第3章 力学量用算符表达：习题解答
第三章-表示力学量算符-习题答案
第三章 量子力学中的力学量 1. 证明 厄米算符的平均值都是实数（在任意态）[证] 由厄米算符的定义**ˆˆ()F d F d ψψτψψτ=⎰⎰厄米算符ˆF的平均值 *ˆF Fd ψψτ=⎰ **ˆ[()]F d ψψτ=⎰ ***ˆ[]Fd ψψτ=⎰**ˆ[()]Fd ψψτ=⎰**ˆ[]F d ψψτ=⎰ *F =即厄米算符的平均值都是实数2. 判断下列等式是否正确（1）ˆˆˆHT U =+ （2）H T U =+（3）H E T U ==+[解]：（1）（2）正确 （3）错误因为动能，势能不同时确定，而它们的平均值却是同时确定 。
3. 设()x ψ归一化，{}k ϕ是ˆF的本征函数，且 ()()k kkx c x ψϕ=∑（1）试推导k C 表示式（2）求征力学量F 的()x ψ态平均值2k k kF c F =∑（3）说明2k c 的物理意义。
[解]：（1）给()x ψ左乘*()m x ϕ再对x 积分**()()()()mm k k k x x dx x c x dx ϕϕϕτϕ=⎰⎰*()()k m k kc x x dx ϕϕ=∑⎰因()x ψ是ˆF的本函，所以()x ψ具有正交归一性**()()()()mk m k k k kkx x dx c x x dx c mk c ϕψϕϕδ===∑∑⎰⎰ ()m k = *()()k m c x x dx ϕψ∴=⎰（2）k ϕ是ˆF 的本征函数，设其本征值为kF 则 ˆk k kF F ϕϕ= **ˆˆm k m k k kF F dx F c dx ψψψϕ==∑⎰⎰**()m mk k k kc x F c dx ϕϕ=∑∑⎰**m k kmkx mkc c F dϕϕ=∑⎰*m k k mk mkcc F δ=∑2k k kc F =∑即 2k k kF c F =∑（3）2k c 的物理意义；表示体系处在ψ态，在该态中测量力学量F ，得到本征值k F 的 几率为2k c 。
曾谨言《量子力学教程》(第3版)笔记和课后习题复习答案考研资料
曾谨言《量子力学教程》（第3版）笔记和课后习题（含考研真题）详解完整版>精研学习网>免费在线试用20％资料全国547所院校视频及题库资料考研全套>视频资料>课后答案>往年真题>职称考试目录隐藏第1章波函数与Schrödinger方程1.1复习笔记1.2课后习题详解1.3名校考研真题详解第2章一维势场中的粒子2.1复习笔记2.2课后习题详解2.3名校考研真题详解第3章力学量用算符表达3.1复习笔记3.2课后习题详解3.3名校考研真题详解第4章力学量随时间的演化与对称性4.1复习笔记4.2课后习题详解4.3名校考研真题详解第5章中心力场5.1复习笔记5.2课后习题详解5.3名校考研真题详解第6章电磁场中粒子的运动6.1复习笔记6.2课后习题详解6.3名校考研真题详解第7章量子力学的矩阵形式与表象变换7.1复习笔记7.2课后习题详解7.3名校考研真题详解第8章自旋8.1复习笔记8.2课后习题详解8.3名校考研真题详解第9章力学量本征值问题的代数解法9.1复习笔记9.2课后习题详解9.3名校考研真题详解第10章微扰论10.1复习笔记10.2课后习题详解10.3名校考研真题详解第11章量子跃迁11.1复习笔记11.2课后习题详解11.3名校考研真题详解第12章其他近似方法12.1复习笔记12.2课后习题详解12.3名校考研真题详解内容简介隐藏本书是曾谨言主编的《量子力学教程》（第3版）的学习辅导书，主要包括以下内容：（1）梳理知识脉络，浓缩学科精华。
本书每章的复习笔记均对该章的重难点进行了整理，并参考了国内名校名师讲授该教材的课堂笔记。
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（2）详解课后习题，巩固重点难点。
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量子力学习题集及解答
量子力学习题集及解答目录第一章量子理论基础 (1)第二章波函数和薛定谔方程 (5)第三章力学量的算符表示 (28)第四章表象理论 (48)第五章近似方法 (60)第六章碰撞理论 (94)第七章自旋和角动量 (102)第八章多体问题 (116)第九章相对论波动方程 (128)第一章 量子理论基础1．设一电子为电势差V 所加速，最后打在靶上，若电子的动能转化为一个光子，求当这光子相应的光波波长分别为5000A （可见光），1A （x 射线）以及0.001A （γ射线）时，加速电子所需的电势差是多少？[解] 电子在电势差V 加速下，得到的能量是eV m =221υ这个能量全部转化为一个光子的能量，即λνυhc h eV m ===221 )(1024.1106.11031063.6419834A e hc V λλλ⨯=⋅⨯⨯⨯⨯==∴--（伏） 当A50001=λ时， 48.21=V （伏）A 12=λ时 421024.1⨯=V （伏）A 001.03=λ时 731024.1⨯=V （伏）2．利用普朗克的能量分布函数证明辐射的总能量和绝对温度的四次方成正比，并求比例系数。
[解] 普朗克公式为18/33-⋅=kT hv v e dvc hvd πνρ单位体积辐射的总能量为⎰⎰∞∞-==00/3313T hv v e dv v c h dv U κπρ令kThvy =，则 440333418T T e dy y c h k U y σπ=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎰∞ （★） 其中 ⎰∞-=0333418y e dyy c h k πσ （★★）（★）式表明，辐射的总能量U 和绝对温度T 的四次方成正比。
这个公式就是斯忒蕃——玻耳兹曼公式。
其中σ是比例常数，可求出如下：因为)1()1(1121 +++=-=-------yy y y y ye e e e e e∑∞=-=1n ny edy e y e dy y n ny y ⎰∑⎰∞∞=-∞⎪⎭⎫ ⎝⎛=-013031 令 ny x =，上式成为dx e x n e dy y xn y⎰∑⎰∞-∞=∞=-03140311 用分部积分法求后一积分，有⎰⎰⎰∞-∞∞--∞∞--+-=+-=0220332333dx xe e x dx e x e x dx e x x xx xx66660=-=+-=∞∞--∞-⎰xx x e dx e xe又因无穷级数 ∑∞==144901n n π故⎰∞=⨯=-0443159061ππy e dy y 因此，比例常数⎰∞-⨯==-=015334533341056.715818ch k e dy y c h k y ππσ尔格/厘米3·度43．求与下列各粒子相关的德布罗意波长：（1）能量为100电子伏的自由电子； （2）能量为0.1电子伏的自由中子； （3）能量为0.1电子伏，质量为1克的质点； （4）温度T =1k 时，具有动能kT E 23=（k 为玻耳兹曼常数）的氦原子。
量子力学 第3章.
