比例线段知识点
比例线段知识点
一元二次方程的应用例题解析1.游行队伍有8行12列，后又增加了69人，使得队伍增加的行、列数相同，增加了多少行多少列？2.现有长方形纸片一张，长19cm，宽15cm，需要剪去边长多少的小正方形才能做成底面积为77平方cm 的无盖长方形的纸盒？3.某商品进价为每件40元，如果售价为每件50元，每个月可卖出210件，如果售价超过50元，但不超过80元，每件商品的售价每上涨10元，每个月少卖1件，如果售价超过80元后，若再涨价，每件商品的售价每涨1元，每个月少卖3件。
设该商品的售价为X元。
（1）、每件商品的利润为元。
若超过50元，但不超过80元，每月售件。
若超过80元，每月售件。
（用X的式子填空。
）（2）、若超过50元但是不超过80元，售价为多少时利润可达到7200元(3)、若超过80元，售价为多少时利润为7500元。
练习、某种服装，平均每天可以销售20件，每件盈利44元，在每件降价幅度不超过10元的情况下，若每件降价1元，则每天可多售出5件，如果每天要盈利1600元，每件应降价多少元？第1页（共4页）成比例线段习题10.19知识点1：两条线段的比如果a:b=c:d （即dcb a =）那么就说a 、b 、c 、d 成比例，两条线段的长度比叫做两条线段的比。
例1 已知M 为线段AB 上一点，AM ：MB ＝3：5，且AB ＝16cm,求线段AM ，BM 的长度.例2 若a=6cm, b=6m,则两条线段a,b 的比为1，请你判断这种说法是否正确。
知识点2 成比例线段1 成比例线段在四条线段a,b,c,d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即dcb a =，我们就把这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段，线段a,d 是比例外项，线段b,c 是比例内项，线段d 是a,b,c 的第四比例项例 3 判断下列各组长度的线段是否成比例？（1）cm a 2= cm b 3= cm c 4= cm d 1=（2）cm a 5.1= cm b 5.2= cm c 5.4= cm d 5.6=（3）cm a 1.1= cm b 2.2= cm c 3.3= cm d 4.4=（4）cm a 1= cm b 2= cm c 2= cm d 4=知识点3 比例的基本性质比例线段有以下基本性质：两个外项的积等于两个内项的积，即如果dcb a =，那么cd ab = 还可以得到d bc a =，cd a b =，bda c =例 4 若a,b,c,d 是成比例线段，且3=a ,5=b ,2=d 求c知识点4 合比性质如果d c b a =，那么d d c b b a +=+，或者d dc b b a -=- 例5 （1）若4=y x ，求y y x -，yx x+ （2）若53=b a ，求bba +- 知识点5等比性质如果k c d b a ==，那么k cd b a d b c a ===++拓展：k b a b a b a ==== (3)32211，那么321321b b b a a a ++++=k b a b a b a ==== (3)32211 例6 已知，3===f e d c b a ，求fd b ec a 4242+-+-的值(042≠+-f d b )第3页（共4页）例7 已知41532===-c b a ，求c b a ++的值练习题1．在比例尺是1：500的图纸上，测得一块长方形的土地长5厘米，宽4厘米，这块地的实际面积是（）平方米． A ．20平方米 B ．500平方米C ．5000平方米D ．500000平方米 2．已知，则的值是（ ） A ．B ．C ．D ．3．已知三个数2，2，4．如果再添加一个数，就得到这四个数成比例了，则添加的数是（ ） A ．22 B ．22或22C ．22，24或28D ．22，22或244．若==，且3a ﹣2b+c=3，则2a+4b ﹣3c 的值是（ ） A ．14 B ．42 C ．7 D ．5．若，则等于（ ）A ．8B ．9C ．10D ．116．若ab=cd ，且abcd ≠0，则下列式子正确的是（ ）A ．a ：c=b ：dB ．d ：c=b ：aC ．