流体力学边界层理论
边界层理论及边界层分离现象
边界层理论及边界层分离现象
一.边界层理论
1.问题的提出
在流体力学中,雷诺数Re∝惯性力/粘性力,当Re<1时,惯性力<<粘性力,可以略去惯性力项,用N-S方程解决一些实际问题(如沉降、润滑、渗流等),并可以获得比较满意的结果。但对于工程流动问题,绝大多数的Re很大。这时就不可以完全略去粘性力,略去粘性力的结果与实际情况相差很大。突出的一例即“达朗倍尔佯谬——在流体中作等速运动的物体不受阻力。”
究竟应当怎样才能正确地处理大Re数的流动呢?这个矛盾一直到1904年,德国流体力学家普朗特提出了著名的边界层理论,即大Re数的流动中,大部分区域的惯性力>>粘性力,但在紧靠固壁的极薄流层中,惯性力≈粘性力,这才令人满意地解决了大Re数的流动的阻力问题。
2.边界层的划分
Ⅰ流动边界层(速度边界层)
以平板流动为例,x方向一维稳态流动,在垂直壁面的y方向上,流动可划分为性质不同的两个区域:(1)y<δ(边界层):受壁面影响,法向速度变化急剧,du/dy很大,粘性力大(与惯性同阶),不能忽略。(2)y>δ(层外主流层):壁面影响很弱,法向速度基本不变,du/dy≈0。所以可忽略粘性力(即忽略法向动量传递)。可按理想流体处理,Euler方程适用。这两个区域在边界层的外缘衔接起来,由于层内的流动趋近于外流是渐进的,不是突变的,因此,通常约定:在流动边界层的外缘处(即y=δ处),ux=0.99u∞,δ为流动边界层厚度,且δ=δ(x)。
Ⅱ传热边界层(温度边界层)
当流体流经与其温度不相等的固体壁面时,在壁面上形成流动边界层,同时,还会由于传热而形成温度分布,可分成两个区域:(1)y<δt(传热边界层):受壁面影响,法向温度梯度dt/dy很大,不可忽略,即不能忽略法向热传导。(2) y>δt(层外区域):法向温度梯度dt/dy≈0,可忽略法向热传导。通常约定:在传热边界层的外缘处(即y=δt处),ts-t=0.99(ts -t0) ≈ ts-t0,δt为温度边界层厚度,且
流体力学第六章 边界层理论 (附面层理论)
流体力学第六章
(4)在边界层边界上,应满足
y u
U
x
u
0
y
为什么?
边界层厚度是一个假定的量。例如可以把速度等于主流 速度的99%的各点认为是边界层的上边界。但是通常采 用排挤厚度的三倍作为边界层的厚度:
U1 0Uudy 1 01U udy
边界层基本问题:厚度究竟是多少?
2021/8/5
uk
2u y 2
d
y
而 uk
0
2u y2 dy
k0
0
2u y2 dy
u y
0
(
u y
)
0
(6 2 1)
2021/8/5
流体力学第六章
令 k 0,并 把 上 式 取 代 哥 氏 方 程 的 最 后 一 项
k
1
x
0
u
k2dy
U k
k 1
1
x
0
udy
p x
0
u
kdy
0
x
K 2 0 x
K
2
x
0
u K 2
dy
u K 2
u K 2
0
0
K
2
x
0
u K 2
dy
U
K
2
只与 (x)和U (x)有关.
流体力学第七章边界层理论和机翼升力原理
第七章 边界层理论和机翼升力原理
(掌握边界层内的流动,了解绕流物体的阻力,掌握机翼升力原理)
§7.1 边界层内得流动
★ 边界层:流体流经平板物体时,靠近物体表面处流动的一薄流体层。 ★ 边界层内流体流动的特性:
1) 由于流体有粘滞性,粘附于物体壁面流体质点的速度可视为零; 2) 由于边界层极薄,物体壁面上边界层内外的压力分布相同;
3) 由于边界层内的速度梯度很大,极易形成很多漩涡,属于有旋流动; 4) 流动状态可以是层流,也可是是紊流,或者是层流和紊流的混合流动。
流体流经物体壁面的流体可以分为两个流动区域:一为边界层内粘性流体的有旋流动区域;二为边界层外忽略粘性理想流体的无旋流动区域。
流体边界层的形成和发展:从平板前缘开始形成边界层,当Re 较小时,边界层内为层流;随着Re 的增大,平板前缘边界层仍保持层流,而后面则转为紊流;当Re 继续增大,层流变为紊流的点B (转捩lie 点)逐渐向前移动,紊流边界层逐渐扩大而最后全部转变为稳定的紊流。
即当x 较小时是层流,随着x 的增大,在一定的地方转变为紊流。这是由于边界层的厚度δ随着x 的增大而增加。 影响转捩点位置的因素(P112): 1) 来流Re 的影响; 2) 物体表面压力梯度影响; 3) 物体壁面粗糙度的影响。 临界雷诺数Rec :
0Re c u x
υ=
(55
3.510~510⨯⨯)
R e c
:转捩点对应的临界雷诺数;
x :从平板前缘到转捩点的距离; 0
u :来流的速度; υ:运动粘度
边界层厚度的计算公式:
平板层流边界层厚度δ为:
工程流体力学中的边界层理论与应用
工程流体力学中的边界层理论与应用
在工程流体力学中,边界层理论是一种重要的理论工具,用于研究流体与固体
界面之间的相互作用过程。边界层理论的应用范围广泛,涉及到多个工程领域,包括工程设计、流动控制、能源开发等。
边界层是流体靠近固体表面处的一层流动区域,其特点是速度梯度大、压力梯
度小。边界层理论的研究主要关注以下几个方面:
1. 边界层的形成与发展:在流体运动中,边界层的形成是由于流体与固体表面
间接触而发生的。随着流体沿着固体表面流动,边界层逐渐发展,由初始边界层转变为稳定边界层。边界层的形成与发展过程对于理解流体力学现象具有重要意义。
2. 边界层中的速度剖面特征:边界层中,流体速度与距离固体表面的距离之间
存在一定的关系。速度剖面特征可以通过边界层厚度、速度剖面形状等参数来描述。深入研究边界层中速度剖面的特征,有助于预测流体力学现象,优化工程设计。
3. 边界层与摩擦阻力:在工程流体力学中,减小摩擦阻力是一个重要的目标。
边界层的理论研究可以揭示与摩擦阻力相关的机理,提供降低摩擦阻力的方法。例如,在飞机设计中,通过改变机翼表面的纹理,可以改善边界层的流动特性,减小阻力。
4. 边界层的控制技术:边界层理论的研究还涉及到边界层的控制技术。通过改
变固体表面的形状或施加外部控制手段,可以调控边界层的发展,从而实现对流体运动的控制。例如,在汽车设计中,通过改变车身形状和设计尾翼来控制边界层的发展,减小阻力,提高汽车的燃油经济性。
边界层理论在工程流体力学中的应用主要包括以下几个方面。
1. 工程设计:边界层理论可以用于优化工程设计,提高流体系统的性能。例如,通过研究边界层的流动特性,可以确定合适的管道尺寸、形状和布局,以减小阻力、
边界层理论及边界层分离现象
边界层理论及边界层分离现象
一.边界层理论
1.问题的提出
在流体力学中,雷诺数Re∝惯性力/粘性力,当Re<1时,惯性力<
究竟应当怎样才能正确地处理大Re数的流动呢?这个矛盾一直到1904年,德国流体力学家普朗特提出了著名的边界层理论,即大Re数的流动中,大部分区域的惯性力>>粘性力,但在紧靠固壁的极薄流层中,惯性力≈粘性力,这才令人满意地解决了大Re数的流动的阻力问题。
2.边界层的划分
Ⅰ流动边界层(速度边界层)
以平板流动为例,x方向一维稳态流动,在垂直壁面的y方向上,流动可划分为性质不同的两个区域:(1)yδ(层外主流层):壁面影响很弱,法向速度基本不变,du/dy≈0。所以可忽略粘性力(即忽略法向动量传递)。可按理想流体处理,Euler方程适用。这两个区域在边界层的外缘衔接起来,由于层内的流动趋近于外流是渐进的,不是突变的,因此,通常约定:在流动边界层的外缘处(即y=δ处),ux=0.99u∞,δ为流动边界层厚度,且δ=δ(x)。
Ⅱ传热边界层(温度边界层)
当流体流经与其温度不相等的固体壁面时,在壁面上形成流动边界层,同时,还会由于传热而形成温度分布,可分成两个区域:(1)yδt(层外区域):法向温度梯度dt/dy≈0,可忽略法向热传导。通常
约定:在传热边界层的外缘处(即y=δt处),ts-t=0.99(ts-t0) ≈ ts-t0,δt 为温度边界层厚度,且δt=f(x);ts为壁面温度;t0为热边界层外(主流体)区域的温度。Pr=ν/α∝动量传递能力/热量传递能力。一般情况下,对于液体Pr>1,δ>δt;对于气体Pr≈1,δ≈δt;而对于液态金属Pr <0.1,δ
流体力学教案第8章边界层理论
第八章 边界层理论
§8-1 边界层的基本概念
实际流体和理想流体的本质区别就是前者具有粘性。对层流而言,单位面积摩擦力的大小y
u
d d μ
τ=,可以看出,对于确定的流体的等温流场,摩擦力的大小与速度梯度有关,其比例函数即动力粘度。速度梯度y
u
d d 大,粘性力也大,此时的流场称为粘性流场。若速度梯度
y
u
d d 很小,则粘性力可以忽略,称为非粘性流场。对于非粘性流场,则可按理想流体来处理。则N-S 方程可由欧拉方程代替,从而使问题大为简化。
Vl
v l l
V v A y u V l t
V
l t u m
ρρμρρ======2
223d d d d 粘性力惯性力
当空气、蒸汽,水等小粘度的流体与其它物体作高速相对运动时,一般雷诺数很大。由v
Vl
==
粘性力惯性力Re ,则在这些流动中,惯性力>>粘性力,所
以可略去粘性力。但在紧靠物体壁面存在一流体薄层,粘性力却与惯性力为同一数量级。所以,在这一薄层中,两者均不能略去。这一薄层就叫边界层,或叫速度边界层,由普朗特在1904年发现。
a .流体流过固体壁面,紧贴壁面处速度从零迅速增至主流速度,这一流体薄层,就叫边界层或速度边界层。