z
r
直角坐标与球坐标之间的变换关系
(II) 球坐标 x r sin cos r 2 x2 y2 z 2
(1)
r
y
r
sin
sin
cos z / r
(2)
x
y
z r cos
tan y / x
(3)
球坐标
对于任意函数f (r, θ, φ) （其中，r, θ, φ都是
dx
x
*
*
|
dx *
x
dx *
x
dx *(
) 0
x x
可以证明：
由于ψ 、φ 是 任意波函数,
所以
( )0
x x
x x
( Aˆ Bˆ )
B~ˆ A~ˆ
证: ψ = Ô-1φ = Ô-1 (Ô ψ ) = Ô-1 Ô ψ 因为ψ 是任意函数,所以Ô-1 Ô = I成立. 同理, Ô Ô-1 = I 亦成立.
3.性质 II: 若 Ô, Û 均存在逆算符, 则 (Ô Û)-1 = Û-1 Ô-1
（e）算符函数
F(x)
F (n) (0) xn
n0
上面的最后一式称为 Jacobi 恒等式。
返回
角动量算符的对易式
（1）角动量算符的形式
根据量子力学基本假定III， 量子力学角动量算符为:
经典力学中，若动量为 p，相对 点O 的位置矢量为 r 的
粒子绕 O 点的角动量是： L r p
第三章-表示力学量的算符-习题范文
第三章 表示力学量的算符第一部分；基本思想与基本概念题目1. 举例说明算符与它表示力学量之间的关系。
2. 如何理解力学量完全集？3. 守恒量有哪些特征？4. 量子力学中的守恒量与经典力学守恒量有何区别？5. 如何构造力学量算符？6. 若ψ1与ψ2是力学量F 属于同一本征值λ的两个不同本征函数，则ψ＝C 1ψ1＋C 2ψ2（C 1，C 2是任意常数）是否仍是F 的本征函数。
7. 设[Â，Ĉ]＝0，则力学量Â和Ĉ是否一定可同时确定？ 8. 设[Â，Ĉ]≠0，则力学量Â和Ĉ是否一定不可同时确定？ 9. 试述│C n │2的物理意义。
10. 对于氢原子哪些力学量组成力学量完全集？11. 对氢原子n ，l ，m 这三个量子数分别决定哪些力学量？ 12. 线性谐振子的能量是守恒量，那它能否处于能量没有确定值的状态？举例说明。
13. t ＝0时，粒子处于力学量F 的 本征态，则在t 时刻它是否处于该本征态？ 14.2ˆL 的本征态是否一定是 ˆzL 的本征态？举例说明。
15. ˆzL 的本征态是否一定是2ˆL 的本征态？ 16. 当氢原子处于ψnlm （r ，θ，φ）＝R nl （r ）Y lm （θ，φ）态时，哪些力学量可同时确定，其值分别是多少？17. 若[Â，Ĉ]＝0，则粒子是否一定处于A 和B 两力学量的共同本征态？第二部分：基本技能训练题1. 证明厄密算符的平均值都是实数（在任意态）2. 判断下列等式是否正确12ˆˆˆ() () E H T U (3) H E T UHT U =+==+==+ 3. 设ψ（x ）归一化，｛ϕk ｝是ˆF的本征函数，且 ()()k k kx C x ψϕ=∑（1） 试推导C k 的表达式。
（2） 求证力学量在ψ（x ）态的平均值 2k k kF C F =∑。
（3）说明|C k |2的物理意义。
4. 一维谐振子处于基态ψ0（x ）态，求该态中 （1） 势能的平均值2212Ux μω=（2） 动能的平均值22p T μ=（3）动量的几率分布。
表示力学量的算符习题答案(供参考)
第三章 量子力学中的力学量 1. 证明 厄米算符的平均值都是实数（在任意态）[证] 由厄米算符的定义厄米算符ˆF的平均值 即厄米算符的平均值都是实数2. 判断下列等式是否正确（1）ˆˆˆHT U =+ （2）H T U =+（3）H E T U ==+[解]：（1）（2）正确 （3）错误因为动能，势能不同时确定，而它们的平均值却是同时确定 。
3. 设()x ψ归一化，{}k ϕ是ˆF的本征函数，且 ()()k kkx c x ψϕ=∑（1）试推导k C 表示式（2）求征力学量F 的()x ψ态平均值2k k kF c F =∑（3）说明2k c 的物理意义。
[解]：（1）给()x ψ左乘*()m x ϕ再对x 积分因()x ψ是ˆF的本函，所以()x ψ具有正交归一性 （2）k ϕ是ˆF 的本征函数，设其本征值为kF 则 即 2kk kF cF =∑（3）2k c 的物理意义；表示体系处在ψ态，在该态中测量力学量F ，得到本征值k F 的 几率为2k c 。
4. 一维谐振子处于基态ψ0（x ）态，求该态中（1） 势能的平均值2212U x μω=（2） 动能的平均值22p T μ=（3） 动量的几率分布。
解：(1) ⎰∞∞--==dx e x x U x 2222222121απαμωμω（22102n ax n n x e dx a ∞-+=⎰(2) ⎰∞∞-==dx x p x p T )(ˆ)(2122*2ψψμμ 或 ωωω 414121=-=-=U E T (3)⎰=dx x x p c p )()()(*ψψ动量几率分布函数为 5. 氢原子处于 0(,,)r a r ψθϕ-=态，求（1） r 的平均值。
（2） －e 2/r 的平均值 （3） 最可几半径. （4） 动能平均值.解：(1)ϕθθπτϕθψππd rd d r re a d r r r a r sin 1),,(0220/2320⎰⎰⎰⎰∞-==⎰∞-=/233004dr a r a a r （ 1!n ax n n x e dx a∞-+=⎰ ） (3)电子出现在r+dr 球壳内出现的几率为 令0321 , ,0 0)(a r r r drr d =∞==⇒=，ω 当0)( ,0 21=∞==r r r ω时，为几率最小位置 ∴ 0a r =是最可几半径。
量子力学教程-周世勋-第三章算符
ˆ, B ˆ, B ˆ ] = C[ A ˆ ] C 为常数 [CA
ˆ +A ˆ ,B ˆ ,B ˆ ,B ˆ] ˆ] = [A ˆ]+[A [A 1 2 1 2 ˆA ˆ ˆ ˆ ,B ˆ +A ˆ [A ˆ ,B ˆ] ˆ ]A [A 1 2 , B] = [ A 1 2 1 2
