3.3函数的单调性

合集下载

《3.3.1 函数的单调性》作业设计方案

《函数的单调性》作业设计方案（第一课时）一、作业目标1. 理解和掌握函数的单调性概念及其数学表达；2. 能够根据函数图像识别函数的单调性；3. 学会应用单调性解决简单的数学问题。

二、作业内容1. 理论作业(1)请列举至少三个不同类型的函数，并画出它们的图像。

根据图像，说明这些函数在各自定义域内的单调性。

(2)阅读教材，理解单调性的定义，并尝试用自己的语言进行总结和归纳。

(3)通过练习题，掌握单调性的判断方法，并尝试解决一些简单的数学问题。

2. 实践作业(1)根据教材中的实例，选择一个具体的函数（例如，正比例函数、二次函数、指数函数等），绘制该函数的图像，并观察图像判断其单调性。

(2)自己设计一个函数，绘制图像并判断单调性。

通过这个过程，体会函数的单调性与函数性质的关系。

(3)尝试利用函数的单调性解决一些实际问题，例如：根据气温随时间变化的曲线图，判断气温的变化趋势等。

三、作业要求1. 认真阅读教材和相关资料，理解并掌握函数的单调性概念和判断方法；2. 认真绘制图像，确保图像的准确性和完整性；3. 独立思考，独立完成作业；4. 实践作业需要结合实际生活，注重理论联系实际。

四、作业评价1. 理论作业评价：主要考察学生对单调性概念、判断方法以及相关例题的掌握情况；2. 实践作业评价：主要考察学生能否将所学知识应用于实际问题解决中，以及图像绘制和观察的准确性。

评价标准包括：图像是否完整、准确，判断是否符合实际，应用是否得当等。

五、作业反馈1. 学生提交作业后，教师将对作业进行批改，并将批改结果反馈给学生；2. 学生应根据教师的批改意见进行修改和完善，并在规定时间内提交改进后的作业；3. 教师将对改进后的作业进行再次评价，并给出最终成绩。

通过本次作业，学生将能够更好地理解和掌握函数的单调性，并将其应用于解决实际问题中。

同时，实践作业也将有助于提高学生的观察能力和解决问题的能力，为今后的学习和工作打下坚实的基础。

高等数学自考3.3函数的单调性与极值

上单调增加；在上单调增加（i）如果在 b)内f ′(x) > 0，则f (x)在[a, b]上单调增加；）如果在(a, 内，上单调减少。（ii）如果在 b)内f ′(x) <0，则f (x)在[a, b]上单调减少。）如果在(a, 内，在上单调减少
例1 讨论函数 y = e x − x − 1的单调性 . 的单调性解 Q y′ = e x − 1. 又 Q D : ( −∞ ,+∞ ).
的极值点与极值。例4 求 f (x) = (x −1) x 的极值点与极值。
3 2
解
定义域（定义域（−，+）
2 5x − 2 f ′( x) = x + ( x −1) x = 3 , 3 3 x 2 当 x = 时 , f ′( x ) = 0; 5 当 x = 0时 , f ′( x )不存在
4 3
′(x) = 12x3 −12x2 = 12x2 ( x −1), 解 f
令得驻点: f ′( x) = 0 得驻点 x = 0, 1.
′′( x) = 36x2 − 24x = 12x(3x − 2) f
f ′′(0) = 0, f ′′(1) = 12 > 0.
由极值第二判别法, 由极值第二判别法 ξ=1时, 时 f (ξ)有极小值 f (1)=4. 有极小值: ξ 有极小值由于 f ′′( 0 ) = 0 所以,需用极值第一判别法判定所以需用极值第一判别法判定: 需用极值第一判别法判定
O x
y = x3
定理2 极值存在的一阶充分条件）定理2（极值存在的一阶充分条件）在该邻域（可除外）可导，在该邻域（x0可除外）可导，设f (x)在x0的某邻域内连续，在的某邻域内连续，不存在的点。 x0为f (x)的驻点或使 ′(x) 不存在的点。的驻点或使f 的驻点或使 (i) 若当 < x0 时，f ′(x) > 0；当x > x0 时，f ′(x) < 0，若当x ；，则 f (x0) 是f (x)的极大值；的极大值；的极大值 (ii) 若当 < x0 时，f ′(x) < 0；当x > x0 时，f ′(x) >0，若当x ；，的极小值；则 f (x0) 是f (x)的极小值；的极小值 (iii) 若在 0的两侧，f ′(x)不变号，若在x 的两侧，不变号，不变号不是极值。则f (x0)不是极值。不是极值

药学应用数学3.3 函数的单调性与极值

第四节函数单调性的判定法要求⑴会用导数求函数的单调区间。

⑵会利用单调性证明不等式。

1．用导数求函数的单调区间前面已经介绍了函数在区间上单调的概念，下面利用导数来对函数的单调性进行研究。

如果函数)(x f y =在[a,b ]上单调增加（单调减少），那末它的图形是一条沿x 轴正向上升（下降）的曲线。

这时，曲线上各点处的切线斜率是非负的（是非正的），即)0)((0)(≤'='≥'='x f y x f y 。

由此可见，函数的单调性与导数的符号有着密切的联系。

反过来，能否用导数的符号来判定函数的单调性呢？下面我们利用拉格朗日中值定理来进行讨论。

设函数)(x f 在[a,b ]上连续，在（a,b ）内可导，在[a,b ]上任取两点1x 、2x （1x <2x ），应用拉格朗日中值定理，得到)( ))(()()(211212x x x x f x f x f <<-'=-ξξ由于在上式中，012>-x x ，因此，如果在（a,b ）内导数)(x f '保持正号，即0)(>'x f ，那末也有0)(>'ξf ，于是))(()()(1212>-'=-x x f x f x f ξ即)()(21x f x f <表明函数)(x f y =在[a,b ]上单调增加。

同理，如果在（a,b ）内导数)(x f '保持负号，即0)(<'x f ，那末0)(<'ξf ，于是0)()(12<-x f x f ，即)()(21x f x f >，表明函数)(x f y =在[a,b ]上单调减少。

归纳以上讨论，即得函数单调性的判定法设函数)(x f y =在[a,b ]上连续，在（a,b ）内可导。

（1）如果在（a,b ）内0)(>'x f ，那末函数)(x f y =在[a,b ]上单调增加；（2）如果在（a,b ）内0)(<'x f ，那末函数)(x f y =在[a,b ]上单调减少。

函数单调性课件

图象特征
数量特征
从左至右，图象上升
y随x的增大而增大 y x >0
从左至右，图象下降
y随x的增大而减小 y x <0
增函数
在区间I内
减函数
在区间I内
y
f(x2)
图象 f(x1)
y
· y=f(x) f(x1)
·y=f(x)
·
f(x2)
·
0
x1
x2 x
图象特征
从左至右，图象上升
0
x1
x2 x
从左至右，图象下降
解：函数 y f (x) 的单调区间有 [-4，-2），
[-2，1），[1，2）， [2，3]
其中y f (x) 在区间[-4，-2）， [1，2）
上是减函数，在区间[-2，1），[2，3]上是增函数
快乐之旅
1
3
5
2
4
6
6个金蛋你可以任选一个，如果出现“恭喜你”的字样，你将直接过关；否则将有考验你的数学问题，当然你可以自己作答，也可以求助你的同学.
如果对于函数y=f(x)在给定区间I
上的任意两个不相等的值x1, x2，都有
y
x <0
那么就说f(x)在这个区间上是单调
减函数. I称为f(x)的单调减区间.
单调区间
小试牛刀
如图是定义在区间[-4，3]上的函数 y f (x) 的图象，根据图象说出y f (x) 的单调区间，以及在每个单调区间上，y f ( x )是增函数还是减函数.
·y=f(x)
·
f(x2)
·
0
x1
x2 x
0
x1
图象特征
从左至右，图象上升

专题3.3 函数的单调性(基础)(解析版).

