比例线段知识点

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比例线段(知识点串讲)(学生版)

专题10 比例线段

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重难突破

知识点一比例的性质

比例的基本性质：两内项之积等于两外项之积．即若＝，则ad＝bc

【典例1】已知a，b，c是非零实数，且，求k的值为（）A．B．C．﹣1或D．﹣1或【变式训练】

1．若，那么的值是（）

A．B．C．D．

2．已知3x＝5y，则＝（）

A．B．C．﹣D．﹣

3．已知x：y：z＝1：2：3，且x﹣2y+3z＝4，则x﹣y+z＝．

4．若2x＝3y，且x≠0，则的值为．

知识点二比例线段

1.比例线段：如果四条线段a,b,c,d 中，a 与b 的比等于c 与d 的比．即d

b a =那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．

2.等比中项：如果三个数c b a ,,满足比例式

b a =（或

c b b a ::=）

，则b 叫做c a ,的比例中项. 【典例2】四条线段a ，b ，c ，d 成比例，其中b ＝3cm ，c ＝8cm ，d ＝12cm ，则a ＝（） A ．2cm B ．4cm

C ．6cm

D ．8cm

【变式训练】

1．下列各组线段中，成比例线段的一组是（） A ．1，2，2，3

B ．1，2，3，4

C ．1，2，2，4

D ．3，5，9，11

2．已知线段b 是线段a 和c 的比例中项，如果a ＝5cm ，c ＝8cm ，则b ＝ 2 cm ．

3．已知ab ＝cd ，则下列各式不成立的是（） A ．＝ B ．＝ C ．

＝

D ．

＝

4．在比例尺为1：500000的地图上量出A 、B 两地2.4cm ，那么A 、B 两地的实际距离是千米．

知识点三黄金分割

比例线段和平行线分线段成比例定理知识讲解

\ a = d或a = c. cbdb
∴a、c、d、b或a、d、c、b是成比例的线段.
二、比例线段的例题和练习：
例3. (1) 已知：a : b : c=3 : 4 : 5,
求
c 的值. a+b+c
(2) 已知：a+b=a+c=b+c=k,求 k的值 .
c ba
(3) 已知：a=2, b=54, x是a、y的比例中项，y是x、b的
上上下 =下上上全 =全下下全 =全
左左右=右
三、平行线分线段成比例定理的主要知识点：
1 平行线分线段成比例定理：
推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），
所得的对应线段成比例.
Q l 1//l 2//l 3,
\ A D =A E,LL B Dห้องสมุดไป่ตู้ C
2 三角形一边的平行线的判定定理：
比例中项. 求：x、y的值.
解: (1) 设a=3k, b=4k, c=5k.
则
c = 5k =5k=5. a+b+c 3k+4k+5k 12k 12
(2) 若a+b+c≠0,
Q a + b = a + c = b + c = k ,\a + b + a + c + b + c = k = 2 .

线段的比小结

7
8、已知线段a=2cm,b=4.1cm,c=4cm,d=8.2cm,下面哪个选项是正确的？( C ) A. d, b, a, c成比例线段 B. a, d, b, c成比例线段 C. a, c, b, d成比例线段 A.2cm,3cm,4cm,1cm D. a, d, c, b成比例线段 B.1.5cm,2.5cm,6.5cm,4.5cm 9、下列各组线段的长度成比例的是（ D ）
C.1.1cm,2.来自百度文库cm,3.3cm,4.4cm
D.1cm,2cm,2cm,4cm
8
6 m n m 10、已知 = ,则n = 5 6 5
11、已知3x=4y（x 0），则下列各式成立的是（ B ） x x y B、x y C、 = 3 D、 x = 4 A、 = = 3 y y 4 3 4 4 3
9
5 1 a+ b 12、若 b = 则 = 4 b 4
a
a b ； = b
3 4
13、设（x-y）：y=2：3，则x：y= 5：3.
10
a+b+c 14、若 a ：b ：c = 2 ： 3 ：5 ,则 = 5 ， a
5 +c+e a a c e 5 = 7 15、已知 = = = ，则 b+d + f b d f 7 （b + d + f ≠0）

初中数学知识点：比例线段

第 1 页共 1 页初中数学知识点：比例线段

1．两条线段的比：

在使用同一长度单位的情况下，表示两条线段长度的数值的比，叫做这两条线段的比.

