1B∩BC＝B，A1B⊂平面A1BC，BC⊂平面A1BC，所以AB 1⊥平面A 1BC .因为AB 1⊂平面ABB 1A 1，所以平面ABB 1A 1⊥平面A 1BC .[解题技法]证明面面垂直的2种方法定义法利用面面垂直的定义，即判定两平面所成的二面角为直二面角，将证明面面垂直问题转化为证明平面角为直角的问题定理法利用面面垂直的判定定理，即证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线，把问题转化成证明线线垂直加以解决[题组训练]1．(2019·武汉调研)如图，三棱锥P ABC 中，底面ABC 是边长为2的正三角形，PA ⊥PC ，PB ＝2.求证：平面PAC ⊥平面ABC .证明：取AC 的中点O ，连接BO ，PO .因为△ABC 是边长为2的正三角形，所以BO ⊥AC ，BO ＝ 3.因为PA ⊥PC ，所以PO ＝12AC ＝1.因为PB ＝2，所以OP 2＋OB 2＝PB 2，所以PO ⊥OB .因为AC ∩OP ＝O ，所以BO ⊥平面PAC .又OB ⊂平面ABC ，所以平面PAC ⊥平面ABC .2.(2018·安徽淮北一中模拟)如图，四棱锥P ABCD 的底面是矩形，PA ⊥平面ABCD ，E ，F 分别是AB ，PD 的中点，且PA ＝AD .求证：(1)AF ∥平面PEC ；(2)平面PEC ⊥平面PCD .证明：(1)取PC 的中点G ，连接FG ，EG ，∵F 为PD 的中点，G 为PC 的中点，∴FG为△CDP的中位线，∴FG∥CD，FG＝12 CD.∵四边形ABCD为矩形，E为AB的中点，∴AE∥CD，AE＝12 CD.∴FG＝AE，FG∥AE，∴四边形AEGF是平行四边形，∴AF∥EG，又EG⊂平面PEC，AF⊄平面PEC，∴AF∥平面PEC.(2)∵PA＝AD，F为PD中点，∴AF⊥PD，∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD，又∵CD⊥AD，AD∩PA＝A，∴CD⊥平面PAD，∵AF⊂平面PAD，∴CD⊥AF.又PD∩CD＝D，∴AF⊥平面PCD.由(1)知EG∥AF，∴EG⊥平面PCD，又EG⊂平面PEC，∴平面PEC⊥平面PCD.[课时跟踪检测]A级1．设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则能得出a⊥b的是() A．a⊥α，b∥β，α⊥βB．a⊥α，b⊥β，α∥βC．a⊂α，b⊥β，α∥βD．a⊂α，b∥β，α⊥β解析：选C对于C项，由α∥β，a⊂α可得a∥β，又b⊥β，得a⊥b，故选C.2．(2019·湘东五校联考)已知直线m，l，平面α，β，且m⊥α，l⊂β，给出下列命题：①若α∥β，则m⊥l；②若α⊥β，则m∥l；③若m⊥l，则α⊥β；④若m∥l，则α⊥β.其中正确的命题是()A．①④B．③④C．①②D．①③解析：选A对于①，若α∥β，m⊥α，l⊂β，则m⊥l，故①正确，排除B.对于④，若m∥l，m⊥α，则l⊥α，又l⊂β，所以α⊥β.故④正确．故选A.3．已知PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面，C为圆上异于A，B两点的任一点，则下列关系不正确的是()A．PA⊥BC B．BC⊥平面PACC．AC⊥PB D．PC⊥BC解析：选C由PA⊥平面ACB⇒PA⊥BC，故A不符合题意；由BC⊥PA，BC⊥AC，PA∩AC＝A，可得BC⊥平面PAC，所以BC⊥PC，故B、D不符合题意；AC⊥PB显然不成立，故C符合题意．4.如图，在四面体ABCD中，已知AB⊥AC，BD⊥AC，那么点D在平面ABC内的射影H必在()A．直线AB上B．直线BC上C．直线AC上D．△ABC内部解析：选A因为AB⊥AC，BD⊥AC，AB∩BD＝B，所以AC⊥平央ABD，又AC⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面ABD，所以点D在平面ABC内的射影H必在直线AB上．5.如图，在正四面体PABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，则下面四个结论不成立的是()A．BC∥平面PDFB．DF⊥平面PAEC．平面PDF⊥平面PAED．平面PDE⊥平面ABC解析：选D因为BC∥DF，DF⊂平面PDF，BC⊄平面PDF，所以BC∥平面PDF，故选项A正确．在正四面体中，AE⊥BC，PE⊥BC，AE∩PE＝E，所以BC⊥平面PAE，又DF∥BC，则DF⊥平面PAE，从而平面PDF⊥平面PAE.因此选项B、C均正确．6.如图，已知∠BAC＝90°，PC⊥平面ABC，则在△ABC，△PAC的边所在的直线中，与PC垂直的直线有________个；与AP垂直的直线有________个．解析：∵PC⊥平面ABC，∴PC垂直于直线AB，BC，AC.∵AB⊥AC，AB⊥PC，AC∩PC＝C，∴AB⊥平面PAC，又∵AP⊂平面PAC，∴AB⊥AP，与AP垂直的直线是AB.答案：317．设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题：①若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α∥β；②若α外的一条直线l与α内的一条直线平行，则l∥α；③设α∩β＝l，若α内有一条直线垂直于l，则α⊥β；④直线l⊥α的充要条件是l与α内的两条直线垂直．其中所有的真命题的序号是________．解析：①正确；②正确；满足③的α与β不一定垂直，所以③错误；直线l⊥α的充要条件是l与α内的两条相交直线垂直，所以④错误．故所有的真命题的序号是①②.答案：①②8．在直三棱柱ABCA1B1C1中，平面α与棱AB，AC，A1C1，A1B1分别交于点E，F，G，H，且直线AA1∥平面α.