专题3.3函数的单调性知识点一增函数与减函数的定义前提条件设函数f (x )的定义域为I ，区间D ⊆I 条件∀x 1，x 2∈D ，x 1<x 2都有f (x 1)<f (x 2)都有f (x 1)>f (x 2)图示结论f (x )在区间D 上单调递增f (x )在区间D 上单调递减特殊情况当函数f (x )在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数当函数f (x )在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数知识点二函数的单调区间如果函数y ＝f (x )在区间D 上单调递增或单调递减，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间具有(严格的)单调性，区间D 叫做y ＝f (x )的单调区间．知识点三函数的最大值与最小值最大值最小值条件一般地，设函数y ＝f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足：∀x ∈I ，都有f (x )≤Mf (x )≥M∃x 0∈I ，使得f (x 0)＝M结论称M 是函数y ＝f (x )的最大值称M 是函数y ＝f (x )的最小值几何意义f (x )图象上最高点的纵坐标f (x )图象上最低点的纵坐标知识点四求函数最值的常用方法1．图象法：作出y ＝f (x )的图象，观察最高点与最低点，最高(低)点的纵坐标即为函数的最大(小)值．2．运用已学函数的值域．3．运用函数的单调性：(1)若y ＝f (x )在区间[a ，b ]上单调递增，则y max ＝f (b )，y min ＝f (a )．(2)若y ＝f (x )在区间[a ，b ]上单调递减，则y max ＝f (a )，y min ＝f(b )．4．分段函数的最大(小)值是指各段上的最大(小)值中最大(小)的那个．函数单调性的判断与证明(1)取值并规定大小：设x 1，x 2是该区间内的任意两个值，且x 1<x 2；(2)作差变形：作差f (x 1)－f (x 2)或f (x 2)－f (x 1)，并通过因式分解、通分、配方、有理化等方法，转化为易判断正负的关系式；(3)定号：确定f (x 1)－f (x 2)或f (x 2)－f (x 1)的符号，当符号不确定时，进行分类讨论．(4)结论：根据定义确定单调性．【例1】用单调性定义判断函数21()2x f x x +=-在区间(2,)+∞上的单调性，并求()f x 在区间[3，6]上的最值．【解答】解：设122x x <<，则122112*********()()()22(2)(2)x x x x f x f x x x x x ++--=-=----，122x x <<，210x x ∴->，120x ->，220x ->，2112125()()()0(2)(2)x x f x f x x x -∴-=>--，即12()()f x f x >∴函数()f x 在区间(2,)+∞上是减函数．∴函数()f x 在区间[3，6]上是减函数．()f x ∴的最大值为f （3）7=，()f x 的最小值为f （6）134=．【变式训练1】已知函数2()4xf x x =-，(2,2)x ∈-．用定义法证明：函数()f x 在(0,2)上单调递增；【解答】证明：任取1220x x >>>，则1212121222221212()(4)()()44(4)(4)x x x x x x f x f x x x x x -+-=-=----，因为1220x x >>>，所以2212121240,40,40,0x x x x x x ->->+>->，所以12()()0f x f x ->，所以()f x 在(0,2)上单调递增；【变式训练2】已知函数1()(0)xf x ax a ax-=+>（1）利用函数单调性的定义，判断函数()f x 在(0,)+∞上的单调性；【解答】解：函数111()(0)x f x ax ax a ax ax a-=+=+->，∴任取1x 、2(0,)x ∈+∞，且12x x <，2121212121212()(1)1111()()()()x x a x x f x f x ax ax ax a ax a ax x --∴-=+--+-=；又120x x <<，0a >；120x x ∴-<，当1210x x a<<<时，21210a x x -<，12()()f x f x ∴>，()f x 是减函数；当121x x a<<时，21210a x x ->，12()()f x f x ∴<，()f x 是增函数；∴函数()f x 在1(0,)a上是减函数，在1(a，)+∞上是增函数；【变式训练3】利用定义判断函数()f x x =+在区间(,)-∞+∞上的单调性．【解答】解：()f x x =+(,)-∞+∞上，可以设12x x <可得1212()()(f x f x x x -=+=12()x x -+-221212()()(1x x x x =-+-+12(x x =-，10x >20x +>又12x x <，120x x -<，12()(10x x ∴-+<，12()()f x f x ∴<，()f x ∴在区间(,)-∞+∞上为增函数，同故函数()f x x =+在区间(,)-∞+∞上为增函数求函数的单调区间求函数单调区间的方法(1)利用基本初等函数的单调性，如本例(1)和(2)，其中分段函数的单调区间要根据函数的自变量的取值范围分段求解．(2)利用函数的图象提醒：若所求出函数的单调递增区间或单调递减区间不唯一，函数的单调区间之间要用“，”号【例2】函数1()f x x=的单调减区间是()A ．(0,)+∞B ．(,0)-∞C ．(-∞，0)(0⋃，)+∞D ．(,0)-∞和(0,)+∞【解答】解：根据题意，函数1()f x x =，其定义域为{|0}x x ≠其导数21()f x x'=-，分析可得：当0x >时，()0f x '<，即函数()f x 在(0,)+∞上为减函数，当0x <时，()0f x '<，即函数()f x 在(,0)-∞上为减函数；综合可得：函数1()f x x=的单调减区间是(,0)-∞和(0,)+∞；故选：D ．【变式训练1】函数221x y x -=+的单调递增区间是(,1)-∞-和(1,)-+∞．【解答】解：函数224211x y x x -==-++，可得函数221x y x -=+的增区间为(,1)-∞-和(1,)-+∞．故答案为：(,1)-∞-和(1,)-+∞．【变式训练2】函数2|21|y x x =-++的单调递增区间为[1-，1]和[1+，)+∞．【解答】解：画出函数2|21|y x x =-++图象如图，2210x x -++=，可得11x =-，21x =+由图知函数的增区间为[11]和[1+)+∞，故答案为：[1，1]和[1)+∞．【变式训练3】下列函数中，在(2,)+∞上单调递增的是()A ．()|3|f x x =-B ．1()f x x x=+C ．3()2f x x x=+D ．3,3()23,3xx x f x x +<⎧=⎨-⎩ 【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A ，函数3,3()|3|3,3x x f x x x x -⎧=-=⎨-<⎩ ，在(2,3)上单调递减，在[3，)+∞上单调递增，故A 错误；对于B ，函数1()f x x x=+，是勾型函数，在(2,)+∞上单调递增，故B 正确；对于C ，3()2f x x x =+，是二次函数，在(2,)+∞上单调递增，故C 正确；对于D ，函数3,3()23,3x x x f x x +<⎧=⎨-⎩在(,3)-∞和[3，)+∞上单调递增，故D 错误；故选：BC ．【变式训练4】已知函数()||2f x x x x =-的单调增区间为(,1)-∞-和(1,)+∞．【解答】解：0x 时，2()2f x x x =-，对称轴1x =，开口向上，在(1,)+∞递增，0x <时，2()2f x x x =--，对称轴1x =-，开口向下，在(,1)-∞-递增，∴函数的递增区间是：(,1)-∞-和(1,)+∞，故答案为：(,1)-∞-和(1,)+∞．函数单调性的应用【例3】已知函数()f x 在R 上单调递减，若(4)()f a f a +- ，则实数a 的取值范围是()A ．[2-，)+∞B ．(-∞，2]-C ．(2,)-+∞D ．(,2)-∞-【解答】解：函数()f x 在R 上单调递减，(4)()f a f a +- ，所以4a a +- ，解得2a - ，即实数a 的取值范围是(-∞，2]-．故选：B ．【变式训练1】已知函数()y f x =在(0,)+∞上是减函数，若f （a ）(32)f a <-，那么a 的取值范围是()A ．0a >B ．1a <C ．01a <<D ．213a <<【解答】解：函数()y f x =在(0,)+∞上是减函数且f （a ）(32)f a <-，032a a ∴<-<，解得213a <<，故选：D ．【变式训练2】已知()f x 是定义在[1-，1]上的减函数，且(23)(2)f a f a -<-，则实数a 的取值范围是()A ．(1，2]B ．(1，3]C ．(1，4]D ．