∂ ˆ ˆ ∂ ˆ ˆ ˆ, ∂ B ˆ] [ A, B ] = [ A , B] + [ A ∂t ∂t ∂t
中，因
+ * % d d ˆ + = ⎛ h ∂ ⎞ = ⎛− h ∂ ⎞ = P ˆ 。也可以直接从定义式（3.1-3）出发，来 = − ，所以 P x x ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ dx dx ⎝ i ∂x ⎠ ⎝ i ∂x ⎠
ˆ 是厄密算符。 证明 P x
∫
∞
−∞
ˆ φ dx = ϕ *φ |∞ − ϕ *P −∞ x
3．其他对易关系 （1）角动量算符与位置算符之间的对易关系
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ˆ , x] = [ yP ˆ , zP ˆ , x] = 0 [L x z y ˆ , y ] = [ yP ˆ − zP ˆ , y ] = − z[ P ˆ , y ] = z[ y, P ˆ ] = ihz [L x z y y y
ˆ −1 , FF ˆ =G ˆ ˆ −1 = F ˆ −1 F ˆ = 1。 F
并非所有的算符都有逆算符，例如把零作为算符时，称之为零算符，零算符就没有逆算符。
ˆ为 ˆ ( x ) = af ( x ) ，其中 F 对于非齐次线性微分方程： Fu
d 与函数构成的线性算符，a 为常数。 dx
ˆ = 0， 其解 u 可表示为对应齐次方程的通解 u。与非齐次方程的特解 υ 之和，即 u = u0 + v 。因 Fu 0
量子力学第三章算符
第三章 算符和力学量算符3.1 算符概述设某种运算把函数u 变为函数v ，用算符表示为：ˆFuv = （3.1-1） ˆF 称为算符。
u 与v 中的变量可能相同，也可能不同。
例如，11du v dx=，22xu v =3v =，(,)x t ϕ∞-∞，(,)x i p x hx edx C p t -=，则ddx，x dx ∞-∞⎰，x ip x he-⋅都是算符。
1．算符的一般运算（1）算符的相等：对于任意函数u ，若ˆˆFuGu =，则ˆˆG F =。
（2）算符的相加：对于任意函数u ，若ˆˆˆFuGu Mu +=，则ˆˆˆM F G =+。
算符的相加满足交换律。
（3）算符的相乘：对于任意函数u ，若ˆˆˆFFu Mu =，则ˆˆˆM GF =。
算符的相乘一般不满足交换律。
如果ˆˆˆˆFGGF =，则称ˆF 与ˆG 对易。
2．几种特殊算符 （1）单位算符对于任意涵数u ，若ˆIu=u ，则称ˆI 为单位算符。
ˆI 与1是等价的。
（2）线性算符对于任意函数u 与v ，若**1212ˆˆˆ()F C u C v C Fu C Fv +=+，则称ˆF 为反线性算符。
（3）逆算符对于任意函数u ，若ˆˆˆˆFG u G F u u ==则称ˆF 与ˆG 互为逆算符。
即1ˆˆG F -=，111ˆˆˆˆˆˆ,1FG FF F F ---===。
并非所有的算符都有逆算符，例如把零作为算符时，称之为零算符，零算符就没有逆算符。
对于非齐次线性微分方程：ˆ()()Fux af x =，其中ˆF 为ddx与函数构成的线性算符，a 为常数。
其解u 可表示为对应齐次方程的通解u 。
与非齐次方程的特解υ之和，即0u u v =+。
因0ˆ0Fu =，所以不存在1ˆF -使100ˆˆF Fu u -=。
一般说来，在特解υ中应允许含有对应齐次方程的通解成分，但如果当a=0时，υ=0，则υ中将不含对应齐次方程的通解成分，这时存在1ˆF-使11ˆˆˆˆFFv FF v v --==，从而由ˆFvaf =得：1ˆF af υ-=。
《量子力学教程》_课后答案
(n 1, 2, 3,)
∴ 2 ( x) A sin
n x a
由归一化条件
得
( x) dx 1
2
A2
a
2 sin
0
n xdx 1 a
由
a
b
sin
m n a x sin xdx mn a a 2
14
A
2 a 2 n sin x a a
2 ( x)
23
2
23
T 100 K 时， E 1.381021 J 。
7
1.5 两个光子在一定条件下可以转化为正负电子对，如果两个光子的能量相等，问要实现这种转化，光子 波长最大是多少？ 解：转化条件为 h ec 2 ，其中 e 为电子的静止质量，而
c h ，所以 ，即有 ec
A2 2 T A2 2T pdq A 0 cos t dt 2 0 (1 cost )dt 2 nh ， n 0,1,2,
2 2 T 2
A2 2 nh E nh ， n 0,1,2, 2 T
6
v 2 v （2）设磁场垂直于电子运动方向，受洛仑兹力作用作匀速圆周运动。由 evB ，得 R eB R
其解为
2 ( x) A sin kx B coskx
④
13
根据波函数的标准条件确定系数 A，B，由连续性条件，得
2 (0) 1 (0)
2 ( a ) 3 ( a)
⑤ ⑥ ⑥
⑤
B0 A sin ka 0
A0 s i n ka 0 ka n
max
0 h 6.626 1034 c 0.024A （电子的康普顿波长）。 31 8 e c 9.1 10 3 10
量子力学习题解答-第3章
第三章形式理论本章主要内容概要：1. 力学量算符与其本征函数量子力学中力学量（可观测量）用厄米算符表示，厄米算符满足()**ˆˆ()()()()f x Qg x dx Qf x g x dx =⎰⎰或者用狄拉克符号，ˆˆf QgQf g =，其中(),()f x g x 为任意满足平方可积条件的函数（在x →±∞，(),()f x g x 为零）。
厄米算符具有实本征值的本征函数（系），具有不同本征值的本征函数相互正交，若本征值为分离谱，本征函数可归一化，是物理上可实现的态。