a ：b=c ：dD ．a ：d=c ：b 7．已知=，那么=（ ）A ．B ．3C ．D ．28．若=，则等于（ ） A ．B ．C ．1D ．9．若3x ﹣2y=0，则﹣1等于（ ） A ．B ．C ．D ．10．下列结论中，错误的是（ ） A ．若=，则= B ．若=，则=C ．若==（b ﹣d ≠0），则=D ．若=，则a=3，b=411．下列各组中的四条线段成比例的是（ ） A ．1cm 、2cm 、20cm 、30cm B ．1cm 、2cm 、3cm 、4cm C ．5cm 、10cm 、10cm 、20cm D ．4cm 、2cm 、1cm 、3cm12．已知：x ：y=2：3，则（x+y ）：y= ． 13．若=，则= ．14．已知：3a=2b ，那么= ．15．如果线段a 、b 、c 、d 满足==，那么= ．16．已知：，则= ．17．已知实数a ，b ，c 满足a+b+c=10，且，则的值是 ．18．已知4a =5b =6c，且10=+c b -a ，则c-b a +的值为________________． 19．若x y zk y z z x y x===+++，则k =．20．已知：，求代数式的值．21．如图，AB∥GH∥CD，点H在BC上，AC与BD 交于点G，AB=2，CD=3，则GH的长为．22．若，且3x+2y﹣z=14，求x，y，z 的值．23．已知：（x、y、z均不为零），求的值．24．已知a ：b ：c=2 ：3 ：4，且2a＋3b－2c=10，求a， b，c的值。
北师大版九年级数学上册第四章《图形的相似》知识点总结
北师大版九年级数学上册第四章《图形的相似》知识点总结
一．比例线段：
1两条线段的比是 的比。
将“形”的问题转化为“数”的问题。
2.成比例线段：四条线段a,b,c,d 中，如果 ，那么这四条线段a,b,c,d 叫做成比例线段。
比例线段是有顺序的，即a,b,c,d 是成比例线段，则是a:b=c:d
3.如果c
b b
a ，那么
b 叫做a 和
c 的比例中项； 4.比例的性质：
（1）基本性质：如果 ，那么 。
（）等比性质：如果 ，那么 5.平行线分线段成比例定理：
如图，321////l l l ，则可得比例式： DE//AB,则所得比例式：
6．黄金分割： 黄金比 二．相似三角形：
1.相似三角形的判定方法：
（1）两角对应 的两个三角形相似。
（2）两边对应 且 相等的两个三角形相似。
（3）三边 的两个三角形相似
2.相似三角形的性质：
3.位似图形：
4.位似图形有同向和 两种。
在坐标系中，图形上点的坐标都乘以k 时，得到的图形与原图形关于原点位似，且位似比是|k|.
5.判定两个三角形相似的常用步骤：
先通过已知，平行、对顶角、公共角等，看能否找到两对相等的角； 若只能找到一对相等的角，再分析夹这个角的两边是否成比例； 若找不到相等的角，就分析三边是否成比例。
5.常见的基本模型有 ：
D E F
1l 3
l 2
l m n
B A C。
专题10成比例线段(4个知识点3种题型2个易错点2种中考考法)(解析版)-初中数学北师大版9年级上册
【例 2】下列四组线段中，成比例线段的是（ ）
A．4，1，3，8 B．3，4，5，6
C．4，8，3，5
D．15，5，6，2
【答案】D
【分析】根据成比例线段的定义进行判断即可
解：A．∵ 4 :1 3 : 8 ，
∴ 4，1，3，8 不是成比例线段，不符合题意；
专题 10 成比例线段（4 个知识点 3 种题型 2 个易错点 2 种中考考法）
【目录】
倍速学习四种方法
【方法一】 脉络梳理法 知识点 1.形状相同的图形 知识点 2.两条线段的比（重点） 知识点 3.成比例线段（重点） 知识点 4.比例的性质（难点）（重点） 【方法二】 实例探索法 题型 1.比例线段的有关计算 题型 2.利用比例的性质求值 题型 3.关于写比例式的开放性问题 【方法三】 差异对比法 易错点 1 在求两条线段的比时忽略了要统一单位 易错点 2 判断线段是否成比例时，局限于字母的顺序而出错 【方法四】 仿真实战法 考法 1. 比例的性质 考法 2.成比例线段 【方法五】 成果评定法
n
CD
2.比例尺：在地图或工程图纸上，图上长度与它所表示的实际长度的比值通常叫比例尺，比例尺是两条线
段的比的一种.