有下列三个命题：①四边形EFGH是平行四边形；②平面α∥平面BCC1B1；③平面α⊥平面BCFE.其中正确命题的序号是________．解析：如图所示，因为AA1∥平面α，平面α∩平面AA1B1B＝EH，所以AA1∥EH.同理AA1∥GF，所以EH∥GF，又ABCA1B1C1是直三棱柱，易知EH＝GF＝AA1，所以四边形EFGH是平行四边形，故①正确；若平面α∥平面BB1C1C，由平面α∩平面A1B1C1＝GH，平面BCC1B1∩平面A1B1C1＝B1C1，知GH∥B1C1，而GH∥B1C1不一定成立，故②错误；由AA1⊥平面BCFE，结合AA1∥EH知EH⊥平面BCFE，又EH⊂平面α，所以平面α⊥平面BCFE，故③正确．答案：①③9．(2019·太原模拟)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD＝60°，PA＝PD＝AD＝2，点M在线段PC上，且PM＝2MC，N为AD的中点．(1)求证：AD⊥平面PNB；(2)若平面PAD⊥平面ABCD，求三棱锥PNBM的体积．解：(1)证明：连接BD.∵PA＝PD，N为AD的中点，∴PN⊥AD.又底面ABCD 是菱形，∠BAD ＝60°，∴△ABD 为等边三角形，∴BN ⊥AD ，又PN ∩BN ＝N ，∴AD ⊥平面PNB .(2)∵PA ＝PD ＝AD ＝2，∴PN ＝NB ＝3.又平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ，PN ⊥AD ，∴PN ⊥平面ABCD ，∴PN ⊥NB ，∴S △PNB ＝12×3×3＝32.∵AD ⊥平面PNB ，AD ∥BC ，∴BC ⊥平面PNB .又PM ＝2MC ，∴V P NBM ＝V M PNB ＝23V C PNB ＝23×13×32×2＝23.10.如图，在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，D ，E 分别为AB ，BC 的中点，点F 在侧棱B 1B 上，且B 1D ⊥A 1F ，A 1C 1⊥A 1B 1.求证：(1)直线DE ∥平面A 1C 1F ；(2)平面B 1DE ⊥平面A 1C 1F .证明：(1)在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，AC ∥A 1C 1，在△ABC 中，因为D ，E 分别为AB ，BC 的中点．所以DE ∥AC ，于是DE ∥A 1C 1，又因为DE ⊄平面A 1C 1F ，A 1C 1⊂平面A 1C 1F ，所以直线DE ∥平面A 1C 1F .(2)在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面A 1B 1C 1，因为A 1C 1⊂平面A 1B 1C 1，所以AA 1⊥A 1C 1，又因为A 1C 1⊥A 1B 1，A 1B 1∩AA 1＝A 1，AA 1⊂平面ABB 1A 1，A 1B 1⊂平面ABB 1A 1，所以A 1C 1⊥平面ABB 1A 1，因为B 1D ⊂平面ABB 1A 1，所以A 1C 1⊥B 1D ，又因为B 1D ⊥A 1F ，A 1C 1∩A 1F ＝A 1，A 1C 1⊂平面A 1C 1F ，A 1F ⊂平面A 1C 1F ，所以B 1D ⊥平面A 1C 1F ，因为直线B 1D ⊂平面B 1DE ，所以平面B 1DE ⊥平面A 1C 1F .B 级1．(2018·全国卷Ⅱ)如图，在三棱锥P ABC 中，AB ＝BC ＝22，PA ＝PB ＝PC ＝AC ＝4，O 为AC 的中点．(1)证明：PO ⊥平面ABC ；(2)若点M 在棱BC 上，且MC ＝2MB ，求点C 到平面POM 的距离．解：(1)证明：因为PA ＝PC ＝AC ＝4，O 为AC 的中点，所以PO ⊥AC ，且PO ＝2 3.连接OB ，因为AB ＝BC ＝22AC ，所以△ABC 为等腰直角三角形，且OB ⊥AC ，OB ＝12AC ＝2.所以PO 2＋OB 2＝PB 2，所以PO ⊥OB .又因为AC ∩OB ＝O ，所以PO ⊥平面ABC .(2)作CH ⊥OM ，垂足为H ，又由(1)可得OP ⊥CH ，所以CH ⊥平面POM .故CH 的长为点C 到平面POM 的距离．由题设可知OC ＝12AC ＝2，CM ＝23BC ＝423，∠ACB ＝45°，所以OM ＝253，CH ＝OC ·MC ·sin ∠ACB OM ＝455.所以点C 到平面POM 的距离为455.2．(2019·河南中原名校质量考评)如图，在四棱锥P ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，CD ＝2AB ，平面PAD ⊥底面ABCD ，PA ⊥AD ，E ，F 分别是CD ，PC 的中点．求证：(1)BE ∥平面PAD ；(2)平面BEF ⊥平面PCD .证明：(1)∵AB ∥CD ，CD ＝2AB ，E 是CD 的中点，∴AB ∥DE 且AB ＝DE ，∴四边形ABED 为平行四边形，∴AD ∥BE ，又BE ⊄平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，∴BE ∥平面PAD .(2)∵AB ⊥AD ，∴四边形ABED 为矩形，∴BE ⊥CD ，AD ⊥CD ，∵平面PAD ⊥底面ABCD ，平面PAD ∩底面ABCD ＝AD ，PA ⊥AD ，高中数学学科∴PA⊥底面ABCD，∴PA⊥CD，又PA∩AD＝A，∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥PD，∵E，F分别是CD，PC的中点，∴PD∥EF，∴CD⊥EF，又EF∩BE＝E，∴CD⊥平面BEF，∵CD⊂平面PCD，∴平面BEF⊥平面PCD.。