b .整个流场分为两部分 层外,
0=∂∂
y
u
,粘性忽略,无旋流动。 层内,粘性流,主要速度降在此,有旋流动。
c .由边界层外边界上∞=V u %99,来定义δ,δ为边界层厚度。
d .按流动状态,边界层又分为层流边界层和紊流边界层。 由于在边界层内,流体在物体表面法线方向(即
y
u
∂∂)速度梯度很大,所以,边界层内的流体具有相当大的旋涡强度;而在层外,由于速度梯度很小。所以,即使对于粘度很大的流体,粘性力也很小,故可忽略不计,所以可认为,
《工程流体力学》课件—09边界层理论
层流,称之为黏流底层。
工程流体力学
【例9.1】已知某边界层的速度分布为
u(
y)
u
y
U0
1
y
e
u y U0
y y
上式中 y为垂直坐标, 为边界层名义厚度。
求:(1)位移厚度 d ;(2)动量厚度 m(均以 表示)。
解:由式(9.2)位移厚度
d
0
1
u U0
dy
y
时,应将管壁向外放大 d ,如图9.2 (b) 。
3. 动量厚度
在x处,无黏性与有黏性流通过边界层内 dy 微元
(单位宽度)的动量流量分别 U0udy 为和 u2dy 。
工程流体力学
该处的动量流量亏损为 uU0 udy ,单位时间内
有这些动量要被排挤到主流中,对整个边界层厚度, 总的动量流量亏损为
1
l
;
(2)若物体远前方来流速度为U 0 ,则 Re
l
2
为同一量级。
u
u x
v
u y
U0l
1 dp
dx
极大,和
2u
y 2
得到普朗特边界层方程为
p
y
0
u
x
v y
0
工程流体力学
式(9.9)称为沿壁面不可压缩流体层流边界层 基本方程组。式中 p 0 表明在边界层内压强沿y方向
边界层理论
谢谢观看
在边界层和尾迹流以外的区域内,速度梯度很小,因此粘性力比惯性力要小得多,可以忽略不计,而且流动 基本上是无旋的,所以可看作是无旋势流。由此可见,在大雷诺数情况下,粘性流体绕物体流动的流场可划分为 两个区域:在边界层和尾迹区内的粘性流体有旋流动区域和在边界层和尾迹区外的理想流体无旋势流区域。由于 边界层内的流动是渐近地趋于外部主流,所以边界层内外区域的分界线是不明显的,具有一定的任愈性。一般规 定与外部势流速度相差1%处作为边界层的外边界,即离壁面达到外势流速度的99%处的垂直距离,定义为边界层 的厚度。
分析方法
分析方法
大雷诺数的绕流流动可分为两个区,即很薄的一层边界层区和边界层以外的无粘性流动区。因此,处理粘性 流体的方法是:略去粘性和热传导,把流场计算出来,然后用这样的初次近似求得的物体表面上的压力、速度和 温度分布作为边界层外边界条件去wk.baidu.com这一物体的边界层问题。算出边界层就可算出物面上的阻力和传热量。如此 的迭代程序使问题求解大为简化,这就是经典的普朗特边界层理论的基本方法。
图1大雷诺数下粘性流体绕流翼型的二维流动图1所示大雷诺数下粘性流体绕流翼型的二维流动,在极狭窄的 边界层内流体的速度由壁面上的零值急剧地增加到与来流速度同量级的数值,于是在壁面法线方向上的速度梯度 很大,即使流体的动力粘性系数很小,但粘性力仍然可达到很大的数值,所以在边界层内的粘性力和惯性力具有 同一数量级。由于速度梯度很大,流体内有相当大的旋涡强度,所以边界层内是有旋流动。当边界层内的有旋流 动与壁面分离时,在物体后形成一个速度梯度仍较显著的尾迹区域,由于粘性影响,尾迹中旋涡逐渐扩散,旋涡 的动能逐渐变成热能而耗散掉。
粘性流体力学-边界层理论PPT-汪志明教授
不可压缩连续性方程
x 0 x y y
边界层外 理想流动 边界层内 粘性流动
§3 层流边界层微分方程
量阶分析方法
边界层长度尺度与浸没物体几何尺度同量阶 边界层动量方程 量阶分析 雷诺数 边界层厚度
边界层长度方向分速度和势流区速度同量阶
§3 层流边界层微分方程
引入无量纲变量
* x
U dy dy (U 2 2 )dy
2 3 0 0 0
能量损失
假设流道 变窄带来 能量减少
U 3 (U 2 2 )dy
3 0
3
0
1 2 dy 0 1 2 dy U U U U
1.0
f
0.2329900
f'
0.460632
f ''
0.434379
1.1
1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7
0.2812075
0.3336572 0.3902111 0.4507234 0.5150312 0.5829560 0.6543045
0.503535
0.545246 0.585588 0.624386 0.661473 0.606699 0.729930
2
u
第七章 边界层理论