若本征值为连续谱，本征函数可归一化为δ函数，这种本征函数不是物理上可实现的态，但是它们的叠加可以是物理上可实现的态。
一组相互对易的厄米算符有共同的本征函数系。
而两个不对易的厄米算符没有共同的本征函数系，它们称为不相容力学量。
对任意态测量不相容力学量ˆˆ,QF ，不可能同时得到确定值，它们的标准差满足不确定原理2221ˆˆ,2QFQ F i σσ⎛⎫⎡⎤≥ ⎪⎣⎦⎝⎭2. 广义统计诠释设力学量ˆQ 具有分离谱的正交归一本征函数系{}()n f x 本征值为{}nq ，即 ()*ˆ()(), ()(), ,1,2,3,...n n n m n mnQf x q f x f x f x dx m n δ===⎰或ˆ, n n n m n mnQ f q f f f δ== 这个本征函数系是完备的，即1n n nf f =∑（恒等算符，封闭型），任意一个波函数可以用这个本征函数系展开 (,)(),nn nx t cf x ψ=∑ 或nn n n nnf f c f ψ=ψ=∑∑展开系数为*()()(,)n n nc t f fx x t dx =ψ=ψ⎰若(,)x t ψ是归一化的，n c 也是归一化的，21n nc =∑。
广义统计诠释指出，对(,)x t ψ态测量力学量Q ，得到的可能结果必是Q 本征值中的一个，得到n q 几率为2n c 。
量子力学讲义第3章
第三章 量子体系的力学量本章讨论在量子力学中如何描述力学量的问题。
它是量子力学的重点之一，对初学者而言，开始显得比较抽象，因此，应注意习题训练。
3．1 力学量的平均值公式 力学量用算符表示~算符进入量子力学一、坐标的平均值⎰⎰⎰∞∞-∞∞-∞∞-==>=<r d r r d r r d t r w r r 3*323),(ψψψ分量： ⎰∞∞->=<r d t r x t r x n n3*),(),(ψψ问题：能否用),(t rψ导出其他力学量的平均值？二、动量的平均值⎰⎰⎰∞∞-∞∞-∞∞-==>=<p d t p C p t p C p d t p C p p d t p w p p3*323),(),(),(),(我们希望直接用),(t r ψ写出><p（注意r d t r p p 32),(⎰>≠<ψ~2),(t r ψ不是p的几率）。
以x 分量为例：⎰∞∞->=<p d t p C p t p C p x x3*),(),(将 r d e t r t p C r p i⎰∞∞-⋅-=323),()2(1),(ψπ 代入，有⎰⎰⎰∞∞-⋅-∞∞-⋅>=<pd r de t r p r d e t r p r p i x r p i x3/3/233*23]}),()2(1[]),()2(1[{/ψπψπ ⎰⎰⎰-⋅=])2(1)[,(),(3)(3//3*3/p d ep t r r d t r r d r r p i xπψψ计算[…]有)()()2(1[...]/33)(3/r r x i p d e x i r r p i-∂∂-=∂∂-=⎰∞∞--⋅δπ 于是 ⎰⎰∞∞-∞∞--∂∂->=<)(),())(,(/3//3*3r r t r r d x i t r r d p x δψψ),())(,(*3t r xi t r r d ψψ⎰∞∞-∂∂-=。
曾谨言《量子力学教程》(第3版)配套题库【课后习题-力学量用算符表达】
第3章力学量用算符表达3.1 设A与B为厄米算符，则和也是厄米算符，由此证明：任何一个算符F均可分解为，F＋与F－均为厄米算符．证明：因为即和均为厄米算符而F＋与F－显然均为厄米算符．3.2 已知粒子的坐标r和动量p为厄米算符，判断下列算符是否为厄米算符：如果不是，试构造相应的厄米算符．解：对于l＝r×P，有同理所以是厄米算符，对于r·P，有所以r·P不是厄米算符，而相应的厄米算符为类似有，本身非厄米算符，但可以构造相应的厄米算符如下：（参见3.8题），本身也非厄米算符，但可以构造相应的厄米算符如下：3.3 设F（x，p）是x和p的整函数，证明整函数是指F（x，p）可以展开成．证明：利用类似可证明．3.4 定义反对易式，证明证明：所以类似所以3.5 设A、B、C为矢量算符，A和B的标积和矢积定义为α、β、γ分别取为为Levi－Civita符号，试验证【证明见《量子力学习题精选与剖析》[上]，4.1题】4.1 设A、B、C为矢量算符，其直角坐标系分量为A＝（A x，A y，A z）＝（A1，A2，A3）等等，A、B的标积和矢积定义为等等，试验证下列各式：A·（B×C）＝（A×B）·C （3）[A×（B×C）]α＝A·（BαF）－（A·B）Cα（4）[（A×B）×C]α＝A·（BαC）－Aα（B·C）（5）证明：式（3）左端写成分量形式，为其中εαβγ为Levi—CiVita符号，即ε123＝ε231＝ε312＝1ε132＝ε213＝ε321＝－1 （6）εαβγ＝α、β、γ中有两个或三个相同式（3）右端也可化成故得验证式（4），以第一分量为例，左端为[A×（B×C）]1 ＝A2（B×C）3 A3（B×C）2＝A2（B1C2－B2C1）－A3（B3C1－B1C3）＝A2B1C2＋A3B1C3－（A2B2＋A383）C1 （8）而式（4）右端第一分量为A（B1C）－（A·B）C1＝A1B1C1＋A2B1C2＋A3b1C3－（A1B1＋A2B2＋A3B3）C1＝A2B1C2＋A3B1C3－（A2B2＋A3B3）C1和式（8）相等，故式（4）成立．同样可以验证式（5）．式（4）和（5）有时写成下列矢量形式：A与C间联线表示A和C取标积．（但是B的位置在A、C之间）如果A、B、C互相对易，上二式就可写成A×（B×C）＝（A·C）B－（A·B）C（A×B）×C＝（A·C）B－A（B·C）这正是经典物理中的三重矢积公式．3.6 设A与B为矢量算符，F为标量算符，证明【证明见《量子力学习题精选与剖析》[上]，4.2题】4.2 设A、B为矢量算符，F为标量算符，证明[F，A·B]＝[F，A]·B＋A·[F，B] （1）[F，A×B]＝[F，A]×B＋A×[F，B] （2）证明：式（1）右端等于（FA－AF）·B＋A·（FB－BF）＝FA·B－A·BF＝[F，A·B] 这正是式（1）左端，故式（1）成立．同样可以证明式（2）．3.7 设F是由r与p的整函数算符，证明【证明见《量子力学习题精选与剖析》[上]，4.3题】4.3 以，r、表示位置和动量算符，为轨道角动量算符，为由r、构成的标量算符．证明证明：利用对易式以及题4.2式（2），即得此即式（1）。
