【习题集含详解】高中数学题库高考专点专练之188概率统计期望方差

【习题集含详解】高中数学题库高考专点专练之188概率统计期望方差一、选择题（共40小题；共200分）1. 甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是 12，甲获胜的概率是 13，则甲不输的概率为 ( )A. 56B. 25C. 16D. 132. 4 张卡片上分别写有数字 1，2，3，4，从这 4 张卡片中随机抽取 2 张，则取出的 2 张卡片上的数字之和为奇数的概率为 ( ) A. 13B. 12C. 23D. 343. 某游戏设计了如图所示的空心圆环形标靶，图中所标注的一、二、三区域所对的圆心角依次为 π2，2π3，5π6，则向该标靶内投点，该点落在区域二内的概率为 ( )A. 14 B. 13C. 27D. 384. 已知离散型随机变量 X 服从二项分布 X ∼B (n,p ) 且 E (X )=12，D (X )=4，则 n 与 p 的值分别为 ( )A. 18,23B. 18,13C. 12,23D. 12,135. 在区间 [0,π] 上随机取—个数，则事件“tanx ⋅cosx ≥12”发生的概率为 ( )A. 12B. 34C. 13D. 236. 有 5 支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、 黄、蓝、 绿、 紫．从这 5 支彩笔中任取 2 支不同颜色的彩笔，则取出的 2 支彩笔中含有红色彩笔的概率为 ( ) A. 45B. 35C. 25D. 157. 在区间 [−1,1] 上随机取一个数 k ，使直线 y =k (x +3) 与圆 x 2+y 2=1 相交的概率为 ( )A. 12B. 13C. √24D. √238. 抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记 A ={两次的点数均为奇数}，B ={两次的点数之和为4}，则 P (B ∣A )= ( ) A. 112B. 14C. 29D. 239. 若不等式组 {x +y −1≤0,x −y +1≥0,y +12≥0 表示的区域 Ω，不等式 (x −12)2+y 2≤14 表示的区域为 Γ，向 Ω 区域均匀随机撒 360 颗芝麻，则落在区域 Γ 中芝麻数约为 ( ) A. 114B. 10C. 150D. 5010. 已知函数 f (x )=log a x +log 1a8（a >0 且 a ≠1），在集合 {14,13,12,3,4,5,6,7} 中任取一个数 a ，则 f (3a +1)>f (2a )>0 的概率为 ( ) A. 14B. 38C. 12D. 3411. 在如图所示的正方形中随机投掷 10000 个点，则落入阴影部分（曲线 C 的方程为 x 2−y =0）的点的个数的估计值为 ( )A. 5000B. 6667C. 7500D. 785412. 学校开展运动会活动，甲、乙两位同学各自报名参加跳高、跳远、游泳三个项目中的一个，每位同学参加每个项目的可能性相同，则这两位同学参加同一个体育项目的概率为 ( ) A. 14B. 13C. 38D. 2313. 将 A ，B ，C ，D 这 4 名同学从左至右随机地排成一排，则“A 与 B 相邻且 A 与 C 之间恰好有 1名同学”的概率是 ( ) A. 12B. 14C. 16D. 1814. 一个篮球运动员投篮一次得 3 分的概率为 a ，得 2 分的概率为 b ，不得分的概率为 c(a,b,c ∈(0,1))，已知他投篮一次得分的数学期望为 2，则 2a+13b 的最小值为 ( )A. 323 B. 283 C. 163D. 415. 袋中装有大小相同的四个球，四个球上分别标有数字“2”，“3”，“4”，“6”．现从中随机选取三个球，则所选的三个球上的数字能构成等差数列的概率是 ( ) A. 14B. 13C. 12D. 2316. 已知 P 是 △ABC 所在平面内一点，PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ +2PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，现将一粒黄豆随机撒在 △ABC 内，则黄豆落在 △PBC 内的概率是 ( )A. 14B. 13C. 12D. 2317. 设 p 在 [0,5] 上随机地取值，则关于 x 的方程 x 2+px +1=0 有实数根的概率为 ( )A. 15B. 25C. 35D. 4518. 设 x ∈[0,4]，则 x 2≤4 的概率是 ( )A. 23B. 14C. 13D. 1219. 甲、乙两人各写一张贺年卡，随意送给丙、丁两人中的一人，则甲、乙将贺年卡送给同一人的概率是 ( )A. 12B. 13C. 14D. 1520. 