高中数学三角函数的图象与性质第3课时正弦函数、余弦函数的性质习题课课件新人教A版必修

1 ∴y＝－4bsinax＝－4sin2x；
3 a－b＝2 同理，当 b<0 时，可得： a＋b＝－1 2 1 综上可知，y＝± 4sin x. 2
1 a＝ ，解得 2 . b＝－1
1 ∴函数 y＝± 4sin2x 的最大值为 4，最小值为－4，周期为 4π.
一、选择题 1． 在(0,2π)内， 使 sinx>cosx 成立的 x 的取值范围为(
[例3]
一机械振动中，某质点离开平衡位 置的位移 x(cm) 与时间 t(s) 之间的函数关系 如图所示： (1)求该函数的周期； (2) 求 t ＝ 37.5s 时，该质点离开平衡位置的 位移．
[解析] 0.5＝4(s)．
(1)由函数图象可知，该函数的周期为 T＝4.5－
(2)设 x＝f(t)，∴函数 f(t)的周期为 4. ∴f(37.5)＝f(9×4＋1.5)＝f(1.5)＝－3. 所以，t＝37.5s 时，质点的位移为－3cm.
②y＝2cos2x＋5sinx－4.
[答案]
[分析]
5 (1)[－4，1] π π (2)①中由于 x∈6，2，而不是 x∈R，故讨论其

最值可借助于图象或利用单调性讨论．②中根据平方关系 sin2x＋cos2x＝1 可知此函数可视作以 sinx 为变量的二次函数， 故可用换元法结合 sinx 的有界性求解．
B
二、填空题 nπ 4．已知 f(n)＝cos 4 ，(n∈Z)，则 f(1)＋f(2)＋„＋f(100) ＝________.
[答案]
－1
[解析]
nπ ∵f(n)＝cos 4 的周期 T＝8.
又∵f(1)＋f(2)＋„＋f(8)＝0 ∴f(1)＋f(2)＋„＋f(100) ＝f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4) π 2π 3π 4π ＝cos ＋cos ＋cos ＋cos ＝－1. 4 4 4 4
[例 2]
nπ 若函数 f(n)＝sin 6 (n∈Z)，
则 f(1)＋f(2)＋f(3)＋„＋f(102)＝________.
[分析]
f(n)为正弦函数，函数值周期性变 化，故应先求其周期，根据周期简化计 算．
[解析]
nπ (n＋12)π nπ ∵sin 6 ＝sin 6 ＋2π ＝sin 6
∴f(n)＝f(n＋12)． 又∵f(1)＋f(2)＋f(3)＋„＋f(12)＝0. 且 102＝12×8＋6. ∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋„＋f(102) ＝f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)＝2＋ 3.
方程
5π 1 cos 2 ＋x＝2x 在区间(0,100π)内解的个数是(
[例 4]
7 (1)求函数 y＝－sin x＋4sinx＋4的值域；
2
3sinx＋1 (2)求函数 y＝ 的值域． 3sinx＋2
[解析]
(1)令 sinx＝t，则|t|≤1.
2
7 23 2 y＝－sin x＋4sinx＋4可化为 y＝－(t－2) ＋ 4 . ∵－1≤t≤1， 23 ∴y＝－(t－2) ＋ 4 在[－1,1]上单调增．
.
6．比较下列各组数的大小，用“<”或“>”填空： 3π 4π > (1)sin 5 sin 5 ； π< π (2)cos5 cos7.
重点：正弦函数、余弦函数的性质及应
用． 难点：正、余弦函数的周期性、单调性、 值域的应用．
1．y＝sinx 是奇函数，y＝cosx 是偶函数． ∵当 k
1 π 2．函数 y＝ sin(ωx＋φ)(ω>0)的周期为 ，φ)为偶函数，0≤φ<2π，
则φ的值为或
.
4．函数y＝2cos3x的单调增区间为，
.
5． (2010· 泰安市模拟)如果函数 y＝2sin(2x＋φ)的图象关
π 于点3，0中心对称，那么|φ|的最小值为
π 9≤y≤1，且当 t＝－1 时，sinx＝－1，x＝－2＋2kπ，k∈Z， ymin＝－9；
π 当 t＝1 时，sinx＝1，x＝ ＋2kπ，k∈Z，ymax＝1， 2 ∴y＝2cos2x＋5sinx－4 的值域为[－9,1]，ymin＝－9，ymax ＝1.
[例 5]
3 已知函数 y＝a－bcosx 的最大值是2， 最小值是－
[解析]
(1)令
π sinx＋6＝1，
π π 则 x＋ ＝2kπ＋ (k∈Z)． 6 2 π ∴当 x＝2kπ＋3(k∈Z)时， y 最小值为 3－2＝1. 令
π π π sin x＋6 ＝－1，∴x＋ ＝2kπ－ (k∈Z)， 6 2
2 ∴当 x＝2kπ－3π(k∈Z)时， y 有最大值，为 3＋2＝5.