◎动量厚度和能量厚度 边界层的存在,同时使得流体的动量和能 量比理想情况要小,因此可以引入动量损失厚 度和能量损失厚度。 δ (ρ0 uU − ρu 2 )dy 因为边界层的存在,动量损失为∫0
δ 2 的动量为ρ 0U 2δ 2 主流在单位时间内通过某个厚度
因此动量(损失)厚度为
1 δ2 = 2 ρ 0U
[5]边界层的厚度 ◎位移厚度——由于边界层的存在,实际流过 边界层内的流体质量比理想情况时的减小,其 δ 减小量为
∫ (ρ U − ρu )dy
0 0
设这个减小量与主流流过的厚度为δ 1 的流层内 的流量 ρ 0Uδ 1 相等,则
1 δ1 = ρ0U
∫ (ρ U − ρu )dy
0 0
δ
不可压流 δ
关于湍流边界层中的速度分布,形式和经 验公式都很多。 有时,着眼于边界层内的流速与外部主流 流速的差额,因此可采用所谓的亏损律分布形 式。所谓亏损,是主流流速减去边界层内的流 速,而亏损律是把这个差值通过摩擦速度和无 量纲离壁距离表示的函数。 对于湍流边界层的外层,因为湍流是间歇 性的,所以采用另一个分布函数形式,称为尾 迹律。 请参见Schlishting的《边界层理论》。
§7.2 边界层微分方程式 [1] 层流边界层 边界层方程是Prandtl根据边界层的特点,把NS方程简化得到的。 下面以忽略质量力的不可压缩粘性流体来研究 层流流动的边界层方程。
第8章 边界层理论_1
2v 2v v v 1 p u v n 2 2 x y y x y
pe 1 U e2 const 2
dpe dU e U e dx dx
u v 0 x y dU e u u 2u u v Ue n 2 x y dx y
d
L
d ~
~
1 Re L
d
x
~
1 Re x
U0x
U0
Ue
0.99Ue
Ue
x nx U0 Re x
u(x,y) o L
d(x) x
Re x
n
图9.1.1 平壁面绕流的边界层
Re大时边界层很薄,约为毫米的量级。
3. 边界层排挤厚度 (Boundary Layer Displacement Thickness)
Re>>1 流动意味着粘性力相对于惯性力很小,忽略粘性?
1. 大Re数绕流流场的特征
(Characteristics of Flow Past an Object)
边界层定义:速度梯度很大的薄层。粘性在该薄层内起作用。
U0 y Ue
0.99Ue
Ue
边界层流δ Ue
y
u 外部势流
s
Ue
u
u(x,y) o
5. 关于Blasius相似性解的几点说明: 应用(Application): • • • • 摩擦阻力计算(估算); 校准边界层测速装置的探头; 边界层数值计算方法与程序的校核; 计算湍流边界层时,物体前缘附近层流段解析表达。
边界层理论
边界层(Boundary Layer)是高雷诺数绕流中紧贴物面的粘性力不可忽略的流动薄层,又称流动边界层、附面层。这个概念由近代流体力学的奠基人,德国人Ludwig Prandtl(普朗特)于1904年首先提出。从那时起,边界层研究就成为流体力学中的一个重要课题和领域。在边界层内,紧贴物面的流体由于分子引力的作用,完全粘附于物面上,与物体的相对速度为零。
边界层又称附面层,它是指流体流经固体表面时,靠近表面总会形成那么一个薄层,在此薄层中紧贴表面的流体流速为零,但在垂直固体表面的方向(法向)上速度增加的很快,即具有很大的速度梯度,甚至对粘性很小的流体,也不能忽略它表现出来的粘性力。而在此边界层外,流体的速度梯度很小,甚至对粘度很大的流体而言,其粘性力的影响也可以忽略,流体的流速与绕流固体表面前的流速V0一样。这样就可把边界层外流动的流体运动视为理想流体运动,不考虑粘性力的影响。边界层内、外区域间没有明显的分界面,而把边界层边缘上的流体流速V x视为V x=0.99 V0,因此从固体表面至V x=0.99 V0处的垂直距离视为边界层的厚度δ。这样大雷诺数下绕过固体的流动便简化为研究边界层中的流动问题。
边界层内的流动可以是层流,也可以是带有层流底层的紊流,还可以是层流、紊流混合的过渡流。
图1 边界层结构
综上所述,边界层的特征可归结为:
(1)与固体长度相比,边界层厚度很小;
(2)边界层内沿边界层厚度方向上的速度梯度很大;
(3)边界层沿流动方向逐渐增厚;
(4)由于边界层很薄,故可近似地认为,边界层截面上的压力等于同一截面上边界层外边界上的压力;
流体力学第七章 边界层理论基础
第七章 边界层理论基础
一
边界层(boundary layer)概述
亦称附面层,雷诺数很大时,粘性小的流体(如
空气或水)沿固体壁面流动(或固体在流体中运动)时
壁面附近受粘性影响显著的薄流层.