从 1，2，3，4，5，6，7，8 中随机取出一个数为 x ，执行如图所示的程序框图，则输出的 x 不小于 40 的概率为 ( )A. 34B. 58C. 78D. 1221. 一只蜜蜂在一个棱长为 3 的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体 6 个表面的距离均大于 1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为 ( ) A. 18B. 116C. 127D. 3822. 已知直线 x +y −5=0 与两坐标轴围成的区域为 M ，不等式组 {y ≤5−x,x ≥0,y ≥3x所形成的区域为 N ，现在区域 M 中随机放置一点，则该点落在区域 N 的概率是 ( ) A. 34B. 12C. 14D. 2323. 从标有数字 1，2，3 的三个红球和标有数字 2，3 的两个白球中任取两个球，则取得两球的数字和颜色都不相同的概率为 ( ) A. 15B. 25C. 35D. 4524. 已知函数 f (x )=12ax 2+bx +1，其中 a ∈{2,4}，b ∈{1,3}，从 f (x ) 中随机抽取 1 个，则它在(−∞,−1] 上是减函数的概率为 ( ) A. 12B. 34C. 16D. 025. 从 1 至 9 共 9 个自然数中任取七个不同的数，则这七个数的平均数是 5 的概率为 ( )A. 23B. 13C. 19D. 1826. 设函数 f (x )={e x ,0≤x <1lnx +e,1≤x ≤e在区间 [0,e ] 上随机取一个实数 x ，则 f (x ) 的值不小于常数e 的概率是 ( )A. 1eB. 1−1eC. e1+eD. 11+e27. 已知函数 f (x )=log 2x ，x ∈[1,8]，则不等式 1≤f (x )≤2 成立的概率是 ( )A. 17B. 27C. 37D. 4728. 某个路口交通指示灯，红灯时间为 30 秒，黄灯时间为 10 秒，绿灯时间为 40 秒，黄灯时间可以通行，当你到达路口时，等待时间不超过 10 秒就可以通行的概率为 ( ) A. 34B. 47C. 57D. 5829. 平面直角坐标系中，在直线 x =1，y =1 与坐标轴围成的正方形内任取一点，则此点落在曲线y =x 2 下方区域的概率为 ( ) A. 13B. 23C. 49D. 5930. 如图正方形的曲线 C 是以 1 为直径的半圆，从区间 [0,1] 上取 1600 个随机数 x 1，x 2，⋯，x 800，y 1，y 2，⋯，y 800，已知 800 个点 （ x 1,y 1 ），（ x 2,y 2 ），⋯，（ x 800,y 800 ） 落在阴影部分的个数为 m ，则 m 的估计值为 ( )A. 157B. 314C. 486D. 62831. 同学聚会上，某同学从《爱你一万年》，《十年》，《父亲》，《单身情歌》 四首歌选出两首歌进行表演，则《爱你一万年》 未选取的概率为 ( ) A. 13B. 12C. 23D. 5632. 已知点 P 是 △ABC 所在平面内一点，且 PA⃗⃗⃗⃗⃗ =−2PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，在 △ABC 内任取一点 Q ，则 Q 落在 △APC 内的概率为 ( )A. 13B. 23C. 14D. 1233. 已知圆 O:x 2+y 2=1 交 x 轴正半轴于点 A ，在圆 O 上随机取一点 B ，则使 ∣OA⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣≤1 成立的概率为 ( )A. 16B. 13C. 12D. 2334. 如图，在一个棱长为 2 的正方体鱼缸内放入一个倒置的无底圆锥形容器，圆锥的上底圆周与鱼缸的底面正方形相切，圆锥的顶点在鱼缸的缸底上，现在向鱼缸内随机地投入一粒鱼食，则“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是 ( )A. 1−π4B. π12C. π4D. 1−π1235. 不等式组 {−1≤x ≤1,0≤y ≤2 表示的点集 M ，不等式组 {x −y +1≥0,y ≥2x 2表示的点集记为 N ，在 M 中任取一点 P ，则 P ∈N 的概率为 ( )A. 532B. 932C. 916D. 51636. 设随机变量 ξ∼B (2,p )，η∼B (3,p )，若 P (ξ≥1)=59，则 P (η≥2) 的值为 ( )A. 2027B. 827C. 727D. 12737. 若 a,b 在区间 [0,√3] 上取值，则函数 f (x )=13ax 3+bx 2+14ax 在 R 上有两个相异极值点的概率是 ( ) A. 14B. 1−√32C. 34D. √3238. 