注意！！！
（1） 在计算两条线段的比时，这两条线段的长度单位必须要统一。
（2） 两条线段的比是一个没有单位的正实数，该比值与线段的长度无关。 （3） 在地图或工程图纸上，图上距离与实际距离的比通常称为比例尺，因此比例尺也是两条线段的比
【学习目标】
1. 认识形状相同的图形，结合实例能识别生活中形状相同的图形。 2. 了解线段的比和成比例线段的概念，掌握两条线段的比的求法。 3. 理解并掌握比例的性质，能利用比例式变形解决一些简单的实际问题。
比例尺讲解
比例尺讲解【知识点】1.比例尺的意义：一幅图的图上距离和实际距离的比，叫做这幅图的比例尺。
2.比例尺的分类：比例尺按表现形式分为数值比例尺和线段比例尺，按作用的不同分为缩小比例尺和放大比例尺。
3.根据图上距离和实际距离求比例尺：已知图上距离和实际距离，求比例尺，先统一单位，再写出图上距离与实际距离比，然后化简。
比例尺是表示图上一条线段的长度与地面相应线段的实际长度之比。
公式为：比例尺=图上距离与实际距离的比。
比例尺有三种表示方法：数值比例尺、图示比例尺和文字比例尺。
一般来讲，大比例尺地图，内容详细，几何精度高，可用于图上测量。
小比例尺地图，内容概括性强，不宜于进行图上测量。
【表示方法】用公式表示为：比例尺=图上距离/实际距离。
比例尺通常有三种表示方法。
三棱比例尺（1）数字式（又名数字比例尺），用数字的比例式或分数式表示比例尺的大小。
例如：1∶50,000,000，或1/50,000,000。
（2）线段式（又名比例尺），在地图上画一条线段，并注明地图上1厘米所代表的实际距离。
（3）文字式，在地图上用文字直接写出地图上1厘米代表实地距离多少米，如：图上1厘米相当于地面距离500米，或五万分之一。
三种表示方法可以互换。
必须化单位。
在绘制地图和其他平面图的时候，需要把实际距离按一定的比缩小（或扩大），再画在图纸上。
这时，就要确定图上距离和相对应的实际距离的比。
一幅图的图上距离和实际距离的比，叫做这幅图的比例尺。
比例尺公式：图上距离=实际距离×比例尺实际距离=图上距离÷比例尺比例尺=图上距离÷实际距离.（在比例尺计算中要注意单位间的换算）（1公里=1千米=1×1000米=1×100000厘米）单位换算：图上用厘米，实地用千米，厘米换千米，去五个零；千米换厘米，在千的基础上再加两个零。
【使用方法】1、根据地图上的比例尺，可以量算图上两地之间的实地距离；根据两地的实际距离和比例尺，可计算两地的图上距离；根据两地的图上距离和实际距离，可以计算比例尺。
六年级比例知识点
六年级比例知识点一、比例的定义表示两个比相等的式子叫做比例。
例如：3:4 = 6:8。
二、比例的基本性质1. 两个外项的积等于两个内项的积。
-若a:b = c:d，则ad = bc。
2. 可以利用比例的基本性质来判断两个比能否组成比例。
-例如：判断4:5 和8:10 能否组成比例。
-因为4×10 = 40，5×8 = 40，外项之积等于内项之积，所以4:5 和8:10 能组成比例。
三、解比例1. 根据比例的基本性质，如果已知比例中的任何三项，就可以求出这个比例中的另外一个未知项。
求比例中的未知项，叫做解比例。
-例如：解比例x:3 = 8:12。
-根据比例的基本性质可得12x = 3×8，即12x = 24，解得x = 2。
四、正比例和反比例1. 正比例：-两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。
-例如：速度一定时，路程和时间成正比例。
因为路程÷时间= 速度（一定）。
2. 反比例：-两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。
-例如：当长方形面积一定时，长和宽成反比例。
因为长×宽= 面积（一定）。
五、比例尺1. 图上距离与实际距离的比，叫做比例尺。
-比例尺= 图上距离:实际距离。
-例如：一幅地图的比例尺是1:5000000，表示图上 1 厘米代表实际距离5000000 厘米。
2. 比例尺的分类：-数值比例尺：如1:50000。
-线段比例尺：在地图上画一条线段，并注明地图上1 厘米代表实际距离多少千米等。
六、比例的应用1. 按比例分配问题：-把一个数量按照一定的比来进行分配。
-例如：有一筐苹果共60 个，按照3:2 的比例分给甲、乙两人，甲、乙两人各分得多少个苹果？-先求出总份数：3 + 2 = 5。
2020年中考数学考点梳理：相似三角形和解直角三角形
知识点：一、比例线段1、比：选用同一长度单位量得两条线段。
a 、b 的长度分别是m 、n ，那么就说这两条线段的比是a ：b ＝m ：n （或nm b a =） 2、比的前项，比的后项：两条线段的比a ：b 中。
a 叫做比的前项，b 叫做比的后项。
说明：求两条线段的比时，对这两条线段要用同一单位长度。
3、比例：两个比相等的式子叫做比例，如dc b a = 4、比例外项：在比例d cb a =（或a ：b ＝c ：d ）中a 、d 叫做比例外项。
5、比例内项：在比例d cb a =（或a ：b ＝c ：d ）中b 、c 叫做比例内项。
6、第四比例项：在比例dcb a =（或a ：b ＝c ：d ）中，d 叫a 、b 、c 的第四比例项。
7、比例中项：如果比例中两个比例内项相等，即比例为abb a =（或a:b=b:c 时，我们把b 叫做a 和d 的比例中项。