主要解决问题:物体在实际流体中作等速直线运动时
所受到的粘性阻力问题。
二 层流边界层和紊流边界层
边界层迅速地增厚,压强的增大(流速减小)和阻
边界层分离
力增大使边界层内动量减小,如两者共同作用在一足够 长的距离,致使边界层内流体流动停滞下来,分离便由 此而生,自分离点C起,边界流线必脱离边界,其下游近 壁处形成回流(或涡旋),在分离点:
流体流经平板与流经曲面的主要区别:沿表面压力梯度不 同。平面沿物体表面的法线方向压力梯度为0,曲面不为0
Re 9.6
三
边界层特点
(1)边界层厚度为一有限值(当ux→0.99u时) (2)边界层厚度沿程增加(δ=δ(x)) (3)边界层内: ;
边界层外:按理想流体或有势流动计算。 (4)边界层分层流边界层和紊流边界层。
四 曲面边界层及边界层分离 (separation of boundary layer) 曲面边界层重要特性:曲面边界层发生边界层分享和形 成旋涡而产生较大的压差阻力
3 边界层的厚度 δ (boundary layer thickness)
流体力学边界层理论
+ν
(
∂ 2v y ∂x 2
+
∂ 2v y ∂y 2
)
∂ v x + ∂ v y = 0 连续性方程
∂x
∂y
引进特征长度L、特征速度U,将方程中的各物理量无量纲化:
x′ = x , L
y′ = y , L
v′x
=
vx U
,
v′y
=
vy U
,
将其代入 N-S 方程,整理后得:
p′
=
p ρU 2
v′x
Rekp
=
(Ux ν
)
kp
= Uxkp ν
= 5×105
层流边界层转为湍流边界层转捩点的位置坐标
§8-2
xkp
=
5 ×105
ν U
边界层基本微分方程
(11-1)
粘性不可压缩流体,不计质量力,定常流过小曲率物体,物体表 面可近似当作平面。
取物面法线为y轴。在大 Re 数情况下的边界层流动有下面两个主要性质:
N-S 方程理论上完备但求解困难。解决(求解)工程实际问题大多局限于小雷 诺数流动问题。高 Re 时(量级在106 ~ 109 的范围),粘性力与惯性力相比是很小的。 1904 年,L.Prandtl 指出,对于粘性很小的流体(如空气、水),粘性对流动的影 响仅限于贴近固体表面的一个薄层内,这一薄层以外,粘性完全可以忽略。
第11章边界层理论详解
第11章边界层理论(Boundary Layer ~)
课堂提问:高尔夫球表面粗糙还是光滑一杆打的远?为什么龙舟的形状是细长体?本章内容:
1.边界层基本概念
2.边界层基本微分方程
3.边界层动量方程
4.边界层排挤厚度和动量损失厚度
5.平板层流边界层
6.平板湍流边界层
7.平板混合边界层
8. 船体摩擦阻力计算
9.曲面边界层分离现象形状阻力
10. 绕流物体的阻力
11.减少粘性阻力的方法
§11-1 边界层的概念
N-S方程理论上完备但求解困难。解决(求解)工程实际问题大多局限于小雷诺数流动问题。
高Re时(量级在106~109的范围),粘性力与惯性力相比是很小的。
1904年,L.Prandtl指出,对于粘性很小的流体(如空气、水),粘性对流动的影响仅限于贴
近固体表面的一个薄层内,这一薄层以外,粘性完全可以忽略。
从边界层厚度很小这个前提出发,Prandtl 率先建立了边界层内粘性流体运动的简化方程,开创了近代流体力学的一个分支——边界层理论。均匀来流绕一薄平板流动,微型批托管测得沿平板垂直方向的速度分布如下图:
在固体壁面附近,显著地受到粘性影响的这一薄层。
边界层:
均匀来流速度
平板上u=0边界层内粘性
力不可忽略
这一薄层内速度
梯度很大
y
v
x
∂
∂
与来流速度相同的量级,U99%
边界层外边界
U99%
外边界上流速达到U99%的边界层名义厚度
点到物面的法向距离。
边界层厚度
根据速度分布的特点,可将流场分为两个区域:一、边界层
二、边界层外部区域
边界层外部粘性影响很小,μ可以忽略不计,可认为边界层外部的流动是理想流体无旋势流。
流体力学第十章边界层理论
体的速度很大时,流体受粘性力的作用不大,由粘性而产生的能量损失也
相对较小,所以流体的惯性力与粘性力的比值(即雷诺数Re)才是全面描
述粘性流体运动特征的指标。惯性力大时,Re 值大,粘性力的作用就减小; 惯性力小时,Re 值小,粘性力作用就大。
仅凭流体的粘度大小,并不能决定其流动的粘性作用。例如,空气和
第12页
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第十章 边界层理论
第一节 边界层特性
(一)流量厚度 1
流量厚度的定义是:理想流体以主流速度 W 流过厚度