若实数 x ，y 满足约束条件 {x +y −1≤0,x −y +1≥0,y +1≥0,将一颗骰子投掷两次得到的点数分别记为 a ，b ，则z =2ax +by 在点 (2,−1) 处取得最大值的概率为 ( ) A. 56B. 25C. 15D. 1639. 四个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前放着完全相同的硬币，所有人同时翻转自己的硬币．若硬币正面朝上，则这个人站起来；若硬币正面朝下，则这个人继续坐着．那么，没有相邻的两个人站起来的概率为 ( )A. 14 B. 716 C. 12 D. 91640. 五个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前放着完全相同的硬币，所有人同时翻转自己的硬币．若硬币正面朝上，则这个人站起来；若硬币正面朝下，则这个人继续坐着．那么，没有相邻的两个人站起来的概率为 ( )A. 12 B. 1532 C. 1132 D. 516二、填空题（共40小题；共200分）41. 现有三张识字卡片，分别写有“中”、“国”、“梦”这三个字．将这三张卡片随机排序，则能组成“中国梦”的概率是 ．42. 如下图所示，坐标纸上的每个单元格的边长为 1，由下往上的六个点：1,2,3,4,5,6 的横、纵坐标分别对应数列 a n (n ∈N ∗) 的前 12 项，如下表所示： a 1a 2a 3a 4a 5a 6a 7a 8a 9a 10a 11a 12x 1y 1x 2y 2x 3y 3x 4y 4x 5y 5x 6y 6按如此规律下去，则 a 2013+a 2014+a 2015= ．43. 抛掷一枚骰子（六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6），则事件“向上的数字为奇数或向上的数字大于4”发生的概率为．44. 从字母a，b，c，d，e中任取两个不同字母，则取到字母a的概率为．45. 一个路口的红绿灯，红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为40秒．当你到达路口时，看见红灯的概率是．46. 在边长为2的正三角形ABC内任取一点D，则使点D到三个顶点的距离至少有一个小于1的概率是．47. 同时抛掷一颗红骰子和一颗蓝骰子，观察向上的点数，记“红骰子向上的点数是3的倍数”为事件A，“两颗骰子的点数之和大于8”为事件B，则P(B∣A)=．48. 如图的矩形，长为5，宽为2，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为138颗，则我们可以估计出阴影部分的面积为．49. 已知随机变量ξ的分布列为：ξ−1012P x 1316y若E(ξ)=13，则x+y=，D(ξ)=．50. 某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为．51. 方程x2+x+n=0(n∈[0,1])有实根的概率为．52. 甲、乙两组各有三名同学，他们在一次测试中的成绩分别为：甲组：88，89，90；乙组：87，88，92．如果分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，则这两名同学的成绩之差的绝对值不超过3的概率是．53. 连续掷两次骰子，以先后看到的点数m，n作为点P的坐标(m,n)，那么点P在圆x2+y2=17内部（不包括边界）的概率是．54. 袋中有6个编号不同的黑球和3个编号不同的白球，这9个球的大小及质地都相同，现从该袋中随机摸取3个球，则这三个球中恰有两个黑球和一个白球的方法总数是．设摸取的这三个球中所含的黑球数为X，则P(X=k)取最大值时，k的值为．55. 已知长方形ABCD中，AB=4，BC=1，M为AB中点，则在此长方形内随机取一点P，P与M的距离小于1的概率为．56. 在长为5的线段AB上任取一点P，以AP为边长作等边三角形，则此三角形的面积介于√3和4√3的概率为．57. 已知Ω={(x,y)∣ ∣ x∣ ≤1,∣ y∣ ≤1}，A是曲线y=x3与y=x 12围成的区域，若向区域Ω上随机投一点P，则P落入区域A的概率为．58. 一只小虫在半径为 3 的球内自由飞行，若在飞行中始终保持与球面的距离大于 1，称为“安全距离”，则小虫安全的概率为 ．59. 在区间 [0,3] 上随机地取一个数 x ，则事件“−1≤log 12(x +12)≤1”发生的概率为 ．60. 随机向边长为 5，5，6 的三角形中投一点 P ，则点 P 到三个顶点的距离都不小于 2 的概率是 ．61. 给出如下四对事件： ①某人射击 1 次，“射中 7 环”与“射中 8 环”；②甲、乙两人各射击 1 次，“至少有 1 人射中目标”与“甲射中，但乙未射中目标”； ③从装有 2 个红球和 2 个黑球的口袋内任取 2 个球，“至少一个黑球”与“都是红球”； ④从装有 2 个红球和 2 个黑球的口袋内任取 2 个球，“没有黑球”与“恰有一个红球”；其中属于互斥事件的是 ．