2．成比例线段：

对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a :b =c :d ，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．

3．比例的基本性质：

如果b c ,a d =那么ad=bc.

要点诠释：

（1）a ，b ，c ，d 叫做这个比例的项，a ，b 叫做比例外项，b ，c 叫做比例内项.

（2）若a :b =b :c ，则b 2=ac （b 称为a ,c 的比例中项）

4．比例的性质：

（1）合分比性质：如果a c ,b d =那么

a b c d b d

±±=；（2）等比性质：如果a c m ......b d n

===（b +d +……+n ≠0），那么a c ......m a .b d ......n b +++=+++

九年级成比例线段知识点

成比例线段在九年级的数学课程中占据了重要的地位。本文将

对九年级学生需要掌握的成比例线段的相关知识点进行介绍和解析。

一、成比例线段的定义

成比例线段指的是在同一直线上的两个线段，它们的长度比相等。即若线段AB与线段CD成比例，记作AB∶CD，那么有

AB/CD=常数k。

二、成比例线段的特性

1. 定比分点性质：若在线段AB上有一点M，使得AM/MB=k，则称M为AB的一个定比分点。定比分点的特性是，若M是AB

的定比分点，则AM/MB=k或MB/AM=1/k。

2. 分段问题：设线段AB上有一点E，使得AE为AB的α部分（即AE/AB=α），则BE为AB的β部分（即BE/AB=β）。若已

知α和β，求线段AE和BE的具体长度时，可以使用分段比例定理：AE/BE=α/β。

3. 三点共线问题：若已知A、B、C三点共线，且AB∶BC=k，那么可以得出结论，点A、B、C是成比例线段。

三、成比例线段的性质和定理

1. 外分比例定理：在线段AB的延长线上取一点C，使得AC

为AB的α倍，BC为AB的β倍，则有AC/BC=α/β。

2. 内分比例定理：在线段AB上取一点C，使得AC为AB的α倍，BC为AB的β倍，那么有AC/BC=α/β。

3. 同位角定理：若两条平行线被一条交叉线所切分，那么所得

的各对共线点所构成的线段成比例。

四、成比例线段的应用

成比例线段在实际问题中具有广泛的应用。以下举例说明：

例1：已知在一条长为10cm的铁丝上，从一端开始分别距离

1cm和9cm的两个固定点，现在要找到距离这两个固定点等距离

比例线段-2023年新九年级数学核心知识点与常见题型(沪教版)(解析版)

比例线段

【知识梳理】

一．比例的性质

（1）比例的基本性质：组成比例的四个数，叫做比例的项．两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项．

（2）常用的性质有：

①内项之积等于外项之积．若＝，则ad＝bc．

②合比性质．若＝，则＝．

③分比性质．若＝，则＝．

④合分比性质．若＝，则＝．

⑤等比性质．若＝＝…＝（b+d+…+n≠0），则＝．

二．比例线段

（1）对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如ab ＝cd（即ad＝bc），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．

（2）判定四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可，求线段之比时，要先统一线段的长度单位，最后的结果与所选取的单位无关系．

三．黄金分割

（1）黄金分割的定义：

如图所示，把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC ＝AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．

其中AC＝AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个．

（2）黄金三角形：黄金三角形是一个等腰三角形，其腰与底的长度比为黄金比值．

黄金三角形分两种：①等腰三角形，两个底角为72°，顶角为36°．这样的三角形的底与一腰之长之比为黄金比：；②等腰三角形，两个底角为36°，顶角为108°；这种三角形一腰与底边之长之比为黄金