8、比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。
9、比例的基本性质：如果a ：b ＝c ：d 那么ad ＝bc 逆命题也成立，即如果ad ＝bc ，那么a ：b ＝c ：d10、比例的基本性质推论：如果a ：b=b ：d 那么b 2=ad ，逆定理是如果b 2=ad 那么a ：b=b ：c 。
说明：两个论是比积相等的式子叫做等积式。
比例的基本性质及推例式与等积式互化的理论依据。
11、合比性质：如果d c b a =，那么d dc b b a +=+ 12．等比性质：如果n m d c b a ===K ，（0≠+++m d b Λ），那么ban d b m c a =++++++ΛΛ说明：应用等比性质解题时常采用设已知条件为k ，这种方法思路单一，方法简单不易出错。
13、黄金分割把一条线段分成两条线段，使较长的线段是原线段与较小的线段的比例中项，叫做把这条线段黄金分割。
六年级比例尺知识点总结归纳
六年级比例尺知识点总结归纳比例尺是地理学中常用的一种工具，用于将真实地理现象缩小或放大后表示在地图上。
在六年级地理学习中，我们掌握了比例尺的概念、计算方法和应用技巧。
下面对六年级比例尺知识点进行总结归纳。
一、比例尺的概念与表示方法比例尺是指地图上的距离与实际距离之间的比例关系。
常见的表示方法有三种：文字比例尺、线段比例尺和分数比例尺。
1. 文字比例尺：使用文字描述比例关系，如1cm代表1000米。
2. 线段比例尺：使用线段来表示比例尺，线段上的刻度与实际距离成比例关系。
3. 分数比例尺：用分数表示比例尺，分子表示地图上的距离，分母表示实际距离。
比例尺的选择要根据地图的具体要求和比例的大小来决定。
二、比例尺的计算方法根据给定的地图距离和实际距离，可以求得比例尺。
常见的计算方法有两种：求线段比例尺和求分数比例尺。
1. 求线段比例尺：公式：地图距离 ÷实际距离 = 线段比例尺的长度 ÷实际长度计算步骤：先确定一个已知距离，在地图上测量该距离对应的线段长度，然后根据公式求得线段比例尺。
2. 求分数比例尺：公式：分数比例尺 = 地图距离 ÷实际距离计算步骤：将地图距离和实际距离转化为同一单位，然后按照公式计算得到分数比例尺。
三、比例尺的应用技巧比例尺在实际应用中有以下几个常见技巧：1. 比例放大与缩小：当需要将较小比例尺放大时，可以用线段比例尺，将线段的长度乘以相应的倍数得到新的比例尺。
当需要将较大比例尺缩小时，可以用分数比例尺，将分子和分母都除以相同的数得到新的比例尺。
2. 地图距离的测量：在地图上测量距离时，可以使用直尺或者比例尺来进行测量，保证测量结果的准确性。
3. 与实地距离的转换：在实地距离和地图距离之间进行转换时，可以使用比例尺来进行计算，从而得到准确的结果。
总结：六年级比例尺知识点的掌握对于地理学习至关重要。
理解比例尺的概念和表示方法，熟练掌握计算方法以及运用技巧，可以帮助我们更好地理解地图信息，并在实践中正确使用比例尺。
比例性质及比例线段
比例性质及比例线段（初二4.16）一、知识点与方法概述：1、比例的性质：基本性质：如果a:b=c:d，那么ad=bc；如果ad=bc，那么a:b=c:d.合比性质：等比性质：如果，那么.2、（成）比例线段：比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比. 那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段.设a、b、c、d为线段，如果a:b=c:d，b、c叫比例内项，a、d叫比例外项，d叫做a、b、c的第四比例项；如果a:b=b:c，或b2=ac，那么b叫a、c的比例中项.3、黄金分割：如图，把线段AB分成两条线段AC和BC（AC>BC)，且使AC是AB和BC的比例中项，叫做把线段AB黄金分割, 点C叫做线段AB的黄金分割点.注意：1、AC 0.618AB；2、0.618叫做黄金比；3、一条线段有两个黄金分割点.4、平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的线段对应成比例.推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例. 推论的扩展：平行于三角形一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例.（三角形一边平行线的性质）推论的逆定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边.（三角形一边平行线的判定定理）5、平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等.根据被截的两条直线的位置关系，可以分五种图形情况（如图1-图5）:推论1：经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰.已知：在梯形ACFD 中，CF AD //，AB=BC求证：DE=EF推论2：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边.已知：在△ACF 中，CF BE //，AB=BC 求证：AE=EF6、三角形的中位线定理：三角形的中位线：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
比例线段知识点总结