的流量等于实际
1
流体由于粘性使流速减低时整个流场减小的流量。如图10.8所示,即面
积(1+3)= 面积(2+3)。
由此可见,在保证流量相等的前提下,边 y
界层的存在犹如将没有粘性的主流区自固体
以补充压力能的增高,且主流的增压减速
运动,对边界层流体能量供应减弱,致使
边界层中流体的流速最终降为零,甚至出
现倒流(流速为负值)。 第6页
图10.5 渐扩管中的流动
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第十章 边界层理论
第一节 边界层特性
而受粘性影响较小的中心主流却仍以较高流速流动,不再贴近管道壁面。
在主流与管壁之间,边界层被破坏,出现旋涡和倒流等不规则的流动。开
W
壁面向外推移了 1 距离,或者说主流区被向
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边界层内的流动状态:
层流边界层,湍流边界层均存在粘性底层(层流底层) ,其厚度与 Re 有 关。
层流边界层转变为湍流边界层的判别准则:
雷诺数:
Re
=
Ux ν
(x为离平板前缘点的距离)
对于平板,层流转变为湍流的临界雷诺数为:
上述边界层方程简化为:
vx
∂vx ∂x
+
vy
∂vx ∂y
=ν
∂ 2vx ∂x2
∂vx + ∂vy = 0
∂x
∂y
(11-5)
边界条件: y=0, Vx = 0,Vy = 0 ; y→∞,Vx = U 。
严格上,速度从零增至U须经过无限远距离,近似认为y=δ,Vx = U 。
引入流函数ψ,与速度的关系为:
平板上u=0u=0
边界层内粘 性力不可忽
一薄层内速度这
∂vx
梯度 ∂y 很大
边界层外边界
U99%
边界层名义厚度 :外边界上流速达到 U99%的点到物面的法向距离 边界层厚度:
根据速度分布的特点,可将流场分为两个区域:
一、边界层:
∂vx 1.这一薄层内速度梯度 ∂y 很大。
2.边界层内的流动是有旋流动 ωz
U
ν L ∂y
L ∂x
U
ν L y → ∞ , ψ ∂ϕ = U
U
ν L ∂y
U
(11-9) (11-10) (11-11)
(11-12)
若令ψ = νUL ,则方程和边界条件都将变成无量纲的形式,并且其中不再
显含ν和U。
∂ ϕ ∂ 2ϕ − ∂ ϕ ∂ 2ϕ
∂y ∂x∂y
∂x ∂y2
y = 0,
∂ϕ = 0, ∂x
表 11-1 给出问题的数值解,其中 1 ϕ′(η) = vx 就是边界层内无量纲的速
2
U
度分布。
例 11.1 本例说明上表 11-1 的用法。
(1) 欲求边界层内点(x,y)的速度 Vx(x,y)可将x及y的值代入η = 1 y U , 2 νx
1
中得出η值,由此值从上表中找出相应的
ϕ
′ (η
)
Rekp
=
(Ux ν
)
kp
= Uxkp ν
= 5×105
层流边界层转为湍流边界层转捩点的位置坐标
§8-2
xkp
=
5 ×105
ν U
边界层基本微分方程
(11-1)
粘性不可压缩流体,不计质量力,定常流过小曲率物体,物体表 面可近似当作平面。
取物面法线为y轴。在大 Re 数情况下的边界层流动有下面两个主要性质:
×3
=
0.98
从表 11-1 中,用内插法,查得
vx = 1 ϕ′(η) = 0.619 U2
所以 Vx =0.619U=403m/s
(2)按上例条件,求x=3m处的边界层厚度δ
解:
按定义边界层外边界上速度 Vx=99%U查表 11-1,找出 vx = 99% 时, U
η=2.5,
由η = 1 y U 可得:
第 8 章 粘性流体动力学基础
本章内容:
1.边界层基本概念 2.边界层基本微分方程 3.边界层动量方程 4.边界层排挤厚度和动量损失厚度 5.平板层流边界层 6.平板湍流边界层 7.平板混合边界层 8. 船体摩擦阻力计算 9.曲面边界层分离现象 10. 绕流物体的阻力 11.减少粘性阻力的方法
§8-1 边界层的概念
(11-19)
将上式代入方程(11-7),有
φ′′′ + φφ′′ = 0
φ满足的是三阶非线性常微分方程
(11-20)
边界条件为:
η=0, φ=0, φ′=0 η→∞, φ′=2 非线性的微分方程,得不到解析解。采用级数展开办法,或者直接进行数值 积分。由于φ和η均为无量纲量,且在方程及边界条件中只有纯数而不显含ν及 U,故所得结果可以一劳永逸地应用。
(11-14)式应采取如下形式:
ϕ(x, y) = xϕ( y ) x
(11-16)
返回为有量纲解时,不出现L,即 :
ϕ = ν U x ϕ (η )