(1,)+∞【解答】解：因为()f x 是定义在[1-，1]上的减函数，且(23)(2)f a f a -<-，所以1211231232a a a a ----⎧⎪⎨->-⎪⎩ ，解得12a < ．故选：A ．【变式训练3】已知函数()f x 是定义域为R 的递减函数，且(4)()0f x f x -+=，则不等式2(3)(1)0f x x f x ++-<的解集为()A ．(4,0)-B ．(-∞，4)(0-⋃，)+∞C ．(5,1)-D ．(-∞，5)(1-⋃，)+∞【解答】解：因为(4)()0f x f x -+=，所以(4)()f x f x -=-，(1)(5)f x f x -=--，因为2(3)(1)0f x x f x ++-<，即2(3)(1)f x x f x +<--，即2(3)(5)f x x f x +<-，因为函数()f x 是定义域为R 的递减函数，所以235x x x +>-，解得5x <-或1x >．故选：D ．图象法求函数的最值(值域)图象法求函数最值的一般步骤【例4】设函数2()2||1(33)f x x x x =--- ，（1）画出这个函数的图象；（2）指出函数()f x 的单调区间，并说明在各个单调区间上()f x 是增函数还是减函数；（3）求函数的值域．【解答】解：（1）当0x 时，22()21(1)2f x x x x =--=--，当0x <时，22()21(1)2f x x x x =+-=+-，根据二次函数的作图方法，可得函数图象如图．（2）函数()f x 的单调区间为[3-，1)-，[1-，0)，[0，1)，[1，3]．()f x 在区间[3-，1)-和[0，1)上为减函数，在[1-，0)，[1，3]上为增函数．（3）当0x 时，函数2()(1)2f x x =--的最小值为2-，最大值为f （3）2=；当0x <时，函数2()(1)2f x x =+-的最小值为2-，最大值为(3)2f -=．故函数()f x 的值域为[2-，2]．【变式训练1】已知定义在[5-，5]上的函数()f x 的图象如图所示．（1）写出()f x 的单调区间；（2）若()f x 在(1,2)a a -上单调递减，求a的取值范围．【解答】解：（1）由图象可知：()f x 的单调递增区间为[5-，2]-和[1，5]，单调递减区间为[2-，1]；（2）函数()f x 的单调递减区间为[2-，1]，∴122112a a a a--⎧⎪⎨⎪-<⎩ ，解得112a -< ，a ∴的取值范围为(1-，12．利用函数的单调性求函数的最值(1)若函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上单调递增，则f (x )的最大值为f (b )，最小值为f (a )．(2)若函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上单调递减，则f (x )的最大值为f (a )，最小值为f (b )．(3)若函数y ＝f (x )有多个单调区间，那就先求出各区间上的最值，再从各区间的最值中决定出最大(小)值．函数的最大(小)值是整个值域范围内的最大(小)值．(4)如果函数定义域为闭区间，则不但要考虑函数在该区间上的单调性，还要考虑端点处的函数值或者发展趋势．【例5】函数1()1f x x =-在区间[2，6]上的最大值和最小值分别是()A ．15，1B ．1，15C ．17，1D ．1，17【解答】解：根据题意，函数11y x =-在区间[2，6]上单调递减，所以当2x =时，()f x 取最大值f （2）1=，当6x =时，()f x 取最小值f （6）15=，故选：B ．【变式训练1】对于任意的实数x ，已知函数2,1()2,1x x f x x x ⎧=⎨->⎩ ，则()f x 的最大值是()A ．2-B ．1-C ．1D ．2【解答】解：函数2,1()2,1x x f x x x ⎧=⎨->⎩的图象如下所示：由函数图象可知，当1x =时，函数取得最大值()max f x f =（1）1=．故选：C ．【变式训练2】函数|||3|y x x =--的最大值为()A ．2B ．4C ．3D ．1【解答】解：①若0x <，)|||3|(3)3fx x x x x =--=---=-；②03x ，()|||3|(3)23f x x x x x x =--=--=-，3()3f x ∴- ；③3x >，()|||3|(3)3f x x x x x =--=--=，综上3()3f x - ，故选：C ．【变式训练3】设函数2()2xf x x =-在区间[3，4]上的最大值和最小值分别为M ，m ，则(M m +=)A ．4B ．6C ．10D ．24【解答】解：因为2(2)44()222x f x x x -+==+--，所以()f x 在[3，4]上是减函数．所以m f =（4）4=，M f =（3）6=．所以6410M m +=+=．故选：C ．【例6】已知函数21()1x f x x +=+．（1）用定义法证明()f x 在(1,)-+∞上是增函数；（2）求该函数在区间[2，6]上的最大值与最小值．【解答】解：（1）证明：函数211()211x f x x x +==-++．(1,)x ∈-+∞，设121x x -<<，则2121121211()?()11(1)(1)x x f x f x x x x x -=-=++++，121x x -<<，210x x ∴->，110x +>，210x +>，21()()0f x f x ∴->，即21()()f x f x >．故()f x 在(1,)-+∞上是增函数；（2）根据（1）可知()f x 在区间(1,)-+∞上是增函数；∴函数在区间[2，6]上是增函数；可得()f x 的最小值为f （2）53=，最大值为f （6）137=．【变式训练1】已知函数()1x f x x =+．（1）用定义法证明()f x 在区间(1,)-+∞上是增函数；（2）求函数()f x 在区间[2，5]上的最值，并说明取最值时的x 值．【解答】（1）证明：任取121x x -<<，则1212121212()()11(1)(1)x x x x f x f x x x x x --=-=++++，121x x -<<，110x ∴+>，210x +>，120x x -<，12()()0f x f x ∴-<，即12()()f x f x <，()f x ∴在区间(1,)-+∞上单调递增．（2）由（1）可知()f x 在区间[2，5]上单调递增，∴当2x =时，()f x 取得最小值为f （2）23=，当5x =时，()f x 取得最大值为f （5）56=．分类讨论求二次函数的最值(1)二次函数在指定区间上的最值与二次函数的开口、对称轴有关，求解时要注意这两个因素．(2)利用二次函数图象，进行分类讨论，提升直观想象的数学素养．【例7】已知函数2()2(1)3f x x a x =--++．①若函数()f x 在区间(-∞，3]上是增函数，则实数a 的取值范围是[2，)+∞；②若函数()f x 的单调递增区间是(-∞，3]，则实数a 的值为．【解答】解：函数的对称轴为(1)x a =-+，①由题意可得(1)3a -+ ，则4a - ，所以实数a 的范围为(-∞，4]-；②由题意可得(1)3a -+=，则24a =-故答案为：(-∞，4]-；4-．【变式训练1】若函数2()2(1)3f x x a x =--++在区间(-∞，3]上是增函数，则实数a 的取值范围是(-∞，4]-．【解答】解：由于函数2()2(1)3f x x a x =--++的对称轴方程为1x a =--，又由函数在区间(-∞，3]上单调递增，故有13a -- ，求得4a - ，故答案为：(-∞，4]-．【变式训练2】已知函数2()23f x x ax =-+在区间[2，8]上单调递增，则实数a 的取值范围是(-∞，2]．【解答】解：函数2()23f x x ax =-+在区间[2，8]上单调递增，可得2a ．即(a ∈-∞，2]．故答案为：(-∞，2]．【变式训练3】已知2()2(2)5f x x a x =+-+在区间(4,)+∞上是增函数，则a 的取值范围是2a - ．【解答】】解：函数22(2)5y x a x =+-+的对称轴为：2x a =-，函数22(2)5y x a x =+-+在区间(4,)+∞上是增函数，24a ∴- ，解得2a - ，故答案为：2a - ．1．函数()|2|f x x =-的单调递增区间为()A ．[2，)+∞B ．[2-，)+∞C ．[0，)+∞D ．(,)-∞+∞【解答】解：当2x 时，()2f x x =-为增函数，此时函数单调递增区间为[2，)+∞，当2x <时，()2f x x =-+为减函数，此时函数单调递减区间为(,2)-∞，故选：A ．二．多选题（共1小题）2．函数2()1x af x x -=+在区间(,)b +∞上单调递增，则下列说法正确的是()A ．2a >-B ．1b >-C ．1b - D ．2a <-【解答】解：根据题意，22(1)22()2111x a x a af x x x x -+--+===-+++，可以由函数2ay x+=-的图象向左平移一个单位，向上平移2个单位得到，若函数2()1x af x x -=+在区间(,)b +∞上单调递增，必有(2)0a -+<且1b - ，解可得：2a >-且1b - ，故选：AC ．三．填空题（共5小题）3．函数(1)(5)y x x =-+在区间(0,)+∞上的单调性是单调递增．