比例线段知识点总结一、概念比例线段是指在空间中，两条相交直线及其被它们截断的线段之间的比例关系。
即在一条直线上，有两个点A、B，它们分别位于C、D两点之间，若AC：CB=AD：DB，则称AB 与CD成比例，这里的A、B、C、D称为比例线段。
二、性质1. 等价性：如果AB与CD成比例，那么CB与AD也成比例。
2. 共线性：如果AB与CD成比例，那么A、B、C、D四点共线。
3. 分解性：如果AB与CD成比例且BC=BD-CD，那么A、C、D三点共线。
4. 反比例性：如果AB线段与CD线段成比例，那么AB与DC反比例。
三、比例线段的性质1. 正比例和反比例（1）正比例：如果两个比列线段是正比例的，那么它们之间的关系是A处乘B等于C处乘D。
即AB/CD=AC/BD；（2）反比例：如果两个比例线段是反比例的，那么它们之间的关系是A处乘B等于C处乘D的倒数。
即AB/CD=AD/BC。
2. 合比例与轴比例（1）合比例：如果两个比例线段是合比例的，那么它们之间的关系是有一个共同的中点E，其中AE/EB=CE/ED；（2）轴比例：如果两个比例线段是轴比例的，那么它们之间的关系是有中点E，其中AE/BE=CE/DE。
3. 调和比调和比是指四个不相等的正数a、b、c、d，如果满足a/b=c/d，那么称a、b、c、d为调和比，用(a,b,c,d)表示。
四、比例线段的运算1. 和与差（1）和：如果AB与BC成比例，那么AB+BC等于线段AC的长度；（2）差：如果AB与BC成比例，且AB大于BC，那么AB-BC等于线段AC的长度。
2. 积与商（1）积：如果AB与BC成比例，那么AB*BC等于AC*BC；（2）商：如果AB与BC成比例，那么AB/BC等于线段AC的比例。
3. 比值定理如果在三角形ABC内，D、E分别是AB、AC的两个点，而线段DE与BC平行，那么AD/DB=AE/EC。
五、应用1. 已知比例求线段长度对于等比例线段AB、CD，通过已知比例和其中一个线段的长度，可以求解另一个线段的长度。
初三数学九年级上册知识点——图形的相似
九年级数学上册知识点图形的相似一、成比例线段1.定义：（1）线段比：如果选用一个长度单位量得两条线段AB、CD的长度分别是m,n，那么这两条线段的比就是它们长度的比，即AB：CD=m:n,或者写成AB/CD=m/n. （2）成比例线段：四条线段a、b、c、d中，如果a与b的比等于c与d的比，即a/b=c/d，那么这四条线段a、b、c、d叫做成比例线段，简称比例线段。
2.定理：如果a/b=c/d==m/n(b+d++n≠0),那么（a+c+m）/(b+d++n)=a/b二、平行线分线段成比例1.两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。
2.平行于三角形一边的直线与其他两边相交。
截得的线段成比例。
三、相似多边形定义：各角分别相等，各边成比例的两个多边形叫做相似多边形。
相似多边形对应边的比叫做相似比。
四、探索三角形相似的条件1.两角分别相等的两个三角形相似。
2.两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。
3.三边成比例的两个三角形相似。
4.概念：一般地，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果AC/AB=BC/AC，那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比。
五、相似三角形判定定理的证明判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
简述为：两角对应相等，两三角形相似。
(此定理用的最多)判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。
简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。
判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。
简述为：三边对应成比例，两三角形相似。
六、利用相似三角形测高1.利用阳光下的影子2.利用标杆3.利用镜子的反射七、相似三角形的性质1.相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比等于相似比。
3.1 比例线段 (课件)2024-2025湘教版 数学九年级上册
4-1.已知在比例尺为1∶ 4 000 000的地图上，量得上海 市到杭州市两地的距离是 3.5 cm，那么上海到杭 州的实际距离是 ___1_4_0___km.
课堂新授
解：根据成比例线段的定义，对各选项进行一一分析.
A.
3 6
≠
79，故不是成比例线段；B.
0.6 dm＝6 cm，25 ≠ 68，
故不是成比例线段；C. 1.8 dm＝18 cm， 36＝198，故是成
比例线段；D.
1 2
≠
34，故不是成比例线段.
答案：C
3-1. 已知a， b， c， d 是成比例线段，即 ab＝dc ，其中 a=8 cm， b=4 cm， c=12 cm，则 d= ___6____cm．
解题秘方：根据黄金分割的定义，利用黄金分割
比进行计算 . 解：∵点 C 是靠近点 B 的黄金分割点， AB ＝ 80 cm，
∴ AC=
5－1 2
AB
＝(40
5 － 40) cm.