π π 5π A.4，2∪π， 4 π 5π C.4， 4 π B.4，π π 5π 3π D.4，π∪ 4 ， 2
)
[答案]
C
[解析]
在(0,2π)内作出函数 y＝sinx 与 y＝cosx 的图象，
kπ 为奇数时， sin 2 ＋ωx ＝ ± cosx(k ＝ 4n ＋ 1
时取
“＋”号，k＝4n－1 时取“－”号，n∈Z)
kπ cos 2 ＋ωx＝± sinx(k＝4n＋ 1
时取“－”号， k＝4n－1
时取“＋”号，n∈Z) kπ ∴要使 y＝sin(ωx＋φ)为偶函数，只须 φ＝ (k 为奇数)， 2 kπ 要使 y＝cos(ωx＋φ)为奇函数，只须 φ＝ (k 为奇数)． 2
π π π π 5π (2)①∵x∈6，2，∴x＋3∈2， 6 ，
∵y＝sint
π 5π 在2， 6 上单调递减，
π 1 ∴sinx＋3∈2，1.
∴函数 1 ymin＝ . 2
π π 1 π y＝2sinx＋3， x∈6，2的值域为2，1， ymax＝1，
(2)①若a>0，
当 cosx ＝ 1 ，即 x ＝ 2kπ(k∈Z) 时， y 取最大
值为a＋b； 当 cosx ＝－ 1 ，即 x ＝ 2kπ ＋ π(k∈Z) 时， y 取 最小值为－a＋b. ②若a<0， 当 cosx ＝ 1 ，即 x ＝ 2kπ(k∈Z) 时， ymin ＝ a ＋ b； 当 cosx＝－1，即x＝ 2kπ＋ π(k∈Z)时， ymax ＝－a＋b.
正弦曲线、余弦曲线的对称中心是正弦曲
线、余弦曲线与 x 轴的交点，即此时的正 弦值或余弦值为0. 4 ．利用平方关系化为二次函数与利用正、 余弦函数的有界性是求三角函数值域与最 值的常用方法． 在求有关三角函数值域问题时，要注意变 量的取值范围．
[例 1]
求下列函数的最大值、 最小值及相应的 x 的值：
π 5π x∈4， 4 时，sinx>cosx，故选
结合图象不难发现，当
C.
2．函数y＝－x·cosx的部分图象是 (
)
[答案]
[解析]
D
易知函数 y＝－xcosx 的定义域为 R，
又 f(－x)＝－(－x)· cos(－x)＝xcosx＝－f(x)， 所以 f(x)＝－xcosx 是奇函数．所以排除 A，C， 又当
2 ．正弦函数、余弦函数的图象都有无穷
多条对称轴，其相邻两条对称轴间距离为 半个周期，其对称轴一定经过图象的最高 点或最低点． 3 ．解答三角函数的单调性问题一定要注 意复合函数的单调性法则，更要注意函数 的定义域． 求函数y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)的 单调区间时，ω<0时，先利用诱导公式把x 的系数化为正数，然后把 ωx ＋ φ 看作一个 整体t，考虑函数 y＝Asint(或y＝－Asint)的 单调区间利用复合函数单调性判定方法，
②令 t＝sinx，则－1≤t≤1，∵cos2x＝1－sin2x， ∴y＝2cos2x＋5sinx－4＝－2sin2x＋5sinx－2
52 9 52 9 ＝－2sinx－4 ＋8＝－2t－4 ＋8，
∵ 函数
5 2 9 y ＝－ 2 t－4 ＋ 8 在 [ － 1,1] 上单调递增， ∴ －
π (1)y＝3－2sinx＋6；
(2)y＝acosx＋b
(a≠0)．
[分析]
y＝sint，y＝cost 的值域都是[－1,1]，(1)中令 t
π ＝x＋6可由 sint 的取值范围，求出 3－2sint 的取值范围．(2) 中由于 a 的符号未定，当 a>0 时，若 cosx 取最大(小)值，则 acosx 取最大(小)值，a<0 时恰好相反，故须分 a>0 与 a<0 讨 论．
)
A．98
B．100
C．102
D．200
[答案] B
[解析]
分析解的个数问题，一般用图象法，原方程⇔－ y＝－sinx 和
1 y＝2x 的图
1 sinx＝2x， 在同一坐标系中作出函数
象，在作图时，要判断两曲线在(0,100π)内交点个数，应先在 一个周期内研究其交点个数，为 2 个，因此所求交点个数为 100π 2× ＝100(个)(如图)．∴应选 B. 2π
π x∈0，2时，y＝－xcosx<0，
所以排除 B.故选 D.
3．函数y＝sinx＋|sinx|的值域为( A．[－2,2] 2sinx [解析] y＝ 0 C．[－2,1] [答案]
)
B ． [0,2] sin x≥ 0 ，易得 0≤y≤2. sin x<0 D ． [－1,1]
1 ，求函数 y＝－4bsinax 的最大值、最小值及周期． 2
[错解]
∵cosx 的最大值为 1，最小值为－1，