曾谨言《量子力学教程》(第3版)笔记和课后习题(含考研真题)详解-力学量用算符表达(圣才出品)
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（2）算符的标积
定义一个量子体系的任意两个波函数（态）ψ 与 的“标积”
以下为常用算符标积运算公式：
式中 c1 与 c2 为任意常数．
7．转置算符 算符 Â 的转置算符 A 定义为
特例 对于
利用
（h 是一个普适常数，不为 0），则有
2．（l2,lz）的共同本征态 称为球谐（spherical harmonic）函数，它们满足
l2 和 lz 的本征值者都是量子化的．l 称为轨道角动量量子数．m 称为磁量子数．
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式中
称为 Levi—Civita 符号，是一个三阶反对称张量，定义如下：
②角动量算符与动量算符之间的对易关系 ③角动量算符之间的对易关系 分开写出，即
5．逆算符 设
能够唯一地解出 ψ，则可以定义算符 Â 之逆 Â－1 为
6．算符的函数与标积 （1）算符函数 给定一函数 F（x），其各阶导数均存在，幂级数展开收敛，
3．对易力学量完全集（CSCO）与对易守恒量完全集（CSCCO）
（1）对易力学量完全集
设有一组彼此独立而且互相对易的厄米算符
，它们的共同本征态记为
也，表示一组完备的量子．设给定一组量子数 a 之后，就能够确定体系的唯一一个可能状
态，则我们称（Aˆ1，Aˆ2， ）构成体系的一组对易可观测量完全集（complete set of
式中 ψ 与 φ 是任意两个波函数．
8．复共轭算符与厄米共轭算符 算符 Â 的复共轭算符 Â*．定义为
量子力学曾谨言习题解答第三章
第三章： 一维定态问题[1]对于无限深势阱中运动的粒子（见图3-1）证明2a x =）（）（22226112πn ax x -=- 并证明当∞→n 时上述结果与经典结论一致。
[解]写出归一化波函数： ()ax n ax n πsin2=ψ （1）先计算坐标平均值：xdx axn axdx ax n axdx x aaa）（⎰⎰⎰-==ψ=222cos11sin2ππ 利用公式：2sin cos sin ppx p pxx pxdx x +-=⎰（2）得2c o s s i n c o s ppx ppxx pxdx x +-=⎰（3）22cos 22sin 221022a a x n n a a x n x n a xa x a=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛-=ππππ计算均方根值用()x x x x x ，）（222-=-以知，可计算2xdx axn x adx axn x adx x xaa）（⎰⎰⎰-==ψ=2222222cos11sin2ππ 利用公式px ppx x ppx x ppxdx x sin 1cos 2sin 1cos 3222-+=⎰（5）aa x n x n a a x n n a x n a x a x222222cos 222sin 22311πππππ⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--=222223πn aa-=()22222222223⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-=-a n aaxx x x π）（ 2222212πn aa-=（6）在经典力学的一维无限深势阱问题中，因粒子局限在（0，a ）范围中运动，各点的几率密度看作相同，由于总几率是1，几率密度a1=ω。
210a xdx axdx x aa===⎰⎰ω31222adx x axa==⎰()22222222223⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-=-a n aaxx x x π）（ 故当∞→n 时二者相一致。
#[2]试求在不对称势力阱中粒子的能级。
第三章-力学量的算符表示
p
'
x
(
x)
px (x)dx
CC
exp(i
px
px
x)dx
因为
1
exp(ikx)dx (k)
2
13
p'x
( x)
px
( x)dx
C
2
2 ( px
p'x
)
假如取 C
1
2
,
px (x) 的归一化为 函数
p'x
( x)
简并：一种本征值相应一种以上本征函数旳情况
简并度：相应于同一本征值旳本征函数旳数目
27
LˆzYlm mYlm
在Ylm态中，体系角动量在z方向上旳投影为m 前面几种球函数
1
Y00 4
Y1,1
3 sinei 8
Y1,0
3 cos 4
Y1,1
3 sinei 8
28
3.5 厄密算符本征函数旳性质
31
f重简并： 对一种本征值ln, 若同步有f个本征函数与之相应
属于同一种本征值ln旳简并波函数ψnk,，有
Lˆ nk ln nk , k 1, ..., f
一般来说，ψnk不正交， 但总能够找到正交函数。
例题 对下面两个氢原子旳未归一化旳1s和2s电子旳波函数
1s (r, , ) 1s (r) er /a ,
假如 Aˆ Bˆ BˆAˆ 0 则Aˆ 和Bˆ对易 记为 [ Aˆ, Bˆ] Aˆ Bˆ BˆAˆ 0
例 [xˆ, pˆ x ] ?