∵点 D 是靠近点 A 的黄金分割点， AB ＝ 80 cm，
∴ DB=
5－1 2
AB
＝(40
5 － 40) cm.
∴ CD ＝ AC+BD － AB ＝(80 5 － 160) cm.
C．230
D． 6
课堂新授
例2 已知x2＝3y＝4z，则x2＋yzxy ＝___56____. 解题秘方：紧扣“比例的基本性质”用消元法或 参数法求解.
专题10成比例线段(4个知识点3种题型2个易错点2种中考考法)(原卷版)-九年级数学上册(北师大版)
专题10成比例线段（4个知识点3种题型2个易错点2种中考考法）【目录】倍速学习四种方法【方法一】脉络梳理法知识点1.形状相同的图形知识点2.两条线段的比（重点）知识点3.成比例线段（重点）知识点4.比例的性质（难点）（重点）【方法二】实例探索法题型1.比例线段的有关计算题型2.利用比例的性质求值题型3.关于写比例式的开放性问题【方法三】差异对比法易错点1在求两条线段的比时忽略了要统一单位易错点2判断线段是否成比例时，局限于字母的顺序而出错【方法四】仿真实战法考法1.比例的性质考法2.成比例线段【方法五】成果评定法【学习目标】1.认识形状相同的图形，结合实例能识别生活中形状相同的图形。
2.了解线段的比和成比例线段的概念，掌握两条线段的比的求法。
3.理解并掌握比例的性质，能利用比例式变形解决一些简单的实际问题。
【知识导图】【倍速学习四种方法】【方法一】脉络梳理法知识点1.形状相同的图形形状相同，大小、位置不一定不同的图形叫做形状相同的图形。
一般而言形状相同的图形就是相似图形。
全等图形是一种特殊的形状相同图形。
重点剖析：（1）相似图形不仅有平面图形，还有立体图形，在初中阶段主要研究平面图形的相似。
（2）在两个大小不相等的相似图形中，我们可以认为大的图形是由小的图形经过放大而成的，也可以认为小的图形是由大的图形经过缩小而成的。
学法指导：两个图形相似是指它们的形状相同，与它们的位置、大小无关。
知识点2.两条线段的比（重点）1.两条线段的比：如果选用同一个长度单位量得两条线段AB、CD 的长度分别是m、n，那么这两条线段的比就是它们的长度之比。
即AB:CD=m:n，或写成.AB mCD n=其中，线段AB，CD 分别叫做这个线段比的前项和后项，如果把m n 表示成比值k，那么AB k CD=，或AB k CD = .2.比例尺：在地图或工程图纸上，图上长度与它所表示的实际长度的比值通常叫比例尺，比例尺是两条线段的比的一种.注意！！！（1）在计算两条线段的比时，这两条线段的长度单位必须要统一。
苏教版九年级下册数学[比例线段及黄金分割(提高)-知识点整理及重点题型梳理]
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苏教版九年级下册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习相似形和比例线段（提高） 知识讲解学习目标】1、了解两条线段的比和比例线段的概念并能根据条件写出比例线段；2、会运用比例线段解决简单的实际问题；3、掌握黄金分割的定义并能确定一条线段的黄金分割点.【要点梳理】要点一、比例线段【 394495 图形的相似 预备知识】1．成比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．2．比例的性质：（1）基本性质：如果a cb d=，那么ad bc =. （2）合比性质：如果++==.a c a b c d b d b d，那么 如果--==.a c a b c d b d b d ，那么 要点诠释：（1）两条线段的长度必须用同一长度单位表示，若单位长度不同，先化成同一单位，再求它们的比；（2）两条线段的比，没有长度单位，它与所采用的长度单位无关；（3）两条线段的长度都是正数，所以两条线段的比值总是正数．要点二、黄金分割1.定义： 点C 把线段AB 分割成AC 和CB 两段,如果AC BC AB AC=,那么线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比.要点诠释：12AC AB =≈(12叫做黄金分割值). 2.作一条线段的黄金分割点：图4－7如图，已知线段AB ，按照如下方法作图：（1）经过点B 作BD ⊥AB ，使BD =21AB . （2）连接AD ，在DA 上截取DE =DB . （3）在AB 上截取AC =AE .则点C 为线段AB 的黄金分割点. 要点诠释：一条线段的黄金分割点有两个.【典型例题】类型一、比例线段1. （2016春•上海校级月考）已知，（1）求的值； （2）如果，求x 的值． 【思路点拨】（1）令===k ，则x=2k ，y=3k ，z=4k ，再代入代数式进行计算即可；（2）把x=2k ，y=3k ，z=4k 代入=y ﹣z ，求出k 的值即可．