（把你认为正确的命题的序号都填上）62. 在三棱锥 P −ABC 中，PA ⊥平面ABC ，PA =1，AB =AC =√3，∠BAC =120∘，D 为棱 BC 上一个动点，设直线 PD 与平面 ABC 所成的角 θ，则 θ 不大于 45∘ 的概率为 ．63. 已知离散型随机变量 X 的分布列为X012P141214则变量 X 的数学期望 E (X )= ，方差 D (X )= ．64. 两所学校分别有 2 名，3 名学生获奖，这 5 名学生要排成一排合影，则存在同校学生排在一起的概率为 ．65. 100 张卡片上分别写有 1，2，3，⋯，100，从中任取 1 张，则这张卡片上的数是 6 的倍数的概率是 ．66. 从集合 M ={(x,y )∣ (∣x∣−1)2+(∣y ∣−1)2<4,x,y ∈Z } 中随机取一个点 P (x,y )，若 xy ≥k (k >0) 的概率为 625，则 k 的最大值是 ．67. 从 1，2，3，4，5 这 5 个数字中随机抽取 3 个，则所抽取的数字中有且仅有 1 个数能被 2 整除的概率为 ．68. 若 9 个人任意排成一排，则甲排中间，且乙与丙相邻的概率为 ．69. 袋中有 5 个除了颜色外完全相同的小球，包括 2 个红球，2 个黑球和 1 个白球，从中随机摸出 2个球，则这 2 个球颜色不同的概率为 ．70. 一个不透明的袋子中装有大小相同的 12 个黑球，4 个白球，每次有放回的任意摸取一个球，共摸取 3 次，若用 X 表示取到白球的次数，则 X 的数学期望 E (X ) 与方差 D (X ) 分别为 ．71. 折纸已经成为开发少年儿童智力的一大重要工具和手段．已知在折叠“爱心”的过程中会产生如图所示的几何图形，其中四边形 ABCD 为正方形，G 为线段 BC 的中点，四边形 AEFG 与四边形 DGHI 也为正方形，连接 EB ，CI ，则向多边形 AEFGHID 中投掷一点，该点落在阴影部分内的概率为 ．72. 如图所示矩形 ABCD 边长 AB =1，AD =4，抛物线顶点为边 AD 的中点 E ，且 B ，C 两点在抛物线上，则从矩形内任取一点落在抛物线与边 BC 围成的封闭区域（包含边界上的点）内的概率是 ．73. 如图，向边长为 1 的正方形内随机地投点，所投的点落在由 y =x 2和 y =x 12围成的封闭图形的概率为 ．74. 在平面直角坐标系内，满足 {0≤x ≤1,−2≤y ≤2的点 (x,y ) 构成的区域为 D ，曲线 y 2=4x 与直线 x =1 围成的封闭区域为 M ．向 D 内随机投入一点，该点落入 M 内的概率为 ． 75. 如果随机变量 ξ∼B (n,p )，且 Eξ=7，Dξ=6，则 p 等于 ．76. 如图，在圆心角为直角的扇形 OAB 中，分别以 OA ，OB 为直径作两个半圆，在扇形 OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是 ．77. 已知 k ∈Z ，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(k,1)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,4)，若 ∣AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣≤4，则 △ABC 是直角三角形的概率是 ．78. 在区间 [−6,6] 内任取一个元素 x 0，若抛物线 x 2=4y 在 x =x 0 处的切线的倾斜角为 α，则 α∈[π4,3π4] 的概率为 ．79. 已知事件“在矩形 ABCD 的边 CD 上随机取一点 P ，使 △APB 的最大边是 AB ”发生的概率为 12，则AD AB= ．80. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，O 为正八边形 A 1A 2⋯A 8 的中心，A 1(1,0)．任取不同的两点A i ，A j ，点 P 满足 OP ⃗⃗⃗⃗⃗ +OA i ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OA j ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，则点 P 落在不等式组 {x >0,y ≥0. 表示的平面区域内的概率是 ．三、解答题（共20小题；共260分）81. 从 4 名男生和 2 名女生中任选 3 人参加演讲比赛．（1）求所选 3 人都是男生的概率； （2）求所选 3 人中恰有 1 名女生的概率； （3）求所选 3 人中至少有 1 名女生的概率．