(xˆpˆ x
pˆ x xˆ)
ix
第3章力学量用算符表达
ˆ] 0 ˆ,G 例题6. 已知两力学量算符F和G的对易子 [ F
这意味着
(1)F和G必定是常数； (2)F和G的本征值必定相同 (3)F和G的本征值必定不同；(4)F和G有共同本征函数 例题7. 设厄米算符A在任意态ψ下的平均值为零，则A为零算符，即
ˆ 0 (任意) A
证明： A ，A ˆ (A ˆ , ) 0 在态 A
即
所以
ˆ d 0 A
2
ˆ 0 A
例题8. 若A, B是厄米算符，F=A+iB，则在什么条件下F2也是厄米的 解： F 2 ( A iB)(A iB) A2 iAB iBA B2
( F 2 ) A2 iBA iAB B2
(5) 算符的函数 若函数F(x)的各阶导数存在，幂级数展开收敛
F ( n ) (0 ) n F ( x) x n! n 0
(n) F (0) ˆ n ˆ) 则可定义算符A的函数F(A)为 F ( A A n! n 0
如 则 标 积 的 性 质
d F e dx
ˆ ( x) ( x)) 是厄米算符 例题2 证明空间反演算符P ( P
证明：任取波函数 ( x), ( x) ˆ ( x) P ( x)dx ( x) ( x)dx
ˆ ( x)] ( x)dx ( x) ( x)dx [ P
(4) 厄米算符（自共轭算符)
ˆ ) ( A ˆ , ) 或 ( , A
厄米算符的性质
ˆ A ˆ A
定理1：在体系的任何状态下，厄米算符的平均值必为实数。 逆定理：在体系的任何状态下，平均值为实数的算符是厄米算符
量子力学教程习题答案3周世勋
a
1 2
a
a
[1 cos A 2 2 a n
n a
a a
( x a )]dx n a n a ( x a ) dx
a
x
a
cos
A a A 2 a
∴归一化常数 A
A 2 2
sin
( x a)
a
1 a
16
2.5
求一维谐振子处在激发态时几率最大的位置。 解： ( x )
0 ，得
x
1
x
由 1 ( x ) 的表达式可知， x 0， 时， 1 ( x ) 0 。显然不是最大几率的位置。 x
而
d 2 1 ( x ) dx 4
3 2
2 3
[( 2 6 2 x 2 ) 2 2 x ( 2 x 2 2 x 3 )]e
23
2
23
T 100 K 时， E 1.38 10 21 J 。
7
1.5 两个光子在一定条件下可以转化为正负电子对，如果两个光子的能量相等，问要实现这种转化，光子 波长最大是多少？ 解：转化条件为 h e c 2 ，其中 e 为电子的静止质量，而
c
，所以
令x
kT
，再由
d d
0 ，得 .所满足的超越方程为
5
xe x ex 1
hc
用图解法求得 x 4.97 ，即得
m kT
4 .97 ，将数据代入求得 mT b, b 2.9 10 3 m0 C
4
1.2．在 0K 附近，钠的价电子能量约为 3eV,求 de Broglie 波长. 解： # 1.3. 氦原子的动能为 E 解：
第3章 力学量用算符表达
证明如下:
设
Aˆn Ann,
Aˆ m Amm,
并设 m,n 存在, 对 Aˆm Amm, 取复共轭, 得到
* 定义一个量子体系的任意两个波函数(态) 与
的标积
, d *
d 是指对体系的全部空间坐标进行积分,
d 是坐标空间体积元.
则可以证明:
, 0
,* ,
,c11 c22 c1 ,1 c2 ,2
c11 c22, c1* 1, c2* 2,
式中 c1 与 c2 为任意常数.
第3章
力学量用算符表达
3.1 算符的运算规则
量子力学中的算符, 表示对波函数(量子态)的一 种运算.例如
d ,V (r) , ,2
dx
讨论 量子力学中算符的一般性质:
(a)线性算符
凡满足下列规则的算符 Aˆ , 称为线性算符，
Aˆ c11 c22 c1Aˆ1 c2 Aˆ2
其中 1 和 2是任意两个波函数，c1 与 c2 是
F x eax, 可定义
F
d dx
a
e
d dx
n0
an n!
dn dxn
.
ad
e dx
x
x
a
算符
a
e
d dx
的物理意义,
是与体系沿 x方向平移a
有关的算符.
两个(或多个)算符的函数也可类似定义.