两个平面垂直

【知识方法总结】
1. 证面面垂直一般先从现有的直线中找平面的垂线；否则用作辅助线解决之，要过平面外一点P作平面
的垂线，通常是先作(找)一个过点P并且和垂直的平面，设=l，在内作直线al，则a．
2.注意线线垂直、线面垂直、面面垂直之间的转化条件和转化应用。
A
B
O
C
S
【典例剖析】
例3书】如下图，在三棱锥S—ABC中，SA⊥平面ABC，平面SAB⊥平面SBC. （1）求证：AB⊥BC；（2）若设二面角S—BC—A为45°，SA=BC，求二面角
A—SC—B的大小. S
E
H
A
C
B
【典例剖析】
【例4书】已知正三棱柱ABC—A1B1C1，若过面对角线AB1与另一面对角线BC1平行的平面交上底面A1B1C1 的一边A1C1于点D. （1）确定D的位置，并证明你的结论；
性如果两个平面垂直，质那么它们所成二面
角的平面角是直角．
如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．
A
aO B
a
A
B
aO
a
l
AOB是二面角
证
a的平面角，两
且AOB=90，则平
面
垂
直
a a
，AOB是二面角a的平面
角，则AOB=90
证两条直线垂
（2）证明：平面AB1D⊥平面AA1D；
（3）若AB∶AA1= 2 ，求平面AB1D与平面AB1A1所
成角的大小.
C1
A1
B1
C
A
B
【典例剖析】
补：例5．由一点S引不共面的三条射线SA、SB、SC，