（填写“单调递增”或“单调递减”)【解答】解：根据题意，函数2(1)(5)45y x x x x =-+=+-，是开口向上的二次函数，其对称轴为2x =-，在区间(0,)+∞上，单调递增，故答案为：单调递增．4．若函数2()21f x ax x =+-在区间(,6)-∞上单调递增，则实数a 的取值范围是1[6-，0]．【解答】解：根据题意，函数2()21f x ax x =+-在区间(,6)-∞上单调递增，当0a =时，()21f x x =-，符合题意，当0a ≠时，()f x 为二次函数，其对称轴为1x a =-，必有160a a ⎧-⎪⎨⎪<⎩ ，解可得106a -< ，即a 的取值范围为1[6-，0]；故答案为：1[6-，0]．5．()f x =的单调减区间为[1-，1]．【解答】解：()f x =[3-，1]，函数()f x =()f x =223u x x =--+复合而成的，2243(1)7u x x x =--+=-++在(,2)-∞-上递增，在(1,)-+∞上递减，且()f x =在[3-，1]递增，()f x ∴=(,1)-∞-上递增，在(1,)-+∞上递减，∴函数()f x =[1-，1]，故答案为：[1-，1]．6．已知函数()y f x =是开口向上的二次函数，且(1)(1)f x f x -=+、(0)3f =．若()f x 的最小值为2，则函数的解析式为2()23f x x x =-+．【解答】解：设2()(0)f x ax bx c a =++≠，由(0)3f =，可得3c =，(1)(1)f x f x +=-，∴二次函数()f x 的对称轴1x =，即12ba-=，由()f x 的最小值为2可得二次函数()f x 的图象经过点(1,2)，可得2a b c ++=，解得1a =，2b =-，故得()f x 的解析式为：2()23f x x x =-+．故答案为：2()23f x x x =-+．7．若函数2()21f x x mx =+-在区间[1，2]上是单调函数，则实数m 的取值范围是(-∞，8)(4)--+∞．【解答】解：对称轴4m x =-，函数2()21f x x mx =+-在区间[1，2]上是单调函数，则对称轴不在区间内，则14m -或者24m- ；即8m - 或4m - ，实数m 的取值范围是(-∞，8)(4)--+∞．故答案为：(-∞，8)(4)--+∞．四．解答题（共7小题）8．已知函数2()(0)1x af x a x -=>+，若不等式()1f x - 的解集为(,1)[0-∞-，)+∞．（1）求实数a 的值；（2）证明函数()f x 在[0，)+∞上是增函数．【解答】解：（1）由题意211x ax --+ ，变形2311011x a x a x x --++=++ ，这等价于(31)(1)0x a x -++ 且10x +≠，解得1x <-或13a x - ，所以103a -=，解得1a =．（2）由（1）得21()1x f x x -=+，任取1x ，2[0x ∈，)+∞，且12x x <，则210x x ->，那么212121*********()()()11(1)(1)x x x x f x f x x x x x ----=-=++++，210x x ->，12(1)(1)0x x ++>，21()()0f x f x ∴->，∴函数()f x 在[0，)+∞上是增函数．9．已知函数4()1f x x x =++．（1）求()y f x =在(1,)-+∞上的最小值，并求此时x 的值；（2）设()()2g x f x x =--，由定义证明：函数()y g x =在区间(,1)-∞-上是严格减函数．【解答】（1）解：因为1x >-，所以10x +>，所以44()111311f x x x x x =+=++--=++ ，当且仅当411x x +=+，即1x =时等号成立，所以()y f x =在(1,)-+∞上的最小值为3，此时1x =．（2）证明：44()2211g x x x x x =+--=-++，任取121x x <<-，211212124()44()()11(1)(1)x x g x g x x x x x --=-=++++，由121x x <<-，可得110x +<，210x +<，210x x ->，所以12()()0g x g x ->，即12()()g x g x >，所以函数()y g x =在区间(,1)-∞-上是严格减函数．10．已知函数2()2||21f x x a x a ax =---+，a R ∈．（Ⅰ）求当1a =时，函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若函数()f x 有2个零点，求a 的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当1a =时，22243,1()2|1|211,1x x x f x x x x x x ⎧-+=---+=⎨-<⎩，所以函数()f x 在(1,2)，(,0)-∞上单调递减，函数()f x 在(0,1)，(2,)+∞上单调递增．（Ⅱ）当x a 时，22()421f x x ax a =-++，当x a <时，22()21f x x a =-+，①当0a =时，2()1f x x =+没有零点，不符合题意；②当0a >时，()f x的草图如下：若函数()f x 有两个零点，则2(0)(2)120f f a a ==-=或f （a ）210a =-<，解得22a =或1a >．③当0a <时，()f x 的草图如下：若函数()f x 有两个零点，则f （a ）210a =-<，解得1a <-，综上所述，a 的取值范围为：(-∞，1)(1-⋃，2){}2+∞．11．已知()()xf x x a x a=≠-．（1）若0a >且()f x 在(2,)+∞内单调递减，求a 的取值范围．（2）在（1）的条件下，函数2()23g x x x m =-+++，[x a ∈，2]a +的图象都在直线5y =上方，求实数m 的取值范围．【解答】解：（1）任取1x ，2(2,)x ∈+∞，且12x x <，则1221121212()()()()()x x a x x f x f x x a x a x a x a --=-=----，()f x 在(2,)+∞内单调递减，12()()0f x f x ∴->，又0a >，210x x ->，12()()0x a x a ∴-->在(2,)+∞上恒成立，2a ∴ ，a ∴的取值范围为：(0，2]；（2）函数2()23g x x x m =-+++，[x a ∈，2]a +的图象都在直线5y =上方，2235x x m ∴-+++>在[x a ∈，2]a +上恒成立，即222m x x >-+在[x a ∈，2]a +上恒成立，又(0a ∈，2]，∴当2a =时，4x =时，函数222y x x =-+取最大值，最大值为10，10m ∴>，∴实数m 的取值范围为：(10,)+∞．12．已知函数23,[1,2]()3,(2,5].x x f x x x ⎧-∈-=⎨-∈⎩（1）在图1给定的直角坐标系内画出()f x 的图象；（2）写出()f x 的单调区间，并指出单调性；（3）写出函数()f x的最大值和最小值．【解答】解：（1）图象如图所示：（2）由图象可知，函数()f x 在[1-，0])和(2，5]上单调递增，在[0，2)上单调递减，（3）由图象可知，函数的最大值为3，最小值为1-．13．已知函数2()3||f x x x x a =+-，其中0a >（Ⅰ）当2a =时，写出函数()f x 的减区间．（Ⅱ）若函数()f x 在区间(,)m n 上既有最大值又有最小值，求m ，n 的取值范围（用a 表示）．【解答】解：（Ⅰ）当2a =时，2246,2()26,2x x x f x x x x ⎧-=⎨-+<⎩ ，即22394(,244()392(),222x x f x x x ⎧--⎪⎪=⎨⎪--+<⎪⎩ ，所以函数()f x 的递减区间是3(,2)2；（Ⅱ）2243,()23,x ax x af x x ax x a ⎧-=⎨-+<⎩，即2222394(),816()392(),48a a x x a f x a a x x a⎧--⎪⎪=⎨⎪--+<⎪⎩，（图象如下）要使函数()f x 在区间(,)m n 内既有最大值又有最小值，则最小值一定在x a =处取得，最大值在34x a =处取得；而f （a ）2a =，在区间(,)a -∞内，函数值为2a 时12x a =，所以1324a m a < ；又239()48f a a =，而在区间(,)a +∞内函数值为298a时，38x a +=，所以38a n +<．（注：若答案写成3,4m a n a <>，至少扣5分）14．已知函数2()f x x=，([2,6])x ∈．（1）用定义法证明()f x 是减函数．（2）求函数()f x 的最大值和最小值．【解答】（1）证明：设任意实数1[2x ∈，6]，2[2x ∈，6]，且12x x <，210x x ∴->，120x x >，212112122()22()()0x x f x f x x x x x -∴-=-=>，即21()()f x f x >，故函数()f x 是定义域上的减函数．（2）解：由（1）知()f x 是定义域上的减函数，()max f x f ∴=（2）1=，()min f x f =（6）13=．。