【答案与解析】解：（1）∵==，∴令===k ，则x=2k ，y=3k ，z=4k ，∴===﹣1；（2）∵x=2k ，y=3k ，z=4k ，=y ﹣z ，∴x+3=（y ﹣z ）2，即2k+3=（3k ﹣4k ）2，解得k=﹣1或k=3(舍去)，∴x=﹣2．【总结升华】本题考查的是比例的性质，根据题意得出x=2k ，y=3k ，z=4k 是解答此题的关键． 举一反三：【394495 图形的相似 预备知识 练习2】【变式】（2015春•扶沟县期中）若=，则=（ ）.A. B. C. D. 无法确定【答案】C.2. 已知：a b ckb c a c a b===+++．求k值．【思路点拨】可分a+b+c=0和a+b+c≠0两种情况代入求值和利用等比性质求解.【答案与解析】①当a+b+c=0时，b+c=-a，c+a=-b，a+b=-c，∴k为其中任何一个比值，即k=aa-=-1;②a+b+c≠0时，k=12()2a b c a b cb c c a a b a b c++++==+++++++．∴k=-1或1 2 .【总结升华】考查比例性质的应用；分两种情况探讨此题是解决本题的易错点．类型二、黄金分割3. 宽与长之比为5-1:12的矩形叫黄金矩形.如图：如果在一个黄金矩形里面画一个正方形，那么留下的矩形还是黄金矩形吗请证明你的结论.【答案与解析】∵四边形ABEF是正方形，∴AB=DC=AF,又∵512ABAD=,∴512AFAD=，即点F是AD的黄金分割点，∴512AF AD=,即352DF AD=∴512DFAF=，即512DFDC=，∴矩形CDEF是黄金矩形.【总结升华】根据黄金矩形的定义去计算宽与长之比即可.4.（2014春•南京校级月考）（1）已知线段AB=10cm，C是AB的一个黄金分割点，且AC＜BC，求AC长；（2）已知线段a、b、c，a=4cm，b=9cm，线段c是线段a和b的比例中项．求线段c的长．【思路点拨】（1）根据黄金分割点的定义，知AC是较短线段，由黄金分割的公式：较短的线段=原线段的倍，可得AC=10×，计算即可；（2）根据线段比例中项的概念，可得a：c=c：b，可得c2=ab=36，故c的值可求．注意线段不能为负．．【答案与解析】解：（1）∵线段AB=10cm，C是AB的一个黄金分割点，且AC＜BC，∴AC=10×=15﹣5（cm）；（2）∵线段c是线段a和b的比例中项，a=4cm，b=9cm，∴c2=ab=36，解得c=±6，又∵线段是正数，∴c=6cm．【总结升华】本题考查了黄金分割，应该识记黄金分割的公式：较短的线段=原线段的倍，较长的线段=原线段的倍．也考查了比例中项的概念．．举一反三：【变式】（2014秋•章丘市校级期末）已知线段AB=1，C是线段AB的黄金分割点，则AC的长度为（）A. B. C. 或 D.以上都不对【答案】C.提示：∵线段AB=1，C是线段AB的黄金分割点，当AC＞BC，∴AC=AB=；当AC＜BC，∴BC=AB=，∴AC=AB﹣BC=1﹣=．。
14初中数学“成比例线段”知识点全解析
初中数学“成比例线段”知识点全解析一、引言成比例线段是初中数学中的一个重要概念，它是研究比例关系的基础。
理解并掌握成比例线段的概念和性质，对于提高学生分析问题和解决问题的能力具有重要意义。
本文将详细解析成比例线段的概念、性质、判定方法以及应用，帮助学生更好地理解和掌握这一知识点。
二、成比例线段的概念1.定义：如果四条线段a, b, c, d满足a/b = c/d，那么我们就说这四条线段是成比例的，记作a:b = c:d。
2.术语解析：在a:b = c:d中，a和d称为比例的外项，b和c称为比例的内项。
三、成比例线段的性质1.等比性质：若a:b = c:d，则(a+b)/b = (c+d)/d。
这一性质表明，成比例线段的对应项之和与原线段的比例关系相同。
2.合比性质：若a:b = c:d，则(a-b)/b = (c-d)/d。
这一性质表明，成比例线段的对应项之差与原线段的比例关系相同。
3.更比性质：若a:b = c:d，则a/c = b/d。
这一性质表明，成比例线段的交叉项之比相等。
4.反比性质：若a:b = c:d，且b和d均不为0，则a/b = d/c。
这一性质表明，成比例线段的交叉项之积相等。
四、成比例线段的判定方法1.直接判定法：根据定义直接判断四条线段是否满足a/b = c/d。
2.等比中项法：如果两条线段的平方等于另外两条线段的乘积，那么这四条线段是成比例的。
即如果a² = bc，那么a, b, c以及另一条与它们成比例的线段d构成成比例线段。
3.相似三角形法：在相似三角形中，对应边之间的比例是相等的。
因此，可以通过证明两个三角形相似来判定四条线段是否成比例。
五、成比例线段的应用1.几何图形中的应用：在几何图形中，常常利用成比例线段的性质来解决一些问题，如证明两直线平行、证明两角相等、计算线段的长度等。
2.实际生活中的应用：在实际生活中，许多现象都与成比例线段密切相关。