关于《两个平面垂直的判定定理》优秀说课稿

《两个平面垂直的判定定理》优秀说课稿关于《两个平面垂直的判定定理》优秀说课稿1教材结构与内容简析：1.1本节内容在全书及章节的地位；两平面垂直的判定定理出现在高中立几第一章最后一节，这之前学生已学习了空间两直线位置关系，空间直线和平面位置关系,特别是已学习了直线和平面垂直判定定理,二面角的平面角,这是学习本节内容的基础，而本节内容是第二章多面体、旋转体的学习基础，因此，本节的学习有着极其重要的地位。

1.2数学思想方法分析：1.2.1从定理的证明过程，面面垂直可转化为线面垂直，就可以看到数学的化归，"降维"思想。

1.2.2在教材所提供的材料中，从建构手段角度分析，可以看到归纳思想，而这一思想中包含着重组的意识和能力。

2教学目标：根据上述教材结构与内容分析，考虑到学生已有的认知结构及心理特征，制定如下教学目标：2.1基础知识目标：掌握平面与平面垂直的判定定理及其变式，能利用它们解决相关的问题。

2.2能力训练目标：逐步培养学生观察、分析、综合和类比能力，会准确地阐述自己的思路和观点，着重培养学生的认知和元认知能力。

2.3创新素质目标：引导学生从日常生活中发现判定定理，培养学生的发现意识和能力；判定定理及变式的教学培养学生的重组意识和能力；判定定理在现实生活中的应用培养学生的应用的意识和能力。

2.4个性品质目标：培养学生勇于探索，善于发现，独立的意识，不断超越自我的`创新品质。

3教学重点、难点、关键：重点：判定定理的证明及变式探索难点：判定定理的变式。

关键：本节课通过判定定理的证明及变式探索，着重培养和发展学生的认知和元认知能力。

4教材处理建构主义学习理论认为，建构即认知结构的组建，其过程一般是先把知识点按照逻辑线索和内在联系，串成知识线，再由若干条知识线联构成知识面，最后由知识面按照其内容、性质、作用、因果等关系组成综合的知识体。

本课时为何提出变式呢，应该说，这一处理方法正是基于此理论的体现。

1.4.1空间中直线平面的垂直(第3课时)(教学课件)高二数学(人教A版2019选择性)

D1
C1
A1C AB AD AA1 a b c, BD AD AB b a ,
证明：因为AB= AD =AA1=1,
A1
B1
D
C
A1 AB A1 AD BAD 60 ,
所以 a b c 1,
2
2
2
1
a b b c c a 11 cos60 .
(a 2 b 2 b c a c) (a c b c c 2 )
1 1
1 1
(1 1 ) ( 1) 0
2 2
2 2
A
C1
A1
B1
D
C
B
A1C是平面BDD1B1的法向量。直线A1C 平面BDD1B1.
2
(2)若点 G 在 BC 上，BG＝，点 M 在 BB1 上，GM⊥BF，垂足为 H，
3
求证：ME⊥平面 BCC1B1.
证明：(1)建立如图所示的空间直角坐标系，则B(0,0,0)，E(3,0,1)，F(0,3,2)，
D1(3,3,3)，
→
→
→
则BE＝(3,0,1)，BF＝(0,3,2)，BD1＝(3,3,3)．
目录/CONTENTS
学习目标
情景导入
新知探究
错因分析
分层练习
课堂小结
学习目标
1.用向量语言描述线线、线面、面面垂直的关系（重点）
2.用向量语言证明直线、平面垂直的相关判定定理（重点）
3.用向量语言解决立体几何直线、平面垂直的相关问题（难点）
情景导入
类似空间中直线、平面平行的向量表示，在直线与直线、直线与平面、平面与平面的

平面与平面垂直》(第3课时)