令
F n,m
x,
y
n xn
m y m
F
x,
y,
则
F ˆ, Bˆ Fn,m 0, 0 ˆ nBˆ m. n,m0 n!m!
r
将（3）式两 边分别对 x y z 求偏导数得：
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第3章 力学量用算符表达习题3.1 下列函数哪些是算符22dxd 的本征函数，其本征值是什么？①2x ， ② x e ， ③x sin ， ④x cos 3， ⑤x x cos sin +解：①2)(222=x dxd∴ 2x 不是22dxd 的本征函数。
② x xe e dxd =22∴ xe 是22dxd 的本征函数，其对应的本征值为1。
③x x dx dx dxd sin )(cos )(sin 22-== ∴ 可见，x sin 是22dx d 的本征函数，其对应的本征值为－1。
④x x dx dx dxd cos 3)sin 3()cos 3(22-=-= ∴ x cos 3 是22dxd 的本征函数，其对应的本征值为－1。
⑤)cos (sin cos sin sin (cos )cos (sin 22x x xx x x dxd x x dx d +-=--=-=+） ∴ x x cos sin +是22dxd 的本征函数，其对应的本征值为－1。
3.2 一维谐振子处在基态t i x e t x ωαπαψ22022),(--=，求：(1)势能的平均值2221x V μω=； (2)动能的平均值μ22p T =.解：(1) ⎰∞∞--==dx e x x V x2222222121απαμωμωμωμωαμωαπαπαμω ⋅==⋅=22222241212121221 ω 41=(2) ⎰∞∞-==dx x p x p T )(ˆ)(2122*2ψψμμ⎰∞∞----=dx e dxd e x x22222122221)(21ααμπα ⎰∞∞---=dx e x x 22)1(22222αααμπα ][222222222⎰⎰∞∞--∞∞---=dx e x dx e x xααααμπα ]2[23222απααπαμπα⋅-=μωμαμαπαμπα⋅===442222222 ω 41=或 ωωω 414121=-=-=V E T 习题3.3 指出下列算符哪个是线性的，说明其理由。
① 2224dx d x ； ② []2； ③ ∑=Nk 1解：①2224dx d x 是线性算符φϕϕϕφϕ22222221222212222122244 )(4)(4)(4 dxdx c dx d x c c dx d x c dx d x c c dx d x ⋅+⋅=+=+ ②[]2 不是线性算符222122221221221][][ 2][ φϕφϕφϕϕϕc c c c c c c c +≠++=+③∑=Nk 1是线性算符∑∑∑∑∑=====+=+=+Nk N k N k N k N k c c c c c c 12111211121φϕφϕϕϕ习题3.4指出下列算符哪个是Hermite 算符，说明其理由。
①dx d，②dxd i ，③224dx d解： ①00 →→±∞→φψ，，当x⎰⎰⎰⎰⎰∞∞-∞∞-∞∞-∞∞-∞∞∞∞-≠-=-=-=dxdxddx dx ddx dx d dx dx d dx dxd *)( *)( * * * *-φψφψφψφψφψφψ∴dxd不是Hermite 算符 ②⎰⎰⎰⎰∞∞-∞∞-∞∞-∞∞∞∞-=-=-=dx dxdidx dxdi dx dx d i i dx dx d i*)( *)( * * * -φψφψφψφψφψ∴dxdi 是Hermite 算符 ③⎰⎰⎰⎰⎰⎰∞∞-∞∞-∞∞-∞∞-∞∞-∞∞∞∞-=-=+=-=-=dxdxd dx dx d dx dx d dxd dx dx d dx d dx dx d dx d dx d dx dxd *)4( *4 * 4*4 *4 *4 *4 4* 222222-22φψφψφψφψφψφψφψφψ∴224dxd 是Hermite 算符习题3.5一刚性转子转动惯量为I ，它的能量的经典表示式是IL H 22=，L 为角动量，求与此对应的量子体系在下列情况下的定态能量及波函数：① 转子绕一固定轴转动； ② 转子绕一固定点转动。
解：(1)设该固定轴沿Z 轴方向，则有 22Z L L =哈米顿算符 22222ˆ21ˆϕd d I L I H Z -== 其本征方程为 (t H与ˆ无关，属定态问题) )(2)( )()(2222222ϕφϕϕφϕφϕφϕIEd d E d d I -=⇒=- 令 222 IE m =，则： 0)()( 222=+ϕφϕϕφm d d 取其解为 ϕϕφim Ae =)( (m 可正可负可为零) 由波函数的单值性，应有ϕπϕϕφπϕφim im e e =⇒=++)2()()2( 即 12=πm i e ∴m= 0，±1，±2，…转子的定态能量为Im E m 222 = (m= 0，±1，±2，…)可见能量只能取一系列分立值，构成分立谱。
其定态波函数为 ϕφim m Ae = A 为归一化常数，由归一化条件ππϕϕφφππ2121 220220*=⇒===⎰⎰A A d A d m m∴ 转子的归一化波函数为： ϕπφim m e 21=综上所述，除m=0外，能级是二重简并的。
(2)取固定点为坐标原点，则转子的哈米顿算符为： 2ˆ21ˆL IH= t H与ˆ无关，属定态问题，其本征方程为： ),(),(ˆ212ϕθϕθEY Y L I= (式中),(ϕθY 设为Hˆ的本征函数，E 为其本征值) ),(2),(ˆ2ϕθϕθIEY Y L= 令 22 λ=IE ，则有： ),(),(ˆ22ϕθλϕθY Y L= 此即为角动量2ˆL的本征方程，其本征值为： ) ,2 ,1 ,0( )1(222 =+==λL其波函数为球谐函数： ϕθϕθim mm m e P N Y )(cos ),( =∴ 转子的定态能量为： 2)1(2IE +=可见，能量是分立的，且是)12(+ 重简并的。
习题3.6 利用式（3.12）求出例题3.5中的展开系数。