82. 随机抽取某中学高三年级甲乙两班各 10 名同学，测量出他们的身高（单位：cm ），获得身高数据的茎叶图如图，其中甲班有一个数据被污损．（1）若已知甲班同学身高平均数为170cm，求污损处的数据．（2）现从乙班这10名同学中抽取两名身高不低于173cm的同学，求身高176cm的同学被抽中的概率．83. 编号分别为A1，A2，⋯，A16名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录如下：运动员编号A1A2A3A4A5A6A7A8得分1535212825361834运动员编号A9A10A11A12A13A14A15A16得分1726253322123138（1）将得分在对应区间内的人数填入相应的空格；区间[10,20)[20,30)[30,40]人数（2）从得分在区间[20,30)内的运动员中随机抽取2人，（i）用运动员编号列出所有可能的抽取结果；（ii）求这2人得分之和大于50的概率．84. 某校夏令营有3名男同学A,B,C和3名女同学X,Y,Z，其年级情况如下表：一年级二年级三年级男同学A B C女同学X Y Z现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛（每人被选到的可能性相同）．（1）用表中字母列举出所有可能的结果；（2）设M为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，求事件M发生的概率．与p，且乙投球2次均未命85. 甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为12．中的概率为116（1）求乙投球的命中率p；（2）求甲投球2次，至少命中1次的概率；（3）若甲、乙两人各投球2次，求两人共命中2次的概率．86. 现有 4 个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择．为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为 1 或 2 的人去参加甲游戏，掷出点数大于 2 的人去参加乙游戏．（1）求这 4 个人中恰在此有 2 人去参加甲游戏的概率；（2）用 X ，Y 分别表示这 4 个人中去参加甲、乙游戏的人数，记 ξ=∣X −Y∣，求随机变量 ξ 的分布列与数学期望 E (ξ)．87. 为了了解某市工厂开展群众体育活动的情况，拟采用分层抽样的方法从 A,B,C 三个区中抽取 7个工厂进行调查．已知 A,B,C 区中分别有 18,27,18 个工厂． （1）求从 A,B,C 区中应分别抽取的工厂个数；（2）若从抽得的 7 个工厂中随机地抽取 2 个进行调查结果的对比，用列举法计算这 2 个工厂中至少有 1 个来自 A 区的概率．88. 设甲、乙、丙三个乒乓球协会分别选派 3，1，2 名运动员参加某次比赛，甲协会运动员编号分别为 A 1，A 2，A 3，乙协会编号为 A 4，丙协会编号分别为 A 5，A 6，若从这 6 名运动员中随机抽取 2 名参加双打比赛．（1）用所给编号列出所有可能抽取的结果；（2）求丙协会至少有一名运动员参加双打比赛的概率； （3）求参加双打比赛的两名运动员来自同一协会的概率．89. 甲、乙两支篮球队赛季总决赛采用 7 场 4 胜制，每场必须分出胜负，场与场之间互不影响，只要有一队获胜 4 场就结束比赛．现已比赛了 4 场，且甲篮球队胜 3 场．已知甲球队第 5，6 场获胜的概率均为 35，但由于体力原因，第 7 场获胜的概率为 25．（1）求甲队以 4:3 获胜的概率； （2）设 X 表示决出冠军时比赛的场数，求 X 的分布列及数学期望．90. 某高校在 2014 年的自主招生考试成绩中随机抽取 100 名学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如下表所示．组号分组频数频率第 1 组[160,165)50.050第 2 组[165,170)n 0.350第 3 组[170,175)30p 第 4 组[175,180)200.200第 5 组[180,185]100.100合计1001.000（1）求频率分布表中 n ，p 的值，并补充完整相应的频率分布直方图；（2）为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第 3，4，5 组中用分层抽样的方法抽取 6 名学生进入第二轮面试，则第 3，4，5 组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试? （3）在（II ）的前提下，学校决定从 6 名学生中随机抽取 2 名学生接受甲考官的面试，求第 4 组至少有 1 名学生被甲考官面试的概率．91. 