3.3函数的单调性

函数的单调性函数的单调性：一、定义：①()f x 在区间I 上是增函数（递增）：121212221112()(,,()())I D x x I x x x x f x f f x f x x <<⎧⎪⎨⎪⇒⎩>⊆∈⇒>、、任意或中文理解：函数值随着自变量的增大而增大（因变量大小与自变量大小一致）。

图像理解：从左到右，由下至上。

②()f x 在区间I 上是减函数（递减）：121121212212()(),,()()I D x x I x x f x x f x f x x f x ><<⎧⎪⎨⎪⇒⎩∈>⊆⇒任、、意或中文理解：函数值随着自变量的增大而减小（因变量大小与自变量大小相反）。

图像理解：从左到右，由上至下。

二、知识要点：1、单调区间I 与定义域D 的关系：I D ⊆练1：根据下列函数的图像，分别写出其定义域D 与单调区间增区间I ，单调减区间I 直线型指、对数型：x y a =与log a y x =(0)y k x b k =+> (0)y k x b k =+< (0)y kx b k =+=二次曲线幂函数：1:()0:1,0aa y xy x a Q a y x ==⎧=∈⎨==≠⎩2()(0)y a x b c a =-+> 2()(0)y a x b c a =-+< =2y x 3y x = 52y x =D D IIIID D IIIIy=x(1,0)a>1y=log a xy=a x oyx(0,1)0<a<1y=x(1,0)y=log a xy=a x(0,1)oyxboxy y xobb oxyx=boxy c cyx o x=b(0)y a x b c a =-+>(0)y a x b c a =-+<x=bx=bc oxyy xo c=12y x 25y x = 13y x =-=1y x 2y x -= 12y x -=三角函数反三角函数双曲线型函数函数的对称变换分段函数小结：1、单调性是局部性质，是对D 内的某一个子集区间而言。

数学：3.3《函数的单调性与导数》课件(新人教版A选修1-1)

上面是否可得下面一般性的结论:
1.回顾一下函数单调性的定义，利用导数的几何意义，研究单调性的定义与其导数正负的关系？在某个区间（a,b）内， ①如果f’(x)>0，那么函数y=f(x)在这个区间内单调递增. ②如果f’(x)<0，那么函数y=f(x)在这个区间内单调递减.
1.如果在某个区间内恒有f’(x)＝0，那么函数f(x) 有什么特性？
本题用到一个重要的转化：
m≥f(x)恒成立 m f (x)max m f (x)恒成立 m f (x )min
练习2 若f (x)在（0， 1]上是增函数，求a的取值范围。
已知函数f (x)= 2ax - x 3，x (0, 1],a 0,
解：f (x)=2ax - x3在（ 0， 1]上是增函数， f '(x)=2a - 3x 0在（ 0， 1]上恒成立， 3 2 即：a x 在（0， 1]上恒成立， 2 3 2 3 而g( x ) x 在（0， 1]上的最大值为， 2 2 3 a 。 3 2 [ , )
练习: 已知 x 1 ，求证： x ln( x 1)
提示:运用导数判断单调性,
根据函数的单调性比较函数值大小
单调性的定义
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量 x1 ， x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x) 在区间D上是增函数．
对于函数y＝f(x)在某个区间上单调递增或单调递减的性质，叫做f(x)在这个区间上的单调性，这个区间叫做f(x)的单调区间。
解: (3) 因为
, 所以
因此, 函数
在

【成才之路】2014-2015学年高中数学 3.3 第1课时函数的单调性与导数课件新人教A版选修1-1

[解析] 设 f(x)＝x－lnx (x＞1)， 1 x －1 f ′(x)＝1－ x＝ x ， x－1 ∵x＞1，∴f ′(x)＝ x ＞0 恒成立，
∴函数f(x)在(1，＋∞)上是增函数．又f(1)＝1－ln1＝1＞0，即f(x)＞0对x∈(1，＋∞)恒成立， ∴x－lnx＞0，即x＞lnx (x＞1)．
1 令 f′(x)>0，得 x>2 或 x<2， 1 令 f′(x)<0，得2<x<2， 1 ∴函数 f(x)的单调递增区间为(－∞，2)，(2，＋∞)，单调 1 递减区间为(2，2)．
[辨析] 错解的原因是忽视了函数的定义域而导致错误.
[正解] 由已知得 x>0，故函数 f(x)的定义域为(0，＋∞)． a 2 ∵f′(x)＝a＋x2－x ， 4 a ∴f′(2)＝a＋4－1＝0，∴a＝5. 4 4 2 2 ∴f′(x)＝5＋5x2－x ＝5x2(2x2－5x＋2)，
(2)函数 f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)， b b f ′(x)＝(x＋x )′＝1－x2， 1 令 f ′(x)＞0，则x2(x＋ b)(x－ b)＞0， ∴x＞ b，或 x＜－ b. ∴函数的单调递增区间为(－∞，－ b)和( b，＋∞)． 1 令 f ′(x)＜0，则x2(x＋ b)(x－ b)＜0， ∴－ b＜x＜ b，且 x≠0. ∴函数的单调递减区间为(－ b，0)和(0， b)．
∴a≤0.
当a＝0时，y＝－1不是减函数， ∴a≠0. 故a的取值范围是(0，＋∞)．
典例探究学案
用导数求函数的单调区间
求下列函数的单调区间： (1)f(x)＝x3－3x＋1； b (2)f(x)＝x＋x(b＞0)．
[解析] (1)函数 f(x)的定义域为 R， f ′(x)＝3x2－3，令 f ′(x)＞0，则 3x2－3＞0. 即 3(x＋1)(x－1)＞0，解得 x＞1 或 x＜－1. ∴函数 f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)和(1，＋∞)，令 f ′(x)＜0，则 3(x＋1)(x－1)＜0，解得－1＜x＜1. ∴函数 f(x)的单调递减区间为(－1,1)．

3.3 函数的单调性

§3.3 函数的单调性
一、函数的单调性及判别法
定理 3.3 设函数 f (x)在(a,b)内可导，
(1)如果 f (x)在(a,b)内的任一点x 处，恒有 f (x) 0，则 f (x)在(a,b)内单调增加；
图
(2)如果 f (x)在(a,b)内的任一点 x
处，恒有 f (x) 0，则 f (x)在(a,b)内单
解： f (x)定义域D (,)
f (x) 6x2 6x 12 . 6(x 2)(x 1)
令 f (x) 0，即6( x 2)( x1) 0 ，得驻点x1 2，x2 1；不存在不可导的点.
x (,2) 2 (2,1) 1 f (x) + 0 - 0
f (x)
f (x)的单调增加区间为 (, 2)、(1, )
f (x)的单调减少区间为(2,1)
(1, ) +
图
例 3 求 f (x) x2 的单调区间. 1 x
解： f (x)定义域D (,1) (1,)
f
( x)
2x(1 x) (1 x)2
x2
x(2 x) . (1 x)2
令
f
( x)
0，即
x(2 x) (1 x)2
0
得驻点 x1 2， x2 0；不存在不可导的点.
x (,2) 2 (2,1) (1,0) 0 (0,)
f (x) 0
0
f (x)
f (x)的单调增加区间为(,2)、(0,)； f (x)的单调减少区间为(2, 1)、(1,0).
图
例
4
求
f
(x)
3
(x
2
2) 3
2的单调区间.
2
解： f (x)的定义域D (,)

3.3 单调性与凹凸性

导数的正负，从而确定凹凸性。
例5、判断曲线 f (x)
1 9
x2
解： f (x) 在定义域 Df (
2 11 f (x) 9 x 3 3 x2
3 x 的凹凸性及拐点。 , ) 内连续，
2 21 f (x) 9 9 3 x5
2 9
(1
1 )
3 x5
0
x
1
(x 0) (x 0)
以 x 1、x 0 划分定义域得：
例4、确定函数 f (x) 2x3 9x2 12x 3 的单调区间。解： f (x) 在定义域 Df ( , ) 内连续，
f (x) 6x2 18x 12 6(x 1)(x 2) 0 x1 1 x2 2 以 x1 1、x2 2划分定义域得：
Df ( ,1) 1 ( 1 ,2 ) 2 (2, ) f (x)
单调区间
定义：若函数在某区间内单调增，称该区间为函数的单调增区间。
减
减
单调增区间、单调减区间统称为单调区间。
问题：如何确定函数的单调区间
首要任务是确定函数单调性的分界点。
单调性分界点只可能产生于：驻点与不可导点处
方法：用驻点及不可导点划分函数定义域，在各个开区间内确定
导数的正负，从而确定单调区间。
(1) 当 f (x0 ) 0 时， x0 为 f (x) 的极小值点； (2) 当 f (x0 ) 0 时， x0 为 f (x) 的极大值点。
例3、求函数 f (x) 3x x3 的极值。
解：函数 f (x) 在其定义域 ( , ) 内连续，
f (x) 3 3x2 3(1 x)(1 x) 0 x1 f (x) 6x f ( 1) 6 0 f (1) 6 0