η=1y U 2 νx
(11-18)
通过以上分析,来求解下列形式的ψ。
⎡y⎤
ϕ=
νUL
x
⎢ ⎢
L⎢
⎢ ⎣
νL ⎥
U ⎥=
x⎥
L
⎥ ⎦
⎡ νUxϕ ⎢ y
=
1 (∂vy 2 ∂x
−
∂vx ) ∂y
=
− ∂vx ∂y
。
二、边界层外部区域
边界层外部粘性影响很小,μ可以忽略不计,可认为边界层外部的流动是 理想流体无旋势流。
重要推论:
(1)边界层内各截面上压力等于同一截面上边界层外边界上的压力
即: P1 = P2 = P3
P P1
P2
x
(2)势流的近似计算中,可略去边界层的厚度,解出沿物体表面的流速和压力 分布,并认为就是边界层边界上的速度和压力分布,据此来计算边界层。
∂ 2 v′x ∂y′2
~
1
δ ′′2
化简后为:
vx
∂vx ∂x
+
vy
∂vx ∂y
=−
1 ρ
∂p ∂x
+ν
∂ 2v x ∂x 2
∂p = 0 ∂y
(11-4)
∂vx + ∂vy = 0
∂x
∂y
边界条件:
y=0,Vx = Vy = 0 ; y=δ,Vx = U (x) 。 上式为边界层基本微分方程(Prandtl 方程)。
+ν
(
∂ 2v y ∂x 2
+
∂ 2v y ∂y 2
)
∂ v x + ∂ v y = 0 连续性方程
∂x
∂y
Baidu Nhomakorabea
引进特征长度L、特征速度U,将方程中的各物理量无量纲化:
x′ = x , L
y′ = y , L
v′x
=
vx U
,
v′y
=
vy U
,
将其代入 N-S 方程,整理后得:
p′
=
p ρU 2
v′x
讨论:
Prandtl 边界层方程中第二个方程: ∂p = 0 。说明了什么? ∂y
说明了: P1 = P2 = P3 = 0
p0 p1
p2
Prandtl 边界层方程的求解:
Blasius 解----顺流放置无限长平板上的层流边界层流动。 均匀来流平行于平板,x轴平行于板面,原点在平板前缘,平板极薄且无曲 度,边界层外缘处速度为来流速度U。沿边界层外缘上各点上压力相同,即 dp = 0 。 dx
2
则:
vx
(
x,
y)
=
U
⋅
1 2
ϕ ′(η )
设 U=25 km/h,ν=0.15cm2/s, x=3m,y=5mm,
求:Vx=?
解:U=25×1000/3600=6.95m/s, ν=0.0015m2/s,
x=3m, y=0.005m,
代入η中得:
η = 1 × 5×10−3 × 2
6.95 0.15 ×10−4
y → ∞,
∂ϕ = 1 ∂y
= ∂ 3ϕ ∂y 3 ∂ϕ = 0 ∂y
(11-13)
这就是无量纲运动方程及边界条件,可见不再显含ν及U,其解也应该不包
含ν及U。
即 :ψ =ψ (x, y) (11-14)
ϕ = νULϕ ( x , y )
求出 ϕ ,则ψ为:
L νL
U
(11-15)
注意:
平板为半无限长即没有任何特征长度,故其解不应包含L(只是任选的长度 比例尺),而只应该包含ν和U。
2 νx
δ = 2.5× 2 ν x = 5 0.15×10−4 × 3 = 0.128m = 1.28cm
U
6.95
(3)求板面上的切应力 τ0
解:
由牛顿内摩擦定律
τ0
=
μ
∂vx ∂y
y=0
=
μ
∂ 2ϕ ∂y 2
y=0
=
μ
1U 4
U ϕ′′(0) νx
按照表 11-1,φ″(0)可近似表达为:
ϕ ′′(0) ≈ ϕ ′′(0.1) − ϕ ′′(0) = 1.328 0.1 − 0
1) 边界层厚度较物体特征长度小得多,即:
δ′= δ
1
L
2)边界层内粘性力和惯性力具有相同的数量级以此作为基本假定,将
N-S 方程(二维)化简:
vx
∂vx ∂x
+
vy
∂vx ∂y
=−
1 ρ
∂p ∂x
+ν
(
∂ 2v x ∂x 2
+
∂ 2v x ∂y 2
)
vx
∂vy ∂x
+
vy
∂vy ∂y
=−
1 ρ
∂p ∂y
边界层:在固体壁面附近,显著地受到粘性影响的这一薄层。从边界层厚
度很小这个前提出发,Prandtl 率先建立了边界层内粘性流体运动的简化方程,
开创了近代流体力学的一个分支—边界层理论。
均匀来流绕一薄平板流动,微型批托管测得沿平板垂直方向的速度分布如 下图:
与来流速度相同的量级,U99% 均 匀 来 流 速 度
ρux2dy
单位时间内流出CD面的质量和动量分别为:
∫ mCD =
δ 0
[ρvx
+
∂(ρvx ∂x
所以
∂v′x = ∂v′x , ∂y′ ∂x′
∂v′x ~ 1, ∂x′
所以
∂v′y ~ 1, ∂y′