设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为 27，9，18．现采用分层抽样的方法从这三个协会中抽取 6 名运动员组队参加比赛．（1）求应从这三个协会中分别抽取的运动员的人数；（2）将抽取的 6 名运动员进行编号，编号分别为 A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6．现从这 6 名运动员中随机抽取 2 人参加双打比赛． ① 用所给编号列出所有可能的结果；② 设 A 为事件“编号为 A 5 和 A 6 的两名运动员中至少有 1 人被抽到”，求事件 A 发生的概率．92. 某人玩掷骰子移动棋子的游戏，棋盘分为A ，B 两方，开始时棋子放在A 方，根据下列①，②，③的规定移动棋子：①骰子出现1点时，不能移动棋子；②出现2，3，4，5点时，把棋子移向对方；③出现6点时，若棋子在A 方就不动，若棋子在B 方就移至A 方．（1）将骰子连掷 2 次，求掷第一次后棋子仍在A 方而掷第二次后棋子在B 方的概率； （2）若将骰子连掷 3 次，3 次中棋子移动的次数记为 ξ，求随机变量 ξ 的分布列和期望．93. 从甲地到乙地要经过 3 个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为 12，13，14．（1）设 X 表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量 X 的分布列和数学期望； （2）若有 2 辆车独立地从甲地到乙地，求这 2 辆车共遇到 1 个红灯的概率．94. 已知甲盒内有大小相同的 1 个红球和 3 个黑球，乙盒内有大小相同的 2 个红球和 4 个黑球．现从甲、乙两个盒内各任取 2 个球． （1）求取出的 4 个球均为黑球的概率； （2）求取出的 4 个球中恰有 1 个红球的概率； （3）设 ξ 为取出的 4 个球中红球的个数，求 ξ 的分布列和数学期望．95. 某地区有小学 21 所，中学 14 所，大学 7 所，现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取 6 所学校对学生进行视力调查．（1）求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目；（2）若从抽取的 6 所学校中随机抽取 2 所学校做进一步数据分析， （i ）列出所有可能的抽取结果；（ii ）求抽取的 2 所学校均为小学的概率．96. 有编号为 A 1，A 2，⋯，A 10 的 10 个零件，测量其直径（单位：cm ），得到下面数据：编号A 1A 2A 3A 4A 5A 6A 7A 8A 9A 10直径 1.51 1.49 1.49 1.51 1.49 1.51 1.47 1.46 1.53 1.47其中直径在区间 [1.48,1.52] 内的零件为一等品．（1）从上述 10 个零件中，随机抽取一个，求这个零件为一等品的概率； （2）从一等品零件中，随机抽取 2 个．（i ）用零件的编号列出所有可能的抽取结果；（ii ）求这 2 个零件直径相等的概率．97. 某产品的三个质量指标分别为 x ，y ，z ，用综合指标 S =x +y +z 评价该产品的等级．若 S ≤4，则该产品为一等品．现从一批该产品中，随机抽取 10 件产品作为样本，其质量指标列表如下：产品编号A1A2A3A4A5质量指标(x,y,z)(1,1,2)(2,1,1)(2,2,2)(1,1,1)(1,2,1)产品编号A6A7A8A9A10质量指标(x,y,z)(1,2,2)(2,1,1)(2,2,1)(1,1,1)(2,1,2)（1）利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率．（2）在该样本的一等品中，随机抽取2件产品．①用产品编号列出所有可能的结果；②设事件B为"在取出的2件产品中，每件产品的综合指标S都等于4 "，求事件B发生的概率．98. A，B，C，D，E五名大学生被随机地分到甲、乙、丙、丁四所学校实习，每所学校至少负责安排一名实习生．（1）求A，B两人同时去甲学校实习的概率；（2）求A，B两人不去同一所学校实习的概率；（3）设随机变量ξ为这五名学生中去甲学校实习的人数，求ξ的分布列和数学期望．99. 已知一个袋子里装有颜色不同的6个小球，其中白球2个，黑球4个，现从中随机取球，每次只取一球．（1）若每次取球后都放回袋中，求事件“连续取球四次，至少取得两次白球”的概率；（2）若每次取球后都不放回袋中，且规定取完所有白球或取球次数达到五次就终止游戏，记游戏结束时一共取球X次，求随机变量X的分布列与期望．(n≥2,n∈N∗)个给定的不同的数随机排成一个下图所示的三角形数阵；100. 现有n(n+1)2设M k是第k行中的最大数，其中1≤k≤n，k∈N∗，记M1<M2<⋯<M n的概率为p n．