《函数的单调性》中职数学基础模块上册3.3ppt课件2【语文版】

•
2、不要看书，要看老师的眼睛
•
只要老师不是在一味地读教材，那老师的“话”就不可能和你低头看着的教材上的“文字”一致。头脑聪明的学生，也许能做到既集中精神听老师的话，又集中精神看眼前书上的内容。可是实际上大部分的学生都做不到这一点。
•
认真听讲的第一个阶段就是上课时间无条件地“往前看”，上课的时候看书往往很容易开小差。摒除杂念，将视线从摊在眼前的书上移开。老师讲课的时候只看前面，集中注意力听老师嘴里说出来的话，那才是认真听讲的态度。
4、如果一个函数不存在单调性，只需举一个反例即可.
例1：证明函数
在R上是增函数
f (x) 2x 1
分析析：：画画出出这这个个一一次次函函数数的的图图像像（（见见右右图图）），，直直观观上上很
容进意很义何易行义容进意看证. 易行义出明看证. 函 .同出明数学函.同值们数学随可值们着以随可自根着以变据自根量图变据增像量图大理增像而解大理增每而解大一增每.步下大一证面.步下根明证面的据明根定几的据义何几定
证证则明明：：设设xx11 ，，xx22是是任任意意两两个个不不相相等等的的实实数数，，且且xx11﹤﹤ xx22，，
则
例2：证明函数减函数。
f
(x)

1 x
，在定义域区间上分别是
总结：
• 1.一次函数 y=kx+b（k≠0） • 当k＞0时，（-∞，+∞）是这个函数的单调增区间； • 当k＜0时，（-∞，+∞）是这个函数的单调减区间．
2019/8/9
教学资料精选
14
谢谢欣赏！
2019/8/9
教学资料精选
15
1 、从左至右图象上升还是下降 __下_降___?

3.3函数的单调性

3.3 函数的单调性
枣庄市峄城区职业中专
教学目标
知识目标
能力目标
情感目标
理解函数单调性能判断和证明
的概念
简单的单调性
培养学生勇于发现、勇于探索、勇于创新精神和合作交流的良好品质．
一、创设情境、导入教学
问题
在乘坐电梯时，乘客所处的高度h是所用时间t的函数？ h如何随着t的变化而变化？
这反映了函数怎样的性质规律呢？
当 y 0 时，就说函数y=f(x)在这个区间上是增函数； x
当 y 0 时，就说函数y=f(x)在这个区间上是减函数；
y x
y
f(x2)
f(x1)
f(x1)
O
x1
f(x2)
x2
xO
x1
x2
x
从左到右，图像呈上升趋势；
图像呈下降趋势；
三、师生互动、提炼知识解决问题 1.函数的单调性概念
如果一个函数y=f(x)在某个区间上是增函数或者是减函数，就说这个函数在这个区间上具有（严格的）单调性，这个区间就称为这个函数的单调区间。
因此，函数 f(x)＝3 x＋2在区间(-∞，+∞)上是增函数．
三、师生互动、提炼知识
2.定义法证明函数的单调性
总结：由函数的解析式判定函数单调性的步骤： S1 计算 x 和 y． y S2 计算 k = x ． S3 当 k＞0时，函数在这个区间上是增函数；当 k＜0时，函数在这个区间上是减函数．
四、演练反馈
四、演练反馈
五、回顾总结
知识总结
1.函数的单调性概念 2.定义法证明函数的单调性
方法总结
单调性
数形结合思想
图像法
定义法

“十四五”国规教材《数学基础模块》上册 3.3.1 函数的单调性.docx[3页]

3.3.1
教学内容：函数的单调性
教学目标：
1．初步了解函数单调性的概念，建立对函数单调性概念的感性认识．
2．掌握判别函数单调性的图像观察法．
教学重难点：
重点：增函数和减函数的概念．
难点：增函数和减函数的概念．
核心素养：数学抽象
教具准备：PPT
教学环节：
(背景音乐：中央电视台天气预报的音乐)．如图1所示，为某地区2012年元旦这一天24小时内的气温变化图，观察这张气温变化图．
巩固新知，突破教学难点
教学环节：
意图
复备
例2图3-13是从2012年到2017年我国的居民消费价格指数涨跌幅度图．请根据该图描述从2012年到2017年我国的居民消费价格指数涨幅情况，并说明在哪个时间段是增函数，哪个时间段是减函数．
图3-13 2012—2017年居民消费价格指数
（注：引自国家统计局）
第三个函数图像的上升与下降要分段说明，通过讨论使学生明确函数的单调性是对定义域内某个区间而言的．
在此基础上，教师引导学生用自己的语言描述增函数的定义，即如果函数f(x)在某个区间上的图像从左向右逐渐上升，或者如果函数f(x)在某个区间上随自变量x的增大，y也越来越大，我们说函数f(x)在该区间上为增函数. 然后，让学生类比描述减函数的定义：
练习：
P69，练习1，2，3，4.
学生小结，教师补充：
1．增函数、减函数的概念；
2．根据函数的图像判断函数单调性．
巩固新知
梳理今日所学内容，加深记忆
作业：
板书设计：
让学生分别作出函数y＝2x，y＝－2x，y＝x2的图像，并且观察当自变量变化时，函数值有什么变化规律？
图2
在画图的基础上，教师要引导学生观察图像与x，y的对应值表，并获得以下信息：第一个图像从左向右逐渐上升，y随x的增大而增大；第二个图像从左向右逐渐下降，y随x的增大而减小．然后，教师还要让学生明确，对于自变量变化时，函数值具有这两种变化规律的函数，我们分别称为增函数和减函数．

3.3函数的单调性、凹凸性与极值

y y
o
x
o
x
22
2.4 导数的应用(118)
如图中曲线弧AB是单增的曲线. 但从A
B
到 C 的曲线是向上凸的; 从 C 到 B 的
曲线是向下凸的. C 恰好是上凸和下凸的分界点, 我们称为拐点.
A
• C
显然, 曲线的弯曲方向和弯曲方向(上凸和下凸)的分界点对我们研究函数的性态是十分重要的. 这就是下面讨论的凸
x0
2.4 导数的应用(118)
16
当 xk
1 1 ( 2k ) 2
时， f ( x k ) 1
4 1 ( 2k ) 2
0
1 当 xk 时， 2 k
f ( xk ) 1 0
注意 k 可以任意大，故在 x0 0 点的任何邻域内，f ( x ) 都不单调递增．
f ( x ) 2 33 x , ( x 0)
y 3 x2
当x 0时, 导数不存在.
当 x 0时，f ( x ) 0, 在(,0]上单调减少；当0 x 时， f ( x ) 0, 在[0,)上单调增加；
单调区间为 ( ,0]， [0, ).
2.4 导数的应用(118)
15
思考题解答
不能断定.
1 2 x 2 x sin , x 0 x 例 f ( x) 0, x0
1 lim f (0) x0(1 2 x sin ) 1 0 x
1 1 但 f ( x ) 1 4 x sin 2 cos , x x
小结与思考题1
单调性的判别是拉格朗日中值定理的重要应用.
定理中的区间换成其它有限或无限区间，结论仍然成立. 利用函数的单调性可以确定某些方程实根的个数和证明不等式.