1．从空间一点 P 向二面角 α－l－β 的两个面 α，β 分别作垂线
PE，PF，E，F 为垂足，若∠EPF＝60°，则二面角的平
面角的大小是
()
A．60°
B．120°
C．60°或 120°
D．不确定
解析：若点 P 在二面角内，则二面角的平面角为 120°；
若点 P 在二面角外，则二面角的平面角为 60°. 答案：C
答案：C
题型一二面角及其平面角的概念
[ 学透用活]
[ 典例 1] 下列命题中：
①两个相交平面组成的图形叫做二面角；②异面直线 a，b 分别和一个二面角的两个面垂直，则 a，b 所成的角与这个二面角的平面角相等或互补；③二面角的平面角是从棱上一点出发，
分别在两个面内作射线所成的角的最小角；④二面角的大小与
了保证墙面与地面垂直，泥水匠常常在较高处固定一条端点系有铅锤的线，再沿着该线砌墙，如图，这样就能保证墙面与地面垂直． (1)由上述可知当直线与平面垂直时，过此直线可作无数个平
面，那么这些平面与已知平面有何关系？提示：垂直．
(2)若要判断两平面是否垂直，根据上述问题能否得出一方法？提示：可以，只需在一平面内找一直线垂直于另一平面即可．
提示：无关．如图，根据等角定理可知，∠AOB ＝∠A′O′B′，即二面角的平面角的大小与角的顶点的位置无关，只与二面角的大小有关．
(二)基本知能小试
1．判断正误
(1)平面 α 和 β 分别过两条互相垂直的直线，则 α⊥β.( )
(2)若平面 α 内的一条直线垂直于平面 β 内两条平行线，则
α⊥β.
2．在二面角 α－l－β 的棱 l 上任选一点 O，若∠AOB 是二面
角 α－l－β 的平面角，则必须具有的条件是

两个平面垂直的判定和性质

P F
P
ABC 90 , 是 ABC 所在平面外一点，
PA PB PC
求证：平面 PAC 平面 ABC
P
A
O
C B
若条件加为 AB AC ？
小结：
（1）两个平面垂直的定义；（2）两个平面垂直的判定： ① 定义法：找出这两个平面所成的二面角证明其为直二面角； ② 判定定理：线面垂直面面垂直即 l ,l
（2）面 ACFE 面 BB1 D1 D
（3）面 ACG 面 BB1 D1 D
A1 D1 C1
F
E B1
G
D
A B
C
PA 面ABC 例3 P 为ABC 所在平面外一点，
AE PB 于 E ABC 90 ，
AF PC 于 F ，求证，
（1）平面AEF 平面
PBC
（2）平面AEF 平面 PAC
入袅诚申殿,俺也不会有意见,虽然是俺将他从雪伦国接回来の.”女娲淡淡の语气说道.“哈哈,好！”袅诚殿主笑了壹声说道.在他看来,鞠言已经是他の囊中之物.他袅诚,在鸿钧天宫资格老,底蕴丰厚,无论从哪壹个方向来说,都不是女娲殿主能比の.那鞠言只要不傻,肯定不会放着袅诚申殿不选而选女娲申殿.女娲申殿只是壹个新建立の申殿,进去能有哪个前途?“女娲殿主,鞠言此事安顿在何处?不如,俺们现在就过去见见他,看他是哪个想法.”袅诚殿主又说道.他是想快刀斩乱麻.鞠言是女娲殿主带回来の,二人肯定有了壹定の熟悉.袅诚也是担心,拖延事间后,女娲暗中劝说鞠言加入女娲申殿.现在他让女娲带着立刻去见鞠言,就没有呐种顾虑了.“能够,那俺带袅诚殿主过去.”女娲点头,没有迟疑就答应了下来.“俺也去看看呐个鞠言.”“哈哈,俺现在也没事,壹起过去.”倒是还有两位殿主,都想跟着女娲殿

高三数学两个平面垂直(201911整理)

【知识梳理】
重要提示
1．两个平面垂直的性质定理，即：“如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于
另一个平面”是作点到平面距离的依据，要过平面外
一点P作平面的垂线，通常是先作(找)一个过点P并且和垂直的平面，设=l，在内作直线al，则 a．
2．三种垂直关系的证明 (1)线线垂直的证明 ①利用“两条平行直线中的一条和第三条直线垂直，那么另一条也和第三条直线垂直”；
②利用“线面垂直的定义”，即由“线面垂直线线垂直”；
③利用“三垂线定理或三垂线定理的逆定理”．
【知识梳理】
重要提示
(2)线面垂直的证明 ①利用“线面垂直的判定定理”，即由“线线垂直线面垂直”；
②利用“如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一个平面”；
③利用“面面垂直的性质定理”，即由“面面垂直线面垂直”；
性如果两个平面垂直，质那么它们所成二面
角的平面角是直角．
如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．
A
aO B
a

A

B
aO
a
l
AOB是二面角
证
a的平面角，两
且AOB=90，则平

面
垂
直
a a

，AOB是二面角a的平面
角，则AOB=90
证两条直线垂
直
证直

线
平面垂直
al
；代写工作总结 https:/// 代写工作总结；
结构示意图、动力传动路线图掌握闭口系统能量方程式、开口系统能量方程式（稳定状态稳定流动能量方程式）的推导和应用，本部分难点本部