（1）求p2的值；．（2）证明：p n>C n+12(n+1)!答案第一部分 1. A【解析】甲不输的概率为 12+13=56．2. C 【解析】采用列举法得所有的基本事件有 (1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4) 六种情况，其中两数字之和为奇数的有 (1,2)，(1,4)，(2,3)，(3,4) 四种情况， 故所求概率为 46=23． 3. B4. A5. D【解析】tanx ⋅cosx =sinx ≥12，所以 x ∈[π6,π2) 或 (π2,56π]，所以 P =23．6. C7. C【解析】若直线 y =k (x +3) 与圆 x 2+y 2=1 相交，则圆心到直线的距离 d =√1+k 2<1，解得 −√24<k <√24，故在区间 [−1,1] 上随机取一个数 k ，使直线 y =k (x +3) 与圆 x 2+y 2=1 相交的概率为 P =√222=√24． 8. C【解析】事件 A 为“两次所得点数均为奇数”，则有 (1,1)，(1,3)，(1,5)，(3,1)，(3,3)，(3,5)，(5,1)，(5,3)，(5,5)，共 9 种；B 为“两次的点数之和为 4”，则有 (1,3)，(3,1)，共 2 种，所以 P (B ∣A )=29．9. A 【解析】10. B【解析】因为 3a +1>2a ，f (3a +1)>f (2a )，f (x )=log a x −log a 8， 所以 a >1， 又 f (2a )>0，所以 2a >8，即 a >4，故所求概率为 38．11. B 【解析】S 阴影=S 正方形−∫01x 2dx =1−13=23， 所以有 23=S 阴影S正方形=n10000，解得 n ≈6667．12. B 13. B 【解析】A ，B ，C ，D 4 名同学排成一排有 A 44=24 种排法． 当 A ，C 之间是 B 时，有 2×2=4 种排法， 当 A ，C 之间是 D 时，有 2 种排法， 所以所求概率为 4+224=14． 14. C 15. C【解析】因为 4 个小球随机选 3 个共有 C 42=4 种不同选法，其中能构成等比数列的三个数分别为 2，3，4；2，4，6，有两种不同的选法，所以根据古典概型概率公式得：P =24=12．16. C 【解析】如图所示，设点 M 是 BC 边的中点，因为 PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ +2PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，所以点 P 是中线 AM 的中点，所以黄豆落在 △PBC 内的概率 P =S △PBC S △ABC=12．17. C 【解析】方程 x 2+px +1=0 有实根，则 Δ=p 2−4≥0， 解得 p ≥2 或 p ≤−2（舍去）．由几何概型的概率计算公式可知所求的概率为 5−25−0=35．18. D 【解析】由 x 2≤4，得 −2≤x ≤2．因为 x ∈[0,4]，取交集得 x ∈[0,2]，所以 x 2≤4 的概率是2−04−0=12．19. A 【解析】（甲送给丙，乙送给丁），（甲送给丁，乙送给丙），（甲、乙都送给丙），（甲、乙都送给丁），共四种情况，其中甲、乙将贺年卡送给同一人的情况有两种，所以 P =24=12 . 20. B【解析】经过第一次循环得到 x =3x +1，n =2，经过第二次循环得到 x =3(3x +1)+1，n =3，此时输出 x ，输出的值为 9x +4，令 9x +4≥40，得 x ≥4，由古典概型得到输出的 x 不小于 40 的概率为：5821. C 【解析】由题知小蜜蜂的安全飞行范围为：以这个正方体的中心为中心，且棱长为 1 的小正方体内．这个小正方体的体积为 1，大正方体的体积为 27，故安全飞行的概率为 P =127．22. C 23. B 24. B 【解析】函数 f (x )=12ax 2+bx +1，其中 a ∈{2,4}，b ∈{1,3}， 从 f (x ) 中随机抽取 1 个，基本事件总数 n =2×2=4，即 f (x ) 共有四种等可能基本事件，分别为 (a,b ) 取 (2,1)，(2,3)，(4,1)，(4,3)， 记事件 A 为“f (x ) 在区间 (−∞,−1] 上是减函数”， 由条件知 f (x ) 开口一定向上，对称轴为 x =−ba ，事件 A 共有三种 (2,1)，(4,1)，(4,3) 等可能基本事件， 则 P (A )=34．所以 f (x ) 在区间 (−∞,−1] 上是减函数的概率为 34． 25. C【解析】1 至 9 共 9 个自然数中任取七个不同的数的取法共有 C 97=9×82=36 种，因为 1+9=2+8=3+7=4+6，所以从 (1,9)，(2,8)，(3,7)，(4,6) 中任选三组，则有 C 43=4，故这七个数的平均数是 5 的概率为 436=19．