湘教版高中数学选修1-1第3章 3.3.3 三次函数的性质：单调区间和极值

3．3.3三次函数的性质：单调区间和极值[读教材·填要点]设F(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，则F′(x)＝3ax2＋2bx＋c是二次函数，可能有以下三种情形：(1)函数F′(x)没有零点，F′(x)在(－∞，＋∞)上不变号．①若a>0，则F′(x)恒正，F(x)在(－∞，＋∞)上递增；②若a<0，则F′(x)恒负，F(x)在(－∞，＋∞)上递减．(2)函数F′(x)有一个零点x＝w.①若a>0，则F′(x)在(－∞，w)∪(w，＋∞)上恒正，F(x)在(－∞，＋∞)上递增；②若a<0，则F′(x)在(－∞，w)∪(w，＋∞)上恒负，F(x)在(－∞，＋∞)上递减．(3)函数F′(x)有两个零点x＝u和x＝v，设u<v.①若a>0，则F′(x)在(－∞，u)和(v，＋∞)上为正，在(u，v)上为负；F(x)在(－∞，u)上递增，在(u，v)上递减，在(v，＋∞)上递增.可见F(x)在x＝u处取极大值，在x＝v处取极小值．②若a<0，则F′(x)在(－∞，u)和(v，＋∞)上为负，在(u，v)上为正；F(x)在(－∞，u)上递减，在(u，v)上递增，在(v，＋∞)上递减.可见F(x)在x＝u处取极小值，在x＝v处取极大值．[小问题·大思维]1．在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，想一想，在[a，b]上一定存在最值和极值吗？在区间(a，b)上呢？提示：在区间[a，b]上一定有最值，但不一定有极值．如果函数f(x)在[a，b]上是单调的，此时f(x)在[a，b]上无极值；如果f(x)在[a，b]上不是单调函数，则f(x)在[a，b]上有极值；当f(x)在(a，b)上为单调函数时，它既没有最值也没有极值．2．若函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，且在区间[a，b]上有且只有一个极小值点，那么该极小值是否是函数的最小值？提示：借助图象可知，该极小值就是函数的最小值．求下列函数的单调区间和极值．(1)y＝2x3＋6x2－18x＋3；(2)y＝－x3＋12x＋6.[自主解答](1)函数的定义域为R.y′＝6x2＋12x－18＝6(x＋3)(x－1)，令y′＝0，得x＝－3或x＝1.当x变化时，y′，y的变化情况如下表：当x＝－3时，函数有极大值，且y极大值＝57；当x＝1时，函数有极小值，且y极小值＝－7.(2)y′＝－3x2＋12＝－3(x＋2)(x－2)，令y′＝0，则x1＝－2，x2＝2.当x变化时，y′，y的变化情况如下表：∴函数f(x)的单调减区间为(－∞，－2)，(2，＋∞)；单调增区间为(－2,2)．当x＝－2时，y有极小值，且y极小值＝f(－2)＝－10；当x＝2时，y有极大值，且y极大值＝f(2)＝22.(1)求多项式函数的单调区间，关键是求出f′(x)后，解不等式f′(x)>0和f′(x)<0.(2)单调区间可以是开区间，如果区间端点在定义域内，也可写成闭区间．1．求函数y＝8x3－12x2＋6x＋1的极值．解：y′＝24x2－24x＋6＝6(4x2－4x＋1)，令y′＝6(4x2－4x＋1)＝0，解得x1＝x2＝1 2.当x变化时，y′，y的变化情况如表所示：所以此函数无极值．求下列各函数的最值．(1)f (x )＝－x 3＋x 2＋x ＋1，x ∈[－3,2]； (2)f (x )＝x 3－3x 2＋6x －2，x ∈[－1,1]． [自主解答] (1)f ′(x )＝－3x 2＋2x ＋1，令f ′(x )＝－(3x ＋1)(x －1)＝0，得 x ＝－13或x ＝1.当x 变化时f ′(x )及f (x )的变化情况如下表：∴当x ＝2时，f (x )取最小值－1；当x ＝－3时，f (x )取最大值34.(2)f ′(x )＝3x 2－6x ＋6＝3(x 2－2x ＋2)＝3(x －1)2＋3， ∵f ′(x )在[－1,1]内恒大于0， ∴f (x )在[－1,1]上为增函数．故x ＝－1时，f (x )最小值＝－12； x ＝1时，f (x )最大值＝2.即f (x )的最小值为－12，最大值为2.求函数f (x )在[a ，b ]上的最大值和最小值的步骤：(1)求函数的导数f ′(x )；(2)求方程f ′(x )＝0的全部实根x 0，且x 0∈[a ，b ]；(3)求最值，有两种方式：①是将f (x 0)的值与f (a )，f (b )比较，确定f (x )的最大值与最小值；②是判断各分区间上的单调性，然后求出最值．2．求函数f (x )＝4x 3＋3x 2－36x ＋5在区间[－2,2]上的最大值和最小值．解：f ′(x )＝12x 2＋6x －36＝6(2x 2＋x －6)，令f ′(x )＝0，解得x 1＝－2，x 2＝32.又f (－2)＝57，f ⎝⎛⎭⎫32＝－1154，f (2)＝－23， ∴函数f (x )的最大值为57，最小值为－1154.设f (x )＝－13x 3＋12x 2＋2ax .(1)若f (x )在⎝⎛⎭⎫23，＋∞上存在单调递增区间，求a 的取值范围； (2)当0＜a ＜2时，f (x )在[1,4]上的最小值为－163，求f (x )在该区间上的最大值．[自主解答] (1)由f ′(x )＝－x 2＋x ＋2a ＝－⎝⎛⎭⎫x －122＋14＋2a ，当x ∈⎣⎡⎭⎫23，＋∞时，f ′(x )的最大值为f ′⎝⎛⎭⎫23＝29＋2a ；令29＋2a ＞0，得a ＞－19. 所以，当a ∈⎝⎛⎭⎫－19，＋∞时，f (x )在⎝⎛⎭⎫23，＋∞上存在单调递增区间． (2)令f ′(x )＝0，得两根x 1＝1－1＋8a2， x 2＝1＋1＋8a2.所以f (x )在(－∞，x 1)，(x 2，＋∞)上单调递减，在(x 1，x 2)上单调递增．当0＜a ＜2时，有x 1＜1＜x 2＜4，所以f (x )在[1,4]上的最大值为f (x 2)，又f (4)－f (1)＝－272＋6a ＜0，即f (4)＜f (1)．所以f (x )在[1,4]上的最小值为f (4)＝8a －403＝－163. 得a ＝1，x 2＝2，从而f (x )在[1,4]上的最大值为f (2)＝103.(1)f (x )在区间I 上为增函数⇒f ′(x )≥0在区间I 上恒成立，f (x )在区间I 上为减函数⇒f ′(x )≤0在区间I 上恒成立．(2)由函数的最值来确定参数的问题是利用导数求函数最值的逆向运用，解题时一般采用待定系数法，列出含参数的方程或方程组，从而求出参数的值，这也是方程思想的应用．3．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋5，曲线y ＝f (x )在点P (1，f (1))处的切线方程为y ＝3x ＋1.(1)求a ，b 的值；(2)求y ＝f (x )在[－3,1]上的最大值．解：(1)依题意可知点P (1，f (1))为切点，代入切线方程y ＝3x ＋1可得，f (1)＝3×1＋1＝4，∴f (1)＝1＋a ＋b ＋5＝4，即a ＋b ＝－2，又由f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋5得，又f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，而由切线y ＝3x ＋1的斜率可知f ′(1)＝3， ∴3＋2a ＋b ＝3，即2a ＋b ＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝－2，2a ＋b ＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－4，∴a ＝2，b ＝－4.(2)由(1)知f (x )＝x 3＋2x 2－4x ＋5， f ′(x )＝3x 2＋4x －4＝(3x －2)(x ＋2)，令f ′(x )＝0，得x ＝23或x ＝－2.当x 变化时，f (x )，f ′(x )的变化情况如下表：∴f (x )的极大值为f (－2)＝13，极小值为f ⎝⎛⎭⎫23＝9527，又f (－3)＝8，f (1)＝4，∴f (x )在[－3,1]上的最大值为13.已知f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 在x ＝1与x ＝－2时都取得极值． (1)求a ，b 的值；(2)若x ∈[－3,2]时都有f (x )>2c －12恒成立，求c 的取值范围．[巧思] 解决不等式恒成立问题，大多可用函数的观点来审视，用函数的有关性质来处理，而导数是研究函数性质的有力工具，因而常将不等式f (x )>g (x )(f (x )<g (x ))恒成立问题转化为F (x )＝f (x )－g (x )>0(F (x )＝f (x )－g (x )<0)恒成立问题，再用导数方法探讨F (x )的单调性及最值．[妙解] (1)f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(1)＝0，f ′(－2)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧3＋2a ＋b ＝0，12－4a ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32，b ＝－6.