v′y ~ δ ′
∂ 2 v′x ∂x′2
~ 1,
∂v′y ~ δ ′,
∂x′
∂v′y ~ 1 ,
∂y′ δ ′ ∂2v′y ~ δ ′
∂x′2
∂v′x ~ 1
∂y′ δ ′′
(a )
(b )
(c)
⎣
U⎤
ν
x
⎥ ⎦
将ψ代入(11-17)式求解
(11-17)
∂ϕ = νUx dϕ dη = νUxϕ ⋅ 1 U = 1 Uϕ′(η)
∂y
dη dy
2 νx 2
∂ 2ϕ ∂y 2
=
1U 4
U ϕ′′(η) νx
∂3ϕ = 1 U 2 ϕ′′′(η) ∂y3 8 ν x
∂ϕ = 1 Uν [ϕ(η) −ηϕ′(η)] ∂x 2 ν x ∂2ϕ = − 1 U ηϕ′′(η) ∂x∂y 4 x
于是
τ 0 = 0.332
μρU 2 x
上式可看出平板层流边界层局部摩擦切应力与x坐标的平方根成反比的规
律随着x的增加而减小。
现计算整个平板上总摩擦阻力。设板长为L,板宽为b,则平板单面总摩擦
阻力是:
∫ ∫ Rf =
Lτ
0
0bdx
=b
L
0.332
0
μρU 3 dx = 0.664 x
μρ LU 3
总摩擦阻力系数 C f 由下式确定:
∂v′x ∂x′
+ v′y
∂v′x ∂y′
=
−
∂p′ ∂x′
+
1 Re
(
∂ 2 v′x ∂x′2
+
∂ 2 v′x ∂y′2
)
1⋅1
δ2⋅1
δ
(δ 2 )
1
1
δ2
v
′
x
∂
v
′
y
∂x′
+
v
′
y
∂
v
′
y
∂y′
=
−
∂p′ ∂y′
+
1 Re
(
∂
2
v
′
y
∂x′2
+
∂
2
v
′
y
∂y′2
)
1⋅δ δ ⋅ 1
(δ 2 ) δ ′
Karman 动量积分方程方程,就是一种近似求解边界层问题的方法。
§8-3 边界层动量积分方程
应用动量定理来研究边界层内单位时间内沿x方向的动量变化 和外力之间的关系。
设流动定
控制体边界ABCD
单位时间内经过AB面流入的质量和带入的动量分别为:
∫ ∫ mAB =
δ 0
ρuxdy
K AB =
δ 0
U(起参数作用),ν和U不同时,同一空间点上ψ的值不同。
现设法将方程和边界条件中各个物理量无量纲化,不再出现ν和U。
选特征量:
L:x的比例尺
ν L :y 的比例尺, U
Ψ: ψ的比例尺,Ψ为常数
若用ψ , x, y 表示ψ,x及y的无量纲值,则有
x= x L
y= y νL U
ϕ=ϕ ψ
(11-8)
x = Lx
y=
νL U
y
ϕ =ψϕ
将(11-9)代入(11-7)式,得
ψ 2 ∂ϕ (
L(νUL ) ∂y
∂ 2ϕ ∂x∂y
− ∂ϕ ∂x
∂2ϕ ∂y 2
)
=
ν
ψ (νUL )3/ 2
∂3ϕ ∂y3
ψ νUL
( ∂ϕ ∂y
∂2ϕ ∂x∂y
−
∂ϕ ∂x
∂2ϕ ∂y2 )
=
∂3ϕ ∂y3
边界条件化为:
ν L y = 0, ψ ∂ϕ = 0, ψ ∂ϕ = 0
N-S 方程理论上完备但求解困难。解决(求解)工程实际问题大多局限于小雷 诺数流动问题。高 Re 时(量级在106 ~ 109 的范围),粘性力与惯性力相比是很小的。 1904 年,L.Prandtl 指出,对于粘性很小的流体(如空气、水),粘性对流动的影 响仅限于贴近固体表面的一个薄层内,这一薄层以外,粘性完全可以忽略。
Cf
=
Rf
1 2
ρU
2bL
= 1.328 Re
(11-21)
式中为按平板板长计算的雷诺数。算出摩擦阻力系数后,可确定平板层流 边界层情况下的摩擦阻力为:
Rf
= Cf
⋅ 1 ρU 2bL
2
(11-22)
虽然边界层基本微分方程比 N-S 方程要简单得多,但求解问题仍有很大困难 尚且如此之大,因此,发展求解边界层问题的近似方法便具有很大的理论与实际 意义。
1
δ′
∂v′x + ∂v′y = 0 ∂x′ ∂y′
1
1
因为 δ ~ 1 ,所以 Re ~ δ ′2 L Re
因为 0 ≤ x ≤ L ,所以 x′ = x ~ 1 L
因为 y′ = y ~ 1, 0 ≤ y ≤ δ 所以 y′ ~ δ = δ ′
L
L
因为 0 ≤ Vx
≤U
,所以Vx′ =
Vx U
~1
ux
=
∂ψ ∂y
ux
=
−
∂ψ ∂x
(11-6)
将其代入简化后的边界层方程第一式有:
∂ ψ ∂ 2ψ − ∂ ψ ∂ 2ψ = ν ∂ 3ψ
∂y ∂x∂y ∂x ∂y 2
∂y3
(11-7)
边界条件: y = 0
∂ψ = 0 ∂y
∂ψ = 0 x>0 ∂x
y→∞
∂ψ = U ∂y
若求出了流函数ψ,便可求出速度,ψ应是x,y的函数,且ψ中包含ν和