比：．

（3）黄金矩形：黄金矩形的宽与长之比确切值为．

【考点剖析】

一．比例的性质（共15小题）

比例线段和平行线分线段成比例定理

新课导入
A1
A
要把表示对应角顶点的
字母写在对应的位置上。
注意
B
C
B1
C1
在△ ABC与△ A1B1C1中
如果
∠A =∠A1，∠B =∠B1， ∠C =∠C1，
AB BC AC K A1B 1 B1C1 A1C1
则△ABC 与△A1B1C1 相似，
记作△ABC ∽ △A1B1C1。
相似的表示方法
A
B
C
B1
A1 即：Rt△ABC 和 Rt△A1B1C1. 如果 AB BC k,
A1B1 B1C1
C1 那么 △ABC∽△A1B1C1.
课堂小结
1. 相似图形三角形的判定方法：
✓ 通过定义（三边对应成比例，三角相等） ✓相似三角形判定的预备定理 ✓三边对应成比例，两三角形相似 ✓两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似 ✓两角对应相等，两三角形相似 ✓两直角三角形的斜边和一条直角边对应成比
D
A1 E
B
C B1
C1
证明：在线段 A1B1（或它的延长线）上截
取 A1D AB ，过点D作 DE∥B1C1 ，交 A1C1 于点E 根据前面的定理可得 A1DE∽A1B1C1 .
A1
A
D
E
B
C B1
C1
∴ A1D DE A1E

比例线段知识点总结

一、概念

比例线段是指在空间中，两条相交直线及其被它们截断的线段之间的比例关系。即在一条直线上，有两个点A、B，它们分别位于C、D两点之间，若AC：CB=AD：DB，则称AB 与CD成比例，这里的A、B、C、D称为比例线段。

二、性质

1. 等价性：如果AB与CD成比例，那么CB与AD也成比例。

2. 共线性：如果AB与CD成比例，那么A、B、C、D四点共线。

3. 分解性：如果AB与CD成比例且BC=BD-CD，那么A、C、D三点共线。

4. 反比例性：如果AB线段与CD线段成比例，那么AB与DC反比例。

三、比例线段的性质

1. 正比例和反比例

（1）正比例：如果两个比列线段是正比例的，那么它们之间的关系是A处乘B等于C处乘D。即AB/CD=AC/BD；

（2）反比例：如果两个比例线段是反比例的，那么它们之间的关系是A处乘B等于C处乘D的倒数。即AB/CD=AD/BC。

2. 合比例与轴比例

（1）合比例：如果两个比例线段是合比例的，那么它们之间的关系是有一个共同的中点E，其中AE/EB=CE/ED；

（2）轴比例：如果两个比例线段是轴比例的，那么它们之间的关系是有中点E，其中AE/BE=CE/DE。

3. 调和比

调和比是指四个不相等的正数a、b、c、d，如果满足a/b=c/d，那么称a、b、c、d为调和比，用(a,b,c,d)表示。

四、比例线段的运算

1. 和与差

（1）和：如果AB与BC成比例，那么AB+BC等于线段AC的长度；

（2）差：如果AB与BC成比例，且AB大于BC，那么AB-BC等于线段AC的长度。

比例线段和平行线分线段成比例定理

c
b
a
a+b+c
若a+b+c=0, 则a+b=－c. \ a + b = - c = k = - 1.
cc
二、比例线段的例题和练习：
例3. (1) 已知：a : b : c=3 : 4 : 5,
求
c 的值. a+b+c
(2) 已知：a+b = a+c = b+c = k,求k的值.
cba
(3) 已知：a=2, b=54, x是a、y的比例中项，y是x、b的
E
BF
C
四、平行线分线段成比例定理的例题和练习：
例2.已知：如图，若DE∥BC, D在AB上，E在AC上，
AD : DB=2 : 3, BC=20.
求：DE的长. 解： Q AD = 2 .
比例中项. 求：x、y的值.
解: (3) 由题意知
祆镲眄镲镲铑xy22
= =
ay, bx.
\
x2 = 2y y2 = 54x
(1), (2).
由(1)y = x2 代入(2), 2
x4 =54x, x3 = 216, x=6. 4
{ 代入x = 6得，y = x2 = 18. 2
\
x= 6, y=18.
3 比例的性质：
(1) 比例的基本性质： a : b=c : d ad=bc. a : b=b : c b2=ac.