(2)由(1)知f ′(x )＝3x 2＋3x －6. 令f ′(x )＝0得x ＝－2或x ＝1.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如表所示：∴f (x )在[－3,2]上的最小值为c －72.即2c －12<c －72，∴c <－3，∴c 的取值范围为(－∞，－3)．1．下面四幅图都是在同一坐标系中某三次函数及其导函数的图象，其中一定不．正确的序号是( )A ．①③B ．③④C ．②③④D ．②④解析：根据函数的单调性与其导函数函数值之间的关系，易得③④一定不正确．答案：B2．函数f (x )＝2x 3－9x 2＋12x ＋1的单调递减区间为( ) A ．(1,2) B ．(2，＋∞)C ．(－∞，1)D ．(－1，＋∞)，(2，＋∞)解析：f ′(x )＝6x 2－18x ＋12，令f ′(x )＜0，得1＜x ＜2. 答案：A3．函数f (x )＝x 3－3x (|x |<1)( ) A ．有最大值，但无最小值 B ．有最大值，也有最小值 C ．无最大值，但有最小值 D ．既无最大值，也无最小值解析：f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)，当x ∈(－1,1)时，f ′(x )<0，所以f (x )在(－1,1)上是单调递减函数，无最大值和最小值．答案：D4．若函数y ＝－x 3＋6x 2＋m 的极大值等于13，则实数m 等于________．解析：y ′＝－3x 2＋12x ，由y ′＝0，得x ＝0或x ＝4，容易得出当x ＝4时函数取得极大值，所以－43＋6×42＋m ＝13，解得m ＝－19.答案：－195．若f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a >0)是R 上的增函数，则a ，b ，c 的关系式为________．解析：f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ≥0在R 上恒成立，则⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝4b 2－12ac ≤0，从而解得a >0，且b 2≤3ac .答案：a>0且b2≤3ac6．已知函数f(x)＝2x3－6x2＋a在[－2,2]上有最小值－37，求a的值及f(x)在[－2,2]上的最大值．解：f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)，由f′(x)＝0得x＝0，或x＝2.当x变化时，f′(x)，f(x)变化情况如下：∴当x＝－2时，f(x)min＝－40＋a＝－37，得a＝3.故x＝0时，f(x)最大值是3.一、选择题1．函数y＝f(x)在[a，b]上()A．极大值一定比极小值大B．极大值一定是最大值C．最大值一定是极大值D．最大值一定大于极小值解析：由最值与极值的概念可知，D选项正确．答案：D2．函数y＝x3－3x＋3在区间[－3,3]上的最小值为()A．1B．5C．12 D．－15解析：y′＝3x2－3，令y′＝0，得3x2－3＝0，∴x＝1或x＝－1.当－1<x<1时，y′<0；当x>1或x<－1时，y′>0，∴y极小值＝1，y极大值＝5.又当x＝－3时，y＝－15；当x＝3时，y＝21，∴y min＝－15.答案：D3．若x＝－2与x＝4是函数f(x)＝x3＋ax2＋bx的两个极值点，则有()A ．a ＝－2，b ＝4B ．a ＝－3，b ＝－24C ．a ＝1，b ＝3D ．a ＝2，b ＝－4解析：f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，依题意有－2和4是方程3x 2＋2ax ＋b ＝0的两个根，所以有－2a 3＝－2＋4，b3＝－2×4，解得a ＝－3，b ＝－24.答案：B4．函数f (x )＝x 3－3x 2－9x ＋k 在区间[－4,4]上的最大值为10，则其最小值为( ) A ．－10 B ．－71 C ．－15D ．－22解析：f ′(x )＝3x 2－6x －9＝3(x －3)(x ＋1)．由f ′(x )＝0得x ＝3或x ＝－1. 又f (－4)＝k －76，f (3)＝k －27， f (－1)＝k ＋5，f (4)＝k －20. 由f (x )max ＝k ＋5＝10，得k ＝5， ∴f (x )min ＝k －76＝－71. 答案：B 二、填空题5．函数f (x )＝x 3－15x 2－33x ＋6的单调递减区间为________．解析：f ′(x )＝3x 2－30x －33＝3(x －11)(x ＋1)，令f ′(x )<0，得－1<x <11. ∴f (x )的单调递减区间为(－1,11)．答案：(－1,11)6．若函数f (x )＝x 3＋x 2＋mx ＋1是R 上的单调函数，则实数m 的取值范围是________．解析：f ′(x )＝3x 2＋2x ＋m ，∵f (x )在R 上是单调函数， ∴Δ＝4－12m ≤0，即m ≥13.答案：⎣⎡⎭⎫13，＋∞7．若a >0，b >0，且函数f (x )＝4x 3－ax 2－2bx ＋2在x ＝1处有极值，则ab 的最大值等于________．解析：∵f ′(x )＝12x 2－2ax －2b ， ∴Δ＝4a 2＋96b >0，又x ＝1是极值点， ∴f ′(1)＝12－2a －2b ＝0，即a ＋b ＝6.ab ≤(a ＋b )24＝9，当且仅当a ＝b 时“＝”成立，∴ab 的最大值为9.答案：98．函数f (x )＝x 3－12x 2－2x ＋5，对任意x ∈[－1,2]都有f (x )>m ，则实数m 的取值范围是________．解析：由f ′(x )＝3x 2－x －2＝0，得x ＝－23或x ＝1，由题意知只要f (x )min >m 即可，易知f (x )min ＝f (1)＝72，所以m <72.答案：⎝⎛⎭⎫－∞，72 三、解答题9．求下列各函数的最值： (1)f (x )＝－x 3＋3x ，x ∈[－3，3]； (2)f (x )＝x 2－54x (x <0)．解：(1)f ′(x )＝3－3x 2＝3(1－x )(1＋x )．令f ′(x )＝0，得x ＝1或x ＝－1，当x 变化时，f ′(x )，f (x )变化情况如下表：又因为f (x )在区间端点处的函数值为f (－3)＝0， f (3)＝－18，所以f (x )max ＝2，f (x )min ＝－18. (2)f ′(x )＝2x ＋54x 2.令f ′(x )＝0，得x ＝－3. 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：所以x 故f (x )的最小值为f (－3)＝27，无最大值．10．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 在x ＝－23与x ＝1处都取得极值．(1)求a ，b 的值及函数f (x )的单调区间．(2)若x ∈[－1,2]，不等式f (x )<c 2恒成立，求c 的取值范围．解：(1)由f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，得f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，因为f ′(1)＝3＋2a ＋b ＝0，f ′⎝⎛⎭⎫－23＝43－43a ＋b ＝0，解得a ＝－12，b ＝－2，所以f ′(x )＝3x 2－x －2＝(3x ＋2)(x －1)，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如表：单调递增单调递减单调递增所以函数f (x )的递增区间为⎝⎭⎫－∞，－23和(1，＋∞)；递减区间为⎝⎛⎭⎫－23，1. (2)由(1)知，f (x )＝x 3－12x 2－2x ＋c ，x ∈[－1,2]，当x ＝－23时，f ⎝⎛⎭⎫－23＝2227＋c 为极大值，因为f (2)＝2＋c ，所以f (2)＝2＋c 为最大值．要使f (x )<c 2(x ∈[－1,2])恒成立，只需c 2>f (2)＝2＋c ，解得c <－1或c >2.故c 的取值范围为(－∞，－1)∪(2，＋∞)．。

3.3函数的单调性

《3.3.1 函数的单调性》作业设计方案

高等数学自考3.3函数的单调性与极值

药学应用数学3.3 函数的单调性与极值

函数单调性课件

专题3.3 函数的单调性(基础)(解析版).

3.3函数的单调性

数学：3.3《函数的单调性与导数》课件(新人教版A选修1-1)

【成才之路】2014-2015学年高中数学 3.3 第1课时 函数的单调性与导数课件 新人教A版选修1-1

3.3 函数的单调性

3.3 单调性与凹凸性

《函数的单调性》中职数学基础模块上册3.3ppt课件2【语文版】

3.3函数的单调性

“十四五”国规教材《数学 基础模块》上册 3.3.1 函数的单调性.docx[3页]

3.3函数的单调性、凹凸性与极值

湘教版高中数学选修1-1第3章 3.3.3 三次函数的性质：单调区间和极值

【成才之路】2014-2015学年高中数学 3.3 第1课时函数的单调性与导数课件新人教A版选修1-1

“十四五”国规教材《数学基础模块》上册 3.3.1 函数的单调性.docx[3页]