解：依题意，有)(210))()((21)(0)3sin 2sin 2(21)(0cos sin 4)(3131**2*n n n n n n a dx x x x a dxa x a a x a x a dx a x a x a x c δδψψψππψππψ+=+=+=⋅=⎰⎰⎰ 即：21,2131==c c ，其他为零习题3.7 在一维无限深势阱中运动的粒子，势阱的宽度为a ，如果粒子的状态由波函数()()⎩⎨⎧><≤≤-=a x x a x x a Ax x ,0,00),()(ψ描写，A 为归一化常数，求粒子能量的概率分布和平均值。
解：由波函数)(x ψ的形式可知一维无限深势阱的分布如图示。
粒子能量的本征函数和本征值为）， 2,31(ax 0, x ,0a x 0,sin 2)(=⎪⎩⎪⎨⎧><<≤=n x a n a x n πψ22222a n E n μπ = ) 3 2 1( ，，，=n先将)(x ψ归一化： ⎰⎰⎰+-=-==∞∞-aadx x ax a x Adx x a x A dx x 02222222)2()()(1ψ⎰+-=adx x ax x a A43222)2(30)523(525552a A a a a A =+-=∴530aA =()()⎪⎩⎪⎨⎧><≤≤-=a x x a x x a x a x ,0,00),(30)(5ψ将)(x ψ按能量的本征函数展开，展开系数为⎰-⋅⋅=an dx x a x x a n a a C 05)(sin 302π]sin sin [1520203x xd a n x x xd a n x a aa a ⎰⎰-=ππax a n n a x a n x n a xa n x n a x a n n a x a n x n a a 0333222222323]cos 2sin 2 cos sin cos [152ππππππππππ--++-=])1(1[15433n n --=π∴ 2662])1(1[240)(n nn C E --==πω ⎪⎩⎪⎨⎧=== ,6 ,4 ,205 3 196066n n n ，，，，，π⎰⎰==∞∞-adx x p x dx x H x E 02**)(2ˆ)()(ˆ)(ψμψψψ ⎰--⋅-=adx x a x dx d x a x a2225)](2[)(30μ )32(30)(303352052a a a dx x a x a a-=-=⎰μμ 225a μ = 或：224422440222661222212596480)12(9602])1(1[2402||a a k a n a n C E E k n n n n n μππμπμπμπ ==+=--==∑∑∑∞=∞=∞=（利用了 96)12(144π=+∑∞=k k ） 习题3.8 证明：①z x y y x y ,x L ˆi L ˆL ˆL ˆL ˆ]L ˆL ˆ[ =-=，0]L ˆL ˆ[2,x = ②222],[p i p p r=⋅，)()](,[r V r i r V p r ∇⋅-=⋅证明： ①]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[]ˆˆ,ˆˆ[]ˆˆ[,z y x y z z x z z x y z y x p x p z p z p z p x p y p z p y p x p z p z p y L L +--=--= zy x L i p x i p y i ˆˆˆ =+-= 0ˆˆˆˆˆˆˆˆˆ]ˆˆ[]ˆˆ[ˆˆ]ˆˆ[]ˆˆ[ˆ]ˆˆ[]ˆˆ[]ˆˆˆˆ[]ˆˆ[,,,,,,,,2,2,222,2,=--+=+++=+=++=z y y z y z z y z z x z x z y y x y x y z x y x z y x x x L L i L L i L L i L L i L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L ②222222222],[2],[],[],[],[xx x x x x x z y x x x p i p p x p p x p xp p p p xp p xp ====++= 同样可求得222],[y y p i p yp =，222],[z z p i p zp =所以 2222222)(2],[],[p i p p p i p zp yp xp p p r z y x z y x =++=++=⋅ )()](,[))(()())(()](,[r V r i r V p r r V r i r r V i r V r i r V p r∇⋅-=⋅⇒∇⋅-=∇⋅+∇⋅-=⋅ψψψψ 习题3.9 证明在中心势场中0]ˆ,ˆ[=H L ，0]ˆ,ˆ[2=H L 证明：在中心势场中，球坐标系下)(2ˆ)(2ˆ22222r V r L r r r r H ++∂∂∂∂-=μμ]sin 1)(sin sin 1[ˆ22222ϕ∂∂θ+θ∂∂θθ∂∂θ-= L⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧ϕ∂∂-=ϕ∂∂ϕθ-θ∂∂ϕ-=ϕ∂∂ϕθ+θ∂∂ϕ= i L ctg i L ctg i L z yxˆsin (cos ˆ)cos (sin ˆ 事实上，在球坐标系中，角动量及其分量的算符表达式与径向坐标r 无关，故zyxL L L Lˆ,ˆ,ˆ,ˆ2与H ˆ的第一、三项也都是对易的，从而有 0]ˆ,ˆ[=H L，0]ˆ,ˆ[2=H L 习题3.10 证明氢原子中电子运动所产生的电流密度在球极坐标中的分量是 0==θe er J J2sin m n e r m e J ψθμϕ=证：电子的电流密度为)(2**m n m n m n m n e i e J e J ψψψψμ∇-∇-=-= ∇在球极坐标中为ϕθθϕθ∂∂+∂∂+∂∂=∇sin 11r e e r r e r 式中ϕθe e e r、、为单位矢量])sin 11( )sin 11([2**m n rm n mn r m n e r e e r r e r e e r r e i e J e J ψϕθθψψϕθθψμϕθϕθ∂∂+∂∂+∂∂-∂∂+∂∂+∂∂-=-=)]sin 1sin 1()1 1()([2******m n mn m n m n m n m n m n m n m n m n m n m n r r r e r r e r r e ie ψϕψθψϕψθψθψψθψψψψψμϕθ∂∂-∂∂+∂∂-∂∂+∂∂-∂∂-=m n ψ中的r 和θ部分是实数。