26. B 27. B 【解析】区间 [1,8] 的长度为 7，满足不等式 1≤f (x )≤2 即不等式 1≤log 2x ≤2，解答 2≤x ≤4，对应区间 [2,4] 长度为 2，由几何概型公式可得使不等式 1≤f (x )≤2 成立的概率是 27． 28. A 29. A 【解析】直线 x =1，y =1 与坐标轴围成的正方形面积为 1，在曲线 y =x 2 下方区域的面积为：∫01x 2dx=13x 3∣∣01=13，由几何概型的公式得到概率为 131=13．30. B31. B 32. B 33. B 34. A 35. B36. C 【解析】因为变量 ξ∼B (2,p )，且 P (ξ≥1)=59，所以 P (ξ≥1)=1−P (ξ<1)=1−C 20⋅(1−p )2=59，所以 p =13，所以P (η≥2)=1−P (η=0)−P (η=1)=1−C 30(13)0(23)3−C 31⋅13⋅(23)2=1−827−1227=727.37. C 【解析】由 a,b 在区间 [0,√3]，函数 f (x )=13ax 3+bx 2+14ax 在 R 上有两个相异极值点，则fʹ(x )=ax 2+2bx +14a =0，Δ=4b 2−a 2>0，2b >a ．根据几何概型，画出如图所示图形，所以函数 f (x )=13ax 3+bx 2+14ax 在 R 上有两个相异极值点的概率是 P =3−12×√3×√323=34 .38. A 【解析】如下图所示：约束条件为一个三角形 ABC 及其内部，其中 A (2,−1)，B (−2,−1)，C (0,1)． 要使函数 z =2ax +by 在点 (2,−1) 处取得最大值，需满足 −2a b≤−1⇒b ≤2a ．将一颗骰子投掷两次共有 36 个有序实数对 (a,b )，其中满足 b ≤2a 有 30 对，所以所求概率为 3036=56． 39. B 40. C 第二部分 41. 16 42. 1007【解析】a 1=1，a 2=1，a 3=−1，a 4=2，a 5=2，a 6=3，a 7=−2，a 8=4，⋯，这个数列的规律是奇数项为 1,−1,2,−2,3,−3,⋯ 偶数项为 1,2,3,⋯，故 a 2013+a 2015=0，a 2014=1007，故 a 2013+a 2014+a 2015=1007． 43. 23 44. 25 45. 25【解析】由题意知本题所求概率是一个等可能事件的概率， 试验发生包含的事件是总的时间长度为 30+5+40=75 秒， 设红灯为事件 A ，满足条件的事件是红灯的时间为 30 秒， 根据等可能事件的概率得到， 出现红灯的概率 P (A )=构成事件A 的时间长度总的时间长度=3075=25．46.√3π6【解析】分别以点 A ，B ，C 为圆心，以 1 为半径作圆，与 △ABC 构成三个扇形，如图中阴影部分所示，当点 D 落在其内时符合要求．所以 P =3×(12×π3×12)√34×2=√36π． 47. 512 48. 235【解析】根据题意：黄豆落在阴影部分的概率是 138300，矩形的面积为 10，设阴影部分的面积为 s ，则有 s10=138300，所以 s =235．49. 12，119 50. 58 51. 14【解析】方程有实根时，满足 Δ=1−4n ≥0，得 n ≤14，由几何概型知 P =构成事件A 的区域测度试验的全部结果所构成的区域测度，得 P =14．52. 89 53. 29 54. 45，2【解析】恰有两个黑球和一个白球的方法总数为 C 62⋅C 31=45； 当 X =0 时有 C 60⋅C 33=1 种方法， 当 X =1 时有 C 61⋅C 32=18 种方法， 当 X =2 时有 C 62⋅C 31=45 种方法， 当 X =3 时有 C 63⋅C 30=20 种方法，显然当 k =2 时 P (X =k ) 取最大值． 55. π8【解析】根据几何概型得：取到的点到 M 的距离小 1 的概率： P =dD =圆的内部面积矩形的面积=12×12π4×1=π8．56. 25【解析】设 AP =x ，则正三角形面积为 √34x 2， 若 √3<√34x 2<4√3，则 2<x <4， 由几何概型易得知 p =4−25=25．57. 548【解析】联立得 {y =x 3,y =x 12, 解得 {x =1,y =1 或 {x =0,y =0, 设曲线与曲线围成的面积为 S ，则 S =∫01(√x−x 3)dx =(23x 32−14x 4)∣∣∣01=23−14=512，而 Ω={(x,y )∣ ∣ x∣ ≤1,∣ y∣ ≤1}，表示的区域是一个边长为 2 的正方形， 所以 Ω 上随机投一点 P ，则点 P 落入区域 A （阴影部分）中的概率 P =S 阴影S=5122×2=548．。