例如，建筑设计师在设计建筑物时需要考虑不同部分之间的比例关系；摄影师在拍摄照片时需要运用成比例线段的原理来构图等。
九年级数学比例线段知识点
九年级数学比例线段知识点一、比例线段的概念。
1. 定义。
- 如果两个数的比值与另两个数的比值相等，就说这四个数成比例。
例如，若a:b = c:d（b、d≠0），那么就说a、b、c、d四个数成比例，其中a、d称为比例外项，b、c称为比例内项。
- 若a:b=b:c（b≠0），则b叫做a与c的比例中项，此时b^2=ac。
2. 比例的基本性质。
- 若a:b = c:d，则ad = bc；反之，若ad=bc（a、b、c、d都不为0），则a:b = c:d。
3. 合比性质。
- 如果(a)/(b)=(c)/(d)，那么(a± b)/(b)=(c± d)/(d)。
4. 等比性质。
- 如果(a)/(b)=(c)/(d)=·s=(m)/(n)(b + d+·s+n≠0)，那么(a + c+·s+m)/(b +d+·s+n)=(a)/(b)。
二、成比例线段。
1. 定义。
- 在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。
例如，若线段a、b、c、d满足(a)/(b)=(c)/(d)，则a、b、c、d是成比例线段。
2. 比例尺。
- 比例尺是表示图上一条线段的长度与地面相应线段的实际长度之比。
公式为：比例尺=(图上距离)/(实际距离)。
例如，比例尺为1:500表示图上1厘米代表实际距离500厘米（5米）。
三、相似多边形中的比例线段。
1. 相似多边形的定义。
- 如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多边形。
- 相似多边形对应边的比称为相似比。
例如，若多边形ABCDE与多边形A'B'C'D'E'相似，且(AB)/(A'B')=(BC)/(B'C')=·s=(AE)/(A'E')=k，k就是它们的相似比。
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知识点1：两条线段的比
如果a:b=c:d （即
d
c b a =）那么就说a 、b 、c 、
d 成比例，两条线段的长度比叫做两条线段的比。
例1 如图1，已知M 为线段AB 上一点，AM ：MB ＝3：5，且AB ＝16cm,求线段AM ，BM 的长度.
例2 若a=6cm, b=6m,则两条线段a,b 的比为1，请你判断这种说法是否正确。
知识点2 成比例线段
1 成比例线段
在四条线段a,b,c,d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即
d
c b a =，我们就把这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段，线段a,
d 是比例外项，线段b,c 是比例内项，线段d 是a,b,c 的第四比例项
例3 判断下列各组长度的线段是否成比例？
（1）cm a 2= cm b 3= cm c 4= cm d 1=
（2）cm a 5.1= cm b 5.2= cm c 5.4= cm d 5.6=
（3）cm a 1.1= cm b 2.2= cm c 3.3= cm d 4.4=
（4）cm a 1= cm b 2= cm c 2= cm d 4=
知识点3 比例的基本性质
比例线段有以下基本性质： 两个外项的积等于两个内项的积，即如果d
c b a =，那么c
d ab = 还可以得到d b c a =，c d a b =，b
d a c = 例4 若a,b,c,d 是成比例线段，且3=a ,5=b ,2=d 求c
知识点4 合比性质 如果d c b a =，那么d d c b b a +=+，或者d
d c b b a -=- 例5 （1）若
4=y x ，求y y x -，y x x + （2）若53=b a ，求b
b a +- 知识点5等比性质 如果k
c
d b a ==，那么k c
d b a d b c a ===++ 拓展：k b a b a b a ====....332211，那么321321b b b a a a ++++=k b a b a b a ====. (3)
32211 例6 已知，
3===f e d c b a ，求f d b e c a 4242+-+-的值(042≠+-f d b )
例7 已知4
1532===-c b a ，求c b a ++的值
知识点6 黄金分割
如果点C 把线段AB 分割成AC 和CB （CB AC ）两条线段，且AB
AC AC BC =，那么这种分割称为黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 是BC 与AB 的比例中项，AC 与AB 的比值叫做黄金分割数（简称黄金数）由计算可知 AC ：AB ＝
215-：1≈0.618：1＝0.618。