成比例线段知识点

成比例线段是初中数学中重要的概念之一，它涉及到线段的比例关系和相似三

角形的性质。在学习成比例线段的过程中，我们需要掌握以下几个知识点：

1. 成比例线段的定义

成比例线段是指在两个线段中，它们的比等于另外两个线段的比。即如果线段AB和线段CD成比例，那么就有AB/CD = AC/BD。这个比例关系在几何学中非常

重要，它可以帮助我们解决许多与线段长度有关的问题。

2. 成比例线段的性质

成比例线段具有一些重要的性质，比如说如果两个线段成比例，那么它们的长

度比是唯一确定的，即使线段长度发生变化，它们的比例关系仍然成立。此外，成比例线段的比例也可以用比例的倒数来表示，比如说如果AB/CD = 2/3，那么

CD/AB = 3/2。

3. 成比例线段的应用

成比例线段的应用非常广泛，它可以帮助我们解决许多实际问题，比如说测量

不规则图形的边长、比较不同尺寸的物体、计算地图的比例尺等。在实际生活中，我们经常会用到成比例线段的知识，因此掌握好这个知识点对我们的日常生活和学习都非常有帮助。

总的来说，成比例线段是初中数学中的重要知识点，它涉及到线段的比例关系

和相似三角形的性质。通过学习成比例线段，我们可以更好地理解线段的比例关系，解决实际问题，提高数学的应用能力。希望同学们能够认真学习成比例线段的知识，掌握好相关的概念和性质，从而在数学学习中取得更好的成绩。

比例线段知识点及练习题

第十八章相似形——比例线段及相似知识点讲解

【知识点讲解】

一、比例线段

1.线段的比：如果选用同一长度单位量得两条线段a ，b 的长度分别是m ，n ，那么就说这两条线段的比是a:b=m:n ，或写成n

m b a = ,其中a 叫做比的前项;b 叫做比的后项。 2.成比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．

3.比例的项：已知四条线段ａ，ｂ，ｃ，ｄ，如果d

c b a = ，那么ａ，ｂ，ｃ，ｄ，叫做组成比例的项，线段ａ，

d 叫做比例外项，线段ｂ，ｃ叫做比例内项，线段ｄ还叫做ａ，ｂ，ｃ的第四比例项． 4.比例中项：如果作为比例线段的内项是两条相同的线段，即a:b=b:c 或

c b b a =，那么线段ｂ叫做线段ａ和ｃ的比例中项．

二、比例的性质：

(1)比例的基本性质：

bc ad d c b a =⇔= ac b c

b b a =⇔=2 (2)反比性质： c

d a b d c b a =⇔= (3)更比性质: 或 d b c a d c b a =⇒=或a

c b

d = (4)合比性质: d d c b b a d c b a ±=±⇒= (5)等比性质: n m f

e d c b a ====...且 b

a n f d

b m e

c a n f

d b =++++++++⇒≠++++......0...

比例线段练习

① a=2，b=5,c=15，d=23；

② a=2，b=3, c=2，d=3；

③ a=4，b=6, c=5，d=10；

几何比例线段知识点总结

一、相似三角形的性质与应用

1、相似三角形的判定

（1）AAA判定

（2）AA判定

（3）SAS判定

（4）SSS判定

2、相似三角形的性质

（1）对应角相等

（2）对应边成比例

（3）高线成比例

3、相似三角形的应用

（1）计算直角三角形的边长

（2）解决实际问题

二、黄金分割与黄金比例

1、黄金分割的概念

黄金分割是指一根线段分成两部分，使整体与较大部分的比值等于较大部分与较小部分的比值。

2、黄金分割的性质与特点

（1）黄金分割比例为0.618:1

（2）黄金分割比例为几何比例

3、黄金分割的应用

（1）建筑设计

（2）艺术创作

三、线段的比例分割

1、外分点与内分点的概念

（1）外分点：在一条线段的延长线上，从线段的一端向另一端引一条线段

（2）内分点：在线段的内部，在两点之间恰有一点

2、线段的比例分割定理

（1）外分定理：若交点P在线段AB的延长线上，且AP和PB的比等于m:n，则有AP/PB=m:n

（2）内分定理：若交点P在线段AB的内部，且AP和PB的比等于m:n，则有

AP/PB=m:n

3、线段的比例点的计算

（1）已知线段比例求分点坐标

（2）已知分点坐标求线段比例

四、平行线与比例

1、平行线分线段的比例

（1）全等角平行截线

（2）相交线平行截线

2、平行线分线段比例定理

（1）截距定理

（2）对应点定理

3、平行线分线段比例的计算

（1）已知分线段比例求未知部分

（2）已知分线段的长度求比例

五、相关推导与证明方法

1、相似三角形的线段比例证明

（1）利用相似三角形的性质证明

（2）使用比例线段分割定理证明

2、平行线分线段比例的证明方法

九年级线段成比例知识点

一、什么是线段成比例？

线段成比例是指两个线段之间的比值相等。即如果两个线段的长度之比等于另外两个线段的长度之比，那么这四个线段就成比例。

二、线段成比例的判定方法

1. 基于长度的判定方法：

设有四个线段AB、CD、EF和GH，我们可以使用以下方法判定它们是否成比例。

（1）如果AB/CD = EF/GH，即两个比值相等，那么线段AB 和CD与线段EF和GH成比例。

（2）如果AB/CD = EF/GH = k（常数），即三个比值相等，那么线段AB和CD与线段EF和GH成比例。

2. 基于相似三角形的判定方法：

我们也可以利用相似三角形的性质来判定线段成比例。

（1）如果三角形ABC与三角形DEF相似，那么线段AB和CD与线段AC和DF成比例。

（2）如果三角形ABC与三角形DEF相似，并且线段AB与线段DE相等，那么线段AB和CD与线段AC和DF成比例。

三、线段成比例的性质

1. 线段成比例的交叉乘积性质：

设AB/CD = EF/GH，那么有以下等式成立：

AB × GH = CD × EF

这条性质可以用来解决一些与线段成比例相关的问题。

2. 平行线段上的线段成比例性质：

如果线段AB与线段CD平行，并且线段AD与线段BC相交于点O，那么有以下等式成立：

AO/OD = BO/OC

这个性质可以帮助我们在平行线段上找到线段成比例的关系。

四、线段成比例的应用

线段成比例广泛应用于几何学和代数学中。在几何学中，我们可以使用线段成比例来证明两个三角形相似或者证明平行线段之间的关系。在代数学中，线段成比例可以用来求解未知长度和方程的解等问题。

14初中数学“成比例线段”知识点全解析

初中数学“成比例线段”知识点全解析

一、引言

成比例线段是初中数学中的一个重要概念，它是研究比例关系的基础。理解并掌握成比例线段的概念和性质，对于提高学生分析问题和解决问题的能力具有重要意义。本文将详细解析成比例线段的概念、性质、判定方法以及应用，帮助学生更好地理解和掌握这一知识点。

二、成比例线段的概念

1.定义：如果四条线段a, b, c, d满足a/b = c/d，那么我们就说这四条线段是

成比例的，记作a:b = c:d。

2.术语解析：在a:b = c:d中，a和d称为比例的外项，b和c称为比例的内项。

三、成比例线段的性质

1.等比性质：若a:b = c:d，则(a+b)/b = (c+d)/d。这一性质表明，成比例线段

的对应项之和与原线段的比例关系相同。

2.合比性质：若a:b = c:d，则(a-b)/b = (c-d)/d。这一性质表明，成比例线段

的对应项之差与原线段的比例关系相同。

3.更比性质：若a:b = c:d，则a/c = b/d。这一性质表明，成比例线段的交叉项

之比相等。

4.反比性质：若a:b = c:d，且b和d均不为0，则a/b = d/c。这一性质表明，

成比例线段的交叉项之积相等。

四、成比例线段的判定方法

1.直接判定法：根据定义直接判断四条线段是否满足a/b = c/d。

2.等比中项法：如果两条线段的平方等于另外两条线段的乘积，那么这四条线段

是成比例的。即如果a² = bc，那么a, b, c以及另一条与它们成比例的线段d构成成比例线段。

3.相似三角形法：在相似三角形中，对应边之间的比例是相等的。因此，可以通

比例线段-初中数学知识点

比例线段

1．比例线段

（1）对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如=），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．

=（即ad bc

ab cd

1 / 1